Het meten en voorspellen van volatiliteit op financiële markten

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 0 0 He meen en voorspellen van volailiei op financiële marken Maserproef voorgedragen o he bekomen van de graad van Maser of Science in de Toegepase Economische Weenschappen: Handelsingenieur Jens Ponne onder leiding van Prof. Dr. Michael Frömmel

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 0 0 He meen en voorspellen van volailiei op financiële marken Maserproef voorgedragen o he bekomen van de graad van Maser of Science in de Toegepase Economische Weenschappen: Handelsingenieur Jens Ponne onder leiding van Prof. Dr. Michael Frömmel

4 PERMISSION Ondergeekende verklaar da de inhoud van deze maserproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mis bronvermelding. Jens Ponne

5 WOORD VOORAF In okober 00 begon mijn zoekoch naar een onderwerp voor mijn maserproef. Mijn doelselling was om een onderwerp e kiezen da me zowel ineresseerde als menaal voldoende simuleerde. Di brach me bij he onderwerp He meen en voorspellen van volailiei op financiële marken, aangeboden door prof. dr. M. Frömmel. Graag had ik nog een paar mensen bedank. Eers en vooral zou ik graag mijn promoor, prof. dr. M. Frömmel, bedanken voor he aanbieden van di ineressan onderwerp en me de kans e geven een maserproef e schrijven die me wis e boeien. Veel dank gaa ui naar Marien Lamers die me goed onderseund heef in he uidenken van he concep en de werkwijze in deze maserproef. Ik wil ook prof. dr. G. Everaer bedanken. Enerzijds voor he geven van de boeiende cursus Financial Economerics die ik gevolgd heb als onderseuning voor deze hesis en anderzijds voor zijn hulp bij de prakische problemen die ik ondervond in mijn onderzoek. Graag had ik ook mijn familie en vrienden bedank voor hun seun. Mijn speciale dank gaa ui naar mijn broer, Björge Ponne, en mijn vader, Eddy Ponne, voor he nalezen van deze maserproef. Ik wil ook mijn dank uien aan mijn naase vriendenkring van de riching Handelsingenieur voor he gezelschap in de biblioheek ijdens he schrijven van deze scripie. Veel dank gaa ui naar mijn vriendin, Annelies Deleersnyder, voor he kriisch nalezen van mijn maserproef en voor de zorg en seun die zij onvoorwaardelijk aanbood. I

6 INHOUDSOPGAVE WOORD VOORAF... I INHOUDSOPGAVE... II LIJST MET GEBRUIKTE AFKORTINGEN... V LIJST VAN DE FIGUREN... VI LIJST VAN DE TABELLEN... VII ALGEMENE INLEIDING... VOLATILITEIT OMSCHRIJVING BEGRIP BELANG BRONNEN VAN VOLATILITEIT... 6 LITERATUURSTUDIE INLEIDING EN SITUERING TRADITIONELE ANALYTISCHE VOLATILITEITSCHATTERS Hisorische volailiei Exponenieel gewogen voorschrijdend gemiddelde model IMPLICIETE VOLATILITEIT IDENTIFICATIE GEVORDERDE ANALYTISCHE SCHATTERS IN DE LITERATUUR Dagelijkse range en de nauurlijke logarime van de dagelijkse range Schaers gebaseerd op openings- en sluiingsprijzen Schaers gebaseerd op maximum en minimum prijzen Bese analyische schaer door Garman & Klass (980) Samengeselde schaer ECONOMETRISCHE VOLATILITEITSMODELLERING Auoregressieve glijdend gemiddelde volailieimodellen (ARMA-modellen) Saionariei / Nie-saionariei De auoregressieve - componen De glijdend gemiddelde -componen Condiionele heeroscedasische auoregressieve volailieismodellen (ARCH-modellen) Veralgemeende condiionele heeroscedasische auoregressieve volailieimodellen (GARCHmodellen) Sandaard GARCH-model GARCH-variaies... 7 GJR-GARCH... 8 EGARCH... 8 ONDERZOEKSMETHODIEK INLEIDING ONDERZOEKSOPZET Overdraagbaarheidsudie Hypoheseselling Modelspecificaies... 3 GARCH me range schaer... 3 GJR-GARCH me range schaer EGARCH me range schaer Hoofdonderzoek Hypoheseselling II

7 3... Modelspecificaies GARCH me analyische schaer GJR-GARCH me analyische schaer EGARCH me analyische schaer Volailieisonderzoek in verschillende ijdsperiodes Hypoheseselling Modelspecificaies OVERZICHT METHODOLOGIE BEOORDELINGSMETHODEN Significanie en infocrieria Voorspellingsbeoordeling Voorspellingsmehodologie Presaie-indicaoren voor he beoordelen van voorspellingen Roo Mean Square Error (RMSE) Mean Absolue Error (MAE) Mean Absolue Percenage Error (MAPE) Correlaie R van een aanvullende regressie me de bekomen voorspellingen DE DATA INLEIDING OMSCHRIJVING BEL 0 index EIGENSCHAPPEN RETURNS BEL 0-INDEX Volailieisclusering Lepokurische verdeling Saionariei van de reurns ARCH-LM es IDENTIFICATIE MEAN EQUATION BASELINE VOLATILITEIT EIGENSCHAPPEN RANGE - SCHATTERS EIGENSCHAPPEN ANALYTISCHE VOLATILITEITSCHATTERS Descripieve saisieken van de analyische schaers Correlaie analyische schaers IDENTIFICATIE TIJDSPERIODEN Bull -mark Bear -mark RESULTATEN EMPIRISCH ONDERZOEK INLEIDING PRAKTISCHE ELEMENTEN EN VERDUIDELIJKING VAN DE OUTPUT VAN HET EMPIRISCH ONDERZOEK RESULTATEN EN INTERPRETATIE Overdraagbaarheidssudie Hoofdonderzoek Volailieisonderzoek in verschillende ijdsperiodes bull -mark Bear marke Beslui... 8 ALGEMEEN BESLUIT... 8 BIBLIOGRAFIE... VIII BIJLAGEN... IX APPENDIX A: BEREKENING Ƒ... APPENDIX A APPENDIX B: BEWIJS GARCH(,) = ARCH( )... APPENDIX B III

8 APPENDIX C: OUTPUT ARCH-LM TESTEN... APPENDIX C APPENDIX D: BESCHRIJVENDE STATISTIEKEN RANGE SCHATTERS... APPENDIX D APPENDIX E: OUTPUT OVERDRAAGBAARHEIDSTUDIE... APPENDIX E APPENDIX F: OUTPUT HOOFDONDERZOEK... APPENDIX F GARCH-modellen... Appendix F GJR-GARCH-modellen... Appendix F EGARCH-modellen... Appendix F Combinaie-modellen... Appendix F APPENDIX G: OUTPUT VOLATILITEITONDERZOEK IN VERSCHILLENDE TIJDSPERIODES... APPENDIX G Bull mark... Appendix G GARCH-modellen... Appendix G GJR-GARCH-modellen... Appendix G EGARCH-modellen... Appendix G Oupu combinaie-modellen... Appendix G Bear mark... Appendix G GARCH-modellen... Appendix G GJR-GARCH-modellen... Appendix G EGARCH-modellen... Appendix G Oupu combinaie-modellen... Appendix G IV

9 LIJST MET GEBRUIKTE AFKORTINGEN AIC: Akaike Crierium AR: AuoRegressive ARCH: Auoregressive Condiional Heeroscedasic ARMA: AuoRegressive Moving Average BV: BEL 0-volailieisindex DR: Dagelijkse Range DF: Dickey-Fuller EGVG: Exponenieel Gewogen Voorschrijdend Gemiddelde GARCH: Generalised Auoregressive Condiional Heeroscedasic LR: dagelijkse Log Range MA: Moving Average MAE: Mean Absolue Error MAPE: Mean Absolue Percenage Error ME: Mean Equaion ML: Maximum likelihood OLS: Ordinary Leas Squares QML: Quasi maximum likelihood RMSE: Roo Mean Squared Error SBC: Schwarz Bayesian Crierium VE: Variance Equaion V

10 LIJST VAN DE FIGUREN Figuur : Reurns BEL Figuur : Inraday prijsverloop BEL 0-index (3/0/0 7:35:5-0//0 7:35:5) (Engels)... 3 Figuur 3: Srucurele onderbreking... 0 Figuur 4: Lineaire rend... 0 Figuur 5: Overzich Mehodologie Figuur 6: In-sample voorspelling Figuur 7: Ou-of-sample voorspelling Figuur 8: Saische voorspelling Figuur 9: Dynamische voorspelling Figuur 0: Reurns BEL 0 index... 5 Figuur : Descripieve saisieken reurns BEL 0 index... 5 Figuur : a) Gesandaardiseerde residuen AR()-model, b) Gesandaardiseerde residuen GARCH(,)-model Figuur 3: Descripieve saisieken van de gesandaardiseerde residuen van een GARCH(,)-model Figuur 4: Grafiek AIC en SBC voor verschillende specificaies (BEL 0 reurns) Figuur 5: Beschrijvende saisieken BEL 0-volailieiindex Figuur 6: Grafiek BEL 0-volailieiindex Figuur 7: Beschrijvende saisieken DR Figuur 8: Beschrijvende saisieken LR Figuur 9: a) Q-Q plo voor DR, b) Q-Q plo voor LR... 6 Figuur 0: Voorspellingsperiode: Bull mark Figuur : Voorspellingsperiode: Bear mark Figuur : Samenvaende grafieken voorspellingsbeoordeling deel... 7 Figuur 3: Grafiek voorspelde volailiei me EGARCH-LR... 7 Figuur 4: Grafieken RSME, MAE, MAPE deel Figuur 5: Grafieken regressie- en correlaieoupu deel Figuur 6: Grafiek voorspelde volailiei me EGARCH-E Figuur 7: Grafieken RSME, MAE, MAPE deel 3 bull -mark Figuur 8: Grafieken regressie- en correlaieoupu deel 3 bull -mark Figuur 9: Grafiek voorspelde volailiei me EGARCH-LR Figuur 30: Grafieken RSME, MAE, MAPE deel 3 'bear' mark Figuur 3: Grafieken regressie- en correlaieoupu deel 3 'bear' mark Figuur 3: Grafiek voorspelde volailiei me EGARCH-LR VI

11 LIJST VAN DE TABELLEN Tabel : Onbrekende observaies in basisdaase Tabel : Samenselling BEL Tabel 3: Basis DF es Tabel 4: AIC en SBC voor verschillende specificaies (BEL 0 reurns) Tabel 5: Samenvaing descripieve saisieken geïdenificeerde schaers... 6 Tabel 6: Samenvaing descripieve saisieken geïdenificeerde schaers na aanpassing... 6 Tabel 7: Aanal onbrekende waarden in de daase Tabel 8: Covarianie/correlaie-abel analyische schaers Tabel 9: Verduidelijking oupukolommen Tabel 0: Significanieniveaus VII

12 ALGEMENE INLEIDING He accuraa meen en voorspellen van de volailiei op financiële marken is he onderwerp van een groo deel van de besaande lierauur over financiële producen. He belang van de volailiei is da he een maasaf is voor he risico da gepaard gaa me een specifiek financieel produc. He is dan ook logisch da als een financieel produc een hoge volailiei heef de onzekerheid in de reurns oeneem omda een hoge volailiei evens kan leiden o groe negaieve reurns. In di opzich is he dus belangrijk da er bij he berekenen van he risico rekening word gehouden me de volailiei van een financieel produc. In de huidige lierauur besaa er een groe basis aan modellen die de volailiei kunnen meen en voorspellen. Groendeels kunnen de besaande modellen, die van belang zijn in deze sudie, in wee caegorieën ingedeeld worden. De eerse soor zijn de analyische mehodes om o bepaalde schaers e komen. Deze schaers zullen worden geïdenificeerd in papers van onder andere Wang & Robers (004), Garman & Klass (980) en Yang & Zhang (000). Wa deze schaers gemeenschappelijk hebben is da ze een range me berekking o he dagelijkse prijsverloop berekenen. Deze range schaers zullen dan gebruik worden om in een weede soor modellen e inegreren. Deze weede soor modellen zijn economerische modellen die in saa zijn om een bekende eigenschap van reurns, de volailieisclusering, e modelleren. De economerische modellen die in deze sudie zullen gebruik worden, zijn he GARCH-model van Bollerslev (986), he GJR-GARCH-model van Glosen, Jagannahan, & Runkle (993) en he EGARCH-model van Nelson (99). De range schaers zullen dan worden oegevoegd in de varianievergelijking ( variance equaion, VE) worden oegevoegd. Me deze uigebreide GARCH-modellen zullen er dan voorspellingen gemaak worden voor de volailiei. Deze voorspelde volailiei zal dan vergeleken worden me een exerne volailieireeks (over dezelfde onderliggende reurns). Als reurnreeks word de BEL 0-index gebruik. Als exerne volailieiserie zal de BEL 0- volailieiindex worden gebruik. De voorspellingen voor de volailiei door de GARCH-modellen (of varianen) zal dan egenover de exerne volailieiserie, in deze sudie de BEL 0-volailieisindex (BV), worden uigeze voor alle modellen en beoordeeld worden op hoe dich de voorspellingen aansluien bij de exerne volailieireeks. Op basis van die beoordelingsmehoden zal de voorspellingskrach van de verschillende modellen me elkaar vergeleken worden. De gebruike beoordelingsmehoden zijn de Roo Mean Squared Error (RMSE), de Mean Absolue Error (MAE) en de Mean Absolue Percenage Error (MAPE) die gebaseerd zijn op de voorspellingsfou. Deze voorspellingsfou is he verschil ussen de exerne baseline -volailiei (BEL 0-volailieisindex, BV) en de voorspelde waarden voor de volailiei. Er worden eveneens correlaiecoëfficiënen berekend voor de voorspelde waarden en de BV. Ook werden er regressies opgeseld me de BV als afhankelijke variabele en de voorspelde waarden als onafhankelijke variabele. De coëfficiënen van

13 deze regressies dienen dan als beoordelingsmehode om e conroleren hoe dich deze voorspelde waarden bij de BV in de buur komen. He onderzoek op zich is opgedeeld drie delen. He eerse deel van he onderzoek onderzoek of GARCH-modellen me oevoeging van de range schaer daily range (DR) en/of log range (LR) beere voorspellingen lever dan een sandaard GARCH-model. Di eerse deel bouw voor op een besaande paper van Wang & Robers (004) waarin de DR al in een GARCH-model word gebruik om voorspellingen e maken van de volailiei. Hier word de DR ook oegepas in een GJR-GARCHmodel en een EGARCH-model, di word eveneens zo gedaan voor schaer LR in de GARCH-, GJR- GARCH- en EGARCH-modellen. De voorspellingsperiode in di deel loop van begin 004 o en me eind 00. In deel van he onderzoek blijf de voorspellingsperiode dezelfde. In di deel is he echer de bedoeling da andere range schaers dan deze in deel van he onderzoek worden oegevoegd aan GARCH-modellen (en varianen). Deze andere range schaers worden geïdenificeerd in de lierauur en worden beschreven door o.a. Garman & Klass (980) en Yang & Zhang (000). Deze schaers zijn geïdenificeerd op basis van hun heoreische efficiënie in he voorspellen van de varianie. Er werden ook schaers geïdenificeerd die rekening houden me de periode in één dag waarin de beurs gesloen is. Deel 3 van he onderzoek pas de modellen, die in deel en deel van he onderzoek werden gebruik, oe op verschillende ijdperiodes. Deze ijdperiodes worden gekenmerk door de saa waarin de mark zich bevind. Er worden wee sooren marken onderzoch, namelijk een bull -mark en een bear -mark. De bull -mark in di onderzoek word gekenmerk door relaief lage sabiliei en de bear -mark word gekenmerk door een relaief hoge volailiei. In deel 3word de vraag geseld of de modelpresaies me berekking o he voorspellen van de volailiei, nog seeds dezelfde zijn als in deel en deel van he onderzoek. Opnieuw word er ook in deel 3 gees of schaers die rekening houden me een periode waarin de beurs gesloen is, exra informaie kunnen oevoegen aan GARCH-modellen (en varianen) om zo beere voorspellingen van de volailiei e leveren. He uieindelijke doel van deze sudie is da he kan bijdragen aan de besaande lierauur over he voorspellen me GARCH-modellen en varianen. Specifiek kan gezegd worden da deze scripie wil bijdragen aan de lierauur die e maken heef me de incorporaie van daa/schaers gebaseerd op range in de modellen van de GARCH-familie. Ui de resulaen voor he onderzoek in deel kan besloen worden da de DR en LR er weldegelijk in slagen om beere voorspellingen e leveren. In di deel kom he EGARCH-model me oevoeging van de LR er als bese model ui. In deel van he onderzoek word gevonden da he EGARCH-model me schaer E 7 he bese model is. De schaer E 7 is echer wel nie significan. Indien de resulaen van deel me die van deel worden vergeleken kan er worden besloen da geen enkel model in deel er in slaag om beere voorspellingen e leveren dan de modellen in deel. Voor deel 3 kom men o he beslui da de saa van de mark geen invloed heef op welk model he bes preseer in he voorspellen van de volailiei. In di deel word EGARCH-LR nog alijd als bese model gevonden.

