Wiskunde Werktuigbouwkunde & Metaal. Mechatronica

Transcriptie

1 Wiskunde Werktuigbouwkunde & Metaal Mechatronica

2

3 Wiskunde Summa College Techniek Werktuigbouwkunde, Metaal en Mechatronica Auteurs: Ruud van Melis Jens Bijsterveld

4 Inhoudsopgave 1. REKENEN INLEIDING GETALBEGRIP OPTELLEN AFTREKKEN VERMENIGVULDIGEN DELEN MACHTSVERHEFFEN MACHTEN VAN TIEN WORTELTREKKEN VOLGORDE VAN BEWERKING BREUKEN BREUKEN OPTELLEN VERHOUDINGEN REKENEN MET VERHOUDINGEN SCHAALBEREKENINGEN PROCENTEN WERKEN MET FORMULES SUBSTITUEREN VERGELIJKINGEN MEETKUNDE EENHEDEN RECHTE FIGUREN CIRKELS DRIEHOEKEN GONIOMETRIE KRACHTENLEER SOORTELIJKE MASSA KRACHTEN EN ZWAARTEKRACHT RESULTANTE KRACHT STERKTELEER INLEIDING TREKSPANNING DRUKSPANNING AFSCHUIFSPANNING MOMENTEN INLEIDING MOMENTEN ARBEID EN VERMOGEN ARBEID VERMOGEN RENDEMENT OVERBRENGINGEN DRUK

5

6

7 1. Rekenen 1.1 Inleiding Dit is het eerste onderdeel van het boek wiskunde. In dit hoofdstuk ga je leren hoe je kleine en grote berekeningen zonder rekenmachine kan maken. Al eerder in het onderwijs heb je kennis gemaakt met rekenen. Waarschijnlijk heb je op een eerdere opleiding ook gebruik mogen maken van een rekenmachine. Nu gaan we weer terug naar de basis om ervoor te zorgen dat je dit ook zonder rekenmachine kan. 1

8 1.2 Getalbegrip Voordat we met het rekenwerk aan de slag gaan zijn er een aantal dingen die je moet weten over getallen. Waarde Getallen bestaan uit één of meer cijfers. De plaats van een cijfer in een getal bepaald de waarde van dat cijfer. Voorbeeld: Het getal 236 De 6 staat op de plek van de eenheden, deze heeft dan een waarde van 6. De 3 staat op de plek van de tientallen, deze heeft dan een waarde van 30. De 2 staat op de plek van de honderdtallen, deze heeft dan een waarde van 200. Punten en komma s Bij getallen vanaf duizend gebruiken we punten om snel te kunnen zien welk getal er precies staat zonder de cijfers te hoeven tellen. Voor iedere drie cijfers komt een punt, te beginnen na het duizendtal. Voorbeeld: Het getal De juiste schrijfwijze is Een komma scheidt de hele getallen van de decimalen. Met de zin: op twee decimalen nauwkeurig wordt dan ook bedoeld: met twee getallen achter de komma Voorbeeld: Het getal tweeëneenhalf De juiste schrijfwijze is 2,5 2

9 Afronden Vaak moet je na een berekening een getal afronden naar een geheel getal of op een aantal decimalen. Tot het cijfer 4 ronden we af naar beneden en vanaf het cijfer 5 ronden we af naar boven. Voorbeeld: Het getal 2,45 afronden op één decimaal wordt 2,5 Want 5 wordt afgerond naar boven. Het getal 2,45 afronden op een geheel getal wordt 2 want 4 wordt afgerond naar beneden. Opgave 1: Schrijf de volgende getallen op de juiste wijze. a = b en een half = Opgave 2: a. rond af op een geheel getal: 95,578 = 24,49 = b. rond af op één decimaal: 3,7642 = 100,99111 = c. rond af op twee decimalen: 0,1263 = 378, = d. rond af op drie decimalen: 4,0085 = 0,99909 = Opgave 3: Zet de volgende getallen in de juiste volgorde van klein naar groot. 5,04 / 7,65 / 3,71 / 4,36 / 1,86 / 7,67 / 3,13 / 5,48 / 0,99 / 4,35 klein groot 3

10 1.3 Optellen Wanneer je grote getallen op gaat tellen is het handig om gebruik te maken van kladpapier. Je maakt hierdoor minder snel een fout. We gaan dit uitleggen aan de hand van een voorbeeld: = Om de getallen bij elkaar op te tellen schrijf je ze eerst netjes onder elkaar: Daarna tel je eerst de eenheden bij elkaar op: = Daarna tel je de tientallen bij elkaar op: = 12, de 2 is in dit geval het tiental en de 1 is een honderdtal, daarom schrijven we die even boven de honderdtallen Vervolgens tellen we de honderdtallen en tot slot de duizendtallen bij elkaar op: = = Antwoord: =

11 Opgave 4: a = b = c = d = e = f = g = h = i = j = k = l = Tip: Een foutje is snel gemaakt. Schat bij iedere berekening die je maakt altijd vooraf wat het antwoord ongeveer moet zijn. Controleer achteraf of dat klopt. Wijkt het antwoord van je schatting af dan ga je uitzoeken welke van de twee verkeerd is. 5

12 1.4 Aftrekken Net als bij optellen is het bij aftrekken van grote getallen handig om gebruik te maken van kladpapier. Je maakt hierdoor minder snel een fout. Hoe je dit uitrekent gaan we uitleggen aan de hand van een voorbeeld: = Om de getallen van elkaar af te trekken schrijf je ze eerst netjes onder elkaar: Daarna trek je eerst de eenheden van elkaar af: 6-2 = Daarna trek je de tientallen van elkaar af: 4 6 wordt een negatief getal. Omdat er voor het tiental 4 nog een honderdtal 5 staat mogen we er daar 1 vanaf halen. We splitsen 540 eigenlijk in 140 en 400. Dus: 14 6 = En tot slot de duizendtallen: 4 3 = Antwoord: = 184 6

13 Opgave 5: a = b = c = d = e = f = g = h = i = j = k = l =

14 1.5 Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen is één van de basisvaardigheden van rekenen. Bij vrijwel iedere berekening moet je wel een keer vermenigvuldigen. Onbewust vermenigvuldig je al vaak veel getallen met elkaar. Tafels Om grote getallen met elkaar te kunnen vermenigvuldigen is het noodzakelijk dat je kleine getallen uit het hoofd met elkaar kunt vermenigvuldigen. Opgave 6: Tafels a. 4 x 7 = f. 3 x 10 = k. 3 x 11 = b. 3 x 6 = g. 5 x 7 = l. 10 x 7 = c. 9 x 4 = h. 8 x 5 = m. 5 x 12 = d. 6 x 8 = i. 9 x 6 = n. 12 x 12 = e. 5 x 4 = j. 6 x 7 = o. 10 x 11 = Vermenigvuldigen met nullen Als je de tafels goed kent, kun je ook vermenigvuldigingen van getallen met veel nullen eenvoudig uitrekenen. Je mag de nullen tijdelijk weglaten, de getallen dan vermenigvuldigen en achter de uitkomst het totaal aantal nullen noteren. Hoe je dit doet zie je in onderstaand voorbeeld. Voorbeeld: 120 x 600 = zonder nullen wordt het: 12 x 6 = en 600 hebben samen 3 nullen dus wordt het: 120 x 600 = Opgave 7: a. 4 x 30 = d. 30 x 600 = g x 60 = b. 6 x = e. 500 x 70 = h. 140 x 300 = c. 90 x 40 = f. 130 x 50 = i x 14 = 8

15 Splitsen Bij het vermenigvuldigen van grote getallen mag je gebruik maken van het feit dat je de getallen ook mag splitsen. Zie onderstaand voorbeeld: Voorbeeld: 25 x 14 mag je splitsen in: 20 x 10 = x 4 = 80 5 x 10 = 50 5 x 4 = Opgave 8: a. 23 x 34 = b. 53 x 72 = = = = = = = = + = + Cijferen De vorige methode is handig, maar wanneer de getallen nog groter worden neemt deze methode veel ruimte in beslag. We gaan nu een compactere manier leren die cijferen genoemd wordt. Dit gaan we weer uitleggen aan de hand van een voorbeeld: 234 x 517 = Eerst schrijf je de getallen netjes onder elkaar x Daarna gaan we de 7 één voor één met de bovenste cijfers vermenigvuldigen. 7 x 4 = 28, onder de eenheden schrijf je nu de 8. De 2 is een tiental en die ga je hierna pas vermenigvuldigen, daarom schrijf je de 2 boven de tientallen op zodat je die er dadelijk bij op kan tellen: x 8 9

16 Nu ga je de 7 met het tiental 3 vermenigvuldigen. 7 x 3 = 21, daar gaan we eerst het tiental 2 van de vorige vermenigvuldiging bij optellen = 23, de 3 schrijven we onder de tientallen en de 2 (eigenlijk een honderdtal) schrijven we nu boven de honderdtallen: x 38 Daarna ga je de 7 met het honderdtal 2 vermenigvuldigen. 7 x 2 = 14, daar tel je weer eerst het getal 2 van de vorige vermenigvuldiging bij op = 16, dit getal mag je helemaal opschrijven omdat er geen duizendtal bijkomt: x x 234 = 1638, dit is het eerste tussenantwoord. Nu ga je het tiental 1 één voor één met de bovenste cijfers vermenigvuldigen. Omdat dit een tiental is schrijven we bij de eenheden alvast een 0 op, want ieder cijfer vermenigvuldigt met een 10 eindigt altijd op een 0. Vervolgens vermenigvuldig je: 1 x 4 = 4 1 x 3 = 3 1 x 2 = 2 dit schrijf je op: x Nu ga je het honderdtal 5 met het bovenste getal vermenigvuldigen. De 5 staat voor 500 dus we schrijven alvast 2 nullen op. Vervolgens vermenigvuldig je: 5 x 4 = 20, de 0 schrijf je op en de 2 schrijven we boven de 3: x

17 De volgende vermenigvuldiging is: 5 x 3 = 15, = 17, de 7 schrijf je op en de 1 boven de 2. Daarna: 5 x 2 = 10, = 11, de 11 schrijf je helemaal op x Tot slot tel je de drie tussenantwoorden bij elkaar op: Opgave 9: a. 24 x 13 = b. 52 x 48 = c. 89 x 61 = x x x d. 124 x 22 = e. 54 x 230 = f. 124 x 28 = x x x

18 g. 204 x 295 = h. 199 x 55 = i. 306 x 259 = x x x j. 444 x 444 = k x 678 = x x + + l x = m x = x x

19 1.6 Delen De volgende basisbewerking die we gaan behandelen is delen. Delen is het tegenovergestelde van vermenigvuldigen. Je gaat uitrekenen hoe vaak iets ergens in past. Er zijn verschillende manieren om getallen te delen: uit het hoofd, handig rekenen, splitsen, haakdeling en staartdeling. We gaan de haakdeling en de staartdeling allebei behandelen, je mag daarna zelf de keuze maken welke methode je gaat gebruiken. De symbolen die worden gebruikt bij de bewerking delen zie je in de onderstaande voorbeelden: 10 : 5 10 / de uitkomst is steeds 2. Delen met behulp van de tafels Om grote getallen te kunnen delen zul je kleine getallen uit je hoofd moeten kunnen delen: Opgave 10: a. 28 : 4 = f. 30 / 5 = k = b. 18 : 6 = g. 35 / 7 = l = c. 36 : 9 = h. 40 / 5 = m = d. 48 : 8 = i. 54 / 6 = n = e. 20 : 4 = j. 42 / 7 = o = Splitsen Als je grote getallen moet gaan delen mag je deze getallen ook splitsen, apart delen en vervolgens de uitkomsten bij elkaar optellen. Voorbeeld 720 : 6 = 720 mag je splitsen in 600 en : 6 = 100 en 120 : 6 = : 6 = =

20 Opgave 11: a : 4 = b : 6 = c. 525 : 5= d. 222 : 2 = e. 650 : 5 = f : 50 = Haakdeling Bij grotere delingen is het niet altijd makkelijk te splitsen. Wanneer dit het geval is, kun je een grote deling oplossen met behulp van een haakdeling. Hieronder zie je aan de hand van een voorbeeld hoe je een haakdeling maakt. 172 : 4 Bij een haakdeling ga je kijken hoe vaak een klein getal in een groot getal past, door middel van happen kom je aan het antwoord. In dit geval ga je kijken hoe vaak 4 in 172 past. Je tekent een haak met daarin het getal dat je gaat delen en links van de haak schrijf je het getal waardoor je gaat delen: Vervolgens reken je uit hoe vaak 4 in ieder geval in 172 past. Bijvoorbeeld 30 keer. De 30 schrijf je rechts van de streep op. 30 x 4 = 120. Het getal 120 schrijf je onder de trek je van de 172 af = 52, schrijf onder de streep

21 Nu ga je berekenen hoe vaak 4 nog in de overgebleven 52 past. Bijvoorbeeld 10 keer. Schrijf de 10 rechts van de streep op. 10 x 4 = 40. Het getal 40 schrijf je onder de trek je van de 52 af = 12, schrijf onder de streep Bereken hoe vaak 4 in 12 past. 12 : 4 = 3. De 3 schrijf je weer rechts van de streep op. 4 x 3 = 12. Deze 12 schrijf je weer onder de andere = Tot slot tel je de uitkomsten bij elkaar op: : 4 = 43 15

22 Opgave 12: a. 112 : 4 = b. 540 : 15 = c. 968 : 8 = d : 7 = e : 8 = f : 40 = 16

23 Staartdeling Met de haakdeling kun je alle delingen oplossen, maar deze methode is niet zo efficiënt mogelijk. Als je de tafels goed kent, kun je de staartdeling gebruiken. Aan de hand van onderstaand voorbeeld leggen we deze methode uit: 568 : 4 = Dit schrijf je als volgt op: Daarna ga je berekenen hoe vaak de 4 in het eerste cijfer van 568 past. 4 past 1 keer in 5. De 1 schrijf je naast de \ 1 x 4 = 4, deze 4 schrijf je onder de 5 en die trek je eraf. 5-4 = 1, deze 1 schrijf je weer onder de 4: Je haalt nu eerst de 6 aan. 4 past 4 keer in 16. Schrijf deze 4 aan de rechterkant, naast de 1, op. 4 x 4 = 16, dit getal schrijf je onder de 16. Trek deze 16 van de andere 16 af, dat is 0: Je haalt nu de 8 aan. 4 past 2 keer in 8. Schrijf deze 2 aan de rechterkant, naast de 14, op. 4 x 2 = 8, dit getal schrijf je onder de 8. Trek deze 8 van de andere 8 af, dat is 0: Je komt op 0 uit dus je hebt je antwoord berekend: 568 : 4 = / \ 4 / \ / \ / \

24 Opgave 13: a. 148 : 4 = b. 585 : 15 = / \ / \ c. 969 : 19 = d : 6 = / \ / \ e : 11 = f : 65 = / \ / \ 18

25 1.7 Machtsverheffen Machtsverheffen wil zeggen dat je een getal, meerdere malen, met zichzelf vermenigvuldigd. Bij machtsverheffen maak je gebruik van twee termen. Term 1: het grondtal Term 2: de exponent Het grondtal is het getal wat met zichzelf vermenigvuldigd wordt. De exponent geeft aan hoe vaak je een getal met zichzelf moet vermenigvuldigen. Machtsverheffen kom je in de praktijk het meest tegen in de kwadraat vorm, ook wel de tweede macht genoemd. Denk bijvoorbeeld aan oppervlakte maten. Voorbeeld: 3 2 In het voorbeeld is 3 het grondtal en 2 is de exponent. Dit betekent dat je het getal 3 één keer met zichzelf moet vermenigvuldigen. 3 2 betekent dus: 3 x is dus kun je op meerdere manieren uitspreken: Drie in het kwadraat Drie tot de macht twee Drie tot de tweede macht Drie tot de tweede Voorbeeld: 5 3 In het voorbeeld is 5 het grondtal en 3 is de exponent. Dit betekent dat je het getal 5 twee keer met zichzelf moet vermenigvuldigen. 5 3 betekend dus: 5 x 5 x is dus kun je op meerdere manieren uitspreken: Vijf tot de derde Vijf tot de macht drie Vijf tot de derde macht Een macht, of exponent kan elke waarde aannemen. Hoe hoger de waarde, hoe vaker je het grondtal met zichzelf moet vermenigvuldigen des te hoger de uitkomst. 19

26 Opgave 14: Schrijf uit en reken uit: a. 4 3 = = b. 2 4 = = c. 3 2 = = d. 7 2 = = e. 9 3 = = f. 6 3 = = g. 1 4 = = h. 5 2 = = Natuurlijk zijn niet alle machten even makkelijk uit te rekenen. Hoe groter de exponent hoe vaker je een getal met zichzelf moet vermenigvuldigen. Daarvoor kun je de manier van uitrekenen gebruiken die je in de paragraaf vermenigvuldigen hebt geleerd. Voorbeeld 1: 7 4 kun je uitschrijven als: 7 4 = 7 x 7 x 7 x = 49 x 7 x = 343 x = Voorbeeld 2: 7 4 kun je uitschrijven als: 7 4 = 7 x 7 x 7 x = 49 x = Er zijn dus meerdere mogelijkheden om een macht uit te rekenen. 20

27 Opgave 15: Schrijf uit en reken uit: a. 4 5 = = b. 6 4 = = c. 3 6 = = d. 7 3 = = e. 5 4 = = f. 2 7 = = g. 8 4 = = h. 9 4 = = 21

