Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 1 ONTWERP VAN EEN LESSENSERIE VOOR KLAS 2 VWO VANUIT EEN GRAFISCH-ALGEBRAISCH PERSPECTIEF PAPER 5: EVALUATIE ERNST WACKWITZ Juni 2012 Interfacultaire Lerarenopleiding Universiteit van Amsterdam Begeleiders: Lidy Elzinga en Mariska Min Verslag van een door Ernst Wackwitz (10143742) ontworpen en uitgevoerde lessenserie voor 2 klassen 2VWO van het College Hageveld te Heemstede. De lessen vormen samen een blok van 5 weken waarin kwadratische vergelijkingen langs grafisch-algebraïsche weg in een gestructureerd schema worden gegoten. Trefwoorden: Wiskunde, kwadratisch, vergelijking, Geogebra, grafisch Ernst Wackwitz (2012). Lessenserie voor kwadratische vergelijkingen klas 2VWO. Amsterdam: ILO UVA
2 Ernst Wackwitz Inhoudsopgave Samenvatting Paper 1 blz. 3 Opzet van de onderzoeken. blz. 4 Resultaten van de onderzoeken. blz. 5 Discussie over de resultaten...blz. 10 Algemene conclusie blz. 12 Suggesties voor herontwerp blz. 14 Terugblik op het proces van ontwerpen en onderzoeken..blz. 15 Bijlage 1. Vergelijking van de resultaten per klas..blz. 16 Bijlage 2. Vergelijking met proefwerk van vorig jaar..blz. 17 Bijlage 3. Vragenlijst (meerkeuze vragen) over 2 ontwerpklassen en 3 controleklassen....blz. 18 Bijlage 4. Learner Report (kwalitatief) in de ontwerpklassen.....blz. 24 Bronnen....blz. 30
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 3 Samenvatting Paper 1 Het gekozen onderwerp is Kwadratische Vergelijkingen voor klas 2 van het VWO De ontwerpregels zijn: 1) De lessenserie bevat 12 lesbrieven, waarbij vrijwel iedere les zowel de algebraïsche als de grafische representatie bevat 2) De lessen hebben tot doel een schema te bouwen op het gebied van kwadratische vergelijkingen 3) De lessen passen binnen het curriculum van College Hageveld. De ontwerphypothese is (na aanpassing n.a.v. commentaar bij Paper 1): Door het aanbieden van een lessenserie die algebraïsche en grafische representatie combineert én waarin expliciet een schema wordt ontwikkeld a) zal het aantal fouten op het gebied van de vorm en de grafische representatie van een vergelijking afnemen b) zullen leerlingen het verband tussen vergelijkingen en grafieken herkennen c) zullen leerlingen zich realiseren dat kwadratische vergelijkingen te categoriseren zijn en dat iedere categorie een eigen oplossingsstrategie heeft. Ik wil de ontwerphypothese als volgt toetsen: 1) Vergelijking van de rangorde van 8 parallelklassen in deze periode met voorgaande periodes (6 klassen fungeren als controlegroep) 2) Vergelijking van het soort fouten gemaakt in het proefwerk van vorig jaar 3) Ervaringen van de leerlingen opvragen middels Learner Reports. De structuur van dit paper is als volgt: - Opzet van ieder van de onderzoeken - De resultaten van de onderzoeken en een interpretatie daarvan; de gedetailleerde resultaten staan in de bijlages 1 t/m 4; - Discussie over de resultaten - Vervolgens zal ik mijn algemene conclusies vermelden - Ook zal ik aangeven welke veranderingen ik zou aanbrengen in de lessenserie alvorens deze weer te gebruiken (uitgaande van 12 lessen) - Ik sluit af met een (korte) terugblik op het proces van ontwerpen en onderzoeken
4 Ernst Wackwitz Opzet van de onderzoeken Vergelijking van de rangorde van de klassen De vraag die onder dit onderzoek lag was Leidt de lessenserie tot een beter leerresultaat bij de leerlingen. Dit onderzoekje heb ik uitgevoerd door bij mijn collega s na te vragen wat de gemiddelde cijfers van hun klassen waren voor de proefwerken in de eerste 4 periodes en in de 5 e periode (waarin ik mijn ontwerp heb uitgevoerd). Zij hebben mij deze resultaten per mail toegestuurd. Vergelijking van het soort fouten gemaakt in het proefwerk van vorig jaar Is er een verschuiving/verandering/vermindering van aantal en type fouten? : dat was de vraag die ik wilde beantwoorden. Tijdens de laatste les van de periode heb ik het proefwerk van vorig jaar als SO laten maken. Eén van de vragen heb ik geschrapt: voor deze vraag moeten de leerlingen de Stelling van Pythagoras kennen; deze is dit jaar nog niet behandeld. Hierdoor werd het werk ook beter te maken in de beschikbare tijd: tijdens een proefwerk zijn de volle 50 minuten beschikbaar, tijdens een SO is dat door de leswissel en de lesopstart in de praktijk maar 40 minuten. De intentie was om een vergelijking van de gemaakte fouten te kunnen maken. Daarvoor heb ik de vragen gecategoriseerd naar onderwerp en vervolgens het aantal fouten vergeleken (op basis van het foutpercentage: ik heb het aantal gemaakte fouten gedeeld door het totaal aantal te behalen punten). Bij een analyse van de fouten hoopte ik te vinden dat het aantal fouten dat gemaakt werd m.n. bij de vergelijkingen van het type en bij vragen over de grafische representatie van een vergelijking minder zou worden (absoluut dan wel relatief). Ervaringen van de leerlingen Deze heb ik op twee manier verzameld: - een Learner Report in gesloten vorm: via een vragenlijst (15 meerkeuze vragen, met een vierpuntsschaal) die ik aan mijn beide klassen heb voorgelegd en aan drie parallelklassen (die dienden als controlegroep). Het onderzoekje is afgenomen tijdens de laatste les van de periode; in 2A en 2E (de ontwerpklassen) is de vragenlijst ingevuld na het maken van een SO. Doel van dit onderzoekje was om te zien of er een duidelijk verschil in beleving was tussen de twee groepen. - een Learner Report in open vorm in mijn beide klassen. Dat heb ik uitgevoerd na de laatste les (d.w.z. na lesbrief 12). Oorspronkelijk was het de bedoeling dit onderzoek na lesbrief 10 uit te voeren, maar omdat ik besloten had om lesbrief 10 en 11 te laten vallen heb ik dit moment gekozen. Als oefening hadden de leerlingen eerder (na lesbrief 6) al een Learner Report ingevuld. Dit Learner Report heb ik vluchtig doorgenomen: enerzijds gebruikt om te zien of er grote veranderingen nodig waren, anderzijds om leerlingen nog iets aan terugkoppeling te kunnen geven (m.n. over het invullen van opmerkingen in de juiste categorie). Leerlingen moesten in dit Learner Report leerervaringen rapporteren in de categorieën Regels over de wereld, Uitzonderingen binnen de wereld, Regels over jezelf en Uitzonderingen over jezelf.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 5 Resultaten van de onderzoeken Vergelijking van de rangorde van de klassen De vraag die onder dit onderzoek lag was Leidt de lessenserie tot een beter leerresultaat bij de leerlingen. Het resultaat van dit onderzoek is als volgt: Periode 5 Gemiddelde Gem. P1-P4 Klas Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking 2A 6,4 3 7,3 1 7,6 1 2B 6,3 6 6,9 7 7,1 7 2C 6,4 3 7,0 4 7,2 4 2D 6,4 3 7,0 4 7,2 4 2E 5,9 8 6,7 8 6,9 8 2F 6,3 6 7,0 4 7,2 4 2G 6,7 2 7,3 2 7,5 2 2H 6,8 1 7,3 2 7,5 2 Periode 5: gemiddelde van het proefwerkcijfer (voor herkansing in 2A en 2E) Gemiddelde: gemiddelde van de periodes 1 t/m 5 Gem. P1-P4: gemiddelde van de periode 1 t/m 4 Zie bijlage 1 voor de gedetailleerde resultaten (incl. resultaten van de vorige 4 periodes). Op basis van deze meting is geen concrete uitspraak te doen over het resultaat van de lessenserie. Mijn beide klassen scoren niet veel anders dan eerder in het jaar. Er is zeker geen sprake van het feit dat mijn leerlingen hun collega s ruim achter zich lieten of juist veel slechter scoren: 2A blijf in de bovenste helft van de groep, 2E in de onderste helft. Vergelijking van het soort fouten gemaakt in het proefwerk van vorig jaar Is er een verschuiving/verandering/vermindering van aantal en type fouten? : dat was de vraag die ik wilde beantwoorden. De resultaten van de 5 vragen die het type vergelijking en de grafische representatie betroffen: Vraagstelling Vraag Aantal punten Aantal fouten 2012 2011 Max Perc Aantal Max fouten fouten fouten fouten Perc fouten Opmerking Relatieve ontwikkeling Ontbind in factoren 1d 1 17 50 34% 29 84 35% Merkwaardig product: verschil kwadraten 0,98 1f 2 80 100 80% 94 168 56% Buiten haakjes & 2x verschil kwadraten 1,43 Los op 5a 2 45 100 45% 75 168 45% x2 = getal 1,01 5b 2 43,5 100 44% 75 168 45% substitutie 0,97 Snijpunten 6e 2 54,5 100 55% 59 168 35% Herleiden & som product 1,55 Totaal 501 1350 37% 586 2268 26% 1,44 Gemiddeld/leerling 10,0 7,0 Vraagstelling: type vraag Vraag: nummer van de vraag (in oorspronkelijl proefwerk) Aantal punten: waardering van de vraag Voor twee jaren: - aantal fouten (dwz aantal niet behaalde punten) - maximaal aantal punte - percentage gemiste punten Opmerking: toelichting over inhoud van de vraag Relatieve ontwikkeling: percentage fouten 2012 / percentage fouten 2011 Totalen onderaan de tabel betreffen alle vragen uit het SO, niet alleen de hier gerapporteerd. Voor totaaloverzicht zie bijlage 2. Gemiddeld/leerling: gemiddeld aantal fouten per leerling
6 Ernst Wackwitz Kijkend naar de resultaten dan zien we: - Er zijn veel meer fouten gemaakt (per leerling) dan vorig jaar: gemiddelde is gestegen van 7,0 naar 10,0 per leerling; de relatieve ontwikkeling over alle vragen is 1,44 - Fouten op gebied van zijn relatief minder toegenomen: bij vragen 1d, 5a en 5b is de relatieve ontwikkeling ongeveer 1; vraag 1f ontwikkelt zich als het totaal (1,43) - Fouten bij de grafische representatie zijn zelfs iets harder gestegen dan het gemiddelde (1,55) - Leerlingen bleken niet goed te weten wat ontbinden in factoren inhield; dit blijkt niet zozeer uit de cijfers maar door kwalitatief naar de beantwoording van de vragen te kijken; een aantal voorbeeld van écht verkeerde uitwerkingen: Leerling herkent verschil tussen Ontbind in factoren en Los op niet bij deze vraag Deze leerling beseft dat zij moet toewerken naar één product dus ( )( ), ( ) en ( )( ) En deze leerling kiest voor een combinatie van allerlei technieken die behandeld zijn; ook hier komt er geen schrijfwijze met alleen maar een product als antwoord.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 7 Ervaringen van de leerlingen De gedetailleerde uitwerking van de vragenlijst (gesloten vorm) is te vinden in bijlage 3, van het open Learner Report in bijlage 4. Het gesloten Learner Report heb ik uitgewerkt door de resultaten in grafiekjes weer te geven. De 15 vragen heb ik verdeeld in 5 categorieën van ieder 3 vragen. Daar waar leerlingen afweken van de vierpuntsschaal (door er tussen in te scoren) heb ik een keuze gemaakt hoe ik zo n score zou behandelen (en vastgelegd in bijlage 3). In het algemeen hebben de vragen niet geleid tot hele grote verschillen. De meest sprekende uitkomsten waren: De vragenlijst leidt tot de volgende (voorzichtige) waarnemingen per groep vragen: - Algemeen: voornaamste verschil is dat de leerlingen in de ontwerpklassen zich iets meer bewust lijken te zijn van het feit dat kwadratische vergelijkingen (vrijwel) altijd te ontbinden zijn in factoren; zij hebben dan ook meer methodes te zien gekregen - Grafieken: er valt geen verschil op te maken tussen de twee groepen - Meerdere vormen: beide groepen lijken zich even goed bewust te zijn van het bestaan van de verschillende vormen; de controleklassen lijken iets zekerder van hun zaak m.b.t. hun vermogen om de oplossingsmethodes toe te passen; moment van afname in de ontwerpklassen kan dat resultaat echter beïnvloed hebben - Methoden: de ontwerpklassen geven iets duidelijker aan bewust te zijn van verschillende manieren om een vergelijking op te lossen; de controleklassen zijn ook hier wat zelfverzekerder - Beleving/vertrouwen: het wat mindere vertrouwen van de ontwerpklassen in eigen kunnen is ook hier zichtbaar; de ontwerpklassen zijn iets positiever over de methode De voornaamste tendensen die zichtbaar zijn: - Controleklassen lijken iets meer vertrouwen in eigen kunnen te hebben - Ontwerpklassen lijken zich iets beter bewust te zijn van de rijkheid aan oplossingsmethoden - Ontwerpklassen lijken iets positiever over de methode
8 Ernst Wackwitz Het gesloten Learner Report heb ik als volgt verwerkt: De gerapporteerde leerervaringen heb ik steeds, op basis van twee dimensies (Inhoud en Gedrag), ingedeeld. Daarmee volg ik de methodiek die Tanja Janssen (1988) gehanteerd heeft. Ik heb voor de dimensie gedrag in grote lijnen haar indeling aangehouden; voor inhoud heb ik uiteraard mijn eigen categorieën opgesteld. Een aantal van de belangrijkste groepen in de dimensie inhoud waren: 2. Aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking Oorspronkelijk had ik deze meegenomen in categorie 1 maar gezien het aantal opmerkingen dat hierover gemaakt werd vond ik het terecht om hiervoor een eigen categorie te maken. Voorbeeld: Ik heb geleerd dat er meestal 2 uitkomsten zijn. 3. Verschillende soorten kwadratische vergelijkingen Hieronder vallen de leerervaringen m.b.t. de soorten vergelijkingen. Voorbeeld: Ik weet nu hoe ik een kwadratische vergelijking moet oplossen (de manier bij elke verschillende soort/vorm vergelijking). 7. Eigen kunnen Hieronder heb ik opmerkingen gegroepeerd waarin leerlingen aangeven of je ergens goed in zijn, of juist niet. Dus niet het proces van leren maar het gevoel over of de status quo van het leren. Voorbeelden: Ik heb geleerd dat het niet waar is dat ik wiskunde nooit snap, maar dat ik heel slordig werk en daar dus goed voor moet oppassen en Ik snap de uitleg altijd goed en gebruik de juiste methodes. 8. Leren en studeren In deze categorie gaat het om mogelijkheden tot verbetering, opmerkingen waar een actie of een intentie daartoe inzit. Voorbeelden: Ik heb geleerd dat ik soms even moet puzzelen totdat ik het snap en Ik heb gemerkt dat aan het einde alle stof in elkaar valt en je als je iets niet snapt iets eerder terugkijkt het op z'n plek valt. Deze categorie zal regelmatig samen vallen met de Gedragscomponent Metacognitieve kennis en vaardigheden maar dat hoeft niet altijd het geval te zijn. Zo heb ik een opmerkingen als Ik heb gemerkt dat je de opgeloste sommen altijd goed kan terugrekenen ingedeeld onder Leren en studeren bij Procedurele kennis & vaardigheden. Bij de indeling van de gedragscomponent heb ik nog de volgende keuze gemaakt: onder Attitude heb ik alle opmerkingen die gaan over iets moeilijk of juist makkelijk vinden ingedeeld; leerervaringen waarin leerlingen aangeven ergens goed of slecht in te zijn, vielen wat mij betreft onder Metacognitieve kennis en vaardigheden. Een gedetailleerd overzicht van alle categorieën voor beide dimensies is te vinden in bijlage 4. Een aantal voorbeelden van deze indeling zijn: Leerervaring Inhoud Gedrag Ik heb geleerd dat ik niet meteen op een som moet afstormen maar eerst even goed moet analyseren Leren en studeren Metacognitieve kennis & vaardigheden Ik weet nu hoe ik de Babylonische manier moet gebruiken en waarvoor Oplossen Babylonische methode Procedurele kennis & vaardigheden Ik heb geleerd dat het niet waar is dat alle vergelijkingen kunnen Aantal oplossingen Declaratieve kennis worden opgelost Ik heb gemerkt dat ik kwadratisch vergelijkingen oplossen leuk vind Kwadratische Attitudes oplossingen algemeen Ik heb gemerkt dat aan het einde alle stof in elkaar valt en je als je iets niet snapt iets eerder terugkijkt het op z'n plek valt Leren en studeren Metacognitieve kennis & vaardigheden Alle leerervaringen heb ik overgenomen in een Excel sheet (bijgevoegd in Repository als apart bestand) onder vermelding van leerling (een nummer), klas, type leerervaring van het Learner Report en de indeling in de dimensies. Dit ziet er als volgt uit:
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 9 Na deze indeling komt het volgende resultaat van aantal leerlingen met een leerervaring verdeeld over de dimensie inhoud (ook aantal leerervaringen wordt weergegeven): Categorie Aantal leerlingen (n=51) Aantal opmerkingen (n=250) Kwadratische vergelijkingen algemeen 14 16 Aantal oplossingen 25 38 Verschillende soorten kwadratische vergelijkingen 21 32 Verschillende methodes 14 16 Oplossen specifieke methode 11 16 Oplossen Babylonische methode 8 11 Eigen kunnen 29 43 Leren en studeren 22 34 Grafisch 17 19 Wiskunde algemeen 9 12 Verhaaltjessommen 6 6 Overig 7 7 En kijkend naar een combinatie van de twee dimensies dan zien we de volgende combinaties domineren: Categorie Aantal leerlingen (n=51) Aantal opmerkingen (n=250) Declaratieve kennis 39 68 Aantal oplossingen 24 35 Grafisch 10 10 Procedurele kennis & vaardigh. 35 61 Verschillende soorten kwadratische vergelijkingen 13 16 Verschillende methodes 8 10 Attitudes 28 38 Kwadratische vergelijkingen algemeen 9 9 Verschillende soorten kwadratische vergelijkingen 7 10 Metacognitieve kennis & vaard. 43 78 Eigen kunnen 27 37 Leren en studeren 20 24 Overig 4 5 We kunnen de volgende observaties maken: - een belangrijk deel (50%) van de leerlingen rapporteert leerervaringen (15% van totaal aantal leerervaringen) op het gebied van het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking en ook van in het bijzonder - een belangrijk deel (40%) van de leerlingen rapporteert een leerervaring (13% van totaal) over meerdere soorten kwadratische vergelijkingen (met ieder zijn eigen oplossingsmethodiek) - een belangrijk deel (35%) van de leerlingen is zich er van bewust dat er ook een grafische representatie is (8% van totaal aantal leervaringen) - een belangrijk deel (40%) van de leerlingen rapporteert iets over hun proces van leren (14% van totaal aantal leerervaringen); daar zitten soms hele mooie leerervaringen bij - kijkend naar de combinatie van de twee dimensies dan valt het hoge aantal leerervaringen (85% van de leerlingen, 30% van de opmerkingen) in Metacognitieve kennis & vaardigheden op; leerlingen lijken eerder genegen iets over hun kunnen dan over hun houding/attitude te rapporteren
10 Ernst Wackwitz Discussie over de resultaten Vergelijking van de rangorde van de klassen De observaties en conclusies bij dit onderzoekje moet met enige omzichtigheid gedaan worden; er zijn uiteraard ook veel andere elementen in het spel als we resultaten vergelijken: - De aard van de stof; periode 5 betrof (net als periode 3) het oplossen van vergelijkingen; de resultaten van periode 5 vertonen ook enige consistentie met die van periode 3, maar zijn duidelijk anders dan bijv. periode 4; aanleg van leerlingen voor bepaalde delen van de stof speelt een rol; ook de affiniteit van de docent met de stof kan nog van invloed zijn - Aanwezigheid van de leerlingen in de lessen: een aantal van mijn leerlingen scoorde veel slechter (meer dan 2 punten) dan hun jaargemiddelde tot dan toe; daarbij zaten ook leerlingen die in de eerste 4 periodes goed gepresteerd hadden maar die tijdens deze periode een aantal lessen gemist hadden; een voorzichtige conclusie die ik hieruit zou kunnen trekken is dat de lessenserie te weinig ruimte biedt om bij te komen en in te halen. - De sfeer in de klas; klas 2A is erg onrustig op dit moment, klas 2E is zeer aandachtig, maar daar zitten relatief veel zwakkere leerlingen in; deze laatste groep is wellicht extra onzeker geworden door het niet gebruiken van het boek; de onrust in klas 2A kan de prestaties beïnvloed hebben Al met al voldoende verstorende elementen om het resultaat van het onderzoek niet onverkort over te nemen. Vergelijking van het soort fouten gemaakt in het proefwerk van vorig jaar Het resultaat van dit onderzoek oogt dramatisch voor de ontworpen lessenserie. Toch kunnen er ook hier andere factoren nog een rol spelen. Mogelijke alternatieve verklaringen zijn: - Deze beide klassen hadden in de vorige periode (een hoofdstuk o.a. over wortels) relatief goed gescoord; mogelijk hebben zij deze kennis al meegenomen naar het onderwerp - wordt als eerste