PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

Transcriptie

1 PDF hosed a he Radboud Reposiory of he Radboud Universiy Nijmegen The following full ex is a publisher's version. For addiional informaion abou his publicaion click his link. hp://hdl.handle.ne/2066/15433 Please be advised ha his informaion was generaed on and may be subjec o change.

2 4. Sysemen, auomaen Dr. ir. H.G. Sassen en grammaica s* Prof. dr. W.J.M. Level 1. Sysemen 1.1. Inleiding Me de besudering van seeds ingewikkelder vraagsukken, of deze nu afkomsig zijn ui de fysica of echniek; de fysiologie, de biologie of de geneeskunde; de economie of de managemen; de psychologie of de sociologie, is er een groeiende endens onsaan naar specialisaie in elk van de vakgebieden. Di leid enerzijds o een zeer diepgaande kennis in he onderhavige vakgebied, anderzijds breng he me zich mee een seeds moeilijker wordende communicaie ussen de aldus gevormde specialisen. De noodzaak van deze communicaie is echer me de veelal serk mulidisciplinair geriche vraagsukken van seeds groer wordend belang. Een algemeen syseemheoreische aanpak beoog deze mulidisciplinaire benadering mogelijk e maken, immers, bij elk weenschappelijk onderzoek kan men seeds een drieal belangrijke fasen herkennen. He besuderen en formuleren van he probleem in de werkelijkheid; di leid o he opsellen van een model. He uiwerken van he model; he nagaan hoe he model zich gedraag; en he onderzoeken voor welke invloeden en/of facoren he model gevoelig is, zoda he model een voorspellende waarde verkrijg. He inerpreeren en veralen van de modelresulaen naar de werkelijkheid. De syseemheorie kan voor zeer veel vakgebieden worden beschouwd als een universeel gereedschap een hulpweenschap die he mogelijk maak op sysemaische w'ijze problemen e formuleren, en e helpen oplossen. Alvorens in e gaan op wa men mag verwachen als bijdrage van de syseemheorie in de psychonomie, is he noodzakelijk eers een aanvaardbare definiie van een syseem e geven. Di is geenszins eenvoudig daar bij alle in de lierauur gegeven definiies wel aan een specifieke discipline word gedach. Heel algemeen kan geseld worden da een syseem een deel van de werkelijkheid is, afgezonderd van zijn omgeving, en daarmee al dan nie relaies onderhoudende. De omgeving kan daarbij he syseem beïnvloeden en vice versa he syseem de omgeving. De keuze van de syseemgrenzen zijn daarbij volledig arbirair, zij worden bepaald door he door de onderzoeker geselde doel. De syseemheorie kan nu de volgende bijdragen, van belang bij de modelvorming, opleveren. Mehoden om sysemen van zeer uieenlopende aard op overeenkomsige wijze door middel van modellen e beschrijven, en dus he herkennen van analogieën. Mehoden voor de analyse en idenificaie van sysemen en voor de besudering van de wisselwerking ussen syseem en omgeving. Classificaie van sysemen, van de wisselwerking ussen syseem en omgeving, alsmede de definiëring van de daarbij behorende eigenschappen. Opgemerk dien e worden da de syseemheorie van groo nu is bij he opsellen van modellen. Ui deze modellen, gebaseerd op ingangs-uigangsberekkingen kan veel inzich verwach worden en aanzien van de srucuur en he dynamisch gedrag van he e onderzoeken syseem Algemene syseembeschrijving Een nadere precisering van he begrip syseem kan als volg worden gegeven. Een syseem is een en aanzien van zijn omgeving afgezonderd gedach geheel, waarbinnen een zekere ordening heers, en da evenueel een zekere wisselwerking me zijn omgeving onderhoud. De wisselwerking ussen een syseem en zijn omge- * De samenvaing over de syseemleer is geschreven door H.G. Sassen, he deel over auomaen en grammaica s is opgeseld door W.J.M. Level. 100

3 ving kom o uiing in de zogenaamde ingangsgrooheden en uigangsgrooheden; de omgeving beïnvloed he syseem door ingangsgrooheden, erwijl he syseem op zijn beur de omgeving beïnvloed door uigangsgrooheden. Worden de grooheden als funcie van de ijd besudeerd, dan worden deze meesal als signalen aangeduid. De ingangssignalen worden onderverdeeld in soorsignalen, de nie beïnvloedbare, en suursignalen, de wel beïnvloedbare signalen. De mees gebruikelijke nomenclauur op he gebied van de syseemheorie ken aan de suursignalen. aan de soorsignalen en aan de uigangssignalen respecievelijk de noaies ui), v{) en y() oe. ingongs - J *ys^eern signool u(), I soorsignool v() L v() y^(0) y,() u (i) begincondiie y(q) vv y2() J uigangs -, signaal y() I Figiair 1. Een voorbeeld van een syseem me suursig?iaal u(), soorsignaal v(), uigangssignaal y() en begincondiie y ( 0). De in de figuur gebruike noaie is in de syseemheo rie de mees gangbare. he syseem word hierdoor omgeze in een uigangssignaal; he syseem voer een operaie op he signaal ui. He is derhalve noodzakelijk eers op de beschrijving van de verschillende signaalypen in e gaan Indeling van signalen De wijze waarop signalen kunnen worden beschreven zal van geval o geval serk verschillen, deze is serk afhankelijk van de eigenschappen van he signaal waarin men geïneresseerd is. Een indeling naar hun specifieke eigenschappen kan als volg gegeven worden. Deerminisisch versus nie-deerminisisch of sochasisch'. Een deerminisisch signaal x() is een funcie waarvan de grooe voor elke waarde van eenduidig is vasgelcgd. Een nie-deerminisisch of sochasisch signaal x(f) is een signaal waarvoor een dergelijke eenduidige relaie nie besaa; van di signaal ype kunnen slechs saisische eigenschappen worden gegeven, zoals de verdelingsdichheidsfuncies of de daarui afgeleide momenen (de noaie x() duid op een sochasisch signaal, he signaal x() is deerminisisch) (figuur 2 ). Een syseem kan nu worden voorgeseld (figuur 1) als een blok me ingangssignalen u() en v(i) en me uigangssignaal y(): ussen uigangssignaal y() enerzijds en ingangssignalen u() en v(/) anderzijds besaa een vas verband, hewelk de basis vorm voor de classificaie van sysemen. De begincondiiey{0) (de condiie waarin he syseem zich bevind voorda he ingangssignaal is aangeboden) word aan he uigangssignaal y() ensloe oegevoegd. Een in di kader van di boek belangrijke groep sysemen is de groep van causale sysemen; hieronder word versaan de groep van sysemen, waarvan he uigangssignaal he gevolg is van een aangeboden ingangssignaal. He uigangssignaal word dan de responsie van he syseem genoemd Signaalbeschrijving Zonder verlies aan algemeenheid kan he beschrijven van sysemen worden eruggebrach o he beschrijven van signalen en he bepalen van hun onderlinge relaies. Immers he ingangssignaal aangeboden aan Figuur 2. Een voorbeeld van een deerminisisch en een sochasisch signaal. Coninu versus bemonserd: In he geval van een coninu signaal is he signaal voor alle waarden van gedefinieerd; voor da van een bemonserd signaal is he alleen voor zekere ijdsippen gedefinieerd (figuur 3). Analoog versus gekwaniseercl en binair: Een signaal word analoog genoemd als de ampliude van he signaal op een zeker inerval in principe een oneindig aanal waarden kan aannemen. Een signaal word gekwaniseerd genoemd als de ampliude op een zeker inerval slechs een eindig aanal waarden 101

4 kan aannemen. In he bijzondere geval da he signaai wee waarden kan aannemen word he signaal binair genoemd (figuur 3). 0 I o sinusvormig sprongvormig eenparig sijgend impuls vormig coninu bemonserd Figuur 5. Enkele voorbeelden van veel gebruike deerminisische signalen. van zal blijken bij de behandeling van de belangrijkse groep sysemen, namelijk de lineaire sysemen. Voor deze klasse van sysemen geld da de responsie op de som van een aanal ingangssignalen gelijk is aan de som van de responsies van he syseem op elk van deze ingangssignalen afzonderlijk. Di houd dus in da indien de responsies van een syseem op de deelsignalen bekend zijn de responsie van elk willekeurig deerminisisch signaal door sommaie e Figuur 3. Indeling van signalen; in di voorbeeld zijn de signalen om een gemiddelde nul geekend. - Periodiek en nie-periodiek: Een signaal x() is periodiek me een eindige periode T indien geld da x()=x(+t) voor alle (figuur 4). Een nie-periodiek signaal voldoe hier nie aan; he signaal kan worden opgeva als een periodiek signaal me een oneindig groe periode T. * () I I----1 I----1 I I J----\r I I I I i i ) nie - periodiek signaal periodiek signaal Figuur 4. Voorbeeld van een periodiek en een nie-periodiek signaal Signaalonbinding in deelsignalen: de fourierreeks In he kader van deze paragraaf is een onderscheid in deerminisisch en sochasisch he belangrijks. De beschrijving van deerminisische signalen kan immers eenvoudig als funcie van de ijd geschieden; veel word gebruik gemaak van sinusvormige, sprongvormige, éénparig sijgende of impulsvormige signalen (figuur 5). Nu kan elk deerminisisch signaal worden benaderd door de som van een eindig of oneindig aanal deelsignalen (figuur 6 a). He nu hiersignool x() i benadering vers chilsignaal = x ()-x () x () * definieer crierium J (c c...c ) U N minimaliseer naar c. : J(c,c...c ) k d ck 0 1 N bepool c0.ci...cn x ( ) model van x() X()=j C u () k=o k K Figuur 6. He onbinden in deelsignalen. * U - bepool co,ci,...cn minimaliseer crierium sfcj(v S.V verkrijgen is. He onbinden van een signaal in deelsignalen kan ook gezien worden als he opsellen van een model van he signaal, waarvan na bepaling van de srucuur van de deelsignalen een aanal onbekende parameers moe worden bepaald (figuur 6b). De procedure voor de signaalonbinding verloop als volg. Verondersel da he signaal x() kan worden benaderd door de som x() van een aanal vooraf gekozen deelsignalen u()? elk voorzien van een coëfficiën ck waarvan de grooe onbekend is: x() = N 2 ckuk{). k=0 [1] Verondersel verder da geëis word da de benadering op he ijdsinerval,/2 ] volgens ondersaande crieriumfuncie J word bereik: J=J x ()- x{) IPw() d. [2 ] De benadering x() van x() word opimaal genoemd indien he crierium J voor x() een minimum be- 102

5 reik. De in he crierium voorkomende funcie w() word een weegfuncie genoemd: de vorm van deze funcie bepaal welk deel van he verschilsignaal x() x() op he beschouwde inerval [x,2] word meegewogen. De in he crierium voorkomende exponen bepaal de bijdrage van he verschilsignaal op de crieriumwaarde. In verband me de eenvoud van de mahemaische afleidingen word in de prakijk bijna alijd p=2 gekozen, da wil zeggen da me een kwadraisch crierium word gewerk. De opimale benadering x() van.\'(r) word nu verkregen door de pariële afgeleiden van J naar elk van de parameers ck gelijk aan nul e sellen, er volg dan: [*(/) - i: /=0 CiUf (/)] uk ()w()d = 0 ; k=0,\,...,n. [3] Ui de normaalvergelijkingen [3] kunnen in principe de coëfficiënen ck worden opgelos. Veel rekenwerk kan voorkomen worden door een versandige keuze voor uk() en w(r) e doen, en wel een zodanige da geld: ƒ uk ()Uf ()w{)d = 0 voor k = / ; 1 = dk voor k = l > waarin dk een consane is. Ui de normaalvergelij kingen volg dan direc da geld: 1?k = di. ƒ x() uk() w() d. [5] Funcies uk{) waarvoor vergelijking [4] geld, me vv(f)=l, worden orhogonaal op he inerval [\,2\ genoemd. Er zijn vele funcies die aan deze eisen kunnen voldoen, doch de mees oegepase onbinding in deelsignalen is ongewijfeld de onwikkeling in de zogenaamde fourierreeks. Deze reeks is gebaseerd op rigonomerische funcies: de sinus en cosinus. Sel nu da een gegeven signaal x() op he eindige ijdsinerval Uo.io+T ] word benaderd door x(), dan geld voor de fourierreeks: oo.v(/) = 2 [ak coskco-\~bk smkcjj ] k- o [4] [6] waarin cj = 2i/T. Uiwerking van de geschese procedure lever voor p=2, vv(r)= 1 en ckuk(y= = ak cosku+bk s'mkco: a o = ak = T 1 n +T / r x() d, J 1 ƒ x(r) coskio d voor k= 1,2, T 0 + T bk = ƒ x() sinkco d voor k=\,2,... T n Me de aldus bepaalde coëfficiënen ak en bk kan de fourierreeksonwikkeling [6 ] worden uigewerk. Zonder in e gaan op de bewijsvoering kunnen ondersaande eigenschappen van de fourierreeks worden afgeleid. De coëfficiënen ak en bk zijn alleen afhankelijk van k. In de keuze van he inerval Uo.fo + 71 is he beginijdsip o nie van belang. Uibreiding van de benadering xn(), gebaseerd op de sommaie van N ermen, o xn+, () leid o een lagere crieriumwaarde, dus JN+l<JN. De benadering xn() zal voor N~+ een exace weergave van de e beschrijven funcie x() geven, dus geld lim JN= 0 en lim xn(y=x(). N N De volgens formule [6 ] gegeven fourierreeksonwikkeling word in de lierauur vaak anders weergegeven. Zo kan men, uigaande van de formules van Euler, cosco = i(e/u)/ +e~,u>)\ sincj = - (ejuj e~^u)), [7] 21 [8] de complexe vorm van de fourierreeksonwikkeling afleiden. Di leid o: 00 x() = 2 k = - r,. = ] T! r,e o + T me üo=2/t, [9] x() e~jkoj d, k=0,±1,±2,...,[10] waarin de coëfficiënen rk als volg zijn gedefinieerd. '0 = a0, rk = i (ak - i b k ), k = ï («A- +j>k ). k 1 (V 1 ^ j 5 * = 1,2,... [11] Eveneens word vaak de noaie volgens [12] en [13] gebruik: 103

6 x() = A o+ o o 2 Ak cos(k(jo-(pk), k = 1 00 = 0, Ak = y/ak2+bk2', <pk = arcg bk/ak [ 1 2] [13] De ermen van de fourierreeksonwikkeling [13] dienen opgeva e worden als sinusvormige deelsignalen me radiaalfrequenie koj, ampliude Ak en faseverschuiving <pk. Vaak worden de grooheden Ak en (pk als funcie van de radiaalfrequenie ku> uigeze, ezamen vormen zij he specrum van he signaal x(). Voor periodieke signalen, en dus eindige perio- deijden T, zal di specrum alleen voor radiaalfrequenies k(jj=k2n/t besaan: een dergelijk specrum hee een lijnenspecrum. Afbeelding van de ampliudemaa rk, en dus van I rk I en arg rk, resuleer in een lijnenampliudespecrum en een lijnenfasespecrum. Tensloe dien nog één belangrijke eigenschap, he heorema van Parceval voor de fourierreeksonwikkeling, genoemd e worden. Di heorema is direc af e leiden ui de berekkingen [6 ] o en me [13]. He luid: T n + T.v2 ()d = a l+ 2 \ (ak + b\ ) k- 1 waarin de grooheid X(v) de fouriergeransformeerde van x() word genoemd. Evenals bij de complexe fourierreeks, kan ook hier een afbeelding van \X(v)\ en arg X(v) als funcie van de frequenie v worden gegeven. Di specrum is nu een ampliudedichheidsspecrum, immers: - bij de overgang van T^ komen de lijnen, op afsand 27r/7\ van he lijnenspecrum van ck oneindig dich bij elkaar e liggen: - de dimensie van X{v) zal nie langer die van ampliude zijn zoals bij ck, doch zal nu die van ampliudedichheid zijn, een ampliude per frequenie: X(v)=ck T=Ck/v. De hier gedefinieerde fourierransformaie kan ook nu weer gezien worden als he onbinden in sinusvormige deelsignalen van he nie-periodieke signaal Zeer veel oplossingsmehodieken in de signaal- en syseemheorie maken gebruik van deze ransformaies. De oorspronkelijke funcie of origineelfuncie word daarbij via een éénduidige relaie omgeze in een beeldfuncie of geransformeerde: men spreek van he ransformeren van he ene domein naar he andere. Zo word he domein van x() he ijdsdomein genoemd en da van X(v) he frequeniedomein. Van elke beeldfuncie kan nu ook weer he origineel bepaald worden, men noem di de erugransformaie. Er geld: oo rk 2 = _ A l+ ï \ A \. k= i [14] Di heorema geef aan da he gemiddelde van he kwadraa van x() over he beschouwde inerval gelijk is aan de som van de kwadraen van de fouriercoëfficiënen, in feie moe di heorema dus als een vermogensbalans worden beschouwd De fourier- en laplaceransformaie Uigaande van de complexe fourierreeksonwikkeling [9] en [10] kan nu he ijdsinerval [/ o^o+^l worden uigebreid o een oneindig groo inerval [ 00,00] door voor 0= \T e kiezen, en vervolgens T-* e laen gaan. Eenvoudig val af e leiden da: * ( / ) = / X(v)e'2 njd v, --- [15] CO X(v) = x() e~'2l,v' d, [16] 00 fourierransformaie: + F{x() } = X(v) = d, [16] fouriererugransformaie: + F -l {X(v)} = x ()= ƒ X(v)ei2,n"dv [15] He belang van een dergelijke ransformaie kom ui ondersaande punen naar voren. Transformaie, of onbinding in deelsignalen, geef vaak een beer inzich in de eigenschappen van de origineelfuncie. Bepaalde gecompliceerde bewerkingen, zoals he oplossen van inegraalvergelijkingen kunnen na ransformaie zeer eenvoudig in he nieuw verkregen domein worden berekend; ondanks he fei da nu 104

7 Figuur 7. Toepassing van de fourierransformaie er vereenvoudiging van bepaalde mahemaische bewerkingen. echer een ransformaie en de erugransformaie als exra moe worden uigevoerd kan he vaak lonend zijn (figuur 7) om och van deze ransformaies gebruik e maken. Van groo belang zal zijn om na e gaan voor welke funcies een fouriergeransformeerde besaa, immers de inegralen [15] en [16] zullen moeen convergeren. Zonder in e gaan op he bewijs kan geseld worden da een voldoende, doch geen noodzakelijke voorwaarde hiervoor is da de funcie x() absoluu inegreerbaar is, dus:. + co A ( / ) d < oo [17] De klasse oelaabare funcies is als gevolg van deze eis dus beperk o de normale funcies. Een groo aanal belangrijke funcies, zoals x{)=ea me a>0, zal nu op grond van [17] geen fouriergeransformeerde bezien. Di kan worden vermeden door nie de funcie x() zelf, doch de funcie e~ Xix(), me X een reële consane, e ransformeren. Voor he geval da x() nie convergeer voor -* maar wel serk convergeer voor ~, kan nu door een versandige keuze van de facor e~x de inegraal voor /-*» o convergenie worden gedwongen, en wel zo da deze voor -* ~ nog juis convergen blijf. Door he invoeren van de complexe grooheid s, de complexe frequenie genoemd, s=x+/27i*=x+/co volg dan direc ui [16] en [15]: Lu { x ( ) } = X n (s) = ƒ x ()e -Me-i2 'd = = ƒ x()e~sld, [18] CJO Ln {^n*»} = x() = ex' 1 x+j' oo oo x n (s)e X n (s)esds. [19] Deze nieuw gedefinieerde ransformaie word de dubbelzijdige laplaceransformaie genoemd. De hierbij geïnroduceerde convergenieafdwingende facor e~x is echer alleen effecief op één van de beide inervallen > 0 of /< 0, erwijl op he andere inerval juis een divergerende werking van deze facor uigaa, me andere woorden alleen funcies die dermae serk convergeren voor f-> 00 da zelfs na oevoeging van de facor e~ x, me X>0, de convergenie nie enie word gedaan, zullen de dubbelzijdige laplaceransformaie bezien. Er zijn maar weinig funcies die hieraan voldoen, echer een zeer belangrijke klasse die wel hieraan voldoe is die van de enkelzijdige funcies, dus die funcies die nul zijn voor K 0. Bij deze funcies zal nu de invloed van e~x gunsig zijn voor /> 0, erwijl de inegraal och gelijk is aan nul voor < 0. Aldus onsaa de enkelzijdige laplace-ransformaie. L {x(i)}= X (s)= J x()e-s,d, 0 A+h 1 {*(*)} = *(/) = [20] ƒ X(s)es,ds: [21] Een voldoende voorwaarde voor de klasse funcies waarvan de enkelzijdige laplaceransformaie besaa is da deze funcies normaal en exponenieel van de orde q voor >m moeen zijn, zoda dus geld I x(>m ) ^ Meq, waarin M en m willekeurige eindige consanen zijn. Analoog aan de beschouwing van de fourierreeks en fourierransformaie kan ook hier weer de laplaceransformaie worden gezien als een onwikkeling in deelsignalen, zij he da deze nu nie sinusvormig zijn, doch da he hier opslingerende sinussen beref; deze opslingering word veroorzaak door de facor ex. To nog oe is alleen de signaalbeschrijving van coninue signalen aan de orde gewees, de oepassing van digiale rekenmachines leg echer een seeds groer wordend accen op de bemonserde signalen. De behandeling van bemonserde signalen in de syseemheorie is principieel nie anders dan die van de coninue; de auomaenheorie slui hier direc bij aan. Daar de bemonserde signalen alleen op zekere ijdsippen zijn gedefinieerd, kan de laplaceransformaie zonder meer nie op een dergelijke geallenreeks worden oegepas. Een gemodificeerde versie van de laplaceransformaie, welke bekend saa als de Z-ransformaie, is speciaal gerich op de behan- 105

8 Tabel 1. Transformaie-eigenschappen. eigenschap fourier rans formaie enkelzijdige laplaceransformaie ransformaie erugransformaie F{x(/)}=Z(y) = ƒ xiy-v 'd f - {X(i')}=x(i)= ƒ X(v)ei2nv,dv L {x()}=x<s)=f x()e-s,d linearieiseigenschap F {c,x 1 ()+c2 x2 ()} =c, X 10>)+c2 X 2 (v) L{ c,x,()+c2x 2()} = c,,y (i)+c2x 2(s) i \+/~ A - {X(s)}=.v(/)=r1. ƒ X(s)esds 2n> X-/- verschuivingseigenschappen F{x(-a)}=e~i '1 "avx(y) F-' {X(v+a)}=e- 2na,x() L{x(-a) U{-a)} =e~sax(s) L~l {X(s+a)}=e~ax() schaaleigenschappen F{x(a)}= L x & ) \a \ a F~' {X(av)}= - -v(^) \a 1 a % L{x(a)}= - AT-), me o>0 a a L _1 { ATfs)} = *( ), me fl>0 1 J a a ransformaie van afgeleiden ransformaie van een inegraal F{x()}=j2nvX(v) F{X(" >(/ )} =U2w)"X(v) F{ J x()(j}= X(v)+ X(0)8(u) -» j2 v 2 L {x()} =s X(s)-x(0) L{x(n)()}=snX(s)-s/1-1x(0 )-.. - x (n- l)(0) r 1 L{ j x(t) /r} = i * ( s ) i> S vermenigvuldiging me n > < i r & L {»x()} = (-1)" ds deling door ransformaie van een periodieke funcie me periode T: x{)=x(+t) F{X(0} =/2n ƒ X($)d% * V ao 1 T^ F{*(r)} = 2 [ - f X()e-I2nk/Td]5(v k ) A'=-«T o T f L{XU) } = fx (a )d a rjn T L{x()}= e-st convoluieeigenschappen F { f x l(t)x2(-t)dt} = X 1( v ) X 2 (v) OC L { f x x{)x2{ - T ) d r ] =Xx{!i)X2(s) 0 - Z. { * i ( 0 * 2 ( 0 } = r - r 27T]. C ) f Xx(o)X2(s-o)do\ Re(s)>max(Xi,X2,Xi +X2); Xi <c<re(s) X2 asympoische eigenschappen lim X (v) = 0 >*QO lim X ( s ) = 0 i-x*> lim sx(s)=lim j c ( / ) S-±* /'l'o lim s X ( s ) = lim x() s - > o 106

