TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel A en B, blad /7 donderdag 3 november 006, 9.00-.00 uur Het tentamen levert maximaal 50 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Deel A levert maximaal 0 punten op, deel B maximaal 30. De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A te laten vervangen door het al gemaakt deel A in de vorige sessie. Er wordt dus niets tussentijds opgehaald. Deel A (opgaven en ):. Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie. (a) We beschouwen een emmer met massa M met daarin een blokje met massa m dat een eenparige cirkelbeweging maakt in het vertikale xz-vlak. We willen weten bij welke periodetijd T van de cirkelbeweging het blokje loskomt van de emmer. z v g R O θ x Iemand bedenkt dat de belangrijke fysische grootheden voor dit probleem zijn: ) de straal R gegeven in m ) de massa m gegeven in kg 3) de zwaartekrachtversnelling g gegeven in m/s 4) de periodetijd T gegeven in s Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem en waarom? (b) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloos veband tussen de grootheden: Π(T,R,m,g)=0 [T α T R α R m αm g αg ]=. Laat zien dat een mogelijke dimensieloze groep wordt gegeven door: T g/r. (c) Wat is op grond van bovenstaand dimensie-analyse het beste antwoord dat we kunnen geven op de vraag bij welke periodetijd het blokje loskomt?
(d) Een deeltje beweegt langs de x-richting volgens: x = t 3 3t 9t +5. Is dit probleem wat betreft de dimensie goed geformuleerd, en waarom? (e) Wanneer beweegt het deeltje uit (d) in negatieve x-richting? Negeer hierbij eventuele opmerkingen die in antwoord (d) zijn gemaakt over de dimensies. (f) Wanneer is de beweging van het deeltje uit vraag (d) vertraagd? (g) Een deeltje met massa m dat zich op t =0oppositie x 0 bevindt, ondervindt een versnelling gegeven door: t a = a x τ e x + a y sin(ωt) e y. Hierin zijn a x en a y constanten met dimensie m/s. Wat zijn de dimensies van τ en ω indien de gegeven relatie dimensioneel correct is? (h) Bereken voor het deeltje uit vraag (g) de snelheid als functie van de tijd. (i) Bereken voor het deeltje uit vraag (g) de positie als functie van de tijd. (j) Een deeltje met massa m dat op t = 0 in rust is in x 0 beweegt onder invloed van een kracht F = k/x langs een rechte lijn. Bewijs dat de snelheid als functie van de positie x wordt gegeven door: v = k m ( x x 0 ).
. We beschouwen een emmer met massa M met daarin een blokje met massa m dat een eenparige cirkelbeweging maakt in het vertikale xz-vlak. We willen nu echt weten bij welke periodetijd van de cirkelbeweging het blokje loskomt van de emmer. De wrijvingskracht van het blokje met de bodem van de emmer wordt overigens zo groot verondersteld dat het blokje niet schuift. z v g R O θ x De hoeksnelheid is gegeven en bedraagt ω. De straal van de cirkelbeweging bedraagt R. De zwaartekracht g = g e z werkt in negatieve z richting. (a) Geef een uitdrukking voor de periodetijd T en de frequentie f als functie van ω en een uitdrukking voor de hoek θ als functie van ω en t voor het geval dat op t = 0 de massa zich op r = R e x bevindt. (b) De positie van de massa m wordt gegeven door r(t) =R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e z. Geef een uitdrukking voor de snelheid v(t) en de versnelling a(t) en toon aan dat: a(t) = ω r(t). (c) Op de massa m werken twee krachten de zwaartekracht F z en de kracht van de bodem van de emmer op de massa F m. Fm bestaat uit een normaalkracht N en een wrijvingskracht F w. Toon aan dat, zolang de massa niet los komt van de emmer, voor F m geldt: F m = mrω cos(ωt) e x +(mrω sin(ωt) mg) e z. (d) Bepaal de grootte F m van de kracht F m diedeemmeropdemassauitoefent. (e) Wanneer (bij welke hoek θ) isf m minimaal? (f) Wat is de hoeksnelheid ω en de bijbehorende periodetijd waarbij de massa loskomt van de emmer? 3
Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel A en B, blad 3/7 donderdag 3 november 006, 9.00-.00 uur Het tentamen levert maximaal 50 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Deel A levert maximaal 0 punten op, deel B maximaal 30. De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A te laten vervangen door het al gemaakt deel A in de vorige sessie. Er wordt dus niets tussentijds opgehaald. Deel B: opgaven 3, 4 en 5 3. Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie. (a) De Lennard-Jones potentiaal beschrijft de wisselwerking tussen twee moleculen en is gegeven door: ( ) r0 6 ( ) ) r0 U(r) = U 0 (. r r Laat zien dat de kracht tussen de moleculen wordt gegeven door: ( ) F (r) =U 0 r6 0 r 7 +r 0. r 3 (b) Voor welke waarde van r zijn de twee moleculen uit vraag (a) in evenwicht, en wat is de evenwichtspotentiaal? (c) Een vloeistof met dichtheid ρ moet vanuit een reservoir door een buis omhoog worden gepomt en de buis met dwarsdoorsnedeoppervlak A verlaten met een snelheid v. Hoe groot moet het vermogen van de pomp zijn? (d) Een blok met massa m bevindt zich aan het eind van een veer met veerconstante k. Het blok glijdt over een oppervlak waarvan de kinetische wrijvingscoëfficiënt μ k bedraagt. De zwaartekrachtversnelling is omlaaggericht en bedraagt g e z. z k m g 0 0 0 0 x =0 l e x De veer wordt uitgerekt tot lengte l e en daarna losgelaten zodat het blok over het oppervlak terugglijdt. Het blok komt halverwege tot stilstand op positie x = l e. Teken in een figuur de krachten die gedurende de beweging op het blok werken. (e) Geef van alle krachten uit (d) de grootte en de richting uitgedrukt in de gegeven grootheden. 4
(f) Bereken de arbeid die door de veer uit (d) wordt verricht uitgedrukt in de gegeven grootheden. (g) Bereken voor het bovenstaand probleem de arbeid die is verricht door de wrijvingskracht. (h) Geef voor het bovenstaande probleem een uitdrukking voor de statische wrijvingscoëfficiënt μ s. (i) Een cylindrisch sample van een elastisch materiaal met lengte l 0 en dwarsdoorsnedeoppervlak A wordt uitgerekt tot lengte l. De kracht die hiervoor nodig is bedraagt F. Geef een uitdrukking voor de Young s modulus E. (j) Een ijsklontje met dichtheid ρ drijft in een glas cola. De dichtheid van de cola bedraagt ρ c. Het blokje heeft een volume V waarvan zich een gedeelte V c in de cola bevindt. Geef een uitdrukking voor V c /V. 5
4. We beschouwen en vat, gevuld met een vloeistof met dichtheid ρ, dat leegloopt. We willen uitzoeken na hoeveel tijd het vat nog maar half gevuld is. A,p = p 0,v g h ρ A,p = p 0,v De beginhoogte van het vloeistofniveau is gegeven en bedraagt h 0. De oppervlakte van het bovenvlak bedraagt A en die van de uitstroomopening bedraagt A. De zwaartekracht is omlaaggericht en bedraagt g. De druk buiten het vat bedraagt overal p 0. De wrijving mag worden verwaarloosd. (a) We gaan er voorlopig vanuit dat het oppervlak A groot is tenopzichte van A. Toon met behulp van behoud van massa aan dat in dat geval geldt dat v veel kleiner is dan v. (b) Bepaal voor het geval dat A A de snelheid v als functie van de hoogte h. (c) Als we v niet verwaarlozen tenopzichte van v dan geldt: v = α gh Toon aan dat dan α alleen van de verhouding van de oppervlakken afhangt en geldt: α =/ A /A. (d) Uit de definitie van de snelheid volgt dat de hoogte h verandert in de tijd volgens: dh dt = v. Toon aan dat dan geldt: dh = βdt met β = α A g h (e) Uit integratie van bovenstaande relatie ( h h h 0 = βt t 0) is de hoogte h als functie van de tijd t af te leiden. Bepaal hieruit de tijd die nodig is om de hoogte van het vat te reduceren tot h 0. A 6
5. We beschouwen een slinger waarvan de beweging wordt gedempt door de wrijving van de lucht. We willen uitzoeken na hoeveel tijd de amplitude van de slinger is gehalveerd. g θ L s m De slinger bestaat uit een bol met straal R en massa m opgehangen aan een massaloze draad met lengte L. De viscositeit van de lucht bedraagt η. Uit de wet van Stokes volgt dan voor lage snelheden dat de wrijvingskracht wordt gegeven door: F w = 6πηR v. (a) De afstand tot het evenwichtspunt langs de cirkel met straal L wordt s genoemd. Toon aan dat indien de wrijving wordt verwaarloosd de tweede wet van Newton resulteerd in: mg sin(θ) =m d s dt. (b) De uitwijking van de slinger wordt klein verondersteld. Laat voor dat geval zien dat, indien de wrijving wordt verwaarloosd, geldt: d θ dt + g L θ =0 (c) Bepaal voor het wrijvingsloze geval de slingertijd en de hoekfrequentie. (d) Toon aan dat voor het geval dat de wrijving niet kan worden verwaarloosd de hoek θ wordt gegeven door: d θ dt +κdθ dt + g 3πηR θ =0 met κ = L m. (e) Laat door substitutie van ˇθ = ˆθe iωt zien dat de amplitude exponentieel afneemt volgens: A = A 0 e κt. (f) Bepaal hieruit de tijd die nodig is om de amplitude te halveren. 7
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Cardiovasculaire Stromingsleer (8W090) donderdag 3 november 006, 9.00-.00 uur. Antwoorden: (a) Er zijn 4 fysische grootheden (R, m, g, T ) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er is dus 4-3= dimensieloze groep die het probleem beschrijft. (b) Uit [T α T R α R m α R g αg ] = volgt: en dus: T α T L α R M αm L αg T αg = T α T α g L α R+α g M αm = α m =0, α T =α g, α r = α g Kiezen we α T = dan volgt α g = en α R =. De dimensieloze groep is dus: g T R. (c) Uit bovenstaande volgt T = k R/g waarbij k een constante is. Meer kunnen we niet zeggen. (d) Als x de dimensie L heeft en t de dimensie T dan is bovenstaande vergelijking dimensioneel niet juist. (e) Voor de snelheid volgt: v = dx dt =3t 6t 9=3(t +)(t 3) Dit is een dalparabool met nulpunten t = ent = 3. De snelheid is negatief voor <t<3. (f) De versnelling wordt gegeven door: a = dv =6t 6=6(t ) dt Deze is negatief voor t<. (g) Om ervoor te zorgen dat de vergelijking dimensioneel correct is moet gelden [τ] = T en [ω] =T. (h) De snelheid volgt uit integratie: t t t v = a x 0 τ e xdt + a y sin(ωt) e y dt 0 = a x τ t t 0 e x a y ω cos(ωt) t 0 e y = a x t τ e x a y ω (cos(ωt) ) e y 8
(i) De positie volgt uit nogmaals integreren: t t t x = x 0 + a x 0 τ e xdt a y 0 ω (cos(ωt) ) e ydt = x 0 + a x t 3 6τ t 0 e x a y ω ( ω sin(ωt) t) t 0 e y t 3 = x 0 + a x 6τ e x a y ( sin(ωt) + t ω ω ) e y. (j) De versnelling volgt uit:. Antwoorden: F = k x = mdv dt = mdv dx dx dt Integreren geeft: x k v x 0 x dx = mvdv v 0 Met v 0 = 0 volgt hieruit: v = k m ( x x 0 ). = mv dv dx k x x x 0 = v v v 0 k dx = mvdv. x (a) Voor de trillingstijd T geldt T =πf verder geldt π = ωt en dus T =π/ω. Voor de hoek θ geldt θ = ωt. (b) De snelheid volgt uit differentiëren: v(t) = d r dt = d dt (R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e z )= ωr sin(ωt) e x + ωr cos(ωt) e z. Voor de versnelling nogmaals differentiëren: a(t) = d v dt = ω R cos(ωt) e x ω R sin(ωt) e z = ω r(t). (c) Uit de tweede wet van Newton volgt: Σ F = m a Fm + F z = m a en dus: F m = mω R cos(ωt) e x +(mω R sin(ωt) mg) e z. (d) Voor de grootte F m = F m geldt: F m = m ω 4 R cos (ωt)+m ω 4 R sin (ωt) m ω Rg sin(ωt)+m g = m ω 4 R m ω Rg sin(ωt)+m g (e) De kracht F m is minimaal als de sinus maximaal is dus voor θ = ωt = π/. 9
(f) Voor ωt = π/ vinden we: 3. Antwoorden: m ω 4 R m ω Rg + m g = F m = Deze kracht is gelijk aan nul (loskomen) als: g ω = T = π R R ω =π g (a) Uit de definite: W = r Jones potentiaal volgt: F (r) =U 0 ( r6 0 0 (mω R mg) = ±(mω R mg) Fdr = U volgt F = du. Toegepast op de Lennarddr 0 r 7 +r r 3 ) (b) De kracht is 0 voor r = r 0 de evenwichtspotentiaal is dan U 0. (c) De arbeid die moet worden geleverd om een massa m te pompen bedraagt: W = mgh + mv. Per tijdseenheid Δt is de massa die wordt verpompt gelijk aan m = ρavδt zodat: ΔW = ρavδtgh + ρavδtv = ρavδt(gh + v ). Voor het vermogen geldt dan: P = dw ΔW = lim = ρav(gh + dt Δt 0 Δt v ). (d) Vertikaal: F z omlaag en N omhoog. Horizontaal: Fv naar links en F w naar rechts. N 00 00 00 00 00 F v x =0 F z Fw (e) Voor de zwaartekracht geldt F z = mg e z, voor de normaalkracht geldt N = mg e z, voor de veerkracht geldt F v = kx e x en voor de wrijving geldt F w = μ k N e x = μ k mg e x. (f) De arbeid verricht door de veer bedraagt: W v = le/ l e ( kx)dx = kx le/ l e = k( 4 l e l e)= 3 8 kl e. 0
(g) De arbeid verricht door de wrijvingskracht bedraagt: W w = le/ l e μ k mgdx = μ k mgx le/ l e = μ kmgl e. (h) De veerkracht bedraagt op dat moment F w = kl e. Deze is in evenwicht met de statische wrijvingskracht F w = μ s mg. Dan geldt dus: μ s = kl e mg. (i) Voor de Young s modulus geldt: E = σ ɛ = F/A = l 0F (l l 0 )/l 0 (l l 0 )A. (j) De opwaartse kracht bedraagt F opw = ρ c V c g. Deze is in evenwicht met de zwaartekracht F z = ρv g. Dan geldt: 4. Antwoorden: F z = F opw ρv g = ρ c V c g V c V = ρ ρ c. (a) Uit behoud van massa volgt A v = A v dan volgt: A A v v v v. (b) We mogen de wet van Bernoulli gebruiken (wrijvingsloos). Dan geldt: ρv + ρgh + p 0 = ρv + ρg0+p 0. Met v v mag ρv worden verwaarloosd ten opzichte van ρv en vinden we: ρv = ρgh v =gh v = gh. (c) We hebben nu uit Bernoulli: ρv + ρgh = ρv, en uit massa-behoud: v =(A /A )v. Dit geeft: ρ(a /A )v ρv = ρgh v ( A /A )=gh. Ofwel: v = α gh met α =/ A /A. (d) Voor de hoogteverandering geldt gebruik makend van massabehoud A v = A v : dh dt = v = v (A /A )=α A gh = β h. A Hieruit volget het gevraagde: dh = βdt met β = α A g. h A
(e) Integreren levert: 5. Antwoorden: h h h 0 = βt t 0 h(t) = h 0 βt. Het vat is half vol als h(t) = h 0 dus als: h 0 h 0 = βt t = β( ) h 0. Ofwel: t =β( ) h 0. (a) De zwaartekracht kan worden ontbonden in een kracht mg cos(θ) in de richting loodrecht op s en een kracht mg sin(θ) in de richting van s. De tweede wet van Newton in de richting van s geeft dan: ΣF = ma mg sin(θ) =m d ds. (b) Voor alle waarden va θ kan de afstand s worden geschreven als s = θl. Voor kleine waarden van θ geldt bovendien dat sin(θ) θ. De tweede wet van Newton geeft dan na delen door ml en herformuleren: mgθ = m d Lθ dt (c) Substitutie van ˇθ = ˆθe iωt geeft: d θ dt + g L θ =0. ω ˆθe iωt + g L ˆθe iωt =0 ω = ± g L. De slingertijd is dan: T = π ω =π L g. (d) De wrijvingskracht werkt in tegengestelde richting van de snelheid en wordt met de wet van Stokes voor dit geval gegeven door: F w = 6πηR ds dt. Als ook de wrijvingskracht meedoet volgt dus uit de tweede wet van Newton: mg sin(θ) 6πηR ds dt = s md dt. Substitutie van s = Lθ en sin(θ) θ geeft dan na delen door ml en herformuleren: Met 3πηR m mgθ 6πηR dlθ dt = m d Lθ dt = κ geeft dit inderdaad: d θ dt +κdθ dt + g L θ =0. d θ dt +3πηR dθ m dt + g L θ =0.
(e) Substitutie van ˇθ = ˆθe iωt geeft: ω ˆθe iωt +iωκˆθe iωt + g L ˆθe iωt =0 ω iωκ g L =0. Dit geeft: ω = iκ ± 4κ +4g/L = iκ ± g/l κ. Met ω 0 = g/l en ωd = ω 0 κ geeft dit voor ˇθ: ( ˇθ = ˆθe iωt = ˆθe i iκ± ω0 )t κ = ˆθe κt e ±iω dt Dit is een trilling waarvan de amplitude dempt volgens: A = A 0 e κt. (f) Voor halveren geldt: A = A 0 e κt = A 0 κt =ln( ) t = ln() κ. 3