Complexe Analyse. S. Caenepeel. Oefeningen

Transcriptie

1 Complexe Analyse Oefeningen S. Caenepeel Oefeningen bij R-WSK 343 en WE-DWS-545 Complexe Analyse: residurekening en integraaltransformaties Tweede Bachelor ngenieurswetenschappen Tweede Bachelor Fysica 7

2 Reeks Analytische functies Herhaling : rekenen met complexe getallen Oefening. Bereken : a + 3i 5 i b 5 + i 7 6i c + 3i 3 + i Oefening. a Bepaal de derdemachtswortels uit 8i. b Bepaal de vierdemachtswortels uit i. c Bepaal de vierkantswortels uit 6 + 3i. Oefening.3 a Los op in C : z 4 + 4z + 6 =. b Bewijs in C : z n iz n = = z =. c Los op in C : z 4 ( + i 3)z i 3 =. Oefening.4 a Bereken ( + i 3) 8. b Los op : z 4 z cosα + =. c Bereken ( + i). Oefening.5 Druk cos4x en sin4x uit in functie van sinx en cosx door gebruik te maken van de formule van De Moivre. Analytische functies De complexe functie f : V C C : z = x + iy f (z) = u(x,y) + iv(x,y) is differentieerbaar in z o = x o + iy o f (z) f (z o ) lim = f (z o ) bestaat in C z zo z z o u x = v en u y y = v x in (x o,y o )

3 Deze voorwaarden heten de Cauchy-Riemann voorwaarden. Men heeft dan f (z o ) = u x + i v x = v y i u y f heet analytisch in z o f is differentieerbaar in elk punt van een omgeving van z o f (z) = a n (z z o ) n in een omgeving van z o n= n dat geval is a n = f (n) (z o ) n! Herhaal ook de volgende definities (z = x + iy C) e z = e x (cosy + isiny) cosz = eiz + e iz sinz = eiz e iz i chz = ez + e z shz = ez e z Oefening.6 Bewijs dat. sinz = sinxchy + icosxshy. cosz = cosxchy isinxshy 3. shz = shx cosy + ichx siny 4. chz = chxcosy + ishx siny Oefening.7 Toon aan dat exp, sin, cos, sh en ch analytisch zijn over heel het vlak en bepaal hun afgeleiden. Oefening.8 Bewijs dat e z = e z z z = kπi, k Z Oefening.9 Bepaal de nulpunten van sin, cos, sh, ch. Oefening. Bepaal het beeld van de exponentiële functie.

4 Oefening. Bewijs dat. sin z + cos z =. ch z sh z = 3. sin(z + z ) = sinzcosz + coszsinz 4. cos(z + z ) = coszcosz sinzsinz Oefening. Bewijs dat. shiz = isinz. chiz = cosz 3. siniz = ishz 4. cosiz = chz Oefening.3 Los op in C a sinz = ch4 b e z+ = c cosz + 5 = Oefening.4 Onderstel dat f en g analytisch zijn in z o, en dat f (z o ) = g(z o ) =. Bewijs dat f (z) lim z z o g(z) = lim f (z) z z o g (z) Oefening.5 Bepaal de volgende limieten indien ze bestaan a z lim z e iπ/3 z 4 + 4z + 6 z b lim z z c z 4 + lim z e iπ/4 z 6 i Een functie ψ(x,y) wordt harmonisch genoemd in een domein D indien ze in D continue partiële afgeleiden heeft tot de tweede orde en ze voldoet aan de vergelijking van Laplace ψ x + ψ y = Als z = u+iv analytisch is in D, dan zijn u en v harmonische functies in D. Men noemt in dit geval u en v toegevoegd harmonische functies. 3

5 Oefening.6 Bewijs van de volgende functies u(x, y) dat zij harmonisch zijn en zoek hun harmonisch toegevoegden. a u(x,y) = x 3 3xy b u(x,y) = x 4 6x y + y 4 c u(x,y) = e x (xsiny ycosy) Oefening.7 Bewijs dat in poolcoördinaten, de Cauchy-Riemann betrekkingen als volgt kunnen worden geschreven : u r = v r θ v r = u r θ Reeks ntegralen van functies van een complexe veranderlijke Oefening. Z a Bereken C op de volgende manieren : { x = t. langs de parabool y = t ( t ). langs het lijnstuk [ + i, + 4i] z dz, waarbij C de kromme is die de punten +i en +4i verbindt 3. langs de lijnstukken [ + i, + i] en [ + i, + 4i] Waarom zijn de resultaten gelijk? Z b Bereken zdz, waarbij C de kromme is die de punten en 4 + i verbindt op de volgende manieren : C. langs de kromme z = t + it. langs de lijnstukken [,i] en [i,4 + i] Z c Bereken (z + 3)dz, waarbij C de kromme is die de punten i en 3 + i verbindt op de C volgende manieren :. langs de kromme { x = t + y = 4t t. langs het lijnstuk [ i,3 + i] 3. langs de lijnstukken [ i, + i] en [ + i,3 + i] 4

6 Waarom zijn de resultaten gelijk? n de volgende oefeningen kunnen de integralen op eenvoudige manier berekend worden door gebruik te maken van de (veralgemeende) formule van Cauchy : Cauchy ndien f analytisch is over een enkelvoudig samenhangend gebied G begrensd door de kromme C en indien a een inwendig punt is van G, dan geldt en f (a) = Z f (z) πi C + z a dz f (n) (a) = n! Z f (z) dz πi C + (z a) n+ C + is de omloopszin die G links laat liggen. Oefening. a Bereken eπz dz, waarbij C het vierkant is met hoekpunten,, + i en i. C + b Bereken + i(x + y))dz waarbij C de driehoek is met hoekpunten, en + i. C +(x c Bereken ex (cosy isiny)dz waarbij C het vierkant is met hoekpunten π C + (± ± i). Oefening.3 cosz a Bereken dz, waarbij C een gesloten kromme rond π is. C + z π sin3z b Bereken C + z + π dz, waarbij C de cirkel z = 5 is. cosπz c Bereken dz, waarbij C een gesloten kromme rond is. C + z Oefening.4 C+ sinπz + cosπz a Bereken dz, waarbij C de cirkel z = 3 is. (z )(z ) b Bereken c Bereken Oefening.5 b Bereken C+ z C + C + dz, waarbij C de cirkel z + i = 3 is. (z + )(z ) dz z(z, waarbij C de cirkel z = 5/ is. ) a Bereken C+ e z dz, waarbij C de cirkel z = 3 is. (z + ) 4 e z + z dz, waarbij C de cirkel z = is. (z ) 4 5

7 C+ ze z c Bereken dz, waarbij C de cirkel z = is. (z ) 3 Oefening.6 a Bereken C+ e z dz, waarbij (z ). C de cirkel z = 3 is.. C de cirkel z = is. b Bereken C+ e 3z dz, waarbij z πi. C de cirkel z = 4 is.. C de ellips z + z + = 6 is. zdz c Bereken z 5, waarbij Oefening.7 C +. C de cirkel z = is.. C de cirkel z 3 = is. cosπz a Bereken C + z dz, waarbij. C de rechthoek is met hoekpunten ± i en ± i.. C de rechthoek is met hoekpunten ±i en ± i. b Bereken C+ e zt πi z dz, als t > en waarbij +. C de cirkel z = 3 is.. C de cirkel z + i = is. c Bereken C+ z dz, waarbij (z + )(z ). C de rechthoek is met hoekpunten ± i en 3 ± i.. C de cirkel is z =. 6

8 Reeks 3 Reeksen De machtreeks a n (z a) n n= is convergent als z a < R is divergent als z a > R Hierbij is R de convergentiestraal die gegeven wordt door R = lim n a n of, indien de volgende limiet bestaat R = lim n a n a n+ Op de rand z a = R kan men zowel convergentie als divergentie hebben. Men moet dit apart nagaan. Hiervoor kunnen we o.a. de volgende stelling gebruiken. Stelling Als w n een niet-stijgende rij met limiet is, dan zijn de reeksen w n sinnθ en n= w n cosnθ n= θ kπ convergent. Bewijs We gebruiken het criterium van Abel (cf. hoofdstuk over reeksen) : Als w n een niet-stijgende rij is met limiet, en v n w n conver- n= gent. We weten n i= n nx (n+)x sin cos cos jx = j= sin x n nx sin sin jx = j= (zie oefeningen eerste kandidatuur) De eigenschap volgt nu onmiddellijk. sin (n+)x sin x v i is een begrensde rij, dan is (x kπ) (x kπ) 7

9 Oefening 3. Bepaal het convergentiegebied van de volgende machtreeksen. Onderzoek ook het gedrag op de rand. a.. b.. c.. z n n= n (z + ) n n= (n + ) 3 4 n n= n= n= n= Oefening i. ( ) n z n (n + )4 n n 3 n z n n + ( z + z (cosin)z n ) n a Bepaal de convergentiestraal van de Taylorreeks van cosec z rond het punt b Bepaal de convergentiestraal van de Taylorreeks van 6). c Bepaal de convergentiestraal van de Taylorreeks van Oefening 3.3 Bewijs de volgende eigenschappen a Als f (z) analytisch is in heel het vlak, en als dan is f een veelterm met graad a. Van welke stelling is dit een veralgemening? 5 + cosz rond het punt π + iln(5 + rond het punt i. + e7z A,B,a > : z C : f (z) < A + B z a, b Gebruik de formule van Green-Riemann Z Z ( v udx + vdy = Γ + G x u ) dxdy y om een bewijs te geven van de stelling van Cauchy-Goursat. 8

10 c Onderstel dat P en Q complexe veeltermen zijn zodanig dat de graad van Q minstens twee meer is dan die van P en f (z) = P(z). C is een gesloten kromme die alle nulpunten van Q Q(z) bevat. Bewijs dat f (z)dz = Een Laurentreeks is een reeks van de vorm C + a n (z a) n n= Voor welke waarden van z convergeert deze reeks? De reeks convergeert voor z a < R, waarbij en de reeks R = + a n (z a) n n= ( lim n ) ( a n = lim n a n a n+ a n (z a) n + = a n (z a) n n= n= convergeert voor z a < S of z a > S, waarbij S = Stel R = S. We kunnen besluiten waarbij ( lim n ) ( a n = lim n a n a n ) ) + a n (z a) n is convergent voor R < z a < R n= R = R = lim n a n ( lim n ) ( a n = lim ( = lim n a n a n ) a n a n+ = lim n n a n a n+ De uitdrukkingen tussen haakjes gelden alleen als die limieten bestaan. Voor z a < R en z a > R is er divergentie. Op de rand moet de convergentie apart bestudeerd worden. ) 9

11 Oefening 3.4 Bepaal het convergentiegebied van de volgende Laurentreeksen ( n ) n + a. n z n +. b.. c.. + n= + n= n + n= + z n n= n n + n= z n n3 n + z n n= n n z n 3 n z n n! ndien f analytisch is in R < z a < R, dan kan f geschreven worden als een Laurentreeks f (z) = + a n (z a) n n= voor R < z a < R. a n wordt gegeven door de volgende formule a n = f (z)dz πi Γ + (z a) n+ waarbij Γ een gesloten kromme is gelegen tussen de cirkels z a = R en z a = R. R a C R G C

12 Men kan de binnenste cirkel verkleinen en de buitenste vergroten tot er een singulier punt van f op de rand ligt. Het convergentiegebied is dan de kroon R < z a < R. + Als a een geïsoleerde singulariteit van f is, en R =, dan zeggen we dat a n (z a) n de n= Laurentreeks van f in een omgeving van a is. De coëfficiënt van (z a) noemt men het residu van f in a a = Res( f,a) Oefening 3.5 Bepaal de Laurentreeks van de gegeven functie f in een omgeving van de gegeven singulariteit. Bepaal ook de aard van deze singulariteit, en het residu. a. f (z) = ez (z ) 3 rond z =. f (z) = (z 3)sin z + rond z = b. f (z) = z sinz z 3 rond z = z. f (z) = (z + )(z + ) rond z = c. f (z) = z (z 3) rond z = 3. f (z) = e z z rond z = Oefening 3.6 a Schrijf de Laurentreeks van (z + )(z + 3) voor :. < z < 3 rond z =. z > 3 rond z = 3. < z + < rond z = 4. z < rond z = b Schrijf de Laurentreeks van. < z < 5 rond z =. z > 5 rond z = 3. < z < 3 rond z = 4. z < rond z = (z )(z 5) voor :

13 c Schrijf de Laurentreeks van Oefening 3.7. < z + < rond z =. < z < rond z = 3. z > rond z = 4. < z < rond z = in Laurentreeks. Zij Bewijs dat. J n (t) = π. J n (t) = a Ontwikkel k= Z π z (z ) voor : f (x) = { e t (z z ) als z niet gedefinieerd als z = f (z) = cos(nθ t sinθ)dθ ( ) k (t/) n+k k!(n + k)! 3. J n (t) = ( ) n J n (t) (n ) + J n (t)z n n= b Ontwikkel in Laurentreeks. Zij Bewijs dat f (x) = c n = π { cos(u(z + z )) als z niet gedefinieerd als z = f (z) = Z π c n z n n= cos(ucosθ)cosnθdθ c De veeltermen van Bernouilli φ n (z) worden door de ontwikkeling gedefinieerd. Bewijs t etz e t = n= φ n (z) t n n!

