Hoofdstu Saenvatting Machten en faculteiten Machten en je al: 3 4 3 3 3 3 81 Je ent nu oo faculteiten:! 4 3 2 1 12 Machtsboen en faculteitsboen Een achtsboo is een boodiagra waarbij het aantal taen gelij blijft, bij ele stap blijven dezelfde euzes ogelij. Het totaal aantal volgorden is dan te bereenen et een acht. Een faculteitsboo is een boodiagra waarbij na ele stap het aantal euzes, en dus oo het aantal taen, er één inder is. Het totaal aantal volgorden is dan te bereenen et een faculteit. Machtsboo: Het aantal volgorden is 2 3 = 8. Faculteitsboo: B C C B BC CB B C Het aantal volgorden is 3 2 1 = 3! = 6. C B C B BC BC CB CB Perutaties en cobinaties Een perutatie is een rij, waarbij de volgorde een rol speelt. Een cobinaties is een rij, waarbij de volgorde niet uitaat. De letters BC zijn één cobinatie, oo als ze in een andere volgorde staan, aar BC en BC zijn twee verschillende perutaties van deze letters. Het aantal cobinaties van r uit n is gelij aan r n n! r! n r! Het aantal perutaties van r uit n is gelij aan n! n r! Bij een zwetoernooi oen steeds zes zweers tegen elaar uit. Uit de halve finales gaan de beste drie door naar de finale. Het aantal cobinaties voor de zweers 6 6! die doorgaan, is = = 2. 3 3! (6 3)! De drie snelste zweers in de finale oen op het podiu. Het aantal perutaties voor de bezetting van plaats één, twee en drie op het 6! podiu is 6 4 = = 12. 3! 142
Hoofdstu Je unt een telproblee oplossen 1 Je gaat na of een faculteitsboo, een achtsboo of een rooster een geschit telodel is. 2 Teen het diagra of een gedeelte ervan. 3 Je bereent het aantal ogelijheden als een aantal perutaties, een acht of een aantal cobinaties. Je tret achter elaar vier aarten uit een spel van 2 en legt ze voor je op tafel. Bereen het aantal rijtjes dat je zo an aen. Oplossing Het aantal ogelijheden neet bij ele volgende treing et één af, je an dus een faculteitsboo gebruien. Het aantal ogelije rijtjes is dan het aantal perutaties van 4 uit 2, dat is 2! = 2 1 49 = 6497 4. 48! 1 e aart 2 e aart 2 1 Je unt een roosterdiagra gebruien Bij telprobleen, waarbij er steeds aar twee alternatieven zijn, is een roosterdiagra een handig telodel. Twee jongens en drie eisjes neen plaats achter een tafel. ls je let op hoe de jongens zitten ten opzichte van de eisjes, hoeveel ogelije volgorden zijn er dan? Oplossing Je telt het aantal routes in een rooster van (, ) naar (3, 2). Iedere stap naar rechts beteent eisje, ohoog beteent jongen. Er zijn dan = = ogelijheden. 3 2 j 4 3 2 1 1 2 3 4 j j Je unt telodellen cobineren Er zijn telprobleen waarbij je het aantal ogelijheden telt door eerst verschillende telodellen te iezen en die te cobineren. Je unt bij het vorige voorbeeld oo de vraag stellen: Hoeveel verschillende volgordes zijn er ogelij waarbij de jongens aan de uiteinden plaats neen? Oplossing Voor de liner stoel heb je een euze uit 2 jongens. Voor de iddelste drie stoelen, waar de eisjes plaats neen, zijn 3! = 6 volgordes ogelij. Op de rechter stoel neet dan de enige overgebleven jongen plaats. Het boodiagra aat duidelij dat er dus 2 6 1 = 12 ogelije volgordes zijn. liner stoel idden stoel rechter stoel 143
Hoofdstu Test jezelf Op de coputer vind je oo een Test jezelf et andere opdrachten. T-1 Een vlag is saengesteld uit vier horizontale banen. Stel dat er geozen ag worden uit rood, wit, blauw en groen. Ele leur ag één eer vooroen. a Hiernaast staat een gedeelte van het boodiagra. Wat voor soort boodiagra is dit? b Waaro is het niet nodig het hele boodiagra te teenen als je het aantal ogelije vlaggen wilt tellen? c d Hoeveel verschillende vlaggen zijn er ogelij? Leg uit dat er sprae is van een achtsboo als een leur wel eerdere eren an vooroen. Hoeveel verschillende vlaggen zijn er dan ogelij? Deze opdracht hoort bij paragraaf -1. 