Ultra-compacte koppelstructuren voor optische golfgeleiders met hoog brekingsindexcontrast

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Informatietechnologie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. P. Lagasse Ultra-compacte koppelstructuren voor optische golfgeleiders met hoog brekingsindexcontrast door Peter Vandersteegen Promotor: Prof. Dr. Ir. R. Baets Scriptiebegeleider: Ir. B. Luyssaert Scriptie tot het behalen van de graad van burgerlijk natuurkundig ingenieur Academiejaar

2 Woord vooraf Bij het tot stand komen van deze thesis hebben zeer veel mensen een belangrijke rol gespeeld, al dan niet direct. Het besef dat deze thesis eigenlijk niet zou bestaan zonder hun is dan ook voldoende reden voor dit dankwoord. Als eerste wens ik mijn promotor Prof. dr. ir. Roel Baets te bedanken. Hij heeft ervoor gezorgd dat ik in een dynamische onderzoeksgroep gedurende vele maanden kon werken aan een veelzijdig onderwerp. Dankzij hem stonden dan ook veel middelen ter beschikking om deze thesis tot een goed einde brengen. Ook mijn thesisbegeleider ir. Bert Luyssaert verdient mijn dank. Hij heeft een niet te onderschatten rol gespeeld in deze thesis. Het onderwerp van deze thesis is immers door hem vorig jaar opgeschreven. Dit jaar heeft hij daarvoor in ruil een thesisstudent gekregen, waaraan hij een aanzienlijk deel van zijn tijd heeft kunnen spenderen. De meeste mensen die mijn dank verdienen zijn evenwel niet rechtstreeks betrokken bij deze thesis. Dit zijn dan natuurlijk mijn vienden. Deze bij momenten bizarre wezens maken van deze planeet een fascinerende plek om te vertoeven. Ik dank jullie hiervoor uit de grond van mijn hart. Een laatste woord van dank gaat uit naar mijn ouders. Jullie steun zal mij de rest van mijn leven bijblijven. Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Gent, 31 mei 2003, Peter Vandersteegen

3 Ultra-compacte koppelstructuren voor optische golfgeleiders met hoog brekingsindexcontrast door Peter Vandersteegen Universiteit Gent Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Informatietechnologie Voorzitter: Prof. Dr. Ir. P. Lagasse Promotor: Prof. Dr. Ir. R. Baets Begeleider: Ir. B. Luyssaert Samenvatting Alle stappen van ontwerp tot realisatie van een compacte koppelstructuur worden in dit eindwerk besproken. De symmetrische koppelstructuur tussen twee optische golfgeleiders op een fotonische IC (PIC) kan worden beschreven als een grillige functie met vrij veel parameters. De zoektocht in deze grote parameterruimte kan worden onderverdeeld in 2 deelproblemen. Het 1 ste deelprobleem slaat op het berekenen van tapers met welbepaalde parameters. Deze simulaties dienen een 3 dimensionaal vectorieel probleem op te lossen. Om deze simulatietijd te reduceren wordt gebruik gemaakt van de effectieve indexmethode. Hierdoor kunnen deze simulaties herleid worden tot een scalair 2 dimensionaal probleem. Het 2 de slaat op het zoeken van goede parameters in deze parameterruimte. Hierbij wordt gebruik gemaakt van een genetisch algoritme. Zowel het genetische algoritme als verscheidene bekomen koppelstructuren worden grondig besproken. Ook worden enkele eigenschappen gecontroleerd in 3d. De simulaties in 2d gebeuren in CAMFR, deze in 3d in FIMMWAVE. Na het ontwerpen worden verscheidene koppelstructuren dan gezet op een GaAS-AlOx sample. Dit sample is gemaakt door contactlithografie en een nat etsproces. Het uitmeten gebeurt dan op basis van Fabry-Pérot interferentie. Trefwoorden: koppelstructuren, spot-size convertor, III-V halfgeleiders, GaAs-AlOx

4 Inhoudsopgave 1 Compacte koppelstructuren Situatieschets Verbinden van golfgeleiders met verschillende breedte Mode-mismatch oplossen door adiabatische tapers Invloed van de polarisatie Probleemschetsing en mogelijke koppelstructuur Ontwerp m.b.v. een genetisch algoritme Inleiding Omzetten van het vectoriële 3d probleem naar een scalair 2d probleem Effectieve indexmethode Wiskundige afleiding voor extreem hoog brekingsindexcontrast Fouten geïntroduceerd door effectieve indexmethode De simulatiesoftware CAMFR,PML s en gebruik maken van symmetrie Simulatieprincipe Gebruik maken van de symmetrie van de structuur Genetische algoritmes (GA s) Inleiding Opbouw van het genetisch algoritme Implementatie van het algoritme in python Bespreking van de simulatie Conclusies betreffende genetische algoritmes Bespreking van de koppelstructuur Algemene Bespreking

5 3.2 Verbeteren van de transmissie van de structuur uit figuur 3.1(d) Vergelijking met een lineaire taper Analyse van een efficiënte compacte taper Veldplot van een efficiënte taper Invloed van de brekinsindex van de core Invloed van de lengte-en breedte-parameters op de vermogentransmissie Reflecties in de structuur Overstap naar 3d simulaties Vermogentransmissie in 3d Frequentiescan van 1500 tot 1620 nm Conclusies betreffende de simulaties van de compacte koppelstructuren Bouw en uitmeten van een sample Inleiding Fabricage van het sample Structuur van het masker Bekijken van de structuren onder een SEM Metingen Meetopstelling Fabry-Perot meetmethode Resultaten uit de metingen Besluiten Besluit 64 A Uitdieping van de slabgolfgeleider 66 A.1 Algemeen A.2 Enkele opmerkingen over een slabgolfgeleider A.3 Koppelen van 2 golfgeleiders met verschillende breedte B Waarden van tapers 71

6 Afkortingen en Termen Enkele Engelse termen worden in onderstaande tabel gegeven met een Nederlands equivalent of een vertaling 1. Indien er een veel gebruikte afkorting bestaat wordt deze ook vermeld. Afkorting Engelse term Nederlandse term/vertaling AWG arrayed-waveguide grating rij golfgeleiders met kanaalopsplitsing/toevoeging GA genetical algorithm genetisch algoritme PhC-WG photonic-crystal waveguide fotonische kristalgolfgeleider PIC photonic integrated circuit fotonisch geïntegreerd circuit SOA semiconductor optical amplifier halfgeleidercomponent die optisch versterkt SEM scanning electron microscope elektronenmicroscoop, zie paragraaf 4.4 TE transversal electrical mode transversale elektrische eigenmode TM transversal magnetic mode transversale magnetische eigenmode TIR total internal reflection totale interne reflectie PW photonic wire fotonische draad WDM wavelength division multiplexing meerkanaals door golflengte-opsplitsing cladding het omhullend materiaal van de golgeleider confinement opsluitingsgraad core de kern van een golfgeleider fiber ribbon meerdere optische vezels samengevoegd tot 1 draad mode mismatch misoverlap tussen 2 modi monolithic monolithisch: fabricage uit 1 materiaal packaging cost verpakkingskost photonic band gap fotonisch verboden zone ridge waveguide dijkgolfgeleider spot-size convertor ultra-compacte koppelstructuur slab waveguide slabgolfgeleider wafer kristallijne schijf 1 Bij het vertalen primeert duidelijkheid. Dit gaat ten koste van letterlijke vertaling

7 Hoofdstuk 1 Compacte koppelstructuren 1.1 Situatieschets In dit hoofdstuk wordt een kort overzicht gegeven van bestaande en mogelijke toekomstige technologieën in de opto-elektronica. Hierbij wordt o.a. een voorbeeld gegeven van een fotonische IC. In paragraaf 2 worden dan enkele toepassingen gegeven die een brede golfgeleider verbinden met een smalle golfgeleider. Vooral het geval waarbij 2 golfgeleiders op één optische chip worden verbonden is belangrijk voor deze thesis. Het is duidelijk dat de veldprofielen van golfgeleiders met verschillende breedte verschillen. Dit probleem van mode-mismatch wordt in paragraaf 3 uitgelegd. Mogelijke koppelstructuren zijn adiabatische tapers. Deze koppelstructuren hebben echter een veel te grote lengte. Alvorens te komen tot het thesisprobleem, zijnde deze lengte, wordt de invloed van de polarisatie op afstralingsverliezen besproken in paragraaf 4. In het laatste gedeelte, paragraaf 5, wordt dan het probleem van deze thesis vastgelegd en een mogelijke kortere structuur wordt hier geïntroduceerd. Deze structuur zal dan in het verdere verloop van de thesis worden besproken. Tijdens de afgelopen 2 decennia zijn in de telecommunicatie enkele nieuwe technologieën, zoals WDM en fotonische IC s, geïntroduceerd. Deze technologiën komen voort uit de vraag naar steeds meer bandbreedte. WDM staat voor het sturen van verschillende signalen door eenzelfde golfgeleider. Deze signalen worden telkens gemoduleerd op een verschillende dragerfrequentie, het kanaal genaamd. 1 Deze dragerfrequenties liggen in een golflengtegebied rond λ = 1.56µm, de golflengte in vrije ruimte. Dit golflengtegebied is ongeveer 0.05µm = 50nm breed. Dit golflengtegebied zal dan ook in deze thesis een prominente plaats innemen. Ook wenst men de opto-elektronische componenten te integreren tot fotonische IC s. De fabricage van de component bestaat dan uit bv. verschillende etsprocessen op een kristtallijne 2 wafer, ook wel substraat genoemd. Deze monolitische integratie leidt dan tot goedkopere componenten. Het arbeids- 1 Een andere term is DWDM : Dense wordt gebruikt omdat de kanalen dicht gespacieerd zijn. Deze kanalen moeten dus een kleine lijnbreedte hebben. 2 Een reden hiervoor is de elektronische bandgap. Lasers gemaakt uit halfgeleider matertiaal hebben nood aan een goed gedefinïeerde bandgap. Niet-kristallijne materiaal hebben dit niet. 1

8 hoofdstuk 1 (a) Fotonische draad (b) PhC-WG (c) PhC-WG laat korte bochten toe Figuur 1.1: Golfgeleiders op een fotonische IC intensieve en dus dure aligneren van de verschillende onderdelen van een opto-elektronische component kan door deze integratie drastisch verminderd worden. De packaging cost is echter de kostbepalende factor voor de meeste componenten. Deze verpakking dient naast bescherming van de component ook voor o.a. temperatuursregeling. Hoe groter de component en hoe meer onderdelen, hoe duurder deze packaging cost wordt. Om de verschillende componenten op een fotonische IC te verbinden wordt dan gebruik gemaakt van golfgeleiders, geëtst op de wafer. Hier werden dijkgolfgeleiders voor gebruikt. Licht propageert dan in het materiaal met de hoogste brekingsindex, de core, door TIR. Deze core wordt omringd door materiaal met lager brekingsindex, de cladding. Het brekingsindexcontrast is echter niet groot, de confinement dus ook niet. Indien de optische banen te smal worden, zorgen oneffenheden voor afstralingsverliezen. Vooral in bochten speelt dit een probleem waardoor kleine bochtstralen niet gerealiseerd kunnen worden. Twee recente en veel compacter golfgeleiders,de fotonische draad en de PhC-WG, laten wel scherpe bochten toe. Dit zijn resp. figuur 1.1(a) en 1.1(b). Een bocht in een PhC-WG staat op figuur 1.1(c). De fotonische draden steunen op TIR in hoog-brekingsindexcontrast. Deze kunnen gemaakt worden door zeer diep te etsen. Het opsluitingsprincipe bij een PhC-WG is anders dan TIR. De periodieke structuur zorgt hier voor een fotonisch verboden zone. Dit betekent dat bepaalde frequenties niet kunnen propageren in dit periodiek medium. Door nu een lijndefect aan te brengen kunnen deze frequenties toch geleiden doorheen dit lijndefect. Merk op dat in figuur 1.1(b) deze periodieke structuur slechts 2 dimensionaal is. In de y-richting, gedefinieerd in figuur 1.1(c), gebeurt opsluiting door TIR. Met een voorbeeld van een reeds gerealiseerde component wordt deze paragraaf afgesloten. Deze component is de WDM channel selector op figuur 1.2. Nog andere recente componenten staan beschreven in het overzichtsartikel [12]. Deze recente doorbraak in integratie is vooral te wijten aan de vooruitgang in fabricagetechologie en ontwerpmiddelen. 3 2

9 hoofdstuk 1 Figuur 1.2: WDM channel selector: uit een WDM-signaal met 64 kanaal wordt 1 naar rechts uitgaand kanaal verkregen in 2 stappen. De eerste AWG ontbindt dit signaal in 8 X 8 signalen. Een van deze 8 meerkanaals signalen wordt uitgekozen door de SOA s. Dit signaal wordt door de laatste AWG verder opgesplitst. (a) V-groeven, theoretisch (b) V-groeven in PMMA, een polymeer Figuur 1.3: V-groeven 3

10 hoofdstuk 1 (a) Loodrechte inkoppeling (b) Fiber ribbon: connector bestaande uit 2 X 12 vezels Figuur 1.4: Een matrix van vezels loodrecht inkoppelen op een optische IC. 1.2 Verbinden van golfgeleiders met verschillende breedte Het overbrengen tussen verschillende componenten op een fotonische IC s gebeurt dus door banen op die optische chip. Om signalen te verplaatsen over grote afstanden wordt echter gebruik gemaakt van monomodale 4 glasvezels. Dit levert dan 2 voorbeelden van koppelen tussen golfgeleiders met verschillende breedtes, meer precies met verschilende veldprofielen. Figuur 1.3 toont hoe een zijwaartse inkoppeling van een glasvezel met een fotonische IC kan verwezenlijkt worden. V-groeven laten toe de core voldoende nauwkeurig te positioneren voor bv. een fotonische draad. Ook laat deze techniek toe een rij golfgeleiders in te koppelen. Het 2 de voorbeeld is loodrechte inkoppeling van de vezel op de fotonische IC. Dit is geschetst op figuur 1.4(a). Zo n mogelijke loodrechte koppelaar staat beschreven in artikel [11]. Loodrechte inkoppeling van een matrix van glasvezels behoort dan tot de mogelijkheden. Figuur 1.4(b) is een voorbeeld van zo n matrix van glasvezels, de connector van een fiber ribbon. Hier geldt echter ook weer dat er een verschil is tussen het veldprofiel van de fotonische draad of PhC-WG en het veldprofiel juist na deze loodrechte koppeling. On-chip koppeling van 2 golfgeleiders met verschillend veldprofiel levert nog 2 voorbeelden. Er is reeds gesproken over een PhC-WG en fotonische draden. Beiden kunnen ook gekoppeld worden op een fotonische IC. Ook bij deze koppeling is er een verschil in veldprofiel. Een laatste voorbeeld volgt uit de koppeling van een smalle en brede golfgeleider. Een groot nadeel van heel smalle fotonische draden zijn de afstralingsverliezen door oneffenheden. Dit is geschetst op figuur 1.1(a). Bredere multimodale fotonische draden hebben hier veel minder last van. Voor de on-chip koppeling zou dus de propagatie 3 Geavanceerde simulatieprogramma s laten toe om de wetten van Maxwell voldoende nauwkeurig numeriek op te lossen. 4 Monomodaal is vereist voor lange afstandsverbindingen. De verschillende modi bij een multimodale vezel hebben verschillende voortplantingssnelheden. Hierdoor treedt dispersie en dus degradatie op van het signaal. 4

11 hoofdstuk 1 (a) Brekingsindexprofiel (b) Absolute waarde van het transversaal H-veld, genormeerd op vermogen Figuur 1.5: Fundamentele TM-mode voor zowel een zwak als een sterk ingesloten mode tussen de verschillende componenten best gebeuren door bredere fotonische draden. Voor de componenten die monomodaliteit vereisen, zoals bochten, zou dan gebruik gemaakt kunnen worden van de smalle monomodale golfgeleiders. 1.3 Mode-mismatch oplossen door adiabatische tapers In paragraaf 2 werden reeds voorbeelden gegeven waarbij het nuttig is 2 golfgeleiders met verschillende breedte te verbinden. Het fundamentele probleem is echter het verschil in veldprofiel. Naast een verschil in vorm van de dwarsdoorsnede van golfgeleiders kan dit probleem ook komen uit het brekingsindexprofiel. Het veld van een golfgeleider strekt zich imeers verder uit in laag-brekingsindexcontrast dan in hoog brekingscontrast. Een illustratie hiervan is figuur 1.5. Hierop is het profiel van het transversale H-veld te zien voor een slabgolfgeleider 5 voor verschillende brekingsindexprofielen. Dit niet overeenkomen van het veld-profiel wordt ook wel mode-mismatch genoemd. Om een zo n efficiënte mogelijke vermogenoverdracht te verkrijgen is het overeenkomen van veldprofiel al een nodige voorwaarde. De andere voorwaarde hangt samen met de ruimtelijke afgeleide van het veld. Dit hangt dan weer af van de voortplantingsnelheid in de verschillende golfgeleiders. Voor de zijwaartse inkoppeling van een glasvezel treden er dus al zeker 2 problemen op. Het 1 ste probleem is te zien aan de bouw van beide golfgeleiders. Het cilindrische profiel van een glasvezel komt immers niet overeen met het meer rechthoekige profiel van de banen op een fotonische IC. Een ander probleem is het brekingsindexcontrast. Het brekingsindexcontrast van een glasvezel is van de orde δn < Het brekingsindexcontrast van een fotonische draad is stukken groter: n clad = 1.0, n core 3. Het veld van een monomodale glasvezel strekt zich dus ongeveer 10µm uit, het veld van een monomodale fotonische draad hoogstens 1µm. Bij zowel loodrechte inkoppeling als on-chip koppeling reduceert dit probleem zich echter tot het koppelen van 2 golfgeleiders op één substraat. 5 Slabgolfgeleider: golfgeleider waarbij het brekingsindexprofiel onveranderlijk blijft in 2 dimensies. Een uitgebreide bespreking gebeurt in bijlage A. 5

12 hoofdstuk 1 (a) Lateraal adiabatische tapers (b) Verticaal adiabatische taper (c) Lineaire en parabolische adiabatische tapers Figuur 1.6: Verschillende adiabatische tapers Om deze problemen op te lossen zijn er reeds adiabatische tapers voorhanden. Deze kunnen zowel het lateraal (figuur 1.6(a)) als het verticale 1.6(b) probleem oplossen. Lateraal betekent hier dus evenwijdig met het substraat, verticaal betekent loodrecht op dit substraat. Deze tapers kunnen gemaakt worden op het substraat. Een groot nadeel is echter de lengte van deze tapers. Verscheidene 100 den µm is niet ongebruikelijk om een behoorlijke transmissie-efficiëntie tussen de fundamentele modi te verkrijgen. Andere modi dienen zo weinig mogelijk geëxciteerd te worden. Andere reeds gebruikte geïntegreerde tapers zijn de parabolische tapers. Een bovenaanzicht van dit type taper is te zien op figuur 1.6(c). Deze tapers hebben i.p.v. een lineair verloop een parabolisch verloop en zijn iets korter dan lineaire tapers. Deze tapers verbreden zeer traag. Dit voorkomt dat andere modi dan de fundamentele mode worden geëxciteerd. Dit staat uitvoerig beschreven in de cursus [1]. Om de mode-mismatch op te lossen moet er dus een koppelstructuur staan tussen de 2 golfgeleiders. Een zo kort mogelijke koppelstructuur is dan ook wenselijk. 1.4 Invloed van de polarisatie In deze paragraaf komt nog een belangrijk verschil naar voren tussen een fotonische draad en een glasvezel. De eigenschappen van de geleidende modi in een glasvezel zijn onafhankelijk van de polarisatie. Dit is een gevolg van het circulair symmetrisch zijn van de glasvezel. In deze thesis hebben de meeste golfgeleiders, zoals de fotonische draad, echter een rechthoekige dwarsdoorsnede. De eigenschappen van de modi zullen dan ook afhankelijk zijn van de polarisatie. De geleidende modi van zo n golfge- 6

13 hoofdstuk 1 (a) Quasi-TE modi (b) quasi-tm modi Figuur 1.7: Quasi-TE en quasi-tm conventie Figuur 1.8: Afstralingsverliezen leider met rechthoekige doorsnede blijken meestal onder te verdelen in 2 groepen. Op figuur 1.7 staan de velden met de grootste absolute waarde afgebeeld. Hier is duidelijk het onderscheid te zien tussen beide groepen. Bij conventie wordt de ene groep van modi quasi-te genoemd en de andere quasi-tm. Hoewel in bijlage A hier dieper op wordt ingegaan, worden hier een paar eigenschappen gegeven. Deze onderverdeling is beter naarmate het brekingsindexcontrast tussen core en cladding groter is, naarmate de frequentie groter is en naarmate de rechthoekige doorsnede groter wordt. Ook belangrijk is de assenconventie bij figuur 1.7. De z-as wordt gebruikt als propagatierichting. De x-as is evenwijdig met lagenstructuur en y-as vervolledigt dit rechtshandig assenstelsel. Een belangrijk verschil tussen deze quasi-te en quasi-tm modi is de confinement. Door het verschil in confinement zullen de quasi-tm modi grotere afstralingsverliezen hebben aan oneffenheden op de wand. Deze confinement wordt verder uitgewerkt in A. Ook in de y-richting hebben quasi-tm modi een slechtere confinement. Deze confinement in de y-richting is geïllustreerd in figuur 1.8. Hierop is de lagenstructuur te zien welke gebruikt is in deze thesis. De bovenste laag GaAs geleidt het licht. De onderste AlOx-laag dient als cladding, langs de zijkant en boven dient lucht als cladding. Deze 7

14 hoofdstuk 1 epitaxaallagen zijn gegroeid op een GaAs-drager. Bij een slechte confinement kan er dus vermogen lekken naar de drager, het GaAS substraat. Dit komt erop neer dat de enige geleide modi op de wafer de quasi-te modi zijn. Van de polarisatie in een optische vezel is echter niets geweten. Een mogelijkheid om dit op te lossen is het gebruik van een polarisatiesplitter bij het inkoppelen. Na het scheiden van de quasi-te en quasi-tm modi worden dan de quasi-tm modi omgezet naar quasi-te modi. De conclusie uit deze paragraaf is dan ook dat in de verdere thesis gebruik zal worden gemaakt van quasi-te modi. 1.5 Probleemschetsing en mogelijke koppelstructuur Om dit hoofdstuk af te sluiten wordt dus eerst het probleem nog eens geschetst. Daarna volgt er een mogelijke koppelstructuur. Voor telecommunicatie-doeleinden wordt een golflengte gebruikt rond 1.56µm. De gebruikte materialen hebben dan ook een lage absorptie voor licht met deze golflengte. Omwille van de verliezen van de quasi- TM modi worden enkel quasi-te modi gebruikt op de wafer die hier gebruikt wordt. Het probleem in deze thesis is dus het overbrengen van het vermogen tussen de fundamentele modi van 2 golfgeleiders op eenzelfde substraat maar met verschillende breedtes. De lagenstructuur die hiervoor gebruikt wordt is te zien op figuur 1.8. De wafer bestaat dus uit 3 lagen: een laag GaAs welke dienst doet als drager, een laag AlOx doet dienst als cladding en de bovenste laag GaAs is de core. Door diep in deze lagen te etsen kunnen we banen defiëren zoals op figuur 1.8. De laagdikte van de bovenste GaAs is 0.240µm en de laagdikte van de AlOx-laag is 0.7µm. De dikte van de drager is niet zo belangrijk als ontwerpparameter. Voor de mogelijke compacte koppelstructuur, ook wel taper, wordt een structuur gebruikt die geschetst is op figuur 1.9. Deze structuur bestaat uit een opeenvolging van verscheidene secties. Deze rechthoekige secties vormen samen een symmetrische structuur. 6 In deze thesis heeft deze structuur als variabele ontwerpparameters de Breedte en Lengte van deze secties. Het midden van de breedtes, ook het midden van de inkomende golfgeleider B in en van de uitgaande golfgeleider B uit, liggen dan op de stippellijn geschetst op figuur 1.9. Deze stippellijn doet dus dienst als symmetrie-as. Door nu deze breedte en lengte te optimaliseren naar de transmissie tussen de fundamentele modi van de golfgeleiders wordt dan een goede koppeltructuur bekomen. De taper wordt in dezelfde etsstap gemaakt als de overige banen op het substraat. De lagenstructuur en etsdiepte van deze structuur is dan ook identiek aan de lagenstructuur van de golfgeleiders op de wafer. Het idee voor deze structuur komt uit een doctoraatswerk van Michael M. Spühler,[10]. Deze gebruikte een gelijkaardige structuur, weliswaar met vaste lengte. Ook wordt in deze thesis hoog brekingsindex contrast gebruikt, terwijl in het doctoraat laag brekingsindexcontrast werd gebruikt. 6 Een reden voor het gebruik van een symmetrische structuur is de rekentijd. Deze is groter bij een asymmetrische structuur. Zie hiervoor subparagraaf Asymmetrische structuren zouden mogelijk ook goede resultaten kunnen leveren. Dit wordt evenwel niet behandeld in dit werk. 8

15 hoofdstuk 1 Figuur 1.9: Een mogelijke compacte koppelstructuur Voor B i n wordt 1µm gekozen. Dit ligt dicht bij de maximale breedte waarbij deze golfgeleider nog slechts één even quasi-te mode. 7 B u it is zodanig gekozen dat bij simulaties een maximale inkoppelefficiëntie verkregen wordt tussen een glasvezel en een golfgeleider met deze breedte op het substraat. B u it = 13µm. De structuur van deze thesis weerspiegelt dan ook het verloop van de ontwikkeling van deze component. In hoofdstuk 2 wordt de simulatiefase besproken. In hoofstuk 4 wordt dan het maskerontwerp besproken van de teststructuren. In dit hoofdstuk 4 wordt ook het uitmeten besproken. Het laatste hoofdstuk geeft dan een korte samenvatting van zowel de simulatieresultaten als de meetresultaten. 7 De H y component van de fundamentele quasi-te mode is even t.o.v. de symmetrie-as van figuur 1.9. Bij een zeer smalle golfgeleider treedt alleen deze mode op. Bij het breder maken van deze golfgeleider is de volgende geleidende mode dan oneven. De 3 de mode die verschijnt met een nog bredere golfgeleider is dan weer even. Zie bijlage A. 9

16 Hoofdstuk 2 Ontwerp m.b.v. een genetisch algoritme 2.1 Inleiding In dit hoofdstuk wordt aandacht besteed aan het optimalisatieproces van de taper. Een mogelijke structuur staat reeds beschreven in het inleidend hoofdstuk, zie figuur 1.9. In bovenaanzicht bekeken wordt dit figuur 2.2. Hierbij wordt dus getracht de Breedte als de Lengte van elke sectie zodanig te kiezen dat er een maximale vermogentranmissie(coëfficiënt) T is tussen de fundamentele mode van de smalle golfgeleider naar die van de brede golfgeleider. Deze structuur is evenwel reciproque, zie figuur 2.1. Deze eigenschap zorgt dat een koppelstructuur die 90% van het vermogen overdraagt tussen de fundamentele modi van links naar rechts, dit ook doet bij rechts naar links. Deze vermogentransmissie T kan gezien worden als een factor die vermenigvuldigd met het invallend vermogen het uitgaan vermogen geeft. Omwille van de symmetrie kan een taper ook beschreven worden door slechts de helft zoals op figuur 2.2(b). In het verdere verloop van deze thesis staan B en L voor resp. de breedte en lengte van de volledige structuur. B en L staan voor de breedte en lengte van de helft van deze structuur. Het optimalisatieprobleem van deze waardes kan dan onderverdeeld worden in 2 deelproblemen. Het 1 ste deelprobleeem slaat op het berekenen van één koppelstructuur met welbepaalde parameters. Het andere probleem slaat op het zoeken in een gigantische parameterruimte naar parameters voor deze koppelstructuur, zodanig dat een goede efficiëntie kan behaald worden. Het simuleren van één welbepaalde 3 dimensionale koppelstructuur dient te gebeuren door het vectoriële karakter van het elektromagnetische veld in rekening te brengen. Om de simulatietijd te verkorten wordt de 3 dimensionale structuur omgezet naar een 2 dimensionale structuur. Dit zorgt ervoor dat het vectoriële veldprobleem te herleiden valt tot een scalair veldprobleem. Dit omzetten wordt gedaan door gebruik te maken van de de benaderende effectieve index methode. Deze methode wordt dan ook uitgebreid behandeld in de volgende paragraaf. Na dit bepaald te hebben wordt ook nog de simulatiesoftware CAMFR in paragraaf 2.3 besproken. Hierbij wordt aandacht geschonken aan PML, perfectly matched layers. Slechte koppelstructuren hebben immers veel afstralingsverlies waarmee de simulatiesoftware goed mee moet kunnen omgaan. In 10

17 hoofdstuk 2 (a) Vermogentranmissie van een smalle naar (b) Vermogentransmissie van een brede naar een brede golfgeleider. x % van het invallend een smalle golfgeleider. x % van het invallend vermogen komende uit de fundamentele mode vermogen komende uit de fundamentele mode van de smalle golfgeleider gaat naar de fundamentele mode van de brede golfgeleider. mentele mode van de smalle golfgeleider van de brede golfgeleider gaat naar de funda- Figuur 2.1: Bij een reciproque stuctuur geldt de eigenschap geschetst op (a) en (b). (a) Een mogelijke koppelstructuur, gezien vanuit (b) Een koppelstructuur is ook bepaald door bovenaanzicht slechts de helft te gebruiken. De rest is bepaald door symmetrie. Figuur 2.2: Twee tapers bekeken vanuit bovenaanzicht. 11

18 hoofdstuk 2 een kleine subparagraaf wordt ook vermeld hoe gebruik wordt gemaakt van de symmetrie van de koppelstructuur om simulatietijd te reduceren. Daarnaast dient gezocht te worden naar goede parameters voor de structuur. Het is duidelijk dat naarmate het aantal secties toeneemt ook de dimensies van de oplossingsruimte toenemen. Ook kan geen enkel gebied van de oplossingsruimte uitgesloten worden aangezien er nog nog geen goede theorie bestaat over de werking van dergelijke component. Om vanuit zo n positie toch te zoeken wordt gebruik gemaak van een genetisch algoritme. In het stuk over dit evolutionair algoritme het basisprincipe van deze methode gegeven. Er bestaan evenwel vele variënten op het basisprincipe van dit algoritme. Enkele varianten worden besproken aan het eind van dit optimalisatiehoofdstuk. Met dit optimalisatie-algoritme worden dan verscheidene taperstructuren bekomen. Een bespreking van deze structuren gebeurt in het volgende hoofdstuk. 2.2 Omzetten van het vectoriële 3d probleem naar een scalair 2d probleem Effectieve indexmethode Het omzetten van het vectoriële 3d probleem naar een scalair 2d probleem gebeurt door de effectieve index-methode. In deze subparagraaf wordt de techniek besproken. In de volgende subparagraaf wordt een wiskundig bewijs gegeven, waarna in de laatste subparagraaf wordt besproken welke fouten hierbij optreden. Een willekeurige sectie heeft een doorsnede te zien op figuur Het enige verschil tussen deze secties is hun breedte. Deze doorsnede is te benaderen door de lagenstructuur van figuur 2.3(a). Hierbij heeft de GaAs-laag dezelfde dikte als deze van figuur Ook hier heeft elke sectie van de taper een dergelijke lagenstructuur. Hierbij gebeurt de propagatie van het signaal in het GaAs-gebied. De rechtvaardiging van deze benadering steunt op 2 vaststellingen. Zoals vermeld in het inleidend hoofdstuk wordt gewerkt 12

19 hoofdstuk 2 (a) De lagenstructuur van een sectie (b) De fundamentele mode voor de middelste blok geeft n eff = n eim = (c) Deze waarde geeft volgend scalair probleem Figuur 2.3: De effectieve indexmethode: werkwijze 13

20 hoofdstuk 2 met quasi-te modi. Afstraling naar de GaAs drager is dus verwaarloosbaar. De 1 ste vaststelling is dus dat deze laag geen invloed heeft bij het bepalen van de effectieve index. De 2 de vaststelling volgt uit de etsdiepte. Het sample zal geëtst worden tot ongeveer 1µm. Dit is voldoende om de 2 zijdelingse blokken te benaderen door 2 homogene luchtlagen. Deze veronderstellingen leiden dan tot de benaderende lagenstructuur. In figuur 2.3(b) is dan de lagenstructuur te zien van de middelste blok. Bij de effectieve indexmethode laat men deze structuur uitstrekken tot in de x-richting. Deze slabgolfgeleider heeft dus zuivere TE en zuivere TM modi. De fundamentele TE mode wordt bepaald van deze structuur. Er wordt gekozen voor de TE mode omdat in figuur 2.3(a) gewerkt wordt met quasi-te modi. Deze mode heeft een effectieve brekingsindex n eim = In het algemene geval dient dit ook gedaan worden voor de 2 andere blokken. Hier bestaan deze alleen maar uit een homogeen materiaal, waaruit direct n eim = 1.0 volgt. Aangezien alle secties dezelfde lagenstructuur hebben geeft dit telkens dezelfde n eim s. Het enige verschil van deze secties is immers hun breedte en lengte. Elk van deze secties kan nu gezien worden als een slabgolfgeleider met diezelfde breedte en lengte. Het grote verschil met het 3D-geval is de aanpassing van de brekingsindices. De core heeft als waarde n eim = De cladding heeft een brekingsindex van 1.0. Omdat wordt gewerkt met telkens slabgolfgeleiders wordt nu in plaats van een 3D-vectoriëel probleem een scalair probleem verkregen zoals te zien op figuur 2.3(c). Omdat in de 3D-structuur wordt gewerkt met quasi-te modi moet hier, gelet op de zin van de H y component in figuur 2.2.1, gebruikt worden gemaakt van de TM-modi. Hierbij is telkens de omzetting gebeurt voor de quasi-te-modi. In geval van de quasi-tm modi moet bij het bepalen van de effectieve index gebruik gemaakt worden van de fundamentele TM mode. In structuur 2.3(c) geeft dit dan andere brekingsindices. In de 2d structuur moet daarna gebruik gemaakt worden van de TE modi. Deze keuze voor TE of TM modi is echter duidelijk door het kijken naar de richting van de H en E componenten. Deze omzetting zorgt dus voor dat een serieuze reductie in computertijd. De prijs die hiervoor betaalt wordt staat in de 3 de subparagraaf Wiskundige afleiding voor extreem hoog brekingsindexcontrast Deze benaderende techniek kan zowel opgebouwd worden voor laag- als voor hoog-brekingsindexcontrast. Voor fysische gevallen betekent dit dus dat er fouten optreden door deze werkwijze. Een theorie voor laag brekingsindexcontrast staat uitgewerkt in de cursus [1]. Ook wordt in deze cursus de fouten die optreden in dat geval besproken. Voor hooge brekingsindexcontrast wordt hier een theorie opgebouwd gelijkaardig aan die van de MMI. Bij deze theorie wordt uitgegaan van een brekingsindexcontrast zo groot dat er geen veld bestaat buiten deze structuur. Dit geeft een scalaire eigenwaardevergelijking die opgelost kan worden door scheiding van de veranderlijken. Dit scheiden van de veranderlijken geeft een scheidingsconstante, welke de effectieve index blijkt te zijn. 1 Om notatieverwarring te voorkomen wordt hier resoluut gekozen voor n eim als notatie van de effectieve index van deze mode. 14

21 hoofdstuk 2 Figuur 2.4: Dwarsdoorsnede van een ruimte die invariant is in de z-ruimte. Deze ruimte bestaat uit verscheidene isotrope lineaire materialen. Deze MMI-veronderstelling versimpelt het probleem aanzienlijk. In plaats van quasi-te modi en quasi- TM modi zijn er dan nog enkel TE-modi en TM-modi. Er geldt dan dat het volledige veld in de structuur kan beschreven worden door één enkele scalaire eigenwaardevergelijking. Om deze bewering te staven wordt vertrokken van figuur 2.4. In elk van de materialen in deze stuksgewijze ruimte gelden volgende formules voor de modale velden e z (x, y) en h z (x, y): 2 2 t h z (x, y) + (k 2 i β 2 )h z (x, y) = 0 (2.1) 2 t e z (x, y) + (ki 2 β 2 )e z (x, y) = 0 (2.2) e t (x, y) = 1 ki 2 (jβ te z (x, y) + jωµ i u z t h z (x, y)) β2 (2.3) h t (x, y) = β ωµ i u z e t (x, y) (2.4) Hierbij staat u z voor een eenheidsvector in de z-richting. Ook geldt k 2 i = ω2 ɛ i µ i en 2 t = 2 x y 2. Door het opleggen van randvoorwaarden aan elke materiaalovergang beschrijft dit eigenwaardeprobleem in β het volledige elektromagnetische veld bij gegeven frequentie. Een zeer goede afleiding van deze formules staat in de cursus [9]. Dit probleem is meestal analytisch onoplosbaar. Dit komt omdat randvoorwaardes opgelegd aan formules 2.3 en 2.4 zorgen voor een opmenging van e z en h z. In het geval van extreem hoog brekingsindexcontrast of de slabgolfgeleider (zie bijlage A) kan echter wel onderscheid gemaakt worden tussen TE modi en TM modi. Voor de slabgolfgeleider is dit algemeen geldig, voor het andere geval alleen voor de geleidende modi in het materiaal met de hoogste brekingsindex. De TE modi hebben geen longitudinale elektrische component e z en de TM modi hebben geen longitudinale magnetische component h z. Hieruit kan dus besloten worden dat het elektromagnetische veld te beschrijven is in één scalaire eigenwaardevergelijking. Voor het geval van hoog brekingsindexcontrast betekent dit ook dat voor de geleidende modi in het materiaal met de hoogste brekingsindex geen veld buiten dit materiaal te vinden is. Deze veronderstelling is des te beter is naarmate frequentie hoger is, brekingsindexcontrast sterker is 2 De gebruikte begrippen en notaties worden gedefinieerd in bijlage A. 15

22 hoofdstuk 2 Figuur 2.5: Scheiden van veranderlijken om 2.7 op te lossen. of de structuur groter is. Er wordt dus vertrokken van een scalaire eigenwaardevergelijking in φ(x, y): 2 t φ(x, y) + k 2 φ(x, y) = β 2 φ(x, y) (2.5) 2 t = 2 2 x x (2.6) k = 2π λ n (2.7) In geval van TM modi is φ dan bv. e z (x, y), bij TE modi is φ dan bv. h z (x, y). Buiten het gebied met de hoge brekingsindex is zowel h z = e z = 0. Dit is equivalent met φ = 0 Deze vergelijking kan in het geval van een rechthoekige doorsnede opgelost worden door scheiding van de veranderlijken. Op figuur 2.5 is zo n doorsnede geschetst. Hierbij is φ(x, y) = φ x (x)φ y (y) doorgevoerd. Het invoeren van de scheidingsverandelijke (k 0 n eim herleidt formule 2.7 tot: d 2 φ y (y) d 2 + k 2 φ y (y) y = (k 0 n eim ) 2 φ y (2.8) d 2 φ x (x) d 2 + (k 0 n eim ) 2 φ x (x) x = β 2 φ x (x) (2.9) Het oplossen van 2.8 levert dan een effectieve brekingsindex voor de fundamentele mode. Deze wordt n eim genoemd. Door deze te steken in formule 2.9 kan dan het probleem verder opgelost worden. Dit is analoog met de stappen die gevolgd werden in subparagraaf 1. In het MMI-geval is deze oplossing exact. Op moment dat het brekingsindexverschil te klein wordt is deze veronderstelling niet meer houdbaar. Dit zorgt ervoor dat niet gesproken kan worden over TE en TM modi, maar enkel nog over quasi-te en quasi-tm. Ook kan de scheiding van veranderlijken niet meer toegepast worden. Deze fouten worden dan ook besproken in de volgende subparagraaf. 16

23 hoofdstuk 2 Figuur 2.6: Vergelijking van de effectieve brekingsindex tussen simulaties in 3D en in 2D met de effectieve indexmethode Fouten geïntroduceerd door effectieve indexmethode Zowel bij laag- als hoog-brekingsindexcontrast treden dus fouten op bij deze methode. Deze fout is bij beiden een overschatting van n eff. Met n 3 eff wordt de effectieve brekingsindex van een propagerende mode bedoeld. Zowel een 3D-simulatie in FIMMWAVE als een simulatie met de effectieve indexmethode in CAMFR werden gedaan voor een sectie met variabele breedte. Beiden programma s werken volgens eigenmode expansie en propagatietechniek. Voor 1 sectie wordt de eigenmode-expansie gebruikt. Dit wordt verder besproken in paragraaf 2.3. Met deze simulatieresultaten wordt dan verder besproken waar de grootste fouten optreden. In deze tekst wordt dit daarna plausibel gemaakt. Op figuur 2.6 staat de effectieve brekingsindex uitgezet tegen de breedte van de golfgeleider. De breedte wordt gedefiniëerd zoals op figuur1.9. Als lagenstructuur wordt deze genomen op figuur 2.3(a). Op de figuur staan enkel de fundamentele en de 1 ste quasi-te modi. Het valt inderdaad op dat bij een gegeven breedte de effectieve brekingsindex wordt overschat. Naarmate de breedte kleiner is, komt een mode dichter bij zijn ondergrens n eff = Dit is immers de brekingsindex van AlOx. De afwijking van n eff neemt ook af naarmate de breedte toeneemt. Bij éénzelfde breedte is de fout groter naarmte de mode dichter bij n eff = 1.56 zit. Dit wordt inzichtelijk duidelijk door een juiste interpretatie van n eff. n eff is een maat voor hoeveel veld opgesloten zit in de laag met de hoge brekingsindex. In de benadering werd echter ondersteld dat het volledige veld in de laag met de hoogste brekingsindex bleef. Dit zorgde ervoor dat het scalaire φ y - veld in de y-richting hetzelfde profiel bleef behouden. Hierdoor blijft n eim een constante voor eender welke oplossing van 2.9. Bij een kleinere breedte kleiner te maken zal het veld zich echter in de y- richting meer uitspreiden dan bij een grotere breedte. Hierdoor zal n eim kleiner zijn bij een smallere golfgeleider. Dit leidt in het werkelijke 3D-geval tot een kleinere n eff dan in het geval van de effectieve index methode. Naarmate de golfgeleider breder worden zal dit effect een kleinere rol gaan spelen en blijft n eim constant. Dit zorgt dus voor een kleinere afwijking bij grotere breedtes. Bij gegeven breedte 3 Hier wordt dus de notatie-invoering n eim duidelijk. 17

24 hoofdstuk 2 (a) Simulaties op basis van ruimtelijke discretisatie mode expansie (b) Simulaties op basis van eigen- Figuur 2.7: Verschillende simulatieprincipes zal een hogere orde mode ook een grotere afwijking kennen dan een lagere orde mode. De uitspreiding over de y-richting zal bij een hogere orde mode immers groter zijn dan bij een lagere orde mode. Hoewel de effectieve indexmethode dus het probleem versimpelt blijft dit altijd maar een benaderende methode. De bekomen simulatieresultaten dienen dus getoetst te worden in een vectorieel 3dprogramma. 2.3 De simulatiesoftware CAMFR,PML s en gebruik maken van symmetrie Simulatieprincipe In deze paragraaf wordt een kort overzicht gegeven van enkele simulatieprincipes. Omdat bepaalde breedte en lengte parameters leiden tot structuren die veel afstraling vertonen moet hier rekening mee gehouden worden. Dit kan gebeuren door een absorberend materiaal te gebruiken in de simulaties. Gebruik van symmetrie in de simulaties wordt dan in de volgende subparagraaf besproken. Figuur 2.7(a) toont hoe bepaalde simulatieprogramma s (FDTD, Momentenmethode,...) werken. Er wordt vertrokken van ruimtelijke discretisatie. Dit betekent dat de te simuleren ruimte overlegd wordt met een rooster. Voor elk van de punten op dit rooster worden de berekeningen uitgevoerd. Het voordeel van deze methode zijn de goede resultaten en algemeenheid van de structuren waarmee kan gewerkt worden. Het nadeel is dat voor nauwkeurige berekeningen veel tijd en geheugenruimte nodig is. Een verdere onderverdeling kan gebeuren op de manier waarop de tijdsafhankelijkheid van de signalen in rekening wordt gebracht. Bepaalde programma s werken bij een vaste frequentie, andere lossen dan weer het veldprofiel op voor opeenvolgende tijdsstappen. CAMFR daarentegen werkt op basis van eigenmode expansie. Bij een welbepaalde frequentie worden van een gegeven slabgolfgeleider de eigenmodi berekend. Dit is te zien op figuur 2.7(b). De structuren in deze thesis zijn op te delen in verschillende lagen waarin het brekingsindexprofiel niet 18

25 hoofdstuk 2 (a) Taper in een doos met als (b) Doos met bovenrand PML en onderhand elektrische rand PML geleider Figuur 2.8: Simulatieruimte met gebruik van PML s en elektrische randen wijzigt. Het veld in elke laag kan geschreven worden als een superpositie van de eigenmodi van die laag. Dit leidt tot een korte notatie voor het veld en dus kortere simulatietijden. Een ander belangrijk voordeel is dat de berekeningstijd onafhankelijk is van de lengte van die lagen. De structuur van de koppelstructuren leidt dus vrijwel automatisch tot het kiezen voor een simulatieprogramma dat gebaseerd is op mode expansie. In beide gevallen dienen de te simuleren structuren in een doos met bepaalde randvoorwaarden gestoken te worden. Bij ruimtelijke discretisatie wordt dit gedaan omdat het onmogelijk is een oneindig grote ruimte te simuleren. Eigenmode expansie vereist daarenboven ook nog eens een gediscritiseerd aantal eigenmodi. Vrije ruimte simuleren geeft immers een continuüm aan eigenmodi. Een mogelijke rand zou een metalen doos kunnen zijn. Het nadeel hierbij is parasitaire reflectie. De straling die door een structuur normaal wordt afgestraald naar blijft gevangen in de metalen doos. Dit zorgt echter voor beïnvloeding van de simulatieresultaten. Dit probleem kan opgelost weliswaar worden door PML s, perfecftly matched layers. Deze staan geschetst op figuur 2.8(a). Deze PML s zorgen voor absorptie van het inkomend veld, ongeacht golflengte, invalshoek en polarisatie. Ze kunnen geïnterpreteerd worden als een materiaal met complexe dikte. Het dient opgemerkt dat rond dit materiaal nog altijd een metalen doos zit. Voor een verdere bespreking van deze PML s wordt verwezen naar het doctoraatswerk [3] Gebruik maken van de symmetrie van de structuur In het inleidend hoofdstuk werd reeds vermeld dat de structuur symmetrisch is. Bij excitatie van de fundamentele en dus even TM mode 4 van de smalle golfgeleider worden dus geen oneven TM modi geëxciteerd. Het is dus niet nodig om deze oneven modi te berekenen. Op figuur 2.8(b) is dan te zien 4 Hiermee wordt bedoeld dat h y een even functie is t.o.v. de symmetrie-as van de structuur. Het e x veld daarentegen is oneven. 19

26 hoofdstuk 2 hoe dit wordt gedaan voor het TM-geval. Op de spiegelas wordt een elektrische geleider gezet. Deze zorgt ervoor dat alleen maar de even TM-modi worden verkregen. Voor het TE-geval dient hier een magnetische geleider te staan. Dit is af te leiden uit tabel A.1, meerbepaald uit de relatie tussen e z en dh y dz voor het TM-geval. Dit betekent dat minder modi in dit symmetrische geval bepaald mogen worden. Dit betekent een snellere algoritme, aangezien de snelheid afhangt van de derde macht van het aantal modi. 2.4 Genetische algoritmes (GA s) Inleiding Tot nog toe is er alleen maar gesproken over het simuleren van de gewenste structuur. De 2D-structuur uit figuur 2.2 dient ook nog geoptimaliseerd worden. De vermogentransmissie van fundamentele mode naar fundamentele mode in functie van de breedte- en lengteparameters [B, L] is in deze thesis de te optimaliseren functie. Deze wordt ook de evaluatiefunctie of fitheidsfunctie genoemd. Om deze fitheid te maximaliseren of desgewenst te minimaliseren zijn er verschillende algoritmes beschikbaar. Sommigen technieken geven voor eenzelfde parameterruimte en evaluatiefuntie telkens dezelfde oplossing. Andere technieken geven dezelfde oplossing indien wordt vertrokken vanuit hetzelfde startpunt. Beide types zoekmethodes werken deterministisch. De selectie van het volgende parameterpunt hangt enkel af van reeds bekomen simulatieresultaten. Een ander type zoekmethode werkt dan weer stochastisch. Naast de reeds bekomen simulatieresultaten speelt hier ook een kansfactor mee. Verschillende algoritmes staan uitgewerkt in [7]. Een voorbeeld van een deterministische zoekmethode waarbij telkens hetzelfde eindresultaat wordt bekomen is de branch and bound methode. De parameterruimte wordt onderverdeeld in verschillende subruimtes. In elke subruimte wordt een exemplaar berekend. Op basis hiervan worden subruimtes geëlimineerd. Daarna wordt de nog overgehouden subruimte verder opgedeeld. Het optimum kan zich dus bevinden in een geëlimineerde subruimte. Beschouw hiervoor een voldoende grote subruimte. In eenzelfde subruimte kan er dan nog een grote fluctuatie zitten op de waarde van de evaluatiefunctie. Dit betekent dat er een voldoend kleine subruimte moet gekozen worden. Ook stijgt het aantal te berekenen exemplaren exponentieel met het aantal dimensies van de subruimte. Dit illustreert het grote nadeel van deze zoekmethode. Er wordt telkens 1 exemplaar berekend. Dit zorgt ervoor dat het algoritme vrij makkelijk vast komt te zitten in een lokaal optimum. Een beter zoekalgoritme zou zijn waarbij wordt uitgegaan van een populatie van exemplaren. Dit is precies wat genetische algortimes (GA s) doen. Ze vertrekken vanuit een diverse populatie, waaruit telkens een volgende generatie wordt gecreëerd. Deze nieuwe generatie wordt gemaakt op basis van 3 operaties. Uit deze generatie dienen exemplaren gekozen te worden, dit is de selectie-operatie. Dit gebeurt op basis van de fitheid. Met de gekozen exemplaren gebeurt uitwisseling van parameterinformatie, crossover genaamd. Deze cross-over zorgt ervoor dat het GAs niet makkelijk blijft vastzitten in een lokaal optimum. De laatste operator is mutatie, het licht veranderen van de parameters. 20

27 hoofdstuk 2 Een van de pioniers op dit onderzoeksgebied is John H. Holland. Dit betekent echter niet dat er al een sluitende theorie is gevonden voor GA s. Er wordt bv. onderzoek gedaan voor welke evaluatiefuncties GA s betere resultaten behalen dan andere zoekalgoritmes. Zo n onderzoek wordt beschreven in artikel [2]. Hierin wordt een kort overzicht gegeven over GA s. Ook Holland s verklaring wordt in dit artikel zeer snel geschetst. Een basisingrediënt van het GA is de cross-over. De bouwblokhypothese, building-block hypothesis (BBH) zou de werking van deze cross-over kunnen verklaren. Met bouwblok wordt een welbepaalde numerieke waarde voor enkele van de structuurparameters, bv. [B a = 1µm, B b = 1.23µm, L j = 3µm, L k = 1.5µm] dus, bedoeld. Deze hypothese stelt dat tapers met bepaalde bouwblokken in een taper een iets hogere fitheid hebben dan tapers met andere bouwblokken. Deze zouden zich dan door opeenvolgende cross-over exponentïeel vermeerderen en gecombineerd worden met andere betere bouwblokken en leiden tot betere bouwblokken. Deze bouwblokken worden ook wel schemata genoemd en stellen in de R 2N, met N het aantal secties van de taper, hypervlakken voor die betere oplossingen bevatten dan andere hypervlakken. Maar toch wordt nogmaals benadrukt, het is nog onzeker hoe dit werkt en voor welke fitheidsfuncties dit algoritme een goede werking heeft. Dit bepaalt dan ook de volgorde van de subparagrafen over genetische algortimes. Eerst worden enkele algemene regels besproken waarmee het genetisch algoritme wordt opgebouwd. Als laatste worden dan de simulatieresultaten besproken Opbouw van het genetisch algoritme Genetische algoritmes 5 hebben een vrij eenvoudige opbouw. Eerst wordt een representatie van de oplossingsruimte gekozen. Daarna worden er de volgende 3 operatoren herhaaldelijk op losgelaten. In het boek [7] staan deze operatoren meer algemeen uitgewerkt. Hier wordt toegespitst op het taperprobleem. selectie: uit de reeds berekende exemplaren worden verscheidene exemplaren gekozen cross-over: de geselecteerde exemplaren worden met elkaar gekruist mutatie: de nieuwe generatie wordt licht gewijzigd Het valt op dat er geen stop-operator, geen eindcriterium is. Bij het meer klassieke branch and bound algoritme is dit bv. de grootte van de subruimte. Indien de grootte van de subruimte kleiner wordt dan een bepaalde waarde stopt dit algoritme. Een mogelijk eindcriterium voor het algoritme zou kunnen zijn het verdwijnen van de diversiteit uit de populatie en dus convergentie betekent. Dit is echter moeilijk te implementeren. Een andere reden om geen stopcriterium te implementeren is dat genetische algoritmes niet per sé in een kort tijdsbestek hoeven te convergeren. Dit zal duidelijk worden uit de bespreking van de 3 operatoren. In dit algoritme is dus geen stopcriterium ingebouwd. Na een zeker aantal generaties wordt gekeken naar de evolutie van de fitheid, de transmissie tussen de fundamentele modi, dus. Indien deze niet meer gewijzigd is gedurende vele generaties wordt de zoektocht beëindigd. 5 Genetische algoritmes behoren tot een bredere klasse evolutionaire algoritmes. Omdat hier wordt gewerkt met parameters die kunnen overerven wordt hier de term GA s gebruikt. 21

28 hoofdstuk 2 Representatie kiezen en initialisatie van de begingeneratie Het vertrekpunt van deze bespreking is een taper met N secties, zoals afgebeeld op figuur 2.2. Door alle breedtes en lengtes te variëren wordt een verzameling van de mogelijke tapers verkregen. Als mogelijke representatie van deze verzameling tapers wordt hier dus de 2N-dimensionele ruimte [B 1,..., B i,..., B N ], [L 1,..., L i,..., L N ] gekozen. Met elke dimensie komt een breedte- of een lengte-parameter overeen. Elk van deze continue parameters wordt daarenboven nog eens gediscretiseerd. Dit betekent bv dat B i {0.4, 0.45, 0.50, 0.55,..., 7.5}. 6 Hierbij is B i in µm en voor de lengte geldt L i {0.8, 0.85, 0.9,..., L max}. L max is de maximale sectielengte en dient om de lengte van de structuur te begrenzen. B max = 7.5µm dient om de breedte van de structuur te beperken. De ruimte is gediscretiseerd in stappen van 0.05µm. Deze stap komt overeen met de fabricage-nauwkeurigheid. Ook kan met optische lithografie geen kleinere structuur dan 0.8µm worden geëtst. De keuze voor discretisatie is door een samenloop van omstandigheden gebruikt. Continue parameters zijn ook mogelijk. De begingeneratie bestaat uit 100 tapers. Alle tapers in de 2N-dimensionele discrete ruimte hebben een uniforme kans om gekozen te worden. Hoe meer tapers de begingeneratie bevat, hoe kleiner de kans dat het algoritme vastgeraakt in een lokaal optimum. Het nadeel is dat het algoritme trager convergeert. Selectie Er zijn vele manieren om selectie te implementeren, toch geldt één basisregel. Selectie is de filter waarmee wordt bepaald hoe de volgende generatie eruit gaat zien. Op de een of andere manier moet hierin vervat zitten dat betere exemplaren meer kans hebben om voort te planten. De term selectie wordt trouwens in 2 verschillende contexten gebruikt. Het kan slaan op de selectie van de exemplaren om het nageslacht te bepalen, de ouderselectie. De term wordt ook gebruikt voor de selectie van de exemplaren welke niet meer in aanmerking komen voor cross-over, dus geëlimineerd worden. Beides selecties kunnen gebeuren op deterministische ofwel stochastische regels. Men kan bv. voor de ouderselectie stochastisch werken en voor de eliminatie deterministisch. In het gebruikte algoritme wordt de ouderselectie gedaan door Roulettewiel selectie. De kans dat een exemplaar wordt uitgekozen om als ouder te dienen is evenredig met zijn fitheid. De kans dat een exemplaar met fitheid f i wordt gekozen is P = f i f tot met f tot de som van alle fitheden. Een van de nadelen van deze selectieprocedure zou de vroegtijdige convergentie naar een lokaal optimum zijn. Dit is vooral het geval als er een groot verschil zit op de slechtste exemplaren en beste exemplaren van de generatie. Een mogelijkheid om dit verschil te verminderen is bv. de wortel van deze fitheden te gebruiken in de roulettewiel selectie. De slechtste exemplaren blijven nog altijd de slechtste exemplaren, maar het is duidelijk dat het verschil afgezwakt wordt. Om snellere convergentie te verkrijgen kan dan weer het verschil tussen de slechtste en beste exemplaren worden vergroot. Dit kan bv. gedaan worden door gebruik te maken van de kwadratische fitheid i.p.v. de fitheid. Dit werkt uiteraard alleen maar in geval de fitheden altijd positief zijn. Het is echter niet moeilijk dit uit te breiden naar negatieve 6 Dit wordt hier verder een 2N-dimensionele discrete ruimte genoemd, deze term is in feite onjuist. Toch geeft hij duidelijk weer dat het gaat om 2N parameters die allen gediscretiseerd zijn. 22

29 hoofdstuk 2 fitheden. Een andere mogelijkheid van selectie is de tornooi selectie, er wordt in de huidige generatie willekeurig een aantal exemplaren gekozen. Uit deze exemplaren wordt het beste exemplaar genomen als ouder voor de volgende generatie. Merk op dat zowel roulettewiel selectie als tornooi selectie niet per sé de beste exemplaren als ouders selecteren. Na het creeëren van de volgende generatie worden er ook exemplaren verwijderd. Deze worden niet meer gebruikt voor de volgende selectieronde. Een drastische manier is het volledig verwijderen van alle ouders. Enkel de nakomelingen blijven over. Er moet gelet worden op een voldoende grote groep nakomelingen. Deze methode zou traag convergeren, maar ook minder makkelijk blijven vaststeken in lokale optima. Hier wordt echter gekozen voor een deterministische aanpak. Er wordt vertrokken van µ ouders en ν nakomelingen. In deze groep met µ + ν exemplaren worden simpelweg de beste µ exemplaren overgehouden. Voor het gebruikte algoritme leidt dit concreet tot een basisgeneratie van µ = 100 exemplaren. Uit deze worden 2 ouders geselecteerd op basis van roulettewiel selectie. Deze roulettewielselectie gebeurt op basis van de vermogentransmissie. Deze 2 ouders creëren 2 nakomelingen. Dit geeft een nieuwe generatie van µ + ν = 102 exemplaren. De beste 100 exemplaren worden overgehouden. cross-over Ook bij cross-over zijn er verschillende manieren om dit te implementeren. De eerste manier om dit te doen de eenpunts cross-over. Er wordt vertrokken van een taper met parameters [B 1,..., B N ],[L 1,..., L N ]. Er wordt een willekeurige positie tussen 1 en 2N gekozen. Deze positie wordt dan afgekapt. Precies bij dezelfde positie gebeurt dit bij een andere taper. Hierna worden dus 2 stukken parameter uitgewisseld. Het grote nadeel hierbij is dat nooit B 1 en L N van een welbepaalde taper bij elkaar blijven. Dit zou een nadelige werking kunnen hebben op het GA. Een andere methode is de tweepunts cross-over. In plaats van 1 positie waar geknipt wordt, worden 2 posities gekozen. We krijgen dan een taper met 3 stukken parameter, bv [B 1,..., B i ], [B i+1,..., B N, L 1,...L j ] en [L j+1,..., L N ]. Het middelste stuk parameter wordt dan uitgewisseld met een andere taper welke op precies dezelfde positie is geknipt. In deze thesis is echter gekozen voor uniforme cross-over. Voor elke parameter B i of L j wordt afzonderlijk bepaald of er een uitwisseling gebeurd tussen 2 tapers. Dit is te zien op figuur 2.9. Op deze figuur is dus reeds een uitwisseling te zien van B 1 tussen 2 tapers. In dit algoritme is gekozen voor een uitwisselingskans van 50%. Er is dus 50% kans dat er een welbepaalde parameter wordt uitgewissseld tussen 2 tapers. Kleinere uitwisselingskansen zouden leiden tot snellere convergentie, maar hebben dan weer meer kans om vast te blijven zitten in lokale optima. 23

30 hoofdstuk 2 Figuur 2.9: De gebruikte cross-over operator Mutatie Naast de vorige operatoren wordt in GA s ook nog mutatie toegepast. Mutatie zorgt ervoor dat elke parameter een kleine wijziging kan ondergaan. Deze wijziging moet klein genoeg zijn om niet het verband te verliezen met de oorspronkelijke taperstructuren. Mutatie is nodig omdat door selectie en cross-over bepaalde nuttige parameters en daarbij horende kenmerken kunnen verloren gaan. Het zou immers kunnen dat een welbepaalde waarde voor B i niet meer in de verzameling tapers voorkomt. Deze waarde zou wel een belangrijke verbetering van de fitheid inhouden. Echter als alleen maar cross-over wordt gebruikt kan deze parameter nooit meer terugkeren. Als men dus mutatie beperkt houdt kan men een verband met de oorspronkelijke ouders behouden en ook nog nuttige eigenschappen herintroduceren. Uit cross-over komen dus nieuwe parameters, hierop wordt dan een mutatie op losgelaten. Voor de mutatie-operatie van een parameter L i wordt in deze curve gebruik gemaakt van een genormeerde gaussiaanse kanscurve zoals in figuur Deze gediscretiseerde Gaussische curve heeft een standaardafwijking σ van µm. Hierbij is 0.05µm de discretisatiestap. Op de grafiek is direct af te lezen dat L i waarschijnlijk ongewijzigd blijft. Deze waarde is immers ongeveer 55%. Ongeveer 45% kans is er dat er wordt gesprongen naar L i µm. Door deze σ blijft dus gemiddeld ongeveer 55% ongewijzigd na inwerking van deze operator. Voor een taper met N secties betekent dit weliswaar dat gemiddeld N parameters een lichte wijziging ondergaan. Deze operatoren leveren dan de bouwstenen voor het gebruikte genetische algoritme. Dit staat schematisch uitgelegd op figuur Alle 100 willekeurig gekozen exemplaren hebben dus een vast aantal secties. Ook geldt dat voor zowel de breedte- als lengte-parameters er een bovengrens is vastgelegd. Het berekenen van deze structuur levert de vermogentransmissie van fundamentele mode naar fundamentele mode. In dit probleem wordt dit ook fitheid genoemd. Uit deze 100 exemplaren worden dan op basis van deze fitheid 2 exemplaren gekozen. Deze zorgen voor 2 nakomelingen door achtereenvolgens cross-over en mutatie te ondergaan. Dit levert in totaal 102 exemplaren waarvan de 100 beste met grootste fitheid overblijven. Op deze 100 beste herhaalt zich dan de cyclus van selectie,cross-over en mutatie. Dit gaat door totdat deze cyclus wordt onderbroken 24

31 hoofdstuk 2 Figuur 2.10: De mutatiecurve Figuur 2.11: Structuur van het genetisch algoritme na een groot aantal generaties. Het is duidelijk dat er geen duidelijke keuze is voor de algoritme-parameters, zoals bv: aantal nakomelingen, aantal beginexemplaren... Buiten enkele empirische regels bestaan er geen formules waarmee deze algoritme-parameters gekozen kunnen worden. In de verdere bespreking zal echter aangetoond worden dat dit algoritme beter scoort dan een willekeurige zoektocht in de parameterruimte. Een beter inzicht in de efficiëntie van dit GA zou geleverd kunnen worden door te vergelijken met algoritmes, waarvan er wel een degelijk wiskundige basis van is gekend Implementatie van het algoritme in python Dit programma is geschreven in python. De reden hiervoor is dat deze scriptietaal CAMFR aanstuurt. Gezien de overzichtelijkheid van een object-georiënteerde t.o.v. van een procedurale programmeerstijl werd gekozen voor dit eerste. Een goede site om te leren werken met object-oriëntatie is [6]. De objecten 25

32 hoofdstuk 2 (a) Object: Taper (b) Object: Stamboom Figuur 2.12: De objecten in het genetische programma: data en meest gebruikte functies die hiervoor gebruikt bestaan dus uit zowel de data als functies op die data. Het programma bestaat in feite uit 2 objecten. Het fundamentelere object taper is een kleine deelverzameling is van het grotere object stamboom. Een schematische voorstelling van het programma is figuur Het object taper bevat alle informatie van een welbepaalde taper. De breedte, lengte, transmissie zijn dus allemaal dingen die opgeslagen in dit object. Dit object kan gemaakt worden door taper = taper(). Op dit object zorgt taper.set breedtes([0.4,...,0.8]) en taper.set lengtes([0.8,...,5]) ervoor dat deze parameters gebruikt worden voor deze taper. taper.bereken CAMFR() berekent daarop dan de transmissie tussen de fundamentele mode. Ook voert deze functie een controle uit op de bekomen resultaten. Dit dient om te voorkomen dat onrealistische transmissies worden gestoken in het genetisch algoritme. Het grotere object stamboom bestaat dan uit lijsten van generaties. Deze generaties zijn dan op hun beurt weer opgebouwd uit het object taper. Dit object heeft verscheidene veelgebruikte functies. Allereerst dient er een populatie stamboom = stamboom() te bestaan waarop verder kan gewerkt worden. Deze beginpopulatie kan op 2 manieren gevuld worden. stamboom.maak nulde generatie() maakt een nieuwe beginpopulatie aan. stamboom.herstel alles() herstelt alle informatie uit een vorige simulatie. Hierop wordt een nieuwe generatie gemaakt met stamboom.gen uitwisseling(). Deze generatie wordt dan uitgerekend met stamboom.bereken CAMFR(). Deze functie berekent een generatie uit, terwijl bereken CAMFR bij het taper-object slechts 1 taper uitrekent. Na het uitrekenen wordt de lijst die de 100 beste tapers bijhoudt herberekend door stamboom.sorteer toegevoegde generatie(). Als laatste wordt dan op deze nieuwe generatie de functie stamboom.sla op() losgelaten, deze slaat alleen de laatst toegevoegde generatie op. Door nu achtereenvolgens gen uitwisseling, bereken CAMFR, sorteer toegevoegde generatie en sla op te gebruiken loopt dit programma dan een cyclus door die overeenkomt met het gebruikte genetisch algoritme. 26

33 hoofdstuk 2 uitwisselingskans, mutatie... T, verschillende beginpopulatie T, zelfde beginpopulatie enkel mutatie enkel cross-over % kans % kans % kans % kans % kans willekeurige zoektocht Tabel 2.1: De beste genormaliseerde Transmissie naar de fundamentele mode bekomen bij verschillende uitwisselingspercentages Bespreking van de simulatie In deze paragraaf worden bepaalde parameters, zoals de uitwissselingskans van het GAs aangepast en gekeken naar hun invloed. Omdat standaard beginpopulaties willekeurig gekozen worden, beïnvloedt dit de simulatie. Verscheidene simulaties zijn dan ook uitgevoerd waarbij vertrokken wordt van dezelfde beginpopulatie. Het wordt echter telkens duidelijk aangegeven of vertrokken wordt van eenzelfde dan wel van een verschillende beginpopulatie. Er is gekozen voor het optimaliseren van een taper met 10 secties en maximale sectielengt L max = 2µm. Hierbij dient de grootte van de parameterruimte, voldoende groot te zijn om een duidelijk verschil te verkrijgen met een ander zoekalgoritme. Een te grote parameterruimte resulteert dan ook weer in een tragere convergentie. Dit tegen elkaar afwegen levert dan het aantal secties, zijnde 10. Na het berekenen van 2500 generaties worden alle optimalisaties stopgezet. Dit betekent evenwel dat er telkens = 5100 exemplaren zijn berekend. Tabel 2.1 geeft dan de beste vermogentransmissie bekomen bij verschillende GA s na 2500 generaties. Er wordt vooral gekeken naar de invloed van de uitwisselingskans. Ook wordt gekeken naar zowel een willekeurige zoektocht, als naar een algoritme met alleen maar cross-over of mutatie. Deze laatste komt overeen met een GAs met een uitwisselingskans van 0 %. Ook wordt een onderscheid gemaakt tussen vertrekken van eenzelfde beginpopulatie en een verschillende beginpopulatie. De willekeurige zoektocht bestaat simpelweg uit het berekenen van 5100 exemplaren. Er valt direct op dat eender welk algoritme stukken beter presteert dan het willekeurig zoeken in de zoekruimte. Een andere opmerking die kan gemaakt worden is dat bij laag uitwisselingspercentage ook goede, zoniet betere resultaten bekomen worden dan bij 50 %. Het goede resultaat bij enkel cross-over vertrekkende van eenzelfde beginpopulatie valt ook op. Er dient evenwel opgemerkt te worden dat dit GA geconvergeerd is. Na generatie 1950 blijken alle 100 exemplaren die kunnen dienen als ouder precies hetzelfde zijn. Verbetering zal dus niet meer mogelijk zijn. Van de andere GA s kan dit evenwel nog altijd verwacht worden. Figuur 2.13 zet het bekomen resultaat van tabel 2.1 dan uit in functie van het uitwisselingskans. Ook 27

34 hoofdstuk 2 (a) Verschillende beginpopulatie, voor verschillende uitwisselingskans wisselingskans (b) Zelfde beginpopulatie, voor verschillende uit- Figuur 2.13: Vermogentransmissie naar fundamentele mode, voor ofwel dezelfde beginpopulatie ofwel verschillende beginpopulatie wordt op deze grafiek de beste vermogentransmissie van de begingeneratie gegeven. Een uitwisselingspercentage van 0% betekent dus dat er alleen mutatie optreedt. Dit wordt gedaan voor zowel een verschillende als voor een zelfde beginpopulatie. Er valt op dat het beste resultaat wordt bekomen bij een uitwisseling rond de 10, 20 %. Het goede resultaat van de zoektocht zonder mutatie bij eenzelfde beginpopulatie verdient wat meer aandacht. Figuur 2.14 zet de evolutie van de beste vermogentransmissie in functie van het aantal berekende generaties. Er is te zien dat het algoritme zonder mutatie veel sneller betere waardes aanneemt. Bij het algoritme zonder mutatie bezit de populatie evenwel na generatie 1950 geen verschillende exemplaren meer. Bij het algoritme met mutatie is dit nog lang niet het geval. Dit betekent dat hieruit mogelijk betere waardes kunnen komen. Figuur 2.15 laat dan de evolutie van de beste vermogentransmissie zien voor verschillende uitwisselingskans. Hier geldt dat bij een hoger uitwisselingspercentage een tragere stijging van deze transmissie wordt vastgesteld dan bij een lager uitwisselingspercentage. Dit is vooral zichtbaar tussen 40 en 50 %. Na een tijdje haalt het algoritme met 50 % uitwisseling evenwel dit van 40 % in. Uit deze resultaten kan, weliswaar voorzichtig, geconcludeerd worden dat kleinere uitwisselingskansen snellere verbetering leveren van de fitheid. Hierbij dient immers de kanttekening gemaakt te worden dat het GA een stochastisch karakter heeft. Om deze conclusie verder te staven zouden de optimalisaties verscheidene keren gedaan moeten worden. 2.5 Conclusies betreffende genetische algoritmes In dit hoofdstuk is de basis gelegd voor het genetische algoritme waarmee verschillende koppelstructuren worden geoptimaliseerd. Het basisprincipe van een genetisch algoritme bleek evenwel verbazing- 28

35 hoofdstuk 2 Figuur 2.14: De evolutie van de de beste vermogentransmissie uitgezet voor een genetisch algoritme met 50% uitwisseling. Het verschil zit hem in wel of geen mutatie Figuur 2.15: De evolutie van de beste vermogentransmissie uitgezet voor een GA bij 20,40 en 50% uitwisselingskans 29

36 hoofdstuk 2 wekkend simpel te zijn. Een groot nadeel van deze methode is echter het ontbreken van een wiskundige basis. In de voorlaatste paragraaf werd dan getracht de invloed van enkele parameters na te gaan. Deze analyse is evenwel gedaan nadat de tapers die worden gezet op het masker reeds bepaald zijn! Voor de optimalisatie van de tapers is dus een uitwisselingskans van 50% gebruikt. Ook wordt hierbij dus de mutatie beschreven in subparagraaf gebruikt. Uit verschillende simulaties kan dan geformuleerd worden dat kleinere uitwisselingskansen aanleiding geven tot snellere verbetering van de transmissie. Hierbij dient evenwel de kanttekening gemaakt te worden dat een GA een stochastisch karakter heeft. Deze resultaten zouden dus in feite nogmaals herhaald moeten worden om deze bewering te staven of te ontkrachten. Ook geldt dat deze vaststelling maar geldt bij de bekeken fitheidsfunctie, zijnde de vermogentransmissie van een taper met 10 secties. Om na te gaan of een GA met grotere uitwisselingskans uiteindelijk betere transmissies zou opleveren dan eentje met kleinere uitwisselingskans dienen deze simulaties nog langer te draaien. Hoewel genetische algortimes reeds worden losgelaten op veel optimalisatieproblemen, dient dus toch nog onderzoek in dit algoritme gestoken te worden. 30

37 Hoofdstuk 3 Bespreking van de koppelstructuur 3.1 Algemene Bespreking In het vorige hoofdstuk staat te lezen hoe een genetisch algoritme de Breedte en Lengte van een taper kan optimaliseren om een zo n groot mogelijke vermogentransmissie tussen de fundamentele modi te verkrijgen. Deze optimalisatie gebeurt weliswaar in 2d. Vijf geoptimaliseerde structuren zijn te zien op de figuren 3.1(a)-(e). De precieze waarden van de lengtes en breedtes hiervan staan ter volledigheid in bijlage B. De beste structuur van deze 5 tapers heeft 10 secties met een maximale sectielengte van 5 µm. Deze structuur wordt gebruikt als basis voor een verbetering van de transmissie van 2 andere structuren. Deze optimalisatie levert dan de figuren 3.1(f)-(g). Het begrip maximale sectielengte L max, gebruikt in het genetisch algoritme, valt bij de optimalisatie tot deze structuren weg. Dit algoritme dat leidt tot 3.1(f) en (g) wordt besproken in een volgende paragraaf. Een vergelijking met een lineaire taper gebeurt dan in paragraaf 3.3. In de voorlaatste paragraaf worden dan enkele eigenschappen onderzocht van een goede koppelstructuur. Het doel hiervan is enkele belangrijke kenmerken van deze structuur te bepalen. Een korte samenvatting van de belangrijkste besluiten gebeurt dan in de laatste paragraaf. In de laatste paragraaf worden deze resultaten vergeleken met simulaties in 3d. Deze simulaties in 3d gebeuren in FIMMWAVE. Ook wordt getracht deze structuren nog lokaal te optimaliseren in 3d m.b.v. KALLISTOS, een optimalisatietool die bij FIMMWAVE hoort. Deze 7 structuren zullen dan ook gebruikt worden als basis van het sample. Er moet hierbij vermeld worden dat er een compromis dient gezocht te worden tussen lengte en transmissie. Naarmate de structuren langer worden, is de transmissie beter. Het verschil met de lineaire adiabatische taper wordt dan echter kleiner. 31

38 hoofdstuk 3 (a) structuur 3 secties, L max = 10µm, T = (b) structuur 15 secties, L max = 2µm, T = 77.6% 65.8% (c) structuur 5 secties, L max = 10µm, T = (d) structuur 10 secties, L max = 5µm, T = 78.6% % (e) structuur 10 secties, L max = 2µm, T = 78.8 (f) structuur 40 secties, figuur (d) geoptimaliseerd met L vast = 1µm, T = 90.4 % % (g) structuur 40 secties, figuur (d) geoptimaliseerd met L variabel, T = 95.4 % Figuur 3.1: Structuren met hoge vermogentransmissie tussen de fundamentele modi in 2D 32

39 hoofdstuk 3 (a) Het onderverdelen van een sectie in 2 gebieden (b) Het berekenen van 2 naburige punten levert een minimum voor de centrale parameterwaarde. (c) Het rechtse naburige (d) Het links naburige punt (e) Het berekenen van 2 punt heeft een betere transmissie. maximum. Nu wordt het heeft een betere transmissie. naburige punten levert een proces herhaald voor een volgende parameter. Figuur 3.2: Een iteratief proces om de structuur uit figuur 3.1(b) te verbeteren 33

40 hoofdstuk Verbeteren van de transmissie van de structuur uit figuur 3.1(d) De verbetering van de transmissie van figuur 3.1(d) gebeurt door middel van een proces geschetst op figuur 3.2. Er wordt dus vertrokken van figuur 3.2(a). De 1 ste sectie wordt in 2 gelijke delen verdeeld. I.p.v. 2 parameters worden dan 4 parameters verkregen. Elk van deze parameters ondergaat een optimalisatie zoals geschetst op figuur 3.2(b)-(e). Twee naburige punten aan weerszijden van een parameterwaarde worden berekend. De afstand tussen 2 punten is hierbij 25 nm. Is er een maximum bereikt dan wordt overgegaan naar een andere parameter. Indien evenwel een uitslag zoals op figuur 3.2(b) (c) of (d) wordt bekomen wordt in de richting van de maximale transmissie gezocht. Dit gaat door tot een maximum bepaald is. Hierna wordt de volgende parameter genomen. Alle lengte- en breedte-parameters worden doorlopen van links naar rechts. Het valt direct op dat dit proces geen garantie geeft tot een maximum. Er mag zelfs niet geconcludeerd worden dat een lokaal maximum verkregen wordt. Dit lokaal maximum kan wel benaderd worden door het proces op figuur 3.2(b)-(e) nogmaals te doorlopen voor alle parameters. Dit gebeurt wel zonder het aantal secties te vermeerderen. Hierdoor kan convergentie optreden naar een lokaal maximum. Dit iteratief optimalisatieproces neemt wel zeer veel berekeningen in. Om deze reden wordt de stappen (b) - (e) slechts 1 keer uitgevoerd bij elke verdubbeling van het aantal parameters. Figuur 3.1(g) is dan bekomen door dit proces van stap (a) naar (e) uit te voeren op alle secties. Door dit proces een 2 de keer te doorlopen worden i.p.v. 10 secties 40 secties bekomen. Figuur 3.1(f) is ook bekomen door dit proces 2 keer uit te voeren. Hierbij is evenwel de lengte van elke sectie de 1 ste keer vastgehouden op 2µm. De 2 de keer wordt de lengte van het verdubbeld aantal secties op 1µm geplaatst. 3.3 Vergelijking met een lineaire taper Figuur 3.3 toont de genormaliseerde vermogentranmissie tussen de fundamentele modi. Hierbij valt al duidelijk op dat de compacte taper qua simulaties betere resultaten geven dan de adiabatische lineaire taper. Uit deze figuur kunnen evenwel nog andere conclusies getrokken worden. Het vergelijken van (b) en (c), (d) en (f) ofwel (a) en (e) leert dat voor gelijke taperlengte meer secties grotere transmissiewaardes geeft. Een andere conclusie die mogelijk kan getrokken worden is dat voor een gelijk aantal secties een variabele lengte van elke sectie ook hogere transmissiewaarden geeft, zelfs bij kleinere afmetingen. Dit volgt uit (f) en (g). Hierbij dient evenwel opgemerkt te worden dat (f) en (g) uit de procedure besproken in paragraaf 3.2 komen. Dit betekent dat zowel de taper met vaste sectielengte als de taper met variabele sectielengte in een lokaal optimum kunnen vastzitten. Het is dus mogelijk dat deze hogere transmissiewaarden kunnen halen. Een zoektocht in een 80 dimensionale ruimte zou evenwel immens veel tijd in beslag nemen. Er dient hier wel opgemerkt te worden dat deze conclusies in feite slechts gelden voor de 7 tapers hier 34

41 hoofdstuk 3 (a) Zowel een lineaire taper als de structuren uit figuur 3.1 uitgezet in functie van lengte. Taper aantal secties maximale lengte van elke sectie [µm] (a) 3 10 (b) 15 2 (c) 5 10 (d) 10 5 (e) 10 2 (f) 40 vaste sectielengte : 1µm (g) 40 geen bovengrens gedefiniëerd (b) Verklaring (a)-(g) Figuur 3.3: Zowel een lineaire taper als de structuren uit figuur 3.1 uitgezet in functie van lengte. 35

42 hoofdstuk 3 besproken. Deze resultaten geven toch een sterke indicatie voor de getrokken conclusies. 3.4 Analyse van een efficiënte compacte taper Er is gekozen voor een analyse van de meest efficiënte koppelstructuur, zodanig dat deze de ideale genormeerde transmissie van 1 zo dicht mogelijk benadert. Als koppelstructuur is daarom voor figuur 3.1(d) gekozen. Deze heeft in 2d een transmissie die vrij dicht bij 90 % komt. Alle simulaties in deze paragraaf zijn uitgevoerd in 2d. Dit is weeral gedaan omwille van de aanzienlijke simulatietijd. In een 1 ste paragraaf is gekozen voor het plotten van het veld. Dit veld blijkt evenwel zeer grillig, waaruit moeilijk conclusies kunnen getrokken worden. In de volgende subparagraaf wordt dan onderzoek gedaan naar de invloed van de brekingsindex van de core. I.p.v. dus de brekingsindex van de core gelijk te stellen aan de waarde die volgt uit de effectieve indexmethode wordt deze brekingsindex dus gevarieerd. In de daaropvolgende subparagraaf wordt gekeken naar de invloed van de variatie van een breedteof lengte-parameter op de vermogentransmissie. Een onderzoek naar reflecties in de structuur wordt gedaan in de 4 de subparagraaf Veldplot van een efficiënte taper Op figuur 3.4 wordt een plot gemaakt van het veld op 2 mogelijke manieren. De 1 ste manier, 3.4(a) plot simpelweg de reële waarde van het veld. Dit laat dan ook vrij duidelijk het fasefront zien van het veld. Op deze figuur is ook duidelijk te zien dat naarmate het veld dichter bij de uitgangsgolfgeleider komt het bleker en dus zwakker is. Dit is te begrijpen omdat naarmate het veldprofiel breder wordt, het veld minder sterk wordt. De 2 de veldplot laat zien hoeveel % van het vermogen zich bevindt tussen de lijnen. Er is gekozen voor een equidistante stap, dus tussen 2 lijnen bevindt zich 20 % van het vermogen in de bovenste helft. Gezien de symmetrie betekent dit dus dit overeenkomt met 10% van het vermogen in de volledige structuur. De zeer snelle fluctuaties op deze figuur hebben meer te maken met afrondingsfouten van het contourplotprogramma dan met fysische fluctuties. Op deze figuur wordt snel duidelijk dat zich in dit patroon eilandjes bevinden met een lage veldsterkte. Dit zijn op figuur 3.4(a) de blekere delen, op figuur 3.4(b) is te zien als 2 lijnen sterk uit elkaar liggen. Als tweede kan opgemerkt worden dat het veld al zeer vlug evenwijdige fasefronten verkrijgt Invloed van de brekinsindex van de core Er wordt dus vertrokken van een structuur equivalent aan figuur 2.3. In plaats van echter de brekingsindex gelijk te stellen aan wordt deze hier opgevat als een variabele. Het resultaat staat te zien op figuur 3.5. Er wordt direct opgemerkt dat de transmissie vrijwel onveranderd blijft als λ n core = C te. Een theoretische verklaring kan gegeven worden door enkele veronderstellingen. Als eerste wordt ondersteld dat gewerkt wordt onder MMI-condities. Er bevindt zich dus geen veld buiten de structuur. Een volledige afleiding van de eigenmodi en propagatieconstanten onder deze voorwaarde gebeurt in de cursus [1]. 36

43 hoofdstuk 3 (a) Veldplot: hoe lichter van kleur, hoe kleiner reële veldwaarde. Ook wordt hierop het fasefront duidelijk. (b) Contourplot: binnen de aangegeven lijnen gaat een zeker percent van het vermogen. Figuur 3.4: Een plot van zowel de taper met 10 secties uit figuur 3.1(d), als de iets betere versie van 40 secties, figuur 3.1(g). 37

44 hoofdstuk 3 Figuur 3.5: De transmissie in functie van de brekingsindex van de core en de golflengte Het veld in de structuur wordt beschreven door een scalair Ψ(x, z). Dit veld kan op een willekeurige plaats beschreven worden als een superpositie van de eigenmodi van de sectie waarin het zich bevindt. Leg nu z = 0 samen met het begin van een willekeurige sectie met breedte B en lengte L. Het inkomend veld Ψ(x, 0) kan dan ontbonden worden in de eigenmodi ψ(x) van deze sectie met breedte B. Ψ(x, 0) = i c i ψ(x) (3.1) Dit inkomend veld laten we nu verder propageren tot een willekeurige z-waarde binnen deze sectie. Ψ(x, z) = i c i ψ(x)e jβ iz (3.2) = e jβ 0z i c i ψ(x)e j(β i β 0 )z (3.3) i(i + 2)π β 0 β i = (3.4) 3L π L π = 4n coreb 2 (3.5) 3λ 0 Hierbij wordt dan volgend resultaat bekomen na propagatie door een sectie met lengte L: Ψ(x, L) = e jβ 0z i c i ψ(x)e j i(i+2)π 3Lπ L (3.6) Deze afleiding kan toegepast worden op eender welke sectie. Telkens volgt hieruit dat λ n core nergens 38

45 hoofdstuk 3 (a) 1 ste sectie, Optimale L = 4.55 µm. (b) 6 de sectie, Optimale L = 2.95 µm. (c) 10 de sectie, Optimale L = 4.5 µm. Figuur 3.6: Transmissie in functie van de lengtes van secties van de taper uit figuur 3.1(d). apart voortkomen, wat dus figuur 3.5 verklaart. In deze afleiding is telkens gebruik gemaakt van enkel voorwaarts propagerende modi. Het is evenwel mogelijk door het toevoegen van telkens een term c i ψ(x)e+jβ iz deze afleiding uit te breiden met ook achterwaarts propagerende modi Invloed van de lengte-en breedte-parameters op de vermogentransmissie In deze paragraaf wordt dan de invloed van zowel de lengtes als de breedtes op de vermogentransmissie onderzocht fundamentele modi. Indien de waardes van de lengtes worden gewijzigd wordt figuur 3.6 bekomen. Hierop is duidelijk een piek te zien welke ligt rond de optimale Z, de optimale lengte van die sectie dus. Ook zijn uit deze grafieken af te leiden dat de transmissie het meest gevoelig is aan wijzigingen aan de linkerkant. Dit is de kant van de smalle golfgeleider. Hetzelfde wordt nu gedaan voor de breedte van een sectie. Het valt direct op dat de piek rond het optimale resultaat minder sterk uitgesproken is dan bij de lengtes. Ook lijkt het vermogen vanaf een bepaalde breedte niet meer af te nemen. Een andere belangrijke opmerking is de invloed van de breedte op de uitsteeksels van figuur 3.1(d). Deze lijken ongevoelig voor verandering van deze parameter. Dit is evenwel schijn. Bij het veranderen van meerdere parameters zal het vermogen echter sterk verzwakken. Het veranderen van de waarden van deze brede secties tot bv. B 5 = 6.3µm en B 8 = 5µm, een wijziging van een kleine µm, levert een daling van T naar 0.8. Om evenwel een goed beeld te krijgen zou een 3d plot van 2 parameters en de transmissie aangewezen zijn. Er zijn evenwel 20 parameters. Er zou dus een keuze moeten gemaakt worden welke parameters gewijzigd worden gezien het grote 39

46 hoofdstuk 3 (a) 2 de sectie, Optimale B = 2.0 µm. (b) 5 de sectie, Optimale B = 5.70 µm. (c) 8 ste sectie, Optimale B = 4.80 µm. (d) 10 de sectie, Optimale B = 4.75 µm. Figuur 3.7: Transmissie in functie van de breedtes van secties van de taper uit figuur 3.1(d). aantal combinaties Reflecties in de structuur Een belangrijke conclusie is te halen uit de reflectie aan de overgang tussen secties. Een andere belangrijke conclusie is te halen door te kijken naar het vermogen gedragen door de stralende modi. Om deze berekeningen te doen is het weliswaar nodig om het aantal berekende modi per sectie gelijk te stellen aan 150. Indien minder wordt onrealistisch veel vermogen gedragen door de stralende modi. Het resultaat is te zien in figuur 3.8. Slechts enkele percenten van het vermogen gaat naar de reflecterende en stralende modi! Deze belangrijke conclusie leert dus dat de geleidende modi al het vermogen dragen in deze structuur. 3.5 Overstap naar 3d simulaties In deze paragraaf worden dan verscheidene simulaties uitgevoerd in 3d. Deze 3d simulaties gebeuren volledig vectorieel en worden uitgevoerd in FIMMWAVE. Dit programma werkt volgens dezelfde principes als CAMFR. Een groot verschil is evenwel het ontbreken van PML. Als eerste wordt de vermogentransmissie uit de 2d simulaties vergeleken met deze uit de 3d simulaties. Daarnaast wordt in de volgende subparagraaf een golflengtesweep gedaan in een golflengtegebied van 40

47 hoofdstuk 3 Figuur 3.8: Vermogen gedragen door gereflecteerde modi en stralende modi taper Transmissie 2d [%] Transmissie 3d [%] Verbetering Kallistos? (a) 3 secties, L max = 10µm neen (b) 15 secties, L max = 2µm ja, + 4 % (c) 5 secties, L max = 10µm neen (d) 10 secties, L max = 5µm neen (e) 10 secties, L max = 2µm neen Tabel 3.1: De transmissie tussen de fundamentele modi in 3d (na optimalisatie) vergeleken met 2d λ = 1.5µm tot λ = 1.62µm. Voor WDM toepassingen is het immers nodig dat in een golflengte-interval van ongeveer 35 nm rond λ = 1.56µm de vermogentransmissie voldoende hoog blijft Vermogentransmissie in 3d In deze subparagraaf wordt de vermogentransmissie van de simulaties in 2d vergeleken met simulaties in 3d. Er wordt ook getracht nog een lokale optimalisatie te doen in 3d. Hiervoor bezit FIMMWAVE KALLISTOS, een optimalisatieprogramma dat zowel lokaal als globaal kan optimaliseren. Een globale optimalisatie is evenwel niet mogelijk in KALLISTOS. Globaal werkt KALLISTOS met de methode Branch and bound, zoals besproken in paragraaf 2.4. Voor een taper met 10 secties zou dit dus teveel tijd in beslag nemen. Tabel 3.1 laat de resultaten van de berekening van de structuren uit figuur 3.1(a)-(d) in Fimmwave 3d zien. Daarnaast geeft deze tabel de verbetering door KALLISTOS weer. Het valt direct op dat de meeste structuren een daling kennen van de vermogentransmissie. De structuren blijven echter ook in de 3d simulatie een behoorlijke transmissie te hebben. Er valt eveneens af te leiden dat KALLISTOS niet in staat de resultaten lokaal te kunnen verbeteren. 41

48 hoofdstuk 3 (a) Taper: 10 secties, L max = 2µm (b) Taper: 10 secties, L max = 5µm Figuur 3.9: Frequentiescan van de vermogentransmissie naar de fundamentele mode bij compacte tapers Frequentiescan van 1500 tot 1620 nm Figuur 3.9 laat het verschil zien tussen een golflengtesweep in 2d en 3d. Een verschuiving naar links is duidelijk te zien op figuur 3.9(b). Figuur 3.9(a)is evenwel moeilijker te interpreteren. Een verklaring van de verschuiving op figuur 3.9(b) zou kunnen gevonden worden in de overschatting van n core in 2d door de effectieve indexmethode. In subparagraaf staat te lezen dat eenzelfde vermogentransmissie wordt bekomen bij constante verhouding van λ en n core. Hierbij komt n core dus uit de effectieve indexmethode. Er is aangetoond geweest dat deze leidt tot een overschatting van n core in 2d. Bij kleinere brekingsindices in 3d zal dus een gelijke tranmissie gevonden door een verschuiving naar kleinere golflengtes. Figuur 3.9(a) is hier echter niet mee te verklaren. Een ander probleem is dat bij bredere golfgeleiders zoals hier gebruikt, er in feite slechts een zeer kleine overschatting is van deze brekingsindex. Een andere zeer belangrijke vaststelling is dat de vermogentransmissie vrij constant blijft voor het golflengtebereik. Deze berekeningen kunnen ook gedaan voor de andere 5 tapers uit figuur 3.1. Voor de simulaties in 2d geldt dat deze vrij constant blijven in het golflengtegebied. Simulaties in 3d zijn hier echter niet op uitgevoerd. 3.6 Conclusies betreffende de simulaties van de compacte koppelstructuren Door gebruik te maken van een genetisch algoritme werden 5 compacte koppelstructuren gevonden. Een van deze vijf structuren werd daarna verder geoptimaliseerd door een deterministisch optimalisatiealgortime. Hieruit volgden 2 nieuwe exemplaren. Deze 7 koppelstructuren werden zowel onderling als met adiabatische tapers vergeleken in een 2d simulatie. Hieruit kon besloten worden dat bij eenzelfde lengte de koppelstructuur beter presteert dan een adiabatische taper. Bij constant aantal secties bleek de koppelstructuur met variabele sectielengte beter te presteren dan een structuur met vaste sectielengte. Ook kon hieruit afgeleid worden dat naarmate het aantal secties steeg bij eenzelfde lengte de vermogentransmissie ook groter is. 42

49 hoofdstuk 3 Er is in dit hoofdstuk aangetoond dat deze koppelstructuren wel degelijk korter zijn dan de adiabatische structuren. Voor een gelijk aantal secties steeg de vermogentransmissie naarmate deze structuren langer werden. Het onderzoeken van één van deze structuren leverde interessante zaken op. In deze structuur treedt geen reflectie op en vrijwel al het vermogen wordt gedragen door de geleidende modi van de secties. In de laatste paragraaf kon besloten worden dat deze structuren de overgang naar een 3d simulatie goed overleefden. Ook werd hierin besloten dat deze structuren een vrij constante vermogentransmissie hebben. 43

50 Hoofdstuk 4 Bouw en uitmeten van een sample 4.1 Inleiding In dit praktisch hoofdstuk wordt het maken en uitmeten van verscheidene samples besproken. Deze samples worden gemaakt op basis van de 7 tapers verkregen in hoofdstuk 3. Deze staan ook geschetst op figuur 3.1. Deze 7 tapers dienen dan als basis van verschillende structuren op het sample. Hierbij wordt van elke taper verschillende lichtjes gewijzigde exemplaren geplaatst op dit sample. Deze wijzigingen dienen om kleine variaties, fouten, die kunnen optreden bij de fabricage op te vangen. Na de fabricage worden deze samples dan uitgemeten en de resultaten besproken. De structuur van dit hoofdstuk is dan ook gebaseerd op deze route. Eerst wordt de fabricagetechnologie besproken. Dit proces bestaat uit optische lithografie en een droog-ets proces. In de 3 de paragraaf wordt dan het maskerontwerp besproken. Hierbij wordt aandacht besteed aan de mogelijke variaties die deze fabricage-onzekerheden opvangen. In de 4 de paragraaf wordt dan de meetopstelling en meettechniek besproken. De resultaten worden daarop besproken. 4.2 Fabricage van het sample Er wordt vertrokken van een GaAs-wafer met een diameter van 2 inch. Op deze kristallijne wafer worden dan 2 epitaxaallagen aangebracht door Metal Organic Chemical Vapour Deposition. (MOCVD) Bovenop het GaAs-substraat komt een Al x Ga 1 x As-laag van 700nm en daarboven een GaAs-laag van 240GaAs. Hierbij dient x groter te zijn dan 0.9. Dit dient om in een latere stap dit Al x Ga 1 x As te kunnen oxideren naar AlOx. Van deze wafer wordt een vierde gebruikt als basis van de samples. De eerste stap die wordt toegepast op deze kwart wafer is het aanbrengen van foto-resist, een fotogevoelige lak. Deze resist dient zo planair mogelijk worden aangebracht. Dit wordt gedaan door de resist aan te brengen in 2 stappen. De 1 ste stap bestaat uit het aanbrengen van een druppel resistoplossing op het te maken sample. Deze resistoplossing bestaat uit de aan te brengen resistlaag en een organisch oplosmiddel. Om deze resistoplossing zo homogeen mogelijk te brengen wordt het plaatje zeer snel rondgedraaid, waardoor de resist zich homogeen verdeelt. Dit plaatje wordt op zijn plaats gehouden 44

51 hoofdstuk 4 (a) MOCVD, hier voorgesteld voor 2 elementen (b) Het belichten van de fotolak (c) Ontwikkelen van de positieve resist RIE (d) Droog etsen gebaseerd op bij contactlithografie Figuur 4.1: Fabricage van een sample door contactlithografie en natte RIE ets 45

52 hoofdstuk 4 door een vacuüumhouder. Hierna moeten de oplosmiddelen verwijderd worden dooor de lak uit te bakken. Nu is het plaatje klaar voor de lithografie, het aanbrengen van een patroon in de fotogevoelige lak. Bij deze lithografie wordt gebruik gemaakt van een masker. Dit masker is gemaakt door een patroon met E beam aan te brengen in een laag chroom op een glazen plaat. Eerst wordt dit masker gealigneerd met een welbepaalde kristalrichting van het plaatje. Dit is mogelijk omdat GaAs zeer precies klieft volgens zijn hoofdrichtingen. In deze thesis wordt contactlithografie gebruikt. Hierbij wordt dan het plaatje tegen het masker aangedrukt. Hierna wordt het bestraald met een golflengte van 306 nm. De bron hiervoor gebruikt is een hogedrukkwiklamp. Hierbij worden weliswaar filters gebruikt die de andere golflengte wegfilteren. Na het belichten is de samenstelling van de belichte delen verschillend van de niet-belichte gebieden. Het plaatje wordt hierna ondergedompeld in een oplosmiddel. Hierbij lost het niet beschenen gedeelte minder snel op dan het wel beschenen gedeelte. Dit betekent dat dus dat er een patroon overblijft dat overeenkomt met de niet beschenen gedeeltes. Dit wordt ook wel positieve resist genoemd. Nu dient uiteraard nog het patroon in het sample zelf geëtst te worden. Hiervoor is een droge ets gebruikt, meer bepaald reactive ion etching RIE. Hierbij wordt het sample samen met een inert gas en met het gas SiCl 4 in een vacuümklok gebracht. Door een hoogfrequente spanningsbron aan te leggen is het mogelijk een plasma te crëeren. Door het sample onder een spanning te leggen worden de ionen versneld naar het sample. Hierbij worden dan stukken weggeslagen uit dit sample. Gezien de etsdiepte hier slechts 1µm is, betekent dit dat er nog niet doorheen de resist is geëtst. Een voordeel is dat er weinig boven- of onderets optreedt. Als laatste dient nog de Al x Ga 1 x As geoxideerd te worden tot AlOx. Dit gebeurt door het sample te zetten in een oven op 600 C met waterdamp gevuld. 4.3 Structuur van het masker De verschillende tapers op het sample zijn dus gebaseerd op de 7 tapers te zien in figuur 3.1. De variaties die kunnen optreden met het sample worden in deze paragraaf worden besproken. Als laatste wordt dan de algemene structuur van het sample overlopen. De fabricagevariaties die in rekening zijn gebracht zijn zowel de brekingsindex van AlOx, variaties op het masker als de onderets. Hoewel van het gebruikte GaAs de brekingsindex vrij goed gekend is, is dit niet het geval van de cladding AlOx. In de vorige paragraaf wordt enigszins duidelijk waarom n GaAs beter gekend is dan n AlOx. De onzekerheid die op het masker en door onderets komt is geschetst is te zien op figuur 4.2. Deze onzekerheid is op te lossen door op het sample exemplaren mee te nemen waarvan zowel de lengte emphen breedte ofwel iets groter zijn ofwel iets kleiner. De andere fout is de fout op de brekingsindex van het AlOx materiaal. Het gebruik van de theorie uit subparagraaf levert inzicht op hoe deze fout kan opgevangen worden. Het veranderen van de 46

53 hoofdstuk 4 Figuur 4.2: Fouten die optreden door variaties op zowel masker als onderets brekingsindex van het AlOx zal resulteren in een wijziging van de brekinsindex n eim die volgt uit de effectieve index. Bij gelijke L λ 4n eim B 2 werden evenwel gelijke vermogentransmissies verkregen. Door nu ofwel alle breedtes ofwel alle lengtes van de secties met eenzelfde factor te vermenigvuldigen kan deze afwijking opgevangen worden. Tot nog toe is dus vastgesteld welke kleine variaties worden geplaatst op het sample. Daarnaast staan nog op een sample lineaire tapers en verscheidene rechte stukken. Dit resulteert in een masker dat eruit ziet als figuur 4.3. Er zijn 3 secties waarbij telkens van ofwel smal naar breed ofwel breed naar smal wordt gegaan. In elke sectie bevindt zich dan ook 1 taperstructuur. Elke sectie heeft een lengte van 3 mm. Dit betekent dat het masker een volledige lengte heeft van 9 mm. Door nu te klieven op de juiste plaats kunnen 3 samples verkregen worden. 4.4 Bekijken van de structuren onder een SEM Uit het bekijken van de structuren onder een SEM kunnen al bepaalde conclusies getrokken worden, aangaande de kwaliteit van het sample. Door een elektronenbundel te laten invallen op een sample dat gecoat is met goud kan een beeld worden geconstrueerd op basis van de secundaire elektronen. Gebonden elektronen van de goudkern worden door de invallende elektronen losgeslagen. Hierdoor komt een discreet energieniveau vrij waarnaar een ander gebonden elektron kan vervallen. De X-stralen die hierbij vrij komen worden gedetecteerd. Het is hiervoor dus wel nodig een goud-coating aan te brengen. Deze coating is evenwel slechts een 47

54 hoofdstuk 4 Figuur 4.3: Opbouw van het masker:het masker is opgebouwd uit 3 stukken van elk 3 mm. In elk stuk steekt 1 taper van smal naar breed. Ook lineaire adiabatische tapers met verschillende lengte en zowel smalle als brede golfgeleiders worden meegenomen. tiental nm dik. Andere onzekerheden om de rand exact te bepalen hebben een grotere invloed. Zie hiervoor de rand op de foto s. Er valt direct op dat de randen van de smalle en brede golfgeleider mooi gedefinieerd zijn. Op bepaalde plaatsen zijn er evenwel onvolmaaktheden te bespeuren. Ook valt op dat er afrondingen optreden aan de overgangen tussen verschillende secties. Theoretisch de invloed van deze afrondingen inschatten is evenwel vrij moeilijk. Er zijn dan ook op basis van deze SEM-gegevens metingen uitgevoerd om afwijkingen op de afmetingen van de structuur te bepalen. De breedte van een smalle golfgeleider is opgemeten. Ook de breedte van de breedste sectie van taper 4.4 is opgemeten en vergeleken met het theoretische resultaat. Dit is gedaan bij verschillende varianten van deze taper waarbij telkens de breedte is gevarieerd om variaties op n AlOx op te vangen. De metingen zijn gedaan volgens het principe geschetst op figuur 4.5. De buitenste grens van de witte rand wordt bepaald, de binnenste rand. Van deze twee waardes wordt dan het gemiddelde bepaald. Deze gegevens worden geschreven in tabel 4.1. Er valt op dat de gemiddele waarde van B kleiner is dan deze theoretisch gewenst. Het is echter niet bekend of de rand van deze geëtste structuren in het midden, dus het gemiddelde dan wel op de randen van de witte laag liggen. In feite wordt dus een foutenmarge verkregen ter waarde van de breedte van die rand. 48

55 hoofdstuk 4 (a) 1 taper, 10 secties, L max = 2µm (b) 1 taper, 5 secties, L max = 5µm (c) 1 taper, 40 secties, L vast = 1µm, (d) 1 taper, 15 secties, L max = 2µm (e) 6 tapers, 40 secties met variabele lengte (f) Lineaire tapers met lengtes, van beneden naar boven: 12.5µm, 25µm, 50µm, 100µm, 200µm Figuur 4.4: Verschillende SEM foto s genomen van een sample 49

56 hoofdstuk 4 Figuur 4.5: Het vergelijken van de theoretische breedte met de effectieve breedte Smalle golfgeleider taper 4.4(a) afwijking [%] B verwacht [µm] B max [µm] B min [µm] B gemiddeld [µm] (6) (5) (4) Tabel 4.1: De verkregen waardes voor de breedte van een smalle golfgeleider en de breedste sectie van taper 4.4(a) vergeleken met de theoretische waarde. 50

57 hoofdstuk 4 (a) Opstelling (b) Inkoppeling m.b.v. lensed fiber naar de smalle golfgeleider op substraat, uitkoppeling naar objectief vanuit de brede golfgeleider op substraat Figuur 4.6: Opstelling 4.5 Metingen Meetopstelling Na het klieven van het sample in 3 delen dienen deze nog uitgemeten worden. Dit wordt gedaan met een opstelling analoog aan figuur 4.6(a). Hierbij wordt de golflengte van de afstembare laser gesweept met behulp van een PC. Het golflengtebereik ligt tussen 1500 en 1620 nm. De inkoppeling van het laserlicht gebeurt door een lensed fiber, de uitkoppeling gebeurt door een objectief. Het laserlicht wordt voor de inkoppeling gepolariseerd. Dit zorgt ervoor dat enkel de quasi-te modi worden geëxciteerd. De positionering van deze lensed fiber en uitkoppelobjectief gebeuren door xyz-translatietafels. De positionering van de lensed fiber kan zeer precies gebeuren door de piezocontrollers. Het uitgekoppelde licht kan gevisualiseerd worden met behulp van de de infraroodcamera en de monitor. Het opmeten gebeurt door een wegklapbare vermogenmeter. Het diafragma dient om ongewenst invallend licht uit te sluiten. Het opmeten gebeurt dan automatisch door aansturing van de laser door de PC. Figuur 4.6(b) geeft een schematische voorstelling van het in- en uitkoppelen. Het inkoppelen gebeurt vanuit de lensed fiber in de smalle golfgeleider van het sample. Door zeer nauwkeurig het maximum op te zoeken van de transmissie m.b.v. piëzocontroller bij gegeven golflengte kan enkel de excitatie van de fundamentele mode bekomen worden. Indien de lensed dus mooi gepositioneerd staat t.o.v. het midden van de smalle golfgeleider wordt immers het meeste licht ingekoppeld. Deze symmetrie zorgt er dus voor dat alleen de fundamentele mode, welke even is in H y, wordt geëxciteerd. Deze methode kan niet gebruikt worden bij meten van breed naar smal. Hierbij worden telkens hogere orde modi geëxciteerd op een niet reproduceerbare manier. Het uitkoppelen gebeurt vanuit de brede golfgeleider naar het diafragma. 51

58 hoofdstuk Fabry-Perot meetmethode De vermogenmeting dient te gebeuren op basis van de Fabry-Perot methode. Deze methode laat toe op basis van relatieve transmissiemetingen toch parameters te halen. Absolute transmissiemetingen, waarbij simpelweg de verschillende uitgaande vermogens van verschillende tapers bij eenzelfde inkomend vermogen worden vergeleken, zijn niet nauwkeurig. Het eerste probleem is immers de excitatie van het substraat en de lucht. Een groot gedeelte van het vermogen gaat immers naar zowel de lucht als het substraat. Om deze reden dient een diafragma geplaatst te worden die deze ongewenste effecten uitfiltert. Deze uitfiltering is evenwel nooit perfect. Ook zal er altijd een onzekerheid op het inkoppelen blijven bestaan. Deze problemen worden opgelost door de Fabry-Perot methode. Deze methode gaat uit van de monomodaliteit van de golfgeleiders. Ze veronderstelt dat reflecties ontstaan aan de facetten. Deze kunnen beschouwd worden als halfdoorlatende spiegels. Op basis van deze veronderstellingen kunnen dus uit de smalle golfgeleiders materiaalparameters gehaald worden. Een belangrijke parameter is het verlies in de smalle golfgeleider. Het verlies van een brede golfgeleider is te verwaarlozen in vergelijking met deze golfgeleider. Op basis hiervan zou dan de transmissie van de koppelstructuur bepaald kunnen worden. In het volgend stuk worden de formules bepaald voor gebruik bij deze methode. Opbouw van het model De facetreflectie zorgt dus voor longitudinale interferentie. 1 Een andere term hiervoor is Fabry-Pérot interferentie. Door deze interferentie zou het mogelijk zijn de transmissie van een koppelstructuur te bepalen. De afleiding van deze formule vertrekt van een simpel model. In dit model wordt een vlakke golf door een oneindig uitgestrekte plaat met reële brekingsindex gestuurd. Een schets hiervoor is figuur 4.7(a). Verliezen in de structuur worden daarna ingevoerd. Een uitbreiding naar een monomodale golfgeleider kan vrij makkelijk gebeuren door het aanpassen van de brekingsindex. Zo n structuur wordt geschetst in figuur 4.7(b). De laatste uitbreiding die gebeurt is het invoeren van een koppelstructuur. Afleiden van Fabry-Pérot formule Het vertrekpunt van deze afleiding is figuur 4.7(a). Zowel in de richting loodrecht op het blad als in de x-richting is deze structuur invariant. Op deze plaat valt een vlakke golf ψ in = e jβz in die zich voorplant in de z-richting met golfgetal β = 2π λ n. Hierbij is dus n de brekingsindex van het materiaal waarin de golf zich voorplant. De evenwijdige stippellijnen op de figuur staan dan voor een vast fasefront van de vlakke golf. Zowel aan het 1 ste als aan het 2 de facet treden reflectie op. Als definitie van de amplitude reflectie- en transmissie-coëfficiënt wordt gewezen naar figuur 4.9(a). De reflectiecoëfficiënt van de veldamplitude aan de medium 1 naar medium 2 wordt r 12 e jφ 12 genoemd, voor de overgang van medium 2 naar medium 1 is dit r 21 e jφ 21. r 12 en r 21 zijn reëel. De zelfde notaties blijven voor de 1 Er treedt in de voortplantingsrichting, de z-richting dus, door de facetreflectie een weglengteverschil op. Dit wordt duidelijk in figuur 4.7. Dit zorgt dan voor longitudinale interferentie. 52

59 hoofdstuk 4 (a) Longitudinale interferentie bij een oneindige plaat golfgeleider (b) Longitudinale interferentie bij een optische Figuur 4.7: Fabry-Pérot effect (a) Overgang tussen 2 mediums (b) Voortplanting in homogeen medium Figuur 4.8: Matrixformalisme transmissiecoëfficiënten van de amplitude gelden. Dit geeft dus t 12 en t 21. Deze getallen mogen ook complex zijn. Er wordt dus ingevallen met een vlakke golf op de plaat. Het fasefront wordt algemeen beschreven door e jβz. Het veld dat wordt doorgelaten bij de eerste overgang is t 12 e jβz. Een methode om de vermogentransmissie te bepalen is het matrixformalisme. In figuur 4.8 staat dit geschetst. Bij de overgang tussen twee medium kan bewezen worden dat de inkomende en uitgaande velden te schrijven zijn als ψf i = Rij ψf j. Voor de voortplanting in een medium geldt dan ψi B ψj B weer ψf j = Tj ψf j. R 12 T2 R 21 geeft dan een matrix waaruit alle reflectie- en transmissieeigenschappen te bepalen zijn. Dit is echter niet zo inzichtelijk. In de cursus [1] staat dit probleem ψj B ψj B op deze manier uitgewerkt. Hier wordt echter vertrokken van schets 4.9. Hieruit volgt snel een formule voor Fabry-Pérot effecten. Indien evenwel tussen de 2 reflecterende lagen nog andere reflecties optreden is deze methode niet meer toepasbaar. Een vlakke golf met amplitude 1 valt dus langs links loodrecht in op de vlakke plaat. Dit geeft dan voor het gedeelte van het veld dat niet reflecteert ψ 1 = t 12 t 21 e jβd. ψ 2 ondergaat 2-maal 53

60 hoofdstuk 4 (a) Definiëren van de parameters (b) Afleiden formule Figuur 4.9: Afleiding formule voor Fabry-Pérot effecten 54

61 hoofdstuk 4 Figuur 4.10: Transmissie van een verliesloze plaat tijdens een frequentiescan reflectie. Dit geeft ψ 2 = t 12 r 2 21 t 21e j3βd 2jφ 21. Deze reeksontwikkeling herleidt zich dan tot: ψ na = t 12 t 21 e jβd 1 r 2 21 e 2jβd 2jφ 21 e jβz (4.1) De transmissie-coëfficiënt, ook wel de vermogentransmissie T dus, van de structuur voor de vermogenflux 2 wordt dan: T structuur = t 12 t r 2 21 e 2jβd 2jφ 21 2 (4.2) Belangrijk aan deze formule is e 2jβd. Hieruit volgt dat de vermogentransmissie sinusoïdaal afhangt van de frequentie. Voor een verliesloze plaat waarop een vlakke golf afhangt zijn alle parameters, op 2βd na, frequentie-onafhankelijk. Ook valt φ 21. Samen met r t 12t 21 = 1 resulteert dit in volgende eenvoudige formule: T structuur = F = F sin(2βd) 2 (4.3) 4r 2 21 (1 r 2 21 )2 (4.4) Uit deze grafiek en formule vallen reeds enkele zaken af te leiden. Naarmate de lengte van de caviteit, d dus, groter wordt neemt de periode op deze grafiek af. Naarmate de reflectie toeneemt stijgt F. Dit betekent dat de minima T min kleiner wordt. Het invoeren van een verliesfactor kan gebeuren door het aanpassen van e jβz. Eerst wordt α, een verliescoëfficiënt, gedefinieerd. Als het signaal een afstand d heeft gepropageerd in het materiaal is zijn vermogen gedaald met een factor e αd. Deze verliesfactor hangt samen met oneffenheden aan de rand en is vooral groot bij de smalle golfgeleider. Hier is het echter voldoende te weten dat naarmate 2 Een maat voor de vermogenflux is de amplitude van de golf in het kwadraat. De verhouding van deze term voor de uitgaande en de inkomende golf geeft dan de transmissiecoëfficiënt. 55

62 hoofdstuk 4 Figuur 4.11: Schets van koppelstructuur met mogelijke parameters het verlies toeneemt α groter wordt. Dit betekent dat in de plaat e jβz moet vervangen worden door e jβz α 2 z. Het herdoen van de volledige afleiding levert dan: T structuur = t 12 t 21 2 e αd 1 r 2 21 e 2jβd 2jφ 21 2αd 2 (4.5) Dus naarmate het verlies toeneemt, wordt de maximale transmissiecoëfficiënt kleiner en daalt dus daalt de modulatie. Tot nog toe is de afleiding gebeurt voor een vlakke golf, die invalt op een plaat. De uitbreiding van dit model naar een strucuur zoals op figuur 4.7(b) is vrij simpel. In de voorgaande afleiding was β 2 = 2πn 2 λ d. Voor de golfgeleiderstructuur dient n te worden vervangen door n eff. Als laatste uitbreiding van dit model dient nu nog een koppelstructuur in deze structuur gebracht te worden. Dit is te zien op figuur Als vereenvoudiging wordt ondersteld dat de koppelstructuur alleen de fundamentele modi exciteert, reflecties aan deze taper worden genegeerd. Ook wordt deze taper verliesloos ondersteld. De transmissiecoëfficiënt voor de amplitude is dan t taper e jφtaper. Uit reciprociteit volgt weer dat deze gelijk is voor een signaal gaande van links naar rechts of van rechts naar links. Dit geeft in combinatie met figuur 4.11, gestoken in formule 4.5: T structuur = φ verlies = α 1 d 1 + α 2 d 2 t 12 t 21 t taper 2 e φ verlies 1 (r 21 t taper ) 2 e 2jφ OW L 2jφ 21 2jφ taper 2φ verlies 2 (4.6) φ OW L = β 1 d 1 + β 2 d 2 Om tot deze formule te komen werden verschillende beperkingen opgelegd. Deze zullen besproken worden in volgende paragraaf. Ook zal hier aandacht worden gegeven aan de belangrijkste termen. 56

63 hoofdstuk 4 Beperkingen van het model Uit formule 4.7 en figuur 4.10 volgt vrij duidelijk dat uit de verhouding van de maximale transmissie en de minimale transmissie (r12t taper ) 2 e 2φ verlies te halen valt. De overige parameters mogen frequentieafhankelijk zijn. De verhouding tussen de maxima en de minima bij het uitzetten van transmissie tegen golflengte blijft toch behouden. Een andere beperking aan het model opgelegd was het monomodaal zijn van de structuur. De smalle golfgeleider kan monomodaal worden verondersteld, de brede golfgeleider echter niet. De koppelstructuur zal ook hogere-orde modi exciteren. Daarnaast treedt er ook reflectie op aan de koppelstructuur. Dit gebeurt vooral bij de overgang van de brede golfgeleider naar de smalle golfgeleider. Deze 2 effecten zorgen ervoor dat het sinusoïdale karakter dat volgt uit φ OW L definiëerd zoals in formule 4.7 niet de enige verkregen fluctuaties zijn. Ook deze 2 effecten zijn dan in het model te brengen door het matrixformalisme. In plaats van ψf i ψi B te zien als een 2 1-matrix, is dit dan te zien als een 2N 1-matrix. Hierbij staat N voor het aantal geleidende modi. Alle parameters moeten dan geschreven worden in matrix-vorm. Al deze parameters halen uit metingen is echter onbegonnen werk. Zowel het golflengteafhankelijk zijn van de reflectie-, transmissie- en absorptieparameters als het niet monomodaal zijn van de structuur zorgen dus voor extra fluctuaties van het signaal Resultaten uit de metingen In deze paragraaf wordt een kort overzicht gegeven van de metingen die zijn uitgevoerd. Verscheidene factoren hebben ervoor gezorgd dat uit deze metingen de gezochte parameter, de vermogentransmissie, niet te extrapoleren is. Een groot probleem was de beschadiging die is opgetreden aan zowel de smalle als de brede golfgeleider. Deze waren geplaatst aan de zijkanten, waardoor ze een grotere kans opliepen om beschadigd te raken. Uit de Fabry-Pérot metingen diende evenwel de verliescoëfficiënt van deze rechte golfgeleiders bepaald te worden. De reflectiecoëfficiënt aan de facetten zou gehaald worden uit simulaties en de literatuur. Aangezien de verliescoëfficiënt dus niet bekend is, zijn er teveel onbekenden om de vermogentransmissie tussen de fundamentele modi van de structuur te bepalen. Er zijn evenwel pogingen ondernomen om toch een schatting te maken van de vermogentransmissie. De metingen gebeuren over zowel een zeer ruim golflengtebereik λ = 1.50µm µm echter niet met grote resolutie, als over een klein golflengtebereik van enkele µm, echter met veel grotere resolutie. Bij het zeer ruime spectrum treedt evenwel het probleem van ondersampling op. Dit betekent dat er de stap tussen de verschillende golflengtes te groot was om een mogelijk sinusoïdaal verloop te volgen. Uit de vorige paragraaf over Fabry-Pérot volgt dus dat transmissie van het vermogen sinusoïdaal fluctueert in functie van 2π λ n eff d. Als nu λ zeer klein ( λ << λ wordt genomen kan snel een afschatting gemaakt worden voor de afstand tussen 2 maxima: 2π λ n eff d = 2π λ + λ n eff d + π 57

64 hoofdstuk 4 n eff d λ = n eff d λ λ λ 2 n eff d = 1 n eff d λ(1 + λ λ ) = n eff d λ λ (1 λ ) + 1 Hieruit volgt dat λ dn eff. Hierbij is dus d de grootte van de caviteit. In het geval van de compacte λ 2 tapers zou dit ofwel 3 mm ofwel 1.5 mm kunnen zijn. n eff 2.5 Dit is ruwweg n eim, welke overeenkomt met de effectieve index voor zowel de smalle als brede golfgeleider. Dit levert dan bij lambda = 1.56µm een λ 0.1nm. De fijnste metingen die zijn uitgevoerd op het brede spectrum zijn uitgevoerd met een resolutie van 0.5nm. De meer precieze metingen halen deze resolutie wel. Allereerst worden nu de bredere doch onnauwkeurigere metingen geïnterpreteerd. Hierbij is 1 mw 1 ingekoppeld in een smalle golfgeleider. Omdat slechts 500 uit de brede golfgeleider komt wordt ook duidelijk hoeveel vermogen gaat naar excitatie van het substraat en lucht gaat. Uit figuur 4.12(a) is te halen dat er geen afstraling optreedt naar het substraat. Bij grotere golflengte zou immers een sterke daling in transmissie te zien zijn. Dit is geschetst op figuur 4.12(b), weliswaar voor een klein golflengtebereik. Bij grotere golflengte en dus kleinere frequentie is er immers een slechtere confinement van het signaal. Dit betekent dat bij een te dunne AlOx cladding laag er afstraling zou optreden naar het substraat. Uit deze grove golflengtesweep worden nu T max, T min en T gemiddeld gehaald. Hierbij staat T max voor het gemiddelde van de 10 beste metingen uit 1 sweep, T min staat voor het gemiddelde van de 10 slechtste metingen uit 1 sweep. Het gemiddelde van alle metingen uit 1 grove sweep is T gemiddeld. Om de invloed van de opstelling, bv. de grootte van de apertuur, uit te sluiten worden de metingen uit verschillende metingsessies gescheiden. Uitzetten geeft figuur Elke grafiek staat voor 1 metingssessie De meeste uitgezette adiabatische structuren zijn voldoende lang om te zien als perfect vermogenoverdragend. Op deze figuren is dus af te leiden dat de koppelstructuren wel degelijk veel vermogen overzetten. Precieze gegevens zijn hier dus niet uit te halen omwille van het ontbreken van kennis van de verliescoëfficiënt van de smalle golfgeleider. Als laatste wat nog kan gedaan worden met de gebruikte samples is het bepalen van de caviteitslengte. Hiervoor dient evenwel een fijne scan te gebeuren. Uit deze fijne scan kan d.m.v. de afleiding in subparagraaf de caviteitslengte verkregen worden. De metingen gebeuren evenwel met als variabele λ en niet 1 λ, zoals staat in formule 4.4. Hieruit 1 verkreeg men immers een periodieke functie die afhing van 1+F sin 2 (2βd). Deze laatste sin2 (2βd) is te herschrijven als 1+cos(4βd) 2. Dit betekent dat er een periodieke functie met als parameter 8πn eff λ d uitkomt. Dit probleem kan weliswaar worden opgelost door op te merken dat λ te schrijven is als λ 0 + δλ, waarbij δλ << λ is. Hierbij is λ 0 een constante, waarbij deze meestal gelijk wordt gesteld aan het midden van het opgemeten interval. Door nu een reeksontwikkeling hierop toe te passen wordt dan 58

65 hoofdstuk 4 (a) Grove golflengtesweep: er wordt een groot golflengtebereik opgemeten, doch onnauwkeurig (b) (a) met aanduiding van T max: gemiddelde van de (c) Verliezen ten gevolgde 10 beste, T min: gemiddelde van de 10 slechtste en van afstraling naar het substraat stijgen bij grotere λ T gemiddelde : globaal gemiddelde Figuur 4.12: Een voorbeeld van een grote golflengtesweep, (c) laat zien wat gebeurt bij een te smal AlOx laag 59

66 hoofdstuk 4 (a) Compacte koppelstructuur: 10 secties met L max = 5µm (b) Linkse compacte koppelstructuur: 10 secties, L max = 2µm en rechtse compacte koppelstructuren: 40 secties, L vast = 1µm. De adiabatische tapers hebben verschillende lengtes. Figuur 4.13: Vergelijking tussen een compacte koppelstructuren en adiabatische tapers. De metingen zijn gerangschikt per opmeetdatum. 60

67 hoofdstuk 4 Figuur 4.14: Golflengtesweep rond 1559 bij een lineaire taper van 2 mm ω[ 1 nm ] λ 0[nm] d[mm] lineaire taper: 1527 nm lineaire taper: 1580 nm compacte taper: 1555 nm Tabel 4.2: Caviteitlengte bepalen uit figuur 4.15 op basis van formule 4.7 een periodieke functie verkregen met als parameter ωλ. Hierbij staat ω voor: ω = 8πn eff d λ [ nm ] (4.7) Voor de golflengte wordt hier als eenheid [nm] gebruikt, dus de bekomen caviteitslengte d zal in [nm] staan. De bekomen transmissiemetingen in functie van de golflengte zouden dan een sinusvorm zijn. De kleinste kwadratenmethode toepassen op deze metingen en een functie A sin(ωλ + φ) + B met als parameters A, ω, φ en B, levert dan een benaderende sinusvorm van de meting op. Uit deze kleinste kwadratenmethode volgt dan ω waar dan formule 4.7 gebruikt kan worden om de caviteitslengte te bepalen. Ook hier dient weer opgemerkt te merken dat het patroon meestal grilliger is dan men op basis van het simpele model zou verwachten. Een voorbeeld hiervan is figuur Echter er zijn ook metingen waar een duidelijke periode in te herkennen valt. Dit is te zien op figuur In tabel is dan de caviteitslengte uitgerekend. Hierbij is weliswaar n eff = 2.79 genomen. Deze veronderstelling geldt al zeker voor de brede golfgeleider. Voor de smalle golfgeleider komt deze effectieve index gelet op figuur 2.6ook goed overeen. De uiteindelijke berekeningen staan dan in tabel 4.2. Ook hier zijn er geen goede overeenkomsten met het verwachte resultaat en de verkregen experimentele gegevens. Een verklaring voor deze resultaten is evenwel nog niet gevonden. 61

68 hoofdstuk 4 (a) Golflengtesweep rond 1527 nm bij lineaire taper van 800 µm (b) Golflengtesweep rond 1580 nm bij diezelfde lineaire taper van 800 µm (c) Golflengtesweep rond 1555 nm bij taper met 40 secties en variabele sectielengte Figuur 4.15: precieze golflengtesweep bij verschillende structuren 62

69 hoofdstuk Besluiten In dit hoofdstuk wordt dan een sample gemaakt gebaseerd op de taperstructuren van de vorige hoofdstukken. De SEM resultaten doen vermoeden dat de samples goed gelukt zijn. Uit de grove golflengtesweeps kan gehaald worden dat de structuren wel een hoeveelheid vermogen doorlaten in dezelfde grootte-orde als de adiabatische tapers. Om echter nauwkeurigere resultaten te bekomen dient evenwel gebruik te worden gemaakt van Fabry- Pérot metingen. Een eerste probleem bleek de beschadiging van de stukken rechte smallegolfgeleider te zijn. Hieruit diende de verliescoëfficiënt van deze stukken smalle golfgeleider te worden gehaald. Een volgende probleem bleek het niet-periodieke karakter zijn van de meeste fijne golflengtesweeps. Een mogelijke verklaring hiervoor is het multimodale karakter van de brede golfgeleider. Om dit in rekening te brengen zou kunnen gedacht worden aan een verfijnder theoretisch model. Enkele metingen die toch een sinusoïdaal patroon hadden, bleken bij het bepalen van de caviteitslengte onfysische lengtes te hebben. Een verklaring voor deze metingen is evenwel niet gevonden. 63

70 Hoofdstuk 5 Besluit Net zoals in de elektronica is in de opto-elektronica een trend bezig tot miniaturisatie en integratie. Een onderdeel van deze integratie is het zo efficiënt mogelijk verbinden van golfgeleiders met een ander mode-profiel. Dit wordt tot nog toe gedaan met vrij lange adiabatische tapers. Een mogelijk kortere, maar even efficiënte structuur zou de gebruikte symmetrische koppelstructuur kunnen zijn. Deze koppelstructuur kan beschreven gezien worden als een grillige functie bestaande uit een groot aantal secties met een zekere breedte en lengte. In deze thesis werd aangetoond dat deze structuren, mits goede keuze van parameters, inderdaad aanleiding geven tot kortere structuren dan de adiabatische tapers. Dit optimalisatieprobleem, beschreven in hoofdstuk 2, is in 2 stukken uiteengevallen: het berekenen van een structuur met zekere parameters, en het optimaliseren van deze parameters. Het berekenen van een dergelijke structuur is een 3 dimensionaal vertorieel probleem. Door echter gebruik te maken van de effectieve indexmethode wordt dit probleem gereduceerd tot een scalair 2 dimensionaal probleem. Dit zorgde voor een grote winst in simulatietijd. Voor het zoeken naar optimale parameters werd gebruik gemaakt van een genetisch algoritme. Bij dit genetisch algoritme worden tussen verschillende koppelstructuren parameters uitgewisseld om te komen tot betere exemplaren. Er werd aangetoond dat dit algoritme in staat is betere oplossingen te vinden dan simpelweg een blinde zoektocht in de parameterruimte. Er wordt in deze thesis dan een indicatie gegeven wat de invloed is van de uitwisseling tussen 2 tapers. Een kleinere uitwisselingskans zou aanleiding geven tot een algoritme dat sneller tot betere resultaten komt. Onderzoeken of een grotere uitwisselingskans aanleiding gaf tot tragere convergentie maar betere resultaten kon niet getest worden wegens zeer tijdrovend. In hoofdstuk 3 worden dan enkele efficiënte koppelstructuren besproken. Deze structuren blijken voor eenzelfde lengte beter te werken naarmate deze meer secties hebben. Er wordt aangetoond dat deze structuren inderdaad een goede transmissie vertonen over een vrij breed golflengtegebied. Een poging werd ondernomen om de werking van één goede koppelstructuur te achterhalen. Hierbij werd aangetoond dat de werking niet steunt op reflectie in deze component. Het vermogen dat gaat naar stralende modi blijkt ook beperkt te zijn. Hieruit werd dan besloten dat vrijwel het volledige vermogen zit in de voorwaarts propagerende geleidende modi. Er werd getracht deze structuur nauwkeurig uit te meten in een GaAs-AlOx materiaalsysteem. Het 64

71 hoofdstuk vergelijken van het doorgelaten vermogen van adiabatische tapers en de ontworpen koppelstructuren leverde aanwijzingen dat deze structuren goede resultaten mogelijk opleveren. Het is echter moeilijk absolute metingen te vergelijken. Een meer precieze uitmeting werd gedaan op basis van Fabry-Pérot franjes, waarbij verwacht werd dat de tranmissie sinusoïdaal varieert in functie van de golflengte. Bij het uitmeten doken echter onverwachte effecten op. Het meestal ontbreken van wel gedefinieerde Fabry- Pérot franjes was datgene die het meest in het oog sprong. Indien wel sinusoïdale fluctuaties werden gevonden kwamen deze meestal overeen met onrealistische afmetingen van/op het sample. Uit de simulaties komen dus structuren die ruim 2 keer korter zijn dan de adiabatische tapers voor eenzelfde vermogentransmisie. Experimenteel kan dit evenwel niet bevestigd worden. Indien dus in de toekomst verdere experimenten worden uitgevoerd op deze koppelstructuur kan gedacht worden om zoveel mogelijk het multimodale karakter uit te schakelen. De structuren op het masker haalden gesimuleerd een vermogentransmissie van 80 %. Dit betekent dat nog 20 % beschikbaar is dat de hogere orde modi kan exciteren. Er zou dus gezocht kunnen worden naar een koppelstructuur die een efficiëntie heeft dicht bij 100 % om dit probleem op te lossen. 65

72 Bijlage A Uitdieping van de slabgolfgeleider A.1 Algemeen In deze thesis wordt veelvuldig gebruik gemaakt wordt van propagerende eigenmodi in diëlektrische golfgeleiders. In deze bijlage wordt dan ook in het kort de formules gegeven voor het veldprofiel van een slabgolfgeleider met breedte b. Ook worden enkele eigenschappen van deze formules en hun randvoorwaarden besproken. In het laatste stuk wordt uitleg gegeven over het aan elkaar koppelen van slabgolfgeleiders met verschillende breedte. Voor een afleiding van deze formules wordt verwezen naar de cursussen [1] en [9]. De assenconventie 1 staat ook te zien in figuur A.1. Deze geldt voor deze bijlage. In de overige tekst van deze thesis wordt duidelijk aangeduid hoe het daar gebruikte assenstelsel eruit ziet. De voortplantingsrichting van de modi is de z-richting. In de complexe voorstelling zijn bij een bepaalde frequentie zowel het magnetische veld H als het elektrische veld E te schrijven als H(x, y, z) = h(x, y)e jβz+jωt en E(x, y, z) = e(x, y)e jβz+jωt. Hierbij zijn e en h de modale velden. Voor een slabgolfgeleider zijn de vergelijkingen van Maxwell te ontbinden in 2 sets. Elk van deze sets bestaat nog uit 3 veldcomponenten. Het is echter voldoende om slechts 1 scalaire eigenwaardeverge- 1 Hiermee wordt mee bedoeld in welke richting de brekingsindex onveranderlijk is. (a) TE- en TMassenconventie (b) slab-lagenstructuur Figuur A.1: TE- en TM-modi met de z-as als propagatierichting 66