V-a V-a Hoofstuk - Veranen herkennen Hoofstuk - Veranen herkennen Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in e tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. Een formule ij tael A is = +. e Bij e anere tael hoort een kwaratish veran. Het hellingsgetal is en het startgetal is. = O = + = Invullen van = geeft = + =. Het punt (, ) ligt niet op e grafiek. e Zie e tekening hieroven. f Van e formule = loopt e grafiek evenwijig aan e -as.
V-a O 7 = Deze grafiek is een alparaool. De oörinaten van e top zijn (, ). V-a Bij v = is R =, = en ij v = is R =, =. Bij een snelhei van km/uur is e remweg, =, meter en ij een snelhei van km/uur is e remweg, = meter. V-a Invullen van = geeft = ( ) = 9 = en invullen van = geeft = ( ) = =. O = De grafiek is een ergparaool. De oörinaten van e top zijn (, ). V-a De eginhoeveelhei ij eze formule is. De groeifator is. h = = V-7a De groeifator is : =. t De ijehorene formule is h =. t h 9 Hoofstuk - Veranen herkennen
Hoofstuk - Veranen herkennen De groeifator is 7 : =. a a t De ijehorene formule is h = ( ). - Reht evenreig en omgekeer evenreig In e ere rij komt telkens hetzelfe getal te staan. Als V twee keer zo groot wort, an wort m ook twee keer zo groot. Ja, tussen e prijs en het gewiht van een stuk kaas is sprake van een reht evenreig veran. Nee, e kosten van een moieltje per maan hangen niet alleen maar af van het aantal minuten at je elt. Nee, als e waneling ijvooreel honer keer zo lang wort, an wort e tij ie je erover oet meer an honer keer zo lang omat je tempo an lager wort. a De variaelen en zijn reht evenreig. De evenreigheisonstante is,. De variaelen en zijn niet reht evenreig. De variaelen en zijn reht evenreig. De evenreigheisonstante is,. a t h 7 9 V in m m in gram 7 7 m in gram/m V 7, 7, 7, 7, Telkens als e temperatuur met C toeneemt, neemt e hoogte met, m toe. Er is us sprake van een lineair veran met hellingsgetal, : =,. Het startgetal is,, =, 9. Een formule ie het veran aangeeft is h =, T +, 9. Nee, it lineaire veran etekent niet at e hoogte h reht evenreig is met e temperatuur T, want e formule zou an van e vorm h = T moeten zijn. a Als twee variaelen en reht evenreig zijn, an heeft e formule e vorm = en at is e vorm ie hoort ij een lineair veran met startgetal. Zie ijvooreel opraht. a Lia oet er : = uur over. Ze moet an met een snelhei van km per uur rijen. snelhei in km per uur tij in uren
7a a De variaelen en zijn omgekeer evenreig. Een ijehorene formule is = of = of =. De variaelen en zijn niet omgekeer evenreig. Telkens als met toeneemt neemt met af, us het hellingsgetal is : =,. Het startgetal is + =. Een ijehorene formule is =,. De variaelen en zijn omgekeer evenreig. Een ijehorene formule is =, of =, of =,. Als e hoogte twee keer zo groot wort, an wort e gemiele snelhei twee keer zo klein. Ja, e variaelen h en v zijn omgekeer evenreig. Een formule is h v = of v = of h =. h v Deze formule is zinvol als v tussen ongeveer km per uur en ongeveer km per uur zit. 9a - Hperolen reete in m 9 7 7 9 lengte l in m De lengte en e reete van eze rehthoek zijn omgekeer evenreig want lengte keer reete moet zijn. Als e reete heel groot wort, an naert e lengte van eze rehthoek naar. lengte l in m reete in m Omat l =, gelt =. l Hoofstuk - Veranen herkennen