14 . φ n (z + ) φ n (z) = nz n. Als m een natuurlijk getal is, dan 3. φ n (z) = n ( n k k= φ n+ (m) n + = + n + 3 n (m ) n ) B k z n k, waarbij de getallen B k bepaald zijn door z e z = n= B n n! zn Reeks 4 De residustelling Onderstel dat a een geïsoleerde singulariteit is van de complexe functie f. Dit betekent dat f analytisch is op een omgeving van a, maar niet in het punt a zelf. n dit geval kan f in een omgeving van a geschreven worden als een Laurentreeks. De volgende situaties kunnen zich voordoen :. De Laurentreeks is een machtreeks, d.w.z. van de vorm a n (z a) n n= Men zegt dat a een ophefbare singulariteit is.. De Laurentreeks is van de vorm + a n (z a) n n= N met a N voor N >. Men zegt dat a een pool van orde N is. 3. De Laurentreeks is van de vorm + a n (z a) n n= waarbij oneindig veel termen in negatieve machten van z a verschillend van zijn. n dit geval noemt men a een essentiële singulariteit. Het residu Res( f,a) is de coëfficiënt a. ndien a een ophefbare singulariteit is, dan is Res( f,a) =. ndien a een pool is van orde N, dan is Res( f,a) = lim z a (N )! 3 d N dz N ( f (z)(z a)n )

15 n het geval dat N = en f (z) = φ(z), kan men gebruik maken van de volgende formule ψ(z) als. φ en ψ analytisch zijn in a,. z = a een enkelvoudig nulpunt is van ψ(z), 3. φ(a). Res( f,a) = φ(a) ψ (a) Het residu is belangrijk voor de volgende eigenschap. Stelling (Residustelling) Als G een enkelvoudig samenhangend gebied is, en f is analytisch over G behalve in geïsoleerde singuliere punten, en C is een gesloten kromme in G, dan is C + f (z)dz = πi a waarbij de som loopt over alle singuliere punten binnen C. Res( f,a) Oefening 4. Bespreek de aard van de singuliere punten van de volgende functies en bepaal de residuen a. f (z) =. f (z) = e z 3. f (z) = 4. f (z) = tg z 5. f (z) = e z b. f (z) = z (z )(z + ) z 8 + z 4 + (z ) 3 (3z + ) z z (z + ) (z + 4). f (z) = sec z z 3. f (z) = (z )(z ) 4

16 4. f (z) = e z 5. f (z) = ez (z ) 3 c. f (z) = e z cosec z. f (z) = sin z 3. f (z) = z tgz 4. f (z) = cosec z 5. f (z) = cosz + 5 Oefening 4. Bereken de volgende integralen langs de aangegeven bogen : a.. b.. c.. C+ e zt z (z dz met C de cirkel z = 3 + z + ) C + zeitz tgzdz met C de cirkel z = 3 C+ z dz met C de cirkel z = 3 (z + )(z + ) C + ze z dz met C de cirkel z = C+ e zt C + z dz met C de cirkel z = 3 + πz ( z)e (z + 4) 3 dz met C de cirkel z i =, sinπz Oefening 4.3 Bepaal de volgende residuen : a f (z) = e zt tgz in z = 3π b f (z) = cotgz cothz z 3 in z = c f (z) = coseczcosechz z 3 in z = Oefening 4.4 n de volgende oefeningen is C n het vierkant met hoekpunten (n + )(± ± i). Bewijs dat M R + : n N: sup{ cotg πz : z C n } M sup{ cosec πz : z C n } M 5

17 Oefening 4.5 a Onderstel a = α + iβ met nπ α,β nπ. Bewijs dat a z π 4 π ( + n) voor z C n Leid hieruit af dat lim cotgπz n C n a z π dz = en lim cosecπz n a z π dz = b Onderstel dat a = α + iβ met n α,β n. Bewijs dat (a z) 4 ( + n) voor z C n Leid hieruit af dat lim cotgπz n C n (a z) dz = en lim cosecπz n C n (a z) dz = c Onderstel dat a = α + iβ met n α,β n. Bewijs dat a + z 4 ( + n) voor z C n Leid hieruit af dat lim cotgπz n C n a + z dz = en lim cosecπz n C n a + z dz = C n Oefening 4.6 a Bereken met behulp van de residustelling : cotg(πz) = C n a z π dz cosec(πz) = C n a z π dz waarbij mag ondersteld worden dat a πz, en dat a binnen het vierkant C n ligt. Neem de limiet voor n, en vergelijk met oefening oefening 4.5 a. Leid hieruit af dat cotga = a + n= coseca = a + n= 6 a a n π a( ) n a n π

18 b Bereken met behulp van de residustelling cotg(πz) = C n (a z) dz cosec(πz) = C n (a z) dz waarbij mag ondersteld worden dat a Z, en dat a binnen het vierkant C n ligt. Leid hieruit af dat π + sin πa = n= (a n) c Bereken met behulp van de residustelling π + cosπa sin πa = ( ) n n= (a n) cotg(πz) = C n a + z dz cosec(πz) = C n a + z dz waarbij mag ondersteld worden dat a Zi, en dat ai binnen het vierkant C n ligt. Leid hieruit af dat π a coth(πa) = a + n= n + a π a cosech(πa) = a + ( ) n n= n + a Oefening 4.7 Gebruik de techniek van oefeningen 4.4, 4.5 en 4.6 om de som van de volgende reeks te bepalen : a b c n= n= n n 4 ( ) n n= (n ) 3 7

19 Reeks 5 Toepassingen van de residustelling Oefening 5. ntegratie van reële rationale functies van sin t en cos t tussen en π Een integraal van de vorm = Z π R(sinθ,cosθ)dθ herleidt zich tot een integraal langs de eenheidscirkel in het complexe vlak door de substitutie z = e iθ De integraal kan dan met de residustelling worden uitgerekend. Bereken op deze manier de volgende integralen a b c Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π Z π dθ 3 cosθ + sinθ dθ ( + cosθ) cos3θdθ (5 cosθ) 4 sin θdθ 5 cosθ dθ a + bsinθ dθ (5 3sinθ) cos3θdθ 5 + 4cosθ sinθdθ + cosθ cos3θdθ 5 4cosθ dθ cosθ dθ ( + sin θ) (a > b ) cosnθdθ acosθ + a (n N, a < ) 8

20 Oefening 5. ntegratie van rationale functies tussen en + Onderstel dat P,Q R[X] zodanig zijn dat. Q geen reële nulpunten heeft. gr Q gr P 3. P en Q geen gemeenschappelijke factoren hebben n dit geval kunnen we bewijzen dat Z + P(x) Q(x) dx = πi Res( P a Q,a) waarbij de som loopt over alle polen in het bovenhalfvlak. Bereken nu de volgende integralen : a Z + Z + Z + Z + dx + x dx ( + x ) dx x 6 + a 6 (a > ) dx (x + 4) (x + ) b c Z + Z + Z + Z + Z + Z + Z + Z + dx (x + 4)(x + ) dx (x + 4) dx (x 4 + a 4 ) (a > ) x dx (x + ) (x + x + ) xdx ( + x ) x dx + x 4 dx + x 6 dx (x + ) (x + 4) 9

21 Oefening 5.3 ntegratie van rationale functies vermenigvuldigd met e imx Onderstel P, Q R[X] met. gr P < gr Q. Q bereikt reële nulpunten in a,a,...,a r 3. P en Q hebben geen gemeenschappelijke factoren Onderstel dat Γ R de halve cirkel is met middelpunt en straal R, in tegenwijzerzin doorlopen, en γ i de halve cirkel met straal ε en middelpunt a i in wijzerzin doorlopen, in het bovenhalfvlak. Voor m > kunnen we bewijzen dat (zie cursus) Z P(z) lim R Γ R Q(z) eimz dz = Door de residustelling hebben we Z ( ) P(z) P(z) Γ + Q(z) eimz dz = πires Q(z) eimz,a waarbij de som loopt over alle polen in het bovenhalfvlak, en Γ bestaat uit Γ R,γ i en de verbindende lijnstukken op de x-as. Als we hierin de limiet nemen voor R + en ε, dan kunnen we Z + en Z + a P(x) Q(x) cosmxdx P(x) Q(x) sinmxdx berekenen. Als Q geen reële nulpunten heeft, dan krijgen we Z + ( ) P(x) P(z) Q(x) eimx dx = πires a Q(z) eimz,a waarbij de som loopt over het bovenhalfvlak. Bereken nu de volgende integralen a Z + Z + Z + Z + xsin(πx)dx x + x + 5 xsin(x)dx x + 4 sin xdx x + sinxdx x

22 b c Z + Z + Z + Z + Z + Z + Z + Z + xsin(πx)dx (x + ) cosxdx x 4 + cos(πx) dx x 4 + x + sin xdx x cos(πx)dx x + 4 xsinxdx (x + )(x + 4) sin(4x)dx x(x + a ) x 3 sin( πx 4 )dx x 4 6 Oefening 5.4 Andere toepassingen a. Bereken C + dz, waarbij C de volgende kromme is + zn R p/n C n Neem daarna de limiet voor R, toon aan dat de integraal over de cirkelboog tot nadert, en bereken hieruit Z + dx + x n. Voor λ R \ Z definiëren we de functie f (z) = z λ als volgt f (re iθ ) = r λ e iθλ ( < θ < π, < r < +) Dan is f analytisch op C\R +, (m.a.w. we hebben onze snede gekozen op de positieve x-as). Neem < λ <, en de volgende kromme

23 - e e R d Bereken C+ z λ z + dz Neem de limiet voor δ,ε,,r +, en bereken hieruit Z + x λ x + dx b. Beschouw de kromme C pi -R R e iz Z dz + Bereken e z + e z, laat R +, en bereken daaruit cos xdx e x + e x. We definiëren lnz met de snede langs de negatieve y-as, m.a.w. Bereken C + ln(re iθ ) = lnr + iθ ( π < θ < 3π ) lnzdz a, over de volgende kromme + z

24 C R d d R Laat R + en δ, en bereken hieruit Z + lnxdx a + x c. Beschouw de kromme C i Bereken C + -R R e z dz, laat R +, en bereken daaruit + e πz Z + e x dx + e πx. Definieer z λ als in oefening 5.4 a., en bereken C + z λ dz a + z (a R) voor < λ <, over de kromme C uit oefening 5.4 a.. Neem de limiet voor R +,δ,ε, en bepaal Z + x λ dx a + x 3

25 Reeks 6 De Laplacetransformatie De Laplacegetransformeerde van de reële functie is de functie F(p) gedefinieerd door f : [,) R : t f (t) () F(p) = Z e pt f (t)dt Hierbij is p = x + iy een complexe parameter. Men noteert : F(p) = L{ f (t)}. f (t) is van exponentiële orde α (voor t ) indien er een reëel getal α en twee positieve getallen m en t bestaan zodanig dat Men noteert f (t) = O(e αt ). e αt f (t) < m voor t > t n de cursus bewezen we de volgende stelling : Stelling Als f (t) stuksgewijs continu is en van exponentiële orde α, dan convergeert de integraal () uniform t.o.v. x en y in elk halfvlak Rep α > α. Bovendien is F(p) een analytische functie voor Rep > α. Men noemt α de convergentieabscis. Om de Laplacegetransformeerde van een gegeven functie te berekenen kan men gebruik maken van de volgende eigenschappen en de tabel van Laplacegetransformeerden. Eigenschappen van Laplacegetransformeerden n de volgende eigenschappen zijn alle functies f (t) stuksgewijze continu en van exponentiële orde α en L{ f (t)} = F(p) voor Rep > α.. Lineariteit L{a f (t) + b f (t)} = al{ f (t)} + bl{ f (t)} Rep > max(α,α ). Verandering van schaal L{ f (at)} = ( p ) a F a Rep > aα,a > 3. Vermenigvuldiging met e at L{e at f (t)} = F(p a) Rep > a + α 4. Vermenigvuldiging met t n L{t n f (t)} = ( ) n F (n) (p) Rep > α 4

26 5. Verschuiving Beschouw de functie f a (t),a > die men als volgt definieert : { als t < a f a (t) = f (t a) als t a Dan hebben we dat L{ f a (t)} = e ap F(p) Rep > α 6. Transformatie van de afgeleide Als f continu is voor t > en rechtscontinu in t = en f is stuksgewijs continu, dan geldt L{ f (t)} = pf(p) f () Rep > α 7. Transformatie van de n-de afgeleide Als f (n ) continu is voor t > en rechtscontinu in t =, f (n) is stuksgewijs continu en f (i) (t) = O(e αt ) voor i =,,...,n dan geldt L{ f (n) (t)} = p n F(p) p n f () p n f ()... f (n ) () Rep > α 8. Transformatie van de integraal Als g(t) = Z t f (x)dx, dan is L{g(t)} = F(p) Rep > α > p 9. Transformatie van een periodieke functie Als f een periodieke functie is met periode T, dan is. Als p reëel is dan geldt L{ f (t)} = Z T e T p e pt f (t)dt Rep > lim p + L{tn f (t)} = n =,,,... { } f (t) f (t). Onderstel dat p reëel is en dat lim bestaat, dan bestaat L en t + t t { } Z f (t) L = F(x)dx, p > α t. Tabel van Laplacegetransformeerden p 5

27 f (t) F(p) convergentieabscis (a, b, k zijn reëel) p e at p a t n (n =,,...) t n e at (n =,,...) sinkt coskt shkt chkt e at sinkt e at coskt t t t k (k > ) t k e at (k > ) e at e bt (a > b) n! p n+ n! (p a) n+ a k p + k p p + k k p k k p p k k k (p + a) + k a p + a (p + a) + k a π p 3 π p Γ(k + ) p k+ Γ(k + ) (p a) k+ a a b (p a)(p b) a sinat b sinbt b a (p + a )(p + b ) cosat cosbt (b a ) p (p + a )(p + b ) 6 a a

28 Oefening 6. Bereken de Laplacegetransformeerden van de volgende functies (deze functies worden identiek nul verondersteld voor t < ); bepaal tevens de convergentieabscis. a. f (t) = 4e 5t + 6t 3 3sin4t + cost. f (t) = e 4t ch(5t) 3. f (t) = 4. f (t) = 5. f (t) = { cos(t π 3 ) als t π 3 Z t als t < π 3 (u u + e u )du cosat cosbt t 6. f (t) = sint t 7. f (t) = t voor t < en f (t + ) = f (t) b c. f (t) = 3t 4 3t 3 + 4e 3t sin5t + 3cost. f (t) = t sht { (t ) als t 3. f (t) = als t < Z t e u 4. du u 5 f (t) = sht t ( cht) 6. f (t) = t { sint als t π 7. f (t) = en f (t + π) = f (t) als π < t π. f (t) = e t (3cos6t 5sin6t). f (t) = t cos(at) 3. f (t) = 4. f (t) = { sin(t 5π 6 ) als t 5π 6 Z t 5. f (t) = sin t t 6. f (t) = cost t als t < 5π 6 (u 3 + u + e u sinu)du 7

29 { cos t als t π 7. f (t) = als π < t < π en f (t + π) = f (t) Oefening 6. Bereken de Laplacegetransformeerde van de functies waarvan de grafische voorstelling er als volgt uitziet a.. f(t) f(t) f(t+a+b+c) = f(t) a a t a a+b a+b+c t b.. f(t) / f(t) f(t+4) = f(t) t 3 4 t b.. f(t) f(t) f(t+a) = f(t) a a t a/n a t 8

30 Oefening 6.3 Bereken de volgende integralen a.. 3. Z Z Z te 3t sint dt cos(6t) cos(4t) dt t e t sint dt t b.. 3. c.. 3. Z Z Z Z Z Z e 3t e 6t dt t cost t dt e t sht sint dt t e 3t sht dt t t cost e t t 3 e t sint dt dt Reeks 7 De inverse Laplacetransformatie Als F(p) de Laplacegetransformeerde is van f (t), dan zeggen we dat f (t) de inverse getransformeerde is van F(p). We noteren : f (t) = L {F(p)}. Hoe kan men L {F(p)} bepalen?. Elementaire methode Gebruik de tabel van Laplacegetransformeerden en pas de eigenschappen van de Laplacegetransformeerde toe.. F(p) is een rationale functie van p Splits F(p) in partiële breuken. De splitsing bevat alleen termen van de vorm (p a) k en Ap + B [(p a) + b ] k De inverse getransformeerde van de eerste term is tk e at Cp + B (p + b ) k kan gebracht worden. 9 (k )! terwijl de tweede in de vorm

31 3. Als toepassing van de inversiestelling Als F(p) = T (p) een rationale functie is, waarbij N(p) graadt (p) graadn(p) dan geldt f (t) = Res(F(p)e pt,a) a Oefening 7. Bereken L {F(p)} = f (t) door te splitsen in partiele breuken. a. F(p) = p + p (p ). F(p) = b. F(p) =. F(p) = c. F(p) = Oefening 7. p + p + 3 (p + p + )(p + p + 5) p (p p + )(p + p + ) p 3 + (p ) (p + ) 3p 4p + (p + 4p + 4)(p 5). F(p) = 5p 5p (p )(p ) 3 Bereken L {F(p)} = f (t) met de inversieformule : p a. F(p) = (p ) p. F(p) = (p + ) 3 (p ) p 3. F(p) = p + a b. F(p) =. F(p) = (p + )(p + ) p + (p ) 3 (p ) 3

32 3. F(p) = p(p + )(p + )...(p + n) c. F(p) = p3 + 6p 4 p 4 + p F(p) = (p + ) Oefening F(p) = p 3 (p + ) Bereken L {F(p)} = f (t) : a F(p) = Log p + p b F(p) = Log ( + p ) c F(p) = Log p + p + Reeks 8 Toepassingen Oefening 8. Los de volgende differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten en beginvoorwaarden op met behulp van Laplacetransformatie : a. y + y + 5y = e t sint met y() =,y () =. y iv + y y = sint met y() = y () = y () = y () = b. y + y = 8cost met y() =,y () =. y + 9y = 8t met y() = y( π ) = c. y 3y + y = 4e t met y() = 3,y () = 5. y + y + y = sint met y() =,y () = Oefening 8. Los de volgende stelsels differentiaalvergelijkingen op met behulp van Laplacetransformaties 3

