Interferentie door Elektronen

Transcriptie

1 Interferentie door Elektronen Een bachelorscriptie door Jordy van der Hoorn Onder begeleiding van prof.dr.ir Oosterkap dr. Van Gaans Inleverdatu 15 noveber 2013 Matheatisch Instituut, Universiteit Leiden 1

2 Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 Inleiding 4 3 Het experient en aannaes 5 4 De banen en aantal golven van elektronen De baan van een elektron Het aantal golven van een elektron De horizontale en verticale beginsnelheid elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D) Interferentie Zien we altijd een interferentie patroon? Interferentie-afstand Grootte van het interferentie patroon Grafische weergave Conclusie 24 2

3 1 Voorwoord Na jaar ocht ook ik eindelijk aan ijn bachelorscriptie beginnen. Het Snellius-gebouw werd gedurende een half jaar plotseling een deel van ijn leven. Het was aan ij de taak of ik al die ooie wiskundige theorieën van de afgelopen tijd toe kan passen op een echt wiskundig onderzoek. Maar onderzoek doen is niet zoaar iets. Zo ben ik vele obstakels tegen gekoen en denk je op dit oent werkelijk iets concreets gevonden te hebben, blijkt orgen weer dat je toch iets vergeten bent. Na een operkelijke beginperiode waarin de onderwerpen van de bachelorscriptie werden verdeeld, werd bij ij het onderwerp: Elektronen Interferentie, voor ijn voeten gegooid. Hoewel ik van de 30 onderwerpen dit onderwerp niet in ijn top 3 had geplaatst en dit een Natuurkunde/Wiskundeonderwerp is, heb ik het et beide handen stevig aangepakt. Hoe verder ik kwa, hoe leuker ik het begon te vinden. Gedurdende tijd wordt je naelijk ook steeds nieuwsgieriger naar het resultaat, dat het werken aan je scriptie steeds leuker wordt. Maar o een ooi eindprocuct neer te zetten, oet ten eerste een hoop werk vericht worden aar isschien wel het belangrijkste is dat er hulp geboden wordt door ensen die je willen helpen. Daaro wil ik graag Dhr. Oosterkap bedanken voor alle natuurkundige aspecten van dit onderwerp en Dhr. Van Gaans voor de wiskundige aspecten. Daarbij hebben ze saen de tijd genoen o deze scriptie te lezen, van coentaar te voorzien en te beoordelen. 3

4 2 Inleiding Net als bij licht en water kan er bij elektronen interferentie optreden. Dit kot doordat elektronen behalve een deeltjeskarakter ook een golfkarakter hebben. Op de plaats waar interferentie plaatsvindt, kunnen we de interferentie-afstand berekenen. In deze scriptie is het doel dan ook o op een wiskundige anier de interferenite-afstand te bepalen, die veroorzaakt wordt door elektronen. We zullen dit doen voor het sei-klassieke odel. Met het sei-klassieke odel bedoelen we het odel waarbij twee platen, A en B, tegenover elkaar staan waarbij plaat A twee vertrekplaasten heeft waaruit elektronen kunnen vertrekken et een bepaalde hoeveelheid beginenergie. Odat plaat B aan de overkant positief geladen is en de elektronen negatief geladen zijn, worden de elektronen et een bepaalde kracht naar plaat B toe getrokken. En vanwege het golfkarakter van de elektronen, zal er interferentie plaatsvinden op plaat B. Voor een grafische weergave, zie figuur 1. Figuur 1: Het sei-klassieke odel en het interferentiepatroon op plaat B De vraag is of we y p kunnen bepalen (zie figuur 1). Hiervoor gebruiken we het feit dat we in het sei-klassieke odel de banen van de elektronen kunnen bekijken alsof het geladen deeltjes zijn. Hierdoor kunnen we voor elk willekeurig tijdstip het aantal golven van de baan van een elektron berekenen. Dit zal ons uiteindelijk leiden to de gevraagde interferentie-afstand. 4

