Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor
|
|
- Tine Simons
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor? 6 5 Stof 7 6 Druk 8 7 Vloeistof/gas 9 8 Appendix A: Lorentz transformatie 9 Appendix B: Een diagonale -tensor 0 Appendix C: De impuls 4-vector 4 Appendix D: Literatuur 5
2 Inleiding In dit document wil ik laten zien hoe de Massa Impuls tensor voor stof (dust; formule ()) en een ideale vloeistof/gas (ideal fluid; formule ()) op didactisch fraaie wijze kan worden geintroduceerd. We hebben hiervoor de volgende tensor formules: T µν = ρu µ u ν (dust) () T µν = (ρ + c P )uµ u ν P g µν (ideal fluid) () Formule () is een speciaal geval van formule (), namelijk voor P = 0. Hierin zijn ρ en P scalarvelden (de massadichtheid en de druk) en u µ en 4-vectorveld; het stromingsveld of de wind, de snelheid van de materie ter plekke. Preciezer: de gemiddelde gewogen snelheid van de materie. Veel boeken poneren deze formules maar gewoon ([], [] en [3]) en/of geven een moeilijk begrijpbare motivatie ([], [5] en [4]). Verder zullen we nog een aantal andere feiten over deze tensor natuurlijk naar boven laten komen. Bijvoorbeeld, waarom men het beste met de contravariante versie (T µν, in plaats van T µν, zoals dus ook in de genoemde formules () en () ) kan werken bij het bespreken van de eigenschappen en interpretatie van de componenten. Voorkennis Je moet deze tensor op zijn laatst introduceren op het moment dat je de veld vergelijkingen voor een niet lege ruimte wil gaan bespreken. Met andere woorden: we gaan ervan uit dat de vergelijking R µν = 0 (3) voor een lege ruimte (R µν is Ricci tensor) al bekend is. We noemen een metrische tensor g µν Newton-achtig 3 als hij diagonaal is, alleen g 00 van Het engelse term fluid betekent zowel vloeistof als gas zeker in natuurkundig opzicht. In het kader van deze bespreking is gas volgens mij zelfs meer van toepassing. In paragraaf 3 beweer ik dat ρ juist niet een tensorveld is. Zie daar voor verheldering 3 In alle boeken, die ik ken, wordt gewerkt met g µν = η µν + h µν, een kleine variatie op de Lorentz metriek, als het gaat om motivatie formules als (4) en de klassieke limiet
3 plek tot plek kan verschillen (een beetje), maar niet tijdsafhankelijk is en bovendien g 00 c. Dat wil dus zeggen: [g µν ] = Diag(g 00 (x, y, z),,, ) We kunnen laten zien dat dan ongeveer geldt: g 00 φ + een constante (4) met φ(x, y, z) de Newton potentiaal. Verder geldt in dit geval: R 00 3 i= x i g 00 = g 00 Samen met de klassieke vergelijking van Poisson geeft dit φ = 4πGρ R 00 4πGρ (5) In het kader van de voorkennis vermelden we ook nog dat we niet (zoals veel auters) c = nemen. Zelfs als c is, nemen zij de Lorentz metriek dan wel als: [η µν ] = Diag(,,, ) (met dan x 0 = ct) maar dat vind ik inconsequent. Ik neem dus gewoon: en de inverse is dan dus: [η µν ] = Diag(c,,, ) [η µν ] = Diag(,,, ) (6) c van de Einstein vergelijkingen. Ik ben van mening dat dat veel beter kan (in ieder geval didactisch gezien) door middel van de hier gedefineerde Newtonachtige metriek. 3
4 3 Waarom een rang tensor? Alhoewel formule (5) een hint geeft hoe de veldvergelijkingen er uit zouden kunnen zien is hij zelf natuurlijk nog niet goed. En wel om de volgende redenen:. Het is nog geen tensorvergelijking (linkerlid is slecht één component van een tensor). het rechterlid, de massadichtheid ρ, is (itt tot de klassieke situatie) geen scalar veld 4 Het mooie is dat beide problemen in één keer kunnen worden opgelost. We beginnen met punt en bestuderen hoe ρ, relativistisch gezien, transformeert. We doen dit door te kijken naar de situatie van een waarnemer waarin de materie stilstaat en ρ constant is. We noemen dit een meebewegende waarnemer ( a comoving frame, dit is niet degene die in figuur is getekend, die komt zo). Eigenlijk zou meestilstaand hier een betere benaming zijn. In een kubus met de afmetingen x, y en z zit dan dus een hoeveelheid massa van m = ρ x y z Stel nu dat een waarnemer met een snelheid v in de x-richting passeert. Dit is de astronaut in figuur. Links in de figuur zien wij, als stilstaande waarnemers, hem langsvliegen. Rechts staat deze ruimtereiziger stil en die ziet de wolk stof (en ons) langskomen. Hij ziet de kubus iets verkort (Lorentz contractie): Figuur : Massadichtheid x = γ x met γ = (> 0) (7) v /c bovendien zijn de materie deeltjes voor hem iets zwaarder, en wel ook met een factor γ. Hij ervaart dus een massadichtheid van ρ = γ ρ (8) 4 In de inleiding noemden we ρ juist wel een scalar veld. ρ wordt een scalarveld door het te definieren als de massadichtheid, zoals gemeten door de meebewegende waarnemer 4
5 Dit bevestigt dat ρ geen scalarveld is (dus punt ). Het goede nieuws is echter dat hierdoor ρ een onderdeel lijkt de zijn (namelijk T 00 ) van een tensor T van rang. Laten we dit even checken en nemen voor het gemak even aan dat alle andere componenten T µν (µ en ν niet beiden = 0) gelijk zijn aan 0. Met andere woorden: T µν ziet er als volgt uit: ρ T µν = (9) in een coördinaten systeem waarin de materie niet beweegt. ρ zou van plaats tot plaats kunnen verschillen, maar dat is nu even niet relevant. In feite is formule (9) een wat boute aanname want we hebben nog geen idee wat die andere componenten fysisch zouden betekenen. We gaan nu T 00 bepalen, waarbij er sprake is van een Lorentz transformatie. We hebben dan de inverse Lorentz transformatie (matrix M zie Bijlage ) nodig, waarbij we alleen maar hoeven te weten dat M 0 0 = γ. De algemene vorm van de transformatie is: T αβ = M µ αm ν βt µν Maar we zijn alleen maar geinteresseerd in T 00 : T 00 = M µ 0M ν 0T µν = M 0 0M 0 0T 00 = γ ρ Dit bevestigd ons vermoeden dat formule (8) de transformatie van de 00-de component van een rang tensor betreft. Nu is het helaas zo dat ook een contravariante tensor T µν deze eigenschap heeft. Met andere woorden als T 00 de enige component is die ongelijk nul is en stel T 00 = ρ, dan: T 00 = L 0 µl 0 νt µν = L 0 0L 0 0T 00 = γ ρ Op basis hiervan kunnen we dus geen vookeur voor T µν of T µν 5 uitspreken. Toch kiezen de meeste boeken zonder veel commentaar voor T µν. In de volgende paragraaf bepreken we de motivatie hiervoor. 5 uiteindelijk kunnen we deze twee natuurlijk wel in elkaar overvoeren via het verhogen en verlagen van de indexen 5
6 4 Waarom een contravariante tensor? Het ligt helemaal niet voor de hand om de contravariante vorm van de tensor T te nemen. Als we immers kijken naar de vergelijkingen voor lege ruimte (vergelijking (3) ) die we hier even herhalen: R µν = 0 (0) dan zouden we verwachten dat we de covariante vorm van T (T µν ) eerder nodig hebben. We zouden namelijk kunnen vermoeden dat vergelijking (5) gegeneraliseerd kan worden tot: R µν = κt µν () een vergelijking die die voor een lege ruimte (T µν = 0 vergelijking (0) teruggeeft. Met vergelijking () heeft Einstein zelf ook flink geworsteld. Deze blijkt uiteindelijk fout te zijn, door dat divergentie van T nul moet zijn (T µν ;ν = 0) vanwege massa en energiebehoud en het is nu eenmaal zo dat in het algemeen R µν ;ν 0, dus vergelijking () kan niet goed zijn. Maar daar gaat het nu niet om. Het enige dat we hiermee willen aangeven is dat het niet vanzelfsprekend is om T te gaan bestuderen, als contravariante tensor. Daarom willen we hier wat extra motivatie geven om met T µν te werken. We gaan daartoe kijken waar we in de speciale relativiteitstheorie massa (en energie) ook alweer tegenkwamen. We hebben de 4-snelheid 6 : u µ = d dτ t x y = dt dτ z d dt t x y = γ u x u y () z u z Om de 4-impuls te verkrijgen vermenigvuldigen we dit met m 0 de rustmassa van het deeltje. p 0 m ( ) p µ = p p = m 0u µ = γm 0 u x u y = p x m p y = p p 3 u z p z De conclusie die we hieruit trekken: 6 Voor, indien nodig, een toelichting op formule () en met name dt dτ 6 = γ zie bijlage C
7 De relativistische massa van een deeltje (m = γm 0 ) verschijnt als de 0-de component van de contravariante 4-vector p µ, de massa-energy-impuls vector. Dit is de reden dat het verstandig is om T te bestuderen als contravariante tensor. 5 Stof We gaan nu T µν bestuderen en wel als volgt. We keren terug naar onze boute aanname in vergelijking (9). We gaan ervan uit dat dit de situatie beschrijft in een coördinaten stelsel, waarin de materie in rust verkeert en transformeren dit naar de visie van een waarnemer die in de x-richting beweegt. We willen dus T µν transformeren volgens de Lorentz transformatie. In appendix B hebben we dit al uitgezocht en we hoeven dus alleen maar formule () op pagina 3 toe te passen met a 0 = ρ en a = a = a 3 = 0: ρ ρv 0 0 v 0 0 ρv ρv 0 0 v v 0 0 T µν = γ = ργ (3) Kijken we nu naar de eerste kolom van matrix in het rechterlid van de formule (3) en vergelijken we dat met de volgende 4-snelheidsvector: u µ = γ v 0 (4) 0 dan zien we (we bekijken alleen de linksbovenhoek, want daar gebeurt het): ( ) ( ) ( ) v γ γ γ ( γv) u γ v v = = 0 u 0 u 0 u ( γv) γ ( γv) ( γv) u u 0 u u We zien dus dat formule (3) nog verder kan worden ontwikkeld als: T µν = ρu µ u ν (5) Strikt genomen alleen voor u µ als in formule (4), maar dit geldt natuurlijk voor elke u µ, waarmee we bij formule () zijn aangeland. 7
8 6 Druk Tot nu toe was het zo dat de stofdeeltjes onderling niet bewogen. We gaan nu naar een zo simpel mogelijke situatie kijken waarbij dat niet meer zo is. Stel u voor dat er twee wolken van deeltjes zijn die door elkaar heen bewegen. De deeltjes zijn zeer ijl verdeeld, dus zij botsen niet tegen elkaar. Figuur : Twee stofwolken De ene wolk beweegt zoals in vergelijking (3), maar dan op halve snelheid v. De andere wolk ook op halve snelheid maar dus in tegengstelde richting: v. De massadichtheid zoals gezien binnen de wolk is in elke afzonderlijke wolk ook de helft dus ρ. De totale massa tensor kunnen we nu opstellen door deze twee bij elkaar op te tellen: T µν = v 0 0 ργ v 4 v v 0 0 ργ v 4 v 0 0 = ργ = 0 4 ργ v 0 0 (6) Bedenk dat hier γ = γ( v), maar dat is verder niet zo belangrijk. Het boeiende van formule (6) is dat het weer een diagonaal matrix is. Met andere woorden dat T 0 = T 0 = 0 is geworden. Dit laatste betekent dat er geen netto impuls dichtheid is en dat klopt natuurlijk ook, want de impulsdichheden van de beide wolken heffen elkaar op. Ook is interessant dat uitdrukking (6) nu weer opgevat kan worden als de massa-impuls tensor voor een meebewegende waarnemer. Immers zo n waarnemer kan en mag niet kiezen voor het meereizen met één van de wolken (uit symmetrie overwegingen). 8
