Communicatietheorie Hoofdstuk 1 : Signalen

Transcriptie

1 Communicaieheorie Hoofdsuk : Signalen "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

2 Naslagwerk - Appendi : basisprincipes van signaalverwerking - Appendi : basisprincipes van probabilieisheorie - Appendi 3: basisprincipes van compuersimulaies "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

3 Signalen?? (digiale) informaie verva in uigezonden signaal ransmissiekanaal voeg soorsignaal (ruis, inerferenie) oe onvanger eraheer (digiale) informaie ui onvangen signaal Inerpreeer signalen als in de ijd flucuerende fysische grooheden (voorbeeld : elekrische spanning als fysische grooheid) Fysische signalen zijn reëelwaardig He is echer handig sommige reëelwaardige fysische signalen voor e sellen door equivalene complewaardige signalen signalen in de cursus zijn (meesal) complewaardig "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

4 Signalen : basisbegrippen "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

5 Coninue-ijd Fourierransformaie X(f ) + = () ep( jπf) d (FT) () + = X(f )ep(jπf) df (IFT) () : coninue-ijd signaal ep(jπf) : coninue ijd [s] - < < + f : mahemaische frequenie [Hz] - < f < + πf f > : draai naar links f < : draai naar rechs Noaie : () X(f) () en X(f) vormen een FT-ransformpaar "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

6 Coninue-ijd Fourierransformaie Belangrijke eigenschappen (bewijs ze zelf!) als () X(f), dan geld * () ( τ) ()e jπf X * ( f ) X(f )e jπfτ X(f F) () reëel X(f) = X * (-f) Parseval : + ()y * ()d + * = X(f )Y (f ) df "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6

7 Discree-ijd Fourierransformaie X(e jπft ) = + k= (k)e jπfkt (DTFT) (k) = T / T X(e jπft )e jπfkt periodiek in f me periode /T inegraie over een periode /T df (IDTFT) {(k)} : discree-ijd signaal k (geheel) : discree ijd - < k < + T [s]: inerval ussen opeenvolgende ijdsippen k en k+ f : mahemaische frequenie [Hz] - < f < + Noaie : (k) X(e jπft ) (k) en X(e jπft ) vormen een DTFT-ransformpaar "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 7

8 Discree-ijd Fourierransformaie Belangrijke eigenschappen (bewijs ze zelf!) als (k) X(e jπft ), dan geld * (k) (k m) (k)e X jπfkt * (e jπft X(e X(e ) jπft )e jπfmt jπ(f F)T ) (k) reëel X(e jπft ) = X * (e -jπft ) Parseval : + k= (k)y * (k) = T / T jπft * jπft ( ) Y ( e ) X e df "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 8

9 Delafuncies Kronecker-delafunie δ(k) δ(k) = k k = (k ) = (k) δ(k k ) k als k sommaie-inerval δ(k) DTFT IDTFT Dirac-delafuncie δ() δ() ε + = δ ()d = ε = ( ) = () δ( ) d als inegraie-inerval δ() FT IFT (alle ε >, ε > ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 9

10 Discree-ijd LTI filer {δ(k)} LTI {h(k)} {h(k)} : impulsanwoord H(e jπft ) : ransferfuncie {(k)} LTI {y(k)} y(k) = + ( h(m) (m) )(k) = h(k m)(m) = m= + m= (k m)h(m) (convoluie) Y(e jπft ) = H(e jπft )X(e jπft ) vecornoaie : y = H, me y k = y(k), k = (k), H k,m = h(k-m) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

11 Discree-ijd LTI filer sel h(k) = voor k < -L en k > L y(k) = L m= L (k m)h(m) (k+l ) (k+) (k) (k-) D D D D D D (k-l ) h(-l ) h(-) h() h() h(l ) X... X X X... X Σ nie-causaal y(k) D : verraging over ijd T causaal "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

12 Coninue-ijd LTI filer δ() LTI h() h() : impulsanwoord H(f) : ransferfuncie () LTI y() y() + ( h(u) (u) )() = h( u)(u)du = = ( u)h(u) du Y (f ) = H(f )X(f ) + (convoluie) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

13 Complee laagdoorlaavoorselling van reëel banddoorlaasignaal BP () is reëel banddoorlaasignaal, me X BP (f) = voor f -f > B en B < f BP () kan voorgeseld worden als BP () = = = Re[ R ()e jπf ()e + () cos(πf ) LP LP jπf ] * LP ()e I jπf ()sin(πf ) LP () = R () + j I () is comple laagdoorlaasignaal, me X LP (f) = voor f > B * In frequeniedomein : XBP(f ) = XLP(f f) + XLP( f f) Voorbeeld : BP() = A cos(πf + θ) jθ LP() = Ae fasorvoorselling jθ jπf = A Re[e e ] van sinusoïde "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

14 Complee laagdoorlaavoorselling van reëel banddoorlaasignaal * XBP(f ) = XLP(f f) + XLP( f f) X LP (f ) = X BP (f + f ) Π LP (f ) X LP (f) Π LP (f) : heef reëel impulsanwoord π LP () * XLP( f f) X * LP ( f f ) -B B -f X BP (f) X (f f ) X BP (f + f) LP f f f Π LP (f ) = Π * LP ( f ) Π LP (f) =, f < B Π LP (f) =, f > f -B X LP (f ) Π LP (f) -f f meer hierover in hoofdsuk 4 "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

15 Probabilieisheorie : oevalsgrooheden, oevalsprocessen "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

16 Probabilieisheorie?? Verschillende grooheden in de elecommunicaie zijn afhankelijk van he oeval, random, sochasisch vanui he sandpun van de onvanger : - de e versuren informaie, he uigezonden signaal - soorsignalen (ruis, inerferenie) Deze grooheden worden gemodelleerd aan de hand van probabilieisheorie "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6

17 Toevalsgrooheden (TGn) Toevalseperimen resulaa ω, in resulaenruime Ω Ω : eindige verzameling, afelbaar oneindige verzameling, of coninuüm Toevalsgrooheden (TGn) ω (X (ω), X (ω),..., X n (ω)) : hang af van oeval (resulaa ω) Discree TGn : nemen eindig (of afelbaar oneindig) aanal waarden aan Coninue TGn : nemen een coninuüm aan waarden aan TGn zijn reëel- of complewaardig "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 7

18 TGn : voorbeeld Ω = {,,..., 36} X n (ω) : opbrengs n-de speler "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 8

19 Sochasische signalen (TPn) Toevalseperimen resulaa ω, in resulaenruime Ω Ω : eindige verzameling, afelbaar oneindige verzameling, of coninuüm Sochasisch signaal is een oevalsproces (TP) ω X(;ω) funcie van de ijd () en van he oeval (ω) bij gegeven ω : X(; ω) is een eemplaar van he TP (funcie van ) ensemble : verzameling van alle mogelijke eemplaren bij gegeven : X(; ω) is een TG (funcie van ω) (ijd kan ook discree zijn : {X(k;ω)}) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 9

20 Sochasische signalen (TPn) Ensemble van eemplaren van TP X(;ω ) X(;ω ) X(;ω 3 ) X(;ω 4 ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

21 Sochasische signalen : voorbeeld muziek gegenereerd door he oeval pianoklavier : 36 (Z) + 5 (W) = 88 oesen duurijden :, /, /4, /8, /6 Toevalseperimen : - schrijf alle combinaies van een muzieknoo en zijn duurijd op briefjes (88 noen 5 duurijden = 44 briefjes) - rek K keer willekeurig een briefje (gerokken briefje erugleggen) - speel de combinaie van K muzieknoen op de piano 44 K mogelijke combinaies van K muzieknoen "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