5 3 Het experient en aannaes We zullen beginnen et een opstelling van een odel voor het experient te geven. Verder zullen er gedurende dit onderzoek vele variabelen aan bod koen. Daaro zijn in figuur 2 alle variabelen weergegeven. Ook zijn hier alle aannaes te vinden die er tijdens dit onderzoek gebruikt zijn. Variabelen Figuur 2: Weergave van de variabelen in het experient A = Plaat A. B = Plaat B. F = Het elektronische veld tussen de platen A en B. L = De afstand tussen de platen A en B. D = De afstand tussen de twee vertrekpunten van de elektronen. y p = Het punt waar het elektron op plaat B terechtkot. Aannaes De kinetische energie is voor alle elektronen gelijk op het vertrekpunt en daaro ook op het eindpunt. De elektronen kunnen op een verschillend tijdstip vertrekken. De elektronen vertrekken in een gelijke fase. De elektronen worden eenparig versneld. Van deze vier aannaes is de aannae dat de elektronen alleaal et een gelijke fase vertrekken het inst redelijk. Zo kan het naelijk zijn dat het ene elektron vertrekt in zijn evenwichtsstand en de ander in zijn axiale aplitude. 5

6 4 De banen en aantal golven van elektronen 4.1 De baan van een elektron Doordat de elektronen vertrekken vanuit plaat A en aankoen op plaat B, bewegen ze zich voort over bepaalde banen. De eerste stap is het vinden van deze banen. Stelling De baan van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) wordt gegeven door: (1) x(t) = qf 2 (t t 0) 2 + v 1 (t t 0 ), y(t) = (t t 0 ). Hierbij geldt: v 1 =beginsnelheid van het elektron in horizontale richting. =beginsnelheid van het elektron in verticale richting. Bewijs: We erken op dat de plaats waar een elektron zich bevindt, afhangt van de tijd en dat een elektron zich in horizontale en verticale richting kan voortbewegen. Per baan horen we dus een x(t) en y(t) te vinden. Doordat de elektronen negatief geladen zijn en de plaat aan de overkant positief geladen is, wordt er et een bepaalde kracht F aan de elektronen getrokken. Met behulp van de eerste wet van Newton vinden we: F q = a, Uitgeschreven in coponenten, ( ) ( ) F q x (2) = 0 y, waar q de lading van een elekton is. We erken op dat x = 0 wanneer de elektronen nog oeten vertrekken. We kunnen ook y = 0 kiezen odat we één van de twee vertrekplaatsen vast neen zodat de andere afhankelijk is van D. 6

7 Dit zullen we duidelijk aken in onderstaand figuur. Figuur 3: De vertrekplaatsen van de elektronen zijn (x, y) = (0, 0) en (x, y) = (0, D) Voor de beginvoorwaarden van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) volgt: x(t 0 ) = 0, x (t 0 ) = v 1 y(t 0 ) = 0, y (t 0 ) = Uit (2) vinden we twee vergelijkingen, naelijk: x = qf, Hieruit volgt: y = 0. x(t) = qf 2 t2 + c 1 t + c 2 et c 1, c 2 R, y(t) = c 3 t + c 4 et c 3, c 4 R. Nadat we de beginvoorwaarden hebben ingevuld, vinden we uiteindelijk: x(t) = qf 2 (t t 0) 2 + v 1 (t t 0 ), y(t) = (t t 0 ). 7

8 4.2 Het aantal golven van een elektron Nu we hebben gevonden hoe de banen van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) eruit zien, willen we bepalen hoeveel golven een elektron aakt gedurende zijn baan. Stelling Het aantal golven van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) is gelijk aan: (3) ( gf )2 ( y p 3 ) 3 + qf v 1 (y p ) 2 + ( 1 + 2) y p Bewijs: We erken op dat het aantal golven gelijk is aan de afgelegde afstand gedeeld door de golflengte van het elektron. Oftewel, het aantal golven van een elektron gedurende t is gelijk aan v(t) t. Met behulp van de wet van de Broglie (λ(t) = h v(t) ) volgt[1]: v(t) t λ(t) = v(t) t h v(t) λ(t) = v(t)2 t h, Voor t = t eind t 0, vinden we dat het aantal golven die het elektron aakt gelijk is aan: (4) h t eind t 0 v(s) 2 ds. Nu erken we op dat we voor v(t), t 0 en t eind nog geen expliciete uitdrukkingen hebben. We zullen beginnen o een uitdrukking voor v(t) te vinden. v(t) is de absolute snelheid waaree het elektron zich voortbeweegt op tijdstip t. Odat x (t) de horizontale snelheid is op tijdstip t en y (t) de verticale snelheid is op tijdstip t, vinden we et behulp van de stelling van Pytagoras v(t) = x (t) 2 + y (t) 2. Dit is ook duidelijk te zien in figur 4. Figuur 4: De absolute snelheid van een elektron op tijdstip t 8

9 De eerste stap wordt dus het vinden van de afgeleide. Uit (1) volgt: x (t) = qf (t t 0) + v 1, y (t) =. De absolute snelheid van een elektron wordt dan: v(t) = x (t) 2 + y (t) 2 = = ( qf (t t 0) + v 1 ) ( gf )2 (t t 0 ) 2 + 2qF v 1 (t t 0) v2 2. Nu we een expliciete forule voor v(t) hebben gevonden, oeten we t eind en t 0 nog vinden. Hiervoor gebruiken we het feit dat x(t eind ) = L en y(t eind ) = y p. De vergelijkingen die hieruit volgen zijn: x(t eind ) = qf 2 (t eind t 0 ) 2 + v 1 (t eind t 0 ) = L y(t eind ) = (t eind t 0 ) = y p. Voor de verdere berekeningen neen we aan dat t eind = 0, zodat t 0 negatief wordt. Dit is ogelijk odat voor het berekenen van de interferentie-afstand de absolute tijd geen invloed zal hebben. Bovenstaande vergelijkingen worden nu: (5) x(0) = qf 2 t2 0 v 1 t 0 = L, y(0) = t 0 = y p. 9

10 Uit (5) volgt dat t 0 = yp zodat we de expliciete uitdrukkingen voor v(t), t 0 en t eind hebben gevonden. Nu kunnen we de gevonden integraal bij (4) oplossen: h t eind t 0 v(s) 2 ds = h t eind t 0 ( gf )2 (s t 0 ) 2 + 2qF v 1 (s t 0) + v1 2 + v2ds 2 = h [(gf 3 2 ) s 3 + ( qf v 1 (qf )2 t 0 )s 2 + (v1 2 + v2 2 + ( qf )2 t 2 0 2qF v 1 t 0)s + c 5 ] t eind t 0 Vullen we t 0 = yp en t eind = 0 in, dan krijgen we dat het aantal golven van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) gelijk wordt aan: ( gf )2 ( y p 3 ) 3 + qf v 1 (y p ) 2 + ( 1 + 2) y p 10

11 4.3 De horizontale en verticale beginsnelheid Uit vergelijking (3) zien we dat het aantal golven die het elektron aakt, afhangt van v 1 en. O het aantal golven alleen te laten afhangen van de plaats waar het elektron op plaat B terechtkot, oeten we zowel v 1 als uitdrukken in teren van y p. O dit te bewerkstelligen zullen we als eerst v 1 uitdrukken in teren van zodat we vervolgens alleen hoeven uit te drukken in teren van y p. Stelling De horizontale en verticale beginsnelheid van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) worden gegeven door: 2E kin v 1 = y2 p(2e kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 2(yp 2 + L 2, ) y2 p(2e kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 = ± 2(yp 2 + L 2. ) Bewijs: Een elektron heeft op het begin een bepaalde hoeveelheid beginenergie, ook wel kinetische energie (E kin ) genaad. Uit de forule van kinetische energie volgt dan: (6) 1 2 v2 = E kin, 1 2 (v2 1 + v2) 2 = E kin, v1 2 + v2 2 = 2E kin, 2Ekin v 1 = v2 2. Doordat we v 1 in teren van hebben uitgedrukt, wordt vergelijking (3) voor het aantal golven van een elektron gelijk aan: (7) ( gf )2 ( y p ) 3 + qf 3 2E kin v2 2 ( y p ) 2 + 2E kin y p. 11

12 De laatste stap die we nu nog oeten doen is uitdrukken in teren van y p. Hiervoor gebruiken we het feit dat we gevonden hebben dat t 0 = yp. Als we dit nu saen et de uitdrukking van v 1 substitueren in (5) vinden we: qf 2 (y p ) 2 + y p 2Ekin v2 2 = L. Hier koen vier ogelijke uitdrukkingen voor uit, naelijk: y2 p(2e kin + qf L ± 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 = ± 2(yp 2 + L 2. ) En voor v 1 vinden we uit (6): 2E y2 kin p(2e kin + qf L ± 4E 2 v 1 = kin + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 2(yp 2 + L 2. ) Het ±-teken dat voor de wortel van staat, kot doordat de beginsnelheid is in verticale richting. Voor een bepaalde kinetische energie in het begin kan een elektron dus ohoog of olaag bewegen, zie figuur 3. We erken op dat de twee ogelijke banen die het elektron kan aken syetrisch zijn. Figuur 5: twee syetrische banen van een elektron 12

13 Bij de uitdrukking voor v 1 is het niet ogelijk o een teken voor de wortel te krijgen. v 1 is naelijk de beginsnelheid van een elektron in horizontale richting en als er een teken voor de wortel zou staan, zouden de elektronen dus ook naar links kunnen bewegen. Dit is echter onogelijk odat de positief geladen plaat B juist alle elektronen naar rechts trekt. Nu is er nog enkel de vraag of het ±-teken binnen de wortel ogelijk is. De vraag is dus of het ogelijk is o et een gelijke kinetische energie aar een verschillende beginsnelheid in hetzelfde punt y p uit te koen (zie figuur 6). Figuur 6: Is dit ogelijk? De enige ogelijkheid waarbij dit zou kunnen is dat een elektron eerst naar links beweegt waarna het vervolgens wel in y p kan uitkoen. De horizontale beginsnelheid oet dus negatief zijn. Dit kan er alsvolgt uitzien: Figuur 7: Horizontale beginsnelheid is negatief Door de relevante waarden van de variabelen in te vullen, blijkt de volgende keuze van het ±-teken de juiste te zijn[2]: 2E y2 kin p(2e kin + qf L + 4E 2 v 1 = kin + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 2(yp 2 + L 2 ) y2 p(2e kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 = ± 2(yp 2 + L 2 ) 13

14 4.4 elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D) Nu we exact de baan, het aantal golven per baan en de beginsnelheid hebben bepaald voor alle elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0), oeten we nog hetzelfde doen voor alle elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D). We zullen hierbij niet alles heleaal uitwerken zoals we hierboven hebben gedaan. Het verschil is dat de elektronen op een andere vertrekplaats vertrekken, ze op een ander tijdstip kunnen vertrekken en een andere beginsnelheid kunnen hebben. De beginvoorwaarden worden dan ook anders, naelijk: Daaro krijgen we: x(t 1 ) = 0, x (t 1 ) = v 3, y(t 1 ) = D, y (t 1 ) = v 4. x(t) = qf 2 (t t 1) 2 + v 3 (t t 1 ), et afgeleiden: y(t) = v 4 (t t 1 ) + D, x (t) = qf (t t 1) + v 3, y (t) = v 4. We erken op dat de integraal voor het aantal golven van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) gelijk is aan die van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D), behalve dat we nu integreren van t 1 tot t eind. Het aantal golven van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, D) wordt dus: waarbij v(t) = x (t) 2 + y (t) 2. h t eind t 1 v(s) 2 ds, Voor het vinden van t 1 neen we t eind = 0. Nu volgt uit y(t eind ) = y(0) = y p dat t 1 = D yp v 4. Het aantal golven van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, D) wordt dan: (8) ( gf )2 ( y p D 3 ) 3 + qf v 3 v 4 (y p D ) 2 + (v3 2 + v v 4) 2 y p D. 4 v 4 14

