1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 00-003 Oefening 3 BIOFYSICA: WERKZITTING 4 (Oplossingen) DYNAMICA VAN SYSTEMEN Gegeven M = d L dt. Als M loodrecht staat op L, wat kunnen we dan zeggen over de vector L? Als M loodrecht staat op L, dan is de grootte L van L een constante in de tijd. Dit kan je inzien door te vertrekken van de tweede wet van Newton, herschreven in termen van de momenten: dl dt = M Vermenigvuldig beide leden scalair met de vector L: d L dt L = M L Aangezien M loodrecht staat op L, is het scalair product M L =0: d L dt L =0 Breng nu de vector L onder de afgeleide (zie opmerking): 1 d ( ) L L =0 dt Hieruit volgt dus dat L, de grootte van het impulsmoment in het kwadraat, een constante is in de tijd. Maar als de grootte in het kwadraat constant is, dan is de grootte L dat natuurlijk ook. Opmerking: Dat je de vector L zomaar onder een afgeleide mag brengen is niet vanzelfsprekend. Je kan het echter bewijzen door component per component alles uit te rekenen. Gebruik eerst de definitie van het scalair product, namelijk dat: dl dt =0 a b = a b + a b + a z b z 1
Dit concreet toepassen op d L dt L levert: Bij de tweede stap gebruik je dat: dl dt L = dl dt L + dl dt L + dl z dt L z = 1 ( ) dl + dl + dl z dt dt dt = 1 d(l + L + L z) dt = 1 dl dt d(f ) dt = 1 df dt Oefening 5 Een raket met cargo met totale massa M vliegt door de ruimte met een snelheid van 100 km/h t.o.v. de zon. Op een bepaald ogenblik wordt met een kleine eplosie de cargo, met massa 0, M, weggestoten met een snelheid van 500 km/h t.o.v. de raket en in een richting die tegengesteld is aan de bewegingsrichting van de raket. Bereken de nieuwe snelheid van de raket t.o.v. de zon. Gegevens: m R =0, 8M v 0,Z = 100km/h m C =0, M v C,R = 500km/h De snelheid die het cargo krijgt ten opzichte van de raket wordt genoteerd met v C,R, waarvan je gegeven hebt dat de grootte gelijk is aan v C,R = 500 km/h. Om consistent te werken, zal je zodadelijk alles in één assenstelsel moeten uitschrijven. Omdat de nieuwe snelheid van de raket ten opzichte van de zon gevraagd is, leggen we dit assenstelsel in de zon. Noteer de nieuwe snelheid van de raket ten opzichte van de zon als v R,Z,endesnelheid van het cargo ten opzichte van de zon als v C,Z. Wegens de optelregel voor snelheden weet je dat: v C,Z = v C,R + v R,Z (5.1) (in woorden: de snelheid van het cargo t.o.v. de zon is de snelheid van het cargo t.o.v. de raket plus de snelheid van de raket t.o.v. de zon). Met behulp van deze formule heb je alle snelheden in het assenstelsel van de zon uitgedrukt.
C Raket v 0,Z C v C,Z Raket v R,Z Zon Zon VOOR NA Figuur 1: De begin- en eindsituatie van het probleem. Aanvankelijk heeft de raket met cargo een snelheid v 0,Z ten opzichte van de zon. Na het afstoten van het cargo heeft de raket een snelheid v R,Z ten opzichte van de zon, en het cargo een snelheid v C,Z ten opzichte van de zon. Je kan nu overgaan tot het aanpakken van het probleem. We nemen hier aan dat de raket en het cargo ver van de zon zijn, zodat er geen zwaartekracht werkt op beiden. In dat geval werken er geen eterne krachten op het ssteem, en mag je de wet van behoud van impuls gebruiken: P voor = P na In woorden: het totale impuls voor de afscheiding is gelijk aan het totale impuls na de afscheiding van het cargo. In de beginsituatie is het totale impuls gegeven door het impuls van de raket + cargo. In de eindsituatie is het totale impuls de som van twee impulsen: { Pvoor = p R+C,Z = M v 0,Z P na = p R,Z + p C,Z =0, 8M v R,Z +0, M v C,Z Het is belangrijk in te zien dat het impuls ook een grootheid is die afhangt van het assenstelsel (net omdat de snelheid afhangt van het assenstelsel). Als je de wet van behoud van impuls uitschrijft moet je dus eerst alle impulsen uitdrukken ten opzichte van één en hetzelfde assenstelsel! Gebruik makend van de optelregel voor snelheden (5.1), vind je voor het behoud van impuls: M v 0,Z =0, 8M v R,Z +0, M ( ) v C,R + v R,Z of, in componenten uitgeschreven (deel de factor M overal weg): { v0,z, =0, 8v R,Z, +0, ( ) v C,R, + v R,Z, v 0,Z, =0, 8v R,Z, +0, ( ) v C,R, + v R,Z, 3
Omdat alle snelheden langs de -as liggen, is de tweede vergelijking gewoon 0 = 0. De snelheden kan je in componenten uitdrukken als volgt: v 0,Z = ( v 0,Z, 0 ) v R,Z = ( v R,Z, 0 ) v C,Z = ( v C,Z, 0 ) v C,R = ( v C,R, 0 ) Het invullen van deze snelheidscomponenten levert: v 0,Z =0, 8v R,Z +0, ( ) v C,R + v R,Z Oplossen naar v R,Z, de nieuwe snelheid van de raket t.o.v. de zon, levert: Oefening 7 v R,Z = v 0,Z +0, v C,R = (100 + 100) km/h = 00 km/h Een loden bal met massa 5 kg valt van een hoogte van 0 m op een zanderige bodem. De bal komt tot stilstand in 0,5 s. Bereken de gemiddelde kracht op de bal (Tip: die gemiddelde kracht is constant tijdens het afremmen). Omdat de gemiddelde kracht tijdens het afremmen constant is, kan je stellen dat: F gem = p t 0 m 0 m Aangezien de afremkracht volgens de -as werkt, is F gem, = 0. Je vindt in de - richting dus voor deze vergelijking: F gem = p t De impulsverandering kan je noteren als: p = m ( v na v voor ) Omdat de bal stil ligt in de eindsituatie, krijg je: p = mv i v i VOOR NA Figuur : In de beginsituatie raakt de bal de grond net niet. De bal heeft op dat ogenblik een snelheid v i, die de bal gekregen heeft door de zwaartekracht. In de eindsituatie staat de bal stil. waarbij v i de grootte van de impactsnelheid is. Deze grootte kan je bepalen uit de formules voor de eenparig versnelde beweging (de bal valt vanuit stilstand vanop een hoogte van 0 m naar de grond). De tijd die de bal daarvoor nodig heeft is: (t) = 0 + v 0 t gt 0=0 gt i 4 t i = 40 g
De impactsnelheid is dan gegeven door: v (t) =v 0, gt v i = v(t i ) 19, 8m/s Alles invullen in de formule voor de gemiddelde kracht geeft: F gem = mv i t +5 19, 8 0, 5 198 N Oefening 8 Een projectiel, samengesteld uit twee identieke blokjes waartussen een veer met verwaarloosbare massa is opgespannen, wordt horizontaal met een snelheid van 50 m/s van een 100 m hoog flatgebouw geschoten. Na twee seconden is de snelheid van het projectiel v en breekt de veer. Eén stuk gaat verder met een snelheid 3 v. Bepaal de plaats waar de twee stukken terechtkomen. De eerste stap in de correcte analse van dit probleem is in te zien dat je het best opsplitst in drie deelproblemen: 1. Eerst ondergaan de twee blokjes samen een vrije val van het flatgebouw, en dit gedurende twee seconden.. Daarna is er de scheiding van de twee blokjes, die je met het behoud van impuls aanpakt. 3. De twee gescheiden blokjes ondergaan verder elk apart opnieuw een vrije val. Deze drie stappen worden nu in detail uitgewerkt: 1. De aanvankelijke valbeweging tot t = s. Noteer m de massa van elk van de twee blokjes. Aangezien ze identiek zijn, hebben ze beiden dezelfde massa. Omdat bovendien de massa van de veer verwaarloosbaar is, kan je de twee blokjes samen zien als een puntmassa m die horizontaal afgeschoten wordt. De enige kracht op de twee blokjes is de zwaartekracht, en omdat deze constant is gedurende de eerste twee seconden, mag je de vergelijkingen voor de eenparig veranderlijke beweging gebruiken: r(t) = r 0 + v 0 t gt v(t) = v 0 gt 5
VOOR 1 100 m v 0 1 v v 1 NA 3v v 1 1 3v BEGIN SPLITSING EINDE Figuur 3: De startsituatie van het probleem, waar het blokje van het flatgebouw geschoten wordt; de splitsing die gebeurt na twee seconden; de situatie na de splitsing, waarbij de blokjes onafhankelijk van elkaar verder bewegen. De beginsnelheid v 0 en de beginpositie r 0 zijn hier gegeven door: r 0 = ( ) 0, 0 v 0 = ( v 0, 0 ) Vlak voor de splitsing, op t = s, zijn de snelheid en de positie gegeven door: r(t =)= ( v 0, 0 g ) v = v(t =)= ( v 0, g ) Vlak na de splitsing zullen beide blokjes opnieuw vanuit deze positie r(t = ) een valbeweging uitvoeren met een bepaalde beginsnelheid. Deze beginsnelheid berekenen we nu met de wet van behoud van impuls.. De splitsing van de twee blokjes op t =s. Het breken van de veer en het wegschieten van de twee blokjes door het breken is een inwendige kracht. Deze heeft geen invloed op het al dan niet mogen gebruiken van de wet van behoud van impuls. Er is in dit geval echter een uitwendige kracht, de zwaartekracht die op het ssteem inwerkt. Als we echter aannemen dat de twee blokjes onmiddellijk hun snelheid veranderen (dus dat het breken van de veer onmiddellijk gebeurt), dan mag de wet van behoud van impuls toch toegepast worden: op de tijd van 0 s die nodig is voor het breken van de veer, kan de zwaartekracht niet inwerken op het ssteem. Gedurende die tijd is het dus een goede benadering om te zeggen dat er geen uitwendige krachten zijn. 6
Met dit in het achterhoofd mag je dus de wet van behoud van impuls uitschrijven voor dat ene ogenblik (t = s). Noteer de snelheid van de twee blokjes samen voor de splitsing als v, en de snelheid van het eerste blokje na de splitsing als 3 v, vanhet tweede blokje v 1 : p voor = p na m v =3 vm + m v 1 v 1 = v Met andere woorden: het tweede blokje gaat na de splitsing terug in de richting van het flatgebouw bewegen. 3. De verdere valbeweging na t =s. Je hebt nu twee blokjes die een valbeweging ondergaan met beginpositie en beginsnelheden: Blokje 1: r 0,1 = ( v 0, 0 g ) Blokje : r 0, = ( v 0, 0 g ) 3 v = ( 3v 0, 6g ) v = ( v 0, g ) Je kan voor elk van de blokjes opnieuw de formules voor de eenparig veranderlijke beweging toepassen. We rekenen hier de plaats uit waar het eerste blokje terechtkomt. Voor blokje 1 heb je de formules: r(t) = r 0,1 +3 vt gt v(t) =3 v gt Je moet eerst de tijd bepalen die het blokje nodig heeft om op de grond te vallen. Deze tijd kan je halen uit de -component van de vergelijking voor r(t): (t) =0=( 0 g)+( 6g)t gt 6g ± 36g +4 g ( 0 g) t = g { +1, 4s t i = 13, 4s De negatieve tijd moet verworpen worden (het blokje kan de grond niet raken vooraleer het begonnen is met vallen op t = 0 s). Met deze tijd kan je de eindpositie berekenen uit de formule voor de -component: (t) =(v 0 )+(3v 0 )t (t i ) = 86 m Voor het tweede blokje kan je een analoge redenering maken. 7
Oefening 4 (B) Een satelliet in een elliptische baan om de aarde heeft een snelheid v p = 7800 m/s als ze het dichtst bij de aarde is. Dan is de hoogte 30 km. Wat is de snelheid van de satelliet op een hoogte van 5030 km, als ze het verst van de aarde is? De straal van de aarde is 6370 km. Neem aan dat de zwaartekracht van de zon te verwaarlozen is op de aarde en de satelliet. In dat geval zijn er geen uitwendige krachten (de zwaartekracht van de aarde is een inwendige kracht!) zodat ook het moment van de uitwendige krachten nul is. Je mag dus het behoud van impulsmoment gebruiken in deze situatie. p na r na r voor z p voor Figuur 4: De satelliet beweegt op een ellipsbaan rond de aarde. Noteer het impulsmoment op het dichtste punt als L voor, en op het hoogste punt als L na, dan geldt wegens het behoud van impulsmoment: L voor = L na r voor p voor = r na p na Voor de groottes geldt in dit geval dezelfde gelijkheid (aangezien de hoek tussen de twee vectoren steeds 90 is): L voor = L na mr voor v voor = mr na v na Je vindt dus voor de snelheid op het verste punt van de aarde: v na = r voorv voor r na 8
Deze plaatsvectoren worden gemeten van het middelpunt van de aarde. Je hebt dus voor de afstanden: { rvoor = R aarde + 30 km = 6600 km = 6, 6 10 6 m Invullen van alle grootheden geeft: Oefening 9 r na = R aarde + 5030 km = 11400 km = 11, 4 10 6 m v na = 6, 6 106 7800 11, 4 10 6 m/s 4516 m/s Een student zit op een draaistoel en houdt beide armen horizontaal gestrekt. In elke arm heeft hij een staaf met massa 3 kg. De student en de stoel samen hebben een traagheidsmoment van 1,8 kg m. Met gestrekte armen draait de student met een frequentie van een halve omwenteling per seconde. Wat is de frequentie als de student de staven heel dicht bij de rotatie-as brengt? Neem voor de lengte van een arm 0,7 m. Eerst en vooral moet je hier bepalen wat de inwendige en uitwendige krachten zijn. De volgende krachten werken op het ssteem: De zwaartekracht op de student/stoel (uitwendig). De zwaartekracht op beide staven (uitwendig). De normaalkrachten (uitwendig). De kracht die het samenbrengen van de staven veroorzaakt (inwendig). Alle uitwendige krachten zijn gericht volgens/tegen de z-as. Aangezien alle aangrijpingsvectoren van de krachten in het (,z)-vlak liggen, vind je dat de krachtmomenten allemaal volgens/tegen de -as liggen (het vectorproduct r F staat loodrecht op de opbouwende vectoren). Er is hier dus behoud van impulsmoment in de z-richting, zodat je kan stellen dat: L z,voor = L z,na Hierbij is: { Lz,voor = L z,student/stoel,voor + L z,staaf1,voor + L z,staaf,voor L z,na = L z,student/stoel,na + L z,staaf1,na + L z,staaf,na Aangezien de z-as hier ook de rotatie-as is, kan je de impulsmomenten van alle roterende objecten uitdrukken in functie van hun traagheidsmoment: L z,ss,voor = I ss ω voor L z,ss,na = I ss ω na L z,staaf1,voor = I s1,voor ω voor =(mr )ω voor L z,staaf1,na = I s1,na ω na =0 L z,staaf,voor = I s,voor ω voor =(mr )ω voor L z,staaf,na = I s1,na ω na =0 9
ω voor ω na m z m BEGIN EINDE Figuur 5: De begin- en eindsituatie van het probleem. Aanvankelijk zijn de massa s op een bepaalde afstand van de rotatie-as, en hebben ze dus een impulsmoment/traagheidsmoment. Na het bij elkaar brengen van de staven op de rotatie-as, verdwijnt deze bijdrage. Hierbij moet je de definitie van het traagheidsmoment voor een ssteem van deeltjes gebruiken: N I = m i ri i=1 Aangezien er hier telkens maar één object is (de staaf), verdwijnt de som en krijg je simpelweg I = mr,metr de armlengte. Door alles in te vullen vind je voor het behoud van het impulsmoment in de z-richting: Zodat uiteindelijk: (I ss +mr )ω voor = I ss ω na ω na = (I ss +mr ) ω voor 8, 7 rad/s I ss aangezien ω voor =πf = π rad/s, met f =1/ Hz, een halve omwenteling per seconde. De uiteindelijke frequentie bekome je dan als volgt: f na = ω na π 1, 3 Hz 10
Oefening 11 Micke staat op de rand van een stilstaande paardenmolen met een straal van m en massa 160 kg. Ze gooit een steen met massa 3 kg horizontaal weg met een snelheid van 1 m/s in een richting rakend aan de omtrek van de molen. Micke weegt 48 kg. Wat is de hoeksnelheid van de molen na de worp? R p z z r ω na BEGIN EINDE Figuur 6: De begin- en eindsituatie van het probleem (bovenaanzicht). In het begin staat alles in rust, na het wegwerpen van de steen zal de molen met Micke erop beginnen ronddraaien met een bepaalde hoekfrequentie ω na. Aangezien je hier verwacht dat de molen zal beginnen roteren, kan je reeds vermoeden dat er een behoud van impulsmoment in het spel is. De eterne krachten die op de molen, Micke en de steen werken zijn de respectievelijke zwaartekrachten op elk van hen. Aangezien deze volledig volgens de z-as (zie figuur) gericht zijn, krijg je een krachtmoment dat in het (, )-vlak ligt (dit kan je nagaan met de rechterhandregel). Er is geen krachtmoment langs de z-as, dus je hebt behoud van impulsmoment langs de z-as. Aangezien dit tevens de rotatie-as is, kan je weer werken met traagheidsmomenten ten opzichte van deze rotatie-as. De traagheidsmomenten kan je epliciet berekenen: Voor de molen: I mo = m mor Voor Micke: I mi = m mi R Het traagheidsmoment voor de molen is de uitdrukking voor een schijf met massa m mo (zie formularium), het traagheidsmoment van Micke is m mi R, aangezien R de afstand van Micke tot de rotatieas is. Behoud van impulsmoment in de z-richting 11
levert: L z,voor = L z,na (I mo + I mi )ω voor + L z,steen,voor =(I mo + I mi )ω na + L z,steen,na 0=(I mo + I mi )ω na + L z,steen,na Hierbij komt de situatie voor overeen met alles in rust, en de situatie na direct na het wegwerpen van de steen. Aangezien aanvankelijk alles in rust is en dus geen impulsmoment heeft (ω voor = 0en p steen = 0). Bij het wegwerpen krijgt de steen een impuls p dat gericht is volgens de -as. De plaatsvector r ligt aanvankelijk volgens de -as, dus wegens de rechterhandregel volgt dat het impulsmoment L = r p volgens de z-as gericht is: L steen =(0, 0,L steen ). De grootte van het vectorproduct is gegeven door: r p = rp sin(θ) θ = hoek tussen twee vectoren Aangezien de hoek tussen r en p precies 90 is, vind je voor L z dus L z = rp. Invullen in het behoud van impulsmoment levert: (I mo + I mi )ω na + rmv steen,0 =0 Je moet als snelheid voor de steen de beginsnelheid invullen, aangezien de na - situatie gekozen is als de situatie onmiddellijk na het werpen van de steen. Deze vergelijking oplossen naar ω na levert: ω na = rmv steen,0 (I mo + I mi ) = rmv steen,0 m mo R /+m mi R Epliciet invullen en uitwerken levert: ω na 0, 14 rad/s Het minteken wijst er hier op dat de molen in wijzerzin langs de z-as draait. Tim Jacobs - 13 december 00 1