Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele getallen =,-3,-2,-1,0,1,2,3,.. (3) Q = Rationale getallen (breuken) = Z en ½, -1 ¾, etc (4) R = Reële getallen = Q en 7,π, - 328, etc (5) C = Complexe getallen = R en alles van de vorm a+bi Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi met i 2 = -1!!!!! Voorbeelden zijn 3+4i, 10-2i, maar ook -3i (=0-3i) of 4 (=4 + 0i) Stappenplan kwadraat afsplitsen (i) Schrijf (x+ ½b) 2 uit. (ii) Vul dit in de opgave in en los de vergelijking op. Los de vergelijking x 2 + 8x 20 = 0 op met kwadraat afsplitsen. (i) (x+4) 2 = x 2 + 8x +16 (ii) Vul in en los de vergelijking op. x 2 + 8x 20 = 0 x 2 + 8x + 16 36 = 0 (x+4) 2 36 = 0 (x+4) 2 = 36 x+4 = 6 v x+4 = -6 x = 2 v x = -10

2 Voorbeeld 2 Los de vergelijkingen op. Maak gebruik van i 2 = -1 a. x 2 + 4x +9 = 0 b. x 2 5x 16¼ = 0 Oplossing 2 a. Eerst het kwadraat afsplitsen : (i) (x+2) 2 = x 2 +4x + 4 (ii) x 2 +4x + 9 = 0 x 2 +4x + 4 + 5 = 0 (x+2) 2 + 5 = 0 (x+2) 2 = -5 = 5i 2 (!!!!) x+2= (5) i v x+2= - (5) i x = -2 + (5) i v x = -2 - (5) i b. (i) (x-2½) 2 = x 2-5x + 6¼ (ii) x 2 5x 20 = 0 x 2 5x + 6¼ + 10 = 0 (x 2½) 2 + 10 = 0 (x 2½) 2 = 10 =10i 2 x 2½= 10ii v x 2½= 10ii x = 2 1 + 10ii v x = 2 1 10ii 2 2

3 Les 2 : Rekenen met complexe getallen Definitie Als z = a + bi, dan is z = { geconjungeerde van z } = a - bi Er zijn vier bewerkingen die we uitleggen aan de hand van een voorbeeld. (1) Plus (3 + 4i) + (5 + 7i) = 8 + 11i (2) Min (3 + 4i) (5 + 7i) = 2 3i (3) Keer (3 + 4i) (5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28ii 2 = 15 + 41i 28 = 13 + 41i 2 3 + 4i 3 + 4i 5 7i 15 21i + 20i 28i 15 1i + 28 43 i 43 1 (4) Delen = = = = = 74 74 i 2 5 + 7i 5 + 7i 5 7i 25 49i 25 + 49 74

4 Les 4 Het complexe vlak Gegeven is het complexe getal z = 1 + 2i. Een aantal begrippen / definities : (1) z = {Modulus van z} = 2 2 2 2 Voorbeeld : a + b = 1 + 2 = 5 (2) Re (z) = a en Im (z) = b Voorbeeld : Re (1 + 2i) = 1 en Im (1 + 2i) = 2 (3) Tekenen van z = 1 + 2i 2 2 a + b = { Lengte van de vector / straal van de cirkel } 2i 1 (4) Arg (z) = { Het argument van z } = { Hoek met de positieve x-as } Voorbeeld : Arg (1 + i) = 45 want tan α = 1 dus α=45 1 Teken de volgende figuren a. Im (z) = 3 b. Im(z) + Re (z) = 4 c. z = 2 d. z 1 2i = 3 e. 45 Arg 90

5 a. Im (z) = 3 y = 3 b. Im(z) + Re (z) = 4 x + y = 4 y = 4 - x c. z = 2 2 2 2 2 2 a (dit is een cirkel met straal 2) + b = 2 a + b = 2 d. z 1 2i = 3 middelpunt 1 + 2i) 2 2 2 2 2 a b (dit is een cirkel met straal 3 en + = 3 a + b = 3 e. 45 Arg 90 (hoek tussen 45 en 90 graden) a. 3i b. 4i 4 c. d. e.

6 Les 6 Poolcoördinaten Theorie complexe getallen Er geldt : sin(θθ) = yy cccccccccccccccccccc rr Zo ook : cos(θθ) = xx cccccccccccccccccccc rr dddddd yy = rr sin(θθ) dddddd xx = rr cos(θθ) In het complexe vlak : zz = xx + iiii = rr cos(θθ) + iiii sin(θθ) = rr(cos(θθ) + ii sin(θθ)) Je kunt ze als volgt berekenen (1) rr = xx 2 + yy 2 (2) tan(θθ) = yy xx (en let op kwadrant en -180 θθ 180) Schrijf als poolcoördinaat : a. z = 1 + i b. z = 1 3 i c. z = -3 + 2i

7 a. rr = 1 2 + 1 2 = 2 tan(θθ) = 1 θθ = 45 1 Dus zz = xx + iiii = 2(cos(45) + ii sin(45)) b. rr = 1 2 + ( 3) 2 = 2 tan(θθ) = 3 θθ = 60 1 Dus zz = xx + iiii = 2(cos( 60) + ii sin( 60)) c. rr = ( 3) 2 + 2 2 = 11 Je kunt nu ook met de knop Angle werken. Dit gaat als volgt : Mode Real a+bi Catalog (2nd 0) Angle (-3+2i) = 146 θθ = 146 Dus zz = xx + iiii = 2(cos(146) + ii sin(146))

