Hoodsuk 7 - Logarimishe unies ladzijde 0 V-a De dagwaarde egin op 000 en daal naar 000. Dus: 000 g 000 = = 06 ; g = 000 06 0 909. = 000 g ; Op ijdsip = 0 is de dagwaarde 000. De groeiaor g 0 909 dus W = 000 0 909. 0 6 7 8 9 0 W 000 7 08 80 66 00 0 0 9970 900 88 d 0 909 = 0 97 ; 0 97 00% = 9 7% 0 0 e Groeiaor per 0 jaar is g = 0 909 06. 0 6 = 06 ; 06 00% = 6% 08 V-a He groei me 8% per jaar dus is de groeiaor: g = = 08. 00 De groeiaor per hal jaar is g = 08 0. Per hal jaar is de groei %. V-a He neem a me 8% per uur. Per uur is de groeiaor g = 9 = Per dag is de groeiaor g = 09 0. Per dag neem de hoeveelheid me 86% a.. 00 09 V- Bij de oename van 7% hoor groeiaor g = 07. He egin me de hoeveelheid 70. He unievoorshri is N () = 70 07. V- Bij de aname van 0% hoor groeiaor g = 0 99. He egin me 7 980 dus is N () = 7 980 0 99. ladzijde 0 V-6a 7 = = ; = = ; 7 ( ) = ( ) = ( ) = = 9 6 ( 6) = = 8 ( + 8) 0 x+ x+ ( x+ x+ ) ; = = ; 7 7 = 7 = 7 ( ) = = ( p ) = p = 7 ( ) = = ; ( ) = ( ) 8 7 ( ) ; ( ) p ( ) = = p ; ( ) p p ; V-7a d e ( + ) N ()= = = 8 + N ()= = = 6 = 0 N () = = ( ) 090 09 0 0 = 9 0 0 ( ()= = ( + ) ) = = () = = ( ) = = 6 N N 7 7 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies V-8a Eén emaal is één dag. Per dag is de groeiaor g = 06. Aan he egin zijn er 800 inseen dus is N () = 800 06. Op eruari is =. N( ) = 800 06 = 7 inseen. Januari hee dagen. Tussen 9 januari en eruari zien dagen =. N( ) = 800 06 = inseen. In een week zien zeven dagen kan dan genomen worden als = 7. De groeiaor 7 word g = 06 =. De oename per week is dan %. d In één emaal zien uren. Ah uur is van uur =. De groeiaor word dan g = 06 = 006. De oename per ah uur is ongeveer %. e Me de rekenmahine vind je 9 9 dagen. V-9a + x = 8 + x = + x = x = x = 8 = 8 = 8= = 6 = = = = = p d 8 = p = + p = + p = p = p = x e 6 6 ( ) = x 6 6 6 = 6 + x = x = x = + = + = 0 = 06 ladzijde 06 a De groeiaor per drie dagen is g = = 8. De groeiaor per vier dagen is g = = 6. Zes uur is van uur. De groeiaor per zes uur is g = 89. d Bij 00 mieren vind je me de rekenmahine da = dagen. Bij 600 mieren vind je me de rekenmahine da = dagen. e Als = 0 zijn er 00 mieren. Om van 00 naar 00 mieren e groeien duur he dagen. Om van 00 naar 600 mieren e groeien duur he = dagen. Je moe de vergelijking g = = 0 oplossen. Me de rekenmahine vind je 9 dagen. a N ( ) = 0 000 00 000 000 80 000 60 000 0 000 0 000 N 0 6 8 0 6 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies Bereken me de rekenmahine da 7 88 dagen. Na 8 dagen heen 0 000 inwoners een moiele eleoon di is op 9 januari 998. d 0% van 00 000 is 0 000. Me de rekenmahine volg 9 098 dagen. Na 0 dagen heen 0 000 inwoners een moiele eleoon di is op januari 998. e Me de rekenmahine: = 7dagen. 0 000 is he duele van 0 000. He vershil ussen 788 en 9098 dagen is 9 098 7 88 7 dag. ladzijde 07 a De oename is % de groeiaor is 0. De vergelijking voor de verduelingsijd is 0 =. Me de rekenmahine: = jaar. De oename is % de groeiaor is 0. De vergelijking voor de verduelingsijd is 0 =. Me de rekenmahine: = jaar. Na jaar is he volume van de sam wee keer zo groo. De vergelijking voor de verviervoudigingsijd is 0 =. Me de rekenmahine: = 70 jaar. Na 70 jaar is he volume van de sam vier keer zo groo. a De aname is 0% de groeiaor is 08. Z ( ) = 0 08 Z( ) = 0 08 = mg d De vergelijking voor de halveringsijd is 0 8 = 0. Me de rekenmahine: 06 uur. 06 60 = 86 minuen. a Zie opdrah d. De halveringsijd is ongeveer. De vergelijking voor de halveringsijd is 09 = 0. Me de rekenmahine: 6 8. De aname is % de groeiaor is 09. De vergelijking voor de halveringsijd is 09 = 0. Me de rekenmahine:. 6a De aname is 8% de groeiaor is 09. De vergelijking voor de halveringsijd is 09 = 0. Me de rekenmahine: 8 jaar. Na 9 jaar is de waarde van he edrag gehalveerd. 99 8 = 99 jaar; N 0 000 0 9. N 99 0 000 0 9 0 ( ) = ( ) = euro ladzijde 08 B ( ) = 07 0 6 9 B 0 06 80 806 7a B 0 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v 7
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies d Me de rekenmahine: 77 maanden. Me de rekenmahine: = maanden. e = 7; = 9 De vergelijking is = 9. Je zie dire da =. g = = log = = log = 6 log log 6 = 6 = log 6 = 6 log 8a = = log = 6 = log 6 = 9 = log 9 = en = log = = log = log 068 dagen ladzijde 09 9a log 9 is een geheel geal omda = 9. De vergelijking x = 0 hee geen gehele oplossing. log = 0wan 0 = en log = wan =. 0a d log 7 = omda = 7 log = omda = log = omda = log =omda - = 8 8 a Als log = x is = en dus lig x ussen en. Als log 000 = x is = 000 en dus lig x ussen en. Als 0 log 790 = x is 0 = 790 en dus lig x ussen en. d Als log = x is ( ) = en dus lig x ussen en. a Er is wee uur nodig om he aanal ellen zesien keer zo groo e maken. De ijehorende exponeniële vergelijking is = 6 en dus is log 6 =. = waarij = uur. = waarij = uur. d De vergelijking van de iologieproe is N( ) = 000. log 6 = word = 6 dus is = uur. Invullen in de vergelijking gee N ( ) = 000 = 8 000 ellen. log 0 = word = 0 dus is 66 uur. Invullen in de vergelijking gee 66 N 66 000 80 000 a N ( ) = ellen. ( ) = 000 07 8 000 07 = = 6. De exae oplossing is = 07 log 6. 000 Me de rekenmahine: 0 jaar. In maanden is di 76 maanden. 8 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies a A ( ) = A 0 0 0 8 6 0 0 A 0 d = 6 dus is = 6 weken. e log A= 0 = 8 de oppervlake word ah keer zo groo. De ijehorende vergelijking is 8 = 8 en dus is = weken. ladzijde 0 a log 0; log 07; log 0 = ; log ; log 00 = ; log 000 = Bij de vergelijking g log 0 = hoor de exponeniële vergelijking g = 0. Hieraan zie je da g = 0. Wanneer je di ook me alle andere logarimen doe zie je da er overal 0 uikom. log 0 000 = ; log 00 = 699 6a log 0 699 wan 0 0 log= 0 wan 0 0 = 0 log 0 0 wan 0 0 7a log 7 log 0 08 7 = log 08 dus is 0 log0 8 + = log log 8 log 8 dus is =. Vervolgens is = log0 log 0 ( ) 0. log 0 log 67 log d 06 = dus 67 log 67 = + 06. Vervolgens is = + log0 log0 ( 06 ) 9. log 0 8a Me de vergelijking 0 =. De exae oplossing is 0 log = zoda 0 jaar. Di zijn 0 6 0 dagen. 0 = 8 hee de exae oplossing 0 log 8 = en dus is 09. He aanal dagen da nodig is voor een verahvoudiging is 09 6 0. Omda = 8. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v 9
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies 9a x = log a = 0 log d 0 log log x = = waarij a = log 0 70 wan log log =. a a log log log = dus a = log log ladzijde 0a d log 7= 8 log 7 log log 8 = =700 log 8 log log 0 = 0 log 0 log log 0 = 0 log 0 log log6 a = log 6 = 7 log 08 08 = waarij = log = log 09 log 08 log 089 089 waarij = log 089 = 60 log d 06 06 = di gee 06 waarij = 06 log = log 9 80 log 06 a x = = 0 x = = log x =dus x = 0 = 0 d x = 0 = 0 06 e = x dus x = x = 0 = 000 a P( ) = 096 096 096 log 0 = 0 dus = log 0 = 9 uur log 096 096 096 log 0 = 0 dus = log 0 = 7 uur log 096 096 096 log 0 = 0 dus = log 0 = 9 uur P 096 P d 096 = dus log 00 a = log N = ( ) 00 N 0 N 0 = dus log 0 6 0 = ( 0 ) N 6 N = ( ) dus = log( ) 0 log 096 d N 6 = N 6 waarij = N6 dus = log( ) 0 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies ladzijde a 0 0 k 0 0 0 He domein van is he domein van k is 0. He ereik van is 0 he ereik van k is. De lijn y = 0 is de horizonale asympoo van de graiek van. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graiek van k. d De graiek van snijd de veriale as in ( 0 ). De graiek van k snijd de horizonale as in ( 0 ). e x dus x log 7 log x dus 0< x = 7 6a Alle graieken sijgen. He domein van de graieken is 0 he ereik van de graieken is. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graieken. 0 6 7 8 k g ( ). De graieken snijden de x-as in 0 De graiek sijg seeds minder snel naarmae g seeds groer word. De graiek word seeds seiler naarmae g seeds diher ij kom. 7a 0 6 7 8 n m Beide graieken dalen. He domein van de graieken is 0 he ereik van de graieken is. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graieken. De graieken snijden de x-as in ( 0 ). He vershil is da de graieken nu dalen en ij opdrah 6 sijgen. De overeenkomsen zijn he domein he ereik de asympoo en de snijpunen me de x-as. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies Voor 0< g < is de unie dalend en voor g > sijgend. ladzijde 8a 0 8 6 0 6 8 g 0 De lijn y = 0 is de horizonale asympoo van de graiek van. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graiek van g. Me de rekenmahine ereken je he snijpun ( 0606 ; ). d Ja ( ) = 0 88 h 9a P h h= P 0 88 0 log 0 = log log 0 88 0a log log 0 log 0 log 07 log log log log 6 00 T 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 6 7 8 9 0 p in % Horizonaal is he groeiperenage uigeze en veriaal de verduelingsijd. log He is de graiek vant =. p log( + 00 ) Dan word de graiek seeds vlakker he is ijna de lijnt =. d De verduelingsijd is ongeveer jaar. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies ladzijde a 0 log log log log ( ) ( ) = = 0 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = log log log log log log log log k 0 6 7 Ja er is een onsan vershil. d log log log x x x= = log x e log x = log log x log a N ()= 0 Ongeveer. Ongeveer 06. d log+ log = log( ) = log0 e Bij 0 keer zo groo is y = 00 de ijd is dan ongeveer. Di kom overeen me + 06 =. a log+ log = log log+ log + log= log log= log + log+ log = log = log d log= 7 log e 6 6 log = log log= log ladzijde a d log 7 log 8 log6 + log 8 = log( 6) = log 6 log + log a= log6a ( ) = a log x log0 di gee x = 00 dus x = 0. kun je vervangen door log 9. Dan krijg je logx = log 9+ log= log 9 x =. kun je vervangen door log 8. Dan krijg je log( x+ ) + log = log8+ log( 9x) waarij x+ 9 8 9x x = en is x =. 7 ( ) dus ( ) + = +. Dus is 7 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies d kun je vervangen door log. Dan logx = log log0 = log en dus 0 x = =. 0 6a x = log log log log log log = = en = = log log log x = log = = log log log log log log d Ui a volg da x = log en ui volg da x = log log. Beide de oplossing van x =. 7a d 8 log8 log8 = log 8 log8 log 8 = = 7 log log = = = log 7 log 9 log 9 log 7 = = ladzijde 6 8a 0; in de periode van 0 o 0 dagen en na dagen. 00; ongeveer na dagen. 000; 7 en dagen. Nee de anisoen nemen exponenieel oe. De horizonale as gaa in sapjes van 0 de veriale as word elk sapje vermenigvuldigd me 0. d De vermenigvuldiging me 0. 9a Logshaal I: 00 = 0 ; 0 = 0 ; = 0 0 ; 0 = 0 ; 00 = 0 ; 000 = 0 ; 0 000 = 0 Logshaal II: 0 = ; 0 = ; = 0 ; = ; = ; 8= ; 6 = Bij eide logshalen hoor de mah. Logshaal I gee 0 6 en logshaal II gee. d Lineaire: 0 0 Logshaal I: 0 78 0 Logshaal II: 9 ladzijde 7 0a = = 86 a 00 0 0 00 0 log x = log = log0 0 7 d 00 0 0 00 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies a In m worden de sapjes seeds kleiner op de veriale as. 60 0 Ui a g = 00 en a g = 00 volg a g a g g 90 90 = dus g = 0 98. 60 0 = 00 = maar ook a g 00 a g 60 0 = g 60 dus a in uren 0 6 O in km 0 06 08 97 96 878 0 0 0 = 0 waarij = 0 en = log 0 uren. 0 d 06 ; ( ) 00 0 0 0 6 7 e Ongeveer 007 ladzijde 8 0 a 0 0 = 8 gee 0 8 = 0 8 0 0 dus is = log 0 0 0 0 06 06 = 00 gee 06 = 00 0 06. 6 6 = dus is = + = 67. d = gee = 0 6 dus is = log 06. e 8 0 = = 6 dus is = 6. 7 log = dus is = 7 9. 06 00 dus is = log 6 9. 0 06 a In he jaar 96. 99: rupsen; 96: 0000 rupsen Groeiaor g per jaar dus moe gelden g 0000 0 = 6666 en dus is g 6666 9. Exponeniële groei 6a x + x6 = gee = en dus is x =. = gee x = log 6 log( x + ) = gee x + = = en dus is x = = 77. 6 d log( x 7) = logx= gee x = = 6 dus is x = 7. 6 e log ( 6x ) log( x 6) = gee x 6 = = en dus is x =. ( ) = Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies 7a De oename van he energieverruik per jaar word seeds groer. Voor alle jaren is de groeiaor ongeveer 08. 0 8 6 00 00 0 00 00 He geshae energieverruik in 0 is ongeveer 8777. d De helling is ongeveer 7 per jaar. e Bij een exponeniële groei krijg je me een logarimishe shaalverdeling een rehe lijn. ladzijde 9 8a R = 8 log + 8 6 0 9 8 7 R 6 0 6 7 8 9 0 Bij R = is a ongeveer 00. E = 8+ = 6 d In Uden kwam E = + = 9 GJ vrij en in Roermond kwam E = 8 + = GJ vrij. In Roermond kwam keer zo veel energie vrij. 9 R+ = p log a+ qwaarij R= 8 log a+ 8 ingevuld kan worden di gee 8 ( log a+ 8 ) + = ( 7 log a+ 87 ) + = 7 log a + dus p = 7 en q =. ladzijde 0 I-a De lijn y = 0 is de horizonale asympoo van de graiek van. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graiek van h. He domein van is he domein van h is 0. He ereik van is 0 he ereik van h is. Wa opval is da he domein van en he ereik g gelijk zijn evenals he domein van g en he ereik van. 6 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies De graiek van snijd de veriale as in (0 ). De graiek van h snijd de horizonale as in ( 0). d De graieken zijn elkaars spiegeleeld in de lijn y = x. e Alle anwoorden lijven gelijk. I-a De lijn y = 0 is de horizonale asympoo van de graiek van. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graiek van h. He domein van is he domein van h is 0. He ereik van h is 0 he ereik van h is. Wa opval is da he domein van en he ereik h gelijk zijn evenals he domein van h en he ereik van. De graiek van snijd de veriale as in (0 ). De graiek van h snijd de horizonale as in ( 0). De graieken zijn elkaars spiegeleeld in de lijn y = x. Nee di lij hezelde. I-a Alle graieken sijgen. He domein van de unies is 0 he ereik is. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graieken. De graieken snijden de x-as in (0). De graiek word seeds seiler naarmae g seeds diher ij kom. Er is geen graiek ij g = omda y log x= y = x alleen mogelijk is voor x = en y dan onepaald is. d He vershil is da de graieken nu dalen en ij opdrah a sijgen. De overeenkomsen zijn he domein he ereik de asympoo en de snijpunen me de x-as. ladzijde I-a De graieken snijden elkaar in he pun (0). Ze zijn elkaars spiegeleeld in de lijn y = 0. De graieken komen seeds diher ij elkaar e liggen naarmae g groer word. d Blijven elkaars spiegeleeld in x-as. I-a Ongeveer 0 am. Iedere km word de druk ongeveer vermenigvuldigd me 088. h Ph ( ) = 0 88 d h= 0 88 log P 0 88 e h = log 0 km I-6a - Heel erg seil. Wanneer g kleiner is dan word de ijd negaie. Da kan nie. 6 d = log 70 jaar Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v 7
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies ladzijde T-a g = 07 g = 07 007 07 07 = gee = log 0 jaar. 7 T-a = 8 log 8 = log 99 log 7 log en log T-a log 7 87 0 log 0 log 0 d log 087 e log 7 807 log 6. 786 T-a 6 0 g 6 7 8 9 He domein van is he domein van g is 0. He ereik van is 0 he ereik van g is. De lijn y = 0 is de horizonale asympoo van de graiek van. De lijn x = 0 is de veriale asympoo van de graiek van g. d De oördinaen van he snijpun zijn (0;0). e Nee ij de graiek van g is er sprake van een oenemende daling. T-a 6 6 0 g 6 6 He domein is. ( x) = log7x = log 7 + logx = + log x = + log x 8 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v
Hoodsuk 7 - Logarimishe unies ladzijde T-6a in jaren 0 6 7 8 O in km 6 89 8 60 00 89 9 6 In de eerse jaren word de oppervlake seeds vermenigvuldigd me ongeveer 8. De graiek is vrijwel een rehe lijn. d O ( ) = 68 e De grooe van he meer is 0 6 km. T-7a g 66 = 0 gee g 09 09 = 0 09 log 0 09 = 0 = log 0 = 8 jaar. log 09 d 09 09 = 00 gee = log 00 7 jaar. 0 6+ log I 0 T-8a 0 N 6 = log I gee N = = 60 + 0 logi = 60 + 0 log I 0 De gehoorgrens: N = + log ( ) = 0 60 0 0 deiel. 6 0 De pijngrens: N = 60 + log( 0 ) = 0 deiel. 0 Normale onversaie: N = + ( ) 0 I = 0 = 0 080 6 8 W/m 0 60 log 60 6 deiel. T-9 Sel y log x= y = x Di is alleen mogelijk voor x = en y is dan onepaald. Dus is log x een zinloze uidrukking. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordho Uigevers v 9