ds 2 = g µν dx µ dx ν.
|
|
|
- Brigitta Mulder
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ º½ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ À ØÓÖ ÒØÖÓ ÙØ Ò Ò Ø Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÖ Ò Ò Ø ÔÖ ÐÐ Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛº Ò ÒØ Ò ÙÛ Û Ò Ø Ø Ò Ò ÓÑ Ò Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÚÓÒ Þ Ò Ò ÙÒ ÔÓ Ø ÚÓÓÖ Ø Ö Ø Ò Ò Ð Ò ÐÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÚÖ ØÙ Ò ÓÔ ÐÓ Ø Ø Þ Òº Ð Ò ½ ÙÛ Ë Ö Á Æ ÛØÓÒ ½ ¹½ ¾ µ Ò Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ð ÓÔ Ø Ð Û ÖÑ Û Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ö Ò Ò ÚÓÓÖ Ô Ð Ñ Ò Ú Ø Ò Ö Û ØØ Ò ÒÙ Þ Ò Ò Ñ Ö Òº Ì Þ Ñ Ò Ñ Ø Æ ÛØÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð Û Ø Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø ÓÒ Ò Þ Ö Û ØØ Ò Þ Ð Ò Ò Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò ÓÑ ÞÓÒ Ô Ö Ø Ö Ú Òº ÇÓ ÓÒ Ò Þ Û ØØ Ò Û ÒÒ Ö ØÓ Ô Ø ÓÔ ÒÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ø Ø Ù Ø Ú Ð Ñ Ò ÙÐ ÐØ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓØ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Û ÖÑØ Ð Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö Ò ÖÑ Û Ø Ú Ú Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÚÖ Û Ð Ð Ú Ö Ð Ö Û Ø Ò ØÖ ÓÑ Ú Ò Ò ÛØÓÒ Ò Û Ò Ð Öº Î Ö Ö Û Ö ÒÓ Ø ÓÖ Ú Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò ÓÒ ÖÞÓ Ø ÓÓÖ Ö Ý Ç Ö Ø ÓÙÐÓÑ Ò Ë Ú ÖØ Ò Ù Ø Ò Ð ÐÚ ÖÛ ½ ÙÛ ØÓØ Ò Û ÙÒ Ð Ñ Ò Ñ ÓÓÖ Â Ñ Ð Ö Å ÜÛ ÐÐ ½ ½¹½ µ Ú Ö Û ØØ Ò Ú Ò Þ Ø ÓÖ Ö Ò ÒÙ Þ Ò Ò Ñº ÇÓ Þ Ø ÓÖ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ø Ò Û Ù Ø ÖÑ Ø Ù ÚÓк À Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÒØ Ö Ø ØÙ Ò Ð ØÖ Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò Ð Ø Þ Ò Ø Þ ÒÐ Ò Ô Ø Þ Ò Ú Ò Ò Ò Þ Ð Ö Øº ÇÓ Ð Ø Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Þ Ò Ø Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ú Ö ØÓÓÖ ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Þ Ú Ö ØÓÖ Ò Þ ÚÓÓÖع ÔÐ ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò ¾ º ¼¼ ÐÓÑ Ø Ö Ô Ö ÓÒ Ò Û Ö ÒÙ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ú Ò ÓÓÖ Ð ØØ Ö º Ø ÔÖ Ò Ð Û ÖÚ Ò Ñ Ò Ð Ð Ò Ö Ö Ñ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Þ ÖÑ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò ÓÒÐÙ Û Ö Ò ÓÓ Ð Ò Ð ØÖÓ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ö ØÓÖ Ò Ò Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ð º Ð Ò Ð ÓÒ Ò ÐÐ Ö Ð Ù Ø Ð ÒÞ Ò¹ Ò Ô ÐÐ Ö Ð ÛÓÖ Ò Ù Ø Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÖÑ Û Ö Ø Ð Ú Ú Ò ÓÔØ Ò ÓÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ú Òº À Ø Û Ò ÓÓ Ò ÛÓÒ Ö Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Ò ÒØ Ò ÙÛ Ò Ò Ù ÓÖ Ø Ø Ú Ö Ö Òº Ö Û Ö Ò Û Ð Û Ö ÒÓ Ô Ð Ö Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÚÓ Ö Ò Ñ Ö Ò Ø Ð ÖÓÔ Ø Û Þ Ò Ø Ö Ñ Ö ÞÓÙ Ø Ò Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ò Ø ÐÐ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ö Ø Ò Ò Û Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ð Ö Ú Ò Æ ÛØÓÒº ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ð Ò Ð Ø Û ÖÑØ ººµ Û Ö Ò Ð Ò ØÓÓÒ Ò Ö Ø ÚÓÐ Ø Þ Ò Ú Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ó Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ò Ø Ú Ò µ Ò Ö Û Ö Ò ÑÔ ÐÛ Û Ò ÒÛ Þ Ò Ò ÓÑ Ø Ú ÖÑÓ Ò Ø Ò ØÙÙÖ Þ Ò Ñ Ö Û ØØ Ò Ð Ò Þ º Ö Û Ö Ò Ò Ø Ò Ú Ò ØÛ ÒØ Ø ÙÛ Ò ÓÓ Ñ Ö Û Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ò Þ Ö Ð Ö Ò Ø Ö Û Ð Ð Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö ÓÐ Ò Þ Ø Ò Þ ØÛ ÖÓØ Ø ÓÖ Òº À Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ò ÞÓÒ ÖÐ Ñ Ö Ò ÙÒ ÓÑ Ò Ø º Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ø Ò Þ Ò ÞÓ Ð Û ÔÖÓ Ò Ò Ø Ö ÓÐÚ Ò Ø Ò Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò ÓÓÖ ÖÙ ÑØ Ò Ø Þ Ø Ó Ò Ñ Ø ÔÖ Ò Ð Ú Ò Ø Ð Øº Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Þ Ø ÓÚ Ò Ò Ø Þ Ò Ð Þ Ð ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö ÓÓ Ð Þ Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Òº Ø ÓÔ Þ Þ Ð Û Ð ÛÓÒ ÖÐ Ñ Ö Ó Ø ÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ Ò ÞÓÐ Ò Ø Ñ Ö Ò Ø ÓÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ä Ø Ö ÞÙÐÐ Ò Û Þ Ò Ø Ö Û Ð Ð Ò Û Ò Ò Û Ú Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ö Ú Ò ÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Û ØØ Ò Ø Û Ø Ò Ô Ö Ð ÙÑ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Å ÖÙÖ Ù º À Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò Þ Û ¹ Ò Û Ò Ú Ò Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ú Ò ÞÛ ÖØ Ö Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ï ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ø Ö ÓÓ ØÙ Ò ÓÔ Ø ÖÙ º ÇÓ Ö Ð Ø Ò Ð Ò ÓÔÑ Ö Ò Ö Û Ö Ò Ò Ð ÓÒ Ù Ð Ò ÞÓ Ð ÓÖÖ Ø ØÓÖµ Ð Ø Ö Ú Ö Ð Ö Þ Ò ÓÓÖ ÕÙ ÒØÙÑÑ Ò º ÙÞ ÚÓÓÖ Ð ØØ Ö ÓÑØ Ú Ò Ø Ö ÛÓÓÖ ÚÓÓÖ Ò Ð Ð Ö Ø º
2 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¾ ÛÓÖ Øµº À Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ Ò ÖØ Þ Ô Û ÒÒ Ö ÒÙ Ø Ð ÖØ Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÛÓÖ Ò ÓÙÛ Þ Þ Ò Ò Ñ Ð Ø ÐÐ Ò Ð Ò ÓÓ Ú Ò Ø Ð Øµ Û Ð Ð ÓÖ Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ò Ð Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ø Þ Ø ÓÒÑ Ò Ö Ò ÓÙÛ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒº À Ø Û Ò ÓÓ Ù Ð Ø Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ö ÓÔ Ò Ð ÔÙÒØ Ò Ø Ò ÔÖ Ò Ò Ø Ò Ú Ò Þ Ø Ò Ô Ø ÞÓÙ ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Òº À Ø Ð Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ø Þ Òº À Ø Þ ÒÓÓ Þ ØÓØ ÒÔ Ò ÓÒ Ð ÖØ Ò Ø Ò Ò ½ ¼ Ð ØÓØ Ø ÓÖ Û ÒÙ Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ËÊ̵ ÒÓ Ñ Òº Ð Ø ÖØÔÙÒØ Ú Ò ËÊÌ Ò Ñ Ò Ø Ò ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò ØÛ ÔÖ Ò Ô Û Ö Ò Û Ú Ò Ò Ñ Ö Û ÖÚ Ò Ú ÖÑÓ Ø Ò ØÙÙÖ ÐØ Ò Ø Ò Ñº Þ Ò Ö ÓÔ Ú ÖÑÓ Ò ÚÓ ÓÓÖ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ò Þ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ò ÛÓÖ Òº Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ð Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ö ØÓÖ Ò Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ñ Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Û Ð Ò Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Û Øº Ø Ò ÛÓÒ ÖÐ Ö ÙÐØ Ø Ð Û ÖÒ Ñ Ö A Ò ÓØÓÒ ÚÓÓÖ Þ Ø ÚÐ Ò Ñ Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ð Ø Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö B Û Ø Þ Ñ Ø Ò Þ Ö Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò A Ò Þ Ð Ö Ø Ò Ð Ø ÓØÓÒ Ò Þ Ø Ø ÞÓÒ Ú Ö Ø Ò ³ Ø Û ÖÒ Ñ Ö B Ø ÓØÓÒ Ñ Ø Ò Ò Ð v Þ Ø Û Òº Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Þ Ò Ø Ö Ø ÓÓ Û ÖÒ Ñ Ö B Ø ÓØÓÒ Ñ Ø Þ Ø Û Ò Ò Ø ØÞ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö C, D,... Þ Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö º ÆÓ Ñ Ð Ú Ö Ð Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ñ Ö Ò Ø Ò Ò Ñ Ø Ð Ò Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ò ØÙÙÖº À Ö Ø Þ Ð Ù Ø Û Ö Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ù Ö ÖØ Ø Ø Ò Ò Ô Ú Ò ÐÓÙØ Ö Ò ÐÐ Ò Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ø ÐÐ Û Ø Þ Ñ Ø Þ Ò Ð Û Ø Ò Þ Ò Ô ÚÓÐ Ó Øº Ø ÚÓÖÑØ Ò Ø Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ò ËÊÌ ÈÓ ØÙÐ Ø ½ Ð Ø Ò Ð Ø Þ Ð Û Ö ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð º Ø Ú Ò Ø Ø Ò Ð Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð º Ý Ò Þ Ð ÐÓ Ó µ ÑÔÐ Ø Ú Ò Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Þ Ò ÒÓÖÑ ÓÑ Ø Ø Ö Ø ØÓØ ÚÓÐ Ø Ø ÙÙÖ Ú Ò Ø Ò ÖÓÓØØ Ú Ò Ø Ò Ò Ò Ø ØÞ Ð ÙÒÒ Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Þ Û ÖÒ Ñ Ö º À Ø ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø ÓÑØ ÚÓÓÖØ Ù Ø Ò Ò Ö Ò Ô Ú Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º Ó Ð Ú ÖØ Ð Ø Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ ÓÚ Ö Ö Ð Ø ØÙ Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Û Ö Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÒÚÐÓ Ú Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò ÐØ ÓÔ ÐÐ Ò Ö Ð Ò ÐØ Ò Þ Ò ÓÑ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ ÒÚÐÓ Ú Ò Ò Û Ò Ð Ò ÐØ ÓÔ ÐÐ Ò Ö Ð Ò ÐØ Ò Þ Ò ÓÑ Ú Ò º ÇÔ Ø Ö Ø Þ Ø Ð Ò Þ Ò Ø Ò Ð Ö ÓÚ Ö Ø Òº ÁÑÑ Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÐØ Ò ÓÓ Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Û Ò ÐØ Û ÒÒ Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò ÐØ ÐÙ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò Û Ò ÒØ Ò ÚÓÐ Þ Ð Ø Ð ØÖ Ú Ð Ú Ò Ø ÐØ ÐØ Ð ÓÚ Ö Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð º ÁÒ ÞÓÚ ÖÖ Ð Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ Ú Ð Ò Ð Ø Ò ÙÞ º Ø Ö Ö Ò Ð Ý Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ Ú Ð Ò Ò Ø Ø Ò ÖÚ Ò ÚÓÐ Ó Ø Ò ØÛ Ú Ò Ú Ö Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Û Ö Ø Ò Ö Ú Ð ÚÓÐ Ó Ø Ò ØÛ Ò Ö Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ Ñ Ø Ý Ð Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÔ Òº ÓÚ Ò Ò Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ð ØÖ Ú Ð ÓÔ Ò ØÛ Ð Ò ÐØ Ò Ö Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ø Ð ØÖ Ú Ð Û Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ö Ø ÐÓÓ Ö Ø Ø Ø ÓÔ Ø Ñ Ò Ø Ú Ð º Ð Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ò Ð Ø Ò ÙÞ Ú Ò Ò Ð Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ò Ø Ò Þ Ò Ø Ò Ý Ñ Ø Ö Ú Ö Ò Ð Ð Ö Ø ÓÔ Ò Ð Ò ÐØ ÞÓ Ú Ö ÐÐ Ò Ð Ö Ö Û Ð Ð Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Òº
3 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÇÒ Ò Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ö ÚÓÐ Ò ÛÓÒ ÖÐ Ò Ô Ú Ò Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ ØÓ Ô Ò ÓÔ Ò Ò ØÞ Ð Ý Ø Ñ Ú Ò Ð Ò ÐØ Ò ÞÙÐÐ Ò Þ ØÓØ Þ Ð Ý Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ú Ö ÐÐ Ò ØÙ Ò Ð ØÖ Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Òº Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Û Ð Ú Ò Ñ Ò Ò ÓÚ Ö Û Ð Ö Ø Ò Ö Ø Ò ÓÔ Û Þ Ò Ó ÐØ Ð Ò Ò Ø Û Ò Ò Ð ØÖ Ú Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò Ñ Ò Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ñ Ö Ø ØÓØ Ð Ú Ò Ð Þ Ø Ò Ø Ù Ø Ò Ð ÔÖ Þ Ð Ý ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Òº À ÖÑ ÛÓÖ Ø Ó Ð Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ò ÓÖÖ Ö Ò ÚÓÓÖ Ø Ø Ø Þ Ñ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Þ ÐØ ÔÖ ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ò Û ØØ Ò Ú Ò Å ÜÛ ÐÐ ÙÒÒ Ò Ù ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ÞÓÒ Ö ÓÔ ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò ØÖ Ò Ø ØÙ Ø Òº Ð Ö Ñ Ø Ò ØÙÙÖ Ò Ö Ú Ð Û Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ú Ð Ò ØÖ Ø Ò ÓÒ Ö ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Òº Ò Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ø ÚÓÓÖ ÐÐ Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø µº Ø ÚÓÖÑØ Ø ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ú Ò ËÊÌ ÈÓ ØÙÐ Ø ¾ Ò ØÙÙÖ Ñ Ø Ò ÓÒ Ö ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð º ÈÖ Ø Ø ÒØ Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ø ÓÒÑÓ Ð ÓÑ Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ð Ò Ó Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÐÙØ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ý Ý Ø Ñ Ó Ò Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ø Ñ Ø Öº À Ö ÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò ÓÖÖ Ø³ Ð Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø º ÁÒ Ø ÞÓÒ Ö Ø ÒØ Ø Ø Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Û ÖÚ Ò Ý ÖÓÓØ Ò Ñ Ø Ò ÑÓ Ø Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ð Ð ÚÓÐ Ó Ø Ò Ñ Ð Ú Ò Ó º Ñ Ø Ò Û Ö Ò Ú Ò ÖÓÓØ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö Û ØØ Ò Û Ö Ò Þ ÖÓÓØ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ò ÐÐ Ñ Ð ÔÖ ØÞ Ð Ø Þ Òº ÖÓÑ ÑÓ Ø Ð Ñ Ø Ò Ú Ò Ò ÖÓÓØ Ò Ú Ò ÛÓÖ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò º Ø Û Ð Þ Ò Ù Ø ÓÑ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø Ò Ò Ò ÒÓÓ Ø ÓÐÙØ Ø Ò Ñ Ö Ð Ø ÐÓÙØ Ö Ö Ð Ø º Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ø ÖÓÑ Ò Ð Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ð Ú ÖØ Ò Û ÙÒ ÚÓÓÖ Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ø ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÚÓÐ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÑÓ Ø Ò Û ÙÒ Û ØØ Ò Ú Ò Þ Ø ÓÖ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ò Ò ÚÓÖÑ Ò ÓÒ Ö Ñ Ø ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Òº Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÓÓ ÜÔÐ Ø Ó Ò Ò Ø Ú ÖÚÓÐ º º¾ À Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÆÙ ØÛ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ú Ò ËÊÌ Þ Ò ÑÓØ Ú Ö ÙÒÒ Ò Û Þ Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÓÒ ÖÞÓ Ò Ò Û ØØ Ò Ú Ò Û Ò Ø Ð Òº ËØ ÖØÔÙÒØ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ds 2 = g µν dx µ dx ν. ½ µ Ñ ØÖ Ô ÐØ ÞÓ Ð ÐØ ÓÓ ÖÓк ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò ËÊÌ Ò Û ÒÒ Ö Ö Ú Ò Ò ÖØ Ó Ö Ò Ø Òµ ÛÓÖ Ø Ñ ØÖ Ú Ò ÓÓÖ η µν = ½ µ Ö Þ Ò Ù ØÞÓÒ Ö Ò Ò ÓÔ Þ Ö Ð Ö Ø Ò ÓÓ ÖÓÓØ Ò ØÞ Ð Þ Ò ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö º Ò ÖÚ Ò Ð ÒÓ Ñ Ð Ø Ò Ð º
