Meergraadsvergelijkingen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Meergraadsvergelijkingen"

Transcriptie

1 Meergraadsvergelijkingen Meergraads vergelijkingen In dit hoofdstuk gaan we ons bezig houden met tweede- en hogeregraads vergelijkingen. In een tweedegraads vergelijking komt de onbekende x tot de tweede macht voor. Een voorbeeld van een tweedegraads vergelijking is x 2-3 x + 2 = 0. We noemen dit ook wel een kwadratische vergelijking of een vierkantsvergelijking. Een tweedegraads vergelijking heeft twee oplossingen die we aanduiden met x 1 en x 2. Deze oplossingen berekenen we met de abc-formules. Bij deze formules gaan we uit van de algemene gedaante van zo n vierkantsvergelijking: a x 2 + b x + c = 0 Voor de oplossing x 1 geldt: x 1 = -b + ( b 2-4 a c ) 2 a Voor de oplossing x 2 geldt: x 2 = -b - ( b 2-4 a c ) 2 a We zien dat er twee abc-formules bestaan, één om de x 1 te berekenen en één om de x 2 te berekenen. Meestal komen we de abc-formules gecombineerd in de volgende vorm tegen: x 1,2 = -b ± ( b 2-4 a c ) 2 a Als voorbeeld lossen we de tweedegraads vergelijking x 2-3 x + 2 = 0 op. Voordat we de abc-formules kunnen invullen moeten we a, b en c bepalen. a is het getal dat bij de x 2 staat. Omdat x 2 eigenlijk 1 x 2 betekent, geldt a = 1. b is het getal dat bij de x staat dus b = -3. c is het losse getal in de vergelijking dus c = 2. Voor de oplossing x 1 geldt: -b + ( b 2-4 a c ) -(-3) + ( (-3) ) x 1 = = = = = = 2 2 a Voor de oplossing x 2 geldt: -b - ( b 2-4 a c ) -(-3) - ( (-3) ) x 2 = = = = = = 1 2 a De vergelijking x 2-3 x + 2 = 0 heeft dus twee oplossingen: 2 en 1. Blz 1 van 12

2 Dat betekent dat de vergelijking moet kloppen voor x = 2 en voor x = 1: We controleren voor x = 2: = = 0. Klopt! Voor x = 1 vinden we: = = 0. Klopt! Het grote voordeel van het oplossen van vergelijkingen is dat we altijd onze oplossing ter controle kunnen invullen. We weten dus altijd of onze oplossing goed is. Nog een voorbeeld: we willen de vergelijking 2 x 2 8 = 0 oplossen. a is het getal dat bij de x 2 staat dus a = 2. b is het getal dat bij de x staat. We missen hier echter een term met x. We kunnen ook zeggen dat er 0 x staat dus b = 0. c is het losse getal in de vergelijking dus c = -8. Voor de oplossing x 1 geldt: -b + ( b 2-4 a c ) 0 + ( ) x 1 = = = = = 2 2 a Voor de oplossing x 2 geldt: -b - ( b 2-4 a c ) 0 - ( ) x 2 = = = = = -2 2 a Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 1 a) x 2 4 x + 3 = 0 b) x 2 5 x + 4 = 0 c) w 2 w 2 = 0 d) y 2 2 y 8 = 0 e) t 2 3 t 4 = 0 f) p p 4 = 0 2 a) x 2 4 x + 2 = 0 b) x 2 5 x + 3 = 0 c) w 2 w 3 = 0 d) y 2 2 y 7 = 0 e) t 2 3 t 5 = 0 f) p p 5 = 0 3 a) 2 x 2 5 x + 2 = 0 b) -x 2 5 x + 3 = 0 c) 3 w 2 w 3 = 0 d) 2 y 2 2 y 7 = 0 e) 2 t 2 3 t 5 = 0 f) -2 p p + 5 = 0 4 a) 2 x 2 2 = 0 b) -x = 0 c) 3 w 2 6 = 0 d) 2 y 2 7 = 0 e) 2 t 2 3 t = 0 f) -2 p p = 0 Soms zijn de beide oplossingen van een vierkantsvergelijking aan elkaar gelijk, voor bijvoorbeeld de vergelijking x 2 2 x + 1 = 0 geldt x 1 = 1 en x 2 = 1. Blz 2 van 12

