Wiskunde: Voortgezette Analyse. S. Caenepeel

Transcriptie

1 Wiskunde: Voortgezette Analyse S. Caenepeel Syllabus 136 bij IR-WISK Wiskunde: Voortgezette Analyse Tweede Bachelor Ingenieurswetenschappen: Architectuur (SD-ID 415) 212

2 Inhoudsopgave I Reeksen 4 1 Rijen en reeksen Numerieke rijen Numerieke reeksen Reeksen van functies Uniforme convergentie van een rij functies Uniforme convergentie van een reeks functies Machtreeksen Taylorreeksen Goniometrische reeksen De Fourierintegraal II Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen 48 3 Differentiaalvergelijkingen Definitie en voorbeelden Beginvoorwaarden en randvoorwaarden Differentiaalvergelijkingen van eerste orde Juiste differentiaalvergelijkingen Homogene differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van eerste orde

3 5 Normale differentiaalstelsels en vergelijkingen De methode van afleiding en eliminatie Lineaire differentiaalstelsels Lineaire differentiaalvergelijkingen van orde n Constante coëfficiënten De methode der eigenwaarden en eigenvectoren Oplossing van differentiaalvergelijkingen door reeksontwikkeling Inleiding Oplossing in een omgeving van een gewoon punt Oplossing in een omgeving van een regelmatig singulier punt Eerste integralen Eerste integralen Het bepalen van eerste integralen Lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van orde Inleiding Homogene lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde één De volledige lineaire vergelijking van orde één Het vraagstuk van Cauchy Variatierekening De vergelijkingen van Euler Het vraagstuk met nevenvoorwaarden III Numerieke Analyse Het oplossen van vergelijkingen en stelsels Algoritmen voor het oplossen van vergelijkingen De orde van een iteratieve methode Het oplossen van stelsels

4 1.4 Stelsels lineaire vergelijkingen Afleiden en integreren De interpolatieformule van Lagrange Numeriek Afleiden Numeriek integreren Differentiaalvergelijkingen

5 Deel I Reeksen 4

6 Hoofdstuk 1 Rijen en reeksen 1.1 Numerieke rijen In deze paragraaf herhalen we kort enkele belangrijke eigenschappen van limieten van rijen. Definitie lim u n = l ε >, N : n > N u n l < ε n We noemen l de limiet van de rij (u n ), en we zeggen dat de rij convergent is. Een rij die niet convergent is, noemen we divergent. Op dezelfde manier definiëren we en lim u n = + α R, N : n > N n lim u n = α R, N : n > N n We zeggen dan dat (u n ) divergeert naar +, resp.. u n > α u n < α Voorbeelden lim n 1 2 n = lim n n2 = + lim n = n lim n ( 1)n bestaat niet Indien een rij divergent is, en ook niet divergeert naar ±, dan noemen we de rij schommelend of oscillerend. Een rij heeft niet altijd een limiet (zie het voorbeeld hierboven). Wel is het zo dat de limiet, indien hij bestaat, uniek is. Stelling Een convergente rij is begrensd. 5

7 Bewijs. Kies ε = 1 in de definitie. Dan geldt voor n > N : l 1 < u n < l + 1 zodat {u N+1,u N+2,u N+3, } begrensd is. Aangezien {u 1,u 2,u 3, u N } eindig en dus begrensd is, volgt dat de rij begrensd is. De omgekeerde eigenschap geldt niet: een begrensde rij kan divergent zijn: zie voorbeeld 4 hierboven. Wel geldt dat een begrensde monotone rij convergent is (zie stelling 1.1.5). Eerst hebben we een definitie nodig. Definitie Neem een rij (u n ). (u n ) heet strikt dalend als m,n N : m > n = u m < u n (u n ) heet niet stijgend als m,n N : m > n = u m u n (u n ) heet strikt stijgend als m,n N : m > n = u m > u n (u n ) heet niet dalend als m,n N : m > n = u m u n In elk van deze vier gevallen noemen we u n een monotone rij. Stelling Een niet dalende (niet stijgende) rij, die naar boven (naar onder) begrensd is, convergeert naar haar bovenste (onderste) grens. Bewijs. Onderstel u n niet dalend, en noteer m = supv un. We hebben de volgende eigenschap voor het supremum gezien: ε >, N : u N > m ε Aangezien u n niet dalend is, geldt voor elke n > N : m ε < u N u n m < m + ε of u n m < ε zodat lim u n = m n Het bewijs voor een niet stijgende rij verloopt analoog. Volledig analoog kunnen we aantonen: 6

8 Stelling Een niet dalende (niet stijgende) rij die niet begrensd is, divergeert naar + ( ). Bewijs. We bewijzen alleen het geval waarin de rij (u n ) niet dalend en niet begrensd is. Dan bestaat voor elke α R een index N zodat u N > α. Voor elke n > N geldt dan u n u N > α. Opmerking De stellingen en gelden ook voor rijen die slechts vanaf een zekere index N monotoon zijn. Het is soms belangrijk te kunnen bewijzen dat een rij convergeert, zonder daarom de limiet te hoeven kennen. Zulk een criterium zullen we nu opstellen. Definitie Een rij (u n ) is een Cauchyrij indien ε >, N > : n,m > N = u n u m < ε (1.1) Stelling Een rij is convergent dan en slechts dan als ze een Cauchyrij is. Bewijs. Onderstel eerst dat (u n ) convergent is, en stel lim n u n = l, m.a.w. Neem nu n,m > N. Dan geldt ε >, N > : n > N = u n l < ε 2 u n u m u n l + l u m < ε 2 + ε 2 = ε Dit bewijst een implicatie. Het bewijs van de omgekeerde implicatie is moeilijker, en we laten dat hier achterwege. 1.2 Numerieke reeksen Definitie Gegeven is een numerieke rij (u n ). Een uitdrukking van de vorm of, korter, noemt men een numerieke reeks. Stel u 1 + u 2 + u u n + u n n=1 s n = u 1 + u u n = n u i i=1 7

9 Men noemt de numerieke rij (s n ) de rij der partiële sommen van de reeks partiële sommen convergeert naar een getal s R, dan zegt men dat de reeks met som s, en met noteert dit als volgt Dit betekent dus dat u n = s n=1 ε >, N N : n > N : s n s < ε Voor de partiële sommen van een reeks hebben we volgende formule: s n+k s n = u n+1 + u n u n+k. n=1 n=1 u n. Indien de rij der u n convergent is Het convergentiecriterium van Cauchy, toegepast op de rij der partiële sommen neemt daarom volgende vorm aan. Stelling (convergentiecriterium van Cauchy) Een numerieke reeks n=1 u n is convergent dan en slechts dan als Definitie Een reeks Indien de reeks n=1 ε >, N : n > N, k 1 : u n+1 + u n u n+k < ε n=1 u n wordt een positieve reeks genoemd indien u n > voor elke n. u n positief is, dan geldt duidelijk dat s 1 < s 2 < s 3 < en de rij van de partiële sommen is dus stijgend. We kunnen dus concluderen: Stelling (basiskenmerk voor positieve reeksen) Een positieve reeks n=1 u n is convergent als en alleen als de rij der partiële sommen (s n ) begrensd is. Als de rij der partiële sommen niet begrensd is, dan divergeert de reeks naar +. 8

10 Hoofdstuk 2 Reeksen van functies 2.1 Uniforme convergentie van een rij functies Beschouw een rij functies u n : (a,b) R. Voor elke x (a,b) kunnen we de numerieke rij (u n (x)) bekijken. We kunnen dan nagaan of deze rij een limiet heeft. Vandaar de volgende definitie. Definitie De rij functies u n convergeert puntsgewijs naar de functie l : (a,b) R indien voor elke x (a,b) geldt dat lim n u n(x) = l(x) of, met andere woorden, indien ε >, x (a,b), N x : n > N x = u n (x) l(x) < ε (2.1) Een analoge definitie kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. Puntsgewijze limieten kunnen gemakkelijk berekend worden: beschouw de veranderlijke x als een parameter, en bereken de limiet alsof het de limiet van een gewone numerieke rij betreft. Puntsgewijze limieten hebben echter geen mooie eigenschappen. Zo is het mogelijk dat de puntsgewijze limiet van een rij continue functies niet langer continu is. Dit blijkt uit de volgende voorbeelden. Voorbeelden ) Beschouw de rij functies u n : R R gedefinieerd als volgt: 1 als x < 1 n ; u n (x) = nx als 1 n < x < 1 n ; 1 als x > n 1. De functies u n zijn overal continu. De puntsgewijze limiet is echter niet continu in : lim u n(x) = l(x) n 9

11 met 1 als x < ; l(x) = als x = ; 1 als x >. 2 y=u_5(x) 2 y=l(x) y-as y-as x-as x-as Figuur 2.1: Een puntsgewijze limiet van continue functies is niet noodzakelijk continu 2) De puntsgewijze limiet van de rij functies u n : R R gedefinieerd door u n (x) = 1 + x 2 1 (1 + x 2 ) n wordt gegeven door { 1 + x 2 als x ; l(x) = lim u n (x) = n als x =. Om dat te verhelpen is een nieuwe definitie van convergentie van een rij functies nodig. Merk op dat in (2.1) de index N x in het algemeen afhangt van x. Indien N x onafhankelijk van x kan gekozen worden, dan zeggen we dat de rij functies uniform convergeert. Definitie De rij functies u n convergeert uniform naar de functie l : (a,b) R indien ε >, N : n > N = x (a,b) : u n (x) l(x) < ε (2.2) Een analoge definitie kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. Meetkundig kunnen we dit als volgt zien: voor elke ε > en voor n groot genoeg ligt de grafiek van de kromme y = u n (x) tussen de grafieken van de functies y = l(x) ε en y = l(x) + ε. Deze eigenschap geldt duidelijk niet voor de twee bovenstaande voorbeelden. 1

12 1 y=u_1(x) 1 y=u_5(x) y-as 5 y-as x-as x-as 1 y=u_5(x) 1 y=l(x) y-as 5 y-as x-as x-as Figuur 2.2: Een puntsgewijze limiet van continue functies is niet noodzakelijk continu Stelling Als een rij functies u n (x) uniform convergeert naar l(x) over een interval (a,b), en indien de functies u n (x) continu zijn over (a,b) vanaf een zekere index M, dan is l(x) ook continu over (a,b). Een analoge eigenschap geldt voor gesloten intervallen. Bewijs. Kies ε > willekeurig, en x (a, b). Dan geldt: l(x + h) l(x) l(x + h) u n (x + h) + u n (x + h) u n (x) + u n (x) l(x) Omdat (u n (x)) uniform convergeert, bestaat er een index N zo dat voor elke y (a,b) en n > N geldt dat u n (y) l(y) < ε 3 in het bijzonder l(x + h) u n (x + h) < ε 3 en u n(x) l(x) < ε 3 (2.3) Kies nu n vast en groter dan de indices M en N. Dan is u n continu in x, en er bestaat een δ > zo dat h < δ = u n (x + h) u n (x) < ε (2.4) 3 11

13 l(x) + e l(x) l(x) e De kromme u n (x) ligt overal dicht bij l(x) a b x Figuur 2.3: Uniforme convergentie Combineren van (2.3) en (2.4) geeft h < δ = l(x + h) l(x) < ε en dus is l continu in x. Stelling Onderstel dat u n : [a,b] R continu is, en dat u n (x) uniform convergeert naar l(x) over [a,b]. Dan geldt Z b Z b lim u n (x)dx = l(x)dx n a a Met andere woorden, we mogen dan limiet en integraal verwisselen. Bewijs. Uit stelling volgt dat l continu is over [a, b], en bijgevolg kan geïntegreerd worden. Omdat u n (x) uniform convergeert naar l(x) hebben we ε >, N : n > N, x [a,b] : l(x) u n (x) < Voor alle n > N hebben we dus Z b Z b Z b u n (x)dx l(x)dx = (u n (x) l(x))dx a Z b a a a u n (x) l(x) dx < ε b a. ε(b a) b a = ε Stelling Onderstel dat u n : (a,b) R continu afleidbaar is, dat u n (x) puntsgewijs convergeert naar l(x) over [a,b], en u n(x) uniform naar f (x) over (a,b). Dan is l(x) afleidbaar, en l (x) = f (x) = lim n u n(x) Met andere woorden, we mogen dan limiet en afgeleide verwisselen. 12

14 Bewijs. Omdat u n uniform convergeert naar f over elk gesloten deelinterval [x,x] van (a,b) hebben we, vanwege stelling 2.1.5: Z x Z x f (t)dt = lim u x n n(t)dt = lim u n (x) u n (x ) = l(x) l(x ) x n Beide leden afleiden naar x geeft f (x) = d dx Z x x f (t)dt = l (x). Net zoals in het geval van een numerieke rij bestaat er een criterium voor uniforme convergentie van een rij functies waarin de limietfunctie l(x) niet voorkomt: Stelling Criterium van Cauchy De rij functies u n convergeert uniform over het interval (a,b) dan en slechts dan als ε >, N : m,n > N = x (a,b) : u n (x) u m (x) < ε (2.5) Een analoge eigenschap kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. Bewijs. Onderstel dat u n uniform convergeert over het interval (a,b) naar een functie l(x). Voor elke ε > bestaat dan een index N zo dat voor n > N en x (a,b) geldt dat Voor n,m > N en x (a,b) geldt dus: u n (x) l(x) < ε 2 u n (x) u m (x) u n (x) l(x) + l(x) u m (x) < ε 2 + ε 2 = ε en dus is voldaan aan (2.5). Omgekeerd, onderstel dat de rij (u n ) voldoet aan (2.5). Dan is voor elke x (a,b) de numerieke rij (u n (x)) een Cauchyrij. De rij (u n (x)) is dus convergent; noem de limiet l(x). u n (x) convergeert dan puntsgewijs naar l(x), en de stelling is bewezen als we kunnen aantonen dat deze convergentie ook uniform is. Bij onderstelling is u n (x) u m (x) < ε zodra n,m > N, en ongeacht x. Dus geldt voor elke x (a,b): en dus lim u n(x) u m (x) ε m u n (x) l(x) ε < 2ε voor elke n > N en x (a,b). De convergentie is dus uniform. 13