15 Odat alle elektronen een gelijke kinetische energie bij vertrek hebben, vinden we hier ook dat: 1 2 v2 = E kin, 1 2 (v2 3 + v4) 2 = E kin, v3 2 + v4 2 = 2E kin, 2Ekin v 3 = v2 4. Substitueren we dit in (8) dan wordt de vergelijking voor het aantal golven gelijk aan: ( gf (9) )2 ( y p D ) 3 + qf 2E kin v2 4 ( y p D ) 2 + 2E kin y p D. 3 v 4 v 4 v 4 Onze laatste stap is o v 4 uit te drukken in teren van y p. Hiervoor gebruiken we het feit dat x(t eind ) = x(0) = L. De vergelijking die hieruit volgt is: qf 2 t2 1 v 3 t 1 = L. Vullen we t 1 = D yp v 4 en v 3 = 2E kin v2 4 dan vinden we: qf 2 (y p D ) 2 + y p D 2Ekin v 4 v 4 v2 4 = L. Hier koen vier ogelijke uitdrukkingen voor v 4 uit. Maar odat we al eerder hebben gezien dat er voor v 4 precies twee ogelijke uitdrukkingen zijn (naar boven en naar beneden) en voor v 3 precies één (alleen naar rechts) worden de horizontale en verticale beginsnelheid gegeven door: v 3 = (y p D) 2 (2E kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 (y p D) 2 ) 2((y p D) 2 + L 2, ) 2E kin v 4 = ± (y p D) 2 (2E kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 (y p D) 2 ) 2((y p D) 2 + L 2. ) 15

16 5 Interferentie 5.1 Zien we altijd een interferentie patroon? Nu we alle berekeningen hebben gedaan o de interferenitie-afstand te bepalen rest ons nog de vraag of er eigenlijk wel altijd interferentie plaatsvindt. We kunnen ons bijvoorbeeld wel voorstellen dat wanneer D heel groot wordt er geen interferentie zal plaatsvinden odat de banen uit de twee verschillende startpunten elkaar dan niet kruisen. Dit is goed te zien in de figuur hieronder. Figuur 8: links: geen interferentie, rechts: wel interferentie De buitenste parabolische banen per vertrekpunt in figuur 5 zijn de banen van de elektronen die een axiale en iniale y p geven. Voor deze banen geldt dat de elektronen een axiale verticale snelheid hebben. We erken op dat als de banen uit de twee verschillende vertrekpunten van de elektronen et axiale verticale snelheid elkaar snijden er interferentie plaatsvindt. In figuur 5 zien we dat de axiale verticale snelheid van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) positief oet zijn en van de elktronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D) negatief. Dit kot doordat de banen uit de twee verschillende vertrekpunten van de elektronen et axiale verticale snelheid syetrisch zijn. Een baan van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, 0) et een negatieve axiale verticale snelheid kan dus nooit snijden et een baan van een elektron die vertrekt uit (x, y) = (0, D) et een negatieve axiale verticale snelheid. De eerste stap wordt o een y pax en een y pin van het interferentie patroon te vinden. Odat de ethode voor het vinden van y pax exact hetzelfde is, zullen we alleen y pax uitwerken. en y pin 16

