ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ

Transcriptie

1 ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ

2 Å Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö Þ Ò Ò Ö Ù Ø Ú Ò ÙÒØ Ù Ú Ö Ö Ò Ë Ù ÃÐ ÒØ Ò ÖÚ ÈÓ Ø Ù ¾¼¼½ ¾ ¼¼ Ò À Ø Ðº ¼ ¼µ ¼ ÛÛÛº ÙºÒл ÖÚ Ö Ø ÖÙ Ú Ò Ø Ó Ú Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ø Ø Ð Ï ÙÒ Ñ Ø ØÓ Ô Ò Ò Ò Ñ ÖÓ¹ ÓÒÓÑ º ¾¼½¾ Ë Ù Í Ø Ú Ö Ò À Ñ Ë ÖÚ Ò ÑÔÖ ÒØ Ú Ò Ë Ù Í Ø Ú Ö Úº ÇÑ Ð ÓÒØÛ ÖÔ ÖÐ ØÓ³ Ò Ñ Ø Ö Ñ ÁË Æ ¼ ¾ ÆÍÊ ½¾» ¾ ÐÐ Ö Ø Ò ÚÓÓÖ ÓÙ Òº ÐÐ ÒØ ÐÐ ØÙ Ð Ò ÓÑ Ö Ø Ò ÞÓ Ð ÙØ ÙÖ ¹ Ò Ø Ò Ö ¹ Ø Ò Ø Ò ÒÞ Ò Ú Ò Þ Ù Ø Ú ÛÓÖ Ò Ù Ø ÖÙ Ð ÚÓÓÖ ÓÙ Òº Þ Ö Ø Ò ÖÙ Ø Ò Ë Ù Í Ø Ú Ö Ú Ò ÙØ ÙÖº ÓÙ Ò Ò Ó Ö Ø Ò ÙØ ÙÖ Û Ø Ø Ð Ù ØÞÓÒ Ö Ò Ò Ñ Ò Ø Ù Ø Þ Ù Ø¹ Ú ÛÓÖ Ò Ú ÖÚ ÐÚÓÙ ÓÔ Ð Ò Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ö Ú Ò Ø Ò Ó ÓÔ Ò Ö Ñ Ø Ò Ò ÚÓÖÑ Ó ÓÔ Ò Û Þ ØÞ Ð ØÖÓÒ Ñ Ò ÓÓÖ ÓØÓ ÓÔ Ò ÓÔ¹ Ò Ñ Ò Ó Ò Ò Ö Ñ Ò Ö ÞÓÒ Ö ÚÓÓÖ Ò Ö Ø Ð ØÓ Ø ÑÑ Ò Ú Ò Ù Ø Ú Öº ÎÓÓÖ ÞÓÚ Ö Ø Ñ Ò Ú Ò Ö ÔÖÓ Ö Ú ÖÚ ÐÚÓÙ Ò Ò Ù Ø Þ Ù Ø Ú ØÓ Ø Ò ÓÔ ÖÓÒ Ú Ò ÖØ Ð ½ ÙØ ÙÖ Û Ø ÒØ Ñ Ò ÖÚÓÓÖ Û ØØ Ð Ú Ö ÙÐ Ú Ö Ó Ò Ò Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò ËØ Ø Ò Ê ÔÖÓÖ Ø ÈÓ Ø Ù ¼ ½ ¾½ ¼ à ÀÓÓ ÓÖÔ ÛÛÛºÖ ÔÖÓÖ ØºÒеº ÎÓÓÖ Ø ÓÚ ÖÒ Ñ Ò Ú Ò ÐØ Òµ Ù Ø Þ Ù Ø Ú Ò ÐÓ ÑÐ Þ Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ö ÓÑÔ Ð Ø Û Ö Ò ÖØ Ð ½ ÙØ ÙÖ Û Øµ ÒØ Ñ Ò Þ Ø Û Ò Ò ØÓØ ËØ Ø Ò ÈÊÇ ËØ Ø Ò ÈÙ Ð Ø ¹ Ò Ê ÔÖÓ ÙØ Ö Ø Ò ÇÖ Ò Ø ÈÓ Ø Ù ¼ ¼ ¾½ ¼ à ÀÓÓ ÓÖÔ ÛÛÛº ÖºÒлÔÖÓµº ÎÓÓÖ Ø ÓÚ ÖÒ Ñ Ò Ú Ò Ò ÐØ Ú Ò Þ Ù Ø Ú Ø Ò Ó Ú Ú Ò ÓÑÑ Ö Ð Ó Ð Ò Ò ÒØ Ñ Ò Þ Ø Û Ò Ò ØÓØ Ù Ø Ú Öº ÀÓ Û Ð Ò ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò Ú Ò Þ Ù Ø Ú Ù Ø Ö Ø ÞÓÖ Ø Ò ÚÓÓÖ Û Þ Ú Ò Ú ÒØÙ Ð ÖÙ µ ÓÙØ Ò Ò ÓÒÚÓÐÐ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò Ò Ø Ò Ò ÒÚ Ö Ò ÙØ ÙÖ µ Ö Ø ÙÖ Òµ Ò Ù Ø Ú Ö Û Ò Ò ÔÖ Ð ÚÓÓÖ ÚÓÐ Ò Ú Ò Ú ÒØÙ Ð ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÓÙØ Ò Ò ÓÒÚÓÐÐ Òº ÐÐ Ö Ø Ö ÖÚ º ÆÓ Ô ÖØ Ó Ø ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ñ Ý Ö ÔÖÓ Ù ØÓÖ Ò Ö ØÖ Ú Ð Ý Ø Ñ ÓÖ ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ÒÝ ÓÖÑ ÓÖ Ý ÒÝ Ñ Ò Ð ØÖÓÒ Ñ Ò Ð Ô ÓØÓÓÔÝ Ò Ö ÓÖ Ò ÓÖ ÓØ ÖÛ Û Ø ÓÙØ Ø ÔÙ Ð Ö³ ÔÖ ÓÖ ÓÒ Òغ Ï Ð Ú ÖÝ ÓÖØ Ò Ñ ØÓ Ò ÙÖ Ø Ö Ð Ð ØÝ Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ë Ù Í Ø Ú Ö Ò Ø Ö Ù Ö ÒØ Ø ÙÖ Ý Ó Ø Ø ÓÒØ Ò Ö Ò ÒÓÖ ÔØ Ö ÔÓÒ Ð ØÝ ÓÖ ÖÖÓÖ ÓÖ ÓÑ ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÓÒ ÕÙ Ò º

3 ÈÖ Ï Ø Ò Ò Ð Æ Ù ÒÒ Ò Ó ÀÙ ÃÓÓ ÓÖ Ø Ö ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò٠к ÙÖØ ÖÑÓÖ Û Ø Ò ÐÐ Â Ò Ò ÓÖ ÐÔ Û Ø Ä Ì ¹Ö Ð Ø Ù º Á ÝÓÙ Ò Ñ Ø ÓÖ ÔÓ Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÔÐ Ò Ò ¹Ñ Ð ØÓ Ï ÙÒ ½¹Ì Ë ÅØ Ð ÙÖ ÙÒ Ú Ö Øݺ Ùº À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ Ì Ð ÙÖ ÂÙÒ ¾¼½¾

4

5 ÓÒØ ÒØ ÈÖ ½ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ½ ½ ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ¾ ½½ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ÙÖ Ú

6

7 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ½ Ü Ö ½º½ µ ÌÓ Ø Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Û Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ð Ò º ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = 3x+ º Ö Ø Û Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ Û Ø Ý Ø ÙÒØ ÓÒ º º Á x = 0, y = 3 0+ =. Á y = 0, 0 = 3x+ x = 3. Ì Ò Û ÔÐÓØ Ø ÔÓ ÒØ (0, ) Ò ( 3, 0) Ò Ö Û ØÖ Ø Ð Ò Ô Ò Ø ÖÓÙ Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ÔÐ Ò º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ó Ø Ñ ÓÖ z(x) = 5x + 4º Ì Ö Ô Ó y(x) Ò z(x) Ö ÓÛÒ Ò ÔØ Ö º µ Ì Þ ÖÓ Ó y(x) Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó 3x+ = 0 3x = x = 3. Ò Ø Þ ÖÓ Ó z(x) Ú Ò Ý 5x+ 4 = 0 5x = 4 x = 4 5. µ Ï Ù Ô ÖØ µ Ò Ó Ø Ò Ø Ø ( 3, 0) Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û Ø Ø x¹ Ü ÓÖ Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ y(x)º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ( 4 5, 0) Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û Ø Ø x¹ Ü ÓÖ Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ z(x)º µ ÁØ ÓÐ Ø Ø y(0) = º À Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û Ø Ø y¹ Ü ÓÖ Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) (0, )º Ë Ñ Ð ÖÐÝ (0, 4) Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û Ø Ø y¹ Ü ÓÖ Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ z(x)º µ ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û ÓÐÚ y(x) = z(x) 3x+ = 5x+4 8x = x = 4. Ë Ò y( 4 ) = z( 4 ) = 3 4 Ø ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ( 4, 3 4 ) º ½

8 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ½º¾ a = 9 4 = 5 Û Ú y(x) = 5x + bº Ë Ò Û ÒÓÛ Ø Ø y() = 5 +b = 4 Û 3 Ó Ø Ò Ø Ø b = 6º À Ò a = 5 Ò b = 6º Ü Ö ½º µ Ë Ò y(x) = x + 7x+ 6 D = 49 4 = 5 > 0º ÓÖ Ò ØÓ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Ø ØÛÓ Þ ÖÓ Ö Ú Ò Ý x = 7± 5 = and 6. µ Ë Ò y(x) = 4x + x+ D = 4 6 = < 0º Ì Ö Ö ÒÓ Þ ÖÓ Ò Ø º Ü Ö ½º µ ÌÓ Ø ÕÙ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Þ ÖÓ Ò»ÓÖ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó ÜØÖ ÑÙѺ ÁÒ Ø Ü Ö Û ÓÐÚ ÓÖ Ø Þ ÖÓ ÓÒÐݺ Ì Þ ÖÓ Ó y(x) = x + 4x+ 3 Ö Ú Ò Ý x = 4± 6 = and 3. Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y(x) Û ÒÓÛ Û Ö ÓÒ Ó x Ú ÔÓ Ø Ú»Ò Ø Ú ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ú ÐÙ º Ì Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø ÕÙ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Í¹ Ô ÓÖ ÑÓÙÒØ Ò¹ Ô º Ò ÐÐÝ Û Ö Û Í¹ Ô ÓÖ ÑÓÙÒØ Ò¹ Ô ÑÓÓØ ÙÖÚ Û Ô Ø ÖÓÙ (, 0) Ò ( 3, 0)º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ó Ø Ñ ÓÖ z(x) = x + 6º Ì Þ ÖÓ Ó z(x) Ö ( 6, 0) Ò ( 6, 0)º Ì Ö Ô Ó y(x) Ò z(x) Ö ÓÛÒ Ò Ô¹ Ø Ö º µ Ì ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó y(x) = z(x) x + 4x+ 3 = x + 6 x + 4x 3 = 0. ÓÖ Ò ØÓ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Û Ú x = 4± 40 4 = 4 4 ± = ± 0. Ë Ò z( 0) = 0 Ò z( + 0) = + 0 Ø ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö ¹ Ø ÓÒ Ö ( (x, y) = ) ( 0, 0 and (x, y) = + ) 0, + 0. Ü Ö ½º µ h(x) = f(x) g(x) = (x+ 4) (x + 3x+ 4) = x xº h(x) = 0 x x = 0 x( x ) = 0 x = 0 ÓÖ ( x ) = 0 x = 0 ÓÖ x =. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø f(x) g(x) x 0º

9 ÔØ Ö ½ µ Ì ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ý x = ± 0º Ë Ü Ö ½º µº ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó f(x) g(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø f(x) g(x) x 0 ÓÖ x + 0º µ h(x) = f(x) g(x) = x (5x 4) = x 5x+ 4º h(x) = 0 x 5x+ 4 = 0 x = or x = 4. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø f(x) < g(x) < x < 4º Ü Ö ½º µ ÓÖ ÕÙ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ú ØÛÓ Þ ÖÓ Û Ò D = b 4ac > 0º Ë Ò y(x) = x + px+ 3 D = p º D > 0 ÑÔÐ p > ÓÖ p < º µ ÓÖ ÕÙ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ú ØÛÓ Þ ÖÓ Û Ò D = b 4ac > 0º Ë Ò y(x) = p x + px+ D = 4p 4p = 0º Ì Ö Ñ Ò ÒØ ÐÛ Ý ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÒÓ Ñ ØØ Ö Û Ø p º Ì Ö ÓÖ ÒÓ Ù p Ü Ø º Ü Ö ½º µ µ x 3 x + x = 0 x(x x+ ) = 0 x(x ) = 0 x = 0 ÓÖ x =. x 4 x + x(x ) = 0 x (x )+x(x ) = 0 (x + x)(x ) = 0 x(x+ )(x ) = 0 x = 0, x = ÓÖ x =. µ ËÙ Ø ØÙØ x = pº Ì Ò 3p 7p+ = 0 Ú p = ÓÖ p = 3 º À Ò x = 3 Ú x = 3 ÓÖ x = 3 Û Ð x = Ö ÙÐØ Ò x = Ò x = º Ü Ö ½º µ 8 = 3. À Ò p = 3º µ = ( 3 ) 4 3 = 4. À Ò p = 4º µ 3 = 5 = ( 5 ) = 5. À Ò p = 5 º µ 64 = ( 6 ) = 3. À Ò p = 3º Ü Ö ½º µ x x 5 yy = x +5 y + = x 7 y 3. À Ò p = 7 q = 3º xx 3 y µ x = 3 y x x 3 y x 3 y = x y + = x y 3. À Ò p = q = 3º µ (x y 4 ) = (x ) (y 4 ) = x y 8. À Ò p = q = 8º µ x x = x 6 x 3 = x 6 = x y 0. À Ò p = q = 0º Ü Ö ½º½¼ µ x 8 x 3 4 x x 7 8 = x 7 8 x 3 8 = x = Ò Ò x = = 4 º