22 Sochasische signalen : voorbeeld M-PAM (M = m ) X(;ω) = a (ω)p r () a (ω) {-(M-), -(M-3),..., (M-3), (M-) } X(;ω) 4 ω = (,) 3 ω = (,) ω = (,) ω = (,) /T (voorselling van m bis) M = 4 (m=) : bis a -3-3 di ensemble besaa ui slechs 4 eemplaren "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen

23 Sochasische signalen : voorbeeld 3 wie Gaussiaanse ruis (soorsignaal) ( eemplaren ui een coninuüm aan eemplaren) X(;ω) X(;ω) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

24 Disribuies van TGn Karakeriseren van wee TGn X(ω) en Y(ω) X(ω) en Y(ω) discree (nemen eindig of afelbaar oneindig aanal (reële of complee) waarden aan) : gezamenlijke massafuncie p X,Y (,y) p X,Y (,y) = Pr[X(ω) =, Y(ω) = y] X(ω) en Y(ω) coninu : gezamenlijke densiei f X,Y (,y) X(ω) en Y(ω) reëelwaardig : f X,Y (,y) = Pr[X(ω) (, +d), Y(ω) (y, y+dy)]/ ddy X(ω) en Y(ω) complewaardig : X(ω) = X R (ω) + jx I (ω), Y(ω) = Y R (ω) + jy I (ω) f X,Y ( R + j I, y R + jy I ) = f X R,X I,Y R,Y I ( R, I, y R, y I ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

25 Disribuies van TPn Karakerisaie van X(;ω) op ijdsippen en p X (, ;, ) : massafuncie van (X( ;ω), X( ; ω)) f X (, ;, ) : densiei van (X( ;ω), X( ; ω)) (discree TP) (coninu TP) Karakerisaie van X(;ω) en Y(; ω) op respecieve ijdsippen en p X,Y (,y;, ) = massafuncie van (X( ;ω), Y( ; ω)) f X,Y (,y;, ) = densiei van (X( ;ω), Y( ; ω)) (discree TPn) (coninue TPn) (gelijkaardige definiies voor discree-ijd TPn) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

26 Verwachingswaarde van een funcie van TPn E[g(X( ; ω),x( ; ω)] =, g( g(, )f, X )p ( X, ( ;,, ;, )d ) d (discree TP) (coninu TP) E[g(X( ; ω),y( ; ω)] =,y g(, y)p g(, y)f X,Y X,Y (, y; (, y;,, ) )ddy (discree TPn) (coninue TPn) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6

27 Momen van eerse orde saisisch gemiddelde (verwachingswaarde) µ () = E[X(; ω)] X(;ω ) X(;ω ) X(;ω 3 ) X X(;ω 4 ) µ X ( ) =E[X( ;ω)] "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 7

28 Momen van eerse orde X(; ω) = X(; ω) µ X () flucuaie van X(;ω).o.v. verwachingswaarde µ X () X(;ω) onbinden als X(; ω) = µ X () + X(; ω) me E [ X(; ω)] = voorbeeld : saisisch gemiddelde van gefilerd signaal Y(; ω) = + h( u) µ X (u)du + + µ ) = E[Y(; ω)] = h( u) µ (u) du Y ( X + h( u) X(u; ω) du + + E h( u) X(u; ω)du = h( u)e[ X(u; ω)]du = X(; ω ) h() Y(; ω) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 8

29 Momenen van weede orde saisische auocorrelaiefuncie : R X (u,) = E[X(+u;ω)X * (;ω)] saisische kruiscorrelaiefuncie : R X,Y (u,) = E[X(+u;ω)Y * (;ω)] saisische auocovarianiefuncie : Cov X (u,) = E[ X(+u;ω) X * (;ω)] saisische kruiscovarianiefuncie : Cov X,Y (u,) = E[ X(+u;ω) Y * (;ω)] X(;ω) = X(;ω) µ X () Y(;ω) = Y(;ω) µ Y () varianie : σ ) = E[ X(; ω) ] Cov (,) X ( = X "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 9

30 Momenen van weede orde X(;ω ) X(;ω ) X(;ω 3 ) X(;ω 4 ) +u R X (u,) = E[X(+u;ω)X * (;ω)] "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

31 Saionaire oevalsprocessen X(;ω) is saionair wanneer X(;ω) en X(-τ;ω) dezelfde saisische eigenschappen hebben, ongeach de waarde van τ. µ ( = σ onafhankelijk van ijdsip X ) = µ X σx() X R X (u,) = R X (u) Cov X (u,) = Cov X (u) enkel afhankelijk van ijdverschil u X(;ω) en Y(;ω) zijn gezamenlijk saionair wanneer (X(;ω), Y(;ω)) en (X(-τ;ω), Y(-τ;ω)) dezelfde saisische eigenschappen hebben, ongeach de waarde van τ. R X,Y (u,) = R X,Y (u) Cov X,Y (u,) = Cov X,Y (u) enkel afhankelijk van ijdverschil u "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

32 Saionaire oevalsprocessen X(;ω ) X(;ω ) X(;ω 3 ) X(;ω 4 ) +u +u µ X = E[X(;ω)] en R X (u) = E[X(+u;ω)X * (;ω)] : onafh. van "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 3

33 Saionaire oevalsprocessen Inerpreaie van varianie σ = E[ X(; ω) ] X µ X σ = σ = X(;ω) X(;ω) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 33

34 Saionaire oevalsprocessen Inerpreaie van saisische auocorrelaiefunie E[(X(;ω)-X(-u;ω)) ] = (R X ()-R X (u)) ( R X (u) R X ()) (X(;ω) reëelwaardig) R X (u) geef in welke mae X(-u;ω) gelijk op X(;ω) Voor welke u geld E[(X(;ω)-X(-u;ω)) ] εe[x (;ω)]? (R X ()-R X (u)) εr X () dus ( - ε/)r X () R X (u) R X () u u me u kleinse waarde die voldoe aan R X (u ) = ( - ε/)r X () "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 34

35 Saionaire oevalsprocessen Inerpreaie van saisische auocorrelaiefunie voorbeeld : R (u) = ep(- u /τ) = τln( ( ε ) ) τ u.9 ε/.8.7 R X (u) τ =.3. τ = u "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 35

36 Saionaire oevalsprocessen Inerpreaie van saisische auocorrelaiefunie R (u) = ep(-u/τ) (snellere variaies) (ragere variaies) 4 4 τ = τ = 3 3 X(;ω) X(;ω) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 36

37 Signalen me eindige energie "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 37

38 Energie deerminisisch signaal signaal : () X(f) energie : E + = () d opda E zou eindig zijn, moe () uiserven voor groe (() = Acos(πf +θ) heef dus een oneindig groe energie) Berekening in frequeniedomain : E + = X(f ) df (wegens Parseval) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 38

39 Energie sochasisch signaal signaal : (;ω) X(f;ω) Saisisch gemiddelde van energie van een eemplaar E = E (; ω) d = E[ (; ω) ]d = R (,) d opda E zou eindig zijn, moe R (,) uiserven voor groe saionair TP heef oneindige energie (R (,) = R () serf nie ui) Berekening in frequeniedomein : E + + = E X(f; ω) df = E[ X(f; ω) ] df "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 39

40 Energie sochasisch signaal (; ω (; ω (; ω (; ω ) ) 3 ) 4 ) inegraie over inegraie over inegraie over inegraie over (; ω (; ω (; ω (; ω 3 4 ) ) ) ) d d d d E[ (; ω) ] inegraie over E + verwachingswaarde verwachingswaarde + (; ω) d = E[ (; ω) ] d "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

41 Energiespecrum : deerminisisch signaal X(f) : energiespecrum (specrale energiedichheid) van () energie in (f, f ) : f f X(f ) df X(f) df : energie in (f, f+df) E + = X(f ) df energie is inegraal van energiespecrum over alle f "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

42 Energiespecrum : sochasisch signaal energiespecrum : E[ X(f;ω) ] saisisch gemiddelde van energiespecrum van eemplaren energie in (f, f ) : f f E[ X(f ) ] df E[ X(f) ]df : energie in (f, f+df) E + = E[ X(f ) ] df energie is inegraal van energiespecrum over alle f "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 4

43 Energiespecrum : sochasisch signaal (; ω ) X(f; ω ) (; ω) X(f; ω ) (; ω3) X(f; ω 3 ) (; ω4) X(f; ω 4 ) E[ X(f; ω) verwachingswaarde ] "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 43

44 Energiespecrum van gefilerd signaal Deerminisisch () H(f) y() energiespecrum : Y(f ) = H(f ) 3 specrum uigang X(f ) 3 specrum ingang Sochasisch (;ω) H(f) y(;ω) energiespecrum : E[ Y(f; ω) ] = H(f ) specrum uigang E[ X(f; ω) ] specrum ingang H(f) : energieransferfuncie "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 44

45 Voorbeeld : M-PAM () (; ω) = K k= K a(k; ω)p r ( kt) (;ω) : som van K+ verschoven pulsen, k-de puls heef ampliude a(k;ω) p r () (;ω) T T E[a(k + m)a * (k)] = σ a δ(m) E[ X(f; ω) ] = (K + ) σ a P r (f ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 45

46 Permanene signalen : Tijdsgemiddelde en Ergodiciei "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 46

47 Permanene signalen Permanene signalen serven nie ui. Hun energie is dus oneindig groo Voorbeelden ) permanen deerminisisch signaal : () is periodiek ) permanen sochasisch signaal : (;ω) is saionair "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 47

48 Deerminisische signalen Tijdsgemiddelde ijdsgemiddelde van () over oneindig inerval m =< () > = lim T T T T / ()d / ijdsauocorrelaiefuncie : r (u) = <(+u) * ()> Sochasische signalen ijdsgemiddelde van een eemplaar (;ω) over oneindig inerval m ( ω) =< (; ω) > = lim T T T T / (; ω)d / ijdsauocorrelaiefuncie van eemplaar : r (u;ω) = <(+u;ω) * (;ω)> "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 48

49 Tijdsgemiddelde van een saionair TP Ergodiciei Sel : (;ω) is saionair, me E[(;ω)] = µ (hang nie af van ) ijdsgemiddelde van eemplaar is oevalsgrooheid uimiddelen over de eemplaren m > ( ω) =< (; ω) E[m (ω)] = E[<(;ω)> ] = <E[(;ω)]> = <µ > = µ Indien (;ω) ergodisch : m = µ ( ω) ijdsgemiddelde van een eemplaar hang nu nie meer af van he oeval!!! saisisch gemiddelde gelijk aan ijdsgemiddelde van eemplaar!!! ergodiciei geld wanneer Cov (u) voor u (m.a.w, () en (+u) ongecorreleerd voor u ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 49

50 Tijdsgemiddelde van een saionair TP - Ergodiciei (; ω ) (; ω) uimiddelen over uimiddelen over m > = µ ( ω ) =< (; ω) m > = µ ( ω) =< (; ω) indien ergodisch (; ω3) uimiddelen over m > = µ ( ω3) =< (; ω3) uimiddelen over (; ω4) m > = µ ( ω4) =< (; ω4) µ = E[(; ω)] (onafh. van wegens saionariei) verwachingswaarde verwachingswaarde [ < (; ω) > ] =< E[(; ω)] > =< µ > = E µ "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

51 Tijdscorrelaiefuncie saionair TP - Ergodiciei ijdsauocorrelaiefuncie : r (u;ω) = <(+u;ω) * (;ω)> ijdskruiscorrelaiefuncie : r,y (u;ω) = <(+u;ω)y * (;ω) > E[r (u;ω)] = <E[(+u;ω) * (;ω)> = <R (u)> = R (u) E[r,y (u;ω)] = <E[(+u;ω)y * (;ω)> = <R,y (u)> = R,y (u) Indien ergodisch : r (u;ω)= R (u) r,y (u;ω)= R,y (u) ijdscorrelaiefuncies hangen nie nu meer af van he oeval!!! saisische correlaiefuncie = ijdscorrelaiefuncie van eemplaar!!! "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

52 Ergodiciei Indien ergodiciei : verwachingswaarde van saionair TP is e berekenen als ijdsgemiddelde over één eemplaar. Prakijk : ijdsgemiddelde berekenen over eindig (i.p.v. oneindig) inerval ijdsgemiddelde veroon (kleine) saisische flucuaie.e+.e- p =. Transmissie van bis over kanaal Onafhankelijke bifouen me fouprobabiliei p. p_esimae.e- Grafiek : #bifouen/#bis voor 4 realisaies van he kanaal p =..E-3.E+.E+.E+3.E+4.E+5 #ransmied_bis #bifouen/#bis p als #bis "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 5

53 Permanene signalen : Vermogen, vermogenspecrum "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 53

54 Vermogen van deerminisische signalen ) ogenblikkelijk vermogen (op ijdsip ) : () ) (gemiddeld) vermogen (uigemiddeld over oneindig lange ijd) : P T / = lim () T T T / d =< () > = r () "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 54

55 Vermogen van sochasische signalen Berekening van ogenblikkelijk vermogen en gemiddeld vermogen van een eemplaar, gevolgd door verwachingswaarde over de eemplaren ) ogenblikkelijk vermogen (op ijdsip ) E[ (;ω) ] = R (,) ) gemiddeld vermogen P = E [ < (; ω) > ] =< R (,) > = E[r (; ω)] "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 55

56 Deerminisische signalen < ( + u) * () > = r Sochasische signalen Vermogenspecrum S (f) : vermogenspecrum (specrale vermogendichheid) S (f)df : vermogen in (f, f+df) S (f ) df : vermogen in (f, f ) E[ < (u) FT IFT S =< E[( + u; ω) ( + u; ω) (f ) * * f f (; ω) > (; ω)] > ] = E[r =< R vermogenspecrum is FT van ijdsauocorrelaiefuncie (u; ω)] (u,) > vermogenspecrum is FT van verwachingswaarde van ijdsauocorrelaiefuncie, of de FT van he ijdsgemiddelde van de saisische auocorrelaiefuncie FT IFT S (f ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 56

57 Vermogenspecrum S (f) Vermogenspecrum van gefilerd signaal Sy (f ) = H(f ) S (f ) H(f) : vermogenransferfuncie Vermogen als inegraal van specrum P + = r () = S (f ) df (gelijkaardige uidrukkingen als bij energie en energiespecra) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 57

58 Vermogen van saionaire TPn ) ogenblikkelijk vermogen E[ (;ω) ] = R () onafhankelijk van ) gemiddeld vermogen P = E[ < (; ω) > ] = R () = E[r (; ω)] gelijk aan ogenblikkelijk vermogen 3) vermogenspecrum E[r (u; ω)] = R (u) FT IFT S (f ) vermogenspecrum S (f) is FT van saisische auocorrelaiefuncie R (u) 4) indien ergodisch : r (u;ω) = R (u) S (f) berekenen ui eemplaar "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 58

59 Voorbeeld : M-PAM + k= (; ω) = a(k; ω)p r ( kt) R a (m,k) = σaδ(m) p r () (;ω) T S σ σa σa = P = T P(f ) df = p( d T T a (f ) Pr (f ) + + "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 59

60 Prakische meingen van ijdsgemiddelde, vermogen, vermogenspecrum "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6

61 Meing van ijdsgemiddelde () Deerminisisch signaal () () H avg (f) y() H avg () = y() is meing van ijdsgemiddelde m van () ijdsgemiddelde Onbinden van () en y() : () = m + () y() = m y + y() m H avg (f) H avg ()m = m y flucuaie, me ijdsgemiddelde = F () l u c H avg (f) y() () en y() hebben hezelfde ijdsgemiddelde "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6

62 Meing van ijdsgemiddelde () () H avg (f) y() S vermogenspecra : (f ) y = H avg (f ) S (f ) Vermogen van y() : P y =< y() > = Havg(f ) S (f ) df wanneer B avg : P y, dus y() en y() m Kies B avg << bandbreede (). Hoe kleiner B avg, hoe minder y() afwijk van m S (f) H avg (f) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 6 f

63 Meing van ijdsgemiddelde (3) Sochasisch signaal (;ω) (;ω) H avg (f) y(;ω) H avg () = Kies B avg << bandbreede (;ω) y(;ω) m (ω) = <(;ω)> ijdsgemiddelde van eemplaar (;ω) Indien saionair ergodisch proces : y(;ω) m (ω) = <(;ω)> = E[(;ω)] = µ "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 63

64 Meing van ijdsgemiddelde (4) Voorbeeld p r () (; ω) = m a m ( ω)p r ( mt) T {a m (ω)} : saisisch onafhankelijke symbolen Pr[ a ( ω) = ] = Pr[a ( ω) = ] m m = Tijdsgemiddelde over (, KT) m lim m K KT K (K; ω) = (; ω)d = a k ( ω) KT K k= K (K; ω) = lim K K k= a k (k; ω) = E[a k ( ω)] = (indien ergodiciei) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 64

65 Meing van ijdsgemiddelde (5) Voorbeeld (vervolg) (;ω) vanaf = aanleggen aan H avg (f) = /( + jπfτ avg ).7.6 measured ime average inpu = /, au_avg/t = inpu = random pulse rain, au_avg/t = inpu = /, au_avg/t = inpu = random pulse rain, au_avg/t = firs-order averaging filer, ime consan au_avg random pulse rain : recangular pulses wih duraion T i.i.d. equiprobable pulse ampliudes and signaling rae /T.E+.E+3.E+3 3.E+3 4.E+3 5.E+3 6.E+3 7.E+3 8.E+3 9.E+3.E+4 Als τ avg /T oeneem : meing nauwkeuriger,maar overgangsverschijnsel rager /T "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 65

66 Meing van vermogen () Deerminisisch signaal () Sochasisch signaal (;ω) () () H avg(f) y() (;ω) (;ω) H avg (f) y(;ω) H avg () = H avg () = P = < () > y() P y(;ω) < (;ω) > = P indien ergodiciei Kies B avg << bandbreede (;ω) (;ω) freq. comp. in (F min, F ma ) (;ω) freq. comp. in (-(F ma -F min ), (F ma -F min )) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 66

67 Meing van vermogen () Voorbeeld () = cos(π/t) P = / (;ω) vanaf = aanleggen aan H avg (f) = /( + jπfτ avg ) measured power.3.. au_avg/t = au_avg/t = 5 firs-order averaging filer, ime consan au_avg inpu = cos(.pi./t) /T "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 67

68 Meing van vermogen (3) Voorbeeld (;ω) saionair me R (u) = ep(- u /τ corr ) P = R () = (;ω) vanaf = aanleggen aan H avg (f) = /( + jπfτ avg ).6.4 au_avg/au_corr = au_avg/au_corr =. measured power firs-order averaging filer, ime consan au_avg inpu : uni-power firs-order random process, ime consan au_corr..e+.e+3.e+3 3.E+3 4.E+3 5.E+3 6.E+3 7.E+3 8.E+3 9.E+3.E+4 /au_corr "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 68

69 Meing van vermogenspecrum () Specrum analyzer "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 69

70 Meing van vermogenspecrum () Specrum analyzer mee vermogen P(f, B res ) van reëelwaardig signaal () in een frequenieband me breede B res rond de frequenies f en f Meing van P (f, B res ) voor f span = (f min, f ma ) B res, f min en f ma zijn inselbaar Display oon P (f, B res ) als funcie van f, me f (f min, f ma ) "Communicaieheorie" - Hoofdsuk : Signalen 7