15 Opmerking Voor een vector a R n kan men de lengte (of norm) invoeren: a = n a 2 i i=1 Voor een functie die begrensd is over een interval [a,b] kan men ook een norm definiëren. Men doet dit als volgt: De norm van een begrensde functie f : [a,b] R wordt gegeven door de formule f = sup{ f (x) : a x b} (2.6) De definitie van uniforme convergentie van een rij functies kan nu als volgt herschreven worden: de rij functies u n convergeert uniform over [a,b] naar de functie l : [a,b] R indien ε >, N : n > N = u n l < ε (2.7) Herschrijf zelf het convergentiecriterium van Cauchy met behulp van de norm. 2.2 Uniforme convergentie van een reeks functies Zij A een deel van R. We zullen meestal aannemen dat A convex is, d.w.z. A is een (open, halfopen of gesloten) interval, een (open of gesloten) halve rechte, of gans R. Beschouw een rij functies u n : A R R. De uitdrukking u n (x) n=1 noemen we een reeks van functies. De n-de partiële som is dan ook een functie van x. We zeggen dat n=1 s n (x) = n i=1 u i (x) u n (x) puntsgewijs convergent is over A met som s(x) als voor elke x A, of, met andere woorden, indien lim s n(x) = s(x) n ε >, x A, N ε,x : n > N ε,x = s(x) s n (x) < ε Om de puntsgewijze convergentie van de reeks n=1 n=1 elke x A de convergentie van de numerieke reeks u n (x) te onderzoeken volstaat het dus om voor u n (x ). 14

16 Voorbeeld De reeks 1+x+x 2 +x 3 + convergeert puntsgewijs over ( 1,1). De reekssom is s(x) = 1/(1 x). Een reeks convergeert puntsgewijs indien de rij van de partiële sommen puntsgewijs convergeert. In 2.1 hebben we een sterkere vorm van convergentie van rijen van functies besproken: uniforme convergentie. Uniforme convergentie heeft een aantal interessante eigenschappen: de uniforme limiet van een rij continue functies is opnieuw continu, en deze eigenschap geldt niet voor puntsgewijze convergentie. We noemen de reeks n=1 u n (x) uniform convergent over A met som s(x) indien de rij der partiële sommen (s n (x)) uniform convergeert naar s(x) over A, of, met andere woorden, indien ε >, N ε : x A : n > N ε = s(x) s n (x) < ε We hebben onmiddellijk de volgende eigenschappen. Stelling Als n=1 u n (x) uniform convergeert naar s(x) over het interval (a,b), en de functies u n zijn continu over (a,b), dan is s(x) continu over (a,b). Bewijs. s(x) is de uniforme limiet van de rij continue functies s n (x), en is dus continu vanwege stelling Stelling Onderstel dat de functies u n : [a,b] R continu zijn, en dat convergent is over [a,b]. Dan geldt dat Z b a s(x)dx = Z b u n (x)dx n=1 a n=1 u n (x) = s(x) uniform met andere woorden, een uniform convergente reeks mag term per term geïntegreerd worden. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling Stelling Onderstel dat de functies u n : (a,b) R een continue afgeleide bezitten, en dat de reeks n=1 u n (x) = s(x) puntsgewijs convergeert over (a,b). Indien de reeks convergeert over (a,b), dan is n=1 n=1 u n(x) uniform u n(x) = s (x), m.a.w. men mag de reeks term per term afleiden. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling Stelling (criterium van Cauchy) De reeks u n (x) convergeert uniform over A als en alleen als n=1 ε >, N ε : x A, n > N ε, p > : u n+1 (x) + u n+2 (x) + + u n+p (x) < ε 15

17 Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling In de praktijk is het criterium van Cauchy niet erg handig. In de volgende twee stellingen geven we twee meer eenvoudige criteria. Stelling (criterium van Weierstrass) Beschouw een rij functies u n : A R R. Indien u n (x) m n voor elke n > N en x A, en indien m n een convergente numerieke reeks is, dan is u n (x) uniform convergent over A. Bewijs. Omdat m n convergeert, geldt, vanwege stelling ε >, N ε : n > N ε, p > : m n+1 + m n m n+p < ε Voor elke n > max{n,n ε } en x A geldt nu dat u n+1 (x) + u n+2 (x) + + u n+p (x) m n+1 + m n m n+p < ε en uit stelling volgt dat u n (x) uniform convergent over A. Stelling Als functie is, dan is n=1 n=1 u n (x) = s(x) uniform convergeert over A, en f : A R R een begrensde f (x)u n (x) uniform convergent met som f (x)s(x). Bewijs. Onderstel dat f (x) < m, voor elke x A. Voor elke ε > bestaat een index N zodat voor elke n > N en x A geldt dat s(x) s n (x) < ε m en hieruit volgt dat f (x)s(x) f (x)s n (x) < ε m m = ε en dit betekent dat f (x)u n (x) uniform convergent is met som f (x)s(x). n=1 2.3 Machtreeksen Definitie Een machtreeks is een reeks van functies van de vorm waarbij a,a 1,a 2, R. a n (x a) n = a + a 1 (x a) + a 2 (x a)

18 Voor wat de convergentie van een machtreeks betreft volstaat het het geval a = te bestuderen. Immers, als we de substitutie u = x a uitvoeren, dan vinden we Lemma Onderstel dat r > en Dan is a n x n absoluut convergent. a n (x a) n = a n u n lim a nr n = en x < r n Bewijs. Er bestaat een index N zodat voor elke n > N geldt dat a n r n < 1. Kies α [,1) zodat x < αr. Dan geldt voor elke n > N dat De meetkundige reeks convergent is. Onderstel dat Indien s r, dan geldt voor elke n dat a n x n < a n α n r n < α n α n is convergent, en uit het vergelijkend criterium volgt dat lim a nr n = n a n s n a n r n a n x n en dus is ook lim a ns n = n Stelling Beschouw een machtreeks Dan geldt a n x n, en stel R = sup{r lim n a n r n = } 1. x < R = 2. x > R = a n x n absoluut convergent; a n x n divergent. 17

19 Bewijs. 1) Kies r zodat x < r < R. Uit de opmerking hierboven volgt dat en uit lemma volgt dat lim a nr n = n a n x n absoluut convergeert. 2) Als x > R, dan is het onmogelijk dat lim n a n x n =, want dat zou impliceren dat x sup{r lim n a n r n = } = R Dus is lim n a n x n, en de reeks is divergent. De machtreeks convergeert dus absoluut op het interval ( R, R), en divergeert op (, R) (R,+). Enkel in de punten R en R is er nog onzekerheid. Alles is er mogelijk: convergentie in beide punten, divergentie in beide punten, en convergentie in het een en divergentie in het ander. R noemen we de convergentiestraal van de machtreeks, en ( R, R) het convergentieinterval. In de volgende twee stellingen zullen we formules zien die toelaten om in veel gevallen R te berekenen. Stelling Beschouw een machtreeks a n x n. Als a n L = lim n a n+1 bestaat, dan is L = R, de convergentiestraal van de machtreeks. Bewijs. De stelling volgt uit het convergentiekenmerk van d Alembert (ook genaamd de verhoudingstest). Als x < L, dan is en dit impliceert dat Op dezelfde manier volgt dat R = L. lim a n+1x n+1 a n+1 x x = lim = n a n x n n a n L < 1 a n x n absoluut convergeert. Stelling Beschouw een machtreeks a n x n divergeert als x > L. Het kan dus niet anders zijn dan dat a n x n. Als Λ = lim n n a n bestaat, dan is 1/Λ = R, de convergentiestraal van de machtreeks. 18