10 ËÓÐÙØ ÓÒ µ x x 8x 3 = x 3 Ú x 6 = 8x 3 º À Ò x = 8 Û ÑÔÐ x = 8 3 = 4º Ü Ö ½º½½ a x = a 0 x = a0 a x = Û Ø Ø Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÐÐÓÛ Ò ÖÓÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ ¾ Ò Ø Ø Ö ax ÖÓÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ º Ü Ö ½º½¾ µ x = 4 4x+6 x = ( ) 4x+6 x = 8x+ x = 8x+ 7x = x = 7. µ µ 7 x = ( 3 ) x+ (3 3 ) x = (3 ) x ( ) x = 4 3 6x = 3 x 6x = x x = 5. ( ) x = 4 x = 0 x = ( ) 0 4 x = or x =. Ü Ö ½º½ Ì x¹óóö Ò Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = y (x) 3 x+ = 4+3 x 3 x+ 3 x = 4 3 x (3 ) = 4 8(3 x ) = 4 3 x = 3 x =. À Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ (, y ()) = (, 7)º Ü Ö ½º½ log( x ) = log log x = 0 log x = log x Û Ö Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ ¾ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ ÔÖÓÔ ÖØÝ º Ü Ö ½º½ µ log x+ log y = log x+ log y = log xy.

11 ÔØ Ö ½ µ log x+ log y log z = log x+ log + log z y = log x+ log y + log z = log(x y z ) = log x yz. Ü Ö ½º½ µ ln(x+7)+ln(x+ 3) = 0 ln((x+7)(x+ 3)) = 0 ln((x+7)(x+ 3)) = ln (x+ 7)(x+ 3) = x + 0x+ = x + 0x+ 0 = 0 x = 0± 0 = 5± 5. ÆÓØ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ÓÖ x + 3 > 0º À Ò ÓÖ x > 3º Ì Ö Ý x = 5 5 ÒÓØ Ô ÖØ Ó Ø ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒÐÝ Ú Ð ÓÐÙØ ÓÒ x = 5+ 5º µ ËÙ Ø ØÙØ 3 log x Ý pº Ì Ò Û Ó Ø Ò p + 6 = 5pº À Ò p + 6 = 5p p + 5p+6 = 0 p = 5± 5 4 p = 5 ± p = ÓÖ p = 3. À Ò 3log x = Û Ú x = 3 = 9 ÓÖ 3 log x = 3 Û Ú x = 3 3 = 7º À Ò x = 9 ÓÖ x = 7º Ü Ö ½º½ 36 log 8 = 6 log log 36 = log 8 = 6 log 8 = 6 log(8 ) = 6 log 9º À Ò x = 9º Ü Ö ½º½ Ì Ö ¹ Ú Ò ÔÓ ÒØ Ø ÔÓ ÒØ Û Ö R(x) = C(x)º R(x) = C(x) px = c+vx px vx = c (p v)x = c x = c p v. Ü Ö ½º½ µ q d (p) = ap+bº Ï ÒÓÛ Ø Ø a 0+b = 80 Ò a 60+b = 40º ËÙ ØÖ Ø Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ú a 60 = 60 Û Ú a = º ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ò b = 400º À Ò q d (p) = p+400 (0 p 400)º µ Ë Ñ Ð Ö ØÓ Ô ÖØ µ q s (p) = p 00 (p 00)º

12 ËÓÐÙØ ÓÒ µ Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÙÖ º µ Ï ÓÐÚ q d (p) = q s (p) p+400 = p 00 3p = 600 p = 00. À Ò (q, p) = (00, 00)º Ü Ö ½º¾¼ ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ x 3 x a = º Á a = 0 Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº Ê ÐÐ Ø Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÐÝ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÒ Ø ÐÓÔ Ö ÒØ ÖÓÑ ¼º Ì Ö ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÐÝ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ a = 0º Á a = 0 Ò x = 0 Û Ú x 3 a x = x 3 a = x x 3 x a = 0, Û ÓÑ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒº ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÐÝ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ D = 0º ÁÒ Ø Û Ø D = a = 0 a = 3. Ö ÙÐØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ x 3 x a = ÔÖ ÐÝ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ a = 0 ÓÖ a = 3º Ü Ö ½º¾½ Ë Ò Ø Ñ Ò ÙÒØ ÓÒ q = 60 0p Ø ÒÚ Ö Ñ Ò ÙÒØ ÓÒ p = 6 0 q Ò ØÓØ Ð Ö Ú ÒÙ Ú Ò Ý TR(q) = pq = 0 q + 6q, Ò ØÓØ Ð Ó Ø Ö C(q) = 5+q. Ø Ø Ö ¹ Ú Ò ÔÓ ÒØ Û Ú TR(q) = C(q) 0 q + 6q = 5+q 0 q 4q+ 5 = 0 q = 4± 6 0 = 0±5 6. ÓÖ ÓØ ÕÙ ÒØ Ø Û Ú ÔÓ Ø Ú ÔÖ Û ÑÔÐ Ø Ø Û Ú ØÛÓ Ö ¹ Ú Ò ÔÓ ÒØ º Ì Ý Ö q = Ò q = 0+5 6º

13 ÔØ Ö ½ Ü Ö ½º¾¾ h(x) = x 3 + x 3x = x 3 3x + xº h(x) = 0 x 3 3x + x = 0 x(x 3x+ ) = 0 x = 0 ÓÖ x 3x+ = 0 x = 0 ÓÖ x = 3± x = 0 ÓÖ x = ÓÖ x =. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø x 3 + x 3x x 0 ÓÖ x º Ü Ö ½º¾ µ ÓÖ Ò ØÓ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Ø Þ ÖÓ Ó y(x) = x + x+ 8 Ö Ú Ò Ý x = ± 44 4()(8) 4 = 3. µ Ë Ò y(x) = x x + p = 0 D = +4pº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú ØÛÓ Þ ÖÓ D ØÓ Ö Ø Ö Ø Ò ¼ Û ÑÔÐ p > 4 º µ ÌÛÓ Ö Ô ÒØ Ö Ø Ø Ö Ü Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = y (x)º y (x) = y (x) 4 x 5x+ 6 = 3x+ p 4 x 8x+ 6 p = 0. ÌÓ Ò ÙÖ ÒÓ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ð Ø Ò ¼º Ö ÙÐØ Û Ú D = p < 0 p < 58. Ü Ö ½º¾ µ Ì ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ý y (x) = 3 log(x ) = 3 log(x ) = 3 x = 8 x = 0. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) 3 Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø y (x) > 3 x > 0º

14 ËÓÐÙØ ÓÒ µ h(x) = log(x )+ log(x+ 4) º h(x) = 0 log(x )+ log(x+ 4) = 0 log(x )+ log(x+ 4) = log((x )(x+ 4)) = log(x + x 8) = x + x 8 = 4 x + x = 0 x = ± 5 5 x = ±. x = ± 3. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø y (x) < y (x) < x < + 3º Ü Ö ½º¾ µ h(x) = x + x º 3+ x h(x) = 0 x 3+ x = x+ x = ( x+)(3+x) x = x x+ 3 x + x = 0 x = ± 5. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø f(x) g(x) 3 < x 5 ÓÖ x + 5º x µ h(x) = 3+ x x º x h(x) = 0 3+ x = x+ x = (x+ )(3+x) x = 4x+ 3+ x x + 4x+ = 0 x + x+ = 0 (x+ ) = 0 x =. ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó h(x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø h(x) Ò Ø Ú 3 < x ÓÖ x º À Ò Û ÓÒÐÙ Ø Ø f(x) g(x) x > 3º

15 ÔØ Ö ½ Ü Ö ½º¾ ÆÓØ Ø Ø x¹ Ü Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý y(x) = 0º Ì x¹óóö Ò Ø Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó y(x) = 0 Ò y(x) = e x ln(x+ ) Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó e x ln(x+ ) = 0 }} ex ln(x+ ) = 0 >0 ln(x+ ) = 0 e ln(x+ ) = e 0 x+ = x =. À Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ (x, y) = (, 0)º Ü Ö ½º¾ µ Ì ÔÓ ÒØ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ý y (x) = y (x) x+ 3 = x x+ 3 = x x x 3 = 0 x = ± 4+ x = ÓÖ x = 3. Ë Ò Û ØÓÓ ÕÙ Ö ÓÒ ÓØ Û Ú ØÓ ÓÙÖ Ö ÙÐØ +3 = = Ò 3+3 = 3º À Ò Ø ÓÒÐÝ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ (x, y) = (3, 3)º µ ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) y (x) Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø y (x) < y (x) x > 3º Ü Ö ½º¾ µ 8 x ( 4 )4x = 6 ( )6x ( 3 ) x ( ) 4x = 4 ( ) 6x 6x 8x = 4 6x 8x +6x = 6x +4 8x + 6x = 6x + 4 x + 6x 4 = 0 x 3x+ = 0 (x )(x ) = 0 x = ÓÖ x =.

16 ½¼ ËÓÐÙØ ÓÒ µ h(x) = (x )(x+ )+3(x+ ) 0 h(x) = 0 (x )(x+ )+ 3(x+ ) = 0 (x+ )(x )(x+ )+3(x+ ) = 0 ( ) (x+ ) (x )(x+ )+3 = 0 (x+ )(x + x+) = 0 (x+ ) = 0 ÓÖ (x + x+ ) = 0. Ì Ò (x+ ) = 0 Ú x = º ÙÖØ Ö x + x+ = 0 Ð ØÓ D = 4 = 3 < 0º À Ò ÒÓ Þ ÖÓ º Í Ò Ò ÙÖÚ Ý h( ) = 3 Ò h(0) = µ Û Ó Ø Ò Ø Ø x º µ h(x) = 3log(x) 9 log(8x )+ 9 log(8x) < 0º h(x) = 0 3log(x) 9 log(8x )+ 9 log(8x) = 0 3 log(x ) 9 log(8x )+ 9 log(8x) 9 log(8) = 0 3 log(x ) 9 log( 8x 8 ) = 0 8x 3 log(x ) 9 log(8x) = 0 9 log(x ) 9 log(3) 9 log(8x) = 0 9 log(x ) 9 log(8x) = 0 9log(x ) 9 log(8x) = 0 9 log(x 4 ) 9 log(8x) = 0 9 log( x4 8x ) = 0 9 log( x4 8x ) = 9 log() x4 8x = x 3 = 8 x =. Ý Ø Ò ÙÖÚ Ý h() = 9 log 8 < 0 Ò h(3) = 9 log 8 > 0µ Û Ó Ø Ò Ø Ø 0 < x < º

17 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö ¾ Ü Ö ¾º½ Ì Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ Ú Ò Ý y(x+ x) y(x) x = y( 3) y() 3 = y( ) y() 3 ( ) ( ) + 4( )+ = 3 = 7 3 = 3. ( ) Ü Ö ¾º¾ Í Ò q(p) = p + 4p+7 Ò ÓØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ú q(3+ p) q(3) p = ( (3+ p) + 4(3+ p)+7) ( ) p ( p) 6 p 9++4 p+7 0 p ( p) p p p = p =. = = = ½½

18 ½¾ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º y(+ x) y() x = Á x 0 Ø Ò y(+ x) y() x Ü Ö ¾º ( ) ( ) (+ x) x = ( x) + 4 x x = ( x) + 4 x x = x+4. = 4º À Ò y () = 4º Ì Ø Ò ÒØ Ð Ò Ú Ò Ý y = ax + b Û Ø a = y () = 4 Ü Ö ¾º µº À Ò y = 4x+bº ÙÖØ ÖÑÓÖ 8 = 4 +b Û ÑÔÐ Ø Ø b = 0º À Ò Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ú Ò Ý y = 4xº Ü Ö ¾º µ y(x) =, y (x) = 0. µ y(x) = x 3, y (x) = 3x. µ y(x) = x = x, y (x) = x = x. µ y(x) = x 3, y (x) = 3 x 4 3. Ü Ö ¾º µ D(p) = p = p, D (p) = p = p. Ú ÐÙ Ø Ø p = 3 Û Ú D (3) = 3 = 9 º µ C(x) = xx 3 = x 4 3, C (x) = 4 3 x 3. Ú ÐÙ Ø Ø x = 8 Û Ú C (8) = 4 3 (8) 3 = 3 º µ P(y) = 0 y, P (y) = 0 y ln 0. Ú ÐÙ Ø Ø y = 0 Û Ú P (0) = ln 0º µ g(l) = log L, g (L) = L ln. Ú ÐÙ Ø Ø L = 4 Û Ú g (4) = 4 ln º Ü Ö ¾º Ë Ò y (8) = 48 Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ý y y (8) x = 48 = 96. Ü Ö ¾º Ì Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = 3 xº Ø x = 4 Û Ú y (4) = 3 Ò Ò x y y (4) = 3 = 6.

