4. Sysemen, auomaen en grammaica's* Dr. ir. H.G. Sassen Prof. dr. W.J.M. Level 1. Sysemen 1.1. Inleiding Me de besudering van seeds ingewikkelder vraagsukken, of deze nu afkomsig zijn ui de fysica of echniek; de fysiologie, de biologie of de geneeskunde; de economie of de managemen; de psychologie of de sociologie, is er een groeiende endens onsaan naar specialisaie in elk van de vakgebieden. Di leid enerzijds o een zeer diepgaande kennis in he onderhavige vakgebied, anderzijds breng he me zich mee een seeds moeilijker wordende communicaie ussen de aldus gevormde specialisen. De noodzaak van deze communicaie is echer me de veelal serk mulidisciplinair geriche vraagsukken van seeds groer wordend belang. Een algemeen syseemheoreische aanpak beoog deze mulidisciplinaire benadering mogelijk e maken, immers, bij elk weenschappelijk onderzoek kan men seeds een drieal belangrijke fasen herkennen. He besuderen en formuleren van he probleem in de werkelijkheid; di leid o he opsellen van een model. He uiwerken van he model; he nagaan hoe he model zich gedraag; en he onderzoeken voor welke invloeden en/of facoren he model gevoelig is, zoda he model een voorspellende waarde verkrijg. He inerpreeren en veralen van de modelresulaen naar de werkelijkheid. De syseemheorie kan voor zeer veel vakgebieden worden beschouwd als een universeel gereedschap een hulpweenschap die he mogelijk maak op sysemaische wijze problemen e formuleren, en e helpen oplossen. Alvorens in e gaan op wa men mag verwachen als bijdrage van de syseemheorie in de psychonomie, is he noodzakelijk eers een aanvaardbare definiie van een syseem e geven. Di is geenszins eenvoudig daar bij alle in de lierauur gegeven definiies wel aan een specifieke discipline word gedach. Heel algemeen kan geseld worden da een syseem een deel van de werkelijkheid is, afgezonderd van zijn omgeving, en daarmee al dan nie relaies onderhoudende. De omgeving kan daarbij he syseem beïnvloeden en vice versa he syseem de omgeving. De keuze van de syseemgrenzen zijn daarbij volledig arbirair, zij worden bepaald door he door de onderzoeker geselde doel. De syseemheorie kan nu de volgende bijdragen, van belang bij de modelvorming, opleveren. - Mehoden om sysemen van zeer uieenlopende aard op overeenkomsige wijze door middel van modellen e beschrijven, en dus he herkennen van analogieën. - Mehoden voor de analyse en idenificaie van sysemen en voor de besudering van de wisselwerking ussen syseem en omgeving. - Classificaie van sysemen, van de wisselwerking ussen syseem en omgeving, alsmede de definiëring van de daarbij behorende eigenschappen. Opgemerk dien e worden da de syseemheorie van groo nu is bij he opsellen van modellen. Ui deze modellen, gebaseerd op ingangs-uigangsberekkingen kan veel inzich verwach worden en aanzien van de srucuur en he dynamisch gedrag van he e onderzoeken syseem. 1.2. Algemene syseembeschrijving Een nadere precisering van he begrip syseem kan als volg worden gegeven. Een syseem is een en aanzien van zijn omgeving afgezonderd gedach geheel, waarbinnen een zekere ordening heers, en da evenueel een zekere wisselwerking me zijn omgeving onderhoud. De wisselwerking ussen een syseem en zijn omge- * De samenvaing over de syseemleer is geschreven door H.G. Sassen, he deel over auomaen en grammaica's is opgeseld door W.J.M. Level. 100
ving kom o uiing in de zogenaamde ingangsgrooheden en uigangsgrooheden; de omgeving beïnvloed he syseem door ingangsgroohedeiu erwijl he syseem op zijn beur de omgeving bei'nvloed door uigangsgrooheden. Worden de grooheden als funcie van de ijd besudeerd, dan worden deze meesal als signalen aangeduid. De ingangssignalen worden onderverdeeld in soorsignalen, de nie beïnvloedbare, en suursignalen, de wel beïnvloedbare signalen. De mees gebruikelijke nomenclauur op he gebied van de syseemheorie ken aan de suursignalen, aan de soorsignalen en aan de uigangssignalen respecievelijk de noaies u(), v() en y() oe..ngongs- MIJ u 11 y» I signaal u() n syseem soorsignool v() L,v() deelsyseem! yjj vo- begincondiie y( ) v-() y 2 ( Q ) uigongssyseem ^() u 2 () 1 y.() signaol y() 2 Figuur 1. Een voorbeeld van een syseem me suursignaal u(), soorsignaal v(), uigangssignaal y() en begincondiie y( 0 ). De in de figuur gebruike noaie is in de syseemheo rie de mees gangbare. Een syseem kan nu worden voorgeseld (figuur 1) als een blok me ingangssignalen u{) en v() en me uigangssignaal y()\ ussen uigangssignaal >'(/) enerzijds en ingangssignalen ui) en v() anderzijds besaa een vas verband, hewelk de basis vorm voor de classificaie van sysemen. De begincondiie v(f 0 ) (de condiie waarin he syseem zich bevind voorda he ingangssignaal is aangeboden) word aan he uigangssignaal y() ensloe oegevoegd. Een in di kader van di boek belangrijke groep sysemen is de groep van causale sysemen; J hieronder word versaan de groep van sysemen, waarvan he uigangssignaal he gevolg is van een aangeboden ingangssignaal. He uigangssignaal word dan de responsie van he syseem genoemd. 1.3. Signaalbeschrijving Zonder verlies aan algemeenheid kan he beschrijven van sysemen worden eruggebrach o he beschrijven van signalen en he bepalen van hun onderlinge relaies. Immers he ingangssignaal aangeboden aan he syseem word hierdoor omgeze in een uigangssignaal; he syseem voer een operaie op he signaal ui. He is derhalve noodzakelijk eers op de beschrijving van de verschillende signaalypen in e gaan. 1.3.1. Indeling van signalen De wijze waarop signalen kunnen worden beschreven zal van geval o geval serk verschillen, deze is serk afhankelijk van de eigenschappen van he signaal waarin men geïneresseerd is. Een indeling naar hun specifieke eigenschappen kan als volg gegeven worden. Deerminisisch versus nie-deerminisisch of sochasisch: Een deerminisisch signaal x{) is een funcie waarvan de grooe voor elke waarde van / eenduidig is vasgelegd. Een nie-deerminisisch sochasisch signaal ~x() is een signaal waarvoor een dergelijke eenduidige relaie nie besaa; van di signaalype kunnen slechs saisische eigenschappen worden gegeven, zoals de verdelingsdichheidsfuncies of de daarui afgeleide momenen (de noaie x() duid op een sochasisch signaal, he signaal x() is deerminisisch) (figuur 2). x() i() " \»V ^ x()=a(sinw+2sin2ü/) x()= me-deerminisisch Figuur 2. Een voorbeeld van een deerminisisch en een sochasisch signaal. Coninu versus bemonserd: In he geval van een coninu signaal is he signaal voor alle waarden van gedefinieerd; voor da van een bemonserd signaal is he alleen voor zekere ijdsippen gedefinieerd (figuur 3). Analoog versus gekwaniseerd en binair: Een signaal word analoog genoemd als de ampliude van he signaal op een zeker inerval in principe een oneindig aanal waarden kan aannemen. Een signaal word gekwaniseerd of genoemd als de ampliude op een zeker inerval slechs een eindig aanal waarden 101