14 De selling da de incorporaie van informaie, die rekening houd me de periode waarin de beurs gesloen is, in de schaer o beere voorspellingen leid, word zowel in deel en deel 3 verworpen. Er zijn een aanal belangrijke beperkingen aan di onderzoek. Ten eerse word er slechs gees op één enkele markindex en kan er dus nie zomaar veralgemeend worden naar andere financiële marken of producen. Ten weede word in deze sudie de BV als een exerne baseline -volailiei gebruik. In de lierauur is he echer vaak een pun van discussie welke nu de bese baseline -volailiei is. Andere volailieireeksen voor de baseline kunnen dus ook andere resulaen leveren. Ten sloe word er in deze sudie slechs een selecie aan range schaers gebruik. Di onderzoek val dus nie e veralgemenen naar andere range schaers die in deze sudie nie worden gebruik. Deze sudie is ingedeeld in vijf groe hoofdsukken. In hoofdsuk word de beekenis, de relevanie en he belang van de volailiei besproken. Hoofdsuk beva de lierauursudie. In di hoofdsuk word er op zoek gegaan naar de verschillende elemenen waarui de modellen die in he onderzoek gebruik worden, besaan. Deel. geef een overzich van de radiionele mehodes die gebruik worden om volailiei e meen (en e voorspellen). Deel.3 bespreek de impliciee volailiei aangezien de BV berekend is op basis van deze volailiei. In deel.4 worden dan de range schaers geïdenificeerd in de lierauur die dan zullen gebruik worden in de GARCH-modellen (en varianen). Deel.5 geef de basis mee voor he werken me GARCH-, GJR-GARCH- en EGARCH-modellen en er word evens uigelegd hoe deze modellen in elkaar zien. In Hoofdsuk 3 word de onderzoeksmehodiek beschreven. Deel 3. leg de verschillende delen van he onderzoek ui. Per deel van he onderzoek worden er hypoheses opgeseld en worden de funcionele vormen van de GARCHmodellen (en varianen) me range schaer weergegeven. Deel 3.3 geef een algemeen overzich van de gevolgde mehodologie in deze sudie en hoe de verschillende hoofdsukken en delen van de hoofdsukken in elkaar passen. Deel 3.4 behandel de beoordelingsmehoden die zullen worden gebruik om e bepalen hoe goed de voorspellingen van de volailiei bij de BV passen. In Hoofdsuk 4 worden de eigenschappen van de daa besproken en de idenificaie van de ijdsperiodes voor deel 3 van he onderzoek gedaan. Deel 4. beva een algemene omschrijving van de BEL 0-index erwijl deel 4.3 de eigenschappen van de reurns van deze index bespreek. Deel 4.4 bepaal de funcionele vorm die zal gebruik worden voor de Mean equaion (ME) in de GARCH-modellen (en varianen). De baseline -volailiei en zijn eigenschappen worden besproken in deel 4.5. De eigenschappen van de verschillende analyische schaers die werden geïdenificeerd in de lierauursudie worden besproken in deel 4.7. He laase deel van Hoofdsuk 4 (4.8) idenificeer de wee sooren marken die in deel 3 van he onderzoek een rol spelen. Ten sloe behandel Hoofdsuk 5 de resulaen van he empirisch onderzoek. Deel 5. bespreek de prakische elemenen die me he schaen van de economerische modellen gepaard gaan en verduidelijk de oupu die in de appendix word weergegeven. Deel 5.3 beva de resulaen van he onderzoek en bespreking/inerpreaie ervan. 3

15 Tensloe zal deze scripie afgesloen worden me een conclusie evenals de vermelding van beperkingen en (daarui volgend) suggesies voor verder onderzoek. 4

16 5/07/99 5/07/994 5/07/996 5/07/998 5/07/000 5/07/00 5/07/004 5/07/006 5/07/008 5/07/00 Reurns HOOFDSTUK VOLATILITEIT. OMSCHRIJVING BEGRIP Een eenduidige definiie van volailiei besaa nie, vermis er in de lierauur een uieenlopend aanal definiies gegeven word. Inuïief kan men sellen da volailiei in een financiële conex algemeen omschreven word als een maasaf die de mae van beweeglijkheid van de prijs van een aandeel, index, of om he even welk ander financieel produc, aanwijs. Men spreek van een hoge volailiei als de koers van een bepaalde belegging serk op en neer beweeg. Lage volailiei heef men in he omgekeerde geval, als de koersen weinig bewegen. In figuur zien we de grafiek van de reurns van de BEL 0-index. In deze figuur zou men vier periodes kunnen onderscheiden op vlak van volailiei. Periode en 3 veronen een relaief lage volailiei omda de reurns flucueren in de buur van nul. In periode en 4 daarenegen merk men een relaief hoge volailiei omda de reurns groere flucuaies veronen. RETURNS BEL Periode Periode Periode 3 Periode 4 Tijd Figuur : Reurns BEL 0 (bron: Daasream) RETURN BEL 0 Er besaan wee sooren volailiei die nauw me elkaar verwan zijn, nl. de hisorische volailiei en de impliciee volailiei. Hisorische volailiei is de volailiei die we kunnen afleiden ui hisorische prijzen en reurns van een bepaald financieel produc. Impliciee volailiei daarenegen is afgeleid ui de markprijzen van opies. He is een volailieisraming op basis van de opinies van beleggers over he oekomsig flucueren van he onderliggend aandeel. Men kan de impliciee volailiei bekomen door alle parameers van de Black & Scholes -formule in e voeren behalve de volailiei. Deze wee verschillende volailieien zijn gelink aan elkaar doorda de verwachingen van de beleggers over 5

17 oekomsige volailiei ook deels worden beïnvloed door de hisorische volailiei. In deze verhandeling zal voornamelijk me hisorische volailieien gewerk worden. Impliciee volailieien kunnen gebruik worden om voorspellingen van volailiei op hun accuraaheid e esen.. BELANG Volailiei is een cenraal concep in financiën. Di omhels porfoliomanagemen, he bepalen van de prijs van een financieel produc, risicomanagemen, enz. Vaak is de volailiei een maasaf voor he risico van een bepaald financieel produc. Men kan di inuïief vaen doorda een verhoogde beweeglijkheid van de prijs gekoppeld is aan een sijgende/verhoogde kans op groere verliezen. Deze verhoogde kans op een groo verlies is wa een financieel produc zo risicovol maak. He is daarom belangrijk da iedereen die e maken heef me inveseringen in financiële producen, een zo goed mogelijk beeld heef van de prijsvolailiei, en einde beer he risico in e schaen van dergelijke financiële producen..3 BRONNEN VAN VOLATILITEIT De voornaamse bron van volailiei is de verspreiding van nieuwe informaie die direc of indirec me he financieel produc e maken heef. In de huidige periode van crisis blijk he meer dan ooi da nieuwe informaie over een bepaald aandeel groe gevolgen kan hebben voor de prijs van da aandeel. Een direce invloed van nieuws op een aandeel vloei voor ui informaie die vrijgegeven word door he bedrijf of informaie door derden over he bedrijf. Een welgekend voorbeeld van een direce invloed is een aankondiging over een lagere winsverwaching he komende jaar of kwaraal. Di zal een negaief effec hebben op de waarde van he aandeel gezien er door een lagere wins dus ook een lager dividend zal worden uigekeerd of minder middelen voor inveseringen beschikbaar worden. Een indirece invloed van nieuwe informaie op een aandeel heef e maken me informaie die nie meeen gerelaeerd is aan he bedrijf zelf. Deze indirece invloed is voornamelijk e wijen aan macroeconomische dynamiek van onze globale economie. Zonder hierover verder in deail e reden kan men als belangrijkse voorbeeld de financiële crisis van aanhalen. Een concreer voorbeeld zou bijvoorbeeld de economisch sleche siuaie van Griekenland in 0 kunnen zijn, waarbij inveseringen in da land en zijn bedrijven minder aanrekkelijk worden waardoor de aandeelprijzen een daling kennen. He verhandelen van een aandeel is ook een belangrijke bron van volailiei. Deze is gerelaeerd aan de vorige bron doorda men op basis van informaie zal verhandelen om zo een voordeel e bekomen door he oepassen van een bepaalde sraegie. Verhandelen gebeur vaak op basis van heel recen uigebrache informaie maar kan ook gebeuren op basis van verwachingen. Deze verwachingen omvaen bijvoorbeeld winsverwachingen, nieuws over een overname, enz. Verhandelen kan ook 6

18 onafhankelijk zijn van nieuwe informaie maar puur he resulaa zijn van bepaalde sraegieën. Een simpel voorbeeld hiervan is he kore ermijn day raden waarbij men uisluiend gaa handelen op basis van de prijsschommelingen die dagelijks plaasvinden. Hier kom volailiei erug in he verhaal als zijnde een maa voor de verhandelbaarheid van een aandeel. Hoe groer de volailiei van een aandeel, hoe beer he aandeel kan verhandeld worden om wins e maken op basis van prijsschommelingen. 7

19 HOOFDSTUK LITERATUURSTUDIE. INLEIDING EN SITUERING Volailiei is een cenraal begrip binnen de financiële wereld me een enorme impac op de manier waarop zaken worden gedaan. Een belangrijk voorbeeld hiervan is porfolio managemen waarin volailiei een cruciale rol speel om he risico van de effecenporefeuille e bepalen. He lijk dan ook logisch da er een groe basis aan onderzoek is naar mehodes om enerzijds de volailiei e schaen, en anderzijds de volailiei e voorspellen. Volailiei schaen is vooral van belang om inzich e krijgen in de eigenschappen en de dynamiek ervan. He is ook van belang voor de beoordeling van de mehoden die men gebruik om volailiei e voorspellen. Eenmaal een mehode voldoende eigenschappen kan vaen van de volailiei, zal deze mehode normalerwijs ook degelijke voorspellingen kunnen maken. Onderzoek in de lierauur rich zich dan ook voornamelijk op he vinden van mehodes om volailiei beer e kunnen voorspellen. In di hoofdsuk worden eers de radiionele schaers voor de volailiei uigelegd in deel.. In di deel word eers de hisorische volailiei oegelich, de meese eenvoudige mehode om volailiei e meen. Deze hisorische volailiei is gebaseerd op hisorische prijzen van financiële producen. Ten weede word he exponenieel gewogen voorschrijdend gemiddelde (EGVG) -model oegelich in deel... In deel.3 word de impliciee volailiei oegelich die eerder he gevolg is van de huidige markdaa, die de verwachingen over de oekoms refleceren. Deze caegorie aan modellen word besproken omda de exerne baseline -volailiei in deze sudie berekend is op een impliciee manier ui opieprijzen. Deel.4 gaa dieper in op de lierauur die besaa over analyische range schaers voor de volailiei en idenificeer die schaers die zullen worden gebruik in he onderzoek. Deel.4. beva de beschrijving van de range schaers ui de paper van Wang & Robers (004). Deze range schaers zullen worden gebruik in deel van he onderzoek. In deel.4. o en me deel.4.5 word er verder gezoch naar analyische range schaers in de lierauur. Deze schaers vormen de inpu voor deel van he onderzoek. Tensloe worden in deel.5 de economerische modellen oegelich die in alle delen van he onderzoek de basis vormen. He gaa hier om he GARCH-model van Bollerslev (986), he GJR-GARCH-model van Glosen, Jagannahan, & Runkle (993) en he EGARCH-model van Nelson (99). In deel.5. word een AuoRegressive Moving Average (ARMA) -model uigelegd en de belangrijkse elemenen waarui di model besaa. In deel.5. word dan he ARCH-model van Engle (98) besproken, de voorloper van he GARCH-model. Deel.5.3 beva de uileg over de verschillende GARCH-modellen die als basis zullen gebruik worden in di empirisch onderzoek. 8

20 . TRADITIONELE ANALYTISCHE VOLATILITEITSCHATTERS.. Hisorische volailiei Tradiioneel word de hisorische volailiei weergegeven door de sandaardafwijking (sandaarddeviaie) van de reurns van een aandeel. De prijzen van een aandeel zijn een gegeven op financiële marken, maar veel belangrijker voor inveseringsanalyse zijn de reurns. Deze reurns zijn he verschil van de prijs in periode en de prijs in periode -, di kan zowel weergegeven worden in absolue reurns en in logarimische reurns: R P P () P 00 *ln P R () R word gedefinieerd als de reurn van een aandeel op ijdsip, P is de prijs op ijdsip en P- is de prijs op ijdsip -. De volailiei word beschouwd als de sandaardafwijking van de reurns. In Hoofdsuk 3 van Hull (008) word deze sandaardafwijking als volg geformuleerd: σ n n R R Di is een analyische schaer voor de sandaardafwijking en heef een lich gewijzigde noaie en opziche van de formule in Hull (008). De sandaardafwijking word gescha over een significane periode, waarmee bedoeld word da de sandaardafwijking berekend word over een periode die he mees represenaief is voor de oekomsige sandaardafwijking van he aandeel. De keuze van deze periode in hisorische modellen is echer cruciaal voor een accurae volailieimeing. Inuïief gezien zal een pre-crisis volailieimeing de oekomsige volailiei onderschaen in vergelijking me een mid-crisis volailieimeing. Lange ijd werd deze volailieiproxie gebruik in prijsmodellen voor opies. Naargelang er meer onderzoek werd verrich naar beere mehodes om de volailiei e schaen, kwamen onder andere Akgiray (989) en Chu & Freund (996) o de conclusie da gesofisiceerde modellen beere volailieimeingen bezorgden voor he prijzen van opies dan bovensaande analyische schaer. In zowel Akgiray (989) als Chu & Freund (996) was di een GARCH-model (infra, p.5) da beere volailieimeingen leverde... Exponenieel gewogen voorschrijdend gemiddelde model (3) He exponenieel gewogen voorschrijdend gemiddelde model, zoals beschreven in Hoofdsuk 8 in Brooks (008), is een uibreiding op he meen van volailiei aan de hand van de hisorische reurns. Di model word verder he EGVG-model genoemd. Concree word in een EGVG-model een groer 9

21 gewich gegeven aan recenere observaies zoda oudere observaies een minder serke invloed hebben op he meen van de volailiei. De voordelen en opziche van de mehode in deel.. zijn weezijdig. Enerzijds word volailiei in de huidige periode he mees beïnvloed door recene gebeurenissen en minder door oudere gebeurenissen. Di is ook in lijn me he fenomeen volailieiclusering da kenmerkend is voor financiële daa. Volailieiclusering, zoals beschreven in Hoofdsuk 8 deel 8. in Brooks (008), word oegelich in hoofdsuk 4 waarin de daa besproken worden (infra, p49). Anderzijds zal één enkele gebeurenis door de ijd heen minder impac hebben op de huidige volailiei. Di heef als voordeel da abnormalieien me berekking o de gangbare volailiei geen blijvende verekende impac zullen hebben op volailieimeingen. Ook voor volailieivoorspellingen is he belangrijk da dergelijke abnormalieien de voorspellingen nie gaan verekenen. Moch er bijvoorbeeld een ijdelijke opwaarse schok in de volailiei zijn en men gaa op basis van een seekproef me deze shock inbegrepen een voorspelling doen, dan zal men een relaief overschae volailiei bekomen. Concree kan he EGVG-model wiskundig als volg geformuleerd: σ j λ λ R R j0 Hierbij sel σ de sandaardafwijking in periode voor, R-j de reurn in periode (-j) en R de gemiddelde reurn over de seekproef. He symbool λ sel de vervalfacor voor. Deze facor bepaal he gewich die gegeven word aan recenere observaies. De vervalfacor kan gescha worden hoewel er in de lierauur meesal een vase arbiraire waarde aan gegeven word die door de aueur bepaald word. Vergelijking 4 is gebaseerd op de formule in Hoofdsuk 8 deel 8.5 in Brooks (008). Er zijn wee belangrijke beperkingen aan EGVG-modellen. Ten eerse val er op e merken da een dergelijk model op meerdere manieren kan worden uigedruk. Ten weede slagen EGVG-modellen er nie in om een belangrijke eigenschap van volailiei e vaen, namelijk da de volailiei een erugkeer naar een lange ermijn gemiddelde veroon. Di beeken da als de volailieireeks zich op een relaief hoog niveau bevind dan zal de reeks erugkeren naar zijn hisorisch gemiddeld niveau. Di geld ook in he omgekeerde geval als de reeks zich op een relaief laag niveau bevind. Deze uileg is gebaseerd op Hoofdsuk 8 deel 8.5 in Brooks (008)..3 IMPLICIETE VOLATILITEIT Deze klasse van volailieimodellen bepalen de volailiei op basis van alle gegeven sukken aan informaie in verband me een opie. Doorda de prijsmodellen voor financiële opies alijd een schaing nodig hebben van de volailiei om o een evenwichige prijs e komen, kan men vanui deze modellen ook omgekeerd werken en de volailiei erui afleiden indien de andere parameers gegeven zijn. He sandaard Black-Scholes -model bijvoorbeeld, is een model waarui men de volailiei kan afleiden omda de andere parameers gekend zijn, nl. de ijd o mauriei van de opie, 0 j (4)

22 de prijs van de opie, de risicovrije inres, de srike prijs, en de huidige waarde van he onderliggend acief. Al deze parameers zijn gespecificeerd ofwel in he conrac van de opie ofwel zijn ze beschikbaar omda ze simpelweg markinformaie zijn die voor iedereen beschikbaar is. Deze klasse van modellen om de volailiei e schaen word nie verder uigewerk in deze scripie, noch zullen deze modellen gebruik worden in he empirisch onderzoek. He besaan van di soor modellen word louer als informaie meegegeven..4 IDENTIFICATIE GEVORDERDE ANALYTISCHE SCHATTERS IN DE LITERATUUR.4. Dagelijkse range en de nauurlijke logarime van de dagelijkse range In de paper van Wang & Robers (004) werd de basis gelegd voor he onderzoek in deze sudie. Hierin werd er onderzoch of de daa gebaseerd op range er voor kunnen zorgen da de voorspellingen van de volailiei in GARCH accuraer zouden zijn door oevoeging van deze range daa in de variance equaion (VE). De VE, GARCH en andere modellen worden in deel.5 van di hoofdsuk uigelegd. Hier worden de range variabelen gedefinieerd die zullen gebruik worden in deze sudie. De modellen, die deze variabelen incorporeren, zullen dienen als benchmarkmodellen. De benchmarkmodellen worden dan vergeleken me de modellen die de schaers, die gedefinieerd worden in de hierop volgende delen van.4, bevaen. In Wang & Robers (004) worden de dagelijkse range (DR) en de dagelijkse log range (LR) gebruik als variabelen die exra informaie over de volailiei zouden moeen bevaen. De formule voor deze schaers is dezelfde als in de paper van Wang & Robers (004), nl.: DR Max (h,c ) Min (l,c ) LR log log Max (h,c log Min l, c In deze formule is h de maximale prijs van de huidige periode, l - de minimale prijs van de huidige periode en c - de sluiingsprijs van de vorige periode. De periode in deze sudie bedraag één dag aangezien he de bedoeling is om dagelijkse volailiei e voorspellen. In Wang & Robers (004) worden er een aanal specifieke voordelen vermeld van de LR egenover de DR. Hieronder word een kore opsomming gegeven van de voordelen van de LR egenover de DR ui deze paper: De LR heef een kleinere sandaarddeviaie dan de DR wa he gebruik ervan wenselijker maak. De scheefheid en de kurosis liggen dich in de buur van de scheefheid en kurosis van een normale verdeling. De LR is wenselijker als ijdsreeks om de volailiei e vaen. In de paper van Wang & Robers (004) werd bewezen da de LR beer in saa is om de volailieisclusering e

23 modelleren dan de DR. De dagelijkse range word daarenegen gekenmerk door meer erraische flucuaies..4. Schaers gebaseerd op openings- en sluiingsprijzen Tradiioneel werden de varianies/sandaardafwijkingen van de reurns berekend volgens de mehodes beschreven in deel.. en deel.., maar op deze mehodes zijn er al veel variaies voorgeseld. De radiionele mehodes gebruiken echer sluiingsprijzen als inpu voor volailieischaers. He groe nadeel hiervan is da sluiingsprijzen slechs momenopnames zijn van de prijs van een aandeel over een bepaald ijdsinerval. Bijgevolg verel di dus helemaal nies over de hoe de volailiei eruizag ijdens die periode. In Garman & Klass (980) word de basisschaer alernaief voorgeseld als: ˆ 0 C C waarbij C de sluiingsprijs van vandaag is en C 0 die van giseren. Een belangrijk voordeel van deze klassieke schaer is da deze een onverekende schaer is voor de populaievarianie. Di voordeel werd origineel in Garman & Klass (980) beschreven. He is ook zo da sluiingsprijzen vrij beschikbaar zijn en he oepassen van deze schaer in de prakijk redelijk eenvoudig is. He groose nadeel aan deze schaer is da de dynamiek ussen wee opeenvolgende sluiingsprijzen buien beschouwing word gelaen. Zo kan he bijvoorbeeld zijn da wee opeenvolgende sluiingsprijzen gelijk zijn, maar da er groe flucuaies van de prijs hebben plaasgevonden in da inerval. In di geval zal de schaer aangeven da er geen volailiei was, erwijl er in werkelijkheid een groe volailiei werd waargenomen. Garman & Klass (980) vermelden di nie specifiek maar raden wel aan om meer beschikbare informaie in de schaer e incorporeren. Om he verloop van deze e eks e bevorderen, voeren we eers een noaie in die gebaseerd is op de noaie ui Garman & Klass (980): σ = De onbekende consane varianie van de prijswijzigingen = de populaievarianie. ƒ = De fracie van de dag da de beurs (he verhandelen) gesloen is. C 0 = De sluiingsprijs van de vorige periode. C = De sluiingsprijs van de huidige periode. O = De openingsprijs van de huidige periode. H = De hoogse prijs van de huidige periode. L = De laagse prijs van de huidige periode. o = O C 0 = De genormaliseerde openingsprijs van de huidige periode. u = H O = De genormaliseerde hoogse prijs van de huidige periode. d = L O = De genormaliseerde laagse prijs van de huidige periode. c = C O = De genormaliseerde sluiingsprijs van de huidige periode. 0 (5)

