0.1. INVLOED VAN DE K-WAARDE OP DE STABILITEIT VAN GESLOTEN KETENS1 Addendum 2 0.1 Invloed van de K-waarde op de stabiliteit van gesloten ketens We laten de K-waarde veranderen en kijken naar de stabiliteit. Nu gaan we echter kijken naar wat er gebeurt als we in gesloten keten werken. Als we de transfertfunctie van deze GESLOTEN keten berekenen dan krijgen we KG 1 1 + KG 1 H 1 Als we de stabiliteit bekijken van een systeem gaat het over de noemer die eindig moet blijven met andere woorden moeten we kijken wanneer de noemer nul wordt.anders gezegd moeten we kijken waar de polen van het systeem liggen. Als we kijken naar de transfertfunctie van de gesloten keten stellen we vast dat de ligging van de polen nu afhangt van de K-waarde. Om deze studie te doen is er een geleerde Evans geweest die hiertoe een methode heeft ontwikkeld namelijk de methode van de wortelkrommen. (eng.:root locus) De idee achter deze methode is de noemer bekijken en daarvan de wortels berekenen voor < K < + 1 + KG 1 H 1 = 0 Anders gesteld G 1 H 1 = 1 K Dan krijgen we voor de modulus G 1 H 1 = 1 K en voor het argument G 1 H 1 = (2l + 1)π
2 Als we deze wortelkromme willen tekenen kan dit met behulp van een aantal regels (n= aantal polen, m= aantal nulpunten) 1. We hebben te maken met complexe wortels dus de wortelkromme is symmetrisch ten opzichte van de X-as. 2. Teken al de polen en nulpunten van de transfertfunctie in het complexe vlak. 3. Aantal takken van de wortelkromme is gelijk aan het aantal polen van de transfertfunctie. 4. De startpunten van de wortelkromme zijn de open-lus polen en eindpunten van de wortelkromme zijn de open-lus nulpunten. 1 5. Als het aantal polen en nulpunten rechts van een punt oneven is ligt dit punt op de wortelkromme. 6. Er zijn n-m asymptoten met respectievelijke hoeken α = ±(2l + 1) n m 7. Het centrum van de asymptoten ligt op m i=1 c = z n j=1 p n m 8. Break-away en break-in points Dit zijn de punten waar de wortelkromme wegbreken of invallen op de reele as.hiertoe moeten we de vergelijking K = (s p 1)(s p 2 )..(s p n ) (s z 1 )(s z 2 )..(s z m ) afleiden naar s en daar de maxima van zoeken met andere woorden dk ds = 0 Niet alle oplossingen zijn correcte break-away of break-in punten. Hiertoe vullen we gevonden waarden in in de basisvergelijking en enkel die waarden die tot de root locus behoren worden weerhouden. 9. De hoek waaronder de wortelkromme in een pool vertrekt of in een nulpunt aankomt kan men berekenen via θ (s z i ) (s p j ) = (2l + 1)π 1 K=0: pool en K= : nulpunt
0.2. OEFENING 3 0.2 Oefening We doen dit voor de transfertfunctie 1. zie tekening 2. zie tekening H(s) = 3. de orde is drie dus drie takken 1 3s 3 + 4s 2 + s 4. de polen zijn 0,1/3 en 1 dus dit zijn drie startpunten 5. zie tekening 6. 3 polen dus 3 asymptoten onder de respectievelijke hoeken dus π/3,π en 5π/3 α i = π(2k + 1) 3 7. het centrum van de asymtoten ligt op c = 0 1/3 1 3 = 0, 44 8. De break-away (break-in)punten liggen op de extrema van K = (3s 3 + 4s 2 + s) dus dk ds = 0 = 9s2 + 8s + 1 Dit is voor s=-0,74 en s=-0.15 en na controle blijft enkel s=-0,15 over als break-away punt. Het punt -0.74 ligt zelfs niet op de root-locus. 9. De hoek waaronder de takken vertrekken op de respectievelijke polen is arg(0-1)=arg(-1)=0 Vermits er geen complexe wortels zijn is de oplossing steeds dezelfde dus arg=0.de hoek waaronder de takken vertrekken is dus steeds θ = π 3 arg = π i=1 met andere woorden ze vertrekken horizontaal
4 Het programma SCILAB geeft ons volgende plot Wat kunnen we nu doen met deze wortelkromme? Hiermee onderzoeken we nu de invloed van de polen op het systeem. We weten dat hoe verder de pool van de oorsprong ligt hoe meer invloed hij heeft op het systeem, dus moeten we ons focussen op de pool het dichtst bij de oorsprong.dan gaan we kijken naar de systeemvereisten zoals doorschot, settling time,... 1. De dempingsfactor ζ(bij voorkeur tussen 0,4 en 0,7) Het argument van de pool met die waarde voor de dempingsfactor is φ = arg(p i ).En men kan bewijzen dat φ = cos(π arccos ζ).hoe vinden we nu de gewenste p i? We tekenen een lijn op de root-locus met als hoek φ en het snijpunt van beide is de gezochte pool. 2. We willen de eigenfrequentie ω n instellen op een bepaalde waarde. We weten p i = ω n.hoe vinden we nu de gewenste p i? We tekenen een cirkel met straal ω n op de root locus en het snijpunt is de gezochte pool. Er zijn nog mogelijke systeemparameters die men kan vooropstellen maar daarvoor verwijs ik naar de literatuur.
0.2. OEFENING 5 En als we de X- en Y-assen verplaatsen naar het centrum van de tekening Getekend met de hand krijgen we