De formule voor Mascha's verdiensten luidt: V = ,10a, met a = aantal bezorgde kranten

Transcriptie

1 Blok 1 Verbanden Intro!! Wiskundige verbanden kom je overal tegen. Je hoeft de krant maar open te slaan en je ziet ze staan: prachtige grafieken over - de stijging van de benzineprijzen; - de omzetdaling van een ICT-bedrijf; - het temperatuurverloop in de maand mei; - etc. In de wiskunde is het werken met verbanden een belangrijk onderdeel van de leerstof. Verbanden kom je vaak tegen in je beroep, maar ook in dagelijkse situaties. Mascha bezorgt het Nieuwsweekblad huis aan huis in haar dorp. Ze krijgt daarvoor een vast bedrag van 0, en verder 0,10 voor elk krantje dat ze wegbrengt. De formule voor Mascha's verdiensten luidt: V = 0 + 0,10a, met a = aantal bezorgde kranten Mascha bezorgt op een dag 100 kranten. Ze verdient dan: V = 0 + 0,10 x 100 = = 30, Om 60, te verdienen moet Mascha 400 kranten bezorgen 60 = 0 + 0,10a 0,10a = 40 a = 40 : 0,1 = 400 Wat ga je leren? In dit blok leer je: - hoe je van een woordformule naar een letterformule, naar een tabel, naar een grafiek kunt werken (en weer terug!); - alles (nou ja bijna alles) over lineaire verbanden, ofwel rechte lijnen; - bijna alles over kwadratische verbanden, ofwel parabolen; - een beetje over exponentiële verbanden (en de groeifactor). Je mag aan dit blok maximaal 6 klokuren werken. Veel succes!! 1

2 Lineaire verbanden 1. De auto van Hanneke heeft een benzinetank met een inhoud van 45 liter. Als Hanneke rustig rijdt, kan ze met 1 liter benzine 15 kilometer afleggen. Dus: na 30 kilometer rustig rijden heeft de auto liter benzine verbruikt, er zit dan nog 43 liter in de tank. a) Vul de tabel in: aantal kilometers aantal liters in tank 45 b) Is dit een lineair verband? Licht je antwoord toe. c) Teken de grafiek die bij deze gegevens hoort.. a) Teken de grafiek van de formule P = 0 + 4k. Maak eerst een tabel. k P b) Teken de grafiek van de formule A = 14 0, 4t. Maak eerst een tabel. c) Teken de grafiek van de formule T = 30 s Maak eerst een tabel. 3. In de grafiek zie je het verband tussen de tijd en de kosten van een onderwijsadviseur. K is de kosten in euro's, t is de tijd in uren. Schrijf de formule op die bij deze grafiek hoort. 4. a) Maak een formule bij onderstaande tabel: p T b) Maak een formule bij onderstaande tabel: x y

3 5. In de formule van lijn m : = x 1 y staan twee getallen. a) Welke informatie geeft het getal -1 over de lijn m? b) Welke informatie geeft het getal over de lijn m? y = x 1 6. De formule van lijn p is = 3 x + 4 y. a) Welke informatie geeft het getal -3 over lijn p? b) Welke informatie geeft het getal 4 over lijn p? De formule y = ax + b hoort bij een lineair verband tussen x en y. De grafiek bij deze formule is een rechte lijn. vb. y = 4x 3, = 1 x + 4 y y, = x 1 De getallen in de formule voor a en b geven informatie over de grafiek van de lijn. a = hellingsgetal (of stijgingsgetal): ga je 1 naar rechts, dan moet je a omhoog (of omlaag, als a negatief is) b = de y -coördinaat van het snijpunt met de Y-as (0, b ) 7. Teken in één figuur de lijnen a) l : y = 3x 1 b) m : y = x c) n : y = x + 3 d) p : y = 1 x 8. Geef de formules van de lijnen l en m in de grafiek hiernaast. 3

4 De ICT-specialist berekent zijn tarief met behulp van een lineair verband. In vijf stappen krijg je hiervan voorbeelden te zien en leer je (wiskundig) rekenen met lineaire verbanden. Stap 1 De ICT-specialist rekent voor 3 uur werken 80, en voor elk volgend uur rekent hij 15,. Teken de grafiek bij deze gegevens en geef de formule. formule: K = 15 a + 35 hierin is 15 = het uurtarief en 35 = de voorrijdkosten 9. a) Teken lijn l door (3, 5), met hellingsgetal. Geef de formule van lijn l. b) Teken lijn m door (1, -) en (4, 7). Geef de formule van de lijn. Stap De ICT-specialist berekent zijn kosten met de formule K = 15 a Wat vraagt hij voor 6 uur werken? K = = 15,. Jan laat de ICT-specialist een dvd-speler in zijn pc installeren en moet daarvoor 80, betalen. Hoe lang heeft de ICT-er bij Jan gewerkt? 80 = 15a = 15a (linker en rechter lid: -35) 3 = a (linker en rechter lid: / 15) Jan heeft de ICT-specialist 3 uur laten werken. 10. a) Het punt (1, y ) ligt op de grafiek van y = 4x 8. Bereken y. b) Het punt ( x, -4) ligt op de grafiek van y = x +. Bereken x. 4

