Labo Digitale Signaalverwerking Fourrier Sound Synthese Dumon Willem & Van Haute Tom - 4elictI1 1 december 009
Inhoudsopgave 1 Inleiding......................................... 3 Wiskundige Analyse.................................. 3.1 Fourrier..................................... 3. Fourrier reeks van de gebruikte functies.................... 4 3 Experiment parameters en - methodes......................... 6 3.1 Correlatie-coëfficient.............................. 6 4 Experimenten en resultaten............................... 7 4.1 Vraag 1..................................... 7 4. Vraag..................................... 7 4.3 Vraag 3..................................... 9 4.4 Probleem 1................................... 10 4.5 Probleem................................... 11 4.6 Probleem 3................................... 15 5 Evaluatie en besluit................................... 16 1
Lijst van figuren 1 Driehoeksgolfvorm................................... 4 Zaagtand golfvorm................................... 5 3 Vierkantsgolfvorm................................... 6 4 De eerste 4 FS coëficienten............................... 8 5 De som van de 3e en 5e harmonische.......................... 9 6 Zaagtandfuncties 50Hz en 100Hz: het verschil..................... 11 7 Sinusfunctie: y, C k & B k................................ 13 8 Blokgolf: y, C k & B k.................................. 14
1 Inleiding In dit labo bestuderen we de Fourier-analyse en synthese zowel in het continue als het discrete domein. Eerst maken we de Fourier synthese van enkele typische golfvormen met de hand in het continue domein. Daarna verifiëren we deze bekomen waarden met Matlab. Aangezien Matlab, zoals in vorige labo s gezien, discreet werkt, zullen we hier dus het verband tussen Fourier in het continue en discrete domein moeten leggen. Matlab berekent Fourier aan de hand van de Fast Fourier Transformatie. Deze FFT is een versneld algoritme voor de berekening van de discrete tijd Fourier transformatie. We onderzoeken in dit labo dan ook hoe we deze FFT kunnen gebruiken om onze zelfberekende Fourier cooëfficiënten te verifiëren. Deze opgedane kennis omtrent Fourier gebruiken we dan om enkele ideale filterbewerkingen uit te voeren op periodieke signalen. De bekomen spectra gebruiken we dan voor enkele analyses. Wiskundige Analyse.1 Fourrier Complexe Vorm De Fourier serie wordt gedefinieerd door twee vergelijkingen: een analyse vergelijking (1) en een synthese vergelijking () C k = 1 f T (t) e jπkf0t dt (1) T f T (t) = + k= C k e jπkf 0t () Som van sinussen en cosinussen De Fourier serie kan ook worden uitgedrukt als een som van sinussen en cosinussen: Verband tussen beide vormen f T (t) = A 0 + A k cos(πkf 0 t) + B k sin(πkf 0 t) (3) Als we de volgende substitutie doen in 3: cos(πkf 0 t) = e jπkf 0t + e jπkf 0t sin(πkf 0 t) = e jπkf 0t e jπkf 0t j (4) 3
krijgen we f T (t) = A 0 + e jπkf 0t + e jπkf 0t e jπkf 0t e jπkf 0t (A k + B k j A 0 = C 0 = C 0 + ( Ak + B k j = (( Ak C k e jπkf 0t + B k j ) e jπkf 0t + ) ( e jπkf0t Ak + B k j Daaruit kunnen we dus de volgende substituties halen: A k = R{C k } ) ) e jπkf 0t ( Ak B ) k e jπkf0t = C k e jπkf0t +C k e jπkf 0t j B A k + B k = I{C k } k j = C k A k C k = + B k arg(c k ) = ϕ k = arctan B k Als we deze in vergelijking (3) brengen krijgen we: A k (5) (6) f T (t) = A 0 + C k cos(πkf 0 t ϕ k ) (7) Daarin kunnen we R k = C k = A k + B k vervangen, waardoor we uiteindelijk het volgende bekomen:. Fourrier reeks van de gebruikte functies Driehoeksgolfvorm geklampt op de nul-as f T (t) = A 0 + R k cos(πf 0 t ϕ k ) (8) berekenen A 0 : Figuur 1: Driehoeksgolfvorm y(t) = H T t (9) A 0 = T + T T y(t)dt = T (oppervlakte 1 periode) (10) = T HT = H 4
berekenen A k : A 0 = T + T T y(t)cos(kω 0 t)dt = T H T = 4H T P.I. = 4H kπt = 4H kπt = 4H kπt kω ( 0 + T T + T 0 tcos(kω 0 t)dt sin(kω 0 t) T 0 t d(sin(kω 0 t)) + T ( 0 1 ) [ cos(kω 0 t)] T kω 0 0 ( ) 1 [cos(kπ) cos(0)] kω 0 = H(( k) 1) k π 0 = 4H k π sin(kω 0 t)dt ) als k is oneven (11) (1) berekenen B k : Aangezien de driehoeksgolfvorm functie even is B k = 0. conclusie: y(t) = A 4H + k=0 (k + 1)π cos(π(k + 1)) f 0t) (13) Zaagtandgolfvorm Figuur : Zaagtand golfvorm De berekeningen gebeuren op dezelfde manier als bij de driehoeksgolfvorm, we geven hier enkel de bekomen waardes: Vierkantsgolfvorm A 0 = H (14) A k = 0 (oneven functie) (15) B k = H πk (16) y(t) = H + H kπ sin(πk f 0t) (17) k=0 Figuur 3: Vierkantsgolfvorm 5
De berekeningen gebeuren op dezelfde manier als bij de driehoeksgolfvorm en de zaagtand golfvorm, we geven hier enkel de bekomen waardes: A 0 = T (18) A k = 0 (oneven functie) (19) B k = T (k = oneven) (0) kπ y(t) = T + 4 T (k + 1)π sin(π(k + 1) f 0t) (1) k=0 3 Experiment parameters en - methodes 3.1 Correlatie-coëfficient De correlatiecoëfficient r geeft aan in welke mate er (lineaire) samenhang is tussen reeksen. r = (x x)(y ȳ) (n 1) s(x) s(y) waarbij x en ȳ de gemiddelde waardes zijn, en s(x) en s(y) de standaardafwijkingen. () 4 Experimenten en resultaten 4.1 Vraag 1 Er wordt gevraagd om de coëfficienten van de Fourier-reeks analytisch te berekenen. Deze coëficienten zijn reeds berekend in het hoofdstuk Wiskundige Analyse. Voor de driehoeksgolfvorm zijn deze vergelijking (9), (11) en (1). En als we dit driehoeksgolfvormig signaal gaan filteren door een LDF met een afsnijfrequentie van 3.5ω 0, gaan alle harmonischen boven deze waarde weggefilterd worden. Aangezien dat k een geheel getal moet zijn, zullen we deze functie maar kunnen weergeven tot en met 3ω 0. De coëficienten zijn dus A 0, A 1, A en A 3. 4. Vraag Als k (het aantal FS coëficienten) hoog is, dan zal het beter het origineel signaal benaderen. Hoe meer coëficienten, hoe beter de benadering. Toch kunnen we in de hoeken nog kleine foutjes zien. Dit zijn dus de moeilijkste plaatsen voor de FS. Theoretisch gezien zijn er dan ook oneindig veel coëficienten nodig om deze verschillen weg te werken. Praktisch is dit echt niet haalbaar, daarom maken we gebruik van een correlatie-index, zodat we kunnen berekenen hoeveel coëficienten we nodig hebben voor 99% overlapping the hebben. De formule hiervoor is reeds beschreven in vergelijking (). Als we de juiste waarden invullen blijkt dat k=3 al voldoende is voor 99.5% overlapping! Hieronder is een listing van onze M-file die we gebruiken om de eerste vier coëficienten te kunnen plotten, en om vervolgens ook het verschil aan te tonen tussen het origineel signaal, en de fouriergetransformeerde. Hiervoor nemen we telkens verschillende waarden voor k. 6
%e n k e l e g r o o t h e d e n d i e ons s i g n a a l i d e n t i f i c e r e n A = 1 ; f0 = 5 0 ; T = 1 / f0 ; f s = 8000; %de b e r e k e n d e f o u r i e r c o e f i c i e n t e n A0=A; %h e t a a n t a l f o u r i e r c o e f i c i e n t e n n = 1 : 1 ; %de c o e f i c i e n t e n An An = A ( ( 1 ). ˆ n 1 ). / ( n. ˆ pi ˆ ) ; %de t i j d waarover we ons s i g n a a l w i l l e n weergeven %r e k e n i n g houden met h e t a a n t a l samples d a t we w i l l e n weergeven t = ( 0 : f s / f0 ) / f s ; y = A0/+An cos ( pi f0 n t ) ; y i d e a a l = p u l s t r a n ( t +T /, 0 : T : 1, t r i p u l s, T ) ; p l o t ( t, [ y i d e a a l ; y ] ) ; x l a b e l ( t [ s ] ) ; y l a b e l ( y ) ; t i t l e ( y ( t ) voor ) ; %t en y b e p e r k e n t o t h e t s t i j g e n d e d e e l van de p e r i o d e t = t ( 1 : T / 4 f s + 1 ) ; y=y ( 1 : T/4 f s + 1 ) ; %b e r e k e n de g e m i d d e l d e s en s t a n d a a r d d e v i a t i e s a v g t = mean ( t ) ; s t d t = s t d ( t ) ; avg y = mean ( y ) ; s t d y = s t d ( y ) ; %b e r e k e n de c o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t r = sum ( ( ( t a v g t ) / s t d t ). ( ( y avg y ) / s t d y ) ) / ( l e n g t h ( t ) 1) %c o r r c o e f ( t, y ) ; f i g u r e ; fp = 0 : f0 : 3 f0 ; stem ( fp, abs ( [ A0,An ( 1 : 3 ) ] ) ) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( Ak ) ; t i t l e ( Ak ) ; Dit geeft ons volgende grafiek: Listing 1: vraag.m Figuur 4: De eerste 4 FS coëficienten Hieronder is een tabel die het aantal coëficienten weergeeft met hun corresponderende correlatie-index: 7
k (aantal) c (in %) 3 99.51 7 99.9 1 99.97 1 99.99 Tabel 1: Aantal coëficienten met hun corresponderende correlatie-index 4.3 Vraag 3 Als we de combinatie nemen van twee harmonischen (3e en de 5e) dan krijgen we een nieuwe samengestelde golf. Als een ideale lage doorlaatfilter de vijfde harmonische moet verwijderen, dan moet de afsnijfrequentie kleiner zijn dan 5 f 0. Maar ze moet wel hoger zijn dan 3 f 0, anders zal ook de derde harmonische mee worden weggefilterd. Hieronder bevindt zich de listing van de M-file voor het genereren van de plot: %e n k e l e g r o o t h e d e n f0 = 5 0 ; T = 1 / f0 ; f s = 8000; t = 0 : 1 / f s : T ; y3 = cos ( pi 3 f0 t pi / 4 ) ; y5 = 0. 5 cos ( pi 5 f0 t 3 pi / 4 ) ; y = ( y3+y5 ) ; p l o t ( t, [ y ; y3 ; y5 ] ) ; t i t l e ( y ( t ) = \ c d o t ( cos (\ p i 3 f 0 t \p i / 4 ) + 0. 5 cos (\ p i 5 f 0 t 3\ p i / 4 ) ) ) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( y ) ; Listing : vraag3.m Bij het uitvoeren van deze code krijgen we dan ook volgend resultaat: we zien zowel de 3e als de 5e harmonische en de som van beide. Figuur 5: De som van de 3e en 5e harmonische 4.4 Probleem 1 Bij probleem 1 krijgen we twee verschillende zaagtandfuncties, de ene met een frequentie van 50Hz, de andere met een frequentie van 100Hz. Als we nu van beide zaagtandfuncties de FS coëficienten berekenen, dan zien we dat deze gelijk zijn. Dit komt omdat deze coëficienten niet afhankelijk zijn van de frequentie, enkel van een parameter k. Dit wil zeggen dat dus voor alle zaagtandfuncties (met dezelfde hoogte weliswaar) de coëficienten hetzelfde zijn. Toch zien we een duidelijk vershil, namelijk de zaagtandfunctie met de hoogste frequentie (100Hz) heeft minder details dan de andere 8
zaagtandfunctie. Er zijn minder samples per periode. Dit is te wijten aan het feit dat de samplerate gelijk is. Om dit te illustreren hebben we volgende M-file gebruikt: %probleem 1 f0 =100; f =50; f s = 8000; n = 1 : 1 ; A0=0 An=0 echo on Bn = ( 1 ). ˆ ( n + 1 ).. / ( n pi ) echo o f f t = 0 : 1 / f s : 1 / f ; y=bn s i n ( pi f n t ) ; s u b p l o t (, 1, 1 ) ; p l o t ( t, y ) ; x l a b e l ( t [ s ] ) ; y l a b e l ( y ) ; t i t l e ( y ( t )= z a a g t a n d (50 Hz ) ) ; y=bn s i n ( pi f0 n t ) ; s u b p l o t (, 1, ) ; p l o t ( t, y ) ; x l a b e l ( t [ s ] ) ; y l a b e l ( y ) ; t i t l e ( y ( t )= z a a g t a n d (100 Hz ) ) ; Listing 3: probleem1.m In volgende grafiek zien we dus duidelijk dat bij de zaagtandfunctie met 100Hz de details veel minder zijn, dit is duidelijk te zien in de grootste bochten, deze zijn hoekiger en minder gedetailleerd. Figuur 6: Zaagtandfuncties 50Hz en 100Hz: het verschil 4.5 Probleem We gebruiken dus een sinus- en blokgolf om onze functie met fft te kunnen uittesten. Met behulp van deze functie kunnen we de DFS van de signalen berekenen. In onze plots, zien we eerst de originele functie ifv de tijd, gevolgd door de coëficienten C k ifv de frequentie, en tot slot ook nog de 9
coëficienten B k ook in functie van de frequentie. We plotten deze waarden voor zowel de sinusgolf, als de blokgolf. De code die hiervoor noodzakelijk was, bevindt zich hieronder: f0 = 5 0 ; f s = 8000; T = 1 / f0 ; %a a n t a l samples i n 1 p e r i o d e = T / Ts N = f s / f0 ; %t over 1 p e r i o d e = N samples % t = n Ts t = ( 0 : N 1)/ f s ; %de s i n u s g o l f y = s i n ( pi f0 t ) ; Y = f f t ( y,n ) ; fp = f s / : f s /N: f s / ; fp = fp ( 1 :N ) ; s u b p l o t ( 3, 1, 1 ) ; p l o t ( t ( 1 :N), y ( 1 :N ) ) ; x l a b e l ( t [ s ] ) ; y l a b e l ( y ) ; t i t l e ( y ( t ) = s i n (\ p i 5 0 t ) ) ; s u b p l o t ( 3, 1, ) ; stem ( fp, f f t s h i f t ( abs (Y ) ) / N) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( Ck ) ; t i t l e ( Ck ) ; s u b p l o t ( 3, 1, 3 ) ; %Bk= IM ( Ck ) stem ( fp, imag ( f f t s h i f t (Y ) / N ) ) ; a x i s ( [ 0 f s / 0 1 ] ) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( Bn ) ; t i t l e ( Bn ) ; f i g u r e ; t = ( 0 : N 1)/ f s ; %square neemt een s y m m e t r i s c h e v i e r k a n t s g o l f dus we moeten %hem een h a l v e a m p l i t u d e naar boven s c h u i v e n y = T/4+T / 4 s q u a r e ( pi f0 t ) ; s u b p l o t ( 3, 1, 1 ) ; p l o t ( t ( 1 :N), y ( 1 :N ) ) ; x l a b e l ( t [ s ] ) ; y l a b e l ( y ) ; t i t l e ( y ( t ) = T/4+T / 4. s q u a r e (\ p i 5 0 t ) ) ; 10
Y = f f t ( y,n ) ; fp = f s / : f s /N : f s / ; fp = fp ( 1 :N ) ; s u b p l o t ( 3, 1, ) ; stem ( fp, f f t s h i f t ( abs (Y ) / N ) ) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( Ck ) ; t i t l e ( Ck ) ; s u b p l o t ( 3, 1, 3 ) ; stem ( fp, imag ( f f t s h i f t (Y ) / N ) ) ; a x i s ( [ 0 f s / 0 T / pi ] ) ; x l a b e l ( f [ Hz ] ) ; y l a b e l ( Bn ) ; t i t l e ( Bn ) ; %druk A0 ; B1 ; B3 a f A0 = Y ( 1 ) / N B1 = imag (Y ( ) / N) B = imag (Y ( 4 ) / N) Listing 4: probleem.m 11
Als we deze M-file uitvoeren, krijgen we samengestelde grafieken, die hieronder worden weergegeven: Figuur 7: Sinusfunctie: y, C k & B k Voor de sinusfunctie is het vrij vanzelfsprekend dat we slechts één waarde gaat zijn voor de coëficient B k. We hebben dus enkel een waarde voor B 1, namelijk de amplitude van de functie. Dit is vrij logisch want de som van alle sinussen is immers de sinus zelf. Op de grafiek zien we dus duidelijk dat B 1 een waarde heeft van 1, bij 50Hz, en dat alle andere waarden 0 zijn. Als we dan weten dat B k = C k, zal dus C k = B k /. 1
Vervolgens plotten we ook de grafiek voor de blokgolf: Figuur 8: Blokgolf: y, C k & B k Voor de blokgolf hebben we de coëficienten reeds berekend in vergelijking (18) t.e.m. (1). We berekenen eerst de theoretische waarden: C 0 = A 0 = 0.0 4 = 0.0050 B 1 = T kπ = 0.0 π = 0.0064 B 3 = T kπ = 0.0 3π = 0.001 Vervolgens zien we ook in de grafiek dat deze waarden overeenstemmen. Voor alle zekerheid hebben we toch Matlab de waarden laten uitprinten: 4.6 Probleem 3 TO DO A 0 = 0.0050 B 1 = 0.0064 B = 0.001 13
5 Evaluatie en besluit Voor we aan onze labo s konden starten, moesten we even weer alle kennis van onze goede vriend Fourier uit de kast halen en opfrissen. Dankzij de fourierreeks kunnen we met behulp van enkel sinussen en cosinussen alle andere golfpatronen benaderen: f T (t) = A 0 + A k cos(πkf 0 t) + B k sin(πkf 0 t) Hieruit kunnen we duidelijk opmaken dat als we even ( f (t) = f ( t)) golffuncties gaan benaderen, dat dan enkel de cosinussen noodzakelijk zijn, en dus B k = 0. Naar analogie kunnen we dan ook vermelden dat voor oneven functies ( f (t) = f (t)) enkel de sinussen van toepassing zijn, en dus hier A k = 0. De lengte van deze fourierreeks bepaalt de nauwkeurigheid van de benadering: hoe meer coëficienten er zijn, hoe nauwkeurig de golffunctie zal worden benaderd. Als men deze waarde oneindig groot zou nemen, zou deze in theorie perfect moeten benaderd worden. Natuurlijk weten we dat dit slechts theoretisch is, in de praktijk is dit niet haalbaar. Daarom gaan we in de praktijk slechts een beperkt aantal coëficienten gebruiken. Om het aantal coëficienten te bepalen, maakten we gebruik van de correlatieindex. Maar we hebben toch ons twijfels over de kwaliteit van deze index. Hij houdt namelijk niet voldoende rekening met de toppen, die steeds worden afgerond door de fourierreeks. Op die manier kwamen we al vrij snel aan een hoge index. Met drie coëficienten kregen we al een correlatie-index van 99.5%, wat al heel hoog is ondanks de fouten in de hoeken. Dit is te wijten aan het Gibbsverschijnsel: zowel de cosinus, de sinus als e ıkω 0x zijn continue functies, zodat de benadering een continue functie is. Dus is ook de benadering van een discontinue functie een continue functie. In een discontinuïteitspunt van een functie met een sprong, maakt de fourierreeks noodzakelijk een bovenen ondersprong. Als we dit dus zouden nodig hebben in de échte wereld, dan zouden we toch opzoek gaan naar andere technieken om het aantal coëficienten te bepalen. Verder hebben we ook gezien dat de coëficienten onafhankelijk zijn van de frequentie van de golf die te benaderen is. Hieruit leren we dat we dus moeten rekening houden hoeveel coëficienten we gebruiken, afhankelijk van de frequentie. Want als we het aantal coëficienten gelijk houden, en de frequentie wordt opgedreven, dan zal de kwaliteit dalen. Het wordt minder gedetailleerd. Hier moeten we in de praktijk toch zeker en vast rekening mee houden. Tot slot hebben we ook gebruik gemaakt van FFT (Fast Fourier Transformation) & IFFT (Inverse Fast Fourier Transformation), dit zijn twee zeer handige functies voor het ontleden van een verschillende functies. We hebben het in probleem & 3 toegepast op een sinus- en driehoeksgolf. Op die manier kunnen we zeer snel de nodige coëficienten berekenen in functie van de frequentie. In de praktijk zou dit een handige techniek zijn voor het analyseren van filters. We kunnen namelijk zeer snel uit het spectrum de afsnijfrequentie en de versterkingsfactoren van ideale filters berekenen. Dit zou dus ook zeer praktisch geweest zijn voor vraag 3, waarbij er een som van de 3e en de 5e harmonische was, met een LDF die de 5e harmonische moest wegfilteren. Nu waren de waarden gekent en was het zonder FFT ook mogelijk, als dit niet het geval zou geweest zijn, was FFT de meest praktische oplossing om die vraag correct te beantwoorden. 14
Spijtig genoeg hadden we niet voldoende tijd om alle problemen op te lossen, maar we zouden sowieso BLABLABLABLA NOG TOO DOOEEEEEE 15