kan aannemen. In he bijzondere geval da he signaai wee waarden kan aannemen word he signaal x() x{0 x() x() binair genoemd (figuur 3).. sinusvormig sprongvormig eenparig sijgend impulsvormig coninu ijd bemonserd Figuur 5. Enkele voorbeelden van veel gebruike deerminisische signalen. van zal blijken bij de behandeling van de belangrijkse groep sysemen, namelijk de lineaire sysemen. Voor deze klasse van sysemen geld da de responsie op de som van een aanal ingangssignalen gelijk is aan de som van de responsies van he syseem op elk van deze ingangssignalen afzonderlijk. Di houd dus in da indien de responsies van een syseem op de deelsignalen bekend zijn de responsie van elk willekeurig deerminisisch signaal door sommaie e Figuur 3. Indeling van signalen; in di voorbeeld zijn de signalen om een gemiddelde nul geekend. Periodiek en nie-periodiek: Een signaal x() is periodiek me een eindige periode T indien geld da x()=x(+t) voor alle (figuur 4). Een nie-periodiek signaal voldoe hier nie aan; he signaal kan worden opgeva als een periodiek signaal me een oneindig groe periode T. x() r VT, 1 i i i I -i» i i I i i L_J nie - periodiek periodiek signaol signaal Figuur 4. Voorbeeld van een periodiek en een nie-periodiek signaal. 1.3.2. Signaalonbinding in deelsignalen: de fourierreeks In he kader van deze paragraaf is een onderscheid in deerminisisch en sochasisch he belangrijks. De beschrijving van deerminisische signalen kan immers eenvoudig als funcie van de ijd geschieden; veel word gebruik gemaak van sinusvormige, sprongvormige, eenparig sijgende of impulsvormige signalen (figuur 5). Nu kan elk deerminisisch signaal worden benaderd door de som van een eindig of oneindig aanal deelsignalen (figuur 6a). He nu hier- signool x() benadering ï () * verschilsignool = x() - x () 4 definieer crierium J(C.,C, c ) minimaliseer naar c. J-T- J(c:,c... #c ) K k 0 1 N * bepaal c 0,c v.c N () model van x() x() = $c k = 0 E u() k + - bepaol c o, V Figuur 6. He onbinden in deelsignalen. minimaliseer crierium _è è fc JC VS i verkrijgen is. He onbinden van een signaal in deelsignalen kan ook gezien worden als he opsellen van een model van he signaal, waarvan na bepaling van de srucuur van de deelsignalen een aanal onbekende parameers moe worden bepaald (figuur 6b). De procedure voor de signaalonbinding verloop als volg. Verondersel da he signaal x() kan worden benaderd door de som x() van een aanal vooraf gekozen deelsignalen u(), elk voorzien van een coëfficiën c k waarvan de grooe onbekend is: *(*)= I[c k u k (). k=0 fi [1] Verondersel verder da geëis word da de benadering op he ijdsinerval [ {, 2 ] volgens ondersaande crieriumfuncie ' - / ' 2 J word bereik: x()-x{)\p w ()d. [2] De benadering x() van x() word opimaal genoemd indien he crierium / voor x() een minimum be- 102
reik. De in he crierium voorkomende funcie w() word een weegfuncie genoemd: de vorm van deze funcie bepaal welk deel van he verschilsignaal x()-x() op he beschouwde inerval [ i 2 ] word meegewogen. De in he crierium voorkomende exponen bepaal de bijdrage van he verschilsignaal op de crieriumwaarde. In verband me de eenvoud van de mahemaische afleidingen word in de prakijk bijna alijd p-2 gekozen, da wil zeggen da me een kwadraisch crierium word gewerk. De opimale benadering x() van x() word nu verkregen door de pariële afgeleiden van / naar elk van de parameers c k gelijk aan nul e sellen, er volg dan: / [x() 1=0 c^! {)]u k ()w()d =0; =0,1,.. TV. [3] Ui de normaalvergelijkingen [3] kunnen in principe de coëfficiënen c k worden opgelos. Veel rekenwerk kan voorkomen worden door een versandige keuze voor f&(0 en w() e doen, en wel een zodanige da geld: ' 2 u k ()u ()w()d = 0 = d voor k = l ; voor k= l > waarin d k een consane is. Ui de normaalvergelij kingen volg dan direc da geld: 1 e,. = ƒ x() u k () w() d. [5] d,. Funcies u k () [4] waarvoor vergelijking [4] geld, me w()=\, worden orhogonaal op he inerval [ l 2 ] genoemd. Er zijn vele funcies die aan deze eisen kunnen voldoen, doch de mees oegepase onbinding in deelsignalen is ongewijfeld de onwikkeling in de zogenaamde fourierreeks. Deze reeks is gebaseerd op rigonomerische funcies: de sinus en cosinus. Sel nu da een gegeven signaal x() op he eindige ijdsinerval [ 0, 0 +T] word benaderd door x(), dan geld voor de fourierreeks: a 0 = _1 T r x() n +T d, H = J x() cosku d voor k= 1,2,..., [7] 'o + T b k = j x() sinkco d voor =1,2,... T / Me de aldus bepaalde coëfficiënen a k en b k kan de fourierreeksonwikkeling [6] worden uigewerk. Zonder in e gaan op de bewijsvoering kunnen ondersaande eigenschappen van de fourierreeks worden afgeleid. De coëfficiënen a k en b k zijn alleen afhankelijk van k. In de keuze van he inerval Uo, 0 + T] is he beginijdsip 0 nie van belang. Uibreiding van de benadering x N (), gebaseerd op de sommaie van N ermen, o x N+, (f) leid o De benadering x N () zal voor N-* een exace weergave van de e beschrijven funcie x() geven, dus geld lim J N =0 en lim TV-*» een lagere crieriumwaarde, dus J/y +l <^yv- N-*<- x N ()=x(). De volgens formule [6] gegeven fourierreeksonwikkeling word in de lierauur vaak anders weergegeven. Zo kan men, uigaande van de formules van Euler, cosco = (<?'"' +<T' W ); sincjf = de complexe vorm van de afleiden. Di leid o: (^'-e-jijj ), 2/ [8] fourierreeksonwikkeling x()=x r k ei kui me U=2TT/T, [9] k = - OO U + T 1 r k = - ƒ x(f) e-*" 1 d, fc=0,±l,±2,...,[10] waarin de coëfficiënen r k als volg zijn gedefinieerd. r 0 = a o oo x() = [a k cosku)-\-b k slnkoj ] [6] r k = 5 ek ~J b k). z 1 1 [in waarin co = 2TT/T. Uiwerking van de geschese procedure lever voor p=2, vv(0=l en c k u k ()= = a k cosklo+b k s'mkco: '-*=* fa+ƒ**), A. ' 1, i-, - - - Eveneens word vaak de noaie volgens [12] en [13] gebruik: 103
x() = A 0 + A k cos(kco-<j) k ), A-=i A 0 = a 0, 0o =0. Ak = W + V, (p k = arcg Z^/f* [12] [13] De ermen van de fourierreeksonwikkeling [13] dienen opgeva e worden als sinusvormige deelsignalen me radiaalfrequenie ATGJ, ampliude A k en faseverschuiving 0^. Vaak worden de grooheden A k en <fi k als funcie van de radiaalfrequenie A:co uigeze, ezamen vormen zij he specrum van he signaal x(). Voor periodieke signalen, en dus eindige periodeijden T, zal di specrum alleen voor radiaalfrequenies k<jj=k2ir/t besaan: een dergelijk specrum hee een lijnenspecrwn. Afbeelding van de ampliudemaa r k, en dus van I r k en arg r k, resuleer in een lijnenampliudespecrum Tensloe dien nog één belangrijke eigenschap, he heorema van Parceval voor de en een lijnenfasespecrum. fourierreeksonwikkeling, genoemd e worden. Di heorema is direc af e leiden ui de berekkingen [6] o en me [13]. He luid: }_ T n + T x 2 ()d = a 2 0+ 2 \ (a 2 k+b 2 k) = k=\ waarin de grooheid X(v) de fouriergeransformeerde van x() word genoemd. Evenals bij de complexe fourierreeks, kan ook hier een afbeelding van y\t(^)l en arg X(v) als funcie van de frequenie v worden gegeven. Di specrum is nu een ampliudedichheidsspecram, immers: - bij de overgang van T-^ komen de lijnen, op afsand 2TT/T, van he lijnenspecrum van e k oneindig dich bij elkaar e liggen; de dimensie van X(v) zal nie langer die van ampliude zijn zoals bij c k, doch zal nu die van ampliudedichheid zijn, een ampliude per frequenie: X(v)±c k T=C k lv. De hier gedefinieerde fourierransformaie kan ook nu weer gezien worden als he onbinden in sinusvormige deelsignalen van he nie-periodieke signaal x(). Zeer veel oplossingsmchodieken in de signaal- en syseemheorie maken gebruik van deze ransformaies. De oorspronkelijke funcie of origineelfuncie word daarbij via een éénduidige relaie omgeze in een beeldfuncie of geransformeerde: men spreek van he ransformeren van he ene domein naar he andere. Zo word he domein van x() he ijdsdomein genoemd en da van X(v) he frequeniedomein. Van elke beeldfuncie kan nu ook weer he origineel bepaald worden, men noem di de erugransformaie. Er geld: k = ~ CD \r k \ 2 =A 2 Q+ S \A\ k=i [14] Di heorema geef aan da he gemiddelde van he kwadraa van x() over he beschouwde inerval gelijk is aan de som van de kwadraen van de fouriercoëfficiënen, in feie moe di heorema dus als een vermogensbalans worden beschouwd. 1.3.3. De fourier- en laplaceransformaie Uigaande van de complexe fourierreeksonwikkeling [9] en [10] kan nu he ijdsinerval [/Vo+71 worden uigebreid o een oneindig groo inerval [-.00,00] door voor 0 = \T e kiezen, en vervolgens T-> e laen gaan. Eenvoudig val af e leiden da: OC x() = X(u)e' 2^'dv, [15] X(v) = ƒ.v(0 r /2ïï^/, [16] fourierransformaie: + OC F{x() } = X(v) = x()e-i 2, ""d, [16] CTJ fouriererugransformaie: + OO F" 1 {X{v)} = x{) = f X{v)e i2 " v dv [15] CD He belang van een dergelijke ransformaie kom ui ondersaande punen naar voren. Transformaie, of onbinding in deelsignalen, geef vaak een beer inzich in de eigenschappen van de origineelfuncie. Bepaalde gecompliceerde bewerkingen, zoals he oplossen van inegraalvergelijkingen kunnen na ransformaie zeer eenvoudig in he nieuw verkregen domein worden berekend; ondanks he fei da nu 104 *
x();y() { "1 Four ierronsformoie von x() en y( ) X(v): Y(v) Gecompliceerde bewerking op X() en y(), me als emdresuloo z() Tijdsdomein Frequeniedomein Eenvoudige bewerking op X(v) en Y(i>), me ols emdresuloo Z iv) Fouriererugronsformaie von Z (y) Z(v *)z() Figuur 7. Toepassing van de fourierransformaie er vereenvoudiging van bepaalde mahemaische bewerkingen. echer een ransformaie en de erugransformaie als exra moe worden uigevoerd kan he vaak lonend zijn (figuur 7) om och van deze ransformaies gebruik e maken. Van groo belang zal zijn om na e gaan voor welke funcies een fouriergeransformeerde besaa, immers de inegralen [15] en [16] zullen moeen convergeren. Zonder in e gaan op he bewijs kan geseld worden da een voldoende, doch geen noodzakelijke voorwaarde hiervoor is da de funcie x() absoluu inegreerbaar is, dus: + PO \x()\d< oo [17] De klasse oelaabare funcies is als gevolg van deze eis dus beperk o de normale funcies. Een groo aanal belangrijke funcies, zoals x()=e a me a>0, zal nu op grond van [17] geen fouriergeransformeerde bezien. Di kan worden vermeden door nie de funcie x() zelf, doch de funcie e~ Xl x(), me X een reële consane, e ransformeren. Voor he geval da x() nie convergeer voor ^ maar wel serk convergeer voor f-* ~, kan nu door een versandige keuze van de facor e~ K de inegraal voor r-*» o convergenie worden gedwongen, en wel zo da deze voor /-» nog juis convergen blijf. Door he invoeren van de complexe grooheid s, de complexe frequenie genoemd, s=zk+j2iv=k+joj volg dan direc ui [16] en [15]: L n {x()}=x n (s)= ƒ x{)e- x e-^v d = OO = ƒ x() S d [18] ii?{^nw}=^) -1 = e u 1 2irj \-/~ \+y- oo CO X n (s)e ilirv dv = X n (s)e S[ ds. [19] Deze nieuw gedefinieerde ransformaie word de dubbelzijdige laplaceransformaie genoemd. De hierbij geïnroduceerde convergenieafdwingende facor -\ is echer alleen effecief op één van de beide inervallen f>0 of f<0, erwijl op he andere inerval juis een divergerende werking van deze facor uigaa, me andere woorden alleen funcies die dermae serk convergeren voor f-> da zelfs na oevoeging van de facor e~ x, me X>0, de convergenie nie enie word gedaan, zullen de dubbelzijdige laplaceransformaie bezien. Er zijn maar weinig funcies die hieraan voldoen, echer een zeer belangrijke klasse die wel hieraan voldoe is die van de en-. helzijdige funcies, dus die funcies die nul zijn voor r<0. Bij deze funcies zal nu de invloed van e~ x gunsig zijn voor f>0, erwijl de inegraal och gelijk is aan nul voor r<0. Aldus onsaa de enkelzijdige laplace- ransformaie. L{x()} = X(s)= ƒ x()e- s d, [20] L- 1 {X(s)} = x()= ^ ƒ X(s)e s ds: [21] 2ir/ x-j GO Een voldoende voorwaarde voor de klasse funcies waarvan de enkelzijdige laplaceransformaie besaa is da deze funcies normaal en exponenieel van de orde q voor f> m moeen zijn, zoda dus geld \x(f> m ) < Me q, waarin M en m willekeurige eindige consanen zijn. Analoog aan de beschouwing van de fourierreeks en fourierransformaie kan ook hier weer de laplaceransformaie worden gezien als een onwikkeling in deelsignalen, zij he da deze nu nie sinusvormig zijn, doch da he hier opslingerende sinussen beref; deze opslingering word veroorzaak door de facor e K. To nog oe is alleen de signaalbeschrijving van coninue signalen aan de orde gewees, de oepassing van digiale rekenmachines leg echer een seeds groer wordend accen op de bemonserde signalen. De behandeling van bemonserde signalen in de syseemheorie is principieel nie anders dan die van de coninue; de auomaenheorie slui hier direc bij aan. Daar de bemonserde signalen alleen op zekere ijdsippen zijn gedefinieerd, kan de laplaceransformaie zonder meer nie op een dergelijke geallenreeks worden oegepas. Een gemodificeerde versie van de laplaceransformaie, welke bekend saa als de Z-ransformaie, is speciaal gerich op de behan- 105
