Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen uit vorige examens 2001 Augustus Vraag 4 (ook 2007 Vraag 4) Als x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3, dan is p.(q+r) gelijk aan A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 2002 Juli Vraag 2 Als 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, dan is p+q+r gelijk aan: A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2008 Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? A. -2/3 B. 2/3 C. -3/2 D. 3/2 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2
2010 Augustus Vraag 8 als x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x2 x+2. Waaraan is p q dan gelijk? A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 2011 Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: f(x)=x 4 19x 2 +48 Van deze veeltermfunctie is geweten dat ze x=4 en x=-4 als nulpunten heeft. De veeltermfunctie is dan deelbaar door: A. x²-3 B. x²+3 C. x²+4 D. x²-4 2011 Augustus Vraag 9 versie 1 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x. Men weet dat deze functie slechts een nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter A hebben? A. -6>a>6 B. -6<a<6 C. - 6<a< 6 D. a=-3 en a=+3 2011 Augustus Vraag 9 versie 2 We beschouwen de volgende 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18. Men weet dat deze functie slechts 1 nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter a dan hebben A. a=0 B. a=-3 en a=+3 C. a=-6 en a=+6 D. a=-12 en a=+12 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
2012 Juli Vraag 3 Gegeven de volgende gelijkheid: = + Hoeveel bedraagt de som (p+q) A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 2012 Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: 4 + 8 6 + 1 = + 1 + + 2 + 1 Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 2012 Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: 6 + 6 + 1 = + 1 + + 2 + 1 Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q A. -6 B. 0 C. 6 D. 10 2012 Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: 6 6 + 1 = + 1 + 2 + 1 Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
A. -6 B. 0 C. 6 D. 10 2013 - Juli Vraag 10 We beschouwen drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2013 - Augustus Vraag 10 We beschouwen de volgende drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? A. m = 0 B. m =1 C. m = 2 D. m = 3 2014 Juli Vraag 1 De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling vabn veelterm A(x) door (x-3) is 10. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 A. 20 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
B. 2x + 4 C. 2x + 10 D. -2x + 10 2014 Augustus Vraag 1 versie 1 De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? A. -6 B. -4 C. -5 D. -3 2014 Augustus Vraag 1 versie 2 De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? A. -6 B. -4 C. -5 D. -3 2014 Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? A. 0 B. 1 C. 2 D. Meer dan 2 2015 - Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als: A. a ϵ R B. a -1 C. a 1 D. a ϵ ]-1;1[ dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
3. Oplossingen oefeningen 2001 Augustus Vraag 4 (ook opgave van 2007 augustus) Gegeven: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r is deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3 Gevraagd: p.(q+r) =? Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: F(x) = quotiënt. g(x) waarbij het quotiënt = (x+a) Dus: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = (x+a)( x 3 + 3x 2 + 9x + 3) Werk het rechterlid uit: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 + 3x 3 + 9x 2 + 3x + ax 3 +3ax 2 + 9ax + 3a x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 +(3+a)x 3 + (9+3a)x 2 + (3+9a)x + 3a Vergelijk nu de beide leden (let op de kleurtjes): 4 = 3+a a =1 6p = 9+3a p =2 4q = 9+3a q =3 r = 3a r = 3 Dus dan is p(q+r) = 2(3+3) =12 Antwoord A Je kan dit ook oplossen door een staartdeling uit te voeren en de rest dan gelijk te stellen aan 0 2002 Juli Vraag 2 Gegevens: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, Gevraagd: p+q+r =? Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8
