Inhoud 1 Exponentiële functies. 1 1.1 Denitie............................... 1 1.2 Graek............................... 2 1.3 Getransformeerde graek..................... 5 2 Logaritmische functies. 6 2.1 Voorbeelden............................ 6 2.2 Denitie van logaritmen...................... 7 2.3 Algebra van logaritmen...................... 9 2.4 Logaritmen als functies...................... 9 3 Exponentiële en logaritmische vergelijkingen. 13 4 Groeiprocessen. 17 4.1 Voorbeelden............................ 17 4.2 Veralgemening........................... 21 Oefeningen. 24 1 Exponentiële functies....................... 24 1.1 Ordeëigenschappen..................... 24 1.2 Graeken van exponentiële functies............ 24 2 Logaritmische functies....................... 27 2.1 Denitie........................... 27 2.2 Algebra van logaritmen.................. 27 2.3 Graeken van logaritmische functies........... 29 3 Exponentiële en logaritmische vergelijkingen........... 30 4 Groeiprocessen........................... 31
Exponentiële en logaritmische functies. Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duel September 2016 1 Exponentiële functies. 1.1 Denitie. In deze sectie bestuderen we machten a x met vast grondtal a en veranderlijke exponent x. Opdracht: vul de volgende tabel in met een nauwkeurigheid van drie beduidende cijfers. Gebruik de menu's Mode, Y=, TblSet en Table van je RT. x ( 1) x 0 x ( 1 2 )x 1 x 2 x 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Sint-Norbertusinstituut Duel 2 Deze tabel illustreert: Voor a < 0 is a x veelal niet gedeniëerd. Voor a = 0 is a x enkel gedeniëerd voor positieve exponenten. Voor a = 1 heeft a x de constante waarde 1. en ook de belangrijke ordeëigenschappen: Als a > 1 is a x stijgend in de exponent x: u < v a u < a v Als 0 < a < 1 is a x dalend in de exponent x: Hieruit volgt de vereenvoudigingsregel: u < v a u > a v a R + 0 \{1} : a u = a v u = v Denitie (Exponentiële functie). De functie die x afbeeldt op y = a x (a > 0 en a 1) is de exponentiële functie met grondtal a. In symbolen: a exp : R R : x y = a x (a > 0en a 1) De `ociële' notatie y = a exp(x) voor deze functie volgt hetzelfde patroon als het abstracte y = f(x) en een reeks andere basisfuncties in de wiskunde, maar wordt in de praktijk zelden gebruikt. 1.2 Graek. Opdracht. Hieronder zie je de graeken van twee exponentiële functies. Neem je RT en kies de vensterinstellingen identiek als op deze guren. Maak de graeken zichtbaar van y = 3 x en y = ( 1 3 )x en teken deze met de hand over op het juiste rooster. y = 2 x y = ( 1 2 )x
Sint-Norbertusinstituut Duel 3 Hierop kan je enkele belangrijke eigenschappen van exponentiële functies aezen. 1. Domein en beeld: 1. Domein en beeld: dom 2 x = bld 2 x = dom( 1 2 )x = bld( 1 2 )x = 2. Nulpunten: 2. Nulpunten: NPV = NPV = 3. Teken : 3. Teken : x R : x R : of met een tekentabel: x y = 2 x of met een tekentabel: x y = ( 1 2 )x 4. De functie y = 2 x stijgt overal: 4. De functie y = ( 1 2 )x daalt overal: x 1 < x 2 x 1 < x 2 of met een verlooptabel: of met een verlooptabel: x y = 2 x x y = ( 1 2 )x 5. Speciale waarden: 5. Speciale waarden: x = 0 y = 2 0 = 1 x = 1 y = 2 1 = 2 x = 0 y = ( 1 2 )0 = 1 x = 1 y = ( 1 2 )1 = 1 2 6. Limietwaarden: 6. Limietwaarden:
Sint-Norbertusinstituut Duel 4 x + x of met limietformules: lim x + 2x = lim x 2x = Meetkundige betekenis (MB): x + x of met limietformules: lim ( 1 x + 2 )x = lim ( 1 x 2 )x = Meetkundige betekenis (MB): HA : y = 0 (x-as) HA + : y = 0 (x-as) Merk op dat ( 1 2 )x = 2 x, m.a.w. g(x) = f( x). De waarde x in f(x) vervangen door x betekent meetkundig dat je een spiegeling uitvoert t.o.v. de Y -as. Dit verklaart waarom graf 2 x en graf( 1 2 )x elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v. de verticale as. Algemeen. De voorbeelden hierboven illustreren de volgende algemene eigenschappen van exponentiële functies: Voor elke exponentiële functie y = a exp(x) = a x (a > 0 en a 1) geldt: dom a x = R en bld a x = R + 0 NPV = a x is altijd strikt positief (graf a x ligt boven de X-as) a x is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1 graf a x gaat door het punt P (1, a) en het (vaste) punt S y (0, 1) (snijpunt met de Y -as) a x heeft als limietwaarden: lim x + ax = lim x ax = { + (a > 1) 0 (0 < a < 1) { 0 (a > 1) + (0 < a < 1) graf( 1 a )x is het spiegelbeeld van graf a x t.o.v. de verticale as
Sint-Norbertusinstituut Duel 5 1.3 Getransformeerde graek. Opdracht. Hieronder zie je de graek van de de functie f(x) = 4 x. Teken met je RT de graeken van g 1 (x) = 4 x, van g 2 (x) = 2 4 x en tenslotte van g 3 (x) = 3 4 x. Teken de graeken met de hand over in het rooster hieronder en benoem ze. In toepassingen komen vaak functies voor van de vorm y = ±b a x (b > 0). De graeken van deze functies zijn eenvoudige varianten of transformaties (lett.: omvormingen) van graf a x. Noteer f(x) = a x voor de basisfunctie en g(x) = ±b a x voor de meer algemene vorm. Als g(x) = a x krijgen alle y-waardes van f(x) een extra ( )-teken. De meetkundige betekenis (MB) hiervan op de guur van de graek is een eenvoudige spiegeling t.o.v. de X-as. Als g(x) = b a x worden alle y-waarden van f(x) met een vaste factor b vermenigvuldigd. De MB voor de graek is een verticale vergroting met een factor b (VVG b) vanuit de centraal gelegen X-as. Opmerking. Een eigenlijke vergroting vraagt in feite dat b > 1. Als 0 < b < 1 is, is het eect van vermenigvuldiging met b strikt genomen een verkleining. Het is een handige afspraak om ook in dat geval over een `vergroting' te blijven spreken.