Tabel 1. Transformaie-eigenschappen. eigenschap fou rier rans forma ie enkelzijdige laplace rans f onna ie OO GO ransformaie F{x()}=X(u) = ƒ x()e-> 27W d L{x()}=X(s)=f x()e- s d OO erugransformaie F -«{X(v)}= x() = f OP X(p)e f2irv dv L- 1 {X(s)}=x()= -L 2-n] \-/oo ƒ *(s)e"cfc sr linearieiseigenschap verschuivingseigenschappen F{c l x l ()+c 2 x 2 ()}=c l X l (v)+c 2 X 2 (v) F{x(-a)}=e~> 2nai, X(v) F" 1 {X(v+a)Ue~ f21a x() {c 1 x,(f)+c ï * 2 (r)}=c l AT l (ï)+c 2 A r 2(i) L{x(-a) U{-a)}=e' sa X(s) L- l {X(s+a)}=e- a x() schaaleigenschappen F{x(a)}= Ijrf) a\ a F-'{X(a V ))= i*(i) lal a L{x(a)}=-X(-),mQa>0 a a 1 A L~ -ï l {X(as)}=-x(-), me a>0 ' a a ransformaie van afgeleiden ransformaie van een inegraal vermenigvuldiging me f F{x()}=j27TvX(p) F{x in) ()}=(j27ïv)"x(v) 1 F{ f x(r)dt}=^-x(p)+-x{0)8(u) -~ J2TTV 2 F{?x(f)) =( / \ n d n X(y) 2TI di/ 2 L {x()} =s X(s)-x(0) L [x (n \)} =s"x{s)-s" ~ l x(0)-. -,v («-D (0) r 1 L{ j x{r)dr) = ^X{s) L{^(0}=(-D n dn X(s) ds" OO deling door F{^} =j2n fx(s)dl- L{m x() fx(a)d }= y o ransformaie van een 1 periodieke funcie me F{x()}= S [- f x()e- J21Tk/T d]8(v~ ^-) periode T: x()=x(+t) fc= T o 7 L{.x(r)} = o x() e-s d \-e~st convoluieeigenschappen F{ fx l (T)x 2 (-T)dr} = X l^)x 2 (u) F{ Xi ()x 2 (0}= J X l {i)x ï {v^)d% GO OO L{ f x l ( T )x 2 (-T)d T } =X,(s)X 2 (s) 0 {*i(0*2«}=;r: / ^i(a)^2(s-a)6/a; 2lïJ Y ^e(s)>max(xi,x 2 Ai +X 2 ); Xi<c<Re(s)-\ 2 asympoische eigenschappen lim X(v) = 0 lim X(s) = 0 lim sx(s) = lim x{) s-*~> io lim sx(s) = lim x(r) s->o r- 106
deling van dergelijke bemonserde signalen. Binnen he kader van di Handboek lijk he ongewens e veel aandach aan de eigenschappen en berekeningsmehoden van de ransformaies e wijden. Er zal hier slechs volsaan worden me een overzich van de belangrijkse eigenschappen van de fourier- en enkelzijdige laplaceransformaie; deze zijn weergegeven in abel 1. In he bijzonder moe de ransformaie van de laer e bespreken convoluieinegraal worden genoemd: L{J xj (T)X 2 (-r)dr } = X x (s)x 2 (s), o L{x l ()x 2 ()} = 1 2-ÏÏJ c-j c+h X l (o)x 2 (s-o)do.. [22] De berekkingen [22] illusreren goed he belang van de ransformaieechnieken. Een zeker nie minder belangrijke eigenschap is die van de ransformaie van de afgeleide van een funcie, voor de laplaceransformaie geld: l{x<">(0} = = 5" X(s)-5"- 1 x(0)-...-x < "-' ) (0). [23] De vergelijking [23] lever de basis voor he oplossen van differeniaalvergelijkingen, en dus voor he beschrijven van sysemen. He oplossen van deze differeniaalvergelijkingen me behulp van de laplaceransformaie leid o he verkrijgen van de oale oplossing, dus de vrije of homogene oplossing en de gedwongen oplossing (inegraie-inerval [0,~]), erwijl me behulp van de fourierransformaie alleen de gedwongen oplossing word verkregen (inegraieinerval [ ~,-]). In he algemeen kan dan ook geseld worden da de laplaceransformaie bij uisek geschik is voor he oplossen van differeniaalvergelijkingen, en wel voor de gewone lineaire differeniaalvergelijkingen me consane en me ijdsafhankelijke coëfficiënen alsmede voor de lineaire pariële differeniaalvergelijkingen, erwijl de fourierransformaie juis voorlie onbinden in deelsignalen van he groose belang is. Me behulp van de in abel 1 gegeven eigenschappen en de in bijna elk handboek over ransformaies e vinden abellen van de belangrijkse origineelfuncies me de bijbehorende Tabel 2. Origineel funcies me bijbehorende beeldfuncies. origineelfuncie 5(0 * * V(- 0 ) U() 1 * * * U() f U() a e~ b U() e' b U() fe- b ü{) en 0 sinflf cos a sign f fourier ge ransformeerde x(v) e J7iw 1 {{; 1 _,- ]2m> i +500} JlV \{- x J1TV 5(i0 +5(i;)} 5/5»-^ (2w) : ƒ6 '00 /"5^'(i0+- ;"z (fl) IYfl+1) {flmif + i a geheel > 0 / r"5 (fl) 00 a geheel > 0 1 I(j2nv+b) 11(j2m>+b) 2 r(a+l)l(j2tiv+b) a+l 5 (p-vo) ï/{ö(h-^)-5(i^)} 2-n 2-n 5{5(.+f)+5(,-f)} 2TT 2-n 1 JTIV enkelzijdige laplacege rans formeerde x(s) e-s 0 1 -s, 1/'s lis I» T(a+\)lf + i \Ks+b) 1 l(s+b) 2 r(a+l)l(s+bf + a/(s 2 W ) s/is 1 +a 2 ) * 5(0= impulsfuncie; ** U() = eenheidssprongfuncie; *** U() = eenparig sijgend signaal. beeldfuncies is vrijwel elke ransformaie eenvoudig ui e voeren. In abel 2 worden ensloe van een aanal frequen voorkomende funcies in de syseemheorie de origineelfuncies me bijbehorende beeldfuncies gegeven. 1.3.4. Beschrijving van sochasische signalen In paragraaf 1.3.1. is reeds gewezen op he fei da voor sochasische signalen geen eenduidige relaie 107
me de ijd besaa, de beschrijving van di ype signalen vind plaas in ermen van waarschijnlijkheden, en wel me behulp van verdelingsdichheidsfuncies. Hierbij word gebruik gemaak van begrippen ui de waarschijnlijkheidsrekening, waarin de verdelingsdichheidsfuncie/^(.x) van de rondom variabele x\ ) (de random variabele x(f) is de verzameling geallen behorend bij de uikomsen f gebaseerd op de gehele uikomsenruime S) als volg gedefinieerd is: ƒ-(*) = hm x Ax-0 - Pr{x<5cf)<x+Ax}IAx. [24] De grooheid f-(x)a.x geef dus de kans weer da de random variabele x(f) ussen de waarden x en x+ax in lig. Indien nu de random variabele x(j) evens een funcie van de ijd is, zoda de funcie x(/;f) een funcie van de ijd en de uikoms f is, dan onsaa een verzameling van ijdsfuncies, welke een sochasisch proces word genoemd. De realisering x(; 0 ) behorend bij de uikoms f ls 0 dus een ijdsfuncie; he sochasisch proces op een zeker ijdsip 0 moe beschouwd worden als een random variabele x~( 0, f). De waarschijnlijkheidsrekening heef berekking op random variabelen, en kan dus berokken worden op een sochasisch proces op een zeker ijdsip f; in di geval zal de verdelingsdichheidsfuncie dan een funcie van de ijd zijn; er volg: /-(x,f) = lim Pr{x<x(;)<x+Ax)/Ax. [25] Vrijwel alijd worden saionaire sochasische processen beschouwd. Hiervoor geld da de verdelingsdichheidsfuncie onafhankelijk van de ijd is, zoda dan geld: f- x (x,) = fsoc+a) = f-(x). voor alle Ar. [26] Ui deze verdelingsdichheidsfuncie kunnen volgens de waarschijnlijkheidsrekening een aanal belangrijke saisische grooheden worden bepaald, zoals de gemiddelde waarde of mahemaische verwaching *7- r?j = {*(*;?)}= ƒ xf-(x)dx [27] en de gemiddelde kwadraische afwijking of varianie o, 2 - o- 2 = E {[3f(r;f)-Tjj] } = = ƒ [x-v-] 2 f-(x) dx. [28] oo De vergelijkingen [27] en [28] geven alleen saische informaie over he sochasisch proces; dynamische informaie zoals de frequenie-jnhoud of de afhankelijkheid als funcie van de ijd kan worden verkregen ui de gezamenlijke f^(x ls x 2s T): verdelingsdichheidsfuncie /~(*i,*2,t) = lim n M*i <* ('; )<* i +A*!, AJC,-0 AJC,-0 x 2 <x(+t\ï)<x 2 +Ax 2 }/Ax l Ax 2. [29] Evenals in de waarschijnlijkheidsrekening ussen wee random variabelen een correlaiecoëfficiën kan worden gedefinieerd, kan uigaande van he sochasisch proces en ijde en da en ijde +r een drieal begrippen worden gedefinieerd die ies verellen over de afhankelijkheid van he proces op verschillende ijden. Deze begrippen zijn de gemiddelde produkfuncie ~ J J XiX 2 f--(x x,x 1,T)dx l dx 2, [30] de covarianiefuncie C--(T): XX C 3F; (T)= S{pe(f,r)-T?y] [x(r+r;f)-%]} = = ƒ aü oo [xi -r?-] [x 2 -n-]f--(x u x 2 \r)dx l dx 2 en ensloe de correlaiefuncie XX K--(T) [31] %W = <%;(r)/a-'. [32] He karakeriseren van een sochasisch proces door bovensaande saisische eigenschappen geef een beschrijving in he ensemble of uikomsendomein; de saisische grooheden [27] o en me [32] onsaan door uimiddeling over de uikomsen f. In de syseemheorie heef men echer e maken me ijdsfuncies of signalen. He is daarom noodzakelijk om een relaie e leggen ussen de saisische grooheden in he ensembledomein en een beschrijving in he ijdsdomein. Di geschied via de schaingsheorie. Daaroe worden nu eers voor he saionaire sochasische proces x(7;f) de volgende schaers in he ijdsdomein gedefinieerd: 108
1 W - 2r -f a- 2 (f) 1 /^(r;f) = lim 7u- 2r ÊRcfr;» = lim T 2T rv(r+r;r)-fc(f)]dr, 7 fx/r, [33] lim r 2T -r' ƒ P )-<Mf)] 2 *. [34] x(/;f)x(r+r;r)dm35] P(r;f)-f)-(f)] [36] *5F*fr*) = <ömvv<» [37] De schaers [33] o en me [37] kunnen nu in verband gebrach worden me de grooheden [27] o en me [32], zoda daarmee een relaie word gelegd ussen een uimiddeling in he ijdsdomein en in he ensembledomein (ergodiciei). Zo word een saionair sochasisch proces me een gemiddelde waarde 77-: {%)}=T7 ; [38] en me een varianie van de schaer 77- volgens [39] E{[fi-^) - r?-] 2 }= 0 [39] ergodisch me berekking o de gemiddelde waarde genoemd. Wanneer de schaer [33] voldoe aan [38] spreek men van een zuivere schaer; voldoe hij evens aan [39] dan hee deze asympoisch raak. Een dergelijke redenering geld ook voor de schaers [34] o en me [37]; aangeoond kan worden da deze schaers alle asympoisch raak zijn. Indien alle saisische eigenschappen aan deze eisen voldoen spreek men van ergodisch in de mees algemene zin. De ergodische eigenschap van een sochasisch proces vorm de basis van he beschrijven van ijdsfuncies; immers deze leg een verband ussen he beschrijven van een ijdsfuncie in he ijdsdomein en he berekenen van de eigenschappen van een saionair sochasisch proces in he ensembledomein. He onbinden van sochasische signalen in deelsignalen is zonder meer nie zinvol; enerzijds is door he nie aanwezig zijn van een direc verband van he sochasische proces x(\f) als funcie van een direc- e ransformaie onmogelijk, anderzijds zou he ransformeren van slechs één enkele realisering #(?ƒ) van ne sochasische proces x(7;f) op he inerval [0,7] slechs karakerisiek zijn voor die enkele realisering van he proces, en dus zeker nie voor he proces als geheel. Een grooheid die wel een saisische eigenschap van he sochasische proces x(;$) weergeef, is he zogenaamde vermogerisdichheidsspecrum S~{y) 3 welke als de fouriergeransformeerde van de gemiddelde produkfuncie 7?--(r) is gedefinieerd: S--(V) XX K ' = F{R--(r)} = XX + OQ R (T) = F' 1 (S~(v) } = XX v 7 XX OO XX Kjxo e~,2wpt dr, [40] + 00 S--(v) e llm dv. [41] De benaming van de grooheid S-~{v) kan op de volgende wijze verklaard worden. Voor een ergodisch sochasisch proces x(f;f) kan de gemiddelde produkfuncie R^-(T) volgens [42] worden genoeerd: R--M = E{Ê--0r)}= XX XX {lim J- J x{$)x(+t;s)dt}. r-«2t -T [42] Uigaande van de definiie van de fouriergeransformeerde volg dan na enig rekenwerk ui [40]: S (v) XX K ' waarin X(v ) F{R--(T) } = {lim I *«1 2T [43] de fouriergeransformeerde van een realisering van he sochasisch proces x(' ) voorsel: *(*>;?) = ƒ xi;s) e-> 2 1 d = lim f x(;i) e- j2nv d. [44] Me andere woorden, X 0;f) is he ampliudedichheidsspecrum van de realisering Jc(/;f) en \X(v )\ 2 109
is de vermogensdichheid als funcie van de frequenie v\ de grooheid S--(v) is nu he ensemblegemiddelde over de realiseringen f van de gemiddelde vermogensdichheid lim 1 2T X(v )\ 2. Hiermede is duidelijk geworden da de grooheid S--(v) een saisische grooheid in he frequeniedomein van he sochasisch proces x(/;f) is geworden; deze grooheid geef als he ware aan hoe he gemiddelde vermogen van he sochasische proces 3c(r;f) over de verschillende frequenies is verdeeld. Ook voor de specrale dichheid is he van belang om een schaer e definiëren. He lijk logisch deze schaer e definiëren op basis van de gemiddelde produkfuncie: $&0> ) = Hm J k--{t\$)e~ i2 dr= -* * rj+ f A A 1 lim 2T x(;)e-' 2 " p d\ 2. [45] Aan e onen val da deze schaer zuiver is, dus E{$--(v\$)}=S- T {v); echer deze is nie asympoisch raak; de varianie in de schaer (aangenomen da.v(f;f) een normaal verdeeld sochasisch proces is): E{[S^{V'X) ~ E{$ (px)}y } = S\-(v) [46] en verschil dus van nul. Daarom word in de prakijk alijd de zuivere en asympoisch rake schaers 7 -(v;f) gebruik: 5--(.:f) = v- Av S~(a)da v+ Af 2Ai^, me Ai^O. [47] He asympoisch raak zijn word nu verkregen door een uimiddeling van he vermogen van oneindig veel sinusvormige deelsignalen over een eindig frequeniegebied 2A^. Een voorbeeld van de beschrijving van enkele signalen in he ijdsdomein en he frequeniedomein is gegeven in figuur 8. 1.4. Syseembeschrijving Nu de mehodieken om signalen e beschrijven behandeld zijn, kan nader worden ingegaan op de sys (*) periodiek 1 (deerminisisch) A 0 -A /.j 1 «- nie periodiek 2T c«f 2A 4HT arg fase ampliude 1 1 3 5 7 i. nl T T T T ampliude -^ ijdsdomein frequeniedomein 5 ' "TTTT 2T *- v 5 {v) logarimische I schaal 0,1 =- 001 G\01 0,1 1 10 Figuur 8. Voorbeelden van deerminisische, periodieke en nie-periodieke % en sochasische signalen in ijds- en frequen iedomein. eemheorie zelf. He is daaroe zinvol eers een classificaie van sysemen op e sellen, en dus de sysemen in e delen naar hun specifieke eigenschappen. 1.4.1. Indeling van sysemen In abel 3 is een indeling van sysemen gegeven; hier sluien de eigenschappen in de rijen elkaar ui, in de kolommen daarenegen kunnen zij elkaar overlappen: Saisch versus dynamisch: Een saisch syseem is een syseem, waarvan he uigangssignaal y() op he ijdsip e alleen afhang van de grooe van he ingangssignaal u() op he momen e en van he ijdsip c zelf. Bij een dynamisch syseem is he uigangssignaal op he ijdsip / behalve van de grooe van he ingangssignaal u() op di ijdsip ook nog afhankelijk van he verloop van he ingangssignaal over de voorafgaande ijd. Saisch: y( e ) = f{u( e )J e ) [48] Dynamisch: y( c ) = f{y(: 0 j e )J;y{ Q )} [49] waarin de noaie u(: 0 J e ) beeken he signaal u() op he inerval 0 o e, en waarin y( 0 ) de begincondiie word genoemd. Saische sysemen worden door algebraïsche vergelijkingen beschreven, dynamische door differeniaal- of differenievergelijkingen. Geconcenreerd versus verdeeld: Bij een verdeeld syseem zullen de variabelen behalve van de ijd ook van de ruimelijke coördinaen afhangen. De ingangs- 110