9 deling van dergelijke bemonserde signalen. Binnen he kader van di Handboek lijk he ongewens e veel aandach aan de eigenschappen en berekeningsmehoden van de ransformaies e wijden. Er zal hier slechs volsaan worden me een overzich van de belangrijkse eigenschappen van de fourier- en enkelzijdige laplaceransformaie; deze zijn weergegeven in abel 1. In he bijzonder moe de ransformaie van de laer e bespreken convoluieinegraal worden genoemd: L{ ƒ Xi (T)x2(-T)dT } = X x(s)x2(s), 0 L {x i (0 * 2 (0 } = c+/ =. / X l (o)x2(s-o) do. Z7T/ c-7~ / [221 De berekkingen [22] illusreren goed he belang van de ransformaieechnieken. Een zeker nie minder belangrijke eigenschap is die van de ransformaie van de afgeleide van een funcie, voor de laplaceransformaie geld: I { * (#,)(0 } = = s" X(s)-sn- lx(0)-...-x^n' l) (0). [23] De vergelijking [23] lever de basis voor he oplossen van differeniaalvergelijkingen, en dus voor he beschrijven van sysemen. He oplossen van deze differeniaalvergelijkingen me behulp van de laplaceransformaie leid o he verkrijgen van de oale oplossing, dus de vrije of homogene oplossing en de gedwongen oplossing (inegraie-inerval [O,«]), erwijl me behulp van de fourierransformaie alleen de gedwongen oplossing word verkregen (inegraie- inerval [ «,«>]). In he algemeen kan dan ook geseld worden da de laplaceransformaie bij uisek geschik is voor he oplossen van differeniaalvergelijkingen, en wel voor de gewone lineaire differeniaalvergelijkingen me consane en me ijdsafhankelijke coëfficiënen alsmede voor de lineaire pariële differeniaalvergelijkingen, erwijl de fourierransformaie juis voorlie onbinden in deelsignalen van he groose belang is. Me behulp van de in abel 1 gegeven eigenschappen en de in bijna elk handboek over ransformaies e vinden abellen van de belangrijkse origineelfuncies me de bijbehorende Tabel 2. origineelfuncie à(-o) Origineelfuncies m e bijbehorende beeld funcies. fourierge ransforme erde x(^) e-j7nv0 5 (0 1 1 ** { { e - /2 '«+500} ]TJV enkelzijdige laplacegeransformeerde \{s) e~so U (-10 ) e~s /s m I {_ L + 5 ( )} JTTV i ** * U() a U() 5(v) ï /«0 ) 1, (2 m>f ƒ6 '(y) /" 6(flV )+ r(a+1j), (jliwf a geheel > 0 a jn S(a\u) a geheel > 0 1 Is 1 Is2 r(a+\)ls +l e~bru() \l(j2ttv+b) 1 l(s+b) e~b'u() 1I(j2nv+b)2 1 l(.s+bf fe-b'uu) r(a+l)l(j2-nv+bf+' r(a+\)l(s+bf+l e n 1 &(v-v0) sin a i/{0(y+ f_)_6 2ïï 2 cos a 2 {5(iH- )+ó(y )} 27T 27T sign 1 jiw a/(s2 +a2 ) i/(i2+ a2) * Ö() = impulsfuncie; ** U() = eenheidssprongfuncie; *** U() = eenparig sijgend signaal. beeldfuncies is vrijwel elke ransformaie eenvoudig ui e voeren. In abel 2 worden ensloe van een aanal frequen voorkomende funcies in de syseemheorie de origineelfuncies me bijbehorende beeldfuncies gegeven Beschrijving van sochasische signalen In paragraaf is reeds gewezen op he fei da voor sochasische signalen geen eenduidige relaie 107

10 me de ijd besaa, de beschrijving van di ype signalen vind plaas in ermen van waarschijnlijkheden, en wel me behulp van verdelingsdichheidsfuncies. Hierbij word gebruik gemaak van begrippen ui de waarschijnlijkheidsrekening, waarin de verdelingsdichheidsfuncie /j(jc) van de random variabele x(^) (de random variabele x(f) is de verzameling geallen behorend bij de uikomsen f gebaseerd op de gehele uikomsenruime S) als volg gedefinieerd is: ƒ -(* )= lim Pr{x<x(;)<x+Ax}/Ax. [24] * A.Y De grooheid f-(x)ax geef dus de kans weer da de random variabele x(f) ussen de waarden x en x+ax in lig. Indien nu de random variabele x(f) evens een funcie van de ijd is, zoda de funcie x(/;f) een funcie van de ijd en de uikoms f is, dan onsaa een verzameling van ijdsfuncies, welke een sochasisch proces word genoemd. De realisering x(; o) behorend bij de uikoms is dus een ijdsfuncie; he sochasisch proces op een zeker ijdsip o moe beschouwd worden als een random variabele x(0,^). De waarschijnlijkheidsrekening heef berekking op random variabelen, en kan dus berokken worden op een sochasisch proces op een zeker ijdsip \ in di geval zal de verdelingsdichheidsfuncie dan een funcie van de ijd zijn; er volg: fz(x,)= hm Pr {x<x(;$)<x+ A x}/ax [25] A.X-+0 Vrijwel alijd worden saionaire sochasische processen beschouwd. Hiervoor geld da de verdelingsdichheidsfuncie onafhankelijk van de ijd is, zoda dan geld: f-(x,) = f-(x,+a) = f-(x). vooralle A. [26] Ui deze verdelingsdichheidsfuncie kunnen volgens de waarschijnlijkheidsrekening een aanal belangrijke saisische grooheden worden bepaald, zoals de gemiddelde waarde of mahemaische verwachi?ig ÜO 77- = {x(r;f)}= ƒ Xf-(x) dx [27] CO en de gemiddelde kwadraische afwijking of varianie ï 2 - o -2 = E {[x(f;?)-t?-]2 } = = ƒ [x-t)-]2 f-(x )d x. [28] De vergelijkingen [27] en [28] geven alleen saische informaie over he sochasisch proces; dynamische informaie zoals de frequenie-inhoud of de afhankelijkheid als funcie van de ijd kan worden verkregen ui de gezamenlijke verdelingsdichheidsfuncie fxx(-x i,x 2,r): fïj(x i,x 2,T) = a x 7 *0 Pr{xl <x(;s)<?cl +Ax1; x2< *(i+ r;f) ^ x 2+Ax2 }/Ax1Ax2. [29] Evenals in de waarschijnlijkheidsrekening ussen wee random variabelen een correlaiecoëfficiën kan worden gedefinieerd, kan uigaande van he sochasisch proces en ijde en da en ijde +r een drieal begrippen worden gedefinieerd die ies verellen over de afhankelijkheid van he proces op verschillende ijden. Deze begrippen zijn de gemiddelde produkfuncie ^ x3?( )?M *+ r; )} = - co co = ƒ ƒ x 1x2f--(,xu x2,t)dx1dx2, [30] _ oo _ oo ^ de covarianiefuncie C--(r): Cx x ^ = E {[x(f>d-vx] } = ƒ 00 ~ oo J [ * 1-177] lx 2 -Vj]/'xx<Xl X2 ;T)dx,dx2-0 0 oo en ensloe de correlaiefuncie [31] = c ^ l / [32] He karakeriseren van een sochasisch proces door bovensaande saisische eigenschappen geef een beschrijving in he ensemble of uikomsendomein; de saisische grooheden [27] o en me [32] onsaan door uimiddeling over de uikomsen f. In de syseemheorie heef men echer e maken me ijdsfuncies of signalen. He is daarom noodzakelijk om een relaie e leggen ussen de saisische grooheden in he ensembledomein en een beschrijving in he ijdsdomein. Di geschied via de schaingsheorie. Daaroe worden nu eers voor he saionaire sochasische proces x:(/;?) de volgende schaers in he ijdsdomein gedefinieerd: 108

11 7?-(f) = lim 1 1 2T -T I x(\ lim T-~> 2 T - T lim 7-2T C --(r;n = lim r - 2 T i)d, [33] [x()-flz($)}2 d, [34] x(i;f)x(i+r;f)rf/,[35] [x(/;f)~ 77-(f)] e ransformaie onmogelijk, anderzijds zou he ransformeren van slechs één enkele realisering x(, i) van he sochasische proces A*(7;f) op he inerval [0,7] slechs karakerisiek zijn voor die enkele realisering van he proces, en dus zeker nie voor he proces als geheel. Een grooheid die wel een saisische eigenschap van he sochasische proces x(; ) weergeef, is he zogenaamde vermogensdichheidsspecrum S -- O), welke als de fouriergeransormeerde van de gemiddelde produkfuncie R --( ) is gedefinieerd: [36] +GO fi--(r) e->2nvtdt, [40] [37] De schaers [33] o en me [37] kunnen nu in verband gebrach worden me de grooheden [27] o en me [32], zoda daarmee een relaie word gelegd ussen een uimiddeling in he ijdsdomein en in he ensembledomein (ergodiciei). Zo word een saionair sochasisch proces me een gemiddelde waarde 77-: X E{f-(X) } = 77- [38] en me een varianie van de schaer 17- volgens 139] {[*Mf) - % ] 2 } = 0 [39] ergodisch me berekking o de gemiddelde waarde genoemd. Wanneer de schaer [33] voldoe aan [38] spreek men van een zuivere schaer; voldoe hij evens aan [39] dan hee deze asympoisch raak. Een dergelijke redenering geld ook voor de schaers [34] o en me [37]; aangeoond kan worden da deze schaers alle asympoisch raak zijn. Indien alle saisische eigenschappen aan deze eisen voldoen spreek men van ergodisch in de mees algemene zin. De ergodische eigenschap van een sochasisch proces vorm de basis van he beschrijven van ijdsfuncies; immers deze leg een verband ussen he beschrijven van een ijdsfuncie in he ijdsdomein en he berekenen van de eigenschappen van een saionair sochasisch proces in he ensembledomein. He onbinden van sochasische signalen in deelsig- nalen is zonder meer nie zinvol; enerzijds is door he nie aanwezig zijn van een direc verband van he sochasische proces x(;f) als funcie van een direc- R () X X v 7 = F ~ l } = +00 [41] De benaming van de grooheid S--(v) kan op de volgende wijze verklaard worden. Voor een ergodisch sochasisch proces x(/;j) kan de gemiddelde produkfuncie volgens [42] worden geno- eerd: R --( ) = E {Ê --()} = XX {lim - r-~ 2T - f x(\ï)x(+t\$)dt}. [42] Uigaande van de definiie van de fouriergeransformeerde volg dan na enig rekenwerk ui [40]: F {R --() } = E{lim i - r 2 T [43] waarin de fouriergeransformeerde van een realisering van he sochasisch proces voorsel: X(u:n = uo lim T -T xu;?) e i27rv d - f x('y ) e j2nvd. [44] Me andere woorden, X (y;f) is he ampliudedichheidsspecrum van de realisering x(/;f) en \X{v )\2 109

12 is de vermogensdichheid als funcie van de frequenie v\ de grooheid S--(v) is nu he ensemblege- X»X middelde over de realiseringen f van de gemiddelde vermogensdichheid lim } \X(v$)\2. Hiermede is 2T duidelijk geworden da de grooheid is --(i') een saisisch'e grooheid in he frequeniedomein van he sochasisch proces *(/; ) is geworden; deze grooheid geef als he ware aan hoe he gemiddelde vermogen van he sochasische proces x(i;f) over de verschillende frequenies is verdeeld. Ook voor de specrale dichheid is he van belang om een schaer e definiëren. He lijk logisch deze schaer e definiëren op basis van de gemiddelde produkfuncie: rt S -- ( if) = lim J k--(t-,s)e-i2 dt= T +*o T syseem zullen de variabelen behalve van de ijd ook van de ruimelijke coördinaen afhangen. De ingangspenodiek (deerminisisch) nie periodiek (deerminisisch) sochasisch ijdsdomein lineaire schaal frequeniedomein logarimische schaal Figiuir 8. Voorbeelden van deerminisische, periodieke en nie-periodieke, en sochasische signalen in ijds- en frequeniedomein. 1 rt = lim TT 1J d \2. [45] Aan e onen val da deze schaer zuiver is, dus echer deze is nie asympoisch raak; de varianie in de schaer (aangenomen da.v(/;f) een normaal verdeeld sochasisch proces is): {[ Sjïi»;» - {5--(^;f)}]2 } = S2--(v) [46] en verschil dus van nul. Daarom word in de prakijk alijd de zuivere en asympoisch rake schaer gebruik: ó, v+ai» ƒ S--(a )da V- Av , me Ai^O. 2Ay [47] He asympoisch raak zijn word nu verkregen door een uimiddeling van he vermogen van oneindig veel sinusvormige deelsignalen over een eindig fre- queniegebied 2Az^. Een voorbeeld van de beschrijving van enkele signalen in he ijdsdomein en he frequeniedomein is gegeven in figuur Syseembeschrijving Nu de mehodieken om signalen e beschrijven behandeld zijn, kan nader worden ingegaan op de sys- X «X eemheorie zelf. He is daaroe zinvol eers een classificaie van sysemen op e sellen, en dus de sysemen in e delen naar hun specifieke eigenschappen Indeling van sysemen In abel 3 is een indeling van sysemen gegeven; hier sluien de eigenschappen in de rijen elkaar ui, in de kolommen daarenegen kunnen zij elkaar overlappen: Saisch versus dvnamisch: Een saisch svseem is een syseem, waarvan he uigangssignaal y() op he ijdsip e alleen afhang van de grooe van he ingangssignaal ui) op he momen e en van he ijdsip c zelf. Bij een dynamisch syseem is he uigangssignaal op he ijdsip behalve van de grooe van he ingangssignaal u() op di ijdsip ook nog afhankelijk van he verloop van he ingangssignaal over de voorafgaande ijd. Saisch: y(e) = f{uic)je} [48] Dynamisch: y(e ) = f{y(:0,e),;y(0)} [49] waarin de noaie u(:0,e) beeken he signaal u{) op he inerval 0 o c, en waarin y(i0 ) de begin- condiie word genoemd. Saische sysemen worden door algebraïsche vergelijkingen beschreven, dynamische door differeniaal- of differenievergelijkingen. Geconcenreerd versus verdeeld: Bij een verdeeld 110

13 Tabel 3. Indeling van sysemen f[crur(:0,e),ao)\-f[cnuu(:0,e),;y(0)] = syseemindeling elkaar uisluiende eigenschappen saisch geconcenreerd dynamisch verdeeld elkaar consan ijdsafhankelijk overlappende deerminisisch sochasisch eigenschappen lineair nie-lineair coninu scalair discree mulivariabel uigangsrelaies zullen derhalve door pariële differeniaal- of differenievergelijkingen worden beschreven. Bij een geconcenreerd syseem zijn de variabelen alleen funcies van de ijd, zij worden door gewone differeniaal- of differenievergelijkingen beschreven. - Consan versus ijdsafhankelijk: Een syseem word beschreven door ingangs-uigangsrelaies, waarvan de srucuur en de syseemparameers bepalend zijn voor he syseemgedrag. Zijn nu deze syseemparameers ijdsonafhankelijk dan spreek men van consane sysemen, zijn deze parameers ijdsafhankelijk dan spreek men van ijdsafhankelijke sysemen. Voor een ijdsafhankelijk syseem is de sys- eemresponsie y(e) derhalve: y(c) = J\uU:0.e )J;yi0 )]', [50] voor een consan syseem geld: y(e) = f[u(:0.e);y(0 )]. [51 ] Opgemerk moe worden da, alhoewel minder voorkomend, een dergelijk onderscheid ook gemaak kan worden en aanzien van de srucuur van een syseem. - Deerminisisch versus sochasisch: Een deerminisisch syseem is een syseem waarvan de srucuur en de syseemparameers explicie als funcie van de ijd / gedefinieerd zijn; van een sochasisch syseem daarenegen kunnen srucuur en syseemparameers alleen in ermen van kansen worden bepaald. - Lineair versus nie-lineair: Sel da de responsie van een syseem me begincondiie V/U0 ) en ingangssignaal Uj(:0Je) gelijk is aan V/(/e), en da de responsie op begincondiie yj/(0 ) en ingangs uif(:0,e) gelijk aan Vf/(e) is, dan word een syseem lineair genoemd indien geld da: - He syseem lineair is in he ingangssignaal: = f[ciui{:qj e )-c Ifuif(:0,e ),/;0], [52] me andere woorden, he verschil ussen de syseemresponsie op verschillende ingangssignalencju^.q )e ) en ciiuii{:0,e) maar bij dezelfde beginvoorwaarde y{0 ) moe gelijk zijn aan de syseemresponsie op he ingangssignaal Cjiiji :0 Je )-ciiuii(:0,e ) bij de beginvoorwaarde nul. He syseem lineair is in de beginvoorwaarde: f[u(: 0,e),;c,y,(0)]-f[uU:0,e),;ciry n (0)] = /[O,;c y io ) c! yj {0 )], [53] me andere woorden, he verschil ussen de syseemresponsies op hezelfde ingangssignaal u(: 0,e) maar bij verschillende beginvoorwaarden cly I{Q), respecievelijk CjfVuiQ) moe gelijk zijn aan de syseemresponsie op he ingangssignaal nul bij de beginvoorwaarde cfy f(0 )-cjiy /I(0). Aan bovengenoemde linearieiseigenschappen van een lineair syseem dien e worden voldaan voor alle y(0), u(:0je ), 0, e en c. Een syseem da nie aan de linearieiseigenschappen voldoe, word per definiie een nie-lineair syseem genoemd. Coninu versus discree: Coninue sysemen zijn sysemen waarvan de in- en uigangssignalen coninu zijn; zijn deze echer bemonserd en dus op een aanal discree ijdsippen bekend, dan spreek men van discree sysemen. Coninue sysemen worden beschreven door differeniaalvergelijkingen, discree door differenievergelijkingen. Scalair versus mulivariabel: Een scalair syseem is een syseem me één ingangssignaal en één uigangssignaal; een syseem me meerdere ingangs- en/of meerdere uigangssignalen word een mulivariabel syseem genoemd (figuur 9). Teneinde een overzichelijke behandeling van mulivariabele sysemen mogelijk e maken worden vaak vecoriële grooheden ingevoerd. De beschrijving van een mulivariabel syseem me r ingangssignalen en m uigangssignalen, Figuur 9. Schemaische voorselling van een scalair en m ulivariabel svseem. # 1 1 1

14 -)'iue) = ö(.o). impulsfuncie 1 h<-0) Door vermenigvuldiging van beide leden van vergelijking [59] me ïï( T;$) en door vervolgens de verimpuls - = fm [ui (:0,e),...,ur(:0,e),;yl (0)...ym (/0)L kan dan korweg als volg worden genoeerd: [54] yoe) = f[ (:o,e)> yvo)] I55] Deze schrijfwijze is serk verbonden me de laer e behandelen oesandsbeschrijving. Een speciale klasse van dynamische sysemen word nog gevormd door de consane discree sysemen. Deze sysemen worden gewoonlijk auomaen genoemd. Zij zijn verwan me grammaica's en worden apar behandeld in 2. Van de vele hierboven genoemde indelingen is die in lineaire en nie-lineaire wel de mees belangrijke. Voorde lineaire sysemen is een gesloen analyische beschrijving e geven; voor de nie-lineaire in he algemeen nie. di zal van geval o geval verschillen. He is daarom wenselijk eers nader in e gaan op de klasse van de lineaire sysemen Lineaire sysemen De linearieiseigenschappen [52] en [53] vormen he zogenaamde superposiiebeginsel: de inerpreaie hiervan is uiermae belangrijk. He superposiiebeginsel zeg immers da de responsie van een lineaire combinaie van deelsignalen gelijk is aan dezelfde lineaire combinaie van de responsies van de deelsignalen (figuur 7); di geld zowel en aanzien van he ingangssignaal, als en aanzien van de begincondiies. He superposiiebeginsel oon aan da elk lineair syseem gekenmerk kan worden door slechs één funcie: de impulsfuncie 5( 0) welke resuleer in de impulsresponsie h(,0 ) Beschrijving door middel van de impulsresponsie De syseemresponsie kan in principe worden bepaald door aan een syseem een impuls aan e bieden; in de prakijk zal di nie zonder meer mogelijk zijn daar een impuls oneindig smal en oneindig hoog is. Theoreisch leid he echer o een goede beschrij- vingswijze in he ijdsdomein (figuur 10). Ui de definiie van causale sysemen volg da de impulsresponsie h(;o )=0 voor < 0 ; is he syseem evens Figuur 10. De impulsresponsie. consan dan zal gelden da h(;0 )=h( 0 ). Een belangrijke eigenschap van de impulsfuncie luid: u() = ƒ u(t)h(-t)ch, [56] --- oo of me andere woorden he ingangssignaal u() kan worden gedach e zijn samengeseld ui een sommaie van impulsfuncies me oppervlake u(t)dr. Voor een lineair consan syseem moe dan op grond van he superposiiebeginsel gelden da: y() = ƒ u(t)h(-t)dt. [57] cw Beperk men zich o causale sysemen dan word di: y() = ƒ u{r)h{ T)dr = ƒ u( T)h(r)dT = = u()*h(). [58] Een vergelijking zoals vergelijking [58] word een convoluie-inegraal genoemd. Volgens vergelijking [22] gaa deze inegraalvergelijking na ransformaie over in een produk van U(s) en H{s). Me behulp van de vergelijkingen [57] en [58] is nu voor elk willekeurig deerminisisch ingangssignaal een syseembeschrijving op basis van de impulsresponsie e bepalen; immers ui meing van y() en u() is door he oplossen van de inegraalvergelijking de impulsresponsie e bepalen. Voor he geval da de ingangssignalen sochasisch zijn kunnen bovensaande berekkingen nie zonder meer gebruik worden; immers de funcie ïï(;f) is nie als funcie van de ijd bekend. Echer uigaande van vergelijking [57] geld voor een lineair consan syseem me ingangssignaal 77(^;f) da: 7 ( f,i) = ƒ Ti( 6 $ ) li(0)dd. [59] UD 112

15 wachingswaarde hiervan op e sellen, volg in overeensemming me de definiie van de gemiddelde produkfuncie [30] da: % ( r ) = ƒ RT-(T-dM d)do = [601 waarin de funcie de gemiddelde kruisprodukfuncie word genoemd: = ƒ CD OD on uyf--(u,y;t)du d y. [61] De funcie R--{r) geef derhalve he verband weer ussen de sochasische signalen ü(;$) en."vu+r.f) als funcie van he ijdsverschil r. Op dezelfde wijze val af e leiden da R -- = R--()*/i(), zoda ensloe volg: Pyy(T) = Rjjü(T)*h(-T)*h(T). [62] Ruü(r) n \TI n\- r) Figuur 11. Syseembeschrijving me behulp van de impulsresponsie voor deerminisische en sochasische signalen. uyy Beschrijving door middel van de differeniaalvergelijking He bepalen van de syseemresponsie y() kan eveneens geschieden door he oplossen van de differeniaalvergelijking die he verband ussen ingangssignaal en uigangssignaal weergeef. Lineaire sysemen worden door een differeniaalvergelijking van de volgende algemene vorm weergegeven: dny(), dn~1y() a.. n - + an-1 d" d' l-l + a0y() = f() = 4- bi du() d +. u(), dmu(),, bm T... T dm d + b0u(). [63] Bij ijdsafhankelijke sysemen zijn de coëfficiënen ai (Z=0,1,..77) en bj (y=0,l funcies van de ijd; bij consane sysemen zijn deze consan. Voor fysische sysemen zal in he algemeen m<n zijn; n word de orde van he syseem genoemd. De oplossing van de differeniaalvergelijking lever de oale responsie; voor f{)=0 word de vrije responsie verkregen en voor he geval da de begincondiies nul zijn volg de gedwongen responsie. De mees universele mehode om de differeniaalvergelijking op e lossen maak gebruik van de laplaceransformaie. De berekening verloop kor samengeva als volg: - Sel de funcie f()= 0, en bepaal de laplacege- ransformeerde van vergelijking [63]; hierui volg de laplacegeransformeerde Y(s), die na erugransformaie de gevraagde vrije responsie van he syseem lever. Voor f() = 0, doch me begincondiies gelijk aan nul volg na laplaceransformaie van vergelijking [63] da: [ansn -\-an_l sn 1 s+a0 ] Y(s) = = m +bm -\s m- 1 [64] Ui [64] is nu de responsie y() door erugransformaie van Y(s) e berekenen. De oale responsie is door opelling van de vrije en de gedwongen responsie e verkrijgen. Veelal word de responsie ook op andere wijze gesplis, namelijk in he inschakelverschijnsel en in de saionaire oplossing. Onder he inschakelverschijnsel word versaan he deel van de oale responsie da naar nul gaa voor me de saionaire oplossing word bedoeld da deel da nie naar nul gaa voor /- <». Tensloe word ingegaan op he verband ussen de syseembeschrijving me behulp van de impulsresponsie en die welke volg ui he oplossen van de differeniaalvergelijking. Ui de vergelijking [58] volg voor een causaal lineair consan syseem me ingangssignaal u() da y() = ƒ u{-t)h{r) dr, [65] o zoda na laplaceransformaie geld, gebruikmakend van vergelijking [22]: Y(s) = H(s) U(s), [66] waarin H(s) de laplacegeransformeerde van h() is. De funcie His) word de overbrengingsverhouding genoemd. Ui vergelijking [64] volg nu me berekking o de gedwongen responsie, da indien de vergelijkingen [64] en [66] ideniek zijn: 113

16 H(s) = Y{s) U(s) bm sm +bm_lsm ÖJ s+b0 ansn+an_lsn «! s+a0 [67] waarin de polynoom ansn +a/1_1s de karakerisieke polynoom word genoemd. Aangeoond kan worden da de vergelijking [67] inderdaad juis is, zoda voor de overbrengingsverhouding dus geld: QO H(s) = L {/?(/) } = f h() e~s' d. 0 [68] De gevolgde gedachengang kan ook gebaseerd worden op de fourierransformaie, zij he da dan de begincondiies buien beschouwing worden gelaen. Meesal word de fourierransformaie gebruik voor ingangssignalen die reeds ver in he verleden begonnen zijn (/ «>). Er volg dan: me: Y(v) = H(v) U{v), [69] H(v) = F{h() } = h()e~'2l"' d [70] oo Beschrijving door middel van de overbrengingsverhouding Me de formules [66] en [69] is in feie de beschrijving van een lineair consan causaal syseem me deerminisische ingangssignalen gegeven (figuur 12); deze beschrijving is in he frequeniedomein. De beschrijving van sochasische signalen is naar analogie U(v) uu S jj-(v ) sirm Figuur 12. Beschrijvingswijze van lineaire causale consane sysemen me behulp van overbrengingsverhoudingen. van vergelijking [22] direc door fourierransformaie van de vergelijkingen [60] en [62] af e leiden; er volg: S--(v) (v) S {v), u v v ' uuy ' [71] s yy(p) = S --(i') H(-v) = S--(v)H{v)H(-v) = = \H(v)\2 S--(v).[12] Men dien zich hierbij e realiseren da de vergelijking [71] zowel fase- als ampliude-informaie van H(v) geef, erwijl ui de vergelijking [72] slechs ampliude-informaie verkregen word. De overbrengingsverhouding H{v) kan ook worden opgeva als de frequenieresponsie, verkregen door de responsie op een sinusvormig ingangssignaal u{)=acos2iv. Afgeleid kan worden da ui he quoiën van de ampliudes van he ingangssignaal en he door he lineaire consane syseem gegenereerde sinusvormige uigangssignaal de H(v)\ word verkregen, erwijl he faseverschil ussen ingangs- en uigangssignaal gelijk is aan he arg H(v) Sabiliei De sabiliei van een syseem word bepaald door de responsie op de ingangssignalen. Uigaande van de impulsresponsie kan deze als volg gedefinieerd worden: Een syseem is sabiel als zijn impulsresponsie naar nul gaa voor -+~. Uigaande van!,(/) = L-'{H (s)} = b... s+ b, _. sm~l ,s+s0 = L-' { }, [73] an sn +an_ j sn,/i-l \~a l s+a 0 volg da de worels van de karakerisieke vergelijking an s +an_1sn +..,+a j = an(s s i ) is-s2)... (s-sn') = 0 [74] een negaief reëel deel moeen bezien: Re(Sj)=\< 0 voor /= 1,2,..., // Samengeselde sysemen Reeds in de inleiding is naar voren gekomen da de keuze van de syseemgrens arbirair is. Vaak vormen een aanal subsysemen ezamen een nieuw syseem. Me behulp van een blokdiagram is veelal een overzichelijke srucuur van dergelijke samengeselde sysemen e verkrijgen. Een aanal verschillende srucuren is hierbij e onderkennen. - Cascadeschakeling van subsysemen: bij de cascade- of serieschakeling vorm he uigangssignaal van he eerse subsyseem he ingangssignaal van he weede (figuur 13). Eenvoudig val af e leiden da voor he samengeselde syseem //(/) geld: h() = hi ()*h2 (0, H(s) = H {(s)h2 (s). [75] [76] - Parallelschakeling van subsysemen: bij de parallelschakeling van subsysemen word een ingangssig- 114

17 u() U, (s) h,() H,(s) y1()=v<2() Y1(s)=U2(s) h 2() H 2 (s) y2l) y2(s) u^) U/s) M ).^ ( 0 * ^ ( 0 Figuur 13. Cascadeschakeling van subsysemen. y2() v2(0 naai aan beide sysemen egelijk oegevoerd, waarna de responsies bij elkaar worden opgeeld (figuur 14). Ook hier val eenvoudig af e leiden da: h()= ih ()+h2(), H(s)= H (s)+h2 (s). Figuur 14. Parallelschakeling van subsysemen. [77] [78] - Teruggekoppelde sysemen: bij de eruggekoppelde sysemen word he uigangssignaal y x() van he syseem IIi(s) in de zogenaamde rechdoorgaande baan eruggevoerd via de erugkoppelbaan naar de ingang (figuur 15). Zonder veel rekenwerk kan nu worden afgeleid da: H{s) = Hi(s) \+H A s)h2(s) [79] zij he een zeer belangrijke, bezi ui, zonder daarmee ook maar één enkele eigenschap vas e leggen. He gedrag van nie-lineaire sysemen word beschreven door nie-lineaire algebraïsche, differeniaal- of differenievergelijkingen. Zelden kunnen deze analyisch worden opgelos; een algemeen geldende oplossingsmehodiek is dan ook nie e verwachen. In de syseemheorie is men echer vaak he mees geïneresseerd in he gedrag van een syseem in één bepaald werkpun, zoda door linearisaie rond een werkpun een beschrijving gevonden kan worden: er volg een lineaire beschrijving van he nie-lineaire syseem in een zeker gebied rond he werkpun. Hiermee is de weg geopend om de in de voorgaande paragrafen onwikkelde heorie van de lineaire sysemen zinvol oe e passen. Bij een nadere besudering van he gedrag van nielineaire sysemen val een aanal punen direc op: - Allereers blijk da he gedrag van he syseem in serke mae afhang van he ingangssignaal. - Verder blijk da he syseem de eigenschap heef hogere harmonischen e genereren, soms blijk da de oegevoerde grondharmonische zelfs nie meer in he uigangssignaal voorkom Linearisaie van consane saische sysemen Linearisaie van een nie-lineair syseem leid o een lineaire beschrijving rond een werkpun van di nielineaire syseem. Sel da gegeven is he consane saische syseem h() = L ' x { H,(s)!+ ƒ ƒ, (.s)h2 (s) } [80] y() = g{u{)}; [81] waarin de funcie een nie-lineaire, coninue en differenieerbare funcie voorsel, dan geld rond he werkpun g\nu f volgens de aylorreeks: y() = g{vu} + dg [,U()-T]u ]+! du Vu d2g du2 Figuur 15. Een egengekoppeld syseem. [82] zoda na verwaarlozing van de hogere machen geld: Nie-lineaire sysemen Zoals reeds bij he onderscheid ussen lineaire en nie-lineaire sysemen is vermeld, is een nie-lineair syseem een syseem da nie lineair is, dus da nie aan he superposiiebeginsel voldoe. Deze definiie is zeer armzalig; immers deze definiie slui de mogelijkheid da een syseem een bepaalde eigenschap, y() = g{r}u) + dg_ du Vu [ u ( / ) - 7? ] [83] Me andere woorden ussen de kleine variaies rond he werkpun g {qu } besaa de relaie: k(riu) = dg_ [84] du Vu 115

18 Opgemerk moe worden da de vers er kingsfac or k(rju) een funcie is van he werkpun g(rju ) van de nie-lineariei, of, berokken op he ingangssignaal, van de gemiddelde waarde r]u van u(). Deze linearisaieechniek is echer alleen zinvol als de variaies in he ingangssignaal u() rondom zijn gemiddelde 77m nie e groo zijn, zoals in egengekoppelde of gesloen sysemen. Word echer een nie-egengekoppeld of open syseem beschouwd dan zullen de variaies rond r\u vaak e groo zijn om een dergelijke vereenvoudiging e mogen doorvoeren. In da geval kan he zinvol zijn van de mehode van de saisische linearisaie of de mehode van Booon gebruik e maken. Deze mehode berus op de volgende gedachengang. Verondersel da he ingangssignaal z7(/vf) een gemiddelde waarde 77-= 0 bezi, en da he nie-lineaire syseem vervangen kan worden door een equivalene verserkingsfacor ke(0,o-), en dus dooreen lineair consan syseem, dan zal door minimalisaie van he verschil ussen he uigangssignaal 7U;?)=g{w(i;?)} van he nie-lineaire saische syseem en he uigangssignaal y*(;$)=keïï(;$) van he vervangende lineaire syseem volgens een kwadraisch crierium de bes mogelijke equivalene verserkingsfacor worden verkregen (figuur 16). Er val aan e onen da door berekening van: lineair syseem y(.ç) y (;ç) Figuur 16. Saisische linearisaie van een consan saiscli nie-lineair syseem. 3 dk E{[g{u(;^)-ke iïïr.f)]2 } = 0 [85] de volgende eenvoudige berekking voor ke(0,ou) geld: 1 ü -.00 ƒ i< g(u)f-(u)du ƒ ii2 f-(u)du GO ƒ u g(u) f- (u) du. [86] CO Een aanal opmerkingen moe hier gemaak worden. Ui de vergelijking [86] blijk da de verkregen verserkingsfacor ke(0,o~) een funcie is van de varianie o ; in feie moe zelfs de verdelingsdichheidsfuncie fjj(u) bekend zijn bij de berekening van A.' ^ (0,a-). // De hier vermelde mehode kan, zij he da de resulaen aanmerkelijk ingewikkelder worden, ook oegepas worden voor ingangssignalen ïï(;$) waarvan Gezien he fei da he lineaire vervangende syseem een verserkingsfacor is, kan deze mehode alleen voor nie-lineaire consane saische sysemen zinvol worden oegepas. De hier gevolgde mehodiek er verkrijging van de opimale verserkingsfacor veroon groe overeenkoms me die welke gevolgd is bij he onbinden van signalen in deelsignalen; men vergelijke daaroe de figuren 6 en Beschrijvende funciemehode Voor de beschrijving van nie-lineaire consane dynamische sysemen word gebruik gemaak van de beschrijvende funciemehode. Deze berus op he fei da he e beschrijven nie-lineaire syseem word beschreven door een lineair dynamisch syseem, gekarakeriseerd door een verserkingsfacor G{v) \ en een fase-draaiing arg G(y). Wanneer aan een nielineair syseem een ingangssignaal u()=acos2iri> word aangeboden kan he uigangssignaal me behulp van de fourierreeks [6] worden gesplis in sinusvormige deelsignalen. Ui een vergelijking van he ingangssignaal me de grondharmonische, de eerse erm van de fourierreeks van he uigangssignaal, kan nu een overbrengingsverhouding worden gedefinieerd, de beschrijvende funcie. Ook deze mehodiek geef een beschrijving rond een bepaald werkpun, en moe gezien worden als een linearisaiemehode. Van belang is om op e merken da er geen lineair verband ussen de hogere harmonischen, de verdere ermen van de fourierreeksonwikkeling, van he uigangssignaal y() en he ingangssignaal u() besaa. De hierboven geschese mehode is ook oepasbaar voor sochasische signalen; he e beschrijven syseem word gedach e worden beschreven door een lineair syseem waar aan de uigang een signaal n(;$), de resruis, word oegevoegd (figuur 17). De resruis is dus he verschil ussen de uigangssigü(; ) nie- lineoir syseem y(;ç) u(;ç) G (v) n(.ç) Figuur 1 7. De beschrijvende funcie: een lineaire beschrijving va/1 een nie-lineair consan dynamisch syseem. 1 16

19 nalen J(/;?) en van respecievelijk he nielineaire syseem en he vervangende lineaire syseem. De opimale dynamische verserkingsfacor word verkregen door de varianie van de resruis e minimaliseren naar de parameers van de overbrengingsverhouding G(v). Aangeoond kan worden da minimalisaie van de varianie beeken da er ussen de resruis 77(//f) en he ingangssignaal geen lineaire relaie besaa, en dus da R --( )=0 voor alle r. Er kan worden afgeleid da: = [87] S--(v) = G W I W M. [88] Me behulp van vergelijking [87] is de beschrijvende funcie G(v) e bepalen; hierui kan door subsiuie van \G(v)\ in vergelijking [88] he specrum S--(v) van de resruis worden bepaald. De door de formules [87] en [88] gegeven mehode kan alleen oegepas worden indien he nie-lineaire syseem in een nie-eruggekoppeld syseem is opgenomen. Besaa er echer wel een erugkoppelbaan (figuur 18) dan kan deze mehodiek nie zonder Figuur 18. De beschrijvende funciemehode oegepas in een gesloen syseem. meer worden oegepas; immers he signaal 7i(/ïf) is door de erugkoppeling alijd voor een deel lineair afhankelijk van ë(/vf), en dus zal R (r)^0 zijn voor alle r. Eenvoudig val af e leiden da nu H{v) als volg kan worden berekend: - Indirece mehode: S-uy^ = G,o M ^ -u-(v), me Gf0,(v) = H W. [89] 1+G(v)H(v) - Direce mehode: G{v) = ST-{v)IS-^v). [90] De eerse mehode kan alleen worden oegepas indien he lineaire syseem H(v) bekend is; in he algemeen leid de direce mehode sneller o resulaen. De beschrijvende funciemehode is van groo belang bij de mahemaische beschrijving van he regelgedrag van de mens in suur- en regelaken Toesandsbeschrijving Bij de indeling van sysemen in scalaire en mulivariabele sysemen is reeds gewezen op de oesandsbeschrijving van mulivariabele sysemen. Deze beschrijvingswijze heef de laase decennia een zeer groe opgang gemaak, enerzijds omda he concepueel eenvoudig was zeer gecompliceerde sysemen overzichelijk e schrijven, anderzijds omda deze beschrijvingswijze zich zeer goed leen voor verwerking me digiale rekenmachines. De gedachengang is erug e voeren o he fei da elk dynamisch syseem kan worden beschreven door een selsel eerse orde differeniaalvergelijkingen. Wanneer voor een gegeven syseem he ingangssignaal u() bekend is over he inerval [ <*>,] dan kan he uigangssignaal y{) berekend worden; is u() echer bekend over he inerval [/o,/1] dan is voor de berekening van y() (me uizondering van de consane saische sysemen) ook de beginvoorwaarde of oesand y{0 ) nodig. De oesand van een syseem kan nu als volg worden gedefinieerd: De oesand van een syseem op een zeker ijdsip 0 is een verzameling geallen die ezamen me he ingangssignaal op he inerval [i0>^] he uigangssignaal op he ijdsip eenduidig vasleg. Ui deze definiie volg een belangrijke relaie: de uigangsvergelijking van he syseem: y()=f_[x{0),u(-.0,)}\ >0 ; [91] hierin sel de grooheid y{) de uigangsvecor voor, u(:0,) de ingangsvecor over he inerval [o,] en x(0) de oesandsvecor. De oesandsvecor is hierin gedefinieerd op he ijdsip 0 ; vanzelfsprekend had deze bijvoorbeeld ook en ijde { gedefinieerd kunnen worden. Aangeoond kan nu worden da voor x> 0 de oesand ) volledig bepaald word door x(0) en u(:0) i ). Di leid o de oesandsvergelijking [92]: x() = g {x (0)M :0,)} ; >0. [92] De vergelijkingen [91] en [92] beschrijven me uizondering van de verdeelde sysemen alle eerder genoemde klassen sysemen. 117

20 Binnen he kader van di Handboek is he onmogelijk een algemene behandeling van de oesandsbeschrijving e geven; zij zal daaroe beperk worden o de differeniële sysemen, da zijn die sysemen waarvoor de vergelijkingen [91] en [92] geschreven kunnen worden in de vorm van: x() = g_{x(),i/(r),f}, y() = f{x(),u(),/ }. [93] [94] De syseemvergelijkingen [93] en [94] bezien een zeer eenvoudige srucuur wanneer deze worden opgeseld voor lineaire sysemen, er volg x() = A()x() + B()u() y( ) = C()x() + D()u() [95] [96] waarin A() de syseemmarix, B() de ingangsmarix, C() de uigangsmarix en D() de doorverbindingsmarix voorsellen. Voor he geval da een lineair ii syseem vanui een willekeurige beginoesand x(0) naar een of andere willekeurige eindoesand x(/e) kan worden gesuurd door he aanbieden van een zeker ingangssignaal u[:0j e), waarbij he inerval [0,e] eindig is me e> 0. Als egenhanger van he begrip regelbaarheid ken men he begrip observeerbaarheid, bepaald door de srucuur van de marix C in relaie o die van de syseemmarix A. Een syseem word volledig observeerbaar genoemd indien ui de oesand x(0) en he uigangssignaal y(:0,e) op he eindige inerval [0,e] de oesand x(e) éénduidig is vas e leggen o <'«?). Tensloe geef de doorverbindingsmarix D aan in welke mae en op welke wijze he ingangssignaal u{) direc op he uigangssignaal y() ingrijp, zonder daarbij de egengekoppelde inegraoren e passeren. De begrippen regelbaarheid en observeerbaarheid zullen nader worden gebruik in de paragraaf over auomaen en grammaica s. Zonder in e gaan op de bewijsvoering kan nu worden afgeleid da de oplossingen van de differeniaalvergelijkingen [97] en [98] me beginvoorwaarde A'(/o) luiden: Figuur 19. Toesandsbeschrijving van een lineair consan syseem. consan syseem word bekeken kunnen de vergelijkingen [95] en [96] nog verder worden vereenvoudigd, namelijk o: x() = Ax{) 4- Bu(), [97] y() = Cx() + Du(). [98] De beekenis van de marices A,B,C,en D kan he bes aan de hand van figuur 19 worden nagegaan. - De marix A bevind zich in de egenkoppelbaan, en voer dus een operaie ui op de eruggekoppelde oesandsgrooheid x() naar de inegraoren. De syseemmarix A bepaal in feie he dynamische gedrag van he syseem. - De marix B bepaal in welke mae en op welke wijze he ingangssignaal u() kan inwerken op he eruggekoppeld syseem; de marix geef in samenhang me de syseemmarix A aan of he syseem regelbaar is of nie. Onder een volledig regelbaar syseem word hierbij versaan een siuaie waarbij he x() = e A{ /o)x(/0)h- ƒ ea(< ) B u() dr y{) = C ea( /o) x(0) + [99] + C ƒ eau~t) Bu(T)dT + Did) [100] 0 waarin ea{) de overgangsmarix word genoemd. De formules [99] en [100] geven de responsie y() van he syseem op een ingangssignaal u() in he ijdsdomein. Evenals bij de scalaire sysemen kan ook hier weer een beschrijving in he frequeniedomein worden gegeven. Door laplaceransformaie van de vergelijking [97] volg: 5^ ( 5) - x{0) = AX(s) + BU(s), [101] en dus: X(s) = (sf A)~l x(0 )+(si A)~]BU(s). [102] De marix (si-a) lb word de overdrachsmarix van U(s) naar X(s) genoemd. Transformaie van de 118

21 vergelijking [98] en subsiuie hiervan in vergelijking [ 102] lever: Y(s) = C(sl A y lx(0 )+[C{sI-A y 1B+D]U(s). [103] De marix C(sl A )"1B-\~D word de overdrachsmarix van U(s) naar Y(s) genoemd; deze kan vergeleken worden me de overbrengingsverhouding H(s) die bij de scalaire lineaire consane sysemen reeds naar voren gekomen is in paragraaf Bij de modernere beschrijvingen van he regelgedrag van de mens bij suur- en regelaken word veelvuldig van deze oesandsbeschrijving gebruik gemaak Modellen en parameerschaen De syseemheorie heef onder andere o doel om realisische sysemen e modelleren, da wil zeggen door een mahemaisch model de wemaigheden vas e leggen, en wel zo, da op grond hiervan he gedrag van he werkelijke syseem kan worden voorspeld onder zeer uieenlopende omsandigheden. In he voorgaande is er vrijwel seeds van uigegaan da van he e onderzoeken syseem weinig of geen a priori informaie aanwezig is. In dergelijke gevallen kan door de bepaling van impulsresponsies, overbrengingsverhoudingen en gemiddelde produkfuncies vaak zeer doelreffend een syseembeschrijving gevonden worden. Veelal is he echer op grond van reeds verkregen kennis van he e onderzoeken syseem mogelijk om van he model de srucuur reeds van e voren op e sellen, erwijl de waarden van de parameers in he model me de reeds bekende srucuur dan laer bepaald dienen e worden. De keuze van de srucuur van he model is van groo belang; deze keuze word onder andere beïnvloed door de volgende facoren: He doel waarvoor he model word opgeseld. De inzichen van de onderzoeker of onwerper. De informaie die reeds bekend is over he e onderzoeken syseem. De vereise nauwkeurigheid van he model. De observeerbaarheid van he e onderzoeken syseem. De bepaling van de nog onbekende parameers geschied in wezen alijd volgens hezelfde paroon, zij he da de uiwerking oaal verschillend kan zijn (figuur 20). Van he e onderzoeken syseem word een model opgeseld; de srucuur word gekozen en de parameers moeen bepaald worden. He door he ingangssignaal w(i;f) gegenereerde uigangssignaal y *(f;?,a/) word vergeleken me he uigangssignaal y(;i) van he syseem. Volgens één of ander crierium word nu gerach om door variaie van de parameers a,- he verschil ussen en y*(; ;a) zo klein mogelijk e maken (w() is hierin weer de weegfacor, erwijl voor de exponen p meesal wee gekozen word): E ƒ w(.)\~y($)-y*(;$;ai)\pd = 0. 3a, [104] He minimaliseren van deze kosenfuncie kan analyisch of via één of andere ieraieve procedure gebeuren. In he algemeen zal door oplossing van vergelijking [104] een selsel vergelijkingen onsaan da nie-lineair in de parameers is; slechs in bijzondere gevallen kan me w(f)=l en p = 2 een selsel vergelijkingen da wel lineair in de parameers is, verkre- Figuiir 20. Parameerschaing van de modelparameers in een nie-egengekoppeld syseem. gen worden. Opgemerk moe worden da de in figuur 20 aangegeven mehode in nie-eruggekop- pelde sysemen voldoe; varianen hierop maken parameerschaing in een gesloen keen mogelijk. Tensloe is he van groo belang om na e gaan binnen welk geldigheidsgebied he verkregen model mag worden oegepas, of me andere woorden welke verondersellingen als uigangspun bij he opsellen van he model gekozen zijn. 2. Auomaen en grammaica s Auomaen zijn dynamische sysemen die discree en consan zijn. Zij zijn dynamisch omda hun gedrag nie alleen van de laase waarde van he ingangssignaal afhang, maar evens van de reeks van eerdere signaalwaarden. Zij zijn discree omda ze opereren op een discree ijdas: = 0, 1, 2,..., en consan omda zowel srucuur als syeemsparameers 119

22 onafhankelijk zijn van. Tevens geld voor auomaen da signalen gekwaniseerd zijn: zij kunnen waarden aannemen ui een eindige verzameling. We bespreken nu eers een aanal auomaen van oenemende complexiei (2.1). De keuze word bepaald door de relaie me grammaica s, welke in 2.2. behandeld word. Voor al deze auomaen geld da he observeerbare sysemen zijn (zie paragraaf ), waarbij he er nie oe doe of de beschrijving uigaa van de oesand of van he uigangssignaal. In feie zal de beschrijving van de oesand uigaan, zoda in he volgende he begrip uigangssignaal nie meer gebruik zal worden Enige auomaen Eindige auomaen Een eindige auomaa is een syseem da gekenmerk word door de volgende vijf grooheden. Er is een eindige (nie-lege) verzameling X van oesanden waarin de auomaa kan verkeren. Er is een speciale oesand x 0, de beginoesand, en een verzameling F van een of meer zg. eindoesanden. Verder is er een eindige (nie-lege) verzameling V van waarden die he ingangssignaal kan aannemen, ook wel he vocabulaire van de auomaa genoemd. Tensloe is 5 de zogeheen oesandsfuncie. Deze geef aan welke nieuwe oesand de auomaa bereik, wanneer he ingangssignaal een bepaalde waarde aanneem, erwijl de auomaa in een zekere oesand verkeer: 5(x;-, Vj) = xk beeken da de auomaa in oesand Xj bij invoer van vocabulaire-elemen Vj overgaa in oesand xk. Figuur 21a laa in de vorm van een overgangsdiagram (ook wel: signaalsroomdiagram) de werking van een eindige auomaa me wee oesanden x0 enxj zien, waarbij V binair is (0 of 1), erwijl de oesandsfuncie besaa ui 5(x0,l) = X j, 5(x0,0) = x 0 en Ka*!,0) = x 0. Om nu de werking van deze en andere auomaen oe e lichen gaan we ui van he begrip regelbaarheid, da werd geïnroduceerd in paragraaf Figuur 21. Overgangsdiagram voor deerminisische (aj en non-deerminisische (b) eindige auomaa. Een syseem heee daar volledig regelbaar wanneer er seeds een ingangssignaal besaa waarmee he vanui een zekere beginoesand x(0) naar een willekeurige eindoesand x(e) kan worden gesuurd. In de auomaenheorie gaa he nie om volledige regelbaarheid (d.w.z. vanui elke willekeurige beginoesand) maar slechs om regelbaarheid vanui één als zodanig gedefinieerde beginoesand x 0. Deze oesand hee regelbaar wanneer er een rij van invoerelemenen s (een signaal) besaa die de auomaa kan overvoeren in een eindoesand (el7). Men zeg dan da de auomaa de rij s accepeer. Di kan als volg worden geschreven: 5(x0,s) = Ay, waar sev* (de verzameling van rijen van vocabulaire-elemenen) en x/ef. In figuur 21a bijvoorbeeld, zien we da men van a 0 naar x x kan gaan door invoering van 1, maar ook van 01, 001, 101, ec. De aal geaccepeerd door auom aas is de verzameling van geaccepeerde rijen: T(A) = {s 5(x0,s)eF}, ofewel de rijen waarmee de beginoesand regelbaar is. Voor de eindige auomaa in figuur 21a kan da me elke rij besaande ui willekeurig veel 0-elemenen, gevolgd door willekeurig veel sequenies 10, gevolgd door 1. Kor genoeerd: T = {0*(10)*1}. Twee a u o m a e n ^ en A 2 heen equivalen wanneer T(A! )=T(A 2). De alen die door eindige auomaen kunnen worden geaccepeerd noem men reguliere alen. Naas deerminisische eindige auomaen zoals in figuur 21a, zijn er ook non-deerminisische. De oesandsfuncie van deze auomaen geef voor elk paar van oesand en vocabulaire-elemen een verzameling van mogelijke overgangen: b{xhvj) = {xfl,...yxk}. Een voorbeeld is gegeven in figuur 21b. Daar geld 5(x0,l) = { a*o>xi} Acceperen van de invoerrij beeken nu da men bij elke overgang seeds een zodanige oesand kan kiezen da er vanui x0 ensloe een eindoesand kan worden bereik. Er is bewezen da er voor elke non-deerminisische eindige auomaa een equivalene deerminisische eindige auomaa besaa (he omgekeerde geld vanzelfsprekend), zoda ook de non-deerminisische eindige auomaen de klasse van reguliere alen voorbrengen. Een probabilisische eindige auomaa is een generalisaie van de non-deerminisische, waarbij voor elke overgang een waarschijnlijkheid is gedefinieerd. He is dan een sochasisch syseem, zoals gedefinieerd in paragraaf Markov-bronnen vormen hiervan een subklasse. De invoerrijen over he vocabulaire die nie worden 120

23 geaccepeerd door de auomaa vormen he complemen CT, van de aal T. He complemen van een reguliere aal is eveneens regulier, d.w.z. er besaa voor elke eindige auomaa A een andere eindige auomaa A ' zó, da CT(A )=T(A') Sap elau oma en Een sapelauomaa ( PDA voor push down auomaen ) is een syseem da, in egenselling o de eindige auomaa een oneindige oesandsverzameling X heef. Om die e beschrijven onbind men X in wee gedeelen: een eindige verzameling T= {0J { } van oesanden in meer srike zin, plus een geheugen van oneindige omvang. He geheugen kan willekeurig lange rijen (x,^,^,..) bevaen van zg. geheugensymbolen die genomen zijn ui een eindig geheugenvocabulaire F = { 7 0>7i >---7,2} De werking van di geheugen selle men zich als volg voor: de auomaa sapel de geheugenelemenen op elkaar. In de aanvang is er slechs 7 0. Nieuwe elemenen worden daar successievelijk bovenop gelegd. Ook kan seeds he bovense elemen (he opelemen ) worden verwijderd. Er mogen echer geen geheugenelemenen worden ussengeschoven of ussenui gerokken. De beginoesand a*0 van de auomaa is in onbonden vorm he paar (0,y0), waarbij 0 nu als beginoesand (in srike zin) word aangeduid. FeT is weer de verzameling van eindoesanden. De auomaa is een syseem {V,T,r,0,y0,F,d), waarin 5 de verzameling is van overgangsregels. De overgangsre- gels geven aan wa er in een gegeven oesand bij een gegeven opelemen en een gegeven invoersymbool gebeur, d.w.z. wa de volgende oesand zal zijn en wa er in he geheugen word veranderd. Men schrijf 7*)=(f/»X)> hegeen beeken da bij invoer van Vj me yk als geheugenopelemen de oesand van in [ verander, en yk vervangen word door de rij (of beer: sapel) van geheugenelemenen x (evenueel de nul-rij, d.w.z. eenvoudige verwijdering van yk ). Een rij s van invoerelemenen word geaccepeerd door de auomaa wanneer vanui (/V7o) een eindoesand j-ef word bereik. De aal T(PDA) geaccepeerd door de PDA is de verzameling van geaccepeerde rijen: T(PDA) = { s 18(0,s,y0) = (/y,x)> /yef,xer*}. De alen, die geaccepeerd kunnen worden door PDA's noem men deerminisische alen. He complemen van een deerminisische aal is eveneens deerminisisch. Reguliere alen vormen een srike deelverzameling van deerminisische alen. Analoog aan de non-deerminisische eindige auomaa is er de non-deerminisische sapelauomaa (NPDA). Bij elke oesand, geheugen-opelemen en invoerelemen kan de auomaa nu ui een verzameling overgangen kiezen. Di ype auomaa kan meer dan de deerminisische varian. De erdoor geaccepeerde alen heen conexvrije alen. Deerminisische alen vormen hiervan een srike deelverzameling. De vraag of he complemen van een conexvrije aal ook conexvrij is, is bewezen een onoplosbaar probleem e zijn. Wel is he complemen seeds conexgevoelig (zie volgende paragraaf) Lineairbegrensde auomaen De lineairbegrensde auomaa (LBA) kan men zich he bes voorsellen als een bandje waarlangs een mechanisme beweeg da kan lezen en schrijven en da in verschillende oesanden kan verkeren (zie figuur 22). He bandje word gebruik om de invoer op e schrijven, en evens als geheugenruime. Afgesproken word da de werkruime op he bandje precies dezelfde omvang heef als de invoer. De beschikbare geheugenruime is dus alijd gelijk aan he aanal elemenen waarui he ingangssignaal besaa (en dus in beginsel onbeperk). iè\ \ \ \ " n m a Figiair 22. Een lineair begrensde auomaa. De LBA die gekarakeriseerd word door de grooheden F, T, r, 0, F, 5, en #, begin in oesand 0 links op he bandje e lezen, d.w.z. bij he eerse invoersymbool. Naar aanleiding van wa hij daar lees verander hij van oesand en kan hij di eerse elemen vervangen door een ander. Da kan zijn een elemen van V, of een exra geheugenelemen (ui he eindige geheugenvocabulaire D- Tevens neem hij een nieuwe posiie k in, die kan zijn: één plaasje naar rechs (*=+1), één plaaje naar links (k= 1), of blijven saan (A:=0). Elk paar van oesand en bandsymbool veroorzaak dus drie veranderingen: een oesandswijziging, een wijziging van bandsymbool, en een wijziging van plaas. De overgangsregels 5 geven nu aan hoe voor elk paar van oesand en gelezen bandsymbool de drie veranderingen zullen zijn. We zeggen nu da de LBA een invoer accepeer wanneer hij he recher grenssymbool # bereik, en 121

