Eigenschappen van de gradiënt De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van f(a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting. April 19, 2007 6
Eigenschappen van de gradiënt De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van f(a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting. f(a, b) is een vector loodrecht op de hoogtelijn van f door (a, b). April 19, 2007 6
Eigenschappen van de gradiënt De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van f(a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting. f(a, b) is een vector loodrecht op de hoogtelijn van f door (a, b). Als C een hoogtelijn is van f en (a, b) is een punt op C dan is f(a, b) x a, y b = 0 een vergelijking van de raaklijn aan C in (a, b). f(a, b) x a, y b = 0 f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) = 0. April 19, 2007 6
Herinnering Als f : (a, b) R een differentieerbare functie is en f neemt een lokaal extreem aan in c (a, b) dan f (c) = 0. Als f : (a, b) R een differentieerbare functie is op (a, b) en f (c) = 0 voor zekere c (a, b) dan kan f in c dus een lokaal extreem aannemen. April 25, 2006 1
Als f een functie is met continue, eerste orde, partiële afgeleiden op een open cirkelschijf D R 2 en f neemt in (a, b) een lokaal extreem aan dan f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0. Als f : D R een functie is met continue, eerste orde, partiële afgeleiden en f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 dan kan f in (a, b) dus een lokaal extreem aannemen. April 25, 2006 2
Als f een functie is met continue, eerste orde, partiële afgeleiden op een open cirkelschijf D R 2 en f neemt in (a, b) een lokaal extreem aan dan f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0. Als f : D R een functie is met continue, eerste orde, partiële afgeleiden en f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 dan kan f in (a, b) dus een lokaal extreem aannemen. Punten (a, b) met de eigenschap dat f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 heten stationaire punten. April 25, 2006 2
Herinnering Laat f : (a, b) R een twee maal differentieerbare functie zijn met f (c) = 0 voor zekere c (a, b). Dan neemt f in c een lokaal maximum aan als f (c) < 0 en April 25, 2006 3
Herinnering Laat f : (a, b) R een twee maal differentieerbare functie zijn met f (c) = 0 voor zekere c (a, b). Dan neemt f in c een lokaal maximum aan als f (c) < 0 en een lokaal minimum als f (c) > 0. April 25, 2006 3
Herinnering Laat f : (a, b) R een twee maal differentieerbare functie zijn met f (c) = 0 voor zekere c (a, b). Dan neemt f in c een lokaal maximum aan als f (c) < 0 en een lokaal minimum als f (c) > 0. Als f : [a, b] R een continue functie is dan neemt f in [a, b] een globaal maximum en minimum aan. April 25, 2006 3
De determinant van Hesse Laat f een een functie zijn met continue, tweede orde, partiële afgeleiden op een open cirkelschijf D R 2 en f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 voor zekere (a, b) D. Laat verder D H (a, b) = f 11 (a, b)f 22 (a, b) {f 12 (a, b)} 2. Dan neemt f in (a, b) een lokaal maximum aan als f 11 (a, b) < 0 en D H (a, b) > 0 April 25, 2006 4
De determinant van Hesse Laat f een een functie zijn met continue, tweede orde, partiële afgeleiden op een open cirkelschijf D R 2 en f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 voor zekere (a, b) D. Laat verder D H (a, b) = f 11 (a, b)f 22 (a, b) {f 12 (a, b)} 2. Dan neemt f in (a, b) een lokaal maximum aan als f 11 (a, b) < 0 en D H (a, b) > 0 een lokaal minimum aan als f 11 (a, b) > 0 en D H (a, b) > 0. April 25, 2006 4
De determinant van Hesse Laat f een een functie zijn met continue, tweede orde, partiële afgeleiden op een open cirkelschijf D R 2 en f 1 (a, b) = f 2 (a, b) = 0 voor zekere (a, b) D. Laat verder D H (a, b) = f 11 (a, b)f 22 (a, b) {f 12 (a, b)} 2. Dan neemt f in (a, b) een lokaal maximum aan als f 11 (a, b) < 0 en D H (a, b) > 0 een lokaal minimum aan als f 11 (a, b) > 0 en D H (a, b) > 0. Als f een een continue functie is op een begrensde en gesloten deelverzameling D R 2 dan neemt f in D een globaal maximum en minimum aan. April 25, 2006 4
Als D H (a, b) < 0 dan heet (a, b) een zadelpunt. April 25, 2006 5
Herinnering Laat f : [a, b] R een continue functie zijn die differentieerbaar is op (a, b). De (globale) extrema van f in [a, b] worden gevonden door: de stationaire punten in (a, b) te bepalen, April 25, 2006 6
Herinnering Laat f : [a, b] R een continue functie zijn die differentieerbaar is op (a, b). De (globale) extrema van f in [a, b] worden gevonden door: de stationaire punten in (a, b) te bepalen, de extrema op de rand van [a, b] en April 25, 2006 6
Herinnering Laat f : [a, b] R een continue functie zijn die differentieerbaar is op (a, b). De (globale) extrema van f in [a, b] worden gevonden door: de stationaire punten in (a, b) te bepalen, de extrema op de rand van [a, b] en hetgeen gevonden is te combineren. April 25, 2006 6
Laat f een continue functie zijn op een begrensde en gesloten deelverzameling D R 2 waarvan de eerste orde partiële afgeleiden bestaan op het inwendige van D. De (globale) extrema van f in D worden gevonden door: de stationaire punten in het inwendige van D te bepalen, April 25, 2006 7
Laat f een continue functie zijn op een begrensde en gesloten deelverzameling D R 2 waarvan de eerste orde partiële afgeleiden bestaan op het inwendige van D. De (globale) extrema van f in D worden gevonden door: de stationaire punten in het inwendige van D te bepalen, de extrema op de rand van D en April 25, 2006 7
Laat f een continue functie zijn op een begrensde en gesloten deelverzameling D R 2 waarvan de eerste orde partiële afgeleiden bestaan op het inwendige van D. De (globale) extrema van f in D worden gevonden door: de stationaire punten in het inwendige van D te bepalen, de extrema op de rand van D en hetgeen gevonden is te combineren. April 25, 2006 7