Investeren onder onzekerheid

Transcriptie

1 Investeren onder onzekerheid Toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten om tot een completer investeringsbesluit te komen ing. W. Dijkmans S april 2009 Master Vastgoedkunde Faculteit der Ruimtelijke Wetenschappen

2 Investeren onder onzekerheid Toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten om tot een completer investeringsbesluit te komen ing. W. Dijkmans S Rijksuniversiteit Groningen Faculteit der Ruimtelijke Wetenschappen Master Vastgoedkunde Begeleiding: dr. A.J. van der Vlist (RUG) drs. M.V. Zuidema (Fakton) 2

3 Voorwoord Dit rapport is het resultaat van mijn afstudeeronderzoek betreffende de Master Vastgoedkunde van de Faculteit der Ruimtelijke Wetenschappen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Het afstudeeronderzoek heeft plaatsgevonden bij het bedrijf Fakton. Het afgelopen half jaar heb ik mij bezig gehouden met een onderzoek naar het toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten om te komen tot een completer investeringsbesluit. Vanaf het begin van mijn afstudeerproces was al duidelijk dat de reële optietheorie geen eenvoudig onderwerp is. Echter sprak de mogelijkheid om iets nieuws te leren en toe te passen mij direct aan. Dit is de drijfveer geweest om, gedurende de gehele afstudeerperiode, gemotiveerd te blijven. De keuze voor dit onderwerp heeft, achteraf gezien, voor een grotere uitdaging van mijn afstudeerproces gezorgd dan ik vooraf had ingeschat. Uiteraard was mijn scriptie niet tot stand gekomen zonder de hulp van enkele betrokken personen. Allereerst ben ik mijn dank verschuldigd aan mijn scriptiebegeleider van Fakton, dhr. Matthieu Zuidema. Door interessante discussies en brainstormsessies over de reële optietheorie ben ik gekomen tot het eindresultaat van mijn afstudeeronderzoek. Vanuit de Rijksuniversiteit Groningen wil ik dhr. Arno van der Vlist bedanken. Onze samenwerking heb ik ten alle tijden als zeer prettig en waardevol ervaren. Door mij continue te stimuleren na te denken over de basis van het onderzoek, is hetgeen op papier gekomen wat voldoet aan mijn ambities. De collega s binnen Fakton wil ik niet vergeten. De sociale omgang onderling, de gezellige borrelsessies op vrijdagmiddag, de sportieve snowboardvakantie naar Oostenrijk en de geslaagde studiereis naar Istanbul met het gehele bedrijf hebben mij een werkomgeving geboden waarin ik optimaal gepresteerd heb om te komen tot een eindresultaat. Tot slot bedank ik mijn ouders voor de jarenlange steun tijdens mijn studieperiode en mijn naaste vrienden en vriendinnen voor het aanhoren van en discussiëren over de problemen tijdens het afstudeeronderzoek. De studietijd zit erop, het serieuze leven gaat beginnen! Wouter Dijkmans Deventer, april 09 3

4 Fakton De Master Vastgoedkunde wordt afgerond met een masterthesis. Het bedrijf Fakton te Rotterdam heeft mij de mogelijkheid gegeven om mijn onderzoek uit te voeren en de aanwezige kennis binnen het bedrijf hiervoor beschikbaar te stellen. Fakton helpt opdrachtgevers met het structureren van complexe vastgoedvraagstukken. Op basis van diepgaande vastgoedkennis en met een scherp oog voor financiële kwaliteit realiseren ze duurzame businesscases en deals. Complexe strategische en financiële vastgoedvraagstukken vormen het werkterrein. Fakton bedenkt en implementeert ontwikkelstrategieën, adviseert in portefeuillevraagstukken en is specialisten op het gebied van innovatieve financiële constructies, financiële besturing en performancemeting. Faktonen (werknemers van Fakton) zijn denkers, maar ook doeners: zij regisseren binnenstedelijke gebiedsontwikkelingen, brengen vastgelopen processen op gang en realiseren deals. Fakton is dan ook te benoemen als een financiële vastgoedregisseur. Center of Excellence: het fundament van kennisontwikkeling Als het gaat om kennis- en kwaliteitsmanagement behoort Fakton tot de top van de markt. Om die positie veilig te stellen investeren ze volop in de verdere ontwikkeling van hun vastgoedkennis. Dat gebeurt gestructureerd binnen het eigen Center of Excellence. Het Center is het fundament van kennisborging en kennisontwikkeling binnen Fakton. Alle voor de praktijk relevante kengetallen en gegevens, vastgelegd in modellen, documenten en artikelen worden er verzameld, geactualiseerd, geordend en ontsloten. Ook informatie uit de opdrachtpraktijk wordt systematisch toegankelijk gemaakt voor de consultants, waardoor een waardevolle best practice pool ontstaat. Op aanvraag worden binnen het Center ook model-templates gebouwd of specifieke data-analyse uitgevoerd. Daarnaast doet het Center innovatief onderzoek naar maatschappelijke en macroeconomische ontwikkelingen die relevant zijn voor de huidige en toekomstige vastgoedpraktijk. 4

5 Samenvatting In deze scriptie wordt aandacht gegeven aan het toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten om tot een completer investeringsbesluit te komen. De aanleiding voor dit onderzoek komt voort uit de onzekerheid waarin investeringsbeslissingen genomen worden. Het gevolg van deze onzekerheid is dat geen optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject. Hierdoor vinden projecten enerzijds geen doorgang op het investeringsmoment, anderzijds vinden projecten doorgang met omvangrijke financiële risico s. Voor dit onderzoek is de onderstaande doelstelling geformuleerd: De reële optietheorie, waarbij rekening gehouden wordt met investeren onder onzekerheid en optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject, toepassen in een casus waardoor het mogelijk is een completer investeringsbesluit te nemen door rekening te houden met onzekerheid. Bij deze doelstelling is een centrale onderzoeksvraag geformuleerd, welke als volgt is: Op welke wijze is de reële optietheorie, waarbij rekening gehouden wordt met investeren onder onzekerheid en optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject, toe te passen in een casus waardoor het mogelijk is een completer investeringsbesluit te nemen door rekening te houden met onzekerheid? Het beantwoorden van de centrale onderzoekvraag is mogelijk door naar een tweetal aspecten te kijken. Te stellen is dat in de literatuur een onderscheid gemaakt wordt tussen investeringsbeslissingen zonder onzekerheid enerzijds en investeringsbeslissingen met onzekerheid anderzijds. Bij investeringsbeslissingen zonder onzekerheid wordt gebruik gemaakt van de volgende rekenmethoden, namelijk: Netto contante waarde; Bruto aanvangsrendement; Capital asset pricing model; Weighted average cost of capital; Internal rate of return. Tevens worden de gevoeligheidsanalyse en de Monte Carlo simulatie behandeld. Deze methodieken worden gebruikt om de onzekere variabelen te modeleren, waarmee enige vorm van onzekerheid wordt geïntegreerd in de investeringsbeslissing. Bij investeringsbeslissingen met onzekerheid is gekeken naar de invloed van het inspelen op veranderende marktomstandigheden gedurende het project, door middel van flexibel management. In de literatuur wordt hierbij flexibiliteit gezien in de vorm van opties. Een opties is een recht, zonder verplichting, om een aandeel in de toekomst te kopen of te verkopen tegen een bepaalde vergoeding. Hierbij wordt een onderscheidt gemaakt tussen een tweetal typen opties, namelijk: Financiële opties; Reële opties. De waarde van de reële opties heeft invloed op de investeringsbeslissingen van vastgoedprojecten. De waarde van de reële opties wordt volgens de literatuur berekend aan de hand van aangepaste waarderingsmethodieken van de financiële opties. Gebruik wordt gemaakt van de binomiale analyse en het Black en Scholes model. Evenals bij investeringsbeslissingen zonder onzekerheid wordt bij het waarderen van reële opties gebruik gemaakt van de gevoeligheidsanalyse en de Monte Carlo simulatie om de invloed van de onzekere variabelen in kaart te brengen. 5

6 Om te onderzoeken op welke wijze de reële optietheorie toe te passen is, is de reële optietheorie toegepast op een reële casus. Als reële casus is Mahler4 gekozen, een deelproject van de gebiedsontwikkeling de Zuidas te Amsterdam. Er zijn een tweetal typen reële opties toegepast, namelijk een calloptie tot uitstel van de kantorentoren en/of woontoren en een calloptie tot herziening van het huurcontract. Aan beide reële opties zijn optiewaarden gekoppeld waarbij te concluderen valt dat de optiewaarden per afzonderlijke reële optie sterk uiteen lopen. De verschillende variabelen, welke invloed hebben op de hoogte van de waarde van de reële optie, spelen een bepalende rol. Opvallend in de uitkomsten van de gevoeligheidsanalyse zijn de substantiële fluctuaties in de gevonden waarden voor beide reële opties bij eenzelfde veranderende variabelen. Te stellen is dat de volatiliteit van de onderliggende waarde een alles bepalende rol speelt in de optiewaarde. Te concluderen valt dat het één op één toepassen van de rekenmethodieken op een reële casus, zoals Mahler4, niet mogelijk is om te komen tot een completer investeringsbesluit door rekening te houden met onzekerheid. De rekenmethoden dienen voor toepassing op een reële casus aangepast te worden op de dan geldende eisen en omstandigheden om optimaal in te spelen op de potenties van een vastgoedproject. Een algemeen geldend model, toepasbaar op verschillende reële casussen, is niet de modelleren. Elke afzonderlijke casus heeft maatwerk nodig bij het toepassen van de reële optietheorie. 6

7 "Voorspellen is moeilijk, vooral met betrekking tot de toekomst." George Walker Bush 43e President van de Verenigde Staten 7

8 Inhoudsopgave Voorwoord... 3 Fakton... 4 Center of Excellence: het fundament van kennisontwikkeling... 4 Samenvatting... 5 Hoofdstuk 1. Introductie Aanleiding Relevantie Probleem-, doel- en vraagstelling Onderzoeksmodel Onderzoeksmethodologie Leeswijzer Hoofdstuk 2: Rekenmethoden Investeren zonder onzekerheid Netto contante waarde Bruto aanvangsrendement Capital asset pricing model Weighted average cost of capital Internal rate of return Investeren met onzekerheid Alternatieve portefeuille methode Cox, Ross and Rubinstein model Black en Scholes model Reële opties Gevoeligheid variabelen Gevoeligheidsanalyse Monte Carlo simulatie Hoofdstuk 3: Casus Mahler Zuidas Mahler Reële opties Mahler Variabelen Mahler

9 Hoofdstuk 4: Waarderen reële opties Calloptie tot uitstel Binomiale analyse Black en Scholes model Vergelijking binomiale analyse en Black en Scholes model Gevoeligheidsanalyse Calloptie tot herziening huurcontract Binomiale analyse Black en Scholes model Vergelijking binomiale analyse en Black en Scholes model Gevoeligheidsanalyse Hoofdstuk 5: Conclusies en aanbevelingen Conclusie Aanbevelingen Literatuur Bijlage Bijlage I: Begrippenlijst Bijlage II: Netto contante waardeberekening Bijlage III: Mahler Bijlage IV: Variabelen Bijlage V: Waarde reële opties Mahler Calloptie tot uitstel kantoren Calloptie tot uitstel appartementen

10 Hoofdstuk 1. Introductie In dit hoofdstuk komt een beschrijving van het onderzoeksvoorstel aan bod. De aanleiding en relevantie van het onderzoek zullen als eerste behandeld worden, gevolgd door de probleem-, doel-, en vraagstelling. Aansluitend volgt een bespreking van het onderzoeksmodel en de onderzoeksmethodologie. Het hoofdstuk wordt afgesloten door een leeswijzer waarin de opbouw van het rapport geschetst wordt. 1.1 Aanleiding De aanleiding voor dit onderzoek komt voort uit de onzekerheid waarin investeringsbeslissingen genomen worden. Het gevolg van deze onzekerheid is dat geen optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject. Hierdoor vinden projecten enerzijds geen doorgang op het investeringsmoment, anderzijds vinden projecten doorgang met omvangrijke financiële risico s. Om inzicht te krijgen in de (onzekere) toekomstige kasstromen voor een completer investeringsbesluit, wordt in de praktijk gebruik gemaakt van de netto contante waarde methode. Kortweg is de contante waarde het bedrag dat een investeerder vandaag wil investeren om de toekomstige kasstromen te ontvangen. De netto contante waarde methode zet toekomstige kasstromen om in geld van vandaag, inclusief de aanvangsinvestering.. Ondanks de aanvullingen op het netto contante waarde model, zoals scenario-, gevoeligheids- en Monte Carlo analyses, blijft het model deterministisch (Brown et al., 2007). Verschillende studies hebben aangetoond dat het niet opnemen van mogelijke wijzigingen in toekomstige kasstromen, die het gevolg zijn van keuzemogelijkheden, tot een vertekening van de waarde van het project leidt (Teisman, 1992). Na de introductie van de optietheorie, in de financiële literatuur door het Black en Scholes model uit 1973, ontstond een stroming die zich bezig ging houden met het toepassen van deze theorie in kapitaalsintensieve industrieën, zoals de olie-industrie en later de vastgoedsector. Deze opties worden reële opties genoemd, om ze te onderscheiden van de opties die verhandeld worden op de financiële markten. Hoewel, volgens Vlek (2007), talloze empirische studies inmiddels de theoretische veronderstellingen van het optiemodel bevestigen, dient nog diepgaand onderzoek gedaan te worden op de praktische toepassing en modellering van de reële optietheorie voor investeringsmomenten van vastgoedprojecten (Brown et al., 2007). 1.2 Relevantie De nadruk van dit onderzoek ligt op de relevantie voor het vakgebied. Reeds eerder is aan de orde gekomen dat het niet opnemen van mogelijke wijzigingen in toekomstige kasstromen ertoe leidt dat projecten, onterecht, geen doorgang vinden op het investeringsmoment of doorgang vinden met omvangrijke financiële risico s (Teisman, 1992). Door het toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten, zoals in dit onderzoek op een reële casus, ontstaat een completer investeringsbesluit, waarbij rekening gehouden wordt met onzekerheid. Naast een relevantie voor het vakgebied is een maatschappelijke relevantie te onderscheiden. De gevolgen van het investeren in vastgoedprojecten reiken verder dan alleen de partijen welke actief zijn op de vastgoedmarkt. De maatschappij en de economie ondergaan de gevolgen van het, al dan niet, investeren in vastgoedprojecten. Enkele mogelijke negatieve gevolgen wanneer niet geïnvesteerd wordt door incomplete investeringsbeslissingen zijn: woningtekorten, leegstand, verpaupering van stadsdelen (waarbij leegstand en waardedaling optreedt in de directe omgeving). Door gebruik van de reële optietheorie is het mogelijk een completer investeringsbesluit te nemen. Een professionalisering heeft de laatste jaren opgetreden in de wetenschappelijke vastgoedwereld. Door het verschijnen van monitoren en databases is de vastgoedwereld transparanter geworden. Tevens is de wetenschap zich gaan toeleggen op specifieke vakgebieden binnen de vastgoedwereld. 10

11 Een groeiende interesse en vraag naar wetenschappelijke onderzoek en analyses is waarneembaar vanuit de praktische vastgoedwereld. Het doen van onderzoek naar het toepassen van de reële optietheorie bij vastgoedprojecten om te komen tot een completer investeringsbesluit is weer een stap in de richting van professionalisering. Tevens wordt in dit onderzoek gebruik gemaakt van een reële casus, in tegenstelling to bestaand wetenschappelijk onderzoek waar gebruik wordt gemaakt van fictieve casussen. 1.3 Probleem-, doel- en vraagstelling De probleemstelling luidt als volgt: De huidige rekenmethoden, welke in de praktijk gebruikt worden om de financiële haalbaarheid te toetsen van een investeringsbeslissing, houden geen rekening met onzekerheid. Hierdoor wordt geen optimaal gebruik gemaakt van de potenties van een vastgoedproject, waardoor projecten enerzijds geen doorgang vinden op het investeringsmoment, anderzijds projecten doorgang vinden met omvangrijke financiële risico s. Aan de hand van de bovenstaande probleemstelling is voor dit onderzoek een doelstelling geformuleerd, namelijk: De reële optietheorie, waarbij rekening gehouden wordt met investeren onder onzekerheid en optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject, toepassen in een casus waardoor het mogelijk is een completer investeringsbesluit te nemen. Om te komen tot een oplossing van het geschetste probleem is een centrale onderzoeksvraag opgesteld, namelijk: Op welke wijze is de reële optietheorie, waarbij rekening gehouden wordt met investeren onder onzekerheid en optimaal gebruik wordt gemaakt van de potenties van een vastgoedproject, toe te passen in een casus waardoor het mogelijk is een completer investeringsbesluit te nemen? Om de centrale onderzoeksvraag op een gestructureerde wijze te beantwoorden zijn een tweetal onderzoeksvragen geformuleerd. 1. Welke rekenmethoden zijn/of kunnen gehanteerd worden om de financiële haalbaarheid, welke bepalend is bij de investeringsbeslissing van een vastgoedproject, te bepalen? Deze vraag heeft tot doel inzicht te krijgen in de verschillende rekenmethoden die gebruikt kunnen worden om de financiële haalbaarheid van een vastgoedproject te bepalen. Hierbij worden de specifieke rekenmethode nader besproken. Tevens wordt met een kritische blik gekeken naar de werking van de rekenmethoden. 2. Op welke wijze is de reële optietheorie te implementeren in investeringsbeslissingen voor vastgoedprojecten, gebruik makend van een reële casus, en wat zijn de resultaten? Deze vraag heeft tot doel het toepassen van de reële optietheorie in een reële casus. Inzicht wordt verkregen in hoe de theorie toe te passen is en welke uitwerking de reële optietheorie heeft op de investeringsbeslissing voor de desbetreffende reële casus. 1.4 Onderzoeksmodel Het onderzoek is opgedeeld in een drietal delen, namelijk: theorie, analyse en conclusie. Het theoretisch kader zal worden gevormd door een uiteenzetting van een tweetal onderwerpen. Allereerst wordt ingegaan op de reguliere rekenmethoden, welke gebruikt (kunnen) worden in de praktijk om te 11

12 komen tot een investeringsbeslissing. Vervolgens wordt aandacht besteed aan de reële optietheorie, gekoppeld aan vastgoedprojecten. Op basis van het gevormde theoretische kader wordt de reële optietheorie toegepast op een vastgoedproject in de vorm van een reële casus. Aan de hand van de resultaten uit het eerste en tweede deel wordt in het derde deel geconcludeerd en aanbevelingen gedaan. Figuur 1: Onderzoeksmodel 1.5 Onderzoeksmethodologie In het onderstaande zal per onderzoeksvraag ingegaan worden op de te hanteren onderzoeksmethodologie. Voor elke aparte onderzoeksvraag is een eigen, unieke methodiek om te komen tot een antwoord. Zodoende is het dus niet mogelijk om één specifieke onderzoeksmethodologie te hanteren voor het gehele onderzoek. Onderzoeksvraag 1: Welke rekenmethoden zijn/of kunnen gehanteerd worden om de financiële haalbaarheid, welke bepalend is bij de investeringsbeslissing van een vastgoedproject, te bepalen? Het beantwoorden van de onderzoeksvraag geschiedt door gebruik te maken van een literatuurstudie. Literatuurstudie bevat volgens Lewis et al. (2000) een drietal stappen, namelijk: 1. Identificeren van de verschillende (on)gepubliceerde materialen; 2. Verzamelen van relevante informatie door gebruik maken van de materialen; 3. Het beantwoorden van de onderzoeksvraag door gebruik te maken van eerder gevonden informatie. Stap 1 wordt uitgevoerd gebruik makend van digitale databases welke beschikbaar zijn binnen de Rijksuniversiteit Groningen en Fakton. Tevens wordt gebruik gemaakt van geschreven literatuur, als zijnde in de vorm van wetenschappelijke tijdschriften en boeken. Stap 2 wordt ingevuld door het verwerken van de gevonden literatuur van stap 1. Aan de hand van de relevantie informatie, afkomstig uit stap 2, wordt de onderzoeksvraag beantwoord in stap 3. Onderzoeksvraag 2: Op welke wijze is de reële optietheorie te implementeren in investeringsbeslissingen voor vastgoedproject, gebruik makend van een reële casus, en wat zijn de resultaten? 12

13 Een casestudie wordt gebruikt om antwoord te geven op onderzoeksvraag twee. Casestudies worden omschreven als de ontwikkeling van gedetailleerde, intensieve kennis over een enkel geval of een klein aantal gevallen (Robson, 1992). De casestudie is onder te verdelen in een tweetal typen casussen, namelijk reële en fictieve (Yin, 1994). 1.6 Leeswijzer Nadat in dit eerste hoofdstuk de opzet van het onderzoek is behandeld, wordt in deze laatste paragraaf de volgende hoofdstukken kort beschreven. In hoofdstuk twee wordt ingegaan op de rekenmethoden, welke uiteindelijk gehanteerd kunnen worden om de financiële haalbaarheid van vastgoedprojecten te bepalen. Hoofdstuk drie wordt gewijd aan een beschrijving van reële case. In hoofdstuk 4 wordt de casestudie toegepast en wordt ingegaan op de resultaten. De conclusies, voor en nadelen van de reële optietheorie en de aanbevelingen worden besproken in het vijfde hoofdstuk. In bijlage I is een begrippenlijst te vinden. 13

14 Hoofdstuk 2: Rekenmethoden Hoofdstuk twee staat in het teken van de rekenmethoden, welke gebruikt worden om de financiële haalbaarheid te toetsen van een investeringsbeslissing. Het hoofdstuk is onderverdeeld in een tweetal delen, namelijk investeren zonder onzekerheid en investeren met onzekerheid. 2.1 Investeren zonder onzekerheid Het vastleggen van vermogen in ruil voor toekomstige baten is volgens Brealey et al. (2007) investeren, waarbij de toekomstige kasstromen onzeker zijn. Er wordt ingegaan op de methoden welke gehanteerd worden bij investeringsbeslissing waarbij geen rekening gehouden wordt met onzekerheden. Achtereenvolgens worden de volgende methoden behandeld: netto contante waarde, bruto aanvangsrendement, capital asset pricing model, weighted average cost of capital en de internal rate of return Netto contante waarde De netto contante waarde is een methode welke gebruikt wordt om te bepalen of een investering rendabel is. Kenmerkend voor een investering is dat vermogen wordt vastgelegd in ruil voor toekomstige kasstromen. Een schatting wordt gemaakt van de omvang en timing van de toekomstige kasstromen. De kasstromen worden in de tijd uiteengezet en contant gemaakt met een disconteringsvoet. De vergelijking is als volgt weer te geven (Brealey et al, 2007): Waarbij: NCW = Netto Contante Waarde n = Horizon in jaren t = Jaar K t = Kasstroom r = Disconteringsvoet Indien de contante waarde van de toekomstige kasstromen groter of gelijk is aan de initiële investering, dan is de investering rendabel. Indien de netto contante waarde kleiner is dan 0, dan is sprake van een onrendabele investering. Wanneer meerdere projecten een positieve netto contante waarde hebben en niet in alle projecten geïnvesteerd kan worden, dient gekozen te worden voor het project met de hoogste netto contante waarde. De disconteringsvoet bestaat uit een risicovrij rendementspercentage en een minimale rendementseis. De risicovrije rendementspercentage wordt bepaald aan de hand van de, op dat specifieke moment te verkrijgen, risicovrije rente. De minimale rendementseis wordt bepaald door de risico s van het project in kaart te brengen, waarbij de rendementseis en de hoogte van de risico correleren (Trigeorgis, 1996). In de netto contante waarde berekening worden aannames gedaan over de omvang en timing van de toekomstige kasstromen. Tevens wordt verondersteld dat gedurende het gehele project de minimale rendementseis constant blijft. De mogelijkheid om in te spelen op veranderende risico s door veranderende marktomstandigheden gedurende het project, door middel van flexibel management, wordt niet meegenomen in de netto contante waardeberekening voor een investeringsbeslissing Bruto aanvangsrendement Het bruto aanvangsrendement is een quotiënt, welke gebruikt wordt in de vastgoedwereld om transacties van vastgoedobjecten te vergelijken. Bosse et al. (2005) definieert het bruto aanvangsrendement als volgt: Het quotiënt, uitgedrukt als percentage, van de bruto huuropbrengst bij volledig verhuur tegen markthuurniveau en de totale verwervingskosten van het vastgoedobject. In 14

15 het onderstaande is de vergelijking van het bruto aanvangsrendement weergegeven (Bosse et al., 2005). Waarbij: MH = Markthuur bij volledig verhuur t=1 = Jaar 1 INV = Totale investering Wanneer het bruto aanvangsrendement gebruikt wordt voor het waarderen van vastgoed, dient de formule te worden aangepast. Immers, de waarde van een vastgoedobject is de totale investering minus alle kosten die nodig zijn om het object in verhuurde staat op marktniveau te houden. Het bovenstaande is in de onderstaande vergelijkingen weergegeven (Bosse et al., 2005). Waarbij: Waarde object = Marktwaarde van het vastgoed CW (markthuur-contracthuur) = Contante waarde verschil tussen markthuur en contracthuur k.k. = Factor voor kostenkoper a.o. = Verrekening voor achterstallig onderhoud = Contante waarde van de aanvangsleegstand CW aanvangsleegstand De vergelijkingen (3) en (4) stellen in staat om een vastgoedobject te waarderen aan de hand van het bruto aanvangsrendement (Bosse et al., 2005). Indien de hoogte van de gevraagde investering voor een vastgoedobject lager is dan de berekende maximaal mogelijke investering, gebruik makend van de vergelijkingen (3) en (4), dient geïnvesteerd te worden. Voor bepaling van het bruto aanvangsrendement wordt gekeken naar referenties. Volgens Brounen et al. (2007) is de bruto aanvangsrendement afhankelijk van de volgende beginselen: 1. Marktwerking van de vastgoedsector; 2. Kwaliteit en de locatie van het vastgoed; 3. Lengte en kwaliteit van de huurcontracten en van de huurders; 4. Mogelijke huur- en waardestijging; 5. Kosten van het onderhoud, belastingen, administratie; 6. Grondeigendom of erfpacht. Bij het bepalen van de hoogte van een investering voor een vastgoedobject, gebruik makend van de bruto aanvangsrendement methode, wordt een aanname gedaan voor de hoogte van de BAR. Deze BAR wordt vastgesteld door het vergelijken van het vastgoedobject met soortgelijke objecten, waarbij gekeken wordt naar de objectwaarde, transactiewaarde, kwaliteit en/of huurprijs Capital asset pricing model Het capital asset pricing model is een financiële beleggingstheorie waarbij, gebruik makend van het verwachte rendement, bepaald wordt of een investering rendabel is. Het model is gebaseerd op de moderne portefeuille theorie van Markowitz (1952) waarin er vanuit wordt gegaan dat, onder ideale marktomstandigheden, een verband bestaat tussen het te verwachten rendement en het te lopen risico, waarbij hoge rendementen slechts kunnen worden behaald bij het accepteren van een groter risico. Daarbij kan het totale (portefeuille-)risico gedempt worden, door het diversifiëren over beleggingsmogelijkheden die niet (volledig) aan elkaar gecorreleerd zijn. De moderne portefeuille theorie is gemodificeerd door Sharp (1964), Lintner et al. (1965) en Mossin (1966) om het praktisch toe te kunnen passen. Het capital asset pricing model stelt dat een deel van het risico, te weten het systematisch risico, van elk individueel beleggingsobject onvermijdbaar is, maar dat een ander deel, het zogenaamde specifieke (niet-systematische) risico, door diversificatie kan worden geëlimineerd (Tazelaar, 2002). In het onderstaande is de vergelijking weergegeven. 15

16 Waarbij: E(r j ) = Het vereiste rendement op de investering r f = Risicovrije rendement β = Systematische risico van de investering r m = Marktrendement Het systematische risico wordt in het Capital Asset Pricing Model weergegeven aan de hand van de bèta. De bèta is een verhouding tussen het totale risico van de investering en de markt, waarbij de correlatie tussen beide wordt meegewogen. Een bèta gelijk aan 1,0 betekent dat het systematische risico van de investering exact gelijk is aan dat van de markt als geheel. Het vereiste rendement voor een individuele investeringsbeslissing kan bepaald worden door te kijken of het risicoprofiel van deze investering kleiner (β < 1) of groter (β > 1) is dan het marktgemiddelde. Door het vereiste rendement te vergelijken met het verwachte rendement, kan een investeringsbeslissing genomen worden. Indien het verwachte rendement gelijk of hoger is dan het vereiste rendement dient geïnvesteerd te worden (Trigeorgis, 1996). De negen aannames die ten grondslag liggen aan de capital asset pricing model zijn de volgende (Trigeorgis, 1996): 1. Investeerders zijn rationeel en hebben als doel het maximaliseren van de winst; 2. Investeerders zijn risicomijdend en diversifiëren de portefeuille op efficiënte wijze, op basis van het gemiddelde en de variantie van het portefeuillerendementen; 3. Investeerders hebben homogene verwachtingen en gelijkwaardige schattingen van de verwachte waarden, varianties en covarianties van de rendementen; 4. Omdat de markt concurrerend is geloven beleggers er niet in dat ze invloed kunnen uitoefenen op de prijzen van de activa; 5. Informatie is vrij toegankelijk voor alle investeerders; 6. Er zijn geen belastingen en transactiekosten en de kosten van een faillissement zijn te verwaarlozen; 7. Alle activa zijn perfect deelbaar en liquide; 8. De waarde van elke activa is een gegeven; 9. Er bestaat een risicovrije rentevoet waarbij beleggers kunnen lenen of uitlenen Weighted average cost of capital De Weighted Average Cost of Capital (WACC) een kengetal dat uitdrukking geeft aan de kosten die gemaakt worden voor het vermogen waarmee het bedrijf wordt gefinancierd. In de praktijk worden projecten veelal gefinancierd door een combinatie van vreemd en eigen vermogen. Om in deze situatie te bepalen of een investering rendabel is dient de disconteringsvoet, zoals toegelicht in paragraaf 2.1.1, aangepast te worden en bestaat dan uit de gewogen gemiddelde kostenvoet van alle vermogensverschaffers. Het gevolg is dat rekening gehouden wordt met de relatieve gewichten van elke component van de kapitaalstructuur. Bij het bepalen van de rendementseis op vreemd vermogen speelt de fiscaliteit een rol. Rentebepalingen zijn fiscaal een aftrekpost waardoor een belastingvoordeel ontstaat indien een deel van een project met vreemd vermogen wordt gefinancierd. Dit geldt alleen in de gevallen wanneer een onderneming daadwerkelijk belasting betaald (Tazelaar, 2002). In het onderstaande is de vergelijking volgens Miller & Modigliani (1958) voor de WACC weergegeven. 16

17 Waarbij: r e = Rendement op eigen vermogen r v = Rendement op vreemd vermogen E = Eigen vermogen V = Vreemd vermogen B = Belasting Investeringen voegen pas waarde toe als het verwachte rendement groter is dan de WACC. Tevens worden bij meerdere potentiële investeringen de WACC vergeleken. Hierdoor is het mogelijk een keuze te maken tussen de verschillende potentiële investeringen. Een uitgangspunt in de economische theorie is gesteld door Miller & Modigliani (1963). Een financiële wereld zonder belasting kan geen waarde aan een project toevoegen door de financieringsstructuur (verhouding vreemd vermogen versus eigen vermogen) te veranderen. Aangezien op vreemd vermogen een lagere rendementseis gesteld wordt dan op vreemd vermogen, zal meer vreemd vermogen niet leiden tot een lagere WACC. Wanneer gekozen wordt voor een financieringsstructuur met een meer vreemd vermogen neemt het risicoprofiel van het eigen vermogen toe. Gevolg hiervan is dat de rendementseis op het eigen vermogen toeneemt naarmate een project zwaarder met vreemd vermogen is gefinancierd (Copeland et al., 2005). Bovenstaande is als vergelijking 8 weergegeven. Waarbij: r e = Rendement op eigen vermogen r o = Kosten van kapitaal r v = Rendement op vreemd vermogen E = Eigen vermogen V = Vreemd vermogen B = Belasting Internal rate of return Het Internal Rate of Return (IRR) staat voor het intern rendement en is de disconteringsvoet die een netto contante waarde van nul oplevert voor een reeks van toekomstige kasstromen. Wanneer een negatieve kasstroom plaatsvindt in de beginfase van een project, gevolgd door positieve kasstromen, zal de investeringsbeslissing gebaseerd op de IRR gelijk zijn aan de investeringsbeslissing gebaseerd op de netto contante waarde. De IRR is volgens Brown & Matysiak (2000) als vergelijking 9 weer te geven. Waarbij: K t = Kasstroom uitgave in periode t A t = Kasstroom inkomsten in periode t r = interne rendement Bij een investeringsbeslissing dient geïnvesteerd te worden in vastgoedprojecten met een hoger rendement dan de het vereiste rendement. Opvallend is dat wanneer gekozen wordt, in een situatie met meerdere potentiële investeringsbeslissingen, voor het project met het hoogste interne rendement, dit niet betekend dat dit project ook de hoogste netto contante waarde heeft (Brown & Matysiak, 2000). Bij het bepalen van de IRR worden, evenals bij de in paragraaf uitgelegde netto contante waarde, aannames gedaan over de omvang en timing van de toekomstige kasstromen. 17

18 2.2 Investeren met onzekerheid In deze paragraaf wordt ingegaan op het effect van onzekerheid bij investeringsbeslissingen. Reeds eerder, in paragraaf 2.1, is aangegeven dat de mogelijkheid om in te spelen op veranderende marktomstandigheden gedurende het project invloed heeft op onzekerheid bij de investeringsbeslissing. In deze paragraaf dient deze mogelijkheid om in te spelen op marktomstandigheden gezien te worden in de vorm van opties. Een optie is een recht, zonder verplichting, om een aandeel in de toekomst te kopen of te verkopen tegen een bepaalde vergoeding. Onderscheidt wordt gemaakt tussen een tweetal typen opties, namelijk: financiële opties en reële opties. De financiële opties zijn onder te verdelen in een tweetal typen opties, namelijk: callopties en putopties. Een calloptie geeft de bezitter het recht om een aandeel tegen een van te voren vastgestelde prijs te kopen. Een putopties geeft de bezitter het recht een aandeel te verkopen tegen een van te voren vastgestelde prijs. De callopties en putopties zijn elk onder te verdelen in een tweetal typeringen, namelijk: Europese opties en Amerikaanse opties. Een Europese optie kan alleen uitgevoerd worden op de vervaldatum, terwijl een Amerikaanse optie gedurende de gehele looptijd van de optie uitgeoefend kan worden. In wezen is de waarde van de Amerikaanse calloptie gelijk aan de waarde van een Europese calloptie, wanneer het gaat om een aandeel welke geen dividend uitkeert. Normaliter is een Amerikaanse optie meer waard dan een Europese optie aangezien het bij een Amerikaanse optie mogelijk is zelf het optimale uitoefenmoment te bepalen. Een bepalende rol in de optietheorie is de optiepremie, welke een bedrag is wat de optiebezitter betaald aan de optieschrijver (Antikarov & Copeland, 2001). Aan de hand van onderstaand voorbeeld wordt de werking van een calloptie inzichtelijk gemaakt. De uitoefenprijs (X) van een calloptie is 50, drie maanden tot de vervaldatum (T) en op moment nul is de prijs van het aandeel 45 (S 0 =45). Als de aandelenkoers stijgt tot 48 (ST) aan het einde van de 3 maanden periode, dan is de calloptie 'out of the money', omdat = - 2. De calloptie zal niet uitgeoefend worden, waarmee zijn waarde (C) 0 is. Veronderstel de situatie dat de aandelenkoers stijgt van 45 naar 52 (ST) aan het eind van de drie maanden. De calloptie is nu in the money, omdat = 2. De calloptie zal uitgeoefend worden en de optiewaarde (C) is 2. Echter, de netto winst voor de optiebezitter is niet 2 in de veronderstelde situatie. De optiebezitter heeft een optiepremie moeten betalen op moment nul. Gesteld dat de optiepremie 1 is, blijft een winst voor de optiehouder over van 1 (2 1 = 1) en de winst welke overblijft voor de optieschrijver van de calloptie is -1 (1 (52 50)) (Trigeorgis, 1996). In het voorbeeld is gesproken over de netto winst, ook wel de intrinsieke waarde genoemd. In het onderstaande figuur wordt de intrinsieke waarde van een calloptie inzichtelijk gemaakt. De intrinsieke waarde van de calloptie kan als volgt weergegeven worden: S T X als S T > X in the money 0 als S T = X at the money 0 als S T < X out of the money Figuur 2: Intrinsieke waarde van een calloptie Bron: Bodie et al., 2002 Aan de hand van onderstaand voorbeeld wordt de werking van een putoptie inzichtelijk gemaakt. De uitoefenprijs (X) van een putoptie 50, drie maanden tot de vervaldatum (T) en op moment nul is de prijs van het aandeel 55 (S 0 =55). Als de aandelenkoers zou dalen tot 52 (ST) aan het einde van de 3 maanden periode, dan is de putoptie 'out of the money', omdat = - 2. De putoptie zal niet uitgeoefend worden, waarmee zijn waarde (P) 0 is. Veronderstel dat de aandelenkoers daalt van 52 naar 48 (ST) aan het eind van de drie maanden. De putoptie is nu in the money te noemen, omdat 50 18

19 48 = 2. De putoptie zal uitgeoefend worden en de optiewaarde (P) is 2. Echter is de netto winst voor de optiebezitter niet 2 in de veronderstelde situatie. De optiebezitter heeft een optiepremie moeten betalen op moment nul. Gesteld dat de optiepremie een is, blijft een winst voor de optiebezitter over van 1 (2 1 = 1) en de winst welke overblijft voor de optieschrijver van de putoptie is -1 (1 (50 52)) (Trigeorgis, 1996). In het onderstaande figuur wordt de intrinsieke waarde van een putoptie inzichtelijk gemaakt. De intrinsieke waarde van de calloptie kan als volgt weergegeven worden: S T X als S T > X in the money 0 als S T = X at the money Figuur 3: Intrinsieke waarde van een putoptie Bron: Bodie et al., 2002 Hull (2005) beschrijft een zestal variabelen welke invloed hebben op de waarde van een optie, te weten de koers van het aandeel, de uitoefenprijs, de volatiliteit, de tijd tot aan de expiratiedatum, de hoogte van de risicovrije rente en het uitbetaalde dividend. In de onderstaande figuur zijn de variabelen uiteengezet, waarbij aangegeven is op welke wijze de waarde van een optie fluctueert. In bijlage I zijn de variabelen toegelicht. Tabel 1: Waarde beïnvloeding variabelen Variabele Europese call Europese put Amerikaanse call Amerikaanse put Koers aandeel S Uitoefenprijs Volatiliteit Tijd tot expiratiedatum X σ T ?? + + Risicovrije rente R f Dividend Bron: Hull, 2005 D Alternatieve portefeuille methode Volgens Trigeorgis (1996) is een belangrijk principe bij de waardering van financiële opties het opstellen van een alternatieve portefeuille op de financiële markt. Een alternatieve portefeuille is te creëren door het aankopen van een aantal (N) aandelen in combinatie met een lening tegen de risicovrije rentevoet (B). De uitbetaling van deze genoemde risicovrije lening, in combinatie met de aandelen is exact gelijk aan de uitbetaling van de financiële optie, ongeacht de koers van het aandeel. De kosten van het creëren van deze alternatieve portefeuille bepaalt de waarde van de optie. Deze methode maakt gebruik van de binomiale analyse met één stap. De binomiale analyse geeft de paden weer welke de waarde van de optie kan volgen, voor een gegeven aantal waarderingsmomenten tussen de datum van waardering en de afloopdatum van de optie. Aan de hand van onderstaand voorbeeld wordt op een versimpelde wijze een calloptie gewaardeerd. De prijs van een aandeel is op moment nul 100 (S 0 =100) en over 1 jaar is de prijs van dit aandeel verdubbeld naar 200 (S 1 =200) of gehalveerd naar 50 (S 1 =50). Uitgaan wordt van een calloptie met een looptijd van 1 jaar, een uitoefenprijs van 125 en een risicovrije rente van 8%. De waarde van de calloptie is aan het eind van de looptijd 75 ( ) ofwel 0 (Trigeorgis, 1996). 19

20 De waarde van de optie is gelijk aan de kosten voor het creëren van een alternatieve portefeuille. Volgens Trigeorgis (1996) is deze kosten via vergelijking 10 te berekenen. Waarbij: C = Calloptie N = Aantal aandelen S0 = Prijs van het aandeel van vandaag B = Lening Na één jaar dient de lening (B) inclusief de rente afgelost te worden. Volgens Trigeorgis is de waarde van de portefeuille te berekenen door middel van vergelijking 11 en de waarde van de calloptie door middel van vergelijking 12. Om de vergelijkingen 11 en 12 toe te kunnen passen dient berekend te worden hoeveel (N) aandelen er aangekocht dienen te worden voor de alternatieve portefeuille. Dit wordt de hedge ratio genoemd of de delta van de optie. Door de spreiding in waarde van de optie te delen door de spreiding in waarde van de onderliggende aandelen wordt de delta weergegeven. Tevens is het mogelijk de hoogte van de lening (B), tegen de risicovrije rente van 8%, te bepalen. Vergelijking 13 is te gebruiken om de hedge ratio uit te rekenen. Vergelijking 14 wordt gehanteerd om de hoogte van de lening (B) te bepalen. Beide vergelijkingen zijn toegepast op het voorbeeld van Trigeorgis (1996). Aangezien de waarde van de optie tot stand komt door de opwaartse, up, en neerwaartse, down, koersbeweging van het onderliggende aandeel is de portefeuille risicoloos. Door de kans (p) op een stijging te bereken en deze te vermenigvuldigen met de maximale C + waarde en de kans op een daling (1 - P) te vermenigvuldigen met de minimale waarde C - van de calloptie kan de optiewaarde berekend worden. Om de contante waarde van de calloptie te bepalen, dient de optiewaarde contant gemaakt te worden tegen de risicovrije rente. In vergelijking 15 wordt de kans (P) berekend en in vergelijking 16 de waarde van de calloptie (C). Beide vergelijkingen zijn toegepast op het voorbeeld van Trigeorgis (1996). 20

21 Bij het waarderen van opties met de alternatieve portefeuille methode dient rekening gehouden te worden met een viertal uitgangspunten, volgens Trigeorgis (1996). Ten eerste dienen er geen arbitragemogelijkheden te zijn. Dit houdt in dat de investeerder geen mogelijkheden kan creëren om risicovrij rendement te realiseren. Alleen in de situatie dat zich geen arbitragemogelijkheden voordoen, is de waarde van de optie gelijk aan de kosten van het creëren van een alternatieve portefeuille. Ten tweede dient aangenomen te worden dat de risicovrije rentevoet constant is. De derde uitgangspunt betreft de marktwerking. Aangenomen dient te worden dat sprake is van een markt zonder frictie. Een markt zonder frictie uit zich in een markt waarbij geen transactiekosten zijn en er onbeperkt geleend kan worden. Ten vierde dient er sprake te zijn van een risiconeutrale waardering. In een situatie van een risiconeutrale wereld zijn alle investeerders onverschillig tegenover risico s. Hierdoor is compensatie voor risico niet aan de orde. De verwachte kasstromen dienen contant gemaakt te worden tegen de risicovrije rentevoet. Door middel van de risico neutrale waardering is aan te tonen dat beide portefeuilles uit het voorbeeld van Trigeorgis (1996), ongeacht de koersbeweging van het onderliggende aandeel, dezelfde uitbetaling hebben. In het onderstaande zijn de vergelijkingen 10 tot en met 16 gebruikt om dit aan te tonen. Volgens Trigeorgis (1999) heeft de wijze waarop een investeerder tegen risico s aankijkt geen enkele invloed wanneer gebruik wordt gemaakt van de risiconeutrale waardering. Dit omdat de risicocomponent verwijderd wordt door het creëren van een alternatieve portefeuille. Aangenomen kan worden dat we leven in een risiconeutrale wereld waarin alle rendementen op alle assets gelijk zijn aan de risicovrije rente. Door de up en down te vermenigvuldigen met de risiconeutrale kans (P) ontstaat de verwachte kasstroom. Met andere woorden: dit is een kans, gecorrigeerd voor het risico (S+ en S-) waardoor de verwachtte kasstroom contant gemaakt kan worden tegen de risicovrije rentevoet. De up (u) geeft inzicht in de mate waarmee de beurskoers kan stijgen. De down (d) geeft inzicht in de mogelijke daling van de beurskoers van het aandeel. In vergelijking 17 wordt de up (u) berekend en in vergelijking 18 de down (d). Beide vergelijkingen zijn toegepast op het voorbeeld van Trigeorgis (1996). Doordat verondersteld is dat het verwachtte rendement op het onderliggende aandeel gelijk is aan de risicovrije rentevoet, wordt de risiconeutrale kans berekend door middel van vergelijking 19. Aan de hand van de risiconeutrale kans, wordt de waarde van de optie berekend, gebruik makend van vergelijking Cox, Ross and Rubinstein model Met de Cox, Ross en Rubinstein model uit 1979 is het mogelijk de optiewaarden bij een binomiale analyse met twee of meerdere stappen te berekenen (Cox et al, 1979). De methodiek voor het 21

22 berekenen van de optiewaarden bij een binomiale analyse met meerdere stappen is gelijk aan de methodiek van de alternatieve portefeuille model, uitgebreid met een extra stap. Binnen het Cox, Ross en Rubinstein model is de berekening voor een Europese optie hetzelfde als voor een Amerikaanse optie. Alleen bij een Amerikaanse optie dient de waarde op elk knooppunt te worden gecontroleerd voor een mogelijke vervroegde uitoefening van de optie, indien het onderliggende aandelen dividend betaald en de calloptie at the money of in the money is. Aan de hand van een voorbeeld wordt de optiewaarde berekend van een calloptie. De prijs van een aandeel is op moment nul 20 (S 0 =20), de opwaartse en neerwaartse beurskoersbeweging van het onderliggende aandeel is 10% per stap in de binomiale analyse, elke stap is drie maanden (T = 0,25), de uitoefenprijs van het aandeel is 21 en de risicovrije rente is 12% per jaar. Door gebruik te maken van de vergelijkingen 17 en 18 is te bepalen dat de up (u) 1,1 is (20 * (1 + 10%)) / 20) en de down (d) 0,9 is (20 * (1 10%) / 20). De waarde van de calloptie is op elk knooppunt uit te rekenen door de waarde van de calloptie te nemen en de uitoefenprijs in mindering te brengen. In het meest positieve pad van de binomiale analyse is de waarde 3,2 (24,2 21). Bij de overige twee paden is de koers van het aandeel lager dan de uitoefenprijs waardoor de calloptie niet uitgeoefend zal worden en de waarde nul is. In figuur 4 wordt getoond hoe een binomiale analyse met meerdere stappen is opgebouwd, in het rechter gedeelte van het figuur worden de resultaten getoond uit het gestelde voorbeeld. Figuur 4: Binomiale analyse met meerdere stappen Bron: Hull, 2005 Volgens Hull (2005) is het mogelijk de waarde van de calloptie op t = 1 te berekenen door middel van de vergelijkingen 20 en 21. Vergelijking 20 berekend de risiconeutrale kans voor het gestelde voorbeeld. Vergelijking 21 berekend op basis van deze risiconeutrale kans de waarde van de calloptie op t=1 voor het gestelde voorbeeld. Om de optiewaarde uit te rekenen op T=0 dient dezelfde procedure gehanteerd te worden. Dit resulteert in een optiewaarde van 1,2823. Aangezien de opwaartse en neerwaartse koersbeweging van het aandeel gelijk is, is de risiconeutrale kans ook gelijk Black en Scholes model Het Black en Scholes model is te gebruiken voor het berekenen van de optiewaarde bij meerdere stappen (Black & Scholes, 1973). Het verschil tussen het Black en Scholes model en het Cox, Ross and Rubinstein model is dat bij het Black en Scholes model het niet noodzakelijk is alle substappen uit te rekenen alvorens te komen tot de optiewaarde bij de laatste stap. De vergelijkingen voor het Black en Scholes model zijn 22 tot en met

23 Waarbij: C = Huidige waarde van de optie S0 = Huidige koers van het aandeel X = Uitoefenprijs e = Basisgetal bij een natuurlijk logaritme r = Risicovrije rente, uitgaande van een continue kasstroom T = Tijd tot aan de expiratiedatum van de optie Ln = Natuurlijk logaritme = Volatiliteit, standaard deviatie van een aandeel N(x) = De cumulatieve distributie van een normaal verdeelde variabele met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1 Wanneer het Black en Scholes model geïnterpreteerd wordt in de termen van de alternatieve portefeuille methode, de N (D1) en N (-D1) staan voor de optie Delta ( ) of hedge positie (N). De term N (d2) of N (-D2) geeft de kans dat de optie zal worden uitgeoefend op de vervaldatum. Deze term vermenigvuldigd met de contante waarde van de uitoefenprijs (Xe-r f t) staat voor het bedrag dat moet worden geleend (B) om de optie na te bootsen. De vergelijkingen van het Black en Scholes model zijn alleen werkzaam, volgens Hull (2005), bij de volgende veronderstellingen: 1. Alle effecten zijn perfect deelbaar; 2. Er zijn geen risicoloze arbitragemogelijkheden; 3. Er zijn geen transactiekosten of belastingen; 4. Effectenhandel is continu; 5. Beleggers kunnen lenen of uitlenen tegen dezelfde risicovrije rentevoet; 6. Aandelenkoersen bewegen zich lognormaal conform de principes van een random walk, waarbij het verwachte rendement en de volatiliteit constant worden verondersteld; 7. Er zijn geen dividenden op de aandelen gedurende de looptijd van de optie; 8. De korttermijn risicovrije rentevoet constant is Reële opties De in paragraaf besproken netto contante waarde is statistisch en kenmerkt zich door een normale verdeling met een gemiddelde. De netto contante waarde methode houdt weinig tot geen rekening houdt met flexibiliteit van het management om processen bij te sturen. Wanneer flexibiliteit van het management om processen bij te sturen toegepast wordt, kan het neerwaartse risico beperkt worden. Het gevolg hiervan is dat er geen sprake meer is van een normale verdeling. Het actieve management zal zich uiten in een asymmetrische verdeling met een hoger gemiddelde. De verwachte contante waarde volgens de statistische netto contante waarde methode verhoogt met de optiepremie geeft het gemiddelde. Te stellen is dat de reële optietheorie de investeringsbeslissing verbeterd door rekening te houden met flexibiliteit. Trigeorgis (1996) heeft het bovenstaande als volgt gevisualiseerd. 23

24 Optie premie Figuur 5: Optiepremie Bron: Trigeorgis, 1996 In situaties met een grote mate van onzekerheid met betrekking tot de toekomstige kasstromen en waarbij het management de mogelijkheid heeft om flexibel op deze onzekerheden te reageren, is de reële optietheorie een geschikte methodiek volgens Trigeorgis (1996). Het inschatten van de hoogte van de toekomstige kasstromen en de mogelijkheid om een investeringsbeslissing wel of niet te nemen of om bij te sturen gedurende het proces zijn uitingen van de reële optietheorie. De reële optietheorie is als optimalisatiemethode geschikt in situaties waarbij de netto contante waarde van een vastgoedproject rond de 0 ligt. Bij investeringsbeslissingen voor vastgoedprojecten met een netto contante waarde van rond de 0 is het niet eenduidig of een investeringsbeslissing genomen dient te worden. In het onderstaande figuur zijn de toepassingsmogelijkheden voor de reële optietheorie weergegeven. Vermogen om te reageren Laag Hoog Ruimte voor flexibiliteit Kans op verkrijgen van nieuwe informatie Waarde van flexibiliteit is het hoogst bij: Laag Onzekerheid Hoog 1. Hoge onzekerheid over de toekomst Gematigde flexibiliteitswaarde Lage flexibiliteitswaarde Hoge flexibiliteitswaarde Gematigde flexibiliteitswaarde In ieder scenario is de flexibiliteitswaarde het hoogst wanneer de projectwaarde zonder flexibiliteit dicht bij nul ligt Hoge kans om te zijner tijd nieuwe informatie te ontvangen Veel managementruimte voor flexibiliteit Geeft management de kans om adequaat te reageren op nieuwe informatie Als een project niet duidelijk goed of slecht is, wordt flexibilitiet om van koers te veranderen eerder benut en heeft dus meer waarde = 4. Onder deze omstandigheden is het verschil in waarde tussen optiewaardering en andere beslismethoden aanzienlijk + NCW zonder flexibiliteit dicht bij nul Figuur 6: Toepassingsmogelijkheden reële opties Bron: Copeland et al., 2005 Reële opties zijn in te delen in een aantal typeringen, naar de aard van de flexibiliteit in het management welke zij teweeg brengen. Trigeorgis (1996) heeft deze onderscheiding inzichtelijk gemaakt door een overzicht op te stellen van de verschillende typeringen opties naar categorie, type en de mate van flexibiliteit in het management. 24

