a Verdieping - Bewijs uit et ongerijmde ladzijde 78 A D B A = D want A = D D = A + B (stelling vande uitenoek) A = A + B A + A = A + B A > B, De aanpak met punt D op B werkt nu niet omdat je er dan vanuit gaat dat B > A en dat moet je nu juist ewijzen. Wanneer B > A niet geldt, dan lijven over B = A en B < A. d Gegeven B = A. Dan is AB gelijkenig, dus A= B en dat is in tegenspraak met A> B e Gegeven B < A Uit opdrat a volgt nu A< B en dat is in tegenspraak met A> B. f De onlusie moet dus wel zijn dat als A> B dan is B > A. g Bij een direkt ewijs ga je uit van et gegeven en ewijs je de veronderstelling, zoals ij opdrat a. Bij een indirekt ewijs ga je uit van alle mogelijkeden en ewijst dat die allemaal, op één na, een tegenspraak opleveren. Die ene mogelijkeid moet dus wel juist zijn. a Gegeven: AD = DB en D = AB Dan geldt: D = AB D = AD A= AD A+ B= AD+ DB = D = AB D = DB B= DB A+ B+ = 80 + = 80 = 90. Dit in tegenspraak met et stomp zijn van. Gegeven: AD = DB en D > AB Dan geldt: D > AB D > AD A> AD A+ B> AD+ DB = D > AB D > DB B> DB A+ B+ = 80 + < 80 < 90 Dit in tegenspraak met et stomp zijn van. onlusie: wanneer stomp is dan is D < AB Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 33
34 Verdieping - Bewijs et ongerijmde 3a Gegeven: AB > BF Te ewijzen: F > 90,. AB > BF F > A F + F > A AE = EF F = A + A F > A = 90,, Gegeven: B > BF Te ewijzen: F 34 > 90, B > BF F > 3 F + F > + F > = 90 3 4 3, 4, D = DF F = 4 Uit opdrat a en volgt dat F = F + F > 90 + 90 = 80 34,,,, 34, Dit is in tegenspraak met et gegeven dat D, E, en F op één lijn liggen. Gegeven AB < BF d AB < BF F < A F + F < A + A F < A = 90 AE = EF F = A AB < BF B < BF,, () B < BF F < 3 F + F < + F < = 90 3 4 3 4 D = DF F = 4,, () Uit () en () volgt dat F = F + F < 90 + 90 = 80 34,,,, 34, Dit is in tegenspraak met et gegeven dat D, E, en F op één lijn liggen. Het ovenstaande leidt tot de onlusie dat AB = BF AB = BF A = F AE = EF A = F EFB= F + F = A + A = 90 e Dan moet je uitgaan van de mogelijkeden: EFB > 90, EFB = 90 en EFB < 90 f Te ewijzen EFB = 90 EFB< 90 F + F < 90 A + A = 90 F < A AB < BF () A = F EFB< 90 DFB > 90 F + F > 90 3 4 + = 90 F > B > BF () 3 = F 4 () en () geeft AB < BF < B. Dit is in tegenspraak met AB = B De aanname EFB > 90 leidt op dezelfde wijze tot de tegenspraak AB > BF > B De onlusie is dus EFB = 90 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
4a A E H D B In vieroek HDE geldt: E+ D= 80 en E+ H + D+ = 360 EHD+ AB = 80 () EHD= AHB overstaande oeken() () en () AHB+ AB = 80 AHB= 80 AB A D H E B Wanneer stomp is snijden de oogtelijnen elkaar uiten de drieoek. E+ D= 80 en E+ H + D+ = 360 DHE + DE = 80 () DE = AB overstaande oeken() () en () DHE + AB= 80 AHB + AB= 80 AHB = 80 AB De enige mogelijkeid die nog over lijft is = 90 In dat geval vallen en H samen. Maar ook dan geldt: AHB= 90 = 80 90 = 80 AB. Het vermoeden is dus juist voor elke drieoek. Verdieping - Bewijs et ongerijmde Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 35
36 Verdieping - Transversalen ladzijde 80 a - - - d Wanneer je goed gemeten et vind je dat eide produten gelijk zijn. a 3a d M 3 Y N X K A B Z XN = K = = NX BKX NX BKX X = N 90 BK YN = AYM = = NY AMY NY ANY Y AY = N 90 AM BZK = M = = BKZ AMZ BKZ AMZ BZ = BK 90 AM Uit et ovenstaande volgt: X P Y 3 = = AY BZ Y S 3 X Q A Z B = 3 = 3 = AXB = Q (overstaande oeken) AB AXB Q = XAB = XQ ( Z-oeken) X Q YP = AYB (overstaande oeken) P Y PY ABY = PY = BAY ( Z-oeken) AB AY ASZ = QS (overstaande oeken) ZS S QS = () S = SQ ( Z-oeken) Q S BSZ = PS (overstaande oeken) BZ ZS BZS PS = () S = PS ( Z-oeken) P S ZS BZ () en () = = S Q P Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
e 4a 5a Q BZ Q = = P BZ P Bewijs stelling: uit et voorgaande volgt: Y AB P Q = = YA Q AB P ladzijde 8 Gegeven Y = () YA AX, BY en Z gaan door één punt T. Uit de stelling van eva volgt dan () en () = Y YA = () p p+ q = = pr = ( p + q)( r + q) pr = pr + pq+ qr+ q r + q r pq + rq + q = 0 q( p+ r+ q) = 0 q= 0 of p+ r+ q = 0 q= 0: Zen Z vallen samen of AB = 0 (kan niet want dan is er geen drieoek). Dus vallen Z en Z samen In et tweede geval, dat Z rets van Z ligt gaat et ewijs op dezelfde wijze. Zwaartelijnen delen de overstaande zijden middendoor. Dus voor de zwaartelijnen AX, BY en Z geldt: = =, = = en Y = YA Y = YA Dus geldt: Y = = De zwaartelijnen gaan door één punt. YA Y X A Z B Volgens de naast de opgave gegeven stelling geldt dus: = en AB = en Y B = A YA AB Uit opdrat volgt dan: A B Y AB B A = = YA A AB B de drie issetries gaan door één punt (stelling van eva) Verdieping - Transversalen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 37
38 6a Te ewijzen: BZ = Bewijs: MZ = MX M= MXB = 90 (zzr) M MXB BZ = MB = MB Op dezelfde wijze ewijs je dat = AY en Y = X Verdieping - Transversalen Er geldt dus: Y BZ X AY = = YA YA de drie lijnen AX, BY en Z gaan door één punt (stelling van eva) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel