INLEIDING TOT DE NETWERK- ANALYSE Rik Pintelon Rik Pintelon, Brussel, 24 september 25 versie 28 oktober 26
Inhoudstabel DEEL I: WEERSTANDSNETWERKEN 2. Poortwerking 5.. Éénpoort 5.2. Wet van de spanningsdeler 6.3. Wet van de stroomdeler (shunt-wet) 6.4. Spannings- en stroombronnen 7 2. Tweepoorten 8 2.. Poortwerking 8 2.2. Weerstandsmatrix 9 2.3. Interpretatie weerstandsmatrix 9 2.4. Conductantiematrix 2.5. Interpretatie conductantiematrix 2.6. Ster-driehoek transformatie 3 2.7. Reciprociteit 4 3. Superpositiestelling 6 3.. Formulering stelling 6 3.2. Bewijs 6 4. Stellingen van Thévenin en Norton 7 4.. Probleemstelling 7 4.2. Stelling van Thévenin 7 4.3. Stelling van Norton 9 4.4. Voorbeeld 2 5. Methode van de knooppuntpotentialen 22 5.. Oplossingsmethode 22 5.2. V-shift 24 5.3. Illustratie op een actief netwerk 26 6. Compensatiestelling 3 6.. Probleemstelling 3 6.2. Formulering en bewijs stelling 3 6.3. Gevoeligheidsanalyse van de brug van Wheatstone rond het evenwicht 32 DEEL II: RLC NETWERKEN 36 7. Inleiding 37 8. Stationair (regime) antwoord 38 8.. Motivatie complexe notatie via een éénvoudig voorbeeld 38 8.2. Oplossingmethode complexe notatie 4 8.3. Impedantie in sinusoïdaal regime symbolische notatie 42 8.4. Voorbeelden 45 8.6. Gemiddeld vermogen onder sinusoïdaal regime 49 8.7. Vermogenoverdracht van bron naar belasting 5 9. Overgangsverschijnselen tijdsdomein methode 52 9.. Éénvoudige voorbeelden 52 9.2. Algemene oplossingsmethode 54. Overgangsverschijnselen Laplace-domein methode 56.. Definitie en eigenschappen Laplace transformatie 56 2
.2. KCL en KVL in het Laplace domein 57.3. VAL in het Laplace domein impedantie in transient gedrag 58.4. Voorbeelden 6. Methode van de maasstromen 66.. Verband netwerk en georiënteerde graf 66.2. Oplossingsmethode 66.3. I-shift 68 Referentiewerken 7 3
DEEL I: WEERSTANDSNETWERKEN 4
. Poortwerking.. Éénpoort Het eenvoudigste voorbeeld van een éénpoort is een weerstand it () ut () R it () waarbij het duidelijk is dat de stroom it () die in de weerstand vloeit er ook uitvloeit ( poortwerking). Hetzelfde geldt voor een spoel en een condensator. Bij afspraak gaat de spanningspijl van laagste naar hoogste potentiaal (opgelet: in de elektrotechniek neemt men de omgekeerde conventie) en vloeit de stroom van hoogste potentiaal naar laagste potentiaal. De stroom wordt dus positief gerekend wanneer deze in de poort vloeit. De poortwerking kan veralgemeend worden naar een willekeurig weerstandsnetwerk dat ook spannings- en stroombronnen (DC en AC) bevat ut () it () e j () t i k R k E s J r it () u k Figuur : Éénpoort met verschillende DC en AC bronnen. Dit kan gemakkelijk ingezien worden door de KCL wet (Kirchoff current law) toe te passen op de ellipsvormige doorsnede. Indien het weerstandsnetwerk in Figuur deeluitmaakt van een groter netwerk dan is de éénpoort werking niet automatisch verzekerd indien er nog één of meerdere verbindingen bestaan tussen het weerstandsnetwerk en het groter netwerk, bijv., ut () it () e j () t i k R k E s J r jt () i () t it () u k Figuur 2: De éénpoort werking is niet langer verzekerd. Door de aanwezigheid van de rode verbinding in Figuur 2 is wet toe op de ellipsvormige doorsnede: it () i () t + jt ()). i () t it () (pas de KCL 5
.2. Wet van de spanningsdeler Een eerste belangrijk speciaal geval van een éénpoort weerstandsnetwerk is de serieschakeling van twee weerstanden ut () it () R u () t R ----------------- ut () R + R 2 it () R 2 u 2 () t R 2 ----------------- ut () R + R 2 Figuur 3: Wet van de spanningsdeler voor de serieschakeling van twee weerstanden. Het verband tussen de spanningen u () t en u 2 () t over de individuele weerstanden en de totale spanning ut () staat gekend als de wet van de spanningsdeler en wordt als volgt aangetoond, bijv. voor u 2 () t, ut () u 2 () t R 2 it () R 2 ----------------- R + R 2 R 2 ----------------- ut () R + R 2 () Vergelijking () kan gemakkelijk onthouden worden via het speciaal geval waarbij R 2 (of R ) gaat. In dat geval moet de verhouding zijn (alle spanning staat over ). R 2 Opmerking: Vergelijking () kan gemakkelijk uitgebreid worden voor een serieschakeling van meerdere weerstanden (doe dit als oefening)..3. Wet van de stroomdeler (shunt-wet) Een tweede belangrijk speciaal geval van een éénpoort weerstandsnetwerk is de parallelschakeling van twee weerstanden ut () it () it () i () t R i 2 () t R 2 i () t i 2 () t R 2 ----------------- it () R + R 2 R ----------------- it () R + R 2 Figuur 4: Wet van de stroomdeler voor de parallelschakeling van twee weerstanden. Het verband tussen de stromen i () t en i 2 () t door de individuele weerstanden en de totale stroom it () staat gekend als de wet van de stroomdeler (shunt-wet) en wordt als volgt aangetoond, bijv. voor i () t, i () t ut ------- () R R ----- ----------------- RR2 it () R + R 2 R 2 ----------------- it () R + R 2 (2) Vergelijking (2) kan gemakkelijk onthouden worden via het speciaal geval waarbij R 2 (of R ) gaat. In dat geval moet de verhouding zijn (alle stroom vloeit door ). R 6
Opmerking: Vergelijking (2) kan gemakkelijk uitgebreid worden naar een parallelschakeling van meerdere weerstanden (doe dit als oefening)..4. Spannings- en stroombronnen et () jt () onafhankelijke spanningsbron onafhankelijke stroombron Figuur 5: Onafhankelijke spannings- en stroombron: de spanning jt () zijn vrij te kiezen. et () en de stroom Spannings- en stroombronnen zijn ook voorbeelden van éénpoorten. We onderscheiden onafhankelijke bronnen (zie Figuur 5) waarbij de spanning of stroom vrij gekozen kan worden, en afhankelijke of gestuurde bronnen (zie Figuur 6) waarbij de spanning of stroom afhangt van een andere spanning of stroom in het netwerk. et () Au() t jt () it () spanningsgestuurde spanningsbron stroomgestuurde stroombron et () ri() t jt () gu() t stroomgestuurde spanningsbron spanningsgestuurde stroombron Figuur 6: Afhankelijke (gestuurde) spannings- en stroombronnen: ut () en it () zijn respectievelijk een spanning over en stroom door een bepaalde weerstand van het netwerk; A en zijn dimensieloos; r is uitgedrukt in ; en g in. 7