5 Stap 3 De ICT-specialist berekent zijn kosten met de formule K = 15 a Hij heeft berekend dat 1 uur werken hem 15, oplevert. Heeft hij goed gerekend? 15 = = = 15 Dit klopt, dus hij heeft goed gerekend! 11. Laat met een berekening zien welke punten liggen op lijn p : y = 3x 3. a) (, 3) b) (-1, 0) c) (-, -3) d) (0, -3) Stap 4 De ICT-specialist is een deel van zijn formule kwijt. Hij weet alleen het beginstuk nog: K = 15 a +... Verder weet hij nog dat hij met 5 uur werken 110, verdient. Hoe kan de ICT-er de formule K =110, a = 5, dus 110 = b 110 = 75 + b b = 35 De volledige formule luidt: K = 15 a + 35 K = 15 a + b weer volledig maken? 1. 1 a) (-5, 3) ligt op lijn l y = x + b :. Bereken b. m : N = 500t +. Bereken b. n : y = ax +. Bereken a. p : y = ax. Bereken a. b) (100, 500) ligt op lijn b c) (1, ) ligt op lijn 4 d) (-4, 7) ligt op lijn 3 Stap 5 Er komt een concurrent in de stad! Hij rekent hetzelfde uurtarief van 15,. De voorrijdkosten zijn niet bekend. Wel heeft een klant verteld dat voor 4 uur werken 85, betaald moet worden. Met welke formule werkt de concurrent? Het uurtarief is 15, en de voorrijdkosten zijn onbekend, dus 4 uur werken kost 85, dus 85 = b 85 = 60 + b b = 5 K = 15 a + b. De volledige formule luidt: K = 15 a + 5 5

6 13. De formule voor lijn l is: y = 5 x + 3. Lijn k is evenwijdig aan lijn l en het punt (1, 6) ligt op k. Bereken de formule van lijn k. Van formule naar functievoorschrift. Een lineair verband heeft de formule (vb. y = 3x, N = 100 t ) y = ax + b met behulp van de pijlnotatie wordt dit (vb. x 3x, t 100 t ) x ax + b en met behulp van de functienotatie f : x ax + b (vb. g: x 3x, h: t 100t 400 functie zijn) f ( x) = ax + b ofwel (vb. g( x) = 3x g(x) = 3x -, ht ( ) = 100t+ 400 ) f x) = ax + b ( is een lineaire functie + ), waarbij f, g en h de "namen" van de 14. Schrijf de volgende formules in de functienotatie. a) y = x + 4 b) K = 15 a + 35 c) N = 50t 15 d) y = x 7 Een functie voegt aan elk origineel het bijbehorende beeld toe. Voorbeeld: f : x 3x = 10 Ofwel f (4) = 10., dus aan origineel 4 wordt beeld 10 toegevoegd. f (4) = 10 betekent: als je in functie f voor x 4 invult, dan wordt y gelijk aan 10. In tabel: Als getallenpaar: (4, 10) x 4 y Gegeven is de functie f : x 4x + 3. a) Bereken f (3), f (0) en f ( ). b) Bereken het beeld van -1. Bereken de functiewaarde van 5. c) Geef de formule van f. 6

7 16. Gegeven is de functie g( t) = 1 1 ( t 3) + a) Bereken g (1), g (3), g (0). b) Bereken het beeld van. c) Bereken de functiewaarde van -. d) Geef de formule van g. 17. Gegeven is de functie h : x x + 1. a) Teken de grafiek van h. Maak eerst een tabel. b) Ligt (4, -7) op de grafiek van h? Controleer je antwoord met een berekening. c) Punt H met y -coördinaat -17 ligt op de grafiek van h. Bereken de x -coördinaat van H. Kwadratische verbanden 1. Gegeven is de formule y = x 3. a) Neem x = 3 en bereken y. b) Vul de tabel in. x y y = x +. De tabel hieronder hoort bij de formule x y e verschil e verschil a) Vul de ontbrekende getallen in. b) Welke bijzonderheid ontdek je? 3. Neem de formule y = 4x + 1. a) Maak een tabel en vul deze in. Neem hiervoor de getallen van 0 t/m 6. b) Bereken in de tabel het eerste en het tweede verschil (zie opgave ). c) Wat valt je op? 7

