Wiskunde: Voortgezette Analyse. S. Caenepeel en I. Goyvaerts

Transcriptie

1 Wiskunde: Voortgezette Analyse S. Caenepeel en I. Goyvaerts Syllabus 136 bij IR-WISK Wiskunde: Voortgezette Analyse Tweede Bachelor Ingenieurswetenschappen: Architectuur (SD-ID 415) 215

2 Inhoudsopgave I Reeksen 4 1 Rijen en reeksen Numerieke rijen Numerieke reeksen Reeksen van functies Uniforme convergentie van een rij functies Uniforme convergentie van een reeks functies Machtreeksen Taylorreeksen Goniometrische reeksen De Fourierintegraal II Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen 53 3 Differentiaalvergelijkingen Definitie en voorbeelden Beginvoorwaarden en randvoorwaarden Differentiaalvergelijkingen van eerste orde Juiste differentiaalvergelijkingen Homogene differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van eerste orde

3 5 Normale differentiaalstelsels en vergelijkingen De methode van afleiding en eliminatie Lineaire differentiaalstelsels Lineaire differentiaalvergelijkingen van orde n Constante coëfficiënten De methode der eigenwaarden en eigenvectoren Oplossing van differentiaalvergelijkingen door reeksontwikkeling Inleiding Oplossing in een omgeving van een gewoon punt Oplossing in een omgeving van een regelmatig singulier punt Eerste integralen Eerste integralen Het bepalen van eerste integralen Lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van orde Inleiding Homogene lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde één De volledige lineaire vergelijking van orde één Het vraagstuk van Cauchy Variatierekening De vergelijkingen van Euler De kettinglijn Het vraagstuk met nevenvoorwaarden III Numerieke Analyse Het oplossen van vergelijkingen en stelsels Algoritmen voor het oplossen van vergelijkingen De orde van een iteratieve methode

4 1.3 Het oplossen van stelsels Stelsels lineaire vergelijkingen Afleiden en integreren De interpolatieformule van Lagrange Numeriek Afleiden Numeriek integreren Differentiaalvergelijkingen

5 Deel I Reeksen 4

6 Hoofdstuk 1 Rijen en reeksen In de cursus Wiskunde: Algebra, Analyse en Meetkunde 1 bestudeerden jullie rijen van reële getallen en bespraken het convergentiegedrag van sommige zulke rijen. Deze notie van convergentie is van groot belang voor allerlei problemen waarbij men benaderde oplossingen dient te zoeken 2. Vervolgens zagen jullie in de cursus Wiskunde: Gevorderde Analyse en Meetkunde 3 reeksen van reële getallen en behandelden ook hier enkele eigenschappen m.b.t. convergentie. In dit eerste deel van deze cursus bespreken we rijen en reeksen van functies. De theorie verschilt hier van de theorie van de theorie van numerieke rijen en reeksen; dit heeft te maken met andere convergentiebegrippen, waarover later meer. Ruwweg gesproken is de idee dat men voor sommige vraagstukken bepaalde functies wil benaderen met eenvoudigere functies. In het tweede hoofdstuk van dit deel geven we precieze betekenis aan deze intuïtieve idee en bestuderen we twee belangrijke klassen van zulke reeksen van functies; machtreeksen (die jullie reeds kennen uit [WGAM]) en goniometrische reeksen. We zullen dan nagaan onder welke voorwaarden we functies kunnen benaderen door een som van veeltermfuncties enerzijds en door een som van sinus- en cosinusfuncties anderzijds. Dit zal dan aanleiding geven tot de theorie van Taylor- respectievelijk Fourierreeksen. We behandelen ook kort aspecten van de theorie der Fourierintegralen; deze is van groot belang bij het modelleren van vraagstukken allerhande binnen en buiten de Ingenieurswetenschappen. We beginnen met een korte herhaling van enkele belangrijke eigenschappen van (limieten van) numerieke rijen en reeksen. 1 Naar de cursusnota s van G. Sonck, behorende bij het vak Wiskunde: Algebra, Analyse en Meetkunde, zullen we in het vervolg verwijzen als [WAAM]. 2 Enkele technieken voor het behandelen van situaties waarin we tevreden moeten zijn met benaderde oplossingen worden besproken in het laatste deel van deze cursus; deze liggen immers binnen de actieradius van de Numerieke Analyse. 3 Aan de cursusnota s van G. Sonck behorende bij het vak Wiskunde: Gevorderde Analyse en Meetkunde zullen we in het vervolg refereren als [WGAM]. 5

7 1.1 Numerieke rijen Herinner je dat een rij van reële getallen een afbeelding is van N R, die een willekeurig natuurlijk getal n afbeeldt op een reëel getal u n. Zulk een afbeelding, zo n rij, wordt doorgaans horizontaal genoteerd als (u n ). Definitie lim u n = l ε >, N : n > N u n l < ε n We noemen l de limiet van de rij (u n ), en we zeggen dat de rij convergent is. Een rij die niet convergent is, noemen we divergent. Op dezelfde manier definiëren we en lim u n = + α R, N : n > N n lim u n = α R, N : n > N n We zeggen dan dat (u n ) divergeert naar +, resp.. u n > α u n < α Voorbeelden lim n 1 2 n = lim n n2 = + lim n = n lim n ( 1)n bestaat niet Indien een rij divergent is, en ook niet divergeert naar ±, dan noemen we de rij schommelend of oscillerend. Een rij heeft niet altijd een limiet (zie het voorbeeld hierboven). Wel is het zo dat de limiet, indien hij bestaat, uniek is. Herinner dat een rij (u n ) begrensd heet indien er een reëel getal K bestaat zodat u n < K, n. Stelling Een convergente rij is begrensd. Bewijs. Kies ε = 1 in de definitie. Dan geldt voor n > N : l 1 < u n < l + 1 zodat {u N+1,u N+2,u N+3, } begrensd is. Aangezien {u 1,u 2,u 3, u N } eindig en dus begrensd is, volgt dat de rij begrensd is. De omgekeerde eigenschap geldt niet: een begrensde rij kan divergent zijn: zie voorbeeld 4 hierboven. Wel geldt dat een begrensde monotone rij convergent is (zie stelling 1.1.5). Eerst hebben we een definitie nodig. 6

8 Definitie Neem een rij (u n ). (u n ) heet strikt dalend als m,n N : m > n = u m < u n (u n ) heet niet stijgend als m,n N : m > n = u m u n (u n ) heet strikt stijgend als m,n N : m > n = u m > u n (u n ) heet niet dalend als m,n N : m > n = u m u n In elk van deze vier gevallen noemen we (u n ) een monotone rij. Alvorens we onderstaande stelling formuleren, is het nuttig de volgende definitie in herinnering te brengen. Zij V een verzameling reële getallen. Herinner je dat elk getal u waarvoor geldt dat x u, x V een bovengrens voor V heet. Als een verzameling een kleinste bovengrens heeft, noemen we dit getal het supremum van V en noteren we dit met supv. Op analoge wijze definieert men het infimum van een verzameling reële getallen. Stelling Een niet dalende (niet stijgende) rij, die naar boven (naar onder) begrensd is, convergeert naar haar supremum (resp. infimum). Bewijs. Noteer met V un de verzameling {u 1,u 2,...}. Onderstel (u n ) niet dalend, en noteer m = supv un. We hebben de volgende eigenschap voor het supremum gezien: ε >, N : u N > m ε Aangezien (u n ) niet dalend is, geldt voor elke n > N : m ε < u N u n m < m + ε of u n m < ε zodat lim u n = m n Het bewijs voor een niet stijgende rij verloopt analoog. Volledig analoog kunnen we aantonen: Stelling Een niet dalende (niet stijgende) rij die niet begrensd is, divergeert naar + ( ). 7

9 Bewijs. We bewijzen alleen het geval waarin de rij (u n ) niet dalend en niet begrensd is. Dan bestaat voor elke α R een index N zodat u N > α. Voor elke n > N geldt dan u n u N > α. Opmerking De stellingen en gelden ook voor rijen die slechts vanaf een zekere index N monotoon zijn. Het is soms belangrijk te kunnen bewijzen dat een rij convergeert, zonder daarom de limiet te hoeven kennen. Zulk een criterium zullen we nu opstellen. Definitie Een rij (u n ) is een Cauchyrij indien ε >, N > : n,m > N = u n u m < ε (1.1) Stelling Een rij is convergent dan en slechts dan als ze een Cauchyrij is. Bewijs. Onderstel eerst dat (u n ) convergent is, en stel lim n u n = l, m.a.w. Neem nu n,m > N. Dan geldt ε >, N > : n > N = u n l < ε 2 u n u m u n l + l u m < ε 2 + ε 2 = ε Dit bewijst een implicatie. Het bewijs van de omgekeerde implicatie is moeilijker, en we laten dat hier achterwege. 1.2 Numerieke reeksen Definitie Gegeven is een numerieke rij (u n ). Een uitdrukking van de vorm of, korter, noemt men een numerieke reeks. Stel u 1 + u 2 + u u n + u n n=1 s n = u 1 + u u n = n u i i=1 Men noemt de numerieke rij (s n ) de rij der partiële sommen van de reeks partiële sommen convergeert naar een getal s R, dan zegt men dat de reeks met som s, en met noteert dit als volgt u n = s n=1 n=1 n=1 u n. Indien de rij der u n convergent is 8

10 Dit betekent dus dat ε >, N N : n > N : s n s < ε Voor de partiële sommen van een reeks hebben we volgende formule: s n+k s n = u n+1 + u n u n+k. Het convergentiecriterium van Cauchy, toegepast op de rij der partiële sommen, neemt daarom volgende vorm aan. Stelling (convergentiecriterium van Cauchy) Een numerieke reeks n=1 u n is convergent dan en slechts dan als Definitie Een reeks Indien de reeks n=1 ε >, N : n > N, k 1 : u n+1 + u n u n+k < ε n=1 u n wordt een positieve reeks genoemd indien u n > voor elke n. u n positief is, dan geldt duidelijk dat s 1 < s 2 < s 3 < en de rij van de partiële sommen is dus stijgend. We kunnen dus concluderen (we verwijzen naar [WGAM] voor een bewijs): Stelling (basiskenmerk voor positieve reeksen) Een positieve reeks n=1 u n is convergent als en alleen als de rij der partiële sommen (s n ) begrensd is. Als de rij der partiële sommen niet begrensd is, dan divergeert de reeks naar +. 9

11 Hoofdstuk 2 Reeksen van functies 2.1 Uniforme convergentie van een rij functies Herinner je uit het vorige hoofdstuk dat een numerieke rij een afbeelding is N R; n u n, die we voor de eenvoud als (u n ) noteerden. Zij (a,b) R een (open) interval. Een rij van functies (op dit interval) is nu een afbeelding van N naar R (a,b) (hierbij is R (a,b) = { f : (a,b) R f is een functie}). Met andere woorden, een rij van functies associeert met elk natuurlijk getal een functie u n : (a,b) R. We zullen zulk een rij van functies doorgaans met u n (x), of kortweg -indien de context geen verwarring toelaat- met u n noteren; dit doen we om notationeel het verschil duidelijk te maken met numerieke rijen (die we met (u n ) noteerden). Beschouw nu een rij functies u n : (a,b) R. Voor elke x (a,b) kunnen we de numerieke rij (u n (x)) bekijken. We kunnen dan nagaan of deze rij een limiet heeft. Vandaar de volgende definitie. Definitie De rij functies u n convergeert puntsgewijs naar de functie l : (a,b) R indien voor elke x (a,b) geldt dat lim n u n(x) = l(x) of, met andere woorden, indien ε >, x (a,b), N ε,x : n > N ε,x = u n (x) l(x) < ε (2.1) Een analoge definitie kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. Opmerking In bovenstaande definitie gebruiken we de notatie N ε,x om te benadrukken dat het natuurlijke getal in kwestie van zowel ε als x afhangt. Het zal onmiddellijk duidelijk worden waarom we dat hier doen. Puntsgewijze limieten kunnen gemakkelijk berekend worden: beschouw de veranderlijke x als een parameter, en bereken de limiet alsof het de limiet van een gewone numerieke rij betreft. Puntsge- 1

12 wijze limieten hebben echter geen mooie eigenschappen. Zo is het mogelijk dat de puntsgewijze limiet van een rij continue functies niet langer continu is. Dit blijkt uit de volgende voorbeelden. Voorbeelden ) Beschouw de rij functies u n : R R gedefinieerd als volgt: 1 als x < 1 n ; u n (x) = nx als 1 n < x < 1 n ; 1 als x > n 1. De functies u n zijn overal continu. De puntsgewijze limiet is echter niet continu in : lim u n(x) = l(x) n met (Zie figuur 2.1) 1 als x < ; l(x) = als x = ; 1 als x >. 2 y=u_5(x) 2 y=l(x) y-as y-as x-as x-as Figuur 2.1: Een puntsgewijze limiet van continue functies is niet noodzakelijk continu 2) De puntsgewijze limiet van de rij functies u n : R R gedefinieerd door u n (x) = 1 + x 2 1 (1 + x 2 ) n wordt gegeven door (Zie figuur 2.2) { 1 + x 2 als x ; l(x) = lim u n (x) = n als x =. 11

13 1 y=u_1(x) 1 y=u_5(x) y-as 5 y-as x-as x-as 1 y=u_5(x) 1 y=l(x) y-as 5 y-as x-as x-as Figuur 2.2: Een puntsgewijze limiet van continue functies is niet noodzakelijk continu Om dat te verhelpen is een nieuwe definitie van convergentie van een rij functies nodig. Merk op dat in (2.1) de index N ε,x in het algemeen afhangt van x (en ook van de gekozen ε, natuurlijk). Indien N ε,x onafhankelijk van x kan gekozen worden, dan zeggen we dat de rij functies uniform convergeert. Definitie De rij functies u n convergeert uniform naar de functie l : (a,b) R indien ε >, N ε : n > N ε = x (a,b) : u n (x) l(x) < ε (2.2) Een analoge definitie kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. Opmerking Zowel de definitie van puntsgewijze als uniforme convergentie van een rij functies kan eenvoudig uitgebreid worden naar een willekeurig convex deel A R. Hiermee bedoelen we dat A een (open of gesloten) interval, een halve rechte of gans R mag zijn. Dit zal nuttig blijken in de volgende paragraaf. Meetkundig kunnen we dit als volgt zien: voor elke ε > en voor n groot genoeg ligt de grafiek van de kromme y = u n (x) tussen de grafieken van de functies y = l(x) ε en y = l(x) + ε (zie 12

14 figuur 2.3). Deze eigenschap geldt duidelijk niet voor de twee bovenstaande voorbeelden. l(x) + e l(x) l(x) e De kromme u n (x) ligt overal dicht bij l(x) a b x Figuur 2.3: Uniforme convergentie Stelling Als een rij functies u n (x) uniform convergeert naar l(x) over een interval (a,b), en indien de functies u n (x) continu zijn over (a,b) vanaf een zekere index M, dan is l(x) ook continu over (a,b). Een analoge eigenschap geldt voor gesloten intervallen. Bewijs. Kies ε > willekeurig, en x (a, b). Dan geldt: l(x + h) l(x) l(x + h) u n (x + h) + u n (x + h) u n (x) + u n (x) l(x) Omdat u n (x) uniform convergeert, bestaat er een index N ε 3 zo dat voor elke y (a,b) en n > N ε 3 geldt dat u n (y) l(y) < ε 3 in het bijzonder l(x + h) u n (x + h) < ε 3 en u n(x) l(x) < ε 3 (2.3) Kies nu n vast en groter dan de indices M en N ε 3. Dan is u n continu in x, en er bestaat een δ > zo dat h < δ = u n (x + h) u n (x) < ε (2.4) 3 Combineren van (2.3) en (2.4) geeft h < δ = l(x + h) l(x) < ε en dus is l continu in x. Stelling Onderstel dat u n : [a,b] R continu is, en dat u n (x) uniform convergeert naar l(x) over [a,b]. Dan geldt b b lim u n (x)dx = l(x)dx n a a Met andere woorden, we mogen dan limiet en integraal verwisselen. 13

15 Bewijs. We moeten aantonen dat ε >, N ε zodat n > N ε geldt dat b b u n (x)dx l(x)dx < ε. a a Kies dus ε willekeurig. Uit stelling volgt dat l continu is over [a,b], en bijgevolg kan geïntegreerd worden (cfr. [WAAM]). Omdat u n (x) uniform convergeert naar l(x) hebben we Voor alle n > N ε b a ε >, N ε : n > N b a b a ε, x [a,b] : l(x) u n(x) < ε b a. hebben we dus b a b b u n (x)dx l(x)dx = (u n (x) l(x))dx b a a a u n (x) l(x) dx < Kiezen we nu N ε = N ε, is het gestelde bewezen. b a ε(b a) b a Stelling Onderstel dat u n : (a,b) R continu afleidbaar is, dat u n (x) puntsgewijs convergeert naar l(x) over [a,b], en u n(x) uniform naar f (x) over (a,b). Dan is l(x) afleidbaar, en l (x) = f (x) = lim n u n(x) = ε Met andere woorden, we mogen dan limiet en afgeleide verwisselen. Bewijs. Omdat u n uniform convergeert naar f over elk gesloten deelinterval [x,x] van (a,b) hebben we, vanwege stelling 2.1.7: x x f (t)dt = lim u x n n(t)dt = lim u n (x) u n (x ) = l(x) l(x ) x n Beide leden afleiden naar x geeft f (x) = d dx x x f (t)dt = l (x). Hierbij gebruikten we de Hoofdstelling van de Calculus (cfr. [WAAM]). Net zoals in het geval van een numerieke rij bestaat er een criterium voor uniforme convergentie van een rij functies waarin de limietfunctie l(x) niet voorkomt: Stelling (criterium van Cauchy) De rij functies u n convergeert uniform over het interval (a,b) dan en slechts dan als ε >, N ε : m,n > N ε = x (a,b) : u n (x) u m (x) < ε (2.5) Een analoge eigenschap kunnen we opschrijven voor rijen van functies gedefinieerd op een gesloten interval. 14

16 Bewijs. Onderstel dat u n uniform convergeert over het interval (a,b) naar een functie l(x). Voor elke ε > bestaat dan een index N ε 2 zo dat voor n > N ε 2 en x (a,b) geldt dat Voor n,m > N ε 2 en x (a,b) geldt dus: u n (x) l(x) < ε 2 u n (x) u m (x) u n (x) l(x) + l(x) u m (x) < ε 2 + ε 2 = ε en dus is voldaan aan (2.5) indien we N ε = N ε 2 kiezen. Omgekeerd, onderstel dat de rij u n voldoet aan (2.5). Dan is voor elke x (a,b) de numerieke rij (u n (x)) een Cauchyrij. De rij (u n (x)) is dus convergent; noem de limiet l(x). u n (x) convergeert dan puntsgewijs naar l(x), en de stelling is bewezen als we kunnen aantonen dat deze convergentie ook uniform is. Bij onderstelling is u n (x) u m (x) < ε zodra n,m > N ε, en ongeacht x. Dus geldt voor elke x (a,b): lim u n(x) u m (x) ε m en dus u n (x) l(x) ε < 2ε voor elke n > N ε en x (a,b). De convergentie is dus uniform. Opmerking Voor een vector v R n kan men de lengte (of norm) invoeren: v = n v 2 i i=1 Voor een functie die begrensd is over een interval [a,b] kan men ook een norm definiëren. Men doet dit als volgt: De norm van een begrensde functie f : [a,b] R wordt gegeven door de formule f = sup{ f (x) : a x b} (2.6) De definitie van uniforme convergentie van een rij functies kan nu als volgt herschreven worden: de rij functies u n convergeert uniform over [a,b] naar de functie l : [a,b] R indien ε >, N : n > N = u n l < ε (2.7) Herschrijf zelf het convergentiecriterium van Cauchy met behulp van de norm. 15

17 2.2 Uniforme convergentie van een reeks functies Net zoals we voor een numerieke rij (u n ) de rij der partieelsommen konden beschouwen -hetgeen de definitie van een numerieke reeks, genoteerd n=1 u n, gaf- kunnen we, nu vertrekkende van een rij van functies u n : (a,b) R ook een rij der partieelsommen gaan bekijken. Hiertoe zal het soms handig zijn om toe te laten dat de functies u n op algemene convexe delen van R gedefinieerd zijn. Namelijk, zij A een deel van R. We zullen meestal aannemen dat A convex is, d.w.z. A is een (open, halfopen of gesloten) interval, een (open of gesloten) halve rechte, of gans R. Beschouw een rij functies u n : A R R. De uitdrukking u n (x) n=1 noemen we een reeks van functies. De n-de partiële som s n (x) = n i=1 u i (x) is dan ook een functie van x, eveneens op A gedefinieerd. We zeggen dat n=1 u n (x) puntsgewijs convergent is over A met som s(x) als de rij van functies s n (x) puntsgewijs convergeert over A, i.e. als voor elke x A, of, met andere woorden, indien lim s n(x) = s(x) n ε >, x A, N ε,x : n > N ε,x = s(x) s n (x) < ε Om de puntsgewijze convergentie van de reeks n=1 n=1 elke x A de convergentie van de numerieke reeks u n (x) te onderzoeken volstaat het dus om voor u n (x ) te onderzoeken. Voorbeeld Beschouw de rij van functies u n : ( 1,1) R gedefinieerd door u n (x) = x n 1 te nemen. Uit [WGAM] weten we dat -onze huidige terminologie gebruikend- de reeks van functies u n (x) puntsgewijs convergeert over ( 1,1) met als reekssom de functie s(x) = 1/(1 x). n=1 Een reeks van functies convergeert dus per definitie puntsgewijs indien de rij van de partiële sommen puntsgewijs convergeert. In 2.1 hebben we eveneens een sterkere vorm van convergentie van rijen van functies besproken: uniforme convergentie. Uniforme convergentie heeft een aantal interessante eigenschappen: zo is bijvoorbeeld de uniforme limiet van een rij continue functies opnieuw continu, en deze eigenschap geldt niet voor puntsgewijze convergentie. 16

18 We noemen de reeks n=1 u n (x) uniform convergent over A met som s(x) indien de rij (van functies) der partiële sommen s n (x) uniform convergeert naar s(x) over A, of, met andere woorden, indien ε >, N ε : x A : n > N ε = s(x) s n (x) < ε We hebben onmiddellijk de volgende eigenschappen. Stelling Als n=1 u n (x) uniform convergeert naar s(x) over het interval (a,b), en de functies u n zijn continu over (a,b), dan is s(x) continu over (a,b). Bewijs. s(x) is de uniforme limiet van de rij continue functies s n (x), en is dus continu vanwege stelling Stelling Onderstel dat de functies u n : [a,b] R continu zijn, en dat convergent is over [a,b]. Dan geldt dat b a s(x)dx = b u n (x)dx n=1 a n=1 u n (x) = s(x) uniform met andere woorden, een uniform convergente reeks mag term per term geïntegreerd worden. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling Stelling Onderstel dat de functies u n : (a,b) R een continue afgeleide bezitten, en dat de reeks n=1 u n (x) = s(x) puntsgewijs convergeert over (a,b). Indien de reeks convergeert over (a,b), dan is n=1 n=1 u n(x) uniform u n(x) = s (x), m.a.w. men mag de reeks term per term afleiden. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling Stelling (criterium van Cauchy) De reeks u n (x) convergeert uniform over A als en alleen als n=1 ε >, N ε : x A, n > N ε, p > : u n+1 (x) + u n+2 (x) + + u n+p (x) < ε Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling In de praktijk is het criterium van Cauchy niet erg handig. In de volgende twee stellingen geven we twee meer eenvoudige criteria. 17

19 Stelling (criterium van Weierstrass) Beschouw een rij functies u n : A R R. Indien u n (x) m n voor elke n > N en x A, en indien m n een convergente numerieke reeks is, dan is u n (x) uniform convergent over A. Bewijs. Omdat m n convergeert, geldt, vanwege stelling ε >, N ε : n > N ε, p > : m n+1 + m n m n+p < ε Voor elke n > max{n,n ε } en x A geldt nu dat u n+1 (x) + u n+2 (x) + + u n+p (x) m n+1 + m n m n+p < ε en uit stelling volgt dat u n (x) uniform convergent over A. Stelling Als functie is, dan is n=1 n=1 u n (x) = s(x) uniform convergeert over A, en f : A R R een begrensde f (x)u n (x) uniform convergent met som f (x)s(x). Bewijs. Onderstel dat f (x) < m, voor elke x A. Voor elke ε > bestaat een index N ε m voor elke n > N ε m en x A geldt dat zodat s(x) s n (x) < ε m en hieruit volgt dat f (x)s(x) f (x)s n (x) < ε m m = ε en dit betekent dat f (x)u n (x) uniform convergent is met som f (x)s(x). n=1 In de komende paragrafen bespreken we puntsgewijze en uniforme convergentie van enkele specifieke reeksen van functies. In 2.3 bekijken we zogehete machtreeksen; in zekere zin de meest eenvoudige soort reeksen van functies. In 2.4 beschouwen we het omgekeerde vraagstuk; we gaan na onder welke voorwaarde we een functie kunnen benaderen door (i.e. schrijven als -puntsgewijze of uniforme- reekssom van) een reeks van veeltermfuncties. Dit geeft aanleiding tot de theorie der Taylorreeksen. De inhoud van 2.3 en 2.4 kwam reeds aan bod in [WGAM], maar met onze huidige definities en eigenschappen is het nu mogelijk de resultaten van toen preciezer te formuleren. In 2.5 bespreken we reeksen van sinus-en cosinusfuncties en gaan we na onder welke voorwaarde we een functie kunnen schrijven als puntsgewijze of uniforme- reekssom van zulk een goniometrische reeks van functies. Dit zal aanleiding geven tot de theorie van de Fourierreeksen, een krachtig en in de (ingenieurswetenschappelijke) praktijk vaak gebruikt instrument. 18

20 2.3 Machtreeksen Definitie Een machtreeks is een reeks van functies van de vorm a n(x a) n, waarbij a i R, i. Jullie noteerden zulk een reeks van functies ook wel als a n(x a) n = a + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 + in [WGAM]. Merk op dat, om ook de constante term in rekening te kunnen brengen, de sommatie in bovenstaande definitie bij de index n = aanvangt. Bemerk ook het volgende: voor wat de convergentie van een machtreeks betreft, volstaat het het geval a = te bestuderen. Immers, als we de substitutie u = x a uitvoeren, dan vinden we Lemma Onderstel dat r > en Dan is convergeert. a n (x a) n = a n u n lim a nr n = en x < r n a n x n een absoluut convergente numerieke reeks, i.e. de numerieke reeks a n x n Bewijs. Er bestaat een index N zodat voor elke n > N geldt dat a n r n < 1. Kies α [,1) zodat x < αr. Dan geldt voor elke n > N dat De meetkundige reeks (cfr. [WGAM]), kunnen we via besluiten dat a n x n < a n α n r n < α n α n is een convergente numerieke reeks, en uit het vergelijkend criterium Onderstel dat lim a nr n = n Indien s r, dan geldt voor elke n dat en dus is ook Stelling Beschouw een machtreeks Dan geldt a n x n convergeert. a n s n a n r n lim a ns n = n a n x n, en stel R = sup{r lim n a n r n = } 19

21 1. x < R = 2. x > R = a n x n absoluut convergente numerieke reeks; a n x n divergente numerieke reeks. Bewijs. 1) Kies r zodat x < r < R. Uit het bovenstaande volgt dat lim a nr n = (Waarom?) n en uit lemma volgt dat de reeks a n x n absoluut convergeert. 2) Als x > R, dan is het onmogelijk dat lim n a n x n =, want dat zou impliceren dat x sup{r lim n a n r n = } = R Dus is lim n a n x n, en de reeks is divergent (cfr. [WGAM]). De machtreeks convergeert dus absoluut (i.e. a n x n convergeert puntsgewijs) op het interval ( R, R), en convergeert niet (noch uniform, noch puntsgewijs) op (, R) (R, +). Enkel in de punten R en R is er nog onzekerheid. Alles is er mogelijk: convergentie in beide punten, divergentie in beide punten, en convergentie in het een en divergentie in het ander. R noemen we de convergentiestraal van de machtreeks, en ( R, R) het convergentieinterval. In de volgende twee stellingen zullen we formules zien die toelaten om in veel gevallen R te berekenen. Stelling Beschouw een machtreeks a n x n. Als a n L = lim n a n+1 bestaat, dan is L = R, de convergentiestraal van de machtreeks. Bewijs. Als x < L, dan is lim a n+1 n+1x a n+1 x x n a n x n = lim = n a n L < 1. De verhoudingstest voor positief numerieke reeksen (cfr. [WGAM]) staat toe te besluiten dat a n x n absoluut convergeert. Dus is L < R. Op dezelfde manier volgt dat anders zijn dan dat R = L. a n x n divergeert als x > L, d.w.z. dat L R. Het kan dus niet 2

22 Stelling Beschouw een machtreeks a n x n. Als Λ = lim n n a n bestaat, dan is 1/Λ = R, de convergentiestraal van de machtreeks. Bewijs. De stelling volgt uit het convergentiekenmerk van Cauchy (ook genaamd de worteltest, cfr. [WGAM]) en verloopt analoog aan het bewijs van de vorige stelling. Bewijs het gestelde zelf als oefening. Voorbeelden ) Beschouw de volgende machtreeks Deze convergeert absoluut op heel R, want 2) Beschouw de machtreeks De convergentiestraal is x n n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + a n (n + 1)! R = lim = lim = + n a n+1 n n! (n + 1)x n = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + a n n + 1 R = lim = lim n a n+1 n n + 2 = 1 De machtreeks convergeert dus absoluut op ( 1,1). In de eindpunten x = ±1 is de reeks divergent. 3) Beschouw de machtreeks x n n=1 n = x + x2 2 + x3 3 + De convergentiestraal is R = lim n a n a n+1 = lim n 1/n 1/n + 1 = 1 De machtreeks convergeert dus absoluut op ( 1,1). Voor x = 1 is de reeks divergent (harmonische reeks), en voor x = 1 is ze (relatief) convergent (alternerende harmonische reeks). Het convergentieinterval is dus [ 1,1). 4) Beschouw de machtreeks n n x n = 1 + x + 4x x 3 + Het invers van de convergentiestraal is 1 R = lim n an = lim n = + n n en de convergentiestraal R =. De machtreeks convergeert dus alleen voor x =. 21

23 Uniforme convergentie van machtreeksen Hiervoor bespraken we reeds puntsgewijze convergentie van een machtreeks. Nu is het de beurt aan uniforme convergentie. Stelling Onderstel dat R de convergentiestraal is van de machtreeks convergeert uniform over elk gesloten interval [ r,r], met r < R. a n x n. De machtreeks Bewijs. Kies r < R. De reeks a n r n is convergent, en voor elke x [ r,r] hebben we dat a n x n a n r n Het gestelde volgt nu uit het kenmerk van Weierstrass (stelling 2.2.6). Gevolg De som van een machtreeks s(x) = a n x n is continu over ( R,R). Bewijs. Onderstel x ( R,R), en neem r zodat x < r < R. De machtreeks is uniform convergent over [ r,r] (stelling 2.3.7) en dus is s continu over ( r,r) (stelling 2.2.2). In het bijzonder is s continu in x. Zonder bewijs vermelden we ook de volgende stelling, waarin continuïteit in de randpunten van het convergentieinterval wordt behandeld. Stelling (stelling van Abel) Indien de machtreeks a n x n convergeert in x = R (of x = R), dan is de som van de machtreeks, s(x), linkscontinu in R (rechtscontinu in R). Afleiden en integreren van machtreeksen Lemma De machtreeks n=1 Bewijs. Zij R de convergentiestraal van de machtreeks na n x n 1 heeft dezelfde convergentiestraal als R = sup{r lim n a n r n = } (stelling 2.3.3). Het volstaat nu aan te tonen dat de numerieke reeks na n x n 1 absoluut convergent is voor x < R en divergent voor x > R. Onderstel eerst dat x < R, en kies r > en α [,1) zo dat x < αr < r < R a n x n. We weten dat n=1 a n x n. 22

24 Omdat lim a nr n = n bestaat een index N zodat voor elke n > N geldt dat en dus a n r n < 1 n a n x n 1 < n a n α n 1 r n 1 < nαn 1 r Omdat α < 1 is nα n 1 convergent (verhoudingstest voor positieve reeksen, cfr [WGAM]), en uit het vergelijkend kenmerk volgt dat Indien x > R, dan is en dus is en bijgevolg is n=1 n=1 na n x n 1 divergent. na n x n 1 absoluut convergent is. lim a n x n n lim na n x n 1 n We kunnen nu aantonen dat machtreeksen binnen het convergentieinterval term per term mogen afgeleid en geïntegreerd worden. Stelling Beschouw een machtreeks reekssom. Voor elke x,x ( R,R) geldt dat a n x n met convergentiestraal R en noteer s(x) de x s (x) = x s(t)dt = n=1 na n x n 1 (2.8) a n n + 1 (xn+1 x n+1 ) (2.9) Bewijs. Kies r < R zo dat x,x ( r,r). Uit stelling volgt dat de machtreeks uniform convergent is over [ r,r], en a fortiori over ( r,r). (2.9) volgt nu onmiddellijk uit stelling In stelling hebben we gezien dat R ook de convergentiestraal van de machtreeks n=1 na n x n is. Uit stelling volgt nu dat ook deze reeks uniform convergent is over ( r,r), en (2.8) volgt nu onmiddellijk uit stelling Gevolg De reekssom s(x) van de machtreeks a n x n is onbeperkt afleidbaar over het interval ( R,R). De i-de afgeleide s (i) (x) is de som van de machtreeks (n+i)! n! a n+i x n. 23

25 Voorbeelden ) Beschouw opnieuw de machtreeks xn. De convergentiestraal is 1, dus convergeert deze machtreeks uniform naar haar reekssom 1 x 1 op het interval ( 1,1). 1 Vervangen we x door x in bovenstaande formule, dan bekomen we dat 1+x de reekssom is van de machtreeks ( 1)n x n op ( 1,1) en stelling leert ons dat x ( 1,1) geldt dat ( 1) n x 1 1 +t dt = ( 1) n n + 1 (xn+1 ), i.e. de machtreeks n+1 (xn+1 ) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + convergeert uniform naar ln(1 + x) op ( 1,1). Ga zelf na als oefening dat deze machtreeks divergeert in het randpunt x = 1 (harmonische reeks) en convergeert in het randpunt x = +1 (alternerende harmonische reeks). Wensen we nu bijvoorbeeld ln(2) te benaderen via bovenstaande machtreeks, dan staat de stelling van Abel ons dat toe; ln(2) is immers de linkerlimiet van de functie ln(1+x) voor x naderend naar 1, dus we kunnen schrijven dat ln(2) = ( 1) n+1 = 1 1 n=1 n ) Beschouw nu de machtreeks ( 1)n x 2n. Deze convergeert uniform op ( 1,1) naar de 1 functie. Passen we, net zoals in het voorbeeld hierboven, stelling toe, dan vinden we 1+x 2 dat x 1 bgtg(x) = 1 +t 2 dt = ( 1) n 2n + 1 (x2n+1 ). Deze machtreeks is nu convergent in beide randpunten x = ±1 (hyperharmonische reeksen), zodat we bovenstaande formule kunnen gebruiken om bijvoorbeeld het getal π te benaderen. Immers, π 4 = bgtg(1) en bgtg(1) = ( 1) n 2n+1, zodat π = 4 ( 1) n 2n + 1 = Merk op dat de twee bovenstaande voorbeelden nogal ad hoc zijn om ln(2), resp. π te benaderen. In de volgende paragraaf bekijken we een methode om dit directer te doen (gebruik makende van de zogehete formule van Taylor). 3) Term per term afleiden van de machtreeks xn+1 1 levert dat de reekssom is van de (1 x) 2 machtreeks (n + 1)xn = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 + op het interval ( 1,1). Men kan deze formule ook rechtstreeks bewijzen. Doe dit zelf als oefening. Vermenigvuldiging van machtreeksen Voor enkele benaderingen waarvan in volgende hoofdstukje sprake, zal het handig zijn om iets te kunnen zeggen over producten van machtreeksen. Daartoe eerst het volgende. 24

26 Onderstel dat a n en per definitie de reeks met algemene term met andere woorden, b n twee numerieke reeksen zijn. Het product van deze twee reeksen is c n = a b n + a 1 b n 1 + a 2 b n a n b = n i= ) ) c n = a b + (a b 1 + a 1 b + (a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b + = Zowel de haakjes als de volgorde van de termen is van belang. Stelling (stelling van Cauchy) Als de reeksen is ook de productreeks van de sommen van beide reeksen. a n en a i b n i n ) a i b n i ( i= b n absoluut convergent zijn, dan c n absoluut convergent, en de som van de productreeks is het product ( )( ) c n = a n b n Bewijs. Dit bewijs is opgenomen voor de liefhebbers. De anderen kunnen opgelucht adem halen. We bewijzen eerst dat c n absoluut convergent is. Schrijf s n = n i= a i en t n = We zullen aantonen dat de partiële sommen van de reeks n c j = j= n j= j n i b j i i=a j= n n i= k= a i b k = j i= n i= b i ( n ) a i ( i= c n begrensd zijn. a i b j i = i,k n n k= i+k n ) b k = s nt n a i b k Omdat de partiële sommen s n en t n zijn begrensd, zijn de partiële sommen van de productreeks c n begrensd,en de productreeks is absoluut convergent. Schrijf nu s n = n i= a i en t n = n b k k= 25

27 zodat We hebben ook dat en dus is 2n j= Voor n groot genoeg worden 2n c j = j= s n t n = 2n j= j i= n n i= k= a i b j i = a i b k c j s n t n = n<i 2n k n i+k 2n a i b k + = ( n<i 2n k n i+k 2n 2n n i=n+1 k= 2n i=n+1 2n a i en i=n+1 a i b k i,k 2n i+k 2n a i b k n<k 2n i n i+k 2n a i b k + n<k 2n i n i+k 2n a i b k a i b k + a i )s n + ( 2n b i i=n+1 2n n k=n+1 i= 2n i=n+1 b i )t n willekeurig klein (criterium van Cauchy); s n en t n zijn begrensd, zodat 2n j= c j s n t n a i b k willekeurig klein kan gemaakt worden door n groot genoeg te nemen. Hieruit volgt dat c n = lim s n t n = lim s n lim t n = n n n ( )( ) a n b n Onderstel nu dat twee machtreeksen a n x n en b n x n gegeven zijn. Het product van deze twee reeksen is de machtreeks ( n ) a i b n i x n = a b + (a b 1 + a 1 b )x + (a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b )x 2 + i= Uit stelling volgt onmiddellijk 26

28 Stelling De convergentiestraal van het product van twee machtreeksen is tenminste gelijk aan het minimum van de convergentiestralen van deze twee machtreeksen. Bewijs. Onderstel van niet. Neem x zodanig dat x groter is dan de convergentiestraal van de productreeks, maar kleiner dan de convergentiestralen van de twee gegeven reeksen. Uit stelling volgt dat de productreeks absoluut convergeert in x, en dit is strijdig met de onderstelling dat x groter is dan de convergentiestraal van de productreeks. 2.4 Taylorreeksen In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de som van een machtreeks een onbeperkt afleidbare functie op het convergentieïnterval van de machtreeks is. In enkele gevallen konden we deze functie bepalen. We bekijken nu het omgekeerde probleem: gegeven is een functie f (x) die onbeperkt afleidbaar is in een omgeving van het punt a. Kan deze functie geschreven worden als som van een machtreeks (op een omgeving van a)? Om dit probleem op te lossen herhalen we de formule van Taylor. We verwijzen naar [WGAM] voor een bewijs van dit resultaat. Stelling (formule van Taylor) Onderstel dat f : (a r,a+r) R een onbeperkt afleidbare functie is en dat x (a r,a + r). Voor elke n N bestaat een ξ n (x) (a,x) zodanig dat f (x) = s n (x) + r n (x) met met s n (x) = n i= s n (x) is de n-de partiële som van de machtreeks f (i) (a) (x a) i i! r n (x) = f (n+1) (ξ n (x)) (x a) n+1 (n + 1)! f (n) (a) (x a) n n! Deze machtreeks noemt men de Taylorreeks van f in het punt a. Als lim r n(x) = n dan is of f (x) = lim s n(x) = f (x) n f (n) (a) (x a) n n! 27

29 en in dit geval kan f (x) geschreven worden als een (uniforme) reekssom van een machtreeks. Indien de Taylorreeks van de functie f (uniform) convergeert naar f (x) voor x in een omgeving van het punt a, dan zeggen we dat f analytisch is in het punt a. In hetgeen volgt zullen we de Taylorreeks van enkele belangrijke functies bestuderen. De exponentiële functie We schrijven de formule van Taylor op voor de functie f (x) = e x in het punt. We vinden gemakkelijk dat f (n) (x) = e x en f (n) () = 1 zodat e x = s n (x) + r n (x) met en s n (x) = 1 + x + x2 2! + x3 xn + + 3! n! r n (x) = xn+1 n + 1! eξ n met ξ n (,x). Als x, dan is e ξ n < e x, en als x, dan is e ξ n < 1. In beide gevallen geldt (cfr. [WGAM]) r n (x) x n+1 n + 1! e x n zodat voor elke x R. e x = x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 + (2.1) 3! De hyperbolische functies Als we x vervangen door x in (2.1), dan vinden we e x = ( 1) n x n = 1 x + x2 n! 2! x3 + (2.11) 3! voor elke x R. Aan de hand van de exponientiële functie definieert men de zogehete hyperbolische functies. De hyperbolische sinusfunctie is gedefinieerd als sh(x) = ex e x. 2 Analoog definieert men de hyperbolische cosinusfunctie als ch(x) = ex e x. 2 28

30 Laatsgenoemde functie is van belang in sommige architecturale toepassingen. Hier komen we in het hoofdstuk over variatierekening op terug. Gebruik makende van (2.1) en (2.11) vinden we nu dat voor elke x R geldt dat sh(x) = x + x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 (2n + 1)! ch(x) = 1 + x2 2 + x4 4! + = x 2n (2n)! (2.12) (2.13) De goniometrische functies Als we de formule van Taylor opschrijven voor de functie f (x) = sinx vinden we sinx = s n (x) + r n (x) met s 2n (x) = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! en met ξ 2n (,x). We zien gemakkelijk dat r 2n (x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! cos(ξ 2n) voor elke x R, zodat r 2n (x) x 2n+1 n (2n + 1)! sinx = x x3 3! + x5 5! = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! voor elke x R. Op volledig analoge wijze vinden we cosx = 1 x2 2 + x4 4! = ( 1) n x 2n (2n)! (2.14) (2.15) Opnieuw verwijzen we naar [WGAM] voor details. De binomiaalreeks Neem m R en beschouw de functie (onderstel x > 1) 1 f (x) = (1 + x) m Toepassing van de formule van Taylor levert f (x) = s n (x) + r n (x), met s n (x) = 1 + mx + m(m 1) x Herinner je dat -per definitie- voor r R en a > geldt dat a r = e rln(a). m(m 1)(m 2) (m n + 1) x n n! 29

31 en r n (x) = Als m N, dan is r n = voor n > m. We krijgen dan m(m 1)(m 2) (m n) x n+1 (1 + θx) m n 1 (n + 1)! f (x) = (1 + x) m = m i= ( ) m x i i en dit is niets anders dan het binomium van Newton 2. Immers, de binomiaalcoëfficiënten worden gegeven door de formule ( ) m m! m(m 1)(m 2) (m i + 1) = = i i!(m i)! i! Voor m R definiëren we nu de binomiaalcoëfficiënten als volgt ( ) m m(m 1)(m 2) (m i + 1) = i i! De Taylorreeks van f (x) is dan De convergentiestraal van deze machtreeks is ( ) m x n n lim a n n + 1 = lim = 1 n a n+1 n m n Men kan aantonen dat lim n r n (x) = als 1 < x < 1 en we kunnen dus besluiten dat (1 + x) m = voor 1 < x < 1. Voor m = 1/2 vinden we bijvoorbeeld 1 + x = 1 + x 2 x x x ( ) m x n (2.16) n 2 We vermelden ter zijde dat hetgeen wij als Taylor- of Mc Laurinontwikkeling kennen, weinig met Taylor of Mc Laurin te maken heeft. Het was Newton die reeds in het bezit was van reeksontwikkelingen van o.m. de exponentiële, sinus-, cosinus-, tangens-, cotangens- en boogsinusfunctie. De foutterm in de formule van Taylor is toe te schrijven aan Legendre (die had Newton nog niet). Tenslotte noteren we nog dat het Newtons eigen reeksontwikkeling van de exponentiële functie was die hem ertoe heeft aangezet zijn algoritme uit de numerieke analyse voor het benaderen van nulpunten van functies op te stellen. Hier komen we in het laatste deel van de cursus op terug. 3

32 Samenvatting 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + = ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = n=1 x n ( 1 x < 1) ( 1) n+1 x n e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = x n (x R) n! sh(x) = x + x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 (x R) (2n + 1)! ch(x) = 1 + x2 2 + x4 4! + = x 2n (x R) (2n)! sinx = x x3 3! + x5 5! = ( 1) n x 2n+1 (x R) (2n + 1)! cosx = 1 x2 2 + x4 (1 + x) m = ( m n 4! = ) x n ( 1 < x < 1) ( 1) n x 2n (2n)! n (x R) ( 1 < x 1) Opmerkingen ) Men zou kunnen denken dat, indien de Taylorreeks van f convergeert, dat ze dan automatisch naar de functie convergeert. Dit is niet noodzakelijk het geval. Beschouw bijvoorbeeld de functie { f (x) = e 1 x 2 als x ; als x =. Voor x is f (n) (x) = P(x) Q(x) e 1 x 2 waarbij P en Q veeltermen zijn (verifieer dit zelf). Per inductie kunnen we dan aantonen dat f (n) () = voor elke n. Immers, als f (n) () =, dan is f (n+1) P(h) 1 () = lim h hq(h) e h 2 Als we nu de formule van Taylor toepassen, dan vinden we s n (x) = voor elke n. De Taylorreeks is dus, en de Taylorreeks convergeert, maar niet naar de functie f! 2) In het algemeen zal de Taylorreeks sneller convergeren naarmate x dichter bij het punt a komt te liggen. Als we x ver van a nemen, dan kan de convergentie zeer traag zijn, en in vele gevallen 31

33 totaal ongeschikt voor praktische berekeningen. Neem bijvoorbeeld de reeksontwikkeling voor de sinusfunctie, en schrijf deze neer voor x = 1: sin1 = en dit is natuurlijk geen erg goede benadering voor een getal dat tussen 1 en 1 moet liggen. De algemene term in de reeks begint pas vanaf de 5ste term te dalen! De 5ste term is 115 5!, en dit is een astronomisch groot getal. De voorbeelden die we besproken hebben zijn natuurlijk de eenvoudigste die we konden kiezen. Als een willekeurige functie f gegeven is, dan is het gewoonlijk niet mogelijk om een algemene formule voor de n-de afgeleide op te stellen, zodat we de algemene term in de Taylorreeks niet kunnen opschrijven. In veel gevallen kunnen we stelling gebruiken om de Taylorreeks te bepalen. Voorbeelden ) Voor elke x R hebben we e x sinx = (1 + x + x2 2! + x3 )( 3! + x x3 3! + x5 ) 5! ( 1 = x + x ( 1 x 6) x 6) 4 + 2) Voor elke x R geldt met Als x = x + x 2 + x3 3 x5 3 + cosx = 1 x2 2 + x4 4! = 1 u u = x2 2 x4 4! + ( ) π 2, π 2, dan is < cosx 1, zodat u (,1) en ( ) x 5 + en tgx = sinx cosx = (x x3 3! + x5 ) 5! ( ( x x4 4! + x6 ) 6 + ( 1 = x x 6) 3 + = x + x x cosx = 1 1 u = 1 + u + u2 + u 3 + ( x x4 4! + x6 ( ) x ) 2+ ( x 2 2 x4 ) ) 3+ 4! + 32

34 ( ) voor elke x π 2, π 2. 3) Beschouw de functie f (x) = x e x 1 Onderstel dat de Taylorreeks van f coëfficiënten a,a 1, heeft. Dan is f (x) = x e x 1 = a + a 1 x + a 2 x 2 + en (a + a 1 x + a 2 x 2 + ) (x + x2 2 + x3 ) 6 + Identificeren van coëfficiënten in gelijke machten van x geeft a = 1 a 2 + a 1 = 1 a 6 + a a 2 = Hieruit kunnen a,a 1,a 2, recursief berekend worden. Men vindt x e x 1 = 1 x 2 + x2 12 x Het nadeel van deze methode is dat we niet weten wanneer de Taylorreeks convergeert. = x 2.5 Goniometrische reeksen Een goniometrische reeks is een reeks van functies van de vorm Hierbij zijn a, a i en b i (i N ) reële getallen. a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) (2.17) n=1 Opmerkingen ) De factor 1/2 werd ingevoerd om technische redenen; sommige formules die we verderop zullen zien, vereenvoudigen hierdoor een beetje. 2) Alle termen in de reeks (2.17) zijn periodiek met periode 2π. Als de reeks (2.17) (puntsgewijs) convergeert, dan is ook de reekssom, zegge f (x), periodiek met periode 2π, dit wil zeggen f (x + 2kπ) = f (x) voor elke x R en k Z. Het zal blijken dat goniometrische reeksen een geschikt instrument vormen om periodieke functies te bestuderen. 33

35 Beschouwen we een periodieke functie f : R R met periode 2π. Bekijken we nu opnieuw een reeks van functies zoals in (2.17). De vraag die we ons stellen, is: Hoe moeten de coëfficiënten a, a i en b i gekozen worden opdat (2.17) puntsgewijs/uniform convergeert naar f op R? Onderstel nu dat de reeks (2.17) uniform convergeert over een interval [a, a + 2π], en schrijf s voor de som van de reeks. We verkrijgen zo een functie s : R R waarvan we weten dat ze periodiek is met periode 2π (zie opmerking 2) hierboven). Bovendien is s continu (zie stelling 2.2.2). We noteren dus s(x) = a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) (2.18) n=1 We zullen nu aantonen dat de coëfficiënten a n en b n kunnen bepaald worden uit de functie s. Inderdaad, neem m ( Z en beschouw de functie s(x)cos(mx). ) Deze functie is de reekssom van de reeks van functies a 2 + n=1 (a n cosnx + b n sinnx) cos(mx) over [a, a + 2π]. Bovendien is ze continu op het interval en is de convergentie uniform (dit volgt uit stelling 2.2.7). Gebruik makend van stelling vinden we nu a+2π a s(x) cos mxdx = = a 2 a+2π ( a a a+2π a 2 + n=1 Aangezien voor m,n Z geldt (reken zelf na): a+2π a a+2π a a+2π a sinnxdx = cosmxdx + a+2π sinnxcosmxdx = a sinnxsinmxdx = vinden we (δ nm is de zogehete Kroneckerdelta) a+2π a ) (a n cosnx + b n sinnx) cos mxdx a+2π n=1 a cosnxdx = a+2π a s(x)cosmxdx = πa m Op analoge wijze vinden we (vermenigvuldig met sinmx) (a n cosnx + b n sinnx)cosmxdx cosnxcosmxdx = πδ nm en (integreer s van a tot a + 2π): We kunnen dus besluiten: a+2π a a+2π a s(x)sinmxdx = πb m s(x)dx = πa 34

36 Stelling Als de reeks (2.18) uniform convergeert met reekssom s(x), dan worden de coëfficiënten a n en b n gegeven door de formules a n = 1 π b n = 1 π a+2π a a+2π a s(x) cos nxdx s(x) sin nxdx (2.19) Dankzij de factor 1/2 in (2.17) geldt de eerste formule van (2.19) zowel voor n = als voor n >. Keren we terug naar ons vraagstuk. Onderstel nu dat f : R R een functie is met periode 2π, en dat f een stuksgewijs continue functie is over het interval [a,a+2π]. f hoeft dus niet noodzakelijk continu te zijn. We berekenen nu de coëfficiënten a n en b n zoals in de formules (2.19), en schrijven de reeks (2.17) op a 2 + (a n cosnx + b n sinnx) n=1 Men noemt deze reeks de Fourierreeks van de functie f. A priori weten we niet of deze reeks al dan niet convergeert. En als de reeks convergeert, dan weten we ook niet of de reekssom f (x) is 3. We gaan nu volgende vragen bestuderen. 1) Wanneer convergeert de reeks (2.17) puntsgewijs naar de functie f? 2) Wanneer convergeert de reeks (2.17) uniform naar de functie f? Het antwoord op de tweede vraag kan uiteraard alleen maar positief zijn als f een continue functie is. Om een antwoord te kunnen geven op 1), hebben we eerst een definitie nodig. We zeggen dat een functie f voldoet aan een rechtervoorwaarde van Lipschitz in het punt a als de rechterlimiet f (a+) bestaat en als er een constante c > en δ > bestaan zodat < h < δ = f (a + h) f (a+) ch Op dezelfde manieren definiëren we de linkervoorwaarde van Lipschitz. f voldoet aan zulk een voorwaarde in a als f (a ) bestaat en als er een constante c > en δ > bestaan zodat < h δ = f (a h) f (a ) ch Als f een eindige rechterafgeleide bezit in het punt a (eventueel nadat men in a de functiewaarde vervangen heeft door de rechterlimiet in a), dan voldoet f in a aan een rechtervoorwaarde van Lipschitz. Immers, de limiet f +(a) f (a + h) f (a+) = lim h + h 3 Dat dit laatste niet steeds het geval is blijkt uit het volgende voorbeeld: neem een uniform convergente goniometrische reeks, en de reekssom f. Wijzig f in één punt a, en zet deze wijziging periodiek voort. De Fourierreeks van de aldus bekomen functie is nog steeds de oorspronkelijke reeks, maar in het punt a convergeert deze niet naar de functiewaarde. 35

37 bestaat en is eindig. Er bestaat dus een δ > zodanig dat voor < h < δ geldt: of en hieruit volgt dat f (a + h) f (a+) h f +(a) < 1 ( f +(a) 1)h < f (a + h) f (a+) < ( f +(a) + 1)h f (a + h) f (a+) < ( f +(a) + 1)h Zonder bewijs kunnen we nu volgende belangrijke stellingen formuleren. Stelling (Stelling van Dirichlet) Onderstel dat de functie f : R R stuksgewijs continu is, en periodiek is met periode 2π, en dat ze in elk punt voldoet aan een linker- en een rechtervoorwaarde van Lipschitz. In elk punt x R convergeert de Fourierreeks (2.17) van f naar f (x+) + f (x ) 2 In het bijzonder convergeert de Fourierreeks naar f (x) in de punten waar f continu is. Bovendien voldoen de coëfficiënten a n en b n van de Fourierreeks aan de zogehete gelijkheid van Parseval: a n=1(a 2 n + b 2 n) = 1 2π f (x) 2 dx (2.2) π Stelling Onderstel dat f : R R overal continu is, en periodiek is met periode 2π. Als de afgeleide functie f stuksgewijs continu is, dan convergeert de Fourierreeks van f uniform naar f over R. Opmerking Men kan ook goniometrische reeksen met periode T (in plaats van periode 2π) bestuderen. Zulk een reeks is van de vorm Men noemt T 1 2π de frequentie en ω = T nog geschreven worden als a 2 + (a n cos 2nπt n=1 T + b n sin 2nπt T ) (2.21) de pulsatie van de goniometrische reeks. (2.21) kan dus a 2 + (a n cosnωt + b n sinnωt) (2.22) n=1 (2.21) en (2.22) kunnen herleid worden tot (2.17) met de substitutie x = ωt = 2π T t (2.22) kan ook nog als volgt geschreven worden. We stellen ρ = a /2 en { an = ρ n cosφ n b n = ρ n sinφ n 36