19 ÔØ Ö ¾ ½ Ü Ö ¾º µ ÔÔÐÝ Ò Ø ÙÑ ÖÙÐ Û Ú y(x) = 5x 3 5x + 8x+, y (x) = 5x 30x+ 8. µ ÔÔÐÝ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ ØÛ Û Ú y(x) = (x )(x 7)(x 4), y (x) = (x 7)(x 4)+(x )((x 4)+(x 7)) = (x 7)(x 4)+(x )(x 4)+(x )(x 7). µ ÔÔÐÝ Ò Ø ÕÙÓØ ÒØ ÖÙÐ Û Ú y(x) = y (x) = (x+ 5) (x 3), (x 3) (x+ 5) (x 3) 8 = (x 3). µ Ê ÛÖ Ø Ò (e x + 3x) ØÓ (e x + 3x)(e x + 3x) Ú Ù Ø ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ù Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ º À Ò Û Ú y(x) = (e x + 3x)(e x + 3x), y (x) = (e x + 3)(e x + 3x)+(e x + 3x)(e x + 3) = (e x + 3)(e x + 3x). Ü Ö ¾º½¼ µ Í Ò Ø ÕÙÓØ ÒØ ÖÙÐ Û Ú l(q) = (q + 3) (3q+ 5), l (q) = 4q(3q+5) 3(q + 3) (3q+5), l () = µ Í Ò Ø ÕÙÓØ ÒØ ÖÙÐ Û Ú D(p) = 00 p, D (p) = 00 (p), D (5) = 00 5 = 4. µ Ê ÛÖ Ø Ò (x + 7) 3 ØÓ (x + 7)(x + 7)(x + 7) Ú Ù Ø ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ù Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ ØÛ º À Ò Û Ú C(x) = (x + 7)(x + 7)(x + 7), C (x) = 3(x + 7) (x), C () = 3(64)() = 384.

20 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º½½ µ Í Ò Ø ÙÑ ÖÙÐ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Û Ó Ø Ò X(y) = y y ln y, X (y) = ln y y = ln y. y µ Í Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Û Ó Ø Ò g(u) = u e u, g (u) = ue u + u e u = (u + u)e u. µ Ê ÛÖ Ø Ò L(+ln L) ØÓ L(+ln L)(+ln L) Ú Ù Ø ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ù Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ ØÛ º À Ò Û Ú P(L) = L(+ln L)(+ln L), P (L) = (+ln L)(+ln L)+ L( L (+ln L)+(+ln L) L ) = (+ln L)(3+ln L). Ü Ö ¾º½¾ MR(q) = R q (q) = 5 ln q+5q = 5 ln q+5º À Ò MR(7) = 5 ln(7)+5º Ü Ö ¾º½ µ µ D(0) = 0 D() = 8 D(0) = 0 D(0) = 8 b = 0 b a = 8 b = 0 b 0a = 8 b = 0 a =. b = 0 a = 0.. µ Ë Ò MD(q) = D (q) = a Ø Ñ Ö Ò Ð Ñ Ò Ò Ô ÖØ µ Ò 0. Ò Ô ÖØ µº Ü Ö ¾º½ µ D(.55) D(.5) = = 9 D(.5) À Ò % D = 3 36 º µ Ë Ò D (p) = 500+5p Ø Ð Ø ØÝ Ó Ñ Ò Ø p =.5 ǫ = D (.5).5 D(.5) = 3 3. µ % D ǫ % p % D 3 3 % = 3 3. µ % D ǫ % p % 3 3 % p % p 3 0. Ü Ö ¾º½ Ë Ò D (p) = aαp α Ø ÔÖ Ð Ø ØÝ Ó Ñ Ò ǫ = D p (p) D(p) = p aαp α = α. ap α

21 ÔØ Ö ¾ ½ Ü Ö ¾º½ L(t) = 3t 3 Ò L (t) = 4 t Û Ú L (3) = 4 3º Ü Ö ¾º½ µ v(x) = x Ò u(v) = e v º µ v(x) = x 3 Ò u(v) = v º µ v(x) = x + 4 Ò u(v) = ln(v)º Ü Ö ¾º½ µ y(x) = ex, y (x) = e x = e x. µ y(x) = (x 3), y (x) = (x 3) ( x) = x(x 3). µ y(x) = ln(x + 4) y (x) = x x x = + 4 x + 4. y(x) = x ln(x + 4). µ y (x) = x ln(x + 4)+x x + 4 x = x ln(x + 4)+ x3 x + 4. ÆÓØ Ø Ø Ö Û Ú ÔÔÐ ÓØ Ø Ò ÖÙÐ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ º Ü Ö ¾º½ µ r(q) = q q, r (q) = q + Ú ÐÙ Ø Ø q = 5 Û Ó Ø Ò r (5) = 0 + µ y(x) = ex, y (x) = e x. Ú ÐÙ Ø Ø x = Û Ó Ø Ò y (4) = e 4 4q q = q q +. q 0 0 = = 9 3. Ü Ö ¾º¾¼ µ ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÒÚ Ö ÙÒØ ÓÒ C(F) Û ÓÐÚ F(C) = 9 5 C+3 ÓÖ Cº Ï Ø F = 9 5 C+3 C(F) = 5 9 F µ Ë ÑÔÐÝ ÔÐÙ Ò Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Ò F(C(F)) = 9 5 ( 5 9 F )+3 = F = F C(F(C)) = 5 9 ( 9 5 C+3) = C = C.

22 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º¾½ µ y(x) = x 3 x(y) = y 3 º µ y(x) = x x(y) = y, y 0º µ y(x) = e x e x = y x(y) = ln( y )º µ y(x) = x + 4x+ 4 = (x+ ),(x 0) x(y) = + y,(y 4)º Ü Ö ¾º¾¾ µ Ï ÒÓÛ Ø Ø y() = º À Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÚ Ö Û Ð Ó Ú x() = º ÙÖØ ÖÑÓÖ y (x) = 3x + y () = 4 Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø x () = y () = 4 µ Ï ÔÖÓ ÓÚ º y() = Ò Ø Ù x() = º Ì Ö Ú Ø Ú y (x) = + x y () = 3 Ò Ø Ù x () = y () = 3 Ü Ö ¾º¾ µ Ì ÒÚ Ö Ñ Ò ÙÒØ ÓÒ p(x) = 0 Xº µ Ì Ð Ø ØÝ Ó Ñ Ò Ú Ò Ý ǫ(x) = X p (p) X(p) = p 5 p = p 0 p = p p 0. µ Ì Ð Ø ØÝ Ó ÒÚ Ö Ñ Ò ǫ(p) = p X (X) p(x) = X 0 X = X 5 X = X X 5. µ Ø p = 6 Ì Ð Ø ØÝ Ó Ñ Ò ǫ(x) = 3 º Ë Ò X(6) = Ø Ð Ø ØÝ Ó ÒÚ Ö Ñ Ò Ø X = ǫ(p) = 3 º À Ò ǫ(x) = ÓÐ ÓÖ p = 6 Ò Ø Ù ǫ(p) X = X(6) = µº Ü Ö ¾º¾ Á Ø ÔÖ ÒÖ ÖÓÑ ØÓ Ø Ú Ö ÒÖ Ò Ñ Ò q(9) q(4) 9 4 = = 9 5 =

23 ÔØ Ö ¾ ½ Ü Ö ¾º¾ Ê ÐÐ Ø Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ Ò x Ø Ò x Ò Ý y(x+ x) y(x) x º ÁÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ú Ú Ò y(x) = x + 5x+3 Ò Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ ÕÙ Ð ØÓ Ò x = a Ø Ò Ó x = 3º Í Ò Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ Û Ú y(a+3) y(a) 3 = 3 ((a+3) + 5(a+3)+3) (a + 5a+3) = 3 3 a + 6a+9+5a+5+3 a 5a 3 = 9 6a+4 = 9 a = 5 6 =. Ü Ö ¾º¾ Ë Ò y(x) = x + 5x+ 6 Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò ÕÙ Ð ØÓ y(3) y() 3 = = 9. Ü Ö ¾º¾ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x + 7º Ï Ø Ø ÐÔ Ó Ø ÔÓ ÒØ (a, y(a)) Ò (b, y(b)) Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò ÕÙ Ð ØÓ y(b) y(a) b a = b + 7 (a + 7) b a = b a b a = (b a)(b+a) b a = b+ a. ÖÓÑ Ø Ü Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÐÓÔ ÕÙ Ð ØÓ Ò b a = 3º b+a = 5 Ò b a = 3º ËÓÐÚ Ò Ø Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ú À Ò Û Ú b+a = 5 b a = 3 b+a = 5 b = 3+ a a = b = 3+ a 3+ a+a = 5 b = 3+ a a = b = 3+ a = b = 3+ a a = b = 4. Ü Ö ¾º¾ µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x Ó x = 3 x+ º Ì Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ Ó y(x) Ò x = Ø Ò y(+3) y() 3 = 5 /(0+) /(4+) 3 = 5/ 4/5 3 = µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x+ x º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ

24 ½ ËÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ Ó y(x) Ò x = Ø Ò Ó x Ú Ò Ý ( y(+ x) y() (+ x) = x (+ x)+ ) / x ()+ ( 4+4 x+( x) = 4 ) 5+ x 5 x = (4+4 x+( x) )5 4(5+ x) 5(5+ x) = 0+0 x+ 5( x) 0 8 x 5(5+ x) x = (5 x+) x 5(5+ x) x = 5 x+ 5(5+ x). x 0 Ø Ö Ò ÕÙÓØ ÒØ ÓÑ (5+ 0) = 5. x Ü Ö ¾º¾ µ Ë Ò y(x) = x x 3 = x 5 6 Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) ÕÙ Ð ØÓ y (x) = 5 6 x 6. Ä Ø Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò y = ax+bº ÌÓ Ø ÖÑ Ò a Ò b Û Ñ Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ y () = a 56 () 6 = a y() = a()+b 5 6 = a+b a = 5 6 = a+b a = 5 6 b = 6 5 = 6. Ö ÙÐØ Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ú Ò Ý y = 5 6 x+ 6. µ Ë Ò y(x) = x Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = x ln. Ä Ø Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò y = ax+bº ÌÓ Ø ÖÑ Ò a Ò b Û Ñ Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ y () = a ln = a y() = a()+b = a+b a = ln b = + ln.

25 ÔØ Ö ¾ ½ Ö ÙÐØ Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ÕÙ Ð ØÓ y = (ln )x+ + ln. Ü Ö ¾º ¼ Ë Ò y(x) = x + 3x+ 4 Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = x+ 3. Ì ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ø ÖÓÙ Ø ÔÓ ÒØ (0, 4) Ò (, 4) Ú Ò Ý = 5. Ò Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ø Ø Ø Ò ÒØ ÔÓ ÒØ (x 0, y(x 0 )) a = y (x 0 ) = x Ù Ø ÐÓÔ Ö Ø Ñ Û Ú 5 = x x 0 =. Ü Ö ¾º ½ Ë Ò y(x) = x + Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = 4x. Ä Ø Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò y = ax+bº Ö Ø Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ÒØ Ö Ø Ø x¹ Ü Ò x = º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÔÓ ÒØ (, 0) Ø y = ax+b 0 = a()+b a = b À Ò Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÑ y = ax aº ÌÓ Ø ÖÑ Ò a Û Ñ Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ y (x 0 ) = a 4x 0 = a y(x 0 ) = ax 0 a x0 + = ax 0 a a = 4x 0 x0 + = (4x 0)x 0 (4x 0 ) a = 4x 0 x0 4x 0 = 0 a = 4x 0 x 0 = (4± 6+6)/4 a = 4(± ) x 0 = ±. Ö ÙÐØ Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö Ú Ò Ý Ò y = 4(+ )x 4(+ ) y = 4( )x 4( ).

26 ¾¼ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º ¾ Ë Ò y(x) = x 3 + 3x 8x+ Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = 3x + 6x 8. ÌÓ Ò Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò ÒÝ (x 0, y(x 0 )) Û Ñ Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ y (x 0 ) = 6 y(x 0 ) = 9+6x 0 ËÓÐÚ Ò Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú 3x 0 + 6x 0 8 = 6 x x 0 8x 0 + = 9+6x 0 3x 0 + 6x 0 4 = 0 x x 0 4x 0 80 = 0. 3x 0 + 6x 0 4 = 0 x 0 = 6± x 0 = 4 ÓÖ x 0 =. Æ ÜØ Û Û Ø Ö Ø x 0 ³ Ø Ý Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ x 0 = 4, ( 4) 3 + 3( 4) 4( 4) 80 = 0 = 0. ÓÖ x 0 =, () 3 + 3() 4() 80 = 04 = 0. Ì Ö ÓÖ Ø ÓÒÐÝ Ú Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò ÒÝ (x, y) = ( 4, y( 4)) = ( 4, 68)º Ü Ö ¾º Ë Ò y(x) = x 3 + px + 3x+ + p Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = x + px+ 3. Ì Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ø ÐÓÔ Þ ÖÓº À Ò Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò ÒÝ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = 0 y (x) = 3x + px+ 3 = 0. ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú ØÛÓ ÓÐÙØ ÓÒ ØÛÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò µ Û Ò ØÓ Ú p Ù Ø Ø D > 0º ÁÒ Ø D = 4p 36 Ò D > 0 4p 36 > 0 p > 9 p < 3 ÓÖ p > 3. Ì Ö Ý y(x) ØÛÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÖ ÒÝ p < 3 ÓÖ p > 3º Ü Ö ¾º Ë Ò y(x) = x 4 + x+a Ø Ö Ú Ø Ú Ó y(x) y (x) = 4x 3 +.

27 ÔØ Ö ¾ ¾½ Ú Ò Ø Ø Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ y = 6x+7 Û Ñ Ù Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò a y (x 0 ) = 6 4x = 6 y(x 0 ) = 6x x0 4 + x 0 + a = 6x x 0 = a = x x x 0 = a = 0. Ü Ö ¾º y(x) = x ln(x 4 + 3), y (x) = x ln(x 4 + 3)+x 4x 3 x Ú ÐÙ Ø Ø x = Û Ú y () = ln 4+º Ü Ö ¾º µ ÔÔÐÝ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Ò Ø Ò ÖÙÐ Û Ó Ø Ò y(x) = x e x, y (x) = xe x + x e x, y () = e+e = 3e. µ Ì Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ø ÐÓÔ Þ ÖÓº À Ò Û Ò x Ù Ø Ø y (x) = 0 y (x) = 0 xe x + x e x = 0 }} e x (x+x ) = 0 >0 x+x = 0 x(+x) = 0 x = 0 ÓÖ x =. Ü Ö ¾º Í Ò Ø Ò ÖÙÐ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Û Ú y(x) = e x ln(x+ ), y (x) = e x ln(x+ ex )+ x+, y (0) = ln( )+.

28 ¾¾ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º µ ÔÔÐÝ Ò Ø Ò ÖÙÐ Û Ú y(x) = x + = (x + ), y (x) = (x + ) x = y () = 3. x x +, µ Ì Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ø ÐÓÔ Þ ÖÓº À Ò Û Ø ÖÑ Ò x Ù Ø Ø y (x) = 0 y (x) = 0 x x + = 0 x = 0. Ü Ö ¾º µ Í Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Ò Ø Ò ÖÙÐ Û Ú y(x) = x e x, y (x) = xe x x e x, y () = e e = e = e. µ Ì Ø Ò ÒØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Û Ò Ø ÐÓÔ Þ ÖÓº À Ò Û Ò x Ù Ø Ø y (x) = 0 y (x) = 0 xe x x e x = 0 }} e x (x x ) = 0 >0 (x x ) = 0 x( x) = 0 x = 0 ÓÖ x =. Ü Ö ¾º ¼ ÔÔÐÝ Ò Ø Ò ÖÙÐ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÖÙÐ Û Ó Ø Ò y(x) = e x ln(x+ ), y (x) = xe x ln(x+ )+ex x+ y (0) = 4., Ü Ö ¾º ½ µ ǫ(r) = (d(p)+ pd p (p)) pd(p) = p +d (p) d(p) = +ǫ(d)º µ ǫ(r) = ÑÔÐ Ø Ø ǫ(d) = 3 º Ì Ò % d ǫ(d) % p Ú % d 3 = 7º

29 ÔØ Ö ¾ ¾ Ü Ö ¾º ¾ R(q) = 0q + 00q Ú MR(q) = R (q) = 40q+00º À Ò MR(0) = 800º Ü Ö ¾º µ = y(+ x) y() y () xº y (x) = 4x3 e 3x+ x 4 3 e 3x+ (e 3x+ ) = 4x3 3x 4 e 3x+ º À Ò y () = e 4 º À Ò e 4 x Ò x e4 º µ ǫ = y () y() = e 4 e4 = º À Ò 3 % x Û Ú % x 3º Ü Ö ¾º µ % y ǫ(y) % x Ú ǫ(y) 5º À Ò ǫ(y) = 5 º µ ǫ(x) = = º µ % x Ú % x 0º Ü Ö ¾º µ MP(t) = P (t) = 0(+e 0.t ) 0t( 0.e 0.t ) (+e 0.t ) = (0+t)e 0.t + 0 (+e 0.t ) º µ MP(0) = 0e +0 (+e ) º Ü Ö ¾º µ y = x+ + y = x+ x+ = y x = y. µ À Ò x(y) = y = y y y = y y < y < º y = x 0 x (y 4)(x+ 5) = x 0 yx+ 5y 4x 0 = x 0 yx+ 5y 4x = x yx 5x = 5y x(y 5) = 5y x = 5y y 5. À Ò x(y) = 5y y 5 = 5y 5 y º

30 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö ¾º µ µ y = 4 x3 4 log(y) = x 3 À Ò x(y) = 3 (y > 6 )º x 3 = 4 log(y)+ x = 3 4 log(y)+. 4 log(y)+ºì Ò x (y) = 3 ( 4 log(y) + ) 3 y ln 4 = (4 log(y)+) 3 3y ln(4) y = x+ 7 y(x ) = x+7 x yx y = x+ 7 yx x = 7+y x(y ) = 7+y x = 7+y y. À Ò x(y) = 7+y y º Ì Ö ÓÖ x (y) = (y ) (7+y) = 9 º (y ) (y ) Ü Ö ¾º µ y() = º y (x) = 007x º y () = 008º À Ò x () = 008 º µ y(0) = º y (x) = 3x 4x+ +4 x ln 4º y (0) = +ln 4º À Ò x () = ln(4)+ º µ y() = ln º y (x) = x+ x x+ x = (x+) (x+)x º y () = º À Ò x ( ln ) = = º µ Ì ÒÚ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò º Ï Ø Ø Ø ÓÒ x 0 Û Ò ÓÐÚ Ø Ü Ö º y = 5 log(x + 3) 5 y = x + 3 x = 5 y 3 x = 5 y 3. À Ò x(y) = 5 y 3 (y 5 log 3)º Ì Ò x (y) = Ò x () = Ü Ö ¾º 5 ln(5) º µ ǫ = Y L (L) YL = ( L+) L L = L +L L+L º L +L µ %Y ǫ % L Û Ø ǫ = 4 9 Ò % Y = 3 Ú % L 3 º 5 y 3 5y ln 5

31 x = x ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö Ü Ö º½ µ z(0, 0) = = 6, z(6, 0) = = 0, z(0, 6) = = 0, z(, 4) = 6 4 = 0, z(4, ) = 6 4 = 0. µ ÓÖ Ü ÑÔÐ (x, y) = (5, 0) (x, y) = (0, 5) Ò (x, y) = (0, 5)º Ü Ö º¾ µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ z(x, x ) = x x º ÌÓ Ö Û Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ ¾ Û Ø z = Ò ÓÐÚ ÓÖ Ú Ö Ð x º Ì Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò ÓÛÒ Ò ÔØ Ö º µ µ Ì ÙÒØ ÓÒ z(x, y) = x + yº ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ð Ú Ð z = k Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ú Ò Ý y = k x. Ì Ð Ú Ð ÙÖÚ Û Ø Ö ÒØ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ k Ö ÓÛÒ Ò ÔØ Ö º µ ÌÓ ÓÑÔÙØ ÐÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ù Ø Ø z(x, y) ÖÓ Ø x¹ Ü ØÛ Û Ò ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø y = k x ØÛÓ Þ ÖÓ º Ë Ò Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ D = 0 4( )(k) = 4k Û Ú D > 0 k > 0. µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ z(x, y) = xy x+y º ÙÖÚ ÓÑ xy = 4 xy = 4x+ 4y x+y xy = x+ y xy y = x y(x ) = x y = x x, Ï Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ð Ú Ð ¾

32 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ x > º Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º Ü Ö º ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ 4 ln L+ ln K = 0º ËÓÐÚ Ò Ø ÓÖ Ú Ö Ð K Ú L > 0º 4 ln L+ ln K = 0 ln K = 0 4 ln L ln K = 5 ln L e ln K 5 ln L = e K = e 5 ln L e K = e 5 ln L e K = e 5 L K = e5 L, Ü Ö º µ = 5 x 5 y 3 y 3 5 = x 5 y = 3. x U = º Ë Ñ Ð ÖÐÝ U = 4 Ò x 3 U = 6º x µ Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º Ü Ö º µ ÓÖ Ü ÑÔÐ (x, y) = (0, 0) (x, y) = (0, 0) (x, y) = (00, 0) (x, y) = (0, 50) (x, y) = (0, 000)º µ Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ Ì ÑÓ Ø ÔÖ ÖÖ Ö Ø Ó : Ø Ö Ø Ó Ù Ö ÒØ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Û Ø ³º ÌÓ Ø ÓÒ Ö U(5, 55) = U(5, 5) = 5º Ì Ö ÒÓ Ò Ø Ó Ú Ò Ø ÓÒ Ð 500 ÙÒ Ø Ó y Ø Ö ÒÓ ÒÖ Ò Ø ÙÒ Ø Ó xº ÐÓÒ ÓØ ÓÑÑÓ Ø Ö Ó ØÐÝ Ø ÓÒÐÝ Ñ Ò ØÓ ÓÒ ÙÑ Ø Ñ Ò ÕÙ Ð ÑÓÙÒØ º Ü Ö º µ U A (0.5, 0.4) = 0.4 < 0.04 = U A (0., 0.) À Ò ÈÓÖØ ÓÐ Ó P º µ U B (0.5, 0.4) = 0.8 > 0. = U B (0., 0.)º À Ò ÈÓÖØ ÓÐ Ó P º µ µ = U A + 4σ ÓÖ ÒÚ ØÓÖ A µ = U B + σ ÓÖ ÒÚ ØÓÖ Bº Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ α A = 8 > 4 = α B º À Ò ÒÚ ØÓÖ Aº Ü Ö º µ ËÓÐÚ Ò Ø Ù Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ö Ð x Ú x = p p x + I p.

33 ÔØ Ö ¾ µ ËÙÔÔÓ Û Ú ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú ÔÖ ÓÖ ÓØ ÓÓ º ÌÓ Ø ÑÙ Ó ÓÓ ½ ÔÓ Ð Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ò Ô Ò Ðл Ö ÒÓÑ ÓÒ ÓÓ ½º À Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÑÓÙÒØ Ó x I/p º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÑÓÙÒØ Ó ÓÓ ¾ Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ò ÓÖ I/p º µ Ì Ù Ø Ð Ò ÖÓØ Ø ÒÛ Ö ÓÒ Ø (x, x )¹ÔÐ Ò º Ì ÐÓÔ ÓÑ Ø Ô Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÑÓÙÒØ Ó ÓÓ ½ Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ò ÙÝ Ö º µ Ì Ù Ø Ð Ò ÖÓØ Ø ÓÙØÛ Ö º Ì Ù Ø Ð Ò ÓÑ Ø Ô Ö Ù Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÑÓÙÒØ Ó ÓÓ ¾ Ø Ø Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ò ÙÝ ÒÖ º µ Á Ø Ù Ø ÒÖ Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ð ØÓ ÙÝ ÑÓÖ Ó ÓØ ÓÓ º À Ò Ø ÒØ Ö Ù Ø Ð Ò Ø ÓÙØÛ Ö ÝÑÑ ØÖ ÐÐÝ Ù Ø Ø Ø ÐÓÔ Ö Ñ Ò Ø Ñ º Ü Ö º Ì Ð Ú Ð ÙÖÚ Û Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ ½ Ú Ò Ý e x+ y = ln(e x+ y ) = ln x+ y = 0 y = x y = x, x 0. Ü Ö º µ Ë Ò U(3, 0) = 3a = 9 Û Ú a = 3º µ Ì Ù Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ p x x+ p y y = x+y = 3º Ì Ö Ý Û ÒÓÛ Ø Ø p x = p y = º º ÓØ ÓÓ Ö ÕÙ ÐÐÝ ÜÔ Ò Ú Ò Ú ÔÖ ½º ÙÖØ ÖÑÓÖ Û Ø a = 3 Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ø ÙÒ Ø Ó ÙØ Ð ØÝ ÓÖ Ú ÖÝ ÙÒ Ø Ó x» ÓÒ ÙÑ Ò ¾ ÙÒ Ø Ó ÙØ Ð ØÝ ÓÖ Ú ÖÝ ÙÒ Ø Ó y» ÓÒ ÙÑ º À Ò» ÐÛ Ý ØØ Ö Ó ÓÒ ÙÑ Ò x Ø Ò yº Ì ÑÔÐ Ø Ø» ÓÙÐ Ô Ò Ðл Ö ÒÓÑ ÓÒ x Ò ÒÓÒ ÓÒ yº ÓÖ Ò ØÓ Ø Ù Ø ÓÒ ØÖ ÒØ» Û ÐÐ ÙÝ ÙÒ Ø Ó x Ò ¼ ÙÒ Ø Ó yº Ì Ú Ñ» Ö ÙØ Ð ØÝ Ó º À Ò Ø Ò Ø Ø Ø U(3, 0) = 9 Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÙØ Ð ØÝ Ø ÓÒ ÙÑ Ö Ò Ú º Ü Ö º½¼ µ Ì ÓÕÙ ÒØ minx, x } = º Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒØ ÓÒ ÐÛ Ý Ä¹ Ô º À Ò ØÓ Ö Û Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Û ÓÒÐÝ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÒ Ö ÔÓ ÒØ Ó Ø Ä¹ Ô ÙÖÚ Û Ú Ò Ý = x x = 6, = x x =. Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ Ì ÓÕÙ ÒØ minx, 3x } = º Ì ÓÖÒ Ö ÔÓ ÒØ Ó Ø Ä¹ Ô ÙÖÚ Ú Ò Ý = x x =, = 3x x = 4. Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ ÐÓÒ Ø Ó Ø ÓÖ ÓØ ÒÔÙØ ØÓÖ Ö ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ó Ø¹Ñ Ò Ñ Þ Ò ÒÔÙØ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÒ Ö ÔÓ Òغ Ì Ö ÓÖ a = Ò b = Û Ö ÕÙ Ö x = 6 Ò x = º Ø ÔÖ p = Ò p = 3 Ø Ú Ó Ø Ó ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ó = 48º Á a = Ò b = 3 Û Ò x = Ò x = 4º Ø ÔÖ p = Ò p = 3 Ø Ó Ø Ó ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ö +4 3 = 36º

34 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö º½½ µ 3 = 9LK K = 9L 3 K = 3L º Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ 6 = 9L L = 6 º Ü Ö º½¾ µ x = 8 Ò y 3 ÓÖ y = 3 Ò x 8º Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ º µ k = min9, y } k = y y = kº µ Ï Ø x = 8 Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ú k > 9 ÙØ k = 9 ÓÖ ÐÐ y 3º Ü Ö º½ µ = 5 a = 5 a a = º µ > b 0.5 b < º

35 ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö Ü Ö º½ µ z x(x, y) = y 0x, z y(x, y) = x+. µ z x(x, y) = 6( x y) 5 ( xy) = xy( x y) 5 z y(x, y) = 6( x y) 5 ( x ) = 6x ( x y) 5. µ z x(x, y) = z y(x, y) = (xy) y(x+y) (xy) y(y x) (x+y) = xy(x+y), (xy) x(x+y) (xy) x(x y) (x+y) = xy(x+y). Ü Ö º¾ µ z x(x, y) = y( y ), z x(, 0) = 0, z y(x, y) = x( y ) + xy ( y ) ( y), z y (, 0) =. µ Q L (L, K) = 0.L K, Q L (4, 6) = 0., Q K (L, K) = 0.L K, Q K (4, 6) = Ü Ö º µ U (x, x ) = 30x 4x4 U (x, x ) = 4x 5x3 º µ U (x, x ) = 6( x + x ) = 3( x + x ) x x U (x, x ) = 6( x + x ) = 3( x + x ) x x º µ U x(x, y) = y+0 U y(x, y) = x+4º µ U x(x, y) = 4 3 x 3 y 3 U y(x, y) = 8 3 x 3 y 3 º Ü Ö º µ Ë Ò z(x, y) = kx α y α Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö Ò z(x, y) x z(x, y) y = kαx α y α = α x kxα y α = α z(x, y) x = k( α)x α y α = α y kx α y α = α z(x, y). y ¾

36 ¼ ËÓÐÙØ ÓÒ µ Í Ò Ø Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ô ÖØ µ Û Ú x z(x, y) x + y z(x, y) y = x α α z(x, y)+y z(x, y) x y = α z(x, y)+( α) z(x, y) = z(x, y). Ü Ö º µ u(x, 6) = minx, 6}, u(6, 6) = min, 6} =, u(0, 6) = min0, 6} = 6. µ Ë Ò x < y Ø (6, 6) u(x, y) Ú Ð xº À Ò u x(6, 6) = º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ò y < x Ø (0, 6) u(x, y) Ú Ð yº À Ò u x(0, 6) = 0º µ Ë Ò x < y Ø (8, 0) u(x, y) Ú Ð xº À Ò u x(8, 0) = º µ Ë Ò y < x Ø (0, 6) u(x, y) Ú Ð yº À Ò u y(0, 6) = º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ò x < y Ø (8, 0) u(x, y) Ú Ð xº À Ò u y(8, 0) = 0º Ü Ö º µ u x(x, y, z) = x 3 y 6 z u y(x, y, z) = x 3 y 5 6 z u z(x, y, z) = x 3 y 6 z º µ u x x(x, y, z) = x +y +z u y y(x, y, z) = x +y +z u z(x, y, z) = z º x +y +z Ü Ö º µ z z x(4, ) x+z y(4, ) y = 4 ( 0.)+ 0.0 = µ z z x(4, ) x+z y(4, ) y = ( 0.0) = 0. Ü Ö º µ Ë Ò MPP L (L, K) = F L (L, K) = 3L 5 K 5 Ø Ñ Ö Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ó Ð ÓÖ Ø (L, K) = µ (00, 400) MPP L (00, 400) = 3(00) 5(400) 5 = 3 5 = = 3 5 4º F F L (00, 400) L+F K (00, 400) K L+ F K (00, 400) 0 L µ Ì Ñ Ö Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ó Ô Ø Ð F K (L, K) = L 3 5 K 3 5 º Ø (L, K) = (00, 400)

37 ÔØ Ö ½ F K (00, 400) = (00) 3 5(400) 3 5 = ( ) 3 5 = 5 8 º À Ò Û Ú F F L (00, 400) L+F K (00, 400) K K 8 K 5 8 = 5 8. Ü Ö º Ý Ü Ö º Û ÒÓÛ Ø Ø z x(x, y) = α x z(x, y)º À Ò Ë Ñ Ð ÖÐÝ z y(x, y) = α y z(x, y)º À Ò ǫ y = α y ǫ x = α x z(x, y) x z(x,y) = αº y z(x, y) z(x,y) = αº Ü Ö º½¼ µ Ë Ò Q L (L, K) = 6 L 3 K 3 Ø Ð Ø ØÝ Ó ÓÙØÔÙØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ð ÓÖ Ø Ò À Ò ǫ L = Q L L (L, K) Q(L, K) = 6 L 3 K 3 % Q ǫ L % L = 3 = 3. µ Ì ÓÙØÔÙØ ÒÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ý µ % Q ǫ L % L = 3 3 =. L L 3 K 3 = 3. % Q ǫ L % L 3 % L % L 6. Ü Ö º½½ x(5,, 400) = º ǫ p x = x (p x, p y, I) Ë Ñ Ð ÖÐÝ ǫ py = ǫ I = º p x x(p x,p y,i) = Ü Ö º½¾ µ ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Z(t) = z(x(t), y(t)) Û Ö z(x, y) = x 4 y 3, x(t) = t Ò y(t) = 3t 4. = º ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó Z(t) Û Ò z x(x, y) z y(x, y) x (t) Ò y (t) x (t) = t, y (t) = 3, z x(x, y) = 4x 3 y 3, z y(x, y) = 3x 4 y. Ú ÐÙ Ø Ø t = 4 Û Ú x(4) =, y(4) = 8, x (4) = 4, y (4) = 3, z x(x(4), y(4)) = z x(, 8) = 4( 3 )(8 3 ) = 6384, z y(x(4), y(4)) = z y(, 8) = 3( 4 )(8 ) = 307.

38 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÖÙÐ Ó ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ø Z (4) = z x(x(4), y(4)) x (4)+z y(x(4), y(4)) y (4) = = 33. µ Z(t) = ( t) 4 (3t 4) 3 = t (3t 4) 3 º Z (t) = t(3t 4) 3 + t 3(3t 4) 3 = t(3t 4) 3 + 9(3t 4). Z (4) = (3 4) 3 + 9(3 4) = 33º Ü Ö º½ µ ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Z(x) = z(x, y(x)) Û Ö y(x) = 5 x Ò z(x, y) = 3x 3 y 3. ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó Z(x) Û Ò z x(x, y) z y(x, y) Ò y (x) y x (x) =, 5 x z x(x, y) = x 3 y 3, z y (x, y) = x 3 y 3. Ú ÐÙ Ø Ø x = Û Ú y() =, y () = =, z x(, y()) = z x(, ) = 3 3 = 3, z y(, y()) = z y(, ) = ( 3 ) 3 = 3. ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÖÙÐ Ó ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ó Ø Ò Z () = z x(, y())+z y(, y()) y () = ( ) = 3. µ Z(x) = 3x 3 ( 5 x ) 3 = 3x 3 (5 x ) 3 = 3(5x x 3 ) 3 º Z (x) = 3 3 (5x x3 ) 3 (5 3x ). Z () = (5 3 ) 3 (5 3 ) = 4 3 = 3 º Ü Ö º½ ÁÒ (L, K) = (4, 6) Ø Ð Ú Ð F(4, 6) = 0. ËÓÐÚ Ò Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Û Ø Ð Ú Ð ¾¼ ÓÖ K Ú 3L+ K = 0 K(L) = (0 3 L).

39 ÔØ Ö Ì Ò Ö ÒØ Ø ØÓ Ò Ø ÐÓÔ Ø L = 4 ) K (L) = (0 3 L 3 K (4) = Ü Ö º½ µ Ë Ò U (x, x ) = 30x 4x4 Ò U (x, x ) = 4x 5x3 Ü Ö º µ Û Ó Ø Ò slope = 30x4 x4 4x 5 = 5x. x3 4x ËÙ Ø ØÙØ Ò (x, x ) = (, ) Û Ó Ø Ò slope = 5 8. µ Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ú slope = U (x, x ) U (x, x ) = 6( x + x )x / 6( x + = x x )x. / x Ò Ø ÐÓÔ Ø (4, 9) µ Ë Ñ Ð ÖÐÝ slope = 3. slope = U x(x, y) U y(x, y) = y+0 x+ 4 Ì ÐÓÔ Ø (, ) Ú Ò Ý slope = 5 µ Ì Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö U x(x, y) = 4 3 x 3 y 3 Ò U y(x, y) = 8 3 x 3 y 3. À Ò Ø ÐÓÔ s Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò (9, 7) ÕÙ Ð ØÓ slope = U x(9, 7) U y(9, 7) = 7 9 =. Ü Ö º½ Á ØÛÓ ÙÖÚ ØÓÙ ÓØ Ö Ò Ø ÔÓ ÒØ (x 0, y 0 ) Ø Ò Û Ú ÓÑÑÓÒ Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ ÓØ ÙÖÚ º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ ÓØ ÙÖÚ Ö Ø Ñ Ò (x 0, y 0 ) Ò (x 0, y 0 ) ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÓØ ÙÖÚ º Ö Ø Û Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ø Ø (, ) Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ x + xy+y = 3º ËÓ (, ) ÓÒ Ø ÙÖÚ x + xy+y = 3 Ò Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ó z(x, y) Ò (, )º Æ ÜØ Û ÓÛ Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ØÓ Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ö Ø Ñ Ò (, )º Ý Ù Ó Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ó z(x, y) z x(x, y) = x Ò z y(x, y) = y Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ó z(x, y) Ò (, ) ÕÙ Ð z x(, ) z y(, ) = =.

40 ËÓÐÙØ ÓÒ ÌÓ ÐÙÐ Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ x + xy + y = 3 Û Ð Ó Ù Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú º Ì g(x, y) = x + xy + y Ø Ò g x(x, y) = x + y Ò g y(x, y) = x + yº À Ò Ø ÐÓÔ g x(, ) g y(, ) = + + =, Û Ø Ñ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ó z(x, y) Ò (, )º Í Ò Ø ÓÚ ØÛÓ Ø Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º Ü Ö º½ µ ÁÒ Ü Ö º½ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò(x, x ) = (, ) 8 5 º À Ò MRS(, ) = 5 8 º µ ÁÒ Ü Ö º½ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò(x, x ) = (4, 9) 3 º À Ò MRS(4, 9) = 3 º µ ÁÒ Ü Ö º½ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò (x, y) = (, ) 5 º À Ò MRS(, ) = 5 º µ ÁÒ Ü Ö º½ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÐÓÔ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ò (x, y) = (9, 7) 3 º À Ò MRS(9, 7) = 3 º Ü Ö º½ µ µ Ë Ò F x(x, y) = p Ò F y(x, y) = p Ø ÅÊÌË Ò ÛÖ ØØ Ò MRTS(x, y) = p p. µ Ì ÓÕÙ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖÚ µ Û Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ú Ð ÕÙ Ð ØÓ k Ú Ò Ý p x+ p y = k p y = k p x y = k p p p x, Û Ö Ø ÐÓÔ p p º Ú Ò p Ò p Ü Ø ÓÕÙ ÒØ ÓÖ Ö ÒØ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ú Ð k Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔØ Ö º µ µ Ï Ú Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ F(x, y) = minx, 5y}º Ì ÓÕÙ ÒØ Ö Ø Ä¹ Ô Ð Ò º Ì ÓÕÙ ÒØ ÓÖ Ö ÒØ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ú Ð k Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔØ Ö º µ 7 > 5 Û Ñ Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ú 5Kº À Ò MRTS(7, ) = F L(7, ) F K (7, ) = 0 5 = 0 5 < 5 4 Û Ñ Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Lº À Ò MRTS(5, 4) = F L(5, 4) F K (5, 4) = 0 = ÁÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ò Ø ØÛÓ ØÓÖ Ö Ô Ö Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ñ Ö Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ö ØÓÖ ÐÛ Ý Ò Ò ØÝ Ù Û Ò ÑÑ Ø ÐÝ ÔÖÓ Ù ÑÓÖ ØÓØ Ð ÓÙØÔÙØ Û Ð Ø Ñ Ö Ò Ð ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÙÒ ÒØ ØÓÖ ÐÛ Ý Þ ÖÓ ÒÝ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó Ø ØÓÖ Ó ÒÓØ ÒÖ ÓÙØÔÙغ Ü Ö º½

41 ÔØ Ö Ë Ò z(x, y) = xe xy + ln(x+y ) Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ó z(x, y) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x z x(x, y) = e xy + xye xy + x+y. Ú ÐÙ Ø Ø (x, y) = (, ) Û Ú z x(, ) = e + e + 3 = 3e + 3. Ü Ö º¾¼ µ z y(x, y) = ln(x y y )+y º À Ò z x y y(3, ) = 4+ln º µ z y(x, y) = x + x (+xy)ln 3 + xy x ln º À Ò z y(, 0) = + ln(3) + ln º µ z y(x, y) = y(x +y) y º À Ò z (x +y) y(, ) = 5 º Ü Ö º¾½ µ Ì Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö Ò X K (L, K) = 4(K + L 3) 3 K X L (L, K) = 8(K + L 3) 3 3L 3 µ Ì Ò Ø ÐÓÔ s Ò ÔÓ ÒØ (8, 4) Ú Ò Ý s = X L (8, 4) X K (8, 4) = 3. µ Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÐ Ø Ø MRTS(8, 4) = sº À Ò MRTS(8, 4) = 3. Ü Ö º¾¾ ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Z(t) = z(x(t), y(t)) Û Ö x(t) = ln t Ò y(t) = e t º ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó Z(t) Û Ò z x(x, y) z y(x, y) x (t) Ò y (t) x (t) = t, y (t) = e t, z x(x, y) = 6xy+y, z y(x, y) = 3x + x. Ú ÐÙ Ø Ø t = 4 Û Ú x(4) = ln 4, y(4) = e 8, x (4) = 4, y (4) = e 8, z x(x(4), y(4)) = z x(ln 4, e 8 ) = 6e 8 ln 4+e 8 = e 8 (6 ln 4+), z y(x(4), y(4)) = z y(ln 4, e 8 ) = 3(ln 4) + ln 4 = ln 4(3 ln 4+).

42 ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÖÙÐ Ó ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ó Ø Ò Z (4) = z x(x(4), y(4)) x (4)+z y(x(4), y(4)) y (4) = e 8 (6 ln 4+) + ln 4(3 ln 4+)e8 4 = e 8 ( 4 + ln(4)(3 + 6 ln(4))). Ü Ö º¾ ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Z(x) = z(x, y(x)) Û Ö y(x) = 4x + x Ò z(x, y) = ln(x + y 5 )º ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó Z(x) Û Ò z x(x, y) z y(x, y) Ò y (x) y (x) = 4+ x, z x(x, y) = x x + y 5, z y(x, y) = 5y4 x + y 5. Ú ÐÙ Ø Ø x = Û Ú y() = 5, y () = 9, z x(, y()) = z x(, 5) = +5 5, z y(, y()) = z y(, 5) = ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÖÙÐ Ó ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ø Z () = z x(, y())+z y(, y()) y () = = Ü Ö º¾ µ = < = +º À Ò z x(, ) = = Ò z y(, ) = 0º µ MRS(, ) = z x(,) z y(,) = 0 (= )º µ Ì Ú ÖØ Ð Ð Ò Ó Ò Ø ÖÓÙ (x, y) = (, )º À Ò x = º Ü Ö º¾ Q L (L, K) = LK Ò Ò Q L (3, ) = º ÙÖØ Ö Q K (L, K) = L + K Ò Ò Q K (3, ) = 3º Ì Ò Q Q K (L, K) K+Q L (L, K) L Ú Q 3 + ( ) = 4º Ü Ö º¾ Ë Ò U(x, y) Ó ¹ ÓÙ Ð ÙÒØ ÓÒ ǫ x = % U 3 Ë Ü Ö º µº % x ǫ x = = 6º 3 Ü Ö º¾ µ MRS(x, y) = U x(x,y) U y(x,y) = xy3 Ò Ò MRS(, ) = 3x y 3 º À Ò Ø ÐÓÔ Ú Ò Ý 3 º À Ò y = 3 x+b Ò Ò = 3 +b Ø ÓÐ Ø Ø b = 3 Ò Ø Ö ÓÖ y = 3 x+ 3 º µ MRS(0, 0) = 3 º y MRS(x, y) xº À Ò x = 4 3º 3

43 ÔØ Ö Ü Ö º¾ µ Ë Ò Y(L, K) Ó ¹ ÓÙ Ð ÙÒØ ÓÒ ǫ L = 5 Ë Ü Ö º µº µ % Y ǫ L % L = 5 = 5 º Ü Ö º¾ Z(t) = (t+) (4t+ ) Ò Ò Z (t) = (t+ )(4t+ )+(t+ ) 4 = 48t + 40t+ 8º Í Ò Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ÓÒ Z (t) = 0 Û Ò Ø Þ ÖÓ Ó Z (t) t = Ò t = 3 º Ü Ö º ¼ µ z x(x, y) = y e 4 x ( ) Ò Ò z x(, ) = 6º ÙÖØ Ö z y(x, y) = 4y e 4 x Ò Ò z y(, ) = 8º Ì Ò z z x(, ) x+z y(, ) y Ú 6 x+8 ( 3) Ò Ò x µ ǫ y = 4y e 4 x 6 º y y e 4 x Ò Ò ǫ y = º À Ò % y % z ǫ y = º Ü Ö º ½ µ U(, ) = 0 Ò Ò 0 = xy+x 4 xy = 4 x y = 4 x 4 x x º Ì Ö ÓÖ y(x) = x º µ MRS(x, y) = U x(x,y) U y(x,y) = y+ x º Ì Ò slope = MRS(, ) = 3º Ì Ö ÓÖ y = 3x+bº Ë Ò = 3 +b Û Ó Ø Ò b = 5 Û Ú y = 3x+ 5º Ü Ö º ¾ z z x(, ) x Ú z x(x, y) 3º Ì Ö ÓÖ z x(, ) = 3 º Ë Ò ǫ x = z x(x, y) x z(x,y) = 3 5 Û Ó Ø Ò ǫ x = 5 º Ü Ö º µ MPP L (L, K) = Q L (L, K) = 4L 3 5 K 3 5 MPP K (L, K) = Q K (L, K) = 6L 5 K 5 º µ MRTS(L, K) = MPP L(L, K) MPP K (L, K) = K 3L º Ü Ö º Z(x) = 0e (x + x) x = 0e x4 +x +x 3 º À Ò Z (x) = 0e x4 +x +x 3 (4 x3 + x + 6x )º À Ò Z () = 0e 4 º Ü Ö º 3y = 6 x Ú y = xº À Ò MRS(x, y) = slope Ú y x+y = 3 Û Ö ÙÐØ Ò y = xº Ì Ö ÓÖ y = y Û Ú y = 4º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ x = 4º À Ò a = 4 Ò b = 4º Ü Ö º ax+ by = 8 Ú y = 8 b b a y xº À Ò MRS(x, y) = slope Ú = x = b a º À Ò y a = bº Ì Ö ÓÖ = 8 b 4 Û Ú b = 6 Ò Ø Ö ÓÖ a = 3º À Ò a = 3 b = 6º Ü Ö º Ë Ò Ø Ð Ú Ð ÙÖÚ Ø Ò ÒØ ØÓ Ø x¹ Ü b = 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö MRS(x, y) = slope Ú x+6y+3 6x+4y = 0 Û Ú Ò y = 0µ x+ 3 = 0º À Ò a = b = 0º Ü Ö º

44 ËÓÐÙØ ÓÒ Ö Ø Û ÓÑÔÙØ Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú º Ì Ö ÝÑÑ ØÖ Ð Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÙÒØ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ðµ Ò Ú Ò Ý U x(x, y) = (x 3 + y 3) x 3 Ò U y(x, y) = (x 3 + y 3) y 3 Ì Ò Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÐÓÔ s Ó Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò s = (x 3 +y 3 ) x 3 (x 3 +y 3 ) y 3 ( y 3 = x) Ë Ò Û Ö ØÖÝ Ò ØÓ Ò Ø ÔÓ ÒØ Ù Ø Ø Ø ÐÓÔ ÕÙ Ð ØÓ 4 Û Ò ( y x) 3 = 4 Û Û Ò Ö ÖÖ Ò ØÓ Ú y = 8x ÙÖØ ÖÑÓÖ Û Ö ØÓ Ò Ø ÔÓ ÒØ Ù Ø Ø U(x, y) = 54º Ø Ö ÓÖ Ò Ë Ò y = 8x Û U(x, 8x) = ) (x 3 3 +(8x) 3 = (3x 3 ) 3 = 54. À Ò Û Ò ØÓ Ú x = Û ÑÔÐ y = 6º ÇÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö ÓÖ (, 6)º Ü Ö º Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÅÊË MRS(x, y) = 6x y 4 8x 3 y 3 = 3 y 4 x Û Û Ò ØÓ ÕÙ Ð ØÓ º À Ò Û ÑÙ Ø Ú y = 4x ÆÓÛ Ø Ø Û ÒÓÛ Ø Ö Ø Ó Ó ÓÙØ Ò Ò x Ù Ø Ø U(x, 4x) = 5 U(x, 4x) = x x 4 = 5x 7 = 5 x =, y = 4 Ü Ö º ¼ U x(x, y) = aye ax Ò U y(x, y) = e ax º À Ò Ø ÐÓÔ Ú Ò Ý s = U x(, 3) U y(, = 3 a 3a = 3 3) À Ò a = º Ì Ò Ø ÙØ Ð ØÝ Ð Ú Ð U(, 3) = 3eº

45 ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔØ Ö Ü Ö º½ µ Ë Ò y(x) = x 3 9x x Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = 6x 8x = 6(x 3x ). Ì Þ ÖÓ Ó y (x) Ö Ú Ò Ý x = 3 7 Ò x = ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á x (, 3 7 ], y (x) 0. Á x [ 3 7, 3+ 7 ], y (x) 0. Á x [ 3+ 7, ), y (x) 0. ËÓ Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÖ Ò ÓÒ (, 3 7 ] Ò ÓÒ [ 3+ 7, )º Ì ÙÒØ ÓÒ Ö ¹ Ò ÓÒ [ 3 7, 3+ 7 ]º µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x 4 ln xº ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÑ Ò x > 0º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = x 4 x. Ì Þ ÖÓ Ó y (x) Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = 0 x 4 x = 0 x 4 = 0 x =. Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á x (0, ], y (x) 0. Á x [, ), y (x) 0. ËÓ Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÖ Ò ÓÒ [, ) Ò Ö Ò ÓÒ (0, ]º

46 ¼ ËÓÐÙØ ÓÒ µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = (x3 x + x )º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = (3x x+ ). Ë Ò Ø Ö Ñ Ò ÒØ D = 3 = < 0 y (x) ÒÓ Þ ÖÓ º À Ò Û Ø Ö Ú y (x) Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÓÒ Ø Û ÓÐ ÓÑ Ò ÙØ ÒÓØ ÓØ º Ý ÔÐÙ Ò Ò Ö ØÖ ÖÝ x ÒØÓ y (x) Û ÓÒÐÙ y (x) > 0 ÓÖ ÐÐ xº À Ò Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÖ Ò ÓÒ (, )º µ Ë Ò y(x) = xe x Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = e x + xe x = (+ x)e x. Ì Þ ÖÓ Ó y (x) Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = 0 (+ x)e x = 0 + x = 0 x =. Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á x (, ], y (x) 0. Á x [, ), y (x) 0. ËÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ò ÓÒ (, ] Ò ÒÖ Ò ÓÒ [, )º Ü Ö º¾ Ë Ò y(x) = (x )(x+a) Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = (x )+(x+a) = x+a. ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú Ø Ò Ó Ò Ó y (x) Ø x = Û Ö ÕÙ Ö y () = 0 a = 3. Ò ÐÐÝ ÓÖ a = 3 Û Ø Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ y (x) 0, x (, ]º y (x) 0, x [, )º À Ò a = 3º Ü Ö º ÒÝ ÙÒØ ÓÒ y(x) Û Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÔØ ÑÙÑ Ò x = b Ò y (b) = 0 ÙÐ ÐÐ Ø Ö Ø Ö ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ y(x) = xº Ì ÓÑ Ò x 0º ÁØ ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÑ Ó ¼ Ò x = 0 ÙØ y (0) = = 0º 0 Ü Ö º µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = xe x º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = e x xe x (x) = e x ( x ).