2. Tweepoorten 2.. Poortwerking Beschouw een weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen (gestuurde bronnen zoals, bijv., spanningsgestuurde spanningsbronnen en stroomgestuurde stroombronnen zijn wel toegelaten voor zover de stuurgrootheid spanning of stroom intern is aan het netwerk) i i 2 ingangspoort R k u u 2 uitgangspoort i i 2 Figuur 7: Weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen. Indien er geen externe verbinding is tussen de uitgangs- en de ingangspoort dan is de poortwerking verzekerd. Dit kan gemakkelijk ingezien worden door de KCL wet toe te passen op de 2 poorten apart. De poortstromen i en i 2 worden positief gerekend wanneer ze in de poort vloeien. De poortwerking is niet langer verzekerd indien er één of meerdere verbindingen bestaan tussen de externe weerstandsnetwerken aangesloten aan de ingangs- en uitgangspoorten j netwerk I i i 3 i R k u u 2 i 2 i 4 i 2 netwerk II Figuur 8: De poortwerking is niet langer verzekerd. Door de aanwezigheid van de rode verbinding in Figuur 8 is de poortwerking van poorten en 2 niet langer verzekerd. Inderdaad, toepassing van de KCL wet op de twee ellipsvormige en de vierkante doorsneden in Figuur 8 geeft, respectievelijk, j + i 3 i i 4 i 2 j i + i 2 i 3 i 4 waaruit we niet kunnen besluiten dat i 3 i en i 2 i 4. Besluit: Indien we een ingewikkeld netwerk opsplitsen in éénvoudiger deelnetwerken dan moet men altijd zorgvuldig nagaan of de poortwerking verzekerd is. Zoniet is de werking van het deelnetwerk apart niet dezelfde als in het groter geheel, en kan de werking van het ingewikkelde netwerk niet voorspeld worden aan de hand van de werking van de deelnetwerken (zie het o.o. Netwerken en Filters, 3 de BA EIT). 8
2.2. Weerstandsmatrix Wanneer de poortwerking verzekerd is bestaat er altijd een lineair homogeen verband tussen de poortgrootheden (poortspanningen en poortstromen) in Figuur 8. Dit verband kan meestal onder de volgende vorm geschreven worden u R R 2 i u 2 R 2 R 22 i 2 (3) met u, u 2 de poortspanningen, i, i 2 de poortstromen, en R ij, i j 2, de weerstandscoëfficiënten. De matrix in (3) wordt de weerstandsmatrix genoemd en hangt enkel af van de weerstanden (en gestuurde bronnen) in de tweepoort: de R ij s zijn onafhankelijk van wat er extern aan de poorten wordt aangesloten (voor zover de poortwerking verzekerd blijft). In de volgende paragraaf geven we een motivering voor (3). Motivering. We kunnen de netwerken verbonden met poorten en 2 in een gedachtenexperiment vervangen door stroombronnen R k i u u 2 i 2 zonder hierbij de spanningen en stromen in de tweepoort te wijzigen. Inderdaad, alle KCL, KVL en VAL vergelijkingen blijven gelijk en de poortstromen i en i 2 zijn per constructie gelijk aan de werkelijke waarden. Gezien het weerstandsnetwerk lineair is en bij onderstelling geen onafhankelijke bronnen bevat hangen alle spanningen en stromen van het netwerk enkel af van i en i 2. Indien i i 2 dan zijn automatisch alle spanningen en stromen nul. Bijgevolg zijn alle spanningen en stromen in het netwerk een lineaire combinatie van i en i 2 en dus ook de poortspanningen u en u 2 zoals weergeven door (3). De aanwezigheid van gestuurde bronnen die enkel functie zijn van interne spanningen of stromen wijzigt niets aan de redenering. 2.3. Interpretatie weerstandsmatrix Uit (3) kunnen we afleiden dat m.a.w. R Figuur 9 u R ---- i i 2 is de ingangsweerstand van de tweepoort bij open uitgangspoort en dus is (zie Figuur, blz. ). Op dezelfde manier vinden we dat R u 2 R 22 ---- i 2 i de uitgangsweerstand van de tweepoort voorstelt bij open ingangspoort (zie Figuur, blz. ). Merk op dat R en R 22 fysisch kunnen gemeten worden met een brugschakeling (brug van Wheatstone) of een impedance analyzer. (4) (5) 9
i u R ---- i i 2 u R k R i 2 u 2 R 22 ---- i 2 i R k u 2 R 22 u R 2 ---- i 2 i u R k i 2 u 2 R 2 ---- i i 2 R k i u 2 Figuur : Experimenteel bepalen van de weerstandscoëfficiënten. De interpretatie van de niet-diagonaalelementen in (3) is moeilijker u u R 2 ---- 2 en R 2 ---- (6) i 2 i gezien ze een verhouding zijn van de spanning aan één poort tot de stroom aan de andere poort (zie Figuur ). Alhoewel ze in Ohm worden uitgedrukt hebben ze dus niet de eigenschappen van een weerstand: R 2 en R 2 hoeven niet positief te zijn. Het experimenteel bepalen van R 2 en R 22 vergt een tweekanaalsmeting. Oefening. Bereken de weerstandsmatrix van de tweepoorten in Figuur. i i 2 R R (a) (b) (c) Figuur
Toon aan dat voor de tweepoort (a) in Figuur R R 22 R 2 R 2 R. Bestaat de weerstandsmatrix van de tweepoorten (b) en (c)? Waarom niet? 2.4. Conductantiematrix De weerstandsmatrix van de tweepoort in Figuur (b) bestaat niet. Dit is niet in strijd met de algemene stelling dat er een lineair homogeen verband bestaat tussen de poortspanningen en de poortstromen. Dit verband kan echter niet altijd onder de vorm (3) geschreven worden. Vervangen we in Figuur 9 de stroombronnen door spanningsbronnen i i 2 u R k u 2 Figuur 2 dan krijgen we via gelijkaardige redenering als in 2.2. het volgende verband i G G 2 u i 2 G 2 G 22 u 2 (7) met G ij, i j 2 de conductantiecoëfficiënten. De matrix in (7) wordt de conductantiematrix genoemd en hangt enkel af van de weerstanden (en gestuurde bronnen) in de tweepoort. 2.5. Interpretatie conductantiematrix Uit (7) kunnen we afleiden dat i G ---- u u 2 m.a.w. G G is de ingangsconductantie van de tweepoort bij kortgesloten uitgangspoort en dus is (zie Figuur 3, blz. 2). Op dezelfde manier vinden we dat i 2 G 22 ---- u 2 u de uitgangsconductantie van de tweepoort voorstelt bij kortgesloten ingangspoort (zie Figuur 3, blz. 2). Merk op dat G en G 22 fysisch kunnen gemeten worden met een brugschakeling (brug van Wheatstone) of een impedance analyzer. De interpretatie van de niet-diagonaalelementen in (7) is opnieuw moeilijker i i G 2 ---- 2 en G 2 ---- () u 2 u gezien ze een verhouding zijn van de stroom aan één poort tot de spanning aan de andere poort (zie Figuur 3). Alhoewel ze in Siemens worden uitgedrukt hebben ze dus niet de eigenschappen van een conductantie: G 2 en G 2 hoeven niet positief te zijn. u u 2 (8) (9)
i G ---- u u 2 i u R k G i 2 G 22 ---- u 2 u R k u 2 i 2 G 22 i i G 2 ---- u 2 u R k u 2 i 2 i 2 G 2 ---- u u 2 u R k Figuur 3: Experimenteel bepalen van de conductantiecoëfficiënten. Oefening. Bereken de conductantiematrix van de tweepoorten in Figuur. Toon aan dat voor tweepoort (b) G G 22 G en G 2 G 2 G. Bestaat de conductantiematrix voor tweepoorten (a) en (c) in Figuur? Waarom niet? Opmerkingen:. In het algemeen is G ii R ii. Toon dit aan (aanwijzing: indien R bestaat is G R ). 2. Voor tweepoort (c) in Figuur bestaat noch de weerstandsmatrix noch de conductantiematrix. Dit betekent echter niet dat de algemene stelling dat er een lineair homogeen verband tussen de poortspanningen en de poortstromen bestaat fout is. Inderdaad, voor tweepoort (c) kunnen we schrijven dat u u 2 en i i 2. Er bestaan dus nog andere tweepoortparameters die een doorverbinding wel kunnen beschrijven (zie het o.o. Netwerken en Filters 3de BA IR EIT). 2
2.6. Ster-driehoek transformatie R a R R 2 R b R 2 3 2 c R 3 3 Figuur 4: Ster- en driehoekconfiguraties. Het verband tussen de weerstanden in de ster- en de driehoekconfiguratie wordt gegeven door R R 2 R R a ------------------------------ R 3 R R R + R 2 + R b ------------------------------ 2 R 3 R 3 R + R 2 + R c ------------------------------ 3 R + R 2 + R 3 () en de ster-driehoek transformatie door R a R b R R R a + R b + ----------- a R c R R 2 R a + R c + ----------- b R c R 3 R b + R c + ----------- R c R b R a (2) Bewijs. Om dit aan te tonen hertekenen we de ster- en driehoekconfiguraties in Figuur 4 als een tweepoort. R b R c R 3 2 3 2 3 R a R R 2 (a) Figuur 5: Tweepoort equivalentie van de ster- en driehoekconfiguraties. Vervolgens berekenen we de weerstandsmatrix van beide tweepoorten. Toepassen van (4), (5) en (6) op tweepoorten (a) en (b) in Figuur 5 geeft, respectievelijk (b) R R a + R b R 22 R a + R c R 2 R 2 R a R R 2 + R 3 R R ------------------------------ 2 R + R 3 R R R + R 2 + R 22 ------------------------------ R 2 R 3 R + R 2 + R 2 R 2 ------------------------------ 3 R + R 2 + R 3 (3) (4) (aanwijzing: gebruik Figuur ). Gelijkstellen van (3) en (4) bewijst (). Om (2) aan te tonen berekenen we de conductantiematrix van de tweepoorten (a) en (b) in Figuur 5 via (8), (9) en (). Dit geeft respectievelijk 3
R a + R c R G ------------------------------------------------- a + R b G R a R b + R b R c + R a R 22 ------------------------------------------------- c R a R b + R b R c + R a R c R a G 2 G 2 ------------------------------------------------- R a R b + R b R c + R a R c G G + G 3 G 22 G 2 + G 3 G 2 G 2 G 3 (5) (6) (aanwijzing: gebruik Figuur 3). Gelijkstellen van (5) en (6) levert een uitdrukking voor G, G 2 en G 3 als functie van R a, R b en R c. Inverseren van het resultaat ( G i G i ) bewijst (2). R i 2.7. Reciprociteit Beschouw een weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen ingangspoort R k uitgangspoort Figuur 6: Weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen. waarop we twee verschillende experimenten uitvoeren. In het eerste experiment sluiten we een ideale spanningsbron aan de ingangspoort en meten we de stroom i 2 aan de kortgesloten uitgangspoort i i 2 et () R k Figuur 7: Experiment. In het tweede experiment plaatsen we de ideale spanningsbron aan de uitgangspoort en meten we de stroom aan de kortgesloten ingangspoort i i i 2 2 R k et () Figuur 8: Experiment 2. Het weerstandsnetwerk in Figuur 6 is reciprook enkel en alleen indien i i 2. We gaan nu de invloed van deze voorwaarde na op de conductantieparameters. Voor beide experimenten is het verband tussen de poortstromen en de poortspanningen gegeven door (7) waarbij de conductantieparameters dezelfde zijn. We vinden respectievelijk 4
i G G 2 et () i 2 i 2 G 2 G 22 G 2 et () (7) i i 2 2 G G 2 i G 2 G 22 et () G 2 et () (8) Uit (7) en (8) volgt dat i i 2 enkel en alleen indien G 2 G 2. Met andere woorden voor reciproke weerstandsnetwerken is de conductantiematrix symmetrisch. Via het verband R G volgt onmiddellijk dat dezelfde eigenschap geldt voor de weerstandsmatrix R : een weerstandsnetwerk is reciprook enkel en alleen indien R 2 R 2. Men kan aantonen dat alle weerstandsnetwerken zonder onafhankelijke en zonder gestuurde bronnen reciprook zijn (zie bijv. al de hierboven uitgewerkte tweepoort voorbeeldjes). Indien er gestuurde bronnen aanwezig zijn (bijv. operationele versterkers) dan is reciprociteit niet langer verzekerd. 5
3. Superpositiestelling 3.. Formulering stelling Beschouw een weerstandsnetwerk met verschillende spannings- en stroombronnen (AC en/of DC) e j () t E s i k R k J r 3.2. Bewijs Figuur 9: Weerstandsnetwerk met verschillende DC en AC bronnen. Alle stromen i k en spanningen u k in het netwerk zijn een lineaire functie van de bronnen e j () t, E s en J r. Deze kunnen bekomen worden door de invloed van elke bron (of groep van bronnen) apart op i k en u k te berekenen en vervolgens de som van alle bijdragen te nemen. Merk op dat de stelling geldig blijft in aanwezigheid van gestuurde bronnen (bijv. spanningsgestuurde spanningsbronnen, stroomgestuurde stroombronnen, ). Deze blijven echter actief in het netwerk wanneer de invloed van elke bron (of groep van bronnen) apart wordt berekend. De spanningen en stromen in het weerstandsnetwerk worden beschreven door de KCL vergelijkingen (som van de stromen in een knoop ), de KVL vergelijkingen (som van de spanningen in een gesloten lus ), en de VAL vergelijkingen (wet van Ohm voor elke weerstand). Matricieel kunnen we deze vergelijkingen herschrijven als Cx b met x de vector van de onbekende spanningen en stromen, C een vierkante matrix die afhangt van de weerstandswaarden en de afhankelijke bronnen, en b de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat (bijdragen e j () t, E s en J r ). De vector b wordt opgesplitst in de bijdrage van de K onafhankelijke bronnen (en/of groepen van bronnen) De oplossing van het netwerk onder invloed van heten we waarbij de afhankelijke bronnen actief blijven ( C mag niet wijzigen). De som van de deeloplossingen is wat de superpositiestelling bewijst. b K i b i x i C b i K K x i C b i i i u k b i C b x x i 6