behandeld in deze lessenserie, krijgt daardoor extra aandacht en heeft daarmee de meeste tijd om te blijven hangen - In Getal en Ruimte wordt begonnen met ontbinden in factoren; omdat ik het belangrijk vond dat de leerlingen wisten waarvoor ze dit deden heb ik ontbinden in factoren pas later geïntroduceerd; mogelijk is dat niet duidelijk genoeg gebeurd - Voor het grote aantal fouten: het SO vorig jaar is gegeven als proefwerk; o dat beïnvloedt het belang dat leerlingen er aan hechten en daarmee ook de inspanning die zij ervoor leveren o bovendien was dit proefwerk vorig jaar al vooraf gegaan door een SO; daarmee hadden de leerlingen al terugkoppeling gekregen op hun werk; het SO van vorig jaar betrof m.n. de onderwerpen als ontbinden in factoren en de som-product methode, de onderwerpen die vorig jaar relatief goed gegaan waren en die dit jaar slechter zijn gegaan; en de grafische representatie werden beide voor het eerst getoetst Ook hier mogen we het resultaat van het onderzoek met omzichtigheid gebruiken: vooral indicatief, als leerervaring voor het herontwerp.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 11 Ervaringen van de leerlingen Gesloten Learner Report (vragenlijst) Hoewel er bij een aantal van de vragen wel een voorzichtig beeld te zien is kan geen van deze bevindingen kan echter vertaald worden in een harde conclusie. Daarvoor: - Waren de afnamemomenten te verschillend (wel of niet na gemaakt SO) - Was het aantal respondenten te beperkt - Waren de verschillen te klein - Ontwerpklassen weten dat ik de methode geschreven heb en willen mij wellicht niet teleurstellen; daarom geven zij eerder het sociaal acceptabele antwoord Open Learner Report Het open Learner Report is in wezen een kwalitatief onderzoek; om iets concreets te kunnen zeggen heb ik een poging ondernomen om het onderzoek te kwantificeren door de indeling van de leerervaringen in de twee dimensies. En indirect is er ook op elementen ook wel een kwalitatieve analyse mogelijk. Kanttekeningen bij dit onderzoek zijn: - De indeling is lang niet altijd makkelijk te maken en dus soms arbitrair - Kleinschaligheid van het onderzoek: 51 leerlingen rapporteren 250 leerervaringen; opzet van het onderzoek was in tijd en aantal leerlingen beperkt; leerlingen waren eigenlijk al tevreden als ze in ieder van de categorieën één opmerking gemaakt hadden; er was zeker geen sprake van volgeschreven bladen - De leeftijd van de respondenten: Tanja Janssen (1988) geeft in haar onderzoek aan dat er verschil is tussen het soort antwoorden van de groep van 24-jarigen en de groep van 16-jarigen; de leerlingen waarbij ik het onderzoek uitvoerde zijn 13-14 jaar; veel van de opmerkingen zijn heel concreet of juist heel algemeen; echte reflectie komt nog zeer beperkt voor - Veel van de opmerkingen over zelf gaan over het eigen kunnen: ik ben ergens goed in (of juist niet); ook hier mist de echte reflectie Over het ontbreken van de echte reflectie: veel van de opmerkingen zijn van het soort Ik heb geleerd dat ik goed ben in deze periode, Ik heb geleerd dat het niet waar is dat ik alles weet, Ik heb gemerkt dat ik niet goed ben in verhaaltjessommen, Ik heb geleerd dat het niet waar is dat ik superslecht ben in wiskunde. De echte reflectie, de echte leerervaring ontbreekt meestal; opmerkingen van het kaliber Ik heb geleerd dat het niet waar is dat als ik het de ene les niet snap, ik het de volgende les ook niet snap (vertelt iets over voortschrijdend inzicht), Ik heb geleerd dat het niet waar is dat ik als ik het niet begrijp dat ik het maar moet laten zitten, maar nog eens goed vragen en dan oefenen (vertelt over de ervaring dat niet alles je komt aanwaaien maar dat je er voor moet werken) zijn in de minderheid.
12 Ernst Wackwitz Algemene conclusie Kan de ontwerphypothese geaccepteerd worden? Dat is makkelijk te beantwoorden: op basis van de uitkomsten van de onderzoekjes mag dat niet gedaan worden. De metingen van het SO lijken zelfs eerder de andere kant op te wijzen. Toch wil ik ook niet concluderen dat de methode slechter is, dus ik wil de hypothese ook niet zonder meer verwerpen. Hoewel het SO dat zou suggereren zijn er te veel verstoringen en andere signalen: - de onderlinge prestaties bij het proefwerk van de klassen waren redelijk in lijn met eerdere periodes - de voorgeschiedenis en de afnamecondities van het SO van dit jaar en het proefwerk van vorig jaar zijn te verschillend Op basis van het gesloten en het open Learner Report is wel vast te stellen dat een groot deel van de leerlingen zich in ieder geval bewust is van de drie sleutelelementen van de lessenserie: - het aantal oplossingen bij het type vergelijking ; ca. 65% geeft in het gesloten LR aan deze op te kunnen lossen; in het open LR is veel aandacht voor de situatie waarin deze vorm géén oplossing heeft - de grafische representatie van een vergelijking; in het gesloten LR geeft ca. 80% aan dit verband te zien; in het open LR rapporteert ca 35% van de leerlingen hierover een leerervaring - het onderscheid maken tussen de soorten vergelijkingen; ruim 90% van mijn leerlingen geeft in het gesloten LR aan dit besef te hebben Daarmee is echter nog niet gezegd dat zij de stof beheersen, d.w.z. de opgaves er foutloos van kunnen maken; het gerapporteerde vertrouwen in mijn klassen is veel lager (aar kan beïnvloed zijn door moment van afname). Daarmee is ook niet gezegd dat deze lessenserie zich onderscheidt van de methode van Getal & Ruimte: is het gesloten LR ontliepen de scores op deze gebieden elkaar niet veel; voornaamste verschil was te zien bij het bewustzijn over het aantal manieren waarmee een kwadratische vergelijkingen kon worden opgelost: dat was in de ontwerpklassen hoger. Voor een serie van 12 lessen is de aangeboden hoeveelheid stof echter te veel. Dat concludeer ik op basis van een aantal waarnemingen, niet alleen uit de onderzoeken maar vooral ook tijdens de uitvoering van de lessen: - leerlingen komen niet door alle opgaves heen bij het huiswerk (er zijn gewoon te veel of te moeilijke opgaves) - er is te weinig tijd om de lastige opgaves te bespreken (er ligt al weer nieuwe stof klaar die besproken moet worden) - er is te weinig tijd (zeker gedurende de lessenserie) om weer eens even terug te kijken, verzamelopgaves te laten maken over de stof tot nu toe (dit gebeurt nu alleen aan het einde); daardoor wordt het vermogen van de leerlingen om de soorten vergelijkingen van elkaar te onderscheiden onvoldoende geoefend - de hoeveelheid stof die wordt aangeboden (de diversiteit van het aantal onderwerpen) is te groot; ook daardoor krijgen leerlingen te weinig tijd om alles te verwerken - een aantal opgaves zijn te lastig, te abstract geformuleerd Daarmee moet geconcludeerd worden dat de lessenserie in zijn huidige vorm niet geschikt is om binnen een periode van 5 weken (12-13 lessen) gegeven te worden. Er wordt dus niet voldaan aan
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 13 één van de ontwerpcriteria: het is wel een serie van 12 lesbrieven, maar die passen niet binnen 12 lessen van 50 minuten. Wel blijf ik achter de gedachte van het ontwerp staan: hoewel de resultaten bij het ontbinden in factoren tijdens het SO slecht waren, geloof ik toch niet dat het een goed idee is om met het kunstje te beginnen en pas later de stap naar de toepassing te maken. Ik vind nog steeds de start met (die aansluit bij de recent opgedane kennis op het gebied van wortels) een goede. De stap naar het ontbinden in factoren moet echter meer aandacht krijgen. Ook het integreren van de grafische en praktische opgaves door de stof blijft mijn voorkeur houden. De praktische opgaves moeten echter minder abstract worden (zeker in het begin). De grafische opdrachten moet wellicht wat explicieter van aard zijn (ze zaten nu wel eens verstopt in een praktische opdracht. Een hart onder de riem vind ik één van de leerervaringen in het Learner Report: Ik heb geleerd dat het niet waar is dat wat je berekent geen nut heeft (door de praktijk opgaven). Deze opmerking sterkt mij in de gedachte dat het goed is om praktijk en theorie te mengen. En mijn favoriete opmerking uit het open Learner Report was uiteraard: Ik vond dit boek heel erg fijn om mee te werken; het zat veel logischer in elkaar dan het normale boek. Helaas kan ik niet melden dat deze leerervaring door een grote groep leerlingen werd gemeld.
14 Ernst Wackwitz Suggesties voor herontwerp Herontwerp van de lessenserie is dus nodig voordat zij weer uitgevoerd kan worden. Hierboven zijn al de grote lijnen hiervoor uitgezet. Een concreet overzicht: Uitgaande van een lessenserie voor 12 lessen van 50 minuten: - de lesbrieven 1 en 2 kunnen gehandhaafd blijven (maar m.n. lesbrief moet nog gecontroleerd worden op foutjes) - in de lesbrieven 3 en 4 zijn de opgaves 3.4, 3.5, 3.6, 4.5 en 4.6 (op dit moment) te lastig; deze moeten vervallen of verplaatst worde naar Lesbrief 12; ze kunnen vervangen worden door nieuwe opgaves, door opgaves uit lesbrief 12 of door 11.5, 11.6, 11.7 - lesbrief 5: aandacht voor verschil tussen los op en ontbind vergroten; schema starten/opnemen voor ontbinden in factoren (de verschillende mogelijkheden) - Lesbrief 6: schema ontbinden in factoren aanvullen met buiten haakjes halen - Lesbrief 7: vervangen door een lesbrief die alle stof tot nu toe samenvat en opgaves door elkaar heen aanbiedt; goed moment om na deze lesbrief een SO in te lassen als tussentijdse toetsing - Lesbrief 8: opgave 7.4 toevoegen (incl. het grafische deel); evt klassikaal behandelen - Lesbrief 8 splitsen in twee delen: tweede deel incl. opgaves met andere methodes - Lesbrief 9 wordt lesbrief 10: Babylonische methode - Lesbrief 10 inkorten en wordt lesbrief 11: korte les over kwadraat afsplitsen; incl. opgave 7.5; 10.7 zeker laten vervallen of naar lesbrief 12 verplaatsen (achterin, als extra uitdaging) - Lesbrief 11 vervalt - Lesbrief 12 blijft bestaan - Alle lesbrieven screenen op de hoeveelheid stof, op de moeilijkheidsgraad en abstractieniveau van de opgaves - Grafische opdrachten minder verstoppen (zeker in eerste hoofdstukken) maar gewoon grafiek geven en laten oplossen - Antwoordenboekje goed screenen, in ieder geval: les 3: 2g, 3e, 6g Een alternatief is nog om lesbrief 7 iets inkorten (bijv 4 e schrijfwijze niet laten doen) & leerlingen iets te laten inleveren; in dat geval moet er in de lesbrieven 8 en verder ruimte gemaakt worden om opgaves op te nemen die de oude stof weer herhalen.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 15 Terugblik op het proces van ontwerp en onderzoeken Ik vond het erg leuk om een lessenserie te ontwerpen: je eigen benadering kiezen, nadenken over de logische volgorde van de stof en de consequenties van je keuzes. Wel heb ik moeten constateren dat het niet makkelijk is om een lessenserie (zeker niet zo n lange als deze) te ontwerpen. Een logische opbouw van de stof is niet voldoende. Je moet ook aandacht hebben voor: - Opbouw van de moeilijkheidsgraad - Ruimte voor herhaling/oprakelen van de oude stof - Abstractieniveau van de vragen - Hoeveelheid opgaves en stof (in de beperking kent zich de meester) - Tijd om even adem te halen/bij te komen (niet alleen voor de leerlingen maar ook voor de docent) Ook het onderzoeken van je ontwerp is een leerzame ervaring geweest. Zeker omdat de resultaten van de lessenserie anders waren dan ik (in mijn naïviteit) gehoopt had. Je moet dan nadenken over het waarom (liggen de resultaten aan de lessenserie of aan de manier waarop de meting is opgezet), wat er anders zou moeten, wat je gezien/geobserveerd heb tijdens de lessen, de reacties van de leerlingen etc. Ga ik mijn lessenserie volgend jaar weer gebruiken? Daar moet ik nog even over nadenken. Het komende jaar is het laatste jaar dat we met deze methode van Getal en Ruimte werken. Daarna komt een nieuw boek, de 10 e editie van Getal en Ruimte. Als ik de hoofdstuk indeling zoals die gepland is zie, dan zie ik de volgende veranderingen: - de vergelijkingen van het type worden verplaatst naar het hoofdstuk over kwadraten en wortels en worden dus als eerste aangepakt - er wordt in het hoofdstuk Kwadratische vergelijkingen gestart met een paragraaf Priemfactoren ; daarna komen aan bod Buiten haakjes halen, Som-product methode, Kwadratische vergelijkingen oplossen en Kwadratische vergelijkingen toepassen Het als eerste behandelen van sluit aan bij mijn benadering; de rest kan ik nog niet goed beoordelen. Omdat het herontwerp nog een behoorlijk klus is kan het ook zijn dat ik volgend jaar kies voor een ander gebruik van het boek: ik hanteer een andere volgorde, maak gebruik van opgaves uit het boek aangevuld met eigen opgaves uit de lessenserie. Zodra ik dan het nieuwe boek kan inzien kan ik beoordelen of de nieuwe aanpak mij voldoende aanspreekt of dat een investering in een eigen methode de moeite waard is. Al met al een zeer leerzame ervaring, zowel door de noodzaak om bewust over de lesstof na te denken, de noodzaak om na te denken over de effectmeting en de ervaringen over het proces en je eigen rol daarin.
16 Ernst Wackwitz Bijlage 1 Vergelijking van de resultaten per klas Wijze van afname onderzoek: Dit onderzoekje heb ik uitgevoerd door bij mijn collega s na te vragen wat de gemiddelde cijfers van hun klassen waren voor de proefwerken in de eerste 4 periodes en in de 5 e periode, waarin ik mijn ontwerp heb uitgevoerd. Zij hebben mij deze resultaten per mail toegestuurd. Overzicht van de resultaten: Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 Periode 5 Gemiddelde Gem. P1-P4 Periode 5 Klas Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking Cijfer Ranking Na herkansing 2A 8,1 2 7,1 3 7,5 5 7,5 1 6,4 3 7,3 1 7,6 1 6,8 1 2B 7,1 6 7,0 4 7,3 7 7,0 7 6,3 6 6,9 7 7,1 7 6,3 6 2C 7,4 5 6,7 7 7,6 3 7,1 4 6,4 3 7,0 4 7,2 4 6,4 4 2D 7,5 4 6,2 8 7,8 1 7,3 3 6,4 3 7,0 4 7,2 4 6,4 4 2E 6,8 7 6,8 6 6,6 8 7,4 2 5,9 8 6,7 8 6,9 8 6,3 6 2F 6,8 7 7,4 1 7,4 6 7,1 4 6,3 6 7,0 4 7,2 4 6,3 6 2G 8,3 1 6,9 5 7,6 3 7,0 7 6,7 2 7,3 2 7,5 2 6,7 3 2H 7,8 3 7,2 2 7,8 1 7,1 4 6,8 1 7,3 2 7,5 2 6,8 1 Verklaring van de kolommen: - voor alle periodes het gemiddelde cijfer en de onderlinge ranking - het gemiddelde cijfer over periodes 1 t/m 5 en bijbehorende ranking - het gemiddelde cijfer over periode 1 t/m 4 en bijbehorende ranking - het gemiddelde cijfer en ranking na de herkansing in 2A en 2E. Omdat nogal wat leerlingen veel slechter scoorden dan in eerdere periodes (meer dan 2 punten onder hun gemiddelde tot dan toe) heb ik die leerlingen de gelegenheid geboden om een herkansing te doen. De resultaten van 2A en 2E ná deze herkansing staan in de meest rechter kolommen. Waarnemingen: - er is geen sprake van een duidelijk effect (opwaarts of neerwaarts); - de resultaten van periode 3 vertonen wel enige gelijkenis met die van periode 5; ook in periode 3 besloeg de stof het oplossen van vergelijkingen (lineaire) - de resultaten na herkansing zijn iets meer in lijn met de gemiddelde resultaten
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 17 Bijlage 2. Vergelijking met proefwerk van vorig jaar Wijze van afname onderzoek: Tijdens de laatste les van de periode heb ik het proefwerk van vorig jaar als SO laten maken. Eén van de vragen heb ik geschrapt: voor deze vraag moeten de leerlingen de Stelling van Pythagoras kennen; deze is dit jaar nog niet behandeld. Hierdoor werd het werk ook beter te maken in de beschikbare tijd: tijdens een proefwerk zijn de volle 50 minuten beschikbaar, tijdens een SO is dat door de leswissel en de lesopstart in de praktijk maar 40 minuten. De intentie was om een vergelijking van de gemaakte fouten te kunnen maken. Daarvoor heb ik de vragen gecategoriseerd naar onderwerp en vervolgens het aantal fouten vergeleken (op basis van het foutpercentage: ik heb het aantal gemaakte fouten gedeeld door het totaal aantal te behalen punten). Overzicht van de resultaten: Aantal punten Aantal fouten 2012 2011 Max Perc Aantal Max fouten fouten fouten fouten Perc fouten Opmerking Relatieve ontwikkeling Vraag Ontbind in factoren 1a 1 19 50 38% 14,5 84 17% Buiten haakjes halen 2,20 1c 1 12 50 24% 6 84 7% Merkwaardig product met dubbel product 3,36 1d 1 17 50 34% 29 84 35% Merkwaardig product: verschil kwadraten 0,98 1e 2 38,5 100 39% 35 168 21% Buiten haakjes & som product 1,85 1f 2 80 100 80% 94 168 56% Buiten haakjes & 2x verschil kwadraten 1,43 Los op 2a 2 32 100 32% 47,5 168 28% Buiten haakjes halen 1,13 2b 2 17,5 100 18% 14 168 8% Som-product methode 2,10 2c 2 21,5 100 22% 19 168 11% Volgorde & som-product 1,90 2d 2 51 100 51% 41,5 168 25% Buiten haakjes & som product 2,06 Los op 3 2 48,5 100 49% 42,5 168 25% Herleiden & som product 1,92 Los op 5a 2 45 100 45% 75 168 45% x2 = getal 1,01 5b 2 43,5 100 44% 75 168 45% substitutie 0,97 Teken grafiek 6a 1 6 50 12% 8 84 10% Lineaire grafiek 1,26 6b 1 2 50 4% 0 84 0% Lineaire grafiek Teken grafiek 6c 1 9 50 18% 13 84 15% Parabool 1,16 6d 1 4 50 8% 13 84 15% Parabool 0,52 Snijpunten 6e 2 54,5 100 55% 59 168 35% Herleiden & som product 1,55 Totaal 501 1350 37% 586 2268 26% 1,44 Gemiddeld/leerling 10,0 7,0 Waarnemingen: - Het SO is veel slechter gemaakt dan het proefwerk van vorig jaar; het aantal fouten per leerling is toegenomen met 44%!! - het percentage fouten bij 3 van de 5 probleemopgaves (1d, 4a en 4b) van vorig jaar nauwelijks is gestegen: de methode werd ongeveer net zo slecht gemaakt als vorig jaar; de stijging van het aantal fouten zat dus in andere opgaves - De rest van de stof is mogelijk niet goed geland: een forse toename in het aantal fouten - Leerlingen bleken het verschil tussen ontbind in factoren en los op niet goed te weten
18 Ernst Wackwitz Bijlage 3. Vragenlijst (meerkeuze vragen) over 2 ontwerpklassen en 3 controleklassen Wijze en moment van afname onderzoek: Dit onderzoek betrof een vragenlijst van 15 vragen waarop de leerlingen hun gevoel/beleving op basis van een vierpuntsschaal (Helemaal eens, Eens, Oneens, Helemaal oneens) moesten aankruisen. Het onderzoekje is afgenomen tijdens de laatste les van de periode; in 2A en 2E (de ontwerpklassen) is de vragenlijst ingevuld na het maken van een SO. Dit was geen goed afnamemoment: leerlingen vonden het SO moeilijk, waren deels gefrustreerd en kunnen wellicht (voor een deel) dit hebben laten meespelen in de manier waarop ze het Learner Report hebben ingevuld. Aantal respondenten: Klas Aantal 2A 26 2E 23 2F 26 2B / 2C 53 De eerste twee klassen zijn de ontwerpklassen, de andere drie de controleklassen. De resultaten van 2B en 2C zijn niet te splitsen. Deze klassen hebben les van dezelfde docent die het pakket in zijn geheel heeft teruggegeven (ik had ook niet gevraagd om gesplitst aan te leveren; het is in principe ook niet nodig voor dit onderzoek). De 15 vragen heb ik gegroepeerd in 5 categorieën van 3 vragen; deze indeling is deels arbitrair, met name waar het de vragen in de groepen Algemeen en Beleving/vertrouwen betreft. Op de volgende bladzijden laat ik per categorie het volgende zien: - grafieken met relatieve frequenties van de beantwoording van de vragen - een toelichting over wat ik met antwoorden heb gedaan die op de grens waren gegeven (dwz geen eenduidige keuze uit de 4 opties, maar twee antwoorden aangekruist) - welke opmerkingen leerlingen bij de vragen gemaakt hebben - een korte conclusie - (waar relevant/nodig) een poging tot een verklaring.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 19 Categorie Algemeen Vraag 1: Ik heb deze periode veel geleerd over kwadratische vergelijkingen. Zowel in de ontwerpklassen als in de controleklassen was er één leerling die zowel eens als oneens had aangekruist. Deze zijn beide meegeteld bij het antwoord Oneens. Uitkomst: De controlegroep lijkt iets positiever over datgene dat ze geleerd hebben over kwadratische vergelijkingen. Verklaring: Er is een verschil maar niet erg uitgesproken; kan bijvoorbeeld liggen aan: - Ongelukkige afnamemoment bij de ontwerpklassen (na een slecht gemaakt SO) - Onzekerheid doordat in het ontwerp veel stof in een hoog tempo wordt behandeld Vraag 4: Als ik terugkijk op de periode vind ik dat de methode de stof in een logische volgorde behandelt. In de ontwerpklassen was er één leerlingen die Eens en Oneens had aangekruist. Deze is meegenomen als Oneens. In de controleklassen: 2 helemaal eens/eens naar eens 3 eens/oneens naar oneens 1 oneens/helemaal oneens naar helemaal oneens Uitkomst: De uitkomsten bij Helemaal eens en eens samen ontlopen elkaar niet veel. De controlegroep lijkt iets uitgesprokener in zijn positieve oordeel. Er is niet te constateren dat de leerlingen een verschil ervaren. Verklaring: -- Vraag 6: Je kunt een kwadratische vergelijking altijd ontbinden in factoren In de controleklassen zijn de volgende correcties aangebracht: 2 eens/oneens naar oneens Uitkomst: Bij de leerlingen in de ontwerpklassen bestaat mogelijk meer de overtuiging dat je een vergelijking altijd kunt ontbinden. Dat klopt inderdaad (voor zover ze de stof tot nu toe gehad hebben) Verklaring: In de lessenserie is er behalve voor de som-product methode ook uitgebreid aandacht voor twee andere manieren om drietermen te ontbinden. Hoewel één daarvan niet is behandeld is het bewustzijn van de leerlingen mogelijk toch hierdoor vergroot: zij hebben kennis gemaakt met een iets breder scala aan oplossingsmethodes.
20 Ernst Wackwitz Categorie Grafieken Vraag 2: Ik heb geleerd dat het berekenen van snijpunten van grafieken en het oplossen van vergelijkingen eigenlijk hetzelfde is. In de ontwerpklassen: 1 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens In de controleklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens Uitkomst: Er lijkt nauwelijks verschil te zijn in de beleving/overtuiging van de twee groepen. Verklaring: Het was mijn opzet dat dit besef heel duidelijk zou leven bij de ontwerpklassen. In principe heeft 75% het ook wel begrepen, maar het verschil met de andere methode (waar het helemaal aan het einde wordt behandeld) is niet vast te stellen. Vraag 9: Als je een vergelijking oplost ben je eigenlijk de x-coördinaat van het snijpunt van twee grafieken aan het berekenen. Uitkomst: Komt overeen met de beantwoording van vraag 2. Verklaring: -- Vraag 13: Als ik de coördinaten van het snijpunt van twee grafieken moet berekenen dan stel ik een vergelijking op. Uitkomst: Komt overeen met de beantwoording van vragen 2 en 9. Verklaring: --
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 21 Categorie Meerdere Vormen Vraag 3: Ik weet dat er verschillende soorten kwadratische vergelijkingen zijn. In de controleklassen: 2 leerlingen van Helemaal Eens/Eens naar Eens Uitkomst: De controlegroep lijkt iets zekerder te zijn van deze vraag; ook hier geen heel groot verschil. Verschil tussen "Helemaal eens en Eens is daarvoor te klein. Verklaring: Het was mijn opzet dat dit besef heel duidelijk zou leven bij de ontwerpklassen. In principe heeft ruim 90% het ook wel begrepen, maar dat geldt ook voor de controlegroep. Vraag 7: Bij ieder van de soorten kwadratische vergelijkingen weet ik wat de oplossingsmethode is. In de ontwerpklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. In de controleklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. Uitkomst: De controlegroep lijkt veel zekerder van zijn zaak te zijn. Verklaring: Ik kan aan een tweetal oorzaken denken: - Het moment van afname in de ontwerpklassen (na het SO) heeft veel leerlingen met hun neus op de feiten gedrukt: ze wisten het niet - De lessenserie behandelt veel en geeft weinig ruimte voor bezinking/verwerking; dat leidt tot verwarring en onzekerheid bij de leerlingen Vraag 11: Ik weet hoe je kwadratische vergelijkingen in groepjes kunt verdelen zodat je weet welke oplossingsmethode daar bij hoort In de ontwerpklassen: 1 leerling van Eens/Oneens naar Oneens. In de controleklassen: 1 leerling van Oneens/ Helemaal oneens naar Helemaal Oneens. Uitkomst: Uitkomst wijst in zelfde richting als vraag 7. Verklaring: zie vraag 7
22 Ernst Wackwitz Categorie Methoden Vraag 5: Er zijn twee manieren om de vergelijking op te lossen In de ontwerpklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. Uitkomst: In de ontwerpklassen durft een groter deel van de leerlingen het eens te zijn met deze stelling. Verklaring: Heeft inderdaad ook veel nadruk gekregen aan het begin van de lessenserie. In de reguliere methode komt de tweede manier van oplossen achterin het hoofdstuk. Vraag 8: Er zijn twee manieren om te ontbinden in factoren In de controleklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. Vraag is niet helemaal juist geformuleerd: er zijn er zelfs 3; dat hebben sommige leerlingen in de ontwerpklassen ook opgemerkt. Opmerkingen: Helemaal eens, maar commentaar Meer (1x) Eens, met commentaar Eigenlijk 3 (1x) Helemaal oneens, met commentaar Er zijn er meer (1x) Uitkomst: Het meest sprekende beeld uit de vragenserie: de ontwerpklassen zijn zich er veel beter van bewust dat er meerdere manieren zijn om een drieterm te ontbinden. De vraagstelling kan dit beeld zelfs nog iets versterken: in de lessenserie is er sprake van drie methodes, in G&R slechts van twee. Verklaring: Aan de Babylonische methode en het kwadraat afsplitsen waren aparte lesbrieven gewijd. De laatste is niet behandeld. In G&R komt de Babylonische methode slechts in één opgave aan de orde. Vraag 10: Ik weet hoe je kunt ontbinden in factoren Bij de ontwerpklassen is één leerling het eens met de stelling maar geeft (ten onrechte) aan dat het niet in factoren ontbonden kan worden. Bij de controleklassen is: 1 leerling van Oneens/ Helemaal oneens naar Helemaal Oneens. Uitkomst: De leerlingen van de controleklassen lijken hier zekerder van hun zaak. Verklaring: In de methode van G&R komt het ontbinden van deze vorm eerder aan bod dan de methode ; de methode legt eerst de nadruk op het ontbinden en dan pas op het oplossen. In de lessenserie is andersom gewerkt: eerst oplossen, dan ontbinden. Dat leidt mogelijk tot een verschil in mate waarin leerlingen zich bewust zijn van de mogelijkheid tot ontbinden in factoren. Het gebrek aan deze kennis/vaardigheid kwam ook in het SO tot uiting.
Kwadratische vergelijkingen Paper 5: Evaluatie 23 Categorie Beleving/Vertrouwen Vraag 12: Ik vond de stof deze periode moeilijk. In de ontwerpklassen: 2 leerlingen van Eens/Oneens naar Eens. In de controleklassen: 5 leerlingen van Eens/Oneens naar Eens. Uitkomst: De leerlingen in de ontwerpklassen hebben de stof duidelijk als lastiger ervaren dan de leerlingen in de controleklassen. Verklaring: De lessenserie bevat meer stof dan de methode in het boek. Bovendien is er (te) weinig tijd voor bezinking. Vraag 14: Ik vond dat de stof op een leuke en interessante manier door de methode werd behandeld. In de ontwerpklassen: 3 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. In de controleklassen: 3 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. Eén leerling in de ontwerpklassen maakt de opmerking Leuk niet, wel interessant/leerzaam. Een leerling in de controleklassen is niet tevreden over de humor in het boek: Slechte grappen humor Uitkomst: De leerlingen in de ontwerpklassen zijn iets positiever over de methode, maar heel uitgesproken is deze voorkeur niet. Verklaring: -- Vraag 15: Ik denk dat ik het proefwerk volgende week goed ga maken. In de ontwerpklassen: 6 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. In de controleklassen: 4 leerlingen van Eens/Oneens naar Oneens. Uitkomst: De leerlingen in de controleklassen zijn duidelijk positiever over het te maken proefwerk. Verklaring: Mogelijke verklaringen liggen bij: - Het afnamemoment in de ontwerpklassen (direct na het slecht gemaakte SO) - Het feit dat de lessenserie als moeilijk ervaren werd; bijv. doordat er meer stof was behandeld en dat m.n. in het begin een aantal opgaves gewoon te lastig waren.
24 Ernst Wackwitz Bijlage 4 Learner Report (kwalitatief) in de ontwerpklassen Wijze en moment van afname onderzoek: Na behandeling van alle stof heb ik in mijn beide klassen een Learner Report laten invullen. Hiervoor heb ik de leerlingen ca. 20 minuten de tijd gegeven. Beide klassen hadden ca. twee weken al eerder geoefend met het invullen van een Learner Report. Uiteindelijk had ik de beschikking over 51 ingevulde formulieren (28 uit 2A en 23 uit 2E) waarop in total 250 statements gemaakt waren. Verwerking van de gegevens Voor de verwerking van de gegevens heb ik de methodiek van Tanja Janssen (1988) aangehouden: een categorisering van de opmerkingen naar twee dimensies: Inhoud en Gedrag. Bij de dimensie Gedrag heb ik in grote lijnen de indeling van Tanja Janssen aangehouden: de dimensie Gedrag valt uiteen in vijf categorieën: 1. Declaratieve kennis ("weten dat ) Hierbij gaat het om kennis die bij uitstek geschikt is om in woorden ge(re)produceerd te worden. Daarbij denken we aan bijv. het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijkingen, het feit dat bij een vergelijking een grafiek hoort etc. Voorbeelden: Ik weet nu dat er 0, 1 of 2 nulpunten zijn in een parabool of Ik heb geleerd dat sommige vergelijkingen geen oplossingen hebben. 2. Procedurele kennis & vaardigheden ( iets kunnen" of "weten hoe ") De leerling heeft geleerd iets "te kunnen" of weet hoe iets aangepakt moet worden. Voorbeelden: Ik weet nu hoe ik de Babylonische manier moet gebruiken en waarvoor en Ik heb gemerkt dat je verschillende sommen op verschillende manieren moet oplossen. 3. Attitudes of affectieve leerervaringen ( iets willen of voelen ) De leerling heeft een bepaalde attitude, houding of gevoel verworven ten opzichte van de leerstof of de instructie. Hieronder heb ik ook alle opmerkingen gegroepeerd waarin leerlingen aangaven iets moeilijk of juist makkelijk te vinden, omdat ik het moeilijk of makkelijk vinden ook tot de gevoelens wil rekenen. Voorbeelden: Ik heb gemerkt dat ik kwadratisch vergelijkingen oplossen leuk vind, Ik heb geleerd dat merkwaardige producten wel degelijk nuttig zijn en Ik heb gemerkt dat ik het wel moeilijk vind om te zien welke methode je moet gebruiken als ze door elkaar staan. 4. Metacognitieve kennis & vaardigheden ( kennis over kennis ) Leerervaringen met betrekking tot het eigen cognitief functioneren van de leerling: weet hebben van eigen sterke en zwakke punten, van moeilijke en makkelijke taken en/of van werkzame en nietwerkzame strategieën. Onder deze categorie vallen ook de opmerkingen waarin leerlingen geven ergens goed of slecht in te zijn. Voorbeelden: Ik heb gemerkt dat ik veel moet herhalen om de stof te begrijpen en Ik heb geleerd dat het niet waar is dat ik heel slecht ben in verhaaltjessommen. 5. Overig gedrag Restcategorie, voor leerervaringen die niet onder te brengen zijn. Vaak zijn het opmerkingen die ik niet kon doorgronden.