20 Bewijs. De stelling volgt uit het convergentiekenmerk van Cauchy (ook genaamd de worteltest). Bewijs dit zelf als oefening. Voorbeelden ) De machtreeks convergeert voor elke x R, want 2) Beschouw de machtreeks De convergentiestraal is x n n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + a n (n + 1)! R = lim = lim = + n a n+1 n n! (n + 1)x n = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + a n n + 1 R = lim = lim n a n+1 n n + 2 = 1 De reeks convergeert dus absoluut voor x ( 1,1). In de eindpunten x = ±1 is de reeks divergent. 3) Beschouw de machtreeks x n n=1 n = x + x2 2 + x3 3 + De convergentiestraal is R = lim n a n a n+1 = lim n 1/n 1/n + 1 = 1 De reeks convergeert dus absoluut voor x ( 1,1). Voor x = 1 is de reeks divergent (harmonische reeks), en voor x = 1 is ze (relatief) convergent (alternerende harmonische reeks). Het convergentieinterval is dus [ 1,1). 4) Beschouw de machtreeks Het invers van de convergentiestraal is n n x n = 1 + x + 4x x R = lim n an = lim n = + n n en de convergentiestraal R =. De machtreeks convergeert dus alleen voor x =. 19

21 Uniforme convergentie van machtreeksen Stelling Onderstel dat R de convergentiestraal is van de machtreeks convergeert uniform over elk gesloten interval [ r,r], met r < R. Bewijs. Kies r < R. De reeks a n x n. De machtreeks a n r n is convergent, en voor elke x [ r,r] hebben we dat a n x n a n r n Het gestelde volgt nu uit het kenmerk van Weierstrass (stelling 2.2.6). Gevolg De som van een machtreeks s(x) = a n x n is continu over ( R,R). Bewijs. Onderstel x ( R,R), en neem r zodat x < r < R. De machtreeks is uniform convergent over [ r,r] (stelling 2.3.7) en dus is s continu over ( r,r) (stelling 2.2.2). In het bijzonder is s continu in x. Zonder bewijs vermelden we ook de volgende stelling. Stelling (stelling van Abel) Indien de machtreeks s(x) = x = R), dan is s(x) linkscontinu in R (rechtscontinu in R). a n x n convergeert in x = R (of Afleiden en integreren van machtreeksen Lemma De machtreeks n=1 Bewijs. Zij R de convergentiestraal van de machtreeks na n x n 1 heeft dezelfde convergentiestraal als R = sup{r lim n a n r n = } (stelling 2.3.3). Het volstaat nu aan te tonen dat de reeks a n x n. We weten dat n=1 x < R en divergent voor x > R. Onderstel eerst dat x < R, en kies r > en α [,1) zo dat x < αr < r < R a n x n. na n x n 1 absoluut convergent is voor 2

22 Omdat lim a nr n = n bestaat een index N zodat voor elke n > N geldt dat en dus a n r n < 1 n a n x n 1 < n a n α n 1 r n 1 < nαn 1 r Omdat α < 1 is nα n 1 convergent, en uit het vergelijkend kenmerk volgt dat convergent is. Indien x > R, dan is en dus is en bijgevolg is n=1 na n x n 1 divergent. lim a n x n n lim na n x n 1 n n=1 na n x n 1 absoluut We kunnen nu aantonen dat machtreeksen binnen het convergentieinterval term per term mogen afgeleid en geïntegreerd worden. Stelling Beschouw een machtreeks s(x) = x,x ( R,R) geldt dat Z x s (x) = x s(t)dt = n=1 a n x n met convergentiestraal R. Voor elke na n x n 1 (2.8) a n n + 1 (xn+1 x n+1 ) (2.9) Bewijs. Kies r < R zo dat x,x ( r,r). Uit stelling volgt dat de machtreeks uniform convergent is over [ r,r], en a fortiori over ( r,r). (2.9) volgt nu onmiddellijk uit stelling In stelling hebben we gezien dat R ook de convergentiestraal van de reeks n=1 na n x n is. Uit stelling volgt nu dat ook deze reeks uniform convergent is over ( r,r), en (2.8) volgt nu onmiddellijk uit stelling Gevolg s(x) = is de som van de machtreeks a n x n is onbeperkt afleidbaar over het interval ( R,R). De i-de afgeleide s (i) (x) = (n + i)! a n+i x n n! 21

23 Voorbeelden ) Voor elke x ( 1,1) geldt dat 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + en (vervang x door x): x = 1 x + x2 x 3 + (2.1) We mogen term per term integreren, en dus ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + De convergentiestraal van deze laatste machtreeks is dus eveneens 1. Voor x = 1 is de reeks divergent (harmonische reeks), en voor x = 1 is ze convergent (alternerende harmonische reeks). Het convergentieinterval van de machtreeks is dus ( 1,1] en uit de stelling van Abel volgt dat ln2 = = n=1 ( 1) n+1 2) Uit (2.1) volgt, na vervanging van x door x 2, dat voor elke x ( 1,1): Integreren geeft dat x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + bgtgx = x x3 3 + x5 5 x7 7 + Het convergentieinterval van deze machtreeks is [ 1,1]. Uit de stelling van Abel volgt dus dat π 4 = = ( 1) n 2n + 1 3) Term per term afleiden van de meetkundige reeks geeft 1 (1 x) 2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x 4 + = n (n + 1)x n voor elke x ( 1,1). Men kan deze formule ook rechtstreeks bewijzen. Doe dit zelf als oefening. Vermenigvuldiging van machtreeksen Eerst geven we nog een stelling over absoluut convergente reeksen. Onderstel dat a n en b n twee numerieke reeksen zijn. Het product van deze twee reeksen is per definitie de reeks met algemene term c n = a b n + a 1 b n 1 + a 2 b n a n b = n i= a i b n i 22

24 met andere woorden, ) ) c n = a b + (a b 1 + a 1 b + (a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b + = Zowel de haakjes als de volgorde van de termen is van belang. Stelling (stelling van Cauchy) Als de reeksen is ook de productreeks van de sommen van beide reeksen. a n en n ) a i b n i ( i= b n absoluut convergent zijn, dan c n absoluut convergent, en de som van de productreeks is het product ( )( ) c n = a n b n Bewijs. Dit bewijs is opgenomen voor de liefhebbers. De anderen kunnen opgelucht adem halen. We bewijzen eerst dat c n absoluut convergent is. Schrijf s n = n i= a i en t n = We zullen aantonen dat de partiële sommen van de reeks n c j = j= n j= j n i b j i i=a j= n n i= k= a i b k = j i= n i= b i ( n ) a i ( i= c n begrensd zijn. a i b j i = i,k n n k= i+k n ) b k = s nt n a i b k Omdat de partiële sommen s n en t n zijn begrensd, zijn de partiële sommen van de productreeks c n begrensd,en de productreeks is absoluut convergent. Schrijf nu zodat We hebben ook dat s n = 2n c j = j= n i= s n t n = 2n j= j i= a i en t n = n n i= k= a i b j i = n b k k= a i b k a i b k i,k 2n i+k 2n 23