28 1.8 Machten van tien In deze paragraaf gaan we kijken naar een bepaalde toepassing van machtsverheffen, namelijk de macht van 10. Zoals de term het al aangeeft krijgt het grondtal 10 een macht. Machten van 10 kom je bijvoorbeeld tegen bij uitzettingscoëfficiënten in je tabellenboek, of als antwoord in je rekenmachine. Je kunt hele grote getallen compact opschrijven met een macht van 10. Positieve macht van tien Voorbeeld 1: 10 2 = 10 x 10 = = 10 x 10 x 10 = = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = Je ziet dat het aantal nullen in de uitkomst gelijk is aan de grootte van de macht. Hiermee kun je het getal 10 9 al direct uitschrijven, dat is een 1 met 9 nullen. Negatieve macht van tien Bij machten van 10 gebruiken we niet alleen positieve getallen maar ook negatieve getallen als macht. Het kan dus voorkomen dat je bijvoorbeeld 10-2 als antwoord in je rekenmachine ziet staan. De negatieve macht is op te schrijven als Je maakt dus als het ware van een negatieve macht een positieve macht onder de breukstreep. Als je dit weer uit zou schrijven krijg je = 0,01 Voorbeeld 2: 10 3 = = = 0, = 10 7 = = = 0, = = 0, Je ziet dat de macht aangeeft op welke plaats de 1 achter de komma staat zorgt er dus voor dat de 1 op de vierde plaats achter de komma staat en dus 0,0001 wordt. 22

29 Wetenschappelijke notatie Met machten van 10 kun je er dus voor zorgen dat je hele grote of hele kleine getallen compact kunt opschrijven. Dit geldt niet alleen voor getallen met een 1 maar ook met andere getallen. Je kan elk willekeurig getal vermenigvuldigen met een macht van 10. Voorbeeld 3: 3 x 10 3 = 3 x = x 10 7 = 8 x = ,3 x 10 4 = 4,3 x = ,21 x 10 6 = 2,21 x = x 10-3 = 4 x = 4 x 0,001 = 0,004 7 x 10-6 = 7 x 8,2 x 10-4 = 8,2 x 6,31 x 10-5 = 6,31 x = 7 x 0, = 0, = 8,2 x 0,0001 = 0,00082 = 6,31 x 0,00001 = 0, Deze manier van getallen opschrijven heet de wetenschappelijke notatie. De wetenschappelijke notatie van 0,00031 is 3,1 x 10-4 Opgave 16: a = d = b = e = c = f = g. 3 x 10 3 = j. 6 x 10-6 = h. 18 x 10 6 = k. 11 x 10-4 = i. 4 x 10 0 = l. 12 x 10-3 = m. 2,3 x 10 2 = p. 8,12 x 10-2 = n. 4,56 x 10 4 = q. 15,6 x 10-4 = o. 0,13 x 10 5 = r. 4,4 x 10-7 = 23

30 1.9 Worteltrekken Bij machtsverheffen heb je geleerd dat een tweede macht ook kwadraat genoemd wordt. 4 Kwadraat betekent 4 2 = 4 x 4 = 16. Je kunt de som ook omdraaien met de vraag: Welk getal is in het kwadraat 16? Als je deze vraag stelt ben je op zoek naar de wortel van 16. Je zoekt dus één getal wat met zichzelf vermenigvuldigd 16 is. Een wortel wordt op de volgende manier weergegeven: 16 Je spreekt dit uit als: De wortel van 16 of wortel 16. Het antwoord van 16 is 4, want 4 2 = 4 x 4 = 16. Het berekenen van een wortel van een getal noem je worteltrekken. Aangezien er geen eenvoudige rekenmethode is om wortel te trekken is het handig om alle kwadraten van getallen (t/m 15) uit je hoofd te leren. Voorbeeld: 25 = 5, want 5 2 = 5 x 5 = = 7, want 7 2 = 7 x 7 = = 11, want 11 2 = 11 x 11 = = 14, want 14 2 = 14 x 14 = = 19, want 19 2 = 19 x 19 = 361 Niet alle wortels hebben een heel getal als uitkomst. Je moet kunnen schatten wat de uitkomst ongeveer is. In de twee voorbeelden hieronder zie je hoe je dat kunt doen: 20 = 16 = 4 en 25 = 5, dan ligt 20 tussen 4 en ligt ongeveer in het midden van 16 en 25, dus wordt 20 4, = 121 = 11 en 144 = 12, dan ligt 125 tussen 11 en ligt dichterbij 121 dan bij 144, dus wordt ,2. 24

31 Opgave 17: a. 16 = g. 75 b. 25 = h. 105 c. 81 = i. 159 d. 100 = j. 220 e. 169 = k. 320 f. 225 = l. 395 Tip: Controleer je antwoord met je rekenmachine. 25

32 1.10 Volgorde van bewerking In de afgelopen paragrafen heb je de basis van het rekenen geleerd. In deze paragraaf gaan we in op de volgorde die je moet aanhouden om berekeningen op te lossen waar meerdere bewerkingen in voor komen. De volgorde die je aan dient te houden ziet er als volgt uit: Haakjes: Machten en wortels: Vermenigvuldigen en delen: Optellen en aftrekken: Als er bewerkingen tussen haakjes staan, reken je eerst deze bewerkingen uit en dan pas ga je verder met de rest van de som. Als er meerdere haakjes in een opgave staan, los je eerst de binnenste haakjes op. Als er geen haakjes in de opgave (meer) staan, reken je de machten en/of wortels uit. Machten en wortels zijn gelijkwaardig. Dit betekent dat je de machten en/of wortels van links naar rechts uitrekent. Als er geen haakjes, machten en/of wortels (meer) in de opgave staan, reken je de vermenigvuldigingen en deelsommen uit. Vermenigvuldigingen en deelsommen zijn gelijkwaardig. Dit betekent dat je de vermenigvuldigingen en/of deelsommen van links naar rechts uitrekent. Als er geen haakjes, machten en/of wortels, vermenigvuldigingen en/of deelsommen (meer) in de opgave staan, reken je de optel- en aftreksommen uit. Optellen en aftrekken zijn gelijkwaardig. Dit betekent dat je de optel- en/of aftreksommen van links naar rechts uitrekent. 26

33 Voorbeeld: 5 x ( x (5 x 3 6) + 3) 8 x 100 Eerst los je de binnenste haakjes op. Daarin moet je eerst vermenigvuldigen en dan pas aftrekken: 5 x ( x (5 x 3 6) + 3) 8 x x ( x (15 6) + 3) 8 x x ( x 9 + 3) 8 x 100 De binnenste haakjes zijn nu weg, in de buitenste haakjes los je nu de eerst de macht op, dan vermenigvuldigen en dan optellen: 5 x ( x 9 + 3) 8 x x (3 + 4 x 9 + 3) 8 x x ( ) 8 x x 42 8 x 100 Nu heeft de wortel voorrang op de rest, dus los je die eerst op: 5 x 42 8 x x 42 8 x 10 Tot slot gaat vermenigvuldigen voor aftrekken dus moet je die beide eerst oplossen: 5 x 42 8 x Uiteindelijk kun je de aftreksom oplossen: = x ( x (5 x 3 6) + 3) 8 x 100=

34 Opgave 18: Werk net als in het voorbeeld onder elkaar uit. a x 2 = b x 2 = c. 4 x 6 2 x 5 = d. 3 x 2 4 = e. 6 2 : x 6 : = f. 2 x (3 + 5) 2 + ( 2 x 3 + 2) 5 = g. 3 x ( ) + 2 x ( ) 2 3 x (8 2 x 3)= h. (34 : (35 6 x (2 2 +1) + 6 x (2 2-4))) x 3= i. 49 x 5 10 : = 28

35 1.11 Breuken In de vorige paragrafen heb je vooral gerekend met hele getallen. Als je hele getallen in stukken gaat verdelen noem je dat breuken. Breuken als getal kom je niet vaak tegen in het dagelijkse leven maar in spreektaal gebruik je het wel regelmatig. Het is daarom wel handig om ook met breuken te kunnen rekenen. Voorbeeld: Breuk: Gisteren heb ik anderhalve pizza gegeten Eén vijfde van alle kiesgerechtigden heeft maar gestemd. De docent heeft driekwart van de les aan uitleg besteed Opbouw van een breuk Een breuk bestaat uit een teller en een noemer. De teller is het getal boven de breukstreep dat aangeeft hoeveel delen je hebt en de noemer staat onder de breukstreep en geeft het totaal aantal delen weer. In de breuk 3 is 3 de teller en 4 de noemer. Je hebt 3 van de 4 delen. 4 Als je gaat rekenen met breuken wordt het makkelijker als je je er een beeld bij kunt vormen. Het is handig om er een tekening bij te maken en deze in te kleuren, je hebt dan een beter beeld van wat de breuk betekent. Voorbeeld: De cirkel is verdeeld in drie gelijke delen. Eén van de drie delen is gekleurd. Het gekleurde deel is één derde deel. De breuk die daarbij hoort is 1 3 De vierkant is verdeeld in vier gelijke delen. Eén van de vier delen is gekleurd. Het gekleurde deel is één vierde deel. De breuk die daarbij hoort is 1 4 De vijfhoek is verdeeld in vijf gelijke delen. Twee van de vijf delen is gekleurd. Het gekleurde deel is twee vijfde deel. De breuk die daarbij hoort is

36 Opgave 19: Geef bij onderstaande figuren aan welk deel gekleurd is en geef de juiste breuk die daarbij hoort. Welk deel is gekleurd: Geef de breuk: Welk deel is gekleurd: Geef de breuk: Welk deel is gekleurd: Geef de breuk: Welk deel is gekleurd: Geef de breuk: 30

37 Gelijkwaardigheid Als je iets in bijvoorbeeld 8,10, 12 of 14 stukken verdeeld dan kun je in al die gevallen nog steeds spreken over de helft, zie onderstaand voorbeeld: 1 = 4 = 5 = 6 = Dit voorbeeld laat zien dat deze breuken gelijkwaardig zijn. Opgave 20: Verbind de onderstaande gelijkwaardige breuken met een lijn

38 Breuken als geheel getal Gehele getallen kun je ook altijd als een breuk schrijven. Voorbeeld: De taart is verdeeld in 6 stukken. Eén zo n stuk is dus 1 6. De volledige taart heeft 6 stukken en krijgt dus de breuk 6 6 Dit betekent dat 6 6 = 1 (hele) Voor andere breuken geldt dat ook, bijvoorbeeld: 8 8 Je kunt ook grotere getallen dan 1 als breuk schrijven. Voorbeeld: = 1 en = 1 Deze pizza s zijn elk verdeeld in 8 stukken van 1 8. Drie hele pizza s hebben samen 24 stukken van is dus gelijk aan 3 (hele). 8 Voor andere breuken geldt dat ook, bijvoorbeeld: 12 3 = 4 en 20 4 = 5 Opgave 21: Schrijf de breuken als heel getal. a. 8 4 = d. b = e = = c = f = 32

39 Samengestelde breuken Soms kan een getal bestaan uit zowel een getal als een breuk. Denk bijvoorbeeld aan een pak melk van anderhalve liter (1 1 liter) of een treinreis van twee uur en een 2 kwartier (2 1 uur). 4 Dit soort getallen noemen we samengetelde breuken. De breuk is samengesteld uit zowel een heel getal als een breuk. Voorbeeld: Onderstaande breuk is te schrijven als samengetelde breuk: 9 8 is op te verdelen in 8 8 en 1 8. Je weet dat 8 gelijk is aan 1. 8 Je hebt nu dus een samengestelde breuk van 1 en is dus te schijven als Met andere breuken werkt dat op dezelfde manier. 5 3 = gelijk aan 3 3 en = gelijk aan 15 5 en is dus te schrijven als is dus te schrijven als Opgave 22: Schrijf de volgende breuken als een samengestelde breuk. a. 7 4 = f = b = g = c = h = d = i. 5 2 = e = j = 33

40 Breuken vereenvoudigen Bij het vereenvoudigen van breuken ga je op zoek naar de kleinst mogelijke gelijkwaardige breuk. Wanneer je een breuk als antwoord hebt van een som, moet je altijd de kleinst mogelijke breuk als antwoord geven. Je kunt aan de kleinst mogelijke breuk komen door de teller (boven de breukstreep) en de noemer (onder de streep) door hetzelfde getal te delen. Voorbeeld De breuk 2 kan vereenvoudigd worden door zowel de teller (2) als de noemer (4) te 4 delen door hetzelfde getal. In dit geval kan je beide getallen delen door 2. 2 : 2 = 1 4 : 2 = kan je dus vereenvoudigen naar 1 2 Het zijn dus gelijkwaardige breuken. Ze hebben dezelfde waarde alleen een andere naam. De breuk 6 kan vereenvoudigd worden door zowel de teller (6) als de noemer (12) te 18 delen door hetzelfde getal. In dit geval kun je beide getallen delen door 2, 3 of 6. Om de breuk zover mogelijk te vereenvoudigen moet je delen door het grootste getal. In dit geval dus 6. 6 : 6 = 1 18 : 6 = kun je dus vereenvoudigen naar

41 Opgave 23: Vereenvoudig de volgende breuken. a = i = b. 4 6 = j = c. d = k = l = 6 15 = e. 9 = m. 42 = f. g. h = n = o = p = = = 35

42 Breuken en decimale getallen Een breuk wordt gezien als een gebroken getal. Een gebroken getal kun je niet alleen als breuk opschrijven maar ook als decimaal getal. Een aantal gebroken getallen kun je nu al opschrijven als breuk en als decimaal getal. Denk bijvoorbeeld aan 0,5 en 1 2 of aan 0,25 en 1 4 Elke breuk is op te schrijven als decimaal getal. Je kunt een breuk namelijk ook zien als deelsom. 1 betekend niks anders dan 1 : 4. Als het bovenste getal (teller) kleiner is 4 dan het onderste getal (noemer) dan krijg je een getal tussen de 0 en de 1, en dus een decimaal getal. Om breuken als decimaal getal op te schrijven moet je weten hoe de decimale getallen genoemd worden. Het eerste cijfer achter de komma is het aantal tiende. Het tweede cijfer achter de komma is het aantal honderdste. Het derde cijfer achter de komma is het aantal duizendste. Het getal 0,4 kun je uitspreken als vier tiende. Vier tiende is ook als breuk op te schrijven namelijk De plaats van het decimaal getal, tiende, honderdste of duizendste, geeft dus direct de mogelijkheid om het als een breuk op te schrijven. Voorbeeld 0,7 = ,03 = ,203 = ofwel zeven tiende ofwel drie honderdste ofwel tweehonderddrie duizendste Opgave 24: Geef de juiste breuk bij het decimaal getal. a. 0,4 = d. 0,51 = b. 0,8 = e. 0,121 = c. 0,13 = f. 0,407 = 36

43 Opgave 25: Geef het juiste decimaal getal bij de breuk. a = d = b. c = e = f = = Als je naar ander soort breuken kijkt dan wordt het iets lastiger om daar een decimaal getal van te maken. Het is de bedoeling dat je een gelijkwaardige breuk zoekt met als noemer 10, 100 of Voorbeeld De breuk 1 moet omgezet worden naar bijvoorbeeld tiende. 5 De gelijkwaardige breuk van 1 5 = De breuk 2 kun je weer als decimaal getal opschrijven namelijk 0,2. 10 De breuk 1 heeft dus 0,2 als decimaal getal. 5 De breuk 3 kun je niet omzetten naar tiende. Deze breuk moet dus worden omgezet 4 naar honderdste. De gelijkwaardige breuk van 3 4 = De breuk 75 kun je weer als decimaal getal opschrijven namelijk 0, De breuk 3 heeft dus 0,75 als decimaal getal. 4 37

44 Opgave 26: Verbind de onderstaande breuken met het juiste decimaal getal ,125 0,25 0,1 0, , , ,75 Opgave 27: Schrijf de breuk als een decimaal getal. 4 a. = f = b = g = c. 3 8 = h. 1 4 = d. e = i. 5 8 = j = 6 5 = 38

45 Bij het omzetten van decimale getallen naar breuken moet je rekening houden met het vereenvoudigen. Je antwoord moet namelijk de kleinst mogelijke breuk zijn. Het antwoord van 0,4 is dus niet 4 4 maar de vereenvoudigde breuk van namelijk 2 5. Opgave 28. Schrijf de decimale getallen als breuk en vereenvoudig zo ver mogelijk. a. 0,75 = b. 0,125 = c. 0,8 = d. 0,64 = e. 0,35 = f. 0,62 = g. 0,17 = h. 0,72 = 39

46 1.12 Breuken optellen In de vorige paragraaf heb je geleerd wat breuken zijn, hoe je getallen als breuk schrijft, wat gelijkwaardige breuken zijn en hoe je breuken kunt vereenvoudigen. Nu ga je leren hoe je breuken bij elkaar op kunt tellen. In het dagelijkse leven kom je dit regelmatig tegen. Bijvoorbeeld: Eén derde deel van mijn inkomen besteed je aan huur en één vierde aan eten. Welk deel heb je uitgeven? Ik eet één kwart van een cake en jij één derde deel. Hoeveel hebben we samen gegeten? Gelijknamige breuken optellen Je kunt dingen alleen bij elkaar optellen als ze dezelfde naam hebben. Een appel en een peer kun je niet optellen. Een stuk fruit en nog een stuk fruit zijn samen twee stukken fruit. Bij breuken is dit ook zo. Als de naam, dus de noemer, gelijk is kun je de tellers bij elkaar optellen. Zie onderstaand voorbeeld: De noemers zijn gelijknamig dus de tellers mogen bij elkaar opgeteld worden. Je krijgt dan twee delen van één achtste. Dit vereenvoudig je daarna naar één vierde = 2 8 = 1 4 Opgave 29: Tel de breuken op en vereenvoudig zover mogelijk. a = e = b = f = c. d = g = h = = 40

47 Samengestelde breuken optellen In de vorige paragraaf heb je geleerd wat samengestelde breuken zijn. Om samengestelde breuken op te tellen moet je een aantal stappen doorlopen. Zie onderstaand voorbeeld: = Stap 1: tel de hele getallen bij elkaar op: = 3 Stap 2: tel de breuken bij elkaar op: = 3 5 Stap 3: tel de uitkomsten bij elkaar op: = Opgave 30: a = b = c = d = e = f = 41