Sint-Norbertusinstituut Duel 6 De graek van een functie g(x) = b a x combineert beide transformaties. 2 Logaritmische functies. 2.1 Voorbeelden. Logaritme met grondtal 10. In deze sectie proberen we een gegeven getal x te schrijven als een macht met een gegeven grondtal a. Concreet, met x = 1000 en a = 10: 1000 = 10 y y = 3. De gevraagde (onbekende) exponent is hier y = 3. In situaties zoals deze, waarin de exponent als onbekend wordt beschouwd duiden we die aan met het synoniem logaritme. In bovenstaand voorbeeld is de logaritme (van 1000) dus y = 3. In symbolen: Analoog: log 100 = 2 (want 100 = 10 2 ), log 1000 = 3. log 0.1 = 1 (want 0.1 = 1 10 = 10 1 ), log 0.001 = 3 (want 0.001 = 1 1000 = 10 3 ), log 1 = 0 (want 1 = 10 0 ), log 10 = 1 (want 10 = 10 1 ). log 10 = 1 2 (want 10 = 10 1 2 ), log 0 = / (want 10 y 0), log ( 10) = / (want 10 y > 0). In principe kan elk (strikt) positief getal x > 0 als een macht van 10 geschreven worden, maar de juiste exponent is vaak moeilijk te berekenen. In dat geval kan een RT of computer helpen. Zo is, met 4 beduidende cijfers: log 67 1,826. Als controle kan je (eveneens met het RT) narekenen dat 10 1.826 66,99, of 67 binnen de gegeven nauwkeurigheid.
Sint-Norbertusinstituut Duel 7 Logaritme met grondtal 2. In plaats van a = 10 kunnen we ook andere grondtallen gebruiken. Concreet, als je x = 16 wil schrijven als een macht van a = 2: 16 = 2 y y = 4. De gevraagde (onbekende) exponent is hier 4. Opnieuw noemen we deze exponent de logaritme (met grontal 2) van x = 16. Omdat de gevonden exponent afhangt van het gebruikte grondtal passen we de symbolische notatie lichtjes aan en schrijven 2 log 16 = 4. Analoog: 2 log 64 = 6 (want 64 = 8 8 = 2 6 ), 2 log 1 4 = 2 (want 1 4 = 2 2 ), 2 log 4 2 = 5 2 (want 4 2 = 2 2 2 1 2 = 2 5 2 ), 2 log 1 = 0 (want 1 = 2 0 ), 2 log 2 = 1 (want 2 = 2 1 ). In principe kan elk (positief) getal x > 0 als een macht van a = 2 geschreven worden, maar de juiste exponent is vaak moeilijk te berekenen. Je kan wel gemakkelijk een ruwe schatting maken. Zo is het duidelijk dat 10 = 2 y y [3, 4], m.a.w. 2 log 10 ligt ergens tussen de 3 en de 4. Controleer met je RT dat op 4 beduidende cijfers nauwkeurig 2 log 10 3,322. 2.2 Denitie van logaritmen. We veralgemenen de voorbeelden uit vorige sectie. Denitie. [Logaritme als bewerking] De logaritme van een (strikt) positief getal x (met grondtal a R + 0 1) is die exponent y waarvoor geldt dat x = a y. In symbolen: x > 0, a R + 0 \{1} : y = a log x x = a y.
Sint-Norbertusinstituut Duel 8 Uit deze denitie volgen direct twee speciale waarden a log 1 = 0 ; a log a = 1 en de vereenvoudigingsregels a log (a x ) = x ; a a log x = x. Vanwege de speciale rol die het getal 10 speelt in de onze notatie voor getallen spelen de logaritmen met grondtal a = 10 een bijzonder belangrijke rol. Ze zijn voorgeprogrammeerd in de meeste wetenschappeljke RT en dragen een aparte naam: Briggse of 10-delige logaritmen. Het is een traditie om 10-delige logaritmen zonder grondtal te noteren. Opmerkingen: Onthoud : log x def = 10 log x Elk (strikt) positief getal x > 0 heeft (voor toegelaten waarden van a) een unieke logaritme. Als x = a y (a > 0) dan volgt automatisch dat ook x > 0. Daarom hebben getallen x 0 geen logaritme: x 0 : a log x = / Logaritmen met grondtallen a 0 erven alle problemen van machten met deze grondtallen en worden daarom niet gedeniëerd! a 0 : a log x = / Een getal x schrijven als een macht van a = 1 kan enkel als x zelf de waarde 1 heeft. En in dat geval is de exponent y onbepaald: x = 1 y x = 1 en yis willekeurig. Daarom wordt (net als voor exponentiële functies) de waarde a = 1 voor het grondtal uitgesloten.