24 7:35:5 6:7:30 5:4:45 4::00 3:8:45 :5:5 ::5 0:08:30 9:05:45 8:03:30 7:0:5 5:59:00 4:56:45 3:54:30 :5:5 :50:00 0:47:45 3:45:30 :43:5 :4:00 0:38:45 9:36:30 8:34:5 Prijs Deze gegevens worden grafisch weergegeven op figuur. Beurs gesloen BEL 0-index Beurs open C 0 O H L C Quoe sluiingsprijs 3/0 Ongekend prijsverloop Tijd Figuur : Inraday prijsverloop BEL 0-index (3/0/0 7:35:5-0//0 7:35:5) (Engels) (bron: Euronex websie, aueursekening) In figuur werd een opsplising gemaak ussen de periode waarin de beurs geopend is en een periode waarin verhandelen sil lig. Nu kan er een ƒ gedefinieerd worden als de fracie van een ijdsperiode waarin de beurs gesloen is. In he ons specifiek geval van de BEL 0, die genoeerd saa op Euronex Brussel en waarin de beurs gesloen is ussen 7u35 de vorige dag o 9u00, is onze f gelijk aan 0,64. De groene lijn sel he onbekend prijsverloop voor da men nie kan waarnemen. Men kan deze nie waarnemen omda he zich bevind in he inerval waarin verhandelen gesloen is. De inuïie acher di onbekend prijsverloop is da de sluiingsprijs van de vorige periode vaak nie gelijk is aan de openingsprijs van de huidige periode, wa suggereer da er een bepaald prijsverloop moe zijn als de marken gesloen zijn. De eigenschap da er ook prijsdynamiek is ijdens de periode waarin de beurs gesloen is, word immers ook genegeerd door de basisschaer σˆ 0 (supra, p.). Om aan deze laase ekorkoming van de basisschaer egemoe e komen, sellen Garman & Klass (980) een weede schaer voor, die rekening houd me de periode waarin he verhandelen gesloen is, op voorwaarde da openingsprijzen ook gekend zijn: O C C O 0 σˆ,0 f f ( f) (6) Zie appendix A 3

25 In diezelfde paper word de presaie van elke voorgeselde schaer aangeoond door he berekenen van de efficiënie en opziche van de basisschaer ˆ 0. De weede schaer ˆ blijk een efficiënie gelijk aan e hebben, onafhankelijk van de waarde van ƒ. Een efficiënie van beeken een halvering van de varianie van de schaingen van de volailiei. Deze selling en de formulering van efficiënie zijn erug e vinden in Garman & Klass (980). Hierui kan dus besloen worden da meer informaie incorporeren in de schaer o een beere schaing van de volailiei leid..4.3 Schaers gebaseerd op maximum en minimum prijzen Ne zoals openingsprijzen en sluiingsprijzen, zijn ook hoogse en laagse prijzen vrij beschikbaar voor de meese genoeerde aandelen en financiële producen. In Garman & Klass (980) worden deze prijzen oegepas in een schaer die efficiëner is dan schaer ˆ. De schaer die uisluiend gebaseerd is op hoogse en laagse prijzen word als volg voorgeseld (Garman & Klass (980)): σˆ H L 4 ln u d 4 ln Hierbij verondersellen Garman & Klass da de fracie ƒ gelijk is aan 0. Deze schaer heef een efficiënie van 5, wa duidelijk beer is dan de vorige schaer (Garman & Klass, 980). Houd men nu wel rekening me een fracie ƒ die verschillend is van 0, en als al de noodzakelijke prijzen bekend zijn, dan word er in diezelfde paper een vierde schaer voorgeseld die wel rekening houd me een periode waarin de beurs gesloen is: (O C0 ) σˆ 3 a,0 f f (u d) ( a) ( f)4(ln) me a 0, 7voor de kleinse varianie van de schaer in heorie. Deze schaer heef een efficiënie van 6, (Garman & Klass, 980) wa dus erug een verbeering is en opziche van de vorige schaer die geen rekening hield me een fracie ƒ..4.4 Bese analyische schaer door Garman & Klass (980) He groose nadeel van de schaers ˆ en (7) (8) ˆ 3 is da ze uisluiend gebaseerd zijn op (u-d). Ze houden dus geen rekening me de onderlinge ineracie ussen u, d en c. Om hieraan egemoe e komen, hebben Garman en Klass een bese analyische schaer opgeseld in die zin da de varianie minimaal is en de schaer onverekend is. Deze schaer heef de volgende formulering 3, me als veronderselling da ƒ=0: Voor gedeailleerde informaie over de efficiënie, zie (Garman & Klass, 980) 3 Zie (Garman & Klass, 980) voor de mahemaische afleiding. 4

26 σˆ u d 0,09 c u d ud 0, ,5 c (9) Als waarde voor de efficiënie van ˆ 4 werd ongeveer 7,4 (Garman & Klass, 980) gevonden wa nogmaals een verbeering is op voorgaande schaers. Een meer prakische schaer, me een min of meer gelijke efficiënie, die de kleine kruisproducen elimineer, word aangeraden: u d (ln σˆ 5 0,5 )c In he geval da er rekening gehouden word me 0<ƒ<, m.a.w. da er een fracie van de periode is waarin de beurs gesloen is, dan word in Garman & Klass (980) de volgende uibreiding op de schaer ˆ 4 voorgeseld: σˆ 6 (O a C f 0 ) σˆ 4 ( a) ( f) Me a 0, opda de varianie minimaal zou zijn. Deze a is dezelfde als in Garman & Klass (980). De efficiënie van deze laase schaer is ongeveer 8,4 volgens de paper en werd in deze paper dus ook als mees efficiëne schaer bevonden. (0) () De groose nadelen aan deze schaer, die vermeld zijn in Garman & Klass (980), zijn : De schaer seun op de assumpie da he prijspad coninu is, wa in werkelijkheid nie he geval is. In realiei zullen prijzen pas gekend zijn na een bepaald ijdsinerval, e.g. 5 seconden voor de BEL 0, wa er dus voor zorg da he prijspad discree is en nie coninu. In de financiële lierauur word er meesal aangenomen da he prijsverloop van een aandeel gekenmerk word door een algemeen Wiener proces me als uidrukking dx d dz me μ als drif en σdz als de ruis of variabiliei van he pad gevolgd door x 4. In Garman & Klass (980) word veronderseld da μ gelijk is aan nul en men geef aan de voorgaande vergelijking de volgende noaie: dx dz me dz een sandaard Gauss-Wiener proces en de variabele die men probeer e schaen. He nadeel is nu ne da elk van bovensaande schaers verekend zullen zijn als de drif verschillend is van nul. In Rogers & Sachell (99) word een schaer opgeseld die onafhankelijk is van de drif en zal dus bijgevolg onverekend zijn wa de waarde van μ ook mag zijn. Er zal hier nie verder worden op ingegaan maar de schaer die word voorgeseld in de paper van Rogers en Sachell vorm wel een onderdeel van een samengeselde schaer (infra, p6) en zal bijgevolg daar deels worden besproken. De schaers van Garman & Klass zijn verekend in die zin da ze de neiging hebben om volailiei e overschaen. Er moe wel opgemerk worden da voor ijdreeksen me dagelijkse daa de drif facor min of meer 0 zal zijn waardoor de schaers dan wel een goede benadering 4 Zie Hoofdsuk deel. in (Hull, 008). 5

27 zijn van de volailiei (Yang & Zhang, 000). Di geld echer nie in serk sijgende marken (bv. High-ech aandelen) waarin de drif groer zal zijn dan de volailiei en waar deze modellen dus och een overschaing zullen leveren (Yang & Zhang, 000). Bovensaande schaers gelden voor één periode dus als men de volailiei wil schaen over een bepaalde ijdspanne, dan moe he rekenkundig gemiddelde van de schaingen over de ˆ 0 6 verschillende periodes genomen worden. De schaers zijn allemaal schaers gebaseerd op één periode. To di inzich is men ook gekomen in Rogers & Sachell (99) en de aueurs voegen er nog een bewijs 5 aan oe da in di geval he onmogelijk is om schaers gebaseerd op één periode e hebben die onafhankelijk zijn van zowel de drif μ als ƒ 6. Verder werd er ook geen rekening gehouden me dividenden en discree kapiaal uibealingen bij he opsellen van de schaers en werd ieder effec apar beschouwd. Voor meer informaie over deze nadelen en nog addiionele beperkingen word verwezen naar Garman & Klass (980)..4.5 Samengeselde schaer Opda een samengeselde schaer beer zou preseren dan één van de reeds vermelde schaers, is he een mus da er een anwoord gegeven word op de resricies inzake drif (μ) en openingssprong ƒ die aan deze schaers worden oegekend. Yang & Zhang (000) zijn er in geslaagd een schaer e formuleren die enerzijds onafhankelijk is van de nuldrif assumpie en anderzijds onafhankelijk van he fei of er al dan nie een openingsprong is (ƒ 0). Een addiioneel voordeel aan de specifieke formulering van deze schaer is da he de volailiei over een bepaalde periode nie meer he rekenkundig gemiddelde is van de volailiei in de eenheidsperioden, maar er in de plaas gerekend word over de verschillende periodes heen. De schaer, voorgeseld door Yang & Zhang (000), word als volg geformuleerd: σˆ ˆ ˆ 7 σo k σc ( k) σrs ˆ () Me σˆ σˆ n O (oi o) n i n C (ci c) n i 5 Zie Rogers & Sachell (99): p In deze paper word ƒ beschouwd als effecieve ijdsperiode die een openingssprong van de prijs modelleer, weliswaar onwaarneembaar. 6

28 σˆ RS n n u i u i ci di di ci i o n c n n o i i n c i i De noaie in deze paper verschil in een liche mae van de noaie die gebruik word in he werk van Yang & Zhang (000) maar de mahemaische formulering blijf behouden. Er moe opgemerk worden da ˆ RS de schaer is die door Rogers & Sachell (99) is onwikkeld. Zoals reeds vermeld, is deze schaer drifonafhankelijk (supra. p.5) en kan er dus geen verekening zijn indien de driffacor significan zou verschillen van nul. De groose zwake van de RS-schaer is da er veronderseld word da er geen openingssprongen zijn (Yang & Zhang, 000). De schaer van Yang en Zhang is in di opzich beer omda deze schaer onafhankelijk is van de openingssprong (ƒ). He bewijs van deze eigenschap kan in de paper zelf gevonden worden. In deze schaer is ook nog een consane k aanwezig. Deze consane kan nu gebruik worden om de varianie van de samengeselde schaer e minimaliseren aangezien di een gunsige eigenschap is die een schaer zeker wil bezien. In Rogers & Sachell (99) heef de samengeselde schaer een minimale varianie voor k = k 0, waarbij k 0 de volgende uidrukking heef: k 0 α n α n me n he aanal periodes. Als waarde voor α hebben de aueurs door numerieke calculaies gevonden da, 5 voor verschillende waarden van de driffacor μ. Bij een drif gelijk aan nul bekom men een waarde voor α van,33 (Yang & Zhang, 000). Aangezien bij he werken me dagelijkse daa de drif zich heel dich bij nul bevind, is he nodig da de waarde voor α geopimaliseerd word in di specifieke geval. De aueurs (Yang & Zhang, 000) sellen voor om in de prakijk een waarde van,34 oe e kennen aan α, voornamelijk in he geval er gewerk word me dagelijkse daa. He is misschien onrechsreeks al duidelijk geworden da k 0 nooi nul kan worden doorda α begrensd is door,33 als absoluu minimum, en n minimum zal zijn 7. Di heef als gevolg da zowel de ˆ C basisschaer gebaseerd op sluiingsprijzen ( ) als de schaer van Rogers & Sachell ( ) alleensaand geen minimum varianie kunnen garanderen. De minimum varianie zal een lineaire ˆ RS 7 Er kan nie gedeeld worden door nul in de vergelijking voor k 0, di is he geval voor n =. 7

29 8 combinaie zijn van beide schaers waarbij he groose gewich zal oegekend worden aan ˆ 8 RS. De RS-schaer heef bijgevolg een kleinere varianie dan de basisschaer. Een minimale varianie is van belang voor een onderlinge vergelijking van de huidige samengeselde schaer en de basisschaer, wa word gerefleceerd door de efficiënie. In Yang & Zhang (000) word di als volg geformuleerd: Var ( VCC) Eff Var ( V ) f ( f ) k De algemene regel is da hoe hoger deze efficiënie, hoe accuraer de huidige samengeselde schaer. Onder de condiies voor minimum varianie van de schaer word een piekwaarde van 4 bereik voor de efficiënie. Aan de andere kan van he specrum bereik de schaer een minimum efficiënie als de volailiei gedomineerd word door openingssprongen ( f ). Di zijn de wee exremen, in realiei zal de efficiënie voornamelijk afhangen van ƒ bij een gegeven aanal perioden n. Ui onderzoek vonden de aueurs Yang & Zhang (000) da ƒ een gemiddelde waarde zal hebben van 0,5; wa o een efficiënie van ongeveer zeven o ach leid. 0 (3) Er werd reeds vermeld da de drif (μ) heel klein zal zijn indien er me dagelijkse daa gewerk word. In he geval da drif gelijk is aan nul, is de Garmann/Klass-schaer een schaer me minimale varianie. Roger en Sachell bewezen in hun paper da er weinig verschil is ussen hun schaer en de GK-schaer als deze oegepas worden op daa van dagelijkse aandelenprijzen. De RS-schaer heef wel he voordeel da er geen overschaing zal gemaak worden in bepaalde specifieke gevallen (bv. High-ech aandelen; supra, p5-6)..5 ECONOMETRISCHE VOLATILITEITSMODELLERING De economerische modellen, die de basis zullen vormen voor di onderzoek, zijn de zogenoemde GARCH-modellen. Engle (98) legde de basis van deze complee nieuwe caegorie aan economerische modellen door he ARCH-model e inroduceren. He ARCH-model werd voornamelijk opgeseld om een specifieke eigenschap van de volailiei e vaen, nl. de volailieiclusering. ARCH-modellen werden vooral gebruik voor he schaen en voorspellen van de condiionele volailiei van ijdsreeksen van effecen. Een verbeering op di model werd voorgeseld door Bollerslev (986) na kriiek op de eenvoudige ARCH specificaie. Di nieuw voorgeseld model was he GARCH-model, da de basis vormde voor vele varianen aan modellen die allemaal deel uimaken van de groe ARCH-familie. Hoe deze modellen opgebouwd zijn en wa hun specifieke eigenschappen zijn, word in di deel behandeld. Er kan nu reeds worden meegegeven da een selecie 8 Voor n, k 0 =0, 8

30 aan modellen zal worden gebruik naargelang hun populariei in de lierauur en presaieeigenschappen. In deel.5. worden de basisbegrippen en concepen uigelegd die nodig zijn voor he opbouwen van een GARCH-model. Deze concepen zijn eigen aan he regresseren van ijdreeksen, dus hier word een basis verschaf die van oepassing zal zijn om he empirisch onderzoek e versaan. In.5. word he ARCH-model van Engle (98) oegelich. Zowel de mahemaische opbouw als de ekorkomingen van he model worden besproken. In he laase deel,.5.3, word uieindelijk he GARCH-model uigelegd die de ruggengraa van he onderzoek zal vormen. In de varianievergelijking van de GARCH-specificaie zal dan de analyische range schaers, die geïdenificeerd werden in de lierauursudie, worden ingevoegd dus een goede basis moe worden meegegeven. Verder zal er in di deel ook de belangrijkse variaies, die zullen gebruik worden in he onderzoek, worden beschreven..5. Auoregressieve glijdend gemiddelde volailieimodellen (ARMAmodellen) He oepassen van regressieanalyse voor he verklaren en he voorspellen van waarden van een bepaalde economische variabele noem men ijdreeksmodellen. Specifiek oegepas op volailiei zal di een univariaa ijdreeksmodel zijn waarbij er zal gepoogd worden om een paroon e vinden da de volailiei van een aandeel kenmerk. Belangrijk om op e merken is da men bij univariae ijdreeksmodellen di paroon van een variabele zal proberen e verklaren aan de hand van de hisorische waarden die deze variabele heef aangenomen. Deze manier van werken saa in conras me srucurele modellen die in essenie mulivariaa zijn (Brooks, 008, Hoofdsuk 5). Srucurele modellen rachen he paroon van een bepaalde variabele e verklaren aan de hand van andere variabelen die in zekere mae gecorreleerd zijn me de variabele waarvan men ies wil onderzoeken. Hoewel deze modellen handig zijn om verbanden ussen verschillende variabelen e modelleren, zijn ze minder geschik om voorspellingen e maken me berekking o de afhankelijke variabele. Zo kan er bijvoorbeeld een verband besaan ussen de S&P 500 index en de FTSE 00 maar zolang men één van deze indexen nie kan voorspellen kan men ook geen voorspellingen gaan maken voor de andere index. Di minpun aan srucurele modellen leid ons o he gebruik van ijdreeksmodellen. Word een ijdreeksmodel uigebreid me verklarende variabelen dan spreken we van mulivariae ijdreeks modellen. Hierbij kan de impac van deze variabelen ook kan geanalyseerd worden. Di val echer buien he bereik van deze hesis. De mees gebruike en eenvoudigse van de ijdreeksmodellen zijn de ARMA-modellen, of volledig AuoRegressive Moving Average -modellen. In de benaming zien delen verva die kenmerkend zijn voor ijdreeksmodellen. De wee delen zullen hieronder besproken worden omda ze de bouwsenen zijn van meer geavanceerde modellen die behandeld worden in de hierop volgende subhoofdsukken. De eerse componen (AR) is een auoregressief gedeele. De weede componen is een glijdend gemiddelde (MA). Vooraleer we verder ingaan op deze begrippen, moe he begrip 9

31 saionariei verduidelijk worden. Di begrip speel een cruciale rol in alle aangehaalde modellen in deze sudie..5.. Saionariei / Nie-saionariei Saionariei is een eigenschap van een bepaalde daase en is uiers belangrijk in een economerische omgeving. He bepaal namelijk de correcheid van modellen die oegepas worden op ijdreeksen. Srike saionariei word in Hoofdsuk in Everaer (0) gedefinieerd als de disribuie van waarden van een bepaalde ijdreeks die geen arbiraire verandering maak langs de ijdsas. In wiskundige ermen word di als volg uigedruk: f(y ) f(y ), k k In woorden wil di zeggen da de disribuie van de ijdreeks y nie beïnvloed word (door een arbiraire verandering) langs de ijdsas. Een serie is zwak saionair als he aan de volgende drie voorwaarden voldoe (Everaer, 0): De ijdreeks heef een consan gemiddelde: E(y ) μ De ijdreeks heef een consane varianie: Var (y ) E(y μ) σ De Covarianie ussen de huidige waarde van de ijdreeks en de hisorische waarden is Cov y, y E(y μ)(y μ) γ, k ijdsafhankelijk: k k k Di beeken concree da de ijdreeks erugkeer naar een bepaald gemiddelde na een arbiraire schok die he verloop van de reeks versoorde en de flucuaies rond di gemiddelde zullen min of meer dezelfde ampliude hebben. Een nie-saionair proces daarenegen zal een ijdsafhankelijk gemiddelde en/of ijdsafhankelijke varianie hebben. Typische voorbeelden van nie-saionaire ijdreeksen zijn reeksen me een srucurele onderbreking (figuur 3) en reeksen me een lineaire rend (figuur 4). Figuur 4: Lineaire rend (bron: Everaer (0)) Figuur 3: Srucurele onderbreking (bron: Everaer (0)) 0

