Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online. 2. Oefeningen over functieverloop 1997 Juli Vraag 2 De functie f: R R: f(x) = <A> Heeft geen buigpunt(en) <B> Vertoont een buigpunt voor x = 0 <C> Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1 <D> 1997 Juli Vraag 3 Vertoont twee buigpunten, voor x = - 3 en voor x = 3 De functie f: R R, f(x) = <A> <B> <C> <D> Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot Heeft rechte y = 2x 1 als schuine asymptoot 1997 Juli Vraag 10 Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van deze doos in cm 3 is: <A> 14000 <B> 16000 <C> 18000 <D> 20000 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2
1997 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24? <A> {-5;-1;2;7} <B> {-4;-1.5;1;16} <C> {-7;-0.5;3;5} <D> {-3;-2.5;4;9} 1997 Augustus Vraag 6 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie: F: xy(x) = <A> <B> <C> <D> heeft de rechte y = 0 als asymptoot Vertoont geen relatieve extrema Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot Heeft de rechte y = x 2 als schuine asymptoot 1997 Augustus Vraag 8 Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V 0 m 3. Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak? <A> h = 0.75 r <B> h = r <C> h = 1.5r <D> h = 2r 1997 Augustus Vraag 9 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie F: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Is NIET juist? <A> <B> <C> <D> Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten Als a = 2 heeft de veeltermfunctie b/3 als nulpunten dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
1997 Augustus Vraag 11 Beschouw de volgende irrationele functie: f: x y(x) = - 2+8 Welke van de volgende beweringen is NIET juist? <A> Ze heeft een buigpunt voor x = 2 <B> Ze heeft een minimum voor x = -1 <C> Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2] <D> Ze heeft twee snijpunten met y = -2 2000 Juli Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f: x y(x) = x 2 - <A> <B> <C> <D> Heeft de recht y = 0 als asymptoot Vertoont een (relatief) minimum Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten Heeft een schuine asymptoot 2000 Juli Vraag 8 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x 2 + 12x -7 Welke van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd 2001 Augustus Vraag 1 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Is NIET juist? <A> <B> <C> <D> Als a = 0 en bcd 0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt Als abcd 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
2001 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is NIET juist? De rationale functie: f: x y(x) = <A> <B> <C> <D> Heeft de rechte y = 2 als asymptoot Heeft een verticale asymptoot Heeft een schuine asymptoot Vertoont een buigpunt 2001 Augustus Vraag 9 Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. <A> <B> <C> <D> Beide beweringen zijn juist. Alleen de eerste bewering is juist. Alleen de tweede bewering is juist. Beide beweringen zijn onjuist. 2002 - Juli Vraag 1 Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x 2 + 18 x - 9 Welke van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> voor x= 1 / 2 vertoont zij een relatief minimum voor x= 3vertoont zij een relatief minimum voor x= 7 / 4 vertoont zij een relatief maximum voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum 2002 -Juli Vraag 10 Beschouw de kromme x 2 y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y in een punt van de kromme met x=3 is <A> -1/6 <B> 0 <C> 1/6 <D> 1 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
2002 - Augustus Vraag 1 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5. Welk van de volgende beweringen is juist? <A> <B> <C> <D> x = 5/6 is een relatief maximum x = -1/3 is een relatief maximum x = 5/2 is een relatief maximum x = 2 is een relatief maximum 2002 - Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x 2y 1 = 0 Hoeveel bedraagt de afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? <A> 1 <B> 0 <C> ½ <D> 1 2007 Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen over de rationale functie f: x y(x) = is NIET juist? <A> <B> <C> <D> De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot De functie heeft een verticale asymptoot De functie heeft een schuine asymptot De functie heeft twee nulpunten 2008 Juli Vraag 4 Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1+ Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? <A> [0,06;0,07[ <B> [0,07;0,08[ <C> [0,08;0,09[ <D> [0,09;0,10[ dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
2008 - Juli Vraag 7 We beschouwen de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Welke uitspraak is onjuist? <A> Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de parabool <B> De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle zijde naar onder ligt. <C> De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de parabool. <D> Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend. 2008 - Augustus Vraag 8 Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd? <A> De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt. <B> De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6. <C> De functie heeft een buigpunt bij x=-3 <D> De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
2009 - Juli Vraag 1 Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? <A> X = - 1/2 <B> X = 1/2 <C> X = 1 <D> X = 2 2009 Juli Vraag 2 Gegeven is een derdegraadsfunctie: f (x) = 4 x 3 + 2 x 2 + x -1/6 Welke buigpunten heeft deze functie? <A> een buigpunt op x = -1/6 <B> eeen buigpunt op x = 1/6 <C> een buigpunt op x = 0 <D> een buigpunt op x = 1 2009 - Juli Vraag 3 Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? <A> x = - 1/2 <B> x = ½ <C> x = 1 <D> x =2 2009 - Juli Vraag 10 Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x 3 x 2 3x -9 <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8
2010 - Augustus Vraag 5 De grafiek van de functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 : <A> <B> <C> <D> Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten 2011 - Juli Vraag 3 Gegeven is de volgende veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm? <A> 1 <B> 2 <C> 3 <D> 4 2011 - Juli Vraag 7 Gegeven is de functie y = Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke? <A> <B> <C> <D> Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten 2011 - Augustus Vraag 3 Gegeven is de volgende rationele functie: y = Welke uitspraak is verkeerd? <A> <B> <C> <D> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 9
2012 - Juli Vraag 2 Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld. Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn. A. 8 B. 12 C. 20 D. 32 2012 Juli Vraag 5 In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen. Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie: Y = 100x 2 1500x + 600 Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst? <A> <B> <C> <D> 6,5 uur 7 uur 7.5 uur 8 uur 2012 Augustus Vraag 7 De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag. Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel. A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 10
Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? <A> 2 <B> 3/2 <C> 1 <D> ½ 2012 Augustus Vraag 8 We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x 2 + 2 Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x. <A> -4 <B> ¼ <C> -2 <D> ½ 2013 - Juli Vraag 3 versie1 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? <A> 1 <B> 2 <C> 1 en 3 <D> 2 en 4 2013 - Juli Vraag 3 versie2 We beschouwen de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 11
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? <A> 1 en 4 <B> 2 en 3 <C> 1,2 en 3 <D> 1, 2 en 4 2013 - Juli Vraag 6 We beschouwen de functie: = 2+4 Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 12
2013 - Juli Vraag 8 versie 1 Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? 2013 - Juli Vraag 8 versie 2 In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 13
2013 - Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) = Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = 3 2013 - Augustus Vraag 7 Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> 3 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 14
2013 - Augustus Vraag 8 Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 -(x- 2) 3 y = 1 + (x- 2) 3 y = 2 -(x- 1) 3 y = 1 + (x- 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? <A> <B> <C> <D> grafiek A grafiek B grafiek C grafiek D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 15
2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y x Welk functievoorschrift is correct? <A> <B> <C> <D>. Y = 300 + 200.. Y = 300 + 200.. Y = 500-200.. Y = 500-200. 2014 Juli Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? <A> 6 <B> -6 <C> 2 <D> -2 2014 Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 16
y 700 500 300 100 x Welk functievoorschrift is correct? <A> Y = 700 200.e -0,025x <B> Y = 700 200.e 0,025x <C> Y = 500 + 200.e 0,025x <D> Y = 500 + 200.e -0,025x 2015 - Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 <A> 4 <B> 2 <C> 1 <D> 0 2015 - Juli Vraag 9 Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is. <A> ]-, 0] <B> ]-, 0]U [2/3, + [ <C> ]-, 1/2] <D> ]-,-1/2]U[1/2, + [ 2015 - Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 17
We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? <A> 1/2 <B> 5/4 <C> 0 <D> 3/2 2015 Augustus Vraag 3 De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x 2 e -x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend? <A> ]1,2[ <B> ]-1,1[ <C> ]0,1[ <D> ]2,3[ 2015 - Augustus Vraag 5 Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x 2 en x = y 2 is gelijk aan <A> 4 <B> 3 <C> 2 <D> 1 2016 - Juli geel Vraag 10 Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x 3 11 x 2 25x 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). Als A en B verschillende punten zijn, dan is p + q gelijk aan <A> -2352 <B> -1 <C> 0 <D> 1 2016 - Juli geel Vraag 13 Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 e -x h(x) = De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 18
Welke grafiek stemt overeen met welke functie? <A> (a) met f, (b) met g, (c) met h <B> (a) met g, (b) met f, (c) met h <C> (a) met g, (b) met h, (c) met f <D> (a) met f, (b) met h, (c) met g 2016 - Augustus geel Vraag 4! Beschouw de punten P( 2, 2) en Q ( 4, 2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x 2-2 <A> in P en in Q <B> in P,maar niet in Q <C> in Q, maar niet in P <D> niet in P en niet in Q 2016 - Augustus geel Vraag 5 en g(x) = snijden elkaar In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 19
<A> f(x) = e x sin 2x <B> f(x) = e x sin x <C> f(x) = e x + sin x <D> f(x) = e x + sin 2x 2016 Augustus geel Vraag 10 Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x 1).e -x. Als de punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f, dan is a + b gelijk aan <A> -2 <B> -1 <C> 1 <D> 2 2016 Augustus geel Vraag 11 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen ]-4,-3[, ]-3,-2[, ]-2,-1[, ]-1,0[, ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[, ]3,4[ De functie is negatief <A> in precies één van deze intervallen <B> in precies twee van deze intervallen dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 20
<C> in precies drie van deze intervallen <D> in precies vier van deze gevallen 2017 Juli geel Vraag 6 Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = + +"#+2$+ # met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als <A> a 0 <B> a 0 <C> a < 0 <D> a > 0 2017 Juli geel Vraag 7 De functies f en g worden gegeven door de functievoorschriften f(x) = 3 x 2 en g(x) = 2/x waarbij x > 0 De grafieken raken aan elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijkjing van de gemeenschappelijke raaklijn in P. <A> y = -x +3 <B> y = -2x +4 <C> y = -3x +5 <D> y = -4x +6 2017 Juli geel Vraag 13 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = x + 2cos x. Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f. Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b. <A> <B> <C> % +1 % & +1 % ' +1 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 21
<D> % +1 2017 Augustus geel Vraag 6 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = tan 2 x. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P (π/4, f(π/4)) en de verticale rechte door P snijden de x-as respectievelijk in Q en R. Bepaal de oppervlakte van de driehoek PQR. <A> 1/16 <B> 1/8 <C> ¼ <D> ½ 2017 Augustus geel Vraag 7 Stel dat a en b reële getallen zijn. De functie f met functievoorschrift f(x) = (. ) ) heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 4x 3. Bepaal a + b. <A> 1 <B> 2 <C> 4 <D> 5 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 22
3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 2 Gegeven: De functie f: R R: f(x) = Gevraagd: buigpunt Buigpunt 2 de afgeleide f (x) = * + =,, =, = " $ " $ " $ " $ " $ f (x) = * +" $ * +. * + " $, = " $[* +" $ * +] " $, = "/ / " $ = " $ " $ Tekenverloop: x -1 0 1 f (x) - Ι + 0 - Ι + Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0 Antwoord B 1997 Juli Vraag 3 Ter herinnering: Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen. Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden. Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer, heb je geen asymptotisch gedrag. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 23
Gegeven: De functie f: R R, f(x) = Gevraagd: VA, HA, SA? VA: x = 1 (= nulpunt noemer) Geen HA want graad T > graad N SA bestaat want graad T = graad N+1 Snelste manier is volgende deling 2x 2-3x+4 x-1-2x 2 +2x 2x-1 -x+4 -x-1 3 SA: y = 2x-1 Antwoord D 1997 Juli Vraag 10 Gegeven: x x 80-2x x 50-2x Met x < 25, anders is er geen doos Gevraagd: maximale inhoud in cm 3 Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x 2 ) = 4000x-160x 2-100x 2 +4x 3 = 400x-260x 2 +4x 3 = 4(1000x-65x 2 +x 3 ) Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen. Inhoud (x) =(4(x 3-65x 2 +1000x)) = 4 (3x 2-130x + 1000) Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 24
Tekenverloop: X 10 100/3 Inhoud(x) stijgt daalt stijgt Inhoud (x) + 0-0 + De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10 De inhoud is dan I(10) = (80-2.10)(50-2.10).10= 18000 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 2 Gegeven: f : x y(x) = 2x 4 4x 3 13x 2-6x-24 Gevraagd: nulpunten Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12 Gebruik regel van Horner: 2-4 -12 6-24 -2-4 16-6 24 2-8 3-12 0 (x+2)(2x 3-8x 2 +3x-12) Opnieuw Horner toepassen 2-8 3-12 4 8 0 12 2 0 3 0 (x+2)(x-4)(2x 2 +3) Nulpunten: -2 en 4 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 25
1997 Augustus Vraag 6 Gegeven: f: xy(x) = Gevraagd: asymptoten, extrema Geen H.A;. want graad T > graad N Schuine asymptoot: deling: x 2-2x+1 : x = x-2 SA: y = x-2 Antwoord D 1997 Augustus Vraag 8 Gegeven: volume cilinder V 0 m 3 Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat Formule volume cilinder: V = πr 2 h Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel Oppervlakte vat = πr 2 + 2πrh Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr 2 Dus: Oppervlakte vat = πr 2 + 2πr. V/ πr 2 Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr 2 + 2. V/ r Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0 ( πr 2 + 2. V/ r) =2 πr + -1.2. V/ r 2 = 0 2 πr = 2 V/ r 2 We kunnen nu V vervangen door de formule van volume: 2 πr = 2 πr 2 h / r 2 2 πr = 2 πh r = h Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 26
