5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht eponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 Delen is eponenten aftrekken: Macht van een product: (2a 3 ) 4 = 6a 2 a 8 6 2 a a
5.0 Voorkennis Machtsfunctie f() = a n met a > 0 en n even. Deze functie heeft een minimum als etreme waarde. Deze functie is symmetrisch in de lijn = 0. 2
5.0 Voorkennis Machtsfunctie f() = a n met a < 0 en n even. Deze functie heeft een maimum als etreme waarde. Deze functie is symmetrisch in de lijn = 0. 3
5.0 Voorkennis Machtsfunctie f() = a n met a > 0 en n oneven. Deze functie heeft geen etreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0) 4
5.0 Voorkennis Machtsfunctie f() = a n met a < 0 en n oneven. Deze functie heeft geen etreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0) 5
5.0 Voorkennis De zwarte grafiek is f() = 0,5 2 De rode grafiek is g() = 0,5(+2) 2 dus een verschuiving van (-2,0) van f() De groene grafiek is h() = 0,5(+2) 2 3 dus een verschuiving van (0,-3) van g(). De rode en groene grafieken zijn beeldgrafieken. 6
5.0 Voorkennis De zwarte grafiek is f() = 0,5 2 met minimum (0,0); De rode grafiek is g() = 0,5(+2) 2 dus een verschuiving van (-2,0) van f() Het minimum verschuift nu ook 2 naar links en wordt (-2,0) De groene grafiek is h() = 0,5(+2) 2 3 dus een verschuiving van (0,-3) van g() Het minimum verschuift nu ook 3 naar beneden en wordt (-2, -3) 7
5.0 Voorkennis De zwarte grafiek is f() = 2 ; De rode grafiek is g() = 0,5 2. Dit is de grafiek van f() vermenigvuldigd t.o.v. de -as met factor 0,5. Er is nu een herschaling in verticale richting met factor 0,5. Het punt (,) op de zwarte grafiek wordt (; 0.5) op de rode grafiek; Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2,2) op de rode grafiek. 8
5.0 Voorkennis De zwarte grafiek is f() = 2 ; De rode grafiek is g() = -0,5 2. Dit is de grafiek van f() vermenigvuldigd t.o.v. de -as met factor -0,5. Er is nu een herschaling in verticale richting met factor -0,5. Het punt (,) op de zwarte grafiek wordt (; -0.5) op de rode grafiek; Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2, -2) op de rode grafiek. 9
5.0 Voorkennis De zwarte grafiek is f() = 0,25 2 met top (0,0); De rode grafiek is g() = 0,25(-2) 2-3 met top (2, -3). Dit is de grafiek van f() die 2 naar rechts en 3 naar beneden is verschoven; De groene grafiek is h() = -2(0,25(-2) 2 3)) = -0,5(-2) 2 + 6 met top (2, -6). Dit is de grafiek van g() die vermenigvuldigd is met -2 t.o.v. de -as. 0
5. Wortelfuncties en gebroken functies [] y = is de standaard wortelfunctie. D f = [0, ), B f = [0, ) met beginpunt (0,0). Het domein zijn alle getallen die je in de functie in kunt vullen. Het bereik zijn alle uitkomsten van de functie.
5. Wortelfuncties en gebroken functies [] De zwarte grafiek is f() =. De groene beeldgrafiek is g() = 3 naar rechts en omlaag geschoven is. 3. Dit is de grafiek van f() die D g = [3, ), B g = [-, ) met beginpunt (3,-). 2
5. Wortelfuncties en gebroken functies [] De zwarte grafiek is f() =. De rode beeldgrafiek is g() = -2. Dit is de grafiek van f() die vermenigvuldigd is met -2 t.o.v. de -as D g = [0, ), B g = (, 0] met beginpunt (0,0). 3
5. Wortelfuncties en gebroken functies [] Bij translaties en vermenigvuldigingen is de volgorde van belang: Voorbeeld : Gegeven is de functie y =. Pas hierop eerst de translatie (3, 4) toe en daarna de vermenigvuldiging t.o.v. de -as met 2. Gegeven is: De translatie (3, 4) geeft: De vermenigvuldiging t.o.v. de -as met 2 geeft: y =. y 3 4 y 2 3 4 2 3 8 Voorbeeld 2: Gegeven is de functie y =. Pas hierop eerst de vermenigvuldiging t.o.v. de -as met 2 toe en daarna de translatie (3, 4) Gegeven is: De translatie (3, 4) geeft: y =. y = 2. De vermenigvuldiging t.o.v. de -as met 2 geeft: y 2 3 4 4
5. Wortelfuncties en gebroken functies [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van de functie f ( ) 3 5 4 Stap : Bepaal het Domein van de functie f(). De uitdrukking onder de wortel moet altijd nul of groter zijn. 5 4 0 4 5 D f 4 ; 4 Stap 2: Bepaal het beginpunt van de functie f(). f ( ) 3 dus (, 3) 4 4 5
5. Wortelfuncties en gebroken functies [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van de functie f() = -3 + 5 4 Stap 3: Stel een tabel op met een aantal waarden van de functie f(). -5-4 -3-2 - 0,25 y 2,6, 0,6 0-0,8-2 -3 Stap 4: Geef het bereik van de functie f(): B f = [-3, ) Stap 5: Teken de grafiek. 6
5. Wortelfuncties en gebroken functies [2] Voorbeeld: Los eact op f() = 3 5 4 Stap : Los de gelijkheid 3 5 4 54 2 54 4 4 4 3 5 4 op Stap 2: Los de ongelijkheid op m.b.v. een schets f() - als 4 4 7
5. Wortelfuncties en gebroken functies [3] Voorbeeld: Los op: 2 3 9 2 24 2 3 9 2 24 2 3 9 2 3 9 6 3 9 36 3 45 5 ok.. Let op: Neem pas het kwadraat als links enkel een wortel staat; Controleer bij wortelvergelijkingen altijd de oplossing(en). 8
5. Wortelfuncties en gebroken functies [4] Dit is de standaard gebroken functie; De grafiek heet een hyperbool; De grafiek bestaat uit twee losse delen (de takken van de hyperbool) De functie heeft een verticale ( = 0) en horizontale (y = 0) asymptoot; Horizontale asymptoot: (Als heel groot wordt nadert de standaard gebroken functie tot 0) Verticale asymptoot: Noemer = 0 en teller 0. Algemeen: a lim lim a a 0 0 lim 0 9
5. Wortelfuncties en gebroken functies [4] Algemeen: lim f ( ) b betekent f() kan onbeperkt tot b naderen door maar groot genoeg te nemen. Voorbeeld : 3 2 2 3 2 0 lim lim 2 3 3 0 Voorbeeld 2: 4 = 4 als 4 0 ofwel 4. 4 = -(4 ) als 4 < 0 ofwel > 4 5 5 5 5 5 0 lim lim lim lim 5 4 (4 ) 4 4 0 20
5. Wortelfuncties en gebroken functies [5] Algemeen: Als lim f ( ) b of als lim f ( ) b dan is de lijn y = b de horizontale asymptoot van de grafiek van f. Voorbeeld : 3 2 2 3 2 0 lim lim 2 3 3 0 De horizontale asymptoot van bovenstaande grafiek is de lijn y = 2. Elke eerstegraads gebroken functie kan via transformaties ontstaan uit de grafiek van de standaard gebroken functie. Net zoals de standaard gebroken functie zal er sprake zijn van één horizontale asymptoot. 2
5. Wortelfuncties en gebroken functies [5] Voorbeeld 2: Gegeven is de functie 4 g ( ) 4 = 4 als 4 0 ofwel 4 = -(4 ) als 4 < 0 ofwel < 4 4 4 0 lim lim 4 0 Voor nadert de grafiek de horizontale asymptoot = 4 4 4 4 0 lim lim 4 0 Voor nadert de grafiek de horizontale asymptoot = -4 4 4 22