47 ÔØ Ö ½ Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó y(x) Ö Ú Ò Ý y (x) = 0 }} e x ( x ) = 0 >0 x = 0 x = ±. Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á x (, ], y (x) 0. Á x [, ], y (x) 0. Á x [, ), y (x) 0. ÓÖ Ò ØÓ Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ y( ) = Ñ Ü ÑÙѺ µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x x+ º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = x. e Ñ Ò ÑÙÑ Ò y( ) = e Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó y(x) Ò x = º ÓÐÐÓÛ Ò Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø Á x [0, ], y (x) 0. Á x [, 5], y (x) 0. ÓÖ Ò ØÓ Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ y() = Ñ Ò ÑÙѺ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ý Ù Ó Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ð Ó ÒÓÛ Ø Ø y(0) = Ò y(5) = 7 Ö ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ü Ñ º Ü Ö º µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = 3 x3 x + x+ 0º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = x x+ = (x ) À Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò x = º µ Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó y (x) Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Á x [0, ], y (x) 0. Á x [, ), y (x) 0. Ë Ò Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÖ Ò ÓØ ÓÒ [0, ] Ò ÓÒ [, ) y(x) ÒÓ ÓÔØ ÑÙÑ Ò x = º Ì Ö ÓÒÐÝ ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÑ y(0) = 0 Ò x = 0ºµ Ü Ö º µ ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x + x+ º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = x+.

48 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ À Ò Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò x = º Ë Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Û Ò Ù Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö ÓÒº y( ) = y( ) = Ò y() = 0º À Ò y( ) = Ñ Ò ÑÙѺ Ø ÓÒ ÐÐÝ Û Ð Ó ÒÓÛ Ø Ø y( ) = Ò y() = 0 Ö ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ü Ñ º µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÑ Ò ÒÓ ÓÙÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ º ÓÒ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y(x) = x+ln(x+ )º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú y (x) = + x+. Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó y(x) Ò x = 0º Ë Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Û Ò Ù Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Ö ÓÒº y(0) = 0 y() = +ln y( ) = + ln º À Ò y(0) = 0 Ñ Ü ÑÙѺ Ü Ö º µ y(x) = e x, y (x) = e x, y (x) = e x. µ y(x) = x ln x, y (x) = ln x+, y (x) = x. Ü Ö º µ Ì Ö Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ó y(x) Ö y (x) = 3x x Ò y (x) = 6x. Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó y (x) = 0 3x x = 0 3x(x 4) = 0 x = 0 ÓÖ x = 4. Ë Ò y (0) = < 0 Ò y (4) = > 0 ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ y(x) Ñ Ü ÑÙÑ y(0) = 0 Ò Ñ Ò ÑÙÑ y(4) = º µ Ì Ö Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ó y(x) Ö y (x) = 480x x 7 30x 5 6x 3 + 6x 4x, y (x) = 436x x 6 50x 4 48x + x 4. Ë Ò y (0) = 0 Ò y (0) = 4 < 0 ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ y(0) = 0 Ñ Ü ÑÙÑ Ó y(x)º Ü Ö º Ë Ò Ø ÔÖÓ Ù Ö ÔÖ Ø Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ø ÔÖ ÒÓØ Ø Ý Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ÔÖÓ Ù yµ Ø Ö Ú ÒÙ R(y) = 5y. Ú Ò Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ C(y) Ø ÔÖÓ Ø ÕÙ Ð π(y) = 5y 3y 3 + y. ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÑÓ Ø ÔÖÓ Ø Ð ÕÙ ÒØ ØÝ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó π(y) π (y) = 5 9y + 4y = 0 9y + 4y+5 = 0 y = ÓÖ y = 5 9.

49 ÔØ Ö 5 9 < 0 Ø ÓÒÐÝ Ò Ø y = º Ò ÐÐÝ Û Ò ØÓ Û Ø Ö y = Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ö Ø ÔÖÓ Ø ÔÓ Ø Ú Ò y = º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó π (y) Ò Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ Û ÓÒÐÙ Ø Ø π() = 4 Û ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÖÓ Øº Ü Ö º½¼ Ú Ò Ø Ñ Ò ÙÒØ ÓÒ y(p) = 5 p Û Ò ÜÔÖ Ø Ö Ú ÒÙ Ó Ø Ò ÔÖÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó pº Ì Ö Ú ÒÙ Ú Ò Ý R(p) = p y(p) = 5p p, Ø Ó Ø Ö C(p) = 0+5y(p)+ (y(p)) Ò Ø ÔÖÓ Ø ÕÙ Ð = 8 p 5p+ 457, π(p) = R(p) C(p) = 5 8 p + 40p 457. Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ó π(p) π (p) = 5 4 p+40. Ë ØØ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ú Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ p = 3º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó π (p) Ò Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ Û ÓÒÐÙ Ø Ø π(3) = 8 Û ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÖÓ Øº Ì Ö Ý Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖ ¾ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ú Ð y(3) = 5 3 = 9º Ü Ö º½½ µ Ë Ò Ø ÔÖÓ Ù Ö ÔÖ Ø Ö Ø Ö Ú ÒÙ R(y) = pyº Ú Ò Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ C(y) = y y = y 3 Ø ÔÖÓ Ø ÕÙ Ð π(y) = py y 3 º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ò π (y) = p 3 y º Ë ØØ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ú y = 4 9 p º ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó π (y) Ø ÔÖÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð Û Ò y = 4 9 p º Æ ÜØ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ú Ö Ó Ø AC(y) = y º ÁØ Ö Ú Ø Ú AC (y) = y º Í Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Û Ò Ø Ö ÒÓ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ Òغ Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó AC (y) Ø Ú Ö Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ AC(0) = 0º À Ò Ø ÙÔÔÐÝ ÙÖÚ Ò Ý y(p) = 4 9 p p 0º µ Ë Ò Ø ÔÖÓ Ù Ö ÔÖ Ø Ö Ø Ö Ú ÒÙ R(y) = pyº Ú Ò Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ C(y) = 5y 3 40y + 96y Ø ÔÖÓ Ø ÕÙ Ð π(y) = py 5y y 96yº Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ò π (y) = p 5y + 80y 96º Ë ØØ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ú y = 8 3 ± pº ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó π (y) Ø ÔÖÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð Û Ò y = pº Æ ÜØ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ú Ö Ó Ø AC(y) = 5y 40y + 96º ÁØ Ö Ú Ø Ú AC (y) = 0y 40º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ú Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ Òغ AC (y) = 0 y = 4.

50 ËÓÐÙØ ÓÒ Í Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó AC (y) Ø Ú Ö Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ AC(4) = 6º À Ò Ø ÙÔÔÐÝ ÙÖÚ Ò Ý 0 p < 6 y(p) = p p q = 0. = 00 Ü Ö º½¾ Ü Ö º½ µ Ù z x(x, y) = 4 x + y Ò z y(x, y) = y + x Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó z x(x, y) = 0 z y(x, y) = 0 4 x+ y = 0 y+x = 0 4 x+ y = 0 x = y 4 4(y )+y = 0 x = y y = 6 x = y y = 6 x = 0. À Ò (x, y) = (0, 6) Ø ÓÒÐÝ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ Òغ µ Ù z x(x, y) = 3x 3 Ò z y(x, y) = 3y Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó z x(x, y) = 0 z y(x, y) = 0 3x 3 = 0 3y = 0 x = ÓÖ x = y = ÓÖ x =. Ë Ò Ø Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö ÓØ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÓØ Ö Ú Ö Ð ÐÐ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÚ x³ Ò y³ Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ º º (, ),(, ),(, ) Ò (, )º µ Ù z x(x, y) = y + 3x y y Ò z y(x, y) = xy+x 3 x Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó z x(x, y) = 0 z y(x, y) = 0 y + 3x y y = 0 xy+x 3 x = 0 y(y+3x ) = 0 x(y+x ) = 0 y = 0 ÓÖ y+3x = 0 x = 0 ÓÖ y+x = 0.

51 ÔØ Ö Ï Ò y = 0 Û Ú y = 0 x = 0 ÓÖ (0)+x = 0. Ï Ò x = 0 Û Ú y = 0 ÓÖ y+3(0) = 0 x = 0 y = 0 x = 0 ÓÖ x = ÓÖ x =. y = 0 ÓÖ y = x = 0. Ï Ò x = 0 Ò y = 0 Û Ú y+3x = 0 y = 3x y+x = 0 y+x = 0 y = 3x ( 3x )+x = 0 y = 3x 5x = 5 y = 3x x = ÓÖ x = 5 5 y = 5 x = 5 ÓÖ x = 5. Ì Ö ÓÖ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö (0, 0) (, 0) (, 0) (0, ) ( 5, 5 ) Ò ( 5, 5 )º Ü Ö º½ µ z(x, y) = xy 5x + y z x(x, y) = y 0x z y(x, y) = x+ z xx(x, y) = 0 z xy(x, y) = z yx(x, y) = z yy(x, y) = 0. µ z(x, y) = x 5y+3 z x(x, y) = z y(x, y) = 5 z xx(x, y) = 0 z xy(x, y) = 0 z yx(x, y) = 0.

52 ËÓÐÙØ ÓÒ µ q(l, K) = 0. LK q L (L, K) = 0.(LK) K/ = 0.L K q K (L, K) = 0.(LK) L/ = 0.L K q LL (L, K) = 0.05L 3 K K = 0.05 L L q LK (L, K) = 0.05L K = 0.05 KL q KL (L, K) = 0.05L K = 0.05 KL q KK (L, K) = 0.05L K 3 = 0.05 L K K. Ü Ö º½ µ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö z x(x, y) = 0x+ 4y 6 Ò z y(x, y) = 4x+ y. Ë Ò z x(, ) = z y(, ) = 0 (x, y) = (, ) Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó z(x, y)º µ Ì ÓÒ ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö z xx(x, y) = 0, z xy(x, y) = 4 Ò z yy(x, y) =, Ò Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý C(x, y) = 0() 4 = 4. Ë Ò C(, ) = 4 > 0 Ò z xx(, ) = 0 > 0 ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ (, ) Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Ó z(x, y)º Ü Ö º½ µ Ì ÓÒ ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö z xx(x, y) =, z xy(x, y) = Ò z yy(x, y) =, Ò Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý C(x, y) = ( )( ) = 3. ÖÓÑ Ü Ö º½ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó z(x, y) (x, y) = (0, 6)º Ë Ò C(0, 6) = 3 > 0 Ò z xx(0, 6) = < 0 z(0, 6) = 76 Ñ Ü ÑÙÑ Ó z(x, y)º µ Ì ÓÒ ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö z xx(x, y) = 6x, z xy(x, y) = 0 Ò z yy(x, y) = 6y, Ò Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý C(x, y) = (6x)(6y) 0 = 36xy.

