TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

Transcriptie

1 TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D Datum: Vrijdag 6 maart 4 Tijd: 4 7 uur Plaats: MA 4 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel Schrijf je naam en studentnummer op elk vel dat je inlevert, inclusief de bijlage Lever je opgaven persoonlijk bij de surveillanten in Niet op de tafels laten liggen! Het tentamen bestaat uit 4 vragen De waardering per onderdeel staat aangegeven in de kantlijn Geef niet alleen antwoorden, maar laat ook zien hoe je eraan gekomen bent Het gebruik van dictaat, aantekeningen en calculator is toegestaan VEEL SUCCES! (5 ) Onderstaande figuur toont een (reëelwaardig) grijswaardenbeeld f opgebouwd uit 9 pixels, waarvan de numerieke waarden zijn aangegeven a We definiëren de p-norm van een M N beeld g als M g p = g[i, j] p i= j= voor p Bereken voor bovenstaand -beeld f de volgende normen: p ( ) a f f = = 9 ( ) a f f = ( ) = 9 b We definiëren voorts de -norm van een M N beeld g als g = lim p g p

2 b Beargumenteer dat geldt g = max i=,,m,j=,,n g[i, j ( ) (Hint: Bekijk het asymptotisch gedrag van (m p +M p ) p = M ( ( m M )p + ) p voor m M als p ) Stel (i, j ) is een roosterpunt waarvoor geldt g[i, j ] g[i, j] voor alle i =,, M, j =,, N Schrijf gemakshalve S p = g[i, j ] p en s p = (i,j) (i,j ) g[i, j] p, dus p g p = (s p + S p ) p = Sp ( ) s p p + S p p Uit Sp = g[i, j ] en s p = (i,j) (i,j ) g[i, j] p (i,j) (i,j ) g[i, j ] p = (MN )S p volgt s p MN, zodat S p g p g[i, j ] (MN) p Als p dan (MN) p en dus g p g[i, j ] = max i=,,m,j=,,n g[i, j ( ) b Bereken f voor het gegeven -beeld f We definiëren voor een willekeurig M N beeld g het genormeerde beeld g p = g g p c Bepaal voor het gegeven beeld f achtereenvolgens (je kunt hiervoor de bijlage gebruiken) ( ) ( ) ( ) c f, c f, c f (a) f (b) f (c) f Voor willekeurige M N beelden g en h voeren we het (reële) standaardinprodukt in, als volgt: M g h = g[i, j] h[i, j] i= j= ( ) d Bewijs dat geldt g p h q = g h g p h q

3 Op grond van bilineariteit mogen we scalaire factoren uit het inprodukt naar voren halen: g h g p h q = = g h g p h q g p h q In het geval van discrete M N beelden g en h luidt de ongelijkheid van Hölder: gh g p h q, voor elk parameterpaar (p, q) waarvoor geldt p, q en p + q = e Bewijs dat voor willekeurige M N beelden g en h geldt g p h q Hierin voldoet het paar (p, q) aan de condities van de Hölderongelijkheid Gebruik makend van het vorige onderdeel en (in de laatste stap) van de gegeven ongelijkheid van Hölder kunnen we de volgende afschatting maken: g p h q = d g h g h gh g p h q g p h q g p h q NB De voorlaatste stap volgt uit het feit dat de absolute waarde van een som van termen altijd kleiner of gelijk is aan de som van de absolute waarden van de termen: M M g h = g[i, j] h[i, j] g[i, j] h[i, j] = gh i= j= i= j= (5 ) In deze opgave is V de verzameling van alle functies f : IR IR die geschreven kunnen worden als een eindige lineaire combinatie f = a c + (a n c n + b n s n ) voor zekere a, a,, a N, b,, b N IR en willekeurige N IN n= Hierin is c (x) =, c n (x) = cos(nx) en s n (x) = sin(nx) voor n IN Zonder beperking op de indexwaarden n IN vormen deze functies tezamen de aftelbaar oneindige set B V = {c, c, c,, s, s, } Verder is W de verzameling van alle oneindig lange rijtjes r van complexe getallen r n C van de vorm r = {r n } n IN met eindig aantal r n Met e k W duiden we het getallenrijtje {,,,,, } aan, waarvan alle elementen gelijk zijn aan nul met uitzondering van het k-de element, welk gelijk is aan één Op voor de hand liggende wijze geordend vormen deze rijtjes de aftelbaar oneindige set B W = {e, e, }