5. Wortelfuncties en gebroken functies [5] Voorbeeld: Teken de grafiek van 4 f( ) 5 3 Stap : Bereken de verticale asymptoot door de noemer gelijk te stellen aan 0. + 3 = 0 = -3 Stap 2: Bereken de horizontale asymptoot met behulp van 4 lim 5 05 5 3 lim f( ) Stap 3: Maak een tabel: -5-4 -2-0 y -7-9 - -3-3,67 23
5. Wortelfuncties en gebroken functies [5] Voorbeeld: Teken de grafiek van 4 f( ) 5 3 Stap 4: Teken de grafiek. Geef hierin de asymptoten als stippellijnen aan. 24
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [] Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht eponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 Delen is eponenten aftrekken: 8 6 2 a a Macht van een product: (2a 3 ) 4 = 6a 2 Algemeen: p p q pq a pq ) a a a 2) a q a 3)( a ) a 4)( ab) a b p q pq p p p a 25
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [] Meer rekenregels: 5) a 0 = want n 6) a n a want a a 6 66 0 a a 6 2 2 a aa a a 7 7 5 a aaaaaaa a a 5 Voorbeeld : Schrijf als macht van a: 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld 2: Schrijf zonder negatieve eponenten: 3 3 243 243 a 7 3 27 a 243 27a a 7 243 3 3 3 26
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [2] p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] a als a 0[5] a [6] a 0 p p Voorbeeld: Herleid de formule tot de vorm T = a p T 0,6 4,7 (2 ) 3 T 2,4,7 6 3 T 48 0,7 Rekenregel [4] Rekenregel [] 27
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [3] Meer rekenregels: 7) a q q a p 8) q q p a a want Voorbeeld : Schrijf zonder negatieve en gebroken eponenten: 6a 3 3 3 6a 6 3 4 b 3 4 3 4 b b Voorbeeld 2: Schrijf als macht van : a 2 2 2 2 5 2 2 5 5 a a a a a 3 3 3 3 3 3 a ( a ) a a a 28
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [4] Voorbeeld :,60 9,60,60,60,60 9 9 3,95 Voorbeeld 2: Links en rechts tot de macht,60,65 5 9 30,65 5 39,65 39 5 39 5,65 3,47 Links en rechts tot de macht,65 Let op: Voor c > 0 en > 0 geldt p = c geeft c p Als de eponent een niet-geheel getal is, geef je enkel de positieve oplossing van. 29
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [5] Voorbeeld : Schrijf y = 3 2,3 in de vorm = ay n. 3 2,3 2,3 3 3 3 y y y 2,3 0,62 y 2,3 y 0,43 2,3 Delen door het getal voor. Gebruik: Gebruik: n n n a a a ( ab) p a p b p [4] 30
5.2 Machten met negatieve en gebroken eponenten [5] Voorbeeld 2: Schrijf y = 0,5 3-7 in de vorm =. 3 0,5 7 3 0,5 y7 3 2 y4 (2 y4) 3 y Losse getallen naar rechts Delen door het getal voor de wortel Links en rechts tot de macht 3 nemen. 3
5.3 De standaardfunctie f() = g [] In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = 2 getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 2 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is lim g 0 32
5.3 De standaardfunctie f() = g [] In de grafiek is de de eponentiële standaardfunctie f( ) getekend; 2 D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot. (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g 2 met 0 < g < heeft deze vorm; Voor 0 < g < is lim g 0 33
5.3 De standaardfunctie f() = g [] De zwarte grafiek is f() = 2 De blauwe grafiek is g() = 2 + 3 dus een translatie (0,3) van f(). De horizontale asymptoot is y = 3 met bereik B f = (3, ) De rode grafiek is h() = 2 +3 dus een translatie (-3,0) van f(). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik B f = (0, ) De groene grafiek is k() = 3 2 dus een verm. t.o.v. de -as met 3 van f(). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik B f = (0, ) 34
5.3 De standaardfunctie f() = g [] Voorbeeld: Bereken van de grafiek van f() = 00 5 2, + de formule van de horizontale asymptoot. Stap : Herschrijf de functie: f() = 00 5 2, + = 00 5 2, 2, = 00 3,5 2, Stap 2: Bereken de horizontale asymptoot: lim f( ) 00 3,50 00 De horizontale asymptoot is de lijn y = 00. 35
5.3 De standaardfunctie f() = g [2] Voorbeeld : 2 2 Gegeven is functie f( ) 3 Welke waarden neemt f() aan voor? Stap : Stel de formule van de horizontale asymptoot op: f() = 0,5 Er geldt: 2 3 2 lim 0 Dit geeft de horizontale asymptoot y = - Stap 2: Lees het antwoord af uit een plot van de functie op je GR en let hierbij op de horizontale asymptoot. Voor geldt - < f() 0,5 36
5.3 De standaardfunctie f() = g [3] Voorbeeld : 3 7 55 2 3 48 2 6 2 4 2 2 2 2 4 4 4 Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 37
5.3 De standaardfunctie f() = g [3] Voorbeeld 2: 4 2 3 (2 ) (2 ) 2 3 2 2 22 3 2 2 3 5 3 3 5 Zorg dat links en rechts hetzelfde grondtal komt te staan. Gebruik de rekenregels voor machten Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 38
5.3 De standaardfunctie f() = g [4] Voorbeeld: 2 2 2 24 2 2 2 2 24 42 2 24 32 24 2 8 2 2 3 3 Zorg dat er links slechts één macht komt te staan. Gebruik hierbij de rekenregels voor machten. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 39
5.4 Eponentiële groei [] Voorbeeld (Eponentiële groei) t 0 2 3 4 N 00 50 225 337,5 506,25 De hoeveelheid N neemt per tijdseenheid met hetzelfde percentage toe. Bovenstaande tabel geeft de formule N = 00,5 t met 00 als beginwaarde en,5 als groeifactor per tijdseenheid. Bij een gelijke procentuele afname per tijdseenheid is er ook eponentiële groei (ook eponentiële afname of eponentieel verval genoemd); Bij een groeifactor groter dan is de grafiek stijgend; Bij een groeifactor tussen 0 en is de grafiek dalend; Bij eponentiële groei is de formule altijd N = b g t met b als beginwaarde en g als groeifactor per tijdseenheid. 40
5.4 Eponentiële groei [] Voorbeeld (Eponentiële groei) t 0 2 3 4 N 00 50 225 337,5 506,25 In dit voorbeeld is het groeipercentage 50% In dit voorbeeld is de groeifactor,5 50 groeipercentage Groeifactor = ( ) 00 00 Groeipercentage = (,5 ) 00% (=groeifactor -) 00% 4
5.4 Eponentiële groei [2] Voorbeeld (Eponentiële groei) t (uur) 0 2 3 4 N 00 50 225 337,5 506,25 De groeifactor per uur is,5 want: N =,5 N 0 =,5 00 = 50 De groeifactor per twee uur is,5,5 =,5 2 want: N 2 =,5 2 N 0 =,5 2 00 = 225 De groeifactor per drie uur is,5,5,5 =,5 3 want: N 3 =,5 3 N 0 =,5 3 00 = 337,5 De groeifactor per t uur is nu dus,5 t want N t =,5 t N 0 42
5.4 Eponentiële groei [2] Voorbeeld 2: Een hoeveelheid neemt per dag met 23% toe. De groeifactor per dag (g) is,23 De groeifactor toename per week (g week ) is g 7 =,23 7 = 4,26 Per week neemt de hoeveelheid met (4,26 ) 00% = 326% toe De groeifactor per dag (g) is,23 De groeifactor per 6 uur (g 6uur ) is g ¼ =,23 ¼ =,05 Per zes uur neemt de hoeveelheid met (,05 -) 00% = 5% toe Let op: Bij eponentiële groei gebruik je voor het omzetten van een groeipercentage naar een andere tijdseenheid groeifactoren. 43
5.4 Eponentiële groei [3] Voorbeeld: De hoeveelheid bacteriën groeit eponentieel. Op tijdstip t = 5 zijn er 2.000 bacteriën. Op tijdstip t = 2 zijn er 7.000 bacteriën. Stel de formule op van het aantal bacteriën N om t uur. Stap : Bij een eponentieel verband hoort de formule: N = b g t met b = beginhoeveelheid en t = tijd Stap 2: Bereken de groeifactor van t = 5 tot t = 2 (g 7uur ) g 7uur = N 7.000 3,5 2 N 5 2.000 44
5.4 Eponentiële groei [3] Voorbeeld: Stap 3: Bereken de groeifactor per uur (g): 7 7 g g7 uur (3,5),95... => N = b,95 t Stap 4: Bereken de beginhoeveelheid: N = b,95 t 7.000 = b,95... 2 7.000 = b 8,56. b 87 => N = 87,20 t 45