a Voor = is e uitkomst = =. Voor = is e uitkomst = = en voor = is e uitkomst = =. Invullen van = geeft =, maar je kunt niet elen oor. e f a Hoofstuk - Veranen herkennen kan niet Als twee keer zo groot wort, an wort twee keer zo klein. Of: Het prout van en is telkens. O =,,9,, kan niet De formule heeft geen uitkomst voor =. Als heel iht ij in e uurt komt, an woren e uitkomsten heel erg groot of heel erg klein. Invullen van = geeft =, en invullen van = geeft =,. e O = 7
a De formule heeft geen uitkomst voor =. Al s grote positieve waaren aanneemt, an naeren e uitkomsten naar. Als grote negatieve waaren aanneemt, an naeren e uitkomsten ook naar. e a/,9, kan niet, O = = 7 9 O = = = De grafiek is gespiegel ten opzihte van e -as of e -as. Arie maakt e fout te enken at ij ieere formule ie als reuk geshreven is een hperool als grafiek hoort. De grafiek is een rehte lijn, want = kun je ook shrijven als = oftewel als =. Hoofstuk - Veranen herkennen
a Invullen van t = geeft T = + =. Op het moment at het likje in e + koelkast wort gezet is e temperatuur van het likje C. = + t + t + = t + = t = 7 Na 7 minuten is e temperatuur C. Op en uur wort e temperatuur van e ola C. Dat etekent at e grafiek van T een asmptoot heeft. a Hoofstuk - Veranen herkennen t 7 7 7 7 7 7 T 7,, I in C T = + t+ 7 9 t in minuten - Mahtsformules = = =,,, O,,, Deze rie grafieken heen allemaal een zelfe soort verloop, namelijk eerst stees miner alen, an een minimum ij het punt (, ) en aarna stees sneller stijgen. Deze rie grafiek gaan allemaal oor e punten (, ), (, ) en (, ).
7a e O = = Zie e tekening hieroven. De twee grafieken heen een zelfe soort verloop, namelijk eerst stees miner stijgen, an vrijwel horizontaal oor het punt (, ) en aarna stees sneller stijgen. De grafieken gaan oor e punten (, ), (, ) en (, ). Tussen = en = zijn e uitkomsten van = groter an e uitkomsten van =. Voor < en > is het net anersom. De grafiek ij e formule = 7 zal ezelfe eigenshappen heen als e grafieken ij opraht 7. En e grafiek ij e formule = zal ezelfe eigenshappen heen als e grafieken ij opraht. 9a 7 7 = O = = = Hoofstuk - Veranen herkennen 7
Beie grafieken zijn raaismmetrish over in het punt (, ). De grafiek ij e formule = is eerst stees miner stijgen, an vrijwel horizontaal oor het punt (, ) en aarna stees sneller stijgen. Maar e grafiek ij e formule = is eerst stees miner alen, an vrijwel horizontaal oor het punt (, ) en aarna stees sneller alen. De grafiek ij e formule = gaat oor e punten (, ), (, ) en (, ). Maar e grafiek ij e formule = gaat oor e punten (, ), (, ) en (, ). Hoofstuk - Veranen herkennen = O = 7 7 = = e De grafiek ij e formule = is eerst stees miner alen, an vrijwel horizontaal oor het punt (, ) en aarna stees sneller stijgen. Maar e grafiek ij e formule = is eerst stees miner stijgen, an vrijwel horizontaal oor het punt (, ) en aarna stees sneller alen. De grafiek ij e formule = gaat oor e punten (, ), (, ) en (, ). Maar e grafiek ij e formule = gaat oor e punten (, ), (, ) en (, ). Grafiek hoort ij e formule =,, grafiek hoort ij e formule =, grafiek hoort ij e formule = en grafiek hoort ij e formule =. a Na twee seonen heeft e steen een afstan van = = meter afgeleg. De steen is an op een hoogte van = meter. Op tijstip t = heeft e steen een afstan van = = meter afgeleg. Op tijstip t = valt e steen op e gron. a De inhou van een ol met een straal van m is, 79 m. De inhou van een ol met een straal van m is, 79 99 m. Dat is ongeveer m, us at klopt. De inhou van e aarol is, 79, 9 km. De inhou van e aarol is meer an km.