4. Stellingen van Thévenin en Norton 4.. Probleemstelling R i E j Jk I x x U x weerstandsnetwerk met bronnen (a) Figuur 2 (b) Stel dat we het weerstandsnetwerk in Figuur 2 moeten oplossen en dat we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b). Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) te vervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van de stellingen van Thévenin en Norton. De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het linkerdeel van het netwerk beschrijven lineair zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor netwerken met gestuurde bronnen (spanningsgestuurde spanningsbronnen, stroomgestuurde stroombronnen, ), RLC netwerken, voor lineaire verdeelde systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz (zie cursus elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, de akoestiek, voor zover de systemen maar lineair zijn. De stellingen van Thévenin en Norton worden ook gebruikt om na te gaan of toestellen met elkaar verbonden kunnen worden, voor het aansluiten van meetapparatuur op schakelingen, en voor het aaneenkoppelen (bijv. cascaderen) van schakelingen. 4.2. Stelling van Thévenin We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 2 door een onafhankelijke stroombron I x E j x R i Jk U x I x (a) Figuur 2 Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen en bovendien de stroom in het punt x dezelfde is als in het oorspronkelijk netwerk is de oplossing van het netwerk in Figuur 2 dezelfde als deze in Figuur 2 (wat betreft de spanningen en stromen van deel (a)). Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 2 op te lossen. Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elke onafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen. Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn. 7
We lossen nu het netwerk in Figuur 2 op door enerzijds de bijdrage van de onafhankelijke bronnen in (a) tot U x en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijke stroombron tot apart te berekenen: I x U x E j R i Jk U I x R i UII x I x (I) Figuur 22: Superpositiestelling toegepast op het weerstandsnetwerk in Figuur 2. (II) waarbij U I x in experiment (I) de open klem spanning (open circuit potential) U x van het deelnetwerk (a) in Figuur 2 wordt genoemd. Gezien er in experiment (II) slechts onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk I x, moet de oplossing UII x rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactor wordt, op het teken na, de uitgangsweerstand van het deelnetwerk (a) genoemd. R OUT De gezochte oplossing U x is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de 2 experimenten: U x U I x UII x + U x R OUT I x Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen R OUT Ix U x U x Figuur 23: Thévenin equivalent schema van het weerstandsnetwerk (a) in Figuur 2. Figuur 23 is het Thévenin equivalent van het deelnetwerk (a) uit Figuur 2 en wordt gekenmerkt door 2 parameters:. De uitgangsimpedantie R OUT bekomen door in (a) alle onafhankelijke bronnen weg te laten 2. De open klem spanning U x die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot U x te berekenen bij een oneindig grote last in punt x van Figuur 2. Opmerkingen:. een bron weglaten betekent de stroom van een stroombron op nul zetten ( vervangen door open klem) en de spanningen van een spanningsbron nul maken ( vervangen door een kortsluiting) 8
2. in de superpositiestelling mag men de afhankelijke bronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de C -matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen de afhankelijke bronnen in beide experimenten voor. 4.3. Stelling van Norton Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening) E j x R i Jk I x U x (a) superpositie E j R i Jk I I x R i III x U x (I) I x I I x + III x (II) Met I I x de kortsluitstroom (short circuit current) I x van het deelnetwerk (a) in Figuur 2 en zodat III x Men stelt dit resultaat elektrisch voor als U x ------------ R OUT U x I x I x ------------ R OUT I x I x R OUT U x Figuur 24: Norton equivalent schema van het weerstandsnetwerk (a) in Figuur 2. Figuur 24 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 2 en wordt gekenmerkt door 2 parameters:. De uitgangsimpedantie (zie stelling Thévenin) R OUT 2. De kortsluitstroom die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot te berekenen wanneer een kortsluiting in punt x wordt aan gebracht. I x I x 9
4.4. Voorbeeld R E i E t R 2 i 2 t et R R b u b t Figuur 25 We berekenen de spanning over de belastingsweerstand R b op twee manieren: (i) door rechtstreeks het netwerk op te lossen, en (ii) via toepassing van de stelling van Thévenin op het deelnetwerk (in het zwart) voor de belasting (in het rood). a) Rechtstreeks oplossen van het netwerk De spanning over de belastingsweerstand van de stroomdeler (zie.3., blz. 6) R b vinden we via de wet van Ohm en de wet u b t R b i 2 t (9) i 2 t R ------------------------------i R + R 2 + R E t b (2) i E t ------------------------------------------- et R R 2 + R b R E + ------------------------------ R + R 2 + R b (2) Combineren van (9), (2) en (2) geeft uiteindelijk u b t R R b ------------------------------------------------------------------------------et R E R + R 2 + R b + R R 2 + R b (22) b) Toepassen van de stelling van Thévenin We berekenen eerst de open klem spanning netwerk u b t via oplossen van het volgend et R E R R 2 u b t Figuur 26: Bepalen van de open klem spanning van het netwerk in Figuur 25. Toepassen van de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) geeft u b t R ------------------e t R E + R (23) 2
Vervolgens berekenen we de uitgangsweerstand waarbij de onafhankelijke spanningsbron wordt kortgesloten R E R R 2 ROUT Figuur 27: Bepalen van de uitgangsweerstand van het netwerk in Figuur 25. R R E R OUT R 2 + ------------------ R E + R R 2 ( R E + R ) + R R ------------------------------------------------ E R E + R (24) Tenslotte bekomen we de spanning u b () t over de belastingsweerstand R b via het oplossen van R OUT u b () t Rb u b () t met behulp van de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) u b () t R b R b R OUT ------------------------ u + b () t (25) Combinatie van (23), (24) en (25) geeft uiteindelijk u b () t R b R ----------------------------------------------------------------------------------- et () R b ( R + R E ) + R 2 ( R E + R ) + R R E (26) wat na herschikken van de noemer overeenkomt met (22). 2
5. Methode van de knooppuntpotentialen 5.. Oplossingsmethode i E t i t R 2 et R E i 2 t R 3 R 2 3 R 4 R b Figuur 28 We stellen de methode op via een voorbeeld. Beschouw het netwerk in Figuur 28. Dit netwerk heeft 3 onafhankelijke KCL vergelijkingen (knopen, 2 en 3 ), 3 onafhankelijke KVL vergelijkingen (3 interne lussen), en 6 VAL vergelijkingen (6 takken met weerstanden). In totaal moeten we dus een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (6 takstromen en 6 takspanningen) oplossen, en dit voor een zeer éénvoudig netwerk. Voor meer ingewikkelde netwerken wordt dit zeer snel onoverzichtelijk. Hieronder tonen we aan dat dit 2 2 stelsel kan herleid worden tot een 3 3 stelsel in de knooppuntpotentialen V, V 2 en V 3. Bovendien kan dit stelsel rechtstreeks vanuit het netwerk opgesteld worden. a) Beschouw de KCL vergelijking in knoop : i + i 2 i E (27) Uitdrukken van de VAL wetten voor de weerstanden R, R 2 en R E geeft i G ( V V 2 ) i 2 G 2 ( V V 3 ) i E G E ( E V ) (28) Combineren van (27) en (28) geeft na vereenvoudiging G + G 2 + G E V G V 2 G 2 V 3 G E E (29) Een gelijkaardige redenering voor knopen 2 en 3 geeft respectievelijk G V G + G 3 + G b + V 2 G 3 V 3 G 2 V G 3 V 2 G 2 + G 3 + G 4 + V 3 (3) (3) Vergelijkingen (29), (3) en (3) kunnen onder matrix vorm geschreven worden als Y n V n J n (32) met Y n de knoopadmittantiematrix 22
Y n G G + G 3 + G b G 3 G + G 2 + G E G G 2 G 2 G 3 G 2 + G 3 + G 4 (33) J n de knoopstroombronvektor G E et () J n (34) en V n V V 2 V T 3 de vektor van de onbekende knooppuntpotentialen. b) Rechtstreeks opstellen van Y n en J n. Merk op dat de hoofddiagonaal elementen Y n ii van Y n gelijk zijn aan de som van de admittanties (conductanties) van de takken (weerstanden) die knoop i raken ii conductanties van de takken die knoop i raken Y n De niet-diagonaal elementen Y n ij van Y n zijn gelijk aan min de som van de admittanties (conductanties) van de takken (weerstanden) die knoop i met knoop j verbinden (35) ij conductanties van de takken gelegen tussen knoop i en j Y n (36) Om de elementen in J n terug te vinden vervangen we de niet-ideale spanningsbronnen door hun Norton equivalent schema (zie 4.3., blz. 9). Het i de element J n i van de vektor J n is dan gelijk aan de stroom geïnjecteerd door de stroombron in het Norton equivalent in knoop i. Wordt de stroom uit de knoop getrokken dan is de bijdrage negatief. Deze regel wordt toegepast op alle stroombronnen aanwezig in het netwerk. i stromen geïnjecteerd in knoop i door de stroombronnen J n Opmerking: de regels (35), (36) en (37) voor het opstellen van Y n V n J n vergelijkingen zijn geldig voor een willekeurig netwerk. De afleiding via het voorbeeld is geen strikt bewijs omdat we niet aangetoond hebben dat de bekomen vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn. Dit wordt aangetoond in het o.o. Netwerken en Filters, 3de BA EIT. c) We kunnen het stelsel (32) bijvoorbeeld oplossen naar via de regel van Cramer V 3 (37) G + G 2 + G E G G E et () G G + G 3 + G b V 3 G 2 G 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------- det( Y n ) (38) G E ( G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b )) -------------------------------------------------------------------------- et () det( Y n ) 23
waarbij det( Y n ) G G 3 G 4 + G G b ( G 2 + G 3 + G 4 ) + G 2 G 3 G b + G 2 G 4 ( G + G 3 + G b ) + G E G 3 ( G + G b ) + G E ( G 2 + G 4 ) G + G 3 + G b (39) Speciaal geval: de limiet voor R E en dus G E van V 3 is G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b ) V 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------et () G 3 ( G + G b ) + G 2 + G 4 G + G 3 + G b (4) Indien we onmiddellijk R E nemen in Figuur 28 dan kunnen we de regels (36) en (37) om Y n en J n op te stellen niet toepassen (de conductantie van een ideale spanningsbron is oneindig, en het Norton equivalent van een ideale spanningsbron bestaat niet). De fundamentele reden hiervoor is dat knooppuntpotentiaal V gekend is wanneer R E. De oplossing bestaat erin om het netwerk te vereenvoudigen via de zogenaamde V-shift wat in de volgende sectie wordt uitgelegd. 5.2. V-shift a) Algemeen. Beschouw een ideale spanningsbron gelegen tussen knopen en 2. 3 i 2 i 3 i4 R 3 i 2 E Figuur 29 i E R 4 4 De vergelijkingen die het netwerk in Figuur 29 beschrijven zijn: KCL in : i + i 2 i E KCL in 2 : i E i 3 + i 4 VAL bron : E V + V 2 VAL R 3 : V 2 V 3 R 3 i 3 VAL R 4 : V 2 V 4 R 4 i 4 (alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van vergelijkingen en van in de VAL-wetten geeft: V 2 i E in de KCL 24
KCL: i + i 2 i 3 + i 4 VAL: V V 3 R 3 i 3 E V V 4 R 4 i 4 E en de VAL- Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop wetten in takken met weerstanden R 3 en R 4 van het volgende netwerk. i i 3 E R 3 3 4 i 2 i 4 E R 4 Figuur 3: V-shift toegepast op de ideale spanningsbron in Figuur 29. De overgang van Figuur 29 naar Figuur 3 noemt men de V-shift van een ideale spanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door de ideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin de bron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialen met. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossing van het netwerk dezelfde (op i E en V 2 na die geëlimineerd zijn). b) Toepassing op het netwerk in Figuur 28 waarbij RE. R 2 3 et R 2 R 3 R b R 4 Figuur 3: Netwerk met ideale spanningsbron. Na toepassing van de V-shift wordt Figuur 3 et R 2 3 et R 2 R 4 R 3 R b Figuur 32 Oplossen van het netwerk in Figuur 32 via de Y n V n J n methode geeft 25
G + G 3 + G b G 3 G 3 G 2 + G 3 + G 4 V 2 V 3 G et () G 2 et () (4) Dit stelsel oplossen naar V 3 levert G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b ) V 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- G + G b G 2 + G 3 + G 4 + G 3 G 2 + G 4 et () (42) wat na herschikken van de noemer gelijk is aan (4). 5.3. Illustratie op een actief netwerk R 2 R +5 V 2 et () -5 V u b () t R b Figuur 33: Weerstandsnetwerk met operationele versterker. We beschouwen de actieve kring in Figuur 33 waarbij de operationele versterker (operational amplifier opamp ) +5 V R i -5 V R AV ( + V - ) Figuur 34: Equivalent schema van een opamp. de volgende karakteristieken heeft R i (typisch M voor bipolaire technologie en T voor jfet/cmos technologie); R (typisch 5 tot 2 ); en een eindige winst A (typisch 4 tot 6 ). We zullen de spanning u b () t over de belastingsweerstand R b op 2 manieren bereken: eerst door het volledige netwerk via de Y n V n J n methode op te lossen, en vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van het netwerk gezien vanuit knoop 2. 26
a) Volledig oplossen van het netwerk. Het equivalent schema van de actieve kring is R R 2 2 R et () R b AV met als overeenstemmende Y n V n J n vergelijkingen G + G 2 G 2 G 2 G 2 + G + G b V V 2 G et () G AV Om het stelsel te kunnen oplossen moet de onbekende knooppuntpotentiaal rechterlid naar links gebracht worden V in het G + G 2 G 2 G 2 + G A G 2 + G + G b V V 2 G et () Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft: G G 2 G A u b () t V 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------e () G + G 2 G 2 + G + G b + G 2 G 2 + G A t (43) b) Toepassen van de stelling van Thévenin. Hier moeten we eerst de 2 volgende parameters berekenen: de open klem spanning V 2 in knoop 2 en de uitgangsimpedantie. R OUT Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen R R 2 V 2 R et () AV De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (43) waarbij of G b, zodat R b V 2 G G 2 G A ------------------------------------------------------------------------------------------------e () (44) G + G 2 G 2 + G + G 2 G 2 + G A t 27
De uitgangsimpedantie R OUT vinden we door de spanningsbron et () kort te sluiten ( et () stellen; doch de spanningsgestuurde spanningsbron laten staan!) en door een stroom j in knoop 2 te injecteren: R R 2 2 R j AV De verhouding V 2 j is dan de gezochte uitgangsweerstand. Toepassen van de Y n V n J n methode geeft G + G 2 G 2 G 2 G 2 + G V V 2 j G AV of nog na de onbekende V in het rechterlid naar links gebracht te hebben G + G 2 G 2 G 2 + G A G 2 + G V V 2 j We vinden V 2 G R OUT ----- + G 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ j G + G 2 G 2 + G + G 2 G 2 + G A Tenslotte vinden we de gezochte spanning u b () t in Figuur 33 als oplossing van (45) R OUT V 2 R b u b () t via de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) u b () t R b R ------------------------ OUT + R V ---------------------------- V 2 b + G b R 2 OUT (46) Substitutie van (44) en (45) in (46) resulteert in(43). 28
c) Bespreking.. Indien de winst A naar oneindig gaat dan wordt de verhouding u b () t et () gelijk aan R 2 R (zie (43)), m.a.w. de actieve schakeling werkt als een inverterende spanningsversterker. 2. Voor A wordt de uitgangsweerstand R OUT alhoewel R (zie (45)). Is A» dan kan (45) benaderd worden als R 2 R OUT + ----- R ----- A R m.a.w. de uitgangsweerstand van de spanningsversterker is gelijk aan de uitgangsweerstand van de opamp vermenigvuldigd met één plus de spanningswinst R 2 R en gedeeld door de open lus winst A van de opamp. Bijvoorbeeld, neem R, R 2 R en A 5 dan is m. R OUT 29
6. Compensatiestelling 6.. Probleemstelling Beschouw een weerstandsnetwerk met bronnen (onafhankelijke en gestuurde). e j () t E s J r i u R i k R k u k Figuur 35: Oorspronkelijk weerstandsnetwerk. We wensen nu na te gaan wat de invloed is van een verandering van de weerstandswaarde R naar R + R op de spanningen en stromen in het netwerk. De rechtstreekse aanpak bestaat erin om het nieuwe weerstandsnetwerk waarbij R vervangen is door R + R op te lossen. E s J r e j () t i + i i k + i k R k u + u R + R u k + u k Figuur 36: Geperturbeerd weerstandsnetwerk ( R R+ R ). Het verschil tussen de oplossingen van Figuren 36 en 35 levert dan de gezochte i k en u k. Het nadeel van deze aanpak is dat voor kleine variaties ( R R «) het verschil van de twee oplossingen numeriek onnauwkeurig kan zijn. De compensatiestelling biedt hieraan een oplossing. Merk op dat de compensatiestelling geldig is voor een willekeurige R ( R R of R R zijn ook toegelaten). 6.2. Formulering en bewijs stelling Stelling. De gezochte variaties u k en i k van de spanningen en stromen onder invloed van een verandering R van de weerstand R in het oorspronkelijk netwerk worden gevonden als oplossing van het netwerk waarbij alle bronnen worden weggelaten en waarbij er een spanningsbron ir in serie met de weerstand R + R wordt geplaatst (zie Figuur 37, blz. 3). Merk op dat de gestuurde bronnen actief blijven. Zoniet zou men de fundamentele werking van het weerstandsnetwerk wijzigen. 3
i u R + R i k R k ir u k Figuur 37: Gewijzigd weerstandsnetwerk om de stroom- en spanningsvariaties veroorzaakt door een weerstandvariatie R R+ R te berekenen. Bewijs. Het weerstandsnetwerk in Figuur 35 is elektrisch equivalent met e j () t i k E s R k J r u i R + R R e j () t i k E s R k J r u i R + R ir (a) u k (b) u k Figuur 38: Netwerkequivalenties van Figuur 35. In netwerk (b) zijn alle vergelijkingen (KCL, KVL, VAL) dezelfde als in netwerk (a) behalve dat de weerstand R in (a) vervangen is door een spanningsbron ir in (b). Gezien de waarde van de spanningsbron in (b) precies de spanningsval over de weerstand R in (a) voorstelt zijn alle stromen en spanningen in (a) en (b) gelijk. We passen nu de superpositiestelling toe op het weerstandsnetwerk (b) in Figuur 38 waarbij we de bijdragen van de onafhankelijke bronnen opsplitsen in deze van enerzijds e j () t, E s en J r en anderzijds ir e j () t E s I i k R k J r u I i I R + R II i k R k i II R + R ir u II I u k II u k (I) Figuur 39: Superpositiestelling toegepast op het weerstandsnetwerk (b) in Figuur 38. (II) 3
zodat de spanningen en stromen in het oorspronkelijk netwerk (zie Figuur 35, blz. 3) kunnen geschreven worden als I u k II u k u k + i k I II i k + i k (47) I Nu is per constructie i k I i k + i k en u k u k + u k, en combinatie met (47) geeft u k i k II u k II i k (48) Uit (48) volgt er dat het teken van de spanningsbron ir in weerstandsnetwerk (II) van Figuur 39 kan omgewisseld worden wat resulteert in het weerstandsnetwerk van Figuur 37. Opmerkingen:. Om het gewijzigd weerstandsnetwerk in Figuur 37 op te lossen moeten we de oorspronkelijke stroom i door de weerstand R kennen. 2. Indien R R «dan kan het gewijzigd weerstandsnetwerk in Figuur 37 vereenvoudigd worden door R + R te vervangen door R. 6.3. Gevoeligheidsanalyse van de brug van Wheatstone rond het evenwicht R E R a R b E V R c Rx Figuur 4: Brug van Wheatstone met onkende weerstand R x en regelbare weerstand R c. Als toepassing op de compensatiestelling berekenen we de gevoeligheid van de brug van Wheatstone rond het evenwicht. In Figuur 4 wordt een voltmeter met een interne weerstand R V gebruikt als detector van het evenwicht ( R V M of groter). Het elektrisch equivalent schema van de brug wordt getoond in Figuur 4. De brug is in evenwicht wanneer de spanning aangegeven door de voltmeter nul is ( u V in Figuur 4). Aan deze voorwaarde is voldaan enkel en alleen indien u a u b (pas de KVL vergelijking toe op de gesloten lus bestaande uit de weerstanden R a, R b en R V ). Via de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) vinden we dan u a u b R a R a + R c ----------------- u a + u c R b R b + R x ----------------- u b + u x (49) 32
i E R E i b u b u a R a i a R b E i V R V i c u V i x u c R c Rx u x Figuur 4: Elektrisch equivalent schema van de brug van Wheatstone in Figuur 4. Gezien nu u a + u c u b + u x (pas de KVL vergelijking toe op de gesloten lus gevormd door weerstanden R a, R b, R c en R x ) volgt er uit (49) dat de brug in evenwicht is enkel en alleen indien R a R x R c R b R x R c R ----------- b R a We wensen nu de volgende vraag te beantwoorden: Wat is de vereiste resolutie van de voltmeter bij evenwicht om de onbekende weerstand R x met een gegeven relatieve fout R x R x te kunnen meten? Het beantwoorden van deze vraag gebeurt in twee stappen. Eerst berekenen we de nodige resolutie R c van de regelbare weerstand R c om R x met een fout R x te meten, en vervolgens de vereiste resolutie u V van de voltmeter om de variatie rond evenwicht van de brug waar te nemen. R c Ra Rb In de onderstelling dat de weerstanden en exact gekend zijn leiden we uit (5) onmiddellijk de vereiste resolutie af van de regelbare weerstand R c om R x met een gegeven relatieve fout R x R x te meten (5) R --------- c R c R --------- x R x (5) Indien we R x op bijvoorbeeld drie beduidende cijfers wensen te meten R x R x 3, dan volgt er uit (5) dat de minimale resolutie R c van de regelbare weerstand gelijk moet zijn aan R c 3. R c Om nu de vereiste resolutie u V van de voltmeter te berekenen ten gevolge van een variatie R c rond het evenwicht van de brug, passen we de compensatiestelling toe waarbij we in Figuur 37 R + R vervangen door R hier R c + R c door R c (eerste orde benadering geldig voor kleine relatieve variaties R c R c «). Dit geeft aanleiding tot het netwerk getoond in Figuur 42. Om de berekeningen te vereenvoudigen wordt dit netwerk nu in twee stappen herleid tot een nieuwe brugschakeling. Eerst passen we de reciprociteitseigenschap (zie 2.7., blz. 4) toe op de tweepoort in Figuur 42 waarbij de spanningsbron als ingangspoort en het weerstandsloze deel van de tak die de stroom i V voert als uitgangspoort (zie de rode knooppunten in Figuur 42). Dit levert het netwerk in Figuur 43. 33
R E R a i V u V R V R b R c i c R c R x Figuur 42: Toepassing van de compensatiestelling op de brug van Wheatstone in Figuur 4. De rode knopen geven de gekozen ingangs- en uitgangspoorten aan. R E R a R b i c R c R V R c i V R x Figuur 43: Toepassing van de reciprociteitstelling op de tweepoort in Figuur 42. De rode knopen geven de gekozen ingangs- en uitgangspoorten aan. Vervolgens kan het netwerk in Figuur 43 hertekend worden als een nieuwe brugschakeling waarbij de tak met de weerstand R E de detector voorstelt en de tak met de serieschakeling van de spanningsbron en de weerstand R V (omwisselbaar) de generator (zie Figuur 44, blz. 35). Merk op dat de evenwichtsvoorwaarde voor deze nieuwe brug dezelfde is als voor de oorspronkelijke brug in Figuur 4. Gezien de oorspronkelijke brug bij onderstelling in evenwicht is ((5) is voldaan) is dit ook het geval voor de nieuwe brug wat de berekening van de stroom i V in Figuur 44 sterk vereenvoudigt ( u i ). Via de wet van de stroomdeler (zie.3., blz. 6) vinden we een uitdrukking voor i V als functie van j, de stroom doorheen R V, R a + R b i V ------------------------------------------j R a + R b + R c + R x (52) De stroom j is gelijk aan de spanning i c R c gedeeld door de totale weerstand gezien vanuit de spanningsbron j i c R ----------------------------------------------------------- c R a + R b R c + R x R V + ---------------------------------------------- R a + R b + R c + R x (53) 34
j R V R c i V R a i c R c i R E u R x R b Figuur 44: Hertekenen van het netwerk in Figuur 43 als een brugschakeling. Combinatie van (52) en (53) geeft i c R c R a + R b i V ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- R a + R b + R c + R x R V + R a + R b R c + R x (54) Rekening houdend met het verband (5) kan geëlimineerd worden in (54) R x i V R a i c R ----------------------------------------------------------------- c R a + R c R V + R a + R b R c (55) De stroom i c in de oorspronkelijke brugschakeling bij evenwicht (Figuur 4 met i V ) kan op dezelfde manier teruggevonden als voor i V. We vinden na enig rekenwerk i c R b E ----------------------------------------------------------------- R a + R b R E + R a + R c R b (56) Combinatie van (55) en (56) met u V en R c R V i V geeft het gezocht verband tussen u V u V R a R b R V E ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------R R a + R c R V + R a + R b R c R a + R b R E + R a + R c R b c (57) Speciaal geval. Indien R V» max( R a R b R c ) dan vereenvoudigt (57) zich als u R a R b E V ----------------------------------------------------------------------------------------------R R a + R c R a + R b R E + R a + R c R b c (58) Numeriek voorbeeld. Neem, bijvoorbeeld, R a k, R b 2, R c 3.5 k, R x 6, R E 5, R V M, en E 8 V, en veronderstel dat we R x op drie beduidende cijfers wensen te meten ( R x R x 3 ). Uit (5) en (58) volgt dan respectievelijk dat R c 3 en u V mv R c. Combinatie van deze twee resultaten geeft uiteindelijk de vereiste resolutie van de voltmeter rond het evenwicht van de brug: u V 3 mv. 35
DEEL II: RLC NETWERKEN 36
7. Inleiding In dit deel van de cursus beschouwen we netwerken bestaande uit weerstanden, spoelen, condensatoren, onafhankelijke spannings- en stroombronnen, en gestuurde bronnen. et () jt () L C R Figuur 45: RLC-netwerk. Eerst bestuderen we het regime antwoord ( stationair gedrag antwoord voor t ) onder sinusoïdale bronnen (zie 8., blz. 38) en vervolgens het transient gedrag (overgangsverschijnselen) van RLC-netwerken. In beide gevallen zal blijken dat mits het invoeren van het begrip impedantie voor een spoel en een condensator we een evenredig verband kunnen uitdrukken tussen de spanningen en de stromen in een spoel en condensator ( veralgemening van de wet van Ohm). Bijgevolg zijn alle resultaten aangetoond in deel I voor weerstandsnetwerken (wet van de spanningsdeler, wet van de stroomdeler, stellingen van Thévenin en Norton, tweepoort beschrijving, de oplossingsmethode van de knooppuntpotentialen, de compensatiestelling) automatisch ook geldig voor RLC-netwerken in stationair en transient gedrag. 37
8. Stationair (regime) antwoord De berekeningswijze via de complexe notatie wordt eerst ingevoerd via een éénvoudig voorbeeld ( 8..) en nadien veralgemeend naar een willekeurig netwerk ( 8.2.). Hierop gebaseerd voeren we het begrip impedantie in van een spoel en een condensator onder sinusoïdaal regime ( 8.3.). We besluiten dat alle methodes voor het oplossen van weerstandsnetwerken ook gelden voor RLC-netwerken onder sinusoïdaal regime. De aanpak wordt vervolgens geïllustreerd op een aantal praktische voorbeelden ( 8.4.) en resonantiekringen ( 8.5.). Tenslotte berekenen we het gemiddeld vermogen gedissipeerd in een belasting onder sinusoïdaal regime ( 8.6.) en gaan we na wanneer de vermogenoverdracht van bron naar belasting maximaal is ( 8.7.). 8.. Motivatie complexe notatie via een éénvoudig voorbeeld it () R et () Ecos( t + ) C ut ()? Figuur 46: RC-netwerk met sinusoïdale spanningsbron. Toepassen van de KVL vergelijking in de gesloten lus van Figuur 46 geeft de volgende differentiaalvergelijking in de spanning ut () over de condensator RC du ----------- () t + ut () Ecos( t + ) (59) dt De oplossing van differentiaalvergelijking (59) is de som van de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking (rechterlid in (59) nul stellen) en van een particuliere oplossing (een signaal ut () dat aan (59) voldoet). De oplossing van de homogene vergelijking stelt de overgangsverschijnselen voor (zie 9. en. voor de details) terwijl de particuliere oplossing het sinusoïdaal regimeantwoord is (oplossing van (59) wanneer t ). Hieronder berekenen we eerst rechtstreeks de particuliere oplossing van (59) en voeren nadien de complexe notatie in. Rechtstreekse berekening particuliere oplossing (59). Gebruik makend van cos( x + y) cosxcosy sinxsiny wordt het rechterlid in (59) (6) Ecos( t + ) Ecostcos Esintsin Dit toont aan dat er een particuliere oplossing bestaat van de vorm ut () sint + cost Inderdaad, substitutie van (6) in (59) levert RC + cost + RCsint Ecoscost Esinsint (6) (62) 38
i c () t R e c () t Ee jt + C u c () t? Figuur 47: Gedachtenexperiment met een complexe spanningsbron. Gezien cost en sint lineair onafhankelijke functies zijn kan (62) enkel geldig zijn t indien RC+ Ecos RC Esin Oplossen van het stelsel (63) geeft (63) RCcos sin -----------------------------------------E RC 2 + RCsin + cos -----------------------------------------E RC 2 + Combinatie van (6) en (64) geeft uiteindelijk de gezochte particulier oplossing (sinusoïdaal regimeantwoord) ut () E RC ----------------------------------------- cos sin (65) RC 2 sint + E RC ----------------------------------------- sin + cos + RC 2 cost + Hieronder tonen we nu aan dat de berekening van (65) sterk vereenvoudigd kan worden via het invoeren van een complexe spanningsbron die we in een gedachtenexperiment aanleggen aan het RC-netwerk. Berekening particuliere oplossing (59) via complexe notatie. Merk eerst op dat het rechterlid in (59) kan geschreven worden als een som van exponentiële functies e et () ReEe jt + c () t + e c () t ( ) -------------------------- met e (66) 2 c () t Ee jt + E c e jt waarbij E c Ee j, en met z de complex toegevoegde van z. In een gedachtenexperiment vervangen we nu de spanningsbron et () in Figuur 46 door de complexe spanningsbron e c () t (66). Het regimeantwoord op deze complexe bron noemen we u c () t en is een particuliere oplossing van RC du c ------------- () t + u (67) dt c () t e c () t (oplossing (67) voor t ). Gezien de coëfficiënten van (67) reëel zijn is u c () t het regimeantwoord op e c () t en is een particuliere oplossing van (64) 39
RC du c ------------- () t + u (68) dt c () t e c () t (bewijs: neem de complex toegevoegde van (67)). Optellen van (67) en (68) en delen door twee geeft exact (59) wat aantoont dat het gezochte reëel sinusoïdaal regimeantwoord ut () kan berekend worden als het reëel deel van u c () t u c () t + u c () t ut () --------------------------- Re( u (69) 2 c () t ) We berekenen nu een particuliere oplossing van (67) met e c () t gedefinieerd in (66). Gezien e c () t een exponentiële functie is, is de particuliere oplossing van de vorm Substitutie van (7) in (67) geeft u c () t e jt met (7) RCj + e jt E c e jt (7) waaruit volgt dat ((7) moet geldig zijn t ) ----------------------- (72) RCj + Combinatie van (69), (7) en (72) levert het gezochte reëel sinusoïdaal regimeantwoord ut () Opmerkingen: (73). De berekeningen nodig om tot (73) te komen zijn éénvoudiger dan deze voor (65) (geen stelsel op te lossen). Deze aanpak wordt in 8.2. veralgemeend voor willekeurige RLC-netwerken. 2. Toepassen van de volgende trigonometrische formules op (73) geeft (65). E c ut () Re( ----------------------- e RCj + jt ) E -------------------------------- cost + bgtg( RC) RC 2 + E c cosx + y cosxcosy sinxsiny sinx + y sinxcosy + cosxsiny cosx sinx -------------------------- + tg 2 () x tg() x -------------------------- + tg 2 () x 3. Vergelijking (73) geeft meer inzicht in het regimeantwoord dan (65): (73) toont aan dat het regimeantwoord dezelfde vorm heeft als de bronspanning et () Ecost + met een amplitudeverandering een fasedraaiing gegeven door respectievelijk de amplitude en de fase van + RCj. 4