Friendly Functions and Shared BDD s

Transcriptie

1 Friendly Functions and Shared BDD s Bob Wansink 19 Juni 2010 Deze notitie behandelt pagina s 81 tot 84 van The Art of Computer Programming, Volume 4, Fascicle 1 van Donald E. Knuth. Inhoudelijk gaat het in op friendly functions binnen binary descicion diagrams (BDDs), en shared BDDs. 1 Friendly Functions Van veel typen functies is bekend dat ze relatief kleine BDD s hebben. Een voorbeeld hiervan is een symmetrische functie van n variabelen. Bij symmetrische functies f geldt voor elke tweetal variabelen x i en x j : f(x 1,...,x i,...,x j,...,x n ) = (1) f(x 1,...,x i 1,x j,x i+1,...,x j 1,x i,x j+1,...,x n ) (2) De waardes van de variabelen zijn dus met elkaar te verwisselen zonder de output van de functie te veranderen. Omdat elke waarde met elkaar uitwisselbaar is, zal het aantal enen dat ingevoerd wordt in de functie de uiteindelijke output bepalen. Als we voor n = 5 een BDD zouden moeten opzetten, dan kunnen we beginnen met het onderstaande, driehoekige patroon. De uiteindelijke output van de functie zal bepalen welke waardes er in de sink-nodes zullen komen. Zodra we de sink-nodes hebben ingevuld zal er een BDD overblijven met een maximale grootte van 1

2 n+(n+1) (3) = 1 2 (n+1)(n+2) (4) ( ) n+2 =. (5) 2 Stel, we nemen een functie met n variabelen en we maken twee aangrenzende variabelen identiek. Een voorbeeld bij gegeven f is: g(x 1,...,x n ) = f(x 1,...,x k 1,x k,x k,x k+2,...,x n ) In dit geval is B(g) B(f). Dit heeft de volgende reden: Elke subtabel van f van orde n + 1 k heeft de vorm αβγδ, waarbij α, β, γ, en δ subtabellen zijn van order n 1 k. Bijvoorbeeld een subtabel van f van orde n+1 k is Deze valt uiteen in de subtabellen van orde n 1 k: α = 10, (6) β = 01, (7) γ = 01,en (8) δ = 11. (9) Eensubtabelvang vanorden+1 k heeftdevormααδδ watinditvoorbeeld overeenkomt met Zo n subtabel zal dus enkel een bead kunnen zijn als α δ. In dat geval is (voor f) αβγδ of een bead of het kwadraat van een bead. Hieruit volgt dat: het aantal branchnodes in functie g van orde k ten hoogste gelijk is aan (het aantal branchnodes in functie f van orde k + het aantal branchnodes in functie f van orde k +1). Immers: de onderliggende branchnodes van orde k + 1 worden aan elkaar gelijk gemaakt. Dat betekent dat een van deze branches eruit wordt gereduceerd. De branch van orde k wordt dan de overgebleven branchnode van orde k +1. Het aantal branchnodes in functie g van orde k +1 is gelijk aan 0. Immers: op orde k +1 staan de subtables αα en δδ; twee doubles. Alle andere branchnodes in functies f en g zijn gelijk. Dit proces heet condenseren. De BDD van een functie waarin een aantal aangrenzende variabelen gelijk worden gemaakt zal klein zijn, als die functie weinig beads bevat. Een threshold functie als [2x 1 +3x 3 +x 6 t] is een gecondenseerde versie van de symmetrische functie f(x 1,...,x 6 ) = [x x 6 t]. Dit betekent dat de BDD van deze functie voor elke waarde van t klein zal zijn, 2

3 omdat het aantal beads kleiner is dan dat van zijn symmetrische functie. Dit geldt voor elke threshold functie met niet-negatieve gewichten. Zo kan de bovenstaande threshold-functie [2x 1 + 3x 3 + x 6 t] ook geschreven worden als de symmetrische functie (x 1 + x 1 + x 3 + x 3 + x 3 + x 6 ), waarbij de bijhorende BDD bestaat uit O(n) 2 threshold functies waarvan de gewichten exponentieel groeien. Enkel als de binaire string x 1,...,x n lexicografisch groter of gelijk is aan de binaire representatie van t, zal deze functie true zijn. Zijn BDD zal bestaan uit n+2 nodes als de meest significante bit 1 is. De BDD van t = (1011) 2 zal er dan bijvoorbeeld uit zien als: De 2 m -way multiplexer is een functie met n = m+2 m variabelen. Praktisch gesproken houdt dit in dat de functie m controle variabelen heeft, waarvan de binaire representatie verwijst naar een van de 2 m output variabelen, omdat: M m (x 1,...,x m ;x m+1,...,x n ) = x m+1+(x1,...,x m) 2 De 2 m -way multiplexer heeft een speciale BDD. Voor elke k waarvoor geldt 1 k m heeft de BDD 2 k 1 branch nodes. Voor elke k waarvoor geldt m < k n is er echter maar één niveau van branch nodes. Deze verwijzen elk naar een sink node. Omdat we hierdoor de functie niet kunnen reduceren zal het aantal beads van M m dus B(M m ) = m 1 +2 m +2 zijn. Omdat B(M m ) < 2n betekent dit dus dat de BDD van deze functie klein blijft, en lineair zal meegroeien met het aantal variabelen. Een lineair berekeningsnetwerkmodel is een voorbeeld van situaties waar een BDD uitermate efficient is. Stel we maken een volgorde van n modules. Elke module ontvangt een boolean waarde x k. De modules zijn middels kabels met elkaar verbonden, en deze kabels geven booleaanse waardes door van een module naar zijn opvolgende of voorafgaabde module, of andersom. Voor elke module definiëren we getallen: a k = aantal kabels van module m k naar module m k+1. 3

4 b k = aantal kabels van module m k+1 naar module m k. c k = aantal input kabels van module m k, c k = 1+a k 1 +b k. d k = aantal output kabels van module m k, d k = a k +b k 1. Voor de eerste module is het aantal kabels zowel terug naar als heen van een vorige module 0 (a 0 = 0,b 0 = 0). De laatste module ontvangt geen signalen uit kabels van een volgende module (b n = 0), en heeft één output kabel (a n = 1) welke de returnwaarde geeft van de functie f(x 1,...,x n ). Elke module berekent d k boolean functies voor elk van zijn c k inputs. Wat deze functies doen mag van arbitraire complexiteit zijn, zolang ze well defined zijn in de zin dat hun gezamenlijke waardes volledig afhankelijk zijn van de waardes van x 1,...,x n. Elke keuze van waardes voor x 1,...,x n dient te leiden tot precies één manier om de waardes op alle kabels te zetten. Stelling M: als functie f kan worden berekend middels zo n netwerk, dan: B(f) n k=0 2 a k2 b k Bewijs. We bewijzen dit door te tonen dat de BDD voor f op z n hoogst (2 a k 12 b k 1) branch nodes heeft met label k. Dit wordt duidelijk als er geen kabels van M k naar M k 1 lopen. Op dat moment zijn er namelijk hoogstens 2 a k 1 subfuncties mogelijk; immers, de BDD kan dan maximaal elke bead van een orde hoger uitsplitsen in twee nieuwe beads afhankelijk van de waarde van x k. Een netwerk met a k 1 voorwaartse kabels, en b k 1 achterwaartse kabels tussen modules M k 1 en M k kan worden vervangen door een netwerk waarbij tussen M k 1 en M k a k 1 2 b k 1 voorwaartse kabels zitten en geen achterwaartse kabels. Voor elke mogelijke combinatie van waardes op de achterwaartse kabels voegen we op deze manier a k 1 kabels toe van M k 1 naar M k. Een voorbeeld hiervan vinden we door in het bovenstaande netwerk de kabels tussen M 3 en M 4 te vervangen met enkel voorwaartse kabels. De module M 3 geeft een vier-bits signaal, a, door aan M 4. Dit signaal bestaat uit de uitkomsten van de functies die M 3 hiervoor berekent. Daarnaast geeft module M 4 op dezelfde manier een twee-bits signaal door naar M 3. Voor elke reeks van (x 1,...,x n ) geldt dat M 3 een functie A uitvoert, en M 4 een functie B, waarbij geldt: A(b) = a en B(a) = b. Ergeldt dat M 3 s functie A afhankelijk is van(x 1,x 2,x 3 ) enmodule M 4 weet hier verder niets vanaf. Hetzelfde geldt voor functie B van M 4, die afhankelijk is van (x 4,...,x n ). De sleutel voor het oplossen van dit probleem ligt in het feit dat de functies goed gedefiniëerd moeten zijn, waardoor er voor elke keuze van (x 1,...,x n ) precies één oplossing (a,b) voor deze vergelijking is. Als we M 3 en M 4 willen aanpassen zal M 3 voortaan voor A(00) tot en met A(11) zijn vier-bits oplossingen opsturen. Hierdoor wordt duidelijk wat de A functie van M 3 is. Module M 4 zal dus geen informatie meer terug hoeven te sturen (die wordt immers toch niet meer gebruikt), en pakt de input van M 3, zijn eigen input x 4 en de output van M 5 om de oplossing te geven voor A(b) = a 4

5 en B(a) = b. Hiermee kan voortaan de output naar M 5 berekend worden zonder input van M 3 nodig te hebben. Uit Stelling M komt volgt dat de BDD van dit netwerk klein zal zijn als het aantal kabels tussen twee modules klein blijft. Een voorbeeld hiervan is de drie-op-een-rij functie: f(x 1,...,x n ) = x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4... x n 2 x n 1 x n x n 1 x n x 1 x n x 1 x 2. Deze functie geeft true als drie opeenvolgende waardes van x 1 tot en met x n true zijn, waarbij x 1 x n opvolgt. We kunnen die omzetten naar een netwerk van modules, waarbij elke module een van de berekeningen van drie opvolgendevariabelenvoorzijnrekeningneemt.elkemodulem k ontvangtdrieinputs (u k,v k,w k ) van de vorige module, en twee inputs (y k,z k ) van de volgende module, waarbij uiteraard voor module M 1, M n 1, en M n uitzonderingen moeten worden ingebouwd. u k = x k 1 v k = x k 2 x k 1 w k = x n 1 x n x 1... x k 3 x k 2 x k 1 y k = x n z k = x n 1 x n z k geeft dus de waarde van de laatste twee bits weer, y k enkel de laatste bit. Deze moeten terug worden gepropageerd, omdat de eerste module deze nodig heeft om zijn berekening mee uit te voeren. w k geeft door of vorige modules succes hebben gehad. De laatste module zal zijn output baseren op w k v k x k, waarmee correct kan worden doorgegeven of er in de reeks drie opeenvolgende 1 en te vinden waren. 2 Shared BDDs In veel gevallen willen we werken met functies waarvan het resultaat afhankelijk is van subfuncties. In dit soort gevallen kunnen we een BDD-base maken. Deze functie is een samenstelling van alle beads van zijn subfuncties. De BDD-base bevat m root-pointers, waar m het aantal subfuncties is. De beads van de subfuncies worden zo samengeknoopt dat beads van een functie F j enkel bereikbaar zijn als F i hiervan afhankelijk is. Een voorbeeld is het uitrekenen van het resultaat van de som van twee binaire getallen. Deze functie kan worden gezien als: (f n+1 f n f n 1...f 1 ) 2 = (x 1 x 3...x 2n 1 )+(x 2 x 4...x 2n ) 2 5

6 De BDD-base van deze functie bevat 9n 5 nodes, waar n het aantal paren bits is waarvoor de berekening moet worden uitgevoerd. Stel, we tekenen de functie uit als de volgende BDD: In dit geval bevat de BDD 9n 5 knopen. Voor elk paar bits dat uitgerekend moet worden (voor elke subfunctie) worden er 9 beads toegevoegd: 3 voor als de uitkomst van de volgende subfunctie niet afhankelijk is van de uitkomst van de betreffende subfunctie, 3 voor als de volgende subfunctie wel afhankelijk is van de betreffende subfunctie, en 3 voor als zowel de volgende als de daarop volgende subfuncties afhankelijk zijn. We nemen als voorbeeld subfunctie f 3. De uitkomst van f 3 wordt bepaald door de waardes van x 3 en x 4. Echter, als x 3 en x 4 beiden 1 zijn, zal dat de uitkomst van f 2 inverteren. De uitkomst van f 1 kan echter ook worden geinverteerd als precies een van de waardes x 1, x 2 1 is, en x 3 en x 4 beiden 1 zijn. Omdat de subfunctie f 1 geen opvolgende subfuncties heeft die van zijn uitkomst afhankelijk zijn, is het aantal beads voor zijn subfunctie slechts 3. De functies f 5 en f 4 zijn ook speciaal, omdat die respectievelijk geen 1 en 2 opvolgende subfuncties hebben. Hun aantal beads is dan ook 3 en respectivelijk 3. Inclusief de sink nodes komen we dan uit op 9n 5 nodes in de BDD-base, voor waardes van n, met n > 1. 6