17 Stelling y pax = 4Ekin L qf. Bewijs: Uit v1 2 + v2 2 = 2E kin volgt voor de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) et axiale verticale snelheid dat v 1 = 0. Oftewel, = ± Substitueren we v 1 = 0 in (1), dan volgt voor de baan van een elektron: x(t) = qf 2 (t t 0) 2, 2E kin. Voor t = t eind = 0 krijgen we: y(t) = (t t 0 ). qf 2 t2 0 = L, t 0 = y p. Substitueren we nu t 0 uit de eerste vergelijking in de tweede vergelijking en vullen = ± in, dan krijgen we: 2E kin 2L y p = ± qf = ± 2Ekin 2L qf = ± 4E kin L qf. O interferentie te krijgen, hebben we gezien dat de axiale verticale snelheid van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) positief oet zijn. We krijgen dus: 4E kin L y pax = qf. Met precies dezelfde ethode vinden we voor de baan van de elektronen die vertrekken et een negatieve axiale verticale snelheid uit (x, y) = (0, D): 4E kin L y pin = D qf. 17

18 We hebben nu het volgende: Figuur 9: De banen van de elektronen et axiale negatieve en positieve verticale snelheid In figuur 9 is goed te zien dat er interferentie plaatsvindt wanneer geldt: 4E kin L 4E kin L D qf qf, oftewel, D 2 4E kin L qf. Nu we precies weten voor welke variabelen er interferentie plaatsvindt, kunnen we de op experient gebaseerde variabelen bepalen. Deze variabelen zijn alsvolgt: q = V E kin = J = kg L = 10 6 F = 100N D =

19 5.2 Interferentie-afstand O interferentie te krijgen, oet er gelden dat twee banen uit verschillende vertrekplaatsen precies op hetzelfde oent en een gelijke fase in punt y p aankoen. Doordat ze dezelfde fase oeten hebben betekent het dat het verschil in aantal golven van de twee banen in het punt y p gelijk oet zijn aan k, et k R. We oeten dus het verschil in aantal golven van de banen gelijk stellen aan twee opeenvolgende k s. We neen k = 0 en k = 1. We erken op dat voor k = 0 de banen uit precies een gelijk aantal golven bestaan. Hieruit oet dus volgen dat y p = 1 2D. Dit is goed te zien in figuur 10. Figuur 10: Banen et een gelijk aantal golven koen precies aan in y p = 1 2 D De vergelijking die hier bij hoort volgt uit (7) en (9) (et bijbehorende waarden voor en v 4 ) en is: h h ( qf )2 ( y p ) 3 + qf 3 ( qf )2 3 2E kin v2 2 ( y p D ) 3 + qf v 4 2E kin v2 4 ( y p ) 2 + 2E kin y p ( y p D ) 2 + 2E kin v 4 y p D = 0. v 4 We erken op dat er geen v 4 aar v 4 in de vergelijking staat, odat de elektronen vanuit (x, y) = (0, D) et een negatieve verticale snelheid vertrekken. Er is goed te zien dat als we y p = 1 2D invullen, er precies 0 uitkot. Deze vergelijking hebben we ook nueriek opgelost[3] en er kwa dan ook y p = uit, zodat onze voorspelling klopt. O nu de interferentie-afstand te bepalen, neen we alsvolgt k = 1. 19

20 We erken op dat we ook k = 1 hadden kunnen kiezen, odat dit precies dezelfde waarde voor k=1 geeft aar dan negatief. De interferentie-afstand blijft dan dus ook hetzelfde. De vergelijking voor k=1 is als volgt: h h ( qf )2 ( y p ) 3 + qf 3 ( qf )2 3 2E kin v2 2 ( y p D ) 3 + qf v 4 2E kin Hieruit volgt de nuerieke waarde: y p = De interferentie-afstand wordt nu: v2 4 ( y p ) 2 + 2E kin y p ( y p D ) 2 + 2E kin v = y p D = 1. v 4 Odat we weten wat y pax en y pin zijn, kunnen we exact bepalen hoeveel interferenties er te zien zijn op plaat B. Als eerst oeten we y pax en y pin berekenen. 4E kin L y pax = = 6 qf = = 0.2, 100 y pin = D 4E kin L = qf = = Het aantal interferenties dat te zien is op plaat B is dan: ,