4 a Bewijs dat π ( ) π s m(x) c n (x) dx = voor alle n =,,, en m =,, (Hint: Gebruik waar mogelijk een symmetrie-argument; een expliciete berekening is niet nodig!) De functie in de integrand is het produkt van een even en een oneven functie, dus een oneven functie Als f oneven is dan a is elke integraal van de vorm f(x) dx gelijk aan nul, mits deze bestaat a a Bewijs dat π ( ) π s m(x) s n (x) dx = voor alle m, n =,, met n m (Hint: Leid uit de twee goniometrische identiteiten cos(α±β) = cos α cos β sin α sin β een vergelijking af voor sin α sin β) Gebruik makend van de hint vind je s m (x) s n (x) = (cos((m n)x) cos((m+n)x)) Als m n dan zijn beide termen hierin sinusoïden met geheeltallig aantal perioden in het interval ( π, π) Integreren levert dan nul a Bewijs dat π ( ) π c m(x) c n (x) dx = voor alle n =,,, en m =,, met n m (Hint: Leid uit de twee goniometrische identiteiten cos(α±β) = cos α cos β sin α sin β een vergelijking af voor cos α cos β Beschouw het geval n= apart) Gebruik makend van de hint vind je c m(x) c n(x) = (cos((m n)x) + cos((m+n)x)) Als m n dan geldt hetzelfde argument als voorheen (waarin m, n =,, ) Het geval n = wordt ook door dit argument ondervangen en behoeft dus geen aparte beschouwing ( ) a4 Bereken tenslotte de integralen uit onderdelen a en a voor het geval n=m Voor het geval m = n kunnen we dezelfde goniometrische identiteiten als voorheen gebruiken We hebben s n (x) s n (x) = ( cos(nx)), respectievelijk cn(x) cn(x) = ( + cos(nx)) Voor n =,, volgt dan π sn(x) sn(x) dx = π π π ( cos(nx)) dx = π dx = π (doordat de sinusoïde term wederom geen netto bijdrage levert) Evenzo hebben π π we voor n =,, cn(x) cn(x) dx = π π π ( + cos(nx)) dx = π dx = π Echter, als n = dan krijgen we π π c π π (x) c (x) dx = dx = π π b Gebruik de resultaten uit onderdeel a om te bewijzen dat B V een basis is van V (Hint: Uit f = volgt in het bijzonder dat π π f(x) g(x) dx = voor elk element g B V ) Per definitie kunnen we elk element van V schrijven als lineaire combinatie van functies in B V, dus Span B V = V Resteert te bewijzen dat de functies in B V onafhankelijk zijn Anders geformuleerd, we moeten bewijzen dat f a c + N n= (ancn + bnsn) = (dwz de nulfunctie) desda alle coëfficiënten, a, a, a, en b, b, nul zijn Hiervoor π kun je de hint gebruiken: Schrijf gemakshalve f g = f(x) g(x) dx voor willekeurige functies f, g V Neem voor f π bovenstaande lineaire combinatie en voor g achtereenvolgens c, c m en s m, m =,, : = c = a c + N n= (ancn + bnsn) c = a c c + = c m = a c + N n= (ancn + bnsn) cm = a c c m + = s m = a c + N n= (a nc n + b n s n ) s m = a c s m + a n c n c + b n s n c = π a, n= n= n= a n c n c m + b n s n c m = π a m, n= n= a n c n s m + b n s n s m = π b m Hierin is gebruik gemaakt van het feit dat het inprodukt van de nulfunctie met een willekeurige functie nul oplevert (eerste stap) en van de in onderdeel a uitgerekende integralen (laatste stap) Er geldt dus inderdaad noodzakelijkerwijs a, a, a, = en b, b, = (Het is evident dat deze keuze van coëfficiënten ook voldoende is om de nulfunctie te construeren) n= 4

5 c Beargumenteer dat de set B W een basis is van W Merk op dat je een willekeurig rijtje r = {r, r, } kunt schrijven als lineaire combinatie r e + r e + Stel nu dat = e + r e + voor zekere coëfficiënten r, r,, maw {,, } = {r, r, } dan volgt dat r = r = =, vice versa De elementaire rijtjes in B W zijn dus onafhankelijk Beschouw de afbeelding A : V W : f A(f) gegeven door A(f) = {a, a + ib, a + ib, } Hierin zijn de reële getallen a, a, a,, b, b, precies de coëfficiënten van f ten opzichte van de basis B V en is i het imaginaire eenheidsgetal (i = ) d Bewijs dat A een lineaire afbeelding is Stel f, g V, dus er bestaat een N IN zodanig dat f = a c + g = α c + (a nc n + b ns n) voor zekere a, a,, a N, b,, b N IR en n= (α nc n + β ns n) voor zekere α, α,, α N, β,, β N IR n= (Merk op dat je zonder verlies van algemeenheid in beide gevallen dezelfde N mag nemen) Als λ, µ IR, dan geldt voor de lineaire combinatie λ f + µ g: ( ) ( ) λ f + µ g = λ a c + (a n c n + b n s n ) + µ α c + (α n c n + β n s n ) = n= = (λ a + µ α )c + Dus volgens de definitie van A vinden we n= ((λ a n + µ α n )c n + (λ b n + µ β n )s n ) n= A(λ f + µ g) = {λ a + µ α, λ a + µ α + i(λ b + µ β ), λ a + µ α + i(λ b + µ β ),, λ a N + µ α N + i(λ b N + µ β N ),, } = λ {a, a + ib, a + ib,, a N + ib N,, } + µ{α, α + iβ, α + iβ,, α N + iβ N,, } = λ A(f) + µ A(g) Met A N bedoelen we de lineaire afbeelding A beperkt tot de deelruimte V N opgespannen door B VN = {c, c,, c N, s,, s N } voor vast gekozen N IN ( ) e Bewijs dat V N een lineaire deelruimte is van V Je moet bewijzen dat V N gesloten is onder lineaire combinaties, dwz indien f, g V N en λ, µ IR willekeurig, dan λ f + µ g V N Dit blijkt uit het vorige onderdeel: Uit ( ) ( ) λ f + µ g = λ a c + (a n c n + b n s n ) + µ α c + (α n c n + β n s n ) = lezen we af dat λ f + µ g V N n= = (λ a + µ α )c + n= ((λ a n + µ α n )c n + (λ b n + µ β n )s n ), n= 5

6 e Bewijs dat W N def = A(V N ) = {A(f) W f V N } een lineaire deelruimte is van W met ( ) basis B WN = {e, e,, e N+} Een element in W N is van de vorm r = {a, a +ib, a +ib,, a N +ib N,, }, waarin de coëfficiënten a, a,, a N, b,, b N willekeurige reële waarden kunnen aannemen Voor willekeurige λ, µ IR en r = {a, a +ib, a +ib,, a N +ib N,, }, ρ = {α, α + iβ, α + iβ,, α N + iβ N,, } W N geldt (zie vorig onderdeel) λ r + µ ρ = λ {a, a + ib, a + ib,, a N + ib N,, } + µ{α, α + iβ, α + iβ,, α N + iβ N,, } = {λ a + µ α, λ a + µ α + i(λ b + µ β ), λ a + µ α + i(λ b + µ β ),, λ a N + µ α N + i(λ b N + µ β N ),, } W N W N is dus een lineaire deelruimte van W Uit de decompositie r = {a, a + ib, a + ib,, a N + ib N,, } = a e + (a + ib ) e + + (a N + ib N ) e N+ volgt dat B WN = {e, e,, e N+ } een basis is van W N f Bepaal de matrix behorende bij de lineaire afbeelding A N ten opzichte van de bases B VN en B WN Als je de beelden van de basisvectoren in B VN = {c, c,, c N, s,, s N } onder A N uitdrukt tov de basis B WN = {e, e,, e N+ } kun je de matrix A N bij A N kolomsgewijs opstellen De verticale streep markeert het einde van de eerste N + coëfficiënten; alle daarop volgende coëfficiënten zijn nul: A N (c ) = {,,,,,, } = e = e + e + e + + e N + e N+ A N (c ) = {,,,,,, } = e = e + e + e + + e N + e N+ A N (c N ) = {,,,,,, } = e N = e + e + e + + e N + e N+ A N (c N ) = {,,,,,, } = e N+ = e + e + e + + e N + e N+ A N (s ) = {, i,,,,, } = ie = e + i e + e + + e N + e N+ A N (s N ) = {,,,, i,, } = ie N = e + e + e + + +i e N + e N+ A N (s N ) = {,,,,, i, } = ie N+ = e + e + e e N + i e N+ De matrix A N bij de lineaire afbeelding A N is dus als volgt: i i A N = i i Dit is een (N+) (N+) matrix, omdat het aantal basisvectoren in B VN en B WN respectievelijk N+ en N+ bedraagt (5 ) In deze opgave beschouwen we een periodiek signaal f a,c : IR IR, gedefinieerd als volgt: f a,c (t) = a cos(ct) met a, c > constanten We hanteren verder de volgende Fourierconventie: û(ω) = F(u)(ω) = e iωt u(t) dt en dus u(t) = F (û)(t) = π 6 e iωt û(ω) dω

7 De gewone, inhomogene differentiaalvergelijking u + k u = f a,c met k > constant staat model voor een ongedempte, aangedreven harmonische oscillator, met aandrijvende kracht f a,c We nemen aan dat k c De algemene oplossing van dit inhomogene probleem kan geschreven worden als som van een zogenaamde particuliere oplossing u part en de algemene oplossing van het bijbehorende homogene probleem, u + k u =, de homogene oplossing u hom We gaan achtereenvolgens kijken naar een reëelwaardige particuliere oplossing (a) en naar de reëelwaardige homogene oplossing (b) a Toon aan dat de Fouriergetransformeerde f a,c = F(f a,c ) van f a,c gegeven wordt door f a,c (ω) = π a (δ(ω + c) + δ(ω c)) Gebruik makend van de identiteit cos x = eix +e ix en de definitie van f a,c (t) vind je f a,c(ω) def = e iωt f a,c(t) dt = a e i(ω c)t dt + a e i(ω+c)t dt = π a (δ(ω + c) + δ(ω c)) In de laatste stap is gebruik gemaakt van het feit dat e iωt dt = π δ(ω) a Herformuleer de inhomogene differentiaalvergelijking tot een vergelijking voor û en f a,c Fouriertransformatie is lineair en kun je dus termsgewijs toepassen op de inhomogene differentiaalvergelijking, waarbij je constante factoren naar voren mag halen Met F(u )(ω) = ω û(ω), F(k u)(ω) = k û(ω) en F(f a,c)(ω) = fa,c(ω) vind je zodoende (k ω ) û(ω) = fa,c (ω) Het rechterlid is in het vorige onderdeel bepaald ( ) a Laat zien dat een, bijna overal gedefinieerde, particuliere oplossing gegeven wordt door û part (ω) = f a,c (ω) k ω Uit het vorige onderdeel haal je û part (ω) voor het geval ω ±k, nl met wederom fa,c (ω) als voorheen û part (ω) = f a,c (ω) k ω, ( ) a4 Bewijs dat de corresponderende oplossing in temporele representatie gegeven wordt door Pas de Fourier inverse formule toe: u part (t) = f a,c(t) k c F (û part )(t) = π e iωt û part (ω) dω = a iωt δ(ω + c) + δ(ω c) e k ω dω = Hierin is weer gebruik gemaakt van de goniometrische identiteit cos x = eix +e ix a e ict + e ict k c = a cos(ct) k c = f a,c(t) k c 7