33 a { y + y + z = sint z 4y z = cost met y() =,z() = b { y + z = t y z = e t met y() = 3,y () =,z() = c { 3x + x + y = x + 4y + 3y = met x() = y() = Oefening 8.3 Los de volgende differentiaalvergelijkingen op met behulp van Laplacetransformatie : a. y ty + y = met y() = en y () =. ty + (t )y y = met y() = 5 en lim t y(t) = b. ty + ( t)y y = met y() = en y () =. ty + y + 4ty = met y() = en y () = c. y +ty y = met y() = en y () =. ty y ty = met y() = en y () = Oefening 8.4 Los de volgende partiële differentiaalvergelijkingen op met behulp van Laplacetransformatie : a y x = y + y met y(x,) = 6e 3x t voor x >,t > b y x y t = e t met y(x,) = x voor x >,t > c y t + x y + y = x met y(x,) = x voor x >,t > Oefening 8.5 Los de volgende integraalvergelijkingen op : a. y(t) +. y(t) + 4 Z t Z t Z t b. y(t) = t +. y(t) = Z t y(u)cos(t u)du = acost (t u) y(u)du = 5 t y(u)sin(t u)du sinucos(t u)du 3

34 Z t c. y(t) = t +. y(t) = sht + Z t y(u)cos(t u)du (t u)y(u)du Reeks 9 Variatierekening Een nodige voorwaarde opdat de functionaal () = Z x x f (x,y,y )dx extreem wordt voor de kromme y = y(x) is dat de kromme y = y(x) voldoet aan () f y = d ( ) f dx y Men noemt deze differentiaalvergelijking de vergelijking van Euler. De oplossingen van deze vergelijkingen zijn de extremalen van de functionaal (). Ze hangen af van twee constanten. Die constanten kan men bepalen door te eisen dat de kromme door twee gegeven punten A en B gaat. n sommige gevallen kunnen we de differentiaalvergelijking herleiden tot een differentiaalvergelijking van orde : f hangt niet af van y, met andere woorden = Z x x f (x,y )dx () wordt dan of ( ) d f dx y = f y = c Dit is een differentiaalvergelijking van orde. f hangt niet af van x, met andere woorden = Z x x f (y,y )dx Nu vinden we ( d f y f ) dx y = f y y + f y y y f y d ( ) f y dx y = 33

35 en we kunnen besluiten dat f y f y = c dit is weer een differentiaalvergelijking van orde. Oefening 9. Bepaal de extremaal y(x) voor de functionaal = Z x x f (x,y,y )dx die door de punten A(x,y ) en B(x,y ) gaat : a. f (x,y,y ) = y + y ysinx met A = (,e π + e π ) en B = (π,). f (x,y,y ) = y + ( + y ) / met A = (,) en B = (,) b. f (x,y,y ) = x ( + y ) / met A = (,) en B = (,). f (x,y,y ) = (y( + y )) / met A = (,) en B = (,) c. f (x,y,y ) = ( + x + (y ) ) / met A = (,) en B = (, 5 + ln( + 5)). f (x,y,y ) = y ( + y ) / met A = (,) en B = (,) Om de extremaal y(x),z(x) voor de functionaal = Z x x f (x,y,z,y,z )dx te bepalen gaat men op analoge manier als hierboven te werk. Men zoekt de oplossingen y(x),z(x) van het stelsel differentiaalvergelijkingen ( ) f f y = d dx f z = d dx y ) ( f z Men noemt dit stelsel differentiaalvergelijkingen van orde de vergelijkingen van Euler. De oplossing ervan hangt af van vier constanten. Als we eisen dat de extremalen door de punten A en B gaan, dan kunnen we de constanten bepalen. Oefening 9. Bepaal de extremaal y(x),z(x) voor de functionaal = Z x x f (x,y,z,y,z )dx die door de punten A = (x,y,z ) en B = (x,y,y ) gaat a f (x,y,z,y,z ) = y + z 3y + 4yz met A = (,,) en B = ( π 4,,) 34

36 b f (x,y,z,y,z ) = yz y + y z met A = (,,) en B = ( π, π,) c f (x,y,z,y,z ) = y + z + yz met A = (,,) en B = ( π,, ) Oefening 9.3 a Bepaal de kromme die het punt A = (,,) met het punt B = ( π,, ) verbindt zo dat extreem wordt. = Z π (y + z + yz)dx b Bepaal de kromme die het punt A = (3,) met het punt B = (, ) verbindt zo dat Z 3 + y = dx y extreem wordt. c Bepaal de krommen die de functionaal = Z x x ( y) + y dx extremaal maken. Bepaal de extremaalkrommen door (,) en (, + ch). Om de extremaal y(x),z(x) voor de functionaal = Z x x f (x,y,z,y,z )dx die voldoet aan de bijkomende voorwaarde g(x,y,z) = te bepalen gaat men op analoge manier als hierboven te werk. Men zoekt de oplossingen y(x),z(x) van het stelsel differentiaalvergelijkingen ( ) ( ) f y dx d f f y z dx d f z g y = Dit zijn de vergelijkingen van Euler voor het variatieprobleem met nevenvoorwaarden. Samen met de vergelijking g(x,y,z) = laten deze ons toe om de extremaal y(x),z(x) te bepalen. g z 35

37 Oefening 9.4 a Bepaal de kromme door A = (,,) en B = (,,) die op het oppervlak yz = ligt, en zo dat extreem wordt. b Bepaal de kromme door A = ( π x y + z = ligt, en zo dat extreem wordt. = = Z 4, π Z π π 4 (y + y )(z + z )dx 8,) en B = ( π,, π ) die op het oppervlak (yz y + y z )dx c Bepaal de kromme door A = (,,R) en B = (R,R,) die op het oppervlak y + z = R ligt, en zo dat extreem wordt. Oefening 9.5 Geodeten = Z R (y + z )dx a Zij (ϕ, r, z) cilindercoördinaten. Bepaal de geodetische lijn van de cilinder r = R (R is een positieve constante) die door de punten A = (,R,) en B = ( + π,r,r) gaat. b Bepaal de geodeten van de paraboloïde z = x + y Gebruik cilindercoördinaten. Bewijs dat de parabolen { z = x + y geodeten zijn. ax + by = c Bepaal de geodeten op de bol x + y + z = Gebruik bolcoördinaten. Oefening 9.6 Bepaal de extremalen voor = a Z x x y dx = l constant is Z x x ydx als je weet dat b c Z x x Z x x 4 y dx = l constant is + y + y dx = l constant is 36

38 Antwoorden Oefening. a (7 + 7i) 6 b (9 + 37i) 85 c (3 + 4i) 5 Oefening. a ± 3 + i, i b ± ( + + i ) ;± c ±( + 8i) Oefening.3 a ± 3 ± i b z n = (i ± 3) = z n = = z = c z = ±i ; ±( 3 + i) Oefening.4 a 8( + 3i) b z = ±(cos α ± isin α ) c Oefening.5 cos4x = cos 4 x 6cos xsin x + sin 4 x sin4x = 4cos 3 xsinx 4cosxsin 3 x Oefening.3 a z = (k + )π ± 4i ( i + ) b z = ( + ln + (k + )πi) c z = (k + )π + iln(5 ± 6) 37

39 Oefening.5 a i b bestaat niet c i 3 Oefening.6 a v(x,y) = 3x y y 3 + c b v(x,y) = 4x 3 y 4xy 3 + c c v(x,y) = e x (ysiny + xcosy) + c Oefening. a i b (a) 8i 3 (b) 8i c 7 + 9i Oefening. a 4 π (eπ ) b ( ) c 4i e π e π Oefening.3 a πi b πi c πi Oefening.4 a 4πi b πi c πi 38

40 Oefening.5 a 8πi 3 e b πie 3 c 4πie Oefening.6 a. πie. b. πi. c.. Oefening.7 5πi a.. πi b. sint. c. 8πi 3 Oefening 3.. (sint + icost) πi 3 a. ( z ) \ {}. z + 4 b. ( z 4) \ { 4}. z + z 3 c. ( z ) \ {} Oefening 3.. z < e a R = 5 b R = π c R = 3π 7 39

41 Oefening 3.3 a Schrijf f (z) = n= a n z n ; f convergeert over C. Als M r het maximum is van f op de cirkel z = r, dan is, door de ongelijkheid van Cauchy : A n M r r n A r n + B r n a Als n > a, dan volgt door r naar oneindig te laten gaan, dat A n =. b Stel f = u + iv, dan is Γ + f (z)dz = = (u + iv)(dx + idy) (udx vdy) + i (vdx + udy) Pas nu eerst Green-Riemann toe, en daarna de Cauchy-Riemann voorwaarden. c Bewijs eerst : R,M > : z > R = f (z) Laat C R de cirkel met straal R zijn, dan volgt f (z)dz C + πm R R M z Nu geldt en Oefening 3.4 f (z)dz = f (z)dz C + C + R lim f (z)dz = R C + R a. /. ( 3 z 3) \ { 3,3} b. C \ {}. {z C : z = } \ {} c. C \ {}. {z C : z = } 4

42 Oefening 3.5 a. f (z) = e + n+3 (z ) n n= 3 (n + 3)! pool van orde 3 ; residu : e convergentiegebied : C \ {}. f (z) = n= ( ) n (n + )! (z + ) n 5 essentiële singulariteit ; residu : 5 convergentiegbied : C \ { } b. f (z) = n= ( ) n z n (n + 3)! ophefbare singulariteit ; residu : convergentiegebied : C n=. f (z) = z + + (z + ) n n= pool van eerste orde : residu : convergentiegebied : < z + < ( ) c. f (z) = n (n + 3) n= 3 n+4 (z 3) n pool van orde ; residu : 7 convergentiegebied : < z 3 < 3. f (z) = Oefening 3.6 n= e n (z ) n n! essentiële singulariteit; residu: e convergentiegebied : C \ {} a. f (z) =. f (z) = 3. f (z) = 4. f (z) = n= n= ( ) n z n 6 n= ( ) n (3 n )z n ( ) n+ n= n+ (z + ) n n= ( ) n ( 3 n+ )zn ( ) n 3 n z n ( ) n (z + ) n (n + )! 4

43 b. f (z) = 3 n n= z n z 5 n n= 5 n. f (z) = 5 3 n n n= z n 3. f (z) = 3(z ) (z ) 9 n n= 3 n c 4. f (z) = 3. f (z) =. f (z) = 3. f (z) = 4. f (z) = Oefening 4. n= n= z n n= z n n=3 z n n+ (5n+ n+ ) n (z + ) n z + (z + ) n n= n+ ( ) n+ (n + )(z ) n n= a. z = : pool van orde ; Res( f,) = 4 z = ; pool van orde : Res( f, ) = 4. z = : essentiële singulariteit ; Res( f,) = 3. z = : pool van orde 3 : Res( f,) = z = 3 ; pool van orde : Res( f, 4 ) = z = π + kπ ; pool van orde : Res( f, π + kπ) = 5. z = kπi : pool van orde ; Res( f,kπi) = b. z = : pool van orde ; Res( f, ) = 4 5 z = ±i : pool van orde ; Res( f,±i) = 7 ± i 5. z = (k + )π : pool van orde ; Res( f, (k + )π ) = 4( )k (k + ) π z = : niet geïsoleerde singulariteit 4

44 3. z = : pool van orde ; Res( f,) = z = : pool van orde ; Res( f,) = 4. z = : essentiële singulariteit ; Res( f,) = 5. z = : pool van orde 3 ; Res( f,) = e c. z = kπ : pool van orde ; Res( f,k) = e kπ. z = : essentiële singulariteit ; Res( f,) = 3. z = π + kπ : pool van orde ; Res( f, π + + kπ) = k π 4. z = kπ : pool van orde ; Res( f,kπ) = ( ) k 5. z = (k+)π±iln(5+ 6) : pool van orde ; Res( f,(k + )π ± iln(5 + 6)) = i 4 Oefening 4. a. πi(t + e t cost). π sin tπ b. 6πi. πi c. πi sint. Oefening 4.3 a e 3π t b 7 45 c 9 Oefening 4.4 Bewijs achtereenvolgens : cosz = cos x + sh x sinz = sin x + sh y cotgπz voor z gelegen op een vertikale zijde cosecπz voor z gelegen op een vertikale zijde cotgπz + sh π voor z gelegen op een horizontale zijde 43

45 cosecπz + sh π Oefening 4.5 voor z gelegen op een horizontale zijde a Onderstel bijvoorbeeld dat z gelegen is op de vertikale zijde x = n + worden analoog behandeld. ; de andere zijden a z π = (a + zπ)(a zπ) a + zπ = (α + πx) + (β + πy) (α + πx) ( πn + πn + π ) π (n + ) 4 a zπ π (n + ) (analoog) 4 het gestelde volgt b Onderstel bijvoorbeeld dat z gelegen is op de vertikale zijde x = n + worden analoog behandeld. ; de andere zijden a z = (α x) + (β y) (α x) ( n n) = (n ) 4 c Onderstel bijvoorbeeld dat z gelegen is op de vertikale zijde x = n + worden analoog behandeld. ; de andere zijden a + z = (a + zi)(a zi) a + zi = α y + β x β x a zi ( n n) = (n ) 4 Oefening 4.6 ( a = πi cotga πa + πa + π ( = πi coseca πa + πa + π b = πi πcosec πa + ( = πi ( (n ) 4 (analoog) n k= n n k= πcotgπacosecπa + n k= ) a k π ( ) k a k π π(a k) n k= n ) ) ( ) k π(a k) 44 )