a a a Bij een winsnelhei van meter per seone levert e winmolen een vermogen van, 7 = 9, Watt. Als e winsnelhei meter per seone is, levert e winmolen een vermogen van, 7 = 9 Watt. In seone meter is in seone 7 meter. Dus meter per seone is 7 km per uur. Bij winsnelheen hoger an meter per seone, us hoger an 7 km per uur, zet men e winmolen stil om shae oor te har waaien te voorkomen. - Wortelformules a in kilometers 7 9 h in meters De grafiek van eze formule is stijgen. Dat gaat stees langzamer. e Bijvooreel voor h = gelt a, en voor h = gelt a,. En, is niet vier keer zo groot als,. f Als je vier keer zo hoog staat, an kun je twee keer zo ver kijken. h 7 9 a,, 9,7,, 7,9,,,, De wortel uit een negatief getal estaat niet. 9 7 = + = = O 7 9 Hoofstuk - Veranen herkennen 9
De grafiek ij e formule = lijkt overal oner e grafiek ij e formule = te liggen, maar voor = is at niet het geval. Zie e tekening oneraan e vorige lazije. e Ja, e grafiek ij e formule = + ligt overal oven e grafiek ij e formule =. Je kunt at ook zien aan e in e eerste formule. De grafiek aarij ligt overal preies hoger an e anere grafiek. a De wortel uit een negatief getal, in it geval, estaat niet. Het kleinste getal at je in eze formule kunt invullen is =. De oörinaten van het ijehorene punt op e grafiek zijn (, ). = O De formule heeft uitkomsten als groter an of gelijk aan is. 7a Hij is waarshijnlijk e haakjes vergeten, want an vint hij = 9 + = + =. Het ranpunt ij e formule = + is (, ), het ranpunt ij e formule Hoofstuk - Veranen herkennen 7 9,,7,,,, = + is (, ), het ranpunt ij e formule = + is (, ) en het ranpunt ij e formule = + is (, ). = + O 9 7 = + = + = + De grafieken ij e formules = + en = + heen ezelfe vorm, maar e eerste egint in het punt (, ) en e tweee in het punt (, ). De grafiek ij e formule = + is rie keer zo hoog als e grafiek ij e formule = +. De grafieken ij e formules = + en = + heen niet ezelfe vorm, maar eginnen eie in het punt (, ).
a 9 = = De uitkomsten ij e formules = en = zijn telkens hetzelfe. 9a Er gelt, en, 9. Ja, is groter an. = = = 7 = = = 7 Omat 7 groter is an 7 is het grootst. Ja, het antwoor ij opraht klopt met het antwoor ij opraht a. a 7 = 7 = 9 = 9 = = = = = = e = = = 7 = 7 = 9 7 = f = = = 7 Op volgore van klein naar groot is het,,, 7, en 7. a = = = = 9 = = = = 9 = 9 = e = = = f = = = = a = = = en = = =, us is het grootst. ( ) = = = = = 9 en ( ) = = =, us ( ) is het grootst. = = = 7 en 7 = 9 7 =, us is het grootst. ( ) 7 = 7 = 7 = 7 = en = = =, us ( ) 7 is het grootst.,,,, Hoofstuk - Veranen herkennen
a a Hoofstuk - Veranen herkennen - Taellen en veranen Bij grafiek hoort een kwaratish veran, ij grafiek hoort een wortelveran, ij grafiek hoort een eponentieel veran, ij grafiek hoort een lineair veran en ij grafiek hoort een omgekeer evenreig veran. Bij grafiek hoort e tael hieroner. Bij eze tael kun je het soort veran niet herkennen. Bij grafiek hoort e tael hieroner. Bij eze tael kun je het soort veran niet herkennen. Bij grafiek hoort e tael hieroner. Bij eze tael kun je het soort veran wel herkennen, want e getallen in e onerste rij woren telkens met vermenigvulig. Bij grafiek hoort e tael hieroner. 9 7 Bij eze tael kun je het soort veran wel herkennen, want e getallen in e onerste rij woren telkens miner. Bij grafiek hoort e tael hieroner. Bij eze tael kun je het soort veran wel herkennen, want het prout van e getallen ie oven elkaar staan in e tael is stees. Bij tael A gaat het niet om een lineair, een omgekeer evenreig of een eponentieel veran. Bij tael B gaat het om een lineair veran, want e toename in e onerste rij is telkens. Bij tael C gaat het om een omgekeer evenreig veran, want het prout van e getallen ie oven elkaar staan is telkens 9. Bij tael D gaat het om een eponentieel veran, want e getallen in e onerste rij woren telkens met, vermenigvulig. B 9 7 C D 9,,,,, 7,