8 De algemene homogene oplossing u hom van het homogene probleem u + k u = luidt u hom (t) = A cos(kt) + B sin(kt) met A, B willekeurige constanten ( ) b Herformuleer de homogene differentiaalvergelijking tot een vergelijking voor û Dit is geheel analoog aan onderdeel a, maar nu zonder inhomogeniteit Dus (k ω ) û(ω) = ( ) b Beargumenteer dat voor de oplossing û hom moet gelden û hom (ω) = voor alle ω ±k Als ω ±k dan is k ω, dus volgt uit b dat û(ω) = (Als ω = ±k kunnen we geen uitspraak doen over û(ω)) ( ) b Bepaal de Fouriergetransformeerde û hom van u hom Per definitie hebben we û hom (ω) = F(u)(ω) = e iωt uhom(t) dt = A e iωt cos(kt) dt + B e iωt sin(kt) dt De Fouriertransformaties van sinus en cosinus vind je als voorheen middels herschrijving in termen van complexe e-machten: cos(kt) = eikt + e ikt resp sin(kt) = eikt e ikt i Hiermee krijg je û hom (ω) = A e i(ω k)t dt + A e i(ω+k)t dt + i B e i(ω k)t dt i B e i(ω+k)t dt = π (A ib) δ(ω k) + π (A + ib) δ(ω + k) ( ) b4 Is deze oplossing consistent met je bevinding in onderdeel b? Ja De oplossing is goed gedefinieerd in distributionele zin en voldoet aan de observatie in onderdeel b (5 ) 4 Stel φ S(IR) is een Schwartz functie We duiden haar n-de orde afgeleide aan met φ (n) (7 ) a Bewijs dat ( ) n (Hint: Partiële integratie) n! x n φ (n) (x) dx = φ(x) dx 8

9 Noem het linkerlid gemakshalve I n Voor I n+, met n Z +, volgt dan middels partiële integratie I n+ = ( )n+ x n+ φ (n+) (x) dx = ( )n+ + (n+)! (n+)! xn+ φ (n) (x) = ( )n x n φ (n) (x) dx = I n n! Kennelijk hangt I n niet af van n Z +, dus In = I ( )n+ n! x n φ (n) (x) dx Stel T f S (IR) is de reguliere getemperde distributie gegeven door de functie f met functievoorschrift f(x) = x n b Bepaal b de klassieke n-de orde afgeleide f (n) van f (er wordt hier dus gevraagd naar een functie), ( ) evenals ( b de distributionele n-de orde afgeleide T (n) ) f getemperde distributie) van T f (er wordt hier dus gevraagd naar een Voor de klassieke n-de orde afgeleide (b) geldt f (n) (x) = n! constant (Formeel bewijs: Voor n = is dit triviaal (inductiestap) Differentiëren we de veelterm x n+ n+ maal, dan vinden we met volledige inductie d n+ dx n+ xn+ = (n+) dn vi xn = (n+) n! = (n+)! dxn Hierin is aangegeven waar de inductiehypothese is gebruikt) Voor de distributionele n-de orde afgeleide (b) geldt het volgende Zij φ S(IR) een willekeurige testfunctie, dan is T (n) f [φ] def = ( ) n T f [φ (n) ] = ( ) n f(x) φ (n) (x) dx = ( ) n x n φ (n) (x) dx = a n! φ(x) dx Dit definieert T (n) f ( ) b Geldt T (n) f = T f (n)? Merk op dat het resultaat van b geschreven kan worden als T (n) [φ] b = n! φ(x) dx = n! φ(x) dx b = f (n) (x) φ(x) dx = T f f (n)[φ] Aangezien dit voor alle testfuncties φ S(IR) geldt volgt inderdaad T (n) f = T f (n) EINDE 9

10 BIJLAGE BIJ OPGAVE Naam: Studentnummer: Figuur : Nogmaals het -beeld zoals gegeven in vraag (a) f (b) f (c) f Figuur : Vul pixelwaarden in overeenkomstig je antwoord op onderdelen c c van vraag