25 Tabel 2: Toepassingsmogelijkheden reële opties Categorie Type Flexibiliteit Callopties Optie tot uitstel Mogelijkheid tot uitstel van een project Optie tot uitbreiding Optie om de omvang van een project te vergroten Optie tot expansie Optie om het aantal activiteiten te vergroten Optie tot verlenging Optie tot verlenging van de levensduur van een actief of een contract Putoptie Optie tot afzien Optie om uit het project te stappen Optie tot vastlegging Optie om de omvang vast te leggen Optie tot inkorten Optie om de levensduur van een actief of een contract in te korten Optie tot inkrimpen Optie om het aantal activiteiten te verkleinen Bron: Trigeorgis, 1999 De waarde van een reële optie wordt beïnvloed door een zestal variabelen, welke overeenkomsten vertonen met de variabelen van de financiële opties. De variabelen zijn weergegeven in tabel 3 en nader toegelicht in bijlage I. Tabel 3: Variabelen Financiële optie Variabelen Reële optie Aandelenkoers S NCW project Uitoefenkoers X Uitoefenprijs Looptijd T Looptijd Risicovrije voet Rf Risicovrije rente Variantie s 2 Projectrisico Dividend D Project verlies Bron: Trigeorgis, 1999 De bovenstaande variabelen zijn door Koller et al. (2005) gevisualiseerd in het onderstaande figuur. Figuur 7: Flexibiliteit versus waarde opties Bron: Koller et al, 2005 Bij het waarderen van reële opties worden dezelfde waarderingsmethodieken gebruikt als bij het waarderen van financiële opties. Aan de hand van een eenvoudig voorbeeld van Antikarov & 25

26 Copeland et al. (2005), waarbij eerst de netto contante waarde wordt berekend, wordt de theoretische werking en de verschillen tussen de binomiale analyse en de reële optie analyse inzichtelijk gemaakt. Veronderstel dat een ontwikkelaar een optie tot uitstel heeft met een waarde (C 0 ). De ontwikkelaar heeft het recht, en niet de verplichting, om een vastgoedproject te beginnen in 1 jaar voor een vastgestelde prijs. Het vastgoedproject heeft een zekere kosten van 115 miljoen aan het eind van jaar 1. De totale waarde van het vastgoedproject is met 50% waarschijnlijkheid (q) 170 miljoen en met 50% waarschijnlijkheid (1-q) 65 miljoen. In dit voorbeeld is voor de eenvoud geen bouwtijd meegenomen, risico s zitten in de kasstromen van de projectwaarde en is de risicovrije rentevoet 10% Binomiale analyse Gebruik makend van de binomiale analyse wordt de waarde van het vastgoedproject op een andere manier berekend. Om gebruik te maken van de mogelijkheid om flexibiliteit toe te passen in het management van het project wordt gewacht tot het einde van de optieperiode met het beginnen met bouwen. De ontwikkelaar heeft de mogelijkheid een keuze te maken of het gunstig is te bouwen, gekeken naar de dan geldende marktomstandigheden. In het onderstaande is een berekening weergegeven voor het gestelde voorbeeld. Te zien is dat op moment 1 (t=1), bij een 50% waarschijnlijkheid (q), de projectwaarde voor de up (S u ) 55 is en voor de down (S d ) -50. Aan de rechterzijde is weergegeven dat een negatieve projectwaarde gelijk is aan nul. Projectwaarde Binomiale analyse NCW NCW De netto contante waarde is te berekenen door de risico gecorrigeerde rentevoet, berekend in bijlage II, te hanteren van 17,5%. Netto Contante waarde NCW Waarde optie tot uitstel Het voorbeeldproject heeft een netto contante waarde van -4,55 miljoen volgens de berekening in bijlage II. De netto contante waarde van het voorbeeldproject aan de hand van de binomiale analyse is 23,40 miljoen. De optiewaarde in het gestelde voorbeeld is 27,95 miljoen. Bij gebruik van de binomiale analyse in het gestelde voorbeeld is de risico gecorrigeerde disconteringsvoet van 17,5% geschikt voor de 50% waarschijnlijkheid, op een ontvangst van een netto kasstroom van 55 miljoen of - 50 miljoen, terwijl de netto kasstromen van de optie tot uitstel 55 miljoen of 0 miljoen zijn. Om op een juiste manier de waarde van de optie tot uitstel de bepalen dient de alternatieve portefeuille methode gehanteerd dient te worden Reële optie analyse Aan de hand van de reële optie analyse wordt de optiewaarde voor het voorbeeld berekend. De alternatieve portefeuille moet opgebouwd worden door een aantal (N) aandelen (tegen de prijs van 20 per aandeel, berekend in bijlage II) en een geleend bedrag (B) tegen de risicovrije rente. De uitbetaling van de alternatieve portefeuille dient gelijk te zijn aan de uitbetaling van de optie tot uitstel. De optie tot uitstel is een calloptie op de netto contante waarde van het project. 26

27 Alternatieve portefeuille Netto contante waarde NCW Uit de berekening via de netto contante waarde methode in bijlage II blijkt dat de waarde voor de up 34 is en voor de down 13 is. De rente voor het geleende geld (B) is 10%.. In het onderstaande wordt, gebruik makend van de vergelijkingen 13 en 14, het aantal (N) aandelen, de delta en de hoogte van de lening (B) berekend. Tevens wordt de optiewaarde voor het gestelde voorbeeld van Antikarov & Copeland et al. (2005) berekend. (N) en (B) Waarde optie tot uitstel Het voorbeeldproject heeft een netto contante waarde van -4,55 miljoen volgens de berekening in bijlage II. De netto contante waarde van het voorbeeldproject aan de hand van de reële optie analyse 21,45 miljoen. De optiewaarde in het gestelde voorbeeld is 26,00 miljoen. In het voorbeeld is aangetoond dat de reële optie analyse qua toepassing identiek is aan de binomiale analyse. Het belangrijkste verschil is dat de reële optie analyse de reële optie waardeert in de risiconeutrale wereld door het opstellen van een alternatieve portefeuille, terwijl de binomiale analyse de reële optie gewaardeerd heeft in de reële wereld, met behulp van een risicogecorrigeerde disconteringsvoet. Bij de binomiale analyse wordt daarbij de fout gemaakt dat gebruik wordt gemaakt van een enkele (of constante) risicogecorrigeerde disconteringsvoet. De optiewaarden voor het gestelde voorbeeld waren enerzijds 23,4 miljoen bij de binomiale analyse en 21,45 miljoen bij gebruik van de reële optie analyse. De binomiale analyse zou dezelfde uitkomst gegeven hebben wanneer de juiste risicogecorrigeerde disconteringsvoet toegepast was op de uit het vastgoedproject voortvloeiende kasstromen. Het is alleen mogelijk de juiste risicogecorrigeerde disconteringsvoet te verkrijgen nadat de waarde van de reële optie bekend is. 2.3 Gevoeligheid variabelen In de rekenmethoden, benoemd in paragraaf 2.1 en 2.2, wordt gebruik gemaakt van variabelen om de optiewaarde te berekenen. De waarden van de variabelen zijn gericht op de toekomst en daardoor onzeker. Om in de praktijk uitspraken te kunnen doen over mogelijk veranderende variabelen, en de invloed daarvan op de optiewaarden, wordt gebruik gemaakt van de gevoeligheidsanalyse en de Monte Carlo simulatie Gevoeligheidsanalyse De gevoeligheidsanalyse is een methode om de invloed van een wijzigende variabelen op de optiewaarde te bepalen. Door voor een enkele variabele meerdere waarden in te vullen, worden 27