F(x) = quotiënt. g(x) en neem voor het quotiënt = (2x+a) want als je (x+a) neemt kan je nooit aan 8x 4 komen. Dus 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = (2x+a)( 4x 3 +7x 2 21x 18) Werk het rechterlid uit: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x 4 + 14x 3-42x 2 36x + 4ax 3 +7ax 2-21ax-18a 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x 4 + (14+4a)x 3 + (7a-42)x 2 = (-21a+36)x -18a Coëfficiënten gelijk stellen 14 + 4a = 10 a = -1 7a-42 = -7p p = 7-18a = 9r r = 2-21a-36 = -5q q = 3 P+q+r = 7+3+2 = 12 Antwoord A 2008 - Augustus Vraag 10 Gegeven: de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Gevraagd: Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? a.(2) 2 + a.2 + 4 = 0 4a + 2a = -4 a = -4/6 a = -2/3 Antwoord A 2010 Augustus Vraag 8 Gegeven: x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x 2 x+2. Gevra agd: p q =? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 9
x 3 +px 2 qx 4 = (x+a) (x2 x+2) x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +ax 2 x 2 +2x +2a ax x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +(a-1)x 2 +(2-a)x +2a Coëfficiënten gelijk stellen: a-1 = p 2-a = q 2a = -4 a = -2 Dus: p = -3 en q = -4 p-q = 1 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 4 Gegeven: veeltermfunctie f(x)=x 4 19x 2 +48 heeftx=4 en x=-4 als nulpunten Gevraagd: veeltermfunctie is deelbaar door? (x 4 19x 2 +48) =? (x+4)(x-4) Via Horner: 1 0-19 0 48-4 -4 16 12-48 1-4 3 12 0 Dus: (x 4 19x 2 +48) = (x+4) (x 3-4x 2-3x+12) Opnieuw Horner op de laatste factor: 1-4 -3 12 4 4 0-12 (x 2-3) 1 0-3 0 Antwoord A 2011 Augustus Vraag 9 versie 1 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 10
Gegeven: veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x, die slechts één nulpunt heeft. Gevraagd waard van parameter a? = x 3 +ax 2 +9x = x(x 2 +ax+9) Nulpunten: x = o of (x 2 +ax+9) = 0 Maar slechts één nulpunt nl x =0, dus dan mag (x 2 +ax+9) geen nulpunt hebben. Dat is het geval als discriminant negatief is: dus als a 2 36 < 0 of a 2 <36-6<a<6 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 9 versie 2 Gegeven: 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18 heeft slechts 1 nulpunt heeft. Gevraagd: waarde van parameter a De functie 2x 2 +ax+18 heeft één nulpunt als discriminant gelijk is aan 0 Dus als a 2 4.2.18 = 0 a 2 =144 of a = 12 en a=-12 Antwoord D 2012 Juli Vraag 3 Gegeven: = + Gevraagd: Hoeveel bedraagt de som (p+q) = + Zet op gelijke noemers: = 2x 2 +3x=p(x 2 +2x+1)+qx+2q 2x 2 +3x=px 2 +2px+p+qx+2q dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 11
2x 2 +3x=px 2 +(2p+q)x+p+2q Stel de coëfficiënten gelijk: p = 2 2p+q = 3 q=-1 P+2q = 0 q=-1 P+q = 2-1 =1 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven: = + Gevraagd: p.q + q? Zet rechterlid op gelijke noemer: = = Stel coëfficiënten gelijk aancoëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = -6 -p+q+2 = 8 p+2 = -4 p = -6 Dus p+q = -6 wordt: -6 + q = -6 q = 0 p.q + q = -6.0 + 0 = 0 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven = + Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemers: = = dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 12
Stel de coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = 6 -p+q+2 = 0 P+2 = 6 0 = 4 Dus p+q + 6 4 + q = 6 q =2 En p+q+2 = 0 of -4 +2 +2 = 0 Dus p.q + q = 4.2 +2 = 10 Antwoord D 2012 Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven: = + Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemer: = = Stel coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p + q = -6 -p + q -2 = 0 p 2 = -6 p = -4 Dan wordt p + q = -6-4 + q = -6 q = -2 Test: -p + q -2 = 0 4-2 -2 = 0 p.q + q = 6 Antwoord C 2013 - Juli Vraag 10 Gegeven: drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 13
