S A M E N VAT T I N G ( S U M M A RY I N D U T C H )

Transcriptie

1 S A M E N VAT T I N G ( S U M M A RY I N D U T C H ) In deze samenvatting schetsen kort we de geschiedenis van de studie van groepsringen en stellen we onze hoofdresultaten voor In 1940 stelde Graham Higman de volgende vraag in zijn doctoraatsthesis, voor twee eindige groepen G en H: Volgt uit het isomorfisme ZG ZH dat G H? Dit probleem is gekend als het (gehele) isomorfismenprobleem Lange tijd werd ervan uitgegaan dat deze conjectuur waar was In 1987 toonden Klaus W Roggenkamp en Leonard L Scott dat deze stelling inderdaad opgaat als G een eindige nilpotente groep is Het kwam dan ook als een verrassing toen Martin Hertweck in 1998 in zijn doctoraatsthesis een tegenvoorbeeld gaf voor het isomorfismenprobleem Desalniettemin is het vandaag de dag nog steeds een belangrijk probleem om te beslissen voor welke klassen van groepen de conjectuur wel geldig blijft In dit onderzoek speelt de eenhedengroep U(ZG) een fundamentele rol Hierin is het essentieel om ZG te beschouwen als een Z- order in de (semisimpele) rationale groepsalgebra QG en om een gedetailleerd inzicht te hebben in de Wedderburndecompositie van QG Als men de gelijkheid van twee getallen a en b bewijst door eerst te tonen dat a kleiner is of gelijk aan b en dan a groter is of gelijk aan b, is dat oneerlijk Men zou in plaats daarvan moeten tonen dat ze echt gelijk zijn door de diepere reden van hun gelijkheid te belichten Emmy Noether De Wedderburn-Artin Stelling stelt dat een semisimpele ring R isomorf is met een product van eindig veel n i n i matrixringen over (scheve) lichamen D i, voor zekere natuurlijke getallen n i In de gedachtegang van Emmy Noether is zo n classificatie echter oneerlijk In plaats daarvan moet men streven naar de constructie van een expliciet isomorfisme tussen R en het product van matrixringen Een eerste belangrijke stap hiervoor, is het bepalen van primitieve centrale idempotenten e van R, die de verschillende matrixringen van elkaar onderscheiden Ten tweede moet men elementen in elke component Re construeren die de rol spelen van een volledige verzameling matrixeenheden In

2 het bijzonder tracht men een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten te bepalen Een klassieke methode voor het bepalen van primitieve centrale idempotenten in een semisimpele groepsalgebra F G brengt berekeningen met zich mee die gebruik maken van de irreduciebele karakters van G, over een algebraïsche sluiting van F De gekende methoden om karaktertabellen van eindige groepen te berekenen zijn echter tijdrovend Daarom is de klassieke beschrijving van primitieve centrale idempotenten soms slechts beperkt bruikbaar voor praktische toepassingen Men verkiest een karaktervrije beschrijving die enkel afhangt van de verzameling van deelgroepen en de karakteristiek van het lichaam, dwz een beschrijving volledig in F G Zo n beschrijving werd bekomen door Aurora Olivieri, Ángel del Río en Juan Jacobo Simón in 2004 voor de primitieve centrale eenheden van QG, in het geval dat G een sterk monomiale groep is, bijvoorbeeld abels-bij-superoplosbaar Deze methode steunt op paren van deelgroepen (H, K) van G die aan enkele voorwaarden voldoen Deze paren noemen we sterke Shoda paren van G Het blijkt dat elke primitieve centrale idempotent de som is van de verschillende geconjugeerden van ε(h, K) (een natuurlijk idempotent in de rationale groepsalgebra Q(H/K)), voor een sterk Shoda paar (H, K) We noteren dit element met e(g, H, K) Elke Wedderburncomponent is bovendien een matrixring over een kruisproduct van de eindige abelse groep N G (K)/H, over een bepaald cyclotomisch lichaam voor een sterk Shoda paar (H, K) In 2007 vertaalden Osnel Broche en Ángel del Río deze resultaten naar het geval van semisimpele eindige groepsalgebra s FG voor sterk monomiale groepen G Voor willekeurige semisimple groepsalgebra s F G blijft het een open probleem om een karaktervrije beschrijving van de primitieve centrale idempotenten en de Wedderburndecompositie van F G te geven Voor de rationale groepsalgebra QG over een eindige nilpotente groep G beschreven Eric Jespers, Gabriela Olteanu en Ángel del Río in 2012 een volledige verzameling van matrixeenheden in een willekeurige enkelvoudige component QGe(G, H, K) In samenwerking met Gabriela Olteanu gaven we een gelijkaardig resultaat voor semisimpele eindige groepsalgebra s FG voor nilpotente groepen G Bovendien tonen voorbeelden aan dat de methode niet kan uitgebreid worden naar, bijvoorbeeld, eindige metacyclische groepen In Hoofdstuk 1 geven we een inleiding tot quaternionenalgebra s, getallenlichamen, kruisproducten, groepsringen, Z-orders, cyclotomische eenheden, Bass eenheden en bicyclische eenheden

3 In Hoofdstuk 2 geven we een concrete realisatie van de Wedderburndecompositie van groepsalgebra s F G van eindige sterk monomiale groepen over getallenlichamen F Deze beschrijving is hoofdzakelijk gebaseerd op de beschrijving van Aurora Olivieri, Ángel del Río, Juan Jacobo Simón en Osnel Broche en het feit dat voor rationale groepsalgebra s QG van eindig sterk monomiale groepen G, de Wedderburndecompositie volledig bepaald is door sterke Shoda paren Gevolg 217 [8] Zij G een eindige sterk monomiale groep en F een getallenlichaam Dan is elke primitieve centrale idempotent van F G van de vorm e C (G, H, K) voor een sterk Shoda paar (H, K) van G en C C F (H/K) Bovendien, voor elk sterk Shoda paar (H, K) van G en elke C C F (H/K), F Ge C (G, H, K) M [G:E] ( F ( ζ[h:k] ) σ τ E/H ), waar E = E F (G, H/K) en σ en τ gedefinieerd zijn als volgt Zij yk een voortbrenger voor H/K en ψ : E/H E/K een links inverse van de projectie E/K E/H Dan σ gh (ζ k ) = ζ i k, als yk ψ(gh) = y i K, τ(gh, g H) = ζ j k, als ψ(gg H) 1 ψ(gh)ψ(g H) = y j K, voor gh, g H E/H en natuurlijke getallen i en j Vervolgens verkrijgen we meer informatie over de Wedderburndecompositie van QG en bepalen we een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten in elke Wedderburncomponent die bepaald wordt door een sterk Shoda paar met een triviale afbeelding τ Stelling 221 [3] Zij (H, K) een sterk Shoda paar van een eindige groep G zodat voor alle g, g N G (K) geldt dat τ(gh, g H) = 1 Zij ε = ε(h, K) en e = e(g, H, K) Zij F het deellichaam van QHε dat invariant is onder de actie van N G (K)/H en stel [N G (K) : H] = n Zij w een normaal element van QHε/F en B de normale basis bepaald door w Zij ψ het F -isomorfisme tussen QN G (K)ε en de matrixalgebra M n (F ) ten opzichte van de basis B bepaald als volgt: ψ : QN G (K)ε = QHε N G (K)/H M n (F ) : xu σ [x σ] B,

4 voor x QHε, σ Gal(QHε/F ) N G (K)/H, waar x staat voor de vermenigvuldiging met x op QHε Zij P, A M n (F ) gedefinieerd als volgt: P = Dan is en A = {x T 1 εx 1 : x T 2 x e } een volledige verzameling van orthogonale primitieve idempotenten van QGe met x e = ψ 1 (P AP 1 ), T 1 een transversaal van H in N G (K) en T 2 een rechts transversaal van N G (K) in G Met T 1 noteren we het element 1 T 1 t T 1 t in QG We passen onze resultaten toe in Gevolg 225 op alle metacyclische groepen van de vorm C q m 1 C p n, waarbij p en q verschillende priemgetallen zijn We eindigen het hoofdstuk met een vertaling van bovenstaande resultaten naar semisimpele eindige groepsalgebra s (Stelling 234, [6]) Ik heb nooit iets nuttigs gedaan Geen enkele ontdekking van mij heeft direct of indirect ook maar de minste bijdrage geleverd, ten goede of ten kwade, aan de leefbaarheid van de wereld en zal dat waarschijnlijk ook nooit doen Godfrey Harold Hardy Ongeacht zijn uitspraken vond het werk van Godfrey Harold Hardy ( ) wel toepassingen in verschillende takken van de wetenschap buiten de wiskunde Hardy was een getaltheoreticus en getaltheorie is nu net het uitgelezen gebied binnen de zuivere wiskunde om verscheidene toepassingen te hebben, denk maar aan codetheorie en internetbeveiliging In 1974 formuleerde Donald Knuth dit als volgt: Zo goed als elke stelling in de elementaire getaltheorie staat op een natuurlijke manier in verband met het probleem om computers numerieke berekeningen aan hoge snelheid te laten uitvoeren Ook eindige groepsalgebra s en hun Wedderburndecompositie hebben toepassingen binnen de codetheorie Cyclische codes kunnen gerealiseerd worden als idealen in groepsalgebra s over cyclische groepen en ook vele andere belangrijke codes

5 verschijnen als idealen in groepsalgebra s van niet-cyclische groepen, zie Sectie 23 voor referenties Een concrete realisatie van de Wedderburndecompositie laat ook vele andere toepassingen toe, bijvoorbeeld het onderzoeken van de automorfismengroep van groepsringen, zoals aangetoond door Aurora Olivieri, Ángel del Río en Juan Jacobo Simón in 2006 In deze thesis focussen we op de toepassingen voor de eenhedengroep van RG, met R de ring van gehele getallen van een getallenlichaam F Het belangrijkste voorbeeld is de eenhedengroep van gehele groepsringen Slechts voor zeer weinig eindige niet-abelse groepen G is een presentatie van de groep U(ZG) gekend Nochtans bewezen Carl Ludwig Siegel, Armand Borel en Harish-Chandra wel dat U(RG) altijd eindig voortgebracht is voor G een eindige groep Daarom zijn we al tevreden met het vinden van eindig veel voortbrengers voor U(RG), en in het bijzonder voor U(ZG) Als E een volledige verzameling van primitieve centrale idempotenten van F G is, dan RG e E RGe e E F Ge = F G en elke F Ge M ne (D e ) voor bepaalde natuurlijke getallen n e en (scheve) lichamen D e Vermits zowel RG als e E RGe een Z-order in F G is, weten we dat U(RG) van eindige index is in e E U(RGe) Als we een Z-order O e in elke D e kiezen, dan hebben GL ne (O e ) en U(RGe) een gemeenschappelijke deelgroep die van eindige index in beide is Dit betekent dat we in de eerste plaats een voortbrengende verzameling moeten vinden voor GL ne (O e ), die voortgebracht wordt (op eindige index na) door SL ne (O e ) en de matrices met diagonale elementen in U(Z(O e )) Het probleem wordt dus herleid tot het beschrijven van SL ne (O e ) en U(Z(O e )) In Hoofdstuk 3, classificeren we de eindige groepen G waarvoor, gegeven een willekeurig maar vast abels getallenlichaam F, voor alle Wedderburncomponenten M n (D) in de groepsalgebra F G, de bijhorende SL n (O), voor elk Z-order O in D, voortgebracht is door de elementaire matrices over een tweezijdig ideaal in O Dit onderzoek is een uitbreiding van een resultaat van Mauricio Caicedo en Ángel del Río (2014) en gaat terug tot diepe resultaten van Hyman Bass (1964), Leonid N Vaseršteĭn (1973), Bernhard Liehl (1981), Tyakal Nanjundiah Venkataramana (1994) en Ernst Kleinert (2000) gerelateerd aan het congruentiedeelgroepenprobleem Beter gezegd, als een matrixring M n (D) over een eindig dimensionaal rationaal (scheef) lichaam D niet van volgende vorm is:

6 n = 1 en D is een niet-commutatief scheef lichaam verschillend van een totaal definiete quaternionenalgebra; n = 2 en D is gelijk aan Q, een kwadratische imaginaire uitbreiding van Q of een totaal definiete quaternionenalgebra met centrum Q, dan [SL n (O) : E n (I)] < voor elk order O in D en elk niet-nul ideaal I van O De componenten M n (D) van F G die wel voorkomen in de vorige lijst noemen we de exceptionele componenten De exceptionele componenten die kunnen optreden als een Wedderburncomponent van een groepsalgebra zijn zeer beperkt Gevolg 199 [7] Als een enkelvoudige eindig dimensionale rationale algebra een exceptionele component is van een groepsalgebra F G voor een getallenlichaam F, dan is de algebra van een van de volgende types: EC1: een niet-commutatief scheef lichaam verschillend van een totaal definiete quaternionenalgebra; EC2: M 2 (Q), M 2 (Q( 1)), M 2 (Q( 2)), M 2 (Q( Ä ä 3)), M 1, 1 2 Q, Ä ä Ä ä M 1, 3 2 Q, 2, 5 M2 Q We classificeren eerst alle exceptionele componenten van type EC2 in de Wedderburndecompositie van groepsalgebra s van eindige groepen over willekeurige getallenlichamen Dit doen we door een volledige lijst te geven van eindige groepen G, getallenlichamen F en exceptionele componenten M 2 (D) zodat M 2 (D) een getrouwe Wedderburncomponent is van F G Stelling 311 [9] Zij F een getallenlichaam, G een eindige groep en B een enkelvoudige exceptionele algebra van type EC2 Dan is B een getrouwe Wedderburn component van F G als en slechts als G, F en B een rij vormen in Tabel 2 op pagina 70 Vervolgens classificeren we F -kritische groepen, dwz groepen G zodat F G een exceptionele component van type EC1 in zijn Wedderburndecompositie bevat, maar geen enkel echt quotiënt deze eigenschap heeft Merk op dat elke

7 groep H waarvoor F H een niet-commutatief scheef lichaam (geen totaal definiete algebra) in zijn Wedderburndecompositie bevat, een epimorf F -kritisch beeld G heeft Stelling 3222 [9] Zij D een scheef lichaam, F een abels getallenlichaam en p en q verschillende oneven priemgetallen Dan is D een Wedderburncomponent van F G voor een F -kritische groep G als en slechts als een van de volgende gevallen geldt: (a) D = ( ) 1, 1 F, G {SL(2, 3), Q8 }, F is totaal imaginair, e 2 (F/Q) en f 2 (F/Q) zijn oneven; (b) D = Ä ä 1, 1 F (ζ p), G {SL(2, 3) Cp, Q 8 C p }, ggd(p, G /p) = 1, o p (2) is oneven, F is totaal reëel en e 2 (F (ζ p )/Q) en f 2 (F (ζ p )/Q) zijn oneven; (c) D = ( 1,(ζp ζ 1 p )2 F (ζ p+ζp 1 ) imaginair, Q(ζ p ) F Q(ζ p + ζp 1 oneven; (d) D = ( 1,(ζp ζ 1 p )2 F (ζ q,ζ p+ζp 1 ) ), G = C p 2 C 4, p 1 mod 4, F is totaal ) en e p (F/Q) en f p (F/Q) zijn ), G = C q (C p 2 C 4 ), p 1 mod 4, o q (p) oneven, F is totaal reëel en e p (F (ζ q )/Q) en f p (F (ζ q )/Q) zijn oneven; (e) D = (K(ζ p )/K, σ, ζ k ) met Schur index n k, G = a p k b n waar n 8, ggd(p, n) = 1, b 1 ab = a r, zowel k als n k zijn deelbaar door alle priemdelers van n Hier K = F (ζ k, ζ p + ζp r + + ζ r n k 1 p ) en σ : F (ζ pk ) F (ζ pk ) : ζ p ζp; r ζ k ζ k Bovendien Q(ζ p ) F Q(ζ p + ζp r + + ζ r n k 1 p ) en een van de voorwaarden (i) - (iii) uit Theorem 3221 gelden Ook min l N p f 1 ggd(p f 1, e) 0 mod k = n ggd(k, l) k met e = e p (F (ζ pk )/K) en f = f p (K/Q) Hier is het essentieel om gebruik te maken van de classificatie van eindige deelgroepen van scheve lichamen door Shimshon Avraham Amitsur en de classi-

8 ficatie van maximale eindige deelgroepen in 2 2-matrices over totaal definiete quaternionenalgebra s met centrum Q door Gabriele Nebe In Hoofdstuk 4, bestuderen we de centrale eenheden Z(U(ZG)) voor eindige groepen G Eerst geven we een nieuw en constructief bewijs voor de bekende stelling van Hyman Bass en John Willard Milnor waarin we het gebruik van K-theorie vermijden Bovendien construeren we een virtuele basis in de eenhedengroep van ZG voor eindige abelse groepen G Gevolg 416 [4] Zij G een eindige abelse groep Kies voor elke cyclische deelgroep C van G een voortbrenger a C van C en kies voor elke k relatief priem met de orde van C een natuurlijk getal m k,c zodat k m k,c 1 mod C Dan is ß u k,mk,c (a C ) : C cyclische deelgroep, 1 < k < C 2, ggd(k, C ) = 1 een virtuele basis van U(ZG) u k,m (g) in ZG dat Bovendien geldt voor elke Bass eenheid u k,m (g) c = h u k0,m k0,c (a C) n0 u k1,m k1,c (a C) n1, voor C = g, een h G en gehele getallen c, n 0, n 1, k 0, k 1 zodat g = a ±k1 C, 1 k 0, k 1 C 2 en k 0 ±kk 1 mod C Voor sommige niet-abelse groepen zijn constructies van centrale eenheden van ZG gegeven door Eric Jespers, Guilherme Leal, Michael M Parmenter, Sudarshan Sehgal en Raul Antonio Ferraz Dit werd gedaan vooral voor eindige nilpotente groepen G Wij construeren veralgemeende Bass eenheden en tonen dat deze een deelgroep voortbrengen die van eindige index is in Z(U(ZG)), voor eindige sterk monomiale groepen G Stelling 423 [5] Zij G een eindige sterk monomiale groep De groep voortgebracht door de veralgemeende Bass eenheden b n G,H, met b = u k,m (1 Ĥ + hĥ ) voor een sterk Shoda paar (H, K) van G, h H en n G,H minimaal zodat b n G,H ZG, bevat een deelgroep van eindige index in Z(U(ZG)) Aangezien we de rang van Z(U(ZG)) kennen, weten we op voorhand al exact hoeveel elementen er in een virtuele basis van Z(U(ZG)) moeten zitten

9 Stelling 421 [3] Zij G een eindige sterk monomiale groep Dan is de rang van Z(U(ZG)) gelijk aan Ç å φ([h : K]) k (H,K) [N G (K) : H] 1, (H,K) waar (H, K) loopt doorheen een volledige en niet-redundante verzameling van sterke Shoda paren van G, h is zo dat H = h, K en ß 1 als hh k (H,K) = n K voor een n N G (K); 2 anders Zij u U(Z g ), met g G Beschouw een subnormale rij We definiëren c N 0 (u) = u en N : N 0 = g N 1 N 2 N m = G c N i (u) = h T i c N i 1(u) h, met T i een transversaal voor N i in N i 1, en we bewijzen dat deze constructie zich goed gedraagt Definieer S g = {l U(Z/ g Z) : g is geconjugeerd met g l in G} en noteer S g = S g, 1 Deze constructie leidt tot een virtuele basis van Z(U(ZG)) op de volgende manier Stelling 437 [5] Zij G een eindige abels-bij-superoplosbare groep zodat elke cyclische deelgroep, van orde niet gelijk aan een deler van 4 of 6, subnormaal is in G Zij R een verzameling van representanten van Q-klassen van G Kies een transversaal T g van S g in U(Z/ g Z) die 1 bevat voor g R en kies voor elke k T g \ {1} een natuurlijk getal m k,g, zodat k m k,g 1 mod g Kies voor elke g R, van orde niet gelijk aan een deler van 4 of 6, een subnormale rij N g van g naar G Dan is { c N g (u k,mk,g (g)) : g R, k T g \ {1} } een virtuele basis van Z(U(ZG))

10 Vervolgens concentreren we ons op een andere deelklasse van de eindige sterk monomiale groepen Zij H een eindige groep en K een deelgroep van H zodat H/K = gk een cyclische groep is van orde p n Zij k een natuurlijk getal relatief priem met p en zij r een willekeurig geheel getal Voor elke 0 s n, definiëren we c s s(h, K, k, r) = 1 en, voor 0 j s 1, construeren we recursief het volgende product van veralgemeende Bass eenheden van ZH: c s j(h, K, k, r) = Stelling 444 [3] Ö Ñ h g pn j,k s 1 l=j+1 u k,op n (k)n H,K (g rpn s h K + 1 K) c s l (H, K, k, r) 1 é (j 1 l=0 è p s j 1 c s+l j l (H, K, k, r) 1 Zij G een eindige sterk monomiale groep zodat er een volledige en nietredundante verzameling S van sterke Shoda paren (H, K) van G bestaat zodat elke [H : K] een macht van een priemgetal is Voor elke (H, K) S, zij T K een rechts transversaal van N G (K) in G, zij I (H,K) een verzameling representanten van U(Z/[H : K]Z) modulo N G (K)/H, 1 die 1 bevat en zij [H : K] = p n (H,K) (H,K), met p (H,K) een priemgetal Dan is c n (H,K) 0 (H, K, k, x) t : (H, K) S, k I (H,K) \ {1} t T K x N G (K)/H een virtuele basis van Z(U(ZG)) De klasse groepen uit Stelling 444, bevat de eindige metacyclische groepen C q m 1 C p n en we passen het resultaat toe in Gevolg 445 In Hoofdstuk 5 combineren we de resultaten van de voorgaande hoofdstukken om een voortbrengende verzameling van U(ZG) op eindige index na te construeren Dit is een voortzetting van het werk van Eric Jespers, Gabriela Olteanu en Ángel del Río uit 2012 waarin ze U(ZG) op eindige index na beschreven voor eindige nilpotente groepen Als QG geen exceptionele componenten bevat, als men matrixeenheden in elke Wedderburncomponent van QG kan construeren en als men bovendien een voortbrengende verzameling van )

11 Z(U(ZG)) kent, dan is het mogelijk om U(ZG) te beschrijven op eindige index na We demonstreren dit voor metacyclische groepen C q m 1 C p n met verschillende priemgetallen p en q Stelling 511 [3] Zij p en q verschillende priemgetallen Zij G = C q m 1 C p n een eindige metacyclische groep waarbij C p n = b en C q m = a Onderstel dat ofwel q 3, ofwel n 1 of p 2 Voor elke j = 1,, m, stel K j = aq j, stel F j het centrum van QGε( a, K j ), kies een normaal element w j van Q(ζ q j )/F j en zij ψ j het F j -isomorfisme tussen QGε( a, K j ) en de matrixalgebra M p n(f j ) ten opzichte van de normale basis B j geassocieerd aan w j, bepaald als volgt: ψ j : QGε( a, K j ) = Q a ε( a, K j ) G/ a M p n(f j ) xu σ [x σ] Bj, met x Q a ε( a, K j ), σ G/ a, waar x staat voor de vermenigvuldiging met x op Q a ε( a, K j ) Zij x j = ψ 1 j (P )bε( a, K j )ψ 1 j (P ) 1, met P =, en t j natuurlijke getallen zodat t j x k j ZG voor alle k met 1 k p n Dan zijn de volgende twee groepen eindig voortgebrachte nilpotente deelgroepen van U(ZG): V + j = 1 + p n t 2 jyx h j bx k j : y a fl b, h, k {1,, p n }, h < k, V j = 1 + p n t 2 jyx h j bx k j : y a fl b, h, k {1,, p n }, h > k Bijgevolg zijn V + = m j=1 V + j van U(ZG) Bovendien is de groep U, V +, V, en V = m j=1 V j nilpotente deelgroepen met U zoals in Gevolg 445 van eindige index in U(ZG)

12 Wanneer QG toch exceptionele componenten bevat, maar enkel van type EC2, dan blijkt dat SL 2 (O) nog steeds voortgebracht kan worden door elementaire matrices voor een speciaal (links norm Euclidisch) Z-order O van D Dit zorgt ervoor dat we de eenhedengroep van ZG op eindige index na kunnen construeren voor eindige groepen G, zodat QG enkel exceptionele componenten heeft van type EC2 en zodanig dat men niet-centrale idempotenten kent in de niet-commutatieve niet-exceptionele componenten van QG Deze nietcentrale idempotenten zijn nodig om de elementaire matrices te imiteren met (veralgemeende) bicyclische eenheden in ZG Dit werk bouwt verder op resultaten van Jürgen Ritter en Sudarshan Sehgal, en van Eric Jespers en Guilherme Leal die vele klassen van eindige groepen beschreven waar U(ZG) voorgebracht wordt door de Bass eenheden (genoteerd als B 1 (G)) en de bicyclische eenheden (genoteerd als B 2 (G)) op eindige index na De uitzonderingen zijn de eindige groepen G zodat hun rationale groepsalgebra QG exceptionele componenten bevat of zodat G niet-abelse fixpuntvrije epimorfe beelden heeft Stelling 522 [7] Zij G een eindige groep en zij QG = n i=1 QGe i n i=1 M n i (D i ) de Wedderburndecompositie van QG Onderstel dat QG geen exceptionele componenten van type EC1 bevat Stel ook dat voor elke i {1,, n} waarvoor QGe i niet exceptioneel is (van type EC2), Ge i niet fixpuntvrij is Het scheef lichaam D i heeft een links norm Euclidisch order O i voor elke exceptionele component QGe i M 2 (D i ) Neem een Z-basis B i van O i en zij ψ i : M 2 (D i ) QGe i een Q-algebra-isomorfisme Voor zo n i, definieer U i := ß 1 + ψ i Å 0 x 0 0 ã, 1 + ψ i Å 0 0 x 0 ã : x B i De deelgroep U := B 1 (G) B 2 (G) i U i van QG en U(ZG) bevatten een gezamenlijke deelgroep van eindige index in beiden Om de thesis te besluiten, demonstreren we onze techniek op de groep D + 16 en de fixpuntvrije groep SL(2, 5) Voor zover we weten is dit de eerste gekende techniek om de eenhedengroep van ZSL(2, 5) te beschrijven