25 en dus is 2n j= Voor n groot genoeg worden c j s n t n = n<i 2n k n i+k 2n a i b k + = ( n<i 2n k n i+k 2n 2n n i=n+1 k= 2n i=n+1 2n a i en i=n+1 a i b k n<k 2n i n i+k 2n a i b k + n<k 2n i n i+k 2n a i b k a i b k + a i )s n + ( 2n b i i=n+1 2n n k=n+1 i= 2n i=n+1 b i )t n willekeurig klein (criterium van Cauchy); s n en t n zijn begrensd, zodat 2n c j s n t n j= a i b k willekeurig klein kan gemaakt worden door n groot genoeg te nemen. Hieruit volgt dat c n = lim s n t n = lim s n lim t n = n n n ( )( ) a n b n Onderstel nu dat twee machtreeksen a n x n en b n x n gegeven zijn. Het product van deze twee reeksen is de machtreeks ( n ) a i b n i x n = a b + (a b 1 + a 1 b )x + (a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b )x 2 + i= Uit stelling volgt onmiddellijk Stelling De convergentiestraal van het product van twee machtreeksen is tenminste gelijk aan het minimum van de convergentiestralen van deze twee machtreeksen. Bewijs. Onderstel van niet. Neem x zodanig dat x groter is dan de convergentiestraal van de productreeks, maar kleiner dan de convergentiestralen van de twee gegeven reeksen. Uit stelling volgt dat de productreeks absoluut convergeert in x, en dit is strijdig met de onderstelling dat x groter is dan de convergentiestraal van de productreeks. 24

26 2.4 Taylorreeksen In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de som van een machtreeks een onbeperkt afleidbare functie op het convergentieinterval van de machtreeks is. In enkele gevallen konden we deze functie bepalen. We bekijken nu het omgekeerde probleem: gegeven is een functie f (x) die onbeperkt afleidbaar is in een omgeving van het punt a. Kan deze som geschreven worden als een machtreeks? Om dit probleem op te lossen herhalen we de formule van Taylor, zie volume 1. Stelling (formule van Taylor) Onderstel dat f : (a r,a+r) R een onbeperkt afleidbare functie is en dat x (a r,a + r). Voor elke n N bestaat een ξ n (x) (a,x) zodanig dat f (x) = s n (x) + r n (x) met met s n (x) = n i= s n (x) is de n-de partiële som van de machtreeks f (i) (a) (x a) i i! r n (x) = f (n+1) (ξ n (x)) (x a) n+1 (n + 1)! f (n) (a) (x a) n n! Deze machtreeks noemt men de Taylorreeks van f in het punt a. Als dan is of f (x) = lim r n(x) = n lim s n(x) = f (x) n f (n) (a) (x a) n n! en in dit geval kan f (x) geschreven worden als een machtreeks. Indien de Taylorreeks van de functie f convergeert naar f (x) voor x in een omgeving van het punt a, dan zeggen we dat f analytisch is in het punt a. In hetgeen volgt zullen we de Taylorreeks van enkele belangrijke functies bestuderen. De exponentiële functie We schrijven de formule van Taylor op voor de functie f (x) = e x in het punt. We vinden gemakkelijk dat f (n) (x) = e x en f (n) () = 1 zodat e x = s n (x) + r n (x) met s n (x) = 1 + x + x2 2! + x3 xn + + 3! n! 25

27 en r n (x) = xn+1 n + 1! eξ n met ξ n (,x). Als x, dan is e ξ n < e x, en als x, dan is e ξ n < 1. In beide gevallen geldt zodat voor elke x R. e x = r n (x) x n+1 n + 1! e x n x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 + (2.11) 3! De hyperbolische functies Als we x vervangen door x in (2.11), dan vinden we e x = ( 1) n x n = 1 x + x2 n! 2! x3 + (2.12) 3! voor elke x R. Door (2.11) en (2.12) op te tellen en af te trekken en te delen door 2 vinden we shx = x + x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 (2n + 1)! chx = 1 + x2 2 + x4 4! + = x 2n (2n)! (2.13) (2.14) De goniometrische functies Als we de formule van Taylor opschrijven voor de functie f (x) = sinx vinden we sinx = s n (x) + r n (x) met s 2n (x) = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! en met ξ 2n (,x). We zien gemakkelijk dat r 2n (x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! cos(ξ 2n) voor elke x R, zodat r 2n (x) x 2n+1 n (2n + 1)! sinx = x x3 3! + x5 5! = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! (2.15) 26

28 voor elke x R. Op volledig analoge wijze vinden we cosx = 1 x2 2 + x4 4! = ( 1) n x 2n (2n)! (2.16) De binomiaalreeks Neem m R en beschouw de functie f (x) = (1 + x) m Toepassing van de formule van Taylor levert f (x) = s n (x) + r n (x), met s n (x) = 1 + mx + m(m 1) x m(m 1)(m 2) (m n + 1) x n n! en m(m 1)(m 2) (m n) r n (x) = x n+1 (1 + θx) m n 1 (n + 1)! Als m N, dan is r n = voor n > m. We krijgen dan ( ) m f (x) = (1 + x) m = x i i en dit is niets anders dan het binomium van Newton. Immers, de binomiaalcoëfficiënten worden gegeven door de formule ( ) m m! m(m 1)(m 2) (m i + 1) = = i i!(m i)! i! m i= Voor m R definiëren we nu de binomiaalcoëfficiënten als volgt ( ) m m(m 1)(m 2) (m i + 1) = i i! De Taylorreeks van f (x) is dan ( ) m x n n De convergentiestraal van deze machtreeks is lim a n n + 1 = lim = 1 n a n+1 n m n Men kan aantonen dat lim r n (x) = als 1 < x < 1 en we kunnen dus besluiten dat n ( m (1 + x) m = n voor 1 < x < 1. Voor m = 1/2 vinden we bijvoorbeeld 1 + x = 1 + x 2 x x x ) x n (2.17) 27

29 Samenvatting 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + = ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = n=1 x n ( 1 x < 1) ( 1) n+1 x n e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = x n (x R) n! shx = x + x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 (x R) (2n + 1)! chx = 1 + x2 2 + x4 4! + = x 2n (x R) (2n)! sinx = x x3 3! + x5 5! = ( 1) n x 2n+1 (x R) (2n + 1)! cosx = 1 x2 2 + x4 (1 + x) m = ( m n 4! = ) x n ( 1 < x < 1) ( 1) n x 2n (2n)! n (x R) ( 1 < x 1) Opmerkingen ) Men zou kunnen denken dat, indien de Taylorreeks van f convergeert, dat ze dan automatisch naar de functie convergeert. Dit is niet noodzakelijk het geval. Beschouw bijvoorbeeld de functie { f (x) = e 1 x 2 als x ; als x =. Voor x is f (n) (x) = P(x) Q(x) e 1 x 2 waarbij P en Q veeltermen zijn (verifieer dit zelf). Per inductie kunnen we dan aantonen dat f (n) () = voor elke n. Immers, als f (n) () =, dan is f (n+1) P(h) 1 () = lim h hq(h) e h 2 Als we nu de formule van Taylor toepassen, dan vinden we s n (x) = voor elke n. De Taylorreeks is dus, en de Taylorreeks convergeert, maar niet naar de functie f! 2) In het algemeen zal de Taylorreeks sneller convergeren naarmate x dichter bij het punt a komt te liggen. Als we x ver van a nemen, dan kan de convergentie zeer traag zijn, en in vele gevallen 28