3 Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 5 a) x 2 4 x + 4 = 0 b) x 2 6 x + 9 = 0 c) w w + 4 = 0 d) y 2 2 y + 1 = 0 e) t 2 + 2,5 t = 1,5625 f) p 2 1,8 p = 0,81 Ook is het mogelijk dat een vierkantsvergelijking geen reële oplossingen heeft. Bijvoorbeeld bij x 2 4 x + 5 = 0. Als we de abc-formules gaan invullen blijkt het gedeelte onder het wortelteken negatief: b 2 4 a c = (-4) = = -4! Vervolgens moeten we hieruit de wortel trekken en dat kunnen we op dit moment nog niet. Totdat we kennis hebben gemaakt met complexe getallen zeggen we dat een dergelijke vierkantsvergelijking geen oplossingen heeft. Los de volgende vierkantsvergelijkingen op, geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 6 a) x 2 3 x + 3 = 0 b) x 2 6 x + 5 = 0 c) w 2 4 w + 2 = 0 d) y 2 2 y + 2 = 0 e) t 2 + 2,5 t + 2 = 0 f) p 2 1,8 p + 0,5 = 0 Een voorbeeld van een derdegraads vergelijking is x 3 6 x x 6 = 0. We noemen dat een derdegraads vergelijking omdat de onbekende x er tot de derde macht in voorkomt. Derdegraads vergelijkingen hebben drie oplossingen. Met de formules van Cardano kunnen we deze drie oplossingen berekenen: x 1 = -b/(3 a) + 3 (-2 b 3 +9 a b c-27*a 2 d + [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3* 3 [2] a). x 2 = -b/(3*a) + (-1+j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d + [4*(-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + (-1-j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ] )/ (3 3 [2] a). x 3 = -b/(3 a) + (-1-j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d + [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a) + (-1+j [3])/2 3 (-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d [4 (-b 2 +3 a c) 3 +(-2 b 3 +9 a b c-27 a 2 d) 2 ]) / (3 3 [2] a). Blz 3 van 12

4 Voor vierdegraads vergelijkingen bestaan ook dergelijke formules om de vier oplossingen te vinden maar deze zijn nog veel omvangrijker. Deze formules zijn niet echt handig om vergelijkingen met de hand op te lossen, wel kunnen we deze in een grafische rekenmachine zoals de TI-83+ onderbrengen of in een computerprogramma zoals DERIVE. Voor de TI-83+ kunnen we het programma POLYSMLT van internet downloaden. Via een link-kabel tussen PC en TI-83+ kunnen we vervolgens dit programma in onze rekenmachine zetten. We kunnen de vergelijking x 3 6 x x 6 = 0 dan als volgt oplossen: De derdegraads vergelijking x 3 6 x x 6 = 0 heeft dus drie oplossingen 1, 2 en 3. Ter controle vullen we voor x het getal 3 in: = = 0, klopt! Onderstaande figuur is het schermbeeld van de symbolische rekenmachine TI Voyage-200: Symbolische rekenmachines hebben alle eigenschappen van grafische rekenmachines, maar kunnen ook algebraïsche bewerkingen uitvoeren zoals exact vergelijkingen oplossen, formules manipuleren, differentiëren en integreren. Met de LOSOP-opdracht kunnen we hier een willekeurige vergelijking oplossen. We voeren de volgende opdracht in: losop(x^3 6x^2 + 11x 6 = 0, x) gevolgd door ENTER. Het resultaat verschijnt op het display: x = 3 of x = 2 of x = 1. Blz 4 van 12

5 Hetzelfde kunnen we ook met het computerprogramma DERIVE: Na het openen van DERIVE typen we op de invoerregel onderaan de volgende uitdrukking, gevolgd door ENTER: Deze regel verschijnt vervolgens boven in het uitvoerscherm. Omdat we deze vergelijking willen oplossen klikken we boven in de werkbalk op het oplosikoon waarna het volgende oplosscherm verschijnt: : Als we tenslotte op het approximate-ikoon ( ) op de werkbalk klikken, verschijnt de oplossing: Na klikken op Oplossen volgt: In het oplosvenster hebben we als oplossingsmethode voor algebraïsch gekozen. Logisch omdat we een derdegraads vergelijking algebraïsch (met formules) kunnen oplossen. Dat zelfde geldt voor een vierdegraads vergelijking. Een vijfde- of hogeregraads vergelijking kan niet algebraïsch worden opgelost dus daar moeten we in DERIVE kiezen voor een numerieke oplosmethode. Als we niet weten of een vergelijking algebraïsch kan worden opgelost kiezen we voor de optie Beide. DERIVE probeert dan de vergelijking eerst algebraïsch op te lossen. Als dat niet lukt wordt een numerieke methode geprobeerd. Blz 5 van 12

