ONTWERP VAN EEN LESSENSERIE VOOR KLAS 2 VWO VANUIT EEN GRAFISCH-ALGEBRAISCH PERSPECTIEF ERNST WACKWITZ

Transcriptie

1 ONTWERP VAN EEN LESSENSERIE VOOR KLAS 2 VWO VANUIT EEN GRAFISCH-ALGEBRAISCH PERSPECTIEF PAPER 2: ONTWERP ERNST WACKWITZ April 2012 Interfacultaire Lerarenopleiding Universiteit van Amsterdam Begeleiders: Lidy Elzinga en Mariska Min Verslag van een door Ernst Wackwitz ( ) ontworpen en uitgevoerde lessenserie voor 2 klassen 2VWO van het College Hageveld te Heemstede. De lessen vormen samen een blok van 5 weken waarin kwadratische vergelijkingen langs grafisch-algebraïsche weg in een gestructureerd schema worden gegoten. Trefwoorden: Wiskunde, kwadratisch, vergelijking, Geogebra, grafisch Ernst Wackwitz (2012). Lessenserie voor kwadratische vergelijkingen klas 2VWO. Amsterdam: ILO UVA

2 2 Ernst Wackwitz Inhoudsopgave Samenvatting Paper 1. 3 Structuur van deze paper.. 3 Blok 1 Inleiding en activeren voorkennis... 4 Blok 2 Vergelijkingen van de vorm 2 ofwel Blok 3 Product = 0, ofwel inleiding tot het ontbinden in factoren... 5 Blok 4 Vergelijkingen van de vorm Blok 5 Vergelijkingen van de vorm Blok 6 Afsluitende lessen... 6 Afronding.. 6 Bronnen... 7 Bijlage 1: Docentenhandleiding Bijlage 2: Invulschema kwadratische vergelijkingen

3 Kwadratische vergelijkingen 3 Samenvatting Paper 1 Het gekozen onderwerp is Kwadratische Vergelijkingen voor klas 2 van het VWO De ontwerpregels zijn: 1) De lessenserie bevat 12 lesbrieven, waarbij vrijwel iedere les zowel de algebraïsche als de grafische representatie 2) De lessen hebben tot doel een schema te bouwen op het gebied van kwadratische vergelijkingen 3) De lessen passen binnen het curriculum van College Hageveld. De ontwerphypothese is: Door het aanbieden van een lessenserie die algebraïsche en grafische representatie combineert én waarin expliciet een schema wordt ontwikkeld zal het aantal fouten op het gebied van de vorm en de grafische representatie van een vergelijking afnemen. Ik wil de ontwerphypothese als volgt toetsen: 1) Vergelijking van de rangorde van 8 parallelklassen in deze periode met voorgaande periodes (6 klassen fungeren als controlegroep) 2) Vergelijking van het soort fouten gemaakt in het proefwerk van vorig jaar 3) Ervaringen van de leerlingen opvragen middels Learner Reports. Structuur van deze paper In dit paper komt enkel het lesmateriaal aan de orde. Het onderzoek en de onderzoekshypothese bespreek ik in Paper 3. Het ontworpen materiaal omvat de volgende elementen: 1) 12 lesbrieven plus een inleiding 2) Een antwoordboekje 3) Een document met een leeg schema voor de kwadratische vergelijkingen 4) Een vijftal Geogebra bestanden die gebruikt worden in les 2 en les 7 5) Een docentenhandleiding; deze bestaat uit een inleiding voor de docent, alsmede 12 lesplannen (incl. een korte toelichting voor de docent); deze handleiding bevat ook aanwijzingen voor de voorbereiding van de lessenserie Al het materiaal is opgenomen in de bijlagen van dit document. In deze Paper zal ik de lessenserie toelichten. De lessenserie is onder te verdelen in de volgende blokken: 1) Inleiding en activering voorkennis 2) Vergelijkingen van de vorm ofwel

4 4 Ernst Wackwitz 3) Product = 0 en inleiding tot het ontbinden in factoren 4) Vergelijkingen van de vorm 5) Vergelijkingen van de vorm 6) Afsluitende lessen waarin alle stof door elkaar aangeboden wordt Blok 1 Inleiding en activeren voorkennis Dit blok omvat 1 les. In deze les zal de docent de leerlingen vertellen wat het onderwerp zal zijn. De leerlingen maken ook kennis met het schema dat ze in de lessenserie gaan aanvullen. De docent zal uitleggen dat een deel van het schema objectief (de herkenning van het type vergelijking en de oplossingsmethode) wordt ingevuld maar ook dat een deel subjectief (de door de leerling gemaakte fouten) zal zijn. In alle lessen wordt de leerling de leerling gevraagd om na te denken over de gemaakte fouten en daar lering uit te trekken (om Weten over weten, van Streun (2008), blz. 22 te stimuleren). De noodzaak voor een schema van types vergelijkingen wordt ondersteund door de volgende zin in Vergelijkingen vergelijken : Wat in de schoolboeken echter ontbreekt is een expliciete vergelijking van de verschillende typen vergelijkingen en de bijbehorende oplossingsstrategieën. (Drijvers & Kop (2008], blz 17). Het katern heeft een breder scala aan vergelijkingen op het oog, maar de gedachte erachter is heel goed toepasbaar in deze context. Het leert leerlingen een manier van denken en werken die nuttig kan zijn in latere jaren. Vorig jaar heb ik het schema achteraf aan de leerlingen gegeven, maar het is veel krachtiger als zij het zelf opbouwen en vooral ook voorzien van hun eigen ervaringen. Ik heb er voor gekozen om te beginnen met een aparte les met oude stof. Ervaring leert dat leerlingen veel vergeten. In deze lessenserie wordt een beroep gedaan op een zeer breed arsenaal aan eerder opgedane kennis. Deze wil ik in de eerste les nadrukkelijk boven tafel halen, omdat zij echt nodig is om de stof deze periode te begrijpen. Blok 2 Vergelijkingen van de vorm 2 ofwel Dit blok omvat 3 lessen waarvan de eerste een ICT-practicum is. De keuze om direct met het oplossen van één van de typen vergelijkingen te beginnen is ingegeven door een aantal argumenten: a) Vorig jaar kreeg ik bij de eerste lessen over dit onderwerp van de leerlingen vragen over het waarom van hun activiteiten: Getal en Ruimte begint met het ontbinden in factoren, zonder uit te leggen waar dat toe dient

5 Kwadratische vergelijkingen 5 b) De vorm leent zich heel goed voor een eerste verkenning van de grafische representatie: daaruit wordt duidelijk dat er niet altijd één oplossing is; het kunnen er ook 0 of (meestal) 2 zijn c) Het zoeklicht op (in principe) 2 oplossingen van een vergelijking maakt de leerlingen er van bewust dat niet alleen een positieve oplossing heeft d) Deze vorm is uitstekend te gebruiken als opstapje naar het ontbinden in factoren: immers kan ook geschreven worden als ; en die vorm kan als product geschreven worden. In het katern Vergelijkingen vergelijken wordt het begrip Visueel saillant van Kirshner (2004) aangehaald. De vorm ( )( ) behoort tot de visueel niet saillante vergelijkingen; door deze vorm als eerste te behandelen (met de grafische invalshoek) hoop ik dat te ondervangen. In dit blok wordt ook de vorm ( ) behandeld. Enerzijds om de leerlingen te leren kijken en nadenken, anderzijds omdat deze aan het einde van de lessenserie weer terugkomt na het kwadraat afsplitsen. Blok 3 Product = 0, ofwel inleiding tot het ontbinden in factoren Een blok van 1 les. De in de vorige lessen gevonden oplossingen voor worden op een andere manier bepaald: ontbinden in factoren middels het verschil van twee kwadraten. Vervolgens wordt het product = 0 geïntroduceerd en wordt aangegeven dat het schrijven als product een methode is die bij veel meer kwadratische vergelijkingen oplossingen aanreikt. Volgens mij is het via al gevonden oplossingen introduceren van product = 0 krachtiger dan wanneer deze als een soort deus ex machina geponeerd wordt. Bovendien wordt het bestaan van twee oplossingen bij het type hierdoor nog eens benadrukt. Blok 4 Vergelijkingen van de vorm De laatste groep van tweetermen wordt vervolgens in één les behandeld. De leerlingen moeten vanuit de herleidregel ( ) nu achterwaarts gaan redeneren. Uiteraard vullen de leerlingen het schema verder aan met de tweetermen waarin de c ontbreekt.

6 6 Ernst Wackwitz Blok 5 Vergelijkingen van de vorm Het zwaartepunt, 4 lessen, van de serie ligt bij de drietermen. De eerste van deze vier lessen is het tweede ICT-practicum. Hierin onderzoeken de leerlingen aan de hand van vier Geogebrabestanden de vier schrijfwijzen van een kwadratische formule (van Streun (2008), blz. 44): iedere schrijfwijze bevat kenmerkende eigenschappen van de parabool. Ik laat de verschillende schrijfwijzen ook weer terugkomen in latere opgaven waarbij leerlingen wordt gevraagd om zonder een tabel op te stellen een parabool te tekenen: de vier schrijfwijzen moeten voldoende informatie leveren. Deze les opent de weg naar twee verschillende oplossingsmethodes: - het ontbinden in factoren mbv de som-product methode (in les 2) - het kwadraat afsplitsen (in les 4) De 3 e les wordt gebruikt om de som-product methode verder in te bedden en de leerlingen ook kennis te laten maken met de aanpak van de Babyloniërs bij het zoeken naar de twee getallen voor de som-product methode. De keuze om de leerlingen te confronteren met meerdere oplossingsmethodes is een bewuste: in de lessen wordt ook aangegeven dat iedere methode zijn goede en slechte kanten heeft. Leerlingen moeten dus leren kijken naar de vergelijkingen en bewust een methode te kiezen. Voor is de som-product methode een plezieriger hulpmiddel maar voor geeft het kwadraat afsplitsen eerder een antwoord. Blok 6 Afsluitende lessen In de laatste twee lessen wordt alle stof middels een aantal opgaven door elkaar gevraagd. Net als in de meeste lessen ervoor wordt er gevarieerd en geïntegreerd (Drijvers & Kop (2008), blz 11) geoefend: vergelijkingen, grafische opgaves, probleem oplossen. Afronding Volgens mij is het gelukt om een mooie lessenserie te ontwerpen, waarin leerlingen op een gedegen en gevarieerde manier kennis maken met Kwadratische Vergelijkingen. Mijn verwachting is dat het element van de grafische representatie veel beter zal beklijven dan bij Getal en Ruimte. Mijn grote angst is dat het te veel, te snel zal zijn. Ik ben dan ook van plan om de vinger aan de pols te houden en waar nodig bij te sturen.

7 Kwadratische vergelijkingen 7 Bronnen Drijvers, P. & Kop, P. (2008). Handboek didactiek van de Wiskunde, Katern 1: Vergelijkingen vergelijken. Geraadpleegd via 13VergelijkingenVergelijken.pdf. Kirshner, David (2004). Visual Salience of Algebraic Transformations, Journal for Research in Mathematics Education, 35(4), Streun, A. van (2008). Handboek didactiek van de Wiskunde, Katern 0: Denken over wiskunde leren en onderwijzen. Geraadpleegd via

8

9 Bijlage 1: Docentenhandleiding

10

11 Introductie Beste docent, Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 1 Voor je ligt een set van 12 lesplanformulieren voor het behandelen van het onderwerp kwadratische vergelijkingen in klas 2 van het VWO. Het is de bedoeling het onderwerp in 12 lessen te behandelen. Voor iedere les is ook een lesbrief ontwikkeld. Deze lesbrieven vind je in 12 aparte bestanden. Deze inleiding is bedoeld als globale gids voor de docent die het onderwerp gaat geven. Voor iedere les is een lesplan volgens het MDA-model beschikbaar. In ieder van die lesplannen is ook ruimte ingeruimd voor een toelichting voor de docent. Van te voren is het goed om het volgende te weten: - Het totale materiaal voor de lessenserie omvat: 1. Deze docentenhandleiding lesbrieven 3. Een bestand met daarin een blanco schema voor types kwadratische vergelijkingen en de bijbehorende oplossingsmethode 4. Een antwoordenboekje voor de leerlingen - Als voorbereiding voor de lessenserie dient het volgende gedaan te worden: 1. Kopiëren van het lesmateriaal en het antwoordenboekje voor de leerlingen 2. Kopiëren van het schema (op A3-formaat): voor iedere leerling twee exemplaren: een kladexemplaar en een exemplaar om vlak voor een toets alles nog even samen te vatten 3. Ik raad aan om de leerlingen een snelhechter ter beschikking te stellen; de twee versie van het schema zou ik in die snelhechter in een insteekhoes stoppen. 4. Bespreken van de mediatheek (of een laptopkar) voor de 2 e en 7 e les uit de serie; Geogebra dient op deze Pc s geïnstalleerd te zijn - Hoewel het lesmateriaal ook zoveel mogelijk de beschrijving van de theorie bevat, raad ik toch aan om iedere les tijd in te ruimen om klassikaal de theorie en eventueel delen van het huiswerk te bespreken; ook het invullen van het schema zou ik klassikaal begeleiden. - Wellicht bevatten sommige lesbrieven erg veel materiaal; maak vooral een selectie uit de opgaves of laat leerlingen differentiëren. - Ik heb er bewust voor gekozen om naast het gebruikelijk ontbinden in factoren ook plaats in te ruimen voor kwadraat afsplitsen; hiermee wordt m.i. te cirkel rondgemaakt omdat het kwadraat afsplitsen weer leidt tot een oplossing van de vorm x 2 =getal, waar de lessenserie ook mee begonnen is - Een uitgangspunt voor het ontwerpen van de lessenserie is geweest de continue afwisseling tussen standaardopgaves, grafische opgaves en toepassingsopgaves. Houd hier bij het schrappen en selecteren van opgaves rekening mee. Uiteraard hoor ik graag hoe de ervaringen met het lesmateriaal zijn. Laat dat vooral weten, zodat ik de lessenserie kan aanpassen en verbeteren m.b.v. de opgedane ervaringen. Ernst Wackwitz College Hageveld, maart 2012

12 2 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Verantwoording Voor deze lessenserie heb ik een aantal keuzes gemaakt voor de vorm en volgorde waarin de stof behandeld wordt. De belangrijkste keuzes zijn: - veelvuldig wisselen tussen algebraïsche en grafische representatie van een kwadratische vergelijking - gebruik van een schema waarin leerlingen zelf hun aantekeningen maken over de verschillende invullingen van de algemene vorm ; leerlingen houden daarin ook bij welke fouten ze vaak maken - reflectie door de leerlingen op hun eigen handelen en kunnen komt door de hele lessenserie terug - de volgorde van de lesstof is zo gekozen dat het oplossen van vergelijkingen steeds het uitgangspunt is; in tegenstelling tot bijv. Getal en Ruimte wordt niet eerst een vaardigheid (ontbinden in factoren) ontwikkeld maar worden van begin af aan al vergelijkingen opgelost; daardoor weten leerlingen van het begin af aan waarom ze moeten doen wat ze doen; de gekozen volgorde is als volgt: 1. ophalen voorkennis 2. onderzoek grafiek van een simpele kwadratische vergelijking; snijpunten met horizontale lijn: hoeveel zijn er? 3. Oplossen van vergelijkingen van de vorm ; hier wordt kennis toegepast die kort ervoor is opgedaan op het gebeid van wortels 4. Anders schrijven van via merkwaardig product; dit is de opmaat naar ontbinden in factoren: product van twee factoren is 0, dus één van die factoren moet 0 zijn 5. Grafisch onderzoek van de formule (vier schrijfwijze leveren allemaal hun eigen informatie op over de grafiek) 6. Buiten haakjes halen 7. Ontbinden in factoren middels de som-product methode; hier komt niet alleen de som-product methode in voor, maar wordt ook de Babylonische methode (die leidt tot getallen voor de som-product methode) en het kwadraatafsplitsen behandeld 8. Afsluitend een tweetal lessen waarin alle kennis zoveel mogelijk wordt geconsolideeerd. Indien er tijdgebrek is kunnen bijvoorbeeld de lesbrieven 10 (kwadraat afsplitsen) en 11 (de eerste van de twee consoliderende lessen, met lastige opgaves) overgeslagen worden.

13 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 3 Lesplanformulier Les 1 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd 10 Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Begin van een nieuwe periode, waarin kwadratische vergelijkingen behandeld zullen worden. Onderwerp maakt gebruik van zeer veel voorkennis die eerder dit jaar is vergaard: Beginsituatie - H1: herleiden, haakjes wegwerken - H3: opstellen en oplossen van lineaire vergelijkingen, grafische weergave van lineaire vergelijking - H5: parabolen en wortels Herhaling van de voorkennis Leskern 1 Introduceren van algemene vorm Introductie schema kwadratische vergelijking + plaatsing lineaire vergelijkingen daarin + werkschema (eerst naar standaard vorm) 1. Ophalen voorkennis: Leerdoelen 2. Introductie van het algemene schema Media, spullen, hulp Lesbrief no 1 Gebruik deze les om het schema te introduceren aan de leerlingen. Laat het bijv. zien op een beamer. Introduceer daarbij ook de algemene vorm voor de kwadratische vergelijking: en laat zien wat er gebeurt als je de verschillende parameters op 0 stelt. Licht toe dat tijdens Toelichting de lessen voor iedere situatie een aparte oplossingsmethode gegeven zal worden en voor sommige situaties zelfs meer dan 1. Geef een kort overzicht van de stof die herhaald wordt, benadruk bij de leerlingen dat ze mogen kiezen uit het aangeboden materiaal (selecteer eventueel de moetjes ). lesfa Wat zij doen Leeractiviteit se 2 Leerdoel3 Wat ik doe en zeg (werkvorm) Noem specifieke! Opening van de les, introductie van het onderwerp. Uitleg van situatie. Laat filmpjes zien 1 van lob (tennis) en hangbrug. Wat hebben deze met elkaar gemeen? 2 2 Korte inleiding formules en vergelijkingen: - Lineair - Kwadratisch Algemene vorm van de kwadratische vergelijking. Waarom is iedere lineaire en kwadratische vgl te Leggen uit waarom dit zo is. Leg uit, beredeneer 1 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

14 4 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 10 2, ,5 1 schrijven in de algemene vorm. Introduceren schema voor kwadratische vergelijkingen. Kort en snel overzicht van regels voor herleiden, balansmethode etc. Aandacht voor som-product methode Introduceer de lesbrief (zoeklicht, niveaus opdrachten) Loop rond en assisteer waar nodig. Nadruk op de opgaves waar uitgelegd, beredeneerd moet worden. 6 2 Afsluiting les: nadruk op plaatsing in schema van a=0. Laatste opgave. Participeren in ophalen van de kennis. Leerlingen werken de lesbrief (in tweetallen) door. Vertellen Oefenen, leg uit, beredeneer, reflecteer

15 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 5 Lesplanformulier Les 2 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Les met voorkennis is geweest Leskern 4 Onderzoeken van de vorm (ofwel ) Leerdoelen Media, spullen, hulp Toelichting 1. Plaatsing in algemeen schema 2. Grafisch onderzoek naar aantal snijpunten in verschillende situaties: a. Analyse van parabolen (oriëntatie en top, symmetrie-as) b. Snijpunten met x-as c. Snijpunten met horizontale lijn (wanneer 0, 1, 2) beginnen met (vertaling naar wortels) d. Onderzoek naar translaties tov de x-as (wat gebeurt er met oplossing en met symmetrie) Lesbrief no 2, laptopkar (Geogebra geïnstalleerd op PC s); Geogebra bestand De leerlingen moeten deze les vooral zelf aan de slag met het ontdekken van bepaalde eigenschappen van parabolen (en daarmee natuurlijk ook kwadratische vergelijkingen). Essentieel is dat ze doorkrijgen dat er bij de vorm 0, 1 of 2 oplossingen zijn. Heel vaak wordt de tweede oplossing namelijk vergeten. Geef slechts een korte inleiding over de vorm. Ze hebben deze parabolen eerder dit jaar al gehad. lesfa se 5 Leerdoel6 Wat ik doe en zeg Korte introductie van vorm vorm (ofwel ). Bespreek opgave 1 uit lesbrief 2 als inleiding Loop rond en assisteer. 6 2 Korte afsluiting van de les. Samenvatten hoofdzaken Wat zij doen (werkvorm) Leerlingen onderzoeken mbv lesbrief 2 de eigenschappen van de parabool. Bekijken situaties van snijpunten met horizontale lijnen. Leggen verband met vergelijking. Onderzoeken verschil tussen formule en vergelijking. Onderzoek translatie. Leeractiviteit Noem specifieke! Onderscheiden, verklaren, beredeneren, verkennen, benoemen, uitleggen, patroon zien, samenvatten, concluderen 4 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

16 6 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding parabool.

17 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 7 Lesplanformulier Les 3 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd 10 Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Leerlingen kennen het begrip wortels. Leskern 7 Leerdoelen Algebraische insteek voor Media, spullen, hulp Lesbrief no 3 Toelichting 1. Leerlingen kunnen benoemen wanneer er 0, 1 of 2 oplossingen zijn voor de vorm. 2. Leerlingen kunnen de simpele vergelijkingen van deze vorm oplossen en herkennen de valkuil 3. Leerlingen oefenen met opgaven waarin toepassingsvormen aan de orde komen. Ook hier kunnen zij de koppeling met de grafische weergave maken. Belangrijk in deze les is dat leerlingen de kennis uit les 2 (een kwadratische vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen) in de praktijk gaan toepassen. De meest gemaakte fouten bij dit soort vergelijkingen is dat ze niet herkend worden en dat er maar één antwoord gegeven wordt. De negatieve oplossing wordt vaak vergeten. lesfa se 8 Leerdoel9 Wat ik doe en zeg ,3 2 Terugblik op vorige les. Grafisch verschil tussen ax = b en ax 2 = c tonen; m.n. effect op aantal en karakter van oplossingen bij de tweede vorm. Op bord twee grafieken: y=x en y = x 2. Bespreken aantal snijpunten met horizontale lijn. Samenvatting voor de oplossingsstrategie voor de vorm ax 2 = c: Links en rechts delen. Vervolgens wortel trekken (positief getal) en voor de tweede oplossing er een teken voor zetten. Aandacht voor verschil tussen exact berekenen en bereken/benader. Wat zij doen (werkvorm) Leergesprek: zij vatten hun conclusies van de vorige les samen. Leergesprek: denken mee, geven oplossingen aan. Leeractiviteit Noem specifieke! Samenvatten, verklaren, uitleggen Stappen aangeven 20 4,5 3 Loop rond en assisteer. Werken aan lesbrief 3. Oefenen 6 1,2 Afronding van de les, Beantwoorden de Vertellen 7 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

18 8 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding stellen van enkele checkvragen checkvragen Lesplanformulier Les 4 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Basissituatie is is behandeld. Tijd 10 Leskern 10 Afrondende les met uitbreiding naar substitutie Leerdoelen Media, spullen, hulp Lesbrief 4 Toelichting 1. Leerlingen kunnen de oplossingstypes benoemen voor de standaardsituatie 2. Leerlingen kunnen uitleggen waarom je niet altijd haakjes hoeft weg te werken: kunnen benoemen wanneer dat niet hoeft en hoe je dan moet oplossen 3. Leerlingen plaatsen het type vergelijking in het schema en benoemen oplossingsstrategie en hun eigen valkuilen. Dit is een les die de leerlingen wat lastiger kunnen vinden. Ze moeten gaan inzien dat in sommige gevallen niet nodig is om haakjes weg te werken, maar dat het beter is om meteen de wortel te trekken. Ik heb ervoor gekozen om dat te doen vanuit de grafische voorstelling: we schuiven de grafiek opzij, dus de nulpunten ook. Aan het einde van deze les werken de leerlingen het schema weer bij met hun bevindingen uit de lessen 2, 3 en 4. lesfa se 11 Leerdoel12 Wat ik doe en zeg 1 1 Samenvatting & terugkoppeling van de vorige les. Inventariseren problemen bij leerlingen. Wat zij doen (werkvorm) Zoeklicht op en ( ). Pijlenketting voor translatie parabolen opstellen. Benadrukken dat we bij 2 2 stap 2 hadden kunnen beginnen (p). Laten zien dat dit grafisch betekent dat we de parabool verschuiven (of dat we juist het assenstelsel verschuiven) (refereren aan les 2) Denken mee, geven hun conclusies uit les Samenvatten kenmerken Beantwoorden checkvragen over de substitutie situatie en mogelijkheden voor situatie oplossing. 4,5 2 Loop rond en assisteer Werken aan lesbrief 4 Oefenen Leeractiviteit Noem specifieke! Beredeneren, uitleggen Uitleggen, samenvatten 10 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

19 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Leg koppeling naar het schema. Benoemen voor zichzelf de kenmerken, methode voor en valkuilen bij oplossing Verklaren, analyseren, classificeren, patronen zien, voorspellen

20 10 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Lesplanformulier Les 5 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Oplossing van situatie Leskern 13 Leerdoelen Media, spullen, hulp Lesbrief 5 Toelichting moet bekend zijn bij de leerlingen Product gelijk aan 0 betekent dat stens één van de factoren gelijk is aan 0 Leerlingen 1. kunnen aangeven dat de uitkomst van een vermenigvuldiging met 0 gelijk is aan kunnen deze redenering/conclusie ook omdraaien. 3. leggen de verbinding tussen de methode x 2 = getal en de methode met product van twee factoren. Deze les is bedoeld om de inmiddels opgedane kennis mbt de oplossingen van de vorm te gebruiken om op redelijk natuurlijke wijze over te gaan naar de som van twee factoren. Dit gebeurt middels het merkwaardig product verschil van twee kwadraten ; hierdoor krijgen leerlingen een tweede manier om deze vorm op te lossen (de vorm die het vaakst niet herkend wordt en daarom ook nog wel een extra steuntje kan gebruiken) en krijgen ze ook de weg gewezen naar het ontbinden in factoren. Tijd Opgave 5.4: even voordoen in de les: zowel oplossen als herleiden; het gaat erom dat de leerlingen inzien dat de oplossing ook bij de herleide vergelijking hoort. Opgave 5.7: vraag aan de leerlingen wat zij denken dat ze moeten doen; als het goed is hebben ze inmiddels het inzicht dat ze de vergelijking moeten opstellen, maar het is goed om dit even te verifiëren. lesfa se 14 Leerdoel15 Wat ik doe en zeg 1 2 1,2 Opening van de les; afsluiting x 2 = getal en aangeven dat we deze methode gaan vertalen om een nieuwe methode te onderzoeken Wat weten we als we met 0 gaan vermenigvuldigen? En wat weten we als de uitkomst van een vermenigvuldiging 0 is? Is het mogelijk om een vermenigvuldiging op te stellen met getallen die allemaal niet gelijk aan 0 zijn maar waar wel 0 uitkomt? Wat zij doen (werkvorm) Leergesprek: participeren in volgen denktrant, proberen voorbeelden aan te geven van vermenigvuldigingen met uitkomst 0 zonder dat er een 0 in de opgave staat (of leggen juist uit dat dat niet kan) Leeractiviteit Noem specifieke! Vertellen, uitleggen 2,3 3 Zoeklicht op merkwaardig Leerlingen denken Stappen aangeven, 13 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

21 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding product van verschil van twee kwadraten. Geef een paar simpele voorbeeldjes als oefening. Uitleggen dat je deze kwadratische vergelijking dus als product van factoren kunt schrijven. Aangeven dat dit uiteindelijk voor alle kwadratische formules geldt. Geef als voorbeeld x(x+6) = 0 (x-2)(x+3) = 0. Twee kanten uitwerken: - Herleiden methode - Oplossen Conclusie: als we technieken uit H1 kunnen omkeren dan kunnen we oplossingen voor kwadratische vergelijkingen vinden. Is niet altijd makkelijk haalbaar!! mee/doen mee om de formule voor verschil van kwadraten te noemen en te gebruiken voor de voorbeeldjes. verklaren, beschrijven 15 4,5 2,3 Loop rond en assisteer Werken aan lesbrief 5. Oefenen 6 Afsluiting van de les. Navragen een paar antwoorden van opgaves. Samenvatten principes. Geven samenvatting Samenvatten

22 12 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Lesplanformulier Les 6 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd 15 Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Ontbinden in factoren is geïntroduceerd, kan uitgebouwd worden Leskern 16 Leerdoelen Media, spullen, hulp Lesbrief 6 Toelichting Buiten haakjes halen als oplossingsmethodiek Leerlingen 1) herkennen de vorm 2) kunnen deze vorm van vergelijkingen oplossen mbv buiten haakjes halen 3) herkennen verstopte kwadratische vergelijkingen De in les 5 geïntroduceerde methode van ontbinden in factoren gaat nu gebruikt worden om de laatste groep tweetermen aan te pakken. Als c=0 wordt de vorm. Aan het einde van de les wordt het schema weer aangevuld. Even afspreken waar ze iets moeten gaan invullen kan geen kwaad. lesfa se 17 Leerdoel18 Wat ik doe en zeg 1 2,3 1,2,3 Opening les; introductie nieuwe vorm (c=0). Terugkijken op vorige les: het ontbinden in factoren. Leg uit hoe het principe van buiten haakjes halen werkt; zoveel mogelijk factoren buiten de haakjes halen. Geef nieuwe voorbeelden als checkvraag 20 4,5 2,3 Loop rond en begeleid. 6 1 Geef aan dat we weer een nieuw deel van het schema kunnen invullen. Benadruk dat dit ook deel van het huiswerk is (belangrijkste aspect ervan zelfs) Wat zij doen (werkvorm) Maken aantekeningen, participeren waar mogelijk Geven antwoorden op nieuwe voorbeelden Maken opgaves van lesbrief 6 Vullen schema aan Leeractiviteit Noem specifieke! Stappen aangeven Oefenen Analyseren, samenvatten 16 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

23 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 13 Lesplanformulier Les 7 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Alle tweetermen zijn bestudeerd; het wordt tijd om naar de drietermen te Beginsituatie gaan kijken. Relatie tussen schrijfwijze van vergelijking en bepaalde kenmerken van de Leskern 19 grafieken. 1) Lln kunnen vertellen welke 4 vormen er zijn om een kwadratische vergelijkingen te schrijven Leerdoelen 2) Lln kunnen de koppeling maken tussen de schrijfwijze van een kwadratische vergelijking en de grafische vertaling ervan Lesbrief no 7, Laptopkar (Geogebra geïnstalleerd op PC s); 4 Geogebra Media, spullen, hulp bestanden Deze les is weer een ontdekkingsreis voor de leerlingen. Het voornaamste doel is dat ze aan het einde van de les begrijpen dat er uit de formule van een parabool al informatie te halen is over de vorm van een parabool. Het Toelichting hangt af van hoe we de formule opschrijven welke informatie we kunnen vinden. De leerlingen maken kennis met 4 verschillende schrijfwijzen. Geef bij het huiswerk ook opgave 8.1 (uit lesbrief 8) op!! Wat zij doen (werkvorm) lesfa se 20 Leerdoel21 Wat ik doe en zeg 10 1, ,5, 3 6 1,2 Opening van de les, introductie van de meest algemene vorm. Waarom mogen we uit gaan van a=1? Laat de vier verschillende schrijfwijzen zien. 1, 2 Loop rond en assisteer Afsluiting van de les; welke conclusies hebben de leerlingen getrokken? Wat herkennen ze in schrijfwijze 2 en 3? Mbv laptop en Geogebra, lesbrief 8 bestuderen van grafieken van kwadratische vergelijkingen. Geven hun conclusies. Leeractiviteit Noem specifieke! Onderscheiden, patroon zien, beargumentern, classificeren, voorspellen, concluderen 19 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

24 14 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Lesplanformulier Les 8 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Leskern 22 Leerdoelen Alle tweetermen zijn behandeld; leerlingen hebben net een oriënterende les gehad waarin de grafiek van een parabool verkend is; op basis van de formule en schrijfwijze kunnen ze eigenschappen van de parabool benoemen. Leerlingen hebben als voorbereiding opgave 8.1 gemaakt. Som-product methode Media, spullen, hulp Lesbrief no 8 Toelichting Leerlingen kunnen een kwadratische vergelijking ontbinden mbv de somproduct methode (via een tabel) Deze les is de eerste waarin het grafisch element helemaal niet aan bod komt; een heel ouderwetse les waarin veel geoefend wordt. De som-product methode wordt in stapjes aangeboden: - Eerste alleen twee positieve getallen - Dan alleen twee negatieve getallen - En tenslotte de mix van een positief en een negatief getal Uiteraard wordt de les afgesloten met een oefening van alle soorten door elkaar. Er is ook ruimte gemaakt om leerlingen te laten nadenken wanneer de getallen positief of negatief zijn. Aan de hand van het product en de som leren ze de eerste stappen van een heuristiek. lesfa se 23 Leerdoel24 Wat ik doe en zeg Opening van de les; benadrukken dat we de som-product methode gaan oefenen. Herhalen kenmerken van parabool (m.n. nulpunten tov symmetrieas) Korte uitleg van principe: tabel met product maken, juiste som zoeken. Het betreft nog alleen positieve getallen. Meteen ook tweede voorbeeld met alleen negatieve getallen. Hoe kan je het verschil tussen deze twee zien? Laat de lln een aantal van de opgaves 8.2 en 8.3 Controleer welke antwoorden er zijn. Geef vervolgens een voorbeeld met een negatief product. Dus één van de twee Wat zij doen (werkvorm) Benoemen karakteristieken van de parabool (op basis van vergelijking). Eigenschap van nulpunten tov symmetrieas Maken aantekeningen, helpen zoeken naar de oplossing Maken eerste simpele oefenopgaves Maken aantekeningen, helpen zoeken naar de oplossing Leeractiviteit Noem specifieke! Benoemen, beschrijven Benoemen Oefenen Oplossen, stappen aangeven 22 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

25 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding getallen moet <0 zijn. Laat leerlingen weer wat oefenen. Geef korte samenvatting van de methode. Maken een deel van opgave 8.4 Helpen de samenvatting op te stellen. Oefenen Samenvatten, stappen benoemen

26 16 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Lesplanformulier Les 9 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Leerlingen hebben de vorige les kennis gemaakt met de som-product Beginsituatie methode voor het ontbinden van een kwadratische vergelijking Vervolg som-product: Babylonische methode Leskern 25 Contextgebonden Plaatsing in schema met onderscheid som-product en historische methode 1) Leerlingen oefenen verder in het werken met de som-product methode; Leerdoelen 2) Leerlingen gaan oefenen met het interpreteren van problemen waarbij de formule en/of vergelijking nog niet gegeven is Media, spullen, hulp Lesbrief 9 Toelichting Deze les heeft tot doel om de leerlingen verder te laten oefenen met de som-methode. De Babylonische methode om tot de twee nulpunten te komen wordt aangeboden als extra middel. Ook komen er weer grafieken aan bod. Tenslotte wordt er voor het eerst gewerkt met situaties waarin leerlingen het model(letje) zelf moeten gaan opstellen: tot nu toe was de formule of de vergelijking steeds al gegeven. Nu moeten ze deze zelf gaan opstellen. lesfa se 26 Leerdoel27 Wat ik doe en zeg , Herhaling som-product methode Uitleg: aan de hand van de symmetrie van de parabool de Babylonische methode uitleggen. De grafiek is het startpunt voor de uitleg Behandeling van één opgave/voorbeeld waarin zelf nog het model opgesteld moet worden 5 1,2 Loop rond en assisteer 6 1 Licht toe dat er weer twee vakken in het schema ingevuld kunnen worden: de som-product methode met een excursie naar de Babyloniërs. Wat zij doen (werkvorm) Participeren in het gesprek. Geven aan hoe zij tot oplossingen komen Leergesprek, maken aantekeningen Leergesprek Maken opgaves uit lesbrief 9 Bekijken schema Leeractiviteit Noem specifieke! Benoemen, stappen aangeven Uitleggen, beredeneren, benoemen Analyseren, modelleren Oefenen Analyseren, samenvatten 25 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

27 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 17 Lesplanformulier Les 10 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Tijd Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Leskern 28 Leerdoelen Leerlingen hebben twee lessen gekeken naar de som-product methode; hebben daarbij 2 (of zelfs 3) manieren gekregen om de twee getallen te vinden. Kwadraatafsplitsen Media, spullen, hulp Lesbrief 10 Toelichting 1) Leerlingen leren de methode van kwadraat afsplitsen als tweede ingang om de nulpunten te vinden 2) Leerlingen oefenen met modelleren, grafieken en oplossen van vergelijkingen Deze lesbrief (of een deel ervan) kan eventueel buiten beschouwing blijven als de tijd te krap wordt. Ik heb ervoor gekozen om kwadraat afsplitsen wel te behandelen omdat hiermee de cirkel weer rond komt. Nadat het kwadraat is afgesplitst lossen we de ontstane vergelijking immers weer op met de (uitgebreide) methode. De lesbrief is opgenomen om de cirkel naar en als voorbereiding op klas 3 waar de abc-formule aan de orde zal komen. Advies om eerder lesbrief 11 dan lesbrief 10 te laten vallen. lesfa se 29 Leerdoel30 Wat ik doe en zeg Weer even verwijzen naar lesbrief 7, schrijfwijze 3. We kunnen hier de top aflezen, maar we kunnen ook makkelijk de nulpunten berekenen Doe voor hoe we bij de voorbeeld parabool vanuit het afgesplitste kwadraat de nulpunten kunnen berekenen. Doe voor hoe bij een voorbeeld het kwadraat afsplitsen werkt. Geef vervolgens een 2 e voorbeeld waarbij de leerlingen het zelf gaan proberen. Wat zij doen (werkvorm) Geven aan hoe je de top kunt aflezen en wat je nog meer uit deze vorm kunt aflezen. Rekenen mee, maken aantekeningen Leergesprek; geven bij het tweede voorbeeld aan hoe te rekenen. Leeractiviteit Noem specifieke! Benoemen Luisteren , 2 Loop rond en assisteer Maken opgaves Oefenen Stappen aangeven 6 1 Afsluiting van de les: korte samenvatting; attendeer ze Geven hun ervaringen met deze methode Samenvatten 28 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

28 18 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding op het compleet maken van het schema. aan.

29 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 19 Lesplanformulier Les 11 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Lesonderwerp Kwadratische vergelijkinen Beginsituatie Leskern 31 Alle stof is behandeld, schema met kwadratische vergelijkingen is ingevuld en beschikbaar Oefenen van opgedane kennis en vaardigheden Leerdoelen Oefenen van opgedane kennis en vaardigheden Tijd 35 Media, spullen, hulp Lesbrief no 11 Toelichting Dit is de eerste van 2 lessen waarin alles door elkaar gevraagd wordt; ik heb de eerste van deze 2 lessen de lastigste willen maken zodat de leerlingen eerst goed uitgedaagd worden maar in de laatste les voor het proefwerk de oogaves makkelijker aankunnen zodat ze met vertrouwen het proefwerk ingaan. lesfa se 32 Leerdoel33 Wat ik doe en zeg 1 1 Introductie les; geef aan dat het een les is om alles te oefenen. Vertel ze dat de opgaves deze les met opzet moeilijk gemaakt zijn. Raad ze aan om actief met het schema te werken en bij iedere opgave een plan te maken. Wat zij doen (werkvorm) 5 1 Loop rond en assisteer Oefenen Oefenen 6 1 Vraag nog even na hoe het gegaan is. Raad ze aan om voor de volgende les het schema nog even goed in te kijken. Vanuit hun kladversie een nette versie gaan maken. Leeractiviteit Noem specifieke! 31 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

30 20 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding Lesplanformulier Les 12 Docent: Datum: Tijd: Klas: Aantal lln: Lesonderwerp Kwadratische vergelijkingen Beginsituatie Laatste les voor het proefwerk Leskern 34 Gelegenheid om te oefenen, vragen te stellen Leerdoelen Oefening van vaardigheden. Tijd Media, spullen, hulp Lesbrief no 12 Toelichting Leerlingen krijgen de gelegenheid om te oefenen, globaal op het niveau waarop het proefwerk zal worden aangeboden. De opgaves zijn dus wat beter te doen dan die in lesbrief 11. lesfa se 35 Leerdoel36 Wat ik doe en zeg 1 1 Korte inleiding. Geef aan dat de leerlingen zelfstandig kunnen gaan oefenen, maar dat er ook gelegenheid is om vragen te stellen. Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit Noem specifieke! Behandel eventueel een aantal opgaves klassikaal Loop rond, bekijk een aantal van de schema s zoals gemaakt door de leerlingen. 6 Afsluiting van de periode. Leerlingen oefenen zelfstandig 34 Zie Ebbens Effectief leren p Ebbens, Effectief leren, p Je kunt best meer dan één werkvorm en leeractiviteit toepassen om één doel te bereiken!

31 Kwadratische vergelijkingen: Docentenhandleiding 21 Toelichting: Lesfasen (Ebbens Effectief leren blz Is elke fase in die volgorde nodig in jouw les?) 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) Leeractiviteiten (voorbeelden van specifieke): (Ebbens Effectief leren blz Gebruik jij nog andere?) Specifieke leeractiviteiten Aanwijzen, benoemen, beschrijven, definiëren, oefenen, opzeggen, stappen aangeven, vertellen, Afleiden, beredeneren, fout aangeven, onderscheiden, samenvatten, uitleggen, verdedigen, verkennen, verklaren, Aantonen, afzetten tegen elkaar, analyseren, beargumenteren, beoordelen, classificeren, patroon zien, plannen, relateren, voorspellen,.. Bewijzen aangeven, bewust kiezen, creëren, concluderen, evalueren, hypothese + onderzoek opstellen, ontwerpen, ontwikkelen, selecteren, speculeren, uitvinden, leerniveau onthouden (beheersing) begrijpen (beheersing) integreren (beklijving) creatief toepassen (wendbaar gebruik)

32 Bijlage 2: Invulschema kwadratische vergelijkingen

33 SCHEMA OPLOSSEN KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN Voorbereiding / Algemeen Situatie Voorbeeld Oplossingsstrategie Oplossing van voorbeeld Herleiden van vergelijking tot de a = 0 Na lesbrief 4: vorm. dus de vergelijking 5x + 5 = 0 Regels herleiden: is bx + c = 0 WEL OPLETTEN BIJ VOORBEREIDEN: Wat doe je met: ( )( ) en met ( )? GRAFIEKEN EN VERGELIJKINGEN: Wat betekent Bereken snijpunt S van twee grafieken? Bijv. van en b = 0 dus de vergelijking is eigenlijk ax 2 + c = 0 Voor het gemak nemen we even x 2 + c = 0 b = 0, maar er staat ook nog iets tussen de haakjes c = 0 dus de vergelijking is eigenlijk ax 2 + bx = 0 a, b en c zijn alle drie niet gelijk aan 0. Ofwel we blijven gewoon bij: ax 2 + bx + c = 0 Er zijn nu vier manieren om de vergelijking op te lossen x = 0 x 2-10 = 0 x 2-81 = 0 (x-2) 2-4 = 0 3x 2 + 6x = 0 x 2 + 6x + 5 = 0 Na lesbrief 4: Na lesbrief 4: Na lesbrief 5: Na lesbrief 4: Na lesbrief 6: Na lesbrief 8: (som-product methode) Na lesbrief 9: (Babylonische methode) Na lesbrief10: (kwadraat afsplitsen) Valkuilen Met behulp van de ABC-formule. Die krijg je pas in klas 3.