32 Saionariei van een ijdreeks is belangrijk omwille van he fei da als we me nie-saionariei e maken hebben, een eigenschap van de ijdreeks ijdens de huidige periode nie zal gelden voor hisorische of oekomsige periodes door he ijdsafhankelijk karaker van de reeks. Di zorg ervoor da men geen algemene assumpies kan maken me berekking o de disribuie van de ijdreeks, en heef ook o gevolg da men de eigenschappen van een ijdreeks nie kan besuderen aan de hand van bepaalde economerische modellen. Er zijn nauurlijk wel uizonderingen op de regel, zoals gecoïnegreerde variabelen, maar die vallen buien he bereik van deze sudie. He formeel esen op saionariei kan op wee manieren gebeuren. Enerzijds kan er naar de grafiek van de ijdreeks gekeken worden als een eerse indicaie. Hierbij is he belangrijk da de ijdreeks geen rend veroon en min of meer rond een gemiddelde flucueer. Anderzijds kan er een meer formelere es worden gebruik, namelijk een Dickey-Fuller (DF) es. Deze es gaa na of er een uni roo 9 in de daa kan gevonden worden. He vinden van een uni roo kom er in principe op neer da de ijdreeks nie-saionair is. De uieenzeing hieronder van een basis DF es is gebaseerd op Brooks (008) Hoofdsuk 7 deel De bedoeling van een DF es is e onderzoeken of de nulhypohese da in de specificaie x x 0 verworpen kan worden (Brooks, 008). De alernaieve hypohese is dan da. Er kan een alernaieve formulering van de hypohesen worden gegeven: H 0 : De ijdreeks beva een uni roo, en is dus nie-saionair. H : De ijdreeks is saionair. In de prakijk word echer de specificaie x gebruik (Brooks, 008). He principe x blijf hezelfde maar nu word er gees me als nulhypohese da 0. Di is equivalen als esen da omda de verschiloperaor ( ) er voor zorg da. De formulering van de essaisiek en informaie hierover kan gevonden worden in hezelfde deel in Brooks (008) zoals reeds vermeld. De ijdreeks zal formeel gees worden op saionariei in Hoofdsuk 4 deel De auoregressieve - componen De auoregressieve componen omva de lags (verragingen) van een bepaalde variabele. Een lag van een variabele is de waarde die de variabele in één van de vorige periodes aannam. Als de variabele een noaie y heef, dan worden de lags van de variabele geschreven als y -, y -, y -3, enz. In mahemaische noaie word een AR(p)-proces als volg weergegeven: 9 Addiionele informaie over een uni roo kan gevonden worden in Brooks (008), Hoofdsuk 7 deel In deze specificaie is x - een lag van de variabele x. Di word verduidelijk in deel 3... van di hoofdsuk. De verschiloperaor is he gevolg van de volgende muaie: x x x x x x x

33 y α α 0 0 α y p i α y α y i i ε... α y De orde van een auoregressieve componen word weergegeven door de noaie AR(p) me p zijnde de orde, i.e. he aanal lags. He is duidelijk af e lezen ui de formule van de AR componen da de p p ε variabele y afhang van de eigen hisorische waarden en een soringserm ε. Een AR proces is dus een lineaire combinaie van hisorische waarden van de variabele in kwesie. De soringserm ε kan ook gezien worden als de schok die een reeks krijg op he huidig momen. Deze schok zal dan een zeker aanal periodes na-ijlen in he syseem, afhankelijk van he aanal ARcomponenen. Ze men deze schokken en hun na-ijlend effec op de ijdreeks ui egenover de lags van de variabele, dan bekom men de zogenaamde impuls respons-funcie. Deze geef ons een beeld van de dynamische impac van een schok op de ijdreeks. De belangrijkheid van saionariei werd al benadruk in deel.5.. (supra, p.0) en di blijk ook in de oepassing van saionariei in AR-processen. Er kunnen namelijk wee verschillende siuaies onderscheiden worden (Everaer, 0): Convergenie: Di doe zich voor als voor een AR()-proces. Een schok zal de huidige waarde van de variabele beïnvloeden en zal ook een aanal periodes na-ijlen maar he effec van de schok serf ui naarmae de ijdsperiodes vorderen. Non-convergenie: Di doe zich voor als voor een AR()-proces. Een schok zal een blijvend effec hebben in de ijdreeks doorda he alle oekomsige observaies gaa beïnvloeden. Alle oekomsige observaies ondervinden een gelijke impac in he geval da en een sijgende impac in he geval da (4). Di soor ijdreeksen zal dan ook nooi erugkeren naar een lange ermijn gemiddelde waardoor he maken van voorspellingen zo goed als onmogelijk word. Di onderscheid ussen convergenie en non-convergenie kan veralgemeend worden naar modellen p i i me meerdere lags. De nodige voorwaarde voor saionariei is dan da, erwijl de p i voldoende voorwaarde is De glijdend gemiddelde -componen i De glijdend gemiddelde componen van een ARMA-model is een lineaire combinaie van whie noise soringsermen. Deze soringsermen kunnen gezien worden als schokken of impulsen aan de ijdreeks die van buienaf worden veroorzaak. Bij wijze van voorbeeld kan er gezegd worden da een significane verandering in he macro-economisch syseem zijn invloed zal hebben op de koers van Gezien ui he onderzoek in deel 4.4 blijk da he model da he bes bij de daa pas een AR() proces is, zijn deze voorwaarden voor meerdere lags echer irrelevan.

34 een financieel produc. Deze schok is echer exern aan de daareeks. De glijdend gemiddelde componen word voornamelijk verkor aangeduid door MA(q), wa de afkoring is voor he engelse Moving Average. In deze afkoring is q he aanal lags da he MA model beva. Een MA model beschrijf de dynamische impac van deze schokken op de ijdreeks. Mahemaisch word een MA(q)- proces als volg weergegeven (gebaseerd op Everaer (0)): y β 0 β ε β ε... β ε q q Een eindig MA(q)-proces is saionair ui zichzelf, di zolang de gewogen som van de coëfficiënen van de verschillende whie noise processen eindig is. Voor de mahemaische formules acher deze bijzondere eigenschap word verwezen naar Everaer (0)..5. Condiionele heeroscedasische auoregressieve volailieismodellen (ARCH-modellen) ε Heeroscedasiciei in een ijdreeks zorg ervoor da Ordinary Leas Squares (OLS) als schaingsmehode zwakke resulaen lever. Als een ijdreeks voldoe aan de Gauss-Markov verondersellingen 3, dan kan er gezegd worden da een schaer BLUE is, Bes Lineair Unbiased Esimaor. In he geval van heeroscedasiciei word er aan één van de 0 Gauss-Markov verondersellingen nie voldaan, namelijk de voorwaarde da de soringsermen homoscedasisch moeen zijn of anders gezegd, da de variane van de soringsermen consan moe zijn. Symbolisch word di als volg geschreven: Var (ε ) σ In he geval van heeroscedasiciei zal de varianie van de soringsermen ijdsafhankelijk zijn: Var (ε ) σ In deze formule word een ijdsafhankelijke varianie aangeduid door in subscrip een oe e voegen. De soringsermen worden aangeduid me (di zijn willekeurige soringsermen als wijze van voorbeeld). Gezien de zwakke eigenschappen van OLS bij he werken me ijdreeksen die heeroscedasisch zijn, werd er gezoch naar nieuwe modellen die deze eigenschap van de ijdreeks wel zouden kunnen modelleren. In Engle (98) werd een nieuw model, da rekening houd me heeroscedasiciei in de daa, voor he eers uivoerig beschreven. Di nieuw soor modellen draag de naam ARCH-modellen. ARCH is de afkoring voor he Engelse AuoRegressive Condiional Heeroscedasiciy. In deze paper door Engle (98) word ook de economische relevanie onderzoch door middel van een empirisch regressie me di nieuw model op de inflaie van he Verenigd Koninkrijk. Hierui blijk da 3 Zie Hoofdsuk 4 in Brooks (008). 3

35 de ARCH effecen, he fei da de varianie van de soringsermen ijdsafhankelijk is, in de daa significan zijn. Deze paper legde de basis voor een complee nieuwe familie aan economerische modellen, namelijk de GARCH ( General AuoRegressive Condiional Heeroscedasic ) en varianen (infra, p.5). Deze familie van economerische modellen word echer nie gescha me OLS maar me de maximum likelihood mehode. De coëfficiënen van he model worden gevonden door he maximaliseren van de loglikelihood naar iedere coefficien. Di maximaliseren gebeur door de eerse afgeleide van de loglikelihoodfuncie naar elke coefficien. Er zal hier nie verder op deze schaingsmehode worden ingegaan. Een degelijke uieenzeing van de ML mehode en verdere beschrijving hierover kan gevonden worden in Verbeek (004). He is echer wel belangrijk om op e merken da er een assumpie moe gemaak worden over de verdeling van de soringsermen. Di is een basisvoorwaarde voor he gebruik van de ML mehode. De hierop volgende uieenzeing over de opbouw en eigenschappen van ARCH-modellen is voor een groo deel gebaseerd op Everaer (0). De heeroscedasische eigenschap van de varianie impliceer da de huidige varianie zal afhangen van de varianie in he verleden. Door deze afhankelijkheid van he verleden, kan de varianie beschreven worden door middel van een auoregressief proces (supra, p ). Deze ijdsafhankelijke varianie word ook wel de condiionele varianie genoemd omda de huidige varianie afhang van de varianie in he verleden 4. De formulering van de varianie in een auoregressief proces word ook wel de variance equaion genoemd (Brooks, 008). Di is he deel van een volledig ARCH-model da de varianie modelleer. He weede deel van een ARCH-model besaa ui een mean equaion. Deze mean equaion heef als afhankelijke variabele de reurns, waarvan men de ARCH effecen erui wil halen en modelleren. Prakisch gezien word di gedaan door de varianie in de soringsermen ui de Mean Equaion (ME) e gebruiken in de Variance Equaion (VE). De ME kan om he even welke vorm aannemen, wa nie he geval is voor de VE. Mahemaisch heef een volledig ARCH-model (me de reurns als afhankelijke variabele) de volgende algemene funcionele vorm (gebaseerd op Brooks (008)): R (5) α0 αx αx α3x3... μ μ νσ σ β 0 β μ ν ~ 0, N (6) (7) waarbij vergelijking 5 de ME voorsel en vergelijking 7 de VE. In vergelijking 6 sel ν, de gesandaardiseerde soringsermen voor, en deze moeen voldoen aan de voorwaarde da ze sandaard normaal verdeeld zijn. Di zorg ervoor da de condiionele disribuie van de soringsermen μ normaal verdeeld zal zijn me gemiddelde nul en een varianie (Brooks, 008): 4 Di in egenselling o de oncondiionele varianie die meer gerich is op he lange ermijn gedrag van de ijdreeks. 4

36 ~ N, Di is echer de condiionele disribuie, wa wil zeggen da de soringsermen μ normaal verdeeld zullen zijn, me gemiddelde nul en varianie, die afhankelijk is van de informaie die beschikbaar 0 is op he ijdsip -. Een exra voorwaarde is da gekend moe zijn op ijdsip -. De voorwaarde da de verdeling van de gesandaardiseerde soringsermen moe voldoen aan een sandaard normale verdeling is slechs een assumpie. Deze assumpie is gemaak zodanig da we een condiionele verdeling bekomen voor de soringsermen μ. Doorda we ween da de soringsermen μ normaal verdeeld zijn, zal ook R normaal verdeeld zijn. Deze geselde assumpie is van belang voor he gebruik van de ML mehode voor eerder vernoemde redenen (supra, p. 4). In he empirisch onderzoek is he echer wel van belang da de assumpie, da bovensaande gesaandardiseerde soringsermen normaal verdeeld zijn, word gees. Di kan door middel van een Jarque-Bera es op de gesandaardiseerde soringsermen, me als nulhypohese da ze normaal verdeeld zijn. He is echer zo da deze soringsermen in veel gevallen nie sandaard normaal verdeeld zijn. In di geval lever de ML mehode verekende sandaardfouen en dus ook verkeerde p- waarden. De schaing van de coëfficiënen blijf echer nog seeds consisen. Om di probleem van inconsisene sandaardfouen op e lossen word de Bollerslev-Wooldridge varianie-covarianie marix oegepas (Hoofdsuk 8 deel 8.9. in (Brooks, 008)). Deze mehode saa ook gekend als Quasi Maximum Likelihood (QML). Door he gebruik van deze mehode zijn de sandaardfouen robuus voor nie-normaliei en dus consisen. Verdere informaie over de QMLmehode kan opnieuw gevonden worden in Verbeek (004). He is van enig belang da, alvorens ARCH-modellen worden oegepas op specifieke ijdreeksen, er word gees op de aanwezigheid van ARCH-effecen in de daa. Di esen gebeurd door middel van de ARCH LM-es. Deze es zal echer hier nie behandeld worden maar zal apar worden behandeld in Hoofdsuk 4 deel In deel zal een eenvoudige auoregressief proces van de orde (een AR() model) vergeleken worden me een sandaard GARCH(,)-model. De keuze om me een GARCH-model e vergelijken en nie me ARCH-model is om de reden da een GARCH-model bepaalde voordelen heef en opziche van ARCH-modellen..5.3 Veralgemeende condiionele heeroscedasische auoregressieve volailieimodellen (GARCH-modellen) De eigenlijke modellen, waarmee in he empirisch onderzoek van deze scripie zal gewerk worden, zijn GARCH-modellen en enkele variaies op da model. Di model werd voor he eers geïnroduceerd door Bollerslev (986). De keuze om eerder me GARCH-modellen e werken in plaas van me ARCH-modellen kom voor ui he fei da ARCH-modellen belangrijke ekorkomingen en 5

37 beperkingen veronen. Di zorg ervoor da de ARCH-modellen in de prakijk weinig o nooi worden gebruik. Zo word er in Brooks (008) de volgende ekorkomingen/moeilijkheden opgesomd: Hoe word de orde van he aanal lags van de gekwadraeerde soringsermen in de VE beslis? De likelihood raio es kan hiervoor een uiweg bieden, al is er geen aanpak die er duidelijk als bese mehode uikom. De grooe van de orde van he aanal lags kan heel groo worden. Di omda he model in saa moe zijn om alle afhankelijkheid in de condiionele varianie e kunnen vaen. He resulaa zou dan een heel groe VE zijn da ingaa egen he principe van de spaarzaamheid in de economerische prakijk. Hoe meer lags er in de VE equaion worden opgenomen, hoe groer de kans is da de nonnegaiviei beperking op de coefficienen nie zal worden nageleefd. GARCH-modellen komen aan deze specifieke ekorkomingen egemoe door een exra erm oe e voegen in de VE zoda er al een heel groo deel van de varianie word opgevangen door deze erm. Deze erm zorg ervoor da he overvloedig opnemen van exra lags van de gekwadraeerde soringsermen overbodig word, di word in deel.5.3. verder oegelich. In deel.5.3. word de sandaardvorm van he GARCH-model uigelegd en worden de voornaamse eigenschappen besproken. Verder word er ook meegegeven welke deze exra erm is in de VE en worden de implicaies ervan besproken die er voor zorgen da de belangrijkse ekorkomingen van he ARCH-model worden weggewerk. Deel.5.3. bespreek wee voorname variaies op GARCH die in de prakijk vaak worden gebruik. Deze variaies worden ook gebruik in he empirisch onderzoek van deze scripie. Daarom is dus een oeliching van de inerpreaie van de coëfficiënen nodig. De wee besproken modellen zijn GJR-GARCH en EGARCH. In principe doen ze he zelfde maar de funcionele vorm is complee anders Sandaard GARCH-model De uibreiding van een ARCH-model in een GARCH-model zi hem in een exra erm, nl. de lag van de condiionele varianie. Di zorg ervoor da de condiionele varianie van de huidige periode nu ook afhankelijk is van de eigen lags. De lags van de gekwadraeerde soringsermen ui de ME blijf wel behouden. Deze lag van de condiionele varianie is dan ook he enige verschil ussen ARCH- en GARCH-modellen. He heef echer wel gunsige implicaies. Een GARCH-model word meesal aangeduid me GARCH(p,q) me p de lag-orde van de gekwadraeerde soringsermen en q de lagorde van de condiionele varianie (Brooks, 008). In deze maserproef zal er uisluiend gewerk worden me een GARCH(,) model als basis. Di model is spaarzaam en bovendien slaag he er in om de ARCH-effecen in een voldoende mae e vaen (bewezen in Bollerslev (986)). Als gevolg is he zo da de GARCH(,) he mees gebruik is in de lierauur omwille van zijn gunsige 6

38 eigenschappen. In Ashley & Paerson (00) word bewezen da deze specificaie nie kan verworpen worden als geschik model om he proces acher de dagelijkse reurns e modelleren. De uieenzeing van he GARCH(,)-model die hieronder volg is gebaseerd op Brooks (008) en Everaer (0). Mahemaisch word een GARCH(,)-model als volg weergegeven: R (8) α0 αx αx α3x3... μ μ νσ σ ν ~ N 0, β 0 β μ β σ (9) In deze formulering is de lag voor periode - van de condiionele varianie en is de lag voor periode - van de gekwadraeerde soringsermen. Door de oevoeging van de lag van de condiionele varianie is een GARCH-model in principe gelijk aan een ARCH( ) me geomerisch afnemende coëfficiënen. In appendix B word di mahemaisch verduidelijk. Door deze speciale eigenschap van GARCH-modellen, heef he een aanal voordelen en opziche van ARCH-modellen die ekorkomingen beperken (Brooks, 008): Er worden geen overvloedig aanal lags opgenomen in de VE. Er zijn dus bijgevolg minder parameers nodig om al de ARCH-effecen ui de ijdreeks e halen. Da maak he GARCHmodel veel spaarzamer dan een ARCH-model. Als gevolg van he opnemen van minder coëfficiënen is de kans kleiner da de nonnegaiviei beperking nie nageleefd word. Door deze gunsige eigenschappen word een GARCH-model verkozen boven een ARCH-model in de lierauur. Ook in deze scripie zal er gebruik gemaak worden van he GARCH(,)-model. Hoe de analyische schaers precies zullen oegevoegd worden aan de GARCH(,)-specificaie en de variaies hierop, word in deel 3. uigewerk (infra, p.30). In di hoofdsuk is he slechs de bedoeling om een basis e voorzien voor he werken me GARCH-modellen. Hier moe ook nog opgemerk worden da de coëfficiënen in de specificaie in heorie nie negaief mogen zijn GARCH-variaies De belangrijkse wee modellen die zullen gebruik worden zijn he GJR-GARCH-model en he EGARCH-model. Deze modellen hebben een gemeenschappelijk elemen da in beide de basis vorm voor he model. Di elemen is da er rekening gehouden word me een asymmerische respons van de volailiei op negaieve en posiieve schokken (Brooks, 008). In algemene GARCH-modellen is he zo da er een symmerische respons op posiieve en negaieve schokken word opgelegd door he model zelf. Di kom doorda de condiionele varianie in de VE een funcie is van de grooe van de soringsermen en nie van he eken. Asymmerie beeken da een negaieve schok op een ijdreeks zal leiden o een groere verandering in volailiei dan in he geval van een posiieve schok. Deze asymmerie in respons van de volailiei word voornamelijk oegewezen aan he leverage effec. Di 7