8 Les 7 Formules voor Poolcoördinaten (De Moivre) Regels van De Moivre Er gelden een aantal formules : (1) zz 1 zz 2 = zz 1 zz 2 (Stralen van de losse delen mag je x doen) (2) zz 1 = zz 1 zz 2 zz 2 (Stralen mag je delen) (3) AAAAAA(zz 1 zz 2 ) = AAAAAA(zz 1 ) + AAAAAA(zz 2 ) (Hoeken bij elkaar optellen bij keer) (4) AAAAAA zz 1 zz 2 = AAAAAA(zz 1 ) AAAAAA(zz 2 ) Bewijs zz 1 zz 2 op het bord uitschrijven?! (Hoeken van elkaar aftrekken bij deel) Geef de modulus (=r) en het Argument (=θθ) van a. zz = (3 + ii)(3 4ii) b. zz = 3+ii 3 4ii c. zz = (1 + 2ii)( 5 12ii) a. z1 = 3+i rr = (3) 2 + 1 2 = 10 Angle(3+i) = 18 z2 = 3-4i rr = (3) 2 + ( 4) 2 = 5 z = z1 z2 rr = 5 10 b. z = z1 / z2 rr = 10 5 c. Probeer zelf Opmerking Angle(3-4i) = -53 Angle= 18 + -53 = -35 Angle= 18 - -53 = 71 Je kunt controleren door bij a. de vermenigvuldiging uit te voeren : zz = (3 + ii)(3 4ii) = 9 12ii + 3ii 4ii 2 = 13 9ii Dit geeft rr = 5 10 Angle= 18 + -53 = -35

9 Formule van de Moivre : zz nn = (rr(cos(θθ) + ii sin(θθ)) nn = rr nn (cos(nnnn) + ii sin(nnnn)) Bereken a. (3+i) 5 b. (3-4i) 4 a. z1 = 3+i rr = (3) 2 + 1 2 = 10 Angle(3+i) = 18 (3+i) 5 rr 5 = 10 5 = 100 10 Angle = 5 18 = 90 b. z2 = 3-4i rr = (3) 2 + ( 4) 2 = 5 Angle(3-4i) = -53 (3-4i) 4 rr 4 = 5 4 = 625 Angle = 4-53 = -212

10 Les 8 Complexe machtsvergelijkingen oplossen Stappenplan voor Complexe 3 e (4 e) graads vergelijkingen oplossen (1) Schrijf het getal rechts als poolcoördinaat. (2) Schrijf 3 (4) verschillende oplossingen op die een hoek van 360 graden verschillen. (3) Gebruik de Moivre om de 3 (4) vergelijkingen op te lossen. Los op a. z 3 = 4i b. (z-1) 2 = -25 a. (1) z 3 = 4i = 2(cos(90) + ii sin(90)) (2) De drie oplossingen zijn o z 3 = 2(cos(90) + ii sin(90)) o z 3 = 2(cos(450) + ii sin(450)) (+360) o z 3 = 2(cos(810) + ii sin(810)) (+360) (3) De echte oplossingen zijn 3 o z = 2(cos(30) + ii sin(30)) 3 o z = 2(cos(150) + ii sin(150)) 3 3 o z = 2(cos(270) + ii sin(270)) = 0 2 ii b. (1) (z-1) 2 = -25 pp 2 = 5(cos(180) + ii sin(180)) (2) De drie oplossingen zijn o p 2 = 5(cos(180) + ii sin(180)) o p 2 = 5(cos(540) + ii sin(540)) (+360) (3) De echte oplossingen voor p zijn o p = 5(cos(90) + ii sin(90)) = 0 + 5ii = 5ii o p = 5 cos(270) + iiiiiiii(270) = 0 5i = 5ii (+360) Dus z = 1+5i of z = 1-5i

11 Les 9 Het Complexe vlak Gegeven is het vlak met domein 1 Re(z) 3 en 1 Im(z) 2 a. Teken dit vlak van z. Het vlak z wordt door Jan gedraaid volgens de formule f(z) = (1+i)z met bovengenoemde domein. b. Bepaal het bereik. c. Teken het bereik in dezelfde tekening. Hoe is het bereik ontstaan uit het domein. Het vlak z wordt door Kees behandeld volgens de formule f(z) = 4 + 2i - z met bovengenoemde domein. d. Teken het bereik van deze functie in een nieuwe tekening. e. Bepaal het nulpunt bij oneindig domein. f. Bepaal het dekpunt bij oneindig domein. a. 2 1 1 3 b. z1 = 1+i rr = (1) 2 + 1 2 = 2 Angle(1+i) = 45 Van de vector (0,ieder hoekpunt) wordt met 2 vermenigvuldigd en gedraaid over 45. Dus : (1,1) r = 2 2 = 2 en hoek was 45 en wordt 45 + 45 = 90 (0,2) (3,1) r = 10 2 = 20 en hoek was 18 en wordt 18 + 45 = 63 (3,2) r = 13 2 = 26 en hoek was 34 en wordt 34 + 45 = 79 (1,2) r = 5 2 = 10 en hoek was 63 en wordt 63 + 45 = 108 c. Je kunt dit doen door vanuit ieder hoekpunt 45 graden verder te tekenen met de goede straal!!

12 d. 4 3 5 Opmerking : 4 hoger en 2i hoger. e. Nulpunt : 4 + 2i z = 0 z = 4 + 2i f. Dekpunt : 4 + 2i z = z 2z = 4 + 2i z = 2 + i 7