9 Verder is T 00 = ργ inderdaad de massadichtheid zoals door deze waarnemer gezien wordt. Deze noemen we in.. dus ook gewoon weer ρ. Maar wat moeten we aan met de digonaal component T = 4 ργ v? Onze waarnemer heeft een ballon en houdt deze in de Figuur 3: Er zij druk! twee tegen elkaar inlopende stofwolken. Links en rechts botsen er nu deeltjes op deze ballon. Deze blijft zelf op zijn plaats, want de kracht van links en rechts houden elkaar in evenwicht, maar hij wordt wel platgedrukt! Kortom: onze waarnemer concludeert dat er in de x-richting druk heerst. De hier geschetste situatie is niet erg reeël. Als er druk is zal deze in het algemeen in alle richtingen hetzelfde zijn. Daarom veronderstellen we dat voor een met de flow meebewegende waarnemer de tensor er zo uit zal zien: ρ T µν = 0 P P 0 (7) P Dit noemen we de massa energie tensor voor vloeistof/gas gezien vanuit een meebewegende (meestilstaande) waarnemer. We besluiten deze paragraaf met een opmerking over de overgang van het geval dust naar fluid. In [] (mijn eigen leerboek uit 973!) wordt deze overgang ingeluid met de opmerking dat er bij dust nog geen sprake is van onderlinge krachten en dat dit dan bij fluid wel het geval zou zijn. Volgens mij is dit niet juist 7. De beschrijving in deze paragraaf heeft dat ook helemaal niet nodig. Wel zal er in het algemeen (zeker bij een gas) sprake zijn van botsingen tussen de deeltjes onderling en die kunnen te maken hebben met op korte afstand werkende, afstotende, krachten. 7 Vloeistof/gas Aan het eind van de vorige paragraaf hebben we een uitdrukking (7) gevonden voor de massa energie tensor voor vloeistof/gas gezien vanuit een meebewegende waarnemer. Deze is op zich al nuttig, want men gebruikt die bijvoorbeeld voor cosmologische modellen. 7 De andere boeken zwijgen hier wijselijk over 9
10 In deze paragraaf willen we echter nog een algemenere vorm afleiden, vanuit een willekeurig stelsel bezien. Dit zal dan ook een keurige tensor uitdrukking moeten worden. Wat we gaan doen is volstrekt analoog aan paragraaf 5. We passen dus de Lorentz transformatie toe op T µν zoals in uitdrukking (7). We genieten weer van appendix B, want we hoeven alleen maar formule () op pagina 3 te gebruiken met a 0 = ρ en a = a = a 3 = P. De rechter beneden hoek zal niet veranderen. Die is en blijft: ( ) P 0 (8) 0 P We doen hier de linkerbovenkant: ( ) T µν = γ ρ + P v ρv P v c 4 c ρv P v ρv + P c De beide niet diagonaal compomenten zijn te schrijven als: ρv P v c = (ρ + c P )v (9) Als we stiekum spieken bij formule () dan komt de factor ρ+ P ons wel heel c goed uit. Maar als we uitgaan van de gedachte hoe we het (formule () ) zelf hadden kunnen ontdekken dan doen we er beter aan om de rechtermatrix van formule (9) te vergelijken met de linksbovenkant van de uitdrukking (3): ( ) ρ ρv ρv ρv Eigenlijk zouden we willen dat de matrix van formule (9) er zo uitziet: ( ) (ρ + P ) (ρ + P )v c c (ρ + P )v (ρ + P )v c c Voor de niet diagonaal compomenten klopt dit al zoals we gezien hadden. Maar als we bijvoorbeeld T 00 vergelijken: ρ + P v c 4 versus ρ + c P dan klopt dat niet. Maar wacht even! Laten we eens kijken wat het verschil is: (we hebben) (we willen) = ρ + P v c 4 (ρ + c P ) = (v c ) c P 0
11 De factor ( v ) die hierbij ontstaat valt weg tegen γ! (op een minteken c na). Iets dergelijks gebeurt bij T : (we hebben) (we willen) = (ρv + P ) (ρ + c P )v = ( v c )P Dus we kunnen (9) als volgt herschrijven: ( ) ( ) (ρ + T µν = γ P ) (ρ + P )v c c P 0 (ρ + P )v (ρ + P )v + c 0 P c c Laten we dit toch maar in volle glorie (volledig 4 bij 4) opschrijven: (ρ + P ) (ρ + P )v 0 0 P c c γ (ρ + P )v (ρ + P )v c 0 0 c c + 0 P P 0 (0) P De linker matrix van uitdrukking (0) kunnen we net als de overgang van (3) naar (5) schrijven als (ρ + c P )u µ u ν. De tweede term herkennen we als P η µν. Dus we hebben: T µν = (ρ + c P )uµ u ν P η µν Als we nu dit meteen maar geldig verklaren voor algemene coördinaten en dus η µν vervangen door g µν dan hebben we formule () bewezen. Iets bescheidener gezegd: aannemenlijk gemaakt en/of gemotiveerd. 8 Appendix A: Lorentz transformatie We beschouwen de Lorentz transformatie naar een stelsel dat in de positieve x-richting beweegt met een snelheid v. De klassieke formules luiden daarvoor: x = t = y = y z = z x vt = γ(x vt) v /c t v x c v /c = γ(t v c x)
12 Waarbij γ als in formule (7). In matrixvorm kan dit als volgt worden opgeschreven: t γ γ v 0 0 t γ(t v x) x c y = c γv γ 0 0 x y (= γ( vt + x) y ) () z z z We schrijven de hierboven staande 4 bij 4 matrix van de Lorentz transformatie met L = [L α µ], zodat formule () ook kort kan worden geschreven als: x α = L α µx µ De inverse matrix (die overigens in het geval van de Lorentz transformatie erg simpel is: vervang v gewoon door v) schrijven we als M, dus: L α µm µ β = δα β Tenslotte merken we nog op dat het, in verband met de matrix berekeningen die we in appendix B willen doen het handig is om de matrix L te schrijven als bij matrixen, als volgt: ( ) L O L = O I met L = γ ( ) v c v, I = ( ) 0 0 en O = ( ) Appendix B: Een diagonale -tensor In de tekst komt het vaak voor dat we diagonale (dus symmetrische!) tensor S µν moeten transformeren met behulp van de in appendix A beschreven Lorentztransformatie. We nemen dus aan dat S µν geschreven kan worden als: a S = [S µν ] = Diag(a 0, a, a 3, a 3 ) = 0 a a a 3
13 Ook deze schrijven we weer als 4 maal een bij matrix: ( ) A O S = O B met ( ) ( ) a0 0 a 0 A = en B = 0 a 0 a 3 We willen nu de getransformeerde tensormatrix [S αβ ] bereken. In eerste instantie is daarvoor de algemeen geldige transformatie regel voor een contravariante tensor van rang : S αβ = L α µl β νs µν Nu kunnen we dit natuurlijk component voor component uitrekenen, maar om dit iets handiger en overzichtelijker te toen gaan we dit als matrix vermenigvuldiging uitvoeren. We schrijven het daarom als volgt: S αβ = L α µs µν L β ν = L α µs µν (L ) β ν Met de overgang van L β ν naar (L ) ν β hebben we voor elkaar gekregen dat we zo dadelijk inderdaad de berekening via een matrix vermenigvuldiging kunnen doen. Immers de structuur van de indexen is nu: α µ µν β ν Daar gaan we: ( ) ( ) ( ) ( A O L S = LSL O L O AL = L = O B O I O I O ) ( O LAL = B O ) O B De conclusie van deze berekening is dat er eigenlijk alleen maar iets boeiends gebeurt in de linker bij bovenhoek. Iets dat we natuurlijk ook wel zo hadden kunnen voorspellen aangezien de Lorentz transformatie alleen maar iets met de t en x coördinaat doet. Tenslotte berekenen we deze linkerbovenhoek expliciet. Het handige is nu dat we γ buiten de matrixen kunnen houden: ( ) LAL a0 0 = L γ 0 a ( v v c ) ( ) ( ) = γ v c a0 a 0 v v = v a a c ( ) = γ v a0 + a v a c 4 0 v a c v a 0 v a a c 0 v () + a 3
14 De laatste matrix is symmetrisch (zoals verwacht mocht worden) en dat is een mooie controle op onze berekening. Een ander controle op formule () verkrijgen we door S µν = η µν te nemen, immers η µν dient invariant te zijn onder de Lorentz transformatie. Dan is a 0 = en a c = a = a 3 = volgens de formule (6). Als we dit invullen in het laatste lid van formule () dan krijgen we: γ ( ) v v + v c c 4 c c v + v v c c c Het klopt dus keurig. = v /c ( c ( v c ) 0 0 ( v c ) 0 Appendix C: De impuls 4-vector ) = ( ) 0 c 0 We hadden de wereldlijn van een deeltje. Dat is een kromme die is geparametriseerd met de eigentijd langs die kromme. Dus t x 0 x y = x x z x 3 zijn functies van τ. We kijken nu naar de afgeleide naar τ van deze 4 plaatsvectoren: ẋ µ = dxµ dτ = dxµ dt dt dτ Dat τ de eigentijd is wil per definitie zeggen dat: c dτ = η µν dx µ dx ν = c dt dx dy dz (3) Delen we beide leden van vergelijking (3) door c dt en trekken we de wortel dan krijgen we dτ dt = u x + u y + u z (4) c waarbij u x = dx de x-component van de klassieke snelheid. Hetzelfde geldt dt voor u y en u z. Stellen we tenslotte u := u x + u y + u z 4
15 en γ = γ(u) = u /c dan levert vergelijking (4) op (beide zijden omkeren): dt dτ = γ = γ(u) Appendix D: Literatuur Referenties [] Bazin Adler and Schiffer. Introduction to General Relativity. A, 965. [] Peter Collier. A Most Incomprehensible Thing: Notes Towards a Very Gentle Introduction to the Mathematics of Relativity. 04. [3] Robert J. A. Lambourne. Relativity, Gravitation and Cosmology. 00. [4] Charles W. Misner and Kip S. Thorne. Gravitation. B, 973. [5] A. Zee. Einstein Gravity in a Nutshell
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatierelativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Nadere informatie1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier
OPGAVE. Opgave. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier : ρ = φ φ, waarin φ de Klein-Gordonfunctie is. De stroom j van kansdichtheid wor in Schrödingers
Nadere informatieVectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek. 1 Inleiding 3
Vectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Differentieerbare ruimten 3 2.1 Inleiding..............................
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen ART: 3 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieTentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand Datum uitreiken: 1 december 2011 Datum inleveren: 15 december 2011 (bij Marja of voor 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: 19-23 december
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieGravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6
1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Bij sommige opgaven is een hint aanwezig. Omdat u de opgave natuurlijk eerst op eigen kracht wilt proberen te maken
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieExamen Algemene natuurkunde 1, oplossing
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieTentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand, Tjonnie Li Datum uitreiken: 29 november 2010 Datum inleveren: 13 december 2010 Datum mondeling: 20 december 2010 Vermeld uw naam op elke pagina.
Nadere informatieUit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005
Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieVoorbereiding op de de cursus. E = mc 2. Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Voorbereiding op de de cursus E = mc Najaar 08 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek In dit document staan de uitwerkingen van de opgaven ter voorbereiding van de lezing. Inhoudsopgave Inleiding De A 3 Algebra
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieKrommen in de ruimte
Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieDeeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober
Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Populaire ideeën: - Scalair quantumveld met de juiste eigenschappen; (zoiets als Higgs Veld) - Willekeurig scalair quantum veld direct na de Oerknal
Nadere informatieOpgaven voor ART. collegejaar Laat T een of andere matrix voorstellen. Vorm nu het object
Opgaven voor ART collegejaar 009-010 1 College 1 1.1 Exponentiatie van operatoren Laat T een of andere matrix voorstellen. Vorm nu het object B = (1+ a ) N N T waarbij a een niet-infinitesimaal getal is,
Nadere informatieLemaître coördinaten; Algemene relativiteitstheorie Versie 1 HOVO Utrecht; Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Lemaître coördinaten; Algemene relativiteitstheorie Versie 1 HOVO Utrecht; 2017-2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Te verklaren verschijnselen.................... 2
Nadere informatieRelativistische quantummechanica
Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieKromming van ruimtetijd vereist een verdubbeling van het aantal vrijheidsgraden.
3/13/2008 1:31:25 Kromming van ruimtetijd vereist een verdubbeling van het aantal vrijheidsgraden. Hieronder zal hier op worden ingegaan, waarbij gebruik gemaakt wordt van [1]. Het gravitatieveld, veroorzaakt
Nadere informatieRelativiteit. N.G. Schultheiss
1 Relativiteit N.G. Shultheiss 1 Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieUitwerkingen opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Les 1 en 2: Klassieke gravitatie, Geodeten 2 1.1 Vallen naar een hemellichaam..................
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde.........................
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieHiggs-mechanisme: het bestaan van W- en Z-bosonen
Chapter Higgs-mechanisme: het bestaan van W- en Z-bosonen. De Higgs-Lagrangiaan Beschouwd wordt de volgende Lagrangiaan L : L = 2 µφ µ φ + 2 µφ 2 µ φ 2 + 2 µ2 φ 2 + 2 µ2 φ 2 4 λ φ 2 + φ 2 2 2.. Deze Lagrangiaan
Nadere informatieInleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke
Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 009 Vincent Icke icke@strw.leidenuniv.nl. Speciale relativiteitstheorie Bij nader inzien blijkt de Galilei-Huygens symmetrie niet exact te zijn. Daarvoor
Nadere informatieRELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré
RELATIVITEIT N.G. SCHULTHEISS. Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel
Nadere informatie1 De Hamilton vergelijkingen
1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 8 april 010 van 09.00u tot 1.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Laura van der Schaaf Differentiaaltopologie: 15 september 2014 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop
Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieHOVO Het quantum universum donderdag 19 februari 2009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen
HOVO Het quantum universum donderdag 9 februari 009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen Naam: Opgave : Ga uit van vergelijking 53) op bladzijde 34. Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 5 juli 2013, uur
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 5 juli 2013, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij
Nadere informatieRelativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieChapter 7. Het formalisme van Lagrange. 7.1 Het Principe van Extreme Actie
Chapter 7 Het formalisme van Lagrange 7.1 Het Principe van Extreme Actie De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieDe Dirac vergelijking
De Dirac vergelijking Alexander Sevrin 1 Inleiding Deze nota s geven een korte inleiding tot de Dirac vergelijking en haar eigenschappen. Kennis van de Dirac vergelijking is onontbeerlijk bij de studie
Nadere informatie8 Relativistische sterren
8 RELATIVISTISCHE STERREN 156 8 Relativistische sterren 8.1 Schwarzschild metriek Om de kracht van ART te waarderen, gaan we in dit hoofdstuk kijken naar de meest eenvoudige metriek naast de Minkowski
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ 1d Steeds: Dt R () = a Rt () V () t = HtDt () ()& H = R d t H 8π G = ρ 3 k R 3 met ρ ~ R ("energie versie") d 4 = dt 3 R πg ρ R ("kracht versie")
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel AB herkansing, blad 1/5 woensdag 31 januari 26, 9.-12.
Nadere informatieE = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1.
Energie Massa E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Nadere informatieGeleid herontdekken van de golffunctie
Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.
Nadere informatieBotsingen. N.G. Schultheiss
1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieHet Quantum Universum. Cygnus Gymnasium
Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk
Nadere informatie