Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen met DERIVE of de TI-89/92

Transcriptie

1 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen et DERIVE of de TI-89/9 Leon Lenders, Bree Gewoonlijk begint het hoofdstuk "Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen" et het opstellen van enkele stelsels, uitgaande van nogal eenvoudig gestelde probleepjes en vervolgens wordt dan zeer veel tijd besteed aan het oplossen van stelsels (et vergelijkingen en n onbekenden) en aan bespreken van het aantal oplossingen. Tenslotte worden dan stelsels et paraeters besproken. In de lespraktijk is het dan gewoonlijk zo dat er slechts enkele lesuren worden besteed aan het opstellen van stelsels, vervolgens worden er zeer vele uren uitgetrokken voor het aanleren van de ethode van Gauss-Jordan voor het oplossen van deze stelsels en worden nog eer uren besteed aan het aken van oefeningen, waarbij dan de spilethode gebruikt wordt o telfouten te verijden. In werkelijkheid is het natuurlijk zo dat stelsels worden gebruikt o bepaalde concrete probleen uit de praktijk op te lossen en dat de belangrijkste en tevens de oeilijkste stap bij het gebruik van stelsels neerkot op het opstellen van het stelsel. Het oplossen ervan kot in feite slechts neer op een bepaalde techniek, die veel sneller en zonder fouten kan uitgewerkt worden door een rekentoestel of een coputer. De belangrijkheid van de verschillende onderdelen kot dus heleaal niet overeen et de tijd en de inspanning die aan deze onderdelen wordt besteed. Na een aantal voorbeelden in verband et het bespreken van stelsels et paraeters proberen de leerlingen dan ook enkele besprekingen te aken, aar ijn ervaring is daarbij altijd geweest dat slechts een zeer kleine inderheid erin slaagt o ook aar één oefening correct tot op het einde af te werken, ook al zijn de oefeningen zo opgesteld dat de oplossing "goed uitkot". De leerlingen oeten naelijk verschillende, weliswaar eenvoudige, bewerkingen et veelteren uitvoeren, aar de kleinste isstap (een foute coëfficiënt, tekenfout,.) heeft voor gevolg dat er onhandelbare veelteren ontstaan die onogelijk nog kunnen leiden tot een of ander resultaat. Van het eigenlijk bespreken van het aantal oplossingen in functie van de paraater kot dus zelden nog iets in huis. Voor de leerlingen is dit hoofdstuk dan ook dikwijls het eest frustrerende en saaie onderdeel uit hun wiskunde-onderwijs. Indien bij het gebruik van de ethode van Gauss-Jordan, zowel voor het oplossen en als voor het bespreken van stelsels, gebruik wordt geaakt van DERIVE of van de TI-9 (of een ander dergelijk rekenstoestel), wordt dit hoofdstuk echter een zeer zinvol en leerrijk onderdeel voor de leerlingen. Nu kan het ook niet de bedoeling zijn o et één instructie ("row_reduce" of "rref") de oplossing te voorschijn te laten koen, zonder dat de leerlingen nog iets te zien krijgen van de gebruikte ethode. Met enkele voorgeprograeerde instructies kan en et zowel DERIVE als de TI-9 tot een oplossing koen waarbij alle stappen van de ethode van Gauss-Jorean oeten uitgevoerd worden, aar waarbij het rekenwerk wordt overgelaten aan de coputer, zodat er op dit vlak geen fouten eer worden geaakt. De kansen op het verkrijgen van een zinnige oplossing stijgen hierdoor zeer aanzienlijk. De leerlingen kunnen de verkregen oplossing van hun problee op een zinvolle anier evalueren en koen nu eindelijk eens tot een afgewerkte bespreking van een stelsel et paraeters. Hieronder volgen de instructies die de belangrijkste rij-operaties uitvoeren. Ze kunnen ingegeven worden in een DERIVE-docuent en als bijvoorbeeld "elrijop.th" worden gesaved (zie "INTRODUCTION TO DERIVE FOR WINDOWS", chapter 9, Prograing by defining). Voor de TI-9 kunnen ze als "Gebruikersgedefinieerde functies" worden ingegeven en blijven bruikbaar tot ze gewist worden (zie HANDBOEK TI-9, hoofdstuk, Extra basisscher-onderwerpen, p.3). De DERIVE-functies : WiSsel de twee rijen i en j : WS(a, i, j ) := VECTOR ( IF ( r = i, a j, IF ( r = j, a i, a r )), r, DIMENSION(a)) VerMenigvuldig de i-de rij et p : VM(a, i, p) := VECTOR ( IF ( r = i, p.a i, a r ), r, DIMENSION(a))

2 DeeL de i-de rij door p : DL(a, i, p) := VECTOR ( IF ( r = i, /p.a i, a r ), r, DIMENSION(a)) Tel q-aal de j-de rij Op bij de i-de rij : TO(a, i, j, q) := VECTOR ( IF ( r = i, a i q.a j, a r ), r, DIMENSION(a)) Rui een eleent Op in de i-de rij et behulp van de spil in de j-de rij door q-aal de j-de rij af te trekken van p-aal de i-de rij : RO(a, i, p, j, q) := VECTOR ( IF ( r = i, p.a i - q.a j, a r ), r, DIMENSION(a)) Na het inlezen van deze instructies (et "Open elrijop.th") wordt in hetzelfde docuent op het volgende "labelnuer" et "Author atrix" de aangevulde coëfficiëntenatrix van het stelsel ingegeven. Op de volgende nuers worden dan et "Author expression" de gewenste instructies et het openend haakje ingetypt. Met " F3 " kan de atrix van de vorige regel gekopieerd worden in de instructie. Vervolgens geeft en de rijnuers en de eventuele factoren voor de betreffende rij-operatie in en sluit af et het haakje. Met een druk op "Siplify" ( of Alt-S) wordt de rijoperatie uitgevoerd. Indien en op "OK" of "Enter" drukt krijgt en eerst nog een kopij van de bewerking zelf. Daarna oet en deze bewerking uitvoeren et "Siplify". Indien de atrix waarop de rij-operatie oet uitgevoerd worden, "gearkeerd" is, typt en het volgende in o bijvoorbeeld bij de derde rij, 5-aal de tweede rij op te tellen : to ( [F3], 3,, 5 ). Bij het bespreken van stelsels et paraeters kan coentaar zoals de voorwaarden (bijvoorbeeld " ") ingegeven worden onder labelnuers. Het vervangen van een paraeter door een waarde kan gebeuren et "Substitute for variables" (knop "SUB" ). De naen (of de afkortingen) van de instructies en de volgorde van invoeren van de rijnuers en factoren kan en natuurlijk naar willekeur wijzigen in de geprograeerde instructies. Men oet er enkel voor zorgen dat de volgorde bij het gebruik van de instructies dezelfde is als bij het ingeven ervan. Het gedeelte achter ":= VECTOR ( " oet ongewijzigd blijven. Voor de TI-9 kunnen de functies het geakkelijkst geprograeerd worden et de "Progra Editor". Gebruik daarvoor in het APPS-enu het nuer 7:Progra Editor. Kies "3:New" en vervolgens "Type:tion". Kies een folder (bijvoorbeeld "ain"), geef als "Variable" de gewenste naa van de instructie (bijvoorbeeld "ws") en "Enter". U krijgt het scher voor het ingeven van een nieuwe functie et volgende inhoud : :ws() : : Vul dit scher nu aan tot het volgende : :ws(aa,ii,jj) :rowswap(aa,ii,jj) Vanaf nu de functie "ws" bruikbaar in het hoofdscher tot ze gewist wordt. Op dezelfde anier aakt en de andere functies: :v(aa,ii,pp)

3 :Row(pp,aa,ii) :dl(aa,ii,pp) :Row(/pp,aa,ii) :to(aa,ii,jj,qq) :RowAdd(qq,aa,jj,ii) :ro(aa,ii,pp,jj,qq) :RowAdd(-qq,Row(pp,aa,ii),jj,ii) Men typt bijvoorbeeld het volgende in de invoerregel o bij de derde rij, 5-aal de tweede rij op te tellen : to ( [*], 3,, 5 ) et [*] = autoatisch plakken van de te bewerken atrix in de "history area" naar de invoerregel. Ook hier kan de naa van de functie en de volgorde van de rijnuers en factoren naar willekeur veranderd worden in de functienaa. In de instructies tussen "Func" en "EndFunc" oet de volgorde ongewijzigd blijven. Hieronder volgt een afdruk van de scherinhoud in DERIVE voor de bespreking van het stelsel x y z = x y z = x y z= #: "Eleentaire rij-operaties - bespreken van stelsels et paraeters" #: WS(a, i, j ) := VECTOR ( IF ( r = i, a j, IF ( r = j, a i, a r )), r, DIMENSION(a)) #3: VM(a, i, p) := VECTOR ( IF ( r = i, p.a i, a r ), r, DIMENSION(a)) #4: DL(a, i, p) := VECTOR ( IF ( r = i, /p.a i, a r ), r, DIMENSION(a)) #5: TO(a, i, j, q) := VECTOR ( IF ( r = i, a i q.a j, a r ), r, DIMENSION(a)) #6: RO(a, i, p, j, q) := VECTOR ( IF ( r = i, p.a i - q.a j, a r ), r, DIMENSION(a)) #7: #8:

4 #9: #: ³ #: " ) " #: ³ #3: #4: #5:. #6: " ) " a #7:. #8:. #9:. #: "indien en - is er oplossing, afhankelijk van (zie #9)" #: " ) " = b #: #3: "indien = - is het stelsel vals" #4: " ) " =

5 #5: #6: "indien = heeft het stelsel een hoofdonbekende en twee nevenonbekenden" #7: "Opl(S) = {( - r - s, r, s )} Hierbij is na iedere invoer de bewerking oniddellijk uitgevoerd et "Siplify". Indien en op "OK" of "Enter" drukt, wordt telkens eerst de bewerking op het scher afgedrukt. De leerling heeft eerst het docuent "elrijop.th" ingelezen dat de regels van tot en et 6 bevat. Op nuer 7 geeft hij et de knop "Author atrix" de atrix in. Vanaf regel 8 geeft hij et de knop "Author expression" de rij-operaties in. Deze zijn in dit voorbeeld achtereenvolgens : #8 : ws([f3],,3) #9 : ro([f3],,,,) # : ro([f3],3,,,) # : coentaar : # wordt gearkeerd # : dl([f3],,-) #3 : dl([f3],3,-) #4 : ro([f3],,,,) #5 : ro([f3],3,,,,) #6 : coentaar : - #5 wordt gearkeerd #7 : ro([f3],,,3,) #8 : ro([f3],,,3,-) #9 : [F3]/() # : coentaar : (oplossing) # : coentaar : =- #5 wordt gearkeerd # : SUB-knop et "variables:" en "substitution:-" #3 : coentaar : (oplossing) #4 : coentaar : = # wordt gearkeerd #5 : SUB-knop et "variables:" en "substitution:" #6 : coentaar : (oplossing) #7 : coentaar : (oplossing) Het gehele docuent kan dan door de leerling gesaved worden op diskette als bijvoorbeeld "p78vb.th". De ogelijkheid bestaat ook o de leerlingen oefeningen als huistaak te laten aken, die ze dan op diskette of uitgeprint op papier kunnen afgeven. Voor de TI-9 wordt eerst de coëfficiëntenatrix ingegeven, rechtstreeks in de invoerregel als ([[.,.,.][.,.,.][.,.,.]]), of et behulp van het APPS-enu:6:Matrix Editor. Bij het uitvoeren van de instructies wordt [F3] hier vervangen door het autoatisch plakken van de gearkeerde atrix in de "history area" naar de invoerregel. Het substitueren van door bijvoorbeeld - gebeurt door "- STO " en het opnieuw plakken in de invoerregel van de atrix waarin oet gesubstitueerd worden. Indien het prograadeel "Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen" wordt gezien et behulp van DERIVE of de TI-9 (of andere dergelijke software of rekentoestellen) zullen enerzijds de leerlingen eer otivatie hebben o deze leerstof te verwerken en anderzijds kan heel wat eer tijd besteed worden aan het opstellen van een stelsel uit een gegeven problee, wat tenslotte de essentie is van dit leerstofonderdeel.