1997 Augustus Vraag 9 Gegeven: f: x y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + 9ad x + 6bd Gevraagd: welke optie is fout. Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 4bc x 2 + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6ac x 3 + 4bc x 2 + (-6c)a x - 4bc y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0 y(1) = 6ac +4bc -6ac-4bc = 0 Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking: y(x) = 12c x 3 + 4bc x 2 + 18d x + 6bd y(-b/3) = 12c(-b 3 /27) + 4bc(b 2 /9+18d(-b/3) +6bd = -12cb 3 /27 + 4cb 3 /9-18bd/3 + 6bd = 0 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 11 Gegeven: de irrationele functie: f: x y(x) = - 2+8 Gevraagd: foute bewering Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1? Afgeleide van - 2+8 = -1/2(-2x-2)(-x 2-2x+8) -1/2 = ' Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn. Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 27
Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn. Dus 2+8> 0 Bereken nulpunten: D = 36 en x 1 = -4 en x 2 = 2 Bepaal tekenverloop: X -4 2 2+8 /// 0 ++++++ 0 /// - 2+8 /// 0 --------- 0 /// Dus domein inderdaad tussen -4 en 2 Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2? Los daarvoor volgende vergelijking op: -2 = - 2+8 2 = 2+8 4 = 2+8 0 = 2+4 Bereken de nulpunten: D 2 = 4 + 16 = 20. Dat geeft twee nulpunten Dus twee snijpunten. Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn Antwoord A 2000 Juli Vraag 2 Gegeven: De rationale functie f: x y(x) = x 2 - Gevraagd: asymptoten, maxima y(x) =( x 3-27)/x Er is geen schuine asymptoot want graad teller graad noemer +1 Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller graad noemer Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 28
2000 Juli Vraag 8 Gegeven: f: x y(x): 3x 4 10x 3-12x 2 + 12x -7 Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven? Berekening van tweede afgeleide: (3x 4 10x 3-12x 2 + 12x -7) = 12x 3-30x 2-24x+12 (12x 3-30x 2-24x+12) = 36x 2 60x -24 Mogelijkheid A: y (-1/2) = 36/4 + 30 24 = 15 >0 (bol onder) Mogelijkheid B: y (0) = -24 bol boven Mogelijkheid C: y (2) = 144-120-24 = 0 buigpunt Mogelijkheid D: y (3) = 324-180-24= 120 bol onder Antwoord B 2001 Augustus Vraag 1 Gegeven: f: x y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ad x -12bd Gevraagd: foute bewering? Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 3bc x 2-12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 2ac x 3 + 3bc x 2-8ac x -12bc Y(2) = 16ac + 12bc 16ac 12bc = 0 Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0 Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6c x 3 + 3bc x 2-24d x -12bd y(b/2) = 6c(b/2) 3 + 3bc(b/2) 2 24d(b/2) -12bd = 6cb 3 /8 + 3cb 3 /4-12db-12bd 0 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 29
2001 Augustus Vraag 2 Gegeven: De rationale functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot Graad teller graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot. Antwoord C 2001 Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. Gevraagd: welke bewering juist? Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y: X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide: (¼( y² - 6y + 1)) = ¼(2y-6) deze vergelijking wordt 0 voor y = 3 Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2 De top is dus (-2,3) Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2. De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 met middelpunt (a,b) en straal r. We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm: y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 y² - 6y +9-9 + x² - 4x+4-4 + 4 = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te kunnen toepassen) (y-3) 2-9+ (x-2) 2-4+4 = 0 (y-3) 2 + (x-2) 2 = 3 2 De straal van de cirkel is dus 3. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 30
Antwoord B 2002 Juli Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x 3-21 x 2 + 18 x - 9 Gevraagd: juiste bewering (4 x 3-21 x 2 + 18 x 9) = 12x 2 42x + 18 Nulpunten: discriminant = 900 en x 1 = ½ en x 2 = 3 Tweede afgeleide: 24x 42 nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt) Tekenverloop: X ½ 7/4 3 f (x) +++ 0 --- -------------------- 0 +++++++++ f (x) --------------------- 0 +++++++++++++++ f(x) max buigpunt min Antwoord B 2002 - Juli Vraag 10 Gegeven: Kromme x 2 y + 3y -4 = 0 Gevraagd: waarde van afgeleide y in punt van de kromme met x =3 Herschrijf de vergelijking: y(x 2 +3)-4 = 0 of y = 4/(x 2 +3) (4/(x 2 +3)) =( 0(x 2 + 3) 8x) /(x 2 +3) 2 =-8x /(x 2 +3) 2 y (3) = -1/6 Antwoord A 2002 - Augustus Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie y= 2x 3 +5x 2 +4x+5 Gevraagd: extrema? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 31