53 ÔØ Ö ÖÓÑ Ü Ö º½ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó z(x, y) Ö (, ) (, ) (, ) Ò (, )º Ë Ò C(, ) = 84 > 0, z xx(, ) = 6 > 0, C(, ) = 84 < 0, C(, ) = 84 < 0, C(, ) = 84 > 0, z xx(, ) = 6 < 0, ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ z(x, y) Ñ Ò ÑÙÑ z(, ) = Ò Ñ Ü ÑÙÑ z(, ) = 38º Ì ÔÓ ÒØ (, ) Ò (, ) Ö Ð ÔÓ ÒØ º µ Ì ÓÒ ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ö z xx(x, y) = 6xy, z xy(x, y) = y+3x Ò z yy(x, y) = x, Ò Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý C(x, y) = x y (y+3x ). ÖÓÑ Ü Ö º½ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó z(x, y) Ö (0, 0) (, 0) (, 0) (0, ) (, 5 5 ) Ò (, 5 5 )º Ë Ò C(0, 0) = < 0, C(0, ) = < 0, C(, 0) = 4 < 0, C(, 0) = 4 < 0, C( 5, 5 ) = 4 5 > 0, C( 5, 5 ) = 4 5 z xx(, 5 5 ) = 5 > 0, z xx( 5, 5 ) = 5 5 > 0, 5 < 0, ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ z(x, y) Ñ Ò ÑÙÑ z(, 5 5 ) = 5 4 Ñ Ü ÑÙÑ z(, 5 5 ) = º Ì ÓØ Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ö Ð ÔÓ ÒØ º Ü Ö º½ π(l, K) = K 3 L L 3 Kº 5 Ò π L (L, K) = 6K 3 L Ò π K (L, K) = 4K 3 L 3 º π L (L, K) = 0 Ú L = 36K 3 º ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ π K (L, K) = 0 Ú K = 46656º Ì Ò L = Ò π(46656, 46656) = 555º ÌÓ Û Ø Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú º π LL (L, K) = 3L K 3 π KK (L, K) = 3 L K 3 Ò π LK (L, K) = L K 3 º Ì Ö ÓÖ C(L, K) = 8L K 3 4L K 3 = 4L K 3 > 0º Ë Ò π LL (L, K) < 0 Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÖÓ Ø 555º Ü Ö º½ z(a, b) = ( (a +b)) +( (a 3+b)) +(5 (a 4+b)) +(7 (a +b)) º z a(a, b) = ( a b) 6( 3a b) 8(5 4a b) 4(7 a b) = 84+60a+ 0b = 0º z b (a, b) = ( a b) ( 3a b) (5 4a b) (7 a b)= 3+0a+8b = 0 Ú a = bº ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ z a(a, b) = 0 Ú a = 5 Û Ö ÙÐØ Ò b = 3º ÆÓØ Ø Ø z aa(a, b) = 60 z bb (a, b) = 8 Ò z ab (a, b) = 0 Ö ÙÐØ Ò C(a, b) = 80º À Ò C( 5, 3) = 80 > 0 Ò z aa( 5, 3) = 60 > 0 Û ÑÔÐ Ø Ø (a, b) = ( 5, 3) Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ y = 5 x+ 3º

54 ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö º½ µ Ë ÔØ Ö ÓÖ Ø Ð Ò Ó ÓÒ ØÖ Òغ µ Ë ÔØ Ö ÓÖ Ð Ú Ð ÙÖÚ Û Ø Ö ÒØ z¹ú ÐÙ º µ Í Ò Ø ÙÖ Ò ÔØ Ö Û Ó Ø Ò Ø Ø (x, y) = (5, 5) Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Û Ø z(5, 5) = 50º Ü Ö º¾¼ µ Ö Ø Û ÓÐÚ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÖ y y = 0 x, Û Ö x [0, 0] Ò ÓÖ Ö ØÓ Ú x 0 Ò y 0º Ì Ò Ù Ø ØÙØ Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ z(x, y) Ú ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÓÒ Ú Ö Ð ÓÒÐÝ Û ÓÔØ Ñ Þ Z(x) = z(x, 0 x) = x 0x+ 00, Û Ö x [0, 0]. Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Z (x) = 4x 0. À Ò Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò x = 5º ÓÖ Ò ØÓ Ø ÑÓÒÓØÓÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó Z (x) Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÒ [0, 0] Ø x = 5º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò y¹ú ÐÙ y = 0 5 = 5º Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ z(5, 5) = 50º Ø ÓÒ ÐÐÝ Ý Ù Ó Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó Z (x) Û Ð Ó ÒÓÛ Ø Ø z(0, 0) = 00 Ò z(0, 0) = 00 Ö ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ü Ñ º µ ÓÚ ÛÖ Ø y = x Ò Ù Ø ØÙØ ÒØÓ Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ú Z(x, x) = x + x( x)+( x) = x x+ Z (x) = x x = À Ò Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ z(, ) = 3º µ Í Ò Ø ÓÒ ØÖ ÒØ ÛÖ Ø y = x Û Ö x [0, ]º Ì Ò ÛÖ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Z(x) = 4 3 x3 4x + 44x Ò Ø Ø Ö Ú Ø Ú Z (x) = 4x 48x+ 44x = 4(x x+ 38) = 4(x 6) À Ò x = 6 Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ Òغ ÀÓÛ Ú Ö Ù Ò Ø Ò ÙÖÚ Ý ÓÛ Ø Ø Ø ÒÓØ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒº À Ò Û Ò ÙÔ Û Ø ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÑ z(0, ) = 0 Ò ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ü ÑÙÑ z(, 0) = 576º Ü Ö º¾½ µ Ë Ò z x(x, y) = 4 z y(x, y) = g x(x, y) = 3 x 3 y 3 Ò g y(x, y) = 3 x 3 y 3 Û Ú z x(x, y) z y(x, y) = Ò g x(x, y) g y(x, y) = y x.

55 ÔØ Ö z x(x,y) z y(x,y) = g x(x,y) g y(x,y) g(x, y) = k = y x x 3 y 3 = 0 y = x x 3 y 3 = 0 y = x x = 0 y = 0 x = 0. Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÔÓ Ð Ò Ø ÖÓÑ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Û Ò ØÓ Û Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Ò Ø Öº Ì Ò ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ø Ó x = 0 Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò z(, 000) = 004 Ò z(0 3, ) = Û Ö ÓØ Ö Ø Ö Ø Ò z(0, 0) = 60º À Ò Û ÑÙ Ø Ú x = y = 0 Ò Ø ÓÔØ ÑÙÑ z(0, 0) = 60 Ñ Ò ÑÙѺ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Û Ú Ø Ø z x(x, y) z y(x, y) = y x = g x(x, y) g y(x, y) = x y x = y ËÙ Ø ØÙØ Ò Ø ÒØÓ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ú x = 4 x = Ù Ø Ø x = y = º Ë Ò z(, ) = 4 Ò z(, 0) = 0 Ò z(0, ) = 0 Û Ú Ø Ø z(, ) = 4 Ñ Ü ÑÙÑ Ò ÓØ z(, 0) = 0 Ò z(0, ) = 0 Ö ÓÙÒ ÖÝ Ñ Ò Ñ º Ü Ö º¾¾ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ ÑÔÐ y x = a by = ax. b ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ú ax = 6. Ë Ò Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖ a Ò b Ù Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ (9, ) Û ÔÐÙ Ø Ú ÐÙ ÒØÓ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÑÔÐ 8a = 6 a = 3. Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø b = 3 9 = 3. Ì Ò ÔÐÙ Ò Ò Ø Ú ÐÙ ÓÖ a Ò b Ú Ù Ø ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ z(0, ) = 0 Ò z(8, 0) = 0º À Ò Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ò (9, ) Û Ò ÓÓ Ò Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ú ÐÙ ÓÖ a Ò bº

56 ¼ ËÓÐÙØ ÓÒ Ü Ö º¾ µ L(x, y, λ) = 5x + 6y xy λ(x+ y 4)º L x(x, y, λ) = 0x y λ = 0 Ú λ = 0x yº Ï ÔÐÙ Ø ÒØÓ L y(x, y, λ) = y x λ = 0 Û Ú y = xº Ï ÔÐÙ Ø ÒØÓ L λ (x, y, λ) = x y+4 = 0 Û Ú x = 6º Ì Ö ÓÖ y = 9 Ò λ = 5º À Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ä Ö Ò ¹ ÙÒØ ÓÒ (x, y, λ) = (6, 9, 5)º µ L(x, y, λ) = xy λ(x x+ y )º L y(x, y, λ) = x yλ = 0 Ú λ = y x º ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ L x(x, y, λ) = y xλ+ λ = 0 Ú y x + x = 0º ÈÙØØ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ L λ (x, y, λ) = x + x y Ö ÙÐØ Ò x(x 3) = 0º Ì Ö ÓÖ x = 0 ÓÖ x = º Á x = 0 Ø Ò y = 0 Ò λ = 0º Á x = Ø Ò y = 3 4 ÓÖ y = 3 4 Û Ú λ = 3 4 ÓÖ λ = 3 4 Ö Ô Ø Ú Ðݺ À Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ä Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ö Ú Ò Ý (x, y, λ) = (0, 0, 0) (x, y, λ) = (, 3 4, 3 4 ) Ò (x, y, λ) = (, 3 4, 3 4 )º µ L(x, y, λ) = xy x+y λ(4x+y 8)º L x(x, y, λ) = y 4λ = 0 Ò L (x+y) y(x, y, λ) = x λ = 0º ÓÑ Ò Ò Ø Ú (x+y) y = 4x º Ì Ö ÓÖ y = x ÓÖ y = xº ÈÐÙ Ò y = x ÒØÓ L λ (x, y, λ) = 4x y + 8 = 0 Ú x = 3 Ò Û y = 3 Ò λ = 9 º ÈÐÙ Ò y = x ÒØÓ L λ (x, y, λ) = 4x + y 8 = 0 Ú x = 4 Ò Û y = 8 Ò λ = º À Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ä Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ö Ú Ò Ý (x, y, λ) = ( 3, 3, 9 ) Ò (x, y, λ) = (4, 8, )º Ü Ö º¾ ËÓÐÚ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú U x(x,y) U y(x,y) = p x y p y xy = 4 p x x+ p y y = I 4x+ y = 48 y = 4x x+ y = 4 y = 4x 6x = 4 y = 4x x = 4. y = 6 x = 4. À Ò Ø ÔÓ ÒØ(x, y) = (4, 6) Ò Ø ÓÖ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒº Ì ÓØ Ö Ò Ø Ö ÖÓÑ Ø ÓÙÒ ÖÝ (0, 4) Ò (, 0)º Ë Ò U(4, 6) = 04 > U(0, 4) = U(, 0) = 0 Ø ÙÒØ ÓÒ U(x, y) Ñ Ü ÑÙÑ U(4, 6) = 04º

57 ÔØ Ö ½ Ü Ö º¾ ËÓÐÚ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú U r (r,b) U b (r,b) = p r p b p r r+ p b b = I r 4b = 0 0 0r+ 0b = 90 r = b r+ b = 9 r = b 3b = 9 r = 3 b = 3. À Ò Ø ÔÓ ÒØ (3, 3) Ò Ø ÓÖ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒº Ì ÓØ Ö Ò Ø Ö ÖÓÑ Ø ÓÙÒ ÖÝ (0, 4 ) Ò (9, 0)º Ë Ò U(9, 0) = 8 > U(0, 4 ) = 40 > U(3, 3) = 7 Ø ÙÒØ ÓÒ U(x, y) Ñ Ü ÑÙÑ U(9, 0) = 8º Ü Ö º¾ Ì ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ü Ö Ñ Ò Ñ Þ C(L, K) = 3L+K Ù Ø ØÓ X(L, K) = 0, Û Ö L, K > 0. ËÓÐÚ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÒ ØÖ ÒØ Ú X L (L,K) X K (L,K) = w r X(L, K) = 0 L K / = L K 3 / L K = 0 KL = 4 L K = 0 L = 4K K = 0 L = 0 K = 5. À Ò Ø ÔÓ ÒØ (0, 5) Ò Ø ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø C(0, 5) = 0º ÌÓ ÓÛ (0, 5) Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Û Ø Ú ÐÙ ÓÒ Ø Ö Ó L = 0º ÓÖ Ü ÑÔÐ C(0, 0) = 50 Ò C(00, ) = 300º À Ò (0, 5) Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ Ù Ö ØÓ Ô Ý Ø Ð Ø 0 ØÓ ÔÖÓ Ù ½¼ ÙÒ Ø º Ü Ö º¾ µ ËÓÐÚ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø

58 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ ÓÒ ØÖ ÒØ Ú P L (L,K) P K (L,K) = w r P(L, K) = y L / = K / L + K = y K = L L + K = y K = L 3L = y K = L L = 9 y K = 4 9 y L = 9 y. Á Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ñ Ð Ø (L, K) = ( 9 y, 4 9 y ) Ø Ò Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ C(y) Ú Ò Ý C(y) = C( 9 y, 4 9 y ) = 3 y. Ï Û Ø Ö Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ý Ø Ò Ú ÐÙ ÓØ ØÓ Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ø Ó L = 9 y C(y, 0) = y Ò C(0, y ) = y º À Ò (L, K) = ( 9 y, 4 9 y ) Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒ Ò C(y) = 3 y Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒº µ Ì ÔÖÓ Ø ÕÙ Ð π(y) = py C(y) = py 3 y º Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ò π (y) = p 4 3 yº Ë ØØ Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Ú y = 3 4 pº ÖÓÑ Ø Ò ÙÖÚ Ý Ó π (y) Ø ÔÖÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð Û Ò y = 3 4 pº Ì Ú Ö Ó Ø Ö AC(y) = C(y) y = 3 y y = 3 y. ÖÓÑ AC (y) = 3 > 0 Û Ú AC (y) > 0 ÓÖ ÐÐ y 0º À Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ú Ö Ó Ø Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ y = 0 Û Ø Ú ÐÙ AC(0) = 0º À Ò Ø ÙÔÔÐÝ ÙÖÚ Ú Ò Ý y(p) = 3 4 p (p 0)º Ü Ö º¾ U(µ, σ) = µ 5σ = 0.08w + 0, w w = w 0.05w = u(w )º u (w ) = w = 0 Ú w = 0.8 Ò w = 0.8 = 0.º Ë Ò u (w ) = 0.5 < 0 Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ø ÓÒº Ü Ö º¾ U(µ, σ) = µ ασ = µ S + w (µ A µ S ) α w σ A = u(w )º u (w ) = µ A µ S αw σ A = 0 Ò u (w ) = ασa < 0µ Ú w = µ A µ S ασa > 0º Ü Ö º ¼ U(µ, σ) = µ 5σ = 0.04w w w 3 0( w w w w 3 ) = w w w w w w 3 = u(w, w 3 ).