Gevraagd: Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? Bepaal het snijpunt van de eerste twee rechten y = -x +3 = 2x - 3 --> x = 2. dus y = -2 +3 of y = 2.2-3 = 1 Vul dit punt in in de derde vergelijking om m te vinden: y - mx =5 --> 1 - m.2 = 5 dus m = -2 Antwoord D 2013 - Augustus Vraag 10 Gegeven: drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Gevraagd: Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? Bepaal het snijpunt van de eeste twee rechten: y = = (23-2x).5 = (-4x-11)(-7) 115-10x = 28x +77 38 = 38x --> x =1 Bepaal y: (23-2)/-7 = (-4-11)/5 = -3 Vul nu de waarde van x en y in in de derde vergelijking om m te vinden: m.x + y = 2.m - 3 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 14
m.1-3 = 2.m -3 m =0 Antwoord A 2014 Juli Vraag 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x-3) is 10. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x+1 met regel van Horner: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 15
a b c -1 -a -b+a a b-a c-b+a Deze rest: c-b+a = 2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-3 met regel van Horner: a b c 3 3a 3b+9a a b+3a c+3b+9a Deze rest: c+3b+9a = 10 (gegeven) We vinden nu twee vergelijkingen: c b + a = 2 c + 3b + 9a = 10 Door de eerste vergelijking af te trekken van de eerste kunnen we c elimineren: 4b +8a = 8 of b+2a = 2 Door de eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen en daarna op te tellen bij de tweede kunnen we b elimineren: 4c +12a = 16 of c+3a =4 We delen de veelterm nu door x 2-2x -3 : ax 2 + bx +c x 2 2x -3 ax 2 2ax -3a a (b+2a)x +(c+3a) We weten al dat b+2a = 2 en c+3a = 4; dus vinden we als rest: 2x + 4 Antwoord B 2014 Augustus Vraag 1 versie 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 16
Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-1 met regel van Horner: a b c 1 a b+a a b+a c+b+a Deze rest: c+b+a = -2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: ax 2 + bx +c x 2 1 ax 2 -a a bx +(a+c) bx + (a+c) = 2x -4 (gegeven) b = 2 a + c = -4 a + b + c =-2 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 2 + bx +c x +1 ax 2 + ax ax + (b-a) (b-a)x + c (b-a)x + b-a a+c-b De rest is dus a+c-b. Invullen met waarden: a+ c = 4 en b = 2 geeft: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 1 versie 2 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 17
ax 3 + bx 2 + cx +d x 2 1 ax 3 -ax ax + b bx 2 bx 2 +(c+a)x + d - b (c+a)x + (b+d) (c+a)x + (b+d) = 2x 4 (gegeven) c + a = 2 b + d =-4 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 3 + bx 2 + cx +d x+1 ax 3 + ax 2 ax 2 + (b-a)x + (c+a-b) (b-a)x 2 +cx + d (b-a)x 2 + (b-a)x (c+a-b)x +d (c+a-b)x + c+a-b d+b-(c+a) De rest is dus d + b (c+a). Invullen met waarden: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Gevraagd: Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? mx + 1/3 = -x 2 + x + 2 x 2 + (m - 1)x + 1/3 2 = 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 18
x 2 + (m - 1)x -5/3 = 0 Voor raakpunten is discriminant = 0 (m-1) 2 4.(-5/3) = 0 (m-1) 2 = - 20/3 Geen enkele waarde van m voldoet want een negatief getal kan nooit een kwadraat zijn. Antwoord A 2015 - Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als? x + ay = 2 ax + y = a - 1 ax + a 2 y = 2a (beide leden vermenigvuldigd met a) ax + y = a - 1 De vergelijkingen van elkaar aftrekken zodat 'ax' wegvalt: a 2 y - y = 2a - (a-1) a 2 y - y = 2a - (a-1) (a 2-1)y = a + 1 y = = = 1/a-1 De noemer mag niet nul zijn, dus a 1 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 19