Tabel 3. Indeling van sysemen. f[c I u f (: 0, e ),f 1 y( 0 )\-f[c n u II (: Q, e )j;y( 0 )] = syseemindeling elkaar overlappende eigenschappen elkaar uisluiende eigenschappen saisch geconcenreerd consan deerminisisch lineair coninu scalair dynamisch verdeeld ijdsafhankelijk sochasisch nie-lineair discree muiivariabel = /[CfUfi.oJ^-CffUjfi.oJ^Jiï], [52] me andere woorden, he verschil ussen de syseemresponsieop verschillende ingangssignalenc/ü/cr/o,^) en CjfUfj{: 0 J e ) maar bij dezelfde beginvoorwaarde y( 0 ) moe gelijk zijn aan de syseemresponsie op he ingangssignaal c l u l {:^i e )-c u u n (,: {s,* e ) bij de beginvoorwaarde nul. He syseem lineair is in de beginvoorwaarde: uigangsrelaies zullen derhalve door pariële differeniaal- of differenievergelijkingen worden beschreven. Bij een geconcenreerd syseem zijn de variabelen alleen funcies van de ijd, zij worden door gewone differeniaal- of differenievergelijkingen beschreven. Consan versus ijdsafhankelijk: Een syseem word beschreven door ingangs-uigangsrelaies, waarvan de srucuur en de syseemparameers bepalend zijn voor he syseemgedrag. Zijn nu deze syseemparameers ijdsonafhankelijk dan spreek men van consane sysemen, zijn deze parameers ijdsafhankelijk dan spreek men van ijdsajhankelijke sysemen. Voor een ijdsafhankelijk syseem is de syseemresponsie y( e ) derhalve: y( c ) = J\u(: 0 J c )J;y( 0 )]: voor een consan syseem geld y( e ) = f[u(: 0. (,)\y( 0 )]. [50] [51] f[u(: 0 j e )j;c I y I ( 0 )]-f[u(: 0 J e )J;c II y II ( 0 )] = - flo,:c f y I ( 0 )^c II y If ( 0 )], [53] me andere woorden, he verschil ussen de syseemresponsies op hezelfde ingangssignaal u(: 0, e ) maar bij verschillende beginvoorwaarden C7y 7 (f 0 ), respecievelijk c n yfj( 0 ) moe gelijk zijn aan de syseemresponsie op he ingangssignaal nul bij de beginvoorwaarde CfVji^ )-e II y II ( 0 ). Aan bovengenoemde linearieiseigenschappen van een lineair syseem dien e worden voldaan voor alle v(/ 0 ), u(: 0 J e ), / 0, e en c. Een syseem da nie aan de linearieiseigenschappen voldoe, word per definiie een nie-lineair syseem genoemd. - Coninu versus discree: Coninue sysemen zijn sysemen waarvan de in- en uigangssignalen coninu zijn; zijn deze echer bemonserd en dus op een aanal discree ijdsippen bekend, dan spreek men van discree sysemen. Coninue sysemen worden beschreven door differeniaalvergelijkingen, discree door differenievergelijkingen. Scalair versus muiivariabel: Een scalair syseem is een syseem me één ingangssignaal en één uigangssignaal; een syseem me meerdere ingangs- en/of meerdere uigangssignalen word een muiivariabel syseem genoemd (figuur 9). Teneinde een overzichelijke behandeling van mulivariabele sysemen mogelijk e maken worden vaak vecoriële grooheden ingevoerd. De beschrijving van een muiivariabel syseem me r ingangssignalen en m uigangssignalen, Opgemerk moe worden da, alhoewel minder voorkomend, een dergelijk onderscheid ook gemaak kan worden en aanzien van de srucuur van een syseem. - Deerminisisch versus sochasisch: Een deerminisisch syseem is een syseem waarvan de srucuur en de syseemparameers explicie als funcie van de ijd / gedefinieerd zijn; van een sochasisch syseem daarenegen kunnen srucuur en syseemparameers alleen in ermen van kansen worden bepaald. - Lineair versus nie-lineair: Sel da de responsie Ul() y,() van een syseem me begincondiie y f ( 0 ) en ingangssignaal u I (: 0 J e ) gelijk is aan y f { e ), en da de res u() scalair syseem y() u() muiivariabel syseem y() ponsie op begincondiie.v//(/ 0 ) en ingangs u f/ (: 0 J e ) elijk aan y f /( e ) is, dan word een syseem lineair genoemd indien geld da: - He syseem lineair is in he ingangssignaal: Figuur 9. Schemaische voorselling van een scalair en muiivariabel syseem. 111
yd e ) = = fi[ui(:o, e ) i... i u r (: 0i e ),;y 1 ( 0 )...y m ( 0 )l ö(. j o impulsfuncie h(: 0 ) impuls - responsie y m (^) =,, = f m [wj (: 0, e ),...,u r (: 0 e ),,yi( 0 )...y m (f 0 )L Figuur 10. De impulsresponsie. [54] kan dan korweg als volg worden genoeerd: y( e ) = f[u(: 0 J e ),;y( 0 )]. [55] Deze schrijfwijze is serk verbonden me de laer e behandelen oesandsbeschrijving. Een speciale klasse van dynamische sysemen word nog gevormd door de consane discree sysemen. Deze sysemen worden gewoonlijk auomaen genoemd. Zij zijn verwan me grammaica's en worden apar behandeld in 2. Van de vele hierboven genoemde indelingen is die in lineaire en nie-lineaire wel de mees belangrijke. Voorde lineaire sysemen is een gesloen analyische beschrijving e geven; voor de nie-lineaire in he algemeen nie. di zal van geval o geval verschillen. He is daarom wenselijk eers nader in e gaan op de klasse van de lineaire sysemen. 1.4.2. Lineaire sysemen De linearieiseigenschappen [52] en [53] vormen he zogenaamde superposiiebeginsel', de inerpreaie hiervan is uiermae belangrijk. He superposiiebeginsel zeg immers da de responsie van een lineaire combinaie van deelsignalen gelijk is aan dezelfde lineaire combinaie van de responsies van de deelsignalen (figuur 7); di geld zowel en aanzien van he ingangssignaal, als en aanzien van de begin condiies. He superposiiebeginsel oon aan da elk lineair syseem gekenmerk kan worden door slechs één funcie: de impulsfuncie b{- Q ) welke resuleer in de impulsresponsie h(, 0 ). 1.4.2.1. Beschrijving door middel van de impulsresponsie De syseemresponsie kan in principe worden bepaald door aan een syseem een impuls aan e bieden; in de prakijk zal di nie zonder meer mogelijk zijn daar een impuls oneindig smal en oneindig hoog is. Theoreisch leid he echer o een goede beschrijvingswijze in he ijdsdomein (figuur 10). Ui de definiie van causale sysemen volg da de impulsresponsie h(; o )=0 voor /<r 0 : is he syseem evens consan dan zal gelden da h(; 0 )=h( 0 ). Een belangrijke eigenschap van de impulsfuncie luid: ui) = j u{r)b{-r)dr, [56] OO of me andere woorden he ingangssignaal u() kan worden gedach e zijn samengeseld ui een sommaie van impulsfuncies me oppervlake u(r)dr. Voor een lineair consan syseem moe dan op grond van he superposiiebeginsel gelden da: y() = u(t)h(-t)dr [57] C«i Beperk men zich o causale sysemen dan word di: on y() = ƒ u(r)h{-t)dr = ƒ u{-r)h{j)dr = OC = u()*h(). [58] Een vergelijking zoals vergelijking [58] word een convoluie-inegraal genoemd. Volgens vergelijking [22] gaa deze inegraalvergelijking na ransformaie over in een produk van U(s) en H{s). Me behulp van de vergelijkingen [57] en [58] is nu voor elk willekeurig deerminisisch ingangssignaal een syseembeschrijving op basis van de impulsresponsie e bepalen; immers ui meing van y() en ui) is door he oplossen van de inegraalvergelijking de impulsresponsie e bepalen. Voor he geval da de ingangssignalen sochasisch zijn kunnen bovensaande berekkingen nie zonder meer gebruik worden; immers de funcie u(&) is nie als funcie van de ijd bekend. Echer uigaande van vergelijking [57] geld voor een lineair consan syseem me ingangssignaal w(f;f) da: y(r,i) = ƒ Ïï(-d;ï)h(0)d0. [59] Door vermenigvuldiging van beide leden van vergelijking [59] me ïï{-t; ) en door vervolgens de ver- 112
wachingswaarde hiervan op e sellen, volg in overeensemming me de definiie van de gemiddelde produkfuncie [30] da: GO %(T) = ƒ R--(T-d)h(d)dd = = R (T)*h(T), [60] waarin de funcie Rjjyir) de gemiddelde kruisprodukfuncie word genoemd: R (T) = E{üU;ï)7(+T;{) } = oo = ƒ CD De funcie R--(T) uyfüy(u,y,r)du dy. [61] geef derhalve he verband weer ussen de sochasische signalen ü(f;f) en J(J+r;$) als funcie van he ijdsverschil r. Op dezelfde wijze val af e leiden da R-- = R--(T)*II(T), y ** zoda ensloe volg: Kyy(T) = R-j;(T)*h(-T)*h(T). [62] R Ü«W R 3yW R yy (T). Figuur 11. Syseembeschrijving me behulp van de impulsresponsie voor deerminisische en sochasische signalen. 1.4.2.2. Beschrijving door middel van de differeniaalvergelijking He bepalen van de syseemresponsie y() kan eveneens geschieden door he oplossen van de differeniaalvergelijkingdie he verband ussen ingangssignaal en uigangssignaal weergeef. Lineaire sysemen worden door een differeniaalvergelijking van de volgende algemene vorm weergegeven: word de orde van he syseem genoemd. De oplossing van de differeniaalvergelijking lever de oale responsie; voor f()=0 word de vrije responsie verkregen en voor he geval da de begincondiies nul zijn volg de gedwongen responsie. De mees universele mehode om de differeniaalvergelijking op e lossen maak gebruik van de laplaceransformaie. De berekening verloop kor samengeva als volg: Sel de funcie f()=q, en bepaal de laplacegeransformeerde van vergelijking [63]; hierui volg de laplacegeransformeerde Y(s), die na erugransformaie de gevraagde vrije responsie van he syseem lever. Voor f() =0, doch me begincondiies gelijk aan nul volg na laplaceransformaie van vergelijking [63] da: [a n s n +a n _ 1 s n - 1 +...+a 1 s+a 0 ] Y(s) = = ib m s m +b m _ 1 s m-l +...+b 1 s+b 0 ]U(s). [64] Ui [64] is nu de responsie v(r) door erugransformaie van Y(s) e berekenen. De oale responsie is door opelling van de vrije en de gedwongen responsie e verkrijgen. Veelal word de responsie ook op andere wijze gesplis, namelijk in he inschakelverschijnsel en in de saionaire oplossing. Onder he inschakelverschijnsel word versaan he deel van de oale responsie da naar nul gaa voor f->«; me de saionaire oplossing word bedoeld da deel da nie naar nul gaa voor r->-oo. Tensloe word ingegaan op he verband ussen de syseembeschrijving me behulp van de impulsresponsie en die welke volg ui he oplossen van de differeniaalvergelijking. Ui de vergelijking [58] volg voor een causaal lineair consan syseem me ingangssignaal u() da a n d"y() d" + a n-l 77-1 d n - l y() d n-l 4-... + ai dy() d + y() = f u(-t)h(t) dr, [65] o + a 0 y() = f (f) = U m T... T d m + bl MD + M(0. [63] d Bij ijdsafhankelijke sysemen zijn de coëfficiënen a- (Z=0,l,..n) en bj (/=0,l,..,m) funcies van de ijd; bij consane sysemen zijn deze consan. Voor fysische sysemen zal in he algemeen m<n zijn; n zoda na laplaceransformaie geld, gebruikmakend van vergelijking [22]: Y(s) =H{s)U(s), [66] waarin H(s) de laplacegeransformeerde van h(f) is. De funcie H{s) word de overbrengingsverhouding genoemd. Ui vergelijking [64] volg nu me berekking o de gedwongen responsie, da indien de vergelijkingen [64] en [66] ideniek zijn: 113
H(s) =. Y(s),m-l b n s m -\-b m _ ls m - 1 +...+& {s+b 0 f /? s"+f, / _ ].s" l +...+#, S+f 0 [67] waarin de polynoom a n s n +a J1 _ l s' 77-1 +...+a, s+a 0 de karakerisieke polynoom word genoemd. Aangeoond kan worden da de vergelijking [67] inderdaad juis is, zoda voor de overbrengingsverhouding dus geld: H(s)= L{h()} = ƒ h() e~ s d. [68] De gevolgde gedachengang kan ook gebaseerd worden op de fourierransformaie, zij he da dan de begincondiies buien beschouwing worden gelaen. Meesal word de fourierransformaie gebruik voor ingangssignalen die reeds ver in he verleden begonnen zijn (r->-~). Er volg dan: me: Y(v) = H(v) U(v\ [69] H{v) = F{h() } = ƒ h()e-i 27W 'd [70] *> 1.4.2.3. Beschrijving door middel van de overbrengingsverhouding Me de formules [66] en [69] is in feie de beschrijving van een lineair consan causaal syseem me deerminisische ingangssignalen gegeven (figuur 12); deze beschrijving is in he frequeniedomein. De beschrijving van sochasische signalen is naar analogie De overbrengingsverhouding H{v) kan ook worden opgeva als de frequenieresponsie, verkregen door de responsie op een sinusvormig ingangssignaal u()=acos2-nv. Afgeleid kan worden da ui he quoiën van de ampliudes van he ingangssignaal en he door he lineaire consane syseem gegenereerde sinusvormige uigangssignaal de H{v)\ word verkregen, erwijl he faseverschil ussen ingangs- en uigangssignaal gelijk is aan he arg H{v). 1.4.2.4. Sabiliei De sabiliei van een syseem word bepaald door de responsie op de ingangssignalen. Uigaande van de impulsresponsie kan deze als volg gedefinieerd worden: Een syseem is sabiel als zijn impulsresponsie naar nul gaa voor /->«. Uigaande van h() = L- l {H(s)} = b s m,,/h-l +b m _ l s, "- l +...+b l s+s 0 a n s n +a n _ ys n l +... -\~a i s -\~a 0 }. [73] volg da de worels van de karakerisieke vergelijking a n s" +a r _! s n +...+«! s+a 0 = = a n (s~s l ) {s-s 2 )... (s-s n ') = 0 [74] een negaief reëel deel moeen bezien: R c {s i )=\ l <0 voor /=1,2,..., //. U(v) 4HM Y(,) S ZZ {v] Hï M S -E?y -(v) (v) Figuur 12. Beschrijvingswijzc van lineaire causale consane sysemen me behulp van overbreugingsverhoudingen. van vergelijking [22] direc door fourierransformaie van de vergelijkingen [60] en [62] af e leiden; er volg: S ( ) = ƒ/( ) s-(p), [71] S yy( p) = S--\v) H{-v) = S--{v)H(v)H{- v) = = \H{v)\ 2 S T -{v).[12\ 1.4.2.5. Samengeselde sysemen Reeds in de inleiding is naar voren gekomen da de keuze van de syseemgrens arbirair is. Vaak vormen een aanal subsysemen ezamen een nieuw syseem. Me behulp van een blokdiagram is veelal een overzichelijke srucuur van dergelijke sysemen samengeselde e verkrijgen. Een aanal verschillende srucuren is hierbij e onderkennen. Cascadeschakeling van subsysemen: bij de cascade- of serieschakeling vorm he uigangssignaal van he eerse subsyseem he ingangssignaal van he weede (figuur 13). Eenvoudig val af e leiden da voor he samengeselde syseem //(/) geld: h() = h ] ()*h 2 () [75] Men dien zich hierbij e realiseren da de vergelijking [71] zowel fase- als ampliude-informaie van H{v) geef, erwijl ui de vergelijking [72] slechs ampliude-informaie verkregen word. //(.v) = H l (s)il 2 (s). [76] - Parallelschakeling van subsysemen: bij de parallelschakeling van subsysemen word een ingangssig- 114
u() U,(s) /()»«J) Y^sJrU^s) y 2 () Y 2 (s) ^() U,(s) MO-h^)*^») H(s)-H 1 (s)h 2 («) Figuur 13. Cascadeschakeling van subsysemen. y 2 () Y 2 () naai aan beide sysemen egelijk oegevoerd, waarna de responsies bij elkaar worden opgeeld (figuur 14). Ook hier val eenvoudig af e leiden da: h{)= MO+MO. H(s)= u() U(s) 11,(0 1 H 1 (s) 1 h 2 () H 2 (s) H l (s)+h 2 (s). y/) V s ' J * y 2 (), Y 2 (s) i yfo-y^f+y^) u( YshYJsï+YjW u(s) hjrh^o+h^) Figuur 14. Parallelschakeling van subsysemen. y() Y(s) [77] [78] Teruggekoppelde sysemen: bij de eruggekoppelde sysemen word he uigangssignaal y x () van he syseem H x (s) in de zogenaamde recheloorgaande baan eruggevoerd via de erugkoppelbaan naar de ingang (figuur 15). Zonder veel rekenwerk kan nu worden afgeleid da: H{s) = H) = L~ l { Hi(s) 1+//,W 2 (5) //, (s) [79] 1+ff, (j)ff 2 <W } [80] zij he een zeer belangrijke, bezi ui, zonder daarmee ook maar één enkele eigenschap vas e leggen. He gedrag van nie-lineaire sysemen word beschreven door nie-lineaire algebraïsche, differeniaal- of differenievergelijkingen. Zelden kunnen deze analyisch worden opgelos; een algemeen geldende oplossingsmehodiek is dan ook nie e verwachen. In de syseemheorie is men echer vaak he mees geïneresseerd in he gedrag van een syseem in één bepaald werkpun, zoda door linearisaie rond een werkpun een beschrijving gevonden kan worden: er volg een lineaire beschrijving van he nie-lineaire syseem in een zeker gebied rond he werkpun. Hiermee is de weg geopend om de in de voorgaande paragrafen onwikkelde heorie van de lineaire sysemen zinvol oe e passen. Bij een nadere besudering van he gedrag van nielineaire sysemen val een aanal punen direc op: Allereers blijk da he gedrag van he syseem in serke mae afhang van he ingangssignaal. - Verder blijk da he syseem de eigenschap heef hogere harmonischen e genereren, soms blijk da de oegevoerde grondharmonische zelfs nie meer in he uigangssignaal voorkom. 1.4.3.1. Linearisaie van consane saische sysemen Linearisaie van een nie-lineair syseem leid o een lineaire beschrijving rond een werkpun van di nielineaire syseem. Sel da gegeven is he consane saische syseem y() = g{«(0}, [81] waarin de funcie gju(f)} een nie-lineaire, coninue en differenieerbare funcie voorsel, dan geld rond he werkpun g\r( u \ volgens de aylorreeks: u() u"fcf e() f E(s) d() 0(s) h,() H,(s) h-() H 2 (s) y() Y(s) u() U(s) ^^ * ^^ w H(')- hfo-l'^fs)} Figuur 15. Een egengekoppeld syseem. H,(s) UH 1 (s)h 2 (s) y() Y(s) ^ W dg (Pg y() = s{ri u } + [wo-tfcj+l du V du 2 u ["(0-Ï?J 2 +..., [82] zoda na verwaarlozing van de hogere machen geld: X 1.4.3. Nie-lineaire sysemen Zoals reeds bij he onderscheid ussen lineaire en nie-lineaire sysemen is vermeld, is een nie-lineair syseem een syseem da nie lineair is, dus da nie aan he superposiiebeginsel voldoe. Deze definiie is zeer armzalig; immers deze definiie slui de mogelijkheid da een syseem een bepaalde eigenschap, y() = g{%) + dg_ du % [«(Hl [83] Me andere woorden ussen de kleine variaies rond he werkpun g{n u } besaa de relaie: *&?«) = dg_ [84] du Vu 115
Opgemerk moe worden da de verserkingsfacor k(r\ u ) een funcie is van he werkpun g(r} u ) van de nie-lineariei, of, berokken op he ingangssignaal, van de gemiddelde waarde rj u van u(). Deze linearisaieechniek is echer alleen zinvol als de variaies in he ingangssignaal u{) rondom zijn gemiddelde r) u nie e groo zijn, zoals in egengekoppelde of gesloen sysemen. Word echer een nie-egengekoppeld of open syseem beschouwd dan zullen de variaies rond TJ U vaak e groo zijn om een dergelijke vereenvoudiging e mogen doorvoeren. In da geval kan he zinvol zijn van de mehode van de saisische linearisaie of de mehode van Booon gebruik e maken. Deze mehode berus op de volgende gedachengang. Verondersel da he ingangssignaal ïï(;$) een gemiddelde waarde 77-=0 bezi, en da he nie-lineaire syseem vervangen kan worden door een equivalene verserkingsfacor k e (0.o-), en dus dooreen lineair consan syseem, dan zal door minimalisaie van he verschil ussen he uigangssignaal yi'&zzgiui'jï)} van he nie-lineaire saische syseem en he uigangssignaal v"*(/;f )=k e ïï(;$) van he vervangende lineaire syseem volgens een kwadraisch crierium de bes mogelijke equivalene verserkingsfacor worden verkregen (figuur 16). Er val aan e onen da door berekening van: (:) me-lineair syseem lineair syseem y(.?) _ * y (;l ;r^, i(.{) Figuur 16. Saisische linearisaie van een consan saisch nie-lineair syseem. 3 dk E{[g{ïï(;$)~k e ïï()] 2 }= 0 [85] de volgende eenvoudige berekking voor k e (0,o u ) geld: k e (0,o~) = 1 o, 2 - «J 00 " g(u)f~(u)du K* ƒ u 2 f-(u)du C" " g(u)fü (") w du - [86] Een aanal opmerkingen moe hier gemaak worden. - Ui de vergelijking [86] blijk da de verkregen verserkingsfacor k e (0,o~) een funcie is van de varianie o ; in feie moe zelfs de verdelingsdichheidsfuncie fjj(u) bekend zijn bij de berekening van fc e (0,a-). De hier vermelde mehode kan, zij he da de resulaen aanmerkelijk ingewikkelder worden, ook oegepas worden voor ingangssignalen ü(f;f) waarvan 77 =7^0. Gezien he fei da he lineaire vervangende syseem een verserkingsfacor is, kan deze mehode alleen voor nie-lineaire consane saische sysemen zinvol worden oegepas. De hier gevolgde mehodiek er verkrijging van de opimale verserkingsfacor veroon groe overeenkoms me die welke gevolgd is bij he onbinden van signalen in deelsignalen; men vergelijke daaroe de figuren 6 en 16. 1.4.3.2. Beschrijvende funciemehode Voor de beschrijving van nie-lineaire consane dynamische sysemen word gebruik gemaak van de beschrijvende funciemehode. Deze berus op he fei da he e beschrijven nie-lineaire syseem word beschreven door een lineair dynamisch syseem, gekarakeriseerd door een verserkingsfacor G(v)\ en een fase-draaiing arg G(v). Wanneer aan een nielineair syseem een ingangssignaal u{)=aco^l'nv word aangeboden kan he uigangssignaal me behulp van de fourierreeks [6] worden gesplis in sinusvormige deelsignalen. Ui een vergelijking van he ingangssignaal me de grondharmonische, de eerse erm van de fourierreeks van he uigangssignaal, kan nu een overbrengingsverhouding worden gedefinieerd. de beschrijvende funcie. Ook deze mehodiek geef een beschrijving rond een bepaald werkpun, en moe gezien worden als een linearisaiemehode. Van belang is om op e merken da er geen lineair verband ussen de hogere harmonischen, de verdere ermen van de fourierrecksonwikkeling, van he uigangssignaal y() en he ingangssignaal ui) besaa. De hierboven geschese mehode is ook oepasbaar voor sochasische signalen: he e beschrijven syseem word gedach e worden beschreven door een lineair syseem waar aan de uigang een signaal n( ;J), de resruis, word oegevoegd (figuur 17). De resruis is dus he verschil ussen de uigangssigu(:j nie- lineair syseem y(;r) ü(;0 n(.() Figuur 1 7. De beschrijvende funcie: een lineaire beschrijving van een nie-lineair consan dynamisch syseem. 116