1 e baan 2 e baan rood wit blauw groen rood blauw groen T-2 Clara oet voor haar boeenlijst tien boeen lezen. a In hoeveel ogelije volgorden an zij dat doen? b Voor de zoervaantie neet Clara vier boeen ee op reis. Op hoeveel anieren an zij die iezen? c an het eind van het jaar vraagt haar leraar o haar top-drie op te geven. Hoeveel ogelijheden zijn hiervoor? Deze opdracht hoort bij paragraaf -2. T-3 Op een school zitten leerlingen in 3 VWO, 29 eisjes en 26 jongens. Zij oeten iezen tussen wisunde en B. a Hoeveel verdelingen zijn er ogelij, waarbij alle leerlingen wisunde B iezen? b Hoeveel ogelijheden zijn er, waarbij er 4 leerlingen wisunde B iezen? c Hoeveel ogelijheden zijn er, waarbij er 3 leerlingen wisunde B iezen? En 2? d Hoeveel ogelijheden zijn er, waarbij er 2 eisjes en jongens wisunde B iezen? Deze opdracht hoort bij paragraaf -3. T-4 Je gooit zes eer et een dobbelsteen en noteert na ele worp het aantal ogen. Er ontstaat zo een getal van zes cijfers. a Hoeveel verschillende getallen zijn er zo ogelij? b Marisa gooit twee eer een 4 en vier eer een. Hoeveel verschillende getallen un je aen et deze cijfers? c Peter gooit drie eer een 2, twee eer een 4 en één eer een. Hoeveel verschillende getallen zijn er et deze cijfers te aen? d Hoeveel getallen zijn er ogelij als el cijfer één aal voorot? Deze opdracht hoort bij paragraaf -4. 144
Hoofdstu T- Bij volleybalwedstrijden wordt eestal gespeeld o drie gewonnen sets the best of five. Dat wil zeggen, dat de wedstrijd is afgelopen, zodra een van de teas drie sets gewonnen heeft. a Hoeveel scoreverlopen leiden tot een uitslag 3-? b Hoeveel scoreverlopen leiden tot een uitslag 3-2? c Hoeveel scoreverlopen leiden tot een uitslag 3-2 bij een voetbalwedstrijd? T-6 De failie Van E bestaat uit vader, oeder, Eri en Chantal. Door loting zal worden bepaald wele gezinsleden elaar et Sinterlaas een cadeau geven. Voor de loting worden in een vaas vier briefjes gedaan. Op de briefjes staan de letters V, M, E en C. Eerst haalt vader, dan oeder, vervolgens Eri en als laatste Chantal een briefje uit de vaas. a Hoeveel ogelije volgorden zijn er? Tel oo volgordes ee waarbij ieand zichzelf tret. b ls ieand zichzelf tret, dan doet iedereen zijn briefje terug in de vaas en wordt er opnieuw geloot. Geef overzichtelij weer hoeveel ogelijheden er zijn waarbij niet opnieuw geloot hoeft te worden. Hoeveel ogelijheden zijn hiervoor? T-7 Wie in Budapest et de etro reisde, ocht een aartje dat voorzien is van negen vajes et daarin de cijfers 1 tot en et 9. Zodra je was ingestapt, oest je je aartje in een ponsapparaat steen, volgens de pijlrichting en et de bedrute zijde boven. Een of eer axiaal 9 cijfers werden dan in één eer weggeponst. Daaree is aan het aartje te zien in wele trein je reis is begonnen. Hiernaast zie je een aartje waarbij de vajes 1, 6 en 9 zijn voorzien van een gaatje. a Bereen op hoeveel verschillende anieren er in een aartje drie gaatjes geponst unnen worden. b In een aartje worden twee gaatjes geponst die niet in dezelfde rij of dezelfde olo zitten. Hoeveel verschillende ogelijheden zijn er? c Het aantal cijfers dat wordt weggeponst, ag variëren van 1 tot en et 9. Op een dag rijden op het etronet 4 treinen. Is het ogelij dat in ele trein op een verschillende wijze gaatjes worden geponst? Ontleend aan het exaen havo 1992-II nno 26 wordt deze ethode nog steeds gebruit in de Budapester bussen. 679 131 EBEKV VILLMOS VONLJEGY Fr 2 3 4 78? T-8a Met de letters van het woord B O L D E un je! 12 verschillende woorden voren. Het aantal verschillende woorden dat je unt aen et de letters B E L D E bedraagt precies de helft van 12, dus 6. Waaro? b Het aantal woorden dat je unt aen van E E D D E is op twee anieren te schrijven als een cobinatie. Wele twee anieren? c Beredeneer dat 3 gelij oet zijn aan 3 2. 14
Hoofdstu 2 Voorennis: Lineaire functies De grafieen van lineaire functies zijn rechte lijnen. Hoe weet je van de helling van die lijnen? En hoe reen je et lineaire functies? V-1 an twee veren worden gewichten gehangen, waardoor ze langer worden. Hiernaast zie je de grafieen die het verband weergeven tussen de assa in ilograen die aan de veren wordt gehangen en de lengte van de veren in c. a Hoe lang zijn de veren als er geen gewicht aan gehangen wordt? b Eén van de veren is stugger dan de andere, dat wil zeggen dat deze veer inder snel uitret dan de andere. Wele van de twee veren is stugger dan de andere? Leg je antwoord uit. c Hoeveel centieter neet de lengte van veer B toe bij ele ilogra die er éér aan gehangen wordt? d En hoeveel centieter is dat bij veer? lengte in c 4 3 3 2 veer 2 veer B 1 1 2 3 4 6 7 8 9 assa in g V-2 Van de twee lijnen hiernaast is één de grafie van de functie f x 3,x 8. a Wele van de twee lijnen heeft het grootste hellingsgetal? b Geef van beide grafieen het hellingsgetal. c Wele van de twee lijnen is de grafie van f? d Stel voor de andere lijn een bijpassende functie op. e Bereen de coördinaten van het snijpunt van beide lijnen. y 16 14 12 8 6 l 4 2 x 2 1 O 1 2 3 4 6 7 8 2 4 T H E O R I E Functies van de vor f x ax b noe je lineaire functies, waarbij a het hellingsgetal is en b het startgetal. Een ander woord voor hellingsgetal is richtingscoëfficiënt. De grafie van een lineaire functie is een rechte lijn. De lineaire forule y ax b die bij een lijn hoort noe je oo wel de vergelijing van de lijn. 36 V-3 Meneer Dupré oopt zijn drinwater bij Vitens. Hij betaalt bij dit bedrijf 1,1 per 3. Per jaar ot daar voor vastrecht een bedrag van 23,- bij. Hij rijgt een aanbieding van een ander bedrijf waar hij slechts 1,9 per 3 water hoeft te betalen. Het bedrag voor vastrecht is wel wat hoger, dat is bij dit bedrijf 31,- per jaar. Bij wele aantallen 3 water raad je eneer Dupré aan o in te gaan op dit aanbod?
Hoofdstu 2 V-4a b c N P K Lijn l gaat door de punten, en 3, 11. Lijn gaat door de punten, 1 en 8, 13. Wele lijn loopt steiler? Dezelfde vraag voor lijn door de punten 1, en 4, 3 en lijn n door de punten 12, 7 en 18, 19. Stel een vergelijing op van de lijn p door, 4 en 2,. Hoe stel je een vergelijing op van een lijn bij twee gegeven punten en B? 1 Schrijf de algeene vor van een vergelijing van een lijn op. 2 Bereen de richtingscoëfficiënt et de forule richtingscoëffıciënt y B y x B x 3 Vul de richtingscoëfficiënt en de coördinaten van één van de gegeven punten in bij de vergelijing y ax b en bereen het startgetal. 4 Schrijf de vergelijing op. Stel een vergelijing van de lijn door de punten P(2, 1) en Q(12, 6). Oplossing 1 y = ax + b 6 1 4 2 richtingscoëfficiënt = = = 4, dus a = 4, 12 2 3 Kies bijvoorbeeld punt P(2,1) en vul x = 2 en y = 1 in bij y = 4,x + b. Dit geeft de vergelijing 1 = 4, 2 + b. 1 = 9 + b dus b = 6. 4 De vergelijing is y = 4,x + 6. V- Beij het voorbeeld hierboven. Controleer dat het punt Q op de lijn et vergelijing y 4,x 6 ligt. V-6 Stel een vergelijing op van de lijn door de twee gegeven punten. a 8, en 12, 3 b, 6 en 11, 14 c 7, 4 en 1, 8 d, 9 en 9, V-7a b Lijn l gaat door de punten 9, 6 en 13, 2. Lijn heeft vergelijing y 2x 6. Toon aan dat de lijnen evenwijdig zijn. Lijn heeft vergelijing y x 12. Lijn p is evenwijdig aan lijn en gaat door het punt 3, 4. Geef een vergelijing van lijn p. 37
Hoofdstu 6 Saenvatting Data en frequentie De verzaelde waarneingsgetallen heten data. Een frequentie geeft aan hoe vaa een waarneing voorot. bsolute en relatieve frequenties De absolute frequentie is het werelije aantal. De relatieve frequentie is het aantal in verhouding tot het totale aantal. Je unt de relatieve frequentie in een percentage of een proillage geven. Frequentiepolygoon of lijndiagra Een frequentiepolygoon of lijndiagra is een grafie waarin de frequenties absoluut of relatief uitgezet zijn tegen de waarneingsgetallen. De waarneingsgetallen unnen gegroepeerd zijn in lassen. Klassenbreedte en lassenidden De lassenbreedte is de afstand tussen de twee grenzen van een lasse. Het lassenidden ligt in het idden tussen de twee grenzen. Het lassenidden gebrui je bij het teenen van een frequentiepolygoon, of o het geiddelde te schatten van waarneingen die in lassen zijn ingedeeld. Sofrequentie of cuulatieve frequentie en sofrequentiepolygoon De sofrequentie of cuulatieve frequentie van waarneingsgetallen is de so van alle frequenties absoluut of relatief vanaf het leinste waarneingsgetal. De grafie waarin de cuulatieve frequenties worden uitgezet tegen de waarneingsgetallen heet een sofrequentiepolygoon. Een spel heeft de volgende scoreverdeling: score 1 2 frequenties 7 6 2 De waarneingsgetallen,, 1 en 2 voren de data. De frequenties zijn absoluut. Het spel is 7 + 6 + + 2 = 2 eer gespeeld. De relatieve score van punten is 6 of 24%. 2 lengte in c lassenidden [; 12 1 [12; 14 13 [14; 16 1 [16; 18 17 Klassenbreedte is 2 c. Spreidingsaten, spreidingsbreedte, wartielafstand en standaardafwijing Spreidingsaten geven aan hoever de data in een verdeling uit elaar liggen. De spreidingsbreedte is het verschil tussen het grootste en het leinste waarneingsgetal. De wartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste wartiel. De standaardafwijing of standaarddeviatie is een aat voor de afwijingen van de waarneingen ten opzichte van het geiddelde van de waarneingen. 18
Hoofdstu 6 Je unt een frequentiepolygoon teenen Langs de verticale as worden de frequenties, absoluut of relatief, uitgezet. De punten die bij de waarneingen horen oen boven de lasseniddens. Teen een frequentiepolygoon bij deze tabel. gewicht lassenidden frequentie [; 2 [; 2 1 12 [2; 3 2 18 [3; 4 3 [4; 4 3 frequentie 4 2 3 4 leeftijd in jaren Je unt een sofrequentiepolygoon teenen Bij het teenen van een sofrequentiepolygoon zet je de sofrequenties boven de rechter lassengrenzen. Teen een relatieve sofrequentiepolygoon bij deze tabel. gewicht in frequentie sofrequentie sofrequentie in % graen [; 2 2 [; 2 12 14 3 [2; 3 18 32 8 [3; 4 37 92, [4; 3 4 sofrequentie in % 8 6 4 2 2 3 4 gewicht in graen Je unt de spreidingsaten bereenen Spreidingsbreedte, wartielafstand en de standaardafwijing of standaarddeviatie zijn de spreidingsaten. Bereen bij deze tabel de spreidingsbreedte, de wartielafstand en de standaardafwijing. gewicht in frequentie graen 3 3 31 6 32 8 33 7 34 1 Oplossing Voer de tabel in je reenachine in. De spreidingsbreedte is 34 3 = 4. De wartielafstand is 33 31 = 2. De standaardafwijing is 1,7. 181
Hoofdstu 6 Test jezelf Op de coputer vind je oo een Test jezelf et andere opdrachten. Geboorte en sterfte per inwoners 3 3 2 2 1 zieten van adehalingsorganen zuigelingen spaanse griep sterfte griep honger, besettelije zieten, enz. slachtoffers eidagen griep watersnood levendgeborenen sterfte overledenen beneden 1 jaar per levendgeborenen 19 19 192 193 194 19 196 197 T-1 Bovenstaande frequentiepolygonen gaan over geboorte- en sterftecijfers. Horizontaal staan de jaartallen, verticaal de aantallen geboortes en sterftes. Bij een aantal pieen staat de oorzaa vereld. a Zijn de frequenties in deze grafie absoluut of relatief? Licht je antwoord toe. b In het jaar 1918 zijn veel ensen het slachtoffer geworden van de Spaanse griep. De totale bevoling bedroeg toen 6 62 3. Geef een schatting van het aantal slachtoffers. c Bereen hoeveel baby s in 1918 de leeftijd van 1 jaar niet bereiten. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-1. T-2 In de jaren zeventig werd een onderzoe gedaan naar de groei en gezondheid van tieners. Hiernaast staan de resultaten van de etingen van de schouderbreedte bij veertig 17-jarige jongens. a Verdeel de data in elf lassen, aa een frequentietabel en teen een frequentiepolygoon. b Bij wele opeenvolgende lassen is de verandering van de frequentie het grootst? c Schat de geiddelde schouderbreedte et de lasseniddens. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-2. T-3 Hiernaast staat een tabel et gegevens over de inoensverdeling in de Verenigde Staten. a Nee de tabel over en voeg een olo et cuulatieve percentages toe. b Teen de sofrequentiepolygoon. c Ieand schat dat driewart van de bevoling inder verdient dan 2 dollar. Laat zien of dat uit je teening blijt. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-3. schouderbreedte in c 3,2 39,6 38, 38,6 36, 39,1 4,1 41, 43, 42,4 38, 43,7 41,8 36,9 37,3 4,7 3, 44,1 4,1 4,9 41,2 4,3 41, 43,2 41,4 4,3 4, 42,9 39,6 39,1 38, 38,7 37, 42,3 38, 4, 39, 44,2 4, 41,9 inoens in dollars bevolingspercentage [, 2 3 [2, 4 7 [4, 6 [6, 2 [, 1 26 [1, 2 26 [2, 7 [, 1 182
Hoofdstu 6 T-4 Bijen leven in grote groepen waar een strae werverdeling bestaat. Het wer van een werbij hangt af van haar leeftijd, zoals in de diagraen hiernaast te zien is. a Op wele leeftijd besteedt een werbij haar tijd aan raat sluiten? Wat is voor die periode de geiddelde tijd die daaraan besteed wordt? b Op wele leeftijd heeft een werbij het eeste wer? Wel wer doet zij dan? c d Wel percentage van haar leven poetst een werbij cellen? Wele taa ost het eeste tijd in het leven van een werbij? Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-4. T- Ele serie waarneingsgetallen heeft een geiddelde van. De spreiding verschilt nogal. 2 4 6 8 B 1 2 98 99 C 48 49 1 2 percentage van de tijd besteed aan ele bezigheid 3 2 2 2 2 broedzorg raat bouwen raat sluiten speelvluchten cellen poetsen voedsel zoeen volgen van dansen -1 1 2 24 leeftijd van de werbij in dagen 7 6 4 3 2 a b c Laat zien dat de spreidingsbreedte als spreidingsaat teort schiet. Zet zonder te reenen de drie series in volgorde van toeneende spreiding. Controleer je resultaat door van ele serie getallen de wartielafstand en de standaardafwijing uit te reenen. Deze opdracht hoort bij paragraaf 6- en 6-6. T-6 Van 19 eisjes en 29 jongens uit de vierde las van het voortgezet onderwijs is de taillewijdte geeten in c. De resultaten van dat onderzoe zijn voor de eisjes en de jongens weergegeven in de tabel hiernaast. a Teen et behulp van de lasseniddens in één figuur frequentiepolygonen van de verdelingen. b Vergelij de frequentiepolygonen. Zijn ze in of eer gelijvorig? c Geef schattingen voor beide verdelingen van de ediaan en van de wartielafstand. d Bereen eveneens et behulp van de lasseniddens voor beide groepen de geiddelde taillewijdte en de standaardafwijing van de taillewijdte. e De oorspronelije data geven de waarden in de tabel hiernaast. Koen jouw schattingen hieree overeen? f Kun je concluderen dat jongens overwegend dier zijn dan eisjes?? T-7a Klas heeft geiddeld een 6,2 et standaardafwijing 2. Klas B heeft oo geiddeld een 6,2 aar et een standaardafwijing,7. Wele conclusie un je treen uit deze gegevens van las en las B? b Wele verschillen zijn er tussen een frequentiepolygoon en een sofrequentiepolygoon? lasse frequentie frequentie [4; 2 [; 6 2 2 [6; 7 116 29 [7; 8 49 123 [8; 9 4 41 [9; 1 9 [; 1 3 geiddelde 66,4 7,9 standaardafwijing 6,6 8,1 ediaan 66 7 wartielafstand 4, 4, + + 183