8 Bij een lineair verband zijn de eerste verschillen gelijk. Bij een kwadratisch verband zijn de tweede verschillen gelijk. Voorwaarde daarbij is dat in de bovenste regel van de tabel de waarden gelijkmatig toenemen. Een kwadratisch verband heeft de vorm Een kwadratische functie heeft de vorm y = ax + bx + c, met a 0. f ( x) = ax + bx + c, met 0 a. 4. De PC-corner verkoopt computers. De winst in euro is per maand: W = 6a + 600a, a is het aantal verkochte computers per maand. a) Hoeveel winst maakt de PC-corner bij 10 verkochte computers? b) Hoeveel winst maakt de PC-corner bij 40 verkochte computers? c) Vul de tabel in: a W d) Bij welk aantal verkochte computers is de winst maximaal? e) Teken de grafiek bij deze gegevens. 5. Een kwadratisch verband heeft de formule y = x + 3x. a) Vul de tabel in. x y 3 4 b) Teken de grafiek. c) Geef de coördinaten van het hoogste punt T van de grafiek. De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. De grafiek van de functie f ( x) = ax + bx + c is een dalparabool als a > 0, en is een bergparabool als a < Gegeven is de functie g : x x + x. a) Teken de grafiek van g. Maak eerst een tabel en kies daarbij zelf de waarden van x. b) Is de grafiek van g een dal- of een bergparabool? c) Geef de coördinaten van de top. 8

9 7. Gegeven is de functie h ( x) = x x + 3. a) Is de grafiek van h een dal- of een bergparabool? b) Bereken h ( ), h (0) en h (3). c) Teken de grafiek van h. Maak eerst een tabel. d) Geef de coördinaten van de top. 8. Gegeven is de functie f ( x) = x 3x + 4. a) Ligt (, 8) op de grafiek van f? Licht je antwoord toe. b) Ligt (-3, 3) op de grafiek van f? Licht je antwoord toe. De grafiek van ontstaat door de grafiek van 3 eenheden omhoog te schuiven. De grafiek van ontstaat door de grafiek van eenheden omlaag te schuiven. 9. Gegeven is de functie f( x) = x + 5x 4. Geef het functievoorschrift van de andere parabolen in deze tekening. 9

10 10. a) Teken de grafiek van j : x x x. Maak eerst een tabel en neem voor x de getallen van - tot en met 4. b) Verschuif de grafiek van j 3 eenheden omhoog. Teken de nieuwe grafiek en noem deze h. c) Geef het functievoorschrift van h. Exponentiële verbanden 1. Lieke zet op 1 januari , op haar spaarrekening. Ze krijgt van de bank 3% rente op haar spaartegoed. a) Hoeveel geld staat er 1 jaar later op Lieke 's rekening? b) Hoeveel geld staat er jaar later op Lieke's rekening? c) Vul de tabel in. jaartal saldo d) Groeit het saldo van Lieke lineair of kwadratisch of...? Licht je antwoord toe.. De zonnebloemplant van Anne is op116 juni 4 cm hoog. Per dag groeit de plant met een factor 1,4. a) Hoe hoog is de plant op 17 juni? b) Hoe hoog is de plant op 19 juni? c) Vul de tabel in. datum 16 juni 17 juni 18 juni 19 juni 0 juni hoogte d) Groeit Anne's plant lineair, of kwadratisch of...? Licht je antwoord toe. e) Kun je de lengte van de plant op 17 augustus berekenen? Licht je antwoord toe. Bij een exponentiële groei wordt de hoeveelheid (het saldo, de lengte, et cetera) per tijdseenheid (jaar, dag, et cetera) telkens met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Dit getal noemen we de groeifactor. De hoeveelheid N na een bepaalde tijd t is afhankelijk van de beginhoeveelheid b en de groeifactor g. t In een formule: N = b g Als de groeifactor > 1, dan is er sprake van een exponentiële toename. Als de groeifactor < 1, dan is er sprake van een exponentiële afname. 10

11 3. a) Geef de formule voor Lieke's spaarsaldo (opgave 1). b) Geef de formule voor de hoogte van Anne's plant (opgave ). 4. Welke tabellen horen bij een exponentiële groei? I t N 10 15,5 33,75 50,65 II t N III t N IV t N ,4,56 5. Het aantal km natuurgebied in Europa is tussen 1960 en 1964 per jaar met % afgenomen. In 1960 was er km natuurgebied in Europa. c) Vul de tabel in: jaartal t oppervlakte N d) Je moet telkens vermenigvuldigen met "groeifactor" 0,98. Leg uit waarom dit zo moet. e) Geef de formule van dit exponentieel verband. Bij een procentuele toename van 3% hoort een "groeifactor" van 1,03. Bij een procentuele afname van 1% hoort een "groeifactor" van 0, a) Hoe groot is de groeifactor als de hoeveelheid telkens wordt verdubbeld? b) Hoe groot is de "groeifactor" als de hoeveelheid telkens wordt gehalveerd? 7. Op de akker van boer Bekkers leven 3 miljoen schadelijke insecten. Door met een biologisch afbreekbaar middel te spuiten, neemt het aantal insecten per dag met de helft af. a. Na hoeveel dagen leven er nog schadelijke insecten op Bekkers akker? b. Welke formule hoort bij dit exponentieel verband? 11

12 8. In Aadorp neemt het aantal inwoners jaarlijks met 1% toe. Op 1 januari 1996 had Aadorp 950 inwoners. a) Geef de formule bij dit exponentieel verband. b) Maak een tabel voor de jaren 1996 tot met 00 en vul deze in. c) Teken de grafiek van het aantal inwoners van Aadorp in deze periode. d) In welk jaar heeft Aadorp voor het eerst meer dan 500 inwoners? Ter afronding Overal op aarde is de behoefte aan schoon drinkwater groot. Niet alleen voor huishoudelijk gebruik (o.a. drinkwater), maar vooral voor niet-huishoudelijk gebruik (landbouw en industrie) is heel veel water nodig. In 1975 bedroeg het waterverbruik in de Verenigde Staten ongeveer 1540 miljard liter per dag. In 1980 was het 1680 miljard liter per dag, een toename van 9% in een periode van 5 jaar. Een onderzoeksbureau verwachtte in 1980 dat het waterverbruik exponentieel zou blijven stijgen en dat de toename elke vijf jaar minimaal 7% en maximaal 10% zou zijn. a) Als de verwachtingen van het onderzoeksbureau uitkomen, hoeveel liter water wordt er dan in 1990 minimaal per dag verbruikt in de VS? b) En hoeveel water in 1995 maximaal? De onderzoekers verwachten dat er niet onbeperkt aan die toenemende waterbehoefte kan worden voldaan. Ze verwachten dat er maximaal 5000 miljard liter water per dag beschikbaar zal zijn. c) Tot welk jaar zal er, volgens de veronderstellingen van de onderzoekers, zeker nog voldoende water beschikbaar zijn? Licht je antwoord toe. 1

13 Diagnostische toets bij blok 1 Even testen! Nu je de leerstof van het blok hebt doorgewerkt, wordt het tijd om eens te testen of je alles goed begrepen hebt. Hieronder vind je een aantal opgaven over dit blok. Probeer ze zo goed mogelijk te maken! Beheers je de leerstof? Als je nog vragen hebt, neem dan contact op met je docent! Veel succes!! 1. Bij Bloemboetiek "Huib" kost een grote rode roos 0,75. Om een mooi boeket te maken van de rozen vraagt de Bloemboetiek,. a) Hans wil een boeket van 15 rozen kopen. Wat kost dit? b) Vul de tabel in: aantal rozen kosten in euro c) Teken de grafiek bij deze gegevens. d) Is dit een lineair verband? Licht je antwoord toe.. Teken in één figuur de lijnen: a) l: y = x 1 c) n: y = x+ 1 b) m: y = x+ 3 d) p: y = 4x Geef de formules van de lijnen l en m in de tekening hiernaast. 4. a) Het punt (4, -1) ligt op de lijn l: y = 3x+ b. Berekenb. b) Het punt (3, 1) ligt op de lijn m : y = ax + 4. Bereken a. 13

14 5. Anniek trapt een voetbal met een boogje de lucht in. 1 De bal beschrijft een baan volgens de formule: H = t + t. t = tijd in seconden, H = hoogte in meters a) Hoe hoog is de bal na seconden? b) Hoe hoog is de bal na 1 seconden? c) Vul de tabel in: 16 tijd in seconden hoogte in meters d) Na hoeveel seconden is de bal op zijn hoogst? e) Teken de grafiek bij deze gegevens. 6. Gegeven is de functie f ( x) = x 5x 4 a) Is de grafiek van f een dal- of een bergparabool? b) Bereken f ( 1), f () en f (5). c) Teken de grafiek van f. Maak eerst een tabel. d) Geef de coördinaten van de top. 7. Schrijf van onderstaande tabellen op bij welk soort verband ze horen. Licht je antwoord toe. I t N II t N III t N IV t N Het aantal vlinders in Nationaal Park de Hoge Veluwe neemt jaarlijks met 4% af. Na hoeveel jaar is het aantal vlinders gehalveerd? Leg uit hoe je aan je antwoord bent gekomen. 14

15 Blok Vergelijkingen en ongelijkheden Intro!! Gelijk en ongelijk. Elke dag gebruiken we deze woorden, in meerdere betekenissen. Ook in de wiskunde is vergelijken belangrijk. Er zijn zelfs verschillende soorten vergelijkingen (en ongelijkheden). Je kunt ze met een berekening oplossen. Kijk maar eens naar dit uitgewerkte voorbeeld. Geert moet in de maand oktober vier keer voor 9 uur 's ochtends met de trein naar Enschede. Een retourtje vanaf zijn woonplaats kost 44,50. Met een voordeelurenkaart krijgt hij 40% korting. Zo'n kaart kost 45, en is een jaar geldig. Is het slim van Geert om een voordeelurenkaart te kopen voor zijn reizen in oktober? 4 retourtjes zonder korting kosten 4 x 44,50 = 178, 4 retourtjes met korting kosten 4 x 6,70= 106,80 1 Voordeelurenkaart kost 45, Samen 106, , = 151,80 Het voordeligst voor Geert is de kaartjes te kopen met de voordeelurenkaart. Stel dat Geert de prijs van een retourtje niet kent. Vanaf welk bedrag is hij voordeliger uit met een voordeelurenkaart? prijs retour = zonder korting: bedrag = 4 x = met korting: bedrag = 4 x 0,6 x + 45 = vergelijken: (afgerond) Als het retourtje 8,15 kost of meer is Geert voordeliger uit met een voordeelurenkaart. 15