24 dan in een eindoesand (ef) geraak. LBA's zijn alijd non-deerminisisch: er word voor elke combinaie van oesand en bandsymbool een verzameling van overgangen gespecificeerd. De alen die door LBA\ geaccepeerd worden heen conex-gevoelige alen. He is nog nie bekend of hun complemenen ook conexgevoelig zijn. Conexvrije alen vormen een srike deelverzameling van conexgevoelige Turingmachines Een Turingmachine TM verschil slechs in één opzich van een LBA: de band voor lezen en schrijven is naar links en naar rechs oneindig lang. De overgangsregels zijn echer ne zo als bij de LBA: voor elk paar van bandsymbool en oesand omschrijven zij wa he nieuwe bandsymbool er plaase word, welke nieuwe oesand bereik word, en welk bandelemen vervolgens zal worden gelezen (k= \, 0, of + 1). Behalve nie-deerminisische TM's besaan er ook deerminisische. In feie is elke nie-deerminisische TM equivalen me een deerminisische. Gezien zijn uiers simpele consrucie is he verrassend da men op een TM alle bewerkingen kan uivoeren die me een moderne digiale compuer kunnen worden uigevoerd. He omgekeerde geld nie eens, enzij men ervan uigaa da de compuerleverancier zo nodig onbeperk veel exra geheugenruime kan leveren. Een Turingmachine kan, naar he schijn, elke expliciee symbooloperaie uivoeren. In feie kan da zelfs op een TM me slechs wee oesanden 0 en x. Men definieer egenwoordig dan ook he begrip ( effecieve of mechanische ) procedure' als uivoerbaar op een TM\ De ruime onbreek om di verder oe e lichen, zie echer Minsky (1967). Men zeg da TM een invoerrij s accepeer wanneer deze de TM van de beginoesand 0 overvoer in een eindoesand j-ef. De alen die door TM's worden geaccepeerd heen opsombare alen, zo geheen omda zij de eigenschap hebben da de rijen of de zinnen van zo n aal kunnen worden opgesomd : d.w.z. er besaa een procedure waarmee achereenvolgens zinnen van de aal T (en geen andere rijen) worden opgenoemd, en wel zó da voor elke zin in de aal T geld da die na een eindig aanal bewerkingen word vermeld. (He opsommen zal voor een aal van oneindige omvang nieemin oneindig lang duren!) Sel er is een TM, me aal T(TM), en een willekeurige rij 5 (ev*). Wanneer set(tm) dan kan di fei, dank zij de opsombaarheid van T, middels een eindig aanal bewerkingen worden vasgeseld. Men zeg ook wel da s kan worden herkend. Alle eerder behandelde alen zijn ook opsombaar, maar er zijn opsombare alen die nie conexgevoelig (resp. conexvrij, regulier) zijn. He complemen CT(TM) van een T{TM) is nie noodzakelijk opsombaar. Da beeken da wanneer sect(tm) er geen garanie is da s als zodanig kan worden herkend door een Turingmachine. Anders gezegd: he is nie zo da er voor alle opsombare alen T een procedure besaa om voor een willekeurige rij s vas e sellen of s wel of nie o T behoor. Die alen waarvoor wél zo n procedure besaa noem men 'beslisbaar. He zijn opsombare alen waarvan ook he complemen opsombaar is Grammaica's en auomaen Grammaica's en Turingmachines Behalve me een Turingmachine kan men een opsombare aal me een grammaica beschrijven. Een grammaica G word gekenmerk door de grooheden V, H, P, en Z. V is een eindig erminaal vocabulaire (me erminale elemenen a, b,...): H is een eindig hulpvocabulaire (me hulpsymbolen op variabelen A, By...) waarin een speciaal zg. beginsymbool Z. P, ensloe, is een eindige verzameling produkieregels. V en H hebben geen elemenen gemeen: KfW=0, erwijl hun vereniging VUH F wel he (ongespecificeerde) vocabulaire van de grammaica word genoemd. De produkieregels in P zijn geordende paren van rijen (a,j3), meesal geschreven als Oi-+P, waarbij de eerse rij (a) besaa ui één of meer elemenen van F en de weede (/3) ui 0 of meer elemenen van r, Anders gezegd: ael'y (de rijen van posiieve lenge over F) en (3eF* (de rijen over I\ inclusief de nulrij X). Er geld dus PCF\F*. De regel a-+/3 beeken da de rij a in elke conex mag worden vervangen door de rij (3. Zo n vervanging word aangeduid me =>. Op grond van de regel mag men bijvoorbeeld de rij yaö vervangen door 7/35; di word dan geschreven als Meer in he algemeen schrijf men (\p is een afleiding van 0) wanneer er een serie van nul of meer vervangingen is die 0 overvoer in \p (nul vervangingen als 0 = \p). Een zin voorgebrach door de grammaica G is elke rij van erminale elemenen die me de produkieregels van G ui Z kan worden afgeleid. Dus de rij o is een zin voorgebrach door G indien er een afleiding Z=xj besaa en ocv*

25 De aal L(G), voorgebrach door G is de verzameling van voorgebrache zinnen, ofewel L(G)= {a \Z=xj }. Voorbeeld: Sel G=(V,H, P,Z) me V= {a(pen), Makken), c(roqueen)}, H={N(aamwoord), /predikaa), Werkwoord), Z(in)}, en me produkieregels P={Z^NP, P^WN, P *W, N^a, N^c, W^b), dan kunnen we ui Z de volgende afleiding maken: Z=>NP, NP=hiP, ap=>awn, awn=>abn, abn=>abc, of korweg Z^>abc. Omda zowel a, b als c erminale elemenen zijn is de rij abc, of uigeschreven apen bakken croqueen een zin in L(G). De lezer kan zelf afleiden, da de andere zinnen in L(G) de volgende zijn: apen bakken, croqueen bakken en croqueen bakken apen. Er kan worden bewezen da men me de aldus gedefinieerde grammaica s precies de klasse van opsombare alen kan voorbrengen. Voor elke opsombare aal TiTM) is er een grammaica G waarvoor geld L(G)=T(TM), erwijl elke aal L(G) opsombaar is. Anders gezegd: voor elke Turingmachine is er een equivalene grammaica en andersom. Chomsky heef voorgeseld een aanal meer en meer resricieve klassen grammaica s e onderscheiden. We volgen nu zijn indeling Conexgevoelige grammaica s en lineairbegrensde auomaen De eerse beperking houd in da produkieregels nie verkorend mogen zijn. Wanneer de lenge van een rij o: word aangeduid me lal (dus bijv. \abc 1=3), dan sel de resricie da voor alle produkieregels a->(3 in P moe gelden: lal^l 3.De grammaica s die hieraan voldoen heen ype-1 of conexgevoelige grammaica s. Elke aal die me een conexgevoelige grammaica kan worden voorgebrach hee een conexgevoelige of ype-l -aal. Eerder zagen we da lineairbegrensde auomaen precies de conexgevoelige alen acceperen. Er is dan ook bewezen da conexgevoelige grammaica s equivalen zijn me LBA\. Da is in zoverre inuïief in e zien da ijdens de afleiding van een zin door een conexgevoelige grammaica nooi een rij kan onsaan die langer is dan de zin (wan dan zouden er vervolgens rijverkorende regels moeen worden gebruik). Evenzo kan de LBA, zoals we zagen, bij he acceperen van een zin nooi een rij van band- symbolen produceren die langer is dan de zin: he is essenieel dezelfde beperking die op beide sysemen rus Conexvrije grammaica's en sapelauomaen De weede beperking is weer ies resriciever. Behalve I a I <; I j31 geld nu ook nog da oeh; a is dus een enkelvoudig hulpsymbool. Aldus onsaa de ype-2 of conexvrije grammaica. De regels ervan zien er ui als A^P; waarbij A een hulpsymbool is en j3 een rij in r +. Elke aal die me een conexvrije grammaica kan worden voorgebrach hee een conexvrije aal. Een afleiding d.m.v. een conexvrije grammaica kan gemakkelijk zichbaar worden gemaak me een boom- of zinsdiagram. Figuur 23 geef de produkieregels van een conexvrije grammaica G en een afleiding van de zin abcd. Ernaas saa he bijbehorende boomdiagram. Er is ook een andere afleiding van dezelfde zin, waarbij overigens hezelfde boomdiagram hoor, nl. Z-*AB~+AZd^Abcd~*abcd. Elk elemen word in de wee afleidingen op dezelfde manier herschreven (d.w.z. me dezelfde regel); alleen gebeur da wa eerder of laer. De in figuur 23 geproduc ieresels Z AB Z CD Z -* be A o B-Zd C az D-d L ink era flei ding: ZoAB= > ob= > azdoabcd boomdiagram Z A 0 0 Z / d b Xc Figuur 23. Afleiding van abcd me bijbehorend boomdiagram. geven afleiding hee linkerafleiding van abcd, omda bij elke sap he mees linkse hulpsymbool herschreven word. Bij elk boomdiagram behoor precies één linkerafleiding (indien de grammaica die oelaa) en andersom. Er is voor de zin abcd nóg een linkerafleiding mogelijk me de regels in figuur 23. Hierbij hoor dan ook een ander boomdiagram. Afleiding en boomdiagram zijn gegeven figuur 24. Wanneer een conexvrije grammaica wee of meer verschillende linkerafleidingen (zinsdiagrammen) geef voor een zin hee de grammaica ambigu. Da is dus he geval voor de onderhavige grammaica G. Linkerofleiding : Z ^»CD^ azd s»obcd =*obcd boomdiagram Z cx 0 a ' Z d b Vc Figuur 24. Alernaieve afleiding van abcd me boom diagram. 123

26 Wanneer een conexvrije grammaica nie ambigu is breng hij een deerminisische aal voor. Zo n nie ambigue conexvrije grammaica word ook wel ^(AO-gxammaica genoemd. Een aal hee ambigu wanneer al zijn grammaica s ambigu zijn. Er is bewezen da conexvrije grammaica s equivalen zijn me nie-deerminisische Sapelauomaen. Voor elke T(NPDA) is er een conexvrije grammaica CFG waarvoor geld L(CFG) = T(NPDA), en andersom. Een soorgelijke equivalenie besaa ervoor deerminisische PDA's en I/?(A:)-grammaica s. Er zijn ook allerlei andere middelen onwikkeld voor de beschrijving van conexvrije alen. Voorbeelden daarvan zijn caegorische grammaica s en afhankelijkheidsgrammaica s, welke hier overigens nie behandeld zullen worden Reguliere grammaica 's en eindige auomaen De derde en laase resricie beref de ß in de conexvrije regel A~>ß. Er word afgesproken da ß een van wee vormen mag hebben: ßeV, d.w.z. ß is een enkelvoudig erminaal elemen, of ß = aß me ae V enbeh, d.w.z. een erminaal elemen gevolgd door een hulpsymbool. De zo verkregen grammaica s heen ype-3 of reguliere grammaica s (ook wel finie sae grammars). De regels ervan hebben dus de vorm A~+a of A~+aB. Er is bewezen da een reguliere grammaica een reguliere aal voorbreng. Reguliere grammaica s zijn equivalen me eindige auomaen: zij definiëren dezelfde klasse van alen. Elke eindige aal (d.w.z. me een eindig aanal zinnen) kan me een reguliere grammaica worden voorgebrach en is dus regulier Chomsky s hiërarchie van alen In figuur 25 zijn de srike inclusierelaies weergegeven ussen de door Chomsky voorgeselde alen. In deze paragraaf word kor ingegaan op alen in de olen exgevoelig zijn. Transformaionele grammaica s (zie hoofdsuk 15) zijn ype-0 grammaica s: zij kunnen rijverkorende regels bevaen. Er is bewezen da Chomsky s ransformaionele grammaica s pre- opsombore of ype-0 alen >nexgevoelige exgevoehg of ype-1 alen conexvrije of ype-2 alen " /'reguliere o f ^ X ype-3 alen ) Figuur 25. Chomsky s hiërarchie van alen. IV gebieden aangeduid me I, II, III en IV, d.w.z. die wél conexvrij maar nie regulier zijn (I), wél conexgevoelig maar nie conexvrij (II), ec. Ad I. Wa kenmerk een aal die nie regulier is, d.w.z. die nie me een reguliere grammaica kan worden voorgebrach? In egenselling o reguliere alen zijn deze alen zelf inbeddend. Di vereis enige oeliching. Men noem een grammaica zelfinbeddend wanneer er een variabele B is in H waarvoor geld B^xxB7, waar a= \ en Da beeken: de regels van de grammaica zijn zó da er een hulpsymbool B is waarui een rij kan worden afgeleid waarin B weer voorkom, maar nie aan linker of recher uieinde. Men noem een aal zelfinbeddend wanneer elke grammaica waarmee die aal kan worden voorgebrach zelfinbeddend is. Een voorbeeld van een zelfinbeddende aal is jww* \wev+, V = ^a,b^, d.w.z. de aal besaande ui symmerische zinnen waarvan de eerse helf besaa ui een willekeurige rij erminale elemenen en de weede helf ui de reflecie (R ) daarvan, zo bijvoorbeeld de rijen aa, abba, baab, abbbba, abaaba, ec. Men noem di wel een spiegelbeeldaal. Een ander voorbeeld is de aal { an bn Iw^l }, besaande ui zinnen me n a's gevolgd door n b's. Chomsky s bewijs da nauurlijke alen nie regulier zijn, en dus nie me een eindige auomaa (laa saan een Markov bron) kunnen worden beschreven, was gebaseerd op he aanonen van de zelfinbeddingseigenschap voor nauurlijke alen. Ad II. Conexgevoelige, nie-conexvrije alen worden nie door zo n uniforme eigenschap gekenmerk. Voor allerlei alen is echer aangeoond da ze in deze caegorie vallen. Een voorbeeld is { an bn cn 1/7^ 1}, rijen van a s gevolgd door evenveel b \ gevolgd door evenveel c s. Een ander voorbeeld is de aal me rijherhaling: {wvv}, waar w dezelfde beekenis heef als in he eerdere voorbeeld: elke zin besaa dus ui een rij, gevolgd door de herhaling daarvan. Deze wee varianen zijn wel gebruik om aan e onen da nauurlijke alen nie conexvrij zijn (zie Brand Corsius, 1974; Level, 1974). Ad III. In deze caegorie vallen me name de niebeslisbare ype-0 alen. Da zijn die opsombare alen waarvan he complemen nie opsombaar is. Er zijn echer ook beslisbare ype-0 alen die och nie con 124