a Bij tael B hoort e formule = +, ij tael C hoort e formule = 9 of = 9 of = 9 en ij tael D hoort e formule =,,. w in miljoenen euro s A B t in jaren Bij erijf A stijgt e winst lineair. a De zijen van een vierkant met een oppervlakte van m zijn = m. De zijen van een vierkant met een oppervlakte van m zijn, m. 7a Tussen e oppervlakte van een vierkant en e lengte van e zijen estaat een wortelveran. e Een formule waarmee je e lengte van e zijen kunt erekenen is L = A. f Een formule waarmee je e oppervlakte van een vierkant kunt erekenen is A = L. a oppervlakte vierkant A in m lengte van e zijen L in m,,, 9, 9 9 + + + + + + + + + De toenamen woren stees groter. 7 + + + + + + + + + Ja, e toenamen woren nu stees groter. 9 + + 7 + 9 + 7 + + + + + De toenamen woren ahtereenvolgens,,,, enzovoort groter. Hoofstuk - Veranen herkennen
+ + + + 7 + + + + + Ja, e toenamen woren ahtereenvolgens,,,, enzovoort groter. - Gemenge oprahten 9a Op een iepte van meter is e temperatuur +, = graen Celsius. T = +, Voor ie mijn gelt T = +, met e uitentemperatuur. Invullen van = en T = geeft = +, oftewel = +, us =. Bij ie mijn is e uitentemperatuur graen Celsius. a Bij tael B hoort een lineair veran, want e toename in e onerste rij is telkens. Bij tael A hoort een omgekeer evenreig veran, want het prout van en is telkens. Bij tael D hoort een eponentieel veran, want e getallen in e onerste rij woren telkens met vermenigvulig. Bij tael F hoort een wortelveran, ij tael E hoort een kwaratish veran en ij tael C hoort een eremahts veran. Bij tael A hoort e formule = of = of =, ij tael B hoort e formule = +, ij tael C hoort e formule =, ij tael D hoort e formule =, ij tael E hoort e formule = en ij tael F hoort e a Hoofstuk - Veranen herkennen formule = +. Bij formule A hoort een wortelveran, ij formule B hoort een kwaratish veran, ij formule C hoort een mahtsveran, ij formule D hoort een eponentieel veran, ij formule E hoort een lineair veran en ij formule F hoort een omgekeer evenreig veran. O = + = +
a a De oörinaten van at punt zijn (, ). Invullen van = geeft = + 7 = 9 =, = + = + =, = = =, = =, = + = en = =. Tussen e weerstan en e oppervlakte van e oorsnee van e raa estaat een omgekeer evenreig veran. Een formule is R =,. A, Invullen van A = geeft R = =. De weerstan van e raa is Ohm. e fi I-a p in proenten 7 9 h in m Tussen h en p estaat een omgekeer evenreig veran. Een formule ij het veran tussen h en p is p =. h Je kunt e formule geruiken voor waaren van h ie tussen e m en e 9 m liggen. h = h = h = h = De hoogte oven e gronwaterstan moet tussen e m en e m liggen. De wortels van eze planten moeten tussen e 9 = m en e 9 = m in e gron gestopt woren. ICT Geroken funties lengte l in m reete in m reete in m 9 7 7 9 lengte l in m Hoofstuk - Veranen herkennen