6 Op internet kunnen we verder zogenaamde online calculators vinden waarmee we onder andere zo n derdegraads vergelijking kunnen oplossen. Kijk maar eens op Klik vervolgens op de optie CUBIC EQUATIONS (derdegraads vergelijkingen) waarna we het volgende scherm zien: We kunnen hier de waarden voor A, B, C en D invoeren en op ENTER klikken: Blz 6 van 12

7 Los met DERIVE de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drie decimalen na de komma nauwkeurig: 7 a) x 3 + 1,6 x 2 4,05 x 6,3 = 0 b) x 3 4,4 x 2 1,97 x + 14,28 = 0 c) w 3 6,48 w 2 + 3,84 w + 24,32 = 0 d) 2 y 3 35,84 y 2 158,144 y + 68,864 = 0 8 a) x 4 + 0,3 x 3 10,3 x 2 4,8 x + 18 = 0 b) x 4 + 1,2 x 3 7,64 x 2 4,8 x + 14,56 = 0 c) 2 x ,22 x 3 + 9,05 x 2 22,44 x 31,32 = 0 d) - 3 x 4 + 5,73 x ,998 x 2 23,7465 x 66,339 = 0 Bij het volgende voorbeeld gaan we eerst kruislings vermenigvuldigen. Daarna haakjes uitwerken en alles naar de linkerkant van het =teken brengen: 6 t = 3 t 2 t 4 (6 t + 5) (t 4) = 5 (3 t 2) 6 t 2 24 t + 5 t 20 = 15 t 10 6 t 2 24 t + 5 t t + 10 = 0 6 t 2 34 t 10 = 0. Dit is weer een vierkantsvergelijking die we oplossen met de abc-formule. Met a = 6, b = -34 en c = -10 vinden we: t 1 = 5,9469 en t 2 = -0,2803. Ter controle vullen we voor t de waarde 5,9469 in. Er volgt: (6 5, ) (3 5,9469 2) (5) (5,9469 4) = -0, Klopt!! In DERIVE lossen we deze vergelijking als volgt op: Na ENTER zien we in het uitvoervlak: Blz 7 van 12

8 Vervolgens met Oplossen / Uitdrukking / Oplossen volgt: Merk op dat we na Oplossen het resultaat in regel #3 in wortelvorm krijgen. Klikken op het benaderen-ikoon levert de oplossingen in decimale vorm. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in wetenschappelijke notatie met vier cijfers na de komma. 9 2 x 5 x 5 = 3 x u 3 u + 2 = 3 u + 5 u w + 3 w + 2 = 2 w 5 6 We bekijken het volgende vergelijkingenstelsel: 2 x + y = 3 x y = 1 We kunnen dit vergelijkingenstelsel niet met de schoorsteenmethode oplossen. In de tweede vergelijking komt namelijk het product van x en y voor. 2 x + y = 3 y = 3 2 x x y = 1 Uit de eerste vergelijking volgt y = 3 2 x. Blz 8 van 12

9 Als we vervolgens in de tweede vergelijking y vervangen door 3 2 x volgt: x ( 3 2 x ) = 1 3 x 2 x 2 = 1-2 x x 1 = 0. Meergraads vergelijkingen Dit is weer een vierkantsvergelijking die we kunnen oplossen met de abc-formules uit het begin van dit hoofdstuk. Met a = -2, b = 3 en c = -1 volgt x 1 = 0,5 en x 2 = 1. Tenslotte moeten we bij elke x de bijbehorende y berekenen: x 1 = 0,5 y 1 = 3 2 x 1 = 3 2 0,5 = 2. x 2 = 1 y 2 = 3 2 x 2 = =1. Ter controle vullen we x 1 en y 1 in de tweede vergelijking in: 0,5 2 = 1. Klopt!! Vergelijkingenstelsels oplossen in DERIVE doen we als volgt: We klikken op Oplossen / Stelsel: Het aantal staat al op 2 dus we klikken op OK: We zien nu een invulscherm waarin we de twee vergelijkingen kunnen typen. Ga steeds naar het volgende invulvlak met de TAB-toets op je toetsenbord. Blz 9 van 12

10 Na het klikken op Oplossen volgt: Het eindresultaat op regel #3 vinden we weer met het benader-ikoon. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in wetenschappelijke notatie met twee decimalen achter de komma 12 a + 2 b = 7 2 a b = 6 13 v + 3 w = 2 3 v w = r 3 s = 1 r s = 2 Voor het oplossen van het laatste type vergelijkingenstelsels kunnen we natuurlijk ook een programma schrijven in TI-BASIC voor de grafische rekenmachine TI-83: Blz 10 van 12

11 De listing van dit programma MAALPLUS ziet er als volgt uit: Zie ook Links workshop TI-83 Programmeren in TI-BASIC Om een nieuw programma in te typen gaan we met PRGM naar NIEUW. We kiezen optie 1: Maak Nieuw en voeren als programmanaam MAALPLUS in. In de EDIT-mode maken we gebruik van TEST, PRGM en CATALOG om bijzondere tekens en opdrachten in ons programma te importeren, respectievelijk: Blz 11 van 12

12 Antwoorden meergraadsvergelijkingen Meergraads vergelijkingen 1 a) 3,000 ; 1,000 b) 4,000 ; 1,000 c) 2,000 ; -1,000 d) 4,000 ; -2,000 e) 4,000 ; -1,000 f) 1,000 ; -4,000 2 a) 3,414 ; 0,586 b) 4,303 ; 0,697 c) 2,303 ; -1,303 d) 3,828 ; -1,828 e) 4,193 ; -1,193 f) 1,193 ; -4,193 3 a) 2,000 ; 0,500 b) 5,541 ; 0,541 c) 1,180 ; -0,847 d) 2,436 ; -1,436 e) 2,500 ; -1,000 f) 2,500 ; -1,000 4 a) 1,000 ; -1,000 b) 1,732 ; 1,732 c) 1,414 ; -1,414 d) 1,871 ; -1,871 e) 1,500 ; 0,000 f) 1,500 ; 0,000 5 a) 2,000 ; 2,000 b) 3,000 ; 3,000 c) 2,000 ; -2,000 d) 1,000 ; 1,000 e) 1,250 ; -1,250 f) 0,900 ; 0,900 6 a) Geen oplossing b) 5,000 ; 1,000 c) 3,414 ; 0,586 d) Geen oplossing e) Geen oplossing f) 1,457 ; 0,343 7 a) 1,500 ; -2,100 ; 2,000 b) 1,700 ; 2,100 ; 4,000 c) 1,520 ; 4,000 d) 21,520 ; 0,400 ; -4,000 8 a) 1,200 ; -2,000 ; 3,000 ; -2,500 b) 1,400 ; -2,000 ; 2,000 ; -2,600 c) 1,500 ; -2,000 ; -2,610 d) 1,500 ; -2,100 ; 2,000 ; 3, ,5139 ; 6, ,7883 ; 0, ,0344 ; 13, a 1 = 6,0000 en b 1 = 5, of a 2 = 1,0000 en b 2 = 3, v = 1,0000 en w = 3, r 1 = -1,5000 en s 1 = -1,3333 of r 2 = 2,0000 en s 2 = 1,0000 Blz 12 van 12

Vergelijkingenstelsels

Vergelijkingenstelsels Vergelijkingenstelsels We willen de vergelijking van de lijn door de punten (-1, 6) en (3, 8) bepalen. De algemene gedaante van een vergelijking van een rechte lijn luidt: y = a x + b. Omdat het punt (-1,

Nadere informatie

3. Lineaire vergelijkingen

3. Lineaire vergelijkingen 3. Lineaire vergelijkingen Lineaire vergelijkingen De vergelijking 2x = 3 noemen we een eerstegraads- of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads

Nadere informatie

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

Nadere informatie

Een verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek:

Een verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek: Grafieken 2 Een verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek: Als we de functiewaarde voor x = 6 willen bepalen vallen we buiten de grafiek. Wat we wel kunnen doen is de bijbehorende functie

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

Vergelijkingen met wortelvormen

Vergelijkingen met wortelvormen Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen

Nadere informatie

Berekeningen op het basisscherm

Berekeningen op het basisscherm Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met. Je komt op het basisscherm waarop je de cursor ziet knipperen. Berekeningen maak je op het basisscherm. Van een

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

4. Exponentiële vergelijkingen

4. Exponentiële vergelijkingen 4. Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen onderscheiden:

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

( ) 8 ( ) 10. Nearby integers P.G. van de Veen, 19 juli en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want. log 3 = 2010 log 3 > 959

( ) 8 ( ) 10. Nearby integers P.G. van de Veen, 19 juli en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want. log 3 = 2010 log 3 > 959 earby integers P.G. van de Veen, 19 juli 011 Hoeveel opeenvolgende negens heeft ( + 3) 010 achter de komma Wat een vreemde vraag! Zijn dat er dan veel En hoe tel je ze Dit getal is toch veel te groot om

Nadere informatie

Berekeningen op het basisscherm

Berekeningen op het basisscherm Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met [ON]. Je komt op het basisscherm waarop je de cursor ziet knipperen. Berekeningen maak je op het basisscherm.

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.

Nadere informatie

Werken met de rekenmachine

Werken met de rekenmachine Werken met de rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine van de nieuwe generatie met een twee-regelig display zoals de fx-82tl of de afgebeelde fx-82ms. Onze rekenmachine

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin.

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Rekenmachine 1. Rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Onze rekenmachine geeft het resultaat

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

4. Exponentiële vergelijkingen

4. Exponentiële vergelijkingen 4. Exponentiële vergelijkingen Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

De Wetenschappelijke notatie

De Wetenschappelijke notatie De Wetenschappelijke notatie Grote getallen zijn vaak lastig te lezen. Hoeveel is bijvoorbeeld 23000000000000? Eén manier om het lezen te vergemakkelijken is het zetten van puntjes of spaties: 23.000.000.000.000

Nadere informatie

Gebruik CRM rekenmachine (versie 1.0) ExamenTester 2.11

Gebruik CRM rekenmachine (versie 1.0) ExamenTester 2.11 Gebruik CRM rekenmachi ine (versie 1.0) ExamenTester 2..11 ICT helpdesk Telefoon rechtstreeks: 026 352 52 52 e mail: ictexamenhelpdesk@cito.nl Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling Arnhem (2015)

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie

Berekeningen op het basisscherm

Berekeningen op het basisscherm Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met waarop je de cursor ziet knipperen.. Je komt op het basisscherm, Contrast bijstellen Berekeningen maak je op het

Nadere informatie

abcd-formule? Mieke Janssen Master Thesis Project Begeleider: Prof. Dr. F.J. Keune Radboud Universiteit Nijmegen

abcd-formule? Mieke Janssen Master Thesis Project Begeleider: Prof. Dr. F.J. Keune Radboud Universiteit Nijmegen abcd-formule? Mieke Janssen Master Thesis Project Begeleider: Prof. Dr. F.J. Keune Radboud Universiteit Nijmegen Voorwoord Je kent de abc-formule en je weet dat je deze kunt gebruiken om kwadratische

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

Gebruik CRM rekenmachine (versie 1.0) ExamenTester MBO 2.11

Gebruik CRM rekenmachine (versie 1.0) ExamenTester MBO 2.11 Gebruik CRM rekenmachi ExamenTester ine (versie 1.0) MBO 2..11 ICT helpdesk Telefoon rechtstreeks: 026 352 52 52 e mail ICTBB@cito.nl Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling Arnhem (2014) Niets

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Exponentiële vergelijkingen en groei

Exponentiële vergelijkingen en groei Exponentiële vergelijkingen en groei De gelijkheid 10 2 = 100 bevat drie getallen: 10, 2 en 100. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Eerste- en tweedegraadsvergelijkingen Stelsels eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden

Eerste- en tweedegraadsvergelijkingen Stelsels eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden Eerste- en tweedegraadsvergelijkingen Stelsels eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden Opgave: Twee verschillende winkels verkopen beide een artikel A aan 2 800. Door een tijdelijke promotie verlaagt

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

De TI-84 (TI-83) 1 Introductie

De TI-84 (TI-83) 1 Introductie De TI-84 (TI-83) 1 Introductie 1-1 Algemeen De grafische rekenmachine is een rekenmachine waarmee je ook grafieken kunt tekenen. De belangrijkste toetsen die betrekking hebben op grafieken staan op de

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16 Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen

Nadere informatie

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter 1 van 1 Rekenen met de GRM De grafische rekenmachine (voortaan afgekort met GRM) ga je bij hoofdstuk 1 voornamelijk als gewone rekenmachine gebruiken. De onderste zes rijen toetsen zijn vergelijkbaar met

Nadere informatie

= (antwoord )

= (antwoord ) Rekenkunde Nadruk verboden 1 Opgaven 1. 2. 3. 4. = (antwoord 10.) 10 10 10 = (antwoord: 10.) 10 10 = (antwoord: 10.).,,, = (antwoord 15. 10.),,, 5. 7 7 7 7 7 = (antwoord: 7.) 6. 10 10 10 10 10 10 = 7.

Nadere informatie

Basiskennis van machten WISNET-HBO. update juli 2007

Basiskennis van machten WISNET-HBO. update juli 2007 Basiskennis van machten WISNET-HBO update juli 007 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.

0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing. Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Bij deze verstrek ik jullie de afspraken voor de correcte notatie bij het gebruik van de grafische rekenmachine. Verder krijg je een woordenlijst met

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Numerieke benadering van vierkantwortels

Numerieke benadering van vierkantwortels HP Prime Grafische Rekenmachine Numerieke benadering van vierkantwortels Doel: De waarde van een vierkantswortel met een recursieve rij benaderen, het schrijven van een klein programma. Sleutelwoorden:

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde A Formules

Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

Examencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter

Examencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

fx-82es (PLUS) Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) instellingen

fx-82es (PLUS) Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) instellingen Werken met de CASIO fx-82es (PLUS) Deze 'gewone' rekenmachine heeft een natural display. Het intypen en aflezen van bijv breuken, machten, wortels en logaritmen gaat (eindelijk!) op een manier die logisch

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden

2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden 2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a

Nadere informatie

Programma. - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen. hfst 9 rekenen2.

Programma. - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen. hfst 9 rekenen2. Programma - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen 1 priemfactoren Programma - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na

Nadere informatie

Wiskunde vaktaal. WisMon Wistaal. theorie & opgaven. havo/vwo

Wiskunde vaktaal. WisMon Wistaal. theorie & opgaven. havo/vwo Wiskunde vaktaal havo/vwo theorie & opgaven WisMon Wistaal Inhoudsopgave Introductie 7 Antwoorden 39 Legenda 8 Hoofdstuk 1 39 Hoofdstuk 2 41 1 De vraag begrijpen 9 Hoofdstuk 3 43 Hoofdstuk 4 46 Hoofdstuk

Nadere informatie

Ruitjes vertellen de waarheid

Ruitjes vertellen de waarheid Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel. Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Dag van de Wiskunde 003 de en 3 de graad Module 6: Eerste sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Je kunt Derive het best vergelijken met een uitgebreid rekentoestel. Niet enkel numerieke,

Nadere informatie

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten

Kerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk

Nadere informatie

N.C. Keemink

N.C. Keemink 017 018 N.C. Keemink P. Thiel vwo wiskunde B Jouw beste voorbereiding op je examen in 018 vwo wiskunde B Voorwoord Met deze examenbundel kun je je goed voorbereiden op het schoolexamen en het centraal

Nadere informatie

Inleiding goniometrie

Inleiding goniometrie Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

2 Modulus en argument

2 Modulus en argument Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg

Nadere informatie

Stoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )

Stoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan

Nadere informatie

HP Prime toetsenbord. HP Prime Graphing Calculator. Het toetsenbord van de HP-Prime

HP Prime toetsenbord. HP Prime Graphing Calculator. Het toetsenbord van de HP-Prime HP Prime Graphing Calculator HP Prime toetsenbord Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl Het toetsenbord van de HP-Prime Er zijn 47 toetsen met daarbij de cursorbesturing. In deze

Nadere informatie

WISKUNDIGE TAALVAARDIGHEDEN

WISKUNDIGE TAALVAARDIGHEDEN WISKUNDIGE TLVRDIGHEDEN Derde graad 1 Het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen in eenvoudige situaties (zowel mondeling als 1V4 2V3 3V3 (a-b-c) schriftelijk) 2 het begrijpen van figuren, tekeningen,

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

6. Absolute en relatieve celadressering

6. Absolute en relatieve celadressering 6. Absolute en relatieve celadressering In deze module leert u: - Wat absolute en relatieve celadressering is; - De relatieve celadressering toepassen; - De absolute celadressering toepassen; - De absolute

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

5. Functies. In deze module leert u:

5. Functies. In deze module leert u: 5. Functies In deze module leert u: - Wat functies zijn; - Functies uitvoeren; - De verschillende functies van Calc kennen. - Naar een ander werkblad verwijzen. U kunt eenvoudige berekeningen, zoals aftrekken,

Nadere informatie

Gebruik van de TI-83/84 Plus

Gebruik van de TI-83/84 Plus Inhoud Gebruik van de TI-83/84 Plus Hans Bekaert INHOUD... 1 1. BASISBEWERKINGEN... 1 1.1. DE TABEL MET DATA OPSTELLEN... 1 1.2. BEREKENINGEN MAKEN OP BASIS VAN INGEGEVEN DATA... 1 1.3. FORMULES GEBRUIKEN

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie