TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bij ieder onderdeel van een open vraag dient U uw antwoord dus goed te beargumenteren. De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alléén de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld. Bij een kort-antwoord vraag is een nadere uitwerking dus niet nodig. Het vel met kort-antwoord vragen dient U aan het einde van het tentamen in het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam, identiteitsnummer en studierichting. Bij dit tentamen mag U alleen gebruik maken van schrijf- en tekengerei, alsmede van een eenvoudige niet-grafische en niet-programmeerbare rekenmachine. Het gebruik van enig ander hulpmiddel is niet toegestaan. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Opgave 1a: punten Opgave 4a: 5 punten Opgave 7: punten Opgave 1b: punten Opgave 4b: punten Opgave 1c: punten Opgave 8a: punten Opgave 1d: punten Opgave 5a: punten Opgave 8b: punten Opgave 5b: punten Opgave a: 4 punten Opgave 5c: punten Opgave 9: punten Opgave b: punten Opgave c: punten Opgave 6a: punten Opgave 1: punten Opgave d: punten Opgave 6b: punten Opgave 6c: punten Opgave a: punten Opgave b: punten Uw tentamenresultaat wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door zes te delen en af te ronden naar het dichtstbijzijnde gehele getal tussen 1 en 1. 1
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Open vragen 1. In IR zijn de punten P = (,,1) T, Q = (1,,) T en R = (,,) T gegeven. Zij V het vlak door de punten P, Q en R. (a) Bepaal een vergelijking van het vlak V. Zij S het punt (1,,) T, en zij l de lijn door S, loodrecht op het vlak V. (b) Bepaal een parametervoorstelling van de lijn l. (c) Bepaal het snijpunt T van l en V. (d) Bepaal de afstand van het punt S tot het punt T.. Gegeven zijn de volgende matrix A en vector b: A = 1 7 1 1 5 1 1 1 4, b = 1 4. (a) Bepaal de algemene oplossing van de vergelijking Ax = b. (b) Geef een basis voor N(A), de nulruimte van A. Zij V de verzameling van alle vectoren c IR 4 met de eigenschap dat het bijbehorende stelsel Ax = c oplosbaar is. (c) Laat zien dat V een deelruimte is van IR 4. (d) Bepaal een basis van V. zie volgende pagina
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni. In deze opgave is het de bedoeling om het model y = α + βx door een geschikte keuze van de parameters α en β zo goed mogelijk aan te passen aan de volgende meetwaarden x 1 4 y 7 5 5 1 (a) Bepaal aan de hand van de meetgegevens ( ) het stelsel lineaire vergelijkingen (in α matrix-notatie), waaraan de vector van parameters volgens het model zou β moeten voldoen. ( ) α (b) Bepaal de normaalvergelijking voor de kleinste-kwadratenbenadering van, en β los deze op. 4. Zij S = {v 1,v,v } en T = {w 1,w,w } geordende bases van de vectorruimte IR. Verder is gegeven dat w 1 =, w = 1, w = 1, en dat de overgangsmatrix van T naar S gegeven wordt door 1 1 P S T = 1 1. 1 1 1 (a) Bepaal de vectoren v 1, v, v. Zij u IR met coördinaten [u] S = (,1,) ten opzichte van basis S. (b) Bepaal de coördinaten [u] T van u ten opzichte van basis T. z.o.z.
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni 5. Beschouw in IR 4 de deelruimte S gegeven door S = {(x 1,x,x,x 4 ) T IR 4 x 1 + x x + x 4 = }. Zij u 1 = (1,,1,) T en u = (, 1,,) T. (a) Laat zien dat u 1 en u beide in S liggen, en loodrecht op elkaar staan. (b) Bepaal een orthogonale basis van S die de vectoren u 1 en u bevat. (c) Bepaal de loodrechte projectie van de vector (,8,4,6) T op S. 6. Gegeven is de matrix A = (a) Bepaal alle eigenwaarden van A.. (b) Bepaal bij iedere eigenwaarde van A de bijbehorende eigenruimte. (c) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem ẋ = Ax, met x() =. 6 zie volgende pagina 4
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Naam en voorletters:... Identiteitsnummer:... Studierichting:... Kort-antwoord vragen 7. Gegeven is de matrix A = 5 5 7. Bereken det(a). 5 7 1 8. Zij A een reële 5 7 matrix, en veronderstel dat de dimensie van de nulruimte van A gelijk is aan. (a) Bepaal de rang van A. (b) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A T. 9. Zij A een reële matrix met eigenwaarden 1,, en. De matrix B is gedefinieerd door B = A A + 4I. Bepaal det(b). 1. Bepaal de algemene oplossing van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking y + 8y + y = 1. 5