48 Ongelijknamige breuken optellen Ook ongelijknamige breuken kun je optellen, maar deze moet je dan eerst gelijknamig maken. Dat betekent dat je de breuken omzet naar andere gelijkwaardige breuken die wel dezelfde noemer hebben. Je gaat de breuken dus vereenvoudigen of omgekeerd vereenvoudigen, oftewel compliceren. Zie onderstaande voorbeelden: = Bovenstaande breuken hebben verschillende noemers. In de onderdelen gelijkwaardige breuken en vereenvoudigen heb je geleerd dat: 1 2 = 2 4 dus de som wordt: = = In dit voorbeeld volstaat het niet om maar één van de twee breuken om te zetten. Je moet op zoek naar een noemer waar beide breuken naar om te rekenen zijn. Een getal dus dat je kan delen door drie en door vier. Een trucje om dit getal te vinden is door de noemers met elkaar te vermenigvuldigen: 3 x 4 = 12, dus een geschikte noemer is 12. Eerst zet je de eerste breuk om naar de nieuwe noemer: x 4 1 =? = x 4 x 4 Als de noemer met 4 vermenigvuldigd wordt moet de teller ook met 4 vermenigvuldigd worden om te zorgen dat de breuk gelijkwaardig blijft. Nu ga je de tweede breuk ook omzetten: x 3 1 =? = x 3 x 3 Tot slot tel je de gelijknamige breuken bij elkaar op: = =

49 Opgave 31: Maak de breuken gelijknamig en tel ze bij elkaar op. Vereenvoudig zo ver mogelijk a = b = c. d. e. f = = = = Opgave 32: Tel de samengestelde breuken bij elkaar op. Vereenvoudig zo ver mogelijk. a = b = c = d = e = f = 43

50 2. Verhoudingen 2.1 Rekenen met verhoudingen Wanneer je twee hoeveelheden met elkaar wilt vergelijken, spreken we over een onderlinge verhouding. Een verhouding geeft een verband aan tussen aantallen of hoeveelheden. In het dagelijkse leven kom je veel verhoudingen tegen. Voorwerpen, prijzen en aantallen kunnen zich bijvoorbeeld op een bepaalde manier met elkaar verhouden. Een verhouding wordt op meerdere manieren weergegeven: 1 glas cola is 2 euro. De verhouding tussen cola en geld kan op de volgende manieren worden weergegeven: Cola : Geld = 1:2 Cola : Geld = 1 staat tot 2 Cola : Geld = 1 op 2 Voorbeeld Een kilo kaas kost 5,95. Je hebt hier de verhouding tussen gewicht en prijs. Je auto rijdt 120 kilometer per uur. Je hebt hier de verhouding tussen afstand en tijd. Eén op de drie mensen krijgt een griepprik. Je hebt hier de verhouding tussen de mensen die de griepprik krijgen en alle mensen. Je kunt een verhouding makkelijk weergeven in een tabel. Op deze manier kun je ook makkelijk rekenen met verhoudingen. Een kilo tomaten kost 1,50. Je hebt hier de verhouding tussen gewicht en prijs. Als je dit in een tabel gaat zetten ziet het er als volgt uit. Gewicht tomaten 1 kilo Prijs tomaten 1,50 Als je nu een ander gewicht hebt, kun je door middel van de tabel makkelijk berekenen welke prijs daarbij hoort. De verhouding tussen het gewicht en de prijs moet in dit geval altijd hetzelfde zijn. Stel: Je hebt maar 0,75 op zak en je wilt tomaten kopen. Hoeveel kilo kun je dan kopen? Als je dit wilt berekenen dan moet je in de tabel achter de prijs 0,75 invullen. Omdat er een verhouding zit tussen het gewicht en de prijs, moet de berekening van de onderlinge eenheden hetzelfde zijn. Om van 1,50 naar 0,75 te gaan deel je door 2. Om de verhouding te behouden moet je niet alleen de prijs delen door 2, maar ook het gewicht. 1 kilo delen door 2 geeft als antwoord 0,5 kilo. 44

51 Je weet nu dus dat je voor 0,75 een halve kilo tomaten kunt kopen. :2 Gewicht tomaten 1 kilo 0,5 kilo Prijs tomaten 1,50 0,75 :2 Je kunt in de tabel nu bij elk bedrag een gewicht, of bij elk gewicht een bedrag berekenen. Als je voor een salade 3 kilo tomaten nodig hebt, ziet je berekening er als volgt uit. Van 1 kilo naar 3 kilo is een vermenigvuldiging van 3. Dit houdt in dat je de prijs ook moet vermenigvuldigen met 3. 1,50 x 3 = 4,50 x3 Gewicht tomaten 1 kilo 0,5 kilo 3 kilo Prijs tomaten 1,50 0,75 4,50 De verhouding tussen gewicht en prijs was 1 staat tot 1,5. Deze verhouding is behouden want 4,5 : 3 is ook 1,5. x3 De verhouding tussen de eenheden is dus altijd gelijk in een verhoudingstabel. Opgave 33: Bereken in de volgende verhoudingstabel de prijs of het aantal liters melk dat nog niet gegeven is. Hoeveelheid melk 1 liter 5 liter 8 liter Prijs melk 0,50 1,50 3,00 Opgave 34: Met 1 liter verf kun je een muur van 5m 2 schilderen. Bereken in de volgende verhoudingstabel de hoeveelheid verf of de oppervlakte die je kunt schilderen. Verf 1 liter 2,5 liter 6 liter Oppervlakte 5m 2 20m 2 80m 2 45

52 Verdeelde verhoudingen Naast verhoudingen tussen twee hoeveelheden zijn er ook verdeelde verhoudingen. Dit houdt in dat een bepaalde hoeveelheid verdeeld is. Deze hoeveelheid is niet altijd gegeven, maar kun je wel berekenen door beide hoeveelheden bij elkaar op te tellen. Je krijgt dan een verhouding tussen drie eenheden. Voorbeeld De verhouding tussen witte kralen en rode kralen is 2 staat tot 7. Dit is een verdeelde verhouding. Wat deze zin eigenlijk zegt is: Per 9 kralen zijn er 2 wit en 7 rood. De verhouding tussen jongens en meisjes op school is 2 staat tot 3. Dit is een verdeelde verhouding. Wat deze zin eigenlijk zegt is: Per 5 mensen zijn er 2 jongens en 3 meisjes. Als je van deze verdeelde verhoudingen een verhoudingstabel maak, bestaan deze uit 3 rijen. Witte kralen 2 Rode kralen 7 Aantal kralen 9 Jongens 2 Meisjes 3 Mensen 5 Ook de verhoudingen tussen deze 3 eenheden blijven weer gelijk. Als je een groep mensen hebt van 10 of 80 mensen, kun je dus berekenen hoeveel meisjes en hoeveel jongens er in die groep zitten. x2 x8 Jongens Meisjes Mensen x2 x8 46

53 Soms moet je uit de tekst zelf de verhouding halen. Het is dus belangrijk om de tekst goed te lezen. Voorbeeld: Bij een erfenis krijgen Daan en Thomas samen ,00. Daan krijgt twee keer zoveel als Thomas. Het is de bedoeling dat je door middel van makkelijke getallen kiezen een goede verhouding krijgt. Stel: Thomas krijgt 1,00 Daan krijgt twee keer zoveel als Thomas. Daan krijgt 2,00 Samen krijgen ze nu 1,00 + 2,00 = 3,00 Je hebt nu een verhouding uit de tekst gehaald en met cijfers weergegeven. Je kunt je verhouding nu in een tabel gaan invullen met als doel uit te rekenen hoeveel beide krijgen van de totale erfenis van ,00 Je mag de berekening altijd opsplitsen als je dat wilt. x x5000 Thomas 1, , ,00 Daan 2, , ,00 Totaal 3, , ,00 x5000 x Thomas 1, , , ,00 Daan 2, , , ,00 Totaal 3, , , ,

54 Opgave 35: Op het Summa college is de verhouding jongens : meisjes gelijk aan 3 : 5. Het totaal aantal studenten op het Summa college is Bereken het aantal jongens en meisjes op het Summacollege. Gebruik onderstaande tabel als hulpmiddel. Opgave 36: De verhouding tussen de mensen die wel een programmagids kopen en die niet een programmagids kopen in het theater is 5 : 14. Het theater trekt per jaar mensen. Bereken hoeveel mensen wel en hoeveel mensen niet een programmagids kopen per jaar. Gebruik onderstaande tabel als hulpmiddel. Opgave 37: Tim, Paul en Daan besluiten om samen een auto te kopen. De auto kost ,00. Tim legt drie keer zoveel in als Paul. Paul legt twee keer zoveel in als Daan. Bereken hoeveel iedereen inlegt. Gebruik onderstaande tabel als hulpmiddel. 48

55 Om met verhoudingen te rekenen is een tabel niet altijd handig om te gebruiken. Het kan namelijk zo zijn, dat de onderlinge verhoudingen niet eenvoudig zijn. Het is dan de bedoeling dat je via een rekensom aan de verhouding komt. Voorbeeld: In de gemeente Eindhoven wonen mensen. Stel er zijn auto s in Eindhoven. De verhouding auto s : mensen is voor gemeente Reusel hetzelfde. In de gemeente Reusel wonen mensen. De verhouding tussen auto s en mensen is niet makkelijk te zien en ook de verhouding tussen het aantal inwoners is niet meteen duidelijk. Met een rekensom kun je aan de verhouding komen. Eindhoven Inwoners : Auto s = : / heeft als uitkomst 1,9. Dit betekent dat per 1,9 inwoners er 1 auto is. De verhouding voor de gemeente Reusel is hetzelfde dus: Reusel Inwoners : Auto s = :? /? = 1,9. Je kan nu het? berekenen.? = / 1,9? = Dit betekent dus dat de inwoners van Reusel in totaal auto s hebben. Dus: x 1,9 Eindhoven Auto s : Inwoners = : Reusel Auto s : Inwoners = : x 1,9 49

56 Opgave 38: Op een pak rijst staat dat je 270 milliliter water nodig hebt om 150 gram rijst te koken. In het pak zit gram. Bereken hoeveel water er nodig is om het volledige pak rijst te koken. Opgave 39: Je gaat op vakantie naar Amerika. Je hebt Amerikaanse dollars nodig. Je ziet op het bord bij het wisselkantoor de volgende mededeling: 100,00 = $133,40 Je wisselt 140,00 voor dollars. Bereken hoeveel dollars je krijgt. 50

57 Verhoudingen vergelijken. Als je een keuze moet maken tussen twee producten is het handig om de verhouding te kunnen vergelijken. Denk bijvoorbeeld als je deodorant gaat kopen. Je moet met je keuze rekening houden met de hoeveelheid en de prijs. Voorbeeld: Rexona for Men: 4 flessen van 250 ml voor 6,00 Axe: 5 flessen van 150 ml voor 4,25 Je kunt de prijzen en de hoeveelheden op dit moment niet vergelijken, want zowel de prijs als de hoeveelheid is anders. In zo n geval kun je een berekening gaan maken waarbij de hoeveelheid gelijk wordt zodat je de prijs kunt vergelijken. 4 flessen Rexona van 250 ml is ml voor 6,00 5 flessen Axe van 150 ml is 750 ml voor 4,25. Je kunt bijvoorbeeld beide hoeveelheden omreken naar 1.500ml: ml Rexona is 1.000ml x 1,5 en kost dus 6,00 x 1,5 = 9, ml Axe is 750ml x 2 en kost dus 4,25 x 2 = 8,50 Je hebt nu twee gelijke hoeveelheden en dus kun je de prijzen vergelijken. Je ziet nu dat de Axe relatief goedkoper is. 51

58 Opgave 40: In klas A zijn 6 van de 40 studenten ziek. In klas B zijn 4 van de 25 studenten ziek. Bereken in welke klas verhoudingsgewijs meer studenten ziek zijn. Opgave 41: In 2013 heeft Lionel Messi 72 doelpunten gemaakt in 60 wedstrijden. In 2013 heeft Cristiano Ronaldo 55 doelpunten gemaakt in 50 wedstrijden. Bereken welke speler er verhoudingsgewijs meer gescoord heeft in het jaar Opgave 42: Bij de wereldberoemde pannenkoek-eetwedstrijd gaat de finale tussen 2 teams. De strooplikkers zijn met 8 mensen en eten 100 pannenkoeken op. De suikerstrooiers zijn met 7 mensen en eten 90 pannenkoeken op. Laat met een berekening zien in welke team de mensen zitten die per persoon het meeste gegeten hebben Opgave 43: Op de markt staan 3 kramen die fruit verkopen. Kraam 1 verkoopt 2 bakjes aardbeien van 250 gram voor 2,80 Kraam 2 verkoopt 2 bakjes aardbeien van 200 gram voor 2,15 Kraam 3 verkoopt 2 bakjes aardbeien van 500 gram voor 5,50 Laat met een berekening zien bij welke kraam de aardbeien verhoudingsgewijs het goedkoopst zijn. 52

59 2.2 Schaalberekeningen Tekeningen in de techniek zijn vaak op schaal getekend. Hele grote of hele kleine producten kunnen zo duidelijk getekend worden. Als je een tekening moet maken van een groot product ga je de maten op schaal tekenen. Voordat je de tekening kan maken, moet je wel eerst de schaal bepalen. Dit ga je leren in de paragraaf schaalberekening. Als je maten op schaal gaat tekenen, heb je te maken met twee maten: de werkelijke maat en de maat op de tekening (de nominale maat). De schaal wordt altijd als verhouding weergegeven. Voorbeeld: Op de tekening is de maat 8cm, maar de werkelijke maat is 80cm De verhouding tekening : werkelijk is dan 8 : 80. Je moet een schaal altijd zo klein mogelijk opschrijven. Als 8cm op de tekening werkelijk 80cm is, is 1cm op de tekening werkelijk 10cm. De schaal van de tekening is dus 1 : 10. Een maat van een werkstuk is 2mm maar op de tekening is de maat 20mm. De verhouding tekening : werkelijk is dan 20 : 2. Ook hier moet je de verhouding zo klein mogelijk opschrijven. De schaal bij deze tekening wordt dan 10 : 1. Je ziet in bovenstaande voorbeelden dat als je een werkelijke maat verkleint, het grootste getal in de schaal achter het dubbelepunt staat. Als je een werkelijke maat vergroot, staat het grootste getal voor het dubbelepunt. Opgave 44: Op de tekening wordt een maat gegeven van 12mm. In werkelijkheid is de maat 120mm. Geef de verhouding en de schaal. Opgave 45: In werkelijkheid is een maat 80mm. Op de tekening is dezelfde maat 10mm. Geef de verhouding en de schaal. 53

60 Opgave 46: Op de tekening is een gegeven maat 15cm. In werkelijkheid is deze maat 75cm. Geef de verhouding en de schaal. Opgave 47: Op de tekening is een gegeven maat 20cm. In werkelijkheid is deze maat 2mm. Geef de verhouding en de schaal. Opgave 48: De schaal bij een tekening is 1 : 25 Op de tekening meet je 8 maten. Geef de werkelijke maten in mm. a. 4mm = e. 12,5cm = b. 12mm = f. 3cm = c. 5mm = g. 15cm = d. 20mm = h. 3dm = Opgave 49: Je gaat een tekening maken met een schaal 1 : 5 Het werkstuk heeft 6 maten. Geef de maten op de tekening in mm. a. 2m = d. 30dm = b. 30cm = e. 15mm = c. 42,5mm = f. 25cm = 54

61 Opgave 50: Hieronder zie je een titelblok van een tekening. Hierin staat de schaal vermeld. Lees de schaal af en geef de betekenis van de schaal. 55

62 2.3 Procenten Om een verhouding weer te geven worden vaak procenten gebruikt. Bijvoorbeeld bij het berekenen van de BTW (21%) of de winst is met 15% gestegen. Het woord procent betekent per honderd. Het wordt gebruikt om aan te geven hoe een groot deel iets is ten opzichte van het geheel. Dit geheel kan van alles zijn: de jaaromzet, het aantal doelpunten, 520mm,- enz. Het geheel wordt in 100 delen gedeeld en 1 deel noem je 1%. 1 1 van de 100 is hetzelfde als en dus ook het getal 0, Het geheel is dus alle 100 delen samen en is 100% en het getal 1. Procenten en breuken. 1 Zoals je hierboven al kon lezen is 1% 1 van de 100 delen en dus ook de breuk 100. Je kan iedere breuk weergeven als percentage door de breuk om te rekenen naar honderdste, zie onderstaand voorbeeld: Voorbeeld: 1 4 = = 25% 3 5 = = 60% Opgave 51: Verbind de onderstaande breuken met het juiste percentage % 25% 40% 10% % % 56

63 Opgave 52: Schrijf de breuk in procenten (percentage). a. 4 5 = f = b. c. d. e = g. 6 8 = h = i. 2 2 = j = 3 15 = 9 12 = 6 5 = Procenten en decimale getallen In paragraaf 1.11 heb je al geleerd hoe je breuken omrekent naar decimale getallen. Procenten zijn breuken met 100 als noemer dus kun je deze direct opschrijven als honderdste in een decimaal getal. Voorbeeld: 1% = 0,01 25% = 0,25 Andersom geldt ook: 0,05 = 5% 0,89 = 89% Opgave 53: Geef het decimale getal of het percentage. a. 30% = e. 0,2 = b. 12,5% = f. 0,012 = c. 85% = g. 1,23 = d. 150% = h. 8 = 57

64 Opgave 54: Reken het percentage om naar een decimaal getal en een breuk. Vereenvoudig de breuken zover mogelijk. decimaal getal a. 20% = = breuk b. 75% = = c. 9% = = d. 7,5% = = e. 12,5% = = f. 55% = = g. 99% = = h. 2,5% = = Rekenen met procenten Je hebt geleerd hoe je percentages om kunt zetten naar breuken en decimaal getallen. Procenten worden altijd gebruikt om een waarde of een hoeveelheid aan te geven. Nu ga je leren hoe je deze waarden of hoeveelheden kunt berekenen. Voorbeeld: 15% van de leerlingen komt met de auto naar school. Op de betreffende school zitten 1200 leerlingen. Hoeveel leerlingen komen met de auto? Methode 1: Reken uit wat de waarde van 1% is en daarna vermenigvuldigen met het aantal procenten dat je wilt weten leerlingen = 100% 1% = 1200 :100 = 12 15% = 15 x 12 = 180 leerlingen Methode 2: Vermenigvuldig de waarde van 100% met het decimaal getal dat hoort bij het percentage dat je wilt berekenen. 15% = 0, leerlingen x 0,15 = 180 leerlingen 58

65 Opgave 55: Reken uit. a. 4% van 200 = b. 12% van 350 = c. 11,5% van 800 = d. 120% van 80 = Opgave 56: Van een product dat je hebt gemaakt is de kostprijs 120,- Je wilt 10% winst maken op dit product. Bepaal de verkoopprijs van dit product inclusief 21% btw. Opgave 57: Laat met een berekening zien wat goedkoper is: Een televisie van 450,- met 20% korting. Een televisie van 400,- met 10% korting. Opgave 58: Na een stevige onderhandeling koop je een machine voor 5000,-. Je hebt 20% korting gekregen. Wat was de cataloguswaarde van deze machine? 59

66 3. Werken met formules In de wiskunde en natuurkunde wordt er veel gewerkt met formules. Denk daarbij aan het berekenen van een snelheid, inhoud of druk. Een aantal formules zijn heel eenvoudig en andere formules zul je waarschijnlijk opzoeken in het tabellenboek. Om goed met deze formules te kunnen werken ga je in dit hoofdstuk een aantal regels leren kennen en ga je leren hoe je de onbekende in een formule uit kan rekenen. 3.1 Substitueren Het woord substitueren betekend vervangen. In formules staan letters die je bij het uitrekenen vervangt door cijfers, bijvoorbeeld: Bereken de oppervlakte van deze rechthoek. Oppervlakte = lengte x breedte A = l x b A = 5m x 2m = 10m 2 In bovenstaand voorbeeld zie je dat de woorden zijn vervangen voor letters in de formule. Vaak zijn deze letters bewust gekozen zoals de A die afkomstig is van het Engelse woord area dat oppervlakte betekend. Er zijn ook formules die bestaan uit cijfers en letters, bijvoorbeeld: Bereken de omtrek van deze cirkel. Formules worden als volgt geschreven: O = 2 π r of O = 2πr r en π invullen levert: O = 2 x π x 6mm = 37,70mm Het symbool betekend vermenigvuldigen. Wanneer getallen, symbolen en/of letters tegen elkaar aangeschreven worden betekend dat ook vermenigvuldigen. Het symbool π spreek je uit als pi en is 3, Om nauwkeurig te kunnen rekenen met pi is het symbool π toegevoegd op je rekenmachine. Maak onderstaande opgaven om te oefenen met het gebruiken van formules. 60

67 Opgave 59: Gebruik voor deze opgave a= 6, b=3 en c=5. a. a + b + c = b. a - b + 2c = c. a 2 + b 3 c 2 = d. ab c = e. bc : a = f. abc = g. 2bc: a = h. (abc-b 2 ) = Opgave 60: De kosten K (in euro s) van het huren van een auto is uit te drukken in de volgende formule: K = 30 t + 0,15 s a. Wat zouden de t en de s in deze formule waarschijnlijk betekenen? b. Je huurt de auto voor 2 dagen en rijdt in totaal 200km. Hoeveel moet je betalen? 61

68 3.2 Vergelijkingen Om te kunnen rekenen met formules moet je ook vergelijkingen op kunnen lossen. Alles waar een = tussen staat is een vergelijking, want links en rechts van de = is immers evenveel. Voorbeeld 1: = 5 In de vorige paragraaf heb je geleerd hoe je een formule invult. In deze paragraaf ga je leren hoe je met de formule en het antwoord de onbekende in de formule kan berekenen. In een vergelijking wordt de onbekende vaak aangeduid met X. Voorbeeld 2: Je hebt een druk nodig van 180 bar. Je hebt twee luchtcilinders. Eén luchtcilinder heeft 65 bar. Hoe groot moet de druk van de andere luchtcilinder zijn? De vergelijking die je op kunt stellen is: 65 + X = 180 Om de waarde van X te bepalen trek je 65 van 180 af: X = Voorbeeld 3: Je gaat een cirkel buigen. Je gebruikt hiervoor een strook met een lengte van 30cm en je wilt vooraf weten wat de radius van de cirkel wordt. De standaard formule voor de omtrek van een cirkel is: Hierin kunnen we de omtrek van 30cm invullen: Om terug te rekenen naar r ga je 30 eerst delen door 2: Daarna deel je door π, zodat je alleen r overhoudt: O = 2πr 30 = 2πr 15 = πr 15 : π = r Radius r = 4,77cm In bovenstaande voorbeelden heb je kunnen zien dat de onbekenden zijn overgebleven en de rest van de formules zijn weg gerekend. 62

69 Opgave 61: Bereken de onbekende in onderstaande vergelijkingen. a. X - 5 = 20 X = b X = 50 X = c. X 6 = 42 X = d. 2n + 5 = 13 n = e. f. g. P 3 = 9 P = 32 r = 4 r = 200 q 2 = 8 q = h. t 2 6 = 96 t = i. 27 v = 3 v = Opgave 62: De oppervlakte van een cirkel is 1017,88mm 2. De formule voor de oppervlakte van een cirkel is: A = π r 2 Bereken de radius van de cirkel. 63

70 Opgave 63: De formule voor druk (P) is kracht (F) : oppervlakte (A) P = F A De kracht is 800 en de druk is 40. a) Geef de formule om de oppervlakte te berekenen b) Bereken de oppervlakte Opgave 64: De formule voor momenten (M) is kracht (F) x afstand (l) M = F l De afstand is 18 en het moment is 414 a) Geef de formule om de kracht te berekenen. b) Bereken de kracht. Opgave 65: De formule voor dichtheid (ρ) is massa (m) : volume (V) ρ = m V De dichtheid is 7,85 en het volume is 100. a) Geef de formule om de massa te berekenen. b) Bereken de massa. 64

71 Opgave 66: De formule van drukspanning (σ) is kracht (F) : oppervlakte (A) σ = F A De drukspanning is 550 en de oppervlakte is 12,5 a) Geef de formule om de kracht te berekenen. b) Bereken de kracht. Opgave 67: De formule van omtreksnelheid (v) is π diameter (d) toerental (n) v = π d n De snelheid is 21, de diameter is 0,3. a) Geef de formule om het toerental te berekenen. b) Bereken het toerental. Opgave 68: De formule voor vermogen (P) is arbeid (W) : tijd (t) P = W t Het vermogen is en de arbeid is a) Geef de formule om de tijd te berekenen. b) Bereken de tijd. 65

72 In de vorige opgave heb je redelijk eenvoudig de onbekende kunnen berekenen door andere onderdelen weg te rekenen. Het doel is altijd om uiteindelijk één onbekende over te houden en aan de andere kant de waarde van deze onbekende. Om grotere vergelijkingen uit te kunnen rekenen is het nodig om een aantal regels te kennen. We gaan deze regels uitleggen aan de hand van een voorbeeld: Bij een vergelijking zijn beide kanten even groot, je mag het daarom vergelijken met een balans die in evenwicht is. X mag je voorstellen als het gewicht van een product. 5X + 8 = 2X + 20 Zolang je op beide schalen van een balans evenveel weg haalt of erbij zet blijft de balans in evenwicht. De X moet maar aan één kant van de balans voorkomen. Daarom ga je bijvoorbeeld aan beide kanten 2X eraf halen. Dit levert: 3X + 8 = 20 De 8 moet nog weggewerkt worden, zodat je links alleen 3X overhoudt. 8 eraf halen aan beide kanten levert: 3X = 12 Er staat eigenlijk 3 X = 12. Om erachter te komen wat de waarde van X oftewel 1X is ga je beide kanten delen door 3. X = 4 Je kunt controleren of dit antwoord goed is door in de eerste vergelijking op de plaats van de X je antwoord, 4, in te vullen. 5X + 8 wordt: = 28 2X + 20 wordt: = 28 Aan beide kanten is het antwoord 28 dus de balans is in evenwicht. Regels bij het oplossen van vergelijkingen: Je mag aan beide kanten hetzelfde getal optellen. Je mag aan beide kanten hetzelfde getal aftrekken. Je mag aan beide kanten vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Je mag aan beide kanten delen door hetzelfde getal. 66

73 Opgave 69: Bereken de onbekende in onderstaande vergelijkingen. a. 5X 3 = 2X + 6-2X -2X b. 7X - 7 = 5X + 5 3X 3 = X = 9 :3 :3 X = 3 c. 3X + 8 = 2X - 1 d. 6X + 1 = -2X + 9 e. -8X + 14 = -2X + 2 f. -2X + 6 = -X + 1 g. -5X 7 = 5 3X h. X + 7 = 3X

74 Opgave 70: Marco heeft 1.000,- en spaart per jaar nog eens 400,-. Jos heeft 2.000,- en spaart met 200,- per jaar. Stel de formules op en laat met een vergelijking zien na hoeveel jaar ze evenveel geld gespaard hebben. Opgave 71: Een bepaald product frezen kost 50,- per stuk. Dit product kan ook gegoten worden, dan zijn de kosten 30,- per stuk maar moet er een mal gekocht worden voor 5.000,- Bij welk productieaantal zijn deze processen even duur? Stel een vergelijking op en neem X voor het aantal producten. 50X = Opgave 72: Op een strip met een lengte van 550mm moet om de 30mm een gat geboord worden. Het eerste gat komt na 20mm en na het laatste gat moet 20mm overgehouden worden. a. Stel een vergelijking op voor de lengte van de strip en het aantal gaten X. 550mm = b. Bereken hoeveel gaten er geboord kunnen worden. 68

75 4. Meetkunde 4.1 Eenheden Deze paragraaf gaat voornamelijk over de eenheden die horen bij lengte, oppervlakte en inhoud maar ook over de eenheden van massa en energie. Eenheden zijn erg belangrijk om maten goed te begrijpen. Zonder eenheden zouden veel maten verkeerd begrepen worden. Denk bijvoorbeeld aan de afstand tussen Eindhoven en Amsterdam. Deze afstand wordt altijd mét eenheid gegeven. Van Eindhoven naar Amsterdam is 125km. De eenheid die hier gebruikt wordt is de eenheid kilometer. Zonder de eenheid zou je niet weten hoever het is. Van Eindhoven naar Amsterdam is 125. De 125 heeft in deze zin geen eenheid en dus geen waarde. Je weet dus niet of het over meters, centimeters of kilometers gaat. Het is daarom altijd belangrijk om de eenheid te vermelden Lengte-eenheden De standaard eenheid van lengte is meter. In het voorbeeld zie je dat er voorvoegsels staan voor de letter m van meter. Voorbeeld: De hoogte van de Eiffeltoren is 324m De lengte van een liniaal is 30cm De afstand van Utrecht naar Barcelona is 1.500km Ieder voorvoegsel heeft een bepaalde waarde ten opzichte van de standaard eenheid meter. Het rijtje eenheden voor lengte ziet er als volgt uit: 1 Kilometer (km) = m 1 Hectometer (hm) = 100 m 1 Decameter (dam) = 10 m 1 Meter (m) = 1 m 1 Decimeter (dm) = 0,1 m 1 Centimeter (cm) = 0,01 m 1 Millimeter (mm) = 0,001 m Tijdens het omrekenen van getallen en eenheden blijft de waarde gelijk, 100m is immers evenveel waard als 1hm. Alleen de eenheid en het getal veranderen. Per stap omhoog vergroot de eenheid met 10 dus verkleind het getal met 10 (:10). Per stap omlaag verkleind de eenheid met 10 dus vergroot het getal met 10 (x10). 69

76 Voorbeeld: Hoeveel kilometer is decimeter? In het rijtje moet je van decimeter naar kilometer, dit zijn vier stappen omhoog. Dit houdt in dat je het getal vier keer moet delen door 10. (: ) 2.000dm = 200m 200m = 20dam 20dam = 2hm 2hm = 0,2km Hoeveel millimeter is 8 hectometer? In het rijtje moet je van hectometer naar millimeter, dit zijn vijf stappen omlaag. Dit houdt in dat je het getal 8 vijf keer moet vermenigvuldigen met 10. (x ) 8hm = 80dam 80dam = 800m 800m = 8.000dm 8.000dm = cm cm = mm Opgave 73: Schrijf de juiste eenheid achter de getallen. a. De diepte van een zwembad is 1,75 b. De lengte van een auto is 250 c. Het wereldrecord hoogspringen is 25 d. Een flat van vijf verdiepingen is 2,1 e. De lengte van een rolmaat is f. Een bierglas heeft een hoogte van 0,15 Opgave 74: Vul het juiste getal in. a. 1m = cm e. 2dm = dam b. 1cm = mm f. 25hm = mm c. 30m = dam g. 17cm = m d. 1km = cm h. 412cm = dam 70

77 Hetzelfde rijtje voorvoegsels kun je gebruiken om bijvoorbeeld grammen, liters of Joules om te rekenen. In dit geval moet je alleen de meters vervangen door gram, liter of Joule. Voorbeeld: Hoeveel hectogram is milligram? In het rijtje moet je van milligram naar hectogram, dit zijn vijf stappen omhoog. Dit houdt in dat je het getal vijf keer moet delen door 10. (: ) mg = 1.800cg 1.800cg = 180dg 180dg = 18g 18g = 1,8dag 1,8dag = 0,18hg Of meteen de komma 5 plekken opschuiven mg = 0,18hg. Opgave 75: Vul het juiste getal in. a. 50cg = g e. 8cl = hl b. 1J = mj f. 9,6kJ = J c. 4dl = cl g. 2,5ml = dl d. 12g = dg h. 0,5dg = mg 71

78 4.1.2 Oppervlakte-eenheden Net als lengte is oppervlakte een grootheid. Oppervlaktes kom je in de praktijk regelmatig tegen. Denk bijvoorbeeld aan een muur die geschilderd moet worden of een vloer in een slaapkamer waar laminaat moet worden gelegd. Een oppervlakte kun je berekenen door bijvoorbeeld twee lengtes met elkaar te vermenigvuldigen. De eenheid van lengte is meter. Als je twee lengtes met elkaar vermenigvuldigt, doe je dat dus ook voor de eenheid van de lengte. De eenheid voor een oppervlakte is dus meter x meter ofwel m 2. Je spreekt dit uit als vierkante meter. In de vorige sub-paragraaf heb je geleerd dat de stapgrootte bij het omreken van lengte-eenheden iedere keer 10 is. Omdat je bij het berekenen van een oppervlakte twee lengtes vermenigvuldigt heb je dus twee keer die stapgrootte van 10, ofwel een stapgrootte van 100. Zie onderstaande afbeelding. Je ziet een vierkant van 1dm x 1dm of 10cm x 10cm. De oppervlakte is: 1dm x 1dm = 1dm 2 of 10cm x 10cm = 100cm 2 10cm = 1dm 10cm = 1dm Het rijtje eenheden voor oppervlakte ziet er als volgt uit: 1 Vierkante Kilometer (km 2 ) = m 2 1 Vierkante Hectometer (hm 2 ) =hectare = m 2 1 Vierkante Decameter (dam 2 ) =are = 100 m 2 1 Vierkante Meter (m 2 ) = 1 m 2 1 Vierkante Decimeter (dm 2 ) = 0,01 m 2 1 Vierkante Centimeter (cm 2 ) = 0,0001 m 2 1 Vierkante Millimeter (mm 2 ) = 0, m 2 72

79 Tijdens het omrekenen van getallen en eenheden blijft de waarde gelijk, 100cm 2 is immers evenveel waard als 1dm 2. Alleen de eenheid en het getal veranderen. Per stap omhoog vergroot de eenheid met 100 dus verkleind het getal met 100 (:100). Per stap omlaag verkleind de eenheid met 100 dus vergroot het getal met 100 (x100). Voorbeeld: Hoeveel vierkante kilometer is 20 vierkante meter? In het rijtje moet je van meter naar kilometer, dit zijn drie stappen omhoog. Dit houdt in dat je het getal 20 drie keer moet delen door 100 (: ) 20m 2 = 0,2dam 2 0,2dam 2 = 0,002hm 2 0,002hm 2 = 0,00002km 2 Hoeveel vierkante millimeter is 8 vierkante hectometer? In het rijtje moet je van hectometer naar millimeter, dit zijn vijf stappen omlaag. Dit houdt in dat je het getal 8 vijf keer moet vermenigvuldigen met 100 (x ) 8hm 2 = 800dam 2 800dam 2 = m m 2 = dm dm 2 = cm cm 2 = mm 2 Opgave 76: Schrijf de juiste eenheid op achter de getallen. a. De oppervlakte van een parkeerplaats ongeveer 8 b. De oppervlakte van een A4 is ongeveer 6 c. De oppervlakte van een eettafel is d. De oppervlakte van je duimnagel is ongeveer 150 e. De oppervlakte van Nederland is f. De oppervlakte van een toiletruimte is g. De oppervlakte van een kamerdeur is ongeveer 2 73

80 Opgave 77: Vul het juiste getal in. a. 1m 2 = cm 2 e. 2dm 2 = dam 2 b. 1cm 2 = mm 2 f. 25 hectare = m 2 c. 30m 2 = dam 2 g. 17cm 2 = m 2 d. 1km 2 = cm 2 h. 412cm 2 = dam 2 74

81 4.1.3 Inhoudseenheden Na de grootheden lengte en oppervlakte ga je nu aan de slag met de eenheden van inhoud. Inhoud kom je bijvoorbeeld tegen bij verpakkingen, flessen, tanks en ruimten. De inhoud zegt iets over 3 dimensies: lengte, breedte en de hoogte. De inhoud van een rechte ruimte wordt berekend met lengte x breedte x hoogte. Wat betreft de eenheden is dat m x m x m = m 3, dat spreek je uit als kubieke meter. Je hebt geleerd dat bij lengte de stapgrootte 10 en bij oppervlakte 100 is. Omdat er bij inhoud drie dimensies zijn wordt de stapgrootte 10 x 10 x 10 = Zie onderstaande afbeelding. Je ziet een kubus van 1dm x 1dm x 1dm of 10cm x 10cm x 10cm. 10cm = 1dm 10cm = 1dm 10cm = 1dm De inhoud is: 1dm x 1dm x 1dm = 1dm 3 of 10cm x 10cm x 10cm = 1.000cm 3 Het rijtje eenheden voor inhoud ziet er als volgt uit: 1 Kubieke Meter (m 3 ) = 1 m 3 1 Kubieke Decimeter (dm 3 ) = 0,001 m 3 1 Kubieke Centimeter (cm 3 ) = 0, m 3 1 Kubieke Millimeter (mm 3 ) = 0, m 3 75

82 Tijdens het omrekenen van getallen en eenheden blijft de waarde gelijk want 1.000dm 3 is evenveel waard als 1m 3. Alleen de eenheid en het getal veranderen. Per stap omhoog vergroot de eenheid met dus verkleind het getal met (:1.000). Per stap omlaag verkleind de eenheid met dus vergroot het getal met (x1.000). Voorbeeld: Hoeveel kubieke centimeter is 2,5 kubieke meter? In het rijtje moet je van kubieke meter naar kubieke centimeter, dit zijn twee stappen omlaag. Dit houdt in dat je het getal 2,5 twee keer moet vermenigvuldigen met (x ) 2,5m 3 = 2.500dm dm 3 = cm 3 Opgave 78: Schrijf de juiste eenheid achter de getallen (m 3, dm 3, cm 3 of mm 3 ). a. De inhoud van een pak melk is 1 b. De inhoud van een rijtjeshuis is ongeveer 400 c. De inhoud van een dobbelsteen is d. De cilinderinhoud van een auto is bijv e. De inhoud van een badkuip is ongeveer Opgave 79: Vul het juiste getal in. a. 2,5m 3 = cm 3 e. 2cm 3 = dm 3 b. 0,5cm 3 = mm 3 f. 25dm 3 = m 3 c. 15dm 3 = cm 3 g. 17cm 3 = m 3 d. 2500mm 3 = dm 3 h. 412cm 3 = mm 3 76

83 In paragraaf heb je al gerekend met liters, dit is ook een eenheid voor inhoud waarvan de stapgrootte 10 is. Het rijtje eenheden voor de inhoud in liters ziet er als volgt uit: 1 liter (l) = 1 l = 1dm 3 1 Deciliter (dl) = 0,1 l 1 Centiliter (cl) = 0,01 l Milliliter (ml) = 0,001 l = 1cc = 1cm 3 Zoals je ziet is 1 liter evenveel als 1dm 3. Omdat de stap van liter naar milliliter 10 x 10 x 10 = en van dm 3 naar cm 3 ook is een milliliter evenveel als 1cm 3. Opgave 80: 1dm 3 10cm 3 10ml 1.000cl 1m 3 1dl 100cm 3 100cl 1.000cm l 10dm 3 1l Opgave 81: a. 1,25l = cm 3 d. 90cc = ml b. 100cm 3 = l e. 25l = m 3 c. 75,5cl = cc f. 17mm 3 = ml 77

84 4.2 Rechte figuren Inleiding In deze paragraaf ga je rekenen aan rechte figuren. Je gaat de omtrek, oppervlakte en inhoud berekenen van vierkanten, rechthoeken, kubussen, balken en combinaties daarvan. Hieronder zie je deze verschillende figuren met hun benaming: Vierkant Rechthoek Kubus Balk Een vierkant is een rechthoek, maar een rechthoek is niet altijd een vierkant Klopt dit? Omtrek De omtrek van een recht figuur is de totale lengte van alle zijden in dat figuur. Het symbool voor de omtrek is O. Voor een vierkant geldt dat: Voor een rechthoek geldt dat: O = 4 l O = 2 l + 2 b Oppervlakte Het symbool voor de oppervlakte is de A afkomstig van het Engelse woord Area. Je kunt de oppervlakte van rechthoeken berekenen door de lengte met de breedte te vermenigvuldigen. Zie onderstaand voorbeeld: 3cm 6cm De oppervlakte van bovenstaande rechthoek komt overeen met het aantal vierkantjes van 1cm 2. A = l b A = 3cm 6cm = 18cm 2. Let er op dat de lengte en breedte dezelfde eenheid moeten hebben! 78

85 Let op: alle maten zijn gegeven in mm tenzij anders vermeld staat. Geef altijd een eenheid bij je antwoord. Opgave 82: De lengte en de breedte van dit vierkant zijn 4cm. Bereken de omtrek en de oppervlakte. 4cm 4cm Opgave 83: Bereken de omtrek en de oppervlakte van dit figuur Opgave 84: Elk vierkant in het figuur heeft een zijde van 3cm. Laat met een berekening zien hoe groot de oppervlakte van het figuur is in cm 2 79

86 Opgave 85: Een rechthoekige bedrijfshal is 20m breed, 50m lang en 5m hoog. De voorkant, achterkant en zijkanten van deze bedrijfshal worden bedekt met golfplaten van 2m bij 2m. In de voorkant komt een roldeur van 4m bij 4m. a. Bereken de totale wandoppervlakte. b. Bereken hoeveel golfplaten je nodig hebt. (je kunt de platen doorzagen) 80

87 Opgave 86: Hieronder zie je een plattegrond van een huis. a. Bereken de oppervlakte van slaapkamer 1 in m 2 b. Bereken de oppervlakte van slaapkamer 2 in m 2 c. Bereken de oppervlakte van de huiskamer in m 2 81

88 4.2.4 Inhoud Een ander woord voor inhoud is volume, het symbool voor inhoud is dan ook V. Om de inhoud van een recht figuur te berekenen vermenigvuldig je de lengte met de breedte en de hoogte. V = l x b x h of V = A x h Voorbeeld: In bovenstaande formule zie je goed dat je eigenlijk de oppervlakte vermenigvuldigd met het aantal lagen (de hoogte). V = 10 x 10 x 6 82

89 Opgave 87: Bereken de inhoud van deze balk Opgave 88: Een balk met een vierkant grondvlak heeft een inhoud van 162dm 3. De hoogte is 800mm. Bereken de lengte van het grondvlak. 800 Opgave 89: Bereken de inhoud van dit figuur Opgave 90: Hiernaast zie je het plattegrond van een bungalow. De maten zijn gegeven in mm. De hoogte is 2.600mm. Bereken de inhoud van deze bungalow in m

90 4.3 Cirkels Inleiding In het vorige hoofdstuk heb je gerekend met de omtrek, oppervlakte en inhoud van rechte figuren. In dit hoofdstuk ga je de omtrek en oppervlakte van cirkels berekenen. Voor het berekenen van de omtrek of de oppervlakte heb je kennis nodig van de benamingen die voorkomen in de cirkel. Elke cirkel heeft een radius (straal) en een diameter. De radius van de cirkel is de lijn die vanuit het middelpunt van de cirkel getrokken wordt naar de rand van de cirkel. De radius kan op elke plaats van de cirkel voorkomen. De radius wordt aangegeven met de letter r. r De diameter van de cirkel is de lijn die vanuit de rand van de cirkel, door het middelpunt, naar de rand van de cirkel getrokken wordt. Ook de diameter kan op elke plaats van de cirkel voorkomen. De diameter wordt aangegeven met de letter d. d Omtrek Om de omtrek van een cirkel te berekenen heb je twee formules die je kunt gebruiken. De omtrek wordt aangegeven met de letter O. De omtrek van een cirkel kun je berekenen met de formules: O = π d of O = π 2 r Oppervlakte Ook voor het berekenen van de oppervlakte heb je twee formules die je kunt gebruiken. De oppervlakte wordt aangegeven met de letter A. De oppervlakte van een cirkel kun je berekenen met de formules: A = π r 2 of π d2 A = 4 84

91 Opgave 91: Bereken de omtrek en de oppervlakte van de volgende cirkels: 85

92 Opgave 92: Je boort een gat met een boor die een diameter heeft van 7 mm. Bereken de oppervlakte en de omtrek van het geboorde gat. Opgave 93: De doorsnede van een hoogspanningskabel heeft een oppervlakte van 706 mm 2. Bereken de diameter van de kabel. Rond af op een heel getal. Opgave 94: De omtrek van de aarde is km. Bereken de diameter van de aarde. Opgave 95: Het blad van een cirkelzaag heeft een radius van 100 mm. Bereken de lengte die het zaagblad aflegt in één omwenteling. 86

93 4.4 Driehoeken In de vorige paragrafen heb je kennis gemaakt met rechte figuren en met cirkels. Het laatste figuur waarmee je kennis gaat maken is de driehoek. Er zijn meerdere soorten driehoeken en er kan veel gerekend worden met en in driehoeken. Voordat er gerekend gaat worden in driehoeken moet je natuurlijk eerst weten wat voor driehoeken er zijn Soorten driehoeken Driehoeken heb je in alle soorten en maten. Één van de vuistregels in een driehoek is dat de som van de drie hoeken gelijk is aan 180. Elk soort driehoek heeft zijn eigen kenmerk. Hieronder zie je de soorten driehoeken met onderdelen waar je ze aan kan herkennen. Rechthoekige driehoek: Heeft een rechte hoek (90 ) Scherphoekige driehoek: Heeft alleen maar scherpe hoeken. (Hoeken die kleiner zijn dan 90 ) Stomphoekige driehoek: Heeft 1 stompe hoek. (Hoek die groter is dan 90 ) Gelijkbenige driehoek: Heeft twee zijden die precies even lang zijn, (2 benen). Twee hoeken zijn altijd even groot. Gelijkzijdige driehoek: Alle drie de zijden zijn even lang en alle drie de hoeken zijn

94 Opgave 96: Geef de naam van de volgende driehoeken en bereken de onbekende hoek. a b c d

95 In de praktijk krijg je natuurlijk niet altijd een mooie driehoek waarin gerekend moet worden. Ook in de werkstukken die je maakt moet er vaak gezocht worden naar de juiste driehoeken. Het is daarom handig dat je, wanneer er gerekend dient te worden, op zoek gaat naar de juiste driehoek. Voorbeeld: In de volgende opgave moet de hoogte van de cirkel berekend worden die boven de V-gleuf uitsteekt. Het is handig als je in de tekening wat driehoeken kan vinden. De berekeningen in deze driehoeken zijn een hulpmiddel om te weten te komen wat de hoogte is die de cirkel uitsteekt. 89

96 Opgave 97: Zoek in de volgende tekeningen zoveel mogelijk driehoeken. 90

97 4.4.2 Oppervlakte De oppervlakte van een driehoek bereken je op een andere manier dan de oppervlakte van een rechthoek. De oppervlakte van een driehoek is de helft van de oppervlakte van de rechthoek die daar omheen getekend kan worden. Voorbeeld: Deze rechthoeken hebben een oppervlakte van: 5 x 3 = 15 De driehoeken vullen de helft van deze rechthoeken dus hebben een oppervlakte van: 15 : 2 = 7,5 Bovenstaande berekeningen kun je samenvatten in de formule: A = b h 2 De b staat voor de basis van een driehoek. De basis is een willekeurige zijde van de driehoek, meestal neem je de horizontale zijde als basis. De h staat voor de hoogte, dit is de loodrechte lijn vanaf de basis naar het andere hoekpunt. Zie afbeelding. basis Opgave 98: Bereken de oppervlakte van deze driehoek

98 Opgave 99: Bereken de oppervlakte van het trapezium Opgave 100: Bereken de oppervlakte van het parallellogram Opgave 101: Bereken de oppervlakte van dit figuur Opgave 102: Bereken de oppervlakte van deze driehoek

99 4.4.3 Omtrek, Stelling van Pythagoras Om de omtrek van een driehoek te bereken heb je de lengtes van alle zijden nodig. Vaak zijn de lengtes van de rechte zijden gegeven en moet je de lengtes van de schuine zijde(n) berekenen. De Griekse geleerde Pythagoras is tot de ontdekking gekomen dat de lengte van de zijden in een rechthoekige driehoek met elkaar in verband staan. Dit verband noemen we de Stelling van Pythagoras. Stelling van Pythagoras: De korte rechthoekzijde in het kwadraat en de lange rechthoekzijde in het kwadraat zijn samen gelijk aan de schuine zijde in het kwadraat. a c Vertaald naar een formule is dit: a 2 + b 2 = c 2 Wanneer je een beeld kunt vormen bij deze formule wordt het makkelijker om er mee te werken. Daarom gaan we deze formule hieronder uitwerken. De oppervlakte van een vierkant wordt ook berekend met zijde keer zijde ofwel a 2. In onderstaande driehoek zijn daarom aan alle zijden vierkanten gemaakt. De oppervlakte van de twee kleine vierkanten zijn dan samen net zo groot als de oppervlakte van het grote vierkant. b c 2 a 2 a c c a b b b 2 Met deze stelling kun je bij een rechthoekige driehoek met twee bekende zijden altijd de onbekende zijde berekenen, zie de voorbeelden op de volgende pagina. 93

100 Voorbeeld: Bereken de lengte van de schuine zijde. Uitwerking: a 2 + b 2 = c 2 Invullen a = 3 b = 4 levert: = c 2 Uitrekenen en invullen 3 2 = 9 en 4 2 = 16 levert: = 25 c 2 = c De oppervlakte van het grootste vierkant is dus 25. De lengte van zijde c is dan te berekenen door de wortel te trekken: c = 25 = 5 zijde c = 5. Voorbeeld: Bereken de lengte van rechthoekzijde b. Uitwerking: a 2 + b 2 = c 2 Invullen a = 5 c = 13 levert: b 2 = 13 2 Uitrekenen en invullen 5 2 = 25 en 13 2 = 169 levert: 25 + b 2 = 169 b 2 = = b 5 De oppervlakte van het vierkant b is dus 144. De lengte van zijde b is dan te berekenen door de wortel te trekken: b = 144 = 12 zijde b =

101 Opgave 103: Bereken de zijde x en de omtrek in de volgende driehoeken. a x b. x 7 4 c. 3 6 x d x 95

102 Opgave 104: Bereken de omtrek van deze driehoek door eerst de zijde x en y te berekenen. y x Opgave 105: Bereken de omtrek van dit figuur Opgave 106: Bereken hoogte x. 36 x r = 20 96

103 4.5 Goniometrie Goniometrie is een tak van de wiskunde waar we gebruik van gaan maken om te rekenen aan driehoeken. Je kunt hiermee zowel zijdes als hoeken berekenen. Van goniometrie heb je misschien nog niet eerder gehoord, maar van Sinus, Cosinus en Tangens vast wel. Laat je niet afschrikken door deze drie begrippen, ze betekenen eigenlijk alle drie verhouding. Ze staan voor de verhoudingen tussen de zijdes van een rechthoekige driehoek. Je gaat daarom eerst kijken naar verhoudingsgetallen Verhoudingsgetallen Iedere rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekzijdes en één schuine zijde. Afhankelijk vanaf welke hoek je de driehoek beschouwd noemen we de ene rechthoekzijde de aanliggende rechthoekzijde en de andere de overstaande rechthoekzijde. De twee rechthoekzijdes liggen aan de hoek van 90, zie onderstaande afbeelding: Rechthoekzijde Schuine zijde Rechthoekzijde Alle zijdes staan met elkaar in verhouding. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de twee scherpe hoeken. In het voorbeeld hieronder zie je dat bij een hoek van 45 de twee rechte zijdes even lang zijn. Verander je de hoek dan verandert ook deze verhouding. Hoek: Verhouding: Verhoudingsgetal: 4 4 : 4 4 / 4 = : 4 5 / 4 = 1,25 51,3 4 36, : 4 3 / 4 = 0,75 97

104 Uit de voorbeelden op de vorige pagina kun je opmaken dat iedere hoek een eigen verhouding heeft. Hier kun je iets mee, zie onderstaand voorbeeld. Voorbeeld: We kunnen nu in onderstaande driehoek de onbekende rechthoekzijde x berekenen: In het vorige voorbeeld zag je dat bij een hoek van 51,3 de verhouding tussen de twee rechthoekzijdes 1,25 is. Zijde x is dus 1,25 keer zo lang als de andere rechthoekzijde. X : 12 = 1,25 X X = 12 x 1,25 = 15 X = 15 51,3 12 Opgave 107: Van de driehoek hiernaast zijn alle hoeken en zijdes bekend ,6 12 a. Bereken van de hoek van 22,6 het verhoudingsgetal tussen de overstaande rechthoekzijde en de aanliggende rechthoekzijde. b. Onderstaande driehoek heeft dezelfde hoek en dus ook dezelfde verhoudingen. Bereken met behulp van het verhoudingsgetal de onbekende zijde X X 22,

105 Opgave 108: Van de driehoek hiernaast zijn alle hoeken en zijdes bekend ,6 a. Bereken van de hoek van 22,6 het verhoudingsgetal tussen de aanliggende rechthoekzijde en de schuine zijde. 12 b. Bereken met behulp van het verhoudingsgetal de onbekende zijde Y 52 22,6 Y Opgave 109: Van de driehoek hiernaast zijn alle hoeken en zijdes bekend. a. Bereken van de hoek van 60 het verhoudingsgetal tussen de aanliggende rechthoekzijde en de schuine zijde ,46 b. Bereken van de hoek van 30 het verhoudingsgetal tussen de aanliggende rechthoekzijde en de schuine zijde c. Bereken met behulp van verhoudingsgetallen de onbekende zijdes X, Y en Z. 15 X 5 Z Y

106 4.5.2 Tangens In de vorige sub paragraaf heb je gewerkt met verhoudingsgetallen. Je hebt geleerd dat iedere hoek een specifieke verhouding heeft tussen de zijdes. De verhouding tussen de twee rechthoekzijdes noemen we de tangens van een hoek. De tangens van een hoek wordt berekend door de overstaande rechthoekzijde te delen door de aanliggende rechthoekzijde. Tangens van een hoek (tan α ) = Overstaande rechthoekzijde Aanliggende rechthoekzijde We kunnen hier de volgende twee dingen mee doen: Hoek berekenen: Iedere hoek heeft zijn eigen specifieke verhouding dus als je de tangens van een hoek hebt bepaald kun je de grootte van die hoek opzoeken of opvragen in je rekenmachine. Zijde berekenen: Wanneer de hoek bekend is kun je de tangens opvragen en met dit verhoudingsgetal kun je een eventuele onbekende zijde berekenen. Voorbeeld: Bepaal hoek α. Om hoek α te bepalen ga je eerst de tangens van hoek a bepalen. tan α = = 0,5714 α In je tabellenboek kun je opzoeken bij welke hoek deze tangenswaarde hoort. Je kunt dit ook opvragen in je rekenmachine, dit noemen we de inverse tangens Type: tan -1 (0,5714) dit doe je door shift tan of 2nd tan te gebruiken. Als antwoord krijg je 29,74. α = 29,74 100

107 Voorbeeld: Bereken de onbekende zijde X. Om zijde X te bepalen ga je eerst de tangens van de hoek bepalen. tan 68,2 = 2,5 tan α = Overstaande rechthoekzijde Aanliggende rechthoekzijde 40 2,5 = 40 X X = 40 2,5 = 16 68,2 X Opgave 110: a. Bereken zijde X. X b. Bereken zijde Y. 56,3 8 71,6 Y 45 Opgave 111: a. Bereken hoek α. α 14 7 b. Bereken hoek β β 101

108 4.5.3 Sinus In de vorige sub paragraaf heb je geleerd dat de tangens de verhouding is tussen de twee rechthoekzijdes. Ook de verhouding tussen de rechthoekzijdes en de schuine zijde is specifiek voor iedere hoek. De verhouding tussen de overstaande rechthoekzijde en schuine zijde noemen we de sinus van een hoek. De sinus van een hoek wordt berekend door de overstaande rechthoekzijde te delen door de schuine zijde. Sinus van een hoek (sin α ) = Overstaande rechthoekzijde Schuine zijde We kunnen hier weer de volgende twee dingen mee doen: Hoek berekenen: Iedere hoek heeft zijn eigen specifieke verhouding dus als je de sinus van een hoek hebt bepaald kun je de grootte van die hoek opzoeken of opvragen in je rekenmachine. Zijde berekenen: Wanneer de hoek bekend is kun je de sinus opvragen en met dit verhoudingsgetal kun je een eventuele onbekende zijde berekenen. Voorbeeld: Bepaal hoek α. Om hoek α te bepalen ga je eerst de sinus van hoek a bepalen. α sin α = = 0,5 In je tabellenboek kun je opzoeken bij welke hoek deze sinuswaarde hoort. Je kunt dit ook opvragen in je rekenmachine, dit noemen we de inverse sinus Type: sin -1 (0,5) dit doe je door shift sin of 2nd sin te gebruiken. Als antwoord krijg je 30. α =

109 Voorbeeld: Bereken de onbekende zijde X. Om zijde X te bepalen ga je eerst de sinus van de hoek bepalen. sin 68,5 = 0,93 sin α = 0,93 = 40 X X = 40 0,93 = 43 Overstaande rechthoekzijde Schuine zijde X 68,5 40 Opgave 112: a. Bereken zijde X. 14 X b. Bereken zijde Y. 59 Y 73,2 45 Opgave 113: a. Bereken hoek α. α 16 7 b. Bereken hoek β. 10 β

110 4.5.4 Cosinus In de vorige sub paragraven heb je geleerd dat de tangens de verhouding is tussen de twee rechthoekzijdes en de sinus de verhouding tussen de overstaande rechthoekzijde en de schuine zijde. De verhouding tussen de aanliggende rechthoekzijde en schuine zijde noemen we de cosinus van een hoek. De cosinus van een hoek wordt berekend door de aanliggende rechthoekzijde te delen door de schuine zijde. Cosinus van een hoek (cos α ) = Aanliggende rechthoekzijde Schuine zijde We kunnen hier weer de volgende twee dingen mee doen: Hoek berekenen: Iedere hoek heeft zijn eigen specifieke verhouding dus als je de cosinus van een hoek hebt bepaald kun je de grootte van die hoek opzoeken of opvragen in je rekenmachine. Zijde berekenen: Wanneer de hoek bekend is kun je de cosinus opvragen en met dit verhoudingsgetal kun je een eventuele onbekende zijde berekenen. Voorbeeld: Bepaal hoek α. Om hoek α te bepalen ga je eerst de cosinus van hoek a bepalen. cos α = = 0,875 α In je tabellenboek kun je opzoeken bij welke hoek deze cosinuswaarde hoort. Je kunt dit ook opvragen in je rekenmachine, dit noemen we de inverse cosinus Type: cos -1 (0,875) dit doe je door shift cos of 2nd cos te gebruiken. Als antwoord krijg je 28,96. α = 28,96 104

111 Voorbeeld: Bereken de onbekende zijde X. Om zijde X te bepalen ga je eerst de sinus van de hoek bepalen. cos 68,5 = 0,3665 cos α = 0,3665 = X 30 Aanliggende rechthoekzijde Schuine zijde X = 0, = ,5 X Opgave 114: a. Bereken zijde X. 28 b. Bereken zijde Y. 55 X Y 73,4 10 Opgave 115: a. Bereken hoek α. 16 α 14 b. Bereken hoek β. 15 β

112 4.5.5 Toepassen In de vorige vier sub paragraven heb je geleerd hoe je kunt rekenen met behulp van de sinus, cosinus en tangens. Wat je nu nog moet oefenen is wanneer je welke functie moet gebruiken. Hier hebben we een handig hulpmiddel voor: Sos Cas Toa Sos: Cas: Sinus van een hoek (sin α ) = Cosinus van een hoek (cos α ) = Overstaande rechthoekzijde Schuine zijde Aanliggende rechthoekzijde Schuine zijde Toa: Tangens van een hoek (tan α ) = Overstaande rechthoekzijde Aanliggende rechthoekzijde Voorbeeld: Bereken de onbekende zijde X. Om zijde X te bepalen heb je de verhouding nodig tussen X en de zijde van 80. Ten opzichte van de hoek van 68,5 noemen we de zijde van 80 de Overstaande rechthoekzijde en zijde X de Schuine zijde. De O en de S komen voor in SOS. Dus deze verhouding is de sinus van de hoek. sin 68,5 = 0,93 sin α = 0,93 = 80 X X = 80 0,93 = 86 Overstaande rechthoekzijde Schuine zijde X 68,

113 Voorbeeld: Bepaal hoek α. Om hoek α te bepalen maak je gebruik van de zijdes van 40 en 65. Ten opzichte van hoek α noemen we deze de Aanliggende rechthoekzijde en de Overstaande rechthoekzijde. De A en de O komen voor in TOA. Dus deze verhouding is de Tangens van hoek α. α tan α = = 0,6154 tan -1 (0,6154) = 31,61 α = 31,61 Opgave 116: a. Bereken zijde X. 16 X 55 b. Bereken hoek α. 6 α 13 c. Bereken zijde Z. Z 73,2 45 d. Bereken hoek β. 30 β

114 Opgave 117: Om onderstaand product te maken moet je berekenen hoe lang de steunbalkjes, aangegeven met A, moeten worden. Bereken lengte A A 45 Opgave 118: Van een product ga je een hoek af frezen. Bereken hoek α. α 108

115 Opgave 119: De diameter van de steekcirkel is 180mm. De gaten staan onder een hoek van 40 ten opzichte van het hart. Bereken de waarde van X en Y. 180 Y 40 Opgave 120: Hieronder zie je een onderdeel van het product Tafelwagen. Je gaat het blad zetten. Bereken de uitgestrekte lengte, je hoeft hierbij geen rekening te houden met buigcorrecties. X

116 Opgave 121: Voor de onderstaande constructie ga je de tussenbalk X zagen. De dikte van de balk is 200mm. Je hebt nog een lengte liggen van 1.500mm, kun je deze hiervoor gebruiken? X

117 Opgave 122: Bereken de hoeken a, b, c, d. a b c d 111

118 5. Krachtenleer 5.1 Soortelijke massa In de techniek werk je met veel materialen. Denk bijvoorbeeld aan verschillende soorten metalen en vloeistoffen. Elk materiaal heeft unieke eigenschappen. Eén van deze eigenschappen is de soortelijke massa, ook wel dichtheid of volumemassa genoemd. De soortelijke massa van een materiaal geeft aan wat de massa van een stof is, per volume eenheid. Denk hierbij aan het grootste verschil tussen lood en aluminium. 1 kilo lood heeft een kleinere volume dan 1 kilo aluminium. Dit komt omdat de soortelijke massa van lood vele malen hoger is dan die van aluminium. In deze paragraaf ga je soortelijke massa s van verschillende materialen berekenen en onderzoeken. De soortelijke massa van een stof wordt aangegeven met de Griekse letter (rho) ρ. Om de soortelijke massa te bepalen deel je de massa van het materiaal door het volume. De massa wordt hier weergegeven met het symbool m, het volume met de V. Als je de formule opstelt van de soortelijke massa ziet deze er als volgt uit: ρ = m V Massa wordt aangegeven in de eenheid kg (kilogram). Volume, ook wel de inhoud, wordt aangegeven in dm 3 (kubieke decimeter). De soortelijke massa wordt aangeven in kg/dm 3 (kilogram per kubieke decimeter). Voorbeeld 1: Een blokje aluminium van 2 dm 3 heeft een massa van 5,4kg. Als je de soortelijke massa wilt berekenen moet je de massa en het volume in de formule invullen. m = 5,4kg V = 2dm 3 ρ = m 5,4 kg = V 2 dm 3 = 2,7kg/dm3 De soortelijke massa van aluminium is dus 2,7 kg/dm

119 Het is natuurlijk ook mogelijk om de massa of het volume te berekenen wanneer je de soortelijke massa van een materiaal hebt. Voorbeeld 2: De soortelijke massa van zink is 7,14 kg/dm 3. Bereken het volume van een blok zink dat 4kg weegt. In dit geval moet je de formule omzetten. Wanneer je het volume wilt berekenen wordt de formule: V = m ρ Het volume van het blokje zink is dus te berekenen door de massa te delen door de soortelijke massa. V = 4 kg = 0,56 dm3 7,14kg/dm3 In je tabellenboek staan een aantal lijsten waarin de soortelijke massa van materialen af te lezen is. Zorg er in dit hoofdstuk voor dat je deze lijsten weet te vinden. 113

120 Opgave 123: Bereken de soortelijke massa van een blokje koper met het volume van 12dm 3 en een massa van 107,16kg. Opgave 124: Bereken de soortelijke massa van 3 liter olie met een massa van 2,4kg. Opgave 125: Bereken de soortelijke massa van een plaat hooggelegeerd staal met een oppervlakte van 2m 2 en een dikte van 5mm met een massa van 78,5kg. Zoek op in je tabellenboek of dit klopt. Opgave 126: Zoek in je tabellenboek de soortelijke massa van lood op. Bereken de massa van 13dm 3 lood. 114

121 Opgave 127: Bij het leveren van plaatmateriaal heb je de beschikking over een vrachtwagen die een maximaal laadgewicht heeft van 7ton. De platen die vervoerd moeten worden zijn 3mm dik, en hebben een oppervlakte van 6m bij 2m = 12m 2. Je hebt 12 platen van lood en 20 van aluminium. Laat met een berekening zien of alle platen in één keer vervoerd kunnen worden. Opgave 128: Een stalen as, Ø50, met een lengte van 2m wordt verchroomd. De massa van de as is na verchromen 31kg. Wat is het volume chroom dat is aangebracht. Opgave 129: Tijdens het goud delven is je opbrengst na één dag precies een jampotje vol van 20 karaat goud. De inhoud van één potje is 250ml. Zoek in je tabellenboek de soortelijke massa op van goud. Zoek op internet de goudprijs op. Wat levert één jampotje met goud op? 115

122 5.2 Krachten en zwaartekracht In deze paragraaf gaan we het hebben over krachten. Alles op aarde bezit een kracht. De meest bekende is de zwaartekracht. Ook wel de aantrekkingskracht tussen een voorwerp (of persoon) en de aarde genoemd. De grootte van deze zwaartekracht Fz is te berekenen met de formule: F z = m g F is symbool dat staat voor kracht. De m is, net als in de vorige paragraaf, het symbool voor de massa en g staat voor de gravitatiekracht, ook wel valversnelling genoemd. De gravitatiekracht g, heeft een vast waarde namelijk 9,81 m/s 2 De overige krachten kun je berekenen door de massa te vermenigvuldigen met de versnelling. De versnelling heeft bij de overige krachtberekeningen de symbool a. Om een kracht, aangegeven met de letter F, te berekenen ontstaat dan de volgende formule: F = m a Voor alle krachten gebruiken we de eenheid N Newton. Opgave 130: Bereken van de volgende massa s de zwaartekracht. a. Een persoon van 80kg b. Een VW golf 5 van 1.226kg c. Een theelepel van 30gr d. Een Boeing 747 van 260ton e. Een lift (300kg) met 6 personen van 75kg 116

123 Om de bewegingstoestand van een voorwerp te veranderen, is een kracht nodig. Het voorwerp zal in beweging komen of sneller gaan bewegen, vertragen of tot stilstand komen. Als er meer dan één kracht op een voorwerp werkt, kan de situatie zich voordoen dat er niets veranderd. De krachten zijn dan in evenwicht. Hoeveel krachten werken er op de mens als hij stilstaat? De eerste kracht is de zwaartekracht. Dat is de kracht die ons naar beneden houdt zodat we op aarde blijven staan. Als dit de enige kracht zou zijn, zou dat betekenen dat we continue naar beneden zouden gaan. Het feit is dat dit niet gebeurt. Wanneer een mens stil staat, is er dus evenwicht. Dit betekent dat er dus meer dan één kracht op de mens werkt. De kracht die ervoor zorgt dat we niet door de grond zakken is de normaalkracht Fn. Deze kracht is de tegenovergestelde kracht van de zwaartekracht en is even groot. We spreken niet alleen over evenwicht wanneer een mens of voorwerp stil staat. Als de snelheid van een voorwerp constant is, spreken we ook over evenwicht. Denk hierbij bijvoorbeeld aan een vliegtuig. Wanneer een vliegtuig op de juiste hoogte vliegt, blijft zijn snelheid voor langere tijd constant. De krachten die op dat moment op het vliegtuig werken, zijn dus ook in evenwicht. Tijdens het vliegen met een constante snelheid werken er vier krachten op een vliegtuig. De zwaartekracht wordt bepaald door de massa en de gravitatiekracht, de liftkracht wordt bepaald door de vleugels die het vliegtuig omhoog houden. De motorkracht van de motor zorgt voor de voortstuwing van het vliegtuig en de luchtweerstand is de tegenwerkende kracht van de motorkracht. Omdat het vliegtuig met een constante snelheid vliegt, en dus in evenwicht is, betekend dit dat de zwaartekracht én de liftkracht elkaar opheffen. Dit geldt ook voor de motorkracht en de weerstand. Wanneer het vliegtuig sneller wil gaan vliegen moet de motorkracht toenemen. Na verloop van tijd zal ook de weerstand weer toegenomen zijn en zal er een nieuwe constante snelheid bereikt zijn en zal er weer sprake zijn van evenwicht. 117

124 In de plaatjes bij de uitleg zie je dat de krachten allemaal zijn aangegeven met een pijl. Dit is de standaard notatie voor een kracht. Opgave 131: Teken in de volgende situaties de krachten en probeer ze te benoemen. Fietsen Hanglamp Kist op helling 118

125 5.3 Resultante kracht Wanneer er meerdere krachten op één voorwerp werken is er niet altijd sprake van evenwicht. Als er geen evenwicht is, hebben we het over versnelling, vertraging of richtingsverandering. Als er twee of meerdere krachten een zelfde werklijn hebben, is er sprake van een resultante kracht Fr. De krachten kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken om te berekenen wat de resultante kracht is. Je kunt de resultante kracht dus zien als het resultaat van meerdere krachten. Voorbeeld: Op een kist werken twee krachten. Eén kracht is stuwend (50N), één kracht is trekkend (100N). De werklijn van beide krachten is gelijk en omdat ze dezelfde kant op gaan kan je de Fr berekenen door beide krachten bij elkaar op te tellen: Fr = F1 + F2 Fr = 50N + 100N = 150N In de volgende situatie werken er op de werklijn twee tegengestelde krachten. De resulterende kracht bereken je daarom door de krachten van elkaar af te trekken. Fr = F2 F1 Fr = 100N - 50N = 50N 119

126 Het is niet altijd mogelijk om twee krachten van elkaar af te trekken of bij elkaar op te tellen. Als de werklijn van de krachten niet hetzelfde is, zoals in onderstaande afbeeldingen, zijn er andere manieren om tot de resultante te komen. Het bepalen van een resultante kracht noemen we het samenstellen van krachten. Je zou dit kunnen zien als het vervangen van twee of meerdere krachten door één kracht die het zelfde resultaat heeft. Voorbeeld 1: Wanneer je de resultante kracht moet bepalen teken je eerst een rechthoek en daarna een pijl naar de hoek, dit is de resultante kracht. Zoals je hier kan zien krijg je een rechthoekige driehoek en kan je in deze situatie de resultante berekenen met de stelling van Pythagoras. F r = = 424,26N Voorbeeld 2: F r = = 538,52N 120

127 Opgave 132: Teken en bereken de resultante kracht Fr van de volgende krachten. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. a. f. b. g. c. h. d. i. e. j. 121