46 ( c = πi a cothπa + ( = πi Oefening 4.7 a π 6 b π4 9 c π3 3 Oefening 5. a cosechπa + n k= n n k= n ) π(a + k ) ( ) k π(a + k ) ) a. π π π π(5 6) b.. π a b 5π 3 3. π 4. c.. π π 3 Oefening π 4. πa n a a. π 45

47 . π 3. π 3a π 88 b π 6 π 3 3π 8 a 7 7π 5 c. π. 4 π 3. 3 π 4. 8 Oefening 5.3 a b.. πe π πe 4. π 3. 4 ( e ) π 4.. π 4 e π πe 3. π 3 e π 4. (sin + cos ) 3π c. π 4 e 4π 46

48 Oefening 5.4. π 6e ( e ) 3. π a 4 ( e 4a ae 4a ) 4. π 4 e π a. π nsin π n. π sinπλ b.. c.. π e π + e π πln a a sin πa (λ ) sinπλ Oefening 6. a. F(p) = 4 p p 4 p p p + 4 α = 5 p 4. F(p) = p 8p 9 α = 9 3. F(p) = p πp p e 3 + α = 4. f (p) = p 4 p 3 + p(p + ) α = 5. F(p) = Log p + b 6. F(p) = π Bgtg p p + a α = α = 7. F(p) = e p 4pe p 4p e p p 3 ( e p ) b. F(p) = 7 p 5 8 p p + 3 p p p + 4 α = α = 47

49 4p. F(p) = (p 4) α = 3. F(p) = e p p 3 α = 4. F(p) = p Log( + p ) α = 5. F(p) = Log p + p α = 6. F(p) = Log p p α = 7. F(p) = c. F(p) = Oefening 6. a (p + )( e πp ) 3(p 8) p + 4p + 4 α = α =. F(p) = p3 6a p (p + a ) 3 α = 3. F(p) = e 5π 6 p p + 4. F(p) = ( 6 p p 4 + ) p + p + 4p + 5 α = α = 5. F(p) = 4 Log p + 4 p α = 6. F(p) = Log p + p α = ( 7. F(p) = (p + 4)( e πp p + ) p ) pπ e α = p. F(p) = tgα ( e ap p ape ap) α =. F(p) = α = ( ) ap ( e ap ) e ap bp ( e bp ) e (a+b+c)p b. F(p) = p (p + e p ) α = 48

50 c Oefening 6.3 a.. F(p) = ( e p )( e 3p ) p ( e 4p ) α =. F(p) = e ap tgα p α = ap e ν. F(p) = p( e ap ) α = 3 5. ln 3 π 3. 4 b. ln π. π 3. 8 c. ln π. Bgtg + ln Oefening 7. a. f (t) = t + + (t )e t. f (t) = e t (sint + sint) 3 b. f (t) = sint sht. f (t) = (t + )et + (cost + sint) c. f (t) = 9 49 e t 7 t e t e5t. f (t) = e t + ( + 6t t )et 49

51 Oefening 7. a. f (t) = (sht +tcht). f (t) = e t 6 ( t ) + et (t ) 6 3. f (t) = cosat b. f (t) = (e t + sint cost). f (t) = 5e t (t + 4t + 5)e t 3. f (t) = n! ( e t ) n c. f (t) = sin4t + cost sint Oefening 7.3. f (t) = t cost + sint 3. f (t) = t a f (t) = sht t b f (t) = e t t c f (t) = e t e t Oefening 8. t + cost a b c. y(t) = 3 e t (sint + sint). y(t) = sint + sin + t sh t 4. y(t) = 4t sint + cost sint. y(t) = t + πsin3t. y(t) = 7e t + 4(t + )e t. y(t) = 5 ( cost + sint + e t cost + 6e t sint) 5

52 Oefening 8. { y(t) = sint t a z(t) = 3sint cost t { y(t) = b 3 sint + cost + + t + e t z(t) = 3 sint cost + e t { x(t) = c 5 e t 3 6t e y(t) = 5 e t 6t 5e Oefening 8.3 a b c. y(t) = + t. y(t) = 5e t. y(t) = e t. y(t) = sint t. y(t) = t. y(t) = A(tcht sht) Oefening 8.4 a y(x,t) = 6e 4t 3x b y(x,t) = x + e t c y(x,t) = x ( e t ) Oefening 8.5 a. y(t) = a( t)e t. y(t) = 5e t + 5et 3 sin 3t 5et cos 3t b. y(t) = t + t4. y(t) = t sint c. y(t) = t + + (t )e t. y(t) = (sht +t cht) 5

53 Oefening 9. a. y = sinx + ex π + e π x = sinx + ch(x π). (x + ) + y = b. x + y 4y =. y = + 4 x en 5y = (5x 4) /4 c. y = x x + + ln(x + x + ). (x ) + y = 4 Oefening 9. y = shx 5 sh a π 4 5 sinx z = 4 shx sinx sh π 4 b c { y = π sinx + π 4 xcosx z = π 4 xcosx { y = sinx z = sinx Oefening 9.3 a y = sinx, z = sinx b x + y = 4x c y = + chx Oefening 9.4 a y = x,z = x { y = π b 4 cos x + sin x + x z = π 4 cos x + sin x { y = Rsin(4k + ) π x c R z = Rcos(4k + ) π x k Z R Oefening 9.5 a n cilindercoördinaten : = z = Cϕ + D z = R (ϕ ) π Z R + z dϕ 5

54 Z b n cilindercoördinaten : = + ρ ϕ + 4ρ dρ Euler : ϕ = c + 4ρ ρ ρ c Z ϕ = c ρ 4ρ + ρ c dρ = c Substitueer t = + 4z z c Z 4z + z c (wortel verdrijven) Z ϕ = c ( + 4c t dt ) (t 4)( + c t ) + 4z z c = c ln + 4z + bgtgc + 4z + z c z c + c dz z Z c n cilindercoördinaten : = + ρ ϕ + ρ ρ dρ Euler : dϕ = c ρ. dρ (ρ c )(R ρ ) substitueer : v = ρ c dv dϕ = c c v ϕ = c + bgsin c v c z = ρ = a ρ sin (ϕ c ) z = aρsin(ϕ c ) = αx + βy Oefening 9.6 a (x c ) (y c ) = λ ( ) y b (x c ) c + = λ c (x + y c + c ) = λ (c x) 53