De lengte en e reete van eze rehthoek zijn omgekeer evenreig want e lengte keer e reete moet zijn. Als e reete heel groot wort, an naert e lengte van eze rehthoek naar. I-a e Omat l =, gelt =. l Volgens e grafiek is haar gemiele snelhei km per uur. Hij moet an met een gemiele snelhei van km per uur rennen. Als je km per uur rijt oe je, uur over ie afstan. Je moet e formule = kiezen, want e tij en e snelhei zijn omgekeer evenreig. De formule v = geeft het veran tussen v en t. t I-a Als = an is =. Als =, an is =. Als =, an is =. Als =, an is =. I-a Hoofstuk - Veranen herkennen Bij e grafiek hoort e formule =. e Invullen van = geeft =, maar je kunt niet elen oor. f Voor negatieve waaren van krijg je net zo n grafiek, maar met allemaal negatieve uitkomsten.,,9,, kan niet De formule heeft geen uitkomst voor =. Als heel iht ij in e uurt komt, an woren e uitkomsten heel erg groot of heel erg klein. Invullen van = geeft =, en invullen van = geeft =,. e O = 7
I-a De formule heeft geen uitkomst voor =. Als grote positieve waaren aanneemt, an naeren e uitkomsten naar. Als grote negatieve waaren aanneemt, an naeren e uitkomsten ook naar. e O = 7 9 I-a De grafiek is geteken voor a =. De grafiek ij een negatief getal is gespiegel ten opzihte van e -as of e -as. I-7a De grafiek van = is e gespiegele grafiek van = ten opzihte van e -as of e -as. De formule = hoort ij tael A. De formule = hoort ij tael B, e formule =, hoort ij tael C, e formule =, hoort ij tael D, e formule = hoort ij tael E en e formule = hoort ij tael F. I- Arie maakt e fout te enken at ij ieere formule ie als reuk geshreven is een I-9a,9, kan niet, hperool als grafiek hoort. De grafiek is een rehte lijn, want = kun je ook shrijven als = oftewel als =. Op het moment at het likje in e koelkast wort gezet is e temperatuur van het likje C. Na 7 minuten is e temperatuur C. Op en uur wort e temperatuur van e ola C. Dat etekent at e grafiek een asmptoot heeft. Bij e nieuwe situatie past e formule temperatuur = + tij +. Hoofstuk - Veranen herkennen 7
T-a T-a /e T-a Test jezelf De variaelen en zijn reht evenreig. Een formule ij e tael is =. De variaelen a en zijn omgekeer evenreig. De formules aarij zijn a =, a = en =. a De variaelen en zijn geen van eie. Een formule ij e tael is = +. De variaelen en zijn omgekeer evenreig. De formules aarij zijn =, = en =. De formule heeft geen uitkomst voor =. Als heel iht ij in e uurt komt woren e uitkomsten heel erg groot positief of heel erg groot negatief. Hoofstuk - Veranen herkennen O 7 = Bij grafiek hoort formule A, ij grafiek hoort formule D en ij grafiek hoort formule C. = O kan niet
T-a T-a Voor geeft e formule uitkomsten. 9 7 O = 7 9 De oörinaten van het ranpunt zijn (, ). Invullen van = geeft = = = = 9 =. 7 9,,,7 7, 7,9, 9 Bij formule A hoort een wortelveran, ij formule B hoort een kwaratish veran, ij formule C hoort een omgekeer evenreig veran, ij formule D hoort een lineair veran, ij formule E hoort een eponentieel veran en ij formule F hoort een hperolish veran. Bij e formule = hoort e volgene tael., kan niet, Bij e formule = hoort e volgene tael. In e tael ij e formule = is het prout van en telkens. In e tael ij e formule = woren e getallen in e onerste rij telkens met vermenigvulig. O = = e Invullen van = geeft = =, en = ( ) = = en invullen van = geeft = =, 7 en = = =. Nee, at klopt niet. Hoofstuk - Veranen herkennen 9
T-a Voor één zijvlak heeft ze = m noig. Een kuus heeft zes zijvlakken. Om e hele kuus te maken heeft ze = m karton noig. De oppervlakte van één zijvlak is r en een kuus heeft zes zijvlakken. Voor e oppervlakte A gelt an e formule A = r. I = r De oppervlakte is, = 97, 7 m en e inhou is, =, 7 m. T-7a Er gelt 7 = 7 = 9 = 9, 7 = 7 = 9 7 =, Hoofstuk - Veranen herkennen = = = en = = = 7. De wortelvormen en en e wortelvormen 7 en zijn gelijk. Op volgore van klein naar groot krijg je, 7, en 7.