128 Je hebt nu gezien dat je van twee rechte krachten één schuine kunt samenstellen. Deze schuine heeft hetzelfde effect als de twee rechte. Andersom geldt dit dan ook. Als je één schuine kracht hebt, kun je deze ontbinden in twee rechte krachten. Twee rechte krachten hebben hetzelfde effect als één schuine. Deze rechte krachten kun je berekenen met de kennis die hebt opgedaan in het hoofdstuk Goniometrie. Voorbeeld: F1 is een kracht van 300N onder een hoek van 40. Deze schuine kracht kun je ontbinden in de 2 rechte krachten F2 en F3. Door de rechte hoek die je creëert krijg je twee rechthoekige driehoeken. De krachten F2 en F3 kun je berekenen met de cosinus en de sinus. F 2 = Cos = 229,81N F 3 = Sin = 192,84N 122

129 Opgave 133: Teken en bereken de rechte krachten van de volgende schuine krachten a. 150N b. 200N c. 130N 55 [Geef een 45 citaat uit het document of de samenvatting van een interessant punt op. Het tekstvak kan overal in het document worden neergezet. Ga naar het tabblad Hulpmiddelen voor tekenen als u de opmaak van het tekstvak voor het blikvangercitaat wilt wijzigen.] d. 285N e N Horizontale kracht Verticale kracht a. b. c. d. e. 123

130 Nu je rechte krachten kunt samenstellen en schuine krachten kunt ontbinden ga je kijken hoe je rechte en schuine krachten kunt samenstellen. Voorbeeld: Vanuit één punt werken twee krachten via een verschillende werklijn: F1= 300N 35 F2= 300N Eerst ga je F1 ontbinden in twee rechte krachten. 172,07N F1= 300N Cos = 245,75N Sin = 172,07N ,75N Deze rechte krachten kun je na berekening achter F2 zetten zodat je ook op het eindpunt uit komt. Fr 172,07N F2= 300N 245,75N Als je dit gedaan hebt krijg je een grote rechthoekige driehoek waarmee je via de stelling van Pythagoras de resultante kracht Fr kunt berekenen. F r = 545, ,07 2 = 572,23N 124

131 Opgave 134: Teken en bereken de resultante kracht Fr voor de volgende krachten a N 125N b. 60N 70 40N c. 100N N d. 150N N 125

132 Opgave 135: Tijdens het zagen met een zaagmachine (2kg) oefen je horizontaal 60N uit en verticaal 5N. Teken een schematische tekening en teken en bereken de resultante kracht Fr. Opgave 136: Met twee personen wil je een H-Profiel verslepen. Beide personen trekken 600N. Beide personen trekken onder een hoek van 5 vanuit het centrum van het profiel. Bereken de resultante kracht waarmee hij naar voren wordt getrokken 126

133 6. Sterkteleer 6.1 Inleiding Bij het ontwerpen van producten, systemen en constructies moet rekening gehouden worden met materiaaleigenschappen. Wanneer iets met een kracht belast wordt treedt er een spanning op in het materiaal. Wanneer deze spanning te groot wordt zal het materiaal vervormen en breken. In dit hoofdstuk leer je hoe je met deze spanningen rekent. 6.2 Trekspanning Trekspanning berekenen Wanneer een materiaal belast wordt met een trekkracht treedt er een trekspanning op in het materiaal. Het symbool voor de trekspanning is: σt (sigma) De grootte van deze trekspanning wordt beïnvloed door twee factoren: - de grootte van de kracht - de oppervlakte van de doorsnede van het materiaal Wanneer de kracht groter wordt, dan wordt het materiaal zwaarder belast. Wanneer de oppervlakte groter wordt de kracht over meer materiaal verdeeld. De trekspanning is dan ook de hoeveelheid kracht per vierkante millimeter: Voorbeeld: Kracht Trekspanning= Oppervlakte doorsnede σ t = F (N) A (mm 2 ) Een staaf met een vierkante doorsnede wordt belast met een trekkracht. Bereken de trekspanning. 8 F = 500N De belaste doorsnede heeft een oppervlakte van: A = 8 8 = 64mm 2 127

134 De trekspanning wordt berekend met: σt = F A = 500N 64mm 2 = 7,81N/mm2 Opgave 137: Een rechthoekige staaf wordt belast met een kracht van 2.000N. De oppervlakte van de doorsnede van deze staaf is 125mm 2. Bereken de trekspanning die optreedt in het materiaal. Opgave 138: Een ronde zuigerstang heeft een diameter van 23mm. De zuigerstang wordt belast met een trekkracht van N. Bereken de trekspanning die optreedt in het materiaal Treksterkte Wanneer de trekspanning te groot wordt zal het materiaal breken, deze spanning noemen we de treksterkte of breekgrens. De treksterkte (breekgrens) wordt aangegeven met: σtb De treksterkte kan worden bepaald door middel van een trekproef. Bij een trekproef wordt de trekkracht op een proefstaafje opgevoerd totdat het breekt, hiermee wordt de maximale trekkracht bepaald. De treksterkte kan daarna berekent worden met: Treksterkte = σ tb = F t(max) (N) A (mm 2 ) De treksterkte van een materiaal is van belang voor het maken van constructieberekeningen. Voorbeeld: Van een materiaal moet de treksterkte worden bepaald. Het proefstaafje Ø5mm breekt wanneer de kracht op is gevoerd tot 8.250N. Bereken de treksterkte: De belaste doorsnede heeft een oppervlakte van: A = π r 2 = 19,63mm 2 128

135 De trekspanning (treksterkte) wordt berekend met: σ tb = F A = 8250N 19,63mm 2 = 420,17N/mm2 Opgave 139: Zoek in je tabellenboek op wat de treksterkte (trekspanning) is van: Aluminium: Koper: Algemeen bouwstaal S235JR: Carboneerstaal 20NiCrMo2-2: Je ziet dat er niet één vaste waarde wordt gegeven. Welke waarden kun je gebruiken voor constructieberekeningen? Opgave 140: Bij een trekproef breekt een proefstaaf Ø10mm wanneer de kracht wordt opgevoerd naar N. Wat is de treksterkte van dit materiaal? Opgave 141: Een aluminium stang wordt belast met een trekkracht van 9.500N. Welke diameter moet de stang minimaal hebben? Opgave 142: Je bent een machine aan het maken. In de machine wordt een stang belast met een trekkracht van N. Je hebt een stang Ø6mm van materiaal S235JR, kun je deze stang hiervoor gebruiken? 129

136 6.2.3 Veiligheidsfactor In de opgaven op de vorige pagina heb je berekeningen gemaakt voor praktijksituaties. Wanneer je een constructie maakt met de minimaal berekende afmetingen dan zal deze constructie bij een minimale overbelasting kapot gaan. Het is natuurlijk verstandig om je constructie veiliger te maken. Wanneer een lift een maximale belasting heeft van 1.000kg dan betekent dit niet dat de lift naar beneden zal storten als deze belast wordt met 1.100kg. Deze 1.000kg is de maximaal toelaatbare trekbelasting. De constructie wordt veiliger gemaakt door gebruikt te maken van een veiligheidsfactor. Het symbool voor de veiligheidsfactor is: v Wanneer voor een constructieberekening rekening gehouden moet worden met een veiligheidsfactor 2 betekent dit simpelweg dat de constructie 2 keer zo veilig moet worden. Er zijn drie manieren om dit te door te rekenen, in onderstaand voorbeeld laten we dit zien. Voorbeeld: Je gaat een constructie maken waarbij een profiel belast gaat worden met een trekkracht van N. De treksterkte van het materiaal is 400N/mm 2. Je moet rekening houden met een veiligheidsfactor van 1,5. Bereken de minimaal benodigde oppervlakte van de doorsnede. 1. Veiligheidsfactor doorrekenen in de kracht: F = N v = N 1,5 = N A = F = N σ tb 400N/mm 2 = 52,5mm2 2. Veiligheidsfactor doorrekenen in de oppervlakte: A = F = N σ tb 400N/mm 2 = 35mm2 A = 35mm 2 v = 35mm 2 1,5 = 52,5mm 2 3. Veiligheidsfactor doorrekenen in de spanning: σt = σ tb v = 400N/mm2 1,5 = 266,67N/mm 2 A = F σ t = N 266,67N/mm 2 = 52,5mm2 130

137 Opgave 143: Een staaf S235JR Ø8mm wordt belast met een trekkracht. Je moet rekening houden met een veiligheidsfactor 2. a. Wat is de treksterkte van dit materiaal? b. Wat is de maximaal toelaatbare trekspanning in het materiaal? c. Wat is de maximaal toelaatbare trekkracht op deze staaf? Opgave 144: Een kabel bestaat uit 50 draden met een diameter van 2mm. De treksterkte van dit materiaal is 900N/mm 2. Omdat deze kabel voor een personenlift gebruikt gaat worden moet er rekening gehouden worden met een veiligheidsfactor 6. Wat is de maximale toelaatbare trekkracht op deze kabel? 131

138 Opgave 145: Op een container worden 4 hijsogen gelast, zie afbeeldingen. Het materiaal heeft een treksterkte van 400N/mm 2. Je moet rekening houden met een veiligheidsfactor van 5. De container heeft een eigen gewicht van N. Wat is het maximale laadvermogen van de container? 132

139 6.3 Drukspanning Net als bij een trekkracht treedt er een spanning op in een materiaal als dit materiaal belast wordt met een drukkracht. Het berekenen van de drukspanning en de druksterkte gaat ook op dezelfde manier. Het symbool voor de drukspanning is: σd De drukspanning is de hoeveelheid kracht per vierkante millimeter. Drukspanning = Kracht Oppervlakte doorsnede σ d = F (N) A (mm 2 ) De druksterkte (breekgrens) wordt aangegeven met: σdb Druksterkte = σ db = F d(max) (N) A (mm 2 ) Opgave 146: Een zuigerstang heeft een diameter van 45mm. De stang wordt belast met een drukkracht van N. Bereken de optredende drukspanning de stang. Opgave 147: Een stang van een pomp wordt afwisselend op druk en op trek belast. De maximale drukkracht is Fd(max) = 65kN. De maximale trekkracht is Ft(max) = 62kN. Het materiaal waarvan de stang gemaakt is heeft een trek en druk sterkte van 600N/mm 2. De veiligheidsfactor is 5. Hoe groot moet de diameter van de stang minimaal zijn? (Rond af op hele millimeters.) 133

140 Opgave 148: 50 6 In een constructie wordt een buis belast met een drukkracht. De buitendiameter van de buis is 50mm en de wanddikte is 6mm. De druksterkte van de buis is 550N/mm 2. De veiligheidsfactor is 4. Bereken de maximaal toelaatbare drukkracht. 134

141 6.4 Afschuifspanning Wanneer een kracht in de doorsnede van het materiaal werkt treedt er een afschuifspanning op. Afschuifspanning treedt op in bijvoorbeeld borgpennen, boutverbindingen en wanneer je gaat ponsen, stansen en knippen. Het symbool voor de afschuifspanning is: τ (tau) De afschuifspanning is de hoeveelheid kracht per vierkante millimeter. Afschuifspanning = Kracht Belaste oppervlakte τ = F (N) A (mm 2 ) Voorbeeld: Op de afbeelding hieronder zie je twee delen die bij elkaar worden gehouden door een borgpen. F 1 = 50N F 2 = 50N Ø6 De krachten F1 en F2 zorgen voor een afschuifspanning. Hieronder zie je de berekening voor de afschuifspanning. De belaste doorsnede heeft een oppervlakte van: De afschuifspanning wordt berekend met: A = πr 2 = π 3 2 = 28,27mm 2 τ = F 1+ F 2 A = 100N 28,27mm 2 = 3,54N/mm2 135

142 Voorbeeld: Op onderstaande afbeelding zie je een plaat waarin vierkante gaten worden geponst. 15mm 20mm 20mm Het materiaal heeft een maximale afschuifspanning van 115N/mm 2. De benodigde ponskracht wordt als volgt berekend. De af te schuiven oppervlakte is de som van de grijsgekleurde wanden van het gat: A = omtrek dikte = ( ) 15 = 1200mm 2 De benodigde kracht wordt berekend door de oppervlakte te vermenigvuldigen met de afschuifspanning: F = τ A = 115N 1200mm 2 = N = 138kN 136

143 Opgave 149: F 1 F 2 Ø9 Twee strips worden met een borgpen bij elkaar gehouden. De borgpen heeft een diameter van 9mm. Het materiaal van de borgpen heeft een maximale afschuifspanning van 120N/mm 2. Er moet rekening gehouden worden met een veiligheidsfactor 2. Bereken de maximaal toelaatbare afschuivingskracht F1 + F2. Opgave 150: F 1 = 500N F 3 = 500N F 2 = 500N Ø? Drie strips worden met een borgpen bij elkaar gehouden. Het materiaal van de borgpen heeft een maximale afschuifspanning van 120N/mm 2. Er moet rekening gehouden worden met een veiligheidsfactor 4. Bereken de minimaal benodigde diameter van de borgpen. 137

144 Opgave 151: Wiel As F 2 F 1 Ø? Een as wordt door middel van een borgpen op zijn plek gehouden. De maximale afschuifkracht die optreedt F1 + F2 = 1200N. Het materiaal waar de borgpen van gemaakt is heeft een maximale afschuifspanning van 125N/mm 2. Je moet rekening houden met een veiligheidsfactor 4. Bereken de minimaal benodigde diameter van de borgpen. Opgave 152: Hiernaast zie je een plaat met een dikte van 6mm. Je wilt hierin een vierkant en een rond gat ponsen. De maximale afschuifspanning van het materiaal is 130N/mm a. Hoeveel kracht heb je nodig voor het ponsen van het gat 22? b. Hoeveel kracht heb je nodig voor het ponsen van het gat Ø22? 138

145 Opgave 153: Je wilt ronde gaten Ø50mm ponsen in een plaat met een dikte van 20mm. De maximale afschuifspanning van dit materiaal is 140N/mm 2. De machine waarover je beschikt heeft een maximale ponskracht van 400kN. Kun je deze gaten met deze machine ponsen? Maximum force 400kN Opgave 154: Van een plaat met een breedte van 600mm worden stroken geknipt van 250mm. De plaatdikte is 8mm. De afschuifspanning van het materiaal is 120N/mm 2. Bereken de benodigde knipkracht om één strook te knippen. 139

146 7. Momenten 7.1 Inleiding In hoofdstuk 5 heb je geleerd wat kracht is en hoe je daar in verschillende situaties mee moet rekenen. In dit hoofdstuk ga je je ook verdiepen in momenten. In het dagelijkse leven heb je de hele dag te maken met momenten bijv. wanneer je een deurkruk naar beneden drukt, een deur open duwt, iets optilt, je stuur vasthoudt, kortom het zit in iedere beweging. Je zal ontdekken dat er naast kracht nog een belangrijke factor is wanneer je iets in beweging wilt brengen dan wel in evenwicht wilt houden. Ook ga je leren wat reactiekrachten zijn en hoe je deze kunt berekenen. 140

147 7.2 Momenten Wat een moment is gaan we aan de hand van voorbeelden uitleggen. Wanneer krijg je een deur makkelijker open, als je dichtbij het scharnier duwt of wanneer je zover mogelijk bij het scharnier vandaan duwt? Wanneer krijg je een bout makkelijker los, wanneer je de moersleutel dichtbij de bout vastpak of zover mogelijk bij de bout vandaan? l (arm) F Misschien weet je dat er vaak een lange pijp over een moersleutel geplaatst wordt als een bout of moer niet los wil komen. Er wordt dan gezegd: zo kun je meer kracht zetten. Is dat zo? Zet je dan meer kracht? We gaan even in op het laatste voorbeeld. Wanneer je een stuk pijp over een moersleutel heen schuift om de lengte van je gereedschap te vergroten wordt je niet ineens sterker. Je levert nog steeds dezelfde kracht, maar het effect is groter. Dit effect noemen we een moment. Een moment is de kracht vermenigvuldigt met de loodrechte afstand tot het draaipunt. Deze loodrechte afstand wordt ook wel de arm genoemd. M = F l M = moment in Nm F = kracht in N l = arm in m 141

148 Voorbeeld: Bereken het moment in de onderstaande situaties. F = 300N F = 250N M = F l M = F l M = 250N 0,2m M = 300N 0,16m M = 50Nm M = 48Nm In het bovenstaande voorbeeld zorgen beide krachten voor een verschillende beweging. In de eerste situatie draait de sleutel rechtsom en in de tweede situatie linksom. Een rechtsdraaiend moment noemen we een positief moment en een linksdraaiend moment noemen we een negatief moment. + Bij evenwicht is het linksdraaiend moment gelijk aan het rechtsdraaiend moment. Opgave 155: Bereken in welke situatie het optredende moment het grootst is. F = 50N F = 40N F = 70N 1m 1,2m 0,6m M = M = M = 142

149 Opgave 156: Bereken het moment dat veroorzaakt wordt door kracht F1 en geef aan of het een positief of negatief moment is F 1 = 500N Opgave 157: Onderstaande afbeelding is een bovenaanzicht van een deur. Om de deur open te duwen is een moment nodig van 45Nm. Scharnier F 1 =? F 2 =? a. Bereken hoeveel kracht je moet leveren als je duwt met kracht F1. b. Bereken hoeveel kracht je moet leveren als je duwt met kracht F2. 143

150 Opgave 158: Op onderstaande afbeelding zijn van 2 personen hun krachten op een wip getekend. F 2 = 950N F 1 = 500N a. Bereken het moment dat veroorzaakt wordt door kracht F1. b. Bereken het moment dat veroorzaakt wordt door kracht F2. c. Welk moment is groter, het positieve of het negatieve moment? Opgave 159: Op onderstaande afbeelding zie je een last die gehesen moet worden met een hijstrommel. De last is 80kg. De diameter van de hijstrommel is 700mm. Hoeveel kracht moet je minimaal op het handvat van de hijs-arm leveren om de last te kunnen hijsen. 600mm 144

151 Opgave 160: Door middel van een hefboom wordt een zuiger aangedreven. Bereken hoe groot de kracht (F2) op de zuiger in deze situatie is F 1 = 300N F 2 =? 145