( 2x 3 +5x 2 +4x+5) = -6x 2 +10x +4 = -2(3x 2-5x-2) Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1) Nulpunten: 2 en -1/3 Tweede afgeleide: (-6x 2 +10x +4) = -12x+10 Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt Tekenverloop x -1/3 0 5/6 2 y ---------- 0 ++++++++++++++++++ 0 ---------- y ++++++++++++++++++++++++ 0 -------------------------- y min buigpt max Antwoord D 2002 - Augustus Vraag 10 Gegeven: vergelijking: x.y + x 2y 1 = 0 Gevraag: afgeleide y in een punt van deze kromme voor x = 3? xy + x 2y 1 = 0 y(x-2) + x = 1 y = (1-x)/(x-2) y = y = " $ "$ " $ " $ y (3) = 1 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 32
2007 Augustus Vraag 2 Gegeven: de rationale functie f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering is NIET juist? Horizontale asymptoot: lim x = 2, dus bewering A is juist Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1 Antwoord C 2008 Juli Vraag 4 Gegeven: Als 0 x 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door 1+ Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum Verschil: V= 1 + x/2-1+ extremum afgeleide = 0 V = ½ - = 0 x = 0 "$ Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en 1+0 = 1 verschil =0 Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en 1+1 = 2 Verschil: 3/2 1,4141 = 0,0858 Antwoord C 2008 - Juli Vraag 7 Gegeven: de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y = -x +3 Gevraagd: onjuiste uitspraak Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool. Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 33
exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt. Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief holle zijde is dan naar onder. Deze uitspraak klopt Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x 2 + 10 en afgeleide: y = 2x, er zijn geen snijpunten) Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt. Antwoord C 2008 - Augustus Vraag 8 Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x 3 +27x 2 +5 Gevraagd: foute uitspraak Mogelijkheid A: f(5) = 3.5 3 +27.5 5 +5 0 f(1) = 3+27.5 0 Mogelijkheid B: (3x 3 +27x 2 +5) = 9x 2 +54x = x(9x+54) Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema Mogelijkheid C: buigpunt berekenen tweede afgeleide: (9x 2 +54x ) = 18x +54 Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt Mogelijkheid D: f (0) = 18.0+54 = 54 >0 (hol naar boven) Antwoord D 2009 - Juli Vraag 1 Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x 2-2x -1 Gevraagd: top? Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 34
( 2 x 2-2x -1) = 4x -2 = 0 x=1/2 Antwoord B 2009 Juli Vraag 2 Gegeven: f (x) = 4 x 3 + 2 x 2 + x -1/6 Gevraagd: Buigpunten (4 x 3 + 2 x 2 + x -1/6) = 12x 2 +4x +1 (12x 2 +2x +1) = 24x +4 Nulpunt: -1/6 Antwoord A 2009 - Juli Vraag 3 Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x 2 2x -1 Gevraagd: top van deze parabool? top y = 0 Y = 4x -2 = 0 x = ½ Antwoord B 2009 - Juli Vraag 10 Gegeven: de functie x 3 x 2 3x -9 Gevraagd: aantal reële nulpunten Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9 Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)=27-9-9-9=0 Regel van Horner: 1-1 -3-9 3 6 9 3 1 2 3 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 35
(x-3)(x 2 +2x+3) Nulpunten van (x 2 +2x+3) berekenen Discriminant = 4-4.3.1 = -8 <0 Er is dus maar 1 reëel nulpunt Antwoord B 2010 - Augustus Vraag 5 Gegeven: functie y(x)=(x 2 4x)/(x+2) 2 Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten y = x(x-4)/(x+2) 2 nulpunten: x=0 en x =4 Berekening extremum: y = [(2x-4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2-4x)] / (x=2) 4 = (8x -8)/(x+2) 3 Nulpunt bij x=1 (= extremum) Tekenverloop: X -2 0 1 4 Y +++++ +++++ 0 --------------------------- 0 +++++ (8x-8) -------- --------------------------- 0 ++++++++++++++++ (x+2) 3 --------- +++++++++++++++++++++++++++++++++++ Y +++++ -------------------------- 0 ++++++++++++++++ y min Antwoord A 2011 - Juli Vraag 3 Gegeven: veelterm: x 4 3x 3 + x 2 5x + 6 Gevraagd: aantal reële nulpunten dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 36
Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(1) = 0 Via Horner: 1-3 1-5 6 1-2 -1-6 1 1-2 -1-6 0 (x-1)(x 3-2x 2 -x-6) Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(3)=0 1-2 -1-6 3 3 6 3 1 1 2 0 (x-1)(x-3)(x 2 +x+2) D 2 = 1 8 = -7 <0 Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3 Antwoord B 2011 - Juli Vraag 7 Gegeven: functie y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot Verticale asymptoot: x = -2/3 Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide: y =[2x(3x+2)-3(x 2 )]/(3x+2) 2 = [6x 2 +4x-3x 2 ]/(3x+2) 2 = (3x 2 +4x) /(3x+2) 2 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 37
y = " 0$"0 $ "0 $"0 0$ "0 $, = " 0$"0 $1 "0 $"0 0$ "0 $ = (18x 2 +24x+8-18x 2-24x)/(3x+2) 3 = 8/(3x+2) 3 Deze functie heeft geen nulpunten dus ook geen buigpunten. Antwoord A 2011 - Augustus Vraag 3 Gegeven: rationele functie: y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Teller heeft geen nulpunten D 2 = -3 <0 Verticale asymptoot: x = -2 Schuine asymptoot: y = ax + b A = 1 en b = -1 Dus y = x-1 Horizontale asymptoot: geen Eerste afgeleide: y = [(2x+1)(x+2) (x 2 +x+1)] / (x+2) 2 Nulpunt teller: = (2x 2 +4x+x+2-x 2 -x-1)/ (x+2) 2 = x 2 +4x+1/(x+2) 2 D 2 = 12 en nulpunten: x = (-8-12)/2 en x = (-8 + 12)/2, dit zijn de extrema Tweede afgeleide geven de buigpunten: Y = [(2x+4)(x+2) 2 2(x+2)(x 2 +4x+1)] / (x+2) 4 = (2x 2 + 4x+4x+8-2x 2-8x-2)/(x+2) 3 = 6/(x+2) 3 geen nulpunten, dus ook geen buigpunten dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 38
Antwoord B 2012 - Juli Vraag 2 Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2 Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1) De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y =4x+2 Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y 0 )/(x-x 0 ) Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X 0 = 2 en y 0 = 1 Dus 4x+2 =( y-1)/x-2 Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking: 4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2 (4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2 4x 2 +2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0 2x 2-4x-4-1/2=0 2x 2-4x-9/2=0 4x 2-16x-9=0 D 2 = 16 2 +(4.4.9) = 400 Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2 X invullen in y : Y = 4(-1/2) = 2 = 0 horizontale raaklijn Y = 4(9/2)+2 = 20 Antwoord A 2012 Juli Vraag 5 Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap: y = 100x 2 1500x + 600 Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 39
Minimum berekenen afgeleide y = 200x 1500 = 0 X = 1500/200 = 7.5 uur Antwoord C 2012 Augustus Vraag 7 Gegeven: A = -d 2 + 2d + 3 (0 d 2) Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal? Maximum bij A = 0 2d +2 = 0 d = 1 Antwoord C 2012 Augustus Vraag 8 Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x 2 + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? (0.4) (0,2) De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 40
Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm: y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de vergelijkingen aan elkaar gelijk: ax + 4 = -2x 2 + 2 2x 2 + + ax + 2 = 0 Slechts één oplossing (één raakpunt) discriminant = 0 Dus: # 4.2.2 = 0 a 2 = 16 a = 4 of a = -4 Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn Antwoord A 2013 - Juli Vraag 3 versie1 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn). VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1 SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T graad N+1 Er is ook geen HA want lim van x--> = Antwoord B 2013 - Juli Vraag 3 versie2 Gegeven: de volgende rationale functie: = Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 41
1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? Bepaal nulpunten van teller en noemer: telpunten noemer: 1 en -1 = 2 + 1 = "2 + 1$ " 1$"+1$ nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1 bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen "2 + 1$ delen door (x+1). Via Horner verkrijgen we voor deze deling: "2 + 1$/ (x+1) =2x -1 Dus "2 + 1$= (2x -1)(x+1) We vervangen dit in y = " $"$ "$"$ x = -1 is dus geen verticale asymptoot = " $ "$ = SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1 Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim 6 7"$ en b = lim 6"8"$ #$ Bereken a: lim 6 7" $ Bereken b: lim 6 7* + = 2 De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1 Antwoord B 2013 - Juli Vraag 6 Gegeven: de functie: = 2+4 7* 2= lim + "$ 7* = = lim + $ = 1 6 6 Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 42
3x - y = 2 --> y = 3x - 2 De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde richting heeft als de raaklijnen van de functie, dan is de afgeleide van de functie y = 3. Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x 2-2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan twee oplossingen: x = -9 en x = 9 Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig Antwoord C 2013 - Juli Vraag 8 versie 1 Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 43
Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D Antwoord D 2013 - Juli Vraag 8 versie 2 Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 44
Antwoord D 2013 - Augustus Vraag 4 Gegeven: volgende rationale functie: y(x) = Gevraagd: Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = - 3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = 3 Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum liggen. A en B zijn dus fout. Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen: y' = * +. =,, =, = " $ " $ " $ " $ " $ dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 45
nulpunten: x= 0; x= + 3 en x = - 3 Tekenverloop: x - 3-1 0 1 + 3 x 2 +++++ + ++++ / ++ 0 +++ / ++++ + ++++ x 2-3 +++++ 0 ----- / ---- - ---- / --- 0 ++++ (x 2-1) 2 +++++ + ++++ / +++ + ++++ / +++ + ++++ y' +++++ 0 ----- / ---- 0 ---- / --- 0 ++++ y max VA VA min Dus: enkel bij - 3 is er een locaal maximum. Antwoord C 2013 - Augustus Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x 2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of richtingscoëfficiënt hebben. Richtingscoëfficiënt van een lijn: a = : : 1 1 Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y Dus: y' = : : 1 1 Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat: (x 2 +2x)' = :"$ " 1 $ bereken afgeleide links en vervang y rechts: 2x + 2 = " $ / (2x+2)(x+1/2) = x 2 + 2x +3 2x 2 +1 + 2x +x = x 2 + 2x +3 x 2 + x -2 = 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 46
x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen Antwoord C 2013 - Augustus Vraag 8 Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 -(x- 2) 3 y = 1 + (x- 2) 3 y = 2 -(x- 1) 3 y = 1 + (x- 1) 3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2) 3 voor? de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen: y = 1 - (0-2) 3 --> y= 9 (grafiek D) y = 1 + (0-2) 3 --> y = -7 (grafiek B) dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 47
y = 2 -(0-1) 3 --> y = 3 (grafiek C) y = 1 + (0-1) 3 --> y = 1 (grafiek A) Antwoord B 2014 Juli Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie. y Welk functievoorschrift is correct? x vul voor x de waarde 0 in en de waarde Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt, moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet worden afgetrokken moet kleiner worden).. Y = 500-200. Antwoord C 2014 Juli Vraag 8 Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x ¼ y = x 2 +m.x + 2 Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 48
x 2 + m.x + 2 = X ¼ = x 2 + m.x - x + 2 + 1/4= 0 x 2 + (m-1).x + 9/4= 0 Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is. Discriminant = (m-1) 2 4.1.9/4 = 0 m 2 + 2m +1-9 = 0 (m-2)(m+4) = 0 m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2 Antwoord D 2014 Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie y 700 500 300 x Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct? Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x = Voor oplossing A: Y = 700 200.e -0,025(0) = 700 200.1 = 500 Y = 700 200.e -0,025( ) = 700 200/e = 700 0 = 700 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 49
Voor oplossing B: Voor oplossing C: Voor oplossing D: Y = 700 200.e 0,025 (0) = 700 200.1 = 500 Y = 700 200.e 0,025 ( ) = 700 200.e = 700 - = - Y = 500 + 200.e 0,025 (0) = 500 + 200.1 = 700 Y = 500 + 200.e 0,025 ( ) = 500 + 200.e = 500 + = Y = 500 + 200.e -0,025 (0) = 500 + 200.1 = 700 Y = 500 + 200.e -0,025 ( ) = 500 + 200.e - = 500 + 200/e = 500 +0 = 500 Antwoord D 2015 - Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x 2 + x + 1 en y = 2x 2-2x +3 Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x 2 + x + 1 = 2x 2-2x +3 en bepaal x x 2 + x + 1-2x 2 +2x - 3 = 0 - x 2 + 3x - 2 = 0 Discriminant = 9-4.(-1)(-2) = 1 x 1 = (-3 + 1)/-2 = 1 x 2 = (-3-1)/-2 = 2 Er zijn dus twee snijpunten Antwoord B 2015 - Juli Vraag 9 Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is. Teken de grafiek. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 50
Bepaal de grenzen sin α ligt tussen -1 en 1: aangeduid met accolade op tekening = -1 en =1 s-1 = -1 + 2s s-1 = 1-2s s - 2s = 0 s+ 2s = 2 -s = 0 3s = 2 s = 0 s = 2/3 De waarden van s in het linkerdeel van de grafiek lopen van - tot 0 en aan de rechterkant van 2/3 tot + ]-, 0]U [2/3, + [ Antwoord B 2015 - Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x 2 + (a-1)x + (a 2-1) met a ϵ 0,1 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? Bepaal de nulpunten: Discriminant = (a-1) 2-4.2.(a 2-1) = a 2 + 1-2a -8a 2 + 8 = -7a 2-2 a +9 x 1 = "($ ( (& dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 51
x 2 = "($ ( (& Bepaal de som van de kwadraten: S = x 1 2 + x 2 2 = " "($ ( (& $ + ( "($ ( (& $ = <"($."($ ( (& "( (&$=. + <"($."($ ( (& "( (&$=. = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = (1-2a + a 2-7a 2-2a + 9) = ' (-6a2-4a + 10) Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0 S' =.(-12a- 4) = 0 ' S' =.(-6a- 2) = 0 --> a = - 2/6 = -1/3 De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0 S = 1/4 (-3.0 2-2.0 + 5) = 1/4. 5 = 5/4 Antwoord B 2015 Augustus Vraag 3 De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x 2 e -x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend? Oplossing y = x 2 e -x = x 2 / e x Bepaal afgeleide y =.>?.>? ">? $ = " $>? = " $ $ ">? $ ">? =" $ 1 >? Nulpuneten: x(2-x) = o voor x =2 of x = O en e x is altijd positief Functieverloop X 0 2 Y --------------- 0 +++++ 0 ----- Y 0 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 52
Min Max y is negatief voor ]-,0[ en in ]2,+ [ Antwoord D 2015 - Augustus Vraag 5 Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x 2 en x = y 2 is gelijk aan? Oplossing y = x 2 x = y 2 : vervang hierin y door x 2 (gegeven in eerste vgl): x = (x 2 ) 2 = x 4 x x 4 = 0 x(1-x 3 ) = 0 x kan 0 of 1 zijn. De twee snijpunten zijn dus (0,0) en (1,1) Antwoord C 2016 - Juli Geel Vraag 10 Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x 3 11 x 2 25x 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). A en B zijn verschillende punten Gevraagd: p + q Oplossing Ontbind x 3 11 x 2 25x 13 met Horner: 1-11 -25-13 13 13 26 13 1 2 1 0 f(x) = (x-13)(x 2 + 2x +1) Bepaal nulpunten voor (x 2 + 2x +1) D = 0 x 1 = x 2 = -2/2 = -1 Tekenverloop: X -1 13 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 53
(x-13) + + + + + 0 - - (x 2 + 2x +1) + 0 + + + + + + (x-13)(x 2 + 2x +1) + 0 + + + 0 - - Grafiek De enige raaklijn die door het punt (13,0) gaat en een ander raakpunt heeft dan (13,0) is de x-as: y = 0, dus p + q = 0 Antwoord C 2016 - Juli Geel Vraag 13 Gegeven: Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 e -x h(x) = De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is. Gevraagd: Welke grafiek stemt overeen met welke functie? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 54
Voor x = 1 f(x) = sin (1/2) = 0,48 g(x) = 1 e -1 = 1-1/ 2,718 = 0,63 h(x) =( 2.1-1)/6 = 1/6 = 0,16 Antwoord B 2016 - Augustus Geel Vraag 4! Gegeven: Beschouw de punten P( 2, 2) en Q ( 4, 2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x 2-2 en g(x) = Gevraagd: waar snijden de functies f en g? Voor P: f( 2) = " 2$ - 2 = 2 / -2 1/3 = 2 2/3 2 1/3 g( 2) = 9" 2$= *2 / + / = 2 1/6! = 2 Voor Q f( 4$ = " 4$ - 2 = 4 / -2 1/3 = 2 4/3 2 1/3 = 2 1/3 (2 3/3-1) = 2 1/3 = 2 g( 4$= 9* 4+ = 4 1/3.1/2 = 4 1/6 = 2 2/6 = 2 1/3 = 2 Antwoord C 2016 - Augustus Geel Vraag 5 In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift? dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 55
Oplossing Bij de functie sin x is de periode 2π en bij sin 2x is de periode π. De periode is hier π, dus oplossingen A of D De functie e x nadert naar 0 bij waarden x kleiner dan 0 en bij x = -1 is e x ongeveer 1/2,70 of 1/3. In het dit interval is de sinusoïde sin 2x negatief. Om dus tot een positieve y te komen moet ze worden afgetrokken Antwoord A 2016 - Augustus Geel Vraag 10 Gegeven: functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x 1).e -x. De punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) zijn de raakpunten uit de oorsprong aan de grafiek van f, Gevraagd: a + b Oplossing Voor waarden van x groter dan 0 zal de grafiek naderen naar 0, voor waarden kleiner dan 0 wordt de y snel groter. Een eerde raaklijn is de y-as zelf. We vinden als raakpunt: (x 1).e -x = 0 voor x = 1 raakpunt (1,0) dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 56
Een lijn door de oorsprong heeft als vergelijking y=ax De tweede raaklijn vinden we door x gelijk te stellen aan 0. De raaklijn is dan y = -x, met als raakpunt: (0,-1) Antwoord C 2016 - Augustus Geel Vraag 11 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen ]-4,-3[, ]-3,-2[, ]-2,-1[, ]-1,0[, ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[, ]3,4[ Gevraagd: in hoeveel van deze intervallen is de functie negatief f(x) = "$"$ " $" $ Tekenverloop: -2-1 +1 +2 x+1 - - - 0 + + + + + x-1 - - - - - 0 + + + x+2-0 + + + + + + + x-2 - - - - - - - 0 + f(x) + / - 0 + 0 - / + Negatief voor de intervallen ]-2,-1[en ]1,2[ Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 57
2017 Juli geel Vraag 6 Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = + +"#+2$+ # met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als a 0, a, a< 0 of a >0 1 ste bissectrice: y = x heeft als richtingscoëfficiënt 1 f (x) = " + +"#+2$+ # $ = + 2+#+2$ = x2 + 2x + a + 2 Gegeven is dat deze raaklijn niet evenwijdig is aan 1 ste bissectrice, dus x 2 + 2x + a + 2 = 1 heeft geen oplossingen Of: x 2 + 2x + a + 1 = 0 heeft geen oplossingen D < 0 D = b 2 4a = 4-4(a+1) <0-4a <0 a>0 Antwoord D 2017 Juli geel Vraag 7 De functies f en g worden gegeven door de functievoorschriften f(x) = 3 x 2 en g(x) = 2/x waarbij x > 0 De grafieken raken aan elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijkjing van de gemeenschappelijke raaklijn in P. 3 x 2 = 2/x X(3-1) = 2 X = 2/2 = 1 Raaklijn in (1,2) y = f(a) + f'(a)(x -a ) y = 2 +(-2)(x-1) dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 58
y = 2-2x +2 y = -2x +4 Antwoord B 2017 Juli geel Vraag 13 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = x + 2cos x. Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f. Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b. Lokaal maximum: f (x) = 1 2sin x = 0 Buigpunt: f (x) = -2cosx = 0 x = π/2 %/ A "+2cos$ E %/ F %/ 2 +2.GHIJ %/ Sin x = ½ X = π/6 K L M +2.sinK O M P KL! M +2.sinK O MQ % +2.1 (% +2. ) ' % % + 1 ' '% +1 % +1 & dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 59
Antwoord B 2017 Augustus geel Vraag 6 De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = tan 2 x. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P (π/4, f(π/4)) en de verticale rechte door P snijden de x-as respectievelijk in Q en R. Bepaal de oppervlakte van de driehoek PQR. Bepaal punt P (π/4, f(π/4)) = (π/4, tan 2 (π/4)) = (π/4,1) Bepaal f = (tan 2 x) = 2.tan x. Bepaal f voor (π/4) = 2.1. RS dx We weten dat y = 1, dus is x = ¼ T U = 4 = richtingscoëfficiënt = y/ x De oppervlakte van de driehoek bedraagt dan: ½.1. 1/4 = 1/8 Antwoord B 2017 Augustus geel Vraag 7 Stel dat a en b reële getallen zijn. De functie f met functievoorschrift f(x) = (. ) ) heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 4x 3. Bepaal a + b. Oplossing dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 60
lim 6 "8"$/ )= lim 6 " (. ) /$ = lim ) 6" (. ) $ = a/b Dit is gelijk aan 4 uit de ) vergelijking van de schuine asymptoot. Dus a/b = 4 of a=4b Bereken vervolgens waaraan -3 gelijk is: lim 6 "8"$ #$ = lim 6 " (. ) 4$ = lim ) 6" (. )) $ = ) lim 6 " ")$ $ = (b-4)/b. Dit is gelijk aan de waarde -3 uit de vergelijking van de schuine ) asymptoot. Dus (b-4)/b = -3 of b = 1 Vermits a = 4b a =4. De som van a + b = 5 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 61