39 effec word veroorzaak doorda een negaieve schok in de prijzen ervoor zorg da he kapiaal van he bedrijf zal dalen. Di heef evens als gevolg da de schuld/kapiaal raio gaa sijgen en dus addiioneel risico me zich meebreng. Door di exra risico is de oekomsige sroom van cash naar de aandeelhouders minder verzekerd en dus relaief risicovoller. Hoewel di enkel voor aandelen en indexen uivoerig beschreven werd, is er geen reden om aan e nemen da di soor asymmerieën nie besaan voor andere financiële ijdreeksen. GJR-GARCH en EGARCH worden hieronder kor besproken. GJR-GARCH Di model is genoemd naar de aueurs die di model geinroduceerd hebben, nl. Glosen, Jagannahan en Runkle. In Glosen, Jagannahan & Runkle (993) werd voor he eers me deze assymerie gewerk. He GJR-GARCH-model is een eenvoudige exensie op he GARCH(,)-model. Deze exensie besaa ui he incorporeren van een exra erm om de mogelijke asymmerieën in rekening e brengen. Een GJR-GARCH-model heef de volgende funcionele vorm (gebaseerd op Brooks (008)): R (0) α0 αx αx α3x3... μ μ νσ σ ν ~ N 0, β 0 β μ β σ δμ I () me I als μ 0 I 0 als μ 0 De ME en de assumpies over de gesandaardiseerde soringsermen blijven dezelfde als in he algemeen GARCH-model. In de VE is er een exra erm oegevoegd. Deze erm beva een dummy die de waarde aanneem als de soringserm van de ME negaief blijk e zijn, zo word de impac van negaieve schokken gemeen. Indien he leverage-effec aanwezig is, dan zou δ groer moeen zijn dan nul (δ>0). Di zal zo zijn als de coëfficiën δ in de regressie van vergelijking significan zal verschillen van nul. In deze specificaie word non-negaiviei van de condiionele varianie verzekerd door 0, 0, 0 en 0 5. Zolang deze laase erm voldaan is, mag δ negaief zijn om nog seeds een correc model e hebben (Brooks, 008). EGARCH He exponenieel GARCH-model werd voor he eers geïnroduceerd door Nelson (99). Di model zorg er ook voor da asymmerie in rekening word gebrach maar doe di op een heel andere manier dan he GJR-GARCH-model. Zoals de naam doe vermoeden word er in de modelspecificaie gebruik 5 In de prakijk moeen deze beperkingen nie noodzakelijk worden nageleefd. Di word in deel 5. verder uigelegd. 8

40 gemaak van de nauurlijke logarime. De specificaie van de VE in he EGARCH-model kan verschillende vormen aannemen. De funcionele vorm in deze scripie is gebaseerd op diegene in Brooks (008): R (0) α0 αx αx α3x3... μ μ νσ ln ~ N 0, μ μ σ β β ln σ β β 0 3 σ π σ De aanwezigheid van leverage effecs kan worden gees me de hypohese da β <0. Er word besloen da er asymmerie is als β significan verschil van nul. He groe voordeel aan he gebruik van EGARCH is da alijd posiief zal zijn doorda er gewerk word me de nauurlijke logarime van mogen zijn (Brooks, 008). (). Di heef o gevolg da de parameerschaingen negaief He is zo da in de originele paper van Nelson er veronderseld werd da de soringsermen een Generalised error -verdeling volgen. In Eviews, he saisisch programma da zal worden gebruik, word er een keuze aan verschillende verdelingen voor de soringsermen voorzien. Voor he gebruik van EGARCH in he empirisch onderzoek word echer een normale verdeling voor de soringsermen veronderseld. Di heef als gevolg da de exra erm die werd voorgeseld door Nelson. 3 word afgerokken van de specificaie 9

41 HOOFDSTUK 3 ONDERZOEKSMETHODIEK 3. INLEIDING In di hoofdsuk word de mehodiek besproken, die zal oegepas worden in he empirisch onderzoek. In Hoofdsuk deel.4 werden de analyische range schaers geïdenificeerd ui de lierauur die zullen worden oegepas in de specificaies van de GARCH-modellen. Deze GARCH-modellen en variaies werden oegelich in Hoofdsuk deel.5.3. Hoofdsuk 3 bouw voor op de lierauursudie door he combineren van zowel de analyische range schaers als de GARCH-modellen in een onderzoek naar modellen die beer in saa zijn om de volailiei e voorspellen dan besaande mehodes. In deel 3. word de onderzoeksopze besproken. Hier word he onderzoek opgedeeld in drie delen vermis er in elk deel een andere focus is me berekking o wa er onderzoch word. Binnen elk deel zullen de specifieke modelspecificaies worden weergegeven. Di zijn de GARCH-modellen me oevoeging van een exra parameer. Verder word er ook per deel één of meerdere algemene hypoheses opgeseld die de verwaching over de uikoms van he onderzoek weergeef. In deel 3.3 word een algemeen overzich gegeven van de onderzoeksmehodiek van he begin o he einde. Di is bedoeld om duidelijkheid e creëren in verband me he onderzoek. Tevens word aangegeven waar de verschillende hoofdsukken en delen van deze scripie passen in he onderzoek en de onderzoeksmehodiek. In he laase deel 3.4 word de mehodiek voor he vergelijken van de modellen uigelegd. He vergelijken van modellen zal in di hoofdsuk op basis van drie indicaoren gebeuren, namelijk de significanie van de coëfficiënen van de oegevoegde parameers, de saisieken gebaseerd op de voorspellingsfouen voor he vergelijken van de voorspellende krach van ieder model en aanvullende regressies van de exerne baseline - volailiei op de voorspelde waarden. 3. ONDERZOEKSOPZET De hoofddoelselling van deze sudie is he combineren van zowel de analyische mehoden me de economerische modellen om zo beere voorspellingen van de volailiei e bekomen. In di hoofdsuk is he de bedoeling om al een overzich e geven van welke modellen er zullen worden gebruik en welke algemene hypohesen er zullen gees worden. Deze hypohesen geven de verwachingen in verband me de uikoms van he onderzoek weer. He onderzoek besaa grofweg ui drie delen:. De overdraagbaarheidsudie: Di deel van he onderzoek focus zich vooral op een onderzoek da uigevoerd werd door Wang & Robers (004) en breid deze sudie verder ui naar meerdere modelcombinaies. He groe verschil is da in deze scripie de log 30

42 range ook zal worden gebruik naas de reeds gebruike daily range in de vernoemde paper. Een combinaie van de wee rangeschaers zal ook gees worden.. He hoofdonderzoek: Di is een onderzoek naar he poenieel van GARCH-modellen, aangevuld me de zelf geïdenificeerde analyische range schaers ui de lierauursudie in Hoofdsuk deel.4, om beere voorspellingen voor de volailiei e leveren. Deze analyische range schaers zijn reeds beproefd in de lierauur maar er is nog geen oepassing van gebeurd in GARCH-modellen. Di is wa in deze sudie zal onderzoch worden. In di deel zal er ook een model gescha worden die de combinaie van alle modellen gebruik. 3. Een onderzoek naar volailiei in verschillende ijdsperioden binnen de daase. Vervolgens word er in de hierop volgende subhoofdsukken wa meer in deail ingegaan op de verschillende delen van he onderzoek. Hierin worden de verschillende hypohesen per deel besproken. Welke specifieke modellen en range schaers er precies zullen gebruik worden per deel van he onderzoek word ook aangegeven. De bedoeling van di hoofdsuk is dan ook algemeen aan e geven wa er zal gees worden. 3.. Overdraagbaarheidsudie 3... Hypoheseselling He eerse deel van he onderzoek rich zich vooral op een replicaie en uibreiding van he onderzoek da uigevoerd is door Wang & Robers (004). In di onderzoek door Wang & Robers es men of GARCH-modellen aangevuld me range schaers in saa zijn om beere voorspellingen van de volailiei e leveren dan de radiionele GARCH-modellen. Di onderzoek word echer uigevoerd op sojabonen fuures in plaas van op de BEL 0 reurns. Wang en Robers selden een GARCH-model voor me de incorporaie van de dagelijkse range van de reurns (supra, p.) in de VE van he model. Hun bevindingen waren da di model beere voorspellingen leverde voor de volailiei dan een sandaard GARCH-model. De volailiei op de sojabonen fuures mark en deze op van de BEL 0-reurns worden beiden gekenmerk door volailieisclusering. Volailieisclusering is he fenomeen waarbij periodes me hoge volailiei gevolgd worden door periodes me hoge volailiei en omgekeerd periodes me lage volailiei gevolgd worden door periodes me lage volailiei (Brooks, 008). Aangezien di kenmerkend is voor financiële daa, en deze dynamiek ook word gemeen door GARCH-modellen (en varianen), beloof een replicaie en uibreiding van deze sudie op andere financiële daa, in deze sudie de BEL 0 reurns, ook gunsige resulaen e leveren. Di breng ons o de volgende hypoheseselling: 3

43 Hypohese A: Een GARCH-model (of varian) aangevuld me een range schaers zoals gedefinieerd in Wang & Robers (004) lever beere voorspellingen voor de volailiei dan een GARCH-model (of varian) zonder uibreiding me addiionele informaie. Deze range schaers (in de formules aangegeven als S ) zijn DR en LR en werden gedefinieerd in Hoofdsuk deel.4.. Ui de hypoheseselling kunnen we duidelijk afleiden da een eenvoudig GARCH-model als benchmark-model zal worden gebruik in di deel van he onderzoek. He is van belang om deze hypohese e verifiëren a priori aan he hoofdonderzoek omda he zal bepalen welk model er als benchmark zal worden gebruik in he hoofdonderzoek. Hypohese A is zodanig gedefinieerd da hegeen we verwachen e vinden als resulaa ui ons onderzoek als nulhypohese geld. In di deel van he onderzoek verwach men dus da er beere resulaen zullen volgen door he gebruik van een GARCH-model me range schaers. He principe van de verwachingen e definiëren als nulhypohese word oegepas op alle hypohesen die in deze hesis worden opgeseld. De periode waarin deze modellen zullen gescha worden loop van 5/07/99 o en me /0/004 en de voorspellingsperiode loop van /0/004 o en me /0/ Modelspecificaies In di deel worden de specificaies van de modellen (GARCH, GJR-GARCH en EGARCH) voorgeseld die zullen worden gebruik in deel van he onderzoek. De oupu ui Eviews is gebaseerd op de specificaie van deze modellen. Bijgevolg komen de coëfficiënen van de parameers in de oupuabellen overeen me de coëfficiënen in de specificaies die hieronder worden geformuleerd. De ME word pas in Hoofdsuk 4 deel 4.4 (infra, p.56) exac gespecificeerd als de daa worden besproken. Deze ME zal dan dezelfde zijn voor alle modellen die gescha zullen worden. He doel van deze modelspecificaies is da ze zullen gebruik worden om voorspellingen voor de volailiei e maken die dan zullen vergeleken worden me een exerne baseline -volailiei. Deze modellen en hun resulaen voor de volailieivoorspelling zijn eveneens een basis voor vergelijking voor de modellen die in deel van he onderzoek zullen worden gebruik (he hoofdonderzoek). De modellen worden in alle delen van he onderzoek oegepas op de BEL 0-indexreurns. Deze reurns zullen worden gebruik in de ME van de modellen. GARCH me range schaer De specificaie voor he GARCH-model in di deel is gebaseerd op he basismodel van GARCH (zoals in Brooks (008)), da in Hoofdsuk werd besproken, me oevoeging van een range schaer. De formulering is de volgende: 3

44 μ... R α R α R α α R σ ν μ ν ~ 0, N 0 S γ σ β μ β β σ Hierin is S - ofwel de schaer DR - ofwel de schaer LR -. Belangrijk is da er gewerk word me de lag van de schaers. Voor he model waarin een combinaie van beide schaers word gebruik, zal de VE ceeris paribus de volgende specificaie hebben: 0 LR γ DR γ σ β μ β β σ GJR-GARCH me range schaer De specificaie voor he GJR-GARCH-model is gebaseerd op de specificaie zoals beschreven in Hoofdsuk en in Brooks (008), maar dan me oevoeging van range schaers. De formulering van he model voor di deel is als volg: μ... R α R α R α α R σ ν μ ν ~ 0, N 3 0 S γ σ β I μ β μ β β σ me I als 0 μ 0 I als 0 μ Hierin is S - opnieuw ofwel de schaer DR - ofwel de schaer LR -.De specificaie van he de VE zal de volgende zijn, ceeris paribus: 3 0 LR γ DR γ σ β I μ β μ β β σ EGARCH me range schaer Voor he EGARCH-model is de specificaie opnieuw gebaseerd op wa er in Hoofdsuk en Brooks (008) werd beschreven, maar me oevoeging van range schaers. De specificaie voor he EGARCH-model in deel is de volgende: μ... R α R α R α α R σ ν μ ν ~ 0, N 3 0 S γ σ ln β σ μ β π σ μ β β σ ln Hierin is S - opnieuw ofwel de schaer DR - ofwel de schaer LR -.De specificaie van he de VE zal de volgende zijn, ceeris paribus: 3 0 LR γ DR γ σ ln β σ μ β π σ μ β β σ ln

45 3.. Hoofdonderzoek 3... Hypoheseselling Deel van he onderzoek rich zich op he verkennen van de inegraie van de geïdenificeerde analyische range schaers ui de lierauursudie van Hoofdsuk deel.4. o en me deel.4.5. Zoals reeds gezegd werd de basis van di nieuw soor GARCH-modellen gelegd door Wang & Robers (004). In deze sudie word er verder onderzoek gedaan naar de oepassingen van analyische schaers me gunsiger eigenschappen dan de range schaer die gebruik werd in de paper van Wang & Robers (004). De hoofdgedache acher he verloop van di onderzoek is de verschillende analyische schaers, die geïdenificeerd werden in de lierauur e inegreren in een GARCH-model en de belangrijkse varianen van he GARCH-model, namelijk he GJR-GARCH-model en he EGARCH-model. In Hoofdsuk werden de schaers geïdenificeerd die zullen worden gebruik in he onderzoek me als bedoeling ze e rangschikken op basis van efficiënie en gunsige eigenschappen. De modellen die in deel van he onderzoek worden gebruik, vormen een basis voor vergelijking me de modellen die in di deel van he onderzoek worden gebruik. De volgende algemene hypohesen voor deel kunnen als volg worden geformuleerd: Hypohese B.: Een GARCH-model me inegraie van analyische schaer ˆ x (me x =,, 3, ) lever beere voorspellingen dan een sandaard GARCH-model me/zonder DR - en/of LR -. Hypohese B.: Indien er rekening gehouden word me een periode waarin he verhandelen gesloen is in een schaer dan zou di beere voorspellingen voor de volailiei moeen leveren. Hypohese B. sel da GARCH-modellen me de analyische schaers beere resulaen zal leveren dan de modellen die in deel werden gescha. Hypohese B. sel dan weer da als er rekening gehouden word me de periode waarin he verhandelen gesloen is in de analyische schaer, di beere resulaen lever op vlak van volailieivoorspelling. Ui Hoofdsuk deel.4 is he geween da voor hypohese B. er een vergelijking kan worden gemaak ussen modellen me enerzijds ˆ anderzijds. Er zal ook een vergelijking worden gemaak ussen modellen me schaer evenals een vergelijking ussen modellen me ˆ4 en ˆ6. In de schaers ˆ, ˆ3 en ˆ en ˆ0 en ˆ3, ˆ6 werd elkens 34

46 een exra erm voor de periode, waarin verhandeling gesloen is, opgenomen egenover respecievelijk de schaers ˆ0, ˆ en ˆ4. De verschillende modellen zullen op basis van een aanal indicaoren worden vergeleken, deze indicaoren worden in Hoofdsuk 3 deel 3.4. besproken. De belangrijkse en evens ook de voornaamse indicaor gezien he onderwerp van deze hesis blijf de voorspelling van de volailiei. Di onderzoek zal in he bese geval als uikoms een schaer leveren, die zich superieur aan de andere schaers zal veronen Modelspecificaies De modelspecificaies voor he weede deel van he onderzoek worden hier voorgeseld. Zoals reeds vermeld, zal de oupu ui Eviews gebaseerd zijn op de specificaie van deze modellen. Bijgevolg zullen de coëfficiënen van de parameers in de oupuabellen overeen komen me de coëfficiënen in de specificaies die hieronder worden geformuleerd. Hier blijf opnieuw de ME dezelfde voor alle modellen. De ME zal worden bepaald in Hoofdsuk 4 deel 4.4 (infra, p.56). He is hier opnieuw he doel om me deze modelspecificaies voorspellingen voor de volailiei e produceren, die zullen vergeleken worden me een exerne baseline -volailiei. Deze modellen in di deel van he onderzoek worden dan vergelijken me de modellen in deel van he onderzoek op vlak van volailieivoorspelling. De modellen in di deel worden eveneens oegepas op de BEL 0- indexreurns. Deze reurns zullen worden gebruik in de ME. GARCH me analyische schaer De basisvorm voor he GARCH-model is opnieuw dezelfde als in deel van he onderzoek me dezelfde bron. De specificaie voor he GARCH-model me analyische schaer is de volgende: x, R α0 αr αr α3r 3... μ μ νσ σ ν ~ N 0, β 0 β μ β σ γ σ ˆ x, Hierin sel ˆ de exra parameer (analyische schaer) voor en opziche van S - die in deel van he onderzoek. Deze exra parameer is een schaer die geïdenificeerd werd in de Hoofdsuk. He is opnieuw belangrijk da er gewerk word me de lag van de schaers. In ussen nul en zeven afhankelijk van welke schaer er word gebruik. x, ˆ is x dus een geal Bij he schaen van he model me een combinaie van alle schaers, word er me de volgende specificaie voor de VE gewerk, verondersellend da de ME gelijk blijf: σ β γ 0 β μ β σ σˆ 0, γσˆ, γ 3σˆ, γ 4σˆ 3, γ 5σˆ 4, γ 6σˆ 5, γ 7σˆ 6, γ 8σˆ 7, 35

47 36 GJR-GARCH me analyische schaer De basisvorm voor he GJR-GARCH-model is opnieuw dezelfde als in deel van he onderzoek me dezelfde bron. De specificaie voor he GJR-GARCH-model me analyische schaer is de volgende: μ... R α R α R α α R σ ν μ ν ~ 0, N x, 3 0 σ γ σ β I μ β μ β β σ ˆ me I als 0 μ 0 I als 0 μ Hierin sel, ˆ x opnieuw de analyische schaer voor me x die een waarde van o 7 kan aannemen afhankelijk van welke schaer er word gebruik. Bij he schaen van he model me een combinaie van alle schaers in GJR-GARCH, word er me de volgende specificaie voor de VE gewerk, opnieuw verondersellend da de ME gelijk blijf: 7, 8 6, 7 5, 6 4, 5 3, 4, 3, 0, 3 0 σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ β I μ β μ β β σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ EGARCH me analyische schaer De basisvorm voor he EGARCH-model is opnieuw dezelfde als in deel me dezelfde bron. De specificaie voor he EGARCH-model me analyische schaer is de volgende: μ... R α R α R α α R σ ν μ ν ~ 0, N x, 3 0 σ γ σ ln β σ μ β π σ μ β β σ ln ˆ, ˆ x is opnieuw de analyische schaer me x die een waarde van o 7 kan aannemen afhankelijk van welke schaer er word gebruik. In de EGARCH-specificaie is he belangrijk om op e merken da er geen nauurlijke logarime genomen word van de analyische schaer. In he model die de combinaie gebruik van alle schaers zal de specificaie van de VE de volgende zijn, me een ME die gelijk blijf: 7, 8 6, 7 5, 6 4, 5 3, 4, 3, 0, 3 0 σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ π σ μ β σ μ β ln σ β β ln σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