4 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Þ Ñ ØÖ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò ÛÓÖ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ù ÓÓÖ Ö Ð ØØ Ö η Ó Ø Û Ð g µν = η µν º ÒÚ Ö Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ÒÚÓÙ Ø Ú Ò Ò Ò Ð Ø ÔÖ Þ Ð ÚÓÖÑ Ø Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ð η µν = Ð Û Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ù Ø Ö Ú Ò Ú Ò Ò Û ½ µ ds 2 = 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. ½ ¼µ Ø ÙÒÒ Ò Û Ñ Ø Ò ÖÙ Ò ÓÑ Ò Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ØÓ Ø ÒÒ Ò Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Òغ Ì Ò Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÖÑ Ò ÔÖ Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÈÝØ ÓÖ ÚÓÖÑ Ò ¼ º Ø Ø ÒØ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÔ ØÞ Ð Ø Ø Ô Ó Ø ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø ds 2 Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ò ØÙ Ò Þ ØÛ ÔÙÒØ Òº Î Ö Ö Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø Ú Ö Ð Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ø Ó Ø ÞÓÒ Ö ÓÒ ÖØÙ Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ø Û Ð Þ Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò µ Ð Ø Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ú Ò Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ð Þ Ò Ò ÒÙÐ ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ù Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ú Ò Ñ ÒÙ Ú Ö ØÖ Ò Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº À Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ø Ú Ö ØÖ Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Þ ÙÖØ Ò º º Ì Ð Ø Ø Ï ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ö Ø Ô Ö Ö Ø ÚÓÐ Ò Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÓÙÛ Òº Ó Ð Ð Ö Ö Ò Ø ÔØ Ù Ö ÖØ Ø Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ñ Ò Ò ÞÙÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº ÐÐ Ö Ö Ø Þ Ð Ø Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø ÛÓÖ Ò ÓÙÛ º ËØ ÖØÔÙÒØ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ 2 dτ 2 = 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. ½ ½µ À Ö Ò dτ ÓÔ Ø Ú ØØ Ò Ð Ø Ú Ö ØÖ Ø ÓÔ ÐÓ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï½µ ÚÓÓÖ Û ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÔ Þ Ð ÔÓ Ø Ò dt Ø Ú Ö ØÖ Ø ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µº Ï ÒÒ Ö ÒÙ Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ 2 dt 2 Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø Ú Ò Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö dτµ Ò Ú Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µ dtµ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð ( v ) 2dt. dτ = ± 1 ½ ¾µ À Ø ÔÐÙ Ñ Ò¹Ø Ò Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Û ÙÒ ÚÓÐ Ú Ò Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ò ÛÓÖØ Ð Ý Þ Ò Û Ø Ö ÐÐ Ò ÒØ Ö Ö Ò Ø ÔÐÙ Ø Ò Ò Þ Ò Ò Ñ ÒØ Ò ÞÓ٠ѹ ÔÐ Ö Ò Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò Ø Ð ÐÓÔ Ò Ø Ò ÖÚ Ö Òº Ï ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ú Ò ÒÙ ÐØ Ø ÔÐÙ Ø Ò ÖÙ Òº Î Ö Ö Ö Ú Ò v dx dt Ó Ø Û Ð Ø Ø Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ð ÓÓÖ Ø ÙÙÖ ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾µº Ø Ò Ð v Û ÖÑ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò ÖÑ ÓÓ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÑÑ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Òµº Í Ø ÚÓÒ Ò Ú Ö ¹ Ð Ò Ð Ø Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÙÒ Ø Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ò Ó Ú Ð Ø ¼ Å Ö ÓÔ Ø Ñ Ø Ò Ø dt it Û Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÙÒÒ Ò Ö Ú Ò Ð ds 2 = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 º
5 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ØÖ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ø Þ Ð Ð ÚÓÓÖ Ò Öº ( ØÓÖ 1 ( ) v 2 1/2 ) Ò Ñ Ø ÖÚÓÓÖº Þ ØÓÖ ÛÓÖ Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ ÒÓ Ñ Ò Þ Ð ÒÓ Ú Ö ÚÓÓÖ ÓÑ Ò Ò ËÊÌ ÛÓÖ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ù Ñ Ø Ð ØØ Ö γ Û Ö 1 γ 1 ( ). ½ µ v 2 Å Ö ÐÚ Ø ÓÔ Ø Þ ØÓÖ ÓÒ Ò ÖÓÓØ ÛÓÖ Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò Ð Ò Ú Ö Ö Ò Ð ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò ÖÓØ Ö Ò ØÓÖ Ñ Ò Ö ÛÓÖ Ø Ò Ö ÓÓÖ ÒÓÓ Ø Ý Ö Ð Ú ÒØ Ò Þ Òº Ø Ò Ö Ø ÒØ Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ø ÐÐ Ò ÒÚ Ö ÒØ Ñ Ö ÓÓ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ð Ý ÑÓ Ð º ÎÓÓÖ Ø Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÒÓ ÓÔ Ø Ñ Ö Ò Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ ÐØ ÖÓØ Ö Ò 1º À ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø dτ Ð Ò Ö Ò dt Ó Ø Û Ð Ø Ú Ö ØÖ Ò ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Ò dτ < dtµº Ï Ø Ø ÒØ Ø ÒÙ Ý ÇÔ Ö Ø Þ Ø Ð Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ø Ò ÐÐ Ö Ú ÖÐÓÓÔØ ÚÓÓÖ Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÓÓÖ ØÛ ÑÑ Ö Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ñ Ò Ö Ø ÒÓ ÓÑ Ú Ò Ò ÙÖØ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Òº ÓÒÐÙ Ø Ö Ò Ø Ò Ö ÓÑ ÞÓ Ð Ò ÚÓÓÖ Ð Ð Ø Þ Òº Ä Ø Ö Ø ÙÖØ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Þ Ò Û ÖÓÔ ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ÒÓ Ð ÐÓÔ Ò ÐÓ Ò Ò Ò Û ÖÓÔ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ú Ò ÐÓ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï½ Ò Ø ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ø Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ñ Òº Æ Ò Þ Ö Ø T Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÒØ Ö Ø Þ Ò Ú ÒÙ Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓ Þ Ø dτ = T º Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ï¾ Ø ÓÒ ÖØÙ Ò Ò Ö Þ Ð ÐÓ Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ÚÓÓÖØ Û Ø Ñ Ø Ò Ð vµ Ò ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ø Ð Ò Ö Ö Ò Ø dt = γdτ ÓÚ Ö Ð Ò Öº Ø Û Ð Ù Þ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó ÖÚ ÖØ Ø ÚÓÓÖ ÚÐ Ò ÐÓ Ð Ò Ö ÒÓ Ø Ò T ÓÑ Ò Ò Ð Ð Ò Ö Ø Ñ Òº ÓÒÐÙ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÞÓÙ Ò ÓÓ Þ Ò Ø ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÐÓ Ø Ð Ò Þ Ñ ÐÓÓÔغ Ø Û Ø Ö Ó Ð ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ò ÚÓÓÖ ÓÑ Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ø ÐÓÔ Ò Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÐÓ Ñ Û Øº Ø ÛÓÖ Ø Ú Ò Ù Ñ Ø ÐÓ Ò Û Ò ÐÓ Ò ÐÓÔ Ò Ð Ò Þ Ñ Ö³ Ø Ö Ð Ò ÞÓÙ Û ÐÐ Ø Ø Ö Ø Þ Ò ÓÓÖ Ù Ø ÔÖ ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Û Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ø ÐÓÔ Ò³º Ò ÚÖ ÓÑØ Ò Ð Ò Ð ÓÔ ÐÓÓÔØ Ò Û Ò ÐÓ Ò٠س Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ø Ð Ø Ò ÐÓ Ï ÒØ Ó ÓÙÛ Ò Û Ö ÐÐ Ò Ñ Ö Ð Ø Ò Þ Ò Ø Û Ò ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ø Ø ÐÓÔ Ò Û ÒÒ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº À Ø ÒØÛÓÓÖ Ø Ö Ò Ú Ö Ð ØÙ Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ò Ø ÐÓÔ Ò Ò Û Ö Ð Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÔ Ò Ý Ø ÑÑ Ö ÐÐ Ò ÓÚ Ö Ñ Ø Ò Ø Ò Û Ø Û Ð Þ Ò Ø Û ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ò Þ Ò Ø Ú Ò Ñ Ø Ò ÓÔ Ò Ö Ò Ò Þ ÒÒ Ø Û Ð Þ Ò Ø Ø Ö µ Ù Ø ÔÖ ÙÒÒ Ò Ó Òº Ð Ñ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ò Ò Ø ÞÓ Û Ö³ Ð Ð Ò Ö Ñ Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ò º À Ø Ø Ò ÓÓ Ò Þ Ò ÓÒ Ø ÚÖ Ò Ó Ð Ò Ö Ú Ò Ò ÐÓ Ò٠س Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ò ÖØ Û ÒÒ Ö Ø Û Ø Ó Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÞÓ Ð Ø³ Ò ÓÒÞ Û ÖÒ Ñ Ò ÐÐ Ò ÓÒÞ Ñ Ø Ò Ð Øº Ï Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ ÓÒ ÒÙ Ð Ö Ø Ø Ñ Ø Ò Ø ÙÙÖ Ú Ò Ò ÔÖÓ Ò Ð Ú Ò Ò Ð Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÚÖ Ó Ò Ð Ò ÔÖÓ Ò٠س Ø ÓÒÞ ÒÒ ÛÓÖ Òº Ø ÞÓ Ð ÓÓ Ð ÒÓ Ñ Ò Ù ÓÚ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÖÒ Ú Ò Ø ÛÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ø³ Ö Ò ÓÐÙÙØ ÒØÛÓÓÖ Ñ Ö ÓÔ ÚÖ Û Ø Û Ö Ð ³ Û Ö Ú Ò Ô Ð ÖÓÓØ Ð Û Ö Û ÖÒ Ñ Ö¹ Ò Ð ÛÓÖ Ò Ò Ð Ñ Ø Ò Û Ö Ú Ò Û Ö³º Ò Ð Ð Ø Ø ÓÔÑ Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ø Ø º À Ø ÑÓ Ù Ð Þ Ò Ø Ø Ú Ö Ò Ð Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ò Ú Ò ÐÓ Òº À Ø Ò ÔÙÙÖ ÓÑ ØÖ Ú Ö Ò Ð Ö Ø
6 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÚÓÓÖØ ÓÑ Ò Ù Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ º À Ø Ú Ö Ò Ð Ô Ö Ø Þ Ò ÓÓ Ò Ø ØÓØ ÐÓ Ò Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð Ý Ñ Ø Ö Ø Ú Ö Ð Ð Ò Ö Ú Ò Ò ÐÓ ÙÙÖ Ú Ò Ò ÖØ ÐÓÔ Ø Ú ÖÚ Ð Ú Ò Ò ØÓÓÑ ÖÒ Ð Ú Ò ÙÙÖ Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ø Ò ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û ÒÒ Ö Þ Ú Ö Ò Ð Ò Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Þ Û ÖÒ Ñ Öº º ÄÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò ØÛ Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ò Ò ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò Þ Ò ÓÖØ Ö ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÙÖØ Ò Òº ËØ ÖØÔÙÒØ Û ÖÓÑ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Û Þ Ò x¹ Ð Ö Ø Ò Ú Ò Ö Ð Ø Ú Û Ò º Ö Ð Ø 2 dt 2 + dx 2 = 2 dt 2 + dx 2. ½ µ ÇÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò Ø ØÓÒ Ò ÓÙÛ Ò Û ÚÓÐ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÚÓÓÖ ÒØ Ú Ò Ò Ð Ø Ô ÖØ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ô ÖØ Þ Û ÖÒ Ñ Öº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø ÓÔ Þ Ð ÔÓ Ø Ù Ð Ø dx = 0º Ø Ð Ø ÖÓÚ Ö Ó Ø ÓÑ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ô Ö Ò dt Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø Ú Ò Ð Øº Ð Ð Ø Ô ÖØ Ñ Ø Ò Ò Ð v ÓÒÐÙ ÖØ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ø Ú Ò L = vdt º Ö Ø Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ò ÓÓ ÛÓÖ Ò Ö Ú Ò Ð 2 dt 2 + dx 2 = 2 L 2 v 2. ½ µ Ð Ò Ö ÒØ Ú Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ø ØÖ Ò ÓÔ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ø Ñ Û Øº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ø Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ô Ö Ò Ú Ò ÚÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ð Øµ ÔÐ Ø ÓÔ Ò ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ò Ú Ò L Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Þ ØÛ Û ÖÒ Ñ Öº Ø ÙÙÖ ØÙ Ò ØÛ ÑÓÑ ÒØ Ò dt Ø Ö Ò Ö ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö ÓÑ Ø Ö Ò Ø Ð Ø Ø ÓÔØÖ Ø ½ º Ö Ð Ø dt = γ 1 dtº Ð Û Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Û Ö ÖÙ Ò Ø Ø dt Ò Ñ Ø ÚÓÓÖ Ð Ò Ø L Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ö Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò Ð 2 γ 2L 2 v 2 + L2 = 2 L 2 v 2. ½ µ Ø ÒÙ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ø Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Þ Ø Ô Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ð vº Î Ö ÒÚÓÙ Þ Ö Ð Ø L = γl. ½ µ Ï ÒÒ Ö Ö ÒÒ Ö ÛÓÖ Ø Ø γ ÐØ ÖÓØ Ö Ò ½ Þ Ò Û ÒÙ Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ø ÓÖØ Ö Ð Ø ÚÓÓÖ Ñ Ò Ð Ø Þ Ø Û Ò Ò Ñ Ò Ð Ø Ò ÖÙ Ø Þ Øº Ø ÐÓÖ ÒØÞ¹ ÓÒØÖ Ø Ø Ò Ò Ð Ò ÓÖØ Ö Û ÒÒ Ö Û Ö ÒÓÑ Ò ÓÓÖ Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Öº Å Ö ÓÔ Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÚÓÓÖ Ð ØØ Ò Ñ Ö Ò ØÙÙÖÐ ÚÓÓÖ ÐÐ Ý Ñ Ø Ö Ø Ò Ú Ö¹ ÐÐ Òº Æ Ø Ð Ø Ð Ø Ø ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ò ÔÙÙÖ ÓÑ ØÖ Ø Ò Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ Òغ ÓÚ Ò Ò Ð Ø ÓÓ Ö Û Ö Ø Ö Ò ÓÐÙÙØ ÒØÛÓÓÖ ÓÔ ÚÖ Ó Ð Ò Ò Ð Ø Ò٠س Ø Ò Ò Ò Ð ¹ Ò Ð ÖÓÓØ ÛÓÖ¹ Ò Ò Ò ÒØ Ò ÚÓÐ ÐÐ Ò Ô Ð ÛÓÖ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ½ ÓÖÖ Ø ÔÐ Ø Ò Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γ Ò ÓÑ Ú ÖÛ ÖÖ Ò Þ Ò Û Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø ÒÙ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÙÖ ÚÙ ØÖ Ð ÐØ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÓÖØ Ø Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Òº Ø Ø ÒØ Ö Ø dt < 1 Û Ø Ò Ø Ó ØÓÖ dt γ ÔÐ Ø Ø ÒØ Ø ÛÓÖ Òº
7 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Í Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÓÐ Ð Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒÚ Ö ÒØ ÒØ Ø Þ Ò ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ú Ò Ó Ö Ò Ø Òº Ø Ø ÒØ Ø Ö Ò Ô Ö Ø Ø Û ÖÒ Ñ Ö ÓÒ ÖÐ Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÑÓ Ò ÖÙ Òº Ï ÚÖ Ò ÓÒ Û Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Û ÖÒ ¹ Ñ Ö Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú Ò ÚÓÖÑ Ó Ò Ú Ö Ò Ö Òº Ï ÙÒ Þ Ò Ò ÓÓ ÚÖ Û Ð ÙÒØ x = x (t,x,y,z) y = y (t,x,y,z) z = z (t,x,y,z) ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ÓÔÐÓ Ò 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. ½ µ Ö Þ Ò Ñ Ö Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ò Ò Ö Ò ÚÓÐ Ó Òº Ñ Ð Ø Û ¹ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ø Û ÛÓÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÔØ ÐÐ Ò t = t + a t, x = x + a x, y = y + a y, z = z + a z. ½ µ ÁÒ ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ð Ø Ö Ø Þ Ò Ø Ø Ò ÓÔÐÓ Ò º Ý Ø ÒØ Þ ÓÔÐÓ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ø µ Ø Ò Ú Ò Ð Ö Ø Ò a x,a y,a z µ Ò Ø ÐÓ Ú Ò Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ø µ Ó Ú Ð Ø ÚÓÓÖ Ó Ø Ö ÐÓÓÔØ ÓÔ Ú Ò Ò Ö a t µº ÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÓ ÑØ Ñ Ò ØÖ Ò Ð Ø º Ò ØÛ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÒÚ Ö ÒØ Ð Ø Ò Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ò Ò Ú Ò ÔÐ Ø ¹Ó Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð zµ Ò Ø Ø ÓÙÛ Òº ÁÒ Ø Ú Ð ÑÓ Ø ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ò dx 2 + dy 2 = dx 2 + dy 2, ½ ¼µ Ó Ø Û Ð ÓÑ Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò ÒØ Ò Ø Ø Ú Ö Ò Ö Òº Þ Ú Ö Ð Ò ÒÚÓÙ ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÓÓÖ Ø Ö Ú Ò x = A x x + A y y y = B x x + B y y, ½ ½µ Û Ö A x,a y,b x,b y ÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Òº ÁÒ ÚÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¼µ Ð Ø Ò Þ Ò Ø ÚÓÓÖ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÒØ Ø Ð Ò A 2 x + B 2 x = 1, A 2 y + B 2 y = 1 A x A y = B x B y. ½ ¾µ Ò Ö Ø ØÛ Ò Ò Ö Ø ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò ÓÑ Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ø ÓÔÐ Ú Ö Ò Ò Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ò ÓÑ ÒÙ Ò Ò Ó ÒÙ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ò Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Þ ÙÒØ Ð Ø os 2 α + sin 2 α = 1 ÚÓÓÖ Ð Ó αº Å Ò Ò Ù Þ Ò A x = os α,b x = sinα Ò A y = os β,b y = sin β ÓÑ Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÚÓй Ó Ò Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò ÓÓ ÚÓÐ Ò Û ÒÒ Ö ÓÞ Ò ÛÓÖ Ø β = αº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ò Ú Ò Ò Û x = (os α)x + (sin α)y, y = (sin α)x (os α)y. ½ µ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ö Ò ÓÑ z¹ ÓÚ Ö Ò Ó αº ÚÓÓÖ Ð Ð Ó π 2 Ò Ö Ò Ú Ò 90 µ Ò x = y Ò y = x ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ö Þ Ò ÓÒ ÖÐ Ò 90 Ö º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð Þ Ø Ò ÖÓØ Ø º ÁÒ Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Û ÐÐ Ò Ò Ö Ò ÓÚ Ö z¹ ÓÙÛ Ñ Ö Ù Ø Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ö Ò Þ Ò Ò Ø ÞÓ ÒÚÓÙ Ø Ú Ò Òº Ò Ö ÓÓÖØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ÒÙ Ò Ø Ø Ò Ò ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÓÙ Ò Ñ Ö Ò ÔÐ Ø ÖÚ Ò ØÛ ÖÙ ÑØ Ð Ó Ö Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ð y Ò zµº ÁÒ Ø Ú Ð ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò 2 dt 2 + dx 2 = 2 dt 2 + dx 2. ½ µ