21 5.3 Grootte van het interferentie patroon We zijn ook geïnteresseerd in wat er gebeurt et y pax en y pin als we verschillende paraaters veranderen. Odat y pax en y pin afhankelijk zijn van E kin, L en F, kunnen we heel veel variëren. We zullen echter alleen F variëren en zien wat er gebeurd et y pax. In het volgende figuur is dus een y pax, L-grafiek te zien et verschillende waarden voor F. Figuur 11 In de grafiek zien we dat y pax kleiner wordt voor grotere waarden van F. Dit kunnen we verklaren doordat de plaat et een steeds grotere kracht de elektronen naar zich toe trekt. Hierdoor zullen de elektronen eerder op plaat B aankoen waardoor de uitwijking van de banen steeds kleiner oet worden. Doordat de uitwijking afneet zal y pax dus ook afneen. Als we E kin gaan variëren, zien we aan de forule al dat y pax groter zal worden voor grotere waarde van E kin. Als E kin naelijk toeneet, krijgen de elektronen een grotere beginenergie waardoor de beginsnelheid zal gaan toeneen. De uitwijking van de banen kan dus groter worden waardoor y pax zal toeneen. De laatste variabel die we kunnen variëren is L. We erken op dat y pax groter zal worden voor grotere waarden van L. Dit kot doordat als de afstand groter wordt, de banen groter zullen worden en odat de banen parabolisch zijn zal y pax ook groter worden. 21

22 5.4 Grafische weergave O de interferentie-afstand grafisch weer te geven, erken we eerst op dat als we kijken naar de forule voor het aantal golven van de elektronen die vertrekken vanuit (x, y) = (0, 0), dan zien we dat er de teren ( yp ) 3, ( yp ) 2 -situatie en oeten we Zo krijgen we voor de eerste ter li yp 0( yp ) 3, en yp in staan. Voor y p = 0 krijgen we dus een 0 0 dus de liieten neen. enzovoort. O nu een grafiek et het punt y p = 0 erin te krijgen, neen we y p [ , ]. We erken nu wel op dat voor y p [ , 0.0] negatief is en voor y p [0.0, ] positief is. De grafiek die we krijgen, staat hieronder Figuur 12 Doordat y p zich eerst in de richting van 0 beweegt en vervolgens weer groter wordt, is in de grafiek goed te zien dat het aantal golven eerst afneet en daarna weer toeneet. Als we kijken naar de forule voor het aantal golven van de elektronen die vertrekken vanuit (x, y) = (0, D), dan zien we dat er de teren ( yp D v 4 ) 3, ( yp D 4 )2 en yp 0 0 in staan. We erken dus op dat we voor y p = D een -situatie hebben en dus de liieten oeten neen. Zo krijgen we voor de eerste ter li yp D( yp ) 3, enzovoort. O nu een grafiek et het punt y p = D erin te krijgen, neen we y p [ , ]. 22

23 We erken nu wel op dat voor y p [ , ], v 4 negatief is en voor y p [ , ] positief. De grafiek wordt dan: Figuur 13 Doordat y p zich eerst in de richting van D beweegt en vervolgens weer groter wordt, is in de grafiek goed te zien dat het aantal golven eerst afneet en daarna weer toeneet. O nu te laten zien voor welke y p er een interferentie bestaat, zullen we het verschil in aantal golven grafisch weergeven. We kunnen in de grafiek dus aflezen dat als het verschil in aantal golven gelijk is aan k et k R, er een interferentie is voor bijbehorende y p. Figuur 14 In bovenstaande figuur is goed te zien dat het klopt dat beide banen een gelijk aantal golven hebben op y p = Beide banen bestaan dan uit ±920 golven. Verder is te zien dat we de grenswaarden van y p niet gelijk aan y pax en y pin hebben genoen. Dit kot doordat y p dan teveel ogelijke waarden kan aanneen waardoor de grafiek onnauwkeurig wordt. We hebben gekozen voor y p [0.0, ] zodat de verticale snelheid van de elektronen die vertekken uit (x, y) = (0, 0) positief blijft en van de elektronen uit (x, y) = (0, D) negatief. 23

24 6 Conclusie Met de ethode die wij gebruikt hebben, vinden we eerst de baan die hoort bij elke y p op plaat B. Doordat de elektronen uit twee plaatsen kunnen vertrekken vinden we voor elke y p dus ook twee banen. Vervolgens bepalen we voor elke baan uit hoeveel golven deze baan bestaat. Als laatst bekijken we voor welke y p 2 banen et een gelijk aantal golven uit precies op hetzelfde oent aankoen. Door het verschil te neen van 2 van zulke opeenvolgende y p, vinden we de interferentie-afstand. Het aantal golven van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, 0) wordt gegeven door: ( qf )2 ( y p ) 3 + qf 2E kin v2 2 ( y p ) 2 + 2E kin y p. h 3 Het aantal golven van de elektronen die vertrekken uit (x, y) = (0, D) wordt gegeven door: ( qf )2 ( y p D ) 3 + qf 2E kin v2 4 ( y p D ) 2 + 2E kin y p D. h 3 v 4 v 4 v 4 Met verticale beginsnelheden: y2 p(2e kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 yp) 2 = 2(yp 2 + L 2, ) v 4 = (y p D) 2 (2E kin + qf L + 4Ekin 2 + 4E kinqf L q 2 F 2 (y p D) 2 ) 2((y p D) 2 + L 2. ) De interferentie-afstand wordt bepaald door het verschil van 2 opeenvolgende y ps te neen die te berekenen zijn in de volgende vergelijking: h h ( qf )2 ( y p ) 3 + qf 3 ( qf )2 3 2E kin v2 2 ( y p D ) 3 + qf v 4 et 2 opeenvolgende k s R. 2E kin v2 4 ( y p ) 2 + 2E kin y p ( y p D ) 2 + 2E kin v 4 y p D = k v 4 24

25 Als eenaal de interferentie-afstand y p is bepaald, is ook het aantal interferenties te bepalen. We erken eerst op dat er alleen interferentie plaatsvindt als: D 2 4E kin L qf. Voor variabelen die hieraan voldoen geldt dat het aantal interferenties gelijk is aan: y pax y pin y p, waarbij geldt: y pax = y pin = D 4E kin L qf, 4E kin L qf. In bovenstaande forules zien we ook dat het interferentiepatroon groter wordt naarate E kin en/of L groter wordt en kleiner wordt als F groter wordt. 25

26 Referenties [1] Broglie, Louis de, The wave nature of the electron, Nobel Lecture, Deceber 12, [2] Hiervoor hebben we de website gebruikt. [3] De nuerieke waarden zijn berekend et het Coputer Algebra Systee, Maxia. [4] R.Haberan, Applied Partial Differential Equations, fourth Edition, Pearson Prentice Hall, New Jersey, [5] G.J. Verbiest, J.N. Sion, T.H. Oosterkap, M.J. Rost, Subsurface atoic force iscroscopy: towards a quantitative understanding, Nanotechnology 23, [6] H.D. Young and R.A. Freedan, University Physics, 12th edition, Addison Wesley. [7] Eugene Hecht, Optics, 4th edition, Addison Wesley. [8] G.R. Fowles and G.L. Cassiday, Analytical Mechanics, 7th edition, Thoson Learning, inc.,