48 3..3 Volailieisonderzoek in verschillende ijdsperiodes Hypoheseselling In deel en deel van he onderzoek word er algemeen gekeken of er een model is da he bes preseer op vlak van volailieisvoorspelling. In deel 3 is he de bedoeling om de verschillende mehodes oe e passen op specifieke ijdsperiodes. De moivaie voor di deel kom voor ui de vraag of de presaie van de modellen hezelfde blijf als men gaa esen op verschillende ijdsperiodes me andere kenmerken. Welke ijdsperioden er besudeerd worden, hang voornamelijk af van de daase. He belangrijkse is da we periodes esen die een groe impac hebben gehad op he financiële syseem. De ineressanse periodes om e besuderen zijn die periodes die gekenmerk worden door een bull marke of een bear marke. Een bull marke is de veelgebruike Engelsalige erm voor een sijgende mark en een bear marke is een veelgebruike Engelsalige uidrukking voor een dalende mark. Sel da er bijvoorbeeld een specifiek model er als bese model uikom voor een bull -mark, dan zou he bes pracice zijn om di model oe e passen voor voorspellingen in he heden indien de huidige saa van de mark ook bull is. Hezelfde geld in he geval van een bear mark. Er kan de volgende hypohese opgeseld worden: Hypohese C.: De saus van een bepaald periode waarin de mark zich bevind, heef een invloed op welk model he bes preseer. Me saus van de mark word een bull mark of een bear mark bedoeld. Hypohese C.: Indien er rekening gehouden word me een periode waarin he verhandelen gesloen is in een schaer, dan zou di beere voorspellingen voor de volailiei moeen leveren naargelang de periode waarin de mark zich bevind. Hypohese C. onderzoek of dezelfde echnieken die oegepas werden in deel van he onderzoek dezelfde resulaen leveren als er gees word op specifieke periodes. Alernaief geformuleerd word er dus onderzoch of he model da in deel als bese model uikwam, ook nog als bese model word gevonden als men gaa esen op een bepaalde ijdsperiode rekening houdend me de speciale saa waarin de mark zich bevind. Er word ook een hypohese C. opgeseld om opnieuw he effec van een exra erm na e gaan zoals in deel van he onderzoek. De modellen me analyische schaer die egenover elkaar worden vergeleken, blijven in di deel dezelfde als in deel. 37

49 Welke periodes en de preciese begin- en einddaum van de verschillende periodes, is afhankelijk van de daa. De daa en de idenificaie van deze ijdsperiodes in de daa zal worden gedaan in Hoofdsuk 4 (infra, p.49), rekening houdend me de sample van de baseline -volailiei. Deze baseline - volailiei vorm de basis voor he berekenen van de RSME, de MAE en de MAPE en andere beoordelingsmehoden. Verdere uileg over deze basisvolailiei word verschaf in hoofdsuk Modelspecificaies In di deel van he onderzoek verander er fundameneel nies aan de modelspecificaies. He enige da er zal verschillen is de periode waarover er zal gescha worden en de periode waarin de voorspellingen zullen gemaak worden. In de oupu zal alijd eers de resulaen van de GARCH-modellen me oevoeging van daily range en log range worden weergegeven zoals in he eerse deel van he onderzoek. Ook worden de abellen me de modellen die de zelfgeïdenificeerde range schaers bevaen weergegeven. De specificaies van deze modellen zijn dezelfde als in deel van he onderzoek. 3.3 OVERZICHT METHODOLOGIE In figuur 5 word een overzich gegeven van de mehodologie die zal worden oegepas in he onderzoek. He is eveneens een overzich van hoe de verschillende hoofdsukken en subhoofdsukken in deze scripie in he groe geheel van he onderzoek passen. Er word verrokken van de basisdaa, deze daa zijn afkomsig van de daabank Daasream. De daa die werd geseleceerd zijn de sluiings-, openings-, minimum- en maximumprijzen van de BEL 0 index. Di zijn dagelijkse prijzen. Ook werd de BEL 0-volailieiindex afgehaald omda die zal dienen als baseline -volailiei (BV) (infra, p.58). Op basis van de sluiingsprijzen worden de logarimische reurns berekend. De range schaers worden berekend op basis van de sluiings-, openings-, minimum- en maximumprijzen. Di geld zowel voor de range schaers van Wang & Robers (004) als voor de geïdenificeerde analyische range schaers ui de lierauur. De reurns zijn dan bijgevolg de inpu voor de mean equaion van he GARCH-model (en varianen). De range schaers worden oegevoegd aan de variance equaion van he GARCH-model (en varianen). He onderzoek is opgesplis in drie delen. De subhoofdsukken waarin de hypohesen en de modellen voor elk deel kunnen worden eruggevonden, worden weergegeven in figuur 5. Ook de schaingsperiode en de voorspellingsperiode worden weergegeven in he kader me als iel Periodes. Er kan ook opgemerk worden da de range schaers die worden omringd door een kader huishoren bij he onderzoeksdeel waarvan he woord modellen (#.#.#.#) respecievelijk in de kleur saa van he kader die de schaers omringd. Ui deze modellen worden dan voorspellingen bekomen. Voor de RMSE, de MAE en de MAPE e bekomen, moe eers en vooral de voorspellingsfou berekend worden. Di is he verschil ussen de BV en de voorspelde waarden. De correlaiecoëfficiën 38

50 en de aanvullende regressies hebben als inpu zowel de voorspellingen als de BV. Op basis van deze beoordelingsmehoden worden de verschillende modellen dan me elkaar vergeleken om e bepalen welk model de bese voorspellingen kan produceren. In he kader linksboven kunnen de subhoofdsukken gevonden worden die de verschillende aspecen van de reurns en de range schaers behandelen. Voor de reurns word er een omschrijving gegeven wa de BEL 0-index is en worden de eigenschappen van de logarimische reurns van deze index besproken. Er word eveneens een es op saionariei van de reurns gedaan. Er word ook een ARCH-LM-es gedaan om e verzekeren da de cluseringeigenschap van de volailiei kan gemodelleerd worden door GARCH-modellen (en varianen). Tevens word deze es ook gedaan om aan e onen da ARCH-effecen in de reurns nie kunnen geva worden door een eenvoudig ARmodel. De mean equaion op basis van de reurns word ook geïdenificeerd. Deze ME blijf dezelfde voor alle modellen. Voor de range schaers worden de formules weergegeven in Hoofdsuk en worden de eigenschappen besproken in Hoofdsuk 4. He kader rechsonder op figuur 5 behandel de ransformaies van daa. Zo is er voor de voorspellingsoupu van de modellen ui Eviews een ransformaie nodig om voorspellingen e bekomen die kunnen vergeleken worden me de BV 6. en de ruwe oupu van de modellen ui Eviews is een dagelijkse varianie. De weede ransformaie is he gebruik van de verschillende formules voor he berekenen van de RMSE, de MAE en de MAPE op basis van de voorspellingsfou. 6 Meer informaie hierover in Hoofdsuk 5 39

51 * Omschrijving (4.) Eigenschappen (4.3): Saionariei in de reurns (4.3.) ARCH-LM es (4.3.): is een GARCH-model een goed model voor de reurns Idenificaie ME (4.4) ** Formules (Hoofdsuk lierauursudie: deel.4.) Eigenschappen (4.6) *** Formules (Hoofdsuk lierauursudie: deel.4.,.4.3,.4.4,.4.5) Eigenschappen (4.7) Basisdaa (bron: Daasream): Dagelijkse Prijzen BEL 0- index Sluiingsprijzen Openingsprijzen Maximumprijzen Minimumprijzen BEL 0-volailieisindex (4.5) Daa als inpu voor de modellen: ) Reurns* ) Range schaers DR en LR ** E 0 E 7 *** ME VE Modellen: Onderzoek deel (3..): Hypohesen (3...) Modellen (3...) Onderzoek deel (3..): Hypohesen (3...) Modellen (3...) Onderzoek deel 3(3..3): Hypohesen (3..3.) Modellen (3..3.) GARCH GJR-GARCH EGARCH DR LR E 0 E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 Beoordelingsmehoden (3.4): RMSE MAE MAPE Correlaie & Regressie: rv ˆ, 0 f I Voorspellingen voor de volailiei ( ) BEL 0- volailieisindex ( ) Voorspellingsfou: (3.4.) II Periodes: Onderzoek deel & : Schaingsperiode 5/07/99-0/0/004 Voorspellingsperiode 0/0/004-09/03/0 Onderzoek deel 3 bull mark: Schaingsperiode 5/07/99-3/03/003 Voorspellingsperiode 4/03/003-04/06/007 Onderzoek deel 3 bear mark: Schaingsperiode 5/07/99-04/06/007 Voorspellingsperiode 05/06/007-0//00 Transformaies: I. Oupu: Dagelijkse Varianie (DV) (DV) = Dagelijkse Sandaard Deviaie (DSD) DSD* (5)= Annualized II. volailiei Formules: RMSE (3.4..) MAE (3.4..) MAPE (3.4..) Figuur 5: Overzich Mehodologie (bron: eigen werk) 40

52 3.4 BEOORDELINGSMETHODEN Nu de essenie van deze sudie en wa er precies zal onderzoch worden, duidelijk geworden is, is he in di laase deel van he onderzoeksopze de bedoeling om beoordelingsmehoden op e sellen. Beoordelingsmehoden zijn van essenieel belang als men verschillende modellen me elkaar wil vergelijken. Di vergelijken aan de hand van bepaalde mehodes zal evens gebruik worden om hypohesen e aanvaarden of hypohesen e weerleggen. Aangezien di onderzoek besaa ui drie delen waarin elkens ies anders word onderzoch, lijk he dan ook een goede manier van werken door een beoordelingsmehode oe e passen die in alle drie de onderdelen van he onderzoek oepasbaar is. Di zal egelijkerijd ook he onderzoek eenduidiger maken doorda alle voorgeselde modellen me eenzelfde maasaf zullen worden beoordeeld Significanie en infocrieria Een eerse indicaie om e zien of een gescha model juis gespecifieerd is, kan worden gegeven door de significanie van de coëfficiënen e conroleren. De hypohesen bij he conroleren van de significanie zijn: H 0 : De coëfficiën is nie significan verschillend van nul. H : De coëfficiën is significan verschillend van nul. De nulhypohese kan verworpen worden op %, 5% of 0% niveau van significanie. In de oupu zal er op basis van de p-waarde geconroleerd worden of een coëfficiën significan is of nie. Een coëfficiën is significan op 5% niveau van significanie als de p-waarde van een coëfficiën kleiner of gelijk is aan 0,05. Op eenzelfde manier word er op 0% en % niveau van significanie over de coëfficiënen geoordeeld. In de bijlagen kan de oupu van alle delen van he onderzoek gevonden worden. De significanie van de coëfficiënen word in de oupu aangeduid door serrejes. ser, serren en 3 serren komen overeen me een niveau van significanie van respecievelijk 0%, 5% en %. Een weede objecieve mehode, om verschillende modellen e vergelijken, is he gebruik van infocrieria. Deze infocrieria komen voor ui he principe van spaarzaamheid. Di principe houd in da een model goed bij de daa aanslui zonder da er onnodige coëfficiënen worden opgenomen in he model. Deze onnodige coëfficiënen kunnen misschien wel exra informaie oevoegen aan he model maar de keerzijde is da he aanal vrijheidsgraden daal als gevolg van he oevoegen van meer variabelen. Er zijn wee belangrijke infocrieria die vaak worden gebruik en die ook sandaard in de oupu van he saisisch programma Eviews word meegegeven. Deze infocrieria zijn he Akaike informaie crierium en he Schwarz-Bayesian crierium. Mahemaisch gezien, zien deze crieria er als volg ui: 4

53 Akaike informaie crierium (AIC): AIC T ln( RSS ) k Schwarz-Bayesian crierium (SBC): SBC T ln( RSS ) k ln( T) Me k p q he aanal geschae parameers. Deze formules en bijhorende uileg, die hierop volg, zijn gebaseerd op Hoofdsuk in Everaer (0). Alernaief kan er gezegd worden da de infocrieria een afweging maken ussen de goodness-of-fi van een model en he aanal variabelen die werden gebruik voor he bekomen van deze goodness-of-fi van he model. Bij he gebruik van deze infocrieria voor he vergelijken van verschillende modellen moeen er dingen worden opgemerk. Vooreers moe er gezegd worden da als er een correce vergelijking van de modellen gewens is, he aanal observaies T gelijk moe zijn in alle modellen. Bij he modelleren van ijdreeksen kan he zo zijn da er een bepaald aanal observaies verloren gaan door he gebruik van lags in de regressievergelijking. He verlagen van he aanal observaies heef zijn direc effec op de groe van de infocrieria, hoewel di effec kleiner zal zijn bij groe daases zoals hier gebruik. Een weede belangrijk pun is da de SBC een srengere fou haneer voor he verlies van vrijheidsgraden. He groose verschil ussen de wee crieria op vlak van presaievermogen is da SBC consisen is, he lever namelijk asympoisch gezien he correce model. AIC daarenegen heef de neiging o he seleceren van een model da over-geparameriseerd is. He word dus aangeraden om de SBC oe e passen op groe samples. Gezien onze daase redelijk veel observaies beva (infra, p.49) zal er uisluiend gebruik worden gemaak van de SBC als vergelijkend crierium. In de oupu van de modellen, die in de appendix kan gevonden worden, word de AIC louer informaief bijgevoegd Voorspellingsbeoordeling Voorspellingsmehodologie De hypohesen in Hoofdsuk 3 deel 3. zijn zodanig gedefinieerd da modellen vergeleken worden op basis van hun vermogen om volailiei e voorspellen in de oekoms. Vooraleer er besproken word wa de verschillende mehoden zijn om voorspellingen e beoordelen, moeen eers een paar prakische zaken in verband me he maken van voorspellingen worden oegelich. Ten eerse moe er een onderscheid gemaak worden ussen sooren voorspellingen me berekking o he schaen van de coëfficiënen van een model, deze uileg is gebaseerd op Hoofdsuk ui Everaer (0): In-sample voorspelling: De coëfficiënen van he model da men zal gebruiken voor he voorspellen van oekomsige waarden van de volailiei, worden bekomen door de volledige daase (of een volledige periode) e gebruiken. Op figuur 6 kan men duidelijk zien da men als schaingsperiode [ 0 ; (x+y) ] gaa gebruiken. He model me bekomen coëfficiënen word dan gebruik om voorspellingen e maken voor een bepaalde periode die binnen de volledige 4

54 periode val, die gebruik werd om de coëfficiënen van he model e schaen. Vandaar da deze vorm van schaen de naam in-sample voorspelling heef gekregen. In figuur 6 is deze schaingperiode [ x ; (x+y) ]. Figuur 6: In-sample voorspelling (bron: eigen werk) Ou-of-sample voorspelling: In di ype voorspellingen worden de coëfficiënen van he model, die men zal gebruiken voor he voorspellen van oekomsige waarden van de volailiei, bekomen door een deel van de daase (of een volledige periode) e gebruiken. Op figuur 7 kan men duidelijk zien da men als schaingsperiode [ 0 ; x ] gaa gebruiken. He model me bekomen coëfficiënen word dan gebruik om voorspellingen e maken voor een bepaalde periode die zich buien de schaingsperiode bevind. Vandaar da deze vorm van schaen de naam ou-of-sample voorspelling heef gekregen. In figuur 7 is deze schaingperiode [ x ; (x+y) ]. Figuur 7: Ou-of-sample voorspelling (bron: eigen werk) In de lierauur is er nie ech eensgezindheid over welk ype er precies moe gebruik worden. In Ashley, Granger, & Schmalensee (980) word er bijvoorbeeld geseld da he esen van een model op voldoende voorspellende krach, vooral moe gedaan worden door ou-of-sample esen. Deze selling is ook algemeen aanvaard in de lierauur en word beschouwd als een soor van convenionele wijsheid. Inoue & Kilian (00) daarenegen, selden deze convenionele wijsheid in vraag en deden esen of er wel degelijk een verschil is ussen beide echnieken. De aueurs kwamen o he beslui da beide echnieken asympoisch even berouwbaar zijn onder de nulhypohese van geen voorspellingskrach. Om och enigszins de common pracice in de lierauur e volgen zal er ou-ofsample gees worden in di onderzoek. 43

55 Ten weede moe er nog een onderscheid gemaak worden op basis van de manier waarop de voorspelling voor de eersvolgende periode o sand kom. Een voorspelling is gebaseerd op hisorische waarden van een bepaalde variabele, en naarmae men verder in de oekoms zal voorspellen, kunnen deze hisorische waarden ofwel acuele waarden zijn ofwel voorspellingswaarden. Om di duidelijker ui e leggen en uieen e zeen, kan er een onderscheid gemaak worden ussen verschillende sooren, gebaseerd op Hoofdsuk in Everaer (0): Saische voorspelling: De voorspelling voor de volgende periode is gebaseerd op de hisorische waarden van een bepaalde variabele, waarbij deze hisorische waarden de eche waarden zijn zoals ze in realiei gekend zijn. Een saische voorspelling is dus een sap-voorsap procedure waarbij in iedere sap de daase word geüpdae door de voorspelde waarde van de vorige periode e vervangen door de ech geobserveerde waarde. Een nadeel bij deze mehode is da deze waarden moeen gekend zijn. Di maak he dan moeilijk om bijvoorbeeld direc 5 dagen in de oekoms e gaan voorspellen me vandaag als uigangspun. In figuur 8 word saische voorspelling geïllusreerd me X he uigangspun (huidige periode), X (-y) de lags van variabele X en F (+z) de voorspelling voor periode z. Men kan duidelijk zien da als er voor periode T+ moe voorspeld worden, de voorspelling van periode T+, F (+), vervangen word door de acuele waarde X (+), die in periode T+ gekend zal zijn. Men kan dus elkens alleen een voorspelling maken voor de daaropvolgende periode. Figuur 8: Saische voorspelling (bron: eigen werk) Dynamische voorspelling: De voorspelling voor de volgende periode is gebaseerd op de hisorische waarden van een bepaalde variabele, waarbij deze hisorische waarden de voorspelde waarden zijn zoals door een bepaald model voorspeld. Een dynamische voorspelling is dus een meervoudige sappenprocedure waarbij in iedere sap (of volgende periode) de daase nie word geüpdae omda er me de voorspelde waarden word verder 44

56 gewerk. Zo zal de voorspelling voor de volgende periode gebaseerd zijn op zowel voorspelde waarde als de eche geobserveerde waarden. Als er dynamisch voorspellingen worden gedaan, zal he nie moeilijk zijn om bijvoorbeeld 5 dagen in de oekoms e gaan voorspellen me vandaag als uigangspun. Di in egenselling o saische voorspelling. In figuur 9 word dynamische voorspelling geïllusreerd me X als uigangspun (huidige periode), X (-y) als de lags van variabele X en F (+z) de voorspelling voor periode z. Men kan duidelijk zien da als er voor periode T+ moe voorspeld worden, F (+) deel uimaak van de waarden waarop voorspelling F (+) gebaseerd is. Di maak he dan ook mogelijk om voor een groo aanal perioden verder in oekoms e gaan voorspellen. He groose nadeel aan deze mehode van voorspellen is da de voorspellingsfou elkens groer en groer word naarmae er verder in de oekoms word voorspeld. Figuur 9: Dynamische voorspelling (bron: eigen werk) Gezien de gewichigheid van een groer wordende voorspellingsfou als men dynamisch gaa voorspellen, is he aangewezen om saisch e gaan voorspellen. Aangezien he in ons onderzoek de bedoeling is om een mehode e vinden die he bes kan voorspellen, maak he nie ech ui welk ype er gebruik word. In deze sudie zal er echer me saische voorspelling gewerk worden Presaie-indicaoren voor he beoordelen van voorspellingen De hiervoor besproken ypes van voorspellen, zijn echer slechs een manier van werken. In he vervolg van di hoofdsuk zal er een overzich worden gegeven van de mehodes die in deze sudie zullen gebruik worden om ook effecief voorspellingsfouen e gaan meen en om e esen hoe dich de voorspellingen bij de BV liggen. He spreek voor zich da he beoordelen van modellen dus ook zal gebeuren op basis van deze voorspellingsfouen/afwijkingen en opziche van de BV. Logischerwijs zal he bese model dagene zijn da de laagse voorspellingsfouen/afwijkingen kan voorleggen. De 45

57 mehodes die hieronder besproken worden, zijn de mees gebruike mehodes om voorspellingfouen/afwijkingen e berekenen en e meen. Alle mehodes vergen apare berekeningen aangezien voor de varianie deze beoordelingsmehoden nie sandaard als oupu gegeven worden door Eviews, he saisisch pakke da zal gebruik worden in he onderzoek. De mehodes voor he berekenen van de accuraaheid van de voorspellingen die hierna besproken worden, zijn (in volgorde van voorkomen): de RMSE, de MAE, de MAPE, de correlaie en de R van een aanvullende regressie. De eerse drie mehodes zijn gebaseerd op de voorspellingsfou (gebaseerd op Hoofdsuk in Everaer (0) maar me andere noaie) : fe, s σ BV, s Hierin is s he aanal periodes ver er in de oekoms word voorspeld. Deze formule duid dus op he fei da de voorspellingsfou van s periodes in de oekoms (en als beginijdsip) ( fe, ), he verschil is ussen de eche geobserveerde waarde op ijdsip +s, namelijk de baseline -volailiei ( de voorspelde annualized sandaardafwijking ( ˆ f,, s σˆ f,,s s BV, s ) en ) voor hezelfde aanal periodes in de oekoms (s). De voorspellingsfou kan voor elke periode berekend worden. De mehodes om een indicaie e geven van de accuraaheid/presaie van de voorspellingen, die hierna zullen besproken worden, zijn gebaseerd op de voorspellingsfouen ui meerdere periodes. Roo Mean Square Error (RMSE) De eerse mehode die zal gebruik worden is de roo mean squared error. Deze mehode bereken de gemiddelde voorspellingsfou in een bepaalde sample. We definiëren een voorbeeldsample [T,T] die zal gebruik worden in de heoreische formules van zowel de RMSE, als de andere mehodes die hieronder behandeld worden. De heoreische formule voor de RSME is (Hoofdsuk, (Everaer, 0)): RMSE x x s (fe T ) In deze formule is x T ( T ) en is s opnieuw he aanal periodes da er in de oekoms voorspel word. In de formule word eers he kwadraa van de voorspellingsfou genomen om dan uieindelijk na de sommaie erug he kwadraa e nemen. Di word gedaan zoda negaieve en posiieve voorspellingsfouen elkaar nie zouden uibalanceren. Er word in deze formulering ook meer gewich gegeven aan groe fouen door e kwadraeren. Mean Absolue Error (MAE), s De Mean Absolue Error is een vereenvoudigde versie van de RMSE in die zin da er nie me kwadraen gewerk word. In de MAE worden absolue waarde ekens gebruik om zeker e zijn da negaieve en posiieve voorspellingsfouen elkaar nie zouden opheffen. Door deze absolue-waarde 46

58 ekens aan e brengen word er gezorgd da er puur gekeken word in ermen van de omvang van de fou en nie naar he eken van de fou. De formule voor MAE is de volgende (Hoofdsuk, (Everaer, 0)): MAE x x fe s T,s Me x gelijk aan de x die gebruik werd in di deel voor de RMSE. In egenselling o bij de RMSE, word in deze formulering eenzelfde gewich gegeven aan groe en kleine fouen door he gebruik van absolue waarde ekens in plaas van e kwadraeren. Mean Absolue Percenage Error (MAPE) De Mean Absolue Percenage Error is de voorspellingsfou als percenage van de eche geobserveerde waarde uigedruk. Opnieuw word er gebruik gemaak van absolue waarde ekens omwille van equivalene redenen als hierboven. De formule is als volg (hoofdsuk, (Everaer, 0)): MAPE x x s fe T,s BV, T s Me x equivalen aan hierboven. Er moe wel opgemerk worden da er onberouwbare resulaen kunnen worden verkregen als yt s zich dich bij nul bevind of nul benader. Correlaie In he boek van Brooks (008) op pagina 8 word correlaie gedefinieerd als de graad van lineaire associaie ussen wee variabelen. Correlaie daarenegen, wil nie zeggen da er een oorzakelijk verband is ussen de wee variabelen. Zo kan er dus nie gezegd worden da er bij een hoge correlaie ussen variabele x en variabele y ook een verandering zal worden geobserveerd in variabele y als gevolg van een verandering in variabele x. Zo word in Brooks (008) gezegd da er een lineaire relaie kan worden geobserveerd en da de veranderingen in beide variabelen gemiddeld gerelaeerd zijn aan elkaar, weergegeven door een correlaiecoëfficiën. De formule voor correlaie zal hier nie weergegeven worden. Deze formule is echer afhankelijk van he programma waarmee gewerk word om de correlaiecoëfficiën e bekomen. De correlaiecoëfficiën kan een waarde aannemen in he inerval,. Bij een posiieve correlaiecoëfficiën kan er gezegd worden da er posiieve correlaie is, en omgekeerd bij een negaieve correlaiecoëfficiën kan er gezegd worden da er negaieve correlaie is. In deze sudie word er verwach da er een posiieve correlaie gevonden word aangezien een negaieve correlaie zou beekenen da beide variabelen een negaieve lineaire samenhang hebben. Hoe dicher de correlaie van een model in deze sudie bij één lig, hoe beer de voorspelde waarden passen bij de baseline -volailiei. 47

59 R van een aanvullende regressie me de bekomen voorspellingen Deze mehode is nie sandaard erug e vinden in de bekendse saisische pakkeen en behoor ook nie o Eviews, he saisisch pakke da zal worden gebruik in deze sudie. In deze mehode zullen de baseline -volailiei 7 geregresseerd worden op de voorspelde waarden. Deze mehode is naar he voorbeeld van Wang & Robers (004). Hierbij zal de baseline -volailiei de afhankelijke variabele zijn en de voorspelde waarden, die voorspeld worden me de voorgeselde GARCH-specificaies, de onafhankelijke variabele. De regressie zie er als volg ui: Me σ BV, σˆ BV, de baseline -volailiei, ˆ f de voorspelde waarden en de soringsermen van de regressie. In een regressie waarbij de voorspelde waarden exac overeenkomen me de baseline - f ε volailiei, zouden de coëfficiënen de volgende waarden aannemen: 0, Er kan dus ui de coëfficiënen van deze aanvullende regressie afgeleid worden hoe dich de voorspelde waarden in buur van de baseline -volailiei zien door e observeren hoe dich de coëfficiënen en respecievelijk nul en één benaderen. De R van deze regressie mee he deel van de variabiliei da verklaard word door he model en is dus een maasaf voor de goodness-of-fi van he model. Hoe hoger de R, hoe beer de voorspellingen aansluien bij de geobserveerde waarden of me andere woorden hoe meer van de variabiliei van de geobserveerde waarde er verklaard word door de variabiliei in de voorspelde waarden. Deze R word sandaard berekend in de meese economerische pakkeen. 7 De objecieve volailiei die zal gebruik worden voor de vergelijking van de verschillende modellen. 48

60 HOOFDSTUK 4 DE DATA 4. INLEIDING In di hoofdsuk word de daa besproken die in he onderzoek zullen worden gebruik. In deel 4. word een omschrijving gegeven van de BEL 0-index. In di deel worden de prijzen vermeld die nodig zijn voor he berekenen van de range schaers ui Hoofdsuk. Er word eveneens uileg gegeven over de BEL 0-index en hoe die is samengeseld. In deel 4.3 van di hoofdsuk worden de eigenschappen van de logarimische reurns van de BEL 0-index besproken. In di deel word er ook gees op saionariei van de reurns. Er word in di deel eveneens een ARCH-LM-es afgenomen om aan e onen da een GARCH-model in saa is om de ARCH-effecen in de reurns e modelleren. Deel 4.4 beva de idenificaie van de ME. In di deel word dus bepaald welke funcionele vorm de ME in alle modellen en alle delen van he onderzoek zal hebben. In deel 4.5 word de baseline - volailiei besproken en word er nog eens herhaald waar deze precies van belang is in he onderzoek. In deel 4.6 worden de eigenschappen van de range -schaers van Wang & Robers (004) besproken. Deel 4.7 bespreek de eigenschappen van de analyische range schaers ( ˆ 0 7 ). Ten sloe worden er in deel 4.8 de ijdsperioden geïdenificeerd die zullen gebruik worden in deel 3 van he onderzoek. 4. OMSCHRIJVING De uivoering van deze sudie verg een bepaalde daase waarop de besproken modellen gaan oegepas worden. De keuze werd gemaak om daa e gaan gebruiken van de BEL 0 index omwille van zijn algemene gekendheid en significanie in België. Als daabank word Daasream gebruik,, di is een daaservice die aangeboden word door Thomson Reuers. Op deze daabank werden volgende daa afgehaald: Sluiingsprijzen van de BEL 0 index. Openingsprijzen van de BEL 0 index. Maximumprijzen van de BEL 0 index. Minimumprijzen van de BEL 0 index. Deze prijzen zijn dagelijkse prijzen. De minimum- en maximumprijzen worden geobserveerd over een ijdspanne van één dag ( inraday ). De ijdsperiode waarover de daase zich uisrek begin bij de sardaum 5/07/99 o de einddaum 9/03/0. De oale daase beva 57 observaies. He aanal onbrekende waarden per specifieke prijs word weergegeven in abel. De sluiingsprijzen zullen gebruik worden als inpu voor de ME in de GARCH-specificaie. De andere 3 prijzen zijn van belang voor he opsellen van de range -schaers die werden gedefinieerd in he vorige hoofdsuk. Er 49

61 zullen echer nog ransformaies moeen worden uigevoerd om genormaliseerde prijzen e bekomen die als inpu worden vereis in sommige schaers. #NA Sluiingsprijs 0 Openingsprijs 5 Maximumprijs 85 Minimumprijs 85 Tabel : Onbrekende observaies in basisdaase (bron: Daasream, eigen berekening) 4.. BEL 0 index De BEL 0 is de belangrijkse index van België en saa genoeerd op de Euronex beurs in Brussel. Zoals de naam al doe vermoeden, besaa de index ui maximaal 0 bedrijven me elk hun eigen gewich in de index. Tabel geef de 0 bedrijven weer waarui de index op di momen van schrijven besaa. Ieder bedrijf en hun respecievelijk gewich in de index word eveneens weergegeven in abel. % gewich AB Inbev,67 Ackermans & Van Haaren,64 Ageas 5,57 Befimmo-Sicafi,3 Bekaer,4 Belgacom 6,3 Cofinimmo-Sicafi,39 Colruy 4,06 D'Ieeren,5 Delhaize group 6,67 Elia,59 GBL 7,65 GDF Suez,6 KBC 3,53 Mobisar,79 Nyrsar,6 Solvay 9,54 Telene group 3,5 UCB 6,8 Umicore 8,89 Tabel : Samenselling BEL 0 (bron: Euronex websie, april 0) De markauorieien van Euronex Brussel bepalen de samenselling op basis van een aanal objecieve crieria. He eerse belangrijke crierium is da de bedrijven een voldoende hoge vrije markkapialisaie moeen bezien. Deze bedrijven worden dan vervolgens gerangschik op basis van hun vrije markkapialisaie en worden de 0 groose geseleceerd. Naas de markkapialisaie worden 50

62 ook nog andere crieria gehaneerd, zoals de liquidiei he aandeel. De deails inzake samenselling vallen buien he besek van deze sudie maar kunnen eruggevonden worden op NYSE Euronex (00), waarin ook voorgaande uileg e vinden is. Op 8 maar 99 is de BEL 0-index officieel van sar gegaan op Euronex Brussel. De berekening van de index sare reeds wa vroeger, namelijk vanaf 30 december 990. Onze volledige daase daarenegen begin pas op 5 juli 99. Di is he gevolg van de daa me berekking o maximum- en minimumprijzen die slechs e verkrijgen zijn vanaf die sardaum. 4.3 EIGENSCHAPPEN RETURNS BEL 0-INDEX De BEL 0-index behoor o de klasse van de financiële daa. Deze specifieke soor daa kenmerken zich door een aanal eigenschappen die men vaak erugvind in aandelen of indexen reurns. Deze gemeenschappelijke saisische eigenschappen worden ook wel sylized facs genoemd. Zo zijn er voor financiële ijdreeksen een ienal sylized facs maar diegene die vooral van belang zijn in deze sudie zijn volailieisclusering en he bezien van een lepokurisch verdeling. Deze eigenschappen worden in de volgende subparagrafen 4.3. en 4.3. besproken. In word er gees op saionariei van de reurns en in deel word een ARCH-LM-es uigevoerd Volailieisclusering Deze sylized fac kan men afleiden ui een grafiek van de reurns van een bepaald aandeel of index. In onze sudie zullen di de reurns zijn van de BEL 0 8. Eerder in deze sudie werd volailieisclusering al beschreven als een opeenhoping van kleine of groe reurns. In figuur 0 worden de reurns van de BEL 0 voor de complee daase uigeze. Er kan duidelijk clusering worden opgemerk in onze daa, wa ook e verwachen was. In de periode van 007 o 009 is er een duidelijk zichbare clusering van hoge volailiei, di door de krediecrisis. Zo kan er voor de periode 99 o 996 gezegd worden da er een clusering is van lage volailiei. 8 De reurns zijn bereken op de sluiingsprijzen. 5

63 Aanal Reurns RETURN Tijd Figuur 0: Reurns BEL 0 index (bron: Daasream, eigen werk) Deze eigenschap van financiële daa is gunsig om e bezien aangezien deze de volailiei vrij voorspelbaar maak en he is juis deze voorspelbaarheid die om eerdergenoemde redenen zo wenselijk is Lepokurische verdeling Een weede belangrijke eigenschap van financiële ijdreeksen is he lepokurisch zijn van de verdeling van de reurns. Een lepokurische verdeling heef als eigenschap da de daa worden gekenmerk door een groe piek rond he gemiddelde en dikke saaren aan de uieinden. Een groere piek van de disribuie is he gevolg van veel gemaigde reurns en dikke saaren zijn he gevolg van meer exreme prijswijzigingen, zowel posiief als negaief (zie Hoofdsuk 3, Frömmel (0)). Di zie zich dan veraald in een groere kurosis en aanzien van de kurosis van een normale verdeling. Ui figuur kan er worden afgelezen da de reurns van de BEL 0-index een kurosis van 9,77 heef erwijl de kurosis van een normale verdeling 3 is. Aan de Jarque-Bera essaisiek is duidelijk e zien da de nulhypohese van een normale verdeling verworpen word.,400,00, Reurns Series: RETURN Sample 7/5/99 3/09/0 Observaions 57 Mean Median 0.07 Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Figuur : Descripieve saisieken reurns BEL 0 index (bron: Daasream, eigen werk) 5

64 Di zijn nie de enige eigenschappen die ypisch zijn voor financiële daa maar wel van belang voor de keuze welk model er zal gebruik worden in deze sudie. Volailieisclusering en lepokurische verdeling van de daa geven aan da er condiionele heeroscedasiciei aanwezig is. Gezien deze eigenschap van de daa, word he gebruik van GARCH-modellen omda deze modellen in saa zijn om deze eigenschap e vaen. Om di ook officieel e esen zullen we een ARCH-LM es uivoeren op de daa Saionariei van de reurns In Hoofdsuk deel.5.. (supra, p.0) werd saionariei uigelegd en hoe di kan gees worden in een ijdreeks. De ijdreeks die hier zal gees worden is deze van de reurns van de BEL 0-index. Een eerse indicaie kan gegeven worden door de grafiek van de reurns e bekijken. In figuur 0 (supra, p.5) is er geen duidelijke rend zichbaar en flucueren de reurns rond nul. Di duid duidelijk op saionariei. Om helemaal correc e zijn word er nog eens een eenvoudige DF-es uigevoerd. Me behulp van Eviews om een DF es ui e voeren, word er een oupu bekomen die word weergegeven in abel 3. Hierui kan er besloen worden da de nulhypohese kan verworpen worden op % niveau van significanie. Di heef o gevolg da er kan besluien worden da de reurns van de BEL 0-index saionair zijn. Null Hypohesis: RETURN has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Auomaic - based on SIC, maxlag=7) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level *MacKinnon (996) one-sided p-values. Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(RETURN) Mehod: Leas Squares Dae: 05/4/ Time: 4:40 Sample: /03/000 /0/00 Included observaions: 833 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. RETURN(-) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion 3.47 Log likelihood Hannan-Quinn crier Durbin-Wason sa Tabel 3: Basis DF es (bron: Daasream, eigen berekening) 53

65 4.3.4 ARCH-LM es De ARCH-LM es zal uimaken welk model er in saa is om ARCH-effecen e vaen. De wee modellen die we zullen esen, is enerzijds een eenvoudig AR()-model en anderzijds een GARCH(,)-model. De keuze voor he esen van slechs wee modellen heef als moivaie da he hier nie de bedoeling is om een ideaal model e vinden da een zo groo mogelijke significanie bezi. De moivaie is eerder he bewijzen da GARCH-modellen voldoende geschik zijn om deze ARCHeffecen e vaen en aan e geven da gewone AR-modellen da nie kunnen. Deze es heef de volgende nulhypohese en alernaieve hypohese: H 0 : ARCH-effecen worden volledig door he model opgevangen. (ARCH is nog aanwezig) H : ARCH-effecen worden nie volledig door he model opgevangen. (ARCH is nie meer aanwezig. De essaisiek voor he esen van deze hypohesen is T*R me T he aanal observaies en is chikwadraa verdeeld (Hoofdsuk 9, Everaer (0)): T *R ~ χ (q) De R is deze van een auoregressieve regressie van de soringsermen van de reurnregressie. Er zal hier nie verder worden ingegaan op de deails van deze mehode aangezien di nie essenieel is. In de oupu word zowel de essaisiek als de p-waarde gegeven. Vooreers word er gees of de daa kan beschreven worden door een eenvoudig ARMA model, namelijk een AR()-model. Een AR()-model heef de volgende noaie: R α 0 αr Me R de reurns van de huidige periode en ε de soringserm. De oupu van de ARCH LM es voor deze specificaie kan gevonden worden in de bijlage onder appendix C. Er word een essaisiek gevonden me een waarde van 937,54, wa overeensem me een p-waarde van 0,00. De nulhypohese kan dus verworpen worden op he 5% significanieniveau. Ze word zelfs verworpen op %. Hierui kan worden besloen da een AR()-model nie in saa is om de reurns van de BEL 0-index e modelleren. ε Als weede word er een algemeen GARCH(,)-model, gees, me als specificaie: R 0 R me 0 Di is exac dezelfde specificaie die in deel.5.3. als basismodel werd voorgeseld. De middelse regel is er nog eens aan oegevoegd voor de correcheid van he model. De voorwaarde da de 54 ~ N(0,)

66 Gesandaardiseerde soringsermen Gesandaardiseerde soringsermen gesandaardiseerde residuen sandaard normaal verdeeld moeen zijn, zal evenwel worden nagegaan. De Eviews-oupu geef ons een essaisiek me waarde 5,688 en overeenkomsige p-waarde 0,3378. Ui di resulaa kan er gezegd worden da de nulhypohese nie kan verworpen worden en er dus kan besloen worden da een GARCH(,) model in saa is om de ARCH-effecen e modelleren. Deze uikoms valideer he gebruik van GARCH als mehode om de volailiei e modelleren. Ter vergelijking worden de gesandaardiseerde residuen van he AR()-model en he GARCH(,)-model nog eens zij aan zij vergeleken in figuur Sandardized Residuals (a) Sandardized Residuals Figuur : a) Gesandaardiseerde residuen AR()-model, b) Gesandaardiseerde residuen GARCH(,)- model (bron: Daasream, eigen werk) Aan deze figuren is duidelijk e zien da de gesandaardiseerde residuen van he AR()-model nog seeds volailieisclusering veroon erwijl di in he GARCH(,)-model nie zo is. Tijd (b) Tijd Belangrijk bij he gebruik van GARCH-modellen is da de gesandaardiseerde residuen sandaard normaal verdeeld zijn, di om eerder vernoemde redenen (supra, p 5). De descripieve saisieken worden weergegeven in figuur 3. De verdeling is nog alijd lich lepokurisch wa aangeef da GARCH nie in saa is om de gehele lepokurosiei van de BEL 0 reurns e verklaren. Ook de JBessaisiek verwerp duidelijk de hypohese van normaliei me een p-waarde van 0,00. Een aanpassing zal dus moeen gemaak worden aan de sandaardfouen om robuusheid voor nienormaliei e bekomen. Di kan door he gebruik van de Bollerslev-Wooldridge varianie-covarianie marix zoals reeds werd vermeld in Hoofdsuk deel