30 totaal ongeschikt voor praktische berekeningen. Neem bijvoorbeeld de reeksontwikkeling voor de sinusfunctie, en schrijf deze neer voor x = 1: sin1 = en dit is natuurlijk geen erg goede benadering voor een getal dat tussen 1 en 1 moet liggen. De algemene term in de reeks begint pas vanaf de 5ste term te dalen! De 5ste term is 115 5!, en dit is een astronomisch groot getal. De voorbeelden die we besproken hebben zijn natuurlijk de eenvoudigste die we konden kiezen. Als een willekeurige functie f gegeven is, dan is het gewoonlijk niet mogelijk om een algemene formule voor de n-de afgeleide op te stellen, zodat we de algemene term in de Taylorreeks niet kunnen opschrijven. In veel gevallen kunnen we stelling gebruiken om de Taylorreeks te bepalen. Voorbeelden ) Voor elke x R hebben we e x sinx = (1 + x + x2 2! + x3 )( 3! + x x3 3! + x5 ) 5! ( 1 = x + x ( 1 x 6) x 6) 4 + 2) Voor elke x R geldt met Als x = x + x 2 + x3 3 x5 3 + cosx = 1 x2 2 + x4 4! = 1 u u = x2 2 x4 4! + ( ) π 2, π 2, dan is < cosx 1, zodat u (,1) en ( ) x 5 + en tgx = sinx cosx = (x x3 3! + x5 ) 5! ( ( x x4 4! + x6 ) 6 + ( 1 = x x 6) 3 + = x + x x cosx = 1 1 u = 1 + u + u2 + u 3 + ( x x4 4! + x6 ( ) x ) 2+ ( x 2 2 x4 ) ) 3+ 4! + 29

31 ( ) voor elke x π 2, π 2. 3) Beschouw de functie f (x) = x e x 1 Onderstel dat de taylorreeks van f coëfficiënten a,a 1, heeft. Dan is f (x) = x e x 1 = a + a 1 x + a 2 x 2 + en (a + a 1 x + a 2 x 2 + ) (x + x2 2 + x3 ) 6 + Identificeren van coëfficiënten in gelijke machten van x geeft a = 1 a 2 + a 1 = 1 a 6 + a a 2 = Hieruit kunnen a,a 1,a 2, recursief berekend worden. Men vindt x e x 1 = 1 x 2 + x2 12 x Het nadeel van deze methode is dat we niet weten wanneer de Taylorreeks convergeert. = x 2.5 Goniometrische reeksen Een goniometrische reeks is een reeks van de vorm a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) (2.18) n=1 Opmerkingen ) De factor 1/2 werd ingevoerd om technische redenen; sommige formules die we verderop zullen zien vereenvoudigen hierdoor een beetje. 2) In hoofdstuk 2 hebben we reeds machtreeksen besproken; hier krijgen we dus een tweede belangrijke klasse van reeksen van functies. We zullen zien dat sommige functies kunnen geschreven worden als de som van een goniometrische reeks. Merk op dat een partiële som van de goniometrische reeks (2.18) kan geschreven worden als een veelterm in cosx en sinx (men spreekt van een goniometrische veelterm). 3) Alle termen in de reeks (2.18) zijn periodiek met periode 2π. Als de reeks (2.18) (puntsgewijs) convergeert, dan is ook de reekssom f (x) periodiek met periode 2π, dit wil zeggen f (x + 2kπ) = f (x) 3

32 voor elke x R en k Z. Het zal blijken dat goniometrische reeksen een geschikt instrument vormen om periodieke functies te bestuderen. 4) Men kan ook goniometrische reeksen met periode T (in plaats van periode 2π) bestuderen. Zulk een reeks is van de vorm a 2 + (a n cos 2nπt n=1 T + b n sin 2nπt T ) (2.19) Men noemt T 1 2π de frequentie en ω = T nog geschreven worden als de pulsatie van de goniometrische reeks. (2.19) kan dus a 2 + (a n cosnωt + b n sinnωt) (2.2) n=1 (2.19) en (2.2) kunnen herleid worden tot (2.18) met de substitutie x = ωt = 2π T t (2.2) kan ook nog als volgt geschreven worden. We stellen ρ = a /2 en { an = ρ n cosφ n en we verkrijgen de reeks ρ + b n = ρ n sinφ n n=1 ρ n cos(nωt φ n ) (2.21) De termen ρ n cos(nωt φ n ) noemt men de harmonischen. ρ n noemt men de amplitude en φ n de faze. 5) Een goniometrische reeks kan ook herschreven worden in complexe vorm: a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) n=1 = a 2 + e inx + e inx (a n n=1 2 e inx e inx + b n ) 2i waarbij α n = α n. = a 2 + n=1 ( an ib n 2 e inx + a n + ib n e inx) 2 = a 2 + (α n e inx + α n e inx ) = n=1 α n e inx, n= Onderstel nu dat de reeks (2.18) uniform convergeert over een interval [a,a+2π], en schrijf f voor de som van de reeks. We verkrijgen zo een functie f : R R waarvan we weten dat ze periodiek is met periode 2π (zie opmerking 3) hierboven). Bovendien is f continu (zie stelling 2.2.2). We hebben f (x) = a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) (2.22) n=1 31

33 We zullen nu aantonen dat de coëfficiënten a n en b n kunnen bepaald worden uit de functie f. Vermenigvuldig (2.22) met cosmx en integreer van a tot a+2π. Gebruik makend van stelling vinden we Z a+2π a f (x)cosmxdx = = a 2 Z a+2π ( a a Z a+2π a 2 + n=1 Aangezien voor m,n Z geldt (reken zelf na): vinden we Z a+2π Za a+2π Za a+2π a sinnxdx = cosmxdx + Z a+2π sinnxcosmxdx = a sinnxsinmxdx = Z a+2π a ) (a n cosnx + b n sinnx) cos mxdx Z a+2π n=1 a cosnxdx = Z a+2π a f (x)cosmxdx = πa m Op analoge wijze vinden we (vermenigvuldig met sinmx) Z a+2π f (x)sinmxdx = πb m en (integreer f van a tot a + 2π): We kunnen dus besluiten: a Z a+2π a f (x)dx = πa (a n cosnx + b n sinnx)cosmxdx cosnxcosmxdx = πδ nm Stelling Als de reeks (2.22) uniform convergeert, dan worden de coëfficiënten a n en b n gegeven door de formules a n = 1 π b n = 1 π Z a+2π Za a+2π a f (x)cosnxdx f (x)sinnxdx (2.23) Dankzij de factor 1/2 in (2.18) geldt de eerste formule van (2.23) zowel voor n = als voor n >. Opmerking De coëfficiënten α n van de goniometrische reeks in complexe vorm kunnen ook gemakkelijk bepaald worden: voor n hebben we α n = a n ib n 2 = 1 Z 2π 2π α n = 1 2π Z 2π = 1 2π Z 2π f (x)e inx dx f (x)e inx dx f (x)cosnxdx i 2π Z 2π f (x)sinnxdx 32

34 We hebben dus voor alle n Z: α n = 1 Z 2π f (x)e inx dx. (2.24) 2π Onderstel nu dat f : R R een functie is met periode 2π, en dat f een stuksgewijs continue functie is over het interval [a,a + 2π]. f hoeft dus niet noodzakelijk continu te zijn. We berekenen nu de coëfficiënten a n en b n met behulp van de formules (2.23), en schrijven de reeks (2.18) op a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) n=1 Men noemt deze reeks de Fourierreeks van de functie f. A priori weten we niet of deze reeks al dan niet convergeert. En als de reeks convergeert, dan weten we ook niet of de reekssom f (x) is. Dat dit laatste niet steeds het geval is blijkt uit het volgende voorbeeld: neem een uniform convergente goniometrische reeks, en de reekssom f. Wijzig f in één punt a, en zet deze wijziging periodiek voort. De Fourierreeks van de aldus bekomen functie is nog steeds de oorspronkelijke reeks, maar in het punt a convergeert deze niet naar de functiewaarde. We gaan nu volgende vragen bestuderen. 1) Wanneer convergeert de reeks (2.18) puntsgewijs naar de functie f? 2) Wanneer convergeert de reeks (2.18) uniform naar de functie f? Het antwoord op de tweede vraag kan uiteraard alleen maar positief zijn als f een continue functie is. Opmerkingen ) We zijn vertrokken van een functie f die periodiek is met periode 2π. Men kan uiteraard ook een stuksgewijs continue functie gedefinieerd op het interval [a, a + 2π] beschouwen en deze periodiek voortzetten. 2) Als de functie f een oneven functie is (m.a.w. f ( x) = f (x)), dan bevat de Fourierreeks van f slechts termen in sinus. Immers, a n = 1 π Z π π f (x)cosnxdx = omdat de integraal de integraal is van een oneven functie over een symmetrisch interval. Voor de coëfficiënten b n geldt in dit geval b n = 2 π Z π f (x)sinnxdx 3) Als de functie f een even functie is (m.a.w. f ( x) = f (x)), dan bevat de Fourierreeks van f slechts termen in cosinus. Immers, b n = 1 π Z π π f (x)sinnxdx = omdat de integraal de integraal is van een oneven functie over een symmetrisch interval. Voor de coëfficiënten a n geldt in dit geval a n = 2 π Z π f (x)cosnxdx 33

35 We zeggen dat een functie f voldoet aan een rechtervoorwaarde van Lipschitz in het punt a als de rechterlimiet f (a+) bestaat en als er een constante c > en δ > bestaan zodat < h < δ = f (a + h) f (a+) ch Op dezelfde manieren definiëren we de linkervoorwaarde van Lipschitz. f voldoet aan zulk een voorwaarde in a als f (a ) bestaat en als er een constante c > en δ > bestaan zodat < h δ = f (a h) f (a ) ch Als f een eindige rechterafgeleide bezit in het punt a (eventueel nadat men in a de functiewaarde vervangen heeft door de rechterlimiet in a), dan voldoet f in a aan een rechtervoorwaarde van Lipschitz. Immers, de limiet f +(a) f (a + h) f (a+) = lim h + h bestaat en is eindig. Er bestaat dus een δ > zodanig dat voor < h < δ geldt: of en hieruit volgt dat f (a + h) f (a+) h f +(a) < 1 ( f +(a) 1)h < f (a + h) f (a+) < ( f +(a) + 1)h f (a + h) f (a+) < ( f +(a) + 1)h Zonder bewijs formuleren we volgende belangrijke stellingen. Stelling (Stelling van Dirichlet) Onderstel dat de functie f : R R stuksgewijs continu is, en periodiek is met periode 2π, en dat ze in elk punt voldoet aan een linker- en een rechtervoorwaarde van Lipschitz. In elk punt x R convergeert de Fourierreeks (2.18) van f naar f (x+) + f (x ) 2 In het bijzonder convergeert de Fourierreeks naar f (x) in de punten waar f continu is. De coëfficiënten a n en b n van de Fourierreeks voldoen aan de gelijkheid van Parseval: a n=1(a 2 n + b 2 n) = 1 Z 2π f (x) 2 dx (2.25) π Stelling Onderstel dat f : R R overal continu is, en periodiek is met periode 2π. Als de afgeleide functie f stuksgewijs continu is, dan convergeert de Fourierreeks van f uniform naar f over R. 34

36 Voorbeeld Gevraagd wordt om de periodieke functie f : R R gedefinieerd door 1 als < x < π f (x) = als x =,±π 1 als π < x < te ontwikkelen in een Fourierreeks. f wordt geschetst in Figuur blokfunctie y-as x-as Figuur 2.4: De blokfunctie Uit de stelling van Dirichlet kunnen we concluderen dat de Fourierreeks puntsgewijs naar de functie f zal convergeren. Aangezien f een oneven functie is, kunnen we onmiddellijk concluderen dat a n =. De coëfficiënten b n berekenen we als volgt. Voor elke x R hebben we dus b n = 2 π [ = 2 π Z π f (x)sinnxdx cosnx n ] π = 2 (cosnπ cos) { nπ als n even = 4 als n oneven nπ f (x) = 4 π sin(2n + 1)x 2n + 1 (2.26) Enkele partiële sommen van de reeks (2.26) worden geschetst in Figuur 2.5 In de omgeving van het discontinuïteitspunt is de convergentie - zoals verwacht - trager dan elders. Men treft in de onmiddellijke omgeving van het discontinuïteitspunt steeds een piekafwijking waar. Men noemt deze afwijking het Gibbsverschijnsel. 35

37 1.5 blokfunctie: eerste en tweede partiele som 1.5 blokfunctie: derde en vierde partiele som y-as y-as x-as x-as 1.5 blokfunctie: vijfde en zesde partiele som 1.5 blokfunctie: twaalfde partiele som y-as y-as x-as x-as Figuur 2.5: Partiële sommen van de Fourierreeks van een blokfunctie Voorbeeld Beschouw de functie f : [, π] R : x x. Gevraagd wordt om deze te schrijven als een Fourierreeks met periode 2π. We kunnen dit op oneindig veel manieren doen: we kunnen de functie f willekeurig kiezen op [ π,], en dan de functie periodiek voortzetten. Er zijn twee mogelijke natuurlijke keuzes: we kunnen f op [ π,] zo kiezen dat f een oneven functie is, en we kunnen f op [,π] zo bepalen dat f een even functie is. Grafisch ziet f er in de twee gevallen eruit als geschetst in Figuur 2.6. In het eerste geval is de Fourierreeks van f van de vorm b n sinnx n=1 ( f is een oneven functie met periode 2π). De Fouriercoëfficiënten van f kunnen gemakkelijk berekend worden (doe dit zelf). We vinden ( f (x) = 2 sinx sin2x + sin3x ) (2.27) 2 3 Enkele partiële sommen worden geschetst in Figuur 2.7. Merk de afwijkende piek op in de buurt 36

38 4 zaagtand 1 4 zaagtand y-as y-as x-as x-as Figuur 2.6: De zaagtandfunctie van de discontinuïteiten. Dit is weer het Gibbsverschijnsel. Op analoge manier bepalen we de coëfficiënten van de tot een even functie voortgezette functie f. Dit keer vinden we een Fourierreeks van de vorm a 2 + a n cosnx n=1 Bereken zelf de coëfficiënten a i. We vinden nu f (x) = π 2 4 ( cosx + cos3x π cos5x cos7x ) (2.28) Enkele partiële sommen worden geschetst in Figuur 2.8 Merk op dat deze Fourierreeks sneller convergeert dan de vorige. Hier zijn twee verklaringen voor: in het tweede geval is de functie continu, en een functie die overal continu is, kan natuurlijk gemakkelijker benaderd worden door een goniometrische veelterm dan een discontinue. We zien ook dat de coëfficiënten in (2.28) sneller naar nul gaan dan die in (2.27), zodat we een snellere convergentie kunnen verwachten. Door in (2.27) of (2.28) specifieke waarden voor x te substitueren vinden we de som van een numerieke reeks. Als we in (2.27) x = π/2 stellen, dan vinden we = π 4 Als we in (2.28) x = π/4 stellen, dan vinden we = π 2 16 Ook de gelijkheid van Parseval levert interessante formules. Als we de gelijkheid van Parseval opschrijven voor de reeks (2.27) vinden we n=1 1 n 2 = π2 6 37

39 4 zaagtand 1: eerste en tweede partiele som 4 zaagtand 1: derde en vierde partiele som y-as y-as x-as x-as 4 zaagtand 1: vijfde en zesde partiele som 4 zaagtamd 1: elfde en twaalfde partiele som y-as y-as x-as x-as Figuur 2.7: Partiële sommen van de Fourierreeks van de eerste zaagtandfunctie 2.6 De Fourierintegraal In 2.5 hebben we de Fourierreeks bekeken van een periodische functie, of, equivalent, een functie gedefinieerd op een gesloten interval. We laten nu de periode naar oneindig gaan, en bekijken dus een functie gedefinieerd op gans de reële rechte: We noemen f : R R. F(p) = F { f }(p) = Z + f (t)e ipt dt (2.29) de Fouriergetransformeerde van f. f kan terug berekend worden uit F via de formule met andere woorden, f (x) = 1 2π f (t) = 1 2π Z + Z + ( Z + F(p)e ipt dp, (2.3) ) f (t)e ipt dt e ipx dp. (2.31) 38

40 4 zaagtand 2: eerste en tweede partiele som 4 zaagtand 2: derde en vierde partiele som y-as 2 y-as x-as x-as Figuur 2.8: Partiële sommen van de Fourierreeks van de tweede zaagtandfunctie We zullen dit nu iets preciezer formuleren. Voor een functie f = u + iv : R C definiëren we Z b Z b Z b f (t)dt = u(t)dt + i v(t)dt. a a a De oneigenlijke integraal wordt gedefinieerd door Z + Z S f (t)dt = lim f (t)dt. R + R S + Indien deze limiet bestaat in C, dan noemen we de integraal convergent. De volgende eigenschap is een continue versie van de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is. Stelling Neem f : R C stuksgewijs continu. Als R + f (t) dt convergeert, dan convergeert ook R + f (t)dt. Bewijs. We herinneren eraan dat f (t) = u(t) 2 + v(t) 2 ; merk ook op u(t) f (t) en v(t) f (t). Stel Z + f (t) dt = I. Dan hebben we, uit de definitie van limiet: ε >, T : T > T : I Dan volgt ook, voor alle S > T > T : Z S f (t) dt = T Z S Z T f (t) dt < ε 2. Z T f (t) dt f (t) dt < ε. 39

41 We beschouwen nu de rij u n = Z n u(t)dt. Voor m n > T hebben we Z m Z m Z m u m u n = u(t)dt u(t) dt f (t) dt < ε, n n n en bijgevolg is (u n ) een Cauchy rij, en een convergente rij. Stel lim u n = I 1. n Dan hebben we ε >, N : n > N : u n I 1 < ε 2. Als T > max{n + 1,T + 1}, dan is [T ] = n > N, en n,t > T, zodat Z T Z n Z T u(t)dt I 1 u(t)dt I 1 + u(t)dt n u n I 1 + u n I 1 + Z T n Z T We concluderen dat Z + u(t)dt = I 1 n u(t) dt f (t) dt < ε 2 + ε 2 = ε. convergeert. Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat R + v(t)dt convergeert. Het bewijs voor de integraal van tot verloopt geheel analoog. Aangezien e ipt = 1 concluderen we: Gevolg Neem f : R C stuksgewijs continu. Als R + f (t) dt convergeert, dan convergeert ook R + f (t)e ipt dt. De Fouriergetransformeerde van f bestaat dus in elk punt p R. Zonder bewijs formuleren we volgende stelling: Stelling Onderstel dat f : R C stuksgewijs continu is, en in elk punt voldoet aan de linker- en rechtervoorwaarde van Lipschitz. Onderstel ook dat R + f (t) dt convergent is. Dan geldt formule (2.31) in elk punt x waarin f continu is. Als f discontinu is in x, dan is het rechterlid van (2.31) gelijk aan f (x+) + f (x ). 2 4

42 Opmerkingen ) Als f : R R een reële functie is, dan is F(p) = F( p). 2) Als f : R R een even reële functie is (m.a.w. ( f ( x) = f (x)), dan is F(p) R, en F(p) = = = 2 Z Z + Z + Z + f (t)e ipt dt + f (u)e ipu du + f (t)cos ptdt. Z + f (t)e ipt dt f (t)e ipt dt 3) Stel zelf een analoge formule op in het geval dat f : R R een oneven reële functie is. Voorbeeld We berekenen de Fouriergetransformeerde van een signaal dat constant is gedurende het tijdsinterval [ R,R], en nul erbuiten: { 1 als R t R f 1 (t) = als t > R Z + F 1 (p) = 2 [ sin pt = 2 De sinc-functie wordt gegeven door de formule We krijgen dan p Z R f (t)cos ptdt = 2 ] R = 2 sin pr. p sinc(x) = sinx x. F 1 (p) = 2Rsinc(pR). cos ptdt Merk op: hoe groter R (dus hoe breder het signaal), hoe smaller de grafiek van het getransformeerde signaal: de afstand van de oorsprong tot het eerste nulpunt van F 1 (p) is π/r. Als we de formule (2.3) toepassen in het geval t = en R = 1, dan vinden we of Z + 1 = 1 Z + 2 sin p 2π p dp, sin p dp = π. p Merk op dat de klassieke methodes (substitutie, partiële integratie,...) niet toelaten om een primitieve functie van de sinc functie te bepalen. 41

43 !.2!.4!25!2!15!1! Figuur 2.9: De Fouriergetransformeerde van een rechthoekige puls (R = 1) Voorbeeld In plaats van een rechthoekig signaal nemen we nu een driehoekig signaal, beschreven door de formule 1 R t als t R f 2 (t) = 1 + R t als R t als t > R We vinden nu, na partiële integratie Z + F 2 (p) = 2 = Z R f (t)cos ptdt = 2 [ 2 p (1 t )sin pt R ] R + 2 pr (1 t )cos ptdt R Z R sin(pt)dt = 2 2(1 cos pr) p 2 R [cos(pt)]r = p 2 R = 4sin2 (pr/2) p 2 = Rsinc 2 pr R 2. Merk op dat F 2 () = R. Het kleinste positieve nulpunt van F 2 (p) is p = 2π R. Ook hier zien we het verschijnsel dat de breedte van het signaal omgekeerd evenredig is met de breedte van het getransformeerde signaal. We passen weer (2.3) toe, in het geval t = en R = 2. We hebben dan F 2 (p) = 2sinc 2 p, en 1 = f () = 1 Z + 2sinc 2 pdp, 2π 42