Ò ÒÐ Ò Ò Ð ÙÒ À Ö ÖØ À Ñ Ö ÐÐ Â Ò Ò Å Ö ÉÙ ÒØ

Transcriptie

1 Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒ ÀÖÖØ ÀÑÖ ÐÐ ÂÒ Ò ÅÖ ÉÙÒØ

2

3 ÎÓÓÖÛÓÓÖ ÌÐÙÖ ÑÖØ ¾¼½½ Ø ØØ Ø Ò ÒÐÒ Ò Ð ÙÒº ÁÒ Ð ÙÒ Ò Û Ó Û Û ÙÒ ÙÒÒÒ ÖÙÒ ÓÑ ÓÔÖØÓÒÐ ÔÖÓÐÑÒ ÖÚÒ Ò Ò ØÐÐÒÒ ÙÒÒÒ ÓÔÐÓ Òº Ø Ú ÚÓÓÖÐ ØÓØ ÐÓ ØÒ ÌÛ ÏÖÐÓÓÖÐÓº ÁÒ ÒÐÒ Ò ÎÖÒ ËØØÒ ÛÖ ØÓÒ ÚÐ ÓÒÖÞÓ Ò ÒÖ Ø ÙÒÒÒµ ÙØÚÓÖÒ ÚÒ ÑÐØÖ ÓÔÖØ ÚÒÖ ÒÐ ÒÑÒ ÚÓÓÖ Ø Ú ÓÔÖØÓÒ Ö Öº ÁÒ Ø ØØ ÞÙÐÐÒ Û ÚÖ ØÒÒ ÙØ Ð ÙÒ ÒÐÒ Ø ÛØÒ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ØÓÛÞÒÒ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ò ÔÖÓØÔÐÒÒÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ò ÒØÛÖº Ø ØØ Ò ÖÙØ ÛÓÖÒ Ð ÙÞÑÓÙÐ ÒÒÒ Ø Ú Û ÙÒ Ò ÖÚÒ ÚÓÓÖ ÐÖÐÒÒ ÚÒ Ò ÎÏǺ ÀØ ØØ ÑÒ ØÐ ÙØ ÐØÖØÙÙÖ ÖÙØ ÛÓÖØ ÓÔÐÒ ÓÒÓÑ Ò ÓÔÐÒ ÓÒÓÑØÖ Ò ÇÔÖØÓÒÐ Ê Ö ÓÔ ÍÒÚÖ ØØ ÚÒ ÌÐÙÖ ÒÚÙÐ ÑØ Ò ÑØÖк ÀÓÓ ØÙÒ ½ ÔÖÖ ½º½ ØÓØ Ò ÑØ ½º Ò ½ºµ Ò ÓÑÒ ÙØ ÀÑÖ Ò ÃÔÖ ¾¼¼µ ÓÓ ØÙÒ ½ ÔÖÖ ½º ØÓØ Ò ÑØ ½ºµ Ò ÓÑÒ ÙØ ÓÖÑ ÚÒ Ñ ÀÑÖ Ò ÆÓÖ ¾¼¼µ Ò ÓÓ ØÙÒ ¾ Ò ÓÑÒ ÙØ ÀÑÖ ¾¼¼µº Ⱥ ÓÖÑ º ÚÒ Ñ Àº ÀÑÖ Ò Àº ÆÓÖ ¾¼¼µº ÄÒÖ Ò ÝÒÑÐ ËÝ ØÑ ÇÔØÑÞØÓÒ Ò Ñ º ÀÖÐÓÛ ÈÖ ÓÒ ÙØÓÒ ÄÑغ Àº ÀÑÖ Ò º ÃÔÖ ¾¼¼µº Ù Ò ÅØ ÌÛ ÖÙµº ÀÖÐÓÛ ÈÖ ÓÒ Ù ØÓÑ ÈÙÐ Òº ϺÀº ÀÑÖ ¾¼¼µº ÅÓÐÐÒ Ò ÑØÓÒº ÌÐÙÖ ÍÒÚÖ ØØ ÚÒ ÌÐÙÖ Øصº ÁÒÓÖÑØ Û ÙÒ» ÓÔ ÍÚÌ ÁÒ ¾¼¼ ÓÔ ÍÒÚÖ ØØ ÚÒ ÌÐÙÖ Ò ÔÖÓØØÑ ÓÒÒÒ ÑØ Ø ÔÖÓØ Û ÙÒ ÓÔ ÍÚ̳º Ø ØÑ Ø ÓÒÖ ÒÖ ØØÒ ÓÒØÛÐ ÚÓÓÖ Ø ÚÖ Ð ÚÒ Û ÙÒ ÖÙØ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒº ÁÒ ¾¼¼ Ø ÔÖÓØ ÙØÖ ÓÓ ÚÓÓÖ Ø Ú Û ÙÒ ÞÒ ØØÒ ÓÒØÛÐ ÖÙØ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ ÚÓÓÖ ÚÖÔÒ ÚÒ ØÒ ÓÒÖÛÖÔÒ Ó ØÓÔ Ò ÚÒ Ò Û ÙÒ ÓÔ ÒÙÛ ÓÒÖÛÖÔÒº ÎÓÓÖ ÑÖ ÒÓÖÑØ ÙÒØ Ù Ò ÓÔ Û Ø ÛÛÛºØÐÙÖÙÒÚÖ ØÝºÙ»Û ÙÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ Ò ÛÛÛºØÐÙÖÙÒÚÖ ØÝºÙ»Û ÙÒ ÚÓÓÖ Û ÙÒ º Í ÙÒØ ÓÓ ÓÒØØ ÓÔÒÑÒ ÑØ ÔÖÓØÐÖ ÔÖÓº Öº ÀÖÖØ ÀÑÖ ÀºÂºÅºÀÑÖ ÙÚغÒеº

4

5 ÁÒÓÙ ÓÔÚ ÎÓÓÖÛÓÓÖ ½ ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ½ ½º½ ÁÒØÖÓÙØ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ö ÓÔÐÓ Ò ÑØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ØÒÖÚÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÑÔÐÜÑØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓÔ Ò Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÑÒ ÓÔÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ¾º½ ÖÒ Ò ÓÑÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÃÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÑÒ ÓÔÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ º½ ÀÓÒÖ ÑØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÅÜÑÐ ØÓÛÞÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÒ ÓÔÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ º½ ÀØ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

6 Ú ÁÒÓÙ ÓÔÚ º¾º¾ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐØÐÐ ÄÈ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÒ ÓÔÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓØÔÐÒÒÒ º½ ÎÒ ÔÖÓØ ÒÖ ÒØÛÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÙÖ ÚÒ Ò ÔÖÓØ ÔÖÓØÒÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÌÓÔ Ò Ò ÔÖÓÙØÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÒ ÓÔÚÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÒ º½ ÎÖÞÑÐÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Û ÈÖѳ ÐÓÖØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÒØÛÓÓÖÒ ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÒÒØÛÓÓÖÒ ÓÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

7 ½ ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ Ò ÖØ ÓÔØÑÐ ØØÒ ÛÖÑ ÚÐ ÔÖØ ÔÖÓÐÑÒ Ò ÓÔÐÓ Òº ÁÒ Ø ÓÓ ØÙ ÛÓÖÒ ÒÑÖÒ ÚÒ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖ ÒØÖº ÖÔÔÒÐ Ø ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ ÌÓÐØÒ Ò ÙÐ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ ÙÐØØ ØÐÐÒ ËÑÔÐÜÑØÓ ½º½ ÁÒØÖÓÙØ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÒØÖÓÙÖÒ Û ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ò ÚÓÓÖк ÄÒÖ ÔÖÓ¹ ÖÑÑÖÒ ÛÓÖØ Ú ÓÖØ ØÓØ ÄÈ Ò Ø ÞÙÐÐÒ Û Ò Ø ÓÓ ØÙ ÓÓ ÓÒº ÎÓÓÖÐ ½º½ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÒ ÔÖÓÐÑ ÌÓÔ¹Ø Ò ÔÖÓÙÖØ ØÛ ØÝÔÒ Ø ÖÑ Ò Ì ÖÑ Ò Ò Ö ÖѺ ÎÓÓÖ ÔÖÓÙØ ÚÒ Ò Ì ÖÑ ÐÙÑÒÙÑ Ò ØÐ ÒÓ ÚÓÓÖ ÔÖÓÙØ ÚÒ Ò Ö ÖÑ ÐÙÑÒÙÑ Ò ¾ ØÐ ÒÓº ÌÓÔ¹Ø Ò ÚÖÓÓÔØ Ò Ì ÖÑ ÚÓÓÖ ½¼ ÙÖÓ Ò Ò Ö ÖÑ ÚÓÓÖ ½¾¼ ÙÖÓº ÀØ ÒÓ ÚÒ ÐÙÑÒÙÑ ÔÖØ ØÓØ Ò ÑÜÑÙÑ ÚÒ ¼ ÔÖ Ò Ø ÒÓ ÚÒ ØÐ ØÓØ Ò ÑÜÑÙÑ ÚÒ ¾ ÔÖ º ÌÓÔ¹Ø Ò ÛÐ ÞÒ Ð ÓÔÖÒ Ø ÑÜÑÐ ÖÒº ÇÑ Ò ÞÓ ÖÓÓØ ÑÓÐ ÓÔÖÒ Ø Ø ÖÐ ÖÒ ÑÓØ ÌÓÔ¹Ø Ò Ð Ò ÓÚÐ Ì ÖÑ Ò ÓÚÐ Ö ÖÑ ÔÖÓÙÖ ÑÓØÒ ÛÓÖÒ ÚÒ Ø ÒÓ ÚÒ ÐÙÑÒÙÑ Ò Øк ÌÐ ½º½ ØÓÓÒØ ÐÐ ÚÒ ÚÒ Ø ÓÚÒ ØÒ ÖÚÒ ÔÖÓÙØÔÖÓ ÚÒ Ø ÖÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Òº Ö Ø ÒØÖÓÙÖÒ Û Ð Ò ÚÖÐÒ Ì ÖÑ Ö ÖÑ Ð ÒÓ ÐÙÑÒÙÑ ¼ ØÐ ¾ ¾ ÔÖ ½¼ ½¾¼ ÌÐ ½º½ ÀØ ÔÖÓÙØÔÖÓ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Òº ½

8 ¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ x 1 x 2 = ÒØÐ Ì ÖÑ ÔÖÓÙÖ ÓÔ Ò = ÒØÐ Ö ÖÑ ÔÖÓÙÖ ÓÔ Ò º ÁÒÒ x 1 Ì ÖÑ Ò x 2 Ö ÖÑ ÛÓÖÒ ÔÖÓÙÖ ØÓØÐ ÓÔÖÒ Ø Ð Ò 1960x x 2 ÙÖÓº Þ ÓÖÑÙÐ ÛÓÖØ ÓÐÙÒØ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÒÓѺ ÀØ ÓÐ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò Ð Ò ÑÜÑÐ Ö 1960x x 2. ½º½µ ÓÐ ÖÖ ÛÖ ÚÖÑÐ ÞÒ ÔÖÓÙØÑÓÐÒ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÔÖغ ÁÒÒ x 1 Ì ÖÑ Ò x 2 Ö ÖÑ ÛÓÖÒ ÔÖÓÙÖ ÞÒ 4x 1 + 5x 2 ÐÙÑÒÙÑ Ò 6x 1 + 2x 2 ØÐ ÒÓº ÇÑØ ÓÓ ØÒ ¼ ÐÙÑÒÙÑ Ò ¾ ØÐ ÔÖ ÖÙØ Ò ÛÓÖÒ ÓÒÖÚÒØ ÌÓÔ¹Ø Ò ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÛÖÒ 4x 1 + 5x 2 70 ½º¾µ 6x 1 + 2x ½º µ ÌÒ ÐÓØØ ØÐÐÒ Û ÚÓÓÖÛÖ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò Ò ÒØ ÒØÐ ÖÑ Ò ÔÖÓÙÖÒº ÌÓÔ¹Ø Ò Ø Ø ÑÒ ÑØ ÚÓÐÒ ØÒÚÓÓÖÛÖÒ x 1 0, x 2 0. ½ºµ ÖÐØ ½º½µ¹ ½ºµ ÖÚÒ Ø ÔÖÓÐÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÚÓÐÐ Ò ÓÔ Ò Û ÙÒ ÑÒÖº ÁÒ Ø ÐÑÒ Ò Ò ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ ÛÖ Ò ÐÒÖ ÓÐÙÒØ ÓÒÖ ÐÒÖ ÚÓÓÖÛÖÒ ÑÓØ ÛÓÖÒ ÑÜÑÐ Ö ÓÔ Ò ÚÓÐÒ ÑÒÖ ÛÓÖÒ ÛÖÚÒ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÚÓÐÒ ØÝÔ maximaliseer z = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n onder de a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 voorwaarden a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 º º º º a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n b m x 1 0, x 2 0, x n 0. ÙÒØ Ò Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÑÜÑÐ Ö ÒØ Ø ÛÓÖÒ ÛÓÖØ ÓÐÙÒØ ÒÓѺ ÎÓÓÖ Ø Ñ ÛÓÖØ Ò Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÓÐÙÒØ ÛÖÚÒ ÓÓÖ zº ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÖÞÑÐÒ ÚÒ ÐÐ ÔÙÒØÒ Ò ÚÓÓÖÛÖÒ Ò ØÒÚÓÓÖÛÖÒ ÚÓÐÓÒº ÁÒÒ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ò ÔÙÒØ Ò Ø ØÓ¹ ÐØÒ ÛÖÚÓÓÖ ÓÐÙÒØ ÖÓÓØ Ø ÛÖ ÒÒÑØ ÚÒ ÐÐ ÔÙÒØÒ Ò Ø ØÓÐØÒ º ÓÔØÑÐ ÛÖ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÓÓÖ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº

9 ½º½º ÁÒØÖÓÙØ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÎÓÓÖÐ ½º¾ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ØÓÐØÒ ÍØ Ø Ø ÚÓÖ ÚÓÓÖÐ ÚÓÐØ Ø Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò Ð Ò maximaliseer z = 1960x x 2 onder de voorwaarden 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. ÇÑØ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÐØ ØÛ Ð Ò ÚÖÐÒ x 1 Ò x 2 µ Ø Ò Ø ØÓÐØÒ ÓÔ ÚÓÐÒ ÑÒÖ ÛÓÖÒ Ð Ò Ò (x 1, x 2 )¹ Ò ØРк ÌÒ Ö Ø ÐÒÒ 4x 1 + 5x 2 = 70 Ò 6x 1 + 2x 2 = 72º ÆÑ ÚÖÚÓÐÒ ÐÐ ÔÙÒØÒ ÒÒ ÐÒÒ ÑÖ ÓÚÒ x 1 ¹ Ò ÖØ ÚÒ x 2 ¹ º ÀØ ÒÔÙÒØ C = (10, 6) ÚÒ ÐÒÒ ÛÓÖØ ÚÖÖÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ù ØØÙØÑØÓº ÀÖ Ö 6x 1 + 2x 2 = 72 ÒÖ 3x 1 + x 2 = 36 Ò ÚÖÚÓÐÒ ÒÖ x 2 = 36 3x 1 º ÎÖÚÒ ÚÖÚÓÐÒ x 2 Ò 4x 1 + 5x 2 = 70 ÓÓÖ 36 3x 1 ÛÖÓÓÖ Ò ÚÖÐÒ ÑØ Ò ÓÒÒ ÖØ ÛÖÙØ x 1 ÙÒØ ÓÔÐÓ Òº 4x 1 + 5x 2 = 4x 1 + 5(36 3x 1 ) = 4x x 1 = x 1 = 70 11x 1 = 110 x 1 = 10 Ð x 1 = 10 ÚÖÚÓÐÒ ÛÖ ÒÚÙÐØ Ò x 2 = 36 3x 1 Ö x 2 = = 6º ØÛ ÐÒÒ ÒÒ ÐÖ Ù Ò Ø ÔÙÒØ (x 1, x 2 ) = (10, 6)º x 2 6x 1 + 2x 2 = 72 C = (10, 6) 4x 1 + 5x 2 = 70 ÙÙÖ ½º½ ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐѺ x 1 ÁÒ ÙÙÖ ½º½ ÛÓÖØ Ø ØÓÐØÒ ÛÖÚÒ ÓÓÖ Ø ÖÞ º ÇÔÚ ½º½ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ØÓÐØÒ µ Ò ÖÔÖÓÙÒØ ÔÖÓÙÖØ ÐÓÒ Ö (b) Ò ÓÒÖ Ö (d). ÚÓÓÖÒÑ Ø ÖÓÒ ØÓÒ ÒÓ ÞÒ ÚÓÓÖ ÔÖÓÙØ ÚÒ ÐÓÒ Ò ÓÒÖ Ö ÞÒ ØÖÛ Ò ÓÔº ÀØ ÔÖÓÙØ Ñ ÞØ Ö Ð ÚÓÐØ ÙØ ÐÓÒ Ö ÓÒÖ Ö Ö ÓÚÐ ØÖÛ ½ ¾ ÓÔ ¾ ½ ÔÖ µ ÓÖÑÙÐÖ Ø ÓÔÖÒ ØÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Þ ÖÔÖÓÙÒØ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐѺ µ ÌÒ Ø ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐѺ

10 ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÇÔÚ ½º¾ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ØÓÐØÒ µ Ò Ö ÑØ ØÛ ØÝÔÒ ØÐÓÓÒ ÑÓÐ ØÐÓÓÒ Ò ØÙ ØÐÓÓÒ º Ò ÑÓÐ ØÐÓÓÒ ÛÓÖØ ÚÖÓØ ÚÓÓÖ ¾ ÙÖÓ Ò Ò ØÙ ØÐÓÓÒ ÚÓÓÖ ¾¾ ÙÖÓº ÀØ ÑÒ ÚÒ Þ ØÐÓÓÒ ÚÖ Ø ØÛ ØÝÔÒ ÓÓÐ Ö Ô Ò ÐÙØÒ Ò ÛÖÒº Ò ÖÖ Ø ¾ ÑÒÙØÒ ÒÓ ÓÑ Ô Ò Ò ÑÓÐ ØÐÓÓÒ Ò Ø ÐÙØÒ Ò ÑÒÙØÒ ÓÑ Ô Ò Ò ØÙ ØÐÓÓÒ Ò Ø ÐÙØÒº ÎÓÓÖ Ø ÛÖÒ ÚÒ ÑÓÐ ØÐÓÓÒ Ø Ò ÒÖ ÖÖ ¾ ÑÒÙØÒ ÒÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÛÖÒ ÚÒ ØÙ ØÐÓÓÒ Ø ½ ÑÒÙÙØ ÒÓº ÔØØ ÚÓÓÖ Ø Ò ÐÙØÒ ÚÒ Ô ½¼ ÑÒÙØÒ ÔÖ Ò ÚÓÓÖ Ø ÛÖÒ ¼ ÑÒÙØÒ ÔÖ º µ ÓÖÑÙÐÖ Ø ÓÔÖÒ ØÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø Ö Ð Ò ÄȹÔÖÓÐѺ µ ÌÒ Ø ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐѺ ½º¾ Ö ÓÔÐÓ Ò ÑØÓ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÐØÒ Û ÞÒ Ø Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÑØ ØÛ Ð ¹ Ò ÚÖÐÒ Ò ÛÓÖÒ ÔÐ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ò Ö ÑØÓº Ø ØÒØ ÓÚÖÒ ÒØ Ø Ö Þ ÑØÓ ÒØ ÖÒ ÓØ Ø ÛÓÖÒ Ö ÚÓÓÖÐ ÓÐ ÓÑ Ò Ó Ð ÚÒ Ø ÔÖÓÐÑ Ø ÖÒº ÎÓÓÖÐ ½º Ö ÓÔÐÓ Ò ÑØÓ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÙÛ Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÙØ Ø Ö Ø ÚÓÓÖÐ ÚÒ ÚÓÖ ÔÖÖ ½ max. z = 1960x x 2 o.d.v. 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÛÓÖØ ÛÖÚÒ Ò ÙÙÖ ½º¾º ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ ÞÒ ÔÙÒØÒ A = (0, 0) B = (0, 14) C = (10, 6) Ò D = (12, 0)º ÅÖ ÓÔ Ø Þ ÔÙÒØÒ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ ÚÓÒÒ ÓÓÖ ÒÔÙÒØÒ Ø ÔÐÒ ÚÒ ÐÒÒ Ø ØÓÐØÒ ÖÚÒº ÓÙÛ Ø ÔÙÒØ X = (5, 10) Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖØ x 2 B = (0, 14) X = (5, 10) 6x 1 + 2x 2 = 72 C = (10, 6) 4x 1 + 5x 2 = 70 A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 ÙÙÖ ½º¾ ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐѺ ½ ÁÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÖÓÒÖ Ò Û maximaliseer³ ÓÖØ ØÓØ max. Ò onder de voorwaarden³ ØÓØ o.d.v.º

11 ½º¾º Ö ÓÔÐÓ Ò ÑØÓ ÑØ Ð ÔÖÓÙØ ÚÒ Ì ÖÑ Ò ½¼ Ö ÖÑ º ÓÔÖÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Þ ÔÖÓÙØ z(5, 10) = = ÙÖÓº ÐÐ ÔÖÓÙØÔÐÒÒÒ ÞÐ ÓÔÖÒ Ø ÓÔÐÚÖÒ ÚÓÐÓÒ Ò 1960x x 2 = 22200º Þ ÔÖÓÙØÔÐÒÒÒ ÞÒ ÔÙÒØÒ (x 1, x 2 ) Ò Ø ØÓÐØÒ ÐÒ ÓÔ ØÔÔÐ ÐÒ ÓÓÖ X Þ ÙÙÖ ½º µº ØÔÔÐ ÐÒ ÛÓÖØ Ò Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÑØ ÛÖ ÒÓѺ x 2 X = (5, 10) 6x 1 + 2x 2 = 72 C = (10, 6) 4x 1 + 5x 2 = 70 ÙÙÖ ½º ÒÐ Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒÒ ÚÓÓÖ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐѺ x 1 ÁÒ Ø ÐÑÒ Ø Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÑØ ÛÖ c ÚÓÐÒ ÚÓÖÑ 1960x x 2 = c. Ð Û Þ ÚÖÐÒ Ö ÖÚÒ ÖÒ Û x 2 = x c º ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø Ð Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÞÐ ÖØÒ ÓÒØ 1960/1240 غ Á Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒÒ ÞÒ Ù ÔÖÐÐÐÐ ÐÒÒº ÒÐ Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒÒ ÞÒ ØÒ Ò ÙÙÖ ½º º ÅÖ ÓÔ Ø Ø ÒÖ ÖØ ÚÖ ÙÚÒ ÚÒ ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Ò ØÒ ÚÒ ÓÔÖÒ Øº ÍØ ÐÒ ÐØ Ø Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÑØ ÖÓÓØ Ø ÓÔÖÒ Ø ÒÓ ÒØ ÑØ Ø ØÓÐØÒ Ó¹ÓÔÖÒ ØÒÐÒ ÓÓÖ C = (10, 6) ÛÖ c = º ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ù Ø ÔÖÓÙÖÒ ÚÒ ½¼ Ì ÖÑ Ò Ö ÖÑ Ò ÑÜÑÐ ÓÔÖÒ Ø ÚÓÓÖ ÌÓÔ¹Ø Ò ¾¼¼ ÙÖÓº ÀØ ÌÓÔ¹Ø Ò ÔÖÓÐÑ Ö ÓÔÐÓ Øº ÇÔÚ ½º Ö ÓÔÐÓ Ò ÄȹÔÖÓÐѵ µ ÄÓ Ö Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ ÓÔÚ ½º½ ÓÔº µ ÄÓ Ö Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ ÓÔÚ ½º¾ ÓÔº ÁÒ Ø ÚÓÖ ÚÓÓÖÐ Ò Û ÞÒ Ø ÑÜÑÙÑÐÓØ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò Ò ÓÔÙÒØ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ Ðغ Ø ÐØ Ò Ø ÐÑÒ Ò ÛÓÖØ ÖÚÒ ÓÓÖ ÚÓÐÒ Ò Ôº ÇÔÐÓ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ÓÔØÑÐ ÛÖ Ø ÛÓÖØ Ø ÓÔØÑÙÑ ÖØ Ò Ò Ó ÑÖµ ÚÒ ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º

12 ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÎÓÐÒ ÐØ Ø Ò Ô Ø ÚÓÓÖ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÓÐÓÒ ÓÑ ÓÔÙÒ¹ ØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ø ÚÒÒº Ø ÐØ ØÓØ ÚÓÐÒ ÔÖÓÙÖ ÓÑ Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÓÔ Ø ÐÓ Òº ÀÓÔÙÒØÑØÓ ÚÓÓÖ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÒ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ËØÔ ½º ÌÒ Ø ØÓÐØÒ º ËØÔ ¾º ÔÐ ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º ËØÔ º ÖÒ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÓÓÖ Ð ÓÔÙÒغ ËØÔ º ÔÐ Ø ÑÜÑÙÑ ÚÒ ÛÖÒ ÖÒ Ò ØÔ º ÎÓÓÖÐ ½º ÓÔÙÒØÑØÓ ÓÙÛ ÓÔÒÙÛ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÔÖÓÐÑ max. z = 1960x x 2 o.d.v. 4x 1 + 5x x 2 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. ËØÔ ½ ÀØ ØÓÐØÒ ØÒ Ò ÙÙÖ ½ºº x 2 B = (0, 14) 6x 1 + 2x 2 = 72 C = (10, 6) 4x 1 + 5x 2 = 70 A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 ÙÙÖ ½º ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐѺ ËØÔ ¾ ÍØ ÙÙÖ ½º ÚÓÐØ Ø ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ Ð ÞÒ Ò (0, 0) (0, 14) (10, 6) Ò (12, 0)º ÅÖ ÓÔ Ø Þ ÔÙÒØÒ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ ÚÓÒÒ ÓÓÖ ÒÔÙÒØÒ Ø ÔÐÒ ÚÒ ÐÒÒ Ø ØÓÐØÒ ÖÚÒº ËØÔ ÖÒ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÓÓÖ Ð ÓÔÙÒØ z(0, 0) = 0, z(0, 14) = 17360, z(10, 6) = 27040, z(12, 0) = ËØÔ ÀØ ÑÜÑÙÑ Þ ½¼ µ ¾¼¼ ÓÑØ ÚÓÓÖ (10, 6) ÓÐÙÒØ ÖÓÓØ Ø ÛÖ Öغ

13 ½º¾º Ö ÓÔÐÓ Ò ÑØÓ ÇÔÚ ½º ÓÔÙÒØÑØÓµ µ ÄÓ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ò ÓÔÚ ½º½ ÓÔº µ ÄÓ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ò ÓÔÚ ½º¾ ÓÔº ÇÔÚ ½º ÓÔÙÒØÑØÓµ ÄÓ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔ µ max. z = 5x 1 + 5x 2 o.d.v. 2x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 8 x 1 0, x 2 0 µ max. z = 20x x 2 o.d.v. 2x 1 + x 2 10 x 1 + x 2 7 x 1 + 2x 2 12 x 1 0, x 2 0 ÀØ ÓÓ ÑÓÐ Ø ÓÐÙÒØ ÑÒÑÐ Ö Ò ÔÐØ ÚÒ ÑÜÑÐ Ö ÑÓØ ÛÓÖÒº ÁÒ Ø ÚÐ ÔÖÒ Û ÚÒ Ò ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѺ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÚÓÐÒ ØÝÔ minimaliseer w = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n onder de a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 voorwaarden a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 º º º º a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n b m x 1 0, x 2 0, x n 0. Ò ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÓÓ ÛÓÖÒ ÓÔÐÓ Ø ÓÓÖ ÖÙ Ø ÑÒ ÚÒ ÓÔÙÒØѹ ØÓº ÀØ Ò ÚÖ Ð Ø Ò ØÔ Ø ÑÒÑÙÑ Ò ÔÐØ ÚÒ Ø ÑÜÑÙÑ ÓÞÒ ÒØ Ø ÛÓÖÒº ÎÓÓÖÐ ½º ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÓÙÛ Ø ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ ¾ min. w = 70y y 2 o.d.v. 4y 1 + 6y y 1 + 2y y 1 0, y 2 0. ËØÔ ½ Ö Ø ØÒÒ Û Ø ØÓÐØÒ Þ ÙÙÖ ½ºº ÅÖØ ÓÔ Ø ÚÓÓÖ Ò Äȹ ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ø ØÓÐØÒ ØØ ÙØ ÐÐ ÔÙÒØÒ ÓÚÒ ÐÒÒ ÖÚÒ ÓÓÖ 4y 1 + 6y Ò 5y 1 + 2y ÑÖ ÓÚÒ y 1 ¹ Ò ÖØ ÚÒ y 2 ¹ º ¾ ÀÖ minimaliseer³ ÓÖØ ØÓØ min.³º

14 ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ y y 1 + 2y 2 = 1240 (160, 220) 4y 1 + 6y 2 = ÙÙÖ ½º ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ò ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѺ y 1 ËØÔ ¾ ÙÙÖ ½º ÐØ ÞÒ Ø ÓÔÙÒØÒ (0, 620) (160, 220) Ò (490, 0) ÞÒº ÅÖ ÓÔ Ø Þ ÔÙÒØÒ ÚÓÒÒ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ ÓÓÖ ÒÔÙÒØÒ Ø ÔÐÒ ÚÒ ÐÒÒ Ø ØÓÐØÒ ÖÚÒº ËØÔ ÖÒ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÓÓÖ ÓÔÙÒØÒ w(0, 620) = 44640, w(160, 220) = 27040, w(490, 0) = ËØÔ ÀØ ÑÒÑÙÑ w(160, 220) = ÓÑØ Ò Ø ÔÙÒØ (160, 220) ÐÒ Ø ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÛÓÖØ Öغ ÇÔÚ ½º ÓÔÙÒØÑØÓ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѵ ÄÓ ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑÒ ÓÔ µ min. w = x 1 + x 2 o.d.v. 4x 1 + 5x 2 10 x 1 + 2x 2 8 x 1 0, x 2 0 µ min. w = 2x 1 + x 2 o.d.v. 4x 1 + 2x 2 6 6x 1 + x 2 6 x 1 0, x 2 0 ½º ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÔÐÒ Û ÚÓÓÖ Ð ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÚÖÒ ÓÙÒ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÒÑ Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÛÖ ÓÐÙÒØ ÛÓÖØ ÑÜÑÐ Ö Ø

15 ½º º ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÓÐÒ ÚÓÖÑ max. z = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n o.d.v. a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 º º º º a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n b m x 1 0, x 2 0, x n 0. ½ºµ ÀØ ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÒÖ ÓÓÖ min. w = b 1 y 1 +b 2 y 2 + +b m y m o.d.v. a 11 y 1 +a 21 y 2 + +a m1 y m c 1 a 12 y 1 +a 22 y 2 + +a m2 y m c 2 º º º º a 1n y 1 +a 2n y 2 + +a mn y m c n y 1 0, y 2 0, y m 0. ½ºµ ÀØ ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ò ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѺ Ï ÒÓÑÒ ÔÖÓÐÑ ½ºµ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ Ò ÔÖÓÐÑ ½ºµ Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ ÅÖ ÓÔ Ø Ø ÒØÐ ÚÖÐÒ Ò Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ = nµ Ð Ò Ø ÒØÐ ÚÓÓÖÛÖÒ Ò Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ò Ø ÒØÐ ÚÓÓÖÛÖÒ Ò Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ = mµ Ð Ò Ø ÒØÐ ÚÖÐÒ Ò Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ ÅÖ ÓÓ ÓÔ Ø ØÐÐÒ Ò ÖØÖÞ ÚÒ ÚÓÓÖÛÖÒ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ Ð ÞÒ Ò ÓÒØÒ ÚÒ ÓÐÙÒØ Ò Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ò Ú ÚÖ º ÎÓÓÖÐ ½º ÚÒ ÔÖÑÖ ÒÖ ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÙÛ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = 1960x x 2 o.d.v. 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. ÀØ ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ø ÚÓÐÒ ÑÒÑÐ ÖÒ ÔÖÓÐÑ min. w = 70y y 2 o.d.v. 4y 1 + 6y y 1 + 2y y 1 0, y 2 0. ÅÖ ÓÔ Ø Û Ø ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò Ø ÐØ Ø ÚÓÓÖÐ ÚÒ ÚÓÖ ÔÖÖ Ð Ò Òº ÇÔÚ ½º ÚÒ ÔÖÑÖ ÒÖ ÙÐ ÄȹÔÖÓÐѵ µ ÔÐ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ÓÔÚ ½º½º µ ÔÐ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ÓÔÚ ½º¾º ÀØ ÐÒ ÚÒ Ø ÔÖÒ ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÛÓÖØ ÛÖÚÒ ÓÓÖ ÚÓÐÒ ØÐÐÒº

16 ½¼ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÙÐØØ ØÐÐÒ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÄȹÔÖÓÐÑ Ð Ò ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÙÐ ÄȹÔÖÓÐѺ Ï ÐÐÙ ØÖÖÒ ÙÐØØ ØÐÐÒ Ò Ø ÚÓÐÒ ÚÓÓÖк ÎÓÓÖÐ ½º ÙÐØØ ØÐÐÒ ÓÙÛ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = 1960x x 2 o.d.v. 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. ÁÒ ÚÓÖ ÔÖÖ Ò Û ÞÒ Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ Ð Ò z(10, 6) = 27040º ÆÙ Ò Û Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ min. w = 70y y 2 o.d.v. 4y 1 + 6y y 1 + 2y y 1 0, y 2 0. ÁÒ ÚÓÖ ÔÖÖ Ò Û ÞÒ Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ Ð Ò w(160, 220) = 27040º ÅÖ ÓÔ Ø ÑÜÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÄȹÔÖÓÐÑ ÒÖ Ð Ò ÑÒÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐѺ ÇÔÚ ½º ÙÐØØ ØÐÐÒµ µ ÄÓ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔ max. z = 3x 1 + 2x 2 o.d.v. 4x 1 + 2x 2 10 x 1 + 5x 2 10 x 1 0, x 2 0 µ ÄÓ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÙØ ÓÒÖÐ µ ÓÔº ÌÒ ÐÓØØ ÐØÒ Û ØÛ ØÓÔ ÒÒ ÞÒ ÛÖ Ø Ò ÓÑ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ Ø ÚÖÒÖÒ Ò Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ Ö Ø ØÓÔ Ò ÒÐØ ÓÔÙÒØÑØÓ ÚÒ ÄȹÔÖÓÐÑÒº ÅÖ ÓÔ Ø ÓÔÙÒع ÑØÓ ÐÐÒ ØÓÔ Ø Ò ÛÓÖÒ Ð Ø ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ØÒ Ò ÛÓÖÒº ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÐÐÒ ÑØ ÓÔÙÒØÑØÓ ÓÔÐÓ Ø Ò ÛÓÖÒ Ð Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÔÖ ØÛ Ð Ò ÚÖÐÒ Øº ÓÙÛ Ò ÔÖÑÖ ÄȹÔÖÓÐÑ Ø ÑÖ Ò ØÛ Ð Ò ÚÖÐÒ Ò ÔÖ ØÛ ÚÓÓÖ¹ ÛÖÒ Øº ÓÔÙÒØÑØÓ Ò Ò ÒØ ÓÔ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ØÓÔ Ø ÛÓÖÒ ÓÑØ Ø ÑÒ ØÒ Ö Ð Ò ÚÖÐÒ Øº ÇÑØ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ØÛ ÚÓÓÖÛÖÒ Ø Ø Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÔÖ ØÛ Ð Ò ÚÖÐÒº ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔÐÓ Ø Ò ÛÓÖÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÓÔÙÒØÑØÓº ÅØ ÙÐÔ ÚÒ ÙÐØØ ØÐÐÒ

17 ½º º ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ½½ ÞØ Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ Ò Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð ÞÒ ÙÒÒÒ Û Ø ÔÖÑÖ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔÐÓ Òº ÀØ ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÐ ÐÐÙ ØÖÖØ Þ ØÓÔ Òº ÎÓÓÖÐ ½º ØÓÔ Ò ÙÐØØ ØÐÐÒ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = 2x 1 + x 2 + 2x 3 o.d.v. 4x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 + x 2 + 4x 3 5 x 1 0, x 2 0, x 3 0. ÀØ ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð Ò min. w = 10y 1 + 5y 2 o.d.v. 4y 1 + y 2 2 y 1 + y 2 1 y 1 + 4y 2 2 y 1 0, y 2 0. ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐÑ ÛÖÚÒ Ò ÙÙÖ ½ºº y 2 D = (0, 2) C = ( 1 3, 2 3 ) B = ( 2 3, 1 3 ) A = (2, 0) y 1 ÙÙÖ ½º ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÔÖÓÐѺ ÅÖ ÓÔ Ø ÓÔÙÒØÒ Ð ÞÒ Ò A = (2, 0) B = ( 2 3, 1 3 ) C = ( 1 3, 3 2 ) Ò D = (0, 2)º ÇÑØ w(2, 0) = 40 w( 2 3, 1 3 )) = w( 1 3, 2 3 ) = Ò w(0, 2) = 20 Ø ÑÒÑÙÑ w( 3 1, 2 3 ) = º ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø Ø ÑÜÑÙÑ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÓ Ð Ò º ÇÔÚ ½º ØÓÔ Ò ÙÐØØ ØÐÐÒµ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = 2x 1 + x 2 + x 3 o.d.v. 2x 1 + 2x 2 + x 3 1 x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0. ÔÐ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐѺ

18 ½¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ØÛ ØÓÔ Ò ÚÒ ÙÐØØ ØÐÐÒ ÒÐØ ÒØÖÔÖØØ ÚÒ ÓÖÒØÒ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ Ï ÞÙÐÐÒ ÞÒ Ø Þ ÓÖÒØÒ ÞÓÒÑ ÙÛÔÖÞÒ ÚÒ ÖÓÒ ØÓÒ ÛÖÚÒº ÎÓÓÖÐ ½º ÙÛÔÖÞÒ ÓÙÛ ÓÔÒÙÛ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÞÒ ÙÐ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ max. z = 1960x x 2 min. w = 70y y 2 o.d.v. 4x 1 + 5x 2 70 o.d.v. 4y 1 + 6y x 1 + 2x y 1 + 2y x 1, x 2 0 y 1, y 2 0. ÆÑ ÒÙ Ò Ø Ø Ð ÒÓ ÚÒ ÐÙÑÒÙÑ ÚÓÓÖ ÌÓÔ¹Ø Ò ÛÓÖØ ÚÖÖÓÓØ ÑØ ½ ÚÒ ¼ ÒÖ ½ º ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø ÖØÖÞ ÚÒ Ö Ø ÚÓÓÖÛÖ Ò Ø Äȹ ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÛÓÖØ ÚÖÖÓÓØ ÑØ ½ Òº ÌÓÔ¹Ø Ò Ø Ø ÑÒ ÑØ ÚÓÐÒ ÒÙÛ ÄȹÓÔØÑÐ ØÔÖÓÐÑÒ max. z = 1960x x 2 min. w = 71y y 2 o.d.v. 4x 1 + 5x 2 71 o.d.v. 4y 1 + 6y x 1 + 2x y 1 + 2y x 1, x 2 0 y 1, y 2 0. ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÒØ ÚÖÒÖ ÐÐÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ ÀÓ Ø Ø ÒÚÐÓ ÓÔ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÓÓÖ ÖÙ Ø ÑÒ ÚÒ ÓÔÙÒØÑØÓ ÚÒÒ Û Ø (y 1, y 2 ) = (160, 220) ÒÓ Ø ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÒÙÛ ÙÐ ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ º ÓÒØÒ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓ¹ ÐÑ ÞÒ ÒÙ ½ Ò ¾ ºÔºÚº ¼ Ò ¾µº ÒÙÛ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ù w = = 27200º ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÓÓÖ ÔÖÓÒÐ ÔÖÓÐÑ Û = 27040º Ï Ò Ò ØÓÒÑ ÚÒ 160 ÒÒº ÇÑØ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð Ò Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ ÓÒÐÙÖÒ Û Ø ÓÔÖÒ Ø ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ØÓÒÑØ ÑØ 160 ÙÖÓ Ð Ø Ð ÒÓ ÚÒ ÐÙ¹ ÑÒÙÑ ØÓÒÑØ ÑØ ½ º ÙÛÔÖ ÚÒ ½ ÐÙÑÒÙÑ 160 ÙÖÓº ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø ÐÓØ ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÙÛÔÖÞÒ ÚÒ ÖÓÒ ØÓÒ ÚÒ Ø ÔÑÖ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÞÒº ÇÔÚ ½º½¼ ÙÛÔÖÞÒµ ÀÓÚÐ ÚÖÒÖØ ÓÔÖÒ Ø ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò Ð Ø Ð ÒÓ ÚÒ ÐÙÑÒÙÑ ÛÓÖØ ÚÖÖÓÓØ ÑØ ¾ Ò Ø Ð ÒÓ ÚÒ ØÐ ÛÓÖØ ÚÖÑÒÖ ÑØ ½ ÇÔÚ ½º½½ ÙÛÔÖÞÒµ ËØÐ Ø Ø Ð ÒÓ ÚÒ ÐÙÑÒÙÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÛÓÖØ ÚÖÖÓÓØ ÑØ ½ ÒÖ ½ º ÅØ ÓÚÐ ÑÓØ Ø ÒÓ ÚÒ ØÐ ÚÖÑÒÖÒ ÓÑ ÞÐ ÓÔÖÒ Ø Ø ÖÐ ÖÒ Ð Ò Ø ÓÖÒÐ ÔÖÓÐÑ

19 ½ºº ØÒÖÚÓÖÑ ½ ½º ØÒÖÚÓÖÑ ÁÒ ÔÖÖ ½º ÒØÖÓÙÖÒ Û ÑÔÐÜÑØÓ ÓÑ ÄÈ ÔÖÓÐÑÒ ÓÔ Ø ÐÓ Òº ÇÑ ÚÒ Þ ÑØÓ ÖÙ Ø ÙÒÒÒ ÑÒ ÞÙÐÐÒ Û ÄÈ ÔÖÓÐÑÒ Ö Ø ÑÓØÒ Ö ÖÚÒ ÒÖ ØÒ¹ ÖÚÓÖѺ ËØÒÖÚÓÖÑ Ò ÄÈ ÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ò ØÒÖÚÓÖÑ Ð ÐÐ ÚÓÓÖÛÖÒ Ð ÚÓÓÖÛÖÒ Ò ÐÐ ÚÖÐÒ ÒعÒØ ÞÒº Ð Û Ò ÄÈ ÔÖÓÐÑ ÒÖ ÞÒ ØÒÖÚÓÖÑ ÛÐÐÒ Ö ÖÚÒ ÞÙÐÐÒ Û ¹ Ò ¹ÚÓÓÖÛÖÒ ÑÓØÒ ÚÖÒÖÒ Ò =¹ÚÓÓÖÛÖÒº ÓÚÒÒ ÞÙÐÐÒ Û ÚÖÐÒ Ö ÛÖ Ò ÙÒÒÒ ÒÑÒ ÑÓØÒ Ö ÖÚÒ ÒÖ ÒعÒØÚ ÚÖÐÒº ÀÖÓÒÖ ÚÒ Û Ò Ó Û Ø ÚÓÓÖ ÐÖ ÙÒÒÒ ÖÒº ¹ÓÒÐ ÚÓÓÖÐ ÓÒÐ 2x 1 + 3x 2 17º ÇÑ Þ ÓÒÐ ÒÖ Ò Ð Ø ÙÒÒÒ ÖÚÒ Ò Û Ò ÒÙÛ ÚÖÐ ÒÓ ÞÓÒÓÑ Ð ÚÖÐ s = 17 2x 1 3x 2 º Þ ÚÖÐ Ø ÛÖ ÛØ Ö ÒØ ÖÙØ ÛÓÖØ ÚÒ ½ ÒÒ Ö ÞÒ Ð ÔÐ ÛÖÒ ÚÓÓÖ x 1 Ò x 2 ÓÞÒ ÞÒº Ð ÚÓÓÖÐ (x 1, x 2 ) = (4, 1) Ø Ò ÐØ Ø s = = 6 Ù Ø ÚÒ ½ ÒÒ ÒØ ÖÙØ ÛÓÖÒº ÙÞ ÚÒ (x 1, x 2, s) = (4, 1, 6) ÐØ Ø Ò 2x 1 + 3x 2 + s = 17 ÚÓÐÒ º ÎÓÓÖ Ð ÒعÒØÚ ÛÖ ÚÓÓÖ x 1 x 2 Ò s ÛÖÚÓÓÖ ÐØ Ø 2x 1 + 3x 2 + s = 17 Ø ÓÓ ÛÖ Ø x 1 Ò x 2 Ò ÓÖÒÐ ÓÒÐ 2x 1 + 3x 2 17 ÚÓÐÓÒº ÃÓÖØÓÑ ÓÒÐ 2x 1 + 3x 2 17 Ö ÖÚÒ ÒÖ Ð 2x 1 + 3x 2 + s = 17 ÛÖÚÓÓÖ Û Ò ÜØÖ ÒعÒØÚ ÚÖÐ s Ò ÑÓØÒ ÒØÖÓÙÖÒº Ï ÖÒ Ù ÓÓ ÒÓ Ò ÜØÖ ØÒÚÓÓÖÛÖ ÒÑÐ s 0º ¹ÓÒÐ ÚÓÓÖÐ ÓÒÐ 3x 1 x 2 7º ÇÑ Þ ÓÒÐ ÒÖ Ò Ð Ø ÙÒÒÒ ÖÚÒ Ò Û Ò ÒÙÛ ÚÖÐ ÒÓ ÞÓÒÓÑ Ü ÚÖÐ e = 3x 1 x 2 7º Þ ÚÖÐ Ø ÛÖ Ó ÚÖ Û ÚÒ Ø ÑÒÑÙÑ ÒØÐ ÚÒ ÒÒ ÚÖÛÖ ÞÒ Ð ÔÐ ÛÖÒ ÚÓÓÖ x 1 Ò x 2 ÓÞÒ ÞÒº Ð ÚÓÓÖÐ (x 1, x 2 ) = (4, 1) Ø Ò ÐØ Ø e = = 4 Ù Ø Û ÒÒ ÑÖ ÖÙÒ Ò Ø ÑÒÑÙÑ ÒØÐ ÚÒ º ÙÞ ÚÒ (x 1, x 2, e) = (4, 1, 4) ÐØ Ø Ò 3x 1 x 2 e = 7 ÚÓÐÒ º ÎÓÓÖ Ð ÒعÒØÚ ÛÖ ÚÓÓÖ x 1 x 2 Ò e ÛÖÚÓÓÖ ÐØ Ø 3x 1 x 2 e = 7 Ø ÓÓ ÛÖ Ø x 1 Ò x 2 Ò ÓÖÒÐ ÓÒÐ 3x 1 x 2 7 ÚÓÐÓÒº ÃÓÖØÓÑ ÓÒÐ 3x 1 x 2 7 Ö ÖÚÒ ÒÖ Ð 3x 1 x 2 e = 7 ÛÖÚÓÓÖ Û Ò ÜØÖ ÒعÒØÚ ÚÖÐ e Ò ÑÓØÒ ÒØÖÓÙÖÒº Ï ÖÒ Ù ÓÓ ÒÓ Ò ÜØÖ ØÒÚÓÓÖÛÖ ÒÑÐ e 0º ÇÒÖÒ ÚÖÐÒ ËØÐ Ø Û Ò ÄÈ ÔÖÓÐÑ Ò ÛÖÒ ÚÖÐ x 7 ÞÓÛÐ ÒØÚ Ð ÔÓ ØÚ ÛÖÒ Ò Ñ ÒÑÒº ÒÞÒ Ö ÖÐ ØÐ ÖÚÒ Ò ÛÓÖÒ Ð Ø ÚÖ Ð ØÙ Ò ØÛ ÒعÒØÚ ØÐÐÒ ÙÒÒÒ Û x 7 ÓÔ ÚÓÐÒ ÑÒÖ Ö ÖÚÒ x 7 = x 7 x 7 º Ð x 7 ÚÓÓÖÐ ÛÖ Ø Ò ÙÒ Ø ÖÚÒ Ð 4 0 x 7 = 4 x 7 = 0µ 5 1 x 7 = 5 x 7 = 1µ Ó x 7 = 513 x 7 = 509µº Ò ÒÖ ÒØ Ð x 7 = 4 Ò ÙÒ Ø ÖÚÒ Ð 0 4 x 7 = 0 x 7 = 4µ 1 5 x 7 = 1 x 7 = 5µ Ó x 7 = 509 x 7 = 513µº

20 ½ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÎÓÓÖÐ ½º½¼ ØÒÖÚÓÖÑ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄÈ ÔÖÓÐÑ max. z = 4x 1 + 5x 2 x 3 o.d.v. x 1 + x 2 7 2x 1 x 2 + x 3 10 x 1 + 2x 2 3x 3 8 x 1, x 2 0. ÅÖ ÓÔ Ø Ø ÄÈ ÔÖÓÐÑ ØÛ ¹ÓÒÐÒ Ò ¹ÓÒÐ Ò Ò ÓÒÖÒ ÚÖÐ x 3 µ Úغ ÇÑ Ö Ø ÚÓÓÖÛÖ Ø ÙÒÒÒ Ö ÖÚÒ ÒØÖÓÙÖÒ Û s 1 ÚÓÓÖ ØÛ ÓÒÐ s 2 Ò ÚÓÓÖ Ö ÓÒÐ e 3 º ÖÒ Ø ÚÖÚÒÒ Û x 3 ÓÓÖ x 3 x 3 ÛÖ x 3 Ò x 3 ÒعÒØ ÞÒº ØÒÖÚÓÖÑ ÚÒ ÓÚÒ ØÒ ÄÈ ÔÖÓÐÑ ÛÓÖØ Ò max. z = 4x 1 + 5x 2 x 3 + x 3 o.d.v. x 1 + x 2 + s 1 = 7 2x 1 x 2 + x 3 x 3 + s 2 = 10 x 1 + 2x 2 3x 3 + 3x 3 e 3 = 8 x 1, x 2, x 3, x 3, s 1, s 2, e 3 0. ÇÔÚ ½º½¾ ÀÖ Ö ÓÒÖ ØÒ ÄÈ ÔÖÓÐÑÒ ÒÖ ØÒÖÚÓÖѺ µ max. z = 2x + 3y o.d.v. x + 2y 6 x + y 4 x, y 0. µ max. z = 4x + y o.d.v. 8x + 2y 16 2x + y 6 x, y 0. µ max. z = 2x + 3y o.d.v. x + y 5 2x y 10 x, y 0. ½º ÌÓÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ Ò ÄÈ ÔÖÓÐÑ Ò ØÒÖÚÓÖÑ Ò Ð ÚÓÐØ ÖÚÒ ÛÓÖÒ max. z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n o.d.v. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 º º a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1, x 2,..., x n 0. ÁÒ Ø ÐÑÒ ÔÖÓÐÑ ÖÓÚÒ ÑØ m ÚÓÓÖÛÖÒ Ò n ÚÖÐÒµ ÙÒÒÒ ÚÖÐÒ x 1,..., x n ÞÓÛÐ ÚÓÓÖ Ð Ò ÚÖÐÒ Ð ÚÓÓÖ Ð Ò Ü ÚÖÐÒ ØÒº ÄØÒ Û Ò¹ ÒÑÒ Ø Û ÑÖ ÚÖÐÒ Ò ÚÓÓÖÛÖÒ Ò Ù Ø m n Ð Ø ÒØ Ø ÚÐ ÞÐ º º

21 ½ºº ÌÓÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ ½ Ø ÔÖÓÐÑ Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÔÐÓ Ò Òµº Ï ÙÒÒÒ Ò n m ÚÖÐÒ Ð Ò ÒÙÐ ÞÒ Ò Ò ÓÙÒ Û ÒÓ m ÚÖÐÒ ÓÚÖ ÑÓØÒ ÚÓÐÓÒ Ò m ÚÖÐÒÒº Þ m ÚÖÐÒ ÒÓÑÒ Û ÚÖÐÒ ÓÚÖ n m ÚÖÐÒ Û Ð Ò ÒÙÐ Ò ØÐ ÛÓÖÒ ÚÖ ÚÖÐÒ ÒÓѺ Ð Û Ò ÓÔÐÓ Ò ÙÒÒÒ ÚÒÒ Ò Ø ØÐ Ð ÚÒ m ÚÖÐÒÒ Ò m ÚÖÐÒ ÛÖ ÚÖ ÚÖÐÒ Ù Ð Ò ÒÙÐ ØÐ ÛÓÖÒµ Ò Ø Ø Ò ÓÔÐÓ Òº Ð ÐÐ ÚÖÐÒ ÓÚÒÒ ÒعÒØ ÞÒ Ò ÓÔÐÓ Ò ØÓÐØÒ Ò ÛÓÖØ Þ Ù Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒÓѺ ÎÓÓÖÐ ½º½½ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ØÒÖÚÓÖÑ ÚÒ Ø ÄÈ ÔÖÓÐÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò Ò ÔÖÖ ½º½ Ñܺ z = 1960x x 2 ÓººÚº 4x 1 + 5x 2 + s 1 = 70 6x 1 + 2x 2 + s 2 = 72 x 1, x 2, s 1, s 2 0. ÀØ ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÄÈ ÔÖÓÐÑ ÛÓÖØ Ö ÛÖÚÒ Ò ÙÙÖ ½ºº ÒÞÒ Ø x 2 B = (0, 14) C = (10, 6) A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 ÙÙÖ ½º ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÚÒ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒº ÔÖÓÐÑ m = 2 ÚÓÓÖÛÖÒ Ò n = 4 ÚÖÐÒ Ø ÙÒÒÒ Û Ò ÓÔÐÓ Ò ÖÒ ÓÓÖ n m = 4 2 = 2 ÚÖÐÒ Ð Ø ØÐÐÒ Ò ¼º Ð Û x 1 Ò x 2 = 0 Ð Ò ÒÙÐ ØÐÐÒ Ù x 1 = x 2 = 0µ ÖÒ Û Ò ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖ s 1 = 70 Ò s 2 = 72 ÓÔ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÚÖØ ÒØÙÙÖÐ (s 1, s 2 ) = (70, 72) ÓÔº ÒÞÒ ÓÔÐÓ Ò (x 1, x 2, s 1, s 2 ) = (0, 0, 70, 72) ÒعÒØ Ò Û ÖÑ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒÒº ÅÖ ÓÔ Ø Þ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (x 1, x 2 ) = (0, 0) ÔÙÒØ A Ò ÙÙÖ ½ºµº Ð Û ÞÒ ÚÓÓÖ x 1 = s 1 = 0 ÑÓØÒ Û 5x 2 = 70 Ò 2x 2 + s 2 = 72 ÓÔÐÓ Ò ÞÐ Ò Ø ÖÙØ ÚÓÐØ Ø x 2 = 14 Ò s 2 = 44º ÇÓ Þ ÓÔÐÓ Ò ÒعÒØ Ù Û Ò ÒÓ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒÒ Þ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ ÓÔÙÒØ (x 1, x 2 ) = (0, 14) ÔÙÒØ B Ò ÙÙÖ ½ºµº

22 ½ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÓÓÖ Ø ÞÒ ÚÓÓÖ x 1 = s 2 = 0 ÖÒ Û ÚÓÐÒ ØÛ ÚÖÐÒÒ ÑØ ØÛ ÓÒÒÒ 5x 2 + s 1 = 70 Ò 2x 2 = 72. ÞÐ Ò Ø ÓÔÐÓ Ò x 2 = 36 Ò s 1 = 110 º Ø ÐÚÖØ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔ ÓÑØ s 1 < 0º Ð Û ÞÒ ÚÓÓÖ x 2 = s 1 = 0 ÑÓØÒ Û 4x 1 = 70 Ò 6x 1 + s 2 = 72 ÓÔÐÓ Òº Ò Ø Ò ÐØ Ø x 1 = 17.5 Ò s 2 = 33º Ø ÐÚÖØ ÓÔÒÙÛ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔ ÓÑØ s 2 < 0º Ï ÙÒÒÒ ÓÓ ÞÒ ÚÓÓÖ x 2 = s 2 = 0 Ò ÞÙÐÐÒ Û 4x 1 + s 1 = 70 Ò x 1 = 72 ÓÔ ÑÓØÒ ÐÓ Òº Ø Ø x 1 = 12 Ò s 1 = 22 ÞÐ Òµº Þ ÓÔÐÓ Ò ÒعÒØ Ò Ø Ù ÛÐ ÛÖ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ ÓÔÙÒØ (x 1, x 2 ) = (12, 0) ÔÙÒØ D Ò ÙÙÖ ½ºµº ÌÒ ÐÓØØ ÙÒÒÒ Û ÓÓ Ð ÚÖÐÒ Ð ØÐÐÒ Ò ÒÙÐ s 1 = s 2 = 0º Ò ÑÓØÒ Û 4x 1 + 5x 2 = 70 Ò 6x 1 + 2x 2 = 72 ÓÔÐÓ Ò Ø ÐÚÖØ x 1 = 10 Ò x 2 = 6 ÓÔ ÞÐ Òµº ÇÓ Þ ÓÔÐÓ Ò Ò ÒعÒØ Ò ÖÑ Ò Û ÐØ Ø ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒÒº Þ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (x 1, x 2 ) = (10, 6) ÔÙÒØ C Ò ÙÙÖ ½ºµº ÓÚÒ ØÒ Ö ÙÐØØÒ ÞÒ ÑÒÚØ Ò ÚÓÐÒ ØÐ ¹ ÎÖ ÓÔÐÓ Ò ÌÓÐØÒ ÀÓ¹ ÚÖÐÒ ÚÖÐÒ (x 1, x 2, s 1, s 2 ) ÔÙÒØ s 1, s 2 x 1, x 2 ¼ ¼ ¼ ¾µ  A x 2, s 2 x 1, s 1 ¼ ½ ¼ µ  B x 2, s 1 x 1, s 2 ¼ ½½¼ ¼µ Æ x 1, s 2 x 2, s 1 ½º ¼ ¼ µ Æ x 1, s 1 x 2, s 2 ½¾ ¼ ¾¾ ¼µ  D x 1, x 2 s 1, s 2 ½¼ ¼ ¼µ  C ÀØ ÓÚÒ ØÒ ÚÓÓÖÐ ÐØ Ò ÐÑÒ ÐÒ ÒÑÖ ÚÒ ÄÈ ÔÖÓÐÑÒ ÞÒ ØÓ¹ ÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ ÓÖÒ ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º ÎÖÖ ÐØ Ø Ð Ò Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÔÖ Ò ÚÖÐ ÚÖ ÑØ ÛÓÖØ Ò Ò ÚÖ ÚÖÐ Ò ¹ ÚÖÐ ÛÓÖØ Ò Û ÖÑ ÓÔÒÙÛ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÖÒ Þ ÓÔÐÓ Ò ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Ò ÒÖÒÞÒ ÓÔÙÒØ Ù Ø ØÛ ÓÔÙÒØÒ ÚÖÓÒÒ ÞÒ ÓÓÖ Ò ÐÒ ØÙ Ø ÖÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ ÛÖغ Ò Ø ÓÚÒ ØÒ ÚÓÓÖÐ ÓÔÙÒØ B ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º Ø ÔÙÒØ ÓÓÖØ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÑØ ¹ ÚÖÐÒ x 2 Ò s 2 º Ð Û x 2 ÚÖÚÒÒ ÓÓÖ ÚÖ ÚÖÐ s 1 ÛÖÓÓÖ x 2 Ù ÚÖ ÛÓÖØ Ò s 1 Ò ÚÖÐ ÓÓÖØ Þ ÒÙÛ ÚÖÞÑÐÒ ÚÒ ÚÖÐÒ s 1, s 2 µ Ø ÓÔÙÒØ A Ø Ò ÙÙÖ ÚÒ ÓÔÙÒØ Bº Ò ÒÖ ÒØ Ð Û s 2 ÚÖÚÒÒ ÓÓÖ x 1 ÛÓÖÒ x 1 Ò x 2 ÚÖÐÒ Ò ÐØ Ö Ù s 1 = s 2 = 0µ Þ ÚÖÞÑÐÒ ÚÒ ÚÖÐÒ ÓÓÖØ ÓÔÙÒØ C Ø ÒÖ ÙÙÖ ÚÒ ÓÔÙÒØ Bº ÅÖ ÓÔ Ø ÓÑ ÚÒ ÔÙÒØ B ÒÖ ÔÙÒØ D Ø Ò ÚÖÐÒ ÞÐ ÑÓØÒ ÚÖÚÒÒº

23 ½ºº ÑÔÐÜÑØÓ ½ ÇÔÚ ½º½ ËÖ ÓÒÖ ØÒ ÄȹÔÖÓÐÑÒ Ò ØÒÖÚÓÖѺ ÔÐ ÐÐ ÓÔÐÓ ÒÒ ÚÒ ØÒÖÚÓÖÑ Ò ÔÐ Ó Þ ÓÔÐÓ ÒÒ ØÓÐØÒ ÞÒº ÓÒØÖÓÐÖ ØÒ ÐÓØØ Ó ØÓ¹ ÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÑØ ÓÔÙÒØÒ ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º µ ÀØ ÄȹÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ò ÓÔÚ ½º½º µ ÀØ ÄȹÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ò ÓÔÚ ½º¾º ½º ÑÔÐÜÑØÓ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÖÚÒ Û ÑÔÐÜÑØÓ ÚÓÓÖ ÄȹÔÖÓÐÑÒ ÑØ Ò ÓÐÙÒØ ÑÜÑÐ Ö ÑÓØ ÛÓÖÒº Þ ÑØÓ ØØ ÙØ ØÛ ÐÒ Ð ½ ÒØÐ Ø ÀÖ Ö Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÒÖ ØÒÖÚÓÖÑ Ò ÚÒ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Òº Ð ¾ ÑÔÐÜÐÓÖØÑ ËØÔ ½ ÔÐ Ó Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ º ËØÔ ¾ Ð Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒØ ÓÔØÑÐ ÔÐ Ò ÛÐ ÚÖ ÚÖÐ Ò ÚÖÐ ÞÓÙ ÑÓØÒ ÛÓÖÒ Ò ÛÐ ÚÖÐ ÚÖ ÑÓØ ÛÓÖÒº ËØÔ ÀÖ Ö ÚÖÞÑÐÒ ÐÒ ÞÓÒ Ø ÒÙÛ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÑØ Ò ÓÖ ÛÖ ÚÓÓÖ ÓÐÙÒص Ø ÐÞÒ Ò ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º Ï ÞÙÐÐÒ Þ ØÔÔÒ ØÓÐØÒ Ò Ò ÚÒ Ø ÚÓÐÒ ÚÓÓÖк ÎÓÓÖÐ ½º½¾ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 o.d.v. x 1 + 2x x x 2 + 6x x 1 + x 3 40 x 1, x 2, x 3 0. ÀØ ØÓÐØÒ Ö ÛÖÚÒ Ò ÙÙÖ ½ºº (10, 0, 20) x 3 (10, 15, 20) (0, 0, 25) (0, 15, 25) (0, 0, 0) (20, 0, 0) (20, 24, 0) x 1 ÙÙÖ ½º ÀØ ØÓÐØÒ Ö¹ÑÒ ÓÒеº (0, 30, 0) x 2

24 ½ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÁÒØÐ Ø Ï ÞÙÐÐÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ö Ø ÑÓØÒ Ö ÖÚÒ ÒÖ ØÒÖÚÓÖѺ Ð Û ÔÖÓÙÖ ÚÓÐÒ ÞÓÐ ÖÚÒ Ò ÔÖÖ ½º ÖÒ Û ÚÓÐÒ ØÒÖÚÓÖÑ ÑÜ z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 ÓººÚº x 1 + 2x 3 + s 1 = 50 3x x 2 + 6x 3 + s 2 = 300 2x 1 + x 3 + s 3 = 40 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 0. ÎÓÓÖ Ð ¾ ÚÒ ÑÔÐÜÑØÓ Ò Û ÓÐÙÒØ Ò Ò Ø ÒÖ ÚÓÖÑ ÒÓ Ò ÖÓÑ Ö ÖÚÒ Û Þ ÚÒ ÒÖ z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 z 3x 1 2x 2 4x 3 = 0. ËÑÒ ÑØ Ö ÚÓÓÖÛÖÒ ÚÒ ØÒÖÚÓÖÑ ÐÚÖØ Ø ÚÓÐÒ ÚÖÞÑÐÒ ÚÒ ¹ ÐÒ ÓÔ Û ÒÓÑÒ Ø Ò ØРе Ö ¼ z 3x 1 2x 2 4x 3 0 Ö ½ x 1 + 2x 3 + s 1 50 Ö ¾ 3x x 2 + 6x 3 + s Ö 2x 1 + x 3 + s 3 40º ÁÒ Ö ¼ ØØ Ù ÓÐÙÒØ Ò Ò ÖÒ ½ ØÓØ Ò ÑØ ØÒ Ö ÚÓÓÖÛÖÒ ÙØ ØÒÖÚÓÖѺ Ø ØÐ Ð Ø Ò ÔÐ ØÖÙØÙÙÖ Ð ÚÖÐÒ Ø Ò ÚÖÐ ÑØ ÓÒØ ½ Ò ÚÖÐÒ Ò ÓÒØ ¼ Ò ÓÚÖ ÚÖÐÒÒ Þ ÚÖÐÒ ÛÓÖÒ ÔÚÓØÚÖÐÒ ÒÓѺ ÎÓÓÖ ÖÒ ½ ¾ Ò ÞÒ ÔÚÓØÚÖÐÒ s 1 s 2 Ò s 3 ÚÓÓÖ Ö ¼ ÔÚÓØÚÖÐ zº Þ ÔÐ ØÖÙØÙÙÖ ÑØ Ø ÑÐ ÓÑ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò Ø ÐÞÒ ÔÚÓØÚÖÐÒ ÚÒ ÖÒ ½ ¾ Ò Ù s 1 s 2 Ò s 3 µ Ð ÚÖÐÒ x 1 x 2 Ò x 3 ÞÒ Ò ÚÖ ÚÖÐÒ ÑØ ÛÖ ¼ x 1 = x 2 = x 3 = 0µº Ï ÙÒÒÒ ÒÙ ÛÖ ÚÓÓÖ s 1 s 2 Ò s 3 ÖØ ÞÒ s 1 = 50 s 2 = 300 Ò s 3 = 40º ÀÖÑ Ò Û Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒÑÐ (x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 ) = (0, 0, 0, 50, 300, 40) ÑØ ÚÖÐÒ s 1 s 2 Ò s 3 Ò ÚÖ ÚÖÐÒ x 1 x 2 Ò x 3 º ÅÖ ÓÔ Ø Þ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (0, 0, 0) ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º ÁÒ Ö ¼ ÙÒÒÒ Û ÐÞÒ Ø z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3, Ù ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ¼ Ò Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Òº Ï ÙÒÒÒ ØÐ ÒÓ ÑØ Ò ÓÐÓÑ ÙØÖÒ ÛÖÒ ÛÖÒ ÚÒ ÚÖÐÒ ÓØÛÐ ÔÚÓØÚÖÐÒµ ÛÖÚÒ Ø ÐÚÖØ ÚÓÐÒ ØÐ ÓÔ ÚÖÐÒ Ö ¼ z 3x 1 2x 2 4x 3 ¼ z = 0 Ö ½ x 1 + 2x 3 + s 1 ¼ s 1 = 50 Ö ¾ 3x x 2 + 6x 3 + s 2 ¼¼ s 2 = 300 Ö 2x 1 + x 3 + s 3 ¼ s 3 = 40º Þ ØÐ ÛÓÖØ ÓÓ ÛÐ Ø ØÖصØÐÙ ÒÓѺ ËÑÔÐÜÐÓÖØÑ ËØÔ ½ ÇÑ Ø ÙÒÒÒ ÞÒ Ó Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ ÑÓØÒ Û Ö ¼ Ö ÖÚÒ ÒÖ z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3. ÓÔÐÓ Ò ÙØÖÖ ÒعÒØ ÓÑØ ÛÖ Ò Ø ÖØÖÐ ÒعÒØ ÞÒº

25 ½ºº ÑÔÐÜÑØÓ ½ ÅÖ ÓÔ Ø ÛÖ z ÚÒ ÓÐÙÒØ ÒÐ ÒØ ÚÒ ÚÖ ÚÖÐÒ x 1 x 2 Ò x 3 ÛÖÚÒ ÛÖ ¼ Ò Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Òº ÒÞÒ ÐÐ ÓÒØÒ ÔÓ Ø ÞÒ ÞÐ Ò ØÓÒÑ Ò ÛÖ ÚÒ Ö ÚÒ ÚÖ ÚÖÐÒ Ö ÙÐØÖÒ Ò Ò ØÓÒÑ ÚÒ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒغ ÖÓÑ ÙÒÒÒ Û ØÐÐÒ Ø Ù ÓÔÐÓ Ò ÒØ ÓÔØÑÐ º ËØÔ ¾ Ò ØÓÒÑ ÚÒ ÛÖ ÚÒ x 1 ÑØ Ò Ò ÞÐ ÐÒ ØÓØ Ò ØÓÒÑ ÚÒ ÛÖ z ÚÒ ÓÐÙÒØ ÑØ Ö ÒÒ Ò ØÓÒÑ ÚÒ x 2 ÑØ Ò Ò ÞÐ ÐÒ ØÓØ Ò ØÓÒÑ ÚÒ z ÑØ ØÛ ÒÒ Ò Ò ØÓÒÑ ÚÒ x 3 ÑØ Ò Ò ÞÐ ÐÒ ØÓØ Ò ØÓÒÑ ÚÒ z ÑØ ÚÖ ÒÒº ÒÞÒ ÖÓÓØ Ø ØÒ ÚÒ ÛÖ Ø ÚÖÖÒ ÓÓÖ x 3 Ø ÐØÒ ØÒ ÞÒ Û ÖÚÓÓÖ ÓÑ ÚÒ x 3 Ò ÚÖÐ Ø ÑÒº ÅÖ Ð Û Ò ÚÖÐ ØÓÚÓÒ ÞÐ ÓÓ Ò ÚÒ Ù ÚÖÐÒ ÚÖ ÑÓØÒ ÛÓÖÒº ÏÐ ÑÓØÒ Û ÖÚÓÓÖ ÞÒ ÀÖÚÓÓÖ Ò Û Ò ÑØ ÓÚÐ Û x 3 ÑÜÑÐ ÙÒÒÒ ÚÖÓÒ ÞÓÒÖ Ø Ø ØÐ Ð Ò ÒعØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÖØ Ù ÞÓÒ Ø Ò ÒÐ ÚÖÐ ÒØ ÛÓÖصº Ï Ò Ö Ø ÒÖ Ö ½ x 1 + 2x 3 + s 1 = 50. ÁÒ Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÞÒ ÛÖ ÚÒ x 1 Ò x 3 Ð Ò ¼ Ò ÐØ Ø s 1 = 50º Ð Û x 3 ÑØ Ò Ò ÚÖÓÒ ÑÓØÒ Û s 1 ÑØ ØÛ ÒÒ ÚÖÐÒ ÓÑ ÒÓ Ø Ò Þ Ð Ø ÚÓÐÓÒº ÇÑØ ÐÐ ÚÖÐÒ Ù ÓÓ s 1 µ ÒعÒØ ÑÓÒ ÞÒ ÙÒÒÒ Û x 3 ØÒ ÓÓ Ø ÑØ 50/2 = 25 ÚÖÓÒº ÎÖÐ x 3 ÞÓÙ Ò ÛÖ ¾ ÖÒ Ò ÞÓÙ ÖÑ Ò ÚÖÐ ÛÓÖÒ Ò ÚÖÐ s 1 ÞÓÙ ÚÖ ÛÓÖÒ Ò ÖØ ÛÖ ¼º à ÒÙ Ò ÒÖ Ö ¾ 3x x 2 + 6x 3 + s 2 = 300. ÁÒ Ù ÓÔÐÓ Ò s 2 Ò ÚÖÐ ÑØ Ò ØÖØ ÔÓ ØÚ ÛÖº Ð Û x 3 ÑØ Ò Ò ÐØÒ ØÓÒÑÒ ÞÐ s 2 ÑØ Þ ÒÒ ÑÓØÒ ÒÑÒº ÎÓÐÒ Þ ÚÖÐÒ ÞÐ x 3 Ù ÑØ ÑÜÑÐ 300/6 = 50 ÒÒ ÙÒÒÒ ØÓÒÑÒ ÒÖ ÛÓÖØ s 2 Òغ à ØÒ ÐÓØØ ÓÓ ÒÓ ÒÖ Ö 2x 1 + x 3 + s 3 = 40. Ò ØÖØ ÔÓ ØÚ ÚÖÐ Ò Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò s 3 º Ò ØÓÒÑ ÚÒ x 3 ÑØ Ò Ò ÐØ ØÓØ Ò ÒÑ ÚÒ s 3 ÑØ Ò Òº Ï ÙÒÒÒ x 3 ÚÓÐÒ Þ Ð Ù ÑØ ÑÜÑÐ 40/1 = 40 ÒÒ ÐØÒ ØÓÒÑÒ ÒÖ ÛÓÖØ s 3 Òغ ÎÓÐÒ Ö ½ Ñ x 3 Ù ÑÜÑÐ ¾ ÛÓÖÒ ÚÓÐÒ Ö ¾ ÑÜÑÐ ¼ Ò ÚÓÐÒ Ö ¼º ÏÐ ÑÓØÒ Û ÒÙ ÞÒ ÀÖÒÒÖ Ø Ò ÒÐ ÚÖÐ ÒØ Ñ ÛÓÖÒº Ð Û x 3 = 40 ÞÒ Ò ÐÚÖÒ Ö ¾ Ò Ò ÔÖÓÐÑÒ ÓÔ ÑÖ Ö ½ ÛÐ Ð x 3 = 40 Ò ÞÐ s 3 Ð ÑÓØÒ ÛÓÖÒ Ò 30 Ò Ø ÒØ ØÓ ØÒ x 1 ÐØ Ò ÚÖ ÚÖÐ ÑØ ÛÖ ¼µº Ï ÑÓØÒ Ù Ø ÑÒÑÙÑ ÞÒ ÚÒ Ö ÑÓÐ ÛÖÒ Ù ÒÙÛ ÛÖ ÚÒ x 3 ¾º ÛÖ ÚÒ s 1 ÛÓÖØ Ò ¼ Ò ÛÖ ÚÒ s 2 Ò s 3 ÐÚÒ ÔÓ Øº ÚÖÐ s 1 ÛÓÖØ ÚÖ ÚÖ ÚÖÐ x 3 ÛÓÖØ Ò ÚÖÐ Ò ÓÚÖ ØÛ ÚÖÐÒ s 2 Ò s 3 µ ÐÚÒ ÚÖÐÒº Ø ØÒØ ÓÓ Ø Û Ö ¼ ÞÙÐÐÒ ÑÓØÒ Ö ÖÚÒ ÞÓØ x 3 Ö Ò ÚÖÐ ÛÓÖØ Ò ÔÐØ ÚÒ s 1 º ËØÔ ÀÓ ÑÓØÒ Û Ø ØÐÙ ÒÙ Ò Ö ÖÚÒ ÚÖÐ x 3 ÛÓÖØ Ò ÚÖÐ Ò s 1 ÛÓÖØ ÚÖº Ø ØÒØ Ø Û Ö ½ ÞÓÒ Ò Ö ÖÚÒ Ø x 3 Ö ÓÒØ ½ ÖØ Ò Ø ÓÒØÒ ÚÒ x 3 Ò ÓÚÖ ÖÒ ¼ ¾ Ò µ ¼ ÛÓÖغ ÀÖÚÓÓÖ Ò Û ÞÓÒÓÑ ÐÑÒØÖ Ö¹ÓÔÖØ ÙØÚÓÖÒ ÓÓ ÛÐ ÚÒ³ ÒÓѵº ÌÒ Ö Ø Ò Û ÖÚÓÓÖ ÞÓÖÒ Ø ÓÒØ ÚÒ x 3 Ò Ö ½ Ð Ò ½ ÛÓÖØ ÓÓÖ Þ Ö ÑØ 1 2 Ø ÚÖÑÒÚÙÐÒ 1 2 (x 1 + 2x 3 + s 1 = 50 ) 1 2 x 1 + x s 1 = 25.

26 ¾¼ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÎÖÚÓÐÒ Ò Û Ò ¼ ÖÖÒ Ò Ö ¼ ÛÖ ÒÙ ÒÓ ÓÒØ 4 Øغ Ï Ò Ø ÓÒ ÓÓÖ Ö ¼ Ò ÒØÐ Ö ÒÙÛ Ö ½ ÓÔ Ø ØÐÐÒ Ò ÛÐ ÞÓÒ Ø 4 Ò 0 ÛÓÖغ ÒÞÒ ÓÒØ ÚÒ x 3 Ò ÒÙÛ Ö ½ Ð Ò ½ ÑÓØÒ Û Ö ÒÙÛ Ö ½ Ö ¼ ÓÔØÐÐÒ Ö ¼ z 3x 1 2x 2 4x 3 ¼ +4 ÒÙÛ Ö ½ 2x 1 + 4x 3 + 2s 1 ½¼¼ ÒÙÛ Ö ¼ z x 1 2x 2 + 2s 1 ½¼¼ ÆÙ ÑÓØÒ Û ÓÔ ÞÐ ÑÒÖ Ò ¼ ÖÖÒ Ò Ö ¾ ÛÖ ÒÙ ÒÓ ÓÒØ ØØ Û ÓÒ Ø ÓÓÖ Ö ÒÙÛ Ö ½ ÚÒ Ö ¾ Ø ØÖÒ Ö ¾ 3x x 2 + 6x 3 + s 2 ¼¼ 6 ÒÙÛ Ö ½ 3x 1 6x 3 3s ÒÙÛ Ö ¾ 10x 2 3s 1 + s 2 ½¼ ÒÙÛ Ö ÑØ ÓÒØ ¼ ÚÓÓÖ x 3 ÖÒ Û ÓÓÖ ÒÙÛ Ö ½ ÚÒ ÓÙ Ö Ø ØÖÒ Ö 2x 1 + x 3 + s 3 ¼ ÒÙÛ Ö ½ 1 2 x 1 x s 1 25 ÒÙÛ Ö 3 2 x s 1 + s 3 ½ Ø ÐÚÖØ Ø ÚÓÐÒ ÒÙÛ ØÐÙ ÓÔ ÚÖÐÒ Ö ¼ z x 1 2x 2 + 2s 1 ½¼¼ z = 100 Ö ½ 1 2 x 1 + x s 1 ¾ x 3 = 25 Ö ¾ 10x 2 3s 1 + s 2 ½¼ s 2 = 150 Ö 3 2 x s 1 + s 3 ½ s 3 = 15º ÍØ Ø ØÐÙ ÙÒÒÒ Û ÒÙÛ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÞÒ Ø (x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 ) = (0, 0, 25, 0, 150, 15) ÑØ ÚÖÐÒ x 3 s 2 Ò s 3 Ò ÚÖ ÚÖÐÒ x 1 x 2 Ò s 1 º ÅÖ ÓÔ Ø Þ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (0, 0, 25) ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º ÍØ Ö ¼ ÙÒÒÒ Û ÓÔÑÒ Ø z = 100+x 1 + 2x 2 2s 1 Ù Ø ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÒÙ ½¼¼ º Ï Ò Ò ØÖØ ÚÒ Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ ÙØÚÓÖ Ò Ø ØÓÐØÒ ÞÒ Û ÚÒ ÓÔÙÒØ (0, 0, 0) ÓÔ ÓÚÒ ÒÖ (0, 0, 25) Ò ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ØÒ ÚÒ ¼ ÒÖ ½¼¼º Ï ÒÒÒ Ò Ò ÒÙÛ ØÖØ Ò Ò ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ ÇÑ Ø ÙÒÒÒ ÔÐÒ Ó Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ Ò Û ÛÖ ÒÖ Ö ¼ ÑÖ Ò Ò Ø Ö ÖÚÒµ z = 100+x 1 + 2x 2 2s 1. ÒÞÒ ÓÒØÒ ÚÒ ÞÓÛÐ x 1 Ð x 2 ÔÓ Ø ÞÒ ÙÒÒÒ Û ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÖÓÒ ÓÓÖ Ò ÚÒ Þ ÚÖÐÒ Ø ÚÖÓÒº Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò Ù ÒØ ÓÔØÑк ËØÔ ¾ Ï ÑÓØÒ ÞÒ ÛÐ ÚÒ ØÛ ÚÖÐÒ ÑØ Ò ÔÓ ØÚ ÓÒØ Ò Ö ¼ ÒÙÛ ÚÖÐ ÛÓÖغ Ï ÞÒ ÖÚÓÓÖ ÚÖÐ ÑØ ÖÓÓØ Ø ÓÒØ ÓÑØ ÖÑ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÒÐÐÖ ØØ Ø x 2 ÛÒØ 2 > 1º ÇÓ ÑÓØ Ù Ò ÚÒ Ù ÚÖÐÒ x 3 s 2 Ò s 3 µ ÚÖ ÛÓÖÒº ÀÖÚÓÓÖ Ò Û ÛÖ Ò ÓÚÐ x 2 ÑÜÑÐ Ò ØÓÒÑÒ ÚÓÐÒ ÚÖÐÒÒ Ò Ö ½ ¾ Ò º Ï ÒÒÒ ÑØ Ö ½ 1 2 x 1 + x s 1 = 25,

27 ½ºº ÑÔÐÜÑØÓ ¾½ ÛÖÒ x 3 Ò ØÖØ ÔÓ ØÚ ÚÖÐ º ÒÞÒ x 2 ÒØ Ò Þ Ð ÚÓÓÖÓÑØ Ø Þ Ð Ò ÜØÖ ÒÓÖÑØ ÓÚÖ ÓÚÐ x 2 Ò ØÒ x 2 ÞÓÙ ÚÓÐÒ Þ Ð Ð ÖÓÓØ ÑÓÒ ÛÓÖÒº ÄØÒ Û ÒÙ Ò Ò ÒÖ Ö ¾ ÓÑ Ø ÞÒ Ó Þ ÑÖ ÒÓÖÑØ ÓÔÐÚÖØ 10x 2 3s 1 + s 2 = 150, ÛÖÒ s 2 Ò ØÖØ ÔÓ ØÚ ÚÖÐ º Ð x 2 ÑØ Ò Ò ØÓÒÑØ ÞÐ s 2 ÑØ ØÒ ÒÒ ÑÓØÒ ÒÑÒº ÚÖÐ x 2 Ò Ù ÑÜÑÐ ÑØ 150/10 = 15 ÒÒ ØÓÒÑÒ ÚÓÐÒ Þ Ðº ØÒ ÐÓØØ Ö 3 2 x s 1 + s 3 = 15, ÛÖÒ s 3 Ò ØÖØ ÔÓ ØÚ ÚÖÐ º ÇÔÒÙÛ ÓÑØ x 2 ÒØ ÚÓÓÖ Ò Ð Ù ÓÓ Þ Ð Ø Ò ÜØÖ ÒÓÖÑØ ÓÚÖ ÑÜÑÐ ØÓÒÑ ÚÒ x 2 º Ï ÙÒÒÒ x 2 Ù ÑØ ½ ÒÒ ÐØÒ ØÓÒÑÒº Ð Û Ø ÓÒ ÖØ s 2 ÛÖ ¼ Ò ÐÚÒ s 3 Ò x 3 ÔÓ Øº ÚÖÐÒ ÛÓÖÒ x 2 Ò Ö ¾µ x 3 Ò s 3 Ò ÚÖ ÚÖÐÒ ÛÓÖÒ x 1 s 1 Ò s 2 º ËØÔ ÇÑØ x 2 ÔÚÓØÚÖÐ Ò Ö ¾ ÑÓØ ÛÓÖÒ ÑÓØ ÓÖÒ ÓÒØ Ð ÛÓÖÒ Ò ½ Ò ÓÒØÒ Ò ÓÚÖ ÖÒ ÑÓØÒ ¼ ÛÓÖÒº ÄØÒ Û Ö Ø ÓÒØ Ò Ö ¾ Ð Ò ½ ÑÒ ÓÓÖ Þ Ö ÑØ 1/10 Ø ÚÖÑÒÚÙÐÒ ( x2 3s 1 + s 2 = 150 ) x s s 2 = 15. ÒÞÒ ÓÒØÒ ÓÖÒ x 2 Ò ÖÒ ½ Ò Ð Ð ÞÒ Ò ÒÙÐ ÓÚÒ Û Þ ÖÒ ÒØ Ø Ö ÖÚÒ ÓÑ Ò ÒÙÐ Ø ÖÖÒ Ò Ö ¼ ÞÙÐÐÒ Û ¾ Ö ÒÙÛ Ö ¾ Ö ¼ ÓÔØÐÐÒ Ö ¼ z x 1 2x 2 + 2s 1 ½¼¼ +2 ÒÙÛ Ö ¾ 2x s s 2 ¼ ÒÙÛ Ö ¼ z x s s 2 ½ ¼ Ø ÐÚÖØ Ø ÚÓÐÒ ØÐÙ ÓÔ ÚÖÐÒ Ö ¼ z x s s 2 ½ ¼ z = 130 Ö ½ 1 2 x 1 + x s 1 ¾ x 3 = 25 Ö ¾ x s s 2 ½ x 2 = 15 3 Ö 2 x s 1 + s 3 ½ s 3 = 15º ÍØ Ø ØÐÙ ÙÒ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÞÒ (x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 ) = (0, 15, 25, 0, 0, 15) ÑØ ÚÖÐÒ x 2 x 3 Ò s 3 Ò ÚÖ ÚÖÐÒ x 1 s 1 Ò s 2 º ÅÖ ÓÔ Ø Þ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (0, 15, 25) Ò Ø ØÓÐØÒ º ÁÒ Ö ¼ ÙÒÒÒ Û ÐÞÒ Ø z = 130+ x s s 2, Ù Ø ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÒÙ Ð Ò ½ ¼º Ï Ò ØÛ ØÖØ ÚÒ Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ ÙØÚÓÖ Ò ÞÒ ÚÒ ÓÔÙÒØ (0, 0, 25) ÒÖ (0, 15, 25) Òº Ö ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ØÓÒÓÑÒ ÚÒ ½¼¼ ÒÖ ½ ¼º Ï Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ Ï Ò ÓÔÒÙÛ Ò Ó Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ ÓÓÖ Ö ½ Ò Ø Ø Ö ÖÚÒ z = 130+ x s s 2.

28 ¾¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÒÞÒ ÓÒØ ÚÒ ÚÖ ÚÖÐ x 1 ÒÓ Ø ÔÓ Ø ÙÒÒÒ Û ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÖØÖÒ ÓÓÖ ÛÖ ÚÒ x 1 Ø ÐØÒ ØÓÒÑÒº ÖÓÑ Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒÓ ÒØ ÓÔØÑк ËØÔ ¾ ÒÞÒ x 1 Ò ÚÖ ÚÖÐ ÑØ Ò ÔÓ ØÚ ÓÒØ Ò ÓÐÙÒØ ÞÐ Ø ÓÒÞ ÒÙÛ ÚÖÐ ÑÓØÒ ÛÓÖÒº ÏÐ ÚÒ Ù ÚÖÐÒ ÛÓÖØ Ò ÚÖº ÖÒ ½ ¾ Ò Ò ÔÐ ÑØ ÓÚÐ x 1 ÑÜÑÐ Ñ ØÓÒÑÒ Ê ËØÖØ ÔÓ ØÚ ÅÜÑÐ ÚÖÐ ØÓÒÑ x x 1 + x s 25 1 = 25 x 3 = 50 1/2 x s s 2 = 15 x 2 Ò x 1 µ 3 2 x s s 3 = 15 s 3 3/2 = 10 ÍØ ÓÚÒ ØÒ ØÐ ÐØ Ø Û x 1 ÑØ ÑÜÑÐ ½¼ ÙÒÒÒ ÐØÒ ØÓÒÑÒº ÚÖÐ x 1 ÛÓÖØ Ò Ò ÚÖÐ Ò Ö µ Ò s 3 ÛÓÖØ Ò ÚÖ ÚÖÐ Ò ÖØ ÛÖ ÒÙк ËØÔ ÇÑØ x 1 ÒÙÛ ÔÚÓØÚÖÐ Ò Ö ÛÓÖØ ÑÓØ ÓÖÒ ÓÒØ Ò Ö ÛÖ ½ ÖÒ Ò Ò ÓÚÖ ÖÒ ÑÓØ ÓÒØ ÚÒ x 1 ÒÙÐ ÛÓÖÒº ÁÒ Ö ÖÒ Û ÛÖ ½ ÓÓÖ Ö ÑØ 2/3 Ø ÚÖÑÒÚÙÐÒº ÞÐ Ò Ø ÒÙÛ Ö Ö Ò Ð ÚÓÐØ ÙØÞØ x s s 3 = 10. ÇÑØ Ò Ö ¾ ÓÒØ ÓÖÒ x 2 Ð ¼ ÚÖÒÖØ Þ Ö Òغ ÒÙÛ Ö ¼ ÖÒ Û ÓÓÖ ½ Ö ÒÙÛ Ö ÓÙ Ö ¼ ÓÔ Ø ØÐÐÒ Û ÖÒ Ò ÞÐ Òµ z s s s 3. ÒÙÛ Ö ½ ØÒ ÐÓØØ ÖÒ Û ÓÓÖ ÚÒ ÓÙ Ö ½ 1 2 Ö ÒÙÛ Ö Ø ØÖÒº ÒÙÛ Ö ½ ÞÐ Òµ x s s 3 = 20. ÀØ ÒÙÛ ØÐÙ Ò ÚÖÐÒ Ö ¼ z s s s 3 ½¼ z = 140 Ö ½ x s s 3 ¾¼ x 3 = 20 Ö ¾ x s s 2 ½ x 2 = 15 Ö x s s 3 ½¼ x 1 = 10º ÍØ Ø ØÐÙ ÙÒ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÞÒ (x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, s 3 ) = (10, 15, 20, 0, 0, 0) ÛÖÒ x 1 x 2 Ò x 3 ÚÖÐÒ ÞÒ Ò s 1 s 2 Ò s 3 ÚÖ ÚÖÐÒº ÅÖ ÓÔ Ø Þ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖØ Ø ÓÔÙÒØ (10, 15, 20) ÚÒ Ø ØÓÐØÒ º ÎÒ Ö ¼ ÙÒÒÒ Û Ò Ø z = s s s 3, Ù ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ½¼ Ò Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Òº Ï Ò ÒÙ Ö ØÖØ ÚÒ Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ ÙØÚÓÖº ÖÑ ÞÒ Û ÚÒ ÓÔÙÒØ (0, 15, 25) ÒÖ ÓÔÙÒØ (10, 15, 20) Ò Ò ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ØÒ ÚÒ ½ ¼ ÒÖ ½¼º Ï Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ ÇÑ Ø ÔÐÒ Ó Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ Ö ÖÚÒ Û Ö ½ ÒÖ z = s s s 3.

29 ½ºº ÑÔÐÜÑØÓ ¾ ÒÞÒ ÐÐ ÓÒØÒ ÚÒ ÚÖ ÚÖÐÒ ÒØ ÞÒ ÙÒÒÒ Û ÛÖ ÚÒ Óй ÙÒØ ÒØ ÚÖÖ ÚÖÓÒº Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò Ù ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº ÅØ Ø ÚÓÓÖÐ ÞÓÐ ÖÓÚÒ Ò Ø ÙÒÒÒ Û Ò ÑÖ ØÐÐÖ ÓÑ ÖÚÒ ÚÒ ÚÒ ØÔÔÒ ½ ¾ Ò ÚÒ Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ Ð ¾ ÚÒ ÑÔÐÜÑØÓµº Ð Ò Ò ÒØÐ ØÖØ ÚÒ Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ Ö ÒÓ Ò ÚÖ ÚÖÐ ÑØ Ò ÒØÚ ÓÒØ Ò Ö ¼ ÚÒ Ø ØÐÙ ØØ ØÒØ Ø Ø Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒÓ ÒØ ÓÔØÑÐ Ò Ø Ö ÖÚÒ ÚÒ Ö ¼ ØØ ÚÖÐ ÑØ Ò ÒØÚ ÓÒØ ÒÙ Ò ÖØÖÞ ÑØ Ò ÔÓ ØÚ ÓÒØ Ø ØÒØ Ø ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ Ò ØÒ ÓÓÖ ÚÒ Þ ÚÖ ÚÖÐ Ò ÚÖÐ Ø ÑÒº ÖÓÑ ÐØ Ø Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ Ð ÐÐ ÓÒØÒ Ò Ö ¼ ÒعÒØ ÞÒ Ò ÛÐ Ø Û Ø Ö ÓÚÖ Ò ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Òµº ÓÚÒÒ ÐØ Ø Ð Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÒØ ÓÔØÑÐ Û ÖÚÓÓÖ Ò ÓÞÒ ÓÑ Ò ÚÖÐ Ø ÑÒ ÚÒ ÚÖ ÚÖÐ ÑØ Ñ Ø ÒØÚ ÓÒØ Ò Ö ¼º ÎÖÚÓÐÒ ÑÓØÒ Û ÔÐÒ ÛÐ ÚÖÐ ÚÖ ÑÓØ ÛÓÖÒ Ø Ò Û Ò ÓÓÖ ÚÓÓÖ Ö Ö Ø ÔÐÒ ÑØ ÓÚÐ ÒÙÛ ÚÖÐ ÑÜÑÐ Ò ØÓÒÑÒ ÞÓÒÖ Ø Ò ÒÖ ÚÖÐ Ò ÒØÚ ÛÖ Öغ Ð ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ ÔÓ Ø Ø Ø ØÐ Ø Û ÖÒ ÓÓÖ Ø ÖØÖÐ Ø ÐÒ ÓÓÖ ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖк Ð ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ ¼ Ó ÞÐ ÒØ Ø ÐØ Ø Ò Û ÒØ ÞÒ Ò Ø ÚÓÓÖе Ò ÛÖ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ ÛÐÐÙÖ ÖÓÓØ ÛÓÖÒ Ò Ò ÒÓ ÞÐ ÚÓÓÖÛÖ ÛÖÒ ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ Ù ÒÙÐ Ó ÒØ µ Ò ÔÖÓÐÑÒ ÓÔÐÚÖÒº ÒÙÛ ÚÖÐ ÛÓÖØ Ò ÔÚÓØÚÖÐ Ò Ö ÛÖÒ Þ ÒÙÛ ÚÖÐ Ø ÑÒ Ø Ò ØÓÒÑÒº Ø ÐÐ ÛÓÖØ ÑÒÚØ Ò Ø ÐÓ ÖÓÒÖº ËÑÔÐÜÑØÓ ÚÓÓÖ Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÁÒØÐ Ø ÀÖ Ö Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ØÒÖÚÓÖÑ Ò ÚÒ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÖÙ ÑÒ ÚÒ ØÒÖÚÓÖѺ ËÑÔÐÜÐÓÖØÑ ËØÔ ½ Ð ÐÐ ÓÒØÒ ÚÒ ÚÖ ÚÖÐÒ Ò Ö ¼ ÒعÒØ ÞÒ Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÔØÑÐ Ò Ò Ù ÐÖº ÒÖ Ù ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò Ø ÒØ Ò ÒÖ ØÔ ¾º ËØÔ ¾ ÔÐ ÛÐ ÚÖ ÚÖÐ Ñ Ø ÒØÚ ÓÒØ Ø Ò Ö ¼º Ø ÞÐ ÒÙÛ ÚÖÐ ÛÓÖÒº ÖÒ ÚÓÓÖ Ö Ö ÛÖÒ ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ ÔÓ Ø ÑØ ÓÚÐ ÒÙÛ ÚÖÐ ÑÜÑÐ Ò ØÓÒÑÒº Ö ÛÖÚÓÓÖ Ø ØÐ Ø ÐÒ Ø ÞÐ Ö ÛÓÖÒ ÛÖÒ ÓÒÞ ÒÙÛ ÚÖÐ ÔÚÓØÚÖÐ ÛÓÖØ ÚÖÐ Ò Ö ÛÓÖØ Ò Ù Ò ÚÖ ÚÖеº ËØÔ ÀÖ Ö Ø ØÐÙ ÞÓØ ÓÒØ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ ÛÖ ½ ÖØ Ò Ö ÛÖÒ Þ ÔÚÓØÚÖÐ ÛÓÖØ Ò ¼ Ò ÐÐ ÓÚÖ ÖÒ ÒÐÙ Ö ¼µº Ò ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º Ø ØÓÔ Ò ÚÒ ÑÔÐÜÑØÓ ÞÒ Û ÚÐ ÚÖ ÐÐÒ ØÐÙ ÚÐ ÚÖ ÐÐÒ ØÐ Ð ÚÒ ÐÒÖ ÚÖÐÒÒ ÛÖÚÒº ÅÖ ÛÐ ÓÔ Ø Ð Þ ÚÖ ÐÐÒ ØÐ Ð ÞÐ

30 ¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÓÔÐÓ ÒÒ Òº ÁÒ Ø ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÐ ÐØÒ Û ÞÒ Ó Û ØÐÙ Ø ÒÚÓÙÖ Ò ÚÓÓÖÐ Ø ÓÖØÖµ ÓÔ ÙÒÒÒ ÖÚÒº ÎÓÓÖÐ ½º½ ÑÔÐÜÑØÓ ÚÖÚÓе ÓÙÛ ÒÓÑÐ Ø ÚÓÓÖÐ ÚÒ Ø Ò ÚÒ Þ ÔÖÖº ÀØ Ò ÔÖÒÔ ÚÓÐÓÒ ÓÑ ÐÐÒ ÓÒØÒ ÓÔ Ø ÖÚÒ Ò ÒØ ÓÓ ÒÓ ÐÐ ÚÖÐÒº ÀØ Ö Ø ØÐÙ ÞØ Ö Ò Ð ÚÓÐØ ÙØ z x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 ÖÞ ºÚº Ö ¼ z = 0 Ö ½ s 1 = 50 Ö ¾ s 2 = 300 Ö s 3 = 40, ÛÖ ÖÞ³ ØØ ÚÓÓÖ ÖØÖÞ Ó ÖØÖе Ò ºÚº³ ÚÓÓÖ ÚÖк ÁÒ Ø ØÐÙ x 3 ÚÖ ÚÖÐ ÑØ Ñ Ø ÒØÚ ÓÒØ Ò Ö ¼ Ù Þ ÞÒ Û Ð ÒÙÛ ÚÖк ÇÑ Ø ÔÐÒ Ò ÛÐ Ö Þ ÚÖÐ ÔÚÓØÚÖÐ ÑÓØ ÛÓÖÒ ÖÒÒ Û ÚÓÓÖ Ö Ö ÛÖÒ x 3 Ò ÔÓ ØÚ ÓÒØ Ø ÖØÓ ÚÒ ÖØÖÞ ÖÞµ Ò ÓÒغ Ö ÛÖÒ Þ ÖØÓ ÑÒÑÐ ÛÓÖØ Ö ÛÖÒ x 3 ÔÚÓØÚÖÐ ÛÓÖغ ÛÒÒÖ ÚÒ Þ ÖØÓØ Ø Ö ½ ÞÓÐ ÙÒØ ÞÒ Ò Ø ÙØÖ ØÐÙ ÖÓÒÖ z x 1 x 2 x3 s 1 s 2 s 3 ÖÞ ºÚº ÖØÓ Ö ¼ z = 0 Ö ½ s 1 = = 25 Ö ¾ s 2 = = 50 Ö s 3 = = 40. ÌÒ ÐÓØØ ÖÙÒ Û ÐÑÒØÖ Ö¹ÓÔÖØ ÖÒ ÐÖ ÓÔØÐÐÒ Ó ÚÒ ÐÖ ØÖÒ Ò ÖÒ ÚÖÑÒÚÙÐÒ ÑØ Ò Øе ÓÑ ÓÒØ ÚÒ x 3 Ð Ø ÖÒ Ò ½ Ò Ö ½ Ò Ð Ò ¼ Ò ÓÚÖ ÖÒº Ø ÐÚÖØ ÓÒÖ ØÒ ØÐÙ ÓÔ ÛÖÒ Û ÓÓ Ð ÚÓÐÒ ÒÙÛ ÚÖÐ Ò ÔÐ Ò Ö ÛÖÒ Þ Ò ÔÚÓØÚÖÐ ÞÐ ÑÓØÒ ÛÓÖÒ z x 1 x2 x 3 s 1 s 2 s 3 ÖÞ ºÚº ÖØÓ Ö ¼ z = 100 Ö ½ x 3 = 25 Ö ¾ s 2 = = 15 Ö s 3 = 15 Æ Ø ÓÔÒÙÛ ÙØÚÓÖÒ ÚÒ ÐÑÒØÖ Ö¹ÓÔÖØ Ø ÔÐÒ ÚÒ ÒÙÛ ÚÖÐ Ò Ø ÙØÚÓÖÒ ÚÒ ÖØÓØ Ø ÖÒ Û z x1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 ÖÞ ºÚº ÖØÓ Ö ¼ z = Ö ½ x 3 = 25 1 = 50 2 Ö ¾ x 2 = 15 3 Ö s 3 = 15 = 10 Ð Û ÚÓÓÖ ÐØ Ø Ö ÐÑÒØÖ Ö¹ÓÔÖØ ÖÙÒ ÓÑ ÒÙÐÐÒ Ò ÒÒ ÓÔ Ù Ø ÔÐÒ Ø ÖÖÒ ÖÒ Û z x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 ÖÞ ºÚº Ö ¼ z = 140 Ö ½ x 3 = 20 Ö ¾ x 2 = 15 Ö x 1 =

31 ½ºº ÑÔÐÜÑØÓ ¾ ÒÞÒ ÐÐ ÓÒØÒ Ò Ö ¼ ÒÙ ÒعÒØ ÞÒ ÓÖÖ ÔÓÒÖØ Ø ØÐÙ ÑØ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò Ø Ò Û Ð Ò Ø ÚÓÖ ÚÓÓÖÐ Ôеº ÇÔÚ ½º½ µ ÖÙ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÑ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÒ ÓÔÚ ½º½ ÓÔ Ø ÐÓ Òº µ ÖÙ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÑ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÒ ÓÔÚ ½º¾ ÓÔ Ø ÐÓ Òº ÇÔÚ ½º½ ÖÙ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÑ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔ Ø ÐÓ Ò max. z = x 1 x 2 + x 3 o.d.v. 3x 1 + 2x 2 + 2x x 1 2x 2 + 4x 3 20 x 1 + 2x 2 2x 3 40 x 1, x 2, x 3 0. Ï ÙÒÒÒ ÒÙ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÑÔÐÜÑØÓ Ò ÛÐÐÙÖ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÓÔÐÓ Ò Ò Û Ò Ò ÔÖÖ ½º ÐÖ Ø ÛÖ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐÑ Ð Ò ÛÖ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐѺ ÀÐ ÓÒÒ Û Ö ÒØ ÐÓØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÔÐÒ ÓØÛÐ ÛÖ ÚÒ Ð Ò Ú¹ ÖÐÒµº Ø ÙÒÒÒ Û ÛÐ Ð Û ÑÔÐÜÑØÓ ÖÙÒ ÞÓÐ Û ÞÙÐÐÒ ÐØÒ ÞÒ Ò Ø ÚÓÐÒ ÚÓÓÖк ÎÓÓÖÐ ½º½ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÓÙÛ ÓÔÒÙÛ Ø ÌÓÔ¹Ø Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÞÒ ÙÐ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ max. z = 1960x x 2 min. w = 70y y 2 o.d.v. 4x 1 + 5x 2 70 o.d.v. 4y 1 + 6y x 1 + 2x y 1 + 2y x 1, x 2 0 y 1, y 2 0. Ð Û Ø ÔÖÑÖ ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÛÐÐÒ ÓÔÐÓ Ò ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÑÔÐÜÑØÓ ØÐÐÒ Û Ö Ø Ø ÚÓÐÒ ØÖØØÐÙ ÓÔ z x1 x 2 s 1 s 2 ÖÞ ºÚº ÖØÓ Ö ¼ z = 0 Ö ½ s 1 = Ö ¾ s 2 = Æ Ò ØÖØ Ò Û Ø ÚÓÐÒ ØÐÙ z x 1 x2 s 1 s 2 ÖÞ ºÚº ÖØÓ Ö ¼ z = Ö ½ s 1 = 22 6 Ö ¾ x 1 = Æ ØÛ ØÖØ ÖÒ Û Ø ÚÓÐÒ ÒµØÐÙ z x 1 x 2 s 1 s 2 ÖÞ ºÚº Ö ¼ z = Ö ½ x 2 = 6 Ö ¾ x 1 = 10

32 ¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÍØ Ø ØÐÙ ÙÒÒÒ Û ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÔÖÓÐÑ ÚÒ ÌÓÔ¹Ø Ò ÞÒ ÒÑÐ (x 1, x 2 ) = (10, 6) ÛÖ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ Ð Ò z = 27040º Þ ÓÔÐÓ Ò Ò Û ÒØÙÙÖÐ Ð ÚÓÒÒ ÑØ Ö ÑØÓ Ò ÔÖÖ ½º¾º ÅÖ Û ÙÒÒÒ ÞÓÐ ÐÓÓ ÚÓÓÖ Ø ÚÓÓÖÐ ÒÓ ÑÖ ÒÓÖÑØ ÙØ Ø ÒØÐÙ ÐÒº Ã Ò ÒÖ ÓÒØÒ Ò Ö ¼ ÓÖÒ s 1 Ò s 2 ½¼ Ò ¾¾¼º Þ ÓÒØÒ ÞÒ ÒعÒØ ÒÖ Û Ø Ò ÒØÐÙ Û Ø ÛÖÓѵº ÎÖÖ ÙÒ ÑÐ ÒÒ Ø y 1 = 160 Ò y 2 = 220 ÓÓÖØ ØÓØ Ø ØÓÐØÒ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ò Ð (y 1, y 2 ) = (160, 220) ÒÚÙÐØ Ò ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ö w = = 27040º ÅØ ÙÐÔ ÚÒ ÙÐØØ ØÐÐÒ ÛØÒ Û ÒÙ ÓÓ Ø Ò (y 1, y 2 ) = (160, 220) Þ Ø ÑÒÑÙÑ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒØ ÅÖ ÓÔ Ø Û Þ ÑÒÑÙÑÐÓØ Ð Ò ÚÓÒÒ Ò Ø ÚÓÓÖÐ ÚÒ Ø ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ò ÔÖÖ ½º¾º ÀØ ÒÓÑÒ Ø Û Ò Ø ÚÓÓÖÒ ÚÓÓÖÐ Ò ÞÒ ÓÑØ Ò Ø ÐÑÒ ÚÓÓÖ Ð Û Ò ÒÓÖÑÐ ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÑØ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÔÐÓ Ò Ò ÚÓÖÑÒ Ó¹ ÒØÒ ÚÒ ÐÚÖÐÒ Ò Ö ¼ ÚÒ Ø ÒØÐÙ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÙÐ ÄȹÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѺ ÇÔÚ ½º½ à ÒÓ Ò ÒÖ Ø ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÚÓÓÖÐ ÙØ ÔÖÖ ½º max. z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 o.d.v. x 1 + 2x x x 2 + 6x x 1 + x 3 40 x 1, x 2, x 3 0. µ ÔÐ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÚÓÓÖÐ Ò ÔÖÖº µ ÎÒ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÛÖ ÖÙ ÑØ ÚÒ Ø ÒØÐÙº µ ÄØ ÞÒ Ø Þ ÓÔÐÓ Ò ÒÖ ØÓÐØÒ Ò Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð Ò ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐѺ ÇÔÚ ½º½ à ÒÓÑÐ ÒÖ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÚÒ ÓÔÚ ½º½º µ ÔÐ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐѺ µ ÎÒ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ ÛÖ ÖÙ ÑØ ÚÒ Ø ÒØÐÙº µ ÄØ ÞÒ Ø Þ ÓÔÐÓ Ò ÒÖ ØÓÐØÒ Ò Ø ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð Ò ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÔÖÑÖ ÔÖÓÐѺ ½º ÌÓÔ Ò Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÐÐÙ ØÖÖÒ Û Ó Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ Ò ÛÓÖÒ ÑÓÐÐÖ Ð Ò Äȹ ÑÒÑÐ ØÔÖÓÐѺ ÇÓ ÞÐ Ø ÙÐ ÛÓÖÒ Ø ÞÐ ÚÓÓÖ ÐÒ ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑÒ Ø ÒØÐ ÚÖÐÒ Ò ÚÓÓÖÛÖÒ Ú ÑÖ Ò ØÛ º Ø ØÒØ Ø Û Ò ÖÙ ÙÒÒÒ ÑÒ ÚÒ Ö ÑØÓ ÓÑ Ø ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ ÓÔ Ø ÐÓ Òº ÁÒ ÔÖØ ÛÓÖÒ Þ ÖÓØ ÔÖÓÐÑÒ ÓÔÐÓ Ø ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÄȹÓÑÔÙØÖÔØØÒº ØÓÔ Ò ÚÒ Þ ÔØØÒ Ø Ø ÚÖ ÚÓÓÖ Ø Øغ

33 ½ºº ÌÓÔ Ò Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ ¾ ÎÓÓÖÐ ½º½ ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ Ò ÛØÖÖ Ø ØÛ ÚÓÓÖÞÒÒÒ W 1 Ò W 2 ØÛ ÖÓØ ØÒ C 1 Ò C 2 ÑÓØÒ ÚÓÓÖÞÒ ÚÒ ÛØÖº Ð ÚÓÓÖÞÒÒ Ø Ò ÔÐ ÒÓ ÚÒ ÛØÖ ÔÖ µ Ò ØÒ Ò ÚÖ ÒÖ ÛØÖ ÔÖ µº ÓÚÒÒ ÞÒ Ö Ó ØÒ ÑÓ ÑØ Ø ØÖÒ ÔÓÖØÖÒ ÚÒ ÛØÖ ÚÒ Ò ÚÓÓÖÞÒÒ ÒÖ Ò Øº ÀØ ÒÓ ÚÖ Ò Ó ØÒ ÞÒ ÛÖÚÒ Ò ØÐ ½º¾º ÁÒ Þ ØÐ ÙÒ ÚÓÓÖÐ ÞÒ Ø Ø ÒÓ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 ÚÖ C 1 C 2 ÒÓ W W ÚÖ 5 7 ÌÐ ½º¾ ÚÒ ÚÓÓÖ Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐѺ ÚÒ Ø C 2 Ò Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ø ØÖÒ ÔÓÖØÖÒ ÚÒ ÛØÖ ÚÒ W 2 ÒÖ C 2 Ð ÞÒ Ò ÔÖ Ò ÛØÖº ÄØ x ij Ø ÒØÐ ÒÒ ÛØÖ ÞÒ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W i ÒÖ Ø C j ÛÓÖÒ ÚÖÔÐØ Øº Ö ÚÓÐØ Ø x 12 Ø ÒØÐ ÒÒ ÛØÖ ÛÖØ Ø ÛÓÖØ ØÖÒ ÔÓÖØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 ÒÖ Ø C 2 º ÀØ ÓÐ ÚÒ Ø ÛØÖÖ ÓÑ ØÛ ØÒ ÚÒ ÛØÖ Ø ÚÓÓÖÞÒ ØÒ ÑÒÑÐ Ó ØÒº ÓÐÙÒØ ÛÓÖØ ÚÒ ÓÓÖ min w = 2x 11 + x 12 + x x 22. ÓÚÒÒ Ø Ø Ö Ø ÑÒ ÑØ ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÛÖÒº ÎÓÓÖÞÒÒ W 1 Ø Ò ÑÜÑÐ ÒÓ ÚÒ ÒÒº ÇÑØ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 x 11 ÒÒ ÒÖ Ø C 1 Ò x 12 ÒÒ ÒÖ Ø C 2 ØÖÒ ÔÓÖØÖØ Ò Û ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÛÖ x 11 + x ÇÔ Ò ÚÖÐÖ ÑÒÖ ÚÒÒ Û ÚÓÓÖ ÚÓÓÖÞÒÒ W 2 x 21 + x ÚÖ ÚÒ ØÒ ÐØ ÓÓ ØÓØ ÚÓÓÖÛÖÒº ËØ C 1 ÓÒØÚÒØ x 11 ÒÒ ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 Ò x 12 ÒÒ ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 2 º ÇÑØ Ø C 1 Ò ÚÖ Ø ÚÒ ÒÒ Ò Û ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÛÖ x 11 + x ÇÔ Ò ÚÖÐÖ ÑÒÖ ÚÒÒ Û ÚÓÓÖ Ø C 2 x 12 + x Ð Û ÓÓ ÖÒÒ ÓÙÒ ÑØ ØÒÚÓÓÖÛÖÒ ÙÒÒÒ Û ÓÒÐÙÖÒ Ø Ø ØÖÒ ÔÓÖع ÔÖÓÐÑ ÓÖÑÙÐÖ Ò ÛÓÖÒ Ð Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ min. w = 2x 11 + x 12 + x x 22 o.d.v. x 11 + x 12 8 x 21 + x 22 4 x 11 + x 21 5 x 12 + x 22 7 x 11 0, x 12 0, x 21 0, x Ï ÞÒ Ø Ø ÓÔØÑÐ ØÔÖÓÐÑ Ø ÚÓÐØ ÙØ Ò ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐÑ ÑØ ¾ ÚÓÓÖÞÒÒÒ Ò ¾ ØÒ Ò ÛÓÖÒ ÑÓÐÐÖ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÑØ ÚÖÐÒ Ò ÚÓÓÖÛÖÒº ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ (x 11, x 12, x 21, x 22 ) = (1, 7, 4, 0) ÔÐ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ò ÓÑÔÙØÖÔص Ò ÑÒÑÐ Ó ØÒ ÞÒ 13º ÎÒ ÓÔÐÓ Ò ÐÖÒ Û Ø Ø ÓÔØÑÐ ÓÑ

34 ¾ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ½ Ò ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 Ø ÚÖÔÐØ Ò ÒÖ Ø C 1 ÒÒ ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 1 ÒÖ Ø C 2 ÒÒ ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 2 ÒÖ Ø C 1 Ò ¼ ÒÒ ÛØÖ ÚÒ ÚÓÓÖÞÒÒ W 2 ÒÖ Ø C 2 º ÇÔÚ ½º½ ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓÐѵ Ò ÛØÖÖ Ø Ö ÚÓÓÖÞÒÒÒ W 1 W 2 Ò W 3 ØÛ ÖÓØ ØÒ C 1 Ò C 2 ÑÓØÒ ÚÓÓÖÞÒº ÚÓÓÖÞÒÒÒ Ò Ò ÔÐ ÒÓ ÚÒ ÛØÖ ÔÖ µ Ò ØÒ Ò Ò ÔÐ ÚÖ ÒÖ ÛØÖ ÔÖ µº ÓÚÒÒ ÞÒ Ö Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ø ØÖÒ ÔÓÖØÖÒ ÚÒ ÛØÖ ÚÒ Ò ÚÓÓÖÞÒÒ ÒÖ Ò Øº ÀØ ÒÓ ÚÖ Ò Ó ØÒ ÛÓÖÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ ÛÖÚÒ C 1 C 2 ÒÓ W W W ÚÖ 10 9 ÔÐ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Ø ÓÔØÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÚÒ Ø ØÖÒ ÔÓÖØÔÖÓ¹ ÐѺ ½º ÑÒ ÓÔÚÒ ÇÔÚ ½º½ ÄÓ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ Ö ÓÔ min. w = 6x+ 4y o.d.v. 4x+ y 56 2x+ 5y 100 x 0, y 0. ÇÔÚ ½º¾¼ ÔÐ ÐÐ ÛÖÒ ÚÒ p ÞÓ Ø Ø ÄȹÔÖÓÐÑ max. z = px+ 3y o.d.v. x+ 6y 450 6x+ 2y 660 x 0, y 0, ÓÒÒ ÚÐ ÓÔÐÓ ÒÒ Øº ÇÔÚ ½º¾½ ÎÓÓÖ ÔÐ ØÐÐÒ a 1, a 2,..., a 9 Ò Ò ÓÒÒ ÒÙÑÑÖ q Ø Ø ÄȹÔÖÓÐÑ max z = 2x 1 + qx 2 + x 3 o.d.v. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 q a 4 x 1 + a 5 x 2 + a 6 x 3 2 a 7 x 1 + a 8 x 2 + a 9 x 3 1 x 0, y 0,

35 ½ºº ÑÒ ÓÔÚÒ ¾ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò (x 1, x 2, x 3 ) = (10, 7, 5). ÀØ ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ø Ð ÓÔع ÑÐ ÓÔÐÓ Ò (y 1, y 2, y 3 ) = (10, 5, 9). ÔÐ qº ÀÒØ ÙÐØØ ØÐÐÒº ÇÔÚ ½º¾¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ max z = 6x 1 + 7x 2 + 2x 3 o.d.v. x 1 + x 2 x 3 12 x 1 x 3 8 x 1 + 2x 2 + 2x 3 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0. µ ÓÖÑÙÐÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÙÐ ÔÖÓÐѺ µ ÓÔØÑÐ ÐÓØ ÓÔØÑÐ ÛÖ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ø Ð Ò (0, 14, 8). ÚÒ ÞÒ ÐÓØ (5, 5, 6) (28, 0, 16) (10, 10, 15) Ò (22, 0, 14)º ÏÐ ÚÒ ÚÖ ÐÓØ Ò ÓÔØÑÐ ÐÓØ ÚÒ Ø ÓÚÒÒÓÑ ÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐÑ max. 2x + 3y o.d.v. x + y 9 2x + y 14 x 0, y 0 ÔÐ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ØÒÖÚÓÖÑ Ø ÓÓÖØ Ø ÓÚÒ ØÒ ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ÚÒ ÐÐ ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ ÒÒ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ Ò ØÒÖÚÓÖѺ ÇÔÚ ½º¾ ÄÓ Ø ÓÒÖ ØÒ ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÔº max. z = 3x 1 + x 2 + 4x 3 o.d.v. x 1 + x 2 + x 3 60 x 1 + 2x 2 + x 3 40 x 1 + x 2 + 2x x 1 + x 3 10 x 1 0, x 2 0, x 3 0. ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÒØÐÙ Ø ÚÖÖÒ ÓÓÖ ÑÔÐÜÑØÓ ØÓ Ø Ô Ò ÓÔ Ò ÄȹÑÜÑÐ ØÔÖÓÐÑ z x 1 x 2 s 1 s 2 ÖÞ 1 2 a b ÎÖÖ Ö ÚÒ Ø ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÙÐ ÔÖÓÐÑ Ð Ò w = 4y 1 + 3y 2. ÔÐ a Ò bº

36 ¼ ½º ÄÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐѺ max. z = x 1 + x 2 + x 3 o.d.v. x 1 x 2 1 x 2 x 3 1 x 1 + x 3 1 x 1 0, x 2 0, x 3 0 µ ÎÒ Ò ØÓÐØÒ ÓÔÐÓ Ò (x 1, x 2, x 3 ) ÞÓÒ Ø z(x 1, x 2, x 3 ) > µ ÃÒ ÛÖ ÚÒ ÓÐÙÒØ ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÒÛÐÐÙÖ ÖÓÓØ ÛÓÖÒ ÇØÛÐ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÓÒÖÒ µ Ä Ùغ ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÓÔØÑÐ ØÔÖÓÐѺ max. z = 120 x 1 3x 3 4x 4 o.d.v. x 1 + x 2 + x 3 = 4 3x 1 + 4x 2 + x 4 = 16 x 1 + 5x 2 + x 5 = 22 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ÔÐ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐѺ max. z = 2x 1 + 3x 2 o.d.v. x 1 x 2 7 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 µ ÌÒ Ø ØÓÐØÒ Ò ÚÖÐÖ ÛÖÓÑ Ø ÔÖÓÐÑ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Øº µ ÇÒÖÞÓ Ó Ø Ò Ø ÑÔÐÜÐÓÖØÑ ØÓØ ÙØÒ ÓÑغ ÇÔÚ ½º¾ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐѺ max. z = 2x 1 + x 2 o.d.v. 3x 1 + 5x x 1 + 2x 2 8 x 1, x 2 0 µ ÄØ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ö ÑØÓ ÞÒ Ø Ö ÓÒÒ ÚÐ ÓÔÐÓ ÒÒ ÞÒº µ ÇÒÖÞÓ Ó Ø Ò ÑÔÐÜÑØÓ ØÓØ ÙØÒ ÓÑغ

37 ½ºº ÑÒ ÓÔÚÒ ½ ÇÔÚ ½º ¼ Ò Ö Ø Ò ÓÖعØÖÑÒ ÒÒÐ ÔÐÒÒÒ ÔÖÓÐÑ ÚÓÓÖ ÔÖÓÙØ ÚÒ ÚÖ ÔÖÓÙØÒ ÒÙÑÑÖ ÚÒ ½ ØÓØ Ò ÑØ ÚÖ Ð ÒÚÖÐÒ x 1 ØÓØ Ò ÑØ x 4 µ ÙØ Ö ÖÓÒ ØÓÒ ÒÙÑÑÖ ÚÒ ½ ØÓØ Ò ÑØ Ö ÚÓÓÖÛÖÒµ ÑÓÐÐÖ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐѺ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÑØ ÑÔÐÜÑØÓ ÓÒØ ØØ ÓÔ Ò ÔÐ ÑÓÑÒØ Ø ÓÒÖ ØÒ ØÐÙ z x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 Ö ¼ Ö ½ Ö ¾ Ö µ Å ÑÔÐÜÑØÓ º µ ÔÐ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº µ ÔÐ ÙÛÔÖÞÒ ÚÒ ÖÓÒ ØÓÒº µ Á Ò µ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ò Ä Ùغ

38

39 ¾ ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ÁÒ Ø Ð ÐÚÒ ÓÑÒ ÒØÛÖÒ Ò ÚÐ ÚÓÖÑÒ ÚÓÓÖº Ò ÑÖ Ò Ò ÔÐØØÖÓÒ ÚÒ Ò Ø ÐÒ ÐÙØÒ ØÙ Ó ÒÓÖÑØ ØÖÓÓÑ ÓÔ ÒØÖÒØ Þ ÚÓÓÖÐ ¾º½º ÎÓÓÖÐ ¾º½ ÃÐÒØÖÐ ÚÒ ÏÐÖÒ Ò Ø Ò ÚÒ ÖÒ ØØ ÚÖÒÖØ ÛÞ ÛÖÓÔ Ò ØÐÚ ÞÒ ÒÔÙØ ÓÒØÚÒØ Ð ÒØÒÒ ÛÓÖØ ÚÖÚÒÒ ÓÓÖ ÒÙ ÛÐÒ Ðº ÁÒ ÆÖÐÒ ÛÓÖØ Ò ÒØÐ ÐÒØÖÐ ³ ÔÐØ Ø Ð ÙÒ ÒÔÙØ ÓÒØÚÒÒ ÚÒ Ò ØÐغ ÎÒÙØ ÞÓ³Ò ÒØÖÐ ÛÓÖÒ ÓÒØÚÒÒ ÒÐÒ ÚÖÚÓÐÒ ÔÖ Ðµ ÒÖ ÓÑÐÒ ØÒ Ðº Ö ÑÓØ Ù Ò ÐÒØÛÖ ØÓØ ØÒ ÓÑÒ Ø ÓÑÖÒÒ ØÒ ÑØ ÓÖÒ ÒØÖÐ ÚÖÒغ ÄØÒ Û Ò ÒÖ Ò ÐÒØÖÐ ÐÒ Ø ÅÐÙÖ Ò ÚÖ ÓÑÖÒÒ ØÒ Ø ÛØÒ ÖÒÑÙÒ ÓÑÙÖ ÎÐ ÒÒ Ò Ï ØÔÐк ÙÙÖ ¾º½ Ø ÑØ ÔÐØ Ò ÛÖ Ò ÚÓÓÖ Ö ØÛØÐ ÔÐØ Ò Ó ØÒ ÑÓ ÞÒ ÑØ Ø ÒÐÒ ÚÒ Ò ÐÚÖÒÒ ØÙ Ò Þ ÔÐØ Òº ÅÐÙÖ ¾¼ ½¾ ÎÐ ÒÒ ÖÒÑÙÒ ½¼ ¼ ¾¼ ÓÑÙÖ ½¾ Ï ØÔÐÐ ÙÙÖ ¾º½ ÃÐÓ ØÒ ÓÔ ÏÐÖÒ ÚÖ ÓÑÖÒÒ ØÒ ÛÐÐÒ ÐÐÒ Ò Ð Ò ÒØ ÖØ ØÖ µ ÐÚÖÒÒ ÑØ ÅÐÙÖ ÖÐ ÖÒº ÁÒÒ Ö Ø ÞÓÒÖÐ Ò ÚÖÒÒ ÑØ ÅÐÙÖ ØÓØ ØÒ ÖÒØ Ò Ø ÖÒÑÙÒ Ò Ó ØÒÔÓ Ø ÚÒ ¾¼ Ï ØÔÐÐ Ò Ó ØÒÔÓ Ø ÚÒ ½¾ Ò Ò ÞÒ Ó ØÒ ÚÓÓÖ ÎÐ ÒÒ Ò ÓÑÙÖ Ð º ÞÑÒÐ Ó ØÒ ÞÒ Ò ¼º ØÖ ÒÒ ØÒ ÐÙØÒ ÓÑ ÐÚÖÒÒÒ ÓÑÙÖ¹ÅÐÙÖ ÎÐ ÒÒ¹ÖÒÑÙÒ ÎÐ ÒÒ¹ Ï ØÔÐÐ Ò Ï ØÔÐйÅÐÙÖ Ø ÖÐ ÖÒ Ò ÓÓ ÖÒ ÚÖÓÒÒ ÑØ ÒØÖÐ

40 ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ Ò Ò ÖÒ ÞÑÒÐ Ó ØÒ ÐØ º Á ÙØ Ø ÓÚÒ ØÒ ÚÓÓÖÐ ÓÓÓÔ Ø ÓÔÐÓ Ò Ó Ö ÒÓ Ò ØÖ ÓÔÐÓ Ò ÑÓÐ Ò Ó ÚÒ Ø ÓÔÐÓ Ò Ø ÔÖÓÐÑ ØØ Ò Ð Ø ÑÒÑÐ Ó ÓÖØ Øµ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÔÖÓÐÑ Ò ÐÑÒØÖ ÔÖÓÐÑ ÙØ ÓÔÖØÓÒÐ Ö Öº ÀÖÚÓÓÖ ÞÒ ÒÐÐ ÓÔÐÓ Ò ÑØÓÒ ÚÓÓÖ ÒÒ Ò ÔÖÖ ¾º¾ ÛÓÖÒ Òк  ÞÓÙ Ñ Ò ÓÓ ÛÐ ÓÖØ Ø Û ÚÒ ÖÒÑÙÒ ÒÖ ÓÑÙÖ ÛÐÐÒ ÚÒÒº Ø ØØ Ò Ð Ø ÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑ Û Ò ÔÖÖ ¾º ÞÙÐÐÒ ÔÖÒº ÐÚÓÖÒ Ò Ø Ò ÓÔ Þ ÔÖÓÐÑÒ ÚÒ Û Ò ÓÖØ ÒÐÒ ÓÚÖ ÓÑÒº ÖÔÔÒÐ Ø ÖÒ ÒÓÔÒ Ò ÒØÒ ÅÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒµ ÓÑÒ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð ÃÓÖØ Ø Ô ÐÓÖØÑ ÚÒ ØÖ ¾º½ ÖÒ Ò ÓÑÒ ÙÙÖ ¾º½ ÐØ Ò ÒØÛÖ ÚÒ ÑÓÐ ÚÖÒÒÒ ØÙ Ò Ú ØÒ ÓÔ ÏÐÖÒ ÞÒº Ó³Ò ÒØÛÖ ÛÓÖØ ÓÓ ÛÐ Ò Ö ÒÓѺ Ò ÓÒÖص Ö (V, E) Ò ÒØÛÖ ØÒ ÙØ Ò ÚÖÞÑÐÒ ÒÓÔÒ V Ò Ò ÚÖÞÑÐÒ E ÚÒ ÖØ ØÖ ÚÖÒÒ ØÙ Ò ÒÓÔÒ ÙØ Vº ÐÑÒØÒ ÚÒ E ØÒ ÒØÒ Ò ÛÓÖÒ Ò Ò ÔÐØ Ñ ØÐ ÒÚÒ ÓÓÖ Ò ÐÒ ØÙ Ò ØÛ ÒÓÔÒº Ò Ö ÚÓÐÐ Ð ÚÒ Ö ÒÓÓÔÔÙÒØ ÖØ ØÖ ÒÖ Ö ÒÖ ÒÓÓÔÔÙÒØ ÙÒØ ÓÑÒº Ö ÚÒ ÙÙÖ º½ ÚÓÓÖÐ ÚÓÐк ÇÔÚ ¾º½ µ ÀÓÚÐ ÒØÒ Ø Ò ÚÓÐÐ Ö ÓÔ ÒÓÔÒ µ ÀÓÚÐ ÒØÒ Ø Ò ÚÓÐÐ Ö ÓÔ ÒÓÔÒ µ ÀÓÚÐ ÒØÒ ÐÒ Ö Ò Ò ÒÓÓÔ Ò Ò ÚÓÐÐ Ö ÓÔ n ÒÓÔÒ µ ÀÓÚÐ ÒØÒ Ø Ò ÚÓÐÐ Ö ÓÔ n ÒÓÔÒ ÌÛ ÒÓÔÒ ÞÒ ÚÖÓÒÒ Ð Ö Ò Ô ØÒ ÙØ ÒØÒ ÙØ E ØÙ Ò ØÛ ÒÓÔÒ ØØ ÚÒØÙÐ Ú ÒÖ ÒÓÔÒº Ò ÝÐ Ò ÔÐ Ô Ø Ò¹ Ò ÒÔÙÒØ ÞÒ ÞÐ ÒÓÓÔº Ï ÒÓÑÒ Ò Ö ÑÒÒÒ Ð Ö Ò Ô ØÙ Ò Ð ØÛØÐ ÒÓÔÒº Ò ÚÓÐÐ Ö ÐØ ÑÒÒÒ ÑÑÖ Ö Ò ÖØ ÚÖÒÒ ØÙ Ò Ö ØÛØÐ ÒÓÔÒ Ù Ö ÓÓ Ò Ô ØÙ Ò Ö ØÛØÐ ÒÓÔÒº Ò ÒÖ ÔÐ Ö ÙÐÖÖº Ø Ò ÑÒÒÒ Ö ÛÖÒ Ò ÖÓÒÛÒ¹ ÐÒ ÙÒØ ÑÒ ÓÚÖ ÐÐ ÒØÒ Ò ÒØ Ò ØÖØÒÓÓÔº Ò Ñ¹ÙÐÖÖ Ò Ö ÛÖÒ ÓÓ Ò ÖÓÒÛÒÐÒ ÓÚÖ ÐÐ ÒØÒ ÑÖ ÛÖ ÒØ Ò ØÖØÒÓÓÔ ÓØ Ø ÒÒº Ó³Ò ÖÓÒÛÒÐÒ ÒØ Ò ÐÐ ÖÒ ÑÓÐ Þ ÓÓ ÙÙÖ ¾º¾º

41 ¾º½º ÖÒ Ò ÓÑÒ µ Ò ÙÐÖÖ µ Ò Ñ¹ÙÐÖÖ µ Ò Ñ¹µÙÐÖÖ ÙÙÖ ¾º¾ Ò ÙÐÖÖ Ò Ñ¹ÙÐÖÖ Ò Ò Ö ÞÓÒÖ ÖÓÒÛÒÐÒº ÇÔÚ ¾º¾ ÙÙÖ ¾º¾º ÐÒÖÙÙÖ Ò ÙÐÖÖ ÑÐ Ø Ò Ñ¹ÙÐÖÖ Ò ÖØÖÙÙÖ Ò Ñ¹µÙÐÖÖº µ ÎÒ ÖÓÒÛÒÐÒÒ Ò ÙÖÒ ¾º¾ µ Ò ¾º¾ µº µ Ä ÙØ ÛÖÓÑ Ò ÙÙÖ ¾º¾ µ Ò ÖÓÒÛÒÐÒ ÙÒØ ÑÒ ÞÓÒÖ ÖÙ Ø ÑÒ ÚÒ ØÐÐÒÒ ¾º½ Ò ¾º¾µº ÁÒ ÓÔÚ ¾º¾ ÖÓÒÛÒÐÒÒ Ò ÖØ Öغ Â Û Ø ÚÒ ØÚÓÖÒ Ð ÛÐ ÖÒ Ø ÛÐ ÑÓÐ Û Ò ÛÐ Òغ ÅÖ Ó ÙÒ Ø ÒÙ Ò Ø ÐÑÒ ÞÒ ÀÖÚÓÓÖ Ò Û Ö Ø Ø ÖÔ Ö ÒÓº Ö ÚÒ Ò ÒÓÓÔ Ö ÚÒ Ò ÒÓÓÔ Ø ÒØÐ ÒØÒ Ø Ò ÒÓÓÔ ÒØ»Òغ ÙÙÖ ¾º½º ÐÐ ÒÓÔÒ Ò Þ Ö Ú ØÒµ Ò Ö º ÁÒ ÙÙÖ ¾º Þ ÒÓ Ò ÚÖØÐ ÚÓÓÖÐÒº µ Ö º µ Ö º µ Ö º µ Ö ¾º ÙÙÖ ¾º ÃÒÓÔÒ Ò ÙÒ ÓÖÒ ÖÒ Ï ÙÒÒÒ ÒÙ ÚÓÐÒ ØÛ ØÐÐÒÒ ÚÒº ËØÐÐÒ ¾º½ ÙÐÖÖ Ò ÑÒÒÒ Ö Ò ÙÐÖÖ Ò Ò ÐØ Ò Ð Þ Ö ÒÐ ÒÓÔÒ ÚØ ÑØ ÚÒ Öº

42 ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ËØÐÐÒ ¾º¾ ѹÙÐÖÖ Ò ÑÒÒÒ Ö Ò Ñ¹ÙÐÖÖ Ò Ò ÐØ Ò Ð Þ Ö ÒÐ ÒÓÔÒ ÚØ ÑØ ÚÒ Ö ÓÔ ØÛ ÒÓÔÒ Òº Ï ÞÙÐÐÒ ÒÙ Ö Ø Ò ÙÐÔ ØÐÐÒ ÓÖÑÙÐÖÒ Ò ÛÞÒº Þ ÖÙÒ Û ÓÑ ¾º½ Ø ÛÞÒº ÀÙÐÔ ØÐÐÒ Ò Ö ÛÖÚÒ ÐÐ ÒÓÔÒ Ò Ö ÚÒ ØÒÑÒ Ø ØÛ Ò ÚØ Ò ÝÐ Û Ï ÞÙÐÐÒ ÐØÒ ÞÒ Ó Û ÞÓ³Ò ÝÐ ÙÒÒÒ ÓÒ ØÖÙÖÒº Ò Ò ÛÐÐÙÖ ÒÓÓÔ Ò ØÖØ Ö Ò Ô ÓÓÖ Ò ÒØ Ø ÞÒº ÎÓÐ ÒØ Ò ÓÑ Ò Ò ÚÓÐÒ ÒÓÓÔº ÁÒ Þ ÒÓÓÔ ÚÖÚÓÐ Ô ÑÖ Ø ÒØ ÖØ ØÖÙ ÒÖ ÒÓÓÔ ÛÖ ÚÒÒ ÓÑغ ÇÔÒÙÛ ÓÑ ÒÙ Ò Ò ÒÓÓÔ ÛÖ Ò ÒØ ÑØ ÙØÞÓÒÖÒ ÚÒ ÒØ ÒØ Øµº  ÙÒØ Þ ØÔ ÐØ ÙØÚÓÖÒ ÓÑØ Ð ÒÓÓÔ ØÒÑÒ Ø ØÛ ÒØÒ Úغ ÇÑØ Ö Ò Ò ÒØÐ ÒÓÔÒ ÞÒ ÞÙÐ ÓÔ Ò ÚÒ ÑÓÑÒØ ÛÖ ÙØÓÑÒ Ò ÒÓÓÔ ÛÖ Ð Û Ø Òغ ÇÔ Ø ÑÓÑÒØ Ö Ò Ýк ÆÙ ÙÒÒÒ Û ØÐÐÒ ¾º½ Ò ÛÞÒº Û ØÐÐÒ ¾º½µ ËØÐÐÒ ¾º½ Ò Ò Ò ÐØ Ò Ð ³ ÛÖÒº Ø ØÒØ Ø Û ÒÐ ØÛ ÐÒ ÑÓØÒ ÛÞÒ Ð Ò ÑÒÒÒ Ö Ò ÙÐÖÖ Ò Ø Ö ÒÓÓÔ Ò ÚÒ Öº Ð Ò Ò ÑÒÒÒ Ö Ö ÒÓÓÔ Ò ÚÒ Ö Ø Ò Ø Ò ÙÐÖÖº Ï ÔÐØ Ò Ø Û Ò ÓÓ ÓÔ Ò Þ ØÛ ÐÒº Ö ØØ Ò ÖÓÒÛÒÐÒ ÓÓÖ ÑÒÒÒ Öº Ð Ö Ð ÖÓÒÛÒÐÒ Ò ÒÓÓÔ Ô ÖØ ÖØ Ø ØÛ ØÓ Ò Ö ÚÒ ÒÓÓÔ ÓÑØ Ö Ò ÒØ ÖÙØ ÛÓÖØ ÓÑ ÒÖ ÒÓÓÔ ØÓ Ø Ò Ò Ò ÒØ ÖÙØ ÛÓÖØ ÓÑ ÒÓÓÔ Ø ÚÖØÖÒº ØÖع Ò ÒÒÓÓÔ ÐØ Ñ Ò Ò ÙØÞÓÒÖÒ ÑÖ ØÖØ ÚÖÐØ Þ ÒÓÓÔ ÓÑ Ö ÙØÒÐ ÓÓ Ø ÒÒº Ù ÓÓ Ö ÛÓÖØ ØÛ ÖÒ Ò Ö ÚÒ ÒÓÓÔ Ò ØÖØ Ò Ò Ø Òµº Ù ÓÑØ Ö Ô ØÛ Ò Ö ÛÓÖØ ÖÒ Ø Ö ÒÓÓÔ Ò Ò ÙÐÖÖ Ò ÚÒ Öº Ï ÛØÒ Ø Ö ÒÓÓÔ Ò Ò ÑÒÒÒ Ö Ò ÚÒ Ö Øº Ø ØÒØ Ø Ö ÒÓÓÔ Ò Ö ÚÒ ØÒÑÒ Ø ØÛ Ø ÒÙÐ ÓÓ ÚÒ ÑÖ Ð Ö ÒÓÔÒ ÑØ Ö ÒÙÐ ÞÒ Ò Ö ÒØ ÑÒÒÒµº ÎÒÛ ÙÐÔ ØÐÐÒ ÛØÒ Û ÒÙ Ø Ö Þ Ö Ò ÝÐ Úغ ÓÒ ØÖÙÖ ÞÓ³Ò Ýк Ö ÙÒÒÒ ÒÙ ØÛ ÒÒ ÙÖÒ ½µ ÝÐ ÚØ ÐÐ ÒØÒ Ø Ù ÖÓÒÛÒÐÒ Ò Þ Ö ÒÖ Ò ÙÐÖÖº ¾µ ÝÐ ÚØ ÒØ ÐÐ ÒØÒº ÎÖÛÖ Ò ÐÐ ÒØÒ Ò ÝÐ Ò ÖÒ ÐÐ ÒÓÔÒ ÒÙ Ö ÒÙÐ Òº  ÓÙØ ÒÙ Ò Ö ÓÚÖ ÛÖÚÒ Ö ÚÒ Ö ÒÓÓÔ ÒÓ Ø ÚÒ ÑÖ Þ ÓØ ÒØ ÐÒÖ ÑÒÒÒ Ø ÞÒº À Ø ÒÓ ÛÐ ÚÖ ÐÐÒ ÑÒÒÒ ÐÒº È ÙÐÔ ØÐÐÒ ÓÔÒÙÛ ØÓ ÓÔ ÐÒ Ò ÚÒØ ÞÓ ÓÔÒÙÛ ÝÐ º Ð ÒÙ ÐÐ ÒØÒ Ø ÖÙØ Ò Ò ÐÖ ÞÓ ÒØ ÖÐ Ò ¾µ ÒØ ÞÓÐÒ ØÓØØ ÐÐ ÒØÒ Ò

43 ¾º½º ÖÒ Ò ÓÑÒ ÒÓÔÒ Ø ÚÖÛÖº Ð ØÔ ¾µ Ò Ó ÑÖÖ ÖÒ ÒÓ Ø Ò ÙÒ ÚÖ ÐÐÒ ÝÐ ÚÖÒÒ ØÓØ Ò ÖÓØ ÝÐ ÓÖÒÐ Ö ÑÒÒÒµº Þ ÖÓØ ÝÐ ÖÓÒÛÒÐÒ Ò ÖÑ Ö Ò ÙÐÖÖº ÇÔÚ ¾º ÔÐ ÚÒ Ö ÚÒ ÓÒÖ ØÒ ÖÒ Ó Ø Ò ÙÐÖÖ Ò Ñ¹ÙÐÖÖ Ó Ò ÚÒ Òº µ µ µ µ ÇÔÚ ¾º ÞÚÒ ÖÙÒ ÚÒ ÃÓÒÒ ÖÒ Ò ÖÓÑ ÔÖÓÐѺ ÀÖÓÒÖ ØØ Ò Ø ÚÒ Ø ÃÓÒÒ ÖÒ ÓÓÖ ÒÒ ÛÓÖØ ÓÓÖ ÖÚÖ ÈÖÐ ÛÖÒ ØÛ ÐÒÒ ÐÒº ÐÒÒ ÞÒ ÓÒÖÐÒ ÚÖÓÒÒ ÑØ Ò ÖÙ Ò Ö ÞÒ Þ ÖÙÒ ÐÒÒ ÑØ Ú Ø ÛÐ ÚÖÒÒ Þ ÓÓ ÙÙÖ ¾ºº Á Ø ÑÓÐ ÓÑ Þ Ø ÛÒÐÒ Ø ÔÖ Ò ÑÐ ÓÚÖ Ð ÖÙ ÐÓÓÔØ Ó ÖÓÙغ Ó Ò Ð ÙØ ÛÖÓÑ Òغ ÄÒÖÓÚÖ ÈÖÐ ÊØÖÓÚÖ ÙÙÖ ¾º ÖÙÒ ÚÒ ÃÓÒÒ ÖÒº ÇÔÚ ¾º ÙÐÔ ØÐÐÒ ÚÖØÐØ ÓÒ Ø Ð Ò Ò Ö ÐÐ ÒÓÔÒ Ò Ö ÚÒ ØÒÑÒ Ø ØÛ Ò Þ Ö Ò ÝÐ Úغ Á Ø ÓÑÖ ÓÓ ÛÖ ÅØ ÒÖ ÛÓÓÖÒ Ð Ò Ö Ò ÝÐ ÚØ Ò Ò ÐÐ ÒÓÔÒ Ò Ö ÚÒ ØÒÑÒ Ø ØÛ Ó Ð ÙØ ÛÖÓѺ Ó ÒØ Ò ØÒÚÓÓÖÐ Ò ÚÓÓÖÐ ÛÖÙØ ÐØ Ø Ø ÛÖ ÒØ ÛÖ µº ÇÔÚ ¾º ÄØ ÞÒ Ø ÓÓ ØÐÐÒ ¾º¾ ÛÖ º

44 ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ Ò ÑÒÒÒ Ö ÑØ ÞÓ ÛÒ ÑÓÐ ÒØÒ Ø Ò ÓÓѺ Ò ÓÓÑ Ø Ò ÝÐ ÛÒØ Ð Ò ÑÒÒÒ Ö Ò ÝÐ ÚØ Ò Ö Ò ÒØ ÚÖÛÖ ÛÓÖÒ ØÖÛÐ Ö ÑÒÒÒ Ðغ Ò ÓÓÑ ÛÓÖØ ÖÓÑ Ñ Øе ÒÖ Ð Ò Ö (V, E) Ò ÚÓÐÒ ØÛ Ò ÔÔÒ ÚÓÐÓØ ½º (V, E) ÑÒÒÒ ¾º (V, E) Ø Ò ÝÐ º ÍØ ØÛ ÓÚÒ ØÒ Ò ÔÔÒ ÐÒ Û Ò Ö Ò Ô º ÀØ ÒØÐ ÒÓÔÒ Ò ÑÖ Ò Ø ÒØÐ ÒØÒ ÓÛÐ V = E +1µº ÇÔÚ ¾º Â Ø ÚÓÐÒ Þ ÖÒº Ö G 1 Ö G 2 Ö G 3 Ö G 4 Ö G 5 Ö G 6 µ ÏÐ ÚÒ ÖÒ ÑÒÒÒ µ ÏÐ ÚÒ ÖÒ ÚÓÐÐ µ ÏÐ ÚÒ ÖÒ Ò ÓÓÑ µ Á Ø ÑÓÐ Ø Ö ÑÒÒÒ ÚÓÐÐ Ò Ò ÓÓÑ ÏÖÓÑ Òص Ï Ò ÖÒØ ØÐ Ø Ò Ô ÚÓÐØ ÙØ Ò ÔÔÒ ½ Ò ¾ Ò Ø ÞÙÐÐÒ Û ÒÙ ÛÞÒº ËØÐÐÒ ¾º ÍØ Ò ÔÔÒ ½ Ò ¾ ÚÓÐØ Ò Ô º Û ¾º µ Ï ÞÙÐÐÒ ÓÚÒ ØÒ ØÐÐÒ ÛÞÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÚÓÐÐ ÒÙغ ÛÖÒ P(n) Ò Ö ÑØ n ÒÓÔÒ ÑÒÒÒ Ò Ò ÝÐ ÚØ Ø n 1 ÒØÒº ØÔ P(1) ÛÖµ Ò Ö ØÒ ÙØ ½ ÒÓÓÔ ÑÒÒÒ Ò Ò ÝÐ ÚØ Ø ÓÓ Ò ÒØÒ Ù ÐØ ÒÖ Ø Þ Ö n 1 = 1 1 = 0 ÒØÒ Øº ÁÒÙØ ØÔ ÒÑ Ò Ø P(n) ÛÖ Ò ÐØ ÞÒ Ø P(n+1) ÛÖ µ ËØÐ Ò Ô ÐØ ÚÓÓÖ Ð ÓÓÑ ÓÔ n 1 ÔÙÒØÒº ÄØ T Ò ÓÓÑ ÞÒ ÓÔ n+1 ÔÙÒØÒº ÇÑØ T ÑÒÒÒ Ø T ÑÒ ØÒ Ò ÒØ Þ {x, y}º Ï ÚÓÐÒ Ò Ô ÒÒÒ ÑØ ÔÙÒØÒ x Ò yº Ø Ô ÓÑØ ÓÓ ØÒ

45 ¾º¾º ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð Ò Ö Ò Ð ÔÙÒØ ÛÒØ T Ø Ò ÝÐ µ Ò ÒØ Ù Ò Ò ÒÓÓÔÔÙÒØ z Ø Ò ÔÖ Ò ÒØ Þغ ÎÖÛÖ ÒÙ ÒÓÓÔ z Ò ÓÖÒ Òغ Ò ÓÒØ ØØ Ö Ò ÓÓÑ ÑØ n ÔÙÒØÒ ÚÓÐÒ ÒÙØÚÖÓÒÖ ØÐÐÒ ÚÓÐÓØ Ò Ò Ô º ÅÖ T Ø Ò ÒÓÓÔ Ò Ò ÒØ ÑÖ Ò ÚÓÐÓØ Ù ÓÓ Ò Ò Ô º Ö Ò ÛÞÒ ÛÓÖÒ Ø Ð Ö (V, E) ØÛ ÚÒ Ö Ò ÔÔÒ ½ ¾ Ó Ø Ò ÓÓÑ Ò Ù Ö Ò Ô Þصº ÇÔÚ ¾º µ Û Ø Ò Ô ½ ÚÓÐØ ÙØ ¾ Ò º µ Û Ø Ò Ô ¾ ÚÓÐØ ÙØ ½ Ò º ÓÙÛ Ò ÑÒÒÒ Ö (V, E)º Ò ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÒ Ò Ö (V, E) Ò ÓÓÑ (V, T) ÑØ ÞÐ ÒÓÔÒ Ð Ö Ò Ò ÐÚÖÞÑÐÒ ÚÒ ÒØÒ Ù T Eµº ÀØ ÒØÛÖ ÙØ ÓÒ ÚÓÓÖÐ ÙÙÖ ½µ Ø Ò ÖÓÓØ ÒØÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒº ÅØ ÞÓ³Ò ÓÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒÖØ Ò ÐÒØÛÖ Ø Ð ÒÓÓÔ ÑØ ÒØÖÐ Ò ÅÐÙÖ ÚÖÒغ ØÛ ÖÖ ÒÓÑ ÒØÛÖÒ ÚÓÖÑÒ Ò ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓѺ ØÖ ÑØ ÚÖ ÐÐÒ ØÓØÐ Ó ØÒº ÚÖ Û ÓÒ ØÐÒ Û ÏØ Ø ÓÓÓÔ Ø ÐÒØ Ø Ö Ø ÑØ ÒØÖÐ ÚÖÒس Ï ÞÓÒ Ù Ò ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÛÖÚÓÓÖ Ó ØÒ ÑÒÑÐ ÞÒº Ó³Ò ÓÓÑ ÒÓÑÒ Û Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÓÖØ ÑÓµº ÁÒ ÔÐØ ÚÒ Ó ØÒ³ ÔÖØ ÑÒ ÓÓ ÛÐ ÚÒ ÐÒس ÚÒ Ò Òغ Ò ÑÓ ÛÓÖØ Ò Ø ÚÐ Ò ÓÖØ Ø ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÒÓѺ ÇÑ ÞÓ³Ò ÑÓ Ø ÚÒÒ ÞÓÙÒ Û ÐÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ ÙÒÒÒ Ò Ò ÖÚÒ ÓÓÓÔ Ø ÒÑÒº Ø ØÖ Ò ÐØ ÒÔ ÓÑØ Ø ÒØÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ Ö ÖÓÓØ Ò ÞÒº ÁÒ ÚÓÐÒ ÔÖÖ ÒÐÒ Ò ÚÐ ÐÑÑÖ ÑØÓº ÇÔÚ ¾º µ ÔÐ Ø ÒØÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ ÚÒ Ò ÚÓÐÐ Ö ÑØ ¾ ÒÓÔÒº µ ÔÐ Ø ÒØÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ ÚÒ Ò ÚÓÐÐ Ö ÑØ ÒÓÔÒº µ ÔÐ Ø ÒØÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ ÚÒ Ò ÚÓÐÐ Ö ÑØ ÒÓÔÒº ÀÒØ ÚÒ ÚÖ ÚÖ ÐÐÒ ÚÓÖÑÒ Ò ØÐ Ó Ú ÚÓÓÖÓÑÒº ¾º¾ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð Ï Ò ÙØ ÚÒ Ò Ö (V, E) ÑØ ÚÒ Ó ØÒ c x,y ÚÓÓÖ Ð ÒØ {x, y} Eº ÀØ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ ÚÒØ Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÒ (V, E)º ÀØ ÔÖÒÔ ÒÚÓÙº Ï ÞÒ Ò ÛÐÐÙÖ ØÖØÒÓÓÔ w Ú ÛÓÖØÐ ÒÓѵ Ò ÐØÒ ÓÓÑ ÒØ ÚÓÓÖ ÒØ ÖÓÒ ÚÒÙØ ÛÓÖØк ÓÐÒ ÓÓÑ ÒÓ ÒØ ÚÓÐÖÓ ÛÓÖØ Ö Ò Ð ØÔ Ò ÒØ Ò ÓÓÑ ØÓÚÓ Ò ÒÓÓÔ ÚÒ ÓÓÑ ÚÖÒØ ÑØ Ò ÒÓÓÔ ÒÓ ÒØ Ò ÓÓÑ ÓÔÒÓÑÒ Ò ÛÖÚÓÓÖ Ó ØÒ ÑÒÑÐ ÞÒº ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ ËØÔ ¼ Ã Ò ØÖØÒÓÓÔ Ø ÑØ ÒØ ÙØ ÑØ ÛÐ ÒÓÓÔ Òصº ËØÔ ½ à ÒÖ ÒØÒ ÚÓÓÖÐÓÔ ÓÓÑ ÚÖÒÒ ÑØ ÚÖ ÒÓÔÒº ËØÔ ¾ à ÓÓÓÔ Ø ÒØ Ò ÚÓ ÒØ Ò ÒÓÓÔ ØÓ Ò ÓÓѺ ËØÔ Ð Ö Ò ÚÖ ÒÓÔÒ ÞÒ Ò Ò ÐÖº ÒÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º

46 ¼ ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ØÔÔÒ ½ ØÓØ Ò ÑØ ÛÓÖÒ ÑÖÖ ÖÒ ÓÓÖÐÓÔÒº ÁÖ Ö Ø ØÔ ½ ¾ Ò ÓØ ÛÓÖØ Ò ØÖØ ÒÓѺ ÀØ ÛÞÒ Ø Ø ÐÓÖØÑ ÐØ Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Øº Ø Û ÙÒ ÚÒÒ Ò Ð º¾º Ï ÚÖÙÐÒ ÒÙ Ø ÐÓÖØÑ Ò Ò ÚÒ ÓÒ ÚÓÓÖÐ ÚÒ Ø ÐÒغ ÎÓÓÖÐ ¾º¾ ÃÐÒØÖÐ ÚÒ ÏÐÖÒ ÈÖÑ ÚÖÞÑÐÒ ÒÓÔÒ V = { Å Î Ï} ÒÐØØÖ ÚÒ Ú ØÒµº ÄØÒ Û Ï Ð ÛÓÖØÐ ÞÒº ÁÒ Ø Ò ØØ ÓÓÑ ÐÐÒ ÙØ ÒÓÓÔ Ïº ÎÒ ÒØÒ ØÙ Ò ÒÓÓÔ Ï Ò Ö Ø Ø ÒØ {Ï Î} Ð Ø Ó ØÒº Þ ÒØ Ò ÒÓÓÔ Î ÛÓÖÒ Ù ØÓÚÓ Ò ÓÓѺ ÎÒ Þ ÒØÒ ØÙ Ò ÓÓÑ Ò Ö Ø Ø ÒØ {Î } Ð Ø Ó ØÒº Þ ÒØ Ò ÒÓÓÔ ÛÓÖÒ Ò ÓÓÑ ØÓÚÓº ÎÒ ÒØÒ ØÙ Ò ÒÓÔÒ ÚÒ ÓÓÑ Ï Î Ò µ Ò ÓÚÖ ÒÓÔÒ Ò Åµ Ò { Å} Ò {Î Å} Ð Ø Ó ØÒº Ï ÞÒ Ò ÚÒ ØÛ ÚÓÓÖÐ { Å}º ÃÒØ { Å} Ò ÒÓÓÔ Å ÓÑÒ Ö Ò º ÆÙ ÒØ { Î} ÓÓÓÔ Ø ÒØ ØÙ Ò ÓÓÑ Ò Ø Ò ÒÖ ÒÓÓÔÔÙÒØ º Ï ÚÓÒ ÒÓÓÔ Ò ÒØ { Î} ØÓº ÓÓÑ ÚØ ÒÙ ÐÐ ÒÓÔÒ Ò Ø ÐÓÖØÑ ØÓÔغ Ï Ò ÓÒÖ ØÒ ÓÖØ Ø ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÓÒÒº Ó ØÒ ÚÒ ÓÓÑ ÖÒ º ÁÒ ÙÙÖ ¾º ØÓØ ØÒÓÑÒ ÚÒ ÓÓÑ ØÔ¹ÚÓÓÖ¹ ØÔ ÛÖÚÒº Å Å Å Î ¾¼ ½¾ ½¼ ¾¼ ¼ ½¾ Ï Î ½¾ ½¼ ¼ ¾¼ ¾¼ Î ½¼ ¼ ½¾ Ï ½¾ ¾¼ ½¾ ÁØÖØ ½ {Ï Î} ÁØÖØ ¾ {Î } ÁØÖØ { Å} ¾¼ Ï Å Å Î ½¾ ½¼ ¾¼ Î ½¼ ¼ ¾¼ ½¾ Ï Ï ÁØÖØ { Î} Ò ÑÓ ÙÙÖ ¾º ÀØ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò Ø ÛÖº

47 ¾º¾º ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð ½ ÇÔÚ ¾º½¼ ÓÙÛ ÓÒÖ ØÒ Ó ØÒØÐ ÚÓÓÖ Ø ÒÐÒ ÚÒ Ò ÒØÛÖ ÓÔ ÒÓÔÒ A B C D E Ò Fº A B C D E F A B C D E F µ ÎÒ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Ð ÒØ ÚÒÙØ Eº µ ÎÒ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Ð ÒØ ÚÒÙØ Aº ÇÔÚ ¾º½½ ÓÙÛ ÓÒÖ ØÒ Ó ØÒØÐ ÚÓÓÖ Ø ÒÐÒ ÚÒ Ò ÒØÛÖ ÓÔ ÒÓÔÒ A B C D Ò Eº A B C D E A B C D E ÎÒ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Ð ÒØ ÚÒÙØ Aº ÇÔÚ ¾º½¾ µ ÓÙÛ Ò ÑÒÒÒ Ö ÑØ ÒÓÔÒº ÀÓÚÐ ØÖØ Ø Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ µ ÓÙÛ Ò ÑÒÒÒ Ö ÑØ ÒÓÔÒº ÀÓÚÐ ØÖØ Ø Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ µ ÓÙÛ Ò ÑÒÒÒ Ö ÑØ n ÒÓÔÒº ÀÓÚÐ ØÖØ Ø Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ ÁÒ ÈÖѳ ÐÓÖØÑ ÓÑØ Ø Ú ÚÓÓÖ Ø Ö ÑÖÖ ÑÓÐÒ ÞÒ ÚÓÓÖ ÙÞ ÚÒ ÚÓÐÒ ÒÓÓÔ Ò Òغ ÎÖ ÐÐÒ ÙÞ³ ÙÒÒÒ ÐÒ ØÓØ ÚÖ ÐÐÒ ÑÓ³ º ÅØ Ò ÖÒÖÒ ÒÐÓÓ Ò Ø ÓÚÒ ØÒ Û Ò ÛÓÖÒ ÒÞÒ Ø Ö ÓÖØ Ø ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÓÒÒ Ò ÛÓÖÒ ÑØ ÈÖѳ ÐÓÖØѺ ÁÒ ÓÒ ÚÓÓÖÐ Ò Û Ò ØÖØ ÓÓ ÒØ {Å Î} ÙÒÒÒ ÞÒº Ò ÞÓÙÒ Û Ò ÒÖ ÑÓ ÚÓÒÒ Ò ÒÑÐ {Å Î} { Î} {Î Ï} Ò { Î}º Ò ÒÖ ÑÒÖ ÓÑ Ò ÑÓ Ø ÓÒ ØÖÙÖÒ ÑØ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÃÖ٠к ÇÓ Ø ÐÓÖØÑ ÒÖÖØ Ò Ð ØÔ Ò ÒØ ÚÒ Ò ÑÓ ÑÖ ÚÓÒÒ ÒØÒ ÓÚÒ ÒØ ÒÓÓÞÐ Ò ÑÒÒÒ Ö Ø ÚÓÖÑÒº ÁÒ Ð ØÔ ÛÓÖØ Ò ÓÓÓÔ Ø ÓÒÖÙØ ÒØ ØÓÚÓ Ò ÝÐ ÖÖØ Ò Ø Ö ÚÓÒÒ Ðº

48 ¾ ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ÐÓÖØÑ ÚÒ ÃÖÙ Ð ËØÔ ½ ÎÒ ÓÓÓÔ Ø ÒØ ÒÓ Ò ÓÒÖÐ ÚÒ ÚÓÓÖÐÓÔ ÓÓÑ Ò ÒØ ÑÖØ Ð ÒØ Ò ÝÐ ÚÖÓÓÖÞغ ËØÔ ¾ Ó Þ ÒØ Ò ÝÐ ÚÖÓÓÖÞغ Ð Ø ÛÐ Ø ÚÐ Ò Þ ÒØ Ò ÑÖ ÛÖÓÓÖ Þ ÒØ ÑÖ Ø Ò ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º Ó ÒØ Ò ÚÓ Þ ÒØ ØÓ Ò ÚÖÖ ÑØ ØÔ º ËØÔ Ð Ö ÒÓ ÒÓÔÒ ÞÒ ÒØ Ò ÓÓÑ ÞØØÒ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½ ÒÖ Ò ÐÖº ÁÒ ÓÒ ÚÓÓÖÐ ÒÒÒ Û ÑØ ÓÖØ Ø ÒØ {Î Ï}º ÎÖÚÓÐÒ { Î} ÓÖØ Ø ÓÒÖÙØ ÒØ Ò ÚÓÐØ ÚÓÓÖе {Î Å}º ÌÒ ÐÓØØ ÚÓÒ Û { Î} ØÓº Ï ÞÒ ÒØ ÚÓÓÖ { Å} ÛÒØ Þ ÒØ ÖÖØ Ò ÝÐ Ò ÚÐØ ÖÓÑ ÙØÒ ÓÙÛÒº Ï ÚÒÒ ÞÓ ÞÐ ÓÓÑ Ð ÓÚÒº ÌÓÚÐÐÖÛ ÛÓÖØ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÓÐÒ ÃÖÙ Ð ÓÔ ÞÐ ÛÞ ÓÔÓÙÛ Ð ÚÓÐÒ ÈÖÑ Ð ÒØ ÑØ ÒÓÓÔ W Ù ÙÙÖ ¾º ÐØ ÓÓ ØÓØ ØÒÓÑÒ ÚÒ Ò ÑÓ ÚÒ Ø ÐÒØ ÓÔ ÏÐÖÒ ÞÒ Ð ÃÖÙ Ð ÖÙØ ÛÓÖغ ÇÔÚ ¾º½ à ÒÓ Ò ÒÖ Ó ØÒØÐ Ò ÓÔÚ ¾º½¼º ÎÒ ÑÓ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÃÖ٠к ÇÔÚ ¾º½ à ÒÓ Ò ÒÖ Ó ØÒØÐ Ò ÓÔÚ ¾º½½º ÎÒ ÑÓ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÃÖ٠к ÇÔÚ ¾º½ ÚÒ Ò ÚÓÐÐ Ö (V, E) ÑØ V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Ò ÚÓÐÒ Ó ØÒº c 1,2 = 12 c 1,3 = 4 c 1,4 = 5 c 1,5 = 9 c 1,0 = 5 c 2,3 = 6 c 2,4 = 4 c 2,5 = 10 c 2,0 = 7 c 3,4 = 10 c 3,5 = 20 c 3,0 = 15 c 4,5 = 7 c 4,0 = 5 c 5,0 = 8º µ ÌÒ ÓÖÒ Öº µ ÖÙ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÈÖÑ ÓÑ Ò ÑÓ Ø ÚÒÒº ÄØ ÒÓÓÔ ¼ ÛÓÖØÐ ÞÒº µ ÖÙ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ÃÖÙ Ð ÓÑ Ò ÑÓ Ø ÚÒÒº µ ÀÓÚÐ ÑÓ³ Ø Ö ¾º ÃÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑÒ Ò ÔÖÓÐÑ ÛØ ÓÔ Ø Ö Ø ÞØ Ò Ø ÐØ ÓÔ Ø ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÔÖÓÐÑ Ø ÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐѺ ÒÑ ÞØ ÒÐ Ð ÛØ Ø Û Ò Ò ÒØÛÖ ÛÖÒ Û ÚÒ ÔÙÒØ A ÒÖ ÔÙÒØ B ÛÐÐÒ ÓÑÒ Ò ÛÐ ÞÓ ÒÐ Ó ÓÓÓÔµ ÑÓк Ø ÒØÛÖ ÙÒÒÒ Û Û ÙÒ ÛÖÚÒ ÑØ Ò ÖØ Ö ÛÖ Û Ò ÔÐØ ÚÒ ÒØÒ ÔÐÒ Òº ÙÙÖ ¾º Ø Ò ÚÓÓÖÐ ÚÒ Ò ÖØ Öº Ò Ô Ò Ò ÖØ Ö ÑÓØ ÙØÖÖ ÖÒÒ ÓÙÒ ÑØ ÖØÒ ÚÒ ÔÐÒº Ó

49 ¾º º ÃÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑÒ ¾ ½ ¾ ½ ÙÙÖ ¾º Ò ÖØ Ö ÑØ Þ ÒÓÔÒ ÞÚÒ ÔÐÒ Ò ÓÖÒ Ó ØÒº ÛÐ Ò Ô ÚÒ ½ ÒÖ Ò ÙÙÖ ¾º ÑÖ Òغ ÀØ ÓÖØ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ Ó ÓÖØ Ø ØÒµº ÁÒ Ø ÓÒÖ ØÒ ÚÓÓÖÐ ÞÙÐÐÒ Û Ø ÓÖØ Ø Ô ÚÒÒº ÎÓÓÖÐ ¾º ÀØ ÓÖØ Ø Ô ÒÓÑÐ ÙÙÖ ¾ºº Ö ÞÒ Ö ÑÓÐ ÔÒ ÚÒ ½ ÒÖ ÒÑÐ ÑØ ÐÒØ = ÑØ ÐÒØ = ÑØ ÐÒØ = 8º ÀØ ÐØ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÖØ Ø Ù Ø Ø ÓÖØ Ø Ô Ò Þ ÖØ Öº ÆÙ ÑØÓ ÖÙØ Ò ÚÓÓÖÐ ¾º ÑÐ Ð ÖØ Ö ÐÒ Ò ÒÐ ÐÐ ÔÒ ÙÒØ ÚÒÒº ÅÖ Ò Ø ÐÑÒ ÞÐ Ø ÒØ Ø ÚÐ ÞÒº Ö ØØ ÓÓ Ò ØÔÔÒÔÐÒ ÓÑ Ø ÓÖØ Ø Ô Ò Ò ÖØ Ö Ø ÚÒÒ ÛÖ ÛÐ ÐÐ Ó ØÒ»ÐÒØ ÖÓØÖ Ò Ó Ð Ò ÒÙÐ ÑÓØÒ ÞÒº Ø Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ØÖº ÐÓÖØÑ ÚÒ ØÖ Ö Ò ÖØ Ö ÓÔ n ÒÓÔÒº Ï ÞÓÒ Ò ÓÖØ Ø Ô ÚÒ ÒÓÓÔ 1 ÒÖ ÒÓÓÔ nº ÁÒØÐ Ø ÃÒÓÓÔ 1 Ò Ú Ø ÒÓÓÔ ÒÓÔÒ 2 ØÓØ Ò ÑØ n ÞÒ ÚÖº ÃÒÓÓÔ 1 ÖØ Ú Ø ÐÐ (0, ) ÒÓÓÔ i ÛÖ i {2,..., n} ÖÒ Ø ÚÖ ÐÐ (c 1,i, 1)º ÀÖÒ ØØ c 1,i ÚÓÓÖ Ó ØÒ ÚÒ 1 ÒÖ ÒÓÓÔ i Ò 1 ÚÓÓÖ ÚÓÓÖÒÖ Ò ÖÓÙغ Ð Ö Ò ÖØ ÚÖÒÒ ØÙ Ò 1 Ò i Ò c 1,i = º ËØÔ ½ à ÚÖ ÒÓÓÔ Þ ÒÓÓÔ x ÑØ Ð Ø Ó ØÒ l(x)µ Ò Ñ ÞÒ ÐÐ Ú Øº ËØÔ ¾ ÚÓÓÖ Ö ÚÒ ÒÓ ÚÖ ÒÓÔÒ Þ y Ò Ó ÖÓÙØ Ú x ÓÓÔÖ Ò Ø ÖÓÙØ ØÓØ ÒÙ ØÓº Ð Ø Ø ÚÐ ÛÓÖØ Ø ÐÐ ÔØØ Ø ÛÓÖØ ÐÒØ ÚÒ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ y Ú x l(x)+c x,y º ÚÓÓÖÒÖ ÛÓÖØ Ò xº ËØÔ Ð Ö ÒÓ ÚÖ ÒÓÔÒ ÞÒ Ò Ò ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ÀØ ÐÓÖØÑ ÚÒ ØÖ ÐØ Ñ Ò Ð Ø ÑÖ Ð Ó ÓÙØ ÛØ ÓØ Ø ÒØ Ð ÑÓÐ ÓÑ Ø ÙØ Ø ÚÓÖÒº Ï ÞÙÐÐÒ Ø ØÓÔ Ò ÓÔ ÖØ Ö Ò ÙÙÖ ¾ºº

50 ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ÎÓÓÖÐ ¾º ÀØ ÓÖØ Ø Ô ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ØÖ ÒÓÑÐ ÙÙÖ ¾ºº Ï ÑÒ Ò Ô ÚÒ ÒÓÓÔ ½ ÒÖ ÒÓÓÔ º ÁÒØÐ Ø ÃÒÓÓÔ ½ ÖØ Ø ÐÐ (0, ) ÒÓÓÔ ¾ Ø ÐÐ (3, 1) ÒÓÓÔ Ø ÐÐ (4, 1) Ò ÓÚÖ Ö ÒÓÔÒ ÖÒ Ø ÐÐ (, 1)º ÁÒ Ò ØÐ ÞØ Ø Ö Ð ÚÓÐØ ÙØ ÛÖ Ø Ú Ø ÐÐ ÚØÖÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ËØÔ ½ ÚÖ ÒÓÓÔ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ ÒÓÓÔ ¾º Ð Ø Ó ØÒ ÞÒ Ù l(2) = 3º Þ ÒÓÓÔ ÑÒ Û ÒÙ Ú Øº ËØÔ ¾ ÓÚÖ ÚÖ ÒÓÔÒ ÞÒ Ò º ÃÒÓÔÒ Ò ÙÒÒÒ Û ÚÒ ¾ ÒØ ÖØ ÖÒ Ù ÐÐ ÚÒ ÒÓÔÒ ÚÖÒÖÒ Òغ ÀØ ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Ð ÐØ Ø l(2)+c 2,4 = 3+5 = 8 < º Ø Ø ÚÐ Ù ÒÙ ÞÐ Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖÒ Ò (8, 2) ÛØ ØÒØ Ø Û Ú ¾ ÙÒÒÒ ÖÒ ÑØ Ó ØÒ º ØÐ ÞØ Ö ÒÙ Ð ÚÓÐØ ÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ½ ØÖØ (3, 1) (4, 1) (8, 2) (, 1) (, 1) ËØÔ Ö ÞÒ ÒÓ ÚÖ ÒÓÔÒ Ù Û Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ ÚÖ ÒÓÓÔ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ ÒÓÓÔ º Ð Ø Ó ØÒ ÞÒ Ù l(3) = 4º Þ ÒÓÓÔ ÑÒ Û ÒÙ Ú Øº ËØÔ ¾ ÓÚÖ ÚÖ ÒÓÔÒ ÞÒ Ò º ÃÒÓÓÔ ÙÒÒÒ Û ÚÒ ÒØ ÖØ ÖÒ Ù Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Òغ ÀØ ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Ð ÐØ Ø l(3)+c 3,4 = 4+2 = 6 < 8º Ø Ø ÚÐ Ù ÒÙ ÞÐ Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖÒ Ò (6, 3)º ÀØ ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Ð ÐØ Ø l(3)+c 3,5 = 4+3 = 7 < º Ø Ø ÚÐ Ù ÒÙ ÞÐ Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖÒ Ò (7, 3)º ØÐ ÞØ Ö ÒÙ Ð ÚÓÐØ ÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ½ ØÖØ (3, 1) (4, 1) (8, 2) (, 1) (, 1) ¾ ØÖØ (4, 1) (6, 3) (7, 3) (, 1) ËØÔ Ö ÞÒ ÒÓ ÚÖ ÒÓÔÒ Ù Û Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ ÚÖ ÒÓÓÔ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ ÒÓÓÔ º Ð Ø Ó ØÒ ÞÒ Ù l(4) = 6º Þ ÒÓÓÔ ÑÒ Û ÒÙ Ú Øº ËØÔ ¾ ÓÚÖ ÚÖ ÒÓÔÒ ÞÒ Ò º ÃÒÓÓÔ ÙÒÒÒ Û ÚÒ ÒØ ÖØ ÖÒ Ù Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Òغ ÀØ ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Ð ÐØ Ø l(4)+c 4,6 = 6+3 = 9 < º Ø Ø ÚÐ Ù ÒÙ ÞÐ Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖÒ Ò (9, 4)º ØÐ ÞØ Ö ÒÙ Ð ÚÓÐØ ÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ½ ØÖØ (3, 1) (4, 1) (8, 2) (, 1) (, 1) ¾ ØÖØ (4, 1) (6, 3) (7, 3) (, 1) ØÖØ (6, 3) (7, 3) (9, 4) ËØÔ Ö ÞÒ ÒÓ ÚÖ ÒÓÔÒ Ù Û Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º

51 ¾º º ÃÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑÒ ËØÔ ½ ÚÖ ÒÓÓÔ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ ÒÓÓÔ º Ð Ø Ó ØÒ ÞÒ Ù l(5) = 7º Þ ÒÓÓÔ ÑÒ Û ÒÙ Ú Øº ËØÔ ¾ Ò ÓÚÖÐÚÒ ÚÖ ÒÓÓÔ º ÀØ ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖØ Ð ÐØ Ø l(5)+c 5,6 = 7+1 = 8 < 9º Ø Ø ÚÐ Ù ÒÙ ÞÐ Ø ÐÐ ÚÒ ÒÓÓÔ ÚÖÒÖÒ Ò (8, 5)º ØÐ ÞØ Ö ÒÙ Ð ÚÓÐØ ÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ½ ØÖØ (3, 1) (4, 1) (8, 2) (, 1) (, 1) ¾ ØÖØ (4, 1) (6, 3) (7, 3) (, 1) ØÖØ (6, 3) (7, 3) (9, 4) ØÖØ (7, 3) (8, 5) ËØÔ Ö ÒÓ Ò ÚÖ ÒÓÓÔ ÓÚÖ Ù Û Ò ÛÖ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½ ÚÖ ÒÓÓÔ ÑØ Ð Ø Ó ØÒ ÒÓÓÔ º Ð Ø Ó ØÒ ÞÒ Ù l(6) = 8º Þ ÒÓÓÔ ÑÒ Û ÒÙ Ú Øº ËØÔ ¾ Ö ÞÒ Ò ÚÖ ÒÓÔÒ ÑÖ Ù Û ÓÚÒ ÓÓ Ò ÐÐ ÑÖ Ø ÙÔØÒº ØÐ ÞØ Ö ÒÙ Ð ÚÓÐØ ÙØ ÃÒÓÓÔ ÁÒØÐ Ø (0, ) (3, 1) (4, 1) (, 1) (, 1) (, 1) ½ ØÖØ (3, 1) (4, 1) (8, 2) (, 1) (, 1) ¾ ØÖØ (4, 1) (6, 3) (7, 3) (, 1) ØÖØ (6, 3) (7, 3) (9, 4) ØÖØ (7, 3) (8, 5) ØÖØ (8, 5) ËØÔ Ö ÞÒ Ò ÚÖ ÒÓÔÒ ÑÖ Ù Û ÞÒ ÐÖº  ÚÒØ Ø ÓÖØ Ø Ô ÒÙ ÓÓÖ ÚÒ ÒÒÓÓÔ ØÖÙ Ø ÐÞÒº ÁÑÑÖ ÚÒ Ö ÒÓÓÔ ÚÓÓÖÒÖ Òº Ù ÖÒ Û ÚÒÙØ ÖÒ Û ÚÒÙØ Ò ÚÒÙØ ½ ØÖØÒÓÓÔº ÀØ ÓÖØ Ø Ô ÑØ Ó ØÒ º Ó ØÒ ÚÒ Ò ÓÖØ Ø Ô Ø ÐÒ ØÐ Ò Ø ÐÐ ÚÒ ÒÒÓÓÔº ÅÖ ÓÔ Ø Û ÒØ ÐÐÒ Ø ÓÖØ Ø Ô ØÙ Ò ½ Ò ÙØ ØÐ ÙÒÒÒ ÞÒ ÑÖ ÓÓ ÐÐ ÓÖØ Ø ÔÒ ØÙ Ò ½ Ò Ò ÚÒ ÓÚÖ ÒÓÔÒº ÇÔÚ ¾º½ ÖØ Ö Ò ÙÙÖ ¾ºº ÎÒ Ø ÓÖ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ º ½ ¾ ¾ ½¾ ½¼ ÙÙÖ ¾º Ö ÓÖÒ ÓÔÚ ¾º½º

52 ¾º ÖÒ ÓÑÒ Ò ÔÒ ÇÔÚ ¾º½ Ò ÚÖØÛÒ ÖØ ÚÒ ÆÛ ÓÖ Æµ ÒÖ ÄÓ ÒРĵ Ú Ò ÒØÐ ÒÖ ØÒ ÑÓÐ ÐÚÐÒ µ Ëغ ÄÓÙ Ëĵ Æ ÚÐРƵ ÈÓÒÜ Èµ ÐÐ µ Ò ËÐØ Ä ØÝ Ëĵº ÀØ ÒØÐ ÐØÖ ÖÒ ØÓ Ø ÚÖØÛÒ ÒÓ Ø ÓÑ ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÚÓÐÒ Ø ÓÑÒ ØØ Ò ÓÒÖ ØÒ Øк Ð Ö ³³ ØØ Ò Ö Ò ÖØ ÖÓÙغ ÆÖ Æ ËÄ Æ È ËÄ Ä Æ ½¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ËÄ ½¼ ¾¾¼ ÎÒ Æ ¾¾¼ ¼ È ½¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ËÄ ¾¾¼ Ä µ ÌÒ ÓÖÒ ÖØ Öº µ ÎÒ ÖÓÙØ ÛÖ ÑÒ Ø ÖÒ ØÓ ÖÙØ ÛÓÖغ ÀÓÚÐ ÖÒ ØÓ ÛÓÖØ Ö Ò ØÓØÐ ÖÙØ ÇÔÚ ¾º½ ÖØ Ö Ò ÙÙÖ ¾ºº 2 ¾ ½ ½ 2 1 ½ ÙÙÖ ¾º Ö ÓÖÒ ÓÔÚ ¾º½º µ ÎÒ Ø ÓÖØ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ ÓÓÖ ÐÐ ÑÓÐ ÔÒ Ø Òº µ ÎÒ Ø ÓÖØ Ø Ô ÚÒ ½ ÒÖ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ø ÐÓÖØÑ ÚÒ ØÖº µ ÏÖÓÑ Ø Ø Ñ Ð ØÖ ÖÙØ ¾º ÑÒ ÓÔÚÒ ÇÔÚ ¾º½ ÓÙÛ Ò Ö (V, E) ÛÖÚÒ ÐÐ ÒØÒ ÚÖ ÐÐÒ Ó ØÒ Òº ÎÓÓÖ Ð ÒÓÓÔÔÙÒØ x V k(x) ÒÖ Ð ÓÓÓÔ Ø ÒØ x Úغ Û Ø Ð k(x) ÚØ Ò ÑÓ ÚÒ (V, E)º ÀÒØ ÈÖѺ ÇÔÚ ¾º¾¼ ÚÒØÙÐ ÓÔÚ ¾ºº ÀÓÚÐ ÓÔ ÔÒÒÒÒ ÓÑÒ ØÐØ Ò ÚÓÐÐ Ö ÓÔ ÒÓÔÒ

53 ¾ºº ÑÒ ÓÔÚÒ ÇÔÚ ¾º¾½ Ò ÐÓØ ÑÓØ ÓÔ ÐÖÙÑØ ÓÙÛÒ ÚÓÓÖ ¾¼¼ ÓÒ ÚÒ ½¼ Ñ ÓÓ ½¼¼ ÓÒ ÚÒ ¾¼ Ñ ÓÓ Ò ¼ ÓÒ ÚÒ ¼ Ñ ÓÓº ÁÖ Ó ½º Ñ º ÐÓØ Ò ÓÒ ÓÔ ÚÖ ÐÐÒ ÑÒÖÒ ÓÔÖÒº ÇÔ Ò Ô ¾¼ Ñ ÓÓ Ò ÚÓÐÓÒ ÐÒ ÙÒÒÒ ÚÓÓÖÐ ÐÐ ÓÒ ÚÒ ½¼ Ò ¾¼ Ñ ÓÓ ØÒº ÇÔ Ò Ô ¼ Ñ ÓÓ ÙÒÒÒ ÐÐ ØÝÔ ØÒº ÀØ Ó Ø ¾ ¼¼ ÙÖÓ ÓÑ Ò Ô Ø ÔÐØ Ò Ò ÖÒ Ø Ó Ø Ø ½ ÙÖÓ ÚÓÓÖ Ö ÚÖÒØ ÒØÑØÖ ÓÔ ÐÖÙÑØ ÓÔ ÐÖÙÑØ ÔÖ Ó Ø ÚÒ Ø Ó ÚÖÑÒÚÙÐ ÑØ ÓÓØ ÚÒ Ô ÛÖ ÓÔ Øصº µ ÏØ Ó Ø Ø ÓÑ ÐÐ ÓÒ ÓÔ Ò Ô Ø ÞØØÒ ÀÒØ ÛØ ÑÓØ ÓÓØ ÚÒ Ø Ô ÞÒ µ ÏØ Ó Ø Ø ÓÑ ÐÐ ÓÒ ÚÒ ½¼ Ñ ÓÔ Ò Ô ÚÒ ½¼ Ñ Ø ÞØØÒ ÐÓØ ÛÐ ÒØÙÙÖÐ ÛØÒ ÛØ ÓÓÓÔ Ø ÓÔÐÓ Ò º Ï ÙÒÒÒ Ø ÔÖÓÐÑ ÖÚÒ Ð Ò ÓÖØ Ø Ô ÔÖÓÐÑ ÛÖ ÖØ Ö ÚÓÖÑ Ø Ò ÙÙÖ ¾º Øغ Ó ØÒ ÚÒ ÔÐÒ i j ÞÒ Ò Ó ØÒ ÓÑ ÐÐ ÓÒ ÑØ Ò ÓÓØ ÖÓØÖ Ò i ½¼ ¼ ¼ ¾¼ ÙÙÖ ¾º Ö ÓÖÒ ÓÔÚ ¾º¾½º Ò ÓÓÙØ j ÓÔ Ò Ô Ø ÞØØÒº µ ÏØ ÞÒ Ó ØÒ ÚÒ ÔÐ 0 20 µ ÓÓ Ó ØÒ ÚÒ ÓÚÖ ÔÐÒº ÀÒØ Ø µ Ò µ Ð Ø Ò Ò ÒÖ ÖÒº µ ÖÙ ØÖ ÓÑ Ø ÓÖØ Ø Ô Ò ÙÙÖ ¾º Ø ÚÒÒº µ ÏØ ÒÙ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ ÐÓØ

54

55 ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÖÔÔÒ Ø ÅÒÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÅÜÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÔÖÓÐÑ Ö ÞÒ ÚÖ ÑÒ (M 1, M 2, M 3, M 4 ) Ö ÚÓÓÖ ÚÖ ÓÔÖØÒ (J 1, J 2, J 3, J 4 )º Ð ÑÒ Ò ÓÓ ØÒ Ò ÓÔÖØ ÙØÚÓÖÒº Ó ØÒ ÚÒ Ò ÓÔÖØ ÙØÚÓÖ ÓÓÖ Ò ÔÐ ÑÒ ÞÒ Ø ÚÒÒ Ò ÓÒÖ ØÒ Øк ÇÔÖØ ÇÔÖØ ÇÔÖØ ÇÔÖØ ½ ¾ ÅÒ ½ ¼ ½ ÅÒ ¾ ½ ½ ÅÒ ¾½ ÅÒ ¾¼ ¾ ÌÐ º½ ÎÖ ÑÒ ÚÖ ÓÔÖØÒ ÙØ ÙÒÒÒ ÚÓÖÒº ÅÒ M 1 Ò ÚÓÓÖÐ ÓÔÖØ J 1 ÓÒ M 2 Ò J 2 ÓÒ M 3 Ò J 3 ÓÒ Ò M 4 Ò J 4 ÓÒº ÁÒ Ø ÚÐ ÞÒ ØÓØÐ Ó ØÒ = 149º ÀØ ÚÖ Ó Ø ÓÓÓÔ Ø ÑÒÖ ÓÑ ÓÔÖØÒ ØÓ Ø ÛÞÒ Ò ÑÒ º ÇÔÚ º½ µ ÇÔ ÓÚÐ ÑÒÖÒ ÙÒ Ò ÓÚÒ ØÒ ÚÓÓÖÐ ÑÒ Ò ÓÔÖØÒ ØÓÛÞÒ µ ÇÔ ÓÚÐ ÑÒÖÒ ÙÒ ÑÒ Ò ÓÔÖØÒ ØÓÛÞÒ µ ÇÔ ÓÚÐ ÑÒÖÒ Ò n ÑÒ Ò n ÓÔÖØÒ ØÓÛÞÒ ÀØ ÒØÐ ÑÓÐ ØÓÛÞÒÒ Ò Ù Ò ÔÖÒÔ ÞÓÙ ÚÓÓÖ ÐÐ ÑÓÐ ØÓÛÞÒÒ Ó ØÒ ÙÒÒÒ ÖÒÒº ØÖ Ò ÓÔÚ º½ ÞÒ Ø Ø ÒØÐ ÑÓÐ ØÓÛÞÒÒ ÒÐ Ö ÖÓÓØ ÛÓÖØ Ò Ø Þ ÑØÓ ÒØ Ö Ò º ÁÒ ÓÓ ØÙ ½ Ò Û ÐÖ ÓÑ ÔÖÓÐÑÒ Ø ÑÓÐÐÖÒ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐѺ ÇÓ Ø ØÓ¹ ÛÞÒ ÔÖÓÐÑ Ò Ø ÚÓÓÖÐ Ò ÛÓÖÒ ÓÔÐÓ Ø ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ò ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ¹

56 ¼ º ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÔÖÓÐÑ ÑØ ½ ÚÖÐÒ x 1,1, x 1,2,..., x 4,4 ÛÖ ÚÖÐ x i,j Ð Ò ½ Ð ÑÒ M i ÛÓÖØ ØÓÛÞÒ Ò ÓÔÖØ J j Ò ÒÖ Ð Ò ¼º ÇÔÚ º¾ µ ËÖ ØÓØÐ Ó ØÒ Ð ÙÒØ ÚÒ ÚÖÐÒ x i,j º µ ÎÖØÐ ÚÓÓÖÛÖ Ø Ð ÑÒ ÓÓ ØÒ Ò ÓÔÖØ Ò ÙØÚÓÖÒ Ò ÚÖ ÐÒÖ ÓÒÐÒº µ ÎÖØÐ ÚÓÓÖÛÖ Ø Ð ÓÔÖØ ÓÓÖ ÑÒ ØÒ Ò ÑÒ ÑÓØ ÛÓÖÒ ÙØÚÓÖ Ò ÚÖ ÐÒÖ ÓÒÐÒº µ ÔÐ Ø ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Ø ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ ÖÒÒ ÓÙÒ ÑØ ÓÒÖÙÐ ÚÓÓÖÛÖÒ Ø x i,j = 0 Ó 1º ½ ÀØ ÚÒÒ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÓÓÖ ÖÙ Ø ÑÒ ÚÒ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ Ñ ØÐ ÒØ Òغ Ï ÞÙÐÐÒ Ò ÒØÖ ÑØÓ ÞÓÒÓÑ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÔÖÒº º½ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÀØ ÓÐ ÓÑ ÓÓÓÔ Ø ÓÔØÑе ØÓÛÞÒ Ø ÚÒÒ ÓÑ ÑÒ ØÓ Ø ÛÞÒ Ò ÓÔÖØÒº Ö Ø ÑÖÒ Û ÓÔ Ø Ð Ò ÚÒ ÑÒ Þ M 1 ÐÐ ÓÔÖØÒ ÒÒ ÓÓÔÖ Ò ÙØÚÓÖÒ ØÓØÐ Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ð ÑÓÐ ØÓÛÞÒ ÑØ ÒÒ ÚÖÑÒÖÒº ÁÒ ÒÖ ÛÓÓÖÒ Ð Ò Ö M 1 ÐÐ ÐÑÒØÒ ÚÒ ØÐ ÑØ ÒÒ ÐÒÖ ÛÓÖÒ ÚÖÒÖØ Ø ÔÖÓÐÑ ÒØ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÓÓÖ Ø ÓÖÒÐ ÔÖÓÐÑ ÓÓ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÙÛ ÔÖÓÐÑ Ò Ú ÚÖ º ÇÔ Ò ÚÖÐÖ ÑÒÖ ÙÒÒÒ Û ÓÒÐÙÖÒ Ø Ð ÐÐ ÑÒ ÓÔÖØ J 2 7 ÒÒ ÓÓÔÖ ÙÒÒÒ ÙØÚÓÖÒ ØÓØÐ Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ð ÑÓÐ ØÓÛÞÒ ÑØ ÒÒ ÚÖÑÒ¹ ÖÒº Ø ØÒØ Ø Ø ÔÖÓÐÑ ÒØ ÚÖÒÖØ Ð ÐÐ ÐÑÒØÒ ÚÒ Ò ÓÐÓÑ ÑØ ØÞÐ ØÐ ÛÓÖÒ ÚÖÑÒÖ Ó ÚÖÓÓº Ï ÙÒÒÒ Ø ÔÖÒÔ ÖÙÒ ÓÑ Ò ØÖÒ ÔÖÒØÖ ØÐ Ø ÑÒº Æ Ø ÚÖÑÒÖÒ Ò ÚÖÓÒ ÚÒ ÓÑÑ ÖÒ Ò ÓÐÓÑÑÒ ÖÒ Û ÚÓÐÒ ØÐ Ó Û Þ ØÐ Ò ÚÖÖÒ ÛÓÖØ ÐØÖ ÙØе J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M Ð ÑÒ M 1 ÓÔÖØ J 3 ÓØ M 2 ÓÔÖØ J 1 ÓØ M 3 ÓÔÖØ J 4 ÓØ Ò M 4 ÓÔÖØ J 2 ÓØ ÞÒ Ó ØÒ Ò ÖÙÖ ØÐ ÔÖ Ð Ò ¼º ÀØ ÙÐ Ø Ö Ò ØÓÛÞÒ ÛÖÚÓÓÖ Ó ØÒ ÑÒÖ ÞÒº Ð ÓÚÒÒ ØÓØÐ ÖÙÖµ Ó ØÒ Ð ÞÒ Ò ¼ ÑÓØ M 1 J 3 ÓÒº ÇÑØ M 3 Ò ÒØ J 3 Ò ÓÒ ÑÓØ M 3 J 4 ÓÒº ÆÙ ÞÒ ÓÓ ÓÔÖØÒ ÚÓÓÖ M 4 Ò M 2 Ôк Ö ÚÓÐØ Ø Þ ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ º ØÓØÐ Ó ØÒ ÞÒ Ð Ò ½º Ó ØÒ ÞÒ ÖÒ Ò Ò ÚÒ ÓÖÒÐ Øк ½ ÅÖ ÓÔ Ø Þ ÓÒÖÙÐ ÚÓÓÖÛÖÒ ÓÚÖÓ ÞÒ ÓÑØ Ø ÛÞÒ Ò ÛÓÖÒ Ø ÚÓÓÖ Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ÄȹÔÖÓÐÑ ÞÓÒÖ ÓÒÖÙÐ ÚÓÓÖÛÖÒµ ÐØ Ø Þ ÓÔÐÓ Ò ØØ ÙØ ÒÙÐÐÒ Ò ÒÒº

57 º½º ÀÓÒÖ ÑØÓ ½ ÖÙÖ ØÐ ÚÖÖÒ ÓÓÖ ÖÙ Ø ÑÒ ÚÒ ÀÓÒÖ ÑØÓº ÀØ ØÔÔÒÔÐÒ ÚÒ Þ ÑØÓ ÛÓÖØ ÖÓÒÖ ÚÒ Ò ÙØÛÖØ Ò Ò ÚÒ Ø ÚÓÓÖÐ Ò Ø Ò ÚÒ Ø ÓÓ ØÙ Þ ÚÓÓÖÐ º½µº ÀÓÒÖ ÑØÓ ËØÔ ¼º ÎÒ Ò Ð Ö ÚÒ ØÐ ÑØ ÚÒÚÐ ÖÒ Ð ÓÐÓÑÑÒµ Ø ÑÒÑÐ ÐÑÒØ Ò ÚÖÑÒÖ Ð Ö ÑØ Ø Øк ÎÒ ÚÖÚÓÐÒ Ò ÒÙÛ Øе ÚÓÓÖ Ð ÓÐÓÑ Ø ÑÒÑÐ ÐÑÒØ Ò ÚÖÑÒÖ Ð ÓÐÓÑ ÑØ Ø Øк ÒÖ ØÔ ½º ËØÔ ½º Ó Ø ÑÓÐ ÓÑ Ò ÒÙÛ ØÐ Ò ØÓÛÞÒ Ø ÚÒÒ ÑØ ¼ Ó ØÒº Ð Ø ÐÙØ Ò Û Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÓÒÒ Ò ÙÒÒÒ Û ØÓÔÔÒº Ð Ø ÒØ ÐÙØ Ø ÑÓÐ ÓÑ ÐÐ ÒÙÐÐÒ Ò ÒÙÛ ØÐ Ø Ò ÑØ ÑÒÖ Ò m ÐÒÒ ÓÖÞÓÒØÐ Ò ÚÖØеº ÌÖ Þ ÐÒÒ Ò ÒÖ ØÔ ¾º ËØÔ ¾º ÎÒ Ò ÒÙÛ ØÐ Ø ÐÒ Ø ÐÑÒØ Ø ÒØ Ø ÓÓÖ Ò ÚÒ Ò ØÔ ½ ØÖÓÒ ÐÒÒ Þ Ø Ø ÐÑÒØ Ð Ò kµº ÎÖÑÒÖ Ð ÓÒØ ÐÑÒØ ÚÒ ÒÙÛ ØÐ ÑØ k Ò ÚÖÓÓ Ð ÐÑÒØ Ø ØÛ Ö Ø ÑØ k Ø Ð Ò Ø ÑØ k ÚÖÑÒÖÒ ÚÒ Ð ÐÑÒØ ÚÒ Ò ÓÒØ ÓÐÓÑ Ò Ø ÑØ k ÚÖÓÒ ÚÒ Ð ÐÑÒØ ÚÒ Ò Ø Ö Ø ÒÚÐÓØ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Òصº ÒÖ ØÔ ½º ÅÖ ÓÔ Ø ØÔ ¼ ÒØ ÒØÐ ÚÓÓÖ Ø ÐÓÖØѺ ËØÔ ¼ ÛÓÖØ ÐØ Ò Ö Ò Ø Òµ ÙØÚÓÖ ÓÑ Ø ÐÓÖØÑ Ø ÚÖ ÒÐÐÒº ÎÓÓÖÐ º½ ÀÓÒÖ ÑØÓ ËØÔ ¼º ÎÖÑÒÖ Ö M 1 ÑØ ½ Ö M 2 ÑØ ½ Ö M 3 ÑØ ¾½ Ò Ö M 4 ÑØ ¾¼º ØÐ ÛÓÖØ J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ÎÖÑÒÖ ÚÖÚÓÐÒ ÓÐÓÑ J 1 ÑØ Ò ÓÐÓÑ J 4 ÑØ ÓÑ ÚÓÐÒ ØÐ Ø ÖÒ J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ½º ÀØ ÒØ ÑÓÐ ÓÑ Ò ÒÙÛ ØÐ Ò ØÓÛÞÒ Ø ÚÒÒ ÑØ ¼ Ó ØÒ Ò Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ¼ Ó ØÒ ÑÓØÒ ÞÓÛÐ M 1, M 3, Ð M 4 ÓÔÖØ J 3 ÙØÚÓÖÒµº Ï ÙÒÒÒ ÐÐ ÒÙÐÐÒ Ò ØÐ ÑØ ¾ ÐÒÒ Ò Ò ÐÒ ÓÓÖ ÓÐÓÑ J 3 Ò Ò ÐÒ ÓÓÖ Ö M 2 º J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M

58 ¾ º ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ ËØÔ ¾º ÀØ ÑÒÑÐ ÓÒØ ÐÑÒØ Ð Ò ½º ÀÖÙØ ÚÓÐØ Ø Û ÐÐ ÓÒØ Ð¹ ÑÒØÒ ÑØ ½ ÚÖÑÒÖÒ Ò ÐÐ ØÛÑÐ Ø ÐÑÒØÒ ÑØ ½ ÚÖÓÒº ÓÐ ÚÓÓÖÒ ÛÖ ÓÔÑÖØ Ø Ð Ò Ø ÑØ ½ ÚÖÑÒÖÒ ÚÒ Ð ÐÑÒØ ÚÒ Ò ÓÒØ ÓÐÓÑ ºÛºÞº ÓÐÓÑÑÒ J 1, J 2, Ò J 4 Ò Ø ÑØ ½ ÚÖÓÒ ÚÒ Ð ÐÑÒØ ÚÒ Ò Ø Ö ºÛºÞº Ö M 2 ºµ Ï ÖÒ ÚÓÐÒ ØÐ J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ½º ÀØ ÒÓ Ø ÒØ ÑÓÐ ÓÑ Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ¼ Ó ØÒ Ø ÚÒÒ M 1 Ò M 2 ÑÓØÒ ÒÓ Ø ÓÔÖØ J 3 ÙØÚÓÖÒµº ÆÙ ÙÒÒÒ Û ÐÐ ÒÙÐÐÒ ÑØ Ö ÐÒÒ Ò ÚÓÓÖÐ ÓÓÖ ÓÐÓÑÑÒ J 3 Ò J 4 Ò Ö M 2 Ø Òº J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ¾º ÀØ ÑÒÑÐ ÓÒØ ÐÑÒØ Ð Ò º Ï ÚÖÑÒÖÒ ÐÐ ÓÒØ ÐÑÒØÒ ÑØ Ò ÚÖÓÒ ÐÐ ØÛÑÐ Ø ÐÑÒØÒ ÑØ º Ï ÖÒ ÚÓÐÒ ØÐ J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ½º ÀØ ÒÓ Ø ÒØ ÑÓÐ ÓÑ Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ¼ Ó ØÒ Ø ÚÒÒº Ï ØÖÒ ÐÒÒ ÓÓÖ ÖÒ M 2 Ò M 4 Ò ÓÓÖ ÓÐÓÑ J 3. J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ¾º ÀØ ÑÒÑÐ ÓÒØ ÐÑÒØ Ð Ò ¾º Ï ÚÖÑÒÖÒ ÐÐ ÓÒØ ÐÑÒØÒ ÑØ ¾ Ò ÚÖÖÓØÒ ÐÐ ØÛÑÐ Ø ÐÑÒØÒ ÑØ ¾ ÓÑ ÚÓÐÒ ØÐ Ø ÖÒ J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M ËØÔ ½º ÆÙ Ò Û Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ¼ Ó ØÒ ÞÓÐ Û ÖÖ Ò ÞÒµ M 2 ÓØ J 1, M 4 ÓØ J 2, M 1 ÓØ J 3 Ò M 3 ÓØ J 4.

59 º½º ÀÓÒÖ ÑØÓ ÇÔÚ º ÖÙ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÓÑ Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ÑÒÑÐ Ó ØÒ Ø ÚÒÒº Ó ØÒ ÞÒ Ø ÚÒÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ A B C D W X Y Z ÇÔÚ º µ ÖÙ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÓÑ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÓÓÖ ÚÓÐÒ Ó ØÒÑØÖÜ Ø ÚÒÒº µ ÏØ ÚÐØ ÓÔ A B C X Y Z ÅÖ ÓÔ Ø Ð Ø ÒØÐ ÖÒ Ò Ø ÒØÐ ÓÐÓÑÑÒ Ò Ó ØÒØÐ ÒØ Ð ÞÒ Ø ÔÖÓÐÑ ÓÒÐÒÖ º ÁÒ Ø ÚÐ Ò Ø ÞÒ Ø ÀÓÒÖ ÑØÓ Ò ÓÔÐÓ Ò Ø ÒØ Ð Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº ÇÑ Ø Ø ÚÓÓÖÓÑÒ ÑÓØÒ ÙÑÑÝÖÒ Ó ¹ÓÐÓÑÑÒ ØÒ ÙØ ÒÙÐÐÒ ÛÓÖÒ ØÓÚÓ Ò ÑØÖÜ ÚÓÓÖØ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÛÓÖØ ØÓÔ Øº ÎÓÓÖÐ º¾ ÙÑÑÝÖ ËØÐ Ø Ò Ø ÚÓÓÖÐ ÛÖÑ Û Ø ÓÓ ØÙ ÓÒÒÒ ÑÒ ÙØÒ ÛÖÒ Ò Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÛÓÖÒº Ï ÖÒ Ò ÓÒÖ ØÒ Øк ÆÙ Ø ÒØÐ ÖÒ ÐÒÖ Ò ÇÔÖØ ÇÔÖØ ÇÔÖØ ÇÔÖØ ½ ¾ ÅÒ ½ ¼ ½ ÅÒ ¾ ½ ½ ÅÒ ¾½ ÌÐ º¾ Ö ÑÒ ÚÖ ÓÔÖØÒ ÙØ ÙÒÒÒ ÚÓÖÒº Ø ÒØÐ ÓÐÓÑÑÒ Ò ÛÖØ ÀÓÒÖ ÑØÓ Òغ Ï ÚÓÒ Ò ÙÑÑÝÖ ØÓ Ò ÖÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ ÛÖ M d Ò ÙÑÑÝÑÒ º Ø ØÒØ Ø ÓÔÖØ Ò Þ ÑÒ ÛÓÖØ ØÓÛÞÒ ÒØ ÙØÚÓÖ ÞÐ ÛÓÖÒº J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M d ÎÓÖ ÚÓÐÒ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÓÔ ÓÚÒ ØÒ ØÐ Ùغ

60 º ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ ËØÔ ¼ ÀØ ÑÒÑÙÑ Ò ÓÐÓÑÑÒ ¼ Ù Û ÙÒÒÒ ÐÐÒ ÚÒ Ö Ø Ö ÖÒ Ø ÑÒÑÙÑ ØÖÒº J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M d ËØÔ ½ Ö Ò ÒÙÐØÓÛÞÒ ÑÓÐ Û ÙÒÒÒ ÒÙÐÐÒ Ò ÑØ ÐÒÒ J 3 M 2 Ò M d º J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M d ËØÔ ¾ ÀØ ÐÒ Ø ÓÒØ ØÐ ¾ Ù Û ÙÒÒÒ ÚÒ ÐÐ ÓÒØ ØÐÐÒ ¾ ØÖÒ Ò ÐÐ ÙÐ Ø ØÐÐÒ ¾ ÓÔØÐÐÒº J 1 J 2 J 3 J 4 M M M M d ËØÔ ½ ÆÙ Ö ÛÐ Ò ÒÙÐØÓÛÞÒ ÑÓÐ M 1 ÓØ J 3 M 2 ÓØ J 2 M 3 ÓØ J 4 Ò M d ÓØ J 1 º Ø ØÒØ Ù Ø ÓÔÖØ ½ ÒØ ÙØÚÓÖ ÞÐ ÛÓÖÒº Ó ØÒ ÚÒ Þ ØÓÛÞÒ ÞÒ = 93º ÇÔÚ º Î ÔÖ ÓÒÒ ÑÓØÒ ÚÖ ÓÔÖØÒ ÙØÚÓÖÒº Ø Ò ÔÖ ÓÓÒ ÒÓ Ø ÓÑ Ò ÔÐ ÓÔÖØ ÙØ Ø ÚÓÖÒ Ø ÚÒÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ J 1 J 2 J 3 J 4 P P P P P Ò Ø Ò Ø Ò ÔÖ ÓÓÒ ÓÔÖØ ÒØ Ò ÙØÚÓÖÒº ÔÐ ØÓÛÞÒ ÚÒ ÓÔÖØÒ Ò ÔÖ ÓÒÒ ÞÓØ ØÓØÐ Ø ÚÓÓÖ Ø ÙØÚÓÖÒ ÚÒ ÚÖ ÓÔÖØÒ ÑÒ¹ ÑÐ Ö ÛÓÖغ ÏÐ ÔÖ ÓÓÒ Ø ÐÙ ÇÔÚ º Ò ÒØÖÐ Ö Ø ÒØÖÐÞÒ S 1 ØÓØ Ò ÑØ S 8 º ÇÔ Ô ÚÓÒ ÛÐÐÒ ÛÖÒÙÞÒ M 1 ØÓØ Ò ÑØ M 7 ÚÓÓÖ Ð Ò ÒØÖÐ º ÀØ ÙÖÒ ÚÒ Ò ÒØÖÐ Ó Ø ½¼¼¼ ÔÖ º Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒØÖÐ Ö ÒÒ ÚÒ ÒØÖÐ Ò ÚÒ Ø ÛÖÒÙ ÖÒÒ ÓÙÒ ÑØ Ö Ó ØÒ ÚÖÓÒÒ Øºµ Ò ÛÓÖÒ ØÓÓÒ Ò ÓÒÖ ØÒ ØÐ Ò

61 º¾º ÅÜÑÐ ØÓÛÞÒÒ ½¼¼¹ÒÒµº ÏÐ ÒØÖÐ ÑÓØ ÒÖ ÛÐ ÛÖÒÙ ÓÑ ÛÒ Ø ÚÒ Ø ÒØÖÐ Ö Ø ÑÜÑÐ ÖÒ M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 S S S S S S S S º¾ ÅÜÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÅØ ÙÐÔ ÚÒ ÀÓÒÖ ÑØÓ ÛÐÐÒ Û Ò ÑÒÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÒÒº ÇÑ ÑÜÑÐ ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑÒ ÓÔ Ø ÐÓ Ò ÑÓØÒ Û ÒÐ ØÖÙ ØÓÔ Òº ÄØÒ Û Ø ÚÓÐÒ ÚÓÓÖÐ Ò ÓÔ ¼ ÔÖÐ ÙÒÒÒ ÚÖ ÖØ ØÒ Ö ØÒ ÓÑ Ò ÀÖÖÝ ÓÔØÖ¹ Ò Ò ÚÖ ÖÓØ ØÒ Ñ ØÖÑ Ö ÊÓØØÖÑ Ò ÌÐÙÖº ÀÙÒ ÑÓÐ ÒØØÓ ÓÔÖÒ ØÒ ÞÒ ÚÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ A B R T C D G H ÚÖ ÖØ ØÒ Ð Ò Ø ØÛ ÖØ ØÒ ÒØ Ò ÞÐ Ø ÙÒÒÒ ÔÐÒº ÀÓ ÑÓØÒ ÖØ ØÒ Ò ØÒ ÛÓÖÒ ØÓÛÞÒ ÓÑ ØÓØÐ ÓÔÖÒ Ø Ø ÑÜÑÐ ÖÒ Ð Û ÀÓÒÖ ÑØÓ ÖÙÒ ÙÒÒÒ Û ÒØÙÙÖÐ Ò ØÓÛÞÒ ÚÒÒ ØÓØÐ ÓÔÖÒ Ø ÑÒÑÐ Öغ Ò Ø Ø ÚÖÒÒ ÚÒ x ÙÖÓ Ð Ò Ø ÚÖÐÞÒ ÚÒ x ÙÖÓ ÙÒÒÒ Û ÔÖÓÖÒ ÓÑ Ò ØÓÛÞÒ Ø ÚÒÒ Ø ØÓØÐ ÚÖÐ ÑÒÑÐ Öغ ÚÖÐÞÒ ÞÒ ÚÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ A B R T C D G H Ï Ò Ò ÑÜÑÐ ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ ÚÖØÐ Ò Ò ÑÒÑÐ ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐѺ ÌÓ ÙÒÒÒ Û ÀÓÒÖ ÑØÓ ÒÓ Ø ÒØ ØÓÔ Ò ÓÑØ ØÐ ØØ ÙØ ÒØÚ ØÐÐÒ ÓÒÒ Ø Ø ÒØ ÜÔÐØ ÒÓÑ Ø ÒØÐ ÚÓÓÖ ÀÓÒÖ ÑØÓ Ø ÐÐ ØÐÐÒ ÒعÒØ ÞÒµº Ö ØÖ Ò ÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø ÔÖÓÐÑ ØÐ Ò ÖÓÓØ ØÐ ÚÓÓÖÐ ½ ÑÐÓÒµ ÓÔ Ð ÐÑÒØ ÚÒ Øк ÓÐ Û ÖÖ Ò ÞÒ ÚÖÒÖØ Ø Ø ÔÖÓÐÑ Òغ Ò ÙØÐÖ ÓÔÐÓ Ò ÓÑ Ö C ÑØ ¾¼ Ø ÚÖÖÓØÒ Ö D ÑØ Ø ÚÖÖÓØÒ Ö G ÑØ ¾ Ø ÚÖÖÓØÒ Ò Ö H ÑØ ¾¼ Ø ÚÖÖÓØÒº ÆÙ ÙÒÒÒ Û ÀÓÒÖ ÑØÓ ÖÙÒº

62 º ÇÔØÑÐ ØÓÛÞÒÒ ÇÔÚ º ÔÐ Ò ÑÜÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÓÓÖ Ø ÓÚÒ ØÒ ÔÖÓÐѺ º ÑÒ ÓÔÚÒ ÇÔÚ º Ò ÞÛÑÓ ØÐØ Ò ØÑ ÑÒ ÚÓÓÖ Ö ½¼¼ ÑØÖ Û Ð Ð ØØغ ÐÐ ÚÖ ÐÒ ÑÓØÒ ÓÓÖ Ò ÒÖ ÞÛÑÑÖ ÛÓÖÒ ÞÛÓÑÑÒº Ó ÒØ Ø Ð ÞÛÑÑÖ Ø ÞÐ ÐÒ Ò ÓÒÖ ØÒ ØÐ Øغ ÚÖ Ð ÓÓÐ Ð ÚÐÒÖ Ð ÖÙ Ð ÛÑÑÖ ½ ½ ÛÑÑÖ ¾ ½ ¾ ¾ ÛÑÑÖ ¼ ÛÑÑÖ µ ÏÐ ÞÛÑÑÖ ÑÓØ ÛÐ Ð ÞÛÑÑÒ ÓÑ ØÓØÐ Û ØÖØ ÚÒ Ø ØÑ Ø ÑÒ¹ ÑÐ ÖÒ ÏØ ÒÐ Ø Ø µ ÔÐ ÓÓ Ø ÐÒÞÑ Ø ØѺ ÏØ ÐÒÞÑ Ø Ø ÇÔÚ º Ò Ö ÛÐ ÔÖÓÙØÒ ½ ¾ Ò ÔÖÓÙÖÒº ÇÑ Ø Ø ÖÐ ÖÒ Ø Ø Ö ÑÒ º Ð ÑÒ Ò ÓÓ ØÒ Ò ÔÖÓÙØ Ø ÑÒº ÔÖÓÙØØ ÚÒ Ò ÔÖÓÙØ ÓÔ Ò ÔÐ ÑÒ ÛÓÖØ ÛÖÚÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ A B C D E ÔÐ Ò ØÓÛÞÒ ÚÒ ÔÖÓÙØÒ ½ ¾ Ò ÑÒ ØÓØÐ ÔÖÓÙØØ ÑÒÑÐ Öغ ÇÔÚ º½¼ Ò Ö Ø Ú ÑÒ M 1, M 2,..., M 5 Ò ÔÖÓÙÖØ Ú ÔÖÓÙØÒ P 1, P 2,..., P 5 º Ó ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÔÖÓÙÖÒ ÚÒ Ò ÔÖÓÙØ ÓÔ Ò ÔÐ ÑÒ ÞÒ ÛÖÚÒ Ò ÚÓÐÒ ØÐ P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 M 1 x M M M M µ ÆÑ x = 6º ÏØ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÒ ÔÖÓÙØÒ Ò ÑÒ ØÓØÐ Ó ØÒ ÑÒÑÐ ÖØ Ò ÛØ ÞÒ ØÓØÐ Ó ØÒ ÚÒ Þ ØÓÛÞÒ µ ËØÐ ÑÒ M 1 ÑÓØ ÔÖÓÙØ P 1 ÔÖÓÙÖÒº ÏØ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÚÒ ÒÖ ÔÖÓÙØÒ Ò ÛØ ÞÒ ØÓØÐ Ó ØÒ ÚÒ Þ ØÓÛÞÒ Ð ÙÒØ ÚÒ x µ ÏØ ÑÜÑÐ ÛÖ ÚÒ x ÞÓØ Ò Ò ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ ÞÓÒÖ Ö ØÖØ µ ÑÒ M 1 ÔÖÓÙØ P 1 ÔÖÓÙÖØ

63 º º ÑÒ ÓÔÚÒ ÇÔÚ º½½ ÓÙÛ Ø ÚÓÐÒ ÄȹÔÖÓÐѺ min 5x 1 + 2x 2 + 2x 4 + 3x 5 + 3x 6 + 4x 8 + 5x 11 + x 12 o.d.v. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 1 x 9 + x 10 + x 11 + x 12 = 1 x 1 + x 5 + x 9 1 x 2 + x 6 + x 10 1 x 3 + x 7 + x 11 1 x 4 + x 8 + x 12 1 x i {0, 1} voor i = 1,..., 12. ÎÖØÐ Ø ÔÖÓÐÑ ÒÖ Ò ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ Ò ÐÓ Ø ÓÔ ÑØ ÀÓÒÖ ÑØÓº ÇÔÚ º½¾ ÌÖÒ ÔÓÖØÖ ÃÐÚÖÐ Ø ÚÖ ÚÖØÛÒ w 1 ØÓØ Ò ÑØ w 4 µº ÇÔ Ò Ò Ø Ö Ú ÑÓÐ ÚÖØÒ ÚÖÚÓÖÒ v 1 ØÓØ Ò ÑØ v 5 µº ÎÓÓÖ Ð ÚÖØ Ò ÚÖØÛÒ Ò Ð ÒÓº ÀØ ÓÒÖ ØÒ ÖÑ Ø ÚÓÓÖ Ð ÛÒ Ò ÚÖØ Ò ÓÚÐ Ö ÚÖÒ ÛÓÖØ Ð ØÖÒ ÛÒ ÚÖØ ÚÖÚÓÖغ v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 w w w w ÚÖ Ó ÚÖ ÛÒ Ò ÚÖØÒ ÑÓØÒ ÛÓÖÒ ØÓÛÞÒ ÞÓ Ø ÃÐÚÖÐ ÞÓÚÐ ÑÓÐ ÛÒ Ø ÑØ

64

65 ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÁÒ ÓÓ ØÙÒ ¾ Ò Ò Û ÔÖÓÐÑÒ ÞÒ Û ÓÒÒ ÖÚÒ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÑÖ ÓÓÖ ÙÒ ØÖÙØÙÙÖ ÓÓ ÓÔ Ò ÒÖ ÑÒÖ ÒÐ ÓÔÐÓ Ø ÙÒÒÒ ÛÓÖÒº ÁÒ Ø ÓÓ ØÙ Ò Û ÒÖ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѺ Ø ÔÖÓÐÑ ÙÒ ÖÚÒ Ð Ò ÄȹÔÖÓÐÑ ÑÖ Ø Ö Ò ÐÓÐ ÚÓÓÖÛÖÒ ÚÓÓÖ ÒÓº ÖÒ Ø Ò ÓÓ ØÖÙØÙÙÖ ÒØ ÐÔÒ ÓÑ ÓÔ Ò ÒÐÐ ÑÒÖ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ø ÚÒÒº ÖÓÑ Ò Û Ò ÒÖ ÙÖ ØÒº Ø ÞÒ ØÔÔÒÔÐÒÒÒ Ò ÓÔÐÓ Ò ÚÒ ÑÖ Ø ÓØ ÒØ ÒÓÓÞÐÖÛ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ø ÞÒº Ï ÛÐÐÒ ÒØÙÙÖÐ ÛØÒ Ó ÞÓ³Ò ÓÔÐÓ Ò ÛÐ Ò Ø Ò ÙÙÖØ ÓÑØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ò ÖÓÑ Ò Û ÓÓ ÒÖ ÛÐØØ ÚÒ ÙÖ Ø Ò ÞÓÒ Û Ò ÓÒÖ¹ Ò ÓÚÒÖÒ ÚÓÓÖ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº ÅÖ Û ÒÒÒ ÑØ Ò ÒÐÒ ÚÓÓÖк ÖÔÔÒÐ Ø ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÆÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø ÅÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑ ÙÖ Ø ÊÐØÚ ÔÖÓÖÑÒ ÇÒÖ¹ Ò ÓÚÒÖÒ ÎÓÓÖÐ º½ ÈÖÒØ ÖÙØ ÓÖ ÀØ Ö ËÑÒ ÆÜÓÖ Ø Ò Ù ÙÖ Ò Ö ØÒ ÛÖ ÑØ ÒÑ È³ ÛÓÖÒ Ñغ Ò ÐÒÖ Ò ÚÒÖ ÓÒÖÐ ÚÒ Þ Ö ÔÖÓÙØ ÚÒ ÔÖÒØÖØÒ ÔÖÒØ ÖÙØ ÓÖ ³ Ó Ô³ ³µº ÎÓÓÖÐÒ ÚÒ ÔÖÒØÖØÒ ÞÒ ÑÓÖÓÖÒ ÚÓÖØÒ Ò ÙÓÖØÒ Ò Ò È ÑÖ ÓÓ Ò Ìγ ÑÓÒØÓÖÒ Ò ØÐÓÓÒ ÓÑÒ Þ ÖØÒ ÚÓÓÖº ÌÒ Ø ÚÒ ÖÓØ ÔÖÓÙØÚÓÐÙÑ ÐØ Ø Ò ÚÒ ÓØØÐÒ Ò Ø ÔÖÓÙØÔÖÓ ÚÓÖÑ ÛÓÖØ ÓÓÖ ÓÓÖÑÒ Ò ÚÖ ÐÐÒ ÐÒ Ø ÓÖÒ ÞÓØ ÓÑÔÓÒÒØÒ ÚÒ ÚÖ¹ ÐÐÒ ÐÒ ÑØ ÐÖ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ ÚÖÓÒÒº ÎÒ Ð Ð ÚÒ Ð ÔÖÒØÖØ Ò Ð Ø Ö ÑØ ÖÒ x¹ Ò y¹óöòøò ÚÒ ÐÓØ ÛÖ ÓÓÖ ÑÓØ ÛÓÖÒº ÁÒ ÙÙÖ º½ ÞÒ Û ½½ ÓÓÖÐÓØ ÚÒ Ò Ô ÛÐ ËÑÒ Ò ÔÖÓÙØ º ÓÖÒ ÓÖÒØÒ ÞÒ Ø ÚÒÒ ÓÔ ÒØÖÒØ Ø ÌËÈÄÁ ÚÒ Ö ÊÒÐØ ÓÒÖ ÒÑ Ô½½ ³ Þ ÚÓÐÒ ÔÖÖµº Ï ÞÙÐÐÒ Þ Ô Ð ÐÐÙ ØÖØ ÖÙÒº ÎÓÓÖ Ø ÛÒ ÚÒ ÓÓÖÓÔ ØÒ ÓÔÞØ ÚÒ ÔÐØ ÞÒ Ö ØÛ ÒÖÚÒÒº Ò ÒÖÚÒ ÚÖÔÐØ Ø ÓÓÖÓÔ ÒÖ ÐÒ Ò ÖØ Ò x¹öøòµ Ò ÒÖ ÒÖÚÒ ÚÖÔÐØ Ø ØÐ ÑØ ÔÐØ Ö ÛÓÖÒ ÔÐØ ØÐ ÓÓÖµ ÒÖ ÓÚÒ Ò ÒÒ Ò y¹öøòµº ËØÐ Ø ØÛ ÓÓÖÐÓØ u Ò v ÚÒ ÞÒ ÛÐ ÓÖÖ ÔÓÒÖÒ ÑØ ÔÙÒØÒ (x u, y u ) Ò (x v, y v ) Ò Ø Úк x¹ñóøóö ÚÖÔÐØ Ø ÓÓÖÓÔ ÚÒ x u ÒÖ x v ØÖÛÐ

66 ¼ º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÙÙÖ º½ ÓÓÖÐÓØ ÚÒ Ô½½ º y¹ñóøóö ØÐ ÚÒ y u ÒÖ y v Ûغ ÛÒ Ø ÐÒ Ø ÙÙÖØ ÔÐØ ÙÙÖ ÚÒ ÚÖÔÐØ Ò ÚÒ u ÒÖ vº ÑÓØÓÖÒ Ò ÞÐ Òк ËÑÒ ÛÐ ÔÖÓÙØ ÚÒ ÔÖÒØÖØÒ ÓÔØÑÐ ÖÒ ÞÓÒÖ Ø ÒÚ ØÖÒ Ò ÒÙÛ ÑÒ º ÔÖÓÙØØ ÔÖ ÔÖÒØÖØ ÓÒÖ Ø ÚÖÐÒ Ò Ò ÓÓÖس ÛÐ ÛÓÖØ ÔÐ ÓÓÖ Ø ÒØÐ ÛÒ Ø Ø Ò Ò ÚÖÔÐØ Ø³ ÛÐ ÒÐ ÚÒ ÚÓÐÓÖ ÛÖÒ Ø ÛÓÖÒ ÓÓÖº ÓÓÖ Ò ÓÓÖÚÓÐÓÖ ÚÒ Ø Ø ÒÑÒ ÑØ ÐÒ Ø ÑÓÐ ÚÖÔÐØ ¹ Ø ÛÓÖØ ÔÖÓÙØØ ÔÖ ÔÐØ ÑÒÑÐ Öº ÚÖ Ù ÚÒ ÓÖÒØÒ ÚÒ ÓÓÖÐÓØ ÛÐ ÓÓÖÚÓÐÓÖ ÚÒ Þ ÐÓØ ÑÒÑÐ ÖØ ØÓØÐ ÚÖÔÐØ Ø º½ ÀØ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÀØ ÓÓÖÔÖÓÐÑ ÚÒ ËÑÒ Ò ÚÓÓÖÐ ÚÒ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѺ ÁÒ Ø ÒÐ ÔÖØ ÑÒ ÚÒ Ò ØÖÚÐÒ Ð ÑÒ ÔÖÓÐÑ Ñ ØÐ ÓÖØ ØÓØ Ø Ôº Ò Ò¹ Ð ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ò ÚÖÞÑÐÒ ½ ÒÓÓÔÔÙÒØÒ V ÚÒ Ò ÚÓÓÖ Ð v, w V Ó ØÒ c vw ÓÑ ÚÒ v ÒÖ w Ø ÖÞÒ³º ÒÓÓÔÔÙÒØÒ ÛÓÖÒ ÓÓ ÛÐ ØÒ³ ÒÓÑ Ó ØÒ ÓÓ ÛÐ ØÒÒ³º ÀØ Ø Ò ÒÐ ÖÞÖ Ò ÒØÐ ØÒ V Ò Ø Úе ÛÐ ÞÓÒ ÛÖ¹ ÙØÒ ÚÒ Ò ÚÒ ØÒ Ð ÚÒ ÒÖ ØÒ ÔÖ ÒÑÐ ÑÓØ ÒÓÒ ÓÑ ÙØÒÐ ÛÖ ÒÖ Ò Ø ØÖÙ Ø ÖÒº Ò ÐÓØÒ ÖÓÙØ ÛÖ Ð ÚÒ ØÒ ÔÖ ÒÑÐ ÞÓØ ÛÓÖØ ÛÓÖØ Ò ØÓÙÖ Ó Ø Ô¹ØÓÙÖµ ÒÓѺ ÀØ ÑØ Ò ØÓÙÖ ÓÚÖÒ ÒØ ÙØ ÛÐ Ø Ò Ø º ÀØ Ø ÓÑ ÚÓÐ ÖÓÒÒº ÀØ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ØØ ÒÙ ÙØ ÔÐÒ ÚÒ Ò ØÓÙÖ ÛÖÚÓÓÖ ØÓØÐ Ö ØÒ ÑÒÑÐ º ÁÒÒ Ø ÒØ ÙØÑØ Ò ÛÐ ÖØÒ ØÙ Ò ØÛ ØÒ Ö Ø ÔÖÒ Û ÚÒ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѺ ÎÓÓÖ ÒÓÖÑØ ÓÚÖ ÑÓÓ ÔÐØ ÚÒ Ò ÐÒ ÑØ ØÖÒ ØÓØ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÚÖÛÞÒ Û ÒÖ ÒÐ Øе Û Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÑغÔÖÒØÓÒºÙ»Ø Ô»³º ÀÖ ÓÓ Ò ÐÒ ÒÖ ÌËÈÄÁ Ø ÚÒÒº ½ Ð º½ ÚÓÓÖ ÒÓØØ ØÖÒ ÚÖÞÑÐÒÒº

67 º¾º ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ ½ ÇÔÚ º½ µ à ÒÖ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÑØ ØÒº ÀÓÚÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ ÞÒ Ö Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÚÐ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ µ à ÒÖ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÑØ ØÒº ÀÓÚÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ ÞÒ Ö Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÚÐ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ µ à ÒÖ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÑØ ØÒº ÀÓÚÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ ÞÒ Ö Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÚÐ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ µ à ÒÖ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÑØ n ØÒº ÀÓÚÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ ÞÒ Ö Ò Ø ÐÑÒ Ò ÓÚÐ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ø ÓÓÖÔÖÓÐÑ ÚÒ ËÑÒ ÚÓÖÑÒ ÓÓÖÐÓØ ØÒ Ò ÙÒÒÒ Û ØÒ ØÙ Ò ÐÓØ (x u, y u ) Ò (x v, y v ) ÒÖÒ Ð c uv = max{d x, d y }, ÛÖ d x Ò d y Ö ÔØÚÐ ÓÖÞÓÒØÐ Ò ÚÖØÐ ØÒ º Þ ÞÒ ÒÖ Ð d x = { { xu x v Ð x u x v yu y Ò d x v x u Ð x u < x y = v Ð y u y v v y v y u Ð y u < y v ÒÞÒ Ø ÚÓÓÖÐ ÑØ ½½ ÓÓÖÐÓØ Ø ÖÓÓØ ÓÑ ÚÖ ÐÐÒ ÓÔÐÓ Ò ÑØÓÒ Ø ÐÐÙ ØÖÖÒ ÞÙÐÐÒ Û Ò ÐÒ Ò ØÒØ ÒØÖÓÙÖÒ ÑØ Ú ØÒ B E H N T Breda Eindhoven s-hertogenbosch Nijmegen Tilburg Ï ÔÖÒ Ò Ø ÓÓ ØÙ ØÛ ÑÒÖÒ ÓÑ Ø ÔÖÓÐÑ Ò Ø ÔÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ Ú ØÒ ÖÓÚÒº Ò ÚÒ ØÛ ÑÒÖÒ ÑÒ ÚÒ ÖÙ ÚÒ Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Ø ÖÔ ÒÐ Ò ÔÖÖÒ ¾º½ Ò ¾º¾º º¾ ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ ÒÞÒ Ø ÒØÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ò Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÓÒÒ ÛÓÖÒ ÓÓÖ ÐÐ ÑÓÐÒ ÐÒ Ø ÐÓÔÒ Ò ÖÙØ Ø Ø ÒÑÒº Ø ÓÔ Þ Ò Ù Ø ÑØÓ ÑÖ ÒÞÒ Ø ÒØÐ ÓÔÐÓ ÒÒ Ð ÒÐ Ð Ö ÖÓÓØ ÛÓÖØ ÒÓ ÖÒØ Ð ÚÖ ÒÐ ÓÒÔØÐ Þ ÓÓ ÓÔÚ º½µº Ö ÞÓÙÒ Û ÒØ Ð Ø ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ Ò ÒÐÐ ÑØÓ ÛÐÐÒ Ò ÓÑ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ø ÚÒÒº ÎÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ø ØÓØ ÓÔ Ò ØÖ ÒØ ÑÓÐ ÐÒ Ò ÞÖ ÛÖ ÒÐ ØÒ Ö ÖÙØ Ò ÒØ ÓÔÐÓ Ò ÐÓÖØÑÒº ØÒ ÑØÓÒ ÓÑ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ø ÚÒÒ ÓÑÒ Ò ÔÖÒÔ ÒÖ ÓÔ Ø ÒÒ ÚÒ ÐÐ ÑÓÐÒº Ø ÐØ Ø ÔÖÓÖØ ÑÒ Ò ÛÐ ÞÓ ÐÑ ÑÓÐ Ø ÓÒº ÎÓÓÖ ÚÐ ÔÖØ ØÓÔ ÒÒ ÖÒØ ÚÒ Þ ÜØ ÑØÓÒ ÓÒÔØÐ ÐÒº ÇÑ Þ ÖÒ ÛÓÖØ ÚÓÓÖ ÔÖÓÐÑÒ Ð Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ú ÒÓÓÛÓÒÒµ ÒÓÒ ÒÓÑÒ ÑØ Ò ÑØÓ Ñ Ò Ò ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò Ø ÑÖ Ò Ó³ ÓÔÐÓ Ò Ò ÓÖØ Øº Ø ÞÒ ÒÖÒ ÐÓÖØÑÒ Ó ÙÖ ØÒº

68 ¾ º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ º¾º½ ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø ÒÚÓÙ Ø ÙÖ Ø ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÞÓÒÑ ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø ÛÖÑ Ò ØÓÙÖ Ð ÚÓÐØ ÛÓÖØ ÓÔÓÙÛº ËØÐ Ø Ò ÐÖÓÙØ v 1 v k Ö ÓÔÓÙÛ º ÔÐ Ò Ò Ø v k+1 ÒØ ÓÔ Ù ÐÖÓÙØ ÐØ Ò Ø Ø Ø Ø v k ÐØ Ò Ö ÐÖÓÙØ ÙØ ØÓØ v 1 v k v k+1 º ÞÓ ÚÓÓÖØ ØÓØ ÐÐ n ØÒ Ò Ò ÖÓÙØ v 1 v n ÓÔÒÓÑÒ ÞÒ Ò Ø Ø Ò Ò ØÓÙÖ v 1 v n v 1 º ÆÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø ËØÔ ¼ Ã Ò Ò Øº ËØÔ ½ ÎÓ Ø ØÓ Ø Ø Ø ÐØ Ø ØÓÚÓ Ø ÐØ ÑÖ ÒÓ Ò ÓÒÖÐ ÚÒ ØÓÙÖ º ËØÔ ¾ Ð Ö ÒÓ ØÒ ÞÒ ÒØ Ò ØÓÙÖ ÞØØÒ ØÖÙ ÒÖ ØÔ ½ ÒÖ ØÖÙ ÒÖ Ò Ø Ò Ò ÐÖº Ï ÞÙÐÐÒ ÒÖ Ø ÒÓÖ³ Ú ÓÖØÒ ØÓØ Æƺ Ï ÞÙÐÐÒ ÆÆ ÙÖ Ø ØÓÔ Ò ÓÔ Ø Ú ØÒÔÖÓÐѺ ÎÓÓÖÐ º¾ Ú ØÒÔÖÓÐÑ ÆÆ ÙÖ Ø ÄØÒ Û ÒÒÒ ÑØ Öº Ø ØÞÒ Ø Ò ÌÐÙÖ Ù ÌÐÙÖ ÛÓÖØ ØÛ Ø Ò ØÓÙÖº ÎÒÙØ ÌÐÙÖ ³ ¹ÀÖØÓÒÓ Ø ØÞÒ Ø Ù Ø ÛÓÖØ ÒÙÑÑÖ Öº ÎÒÙØ ³ ¹ÀÖØÓÒÓ ÌÐÙÖ Ø Ø ØÞÒ ÑÖ ÌÐÙÖ ÞØ Ð Ò ØÓÙÖ Ù ÐØÒ Û ÙØÒ ÓÙÛÒº ÒÓÚÒ Ø Ø Ø Ø ³ ¹ÀÖØÓÒÓ ÐØ ÑÖ ÒÓ ÒØ Ò ØÓÙÖ Þغ ÎÒÙØ ÒÓÚÒ Ò Û ÒÖ ÆÑÒ ÛÒØ Ø Ò Ø ÒÓ ÒØ Ò ØÓÙÖ ÞØ Ò ØÒ ÐÓØØ ÑÓØÒ Û ØÖÙ ÒÖ Öº ÐÒØ ÚÒ Þ ØÓÙÖ = 233 ÐÓÑØÖº Ð Û ÒÒÒ ÑØ Ò ÚÒ ÚÖ ÒÖ ØÒ Ò Ö Ò ÒÖ ØÓÙÖ ÙØÓÑÒº  ÞØ ÐÐ ØÓÙÖ Ò ØÐ º½º ÌÓÚÐÐ ÚÒÒ Û ØÛÑÐ ÓÔØÑÐ Ò Ø ÆƹØÓÙÖ ÄÒØ Ö B T H E N B ¾ ÒÓÚÒ E H T B N E ¾ ³ ¹ÀÖØÓÒÓ H T B E N H ¾¼ ÆÑÒ N H T B E N ¾¼ ÌÐÙÖ T H E B N T ¾ ÌÐ º½ ÃÓ ØÒ ÚÒ Ú ÆƹØÓÙÖ ÚÒ Ø Ú ØÒÔÖÓÐѺ ØÓÙÖº Ø ÓÑØ ÓÑØ Û Ò ÚÓÓÖÐ ÚÒ ÐØ ÔÖØ ÓÑÚÒ Òº ÀØ ÒØÐ ÑÓÐ ØÓÙÖ ÒÑÐ ÐØ ½¾º ÁÒ Ø ÐÑÒ ÞÙÐÐÒ Û ÑØ ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø Ò ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÚÒÒº Ð Û ÆÆ ØÓÔ Ò ÓÔ Ø Ô½½ ÚÒÒ Û ØÓÙÖ ÛÐ Ð Ò ÙÙÖ º¾º Þ ØÓÙÖ Ø Ò ÐÒØ ÚÒ ¾¾º Ò ÓÚÖÙÐ ÒÐ ÚÒ Þ ÑØÓ Ø Ø Ø ÓÛÐ ÐÐ ÚÖÓ³ ÒØÒ Ò ÞÖ ÞÒ ÑÒÑÐ ÞÒ ÐØ Ø ÓÞÒ ÒØÒ ÓÓÖÐ ÐÒ ÙÒÒÒ ÞÒ Ò ÛÐØØ ÚÒ ÓÔÐÓ Ò ÖÚÒº Ð ÚÓÓÖ ÐÒ ÔÖÓÐÑÒ Ò Ø Ð Ò ÒÓÖÑ ÛÒ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÚÒº

69 º¾º ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ ÙÙÖ º¾ Ò ÆƹØÓÙÖ ÑØ ÐÒØ ¾¾º ÇÔÚ º¾ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÑÓØ ÔÐØ Ò A B C D E Ò F ÞÓÒº ÀÙÒ ÓÒÖÐÒ ØÒÒ ÞÒ ÚÒ Ò ØÒÒØÐ ÖÓÒÖº A B C D E F A B C D E F ÎÒ ÐÐ Þ ÆƹØÓÙÖ ÓÓÖ Ö ÔÐØ Ò Ö ÒÔÐØ Ø ÐØÒ ÞÒº ÇÔÚ º ÓÙÛ ØÒÒØÐ ÖÓÒÖº A B C D E A B C D E ÎÒ ÐÐ Ú ÆƹØÓÙÖ º

70 º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÇÔÚ º ÚÒ ÓÒÖ ØÒ ØÒÒØк A B C D A 0 M 2 2 B M C D µ ÄØ M = 10 ÞÒº ÎÒ ÐÐ ÆÆ ØÓÙÖ º µ ÄØ M = 20 ÞÒº ÎÒ ÐÐ ÆÆ ØÓÙÖ º µ ÄØ M Ò ÖÓÓØ ØÐ ÞÒº ÎÒ ÐÐ ÆÆ ØÓÙÖ º µ ÄØ M Ò ÖÓÓØ ØÐ ÞÒ Ò ÐØ ÞÒ Ø ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÐÒØ Øº ÒÞÒ Ò ÒÖÒ ÐÓÖØÑ ÓÔØÑÐØØ ÚÒ ÙØÒÐ ÚÓÒÒ ØÓÙÖ Ò ÚÖ Ø Ø ÛÒ Ø ÓÑ Ò ÓÓÖØ ÛÐØØ ÖÒØ Ø Ò ÚÒ ÚÓÒÒ ÓÔÐÓ Òº ÀØ ÖÙÐ ÓÑ ÛÐØØ ÚÒ Ò ÒÖÒ ÙØ Ø ÖÙÒ Ð ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ ØÒ ÓÔÞØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Òº ÛÐØØ ÚÒ Ò ÒÖÒ ÐÓÖØÑ ÞÓÙ ÒÖ ÙÒÒÒ ÛÓÖÒ Ð ÑÜÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ Ó Ð ÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ ÓÚÖ ÐÐ ÑÓÐ Ò ØÒØ º ÎÓÓÖ ÒØ ÚÐØ Ø Ø ÞÒº Ï ÞÙÐÐÒ Ö ÛÓÖ Ø¹ ³ ÒÐÝ ØÓÔ Òº ÊÐØÚ ÔÖÓÖÑÒ ÄØ A Ò ÒÖÒ ÐÓÖØÑ ÞÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѺ ÄØ ÚÓÓÖ Ò Ò ØÒØ I ÚÒ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ OPT(I) ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÞÒ Ò A(I) A(I) ÐÒØ ÚÒ ØÓÙÖ ÚÒ ÓÓÖ ÐÓÖØÑ Aº ÚÖÓÙÒ ÛÓÖØ Ú OPT(I) ÒÙ ÑØ ÖÐØÚ ÔÖÓÖÑÒ ÚÒ Ø ÐÓÖØÑ ÚÓÓÖ Ò ØÒØ Iº ÍØ ÓÔÚ º ÚÓÐØ Ø Ö ÚÓÓÖ ÒÖ Ø ÒÓÙÖ Ò ÑÜÑÐ ÖÐØÚ ÔÖÓÖÑÒ ØØ ÑÑÖ M+5 8 Ò ÛÐÐÙÖ ÖÓÓØ ÞÒº ÎÓÓÖ Ø ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ØÒ Ò ÒÐÐ ÒÖÒ ÐÓÖØÑÒ ÑØ Ò ÔÐ ÑÜÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ ÚÒ ÐÒØ ÚÒ ÚÓÒÒ ØÓÙÖº ÖÒ Ø ØÒÒØÐÐÒ ÞÖ Ûг ÙÒÒÒ ÞÒº ÆÙ ØØ Ö Ò Ö ØÖØ ÓÔ ØÒÒØÐ Ø ÓÓÖØ ØÐÐÒ ÙØ ÐÙØ ÑÖ ÒØ Ñ Ø Ò ØÒØ ÚÒÙØ ÔÖØ ÓÓÔÙÒØ ÒØÖ ÒØ ÞÒº Ö ØÖØ Û ÓÐÒ ÖÓ ÓÒк ÄØ d vw ØÒ ØÙ Ò ÒÓÓÔ Ó Øµ v Ò w ÞÒº Ò ØÒÒØÐ ÚÓÐÓØ Ò ÖÓ ÓÒÐ ÒÒ d uv 0 en d uv + d vw d uw voor alle u, v, w V. ÖÓ ÓÒÐ ÞØ ÒÐ ÒØ ÒÖ Ò Ø ØÒ ÚÒ ÖÓÙØ ÚÒ Ø u ÒÖ Ø w Ú Ø v ÒØ ÓÖØÖ Ò ÖØ Û ÚÒ u ÒÖ wº ÇÔÚ º µ ÎÓÓÖ ÛÐ ÛÖÒ ÚÒ M ÚÓÐÓØ ØÒÒÑØÖÜ ÚÒ ÓÔÚ º Ò ÖÓ ÓÒ¹ Ð µ ÏÐ ÑÜÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ ÚÒ ÒÖ Ø¹ÒÓÙÖÙÖ Ø ÒÙ Ø ÖÐ ÖÒ µ ÒØÛÓÓÖ ÞÐ ÚÖÒ ÒÒ Ð ¾ Ò ØÒÒÑØÖÜ ÚÒ ÓÔÚ º ÛÓÖØ ÚÖÚÒÒ ÓÓÖ ½º¼¼½º

71 º¾º ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ ÇÔÚ º µ ÎÓÐÓØ ØÒÒØÐ Ò ÓÔÚ º¾ Ò ÖÓ ÓÒÐ ÀÒØ ÓØ ÑÖ Ò ÔÖ ØÒ Ø ÚÒÒ ÛÖÚÓÓÖ ÐØ Ø Ö Ò ÓÑÛ ÓÖØÖ Ò ÖØ ØÖ ÖÓÙغ µ ÎÓÐÓØ ØÒÒØÐ Ò ÓÔÚ º Ò ÖÓ ÓÒÐ ØÒ ÑØ ÖÙØ ÛÓÖØ Ø ÓÓÖÔÖÓÐÑ ÚÓÐÓØ Ò ÖÓ ÓÒк Ò ÒÖ ÚÐ ÖÙØ ØÒ ÑØ ÙÐ ØÒº Þ ØÒ ÐÒØ ÚÒ ÖØ ÐÒ ØÙ Ò ØÛ ÔÙÒØÒº ÇÓ ÙÐ ØÒ ÚÓÐÓØ Ò ÖÓ ÓÒк ÀÓÛÐ ÔÖ ØØ ÚÒ ÒÖ Ø ÒÓÙÖ ÙÖ Ø ØÖ ÞÒ ÚÓÓÖ ÔÖÓÐÑÒ ÛÖ Ò ÖÓ ÓÒÐ ÚÓÐÒ Ö ÒÓ Ø Ò ÑÜÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ Ø ÚÒº ÀØ ÑÓÐ ÓÑ ÚÓÓÖ Ð K ÚÓÓÖÐÒ Ø ÚÖÞÒÒÒ ÛÖ ÒÖ Ø ÒÓÙÖ ØÓÙÖ Ò ØÓÖ K ÐÒÖ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÙÖº ÆÖÑØ K ÖÓØÖ ÑÓØÒ Þ ÚÓÓÖÐÒ ÛÐ Ø ÖÓØÖ ÛÓÖÒº ÎÓÓÖ Ø ÚÓÐÒ ÒÖÒ ÐÓÖØÑ ÛÐ Ò ÑÜÑÐ ÔÖÓÒØÙÐ ÛÒ Ø ÚÒº º¾º¾ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÑÓµ ÐÚÖØ Ò ÓÒÖÖÒ ÓÔ ÚÓÓÖ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖÐÒغ ÁÒÒ ÑÒ ÒÑÐ Ò ÒØ ÛÐØ ÙØ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÓÒ ØØ Ò ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÓÔ n ØÒº Ù ÓÔØÑÐ ØÓÙÖÐÒØ ÑÒ ØÒ ÐÒØ ÚÒ Ò ÑÓº Ö ÞÒ Ö ØÛ ÒØ ÐÓÖØÑ ÒÐ ÈÖÑ Ò ÃÖÙ Ð Þ ÔÖÖ ¾º¾µ ÓÑ ÑÓ ÚÒ Ò Ö Ø ÚÒÒº Ò ÑÒÖ ÓÑ ÙØÒ ÚÒ Ò ÑÓ ÐÐ ØÒ Ø ÞÓÒ ÓÑ ÐÐ ÒØÒ ÚÒ ÓÓÑ Ø ÚÖÙÐÒ Ò ÚÖÚÓÐÒ Ð ÖÓÙØ Ò ÖÓÒÛÒÐÒ Ø ÒÑÒ ÐÐ ÒØÒ ÔÖ Ò Ö ÖÙØ ÞÓ³Ò ÖÓÒÛÒÐÒ ÛÓÖØ Ú ÙÐÖÝÐ ÒÓѵº ÐÒØ ÚÒ Þ ÝÐ Ø ÙÐ ÚÒ ÐÒØ ÚÒ ÓÓѺ ÀØ Ò ÑÒÓ ÛÖÓÓÖ ÚÓÒÒ ÙÐÖÝÐ ÒÓ Ò ØÓÙÖ Ø ÓÔØÖÒ ÚÒ ÑÖÑÐ ÞÓØ ØÒº Þ ÞÒ ØÖ ÙØ ÝÐ Ø ÚÖÛÖÒ ÓÓÖ Þ ÚÓÓÖ Ø ÐÓÔÒº Ó ÚÒÒ Û ÙØÒÐ Ò ØÓÙÖ ÛÐ ÚÒÛ ÖÓ ÓÒÐ ÒØ ÐÒÖ Ò ÙÐÖÝÐ Ò Ù ÒØ ÐÒÖ Ò ØÛÑÐ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖº ÀØ ÐÓÖØÑ Ø Û ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ÒÓÑÒ Ò Ð ÚÓÐØ ÛÓÖÒ ÑÒÚغ ÅÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ËØÔ ½ ÎÒ Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ Tº ËØÔ ¾ ÎÖÙÐ ÒØÒ ÚÒ T Ø Ø T º ËØÔ ÓÒ ØÖÙÖ Ò ÙÐÖÝÐ ÚÓÓÖ T º ËØÔ ÎÖÛÖ ÙÐ ÞÓØ ÒÓÓÔÔÙÒØÒ ÙØ ÙÐÖÝк Ï ÞÙÐÐÒ ÖÚÒ ÑØÓ ØÓÔ Ò ÓÔ Ø Ú ØÒÔÖÓÐѺ ÎÓÓÖÐ º Ú ØÒÔÖÓÐÑ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ÁÒÒ Û ÚÓÓÖ Ø Ú ØÒÔÖÓÐÑ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÔÐÒ ÚÒÒ Û ÓÓÑ ÑØ ØÓØÐ ÐÒØ ½¾ ÛÐ Ð Ò ÙÙÖ º º

72 º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ B T N H E ÙÙÖ º Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÚÒ Ø Ú ØÒÔÖÓÐѺ Ð Û ÒØÒ ÚÒ ÑÓ ÚÖÙÐÒ ÚÒÒ Û ÚÓÓÖÐ ÚÓÐÒ ÙÐÖÝÐ B T H N H E H T B ÁÒ Þ ÝÐ ÓÑØ ÌÐÙÖ ÒÓ ÙÐ ÚÓÓÖ Ò ³ ¹ÀÖØÓÒÓ Ö Ñк Ï ÑÓØÒ Ù Ò T Ò ØÛ H³ ÙØ ÝÐ ÚÖÛÖÒº Ö ÙÒÒÒ Ù Þ ÚÖ ÐÐÒ ØÓÙÖ ÑØ ÛÓÖÒ Þ ØÐ º¾ ÚÓÓÖ Þ Þ ÑÓ¹ØÓÙÖ º ÌÓÙÖ B T H N E B B T N H E B B T N E H B B H N E T B B N H E T B B N E H T B ÄÒØ ¾¼ ¾¾ ¾ ¾½ ¾¾ ¾ ÌÐ º¾ ÑÓÐ ÑÓ¹ØÓÙÖ ÚÒ Ø Ú ØÒÔÖÓÐѺ ÁÒ Ø ÐÑÒ Ø ÒØÐ ÑÓÐ ÙØÓÑ ØÒ ÚÒ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑ ÙÖ Ø Ö ÖÓÓغ Ö ÙÒÒÒ ÑÖÖ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÑÒ ØÒº ÍØ Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÙÒÒÒ ÑÖÖ ÙÐÖÝÐ ÚÓÖÑ ÛÓÖÒ Ò ÙÐ ØÒ ÙÒÒÒ ÓÔ ÑÖÖ ÑÒÖÒ ÙØ ÙÐÖÝÐ ÚÖÛÖ ÛÓÖÒº Ï Ò ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑ ÙÖ Ø ÓÓ ØÓÔ Ø ÓÔ Ô½½ º ÑÓ Ø ÐÒØ ½º Ò ÚÒ ÑÓÐ Ö ÙÐØÖÒ ØÓÙÖ Ø ÐÒØ ¾ º ÓÓÑ Ò ØÓÙÖ ØÒ Ð Ò ÙÖÒ º Ò ºº Ï Ò Ö ÚÓÐÒ ØÐÐÒ ÐѺ ËØÐÐÒ º½ ÄØ A mob (I) ÐÒØ ÚÒ ØÓÙÖ ÚÓÒÒ ÑØ ÙÐÔ ÚÒ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ ÓÓѹÙÖ Ø ÚÓÓÖ Ò ØÒØ Iº ÎÓÓÖ ÐÐ Ò ØÒØ I ÚÒ Ø ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞ¹ Ö ÔÖÓÐÑ ÛÐ ÚÓÐÓÒ Ò ÖÓ ÓÒÐ ÐØ Ø A mob (I) 2 OPT(I).

73 º¾º ÀÙÖ ØÒ ÚÓÓÖ Ø ÒÐ ÖÞÖÔÖÓÐÑ ÙÙÖ º Ò ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ ÑÓµ ÑØ ÐÒØ ½º ÙÙÖ º Ò Ø Ô¹ØÓÙÖ ÑØ ÐÒØ ¾ Ð ÚÒ ÑÓº Û ÄØ l(t(i)) ÐÒØ ÚÒ ÓÖØ Ø ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ T(I) ÞÒ Ò l(t (I)) ÓÑ ÞÒ ÚÒ ÐÒØ ÚÒ ÒØÒ ÚÒ ÙÐÖÝÐ T (I)º Ò ÐØ A mob (I) l(t (I)) = 2l(T(I)) 2 OPT(I). Ö Ø ÓÒÐ ÚÓÐØ ÙØ ÖÓ ÓÒÐ Ò ØÛ ÙØ Ø Ø Ø ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÑÒÙ Ò ÒØ Ò ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓÑ º ÀØ ÐØÒ ÚÓÐØ ÙØ ÚÖÙÐÒ ÚÒ ÒØÒº ØÓÖ ¾ ÓÓ Ø ÑÓÐ ÖÒØ ÓÑØ Ö Ò ØÒØ I Ò ÞÒ ÞÐ ÚÒ Ø ÙÐ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѵ ÛÖÚÓÓÖ A mob (I) = 2n 1 ØÖÛÐ OPT(I) = nº

74 º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÇÔÚ º È ÓÔ ÓÒÖ ØÒ ØÒÒØÐ ØÛ ÒÐ ÙÖ ØÒ ÚÒ Ø ÒÐ ÖÞÖ ¹ ÔÖÓÐÑ ØÓº ÒÒÒ ÛÐ ÖÒÞÒ ÐØ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ A B C D E A B C D E ÇÔÚ º µ È ÓÔ ØÒÒØÐ Ò ÓÔÚ º¾ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ØÓº µ ÒÒÒ ÛÐ ÖÒÞÒ ÐØ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÇÔÚ º µ È ÓÔ ØÒÒØÐ Ò ÓÔÚ º ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Ø ØÓº µ ÒÒÒ ÛÐ ÖÒÞÒ ÐØ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÇÔÚ º½¼ Ò ÖÒØ ÚÒ ÔÖÒØÖØÒ ÖÙØ Ò ÔÖÓÖÑÑÖÖ ÓÓÖÑÒ ÓÑ Ò Ò ÔÐ ØÝÔ ÔÐØ Þ Ø Ø ÓÖÒº x¹ Ò y¹óöòøò ÚÒ Ð Ø ÞÒ Ð ÚÓÐØ x y Gat ÓÓÖÑÒ Ø ØÒ Ø ÓÓÖÔÖÓ Ò Ú Ø ÔÓ Ø ØÖÛÐ ÔÖÒØÖØ ÓÒÖ ÓÓÖ ÚÖ ÓÚÒ Ò ÛÓÖÒº Ö ÞÒ ØÛ ÛÒÒ ÑÓÐ ÓÖÞÓÒØÐ Ò ÚÖØк ÔÖÒØÖØ Ò ÚÒ ÒÐ Ò ÓÖÞÓÒØÐ ÖØÒ ÛÓÖÒ ÚÖÔÐØ Ø Ð Ò ÚÖØÐ ÖØÒ Ò ÓÚÒÒ Ò ÑÒ Þ ØÛ ÛÒÒ ØÐ ÙØÚÓÖÒº ÔÖÒØÖØÖÒØ ÒØÖ Ö Ò ÓÓÖÚÓÐÓÖ ÚÒ ØÒ ÛÖ ÓÓÖ ÙØÒÐ ÛÖ Ò ÓÓÖ ÔÖÓÒÐ ØÒ Ø 0µ ØÖÙ ÓÑØ Ò ÛÖÚÓÓÖ ØÓØÐ ÔÖÓÙØØ ÔÖ ÔÖÒØÖØ ÑÒÑÐ º µ Å Ò ØÐ ÑØ ÓÒÖÐÒ ØÒÒ ØÙ Ò Þ ØÒº µ ÏÐ ÚÓÐÓÖ ÞÓÙ ÑÒ ÖÒ ÒÒ ÑÒ ÚÒÙØ Ø 0 ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Ø ØÓÔ Ø µ ÌÒ ÚÓÒÒ ØÓÙÖ ÑØ ÖØ ÐÒ ØÙ ØÙ Ò ÓÔÒÚÓÐÒ ÔÙÒØÒº ÎÖØÖ ÚÓÒÒ ÓÔÐÓ Ò ÓÓÖ ÒÒ ÐÒ ØÙ ÓÓÖ ÒÖ Ø ÚÖÚÒÒº º ÐØÐÐ ÄÈ ÁÒÒ ÞÓÐ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ø ÒØ ÔÖØ ÓÑ Ò ÜØ ÓÔÐÓ Ò ÐÓÖØÑ Ø ÖÙÒ Ò ÓÞÒ ÛÓÖØ ÚÓÓÖ Ò ÒÖÒ ÐÓÖØÑ Ø ÐÒÖ ÓÑ Ó Ò Ø ÙÒÒÒ ØØÒ ÛØ ÛÐØØ ÚÒ Ò ÔÐ ÓÔÐÓ Ò º ÀÖÚÓÓÖ Ò ÓÒÖÖÒ ÒÓ ÚÒ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖº ÀÓ ØÖ ÓÒÖ¹ Ò ÓÚÒÖÒ ÚÒ ÐÒØ ÚÒ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÐÖ ÐÒ Ø ØÖ ÖÒÖ ÛÐØØ ÚÒ ÒÖÒº ÁÒ Ø ÚÓÓÖÒ

75 º º ÐØÐÐ ÄÈ ÞÒ Û Ð Ò ÓÒÖÖÒ ØÒÓÑÒ ÚÓÓÖ ÐÒØ ÚÒ Ò ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÚÒ Ò ÝÑÑØÖ ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÒÑÐ ÐÒØ ÚÒ ÓÖØ Ø ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓѺ ÁÒ Þ ÔÖÖ ÞÙÐÐÒ Û ÒÓ Ò ØÛ ÓÒÖÖÒ Ò ÖÙÑÒ ÚÒ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒº ÇÑ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Ð ÐØÐÐ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖÓÐÑ Ø ÓÖÑÙÐÖÒ Ò¹ ØÖÓÙÖÒ Û Ð Ò ÚÖÐÒ { 1 Ð ÚÖÒÒ ij Ò ØÓÙÖ ÛÓÖØ ÓÔÒÓÑÒ x ij = 0 ÒÖ ÚÓÓÖ 1 i n Ò 1 j nº Ï ÓÑÒ Ò ØÓØ ÚÓÐÒ ÓÖÑÙÐÖÒ ÛÖ d ij ØÒ ØÙ Ò ØÒ i Ò j min. o.d.v. n n i=1 j=1 n j=1 d ij x ij x ij = 1 ÚÓÓÖ 1 i n n x ij = 1 ÚÓÓÖ 1 j n i=1 x ij {0, 1} Ð Ø ÛÓÖØ ÚÓÐ ÓÓÖ ÔÖ Ò ÒÖ Øµ Ò Ð Ø Ø ÔÖ Ò ÒÖ Ø ÚÓÓÖµ x ij Ò ÐÐÒ 0 Ó 1 ÞÒµº ÀÖ ÞÒ Û d ii = M Ò ÞÖ ÖÓÓØ Øе ÞÓØ ÙØÓÑØ x ii = 0 1 i nº ÓÚÒ ØÒ ÔÖÒÒ ÞÒ ÚÓÓÖ Ø ÖÚÒ ÚÒ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÒÓ ÒØ ÚÓÐÓÒº ÅÖ ÓÔ Ø ÖÚÒ ÓÚÖÒÓÑØ ÑØ ÚÒ Ø Ö ÖÖ ÒÐ Ò ÑÐ ÓÔÐÓ Ö ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐѺ ÁÒÒ Û Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÓÓÖ Ø Ú ØÒÔÖÓÐÑ ÖÒ Û Ð ÓÔÐÓ Ò x BT = x TB = x EN = x NH = x HE = 1 met afstand 188 ÏÐ ÛÖ Ø Ð Ø Ò ÓÔÚÓÐÖ Ò ÚÓÓÖÒÖ ÑÖ Û Ò ÒØ Ò ÖÓØ ØÓÙÖ Û Ò ØÛ ÙØÓÙÖ B¹T¹B Ò E¹N¹H¹Eº ÏØ Ö Ò ÓÚÒ ØÒ ÓÑ ÖÚÒ ÒÓ ÓÒØÖØ ÞÒ ÞÓÒÑ ÙØÓÙÖÓÒØ ÛÐ Ö ÚÓÓÖ ÞÓÖÒ Ø ÓÔØÑÐ ÓÔÐÓ Ò ÐØ ÑØ Ò ÖÓØ ØÓÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒÖغ ÐÖ ÞÓÖÒ Þ ÔÖÒÒ Ö ÓÓ ÚÓÓÖ Ø Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÑÓÐ ÛÓÖØ ÒÞÒ Ø ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ ÒÐ ÓÔÐÓ Ö Ò Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ Òغ Ø Ò Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÖÐØÖ ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ Ò ÞÓÒÑ Ö¹ ÐÜØ ÚÒ Ø ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐѺ Ð ØÓÐØÒ ØÓÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒÖØ ÑØ Ò ØÓÛÞÒ ÑØ ÞÐ Ó ØÒ ØÖ Ò ØÓÛÞÒ ÓØ ÒØ ÑØ Ò ØÓÙÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÖÒº Ø ØÒØ Ø ÛÖ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÛÞÒ Ò ÓÒÖÖÒ ÚÓÓÖ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖº ÓÚÒÒ Þ ÓÒÖÖÒ ÒÚÓÙ Ø ÔÐÒ ÑØ ÀÓÒÖ ÑØÓº ÇÔÚ º½½ ÔÐ ÓÓÖ Ø ÓÔÐÓ Ò ÚÒ Ø ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐÑ ÑØ ÒÔ Ø ØÒÒÑØÖÜ Ð Ó ØÒ¹ ÑØÖÜ ÓÒÖÖÒÞÒ ÚÓÓÖ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÚÓÓÖ Ò ØÒØ ÚÒ ÚÓÐÒ ÓÔÚÒº ÔÐ ÓÓ ÙØÓÙÖ ÓÒØ ØÒº µ ÇÔÚ ºº µ ÇÔÚ ºº µ ÇÔÚ ºº µ ÇÔÚ º½¼º ÀØ ÑÓÐ ÓÑ ÚÓÓÖÛÖÒ Ø ÚÒÒ ÙØÓÙÖ ÙØ ÐÙØÒ ÑÖ ÞÙÐÐÒ Û Ö ÒØ Ò¹ ÐÒº ÀØ Ò Ø Ö Ø Ø ÚÒ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÚÓÓÖ Ô½½ º Þ Ø ÐÒØ ¾ Ò Ø ÞÒ Ò ÙÙÖ ºº

76 ¼ º ÀÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ ÙÙÖ º ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÑØ ÐÒØ ¾º ÇÔÚ º½¾ ÓÙÛ ÚÓÐÒ ÝÑÑØÖ ØÒÒÑØÖÜ ÚÒ Ò ÒÐ ÖÞÖ ÔÖÓÐÑ µ ÔÐ Ò ÓÒÖÖÒ ÚÓÓÖ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÑØ ÑÒÑÐ ÓÔ ÔÒÒÒ ÓÓѺ µ ÔÐ Ò ÓÒÖÖÒ ÚÓÓÖ ÐÒØ ÚÒ ÓÔØÑÐ ØÓÙÖ ÑØ Ø ØÓÛÞÒ ÔÖÓÐѺ µ ÔÐ Ò ÓÚÒÖÒ ÑØ ÒÖ Ø ÒÓÖ ÙÖ Øº µ ÔÐ Ò ÓÚÒÖÒ ÑØ ÑÒÑйÓÔ ÔÒÒÒ¹ÓÓÑÙÖ Øº