67 Aanal,400,00 Series: STANDARDIZEDRESIDSGARCH Sample 7/5/99 3/09/0 Observaions 56, Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Gesandaardiseerde residuen Figuur 3: Descripieve saisieken van de gesandaardiseerde residuen van een GARCH(,)-model (bron: Daasream, eigen werk) 4.4 IDENTIFICATIE MEAN EQUATION Me de idenificaie van de mean equaion word bedoeld da er zal nagegaan worden welke specificaie er he dichs aanleun bij de daa. In de paper van Wang & Robers (004) word er geseld da de reurns een random walk volgen me als specificaie: R 0 Me R gedefinieerd zoals in formule (). Di is echer slechs een veronderselling van de aueurs en seun nie op ies concrees da in de paper vermeld saa. In deze sudie word wel aandach beseed aan de specificaie van de mean equaion en deze specificaie zal door raionele en economerische heorie worden gerechvaardigd. Hierbij zullen geen derde variabelen worden berokken in de mean equaion, zoals di ook he geval was in de paper van Wang & Robers (004). He kom er dus op neer da er zal worden gezoch naar een ARMA-model da he dichs aanslui bij de reurns van de BEL 0. Belangrijk in he onderzoek naar een geschik ARMA-model is da er voldoende modellen worden gescha. In abel 4 word een overzich gegeven van de Akaike en Schwarz Bayesian informaiecrieria (AIC en SBC, uigelegd in Hoofdsuk 3 deel 3.4.) voor de verschillende specificaies. 56

68 Informaie crierium score Asiel AIC SBC AR() 3, ,8560 AR() 3,8377 3,87008 AR(3) 3, ,85704 AR(4) 3, ,86930 AR(5) 3,7945 3,87077 MA() 3,897 3,8548 MA() 3,8336 3,8746 ARMA(,) 3,8338 3,8748 ARMA(,) 3,879 3,86899 ARMA(,) 3, ,86364 ARMA(3,) 3,800 3,86405 ARMA(3,) 3,8030 3,8798 ARMA(3,3) 3, ,89335 Tabel 4: AIC en SBC voor verschillende specificaies (BEL 0 reurns) (bron: Daasream, eigen berekeningen) De opimale specificaie voor de BEL 0 reurns is diegene waarvan de infocrieria minimaal zijn en opziche van de andere specificaies. Aangezien er me een sample gewerk word van meer dan vijfduizend observaies is he aangeraden om enkel rekening e houden me he Schwarz Bayesian informaiecrierium, di om eerder genoemde redenen in Hoofdsuk 3 deel Ui de resulaen kan worden besloen da he AR(), he AR(3) en he MA() model de bes preserende modellen zijn. De ARMA modellen me zowel een AR-erm en een MA-erm zijn over he algemeen minder geschik dan modellen me één enkele erm. Een beer overzich word gegeven in figuur 4 waarin de bese modellen worden aangeduid. AIC & SBC oupu 3,9 3,9 3,88 3,86 3,84 3,8 3,8 3,78 3,76 3,74 AIC SBC Model Figuur 4: Grafiek AIC en SBC voor verschillende specificaies (BEL 0 reurns) (bron: Daasream, eigen berekeningen) 57

69 Spaarzaamheid op vlak van he incorporeren van variabelen in een specificaie is een cenraal begrip in economerie en volgens di principe kunnen we besluien da er slechs wee modellen besaan waarui er moe gekozen worden. Hoewel he MA()-model ies beer preseer zal er in he verder verloop van deze hesis gewerk worden me een AR()-model. Een ARMA(,)-model als compromis is minder geschik dan een AR()-model. Dagelijkse reurns worden vaak gekenmerk door een liche auocorrelaie. Deze auocorrelaie kan ui de serie gehaald worden door he incorporeren van een auoregressieve lag, dus door een AR()-model e schaen. Deze ene lag volsaa normaal om de auocorrelaie ui de dagelijkse reurns e halen zoda we een zuivere volailiei kunnen observeren. De GARCH-varianies die ui di AR()-model verkregen worden zullen verschillen van deze van een eenvoudige mean equaion -specificaie zoals in Wang & Robers (004). Er moe wel opgemerk worden da deze nie zoveel zullen verschillen omda de effecen op de varianie eerder klein zullen zijn. 4.5 BASELINE VOLATILITEIT De voorspellingen die zullen geproduceerd worden door middel van de verschillende GARCHmodellen moeen op hun accuraaheid geconroleerd worden. Di zal gebeuren door de voorspellingen e vergelijken me een onafhankelijke baseline volailiei. Deze baseline volailiei fungeer dus als he ware als de eche objecieve volailiei. In Hoofdsuk 3 deel werd de voorspellingsfou gedefinieerd als: fe, s σ BV, s σˆ f,,s Hierin zal ˆ f,, s de voorspelling zijn die verkregen word door de GARCH-modellen. De erm zal dan de baseline -volailiei zijn die als objecieve eche waarde voor de volailiei zal BV, s gelden. Belangrijk is da deze baseline -volailiei een objecieve volailieimeing is van de BEL 0-index daarom werd er dus ook geopeerd voor he gebruik van de BEL 0 volailiei index, verder afgekor als BV. Deze index is beschikbaar op Daasream me als code BELVOLI(PI). De basisgedache acher deze index is da deze gebaseerd is op de verwache veranderingen voor de komende 30 dagen van de onderliggende index. Hoe urbulener men verwach da de onderliggende prijsindex van de BEL 0 zal zijn, hoe hoger he niveau van de volailieiindex. Deze basisgedache is erug e vinden op NYSE Euronex (0). Deze volailiei is dus afgeleid ui de prijzen van de opies op de BEL 0 me een mauriei van een maand (30 dagen). De volailiei die voorkom ui deze opieprijzen moe dan nog omgerekend worden op jaarbasis. Di kan eenvoudig gedaan worden door e vermenigvuldigen me de vierkansworel van waalf (redenering gebaseerd op Cabrera (0)). Zo word dan ongeveer de volailieisindex van de BEL 0 bekomen. De beschikbare ijdreeks van deze 58

70 Volailiei Aanal volailieisindex loop van 3/0/000 o 0//00. In figuur 5 worden de beschrijvende saisieken weergegeven van de BV. De verdeling van de BV lijk op deze van een F-verdeling posiieve scheefheid Series: BELVOLI Sample /03/000 /0/00 Observaions BELVOLI Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Figuur 5: Beschrijvende saisieken BEL 0-volailieiindex (bron: Daasream, eigen werk) In figuur 6 word de grafiek van de BV weergegeven voor de periode waarin deze index beschikbaar is. Di is de grafiek die moe benaderd worden door de voorspellingen. Er worden geen verdere ransformaies gedaan op de BV. BELVOLI Tijd Figuur 6: Grafiek BEL 0-volailieiindex. (bron: Daasream, eigen werk) 4.6 EIGENSCHAPPEN RANGE - SCHATTERS In figuur 7 en 8 worden de beschrijvende saisieken van respecievelijk variabele DR en variabele LR weergegeven. De verdeling van de DR benader deze van een F-verdeling en is dus posiief scheef. Hierbij kan opgemerk worden da de meese van de observaies zich dus aan de linkerkan van de verdeling bevinden. De verdeling van DR is alles behalve normaal verdeeld. Di kan duidelijk 59

71 Aanal Aanal afgeleid worden ui een scheefheid van,97 en een kurosis van,377 die ver boven de scheefheid en kurosis van een normale verdeling liggen.,00,000 Series: DR Sample 7/5/99 3/09/0 Observaions DR Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Figuur 7: Beschrijvende saisieken DR (bron: eigen berekeningen) In Hoofdsuk deel.4. werd reeds de superioriei van de log range aangehaald. Als men de beschrijvende saisieken bekijk in figuur 8 dan kan er besloen worden da de sandaarddeviaie heel wa kleiner is dan deze van de dagelijkse range. Ook benader de verdeling van de LR een normale verdeling. Di kan gezien worden aan een scheefheid van 0,87 en een kurosis van 3,057 die een scheefheid van 0 en een kurosis van 3 van een normale verdeling benaderen LR Series: LR Sample 7/5/99 3/09/0 Observaions 57 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Figuur 8: Beschrijvende saisieken LR (bron: eigen berekeningen) Worden de DR-waarden en de LR-waarden uigeze in een Q-Q plo (figuur 9) dan moe opgemerk worden da de LR nauwer aanslui bij de rode lijn dan de DR. De rode lijn in de grafiek duid een normale verdeling van de daa aan en er kan dus besloen worden da de LR he dichs nader bij een normale verdeling. Di beeken da de LR gunsige eigenschappen zal bevaen en heef dus als gevolg da LR o beere voorspellingen kan leiden in GARCH-modellen en varianen. 60

72 Quaniles of Normal Quaniles of Normal Quaniles of DR (a) Quaniles of LR Figuur 9: a) Q-Q plo voor DR, b) Q-Q plo voor LR (bron: eigen berekeningen) (b) 4.7 EIGENSCHAPPEN ANALYTISCHE VOLATILITEITSCHATTERS 4.7. Descripieve saisieken van de analyische schaers In di deel worden de descripieve saisieken van de analyische schaers, die in Hoofdsuk werden geïdenificeerd, besproken. Deze saisieken kunnen in appendix D in de bijlage gevonden worden. In abel 5 & 6 word een samenvaing gegeven van de belangrijkse kenmerken van alle schaers. He val op ui de saisieken da zowel he gemiddelde als de sandaarddeviaie aan de hoge kan zijn. Ook de maxima van de verschillende schaers lig vrij hoog. Di is he gevolg van he kwadraeren in de formules van de schaers. Als er zich een exreem hoge prijsverandering voordoe en deze gekwadraeerd word, kan de waarde voor de volailiei hoog uivallen. In een regressie zou di echer geen probleem mogen zijn. Deze eigenschap van de schaers zal zich in de regressie laen blijken doorda de coëfficiënen van de schaers klein zullen zijn. Di heef e maken me de schaal waarin de variabelen in de regressie zijn uigedruk. Er kan aan herschaling gedaan worden door bijvoorbeeld e delen door 000, dan zal de coëfficiën me duizend vermenigvuldigd worden. Voor de res verander er nies fundameneel aan he model. In deze sudie word er geopeerd om nie aan herschaling e doen en dus de ijdreeksen van de schaers e behouden zoals ze zijn. Een weede belangrijk elemen da moe opgemerk worden, is da schaer 4, schaer 5 en schaer 6 een negaieve waarde als minimum hebben. Di is echer onmogelijk aangezien de volailiei nie negaief kan zijn. In he geval van schaer 4, schaer 5 en schaer 6 zijn he aanal negaieve waarden respecievelijk 7, 6 en 6. Di aanal observaies maak deel ui van een daase me 57 observaies in oaal. De Eviews-oupu van abel 5 word in appendix D weergegeven. 6

73 Sandaard deviaie Maximum Minimum Normaal verdeeld? Mean ˆ 0 984,50 77, ,970 0,000 NEE ˆ,6 360, ,40 0,03 NEE 594,493 9,38 768,00 0,000 NEE ˆ ˆ 3 455, , ,980 4,35 NEE 565, , , ,3 NEE ˆ 4 ˆ 5 55,73 068, ,70-875,00 NEE ˆ 6 389,0 683, , ,355 NEE 477,966 78, ,093 8,375 NEE ˆ 7 Tabel 5: Samenvaing descripieve saisieken geïdenificeerde schaers(bron: Daasream, eigen berekeningen) Gezien di slechs een klein aanal observaies zijn in de daase en deze negaieve waarden bij nader inzien he gevolg zijn van een samenloop van facoren, waaronder bijvoorbeeld de combinaie van onveranderde prijzen en van de specifieke formulering van de schaer, word er voor geopeerd om deze observaies weg e laen ui de daase. De descripieve saisieken van de schaers na he weglaen van de negaieve waarden worden weergegeven in abel 6. Opnieuw geld hier hezelfde verhaal in verband me he groe gemiddelde en de groe sandaarddeviaie. Sandaard Normaal Mean deviaie Maximum Minimum verdeeld? 570,07 095, ,570,70 NEE ˆ 4 ˆ 5 554,70 066, ,70,667 NEE 396, , ,480 4,70 NEE ˆ 6 Tabel 6: Samenvaing descripieve saisieken geïdenificeerde schaers na aanpassing (bron: Daasream, eigen berekeningen) Schaers o 6 hebben gemeenschappelijk da heel wa van hun waarden geconcenreerd zien in he inerval 0,5000(zie figuren in bijlage D) De verdeling van deze schaers lijk op een F-verdeling me posiieve scheefheid. Le wel op da er hiermee nie gezegd word da ze ook explicie een F- verdeling volgen. Schaer 7 is in di opzich anders dan de andere zes schaers. In deze schaer vallen alle waarden binnen he inerval 8,854. Binnen di inerval zijn de waarden random verspreid. Di doe al wijfelen aan he nu van he gebruik van deze schaer in GARCH-modellen. In de gehele daase van de schaers zi een bepaald aanal waarden per schaer die nie beschikbaar zijn. Di is he gevolg van observaies die nie beschikbaar zijn in de openings-, sluiings-, minimum- en maximumprijzen waarop deze schaer gebaseerd zijn. He exace aanal observaies da nie beschikbaar is, word per schaer in abel 7 weergegeven. Aangezien er voor he schaen van 6

74 GARCH-modellen geen waarden mogen onbreken, word er geopeerd om me lineaire inerpolaie deze onbrekende waarden weg e werken. Di lineair inerpoleren kan in Eviews worden gedaan. #NA ˆ 0 48 ˆ 5 86 ˆ ˆ ˆ 4 ˆ 5 95 ˆ ˆ 7 Tabel 7: Aanal onbrekende waarden in de daase (bron: Daasream, eigen berekeningen) 4.7. Correlaie analyische schaers In Hoofdsuk 3 deel 3. werd reeds vermeld da er een model zal gescha worden da alle range schaer zal incorporeren. Gezien al deze schaers in één regressievergelijking zullen worden gebruik, is he belangrijk da er gekeken word naar de correlaie ussen de verschillende schaers. In abel 8 word er een overzich gegeven van de covarianie en de correlaie ussen de verschillende schaers. De bovense waarde in deze abel is de covarianie en de onderse waarde is de correlaie. Doorda de verdeling van schaers o en me 6 min of meer dezelfde zijn, kan er verwach worden da de correlaie ook redelijk groo zal zijn. Di kan inderdaad bevesigd worden ui de correlaiecoëfficiënen in abel 8. De correlaie is vooral he groos ussen schaers 4, 5 en 6 evenals ussen schaer en 3 omda de formules van deze schaers, op enkele deails na, nie verschillen. Aangezien de verdeling van schaer 7 erg verschil van deze van de res van de schaers is he dan ook normaal da de correlaie nie zo groo is. He gevolg van deze bevindingen is da er zich in he model me alle schaers, de combinaiemodellen, een probleem van auocorrelaie gaa voordoen. Di zorg ervoor da de sandaardfouen incorrec zullen zijn en dus de p-waarde om e esen op significanie nie meer accuraa is. Di is op zich geen probleem omda he in deze sudie de bedoeling is om beere voorspellingen e bekomen me he model en voor he maken van voorspellingen maak he nie ui da de sandaardfouen incorrec zijn. 63

75 Covariance Correlaion E00 E0 E03 E0 E04 E05 E06 E07 E E E E E E E E Tabel 8: Covarianie/correlaie-abel analyische schaers (bron: Daasream, eigen berekeningen) 4.8 IDENTIFICATIE TIJDSPERIODEN In he derde deel van he onderzoek word er nagegaan of bepaalde modellen beer preseren naargelang de oesand waarin de mark zich bevind en of di o significan verschillende conclusies leid en opziche van deel van he onderzoek. Er worden wee sooren saussen waarin de mark zich bevind besproken en onderzoch: bull -marken en bear -marken. In deze sudie word er gewerk me een ou-of-sample voorspelling. In wa volg zullen de verschillende ijdsperioden/samples worden geïdenificeerd en besproken. Er zal ook duidelijk aangegeven worden ussen welke daa de schaingssample en de voorspellingssample zich bevinden. Deze daa zijn arbirair bepaald op basis van hisorische gebeurenissen die he begin en he einde van een specifieke periode markeren Bull -mark Een bull -mark is een mark van financiële producen die een sijgende rend in de prijzen ondervind. Er word vaak een associaie gemaak me een oenemend verrouwen onder de inveseerders en een algemene verwaching da de mark in de oekoms nog zal oenemen. 64

76 Prijs BEL 0-index In de BEL 0 daase zijn de schaings- en voorspellingsperiode voor de bull -mark als volg bepaald: Schaingsperiode: 5/07/99-3/03/003 Voorspellingsperiode: 4/03/003-04/06/007 In he begin van deze voorspellingsperiode is de opwaarse rend he gevolg van een economische heropleving na een periode van een relaief depressieve economie. Deze economie bevond zich in een saa van depressie als gevolg van de DOT COM-bubble die uieengebarsen is op he einde van he jaar 000. Een officiële benaming voor de bull -mark van 003 o 007 is er nie maar in deze hesis zal deze periode de naam krediebubbel dragen. He begin van deze periode is arbirair bepaald op basis van de ijdsreeks. De daum van de laagse waarde in de reurns ussen begin 003 en begin 004 werd geseleceerd als sardaum voor de voorspellingsperiode. He einde van deze periode word dan weer gekenmerk door de krediecrisis. Deze einddaum werd begin juni 007 geplaas omda oen al de ekenen zichbaar waren da er crisis aankwam. De financiële marken noeerden in de maand juni al lager (gedaalde koersen). He officiële begin van de crisis word meesal in juli of augusus geplaas doorda in die periode he inveseringsfonds van Bear Searns in hypoheken en onder ging 9. Op figuur 0 word deze periode grafisch voorgeseld. De voorspellingen die worden gegenereerd ui de modellen kunnen vergeleken worden me de BV omda deze al begin in he jaar 000. Tijd Figuur 0: Voorspellingsperiode: Bull mark (bron: Daasream, eigen werk) 4.8. Bear -mark Een bear -mark word gekenmerk door een algemene neerwaarse rend in de prijzen van een financieel produc. Di soor marken word vooral gekenmerk door een algemeen pessimisme en angs onder de inveseerders. Een exace definiie van een bear -mark besaa er nie, maar er besaa 9 Sloan (009) 65

77 Prijs BEL 0-index wel een uieenlopend aanal percepies. Zo definieer de Amerikaanse inveseringsfirma The Vanguard Group een bear mark als: een prijsdaling van meer dan 0% over een periode van minimum wee maanden 0. Voor deze sudie word een minder srenge definiie van een bear -mark gehaneerd. Hier is he vooral belangrijk da er een duidelijke neerwaarse rend is. In de BEL 0 daase zijn de schaings- en voorspellingsperiode voor de bear mark als volg bepaald: Schaingsperiode: 5/07/99-04/06/007 Voorspellingsperiode: 05/06/007-0//00 He begin van deze voorspellingsperiode werd bepaald door he einde van de voorspellingsperiode van de bear mark. He einde van de voorspellingsperiode is eigen aan de daase van de BV die eindig op 0 november 00 zoals beschreven is in Hoofdsuk 4 deel 4.5. In figuur word deze voorspellingsperiode grafisch weergegeven. De grijze zone duid de voorspellingsperiode aan en de rode zone duid de periode aan die waarvan er geen waarden voor de BV konden gevonden worden. Figuur : Voorspellingsperiode: Bear mark (bron: Daasream, eigen werk) Tijd 0 Zie The Vanguard Group (0) 66