16 Wat ga je leren? In dit blok leer je - lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met de balansmethode; - snijpunten van lijnen en parabolen met de X-as berekenen; - kwadratische vergelijkingen oplossen met drie methoden: 1. a b = 0. som- productmethode en 3. de wereldberoemde abc -formule - kwadratische ongelijkheden oplossen door aflezen uit de grafiek. Je mag aan dit blok maximaal 8 klokuren werken. Veel succes!! Lineaire vergelijkingen 1. Voor elektriciteit in huis betaal je een vast bedrag per maand en een bedrag per kilowattuur (kwh) verbruik. In een formule: Kosten = ,3 aantal kwh. Hieronder zie je de grafiek voor de elektriciteitskosten per maand. a) De familie Van den Broek moet in april 110, betalen aan het elektriciteitsbedrijf. Hoeveel kwh elektriciteit hebben zij in deze maand verbruikt? b) In december wil de familie niet meer dan 80, betalen. Hoeveel kwh elektriciteit mogen zij maximaal verbruiken in deze maand? In plaats van de woordformule Kosten = ,3 aantal kwh mag je schrijven de letterformule K = ,3 a of K = ,3a 16

17 . Bij tennisvereniging Smash kun je een baan huren voor een partijtje tennis. Je betaalt eenmalig een inschrijfbedrag van 30,, daarna kost één uur tennissen 3,75. a) Stefan heeft in het seizoen de baan 1 uur gehuurd. Wat heeft hij moeten betalen? b) Vul de tabel in: aantal uren kosten c) Teken de grafiek bij deze tabel. d) Maak een woordformule bij deze gegevens. 3. Bij tennisvereniging Volley betaal je eenmalig 105, en daarna kun je in het seizoen zoveel tennissen als je maar wilt. Anniek gaat tennissen bij Volley. a) Vul de tabel in: aantal uren kosten b) Teken de grafiek bij deze tabel in de figuur van opgave. c) Maak een woordformule bij deze gegevens. 4. Kijk naar de grafieken van opgave en 3. a) Bij welk aantal uren is Anniek het voordeligst uit? b) Bij welk aantal uren is Stefan het voordeligst uit? c) Bij welk aantal uren zijn ze allebei evenveel geld kwijt? Door grafieken met elkaar te vergelijken kun je antwoorden vinden op vragen als: "Wanneer betalen ze evenveel?" en "Wanneer is hij voordeliger uit dan zij?". Maar... aflezen uit grafieken kan gemakkelijk leiden tot onnauwkeurigheden. Daarom is het beter een rekenmethode te gebruiken. vb. Kosten Stefan = ,75u (u = aantal uren tennissen) Kosten Anniek = 105 Met de balansmethode kun je de formules vergelijken en de oplossing berekenen. Balansmethode: , 75u = 105 3,75u = 75 u = 0 Dus: bij 0 uur tennissen betalen Stefan en Anniek evenveel. links en rechts - 30 links en rechts : 3,75 Let op! In de balansmethode geldt: altijd aan beide kanten van het '= teken' hetzelfde doen! 17

18 5. Videotheek Look berekent de huurprijzen voor de videobanden als volgt: kosten = x aantal banden. Videotheek Track berekent de huurprijzen met de formule: kosten = 5 + x aantal banden. a) Vul de tabel in: aantal banden kosten Look kosten Track b) Geef de letterformule van Look. c) Geef de letterformule van Track. Om te bepalen of je voordeliger uit bent bij Look of Track kun je tabellen maken en aflezen; kun je grafieken tekenen en aflezen en kun je gebruik maken van de balansmethode. De balansmethode kost minder tijd en is in veel gevallen nauwkeuriger! vb. vergelijk K = a met K = 5 + a dus: a= 5 + a 10 + a = 5 a = 15 a = 7,5 -a -10 : Algemene regels voor de balansmethode: 1. werk eerst rechts de term met de letter weg;. werk dan links de term zonder letter weg; 3. deel beide kanten door het getal dat vóór de letter staat. 6. Los op (met de balansmethode): a) 10 x + 4 = 6x + 10 b) 9 p + 35 = 7 p + 55 c) 7 + t = t + 1 d) z = 3 + z 18

19 Nog enkele voorbeelden van de balansmethode: 1 + 4t = 30 6t 5 p+ 1 = 8 p t 8p t = 30 13p + 1 = t = 4 13p = 39 : 10 : 13 t = 4, p = 3 Let op!! Je moet in de balansmethode werken volgens vaste afspraken, dus: eerst rechts letters weg, dan links getallen weg, tenslotte delen door het getal voor de letter! 7. Los op: a) 7 b 1 = 9b + 1 b) p 1 = p 1 c) 5z 45 = 5z d) 3,4x + 4 = 7,9x 5 8. Los op: a) b) p+ p= 1 p x+ = x a = 5 a + 1 c) In de vergelijkingen kunnen ook haakjes voorkomen. Deze haakjes moet je altijd eerst "wegwerken". Voorbeeld: 3( a+ 10) = 3 a = 3a+ 30 6( p 4) = 6 p 6 4 = 6 p 4 3 ( t 1) = 3 t 3 1 = 3t Werk de haakjes weg: a) 4(x 7) = b) ( p + 4) = c) 0,1(a 7) = d) 1 + 8) = 1 4 ( 3 t 19

20 Werkschema voor het oplossen van lineaire vergelijkingen: 1. haakjes wegwerken;. alle termen met een letter naar het linkerlid van de vergelijking, de rest naar het rechterlid van de vergelijking brengen; 3. herleiden; 4. delen door het getal voor de letter. vb. 3( x 1) = 5( x + ) 7 3x + 3 = 5x x + 3 = 5x x + 3 = 3 8 x = 0 x = 0 5x 3 : Los op: a) 4(x 3) + 3 = 7 + ( 3x+ 1) b) ( 6 p + 9) = (4 p + 7) c) ( x 1) = (x+ ) d) 1 5( a + 4) = 7 (9a + 1 ) 11. a) Teken lijn l met vergelijking y = 4 x + 3. b) Teken lijn m met vergelijking = x + 5 y. c) Lees uit de grafiek de coördinaten van het snijpunt van de lijnen af. Snijpunten van lijnen kun je aflezen uit de grafiek maar natuurlijk ook berekenen met de balansmethode. ` Voorbeeld: l : y = 4x + en m : y = 3x + 9 Berekening van het snijpunt betekent: Los op: 4 x + = 3x x + = 9 7 x = 7 x = 1 De x -coördinaat van het snijpunt is dus 1. x = 1 invullen in y = 4 x + (of y = 3 x + 9 ): y = 4 1+ = 4 + = 6. Snijpunt van l en m is het punt (-1, 6) 3x : -7 0

21 1. Bereken de snijpunten van: a) : y = x + 3 b) : y = 1 1 x 1 c) : y = 5x + 7 l en m : y = 3x 4 p en q : y = 4x + 10 s en t : y = x Kwadratische vergelijkingen 1. Een parachutist springt vanaf 3000 meter uit een vliegtuig. Bij de hoogte van de parachutist hoort de formule: h = ,4t. Hierin is t = tijd in seconden en h = hoogte in meters. Na hoeveel seconden is de parachutist op 000 meter? Gebruik de methode van inklemmen. Geef je antwoord op 1 decimaal nauwkeurig.. Jeroen heeft een foto van 0 bij 5 cm. Om de foto zit een rand. Deze rand is aan de onder- en bovenkant x zo breed als aan de zijkanten. De oppervlakte van de rand is 400 cm. Zie de figuur hiernaast. De formule voor de oppervlakte van de rand is: r (0 + r) + 5r = 8r + 130r. r r 0 5 r Hoe breed moeten de randen aan de zijkant zijn? Gebruik de methode van inklemmen. Geef je antwoord op 1 decimaal. r Inklemmen is een onnauwkeurige en omslachtige methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Je leert nu drie methoden die sneller en nauwkeuriger zijn. Maar eerst even oefenen met herleiden en ontbinden in factoren. 3. Herleid: a) x(x 8) = b) p( p + 4) = c) a( 3a + 4) = d) 3q( 4q 1) = 4. Vul in: a) x + 8x = x( x +...) b) p + 4 p = p( ) c) 3z + z = z( ) d) x x = x( ) 1

22 x + 4x schrijven als ( x + 4 ) x noemen we ontbinden in factoren. Bij het ontbinden in factoren moet je zoveel mogelijk letters en een zo groot mogelijk getal buiten de haakjes brengen. Er mogen daarbij geen breuken ontstaan. 5. Ontbind in factoren: a) 4x + 4x b) 8p + p c) x x d) 39x 5x Oplossen van kwadratische vergelijkingen: Methode 1. vb. 3 0 Via ontbinden in factoren en de regel: A B = 0 geeft A = 0 of B = 0 kun je eenvoudige kwadratische vergelijkingen oplossen. x + x = vb. p + 3p = 0 x( x + 3) = 0 p( p + 3) = 0 x = 0 of x + 3 = 0 p = 0 of p + 3 = 0 x = 0 of x = 3 p = 0 of p = 3 = 0 p = 1 1 p of 6. Los op: a) x + 7x = 0 b) 10q + 5q = 0 c) x + x = 0 d) p + 5p 0 Een toepassing van Methode 1: De grafiek van de functie punten. f ( x) = x + 4x snijdt de x -as in twee Voor deze snijpunten met de x -as geldt: = f ( x) = 0 De berekening van de snijpunten gaat als volgt: f ( x) = 0 x + 4x = 0 x( x + ) = 0 x = 0 of x = Snijpunten met de x -as zijn dus (0, 0) en (-, 0) y.

23 7. Gegeven is de functie h : x x + x. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van h met de x -as. Voor je met Methode gaat werken, eerst nog even oefenen met het wegwerken van haakjes. Het wegwerken van haakjes in ( x + 8)( x + 3) gaat als volgt: ( x + 8)( x + 3) = x + 3x + 8x + 4 = x + 11x + 4 Zo is ( x )( x + 4) = x + 4x x 8 = x + x 8 8. Herleid: a) ( x )( x + 3) = b) ( x + 1)( x 5) = c) ( x + 7)( x + 4) = d) ( x 4)( x 3) = Oplossen van kwadratische vergelijkingen: Methode. Bij het ontbinden in factoren via de som- productmethode is het de bedoeling. Via deze methode x + 11x + 4 te herschrijven als ( x + 8)( x + 3) kunnen kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Voorbeeld: Los op: x x + som = -5 en product = 6 - en -3 zijn de gezochte getallen, want 3 = 6 en + 3 = 5. = x 5x + 6 = 0 ( x )( x 3) = 0 x = 0 of x 3 = 0 x = of x = Deze methode kun je alleen gebruiken als de kwadratische vergelijking begint met bijvoorbeeld niet x, x of 1 x ). 3 Dus de kwadratische vergelijking moet staan in de vorm ax + bx + c = 0, met 1 x (dus a =. 9. Los op: a) x 7x + 10 = 0 b) x 6x + 5 = 0 c) x 4x + 4 = 0 d) x + 7x 8 = De grafiek van de functie ( x) = x 8x 0 Bereken de coördinaten van deze snijpunten. f snijdt de x -as in twee punten. 3

24 Oplossen van kwadratische vergelijkingen: Methode 3. Er zijn kwadratische vergelijkingen die je niet met de som- productmethode (ontbinden in factoren) op kunt lossen. x of 3x + x + 4 = 0 4 x + x + = vb. + 6x = 6 = 0 som = 6, product = som = 3, product = 3 4 3??? Geen enkele combinatie geeft de goede antwoorden! Met de abc-formule kun je elke kwadratische vergelijking oplossen. Los op: + bx + c = 0 ax (met 0 a ). =. 1. Bereken eerst de Discriminant D met de formule D b 4ac De waarde van D bepaalt het aantal oplossingen van de vergelijking. D > 0 oplossingen, D = 0 1 oplossing, D < 0 0 oplossingen.. Bereken de oplossingen met: b D x a x + 13x + 0 = a =, b = 13, c = 0 vb. Los op: 0 = of b + D x = a 1. D = b 4ac = = = 9 oplossingen. b D 13 9 b+ D x = = = 4 of x = = = a 4 a 4 vb. Los op: x + 6x + 1 = 0 a =1, b = 6, c = 1 1. D = b 4ac = = = 1 0 oplossingen. De methode met de abc-formule maakt de twee eerder uitgelegde methoden overbodig. 4

25 11. Los op a) 4x + 8x + 1 = 0 b) 3x + 3 = 10x c) ( 3x + 1)( x 6) = x d) x + 5x = 0 1. a) Bereken de snijpunten van de grafiek van de functie ( x) = x + 3x 8 (dus los op: x + 3x 8 = 0 ). b) Maak een schets van de grafiek. g met de x -as 13. a) Bereken de snijpunten van de grafiek van de functie h( x) x 4x b) Maak een schets van de grafiek. = met de x -as. 14. a) Bereken de snijpunten van de grafiek van de functie j ( x) = x 1x + 18 met de x -as. b) Maak een schets van de grafiek. Met (een deel van) de abc-formule kun je van een kwadratische functie ook eenvoudig de coördinaten van de top berekenen: b x top = en y top = f ( x top ) a vb. Bereken de coördinaten van de top van de functie f ( x) = 4x 8x + 9. b 8 a = 4 en b = 8 dus x top = = = 1 en ytop = f ( xtop ) = f (1) = 5 a 8 dus top = (1, 5) 15. Bereken de top van de volgende functies a) f ( x) = x + 9x 1 g x = x 1 4 x + x + b) ( ) 3 c) h( x) = 4x d) ( ) 9 j x = x + 5

26 Lineaire ongelijkheden 1. In de tekening zie je de grafieken van de tarieven van twee schoonmaakbedrijven. Clean-up: Kosten = x aantal uren Total care: Kosten = x aantal uren a) Los op: a = a. b) Bij welk aantal uren is Clean-up voordeliger dan Total care? De vraag van opgave 1b) luidt in wiskundetaal: voor welke a is a < a? deze vorm heet "ongelijkheid". De oplossing van deze ongelijkheid is a < 4. Getekend op de getallenlijn: Het open rondje geeft aan dat 4 géén oplossing is. Alle getallen kleiner dan 4 zijn wel oplossingen. 4 Een lineaire ongelijkheid los je op dezelfde manier op als een lineaire vergelijking, met één extra regel: bij delen door een negatief getal moet je het ongelijkheidsteken omklappen. Dus < wordt > en > wordt <. vb. Los op: 3( x + 4) > 7x 6 3x + 1 > 7x 6 4x + 1 > 6 4x > 18 < 4 1 x (denk aan het omklappen van het teken!) 6

27 . Los op a) 4 x > 1 b) 3 x + 7 < 4x + 4 c) x + 4 > 4( 3 x ) d) 7 x > 5 + 3x 3. Los op a) ( x ) < 3( x 1) (x 1) b) 4( x + 4) > 0 c) (3x+ 5) < x d) 4( x 1) > 4x 4 Kwadratische ongelijkheden 1. Hieronder zie je de grafiek van de functie f ( x) = x x 3. a) Voor welke waarde(n) van x ligt de grafiek van f onder de x -as? b) Voor welke waarde(n) van x ligt de grafiek van f precies op de x -as? c) Voor welke waarde(n) van x ligt de grafiek van f boven de x -as? 7

28 de grafiek van f onder de x -as de grafiek van g onder de x -as f ( x) < 0 g( x) < 0 voor 1 < x < 6 voor x < 1 of x > 3 dus x tussen 1 en a) Los op: f ( x) > 0. b) Teken de oplossing op een getallenlijn. 8

29 3. a) Los op: j ( x) < 0. b) Teken de oplossing op een getallenlijn. Voor elke waarde van x geldt: f ( x) > a) Los op: f ( x) < 0. Voor géén enkele waarde van x geldt: g ( x) > 0 oplossingen. 9

30 b) Los op: g ( x) < 0. Het oplossen van een kwadratische ongelijkheid kan nauwkeuriger via een berekening. x + x + < vb. Los op: Noem linkerlid f (x), dan f ( x) < 0. Los eerst op ( x) = 0 f x + 6x + 5 = 0 ( + 1)( x + 5) = 0 x +1 = 0 of x + 5 = 0 x = 1 of x = 5 x (ontbinden met som- product methode!) 4. Schets de grafiek van f en kleur het gedeelte van de x -as waar de grafiek onder de x -as ligt. 4. Geef het antwoord: 5 < x <

31 5. Los op a) x 9x + 18 > 0 b) x x > 0 c) 3x + 4x > x 3. x + x < Los op: f ( x) < 0 x + x = a = 1, b = 3, c = 6 = = 15. eerst D geen oplossingen. 4. voor elke waarde van x geldt x + 3x 6 < 0 6. Los op a) x + 4x + 5 > 0 b) 3x 4x + 9 < 0 c) x + 4x 5 > 0 31

32 Ter afronding. Gegeven is het vierkant ABCD met zijden van 8 cm. Binnen dit vierkant is een kleiner vierkant PQRS getekend. AP = BQ = CR = DS = x cm. a) Neem x = cm en bereken de oppervlakte van vierkant PQRS. b) Druk de oppervlakte van PQRS uit in x. c) Voor welke waarden van x is de oppervlakte van vierkant PQRS kleiner dan 30 cm? D R C S Q A x P 8 x B 3

33 Diagnostische toets bij blok Even testen! Nu je de leerstof van het blok hebt doorgewerkt, wordt het tijd om eens te testen of je alles goed begrepen hebt. Hieronder vind je een aantal opgaven over dit blok. Probeer ze zo goed mogelijk te maken! Beheers je de leerstof? Als je nog vragen hebt, neem dan contact op met je docent! Veel succes!! 1. Los op a) 5 4 = 3x + 4 x e) 3 5 a + 4 = 4 a 6 1,3y 1 = 0, y + f) 7 x = x p + 4 = 3 3 g) ( x 3) = x + 1 4(x 5) = 3x h) 3( 3p 3) = 3 + p b) 05 c) p d) 7. Los op a) 3(x 3) 4(x + ) = x b) 7x = ( x 1) c) ( p 3 ) = 3 p d) 4,x 0,7( 3 x) = 3,1 0, x 3. a) Teken lijn l met vergelijking = x b) Teken lijn m met vergelijking y = x + 4. y. c) Lees uit de grafiek de coördinaten van het snijpunt van de lijnen af. 4. Los op a) x + 3x = 0 b) 3x + 6x 9 = 0 c) x 8x = 7 d) ( 3x )( x + 6) = x 5. Los op a) 3 > x + 1 x c) 1 ( 6x 4) > x + 6 x d) 4( 1) < ( x 1) b) < + 4 x x 4 6. Los op a) 4x + 3 > 0 x c) 1 x x + 4 > 0 b) 3 3x 3 < 0 x d) x x < 4 33

34 7. Hieronder zie je een tunnel getekend. De boog van de tunnel heeft de vorm van een parabool met de formule h = 0,5a + 4. Hierin zijn h en a in meters. a. Henk moet met zijn vrachtwagen door de tunnel. De vrachtwagen is,5 meter breed. Bertus rijdt in het midden van de weg, hij weet dat hij dan precies door de tunnel kan. Hoe hoog is de vrachtwagen van Henk? b. Harry vervoert containers. Zijn vracht is in totaal 3 meter hoog. Hoe breed mag het transport maximaal zijn, om nog door de tunnel te kunnen? 34