Sint-Norbertusinstituut Duel 9 2.3 Algebra van logaritmen. De algebra van logaritmen steunt op vier rekenregels (RR), die (op RR4 na) de tegenhangers zijn van gelijkaardige RR voor machten. 1. 2. ( ) 1 a log = a log x, x a log (x y) = a log x + a log y, ( ) x a log = a log x a log y, y 3. 4. a log (x r ) = r alog x, b log x = a log x a log b. a log ( n x) = 1 n alog x, Opdracht. Veriëer zonder RT door ll en rl apart te berekenen RR1 voor a = 2 en x = 32, RR2 voor a = 3, x = 81 en y = 27, RR3 voor a = 4, x = 64 en r = 3 en tenslotten RR4 voor b = 8, a = 2 en x = 64. 2.4 Logaritmen als functies. Denitie (Logaritmische functie). De functie die x afbeeldt op y = a log x (a > 0 en a 1) is de logaritmische functie met grondtal a. In symbolen: a log : R R : x y = a log x (a > 0 en a 1) Graek. De denitie van de logaritme als algebraïsche bewerking zegt dat y = a log x hetzelfde betekent als x = a y. Je vindt de graek van y = a log x door in die van y = a x de rol van x en y te verwisselen. Dit komt neer op een omwisseling van de x- en y-as of, equivalent daarmee, een spiegeling rond de eerste bissectrice d 1. Opdracht. Hieronder zie je de graeken van de funties y = 2 x en die van y = ( 1 2 )x. Teken in het zelfde rooster (met de losse hand, maar zo nauwkeurig mogelijk) de graeken van de logaritmische functies met het zelfde grondtal. f(x) = 2 log x y = 2 x g(x) = 1 2 log x y = ( 1 2 )x
Sint-Norbertusinstituut Duel 10 Eigenschappen. Op deze graeken kan je enkele belangrijke eigenschappen van logaritmische functies aezen. 1. Domein en beeld: 1. Domein en beeld: dom 2 log x = dom 1 2 log x = bld 2 log x = bld 1 2 log x = 2. Nulpunten: 2. Nulpunten: NPV = NPV = 3. Tekentabel: 3. Tekentabel: x 2 log x x 1 2 log x 4. De functie y = 2 log x stijgt overal: 4. De f tie y = 1 2 log x daalt overal: x 1 < x 2 x 1 < x 2 of met een verlooptabel: of met een verlooptabel: x 2 log x x 1 2 log x 5. Speciale waarden: 5. Speciale waarden: x = 1 y = x = 1 y = x = 2 y = x = 1 y = 2 6. Limietwaarden: 6. Limietwaarden:
Sint-Norbertusinstituut Duel 11 x + x 0 of met limietformules: lim 2 log x = x + lim x 0 2 log x = Meetkundige betekenis (MB): x + x 0 of met limietformules: 1 lim 2 log x = x + lim x 0 1 2 log x = Meetkundige betekenis (MB): VA : x = 0 (y-as) VA : x = 0 (y-as) Merk op dat 1 RR4 2 log x = 2 log x 2 log ( 1 2 ) = 2 log x, m.a.w. g(x) = f(x). Een ( )-teken toevoegen aan f(x) betekent meetkundig dat je een spiegeling uitvoert t.o.v. de X-as. Dit verklaart waarom graf 2 log x en graf 1 2 log x elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v. de horizontale as. Algemeen. De voorbeelden hierboven illustreren de volgende algemene eigenschappen van logaritmische functies:
Sint-Norbertusinstituut Duel 12 Voor elke logaritmische functie y = a log (x) (a > 0 en a 1) geldt: dom a log x = R + 0 en bld a log x = R NPV = {1} a log x is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1 graf a log x gaat door het punt P (a, 1) en het (vaste) punt S x (1, 0) (snijpunt met de X-as) a log x heeft als limietwaarden: lim a log x = x + lim a log x = x 0 { + (a > 1) { (0 < a < 1) (a > 1) + (0 < a < 1) graf 1 a log x is het spiegelbeeld van graf a log x t.o.v. de horizontale as
Sint-Norbertusinstituut Duel 13 3 Exponentiële en logaritmische vergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen waarin de onbekende x voorkomt in de exponent of in het argument van een logaritme. In uitzonderlijke gevallen kan x ook in het grondtal van een logaritme voorkomen. Om dit soort vergelijkingen op te lossen moet je ze vereenvoudigen tot een vorm die niet langer exponentiëel of logaritmisch is. Een algemeen toepasbare methode is er niet, maar bijna altijd gebruik je één van de volgende basisprincipes: 1. a u = a v u = v, 2. a log u = a log v u = v, (u, v > 0) 3. a u = b v ulog a = vlog b, 4. u log v = t v = u t, (u > 0 en u 1). Een woordje uitleg bij elk van deze basisprincipes: 1. De machten worden geëlimineerd door van beide leden de a-logaritme te nemen. Hiermee kan je de onbekende `uit de exponent halen'. 2. De logaritmen worden geëlimineerd door in beide leden de exponentiële functie a exp toe te passen. De voorwaarden u, v > 0 zijn bestaansvoorwaarden (BV). Zonder deze bestaansvoorwaarden geldt de redenering maar in één richting (van links naar rechts, maar niet omgekeerd). Hiermee kan je de onbekende `van achter de logaritme halen'. 3. De machten worden geëlimineerd door in beide leden de logaritme te nemen met grondtal 10. Dit kan je gebruiken voor vergelijkingen waar machten met verschillende grondtallen in voorkomen. 4. Dit is niets anders dan de denitie van de logaritme als algebraïsche bewerking. Dit principe is enkel nuttig als de onbekende niet voorkomt in het rechterlid t. Ook hier heb je twee bestaansvoorwaarden nodig als je de redenering in de twee richtingen wil kunnen maken.
Sint-Norbertusinstituut Duel 14 Voorbeelden. De nummers verwijzen naar de gebruikte basisprincipes. 1. Een eenvoudige exponentiële vergelijking. 5 2x 1 = 25 5 2x 1 = 5 2 (1) 2x 1 = 2 2. Machten met verschillende grondtallen. 5 3x 1 = 10 1 2x (3) (3x 1)log 5 = (1 2x)log 10 3xlog 5 + 2x = 1 + log 5 (3log 5 + 2)x = 1 + log 5 x = 1 + log 5 2 + 3log 5 0,415 3. Methode met hulponbekenden. In het voorbeeld hieronder merk je dat 3 x op verschillende plaatsen voorkomt. Het hele ll is opgebouwd met 3 x als bouwsteen. Door 3 x als hulponbekende te nemen krijgt de vergelijking een eenvoudiger vorm. 3 2x 3 10 3 x 2 + 3 = 0 32x 27 10 3x 9 u2 27 10 9 u + 3 = 0 u 2 30u + 81 = 0 + 3 = 0 (stel 3 x = u) We zoeken nu eerst de waarde van de hulponbekende u en bepalen daaruit in een tweede fase de waarde van de onbekende x. De discriminant van de bovenstaande vergelijking is D = 30 2 4 1 81 = 576 = 24 2. De oplossingen zijn u 1,2 = 30 ± 24 2 1 = { 27 3
Sint-Norbertusinstituut Duel 15 Het is belangrijk dat je de oplossingen voor de hulponbekende als u 1,2 noteert, en niet uit pure gewoont als x 1,2. Anders vergeet je wellicht dat er nog een tweede fase nodig is. Deze tweede fase is hier vrij kort: u = 27 3 x = 3 3 (3) x = 3 of u = 3 3 x = 3 (3) x = 1 En we beslsuiten: OV = {1, 3} 4. Een eenvoudige logaritmische vergelijking. Het belangrijkste is hier om direct de bestaanswoorwaarden te schrijven. 5 log (3x 5) = 5 log (x 2 + 4x 11) (2) 3x 5 = x 2 + 4x 11 x 2 + x 6 = 0 (s = 1, p = 6) (x 2)(x + 3) = 0 x = 2 of x = 3 (VW 1 ) VW 1 : 3x 5 > 0 VW 2 : x 2 + 4x 11 > 0 Eén van de oplossingen vervalt vanwege de BV en we besluiten: OV = {2} 5. Een speciale logaritmische vergelijking. Hier komt de onbekende voor in het grondtal van de logaritme. Het wegwerken van de logaritme kan je zien als een toepassing van de denitie van logaritmen (basisprincipe (4)) of als een variant op basisprincipe (2) (in beide leden de functie x 2 x 2 exp() toepassen). Denk ook hier aan de BV.
Sint-Norbertusinstituut Duel 16 x 2 x 2 log 16 = 2 (4) 16 = (x 2 x 2) 2 x 2 x 2 = 4 (VW 1 ) x 2 x 6 = 0 (s = 1, p = 6) (x 3)(x + 2) = 0 x = 3 of x = 2 VW 1 : x 2 x 2 > 0 VW 2 : x 2 x 2 1 We besluiten: OV = { 2, 3}
Sint-Norbertusinstituut Duel 17 4 Groeiprocessen. 4.1 Voorbeelden. 1. Basisvraagstuk. Op een laboratoriumschaaltje worden N 0 = 10 bacteriën geënt op een voedingsbodem. Na gemiddeld genomen één uur splitst elke bacterie zich in twee, waardoor het aantal bacteriën snel toeneemt. Bereken de tijd t (in uren) waarop het aantal bacteriën N 20 keer groter is geworden. Oplossing. Zoals het bovenstaand schema illustreert zal het aantal bacteriën elk uur verdubbelen. Na t uur is dus N = 10 2 t. Om te benadrukken dat N afhangt van de waarde van t schrijven we ook N(t) = 10 2 t (functienotatie) of N t = 10 2 t (indexnotatie). Op het tijdstip t dat we moeten berekenen is N een factor 20 groter geworden, m.a.w. N = 10 20 = 200. Invullen in de bovenstaande groeiwet geeft 200 = 10 2 t 2 t = 20 t = 2 log 20 4,322, en we besluiten: Het aantal bacteriën is 20 keer groter geworden na ongeveer 4u19m. Meer algemeen, voor een willekeurige beginwaarde van N 0 wordt het aantal bacteriën na een tijd t (in uren) gegeven door N(t) = N 0 2 t.
Sint-Norbertusinstituut Duel 18 Als het aantal bacteriën 20 keer groter is geworden is N(t) = 20N 0 en dus 20N 0 = N 0 2 t, met dezelfde waarde voor t tot gevolg. De tijd t die nodig is om het aantal bacteriën 20 keer groter te laten worden is dus onafhankelijk van de beginwaarde N 0. 2. Een nancieel vraagstuk. Een beginkapitaal K 0 = 10 000AC staat uit tegen een samengestelde interest van p = 3,12% op jaarbasis. Bereken het eindkapitaal K t na t = 1, 2, 3,..., 10 jaar. Oplossing. In de Wiskunde is het een traditie om een percentage zoals de interestvoet p te schrijven als een decimaal getal, m.a.w. p = 3,12% = 3,12 = 0,0312. In de berekeningen hieronder volgen we deze 100 traditie. Na 1 jaar: het kapitaal K 0 wordt vermeerderd met een interest i 0 die 3.12% van het belegde kapitaal K 0 bedraagt. Concreet is i 0 = 3,12 100 K 0 = 0,0312 10 000AC = 312AC. Het nieuwe kapitaal K 1 na 1 jaar is dan K 1 = K 0 + i 0 = 10 312AC. Na 2 jaar: het kapitaal K 1 wordt vermeerderd met een interest i 1 die 3,12% van het nieuwe kapitaal K 1 bedraagt (en niet van het oorspronkelijk belegde kapitaal K 0 ). Dus i 1 = 0,0312K 1 = 0,0312 10 312AC 321,73AC. Vergeleken met het 1ste jaar is de opbrengst aan rente 9,73AC groter geworden. Dit bedrag stelt de interest voor (gedurende het tweede jaar) op de interest i 0 (verworven gedurende het eerste jaar). Vandaar de benaming `samengestelde interest'. Het kapitaal na twee jaar is dan K 2 = K 1 + i 1 10 312AC + 321,73AC 10 633,73AC.
Sint-Norbertusinstituut Duel 19 Na 3 jaar: het tot dan gevormde kapitaal K 2 wordt vermeerderd met i 2 = 0,0312K 2 0,0312 10 633,73AC 331,77AC. De algemene formule voor de aangroei van het kapitaal (de interest) in het t-de jaar is i t = pk t, waarbij we de telling beginnen bij t = 0. Het kapitaal na 3 jaar is dan K 3 = K 2 + i 2 10 633,73AC + 331,77AC 10 965,50AC.... (en zo verder.) Omdat de interest i t elk jaar verandert is de berekening van het eindkapitaal na 10 jaar een zeer omslachtige zaak. We kunnen ons echter heel veel moeite besparen door de berekening te herorganiseren in de vorm van opeenvolgende producten i.p.v. opeenvolgende sommen. Na 1 jaar is K 1 = K 0 + i 0 = K 0 + pk 0 = K 0 (1 + p). We noemen de waarde a = 1 + p de groeifactor. In ons vraagstuk is de groeifactor a = 1 + p = 1,0312. Na 2 jaar is K 2 = K 1 + i 1 = K 1 + pk 1 = K 1 (1 + p).
Sint-Norbertusinstituut Duel 20 De groeifactor gedurende het tweede jaar is dus dezelfde als die gedurende het eerste jaar. Het mechanisme van samengestelde interest dat er voor zorgt dat de interest i t elk jaar verschillend is zorgt er tegelijk voor dat de groeifactor elk jaar de zelfde is. Na t jaar geldt dus dat Reken na als controle dat K t = K 0 a t. K 3 = K 0 a 3 = 10 000 (1,0312) 3 AC 10 965,51AC. De gevraagde eindwaarde van het kapitaal na 10 jaar vinden we nu in één stap: K 10 = K 0 a 10 = 10 000 (1.0312) 10 13 596,56AC. 3. Negatieve groei. Radioactiviteit is een proces waarin de atomen van een stof langzaam in brokstukken uit elkaar vallen. Het proces verloopt zo dat in elk tijdsinterval van een gegeven duur een vast percentage van de stof verloren gaat. De halfwaardetijd van een radioactief materiaal is de periode gedurende dewelke de helft van dat materiaal vervalt. Voor 14 C is de halfwaardetijd T 1/2 = 5730 jaar. Van een fossiel stuk hout weet men dat het oorspronkelijk m 0 = 7,28 mg 14 C bevatte. Daarvan blijkt nu nog maar m = 0,0278 mg over te blijven. Hoeveel jaar zijn in de tussentijd verstreken? Oplossing. Na elke halfwaardetijd T 1/2 vermindert de massa m van het radioactief materiaal met de helft. Na t van die periodes is m(t) = m 0 ( 1 2) t = m 0 2 t.
Sint-Norbertusinstituut Duel 21 Omdat het radioactief verval een geleidelijk verlopend proces is nemen we aan dat deze formule ook geldig is als t / N is. Er is gegeven dat m 0 = 7,28 mg en (op het ogenblik van de analyse) m(t) = 0,0278 mg, zodat 0,0278 mg = 7,28 mg 2 t. Uit deze vergelijking kunnen we de waarde van t bepalen: 2 t = 0,0278 7,.28 = 3,82 10 3 t = 2 log (3,82 10 3 ) = 8,03. Hiermee hebben we nog niet helemaal een antwoord gegeven op de gestelde vraag: t stelt immers de verstreken tijd voor in eenheden van T 1/2. In jaren uitgedrukt zijn er verstreken. 4.2 Veralgemening. t 5730 jaar 46 000 jaar Groeifactor. In een groeiproces hebben we te maken met een grootheid y > 0 die toeneemt (positieve groei) of afneemt (negatieve groei) in de tijd. Kenmerkend voor de meeste groeiprocessen is dat de waarde van y na een bepaalde tijd T (de tijdbasis of periode) met een vaste factor a (de groeifactor) wordt vermenigvuldigd. Na t van die periodes is y(t) = y 0 a t, ( ) waarin y 0 de beginwaarde van de grootheid y voorstelt. De veranderlijke t stelt de tijd voor gemeten in eenheden van de periode T. We zeggen dat we y hebben uitgedrukt in functie van de tijd. Je herkent in ( ) de denitieformule van een (getransformeerde) exponentiële functie. Groeiprocessen die aan deze wetmatigheid voldoen worden daarom exponentiële groeiprocessen (EGP) genoemd. Als de aangroei gelijkmatig in de tijd plaatsvindt is deze formule ook geldig voor niet-gehele waarden. Negatieve waarden voor t zijn enkel zinvol als het groeiproces ook in het verleden doorging. Soms wil men de tijd t uitdrukken in willekeurige eenheden (seconden, jaren,... ). Dit kan met de meer algemene formule y(t) = y 0 a t/t, waarin de periode T expliciet vermeld wordt.
Sint-Norbertusinstituut Duel 22 Onthoud: Een exponentiëel groeiproces wordt volledig bepaald door de tijdbasis of periode T, de bijhorende groeifactor a, de beginwaarde y 0. Voor een positieve groei is a > 1 (y(t) is stijgend in de tijd), voor een negatieve groei is 0 < a < 1 (y(t) is dalend in de tijd). Groeivoet. Zoals het voorbeeld uit de nanciële wereld laat zien is in een EGP de aangroei y gedurende één periode een vast percentage p van de waarde van y aan het begin van die periode ( y = py). De nieuwe waarde y op het einde van die periode is dan De bijhorende groeifactor a is dus y = y + y = y + py = y(1 + p). a = 1 + p. Het aangroeipercentage p noemen we de groeivoet. Deze formule is ook bruikbaar voor negatieve groei ( y < 0). Het volstaat om aan p een negatieve waarde te geven, bv. p = 0,05, wat staat voor een procentuele afname van 5% gedurende elke periode. Omdat a > 0 moet blijven moet p = a 1 een waarde krijgen in het interval ] 1, 0[. M.a.w. een afname van meer dan 100% is onmogelijk voor een EGP. Een toename daarentegen kan willekeurig groot zijn. Verandering van tijdbasis. Stel dat het BNP (Bruto Nationaal Product) van India groeit met p = 6% op jaarbasis (T = 1 jaar). Wat is dan de procentuele toename p na een periode T van drie jaar? Het naïeve antwoord p = 6% + 6% + 6% = 18% is fout! De enige juiste redenering luidt als volgt: de groeifactor op jaarbasis is a = 1 + p = 1,06. Op drie jaar tijd wordt het BNP vermenigvuldigd met a = a 3 = (1,06) 3 1,191.
Sint-Norbertusinstituut Duel 23 De procentuele toename op driejarige basis is dus p = a 1 19,1%, een vol procentpunt meer dan het naïeve antwoord. Om dit te begrijpen moet je voor ogen houden dat in elk EGP de aangroei gedurende de eerste periode voor een bijkomende aangroei zorgt in de volgende periodes. De 6% groei in de tweede periode staat in absolute cijfers voor een grotere waarde dan de 6% in de eerste periode, en mag dus niet zomaar daarbij opgeteld worden. (Zie ook het voorbeeldvraagstuk over samengestelde interest.) Door aangroeipercentages bij elkaar te tellen onderschat je de werkelijke aangroei. Op dezelfde manier zal bij een negatieve groei het optellen van afnamepercentages een overschatting van de werkelijke afname opleveren. Onthoud: Aangroei- of afnamepercentages over verschillende periodes kunnen niet bij elkaar worden opgeteld. Bij een nieuwe tijdbasis T hoort ook een andere groeifactor a : T = nt a = a n T = T n a = a 1/n = n a (n N 0 ) De nieuwe groeivoet kan dan gemakkelijk berekend worden met de formule p = a 1. Lineaire groei. Als je in de formule ( ) voor een EGP elk product vervangt door een optelling krijg je y = y 0 + a t. Deze formule beschrijft een groeiproces waarin de grootheid y in elke periode T vermeerderd wordt met een constante waarde y = a (d.w.z.: de aangroei zelf is constant, en niet het aangroeipercentage). Je herkent hierin de formule voor een functie van de eerste graad, waarvan de graek een rechte is. Dit soort proces wordt een lineair groeiproces (LGP) genoemd. De meeste groeiprocessen in de natuur zijn exponentiëel, en niet lineair. Als de aard van een groeiproces niet expliciet wordt vermeld gaat het in de regel om een EGP.
Sint-Norbertusinstituut Duel 24 Oefeningen. 1 Exponentiële functies. 1.1 Ordeëigenschappen. 1. Los de volgende vergelijkingen op zonder RT. Herleid beide leden tot een macht van het zelfde grondtal. 1. 2 x = 4 2. 10 x 1 = 0, 01 ( 3. 3 x 4 = ) x 1 4 3 4. 5 x+2 + 5 x = 130 ) 2x 5. ( 2 x+1 ( 5) = 25 4 6. 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 + 2 x+3 = 15 7. 3 x = 3 x 6 x = 2, 1, 16/5, 1, 1/3, 0, 9 2. Los de volgende ongelijkheden op zonder RT. Herleid beide leden tot een macht van het zelfde grondtal. 1. 4 x > 16 3. 5x < 3 5 2. ( ) 1 x 3 81 4. ( ) 9 x 16 4 3 ) 6 5. 2 x ( 2 > 2 6. 8 2x 1 ( ) 1 2 3x 4 ]2, + [, ], 4], ], 1 3 [, [ 1 2, + [, [0, + [, 1.2 Graeken van exponentiële functies. 3. Bepaal voor elk van de koppels (x, y) hieronder de waarde van het grondtal a zodat P (x, y) graf a x. 1. ( 1, 1 4 ) 2. ( 1, 5) 3. (2, 9) 4. (3, 8) 5. ( 2, 0.04) 6. ( 1 2, 2 2 ) a = 4, 1/5, 3, 2, 5, 1/2
Sint-Norbertusinstituut Duel 25 4. Transformaties. De graek van g(x) is een getransformeerde van f(x) = 2 x. Geef telkens de gebruikte transformaties. Het kan nuttig zijn om de denitieformule van g(x) om te vormen. 1. g(x) = 2 x 2. g(x) = 2 x 1 3. g(x) = 2 1 x 4. g(x) = 3 2 x 1 5. g(x) = 2 x + 1 6. g(x) = 2 x 2 Sp. y-as ; Sp. y-as / HVS +1 ; VVS +1 ; HVS +1 ; VVG 3 / VVS 1 ; HVG 2 5. Schrijf in de vorm b a x. 1. f(x) = 2 2x 1 2. f(x) = 1 2 3 x+2 3. f(x) = 4 1+ x 2 4. f(x) = 24 4 0.5x+1 ), (2, 4), (2, 6) (a, b) = (4; 1 2 ), ( 1 3 ; 9 2 6. Bepaal het voorschrift bij onderstaande graeken. y 1 (x) y 2 (x)
Sint-Norbertusinstituut Duel 26 y 3 (x) y 4 (x) y 5 (x) y 6 (x) y 7 (x) y 8 (x)
Sint-Norbertusinstituut Duel 27 y 1 = 1 2 2x y 2 = 1 2 3x y 3 = 3 ( 1 2 )x y 4 = ( 3 2 )x y 5 = ( 2 3 )x y 6 = 2 ( 2) x y 7 = ( 5) x y 8 = 3 ( 1 3 )x 2 Logaritmische functies. 2.1 Denitie. 7. Bereken zonder RT. 1. 2 log 16 2. 5 log 5 41 4. 4 log 7 2 5. 3 log (3 3) 7. 3 log 5 9 8. 5 log 1 10. 2 3 log 12 11. 8 log 2 3. 3 log 9 6. 0.1 log 0.0001 9. 16 log 64 12. 9 log 1 27 4, 41, /, 1/14, 3/2, 4, 4/5, 0, 3/2, 2, 1/3, -3/2 8. Vereenvoudig. 1. a log 1 3. a a log x 5. a log ( ) a log a (a3 ) 2. a log a x 4. a log ( a log a a ) 6. 1/a log a 3 0, x, x, 1, 3 3 9. Bepaal x zodat: 1. x 3 log 25 = 2 2. 2 log (x 3) = 7 2.2 Algebra van logaritmen. 10. Logaritmen splitsen. x = 8, x = 131 Druk uit in termen van a = log x, b = log (x + 2) en c = log (x 3). 1. log x (x+2) (x 3) ((x 2. log 3) x(x ) + 2) 2 a b 2c, a + b + c 2 2 2 11. Logaritmen combineren. Schrijf als één enkele logaritme.
Sint-Norbertusinstituut Duel 28 1. log 2x + log (x + 1) 2. 2 log x 1 log (x 2) 2 3. 2 + 2 log (x 3) 4. 2 + 3 log x 1 5. (log 215 + 8 log 6 3 log 121) 2 11 3, 24(x 3) log, 3 log (9x), log 215 6 4 12. Numeriek. ( ) x 2 x 2 2x(x+1) log, log Gegeven log 2 0.30 en log 3 0.48. Bereken zonder RT op 2 beduidende cijfers. 1. log 6 2. log 20 3. log 0.2 4. log 0.5 5. log 5 6. log 0.16 7. log (13 + 1 3 ) 8. log 10 10 log 0.01 0.78, 1.30, 0.70, 0.30, 0.70, 0.80, 1.12, 3/4 13. Bereken zonder RT. 1. 2 log 40 + 2 log 1 5 2. 5 log 100 5 log 20 3. log 81 log 9 4. 8 log 4 5. 8 log 1 64 1 6. 5 log ( 25 5 125 ) 3 7. 2 log 2 8. 4 log 5 2 9. 3 3 log 27 3, 2, 2, 2/3, 4, 13, 3, 1, 1 5 2 10 2 14. Bereken met je RT. Noteer je antwoord met 3 cijfers na de komma. 1. 50 log 12 2. 3 log 6 3. 7 log 4 4. 0.3 log 4 5. 1 5 log 9 6. 1.2 log 2.6 0.635, 1.631, 0.712, 1.151, 1.365, 5.241 15. Bewijs de volgende identiteiten.
Sint-Norbertusinstituut Duel 29 1. a log b b log c c log a = 1 2. a log b = 1/a log 1 b 1 3. + 1 = 1 a log c b log c ab log c 4. bn log a m = m b log a n 5. ab log x = a log x 1+ a log b 6. b2 log a x2 log b = 1 4 x log a 7. ( a n log x ) 2 = a log x an2 log x 8. a log x b log x + b log x c log x + c log x a log x = a log x blog x c log x abc log x 16. Inverse functies. Schrijf de gegeven formule van de vorm y = f(x) in een equivalente gedaante van de vorm x = g(y). De functie g() is de inverse functie van de functie f(). 1. y = 2 x 1 + 1 3. y = 2. y = 1 2 x 4. y = 1 2 x 2 3 2x 5. y = ( 1 x 2) 2 6. y = 2 [( ) 1 x ] 2 1 x = 2 log (y 1), x = 2 log (1 y), x = 2 log ( 3y), x = 2 2 log (1 y), x = 1/2 log (y + 2), x = 1/2 log (1 y ) 2 2.3 Graeken van logaritmische functies. 17. Bepaal het voorschrift bij onderstaande graeken. y 1 (x) y 2 (x)
Sint-Norbertusinstituut Duel 30 y = 3 log x, y = 1/4 log x 18. Bepaal domf(x). 1. f(x) = 2 log (1 x) 2. f(x) = 2 log (x 2 1) ], 1[, ], 1[ ]1, + [ 3 Exponentiële en logaritmische vergelijkingen. 19. Los op. Steun rechtstreeks op de basisprincipes en denities. 1. 6 x = 1 2. 2 x = 0.125 3. 25 x = 5 4. 2 x = 8 5. 3 2x = 1 3 3 6. 10 x 1 = 0.001 7. ( ) 27 x+2 125 25 = 0 9 8. 5 x = 10 9. 9 2x = 5 10. 4 5 x 2 = 2 x 1 x = 0, 3, 1 log 5 2 4 3 log 5 4log 3 2 20. Los op. Elimineer de logaritmen m.b.v. de basisprincipes en denities. 1. log (x 2 + 1) log (3x + 1) = 0 2. log (2x + 3) + log (x 1) = log (x 2 + 9) 3. log (x 3) + log (x + 1) = log (2x + 2) 4. 2log x + 1 = log (19x + 2) OV ={0, 3}, {3}, {5}, {2} 21. Los op. Neem van beide leden een logaritme, of gebruik een hulpveranderlijke. Noteer je resultaten met drie beduidende cijfers. 1. 2 x+3 = 16 x 3 2. 3 x+1 = 3 x 5 3. 3 4x+5 = 5 x 1 4. 5 1 x+2 = 4 3x+2 5. 12 x = 3 4 x 2 6. 15 3 x+1 243 5 x 2 = 0
Sint-Norbertusinstituut Duel 31 7. 4 x 5 2 x 24 = 0 8. 3 2x 3 10 3 x 2 + 3 = 0 9. 2 x + 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 30 10. 3 9 x 26 3 x = 9 OV = {5}, {9}, { 2.55}, { 0.422, 2.25}, { 1.52}, {3}, {3}, {1,3}, {4}, {2} 22. Los op. Herleid tot één enkele logaritme, gebruik hulponbekenden of steun rechtstreeks op de denitie. 1. 2 log x = 4 log (6 x) 2. 5 log (5 x 7) 25 log 324 = 2 x 3. 2 log x 4 log x 8 log x = 4 3 4. x + 2 log (2 x 7) = 3 5. 2 log (2 x 1) + x = 4 log 144 6. x+3 log (2x 1) = 1 7. x log (2x + 8) = 2 8. x 2 log (2x 5) = 2 x = 2, 2, 4, 3, 2, 4, 4, / 4 Groeiprocessen. 23. Een kapitaal van 4000.00ACwordt uitgezet tegen een samengestelde interest van 4.20% per jaar. 1. Wat is de groeifactor per jaar? 2. Wat is het kapitaal na 2 jaar? En na 10 jaar? a = 1.042; K 2 4343AC; K 10 6036AC 24. Tritium ( 3 H) is een radioactief isotoop van waterstof. Van de oorspronkelijke hoeveelheid y 0 die we als eenheid nemen vervalt elk jaar 5.5%. 1. Wat is de groeifactor per jaar? 2. Schrijf de overblijvende hoeveelheid als functie van de tijd. 3. Als er oorspronkelijk 25 mg tritium aanwezig is, hoeveel zal er daarvan nog overblijven na 10 jaar? a = 0.945; y = 0.945 t ; y(10) 0.0142 g
Sint-Norbertusinstituut Duel 32 25. In helder water vermindert de lichtintensiteit met 60% per meter diepte. We nemen de lichtintensiteit aan het oppervlak als eenheid. 1. Schrijf de lichtintensiteit als functie van de diepte. 2. Bereken de lichtintensiteit op 5 m diepte. I x = 0.40 x ; I 5 0.01 (m.a.w. 99% uitdoving) 26. Iemand heeft een waterplantje in zijn vijver aangebracht. De bladoppervlakte van het plantje verdubbelt elke dag. Na 20 dagen is de vijver helemaal bedekt. 1. Na hoeveel dagen was de vijver halfvol? 2. Hoelang zou het duren om de vijver volledig te bedekken als niet één maar vier plantjes in de vijver waren aangebracht? 27. Een auto verliest per jaar 18% van zijn waarde. 1. Hoeveel procent van de oorspronkelijke waarde blijft over na 2, 3, 6 en 10 jaar? 2. Wat zal de waarde zijn in 2016 van een auto die in 2010 12 500.00ACwaard is? 67% 55% 30% 14%; 3800AC 28. In een bos staan op dit moment 5 000 bomen. Door grond- en luchtverontreiniging sterft jaarlijks 1% van de bomen af. 1. Wat is de groeifactor op jaarbasis? 2. Schrijf het aantal bomen in functie van de tijd in jaren. 3. Hoeveel bomen staan er nog in dit bos over 10 jaar? (In de veronderstelling dat er in de tussentijd geen nieuwe bomen bijkomen.) 4. Hoeveel bomen stonden er 4 jaar geleden in dit bos? a = 0.99; N = 5000 (0.99) t ; N 10 4522; N 4 5205 29. In 2001 telde Laos ongeveer 5 600 000 inwoners. In 2002 waren er dit 5 740 000. In de veronderstelling dat het bevolkingsaantal exponentiëel groeit, bereken dan het aantal inwoners van Laos in 2010. 6 994 000
Sint-Norbertusinstituut Duel 33 30. Een bacteriecultuur groeit elk uur aan met 6%. 1. Met hoeveel % groeit deze cultuur aan in 2 uur? (M.a.w. wat is het aangroeipercentage (groeivoet) op 2-urige basis?) 2. Wat is het aangroeipercentage voor 1/2 uur? 3. Wat is het aangroeipercentage voor 1/n uur? 12.36%; 2.956%; p = n 1.06 1