152 Opgave 161: Hieronder zie je een schematische weergave van een loopkat aan een H-profiel. De hijslast van onderstaande takel is op dit moment 9.000N. Je moet berekenen wat de belasting is in de beide ophangpunten. Tip: aangezien je geen draaipunt hebt, kies je als draaipunt het andere ophangpunt a. Hoe groot is de kracht in het rechter ophangpunt N b. Hoe groot is de kracht in het linker ophangpunt. c. Hoe groot zijn deze krachten bij elkaar? 146

153 In de vorige opgaven stond de werklijn van de kracht steeds loodrecht op de hefboom. Dit is in de praktijk natuurlijk niet altijd het geval. In de uitleg over momenten staat geschreven: De arm is de loodrechte afstand tussen het draaipunt en de werklijn van de kracht. Je moet dus in iedere situatie goed kijken welke arm hoort bij een kracht. Voorbeeld: In onderstaande afbeeldingen zie je een hefboom die op verschillende manieren belast wordt. De momenten zijn beide positief en de krachten even groot, maar de richting van de krachten zijn verschillend. Hoe groot zijn de momenten? F 1 = 500N F 2 = 500N S S M = F l l is de loodrechte afstand tussen de werklijn van de kracht en het draaipunt s. dus 400mm. M = 500N 400mm = Nmm M = 200Nm M = F l l ligt precies op de hefboomarm. Volgens Pythagoras: l = = 500mm M = 500N 500mm = Nmm M = 250Nm 147

154 Opgave 162: Onderstaande hefboom staat onder een hoek van 15. Bereken het moment dat wordt veroorzaakt door kracht F1. F 1 = 450N 800mm 15 Opgave 163: Op onderstaande hefboom werken 2 krachten onder een hoek. Bereken eerst het positieve en dan het negatieve moment. a. Bereken het positieve moment. 80N 50 80N mm b. Bereken het negatieve moment. 250mm c. Bereken het resulterende moment. 148

155 8. Arbeid en Vermogen 8.1 Arbeid Als er op een object een kracht werkt, in de richting waarin het lichaam zich verplaatst, dan verricht deze kracht arbeid. Arbeid kan gezien worden als het werk wat verricht wordt om een object te verplaatsen. Als je kijkt naar het verplaatsen van een object moet je rekening houden met twee dingen: de grootte van de kracht die wordt uit geoefend en de afstand die afgelegd wordt. Hoe groter de kracht hoe meer arbeid er geleverd wordt. Hoe groter de afstand die overbrugt moet worden hoe meer arbeid er geleverd wordt. Arbeid wordt aangegeven met het symbool W van het Engelse woord work. De verrichte arbeid kun je berekenen met de volgende formule: Arbeid (W) = kracht (F) afgelegde weg(s) Als je kijkt naar de eenheden die bij de grootheden horen ziet de formule er als volgt uit: W(Nm) = F(N) s(m) De eenheid van arbeid is dus Newton meter (Nm). Wat ook vaak als eenheid gebruikt wordt voor arbeid is Joule. 1Nm = 1J. Voorbeeld: Om een object 9m te verplaatsen is een kracht nodig van 12N. 12N 9m Om de geleverde arbeid te berekenen vul je de formule in: W = F s W = 12N 9m De geleverde arbeid is 108Nm of 108 Joule 149

156 Opgave 164: Er is 100N nodig om een blok 2m te verplaatsen. Bereken de arbeid die geleverd wordt. Opgave 165: Een hijskraan hijst een last met 2.000N 58m omhoog. Bereken de arbeid die geleverd wordt. Opgave 166: Een hijskraan levert een arbeid van Joule om een last 40m omhoog te hijsen. Bereken de minimale kracht die geleverd moet worden. Opgave 167: Je duwt met 150N tegen een blok metaal aan. De arbeid die je levert is 3.000Nm. Hoever duw je het blok? (verwaarloos de wrijving) Opgave 168: Met behulp van een lintzaagmachine moet een cirkelvormige schijf met de diameter 2.000mm worden uitgezaagd. De aandrukkracht is 20N. Bereken de arbeid die geleverd moet worden. 150

157 Opgave 169: Je wilt een kist een helling op trekken. Het touw waarmee je trekt heb je vast onder een hoek van 25. Je trekt met 180N en de afstand die je wilt overbruggen is 12m. Je levert nu een arbeid van 180N 12m = Joule. Bereken de minimale arbeid die nodig is om de kist te verplaatsen als je evenwijdig aan de helling zou trekken. 180N

158 8.2 Vermogen Nu we de paragraaf arbeid hebben gehad gaan we kijken naar vermogen. Vermogen is de geleverde arbeid per tijdseenheid. Hoe sneller je de arbeid verricht, hoe groter je vermogen is. Denk hierbij aan het rijden van een auto. Hoe meer vermogen je auto heeft, hoe sneller hij de gewenste arbeid verrichten. Om vermogen te berekenen moet je dus rekening houden met de geleverde arbeid en de tijd (in seconde). Vermogen geven we aan met het symbool P van het Engelse woord Power. De formule van vermogen ziet er als volgt uit: Vermogen(P) = Arbeid(W) Tijd(t) De eenheid die bij vermogen hoort is Nm/s maar meestal gebruiken we Watt als eenheid voor vermogen. 1 Watt = 1 Nm/s. P(W) = W(Nm) t(s) Omdat je in de vorige paragraaf de arbeid kon berekenen met de formule W= F s kunnen we de formule voor vermogen ook opstellen als: P(W) = F(N) s(m) t(s) Een derde formule voor vermogen kun je herleiden vanuit het gegeven dat: Snelheid(v)= afgelegde weg (s) / tijd (t). Hier kun je de volgende formule voor opstellen. P(W) = F(N) v(m/s) 152

159 Voorbeeld 1: Een loopkat levert een arbeid van Nm om een last omhoog te hijsen in 12,5 seconde. Om het vermogen te berekenen moet je de formule invullen. P = W t P = ,5 Het vermogen van de loopkat is 8.000W. Voorbeeld 2: Een loopkat hijst een last van N 5m omhoog in 12,5 seconde. Om het vermogen te berekenen moet je de formule invullen. P = F s t P = ,5 Het vermogen van de loopkat is 8.000W. Voorbeeld 3: Een loopkat hijst een last van N met een snelheid van 0,4m/s. Om het vermogen te berekenen moet je de formule invullen. P = F v P = ,4 Het vermogen van de loopkat is 8.000W. 153

160 Opgave 170: Een hijskraan hijst een last van 5.000N in 2,5 seconde 20 meter omhoog. Wat is het geleverde vermogen van de hijskraan? Opgave 171: Een automotor ontwikkeld een vermogen van Watt. De auto rijdt met een constante snelheid van 72km/h. Welke kracht werkt er op de auto om deze snelheid te laten behouden? Opgave 172: Een container wordt door middel van een sleepwagen 50m ver getrokken, hiervoor wordt een kracht van 15kN geleverd. a. Bereken de verrichtte arbeid van de sleepwagen. b. De sleepwagen heeft er 16 seconde voor nodig om de container te verplaatsen. Wat is het vermogen van de sleepwagen? c. Bereken de snelheid waarmee de sleepwagen de container verplaatst in km/h. 154

161 Opgave 173: Een draaibeitel ondervindt een constante snijkracht van 1.600N. De snijsnelheid is 30m/min. Bereken het ontwikkelde vermogen tijdens het snijden. Opgave 174: Op 800m diepte in een mijn bevindt zich een liftkooi van 1.500kg. Als er 6 mensen in de liftkooi staan (gemiddeld 75 kg per persoon) duurt het 3,5 min voordat de lift boven is. Bereken het vermogen van de aandrijfmotor van de lift. 155

162 7.3 Rendement Het vermogen dat je in de vorige paragraaf berekent hebt, is het verrichtte vermogen. Ook wel het nuttig vermogen genoemd. Er is echter altijd sprake van vermogensverlies. Denk hierbij aan bepaalde wrijvingen. Het gevolg van een wrijving is dat het toegevoerde vermogen meer is dat het nuttig vermogen. Als we hierover spreken hebben we het over rendement. Rendement wordt aangegeven met het symbool η. Rendement wordt altijd uitgedrukt in procenten en is te bereken met de volgende formule: Rendement = Nuttig vermogen Toegevoerd vermogen 100% Weergegeven in symbolen geeft de volgende formule: η = Pn Pt 100% Voorbeeld 1: Een lier heeft een hijsvermogen van 6kW. De motor die de lier bedient levert 8kW om te hijsen. Om het rendement te berekenen vul je de formule als volgt in. η = Pn Pt 100 η = 6.000W 8.000W 100 Het rendement van de motor is 75% 156

163 Voorbeeld 2: Een elektromotor levert een vermogen van Watt. Het rendement van de motor is 80%. Het toegevoerde vermogen bereken je nu als volgt: η = Pn Pt % = W? 100 Het toegevoerde vermogen is: W 0,8 = Watt Dit betekent dat er Watt nodig is, om de nodige Watt te leveren. Opgave 175: Een hijskraan lift een last van 4.000N in 5 seconde 10 meter omhoog. a. Wat is het vermogen van de hijskraan? b. Het vermogen wat je bij a berekent hebt, is dit het nuttige of het toegevoerde vermogen? c. De motor van de hijskraan verbruikt een vermogen van Watt. Bereken het rendement van de motor. 157

164 Opgave 176: Het toegevoerde vermogen van een automotor is Watt. De motor levert een kracht van 1.300N bij een snelheid van 72km/h. Bereken het rendement van de motor. Opgave 177: Een gevulde container heeft een gewicht van N. Om de container te vervoeren wordt deze 5m omhoog gehesen. Dit duurt 8 sec. De motor van de hijsinstallatie verbruikt Watt. a. Bereken de verrichte arbeid b. Bereken het nuttige vermogen c. Bereken de rendement 158

165 Opgave 178: In 4 seconde verplaatst een sleepauto een auto over een afstand van 20m, hij heeft hiervoor een kracht nodig van 5.000N. Het rendement van de automotor is 75%. Hoeveel is het toegevoerde vermogen? Opgave 179: Een zaagmachine verbruikt een vermogen van 1.600W. Het rendement is 80%. De machine zaagt met een kracht van 225N. Hoeveel meter kan er gezaagd worden in 2 minuten? 159

166 9. Overbrengingen In dit hoofdstuk ga je kijken naar overbrengingen. In het dagelijkse leven kom je geregeld overbrengingen tegen. Denk bijvoorbeeld aan de ketting die op de tandwielen van je fiets ligt, of aan een snaaroverbrenging tussen een motor en een boor. Wat van belang is wanneer je rekent aan overbrengingen, is dat de snelheid, ook wel omtreksnelheid genoemd, gelijk is op alle wielen die in de overbrenging zitten. Om de snelheid van een wiel te berekenen moet je de afgelegde afstand, in dit geval de omtrek van het wiel, vermenigvuldigen met het toerental. Snelheid wordt aangegeven met het symbool v. De omtrek van een wiel bereken je met de formule π d en het toerental wordt aangegeven met het symbool n. Hieruit kun je de volgende formule opstellen: v = π d n Wanneer je de formule gaat invullen moet je wel goed letten op de eenheden. Snelheid wordt namelijk vaak weergegeven in m/s terwijl de diameter gegeven kan staan in mm, cm, dm of m. Ook het toerental moet de juiste eenheid hebben, deze moet omw/s zijn wanneer je de snelheid in m/s wil weten. Je moet de waardes dus, zo nodig, aanpassen wanneer je ze gaat invullen in de formule. Er zijn verschillende vormen van overbrengingen. Wanneer er één aandrijfwiel een ander wiel in beweging brengt, is er sprake van frictieoverbrenging. Het toerental van de wielen is afhankelijk van de diameter van de wielen. Een kleiner wiel moet net zoveel afstand afleggen als een groot wiel en dus zal het toerental waarmee het kleine wiel ronddraait hoger zijn als die van het grote wiel. Omdat de snelheid van de wielen gelijk is, ontstaat er een verhouding tussen het toerental en de diameter van de wielen. De omtreksnelheid van beide wielen is gelijk en daarom mag je zeggen: v 1 = v 2 π d 1 n 1 = π d 2 n 2 d 1 n 1 = d 2 n 2 Voorbeeld: Omdat de diameter van aandrijfwiel 1 twee keer zo klein is als dat van het drijvende wiel 2, is de omtrek twee keer zo klein en moet wiel 1 twee keer zo snel ronddraaien als wiel 2 om dezelfde afstand af te leggen. d1 = 10cm d2 = 20cm 160

167 Niet alleen bij frictieoverbrengingen geldt deze formule. Ook wanneer er een riem- of snaaroverbrenging is, mag je de formule gebruiken. In onderstaand plaatje kun je goed zien dat de omtreksnelheid in beide wielen gelijk is want een riem heeft op elk punt dezelfde snelheid. Wanneer dit niet zo zou zijn dan zou hij zichzelf inhalen of kapot springen. Ook bij tandwiel overbrengingen geldt hetzelfde principe. Het enige dat anders is in de formule is dat het aantal tanden ingevuld moet worden in plaats van de omtrek van het wiel. Het aantal tanden van een tandwiel wordt aangegeven met het symbool z. De formule van een tandwiel overbrenging ziet er als volgt uit: z 1 n 1 = z 2 n 2 Voorbeeld 1: Je fiets heeft twee tandwielen. Het voorste tandwiel heeft 45 tanden en draait met een toerental van 50 omw/min. Je achterste tandwiel heeft 15 tanden. Om te berekenen wat het toerental is van je achterste tandwiel bereken je als volgt. z 1 n 1 = z 2 n = 15 n = 15 n 2 Het toerental van je achterste tandwiel is / 15 = 150 omw/min. Je ziet nu dus, dat het kleine tandwiel veel vaker ronddraait dan het grote tandwiel. 161

168 Voorbeeld 2: Twee wielen zitten verbonden met een aandrijfriem. De snelheid van de riem is 11,30m/s. De diameter van wiel 1 is 180mm en wiel 2 is 400mm. Om te berekenen wat het toerental van wiel 1 is vul je de formule in: v = π d n 11,30 = π 0,180 n De omtreksnelheid van het wiel is 11,3/(π 0,180) = 20 omw/s omw/min Om nu het toerental van wiel 2 te berekenen kun je de volgende formule invullen: d1 n1 = d2 n = 400 n = 400 n2 Het toerental van wiel 2 is /400 = 540 omw/min Opgave 180: Bij een riemoverbrenging heeft het kleine wiel een toerental van 2880 omw/min en het grote wiel een toerental van 720 omw/min. De diameter van het kleine wiel is 120mm. a. Bereken de snelheid van de riem op het kleine wiel. b. Bereken de diameter van het grote wiel. c. Laat met de gegevens van het grote wiel zien, dat de snelheid van de riem op het grote wiel net zo groot is als op het kleine wiel. 162

169 Opgave 181: Drie tandwielen hebben een directe overbrenging. Tandwiel 1 heeft 12 tanden en een toerental van 24 omw/s. Tandwiel 2 heeft 36 tanden. Tandwiel 3 heeft een toerental van 96 omw/min. a. Bereken het toerental van tandwiel 2 b. Bereken het aantal tanden van tandwiel 3 Opgave 182: Met behulp van een zaagmachine wordt een plaat gezaagd. De maximale toelaatbare snijsnelheid is 21m/s. De diameter van het wiel is 300mm. Hoe groot mag het toerental zijn? 163

170 Opgave 183: Een elektromotor drijft een pomp aan. De as van de motor heeft een toerental van 1440 omw/min. De as van de pomp moet een toerental van 410 omw/min hebben. De snaarschijf op de as van de motor heeft een diameter van 90mm. pomp motor a. Hoe groot is de diameter van de snaarschijf op de pomp? b. Hoe groot is de omtreksnelheid van iedere snaarschijf? 164

171 10. Druk In hoofdstuk 5 heb je geleerd wat een kracht is en hoe je daarmee moet rekenen. In dit hoofdstuk ga je kijken naar de druk die ontstaat op een oppervlak wanneer er een kracht uitgeoefend wordt. Wat is druk? Het verschil tussen het open duwen van een deur met je vinger en het open duwen van dezelfde deur met je hele hand. Een vrouw met naaldhakken zal niet door het zand lopen, terwijl de vrouw dit wel kan met platte zolen. Een ballon die knalt omdat er teveel lucht in geblazen wordt. Druk is dus niet alleen afhankelijk van de grootte van een kracht maar ook van de oppervlakte waarover deze kracht verdeeld wordt. Druk geven we aan met het symbool p van het Engelse woord pressure. De formule van druk ziet er als volgt uit: Druk(p) = Kracht(F) Oppervlakte(A) De eenheid die volgt uit bovenstaande formule is N/m 2. p ( N F(N) m2) = A(m 2 ) Andere eenheden die veel gebruikt worden zijn Pascal en Bar. 1 Pa = 1 N m 2 1 Bar = N m 2 N 1 Bar = 0,1 mm 2 165

172 Voorbeeld: Er werkt een kracht van 500N op een rechthoekig plaatje. Hoe groot is de druk onder het plaatje? 500N 8mm 40mm 50mm p = F A p = 500N 40mm x 50mm p = 0,25 N mm 2 Opgave 184: Op de cilinder hiernaast wordt een kracht uitgeoefend van 800N. Bereken de druk onder de cilinder in Pa. F = 800N Ø

173 Opgave 185: Op een blok staal is een ronde koperen staaf geplaatst met daarop nog een blok staal. a. Bereken de druk onder het bovenste blok b. Bereken de druk onder de staaf. 400 Ø c. Bereken de druk onder het onderste blok. 500 Opgave 186: Een machine van 1.100kg wordt in een bedrijfshal geplaatst. De vloer kan een maximale druk verdragen van 8.000N/m 2. De 4 vierkante poten onder de machine hebben een breedte van 200mm. a. Hoe groot is de druk onder de poten van de machine? b. Om de druk te verlagen, tot onder de maximale druk, wordt de machine op een plaat gezet. Hoe groot is de minimale oppervlakte van deze plaat? 167