8 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÓÓÖ ÒÙ Ø Ö Ú Ò t = A t t + A x x, x = B t t + B x x, ½ µ Û Ö A t A x B t B x ÓÒ Ø ÒØ Ò Þ Òµ Ò Ò Ø ÚÙÐÐ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò ÑÓ Ø Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò A 2 t B2 t = 1, A2 x + B2 x = 1 A ta x = B t B x. ½ µ Þ Ö ÞÙÐÐ Ò ÒÙ Ò Ò Ó ÒÙ Ò Ò Ø ÚÓÐ Ó Ò ÓÑ Ø Ö ÒÙ Ø Ú Ö Ð Ú Ò ØÛ Û Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ø Þ Ò ÓÑ Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÚÓÐ Ó Òº Ø ÔÖ Û Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÙÒØ osh Ò sinh Ò ÖØ ÚÓÓÖ Þ Ð Ø Ò Ñ Ð Ø osh 2 η sinh 2 η = 1 ÚÓÓÖ Ð Û Ö Ú Ò ηº À Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò Ø Þ Ò A t = osh η,b t = sinhη Ò A x = sinhρ,b x = osh ρ ÞÓ Ø Ò Ö Ø ØÛ Ú Ö Ð Ò¹ Ò ÚÓÐ Òº Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ú ÖÚÓÐ Ò ÚÓÐ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ ρ = η Ø Þ Òº À ÖÑ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ò Ú Ò Ò Û t = (osh η)t + (sinh η)x, x = (sinh η)t + (osh η)x. ½ µ Ï ÙÒ Ø Ò Ö Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ñ Ö Ò ÓÚ Ö Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ³ η Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÒÓÖÑ Ð º Å Ö Û Ø Ø ÒØ Ø Ý Å Ø Ò Ñ Û Ø Ø Ò Ú Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó η Ø Ò ÛÓÖ Ò ÚÓÒ Ò ÓÓÖ Ø Ð Ø Ø Ø ÓÙÛ Ò Û Ò Ð Þ Ò Ø Ø Ò Ú Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú Ú Ö Ð Ò ½ ¾µº Ð Û Ö ÒØ ÐÚÓÖÑ Ò Ñ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ò Þ Ò dt dτ Ò ÙÒÒ Ò Û Ö Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò Ð dτ = (osh η)dt + (sinh η) 1 dx ½ µ ÃÛ Ö Ø Ö Ò Ð Ò ÓÓÖ dt 2 Ò Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ø Ò ( v ) 2 ( v ( v ) 2 osh 2 η + sinh 2 η + 2 osh η sinhη = 1. ½ µ ) Ø Ò Û Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÚÓÓÖ Ú Ö Ð v Ò Ø Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ð v Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ηº Ó Ð Ñ Ø Ò Ø Þ Ò Ø η Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ò Û Ð Ñ Ò Ö ÓÑ Ò Ð ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Ú Ò ¾ º Ï Ø ÔÖ Þ Ö Ð Ø ØÙ Ò v Ò η ÚÖ Ø ÒÓ Ò Ø Ñ Ö Ö ÒÛ Ö º ÐÐ Ö Ö Ø ÑÓ Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò ØÓØ ( v ) 2 ( v (1 + sinh 2 η) + 2 (osh η sinhη) + (osh ) 2 η 1) = 0 ( v ) 2 ( v (osh 2 η) + 2 (osh η sinh η) + (sinh ) 2 η) = 0. ½ ¼µ Û Ö Ò Ð Ø Ø Ø Ô Ö Ð Ø osh 2 η sinh 2 η = 1 Ö٠غ Þ Ú Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Ø ÚÓÓÖ v Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò ¹ ÓÖÑÙÐ º À Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ø Ú Ö Ò ØÙ Ò v Ò η ( v = ) sinhη ( v ) osh η tanh η η = artanh ½ ½µ ¾ Þ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ø ÚÓÓÖ Ò Ð ÛÓÖ Ø Ò ÓÑÑ Ø Ò Ú Ò Ý Ñ Ö ÖÙ Ø Ò Ò Ð v Ø Ð Ò Ñ Ö Ô Øݺ Ö Ò ÚÓÓÖ Þ ÚÓÓÖ ÙÖ Ø Ò Ð v ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒÓÓ Ø ÖÓØ Ö Ò Þ Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ø ÖÛ Ð Ö Ô ØÝ Û Ð Ð ÖÓÓØ Ò ÛÓÖ Òº Ø Ø ÓÑ Ö Ò ÙÒ ÚÓÓÖ Ð Òº
9 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Ø Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò ½ ½µ Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ò Ò Ð v Û Ø Ú Ò ÒÞ Ø Ð Ö ÖÓÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó ηº À ÖÚÓÓÖ ÙÒÒ Ò ÚÓÐ Ò Ö ÒÖ Ð ÛÓÖ Ò ÖÙ Ø ( ( v osh artanh )) ( ( v sinh artanh )) = 1 ( v = 1 ( ) v 2 = γ ) 1 1 ( v ( v ) 2 = γ. ½ ¾µ ) Å Ö ÓÔ Ø ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γ Ö ÓÔ Ò ØÙÙÖÐ Û Þ Þ Ò ÒØÖ Ó Øº À ÖÑ Ò ÚÓÒ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ dt dx dy dz = γ ( dt ( ) ) v dx = γ(dx vdt) = dy = dz, x 0 x 1 x 2 x 3 = γ βγ 0 0 βγ γ x 0 x 1 x 2 x 3 xµ = Λ µ ν xν ½ µ Û Ö Ö Ð Ø ØÙ Ò y Ò z Ø Ò Ò ÓÓ Û Ö Þ Ò ØÓ ÚÓ µº À Ö β = v/ Ò Ð Ð Ö Ø Ú Ò Ð Ø Ò Ð º Î Ö Ö ÖÙ Ò Û x µ Ñ Ø x 0 = t x 1 = x x 2 = y Ò x 3 = z Ð ÓÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Λ ν µº ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÙÒÒ Ò Û Ú Ò Ò ÓÓÖ v ÓÓÖ v Ø Ú ÖÚ Ò Òº Ï Ú Ò Ò dt = γ(dt + βdx ) dx = γ(dx + vdt ) dy = dy dz = dz, x 0 x 1 x 2 x 3 = γ βγ 0 0 βγ γ x 0 x 1 x 2 x 3 xµ = Λ µ ν x ν. ½ µ Ï Þ Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ö Ú Ò Ò ÛÓÖ Ò Ð x µ = Λ µ νx ν Ø ÖÛ Ð ÚÓÓÖ ÒÚ Ö Ö Ð Ø ½ µ Ð Ø x µ = Λ µ ν x ν º Þ Ú Ö Ð Ò Ò Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò Ô Ð Ò Ò ÓÓ ÖÓÐ Ò ËÊ̺ Ý Ø ÐÐ Ò Þ Ø Ú Ö Ð ÚÓÓÖ ØÙ Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð v Ò x¹ö Ø Ò º ÙÐ Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÒÚÓÙ Ø Ð Ò ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ð v Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ò Û Òº Ì Þ Ñ Ò Ñ Ø ØÖ Ò Ð Ø Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ò ÖÓØ Ø ÓÑ Ö ÖÙ ÑØ ¹ Ò ÚÓÖÑ Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÚÓÐÐ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ó Ø Û Ð ÓÒ Ö Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø ØÔÖ Ò Ô Ú Ð Ø Ð º ÓÒÐÙ Ò ÓÓ ÚÓÐ Ò ÞÓÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö ÐÓÙØ Ö ØÖ Ò Ð ¹ Ø Ö Ò»Ó ÖÓØ Ö Þ Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ó ÐÐ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò ÙÒÒ Ò Þ ÐÐ Ò Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ò ÖÙ Ò Ò Ð Ò Ù ÐÐ Û ØØ Ò Ð Ò Ø ÓÓ ØÙ ÚÓÓÖ Ó Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÚÓÓÖ Ð ÞÙÐ Û ÖÒ Ñ Ö º ÙÐ Ø Ð Ð ÒÓ Ñ Ò Û Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð º Ø Û Ø Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø Ø ÓÖ Ø ÔÖ Ø Ô Ð³ Ø ÐÐ Û ØØ Ò Ð Ð Ò ÚÓÓÖ Ò Ô Ö Ø Ø Û ÖÒ Ñ Ö º ÁÒ Ð Ø Ö ÓÓ ¹ ØÙ Ò ÞÙÐÐ Ò Û ÓÒÞ Ú Ò Ò Ò Ù Ø Ö Ò Ò Ö ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ò ØÓØ Ø ÓÖ Ú Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Øº ÎÓÓÖ ÒÙ ÞÙÐÐ Ò Û Ò Ö Ø Ú Ò Ø ÓÓ ØÙ ÐØ ÐÓÙØ Ö Ò ÖØ Ð¹ Ø Ð Ð ÓÙÛ Ò Ú Ò ÒÙ Þ Ð Ö Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ö³ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ó Ð ÛÓÖ Ò Þ Ò Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ú Ò Øº Þ Ö ÒÖ Ð Þ Ò ÒÚÓÙ Ø Û Þ Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ò Ø osh x 1 2 (ex + e x ) sinh x 1 2 (ex e x ) artanh x = 1 1+x ln( ) 2 1 x
10 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¼ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò ÓÒ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº ÌÛ Ô ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ÞÙÐ Ö Ð Ø Ò Û Ð Ö Ö Þ Ò ØÓ Ò ÒÓ Ö Ø Ð Ù Ø Ø Ñ Ò ÓÛ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ø Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø º Þ Ð Ò Ò ÓÓ ÙØÓÑ Ø ÓÔ ÐÓØ Ò Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º ÎÓÓÖ Ø Ð Ø Ø Ó Ú Ò Û ÐÐ Ò Ñ Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ô Ð Ú Ð Ø Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ ÓÔ Ò Ò Þ Ð ÔÓ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÞÓ Ø dx = 0 ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ú Ò Û dt = dτ Ö ÚÓÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ø Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø ØÙ Ò Þ ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ð Ò dt = γdτº Ø ÔÖ Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µº Î Ö Ö ÓÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ð Ò Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ô Ð Ú Ð Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø ØÛ ÙÖØ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò Þ Ò Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ú Ò Ò Ð Ø ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ñ Ø Ò Ò Ó Ø ÓÔ Ò Ò ØÞ Ð Ø Ø Ô ÑÑ Ö Ð Ø Ò Ø Ø Ú Ð Þ Ð Ð Ø ÚÓÓÖ ³ ÚÐ Ò Ò Ø Þ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø ØÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ò Ø ÐØ Ø Ò ØÙ Ò Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÚÓÓÖ¹ Ò Ø Ö ÒØ Ù Ò Ø Ñ Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø ÚÓÓÖµº ÎÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ò ÓÓ dt = 0 Ò Þ Ð Ð Ò Ø Ú Ò Ð Ø Ú Ò Þ Ò ÓÓÖ dx = L ÚÓÐ Ò Ú Ö Ð Ò ½ µ Ñ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÖÙ Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ò Ø Ú Ò dx = L = γlº Ø ÔÖ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ö Ð Ò ½ µº Ø Ð Ø Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Þ Ò Ð Ø Ô Ð Ú ÐÐ Ò Ú Ò ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò Ø Ð Ñ Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ò Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ò Ð vº º ÁÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ï Þ Ò ÒÙ ÓÔ Ø ÔÙÒØ Ò ÓÑ Ò Ø Û ÓÒ ÙÒÒ Ò Ù Ò ÓÚ Ö ÚÖ Ó Ò Ð Ò Ú Ö Ò Ö Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Öº ËÒ Ð Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ð ÓÓÖ Ú Ö ØÖ Ò Ø ÒÓ ÓÑ Ø Ò ØÙ Ò Ò¹ Ò Ò ÔÓ Ø Ø ÓÚ Ö ÖÙ Òº Å Ö ÞÓ Ð Ð Þ Ò Þ Ò Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ö ÓÐÙÙØ Þ Ú Ö ÐÐ Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ØÓØ Û ÖÒ Ñ Öº À Ø Ò ÓÓ Ø Ú ÖÛ Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÔØ Ñ Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ò Ò ÙÛ Ñ Ò Ö Þ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ØÙ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º À ÖÚÓÓÖ ÓÙÛ Ò Û ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò ¾ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð vº Ò Ò Ò Ö Ò Û Ò ÐØ Ò Ñ Ø Ò Ö Ò Ð Ú Ò Û Ö u 1 Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò u 2 Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾º ÚÖ ÒÙ Ó Þ ØÛ Ñ Ø Ò Ò Ð Ò Þ ØÓØ Ð Ö Ú Ö ÓÙ Òº È Ö Ò Ø Ò Ð ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Ú Ò ÓÓÖ u 2 dx 2 dt 2. ½ µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Ø ¹ Ò ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÛÓÖ Ø Ú Ò ÓÓÖ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö Ð Ò ½ µ Ø ÐÐ Ö Ò ÒÓ Ñ Ö ÙÒÒ Ò Ò ÓÓ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ò ÚÙÐ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ò Ñ Ø Ò Ø Ò Ò Ú Ö ØÖ Ò Ø dx 1 Ò dt 1 ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ø Ð Ú ÖØ u 2 = γ γ dx 1 + vdt 1 dt 1 + ( v 2 ) dx1 = dx 1 dt 1 + v 1 + ( v 2 ) dx1 dt 1 = u 1 + v 1 + ( v 2 ) u1, ½ µ Û Ö Ò ÖÙ Ø Ø dx 1 Ð ÓÓÖ dt 1 ÔÖ Ò Ð u 1 ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ ¹ Ñ Ö ½º Ø ÞÓ Ò Ñ Ö Ð Ú Ò Ò Ø Ò ÚÓÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ð u 1 Ú Ò Ò Ó Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ø Þ ÓÖÑÙÐ ÓÒ Ò Ð u 2 Ú Ò
11 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½ Ø Ó Ø ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Þ Þ Ð Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º ÎÓÓÖ Ð Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ø ÓÚ Ö Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÔØ ÐÐ Ò Ú Ò Ò Ð Ò Ò Ð Ñ Ò u 2 = u 1 + vº Ò ÒØ Ð ÒØ Ö ÒØ Ò ÔÔ Ò Ò ÒÙ ÛÓÖ Ò ÓÔ Ñ Ö Øº Ó Ò ÒÚÓÙ ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò ÐØ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø¹ Ò Ð Ó Ø Û Ð u 1 < µ Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ ÓÓ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ð u 2 < µº ÇÓ Ò ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ð Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ð Ø Ò Ð Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ ÓÓ Þ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ð Ø Ò Ð º Ø Ð Ø Ø ÓÚ Ö Ò ÐÐ Ò Û ÙÒ Û Ö Ø Þ Ð Ð Ø Ö ÛÓÖ Ò Ò ØÓÓÒ Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ø Ð Ø º À Ø Ð Ò Ö Ø ÚÓÐ Ú Ò Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð Ø ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ð ÚÓÓÖ Ò Ð Ø Ò Ð ÞÙÐÐ Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÖÐ Ò Ò Ð Ò ØÙ Ò Þ Û ÖÒ Ñ Ö ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò ÓØÓÒ Þ ÚÓÓÖØÔÐ ÒØ Ò Ñ Ø Ò Ð º Æ Ñ Ð Û Ò Ó Ø Ò ÓØÓÒ Ø ÚÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ò u 1 = Û Øº Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð Þ Ø Ò Ú ÖÚÓÐ Ò Ø ÓÓ Û ÖÒ Ñ Ö ¾ Ø ÓØÓÒ Ñ Ø Ò Ð u 2 = Þ Ø Û Ò u 2 = u 1 + v 1 + ( ) v u1 = = + v 2 u1 1 + ( ) v =. ½ µ Ø Ø ÒØ Ø Ð Ø Þ ÐØ Ø Û Ð Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ð Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñµ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖØ Û Ø ËØ Ð Ø Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ò Ð Ø ØÖ Ð ÚÙÙÖغ ÓØÓÒ Ò Ò ÐÐ Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Û Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ï ÖÒ Ñ Ö ¾ ÐÙ Ø ÓÑ Ñ Ø Ó Ò Ð Ø Ð Ø Ø ÖÒ Ø Òº À ÖØÓ Û Ø ÚÓÓÖ Ð Ñ Ø ± Ú Ò Ò Ð Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö ½º Ð ÒÙ Ò Ñ Ø Ò Ù ØÚÓ ÖØ Ú Ò Ò Ð Ú Ò Ð Ø ÙÒ Ð Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö ½ Ñ Ø ØÓ Û Ö Þ Ð Ò Ð º Ì Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ð ÚÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò Ð v ØÙ Ò ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ð ÖÖ Ð Ú ÒØ Û Ö Û Ð Ò Ð Ø Ø Ø Ôµº Ð Ö Ñ Ø Ø Ò Ø Ù Ø Ó Ò Ð ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ð Ò Ú Ò Ò Ò ÓØÓÒ Þ Ø Ø Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Ø Ò Þ Ø Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÓÓ º ÓÒÐÙ Ò ÓÓ Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ø Ò Ð º Å Ò Þ Ø ÓÓ Û Ð Ð Ø Ò Ð ÒÚ Ö Òغ ÇÔ Þ Ñ Ò Ö Ò Û Ò Ø Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ð Ö Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ø ÖÙ ÚÓÒ Ò ÐÓÙØ Ö Ò ÐÐ Ò ÓÓÖ Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ì Ð Ø Ø Ò ÓÓ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖ Ú Ö¹ ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö º ÇÑ Ø Ù Ð Ø Ñ Ò ÓÙÛ Ò Û Ò ÒÚÓÙ ÐÓ Ö ÓÔ Ö Ø Ö Ò Ð Øº ÐÓ Û Ö Ú Ò Ò º º Ð ÐÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ò¹ Ò Ø ÖÙ Ö Ú Ò Ò ÓØÓÒ ØÙ Ò Ô Ð º ÎÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò ÐÓ ÙÙÖØ Ò ÐÓ Ø t 2L º Ð ÐÓ Û Ø Ñ Ø Ò Ð v Ò ÑÓ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ö Û Ò ÓÑ Ò¹ Ò Ø ÖÙ Ö Ø Ñ Òº ÓÑ ØÖ Ð Ø ØÓ ÓÑ ÐÓ Ø Ú Ò Û Ò ÐÓ Ø Ô Ð Òº Ö Ð Ø t = 2D Ò ÓÒ Ð Ø Ò D Ò Ñ Ø ÙÐÔ Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÈÝØ ÓÖ Ô Ð ÛÓÖ Ò Ð D = L v2 ( t ) 2 º ÁÒÚÙÐÐ Ò Ò ÓÔÐÓ Ò Ú Ò t Ð Ú ÖØ 1 t = 2L = γ tº Ï Ú Ò Ò ÖÑ Û Ö ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ Ø Ð Ø Ø º 1 v2 2 Ò Ó ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ø Ð Ø Ø Þ Ò ÑÙÓÒ Ò Ö Ö ÛÓÖ Ò Ò Ù Ø Ò Ø Ð Ú Ò Ö ØÑÓ Ö Ò Ö Ø Ò Ö Û Òº Î ÒÛ Ø Ð Ø Ø ÙÒ Ð Ú Ò ÙÙÖ Ù Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ú Ò ÙÙÖ ÞÓ Ð ÓÔ Ö Ò Ø ÖÙ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò ÑÙÓÒ Òµ Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ¾º¾ µ º Ø Ð Ø ØÓ Ø Ö Ð Ó Ñ ÑÙÓÒ Ò Ò ÖÓØ Ö Û Ò Ò Ø ÓÔÔ ÖÚÐ Ø Ð Ø Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ð Ö Ú Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ º Ö Þ Ò Û Ð Ð ÜÓØ Ø ÓÖ Ò Û Ö Ò ÐØ Ø Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÞÓ Ò Ñ Ø ÝÓÒ Òµ Ø Ö Ø ÓÖ Ò Ñ Ø Ø ÝÓÒ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ò Ô Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Òº ÙÐ ÐØ ÞÙÐÐ Ò ÖÓÑ Ò Ø ÛÓÖ Ò ÓÙÛ º
12 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ¾ ÙÙÖ Ò ÐÓ Ö ÓÔ Ò ÓØÓÒ Ø Ö Ø ÖØ ØÙ Ò ØÛ Ô Ð º Ä Ò ÐÓ Ò ÖÙ Ø Ò Ò ÐÓ Ø ÓÑØ ÓÚ Ö Ò Ñ Ø ÚÐÙ ØØ Ú Ò Ø ÓØÓÒº Ê Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Û Ò ÐÓ Þ Ø Ñ Ø Ø Þ ÐÓ Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÓÔغ Ú Ò Ö Ö Ò ÙÒÒ Òº ÎÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò ÑÙÓÒ Ò ÖØ Ö Ñ Ø Ò Ò Ð Ò ÙÙÖØ Ú Ò Ð Ø Ò Ð Ñ Ö Ò Ð Û ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ö Ò t = ( m/s)( ) = 660 Ñ Òº ÌÓ Ö Ò Þ ÑÙÓÒ Ò Ø Ö ÓÔÔ ÖÚÐ Ø ÖÛ Ð Ø Ò Ú Ò Ù Ø Ò Ø Ð Ú Ò ØÑÓ Ö ØÓØ Ø ÓÔÔ ÖÚÐ ÓÒ Ú Ö ¾¼ Ñ º Ú Ö Ð Ö Ò Ø Þ Ð Ò Ø Ú Ò ¾¼ Ñ ÚÓÓÖ Ñ Ö Þ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓÖ ÒØÞ¹ ÓÒØÖ Ö ØÓØ Ñ Ò Ö Ò ¼ Ѻ Ï ÙÒÒ Ò ÓÒÞ Ð Ø ÐÓ ÓÓ ÖÙ Ò ÓÑ ÐÓÖ ÒØÞÓÒØÖ Ø Ø Ö Ô Òº Ï ØÓÒ Ò ¹ ÓÑ ØÖ Ò º ¼º ÌÛ Û ÖÒ Ñ Ö A Ò B Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò (a) (b) () ÙÙÖ ¼ Ò ÐÓ Ö ÓÔ Ò ÓØÓÒ Ø Ö Ø ÖØ ØÙ Ò ØÛ Ô Ð º È Ò Ð µ Ù Ø Ò ½ Ú Ò Ø Ô ÖØ Û ÖÒ Ñ Ö A Ô Ò Ð µ Ù Ø Ò ¾ Ô ÖØ A Ô Ò Ð µ ØÙ Ø ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Bº Ð Öº Ï ÖÒ Ñ Ö B ÓÙ Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò vº Ï ÓÙÛ Ò Ö Ø ØÙ Ø Ú ÒÙ Ø Û ÖÒ Ñ Ö Aº È Ò Ð µ ØÓÓÒØ ØÙ Ø Û Ö Ù Ø Ò ½ Ú Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö A Ô Öغ ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÙÙÖØ A Ò Ð Ø Ø Ò Ö Ø Ò Ú Ò Ô Ðº ÁÒ Ô Ò Ð µ ÛÓÖ Ø ØÙ Ø ØÓÓÒ Û Ö Ù Ø Ò ¾ Ú Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö A Ô Öغ Ø Ò ØÙ Ò Û ÖÒ Ñ Ö A Ò Ô Ð Ù Ò Ø ÔÖ ÓÔ Ø Ø Ø Ô Ð Ø Ø Û Ö A Ò ÓÑغ ÎÓÓÖ A Ö ÒÑ Ð Ò Ø t Ú Ö ØÖ Òº Ï ÖÒ Ñ Ö A Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ñ Û Ò Ø Ñ Ø ÓÒÐÙ ÖØ Ù Ø Ð Ò Ø Ú Ò Ø L Ú Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ L = 2v t º È Ò Ð µ Ø Ø ØÙ Ø ÚÓÓÖ Ñ Ø Ø Ñ Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Bº ÓÓÖ Ø Ò Ò Ö Þ Ð Ð Ø ÐÓ Ñ Ø B Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ð L = 2v t Û Ö t Ø Ô ÒÒ Ú Ö ØÖ Ò ÓÔ Þ Ò ÐÓ º Î ÖÚÓÐ Ò ÖÙ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖÑÙÐ
13 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ t = γ t Ñ Ö ÓÔ Ø Û ÖÒ Ñ Ö B Ø Ú Ò Ò ÚÓÓÖ Ñ Û Ò ÐÓ ÖÙ Ø µ Ò Ú Ò Ø L = L 1 v2 = L 2 γ º º Î ÖÐ Ú Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ø Ú Ò Ø Ò Ð Ø Ð ØÛ ÙÖØ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò Ñ Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ø Þ Ð Ø ÙÖ Ò Ò Ò Ø ÞÓ Þ Ò Ø Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ö Ø µ Ñ Ø Ø Þ ÚÓÓÖ Ñ Ò Ø Ð Ø ÙÖ Òº Ï ÒÓ Ñ Ò Ø Ø Ú ÖÐ Ú Ò Ð Ø º ÎÓÓÖ Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ð Ó Ò ÚÓÓÖ Ò Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ Ø Ò Ö Ò ÞÓÙ Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø ÙÖØ Ò A ÔÐ Ø ÚÓÒ Ú Ö ÙÖØ Ò Bº Ø Ð Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÐÓ ÓÑ Ø A Û Ð Ò Ö Ò Ò Þ Ò Ø B ÙÖØ Ò Ø ÞÓÙ Û Ð Ò Ø Ò ØÖ ÙÒÒ Ò Þ Ò Ð Ñ Ò Ò Ö Ô ÐØ Ø B Ú Ö A Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ Òº ÁÒ ËÊÌ Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ø Ö ÔÔ Ò Ú Ö Ò Ò ÒÓ Þ Ò Ð ÙÖØ Ò Ò Ð Ö ÙÒÒ Ò ÒÚÐÓ Òº Ù Ð A ÙÖØ Ò B Ò Ú ÖÓÓÖÞ Ò Ò ÑÓ Ø Ö Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø A Ö Ö Û º Ø Ö A Ò ÐÐ Ò B Ú ÖÓÓÖÞ Ò Ð Ð Ø Ó Ò Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ðµ Ò Ö Þ Ò Ú Ò A Ò Ö B Ò Ò Ð ÒÚÐÓ Ò Ò ÐÐ Ö Ö Þ Ò Ò Ø Ð Øº Ö ÐÚ Ð B Ø Ú Ö Ú ÖÛ Ö ÓÑ Ð Ø Ú Ò A Ø ÓÒØÚ Ò Ò Ø Ò Ø Ø B ÔÐ Ø Ú Ò Ø Ò Ö Ò ÐÓ Ö Ò Ø Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÖÓÚ Ö Ò ÑÓ Ø Ò Þ Ò Û Ð Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ø Ö Ø ÔÐ Ø ÚÓÒ º ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Þ Ð Ø Ñ Ö ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÓ Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò ÔÖ Ú Ò Ø ÓÓÖØ Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ú ÖÓÓÖÞ Òº ÖÓÑ Ø ËÊÌ Þ Ò ÙÒ ÚÓÐ ÓÖ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÖ Ò Þ Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ö ÙÖØ A Ö Ø Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ò B Ö Ø ÙÖ Òº Ø Ö ÐÐ Ö Û ÖÒ Ñ Ö ÞÙÐÐ Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ö Ò Ö ÙÖØ Ò Ò Ö Þ Ò Ò Ö Ù Ò Ù Ð Ú Ö Ò ØÙ Ò ÙÖØ Ò Ò Ò Þ Òº Ð Ø Ö Ð Ø Ò Ö Þ Ò Ú Ò A Ò Ö B Ò ÞÙÐÐ Ò ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ò ÙÖØ B Ð Ø Ö Ò A Ñ Ö Û Ð Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ð Ø Ø Ø Òµº Ù ËÊÌ ÓÙ Ø Ø Ö Ô Ú Ò Ú Ö Ò Ò Ú Ò ØÓ ÓÑ Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ñ Ö Ø Ô Ø Þ Ö Ð Ø Ò Ø ØÓ ÓÔ ÐÐ ÑÓ Ð Ô Ö Ò ÙÖØ Ò Òº Ø Ø ÒØ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑ Æ ÛØÓÒ Ú Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ñ Ø Öº ÁÒ Æ ÛØÓÒ Û Ö Ð Þ Ð Ö Ò Ø ÖÓÚ Ö Ò Þ Ò Ó ÖÙ ÑØ ÖÙ Ø Þ Ø ÓÔ Ò Ú Ò Ø Ø Ôº ÁÒ Ò Ø Ò Û Ö Ð Ö ÐÐ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ø Ú Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ñ Ú Ò ÐÐ ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ð ÑÓ Ð Ø Ø Ô ÙÒÒ Ò ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÙÖØ Ò Ò Þ Ò ÔÙÒØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ð Ò Ô Ð Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò ÖÓ Ô Ö Ò Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ ÓÔ Ò Ô Ð Ø Ø Ôº Ø Ö Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú ÒÛ Ð ÐÙ Ø Ò Ø Ò Ò Ö Ú ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò ÖÙ ÑØ Ú ÖØ ÒÛÓÓÖ Ø ÓÔ Ò Ô Ð Ø Ø Ôº ÌÛ ÙÖØ Ò Ò Ò Ù Ð Ú Ö Ò Ñ Ø Ð Ö ÙÒÒ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø ÒÓ Ñ º ÌÛ ÙÖØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ø Ø Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ð Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ð ÛÓÖ Ò Ø Ø Ò ÒÓ Ñ º ÙÖØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ð ÓØÓÒ ÛÓÖ Ò Ð Ø Ø Ò ÒÓ Ñ º Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÔÔ Ò ÖÙ ÑØ Ò Ø º Ð Û Ø Þ Ø ÔÙÒØ Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö Ò Ö Ò Ò Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ò Ó Û ÖÙ ÑØ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ò Þ Ú Ö Ð Ò Ò ½ µ Ó Û Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ò Ó Û Ø Ò Ò Ñ Ø Òº Ø ÐÐ ÛÓÖ Ø ÓÓÖ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ù Ø Ö٠غ
14 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÊÙ ÑØ Ø À Ö Ø ÐÐ Ò Û ÓÒ Û ÖÓÑ ÚÖ Û Ø ÖÙ ÑØ Ø Ï ÖÓÑ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÑ ÓÚ Ö ÖÙ ÑØ Ò Ø Ð Ô ÖØ ÖÓÓØ Ò Ø ÔÖ Ò Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÓÚ Ö ÖÙ ÑØ Ø Ð Ð ÁÒ Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ú Ò Ö ØÓØ Ð Û Ö ÖÙ ÑØ ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÙÐ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ E 3 º ÔÙÒØ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ ÓÙ Ò ÙÒ ÒØ Ø Ø Ú Ò Ø Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÔ Ø Ò Ö º ËØ Ð Ò ÐØ Ú Ò Ø Þ Ò ÖÙ Ø ÓÔ Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒغ Ï Ò Ñ Ò Ò Ò Ø Û ÒÒ Ö Û Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ ÒÙ ÓÙÛ Ò Ò ÓÓ ÓÔ Ò Ð Ø Ö Ø Ø Ô Û Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø ØÞ Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒغ ÇÒ Ð Ú Ò Ö Ð Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ò Ñ Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÓÓÔ Û Ö Ò Ô Ð ÔÙÒØ ÓÔ Ø ÖÑ Þ Ò ÒØ Ø Ø ÓÙ Ø Û Ø Ö ÓÓ ÓÔ Ø ÖÑ ÔÖÓ Ø Ö ÛÓÖ Øº Ú ÒÞÓ ÛÓÖ Ø Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ Ñ Ö Ø ØÖ Ú Ð E 1 Ò¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ º ÙÐ ÖÙ ÑØ Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ö Ô Ø Ò ØÙ Ò ÔÙÒØ Òº Î Ö Ö Ö Ò Ö Ô Ú Ò Ð Ø º À Ø Ù ÓÐÙÙØ Þ ÒÚÓÐ ÓÑ Ø ÔÖ Ò Ú Ò ÙÖØ Ò Ò Ð Ø Ö Ò Ð Ö ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÇÑ Ò Ð ÔÖ Ú Ò Ó ÓÓÔ Ø Ð Ú Ò Ð Û Ò Ô Ð Ö Ñ Ú Ò ÐÑ ÓÙÛ Ò Ò ÛÓÖ Ò ÐÐ Ð Ø ÙÖØ Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÐÐ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÔ Ø ÖÑ ÔÖÓ Ø Ö º ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ð Ø ÔÖÓ ÙØ A = E 1 E 3. ½ µ À Ø ÒÚÓÙ ÖÙ ÑØ ÓÔ Ô ÒÒ Ò ÓÓÖ Ô Ö Ò (t, x) Ñ Ø t Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò E 1 Ò Ø Ò x Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò E 3 Ò ÔÙÒØ Ò ÖÙ ÑØ º Þ ÖÙ ÑØ Ø ÛÓÖ Ø Û Ö Ú Ò Ò º ½ Ð Ò Ö ÙÙÖµº Ä Ø Ò Û ÒÙ Ò Ò Û Ø Ð Ð Ó³ Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÓÓÖ Ò ÚÓÐ Ø ÙÙÖ ½ Ä Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ö ØÓØ Ð A = E 1 E 3 Ø Ø Ù Ø Ô Ö Ò (t, x)º Ê Ø ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ð Ð Ó G Ò ÖÖÙ ÑØ º Ö Ò ÔÙÒØ Û Þ ÓÒÒ Ø ØÙ Ò Ú Ö¹ ÐÐ Ò E 3 Ö Ö Ø Ø Ò ÓÐÙØ ÖÙ ÑØ Ö Ø Ö Û Ð Ò ÙÒ Ø ÚÓÓÖ Ð ÖÙ ÑØ Ø ÙÖØ Ò ÓÐÙØ Ø Ø Øº ÓÔ ÓÒ Ö Ô Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø º Ð Ð Ó Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø ÝÒ Ñ Û ØØ Ò ØÞ Ð Þ Ò Ò Ð Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñº Ö Ò Ø Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ Ø ÖÙ Ø Ò ÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ú Ò ÖÙ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð Û Øº Ø Ø ÒØ Ø Ö Ò ÝÒ Ñ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ô Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ ÓÔ Ø ÑÓÑ ÒØ ØÞ Ð Ð Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Ò ÑÓÑ ÒØ Ð Ø Öº À Ø Þ ÒÐÓÓ Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ø ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Û Ö Ñ Ò Ó ÓÔ Þ ÒÙ Ú Ò Ø ØÞ Ð ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒØ Ò Ñ ÒÙÙØ Ð Ø Öº ÙÖ Ò Þ Ñ ÒÙÙØ Ö ÓÑ Þ Ò ÖÓØ Ö Ò Ò Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó ÓÔ ÓÔ Ò Ò Ö ÖÙ ÑØ Ð ÔÙÒغ Ø Ö Ö Ö Ø ÓÓ ÓÑ ÞÓÒ Ò Ø Ð Ú ÖØ Û Ö Ò Ò Ö ÔÙÒØ ÓÔº Ì ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ö ØÓØ Ð Ò Ø ÚÓÓÖ Ø Ð Ð Ò ÓÔ Ú Ò Ö Ð Ð Ò R Û ÒØ R Ú Ø Ø ÚÓÓÖ ÙÖ ¹ Ð Ñ ÒØ ¼º Ö Ø Ö Ò ÔÖ Ú Ò Ò ÚÓÓÖ ÙÖ ÚÓÓÖ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒ Ò Ö Ú Ò Ú Ò ÝÒ Ñ Ó Ø Òº
15 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÃÓÖØÓÑ Ò ÐÓ Ú Ò Ò ÔÖÓ Ø ÖÑ ÓÒ Ù Ø Ï Ò Ò Ø Ò Ò Ð ÙÐ ÖÙ ÑØ E 3 Ð Ö Ò Û Ö Ò Ø Ú Ò Ý Û Ö Ð Þ Ò Ø Ô Ð Òº Ï Ò Ú Ö ÐÐ Ò E 3 ÚÓÓÖ Ð Ø Ø Ô Ò Ö Ò Ò ØÙÙÖÐ ÒØ Ø ØÙ Ò Þ Ú Ö ÐÐ Ò E 3 º Ï ÙÒ Þ Ò Ð Ð Ó³ ÖÙ ÑØ Ø G Ò ÔÖÓ ÙØÖÙ ÑØ E 1 E 3 Ñ Ö Ø Ø Û ÙÒ Ò Ò Ö ÙÒ Ð ÒÓ Ñ Ò Ñ Ø Ð E 1 Ò Ö E 3 º ØÙ Ø Ø Ø Ò º ½ Ö Ø Ö ÙÙÖµº Ò Ö ÙÒ Ð Ø Ò ÔÙÒØ Û Þ ÓÒÒ Ø ØÙ Ò Ò Ö Ò ÚÓÐ Ò º ÐÒ Ø Ñ Ò ÚÓÖÑ Ò Ö Ñ Ò Ò Ðº Ò Ð ÖÙ ÑØ Ø Ð Ñ ÒØ Ú Ò G ÛÓÖ Ø Ò Ø ØÓ Ò Ò Þ Ð Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ò ÐÓ ÖÙ ÑØ ³ E 1 º À Ø Ø Ò Ú Ò Ò Ð Ø Ò Ð ÚÓÓÖ Ð Û ÖÒ Ñ Ö ØÞ Ð Ø Ø Ú Ö Û Ò Ò Ú Ò ÓÐÙØ Ø ØÓØ ÚÓÐ º ÁÒ º ¾ Ò Ñ Ò Û Ò ÙÖØ Ò P Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ÓÙÛ Ò Û ÐÐ Ð Ø ØÖ Ð Ò ÓÓÖ P Ò ÚÓÓÖ Ð Ö Ø Ò Þ º ¾ µº Ï ÙÒÒ Ò ÖÙ ÑØ Ø ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò ÓÓÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð x Ò y Ö Ø Ò Ù Ø Ø Þ ØØ Ò Ø ÖÛ Ð Û Ø Ó Ö Ò Ø tµ Ú ÖØ Ð Þ Òº Ð Ø ØÖ Ð Ò ÚÓÖÑ Ò Ò Ð Ò ÖÙ ÑØ Ø ÞÓ Ò Ñ Ð Ø Ðº Ð Û Ð Ø Ò Ð Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ø Û Ð Ø Ð Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ Òº Ð Ø Ð Ò ÖØ Ò ØÖÙØÙÙÖ Ò Ø Ò ÒØ ÒÖÙ ÑØ T P ÓÓÖØ Pº (a) (b) () ÙÙÖ ¾ Ð Ø Ð Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Ú Ò Ø Ð Øº ÁÒ µ ÛÓÖ Ò Ò Ò Ú Ò Ù Ø ÞÓÒ Ò ÓØÓÒ Ò ÖÙ ÑØ Ð Ø Ø Ð Ò ÓÐ ÜÔ Ò ÖØ Ú ÒÙ Ø ÔÙÒØ Pº ÁÒ µ Þ Ò Û Ø Ò ÖÙ ÑØ Ø ÓØÓÒ Ò Ò Ð Ù Ø Ò Òº ÁÒ µ Þ Ò Û Ø Ð ÖÙ ÑØ Ø ÓÔ ÔÐ Ø Ø Ò Ò Ú ÖÐ Ò Ò Ò ØÓ ÓÑ Øº Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò Ñ ÐØ Ò P Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ö ØÓ ÓÑ Ø Û Ø Ò Ø Ø º Þ Ú ØÓÖ Ð Ø Ù ÒÒ Ò ØÓ ÓÑ Ø Ð Ø Ð Ú Ò Pº Ð Ø Ð ÛÓÖ Ø ÚÓÖÑ ÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò Û ÖÚÓÓÖ Ð Ø s 2 = 2 t 2 r 2 = 0. ½ µ ÙÖØ Ò Ò Ú Ò P Ò Þ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð Ú ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ð Ø Ð Ò Ö Ð Ø s 2 > 0 2 t 2 > r 2 º Ö Ð ÙÖØ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ù Ð Ú Ö ÓÒ Ò Þ Òº Ø Ò Ø ÑÓ Ð ÚÓÓÖ ÞÓ Ò Ñ ÖÙ ÑØ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò Ù Ø Ò Ð Ø Ð Ú ÐÐ Òº À ÖÚÓÓÖ Ð Ø s 2 < 0 2 t 2 < r 2 º Å Ö ÓÔ Ø Ð Ø Ð Ù Ø ØÛ Ð Ò Ø Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ð Ò Ò ØÓ ÓÑ Ø Ðº Ï ÙÒÒ Ò ÓÒ Ú ÖÐ Ò Ð ÚÓÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ð Ø Ø ÑÔÐÓ ÖØ ÓÔ Pº ØÓ ÓÑ Ø Ð Þ Ò Û Ð Ò Ð Ø Ø ÜÔÐÓ ÖØ Ú ÒÙ Ø ÔÙÒØ Pº ÓØÓÒ Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ò Ú Ò Ð Ø ÖÛ Ð Û Ö Ð Ð Ò Ò Ú Ò Ñ Ú ÐØ ÓÓÖ P Ò ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ø Ð Òº ØÖÙØÙÙÖ Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò ËÊÌ ÞÓ Ò Ø ÚÓÓÖ Ð ÙÖØ Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ò Ð Ø Ð Ø Ø ÚÓÓÖ Þ ÙÖØ Ò Ù Ð ØÖÙØÙÙÖ Ô Ðغ Ï ÞÙÐÐ Ò Ø Ù Ø Ô Ò Ò ÚÓÐ Ò Ø º
16 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ º ÊÙ ÑØ Ø Ö ÑÑ Ò Ï ÖÙ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö ÑÑ Ò ÓÑ ÙÖØ Ò Ò Ò Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙ ÑØ Ø Ø Ö Ú Òº ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ ÓÓ Û Ð Ñ Ò ÓÛ Ö Ñ ÒÓ Ñ µ ØÓÒ Ò Û Ò ÖÙ ÑØ Ð Ñ Ò ÓÔ x¹ Ò Ø ÓÔ y¹ º Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ Ø ÐØ ØÝÔ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÚÓÓÖº Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Þ Ð Ò ÖÙ Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Þ Ò Û Ö Ð Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÖØ Ñ Ø Ø ¹ º ÌÝÔ ÛÓÖ Ø Ú ÖØ Ð Ò Ø t Ñ Ö t Ù Ø Þ Ø ÞÓ Ø Û Ö Ð Ð Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ò Ö Ø Ð Ò ÛÓÖ Ø Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ú Ò º Ï ÒÒ Ò Ñ Ø Ø Ú Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ÖÙ ÑØ Ø Ú Ò Ð Ð Ó Ò Ú Ò ËÊ̺ ÁÒ Ð Ò Ö ÙÙÖ Ø ÐØ Ù Ò Ð Ò Ø ¹ ÚÓÓÖ Ú Ò Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø (a) (b) ÙÙÖ Ä Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ò ÙÖØ Ò A ÔÐ Ø ÓÔ ØÞ Ð Ø Ø Ôº Ê Ø Ò ËÊÌ ÒÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ØÓ Ò ÙÖØ Ò Aº Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Û Ø Ñ Ø Ò Ð vº ÇÔ Ø Ø Ô x = x = t = t = 0 Ú ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Òº Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø Ò Ø ÐÓÓ Ö Ø ÓÔ x¹ Ò Ø Ð Ù Ø Ö Øº Û ÖÒ Ñ Ö Ó ÖÚ Ö Ò ÙÖØ Ò A Ò ÒÒ Ò Ö Þ Ð Ø Ò ØÓ ÓÑ Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÐÙØ Ø t = t ÚÓÓÖ ÙÖØ Ò Ò Òغ ÔÐ Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÑ Ø Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö ÙÖØ Ò A ØÓ Û Øº Þ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÒÓ Ñ Ò Û Ò Ð Ð ÓØÖ Ò ÓÖÑ Ø º Ò Ø Ò ÓÒØ Ø Ø Þ Ú Ò ÓÒ Ù Ø º À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ú Ò Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒØ Ø Ò Ø ÛÓÖ Ò ÞÓ Ð Ò Ò Ö Ø Ö Ð Ò Ò º º Ø ÚÓÐ Ø Ö Ø Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Þ Ú Ö Ð Ò ½ µº ÎÓÓÖ Ó α Ð Ø tan α = v º Ö Ø Ø Ò ÓÐÙØ Ø Ñ Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÒÒ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò ØÓ Ò ÙÖØ Ò Aº ÇÓ Ø Ú Ö Û Ò Ò Ú Ò Ð Ø ÙÒÒ Ò Û Ö Ø Þ Ò Ò Ò ÖÙ ÑØ Ø Ö Ñ Þ º º À ÖØÓ ÓÙÛ Ò Û ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Û Ò Ñ Ø Ò Ð vº À Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ò Ñ Ø x Ò t Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÓÖ ÒØ Ø Ú Ò Þ Ò Ò ÚÓÒ Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø º Ï ÓÙÛ Ò ØÛ ÖÙ ÑØ Ø Ò ÙÖØ Ò Ò A Ò Bº Þ ÙÖØ Ò Ò ÙÒÒ Ò Ò Ù Ð Ú Ö Ò Ñ Ø Ð Ö Ò ÓÑ Ø Þ Ò Ø ÓÓÖ ÓØÓÒ Ò Ø Þ Ò Ð Ò Ò ÓÒ Ö ±45 µ Ó Ð Ò Þ Ñ Ö Ò Ð Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÙÒÒ Ò ÛÓÖ Òº ÙÖØ Ò Ò ÙÖ Ò Ð Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÙÖØ B ÓÔ Ø Ø Ô C Ò ÙÖØ Ò A ÓÔ Ø Ø Ô Dº
17 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÙÙÖ ÊÙ ÑØ Ø Ö Ñ ÚÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò x Ò t Ø ÖÛ Ð Ø Ö Ñ ÚÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Û Ø Ò x Ò t غ ÎÓÓÖ Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ú Ò Ò ÙÖØ Ò Ò A Ò B Ð Ø ÔÐ Ø º Ø Ò Ø ÞÓ ÚÓÓÖ Û Ò Û ÖÒ Ñ Öº ÁÒ Þ Ò Ý Ø Ñ ÙÖØ B Ö Ö Ò Aº Ö Ø Ö ÓÓ Ò Ý Ø Ñ Ø Ú Ò Ò Û Ö Ò A Ö Ö ÙÖØ Ò Bº Ø Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Ð Ø Ò Û ÖÒ Ñ Öº Ï Þ Ò Ø Ø Ö ÓÐÙØ Ø Ò Ø Ú ÖÐÓÖ Òº Ï Ð ÐÚ ÖÞ Ñ Ð Ò ÙÖØ Ò Ò Ú Ò ÖÙ ÑØ Ø Ð Ø ÙÖØ Ò Ò ÚÓÖÑØ Ò Ø Ú Ò Û Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Öº º½¼ Ê Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ú Ò Ø Ö Ô Ø Ò ËÊÌ Ð Ø ØÓØ Ò ÒÚÓÙ ÑÓ Ø Ú Ò ÓÖÑÙÐ ÚÓÓÖ ÖÓÓ Ú Ö Ù Ú Ò Ú Ò Ò ÓØÓÒ Þ Ú Ö Ð Ò µ Ò ÓÓ º ¾º ÁÒ Ø ¾º Ø Ð Ò Û Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ò Û Ò Ø ØÓÖ Ô ÖØ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ñ Ø Ø ÒØ Ð Ø Ò Ø ØÓÖ Ò ÖÙ Ø Ö ØÖ Ö º À Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø Ô Ö Ø Ò Ô ÖØ Ö ÕÙ ÒØ Ú Ò ÓÐ º Ï Ò Ò ÒÙ Ò Ö Ò Ò Ø Ö Ò Ò Ø ÐÓ Ú Ò Ò Û Ò Ø ØÓÖ Ø Ð Ò Þ Ñ Ö ÐÓÓÔØ Ò Ú Ò Ò Ø ØÓÖ Ò Ö٠غ Ø Ø ÒØ Ø Ð Ø ØÓÖ Ò ÖÙ Ø N ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ø ÐØ Ò Ø t Ò Ø ÐØ Û Ò Ø ØÓÖ N = N(1 v ) ÓÐ ÖÓÒØ Ò Þ º ¾µ Ò Ò Ø t = t/γ Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ø µº Ð Û Ø ÒØ Ð ÓÐ ÖÓÒØ Ò Ð Ò ÓÓÖ Ø Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ø ØÓÖ Ò Ö ÕÙ ÒØ f = N/t Ø ÖÛ Ð Û Ò Ø ØÓÖ Ò Ö ÕÙ ÒØ f = N /t Ñ Øº Ø Ð Ú ÖØ f = (1 v )γf = 1 v 1 v2 2 f. ¾¼¼µ ÓÚ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ð Ø Ð Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ú ÖÛ ÖØ Ú Ò Ð Ø ÖÓÒ ÞÓ Ð Þ Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ö٠غ Ø ÔÖÓ Ù ÖØ Ò Ú ÖÐ Ò Ú Ò Ö ÕÙ ÒØ Ò ÖÓÓ Ú Ö¹ Ù Ú Ò º ÁÒ Ø Ú Ð Û ÖÒ Ñ Ö ÖÓÒ Ò ÖØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò º ÇÑ Ø ÒÓ Ñ Ö ÐØ Ð Ò Ö Ò ½ Þ Ò Û Ö Ò Ú Ò ÖÓÓ ¹ Ó Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò ÖÓØ Ö Ò ÓÔ Ú Ò Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö ÓÖÑÙÐ º Å Ö ÓÔ Ø Ö Þ Ð Ò Ú Ö Ù Ú Ò Ð Û Ò Û ÖÒ Ñ Ö ÐÓÓ Ö Ø Û Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ò Ö Ð Ø ÖÓÒº ÁÒ Ø Ú Ð Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø ÓÔÔÐ Ö Ú Ö Ù Ú Ò Ð Ò ÒÙÐ ÓÑ Ø ÐÓÓ Ö Ø Û Ò Ò ÓÐ ÖÓÒØ Ò ØÓ ÚÓ Ø Ó ØÖ Ø Ú Ò Ø ÒØ Ð Ø Ø Ð ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò Ø ØÓÖº Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ö Ù ÖØ Ó Ú Ð Ø Ø Ò
18 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ Û Ò Ø ØÓÖ Ò Ñ Ø Òº Ø ÔÖÓ Ù ÖØ Ò Ð ÙÛÚ Ö Ù Ú Ò Ò ËÊÌ Ø ÖÛ Ð Ö Ò Ø Ò Ð ÓÔÔÐ Ö ÓÖÑÙÐ º Ø ÛÓÖ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÔÔÐ Ö Ø ÒÓ Ñ º º½½ Ê Ð Ø Ú Ø Ñ Ò Ð Ö Ò Ò Ñ Ø Ó Ö Ú Ò Ò Ø ¾º Ð ÒØ Þ Ù Ø Ø Ò ÚÓÓÖ Ù Ø Ö Ò Ú Ò Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ö Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ò ÓÑØ Ñ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º ÐÐ Ö Ö Ø ÞÙÐÐ Ò Û Ò ÚÖ ÐØ ÓÙÛ Ò Ó Ø Û Ð Ò ÐØ Ñ Ø Ñ m Ø Û Ø ÞÓÒ Ö ÒÚÐÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ö Øº Ð Ö Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ð ÐØ Ø Ø Ò ÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ø Ø ÖÑ L = K. ¾¼½µ ÁÒ Ð Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò ÓÓÖ K = 1 2 m v2 º Þ Ù Ø ÖÙ Ò ÙÒÒ Ò Û Ø Ö Ò Ø ÓÚ ÖÒ Ñ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º ÁÑÑ Ö Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ø Ø Ò ØÙÙÖÛ ØØ Ò ÞÓ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò Ø Þ Ò Ø Ú Ò ÚÓÖÑ Ú Ö Ò Ö Ò Û ÒÒ Ö Ò Ö Ò Ò Ö Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð ÛÓÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö º Ø Ø ÒØ Ø ÞÓ Ø Ð Ö Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ ÑÓ Ø Þ Ò ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ØÙ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ò Ö ÚÓÐ Ó Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ù Ø ÖÙ Ò Þ Ö Ò Ø Òº Ø Ö Ñ Ø Ò ÒÔ Ò Ò ÚÓÖÑ Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ø ÓÔ ÓÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ñ Ö Û Ð Ð ÒÚ Ö ÒØ º À ÖÚÓÓÖ Ö Ú Ò Û Ö Ø ÓÙ Ù Ø ÖÙ Ò Ù Ø Ð L = K = 1 2 mdxi dt dx i dt, ¾¼¾µ Û Ö Ò Ø Ò ÓÑÑ Ø ÓÒÚ ÒØ ÖÙ Ø dx i dx i = dx 2 + dy 2 + dz 2 º Ï Ø ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò Û Ø Ø Þ Ò ØÛ Ò Ò ÐÐ Ö Ö Ø Þ Ò dx¹ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð¹ Ò Ð Ø Ò ØÛ Þ Ò dt³ Ø Ú Ò Ò º Ï Ò ÑÑ Ö Ð Þ Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ò Ø ÙÖ Ò Ñ Ø Òº Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÖÓÑ ÒÓÓ Ø ÚÓÐ Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ö Û ÒÒ Ö Û dx i dx i Ú ÖÚ Ò Ò ÓÓÖ η µν dx µ dx ν Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ö ÒÙ ÔÖ Ø Ð Ò Ð Ñ ÒØ ds 2 Û ÖÚ Ò Ò Ø Ø ÒÚ Ö ÒØ º ÇÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ò Ù Ø Ö Ò Ú Ò ØÛ dt³ ÓÓ ÚÓÓÖ Ò Ú ÖÚ Ò dtdt ÓÓÖ dτ 2 ÞÓ Ø ÓÓ Ø ÒÙ ÒÚ Ö ÒØ ÛÓÖ Òº Ò Ò ØÙÙÖÐ Ù Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ Ò L = 1 2 mη dx µ dx ν µν dτ dτ. ¾¼ µ Þ ÓÚ ÖÛ Ò Ò Þ Ò Ò ØÙÙÖÐ Ò Û ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò Ó º Ö Þ Ò ÓÓ Ò Ö Ä Ö Ò Ò Ò Ò Ö ÚÓÐ Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô º Ø Ö Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ñ Ø ÒÚÓÙ Ò ÓÚ Ò Ò Þ Ð Ð Ò Ø Û Ò Û ØØ Ñ ÖÙ Ø ÚÓÐ Ò Ö Ù Ö Ò ØÓØ ÓÙ Ú ÖØÖÓÙÛ Û Ò Û ØØ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Û ÒÒ Ö Þ ØÓ Ô Ø ÛÓÖ Ò Ò ØÙ Ø Û Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ð Ö Þ Ò Ò Ð Ø Ò Ð º Í Ø Ò Ð Þ Ð Ø Ø Ö Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Þ Ò ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ó ÚÓÒ Ò Û ØÑ Ø Ò ÓÖÖ Ø Þ Òº ÌÓØ ÒÙ ØÓ Û Þ Ò ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ð º Ø S ÓÖ Ò Þ Ð Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ú Ö Ö Ò ÓÓÖ Ð Ö Ò Ò Ø ÒØ Ö Ö Ò ÓÚ Ö Ø º ÇÓ Ö ÑÓ Ø Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ò Ø ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö ÒØ dτ Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ò ØÓØ ÓÚ Ö Û ÖÒ Ñ Ö¹ Ò Ð Ø tµ ÓÑ ÞÓ ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ø Ø Û Ö ÓÖ Òº Ø ÛÓÖ Ø Ò Ù S = τ2 τ 1 { 1 2 mη dx µ µν dτ dx ν dτ } dτ. ¾¼ µ
19 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ÇÑ Û Ò Û Ø ÚÓÓÖ Ø ÐØ Ø Ð Ò ÒØ Ø ÔÖ Ò Ô Ú Ò ÜØÖ Ñ Ø Û Ö Ø ÛÓÖ Ò ØÓ Ô Ø Ö ÑÓ Ø ÞÓ Ø ÛÓÖ Ò Ò Ö Ø Ô x µ (τ) Ø Û Ö Ú Ò Þ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð Ó Ñ Ü Ñ Ð Ñ Øº ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÚÓÓÖ Þ ØÙ Ø Ò ÚÓÖÑ ( ) L x α = d L dτ ( ). ¾¼ µ dx α dτ Å Ö ÓÔ Ø Ø Ú Ö Ú Ö Ð Ò Ò Þ Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ú Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ú Ò Ø Ô x µ (t) Ö Ò Ú Ö Ð Ò ÑÓ Ø ÛÓÖ Ò ÓÔ ÐÓ Øº Ï ÒÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò ÛÓÖ Ø Ò ¹ ÚÙÐ Ò Þ Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ú Ö Ð Ò Ò ÛÓÖ Ò Ù Ø Ö Ò ÛÓÖ Ø ÚÓÒ Ò Ø Ò ÚÖ Ö Ð Ø Ú Ø ÐØ Ò Ô x µ (τ) ÚÓÐ Ø Û ÖÚ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÐ Ó Ò Ò Ú Ö Ð Ò Ò m d2 x µ dτ 2 = 0. ¾¼ µ Ø Ð Ø ÔÖ Ò ÓÔ ØÛ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ ÚÓÓÖ Ò ÚÖ ÐØ Ñ Ø ØÛ Ù Ø Ð Ú Ö ÐÐ Òº Ì Ò Ö Ø Ó Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ù Ø ÔÖ Ò ÓÚ Ö Ö ÔÐ Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ú Ò Ø ÐØ Û Ö Þ Ò ÙÛ Ù Ø ÖÙ Ò ÓÓ Ù Ø ÔÖ Ó Ø ÓÚ Ö Ø º Þ Ð Ø Ø Ø ÐØ Ø m dt2 dτ 2 = 0, ¾¼ µ Û ÖÙ Ø ÚÓÐ Ø Ø dt dτ Ð Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ º Ø Ò Ø Ú ÖÖ Ò Û Ò ÑÑ Ö Ð Þ Ò Ø Ø τ ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Ø Ð Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ø t Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Þ Ø Û Òº Ø Û ÔÖ Ø Ø Ð Ø Ø Ø ÞÓ Ð ÔÖÓ Ò Ò Ø º Ò Û Ö Ú Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Þ Ò ÓÓ Þ Ò Ú Ò Ú Ö Ð Ò ½ ¾µ Ø ÔÖ ÐÓÖ ÒØÞ ØÓÖ γº ÙÙÖ ÊÙ ÑØ Ø Ö Ñ Ò Ò Ô ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ Ø ÖÙ ÑØ ØÓÓÒØ ÓÔ t = 0 Ú Ö Ò Ð U Ú Ò Ò ÐØ Ø Þ ÖÙ ÑØ Ô ÖØ ÓÔ t = 0µ Ò ØÛ Ú ØÓÖ Ò Ò Þ ÖÙ ÑØ Ð Ò Ø ÖÙ ÑØ Ð Ð Ú Ò Ú Ö Ò Ð U Ò ÛÓÒ Ò Ð v Ú Ò Ø ÐØ º Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº À Ø Û Ú Ò Þ Ø ÐÐ Ò Ø Ò ÐÓÓ Ò Ø Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾ µº
20 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼¼ À Ø ØÛ Ú Ö Ð Ñ Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö Ð Ò ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö ÒØ τ Û Ö Ò Æ ÛØÓÒ Ø ÓÖ Ð Ò Û Ö Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö Ø tº Ø Ñ Ø Ú Ò Þ Ò ÙÛ Ð Ò ÓÓÖØ Ñ Ò ¹Ó س Ñ Ø Ò Ø Ò Ò x ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ÞÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÐÐ ÙÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û Ø ÐØ Û Ø Û Ö Ø Ñ Ø Ò ÛÓÖ Ø ÓÓÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø Û Ò ÐØ º Ø Ó Ø ÛÓÖ Ø Ú Ö Ò Ð U µ (t) ÒÓ Ñ º Ö Ð Ø U = d x/dτ Ò ÚÓÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ø U α = dx α /dτº Ø Ø ÒØ ÚÓÓÖ ÛÓÒ Ò Ð Ø v j dxj dt = dxj /dτ dt/dτ = Uj U 0 º Þ Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ò Ø Ñ Ø ÒÓÖÑ Ö Ò Ú Ò U U 2 = g αβ U α U β = (U 0 ) 2 +δ ij U i U j = 1 Ø ÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÚÓÖÑ U 0 = γ,u i = γv i, met γ = 1/(1 δ ij v i v j ) 1 2 Þ Òº Ï Ú ØØ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÓ Ò Ñ Ò Ò º º À Ø ÒÙØØ ÓÑ v j Ø Þ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ò Ú ØÓÖ v ÛÓÒ Ò Ð Ð Ø Ò ÙÐ ÖÙ ÑØ t = onstant Ú Ò Ø ÓÞ Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ðº Þ ÖÙ ÑØ Ò Ø Ó Ò Ö ØÓØ Ø Ö Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ø Ð Ð ÓÞ Ò Ò ÖÓÑ Ò Ø Ø Ø Ò Ú Ò v Ú Ò Ô ÙÞ º ÇÔ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ò ÐÓÖ ÒØÞ Ö Ñ ÓÞ Ò ÙÒÒ Ò Û v Þ Ò Ð Ò Ó Ö Ò Ø Ò¹ÓÒ Ò Ð Ó Øº Ì Ò Ò Û Ö ÓÒØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ð Ñ Ò Ö Ú Ò Û Ú Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ö Ò Ñ Ö Ò ØÙÙÖÐ Ó Ø Ø Û Ø Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Þ Ð Û ÖÒ Ñ Öµº Ø ÙÒÒ Ò Û Ó Ò ÓÓÖ Ø Ò Ø Ú ÖÐÓÔ Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ø ÐØ Ò ÓÓÖ Ò Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ñ Ø Ð Ö Ö Ð Ø Ö Þ Ò Ú ÓÖÑÙÐ Ú Ò Ø Ð Ø Ø dτ = γ 1 dtº ÇÔ Þ Ñ Ò Ö ÚÓÒ Ò Û Ø Ù Ø Ø ÖÙ Ò Ð mγ 2d x2 dt 2 = 0. ¾¼ µ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò ÒÙ Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ò Ô Ð Ú Ð Ú Ò Þ Ò ÙÛ Û Øº Ð Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ø ÐØ Ú Ð Ð Ò Þ Ñ Ö Û Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ò Û Ò Ø ÙÙÖ Ò Ø Ò Û ÒÙ ÐÐ Ò Ù Ø ÖÙ Ø Ó Ø Û Ð Û Ò Ñ Ò Ò Ø v µ Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ Ò Ö ÛÓÖ Ò ÓÓÖ mγ 2d x2 dt 2 m 1 ( v d x 2 ( ( ) v 2 d x 2 ) 2 dt 2 m 1 + ) dt 2 md x2 dt 2 = 0, ¾¼ µ Û Ö ÖÙ Ñ Ø Ú Ò Û ÙÒ Ö Ð (1+x) m 1+mx Û Ð Ð Ø Ð x 1º Ø ÔÖ Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ó ÒÙ Ò ØÓÓÒ Ø Û Ø Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ø Ò Ô Ð Ú Ð Ú Ò Ò Ñ Ö Ð Ñ Ò Û Ò Û Ø Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ Ø Ø ÓÒ Ú ÖØÖÓÙÛ Ò Ø ÓÒÞ ÙÞ ÚÓÓÖ Ð Ö Ò Ò Û Ö ÒÐ Ù Ø Û ÚÓÐ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ò Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ò ÓÒÞ ÓÙ Ú ÖØÖÓÙÛ Û Ò Û ØØ Ò Ø ÖÙ º Å Ø Ø Ò Ø Ø Ö ÓÓ ÙÒÒ Ò Û ÒÙ Ú Ö Ö Ò Ñ Ø Ø Ò Ú Ò Û ØØ Ò ØÖ Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ º Ó Ð ÔÖÓ Ò Ò Ø ¾º ÚÓÐ Ø Ò ÑÔÙÐ Ù Ø Ò Ú Ò Ð Ö Ò Ò Ú Ú Ö Ð Ò µº ÌÓ Ô Ø ÓÔ Ö Ð Ø Ú Ø Ð Ö Ò Ò Ð Ú ÖØ Ø ÚÓÓÖ ÑÔÙÐ Ú Ò Ø ÚÖ ÐØ p α = L dxα dτ = m dxν dτ η αν, Ò Ò ÒØ Ò Ø ÓÒØÖ Ö Ò Ñ Ø ÒÚ Ö η µα Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ ÛÓÖ Ø Ø p µ = m dxµ dτ = muµ. ¾½¼µ ¾½½µ Ï ÖÓÑ Ð Ø Ø Ö ÓÔ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ù Ø Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ú ÖÑ Ò ÚÙÐ Ñ Ø Ò Ò Ð º Ø Ö Ò Ð Ö ÒÙ Û Ö Ú Ö Ò Ð Ò Þ
21 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼½ Ò ÙÛ ÑÔÙÐ ÛÓÖ Ø Ò ÓÓ Ú Ö ÑÔÙÐ ÒÓ Ñ º Î Ö Ð Ò Ñ Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ú Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò µ Ò Û Ö ØÛ Ú Ö ÐÐ Ò ÓÔ Ø Ò Ö Ø Ö Ò ÒÙй ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ Þ Ò Ø Ò ØÛ Ø Û Ö Ò Ñ Ò ¹Ó س Ð Ø Ò Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÐÐ ÙÖ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø ÙÙÖ Ñ Ø Ò ÓÓÖ Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ø ÐØ º À Ø ØÛ Ú Ö Ð ÙÒÒ Ò Û Û Ö Ò ÔÐ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ö Ð Ø ØÙ Ò ÒØ Ò Ø Ø ÖÙ Òº Ø Ð Ú ÖØ p α = mγ dxα dt, ¾½¾µ Ò Ú Þ Ð Ò Ö Ò Ñ Ø Ó Ð ÖÙ Ø Ò Ú Ö Ð Ò ¾¼ µ ÚÓÐ Ø Ö Ø Ø i¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ i = 1,2,3µ ÖÚ Ò Ö Ù ÖØ ØÓØ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ù Ø Ñ Ò Ú Ò Æ ÛØÓÒ Û ÒÒ Ö Ø ÐØ Ú Ð Ð Ò Þ Ñ Ö Û Ø Ò Ø Ð Øº i = 1,2,3 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ó Ø ÛÓÖ Ò ÖÓÑ ÓÔ Ú Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ù Ø ÖÙ Ò Ò Ú Ò ÑÔÙÐ º Ï Ø ÒÙйÓÑÔÓÒ ÒØ ØÖ Ø Þ ÑÓ Ø ÒÓ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ö Òº Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ p 0 = mγ. ¾½ µ Î Ò Ñ Ò ¹ Ò ÐÝ Ñ Ø Ò Ø Þ Ò Ø Ø Ñ Ò Ú Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ø Û Ø Ù Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö Ú Ò Ø ÚÖ ÐØ º ÚÖ Ö Ò Ø Þ Ò Ð Ò Ð ÓÔ ÓÔ Û Ð Ñ Ò Ö Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ö Ð Ø Ö Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ K = 1 2 mv2 ÇÓ Ö Ø Ò Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ð Ò Ù Ø ÓÑ Øº Ö Ð Ø ) ) 2 p 0 = m ( v ) 2 m 2 ( ( v = m 2 + K, ¾½ µ Û Ö Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ò Ö K Ú Ò Ò ÚÖ ÐØ Ò ÚÙÐ º À Ö ÒÙ ÚÓÐ Ø Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ð Ò ÒÙйÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÑÔÙÐ Ö Ù ÖØ ØÓØ Ò ÛØÓÒ Ò Ò Ö ÔÐÙ Ò ÜØÖ Ø ÖѺ Þ Ò Ú Ò Þ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ÒÙйÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ ÞÓ Ð ÚÓÓÖ Ô Ð ÓÓÖ Ò ÛØÓÒ Ò Ñ Ò º À Ø Ð Ø Ò ÓÓ ÚÓÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Û p 0 ÓÓ Ó Ò Ð Ò ÑÓ Ò ÓÔÚ ØØ Ò Ð Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ º Ï Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ØÖ Ø Ò ÚÖ ÛÓÖ Ò Ø Ð Ó Ý ÒØ Ö ÒØ Þ º ÁÑÑ Ö Ò Ò ØÙÙÖ ÙÒ ÒÒ Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ò Ù Þ Ð Ð ÜØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ ØÓ ÚÓ Ò Ò Ö Ú Ò Ò Ý Ø Ñ Ù Ø Ö Ò Ò Ú ÐÐ Ò Û ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ð ÓÔ Ö Ú Ò ÛÓÖ Øº ÌÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ m Ö Û Ð Ð Ò Ý Ø Ò Ø Ò Ñ Ð Ò Ø ÞÓÑ Ö Ò Û ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ô Ú Ò Ø ÐØ Ú Ø Ñ µ Þ Ò Ö ÓÓ ÒÛ Þ Û ÒÒ Ö Ø ÐØ Ò Û Ò Ò Ö Ø ÚÓÓÖ Ò Ú Ò Û ÖÒ Ñ Ö K = 0 Û ÔÖ Ò Ò ÓÓ ÓÚ Ö Ö٠ع Ò Ö Ò Þ Ð Ò E = m 2. ¾½ µ Ø Û ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ù Ø Ò ØÙÙÖ ÙÒ º À Þ Ø Ø Ð Ñ Ò Ò Ö Ñ Ø Þ Ñ Ö Ø Ð Ò Þ Ñ Ñ Ð 2 Ò Ø Ø Ò Ö Þ Ò Ø Ð Ø Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÓÖ Ò Ö Ò Ò Ö Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Ø Òº À Ø ÖÓÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ú Ð Ò Ö ÚÓÓÖ Ò Ú Ò Ñ m ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ð Ø Ø Ò Ñ ÓÔ Þ Ò Ñ Ò Ø Þ Ó Ú Ð Ò Ö Ñ Ø Þ Ñ Ö Øº Ò ÚÓÓÖ Ð Ò Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ö Ø F Ò x¹ö Ø Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö V F = dv dx Ó Ø Û Ð Ò Ñ Ø Ö ÖÓÓØ Ù Ø ÖÙ Ø Ð Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö º
22 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼¾ Ê ÙÑ Ö Ò ÒÙ ÚÓÐ Ø ÓÒÞ ÙÞ ÚÓÓÖ Ð Ö Ò Ò ÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò Ø ÚÓÓÖ ÑÔÙÐ Û ÖÚ Ò i¹óñôóò ÒØ Ò Ò Ø Ö Ù Ö Ò ØÓØ ÑÔÙÐ ÞÓ Ð Ò Ò ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ò Û ÒÙйÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ð Ø ÓÚ Ö Ò Ø ÓÑ Ò Ñ Ø Ò Ö Ú Ò Ø ÐØ º Ï Ö Ú Ò Ò ÓÓ Û Ö Ò Ð Ø p µ = E p x p y p z, ¾½ µ E = γm 2, p i = γmv i. ¾½ µ Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ò ÓÑ Ø ØÙ Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ò Ú Ö Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö ØÙ Ò Ò ÖØ Ð Ý Ø Ñ Òº Å Ø Ò Ñ ÐÓÖ ÒØÞØÖ Ò ÓÖÑ Ø Û Ö Ò ÓÔ Þ Ó Ø Ò ÓÔ Þ Ð Ñ Ò Ö Ø Ø ÒØ Ø ØÛ Û ÖÒ Ñ Ö Þ Ò x¹ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ð v Û Ò Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò Ð Ö Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ö E Ò E µ Ò ÑÔÙÐ p x Ò p xµ Ñ Ø Ò Ú Ò Ò Ò ØÞ Ð ÐØ Ò Ø Þ Þ ØÓØ Ð Ö Ú Ö ÓÙ Ò Ð E = γ ( E ( ) ) v px p x = γ ( p x v E ) 2 p y = p y = p z p z p 0 p 1 p 2 p 3 = γ βγ 0 0 βγ γ p 0 p 1 p 2 p 3 pµ = Λ µ νp ν ¾½ µ ÓÚ Ò Ò ÙÒÒ Ò Û ÓÒØÖ Ø p µ p µ Ú Ò Ú Ö ÑÔÙÐ Ñ Ø Þ Þ Ð Ò Ñ Ò ÓÑ Ø Û Ð Þ Ò Ò Ø ÓÒØÖ Ø Ú Ò Ò Ú ÖÚ ØÓÖ Ñ Ø Þ Þ Ð ÐØ Ò ÒÚ Ö ÒØ ÓÔÐ Ú Öغ À Ø Ò ÒÚÓÙ ÓÑ Ò Ø ØÓÒ Ò Ø Þ ÒÚ Ö ÒØ Ð ÓÔ Ò ØÓÖ 2 Ò Ò Ñ Ú Ò Ø ÐØ Ò Ø Û Ö Øº Ö Ð Ø η µν p µ p ν = ( E ) 2 + p 2 = m 2 2 γ 2 + m 2 v 2 γ 2 ( ) v 2 = m 2 2 γ (1 2 = m ) 2 2. ¾½ µ Ø Ð Ø Ò ØÓØ ÚÓÐ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø ØÙ Ò Ò Ö Ò ÑÔÙÐ E 2 = p m 2 4. ¾¾¼µ Þ Ò Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ö ÚÓÒ Ò Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ñ Ö Ò ÔÖ Ø ÓÑ Ø ÔÖ Ö Ö Ò ÓÑ Ø Þ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÐØ Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ Ù Ø Ø Ö Ò Ò ÞÓÒ Ö Ò Ð v Ú Ò Ø ÐØ Ø Ó Ú Ò ÒÒ Òº Å Ø Ò Ñ Ò ÐØ Ý Û Ö Ñ Ò Ú ÑÔÙÐ Ò Ú Ò ÐØ Ø Ö Ò Ñ Ø Ò Ò ÐÓÙØ Ö ÙÒ Ò Ð ÛÓÖ Ø Þ ÓÖÑÙÐ Ú Ð Ö٠غ À Ø Ð Ò Ú Ò Ò Ö Ò Ò ÑÔÙÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Þ Ð Ð Ò Æ Û¹ ØÓÒ Ò Ñ Ò º Ö Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ò Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐ ÓÙ Ò Ö Ò Ù Ø Ð Ñ Ö Ð Ò Ö Ú Ö Ð Þ Ù Ø ÖÙ Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ Ñ Ö Ø Û Ö Ø Ú Ò Ò Ö Ö ÑÓ Ø Ù ÒÓ Ò ÛÓÖØ Ð ÛÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ÆÙ Ø Ò Û Ö Ø Ú Ö Ð Ò ÐØ ØÛ ÓÔÐÓ Ò Ò Ò Ñ Ø Ò ÔÐÙ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ ÒØ Òº Ð Ø Ø ÓÔÐÓ Ò Ù Ø ÓÔ ÐØ Ñ Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ö Ø Û Ø Ú Ö Ð Ò ¾½ µ ÒÓ Ò Ø À Ø ÓÖÖ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ú Ò Þ Ò ÙÛ ÓÔÐÓ Ò Ò Ð È ÙÐ Ö ØÓØ Ø ÚÓÓÖ Ô ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ø Ò Ú Ò ÒØ Ñ Ø Ö º
23 ËÈ Á Ä Ê Ä ÌÁÎÁÌ ÁÌËÌÀ ÇÊÁ ½¼ ÖÓÓØ Ò Þ Ò Ø Ð Ú ÖØ ÒÓÖÑ ÚÓÓÖ Ð Ò ÓÔ Ø Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ò Ñ Ò ÔÖÓ Òº À Ø Ð Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ø ÒÓ Ø Ð Ø ÚÓÓÖ ÓÒÞ Ò ÙÛ Ù Ø ÖÙ Ò Ò ÚÓÓÖ Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ØÓÓÒØ Ò Ø Þ ØÛ ÖÓÓØ Ò Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ø Ò Ý ÔÖÓ Òº Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ÖÑ Ø Ò ÓÑ Ñ Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐ Ø Û Ö Ò Û ÒÒ Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÛÓÖ Ø ÓÙÛ º À Ø Ö ÒÙ Ú Ò Ð Ò ÓÑ Ø Ú Ö Ð ØÙ Ò ¹ ÓÙ Ò³ Ò ÒÚ Ö Òس Ø ÓÒ Ö ØÖ Ô Ò Ò ÖÓÓØ ÓÙ Ò Û ÒÒ Ö Ð Ø Ø Þ Ò Û Ö ÚÓÓÖ Ò Ò Ò ÔÖÓ Þ Ð Ò ÖÓÓØ ÒÚ Ö ÒØ Ð Ð Ø Ø Þ Ò Û Ö ÚÓÓÖ ÐÐ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð Ø Ð Ð Þ Ð º Ò Ð ÚÓÓÖ Ð Ò Ð Ø Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÙ Ò Ñ Ú Ò Ò ÐØ ÒÚ Ö ÒØ Ñ Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÓÙ Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÐØ ÓÙ Ò Ñ Ö Ò Ø ÒÚ Ö ÒØ Ò Ð Ò Þ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÞÓÛ Ð Ò Ø ÓÙ Ò ÒÓ ÒÚ Ö Òغ ÆÓ Ò Ð ÛÓÓÖ Ò ÓÚ Ö Ò Ð Òº Ó Ð Ð ÔÖÓ Ò ÚÓÐ Ø Ù Ø Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ú Ò Ò Ø Ò Û ÖÙ Ø Û Ò Ð Ø Ò ÚÓÐ Ò Ø Ø ÓÒÑÓ Ð Ò ÐØ Ò ÐÐ Ö Ø Þ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ø ÚÓÓÖ Ò Ò Ð Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ð Øº ÚÖ Ó Ö Ò Û ÖÒ Ñ Ö Ø Ø ÚÓÓÖ Û Ø ÐØ Ò ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ð Ø ÒÓ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÑ Òº Å Ø Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ò ÚÖ ÒÙ Ò Ø ÛÓÖ Ò ÒØÛÓÓÖ Ò Û Ð Ð ÚÓРغ Ù Ø ÖÙ Ò Ú Ò Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ú ÖØ ÐØ ÓÒ Ø Ö Ò Ò ÐØ Ø Þ Ø Ò ÓÔÞ Ø Ú Ò ÓÒ Ñ Ø Ò Ð v Û Ø Ò Ò Ö E Ú Ö ÓÐ Ò º ÇÑ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÓ Ð Þ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ó Ú Ð Ò Ö ÒÓ ÓÑ Ò ÐØ Ú ÒÙ Ø Ø Ð Ø Ò ØÓØ Þ Ò Ð Ø Ú Ö Ò ÐÐ Òº Ð Û ÒÙ Ò ÐØ Ò Ö Ð Ø Ò Ð Û ÐÐ Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ð Ø v = Ò ÛÓÖ Ø ÒÓ Ñ Ö Ú Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ò ÒÙÐ ÒÓ Ò Ö E ÛÓÖ Ø ÓÒ Ò ÖÓÓغ Ø Ò Ò Ö Ñ Ò Ö Ú Ò Þ Ò Ø Ø ÓÒÑÓ Ð Ò ÐØ Ð Ø Ò Ð Ø Ú Ò À ÖÑ Ò ÓÓ Ò ØÓÓÒ Ø ÐØ ÚÓÓÖ Þ Û ÖÒ Ñ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ö ÙÒÒ Ò Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ò Ò Ð Ö Ð ÚÓÐ Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ò Ö Û ÖÒ Ñ Ö Ø ÐØ Ò ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ø Ò Þ Ò Û Òº Ö Ò Ù ØÞÓÒ Ö Ò ÓÔ Þ Ö Ðº ÇÑ ØÓØ Ò Ö E Ú Ò Ø ÓÑ Ò Ò Û ÓÔ Ñ Ö Ø Ø Ò ÐØ Ñ Ø Ò Ð v = ÒÓ Ñ Ö Ò Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ñ Ø Ò ÒÙÐ Ò Ð Ò ÓÓÖ ÒÙÐ Ø ÓÒ Ò º Ø Ò Ö Û Ö Ñ Ø Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ò ÒÙк Ð Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ò Ö Ù ÓÓ Ð Ò ÒÙÐ Ð Ú ÖØ Ð Ò ÓÓÖ ÒÙÐ Ò Ø ÐØ Ñ Ö ÓÒ Ò ÓÔº Û Ö Ú Ò Ù Ø ÓÑ Ø Ò ÓÒ Ô Ð Ò Ð Ú Ò ÓÒØ ÜØ Ò Ö Ø Ò Ù Ø ÓÑ Òº À Ö Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ö Ú Ò Ö Ù Ñ Ú Ò Ø ÐØ Ù Ð Ñ Ø Ð Þ Ø Ø ÖÒ Ö Ù Ø Ø Ö Û Ð Ð ÐØ ÞÓÙ Ò ÙÒÒ Ò Ø Ò Ñ Ø ÔÖ Ð Ø Ò Ð Û Ò Ñ Ø Ñ Ú Ò ÞÙÐ ÐØ Ñ Ö Ð Ò ÒÙÐ º ÙÐ ÐØ ÒÒ Ò Û ÓØÓÒ Ò ¼ Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Ò Þ Ò Ò Ö Ò Ñ Ð Ò ÒÙк Ø ÚÓÐ Ø Ù Ø ÐÐ Ñ Ø Ò Ò Ñ Ö Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÑ Ø Þ Ò Ø Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÓ ÚÓÐ Ø Ù Ø ÔÙÙÖ Ø ÓÖ Ø ÓÚ ÖÛ Ò Òº ÑÔÙÐ Ú Ò Ò ÓØÓÒ Ø Û Ö E = p º Ó Ð Ð Ö Û Ö Ð Ø Ø Ò Ö Ø ÚÓÐ Ø Þ Ò Ú Ò Ñ Ò ÓÛ Ñ ØÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô ÚÖ ÒØ Þ Ò Ò Û Ø Û Ö Ú Ò Ò Ö Ú Ò Ò ÓØÓÒ Û Ø Ö Ù Ø ÓÑ Ø Ú Ò ÒÙÐ Ð ÓÓÖ ÒÙÐ Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ó Ø Ò Ù Ø ÔÖ º Ø Ø ÒØ Ò Ø Ø Ö Ò ÒØÛÓÓÖ Ø Ø ÚÓÓÖ Ò Ö Ú Ò Ò Ñ ÐÓÓ ÐØ Ñ Ö ÐÐ Ò Ø Þ Û Ö Ò Ø ÓÓÖ Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ó ÓÓÖ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ô Ð Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø Ò Ò Ö ÓÖÑÙÐ ÒÓ º ÁÒ Ø Ú Ð Ú Ò Ò ÓØÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÑ Ö ÓÒÐÙ Ò ÓÓ ÛÓÖ Ò ØÖÓ Ò Ù Ø Ú Ö Ð Ò ¾½ µ Ð Ò ÐØ Ò Ñ Ð Ò ÒÙÐ ÞÓÙ Ò Ñ Ö Ò Ø ÞÓÙ Û Ò Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÞÓÙ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ö ÒÙÐ Þ Ò Ò ÖÑ Ð Ù Ø ÖÙ Ò ÚÓÓÖ Ò Ö º ÐØ ÞÓÒ Ö Ò Ö Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ø Ò Ö µ Ò Ù ÚÓÐ Ø ÒÙ ÓÓ Ø Ð Ò ÐØ Ò Ñ Ø Ø ÒÓÓ Þ Ð ÖÛ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð ÑÓ Ø Û Òº ¼ Ö Þ Ò ÒÓ Ñ Ö Ñ ÐÓÞ ÐØ Ñ Ø Ð Ø Ò Ð Û Ò ÐÙÓÒ Ò Ò Ö Ú ØÓÒ Òº ÎÓÓÖ Ø Ñ ÔÖ Ò Û ÐÐ Ò ÓÚ Ö ÓØÓÒ Ò Ñ Ö ÑÔÐ Ø Ó Ð Ò Û Ö ÐÐ Ñ ÐÓÞ ÐØ Ñ º
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÖÙ Ö ¾¼½¾ Ø Ø Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð ÜØÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Û ÙÒ Ð ÙÖ Òµº À Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Ò Ñ
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò
Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÖÙ Ö ¾¼½½ Ø Ø Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ó Ô Ö Ø Ú Ô ÐØ ÓÖ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò Ð ÙÞ ÑÓ ÙÐ ÚÓÓÖ Ø Ú Ï ÙÒ º À Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Ò Ñ Ö Û
ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö
ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ Ñ ÖØ ¾¼½½ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø ÀÙÙ Ú Ò Ò ÀÓÙØ Ú Ò ¾ ÓÐÐ Ó Ò¹ ÒÐÝ ÙѺ Ø Ö
Ò Ö Ó ÖØ ÀÙ Ð ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½¼ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Â Ò ÃÓÐ Ò Ú Ò Ø Å ÐÐ À ÐÐ ÓÐÐ Ø Ó ÖÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Û ÙÒ» ÓÔ ÍÚÌ ÁÒ ¾¼¼
Å ØÖ ÜÖ Ò Ò ÖØ ÀÙ Ð
Å ØÖ ÜÖ Ò Ò ÖØ ÀÙ Ð ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½½ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Ä Ñ ÖØ Ú Ò ËØÖ ØÙÑ Ú Ò Ø Å ÐÐ À ÐÐ ÓÐÐ Ø Ó ÖÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Û
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÁÒ ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò Û Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð º ÓÒ ÔØ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ö Û Û Ø Ò
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁË À ÃÇËÅÇÄÇ Á ½ Ê Ð Ø Ú Ø Ó ÑÓÐÓ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÁÒ ÚÓÖ ÓÓ ØÙ Ò Ò Û Ô Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð º ÓÒ ÔØ Ò Ú Ò ÖÓÑ ÖÙ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ö Û Û Ø Ò Û Ð Ú Ö Ò Ö Ø Ø ØÙ Ò Ñ ØÖ Ò ÒÛ Þ Ñ Ò Ò Ö Ò Þ Ò Ò Ø
r = x i + y j + z k. a = lim dt. dt = d2 r
¾ ÃÄ ËËÁ à ŠÀ ÆÁ ½ ¾ ÃÐ Ñ Ò ¾º½ ÁÒÐ Ò ÁÒ Ñ Ò Û ÐÐ Ò Û Ò Ò Ú Ò ÐØ Ó Ñ Ö Ð Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Û Ð Þ Ò Ú ÖÞ Ñ Ð Ò Ò Ú Ò Ð µ Ö Ú Òº ÇÑ Ò Ö Ð Ö Ú Ò ÑÓ Ð Ø Ñ Ò Þ Ò Û Ò Û ÐÐ ÙÖ Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ð Ð Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÖÙ ÑØ
ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Ê ÑÓÒ Ú Ò Ò Ö
ÈÖ Ñ Ø ÐÐ Ò ² ÖÝÔØÓ Ö Ê ÑÓÒ Ú Ò Ò Ö ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÙÒ ¾¼½¼ Ø Ø Ø Ö Ú Ò ÓÑ ÖÙ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐ Ö Òº Ø Ø Ø ØÓØ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÓÖ Ñ ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Â Ú Ò ÃÖ Ò Ú Ò ØÖ ÜÓÐÐ Ø Ì Ð ÙÖ º Ø Ø Ø Ó Ð
Ø p = q = r = 0º. A = A 1 i + A 2 j + A 3 k. ½º A + B = (A 1 + B 1 )i + (A 2 + B 2 )j + (A 3 + B 3 )k. ¾º ca = ca 1 i + ca 2 j + ca 3 k
ÈÈ Æ Á ¹ ÄÁÆ ÁÊ Ä Ê ½ ¼ ÔÔ Ò Ü ¹ Ä Ò Ö Ð Ö º½ º½º½ Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ Ö Ö Ð ÖÙ ÑØ Ë Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ï ÓÒ Ö Ò Ð Ö Ò Ó Ð Ö ÖÓÓØ Òµ ÓÓÖ Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ Ò ÞÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÙÖº Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò Ò Ò Ø Ð Ô Ð ÖÓÓØ
¾
½ Ö Ú Ø Ø Ò Ó ÑÓÐÓ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÂÓ ÒÒ ºÂº Ú Ò Ò Ö Ò Ö º Å Ö Ö Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ò Æ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ØÙÙØ ÚÓÓÖ Ù ØÓÑ Ö Ý ¾ ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒÐ Ò ¾ ÃÐ Ñ Ò
à ÌÀÇÄÁ à ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÁÌ Ä ÍÎ Æ ÍÄÌ ÁÌ ÌÇ È ËÌ Ï Ì ÆË À ÈÈ Æ È ÊÌ Å ÆÌ Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁ Ã Ã Ø ÐÔ Ö Ö Ò Ö ½¼ ¼¼½ Ä ÙÚ Ò À Ú ÖÐ µ ËÍ Æ Æ Ê ÉÍ Æ ß ÇÅ ÁÆ ÈÌÁÎ ÁÄÌ ÊÁÆ Ì ÀÆÁÉÍ Ë ÇÊ ËÈ À ÆÀ Æ Å ÆÌ ÁÆ À Æ Ëß Ê ÇÅÅÍÆÁ
Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator)
Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Modelgebaseerde Cardiovasculaire Pathofysiologie Vakcode: 8VB20 Datum: 27-06-2016 Begintijd: 13:30 Eindtijd:
ÉÙ ÒØÙÑÑ Ò ÀÇÎÇ ÍÊËÍË Æ Ö ¾¼¼ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÁÒ º º º º Ú Ò Ò Ö Ò ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ½
ÉÙ ÒØÙÑÑ Ò ÀÇÎÇ ÍÊËÍË Æ Ö ¾¼¼ ÓÓÖ ÈÖÓ º Ö ÁÒ º º º º Ú Ò Ò Ö Ò ÙÐØ Ø Ö Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ò Æ ØÙÙÖ ÙÒ Ò ËØ ÖÖ Ò ÙÒ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ½ ¾ ÓÒØ ÒØ ½ ÏÁËÃÍÆ Á ÁÆÌ ÊÅ Ç ¹ Á ½º½ Î ØÓÖÖ Ò Ò ÓÚ
Ò Ò Ð Ï ÙÒ ÐÐ Â Ò Ò ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ À Ö ÖØ À Ñ Ö Å Ö ÉÙ ÒØ ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ì Ð ÙÖ ÔÖ Ð ¾¼½½ Ø Ø Ø Ò Ò ÙÛ Ú Ö Ú Ò Ø Ò ¾¼½¼ Ú Ö Ò Ò Ø Ø ÁÒÐ Ò Ò Ò Ò Ð Û ÙÒ º À Ø Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ò Ò Ð Û ÙÒ Ò Ò ÖÙ Ø ÛÓÖ Ò ÙÞ ÑÓ ÙÐ ÚÓÓÖ Ø
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN ÙÐØ Ø ÁÒ Ò ÙÖ Û Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÔÖÓ º Öº Öº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ Ñ Ö ¾¼¼ ¾¼¼ ÇÒØÛ Ð Ò Ú Ò ÑÙÐØ Ñ Ð Û ÔÔÐ Ø Ñ Ø Å ÖÓ Ó Ø Ë ÐÚ ÖÐ Ø ÖØ ÄÓÓ
ÇÔØ ÒØÛÖÒ ÒÙÛ ØÖÒ ÓÒ ÚÖÒÒÒ ÖØ ÙÐÖ Ò ÂÓÖ ÃÐÚÖ ¾ ÒÙÖ ¾¼¼½ ÁÒÓÙ ÓÔÚ ½ ÁÒÐÒ ¾ ¾ ÌÒÓÐÓ ¾ ¾º½ ÁÒÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÏÅ ßÒ ÏÚ Ú ÓÒ ÅÙÐØÔÐÜÒ º
Ó Ë ÙÐ Ò Ó Ë ÙÐ Ò Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö ½¾ ÅÓÓÐÝ Ë Ú Ì Ð Ú Ú ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö ½¾ ÅÓÓÐÝ Ë Ú Ì Ð Ú Ú ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä Ú Ð È Ö ÐÐ Ð Ñ ÁÄȵ Ö Ø ØÙÖ Ô Ð Ó ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ü ÙØ ÓÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò ØÖÙØ
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ËØÖ Ò ¹Å Ø Ò ÓÚ Ö ËÙÆÜ ÌÖ Ó Í ÓÒ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò Èº Ǻ ÓÜ ¾ Ë ß¼¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò ÒÐ Ò Ñ Ð Ù ÓÒ Ò ºÀ Ð Ò º Á
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ËØÖ Ò ¹Å Ø Ò ÓÚ Ö ËÙÆÜ ÌÖ Ó Í ÓÒ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò Èº Ǻ ÓÜ ¾ Ë ß¼¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò ÒÐ Ò Ñ Ð Ù ÓÒ Ò ºÀ Ð Ò º Á ØÖ Øº Ì Ð Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ Ò ßÑ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ø ÐÓ¹
Ò Ø ÓÑ Ò ÄÈ ËÓÐÚ Ö ÓÒ ÌÓÔ Ó Å ÖÙÖÝ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò ÃºÍºÄ ÙÚ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ ÖÛ Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ò ºÚ Ò Ø Ð Öغ ÑÓ
Ò Ø ÓÑ Ò ÄÈ ËÓÐÚ Ö ÓÒ ÌÓÔ Ó Å ÖÙÖÝ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò ÃºÍºÄ ÙÚ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÙØ ÖÛ Ø Ò ÔÔ Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ò ºÚ Ò Ø Ð Öغ ÑÓ Ò Ö º Ò Ò º ÙÐ ÙÚ Òº º ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö Ò Û ÑÔÐ
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ï ÙÒ ÚÓÓÖ Ö ÓÒÓÑ Ò À Ö ÖØ À Ñ Ö Ó Ã Ô Ö ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ Å Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÚ Ö Þ Ò Ò Ö Ù Ø Ú Ò ÙÒØ Ù Ú Ö Ö Ò Ë Ù ÃÐ ÒØ Ò ÖÚ ÈÓ Ø Ù ¾¼¼½ ¾ ¼¼ Ò À Ø Ðº ¼ ¼µ ¼ ÛÛÛº ÙºÒл ÖÚ Ö Ø ÖÙ Ú Ò Ø Ó Ú Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ø
ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ ÙÐØ Ø ÌÓ Ô Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÄÁ˵ ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÈÖÓ º Öº ÁÖº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ ÙØÓÑ Ø ÒÖ Ð Ø Ú Ò ÑÙÞ Ú ÙÔÔÓÖØ Ú Ø
ÍÒ Ú Ö ØØ ÒØ ÙÐØØ ÌÓ Ô Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÐØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ø Ñ Ò ÄÁ˵ ÎÓÓÖÞ ØØ Ö ÈÖÓ º Öº ÁÖº º Î Ò ÑÔ Ò ÓÙØ ÙØÓÑ Ø ÒÖ Ð Ø Ú Ò ÑÙÞ Ú ÙÔÔÓÖØ Ú ØÓÖ Ñ Ò Å ØØ Î Ö ÛÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Öº ÁÖº ºȺ Å ÖØ Ò Ì
ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ
ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ ÄÓÒ Ú ØÝ Ê Ò Ä ÁÒ ÙÖ Ò ÈÖÓ ÙØ ÈÖÓ Ö Ø Ø Ö Ú Ö Ö Ò Ú Ò Ö Ú Ò ÓØÓÖ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú Ò Ì Ð ÙÖ ÓÔ Þ Ú Ò Ö ØÓÖ Ñ Ò Ù ÔÖÓ º Öº È º Ð Ò Ö Ò Ø ÓÔ Ò Ö Ø Ú Ö Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ø Ò Ú Ò Ò ÓÓÖ
(a n cosnx + b n sin nx) = 0 ½µ 2 + =: P (ω+1), P (n) =: P (ω), n=1
Å Ò ÒÐ Ö À ØÓÖ Ò ÖÙÒ Îº à ÒÓÚ Òº µ Ϻ ÈÙÖ ÖØ Òº ½ ¾ µ ½ ÁÒ ÐØ ½º ÒÐ ØÙÒ ¾º ÒØ Ø ÙÒ Ù Å Ò ÒÐ Ö º Ö Ö Ò ÚÓÒ Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÊÙÑ Ò ÞÙÖ Ô Þ ÐÐ Ö Ò Ì ÓÖ Ö Ñ ØÖ Ò ÊÙÑ º ÙÖ Ê Þ ÔØ ÓÒ Ö Å Ò ÒÐ Ö º À Ù ÓÖ ÙÒ ÄÙ Ò º
ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç ÇËÄÇ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø ½ Ê Ö Ê ÔÓÖØ ÆÓº Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö Ö Ó Ë Ò Ö Á Ò ¾¹ ¹ ¼ ¹¾ Á Ò ¼ ¼ ¹ ¼ Â ÒÙ ÖÝ ¾¼
ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç ÇËÄÇ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø ½ Ê Ö Ê ÔÓÖØ ÆÓº Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö Ö Ó Ë Ò Ö Á Ò ¾¹ ¹ ¼ ¹¾ Á Ò ¼ ¼ ¹ ¼ Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ÌÓÛ Ö ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð ØÖÓÒ ÓÒØÖ Ø Ö Ø Ò ÈÖ Ö Ù Ö
ÌÝÔ ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÖ Ò Ö ÌÖ Ú Ö Ð Ê Ð ÄĐ ÑÑ Ð ½ ¾ Ò ÂÓÓ Ø Î Ö ½ ½ ÏÁ ÃÖÙ Ð Ò ½ ÆĹ½¼ ËÂ Ñ Ø Ö Ñ ¾ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ð Ð Ò ½¼ ½ ÆĹ½¼ ½ ÀÎ Ñ Ø Ö Ñ Ñ Ð Ê Ð ºÄ
ÌÝÔ ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÖ Ò Ö ÌÖ Ú Ö Ð Ê Ð ÄĐ ÑÑ Ð ½ ¾ Ò ÂÓÓ Ø Î Ö ½ ½ ÏÁ ÃÖÙ Ð Ò ½ ÆĹ½¼ ËÂ Ñ Ø Ö Ñ ¾ ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ð Ð Ò ½¼ ½ ÆĹ½¼ ½ ÀÎ Ñ Ø Ö Ñ Ñ Ð Ê Ð ºÄ ÑÑ Ð ÂÓÓ ØºÎ ÖµÛ ºÒÐ ÏÏÏ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÒл Ö Ð Ú Öµ»
ÇÒÐÒ Ò ÓÐÙØ ÛÖ Ç ÚÒ Ò ÓÒÐ ÒÖ ÒÖ ÓÚÖ Ø Ò ÛÖ Ö Ø ØÓÖ ÝØ Ó ½Ýص ÚÖÒÚÙÐ Ò Ó ÓÒÐ Ø ÛÖÒ ÓØ ØÓÖ ÔÓ Ø ÞÒ ºÛºÞº Ý Ò Ø ÓØÒ ØÞÐ ØÒ Òº Ï ÞØØÒ Ò ÔÔÒ ÓÚÖ ÓÒÐÒ Ö ÓÔ
ÓÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓÔ ÏØÒ Ô ² ÌÒÓÐÓ ËÔØÖ ¼¼ ÇÒÐÒ Ò ÓÐÙØ ÛÖ ÚÖ ÙÒ ¼¼µ ÁÒÐÒ Þ ÓÙÐ ÓÔÚØ Ð Ò ÞÐ ØÙÓÙÐ Ø Ø Ò ÙØÖ ÓÚÖÞØ ÚÒ ÞÖ ÙØÒÐÓÔÒ Ò ÔÔÒ Ø Ò Ò Ø ÓÒÐÒº ÓÙÐ Ò ÓÓ ÖÙØ ÛÓÖÒ Ð Ò ÐÛÖº ÁÒ ÓÖÙÖ Ù ÛÓÖÒ
Ð Ö Î Ö Ò ÂÓ Ò ÃÐ ÔÔ ÐÐ Â Ò Ò
ÐÖ ÎÖÒ ÂÓÒ ÃÐÔÔ ÐÐ ÂÒ Ò ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÌÐÙÖ ÑÖØ ¾¼½½ Ø ØØ ÖÚÒ ÓÑ ÖÙØ Ø ÛÓÖÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ð Ò ÚÓÓÖ Ò ÎÏÇ ÓÐÖÒº Ø ØØ ØÓØ ØÒ ÓÑÒ ÓÓÖ ÑÒÛÖÒ ÑØ Ê Ð ÚÒ ËØÐ ÝÑÒ ÙÑ ¹ÀÖØÓÒÓ º Ø ÖÚÒ ÚÒ Ø ØØ ÖÙ ÑØ ÚÒ Ø Ó ÁÒÐÒ Ò ÒÐÝ ³ ÓÓÖ
ÇÚ ÖÞ Ø ÁÒÐ Ò ÜÔ ÖØ Ý Ø Ñ Ò Ö ÑÑ Ò Î Ð Ú ÐÙ Ø Ò Ò Þ Ö Ø Ö ÜØÖ ÓÔÑ Ö Ò Ò Ë Ñ ÒÚ ØØ Ò Ê Ö Ò ÀÓ ÓÒØÛ ÖÔ Ò Ú ÖØÙ Ð Ö Ý Ò Ø À ÖÑ Ò Ö ÆÎÚ ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØ
ÀÓ ÓÒØÛÖÔ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÀÖÑÒ Ö ÆÎÚ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØÒ Ø ÓÒÖ ½ ÔÖÐ ¾¼½½ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ½ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÁÂÞÖØÖ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ¾ ÀÓ ÓÙÛ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÓÙ Ø ÒÙ ÛÐ ÓÒ ÏÖÓÑ ÒØ
¾ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ½ ØÐÐÒÚÖÞÑÐÒ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ÙÒÒÒ ÞÒ ÛÓÖÒ Ð ÚÓÐÒ ÚÖÞÑÐÒ ¾ Ò ¾ ½ ÅØ Ð Ò ÐÐÒ Ð Ò Ï ÚÓÓÖÞÒ Þ ÚÖÞÑÐÒ Ó Ò ÒØÙÙÖÐ ÑÒÖ ÚÒ Ò ÓØÐÐÒ Ò Ò ÚÖÑÒÚÙÐÒ µ µ µ µ
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓ ÏØÒ ² ÌÒÓÐÓ ËØÑÖ ¾¼¼ ÓÑÐÜ ØÐÐÒ ÚÖ ¾ ÙÒ ¾¼¼µ ÁÒÐÒ Ò Ø Ò Ð ÐÒ ÛÓÖ ØÐ ÑÒ Ò Û ÙÒ ÑØ Ø Ø Ø Ö ØÓØ Ò Ò ØÐÐÒ Ò ÓÐÓ Ò Û ÚÓÓÖ ÚÖÐÒ Ü ¾ ½º ÁÒ ½¼ ÖÒ Ò ÁØÐÒ Û ÙÒ ÓÑÐÐ ½ ÑØ Ò ÒÙÛ ÓÓÖØ
Stad B. Stad A. jaartal
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓÔ ÏØÒ Ô ² ÌÒÓÐÓ ËÔØÑÖ ¾ ÜÔÓÒÒØĐÐ Ò ÐÓÖØÑ ÙÒØ ÚÖ ¾ ÙÒ ¾µ ÁÒÐÒ ÁÒ Þ ÑÓÙÐ ÛÓÖØ ÜÔÓÒÒØĐÐ Ò ÐÓÖØÑ ÙÒØ ÔÖÓÒº Ð ÒÐÒ ÒÐÒ Û ÒÐ ÚÓÓÖÐÒ ÚÒ ÖØ ÜÔÓÒÒØĐÐ ÖÓ ÚÓÐÒ ÖÓ Ò Ò Ø ÐÒ Ò ÔÖ ÛÖ
ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÇÚÖÞØ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÁÂÞÖØÖ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ¾
ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÀÓ ÓÒØÛÖÔ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ÀÖÑÒ Ö ÆÎÚ¹ ÝÑÔÓ ÙÑ Ò ÏÓÙ ÓØÒ Ø ÓÒÖ ½ ÔÖÐ ¾¼½½ ÀÖÑÒ Ö ÇÒØÛÖÔ ÚÒ Ò ÚÖØÙÐ Ö ÝÒ Ø ½ ÇÚÖÞØ ÁÒÐÒ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò ÞÖØÖ ÜØÖ ÓÔÑÖÒÒ ÇÚÖÞØ ÎÐ ÚÐÙØ Ò Ò
Ò ÒÐ Ò Ò Ð ÙÒ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ
Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒ ÀÖÖØ ÀÑÖ ÐÐ ÂÒ Ò ÅÖ ÉÙÒØ ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÌÐÙÖ ÑÖØ ¾¼½½ Ø ØØ Ø Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒº ÁÒ Ð ÙÒ Ò Û Ó Û Û ÙÒ ÙÒÒÒ ÖÙÒ ÓÑ ÓÔÖØÓÒÐ ÔÖÓÐÑÒ ÖÚÒ Ò Ò ØÐÐÒÒ ÙÒÒÒ ÓÔÐÓ Òº Ø Ú ÚÓÓÖÐ ØÓØ ÐÓ ØÒ ÌÛ ÏÖÐÓÓÖÐÓº ÁÒ ÒÐÒ Ò ÎÖÒ
ÁÒØÖØØÒÒ Ù ØØÙØ Ò ÖØĐÐ ÒØÖØ ÈÖÑØÚ ÙÒØ Ð Ò ÓÒÐ Ò¹ ØÖÐÒ ÒØ º ÈÖÑØÚ ÙÒص Ò ÙÒØ ÑØ ÓÑÒ Á Ò Ò ÙÒØ Ò ÖÑØÚ ÙÒØ ÚÒ Ð ¼ µ µ ÚÓÓÖ ÐÐ Á ÒØ º ÇÒÐ ÒØÖе ÓÒÐ ÒØÖÐ Ú
ÓÑÖÙÖ Ù Ï ÙÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ÖÓ ÏØÒ ² ÌÒÓÐÓ ËØÑÖ ¼¼ ÁÒØÖØØÒÒ Ù ØØÙØ Ò ÖØĐÐ ÒØÖØ ÚÖ ÙÒ ¼¼µ ÁÒÐÒ ÁÒ Þ ÑÓÙÐ ÛÓÖØ ÞÖ ÓÖØ ÒØ ÚÒ ÓÒÐ ÒØÖÐÒ ÖÐ ÚÒÐ Ø ÚÖÒ ØÙ Ò Ð Ò ÓÒÐ ÒØÖÐÒº ÀØ Ò ÞÒ ÓÐÒ Ö Ó Ò Ø Òº ÏÐ ÛÐÐÒ Û
Op zoek naar een secundaire school. in jouw regio? Informatiebrochure secundair onderwijs regio Mechelen < =
a a aa a aa aa aa a a a a a a a a aa a a aa aa aa aa a a aa a a a a a a aa a ëa a aa a a a aaa a a aa a aa a a a a aa aaa a a aa aa a a a a a a aa aa aa aa aa a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a aaa
y a jdn + (153 m + 2)/ y + y/4 y/100 + y/
ÜÑÒ ËÖÔØÒØÐÒ ½ ÐÓÖ ÁÒÓÖÑØ ÔÖÓº Öº ÈØÖ ÛÝÒØ ÖÓÔ ½ ÑÒ ¾½¹¼¹¾¼½¼ ¼ ÑÖ ¾¼¼¹¾¼½¼ Ö Ø ÞØØ ÇÔÚ ½ ÇÒÞ ÑÒ ÚÖØÓÓÒØ ÞÓÒÑ Ò ØÐØÒ ÛØ ÛÐ ÞÒ Ø Þ Þ ÙÖÒ Ö ÓÑÐÓÓÔ ÖÓÒ Ö Ò ÚÖ ÐÐÒ ÒØÒ ÐØ ÞÒº Ø ÒÓÑÒ ÛÓÖØ ÚÖÓÓÖÞØ ÓÓÖ Ø Ø Ø
! " # $ % " & ' ( ) * ( " +, " - " & " $ % ".! / 0 ( " 1! ) * 2 3 5 6 7 8 9 : 6 8 ; 7 < 7 : 6 8 = >? 7 @ > = < A B ; 7 C 9 D E C 6 F 8 7 G 6 H I 7 8 A 7 9 8 7 @ @ 6 B =? > B ; 7 > : 8 7 : C 9 J A C ; 7
ØÖ ÙØ ÓÒ Ð ÈÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ËÊ Ë ÕÙ Ò Ò Ö Û ÃÐ ÔÔ Ö ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ý Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ËÊ ÕÙ Ò º Ì ¹ ÕÙ Ò Ú Æ ÒØ Ò Ö ØÓÖ Ò Ú Ú Ö Ð ÓÓ Ø Ø Ø Ð ÔÖ
ØÖÙØÓÒÐ ÈÖÓÔÖØ Ó ¹ËÊ ËÕÙÒ ÒÖÛ ÃÐÔÔÖ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ØÙÝ Ø ØÖÙØÓÒ ÔÖÓÔÖØ Ó ¹ËÊ ÕÙÒ º Ì ¹ ÕÙÒ Ú ÒØ ÒÖØÓÖ Ò Ú ÚÖÐ ÓÓ ØØ ØÐ ÔÖÓÔÖØ º Ï ÓÛ ØØ ÓÖ ¾ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÖÒ Ó Ò Ü Þ Ù ÕÙÒ «Ö ÖÓÑ Ø ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÖÒ Ý Ø ÑÓ
ÌÓ Ô Ò Ò ÖÓ Ô ÒØ ÓÖ ÄÙ ÓÙØ Ò ÂÓÖ ÅÓÓ Ù Ù ØÙ ¾¼¼
ÌÓ ÒÒ ÖÓÒØÓÖ ÄÙ ÓÙØÒ ÂÓÖ ÅÓÓ ÙÙ ØÙ ÎÓÓÖÛÓÓÖ Ø ÞÒ ÒØÒÒÒ Ø ÐØ ÙÙÖ ÖÓÒØÓÖ ÚÓÓÖ Ý º ÓÐ ÞÓÚÐ ÑÓÐ ĐÒ ÙØ Ø ÓÐÐ ÚÒ ÖØ ÀÑÒ Ø ÚÖÙÐÒ Ò Ò ÚÒ ÝÑÑØÖÖÓÒ ÚÒ ÑÓÐÙÐÒº ÎÖ ÚÓÓÖÐÒ ÛÓÖÒ ÖÐ ÓÒ ÕÙÒØ ÓÓÖ Ø Ð ÓÐÐ Ò ÑÒÓÑÒ ÛØÖ ÑÑÓÒ
ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÁÒ Ø ÚÓÓÖÖ ÚÒ ½ ÛÖ ÝÐÐÙ ÚÒ Öº Ⱥºź ÓÒÖØ ÖÙØ ÒÚÙÐ ÑØ Ø Ø ÚÐ ØÒÜÔÖÑÒØÒ Ò Ý ØÖÖÓÒÒ ÚÒ ØÓÖ ÔÖ Ò ÛÖÒ ¾ ÓÔÚÒ ÛÖÒ ÚÖÛÖغ Þ ÓÔÚÒ ÞÒ ÚÒÞÖ Ò ÐÒÖ ÓÒÖÐ
ÁÆÄÁÁÆ ÁÆ ËÈÁÄ ÊÄÌÁÎÁÌÁÌËÌÀÇÊÁ Ö ÓÔ ÝÐÐÙ ÚÒ Öº Ⱥºź ÓÒÖØ ÈÖÓº ÈÖÖ ÚÒ Ð ÁÒ ØØÙÙعÄÓÖÒØÞ ÆÖ ¾¼¼½ ÓÔÝÖØ Èº ÚÒ Ð Þ Ø Ø Ó Ò Ð ÖÚÒ Ñ ÒØ ÖÔÖÓÙÖ Ó ÐØÖÓÒ Ö ØÐ ÛÓÖÒ ÓÓÖ ÒÖÒ ÞÓÒÖ ØÓ ØÑÑÒ ÚÒ ÙØÙÖº ÁÒÓÙ ÎÓÓÖÛÓÓÖ
City Trip. City Trip. mit Scheveningen. City Trip! Den Haag. CityTrip. Auf zum nächsten EXTRATIPPS. City-Faltplan.
z Ië ë z C U C I XTTI C CT O C ß T 2 z z z O T C O T Oë z O T C T I C // z z ä O x ü C ß O [] 2,5 8 28, T I ë O 2O C 27 70 72 ü ü I0 0 Có Ò, I,,, 27 ( 0) T, 2 z 7 5 Ó z () ü 7 8 0 2 87 z I z 0 U 2 5 Ñ
Week 2: Midden-Amerika en Suriname
Week 2: Midden-Amerika en Suriname ²¼ ²»² ó Ú ³ ²¼ ²»² ±²»² ¼²¼»²»² ² ß³» µ ò Æ»»»º¼»² ² ª» ½»²¼» ³³»²ò Ü» ±² ¼»µµ ²¹» ¹» ݱ «³¾«±² ¼»µ»Ž øó ¼¼»²ó ß³» µ ª º ±²¼» ¼ ¹»»¼»²ò Ü ¾»»µ»²¼» ²» ª»» ¹±»¼ ª±± ¼»
ÃÌÀÇÄÁà ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÙÐØØ ÏØÒ ÔÔÒ ÔÖØÑÒØ Ï ÙÒ ÆÛØÓÒ ÈÓÐÝÖ Ò ÁÙ ³ ÄÓÐ Ø ÙÒØÓÒ ÃØÐÒ ÀÓÓÖÒÖØ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº ÂÒ Ò ÈÖÓ ÖØ ÒÒ ØÓØ Ø ÐÒ ÚÒ Ö ÚÒ ÓØÓÖ Ò ÏØÒ ÔÔÒº ¾ ÑÖØ ¾¼¼¾ Ö ÛÐ Ö ÑÒ ÔÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº º Ò
VERBOUWEN?! dag. groep 8-ers...
Ö»² ² É»ª ±² б± ó «îððè ó ²«³³» VERBOUWEN?! dag groep 8-ers... î ÎÛÐÑÎÌßÙÛ Verbouwing Zoals de meeste kinderen al zullen weten komt er een verbouwing volgend jaar. Ik heb er een paar kinderen over geïnterviewd
½ ÊÓ Öس «¹ËØ Ð ÆÓØ ÊÓ ÖØ ÏÓÐÔ ÖØ ÔÖ Ð ¾ ¾¼½¾ ÄÓ º º ÓÖ ËØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð ËØ «Æµ ÐÓ µ Æ «Ø Ò «¾ «Ò Æ ¾ ÐÓ «Æ Ø Ò ««½ Ø Ò «¾ ¾ Æ ¾ ÐÓ µ ¼ «¾ ½ ½ ¼ ½
ÊÓÖس «¹ËØÐ ÆÓØ ÊÓÖØ ÏÓÐÔÖØ ÔÖÐ ¼ ÄÓ ºº ÓÖ ËØÐ ØÖÙØÓÒ ÒÖÐ ËØ «Æµ ÐÓ µ Æ «ØÒ ««Ò Æ ÐÓ «Æ ØÒ ««ØÒ «Æ ÐÓ µ ¼ «¼ Æ º ËØÒÖ ËØ «¼µ ÐÓ µ ËÝÑÑØÖ ËØ «¼ ¼µ ËÛ ËØ «¼µ ÐÓ µ «ØÒ ««Ò ÐÓ «ÐÓ µ ««ØÒ ««Ò ÐÓ ««Ò «««« ËØÒÖ
ÃÌÀÇÄÁÃ ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÙÐØØ ÏØÒ ÔÔÒ ÔÖØÑÒØ Ï ÙÒ ÓÑØÖ ØÖÑÒØÓÒ Ó Ø ÔÓÐ Ó ÑÓØÚ Ò ØÓÔÓÐÓÐ ÞØ ÙÒØÓÒ ÖØ ÊÓÖÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓº Öº ÏÐÐÑ ÎÝ ÈÖÓ ÖØ ÒÒ ØÓØ Ø ÐÒ ÚÒ Ö ÚÒ ÓØÓÖ Ò ÏØÒ ÔÔÒ Ñ ¾¼¼¾ ÒÛÓÓÖ ÀØ ÖÚÒ ÚÒ Ø ÒÛÓÓÖ
¾
ÅÓÐÐÖÒ ÚÒ ÎÖÚÓÖÑÖ ÄÑÒ ÑØ ÆÓÖÑÐ ÓÙÒÒ ÓÒ ÓÐÐ ÓÒ ØØÓÒ ËÑÓÒ ÈÙÛ ÔÙÛ ÒºÙÚºÒе ÐÖ ÚÒ Ð ¾¼ ÙÙ ØÙ ¾¼¼ ¾ ÁÒÓÙ ÓÔÚ ½ ÁÒÐÒ ½º½ ÓÐ ØÐÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÒÔ º º º º º º º
2 Driehoeksmeting - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Ö Ó Ñ Ø Ò º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW140 (suppl.) - Reeks 2 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.4 26 september
Projectnr. : Pagina : 15 van 17 Datum : Bijlage 5. Foto s. Verkennend asbestonderzoek Nachtegaalstraat Drachten
Projectnr. : 16422 Pagina : 15 van 17 Datum : 08-12-2016 Bijlage 5. Foto s Verkennend asbestonderzoek Nachtegaalstraat Drachten Bestand: ra16422acc1.doc Projectnr. : 16422 Pagina : 16 van 17 Datum :
ß» ±»»² ¹ ±¾» µ µ»» ² ¼» ²¼»» µ ² ª ² ¼»»» ¼ô ±²¼» ²ô ß«5 ¹¹»²ò Ø» ± ¼ ¼ ±³ ±±µ» Down Under ¹»²±»³¼ò ß«5»»²»» ¼¼»»»² ±±µ»»² ²¼ò
Week 4: Australië ß«5 ó Ú ³ ß» ±»»² ¹ ±¾» µ µ»» ² ¼» ²¼»» µ ² ª ² ¼»»» ¼ô ±²¼» ²ô ß«5 ¹¹»²ò Ø» ± ¼ ¼ ±³ ±±µ» Down Under ¹»²±»³¼ò ß«5»»²»» ¼¼»»»² ±±µ»»² ²¼ò Ñ ¼ ½»² ó Ú ³ Ú ³ ìüûú ïò Ö» ¹ ß¾± ¹ ² ò ͽ º
Թػ¼½¼¾½¼ Ê º ÌÍÏ ¼½¹¼ Ê º ÍÏÌ È ¹¾¼¼½¹ ÓÖÑ É Ú Ë Ö ¹Ï ØØ Ò Å Ô º º Ð ½ º ź Ö Ñ ØÖÙÔ ¾ ĺ ÈÓÔÔ Åº Ë Û Êº ÏÙÐ Ò Ö ½ ¾ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ì ÓÖ Ø È Ý Ì Ò ÍÒ
Թػ¼¼¼ ʺ ÌÍÏ ¼¹¼ ʺ ÍÏÌȹ¼¼¹ ÓÖÑ É Ú ËÖ¹ÏØØÒ ÅÔ º º Рº ź ÖÑ ØÖÙÔ Äº ÈÓÔÔ Åº ËÛ Êº ÏÙÐÒÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÏÒÖ ÀÙÔØ ØÖ ¹¼ ¹¼¼ ÏÒ Ù ØÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÓÐØÞÑÒÒ ¹¼¼ ÏÒ
ÓÑÔ Ð Ò Ð Ö ÙÒØ ÓÒ À Ò Î Ò Ø Ð ÖØ ÑÓ Ò Ò Ö Â Ò Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò ¹ ¼¼½ Ä ÙÚ Ò Ð ÙÑ Ò Ú Ñ Ö º ÙÐ ÙÚ Òº º ØÖ Ø ÁÒ Ø ÓÒØ
ÓÑÔÐÒ ÐÖ ÙÒØÓÒ ÀÒ ÎÒ ØÐ ÖØ ÑÓÒ Ò Ö ÂÒ Ò ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÃØÓÐ ÍÒÚÖ ØØ ÄÙÚÒ ¹ ¼¼½ ÄÙÚÒ ÐÙÑ ÒÚ Ñ Ö ºÙÐÙÚÒºº ØÖØ ÁÒ Ø ÓÒØÜØ Ó Ø ÑÒÒ Ò ÒÙØÚ ÐÓ ÔÖÓÖÑÑÒ ÁÄȵ ÐÖ Ø Ó ÕÙÖ ÑÙ Ø ÚÐÙØ Ò Ø Ø Ó ÜÑÔÐ º ÇÒ ÔÖØÙÐÖÐÝ
Ö»² ² É»ª ±² б± - ó ²±ª»³¾» îððè ó ²«³³» î Wat voor schooltype ben jij? Interview met Ger
Ö»² ² É»ª ±² б± ó ²±ª»³¾» îððè ó ²«³³» î Wat voor schooltype ben jij? Interview met Ger î ²¹»µ±³»² ± ܱ± Ö±² ² Ì»»½» ²² ÿ Ë» ³±±» ² ³»² ª±± ¼» ͽ ±± µ ²» ô ²»² ¹ ±ª» ó»¹ô» ²¼» µ»»² ²² ÿ Ù»º» ½»» ¼æ Ù»
2 Vectorrekening - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx, C. Reynaerts
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ØÓÖÖ Ò Ò º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü º Ê ÝÒ ÖØ HZS-OE5-NW142 (suppl.) - Reeks 2 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.4
Theorie van de kernreactor
1 UNIVERSITEIT GENT Faculteit Ingenieurswetenschappen IR08, Nucleaire Technologie Technologiepark Zwijnaarde, B914 B 9052 GENT, België Theorie van de kernreactor Deel 1: Het puntmodel Prof. dr. ir. Fernand
WETENSCHAP. Drukkerij en Bureel T elefoon: Tel. Huis:
K : 1 U 191 Í U 1 9 ü 11 1 1 1 1 1 1 1 19 0 1 9 0 U U» 1 1 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 1 1 19 19 19 199 19 191 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 1909 199 199 199 000 000 000 000 000 000 000 000 000 * 9
ÃÌÀÇÄÁà ÍÆÁÎÊËÁÌÁÌ ÄÍÎÆ ÍÄÌÁÌ ÌÇÈËÌ ÏÌÆËÀÈÈÆ ÈÊÌÅÆÌ ÇÅÈÍÌÊÏÌÆËÀÈÈÆ ÄÁÆ ÆÍÅÊÁà ÆÄË Æ ÌÇÈËÌ ÏÁËÃÍÆ Ð ØÒÒÐÒ ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ ÀÚÖÐ ÄÊÁ ÅÍÄÌÁÊÁ ÇÊ ÌÏǹÁÅÆËÁÇÆÄ ÌÁŹÀÊÅÇÆÁ ÅÆÌÁ ÁÄ ÇÅÈÍÌÌÁÇÆË ÈÖÓÑÓØÓÖÒ ÈÖÓº Öº Öº
Geheugensteuntje. foutenanalyse. Absolute fout: x = x - x Relatieve fout: δx = x / x = (x - x)/x x / x x = x (1 + δx)
Geheugensteuntje foutenanalyse. Absolute fout: x = x - x Relatieve fout: δx = x / x = (x - x)/x x / x x = x (1 + δx) Genormaliseerde getalvoorstelling: x =.c k c k-1...ee Juist cijfer: x - x ½ b i => cijfer
Koningin Julianastraat 1 Urk
Vraagprijs 315.000,- k.k. Koningin Julianastraat 1 Urk De Akkers 34 a 8321 BT Urk 0527-687377 info@scholopurk.nl www.scholopurk.nl Koningin Julianastraat 1 op Urk Bijzonder fraaie en heerlijk ruime vrijstaande
2 Integraalrekening 2 - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ Ò Ò ¾ º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW243 (suppl.) - Reeks 1 Tweede jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 14.1 19 september
postmaster@moerdijk.nl Van: VNG namens VNG Verzonden: dinsdag 13 december 2016 11:33 Aan: postmaster@moerdijk.nl Onderwerp: Lbr. 16/091 - Vacatures in commissie
2 Calcul vectoriel 2 - D. Aerts, P. Bueken, D. Luyckx
ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÐÙÐ Ú ØÓÖ Ð ¾ º ÖØ Èº Ù Ò º ÄÙÝ Ü HZS-OE5-NW244 (suppl.) - Série 1 Deuxième année Bachelor en Sciences Nautiques Version 14.1 19 Septembre
ÒØÑËÜÍÑÐÙßÊÛ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ Þ ò ï ÒÔÛ Ü ÒÙ ï ïòï ß ²» ¼ ²¹ ±» ² ï ïòî Þ»¹»² ²¹ ª ²» ²¹»¾»¼ ï ïòí Ê ¹»»²¼» ¾»»³³ ²¹ ²²»² ï ïòì Ê» ±± ª ² ¼» ² ±½»¼ í î ÞÛÔ
ßæ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ çððêççñçììðèçñîððèñõùîññò ³ ïé º»¾ «îððç ÒØÑËÜÍÑÐÙßÊÛ ÌÑÛÔ ÝØÌ ÒÙ Þ ò ï ÒÔÛ Ü ÒÙ ï ïòï ß ²» ¼ ²¹ ±» ² ï ïòî Þ»¹»² ²¹ ª ²» ²¹»¾»¼ ï ïòí Ê ¹»»²¼» ¾»»³³ ²¹ ²²»² ï ïòì Ê» ±± ª ² ¼» ² ±½»¼ í
volgen de gewone verbuiging (» ± ¼ ² ) Niet contracte adjectieven
$ g x œ œ ² ² ¹ Å 14 31. 1. Staen op - en -. De vocatief Enk. is in de regel de sta. 32. 2. Staen op -. De vocatief Enk. is in de regel de sta (uitzonderingen zijn eestal oxytona - substantieven et het
Welkom op Ibiza. Inhoud. Contact. Verken. Proef. Beleef. Ontdek 18 Info van A tot Z 22 Een woordje Spaans 24 Discotheken 26 Woordzoeker
I NL- I W I V 5 W I 6 Z 9 I- 10 F 9 Z,. E I. V,,? D. O! P 12 E & 14 B I B 16 T! 12 16 W H O ()! T. W? K! H,? J (). W? B. G óó :. A,. O 18 I A Z 22 E S 24 D 26 W 24 C TUI Eñ T S.A. C A 6 B 07800 I T.: 0034
F3O richtlijn. Bureaustudie (bijlagen 4 en 6) bouweenheid Rakstraat 9-23 bouwkundig bouwjaar: 1910
onderdeel overzicht resultaten funderingsonderzoek bouweenheid 029 beoordeling cfm F3O richtlijn Bureaustudie (bijlagen 4 en 6) bouweenheid Rakstraat 9-23 bouwkundig bouwjaar: 1910 originele bouwtekeningen:
4 - Bijzondere paradigmes
Bijzondere paradigmes 23 4 - Bijzondere paradigmes. - De adjectieven en 60... - [stam: - (zie nr. ) en -/ - (zie nr. )] Enkelvoud Meervoud! " # $ % & # $ $ ' ( ) * + +, ) * + - * + + '. / 0 2 3 / 0 4 /
Er zijn geen financiële en/of personele consequenties verbonden aan dit voorstel.
: 0 C 0. z z. F z. z z. z. ë. z z,. z ( z).. z. z,. 0. z. z z ë / q..... : 0 U 0; : 3.7 ; :.,,.... 0000 0 0 /. z z. F z. z z. z. ë. z z,. z ( z).. z. z,. 0. z. z z ë / q.... 0000 0.,,....,.... 0000 0 z
FEDERALE OVERHEIDSDIENST WERKGELEGENHEID, ARBEID EN SOCIAAL OVERLEG Hoge Raad voor Preventie en Bescherming op het werk
FEDERALE OVERHEIDSDIENST WERKGELEGENHEID, ARBEID EN SOCIAAL OVERLEG ------ Hoge Raad voor Preventie en Bescherming op het werk ------ Advies nr. 175 van 25 oktober 2013 over het ontwerp van koninklijk
²» ¼ ²¹ Ñ ïï ³» îððç ± «¹»¾ ½ ±ª»» ¾»»¼ ±²¼» ±»µ ± ±±º¼ ²»² ² ¼» øª» ² ±± ¼ ²¹ ª ² ¼» ¾»»¼ ²¹ ª ² ± ¹³ ¼¼»»² ï ²» ³ ô»½»² ª±± ¹»» ±²¼» ò Ü ± ô ¹»» ¼ Æ
Ü» ²» ª ² Ʊ ¹¹» ¼»² ² ¼» ¾» ½ ±«¼ Ë»½ ô ïï»»³¾» îððç Ó»ª ±«ÓòÝò ª ² ¼» رººó 5 Ü»»» Øòßò ¼» É Ó»ª ±«¼ Ûò Ê» ½ Ü»»» ¼ Éò Þ± Ë» µ ²¹ ª ²»»² ª ² ¼» ²¾»ª» ²¹»² Î ± æ Æ ½ ± ± ¹¹» ¼»² Š Ü» ± ¹³ ¼¼»»² ²» ³ ô»½»²
Eagle Crest Resort Specialist, Principal Broker
q rs t 1 q 2 t s3r4 P P P P P P P P P Eagle Crest Resort Specialist, Principal Broker r 1 2 9 1010 3 4 s 5 t t 67 s 8 t 8 s s s s t s t s 9 9 ➐ ➑ 2 10 q s ❶ s ❷ s 3❸ s s st 10 1010 ➒ ➓ t s s t q t s s
5 De speciale relativiteitstheorie
5 DE SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 83 5 De speiale relativiteitstheorie 5.1 Historishe introdutie en Einsteins postulaten De relativiteitstheorie is geboren in het prille begin van de twintigste eeuw.
Ê» ¹»¹¹ ²¹ ²²± îðïîæ. ܱ» ɱ µ ±
Ê» ¹»¹¹ ²¹ ²²± îðïîæ ±»» µ» ² ¼» µ µá ÎÙÚ Ó ¼¼»²ó»² ѱ óþ ¾ ² Ô±²²»µ» ª ² Þ» µ» Ǫ±²²» Ø»» µ»² ï ܱ» ɱ µ ± Ò º ±± ª ² ¼» ± µ ±»»² º ±»»² ²ª» ½ ²¹ «ª» ¹»¹¹ ²¹ ¾» ³»² ¼» ÕÒÙÚó ½ ² Ú ±»»«½» ª» ¹»¹¹ ²¹ îðïï
Het rapport in bijlage 1 doet verslag van de resultaten van dit grootschalige onderzoek binnen de gemeente Terneuzen in het najaar van 2015.
de Raad van de gemeente Terneuzen ons kenmerk : 189720 contactpers. : Ruud van Leest telefoon : 0115-455 515 e-mail : r.vanleest@terneuzen.nl verzonden : Terneuzen, 31 mei 2016 Betreft: Veiligheidsmonitor
Van Speykstraat 5 MAARSSEN Vraagprijs ,- k.k.
Van Speykstraat 5 MAARSSEN Vraagprijs 175.000,- k.k. Beumer Garantiemakelaars Maarssen Reigerskamp 470 3607 JB Maarssen Tel: 0346-564293 E-mail: maarssen@beumer.nl Website: www.beumer.nl Omschrijving GOED
UITWERKINGEN VOOR HET HAVO HOOFDSTUK 2 VERANDERINGEN KERN 1
- - - 0 - - - - - - - - - 0 - - - - - - 0 - - - ITWERKINGEN VOOR HET HAVO HOOFDSTK VERANDERINGEN KERN a) Sijgen /m b) Dalen /m a) f 0 ) Sijgen: ; ; 0 ; Dalen: ; ; 0; ; 0 Som a) f() 0,+ - - 0 f - - - Sijgen:
Thermal accommodation for water flowing in nano channels
Study on the physical processes of particle deposition during laser ablation Camilo Rindt, WH 2.125; Rajesh Mandamparambil, Holst Centre (Philips Research Laboratories) For the large scale Roll-to-Roll
Opname en weergave van beelden met een hoog dynamisch bereik
Opname en weergave van beelden met een hoog dynamisch bereik Saartje De Neve Promotor: prof. dr. ir. Wilfried Philips Begeleiders: Bart Goossens, ir. Quang Luong Masterproef ingediend tot het behalen van
BIJLAGEN. Ontwerp Omgevingsvisie
BIJLAGEN Ontwerp Omgevingsvisie Omgevingsvisie Samenvatting omgevingsvisie De omgevingsvisie is een integrale visie en een helder fundament voor het beleid van Hollands kroon en de uitvoering ervan voor
Reigerskamp 157 MAARSSEN Vraagprijs ,- k.k.
Reigerskamp 157 MAARSSEN Vraagprijs 259.000,- k.k. Beumer Garantiemakelaars Maarssen Reigerskamp 470 3607 JB Maarssen Tel: 0346-564293 E-mail: maarssen@beumer.nl Website: www.beumer.nl Omschrijving KUNSTSTOF
PS: hier een tip om de scougi te kraken: Spiegeltje, Spiegeltje aan de wand
!! "! # $ % & ' ( $ ) * +, -. & / 0 & ' % & / 1 # $ % & ' ( $ ) * 2 ( & 3 & / 0 & ' 4 5 * 6 7 8 9 : ; < = 9 > >? @ A A < B C D E < 9 = F G H I > > < J ; K L E J E 9 = E M M ;? N @ A M L > >? ; 9? > J E
BESCHRIJVING GELUIDSISOLERENDE MOBIELE SCHEIDINGSWAND MET ZICHTBARE PROFIELEN TYPE 85
ÍÑÒ ÝÑ èë Ó±¾»» ²»» ²¼ Ì» Õ µ» ñ ±» ²¹ ͱ² ½± èë Í ³ó ²» ±» ²¹»² ³» ¹»³ ¼¼» ¼» ¹» «¼ ±» ¼»²ô ¹» ½ µ ª±±» ¼±»» ²¼»² Ð ²»» º³» ²¹»²æ Ü µ» ر±¹» Þ»»¼» Ü»«²»» Ú ³» ± ¾±«Ð ²»» ² ½ Þ» ²¹ ߺ» µ ²¹ Ù» «¼ ±» Î
te koop Deventer Anthonie van Dyckstraat 9 Holterweg AE Deventer - T E
te koop Deventer Anthonie van Dyckstraat 9 Holterweg 63-7429 AE Deventer - T 0570-65 95 95 - E info@miqa.nl www.miqa.nl Omschrijving In de gewilde woonwijk "de Zandweerd" ligt deze -op de begane grond
compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Technocon... 3 Moving Intelligence - Manage all things moving... 4 Mi50 + MiBlock - VVS PLUS beveiliging... 5 Installatie op locatie...
Technocon... 3 Moving Intelligence - Manage all things moving... 4 Mi50 + MiBlock - VVS PLUS beveiliging... 5 Installatie op locatie... 6 Technocon s - SCM goedgekeurde configuratie mogelijkheden... 6
FYSICA-BIOFYSICA : FORMULARIUM (oktober 2004)
ste bachelor GENEESKUNDE ste bachelor TANDHEELKUNDE ste bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN FYSICA-BIOFYSICA : FORMULARIUM (oktober 004) Kinematica Eenparige rechtlijnige beweging : x(t) = v x (t t 0 )
Handleiding Vedor-editor
Handleiding Vedor-editor Mei 2007, versie 0.9 Inhoudsopgave Inleiding... 3 Aanmelden... 4 De werkbalk... 5 Het context menu... 6 Navigeren binnen je website... 7 Tekst toevoegen en bewerken... 8 Afbeeldingen
BERGSE LINKER ROTTEKADE 319
BERGSE LINKER ROTTEKADE 319 ROTTERDAM BERGSE LINKER ROTTEKADE 319 ROTTERDAM OMSCHRIJVING In een uniek stukje Rotterdam, ligt deze totaal gerenoveerde DRIE-KAMER HOEK-WONING met sfeervolle tuin. Het geheel
!5#!%$ ZNa! ) $(#!5#!#$ VaE"
! "!!"%&' )*, 23 2,-45./678:; -.!"%&')*',-. &/-.01 2345678:;&?@ABCDE!"234567 8%:;?@GH%IJKLMJNOPQRSTU GHOB?@8VW /012345:;& 23!" % 23.4-5367 8&.&*&&:;&*&.).,*&!,'!'.,!&)&'!/ *.,&&)&:*&.).,*&!, %.!'!
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
#&#&# *+ -. ÂÃ{Ð"S }-~ÎÏ-~{Ñ $ #) ÒÓ +,-n& '( 6`3! }-~ Y "9. }» ÔÕ#Ö "»¾ NØÙ {É"ÁZ 45G_ 4Y " S45 $ %" }- ~ Y X P k "g X "S X %á %&!
$ % $ % 3- ;./".--." )/#.3.:.".1 "66 %!"#$! %& ' "#$%&'!()*+,-./01)*+, -2345 "# (64789:;! $%& (?@AB CDE$%&:;EF 7GHEIB $%& CJK(LM(NO '' PQRST( ()) )) )) * UPQVSTWX5F +, ( ( -.) -YM)WZ[ /) \]1[^_"#`a,b
ZILVERGRACHT 75 BERKEL EN RODENRIJS
ZILVERGRACHT 75 ZILVERGRACHT 75 OMSCHRIJVING Dit zeer verrassend ruime ZEVEN-KAMER grachtendpand met leuk aangelegde zonnige tuin; vrijstaande stenen schuur; een achterom en eigen parkeerplaatsen, is gelegen
RUILVERKAVELING REKKEN Grondwaterstandgegevens en pf-waarden in tijd-stijghoogtediagrammen en tabellen
NN31396,576,2 STICHTING VOOR BODEMKARTERING BEN NEK OM BIBLIOTHEEK C-? RUILVERKAVELING REKKEN Grondwaterstandgegevens en pf-waarden in tijd-stijghoogtediagrammen en tabellen Rapport nr 576 Bij Lage 9 Q
Tentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand Datum uitreiken: 1 december 2011 Datum inleveren: 15 december 2011 (bij Marja of voor 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: 19-23 december
Z/19/073884/ Gemeenteraad Leiderdorp. 11- januari 2019 zhgl07288s/t40882
leiderdr Gemeente eiderdr P. Pls (071) s4s4848 P.Pls@leiderdr.nl I lllil ilil ilt lilllt lill llilil lltil lll tillt ill tillillillil 2hwa7884i41015 14 januari 2019 lngekmen: Adeting : Kie : $rr'$ Gemeenteraad
SV BARENDRECHT SEIZOEN
SV BARENDRECHT SEIZOEN 2008-2009 SCHAAKPROGRAMMA SEIZOEN 2008-2009 SCHAAKVERENIGING BARENDRECHT maandag 1 september 2008 Start seizoen 2008-2009 maandag 8 september 2008 Interne competitie 1 maandag 15
ADRIANALAAN 156 ROTTERDAM
ADRIANALAAN 156 ADRIANALAAN 156 OMSCHRIJVING Deze recent gerenoveerde ruime ZESKAMER woning met voor- en zonnige achtertuin is gelegen in de leuke en kindvriendelijke wijk Schiebroek. De woning is zeer
TE KOOP. Kleefsehoek K.K SP Ede. Vendome Makelaardij. Verlengde Maanderweg LL Ede
TE KOOP 259.000 K.K. Vendome Makelaardij Verlengde Maanderweg 64 6713 LL Ede 06-15074922 vendome@kpnmail.nl Kleefsehoek 29 6711 SP Ede Kleefsehoek 29 6711 SP Ede Inleiding Rustig gelegen - maar toch op
Overzicht van alle Teletex karakters
II.2 Overzicht van alle Teletex karakters 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 SP 0 @ P p Ω ĸ 1! 1 A Q a q ± ` Æ æ 2 " 2 B R b r 2 Đ đ 3 3 C S c s 3 ˆ ª ð 4 4 D T d t $ Ħ ħ 5 % 5 E U e u µ ı 6 & 6 F V f v
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor?