UITWERKINGEN VOOR HET HAVO NETWERK A HOOFDSTUK ANDERE FUNCTIES Kern HYPERBOLISCHE FUNCTIES a) aantal personen P 4 6 aantal uren U(p.p.) 4 8 6 48 4 b) 6 en :=4 c) 4 aantal uren U 4 6 8 aantal personen p d) P U 4 P 4 u P U 4 U 4 p Alledrie de formules passen bij dit verband. a) De volgende tabel past bij de grafiek s 4 8 6 G 8 4 8 6 8 : 8 4 8 4 : b) s G 6 G 6 s c) 4 6 s s 6 4 4 Twee leerlingen hebben meer dan 4 minuten met elkaar gekletst, wanneer hun onderlinge afstand minder dan,4 m is. Dus minder dan 4 dm werd gemaakt onder LinuX met LATEX en L Y X Typ&andere fouten&blunders graag Melden!
a) V as plaatje bij Som) p 4 8 6 V 6, p as b) p c) p p ; asperges kostten gulden per kg. p 6 ; asperges kostten 6,6 gulden per kg. 4a) plaatje bij som 4 4 4 B A 4 6 7 p as q as 4b) A: p q 7 q 7 p 4 8 4c) B : 6 7 q is niet omgekeerd evenredig met p, want 8 8 4 4d) De horizontale asymptoot van B is q p 6 8 8 7 4e) q 4 7 4 9 6 q 6 9 4 p q 7 q 7 p q Dus formule III 7 p a) 8 We nemen een hele grote -waarde en kijken welke y-waarde eruit komt. Bijv. 8 8 8 ligt heel dicht bij. De horizontale asymptoot is : Bijv. ; Horizontale asymptoot is 8 6 Bijv 8 6 6 4 6 ; Horizontale asymptoot is 6 Bijv. y ; Horizontale asymptoot is
b) I en III De grafiek van III ligt 6 éénheden hoger dan I. Verder zijn beide grafieken gelijk. (zie ook de tabel hieronder) 4 8 8 8 4 6 8 4 8 7 toename -4 - - 6) U 4 p 7a) Als T dan is S groter dan. En het percentage van de stof die nog bekend is, is maimaal. Dus T 7b) 4 T T T 7c). Dus na dagen. aantal dagen T 4 6 4 6 percentage S 7 6 46 44 4 4 7d) percentage S 8 6 plaatje bij som 7 4 4 6 7 aantal dagen I 7e) Bij S 4. Dat betekent dat 4 procent van de stof beklijft.
KERN MACHTSFUNCTIES 8a) inhoud I (cm ) plaatje bij som 8 8b) q 4 9 8 8 4 4 4 6 678 6 4 6 7 8 9 diameter d (cm) er is geen omgekeerd evenredig verband, want 8 8 4 4 678 6 d 4 6 8 I 4,9,, 68,8 toename +9, +79,9 +4,98 Er is geen rechtevenredig verband, want bij een rechtevenredig verband is de toename constant. I c d 4 9 ; 4 9 kun jeindeze f ormuleinvullen c c 4 9 8 4 I c d 8; 68 8 68 8 c 8 c 68 8 8 4 Dus c 4 9a,b) ; de eponent is. Er is sprake van een toenemende stijging. ; de eponent is. Er is sprake van een constante stijging. ; de eponent is. Er is sprake van een afnemende stijging. 9c) Als de eponent is, dan is er sprake van een constante stijging ( rechte lijn) Als de eponent groter dan is, dan is er sprake van een toenemende stijging. Als de eponent kleiner dan is ( wel een positief getal), dan is er sprake van een afnemende stijging. tijd t 4 getal t 4,9, 8,8 9,7 hoeveelheid H,86,4,4 88, b) a c) H 7768 a) Bij v hoort een q waarde a n a. Dus a is. q v b) n 67 67 n n 67 n log 67 log 74 q v n n n n log log 7 4
q v n 9 464 c) aantal verkochte machines q 6 4 464 9 n plaatje bij som 9 n 4 64 n log4 64 log9 7 Dus q v 7 4 6 8 aantal v d) 6 v 7 v 7 6 v 6 7 Het bedrijf moet minstens vertegenwoordigers in dienst nemen. a) Als de breedte van een kampeerplaats b meter is, is de lengte b meter. Dan is de oppervlakte b b b m. b) A opp kampeerplaats b b c) b 6 7 8 9 A 88 78 67 Je moet naar beneden afronden. d) a) Dan krijg je 64, en delen door is onmogelijk. b) De lijn (de -as) aantal kampeerplaatsen A plaatje bij som 4 6 7 8 9 breedte b (m) 4a) Ja, want n 4b) Als t 6, dan N 6 Deze twee getallen vul je in in de formule : 6 6 n 6 6 n 6 n 6 6 n n log log6 9 (of 6 9 9 en 6 9 764. Dus n 9 ) 4c) t uur, 4 6 N mg,,,6,,6 grafiek : zie bij e) 4d) t 6 en N 6 invullen : 6 g 6 g 6 6 g 6 6 6 6 4e) hoeveelheid nitrazepam N (mg) 4 c plaatje bij som 4 e 4 6 tijd t (uur)
KERN NEGATIEVE EXPONENTEN a) 7 4 7 7 7 7 9 9 9 9 c) n n 9 4 9 4 b) 7 4 7 7 4 7 7 9 9 9 9 9 4 6a) 7 7 6b) 6c) 4 4 6d) 7 6 6 7a) 7b) 7c) 7 7 7d) 7 8a) -Als de eponent positief is, dan is de grafiek stijgend. Hoe groter de eponent, hoe sterker de stijging. (als ) een eponent groter dan geeft een toenemende stijging, een eponent kleiner dan een afnemende stijging. Is de eponent dan is de grafiek een rechte lijn. -Als de eponent negatief is, dan is de grafiek (afnemend) dalend. Hoe kleiner de eponent, hoe sterker de daling. 8b) y en y 8c) y is een lineaire functie y is een kwadratische functie. y is een hyperbolische functie. 9) n 7 zijn de kosten per jaar n 7 n 7 n 7 n KK zijn de kosten per km. 9a) 7 gulden 9b) De benzine kost cent per km. De auto rijdt 4 km op liter. De benzine kost dus 4 f per liter. 9c) jaarlijks kilometrage n 4 kilometerkosten KK (gld/km),,87,7,69 Plaatje bij Som 9d) kilometerkosten KK (gld/km).6.4...8.6 jaarlijks kilometrage n 4 4 9d) Uit de grafiek blijkt dat bij een hoog kilometrage de kilometerkosten hoofdzakelijk bepaald worden door de benzineprijs. Men kan daarom het best de benzineaccijns verhogen. a) H t b) 6
t (in weken) - - - H (in cm) 8 4 6 4 Op juni : cm Op 8 juni : 4 7 cm Op juni : 8 7 cm a) A : is stijgend. Als, dan Dus lll B : is stijgend. Als, dan. Dus IV C: is dalend. Als, dan Dus ll D: b) A B C D,87,6 4,7, 6,7, a) 686 74 469 8 8 89 78 4 b) W 469 8 8 t c) Dus 8 8% per jaar Om 469,8 niet elke keer in te hoeven tikken in je rekenmachine, kun je dit getal in één van je geheugenplaatsen opslaan. Bijv. 469,8 STO-ALPHA - A (of B, of C, etc.) Voor het antwoord bij t tik je dan in : ALPHA A*,8^- t - - - W 664 97, 64,89 d) 469 8 8 t 8 t 8 t 688 t log! 688 " log! 8" e) H f l 8 H f l 89 a) 988 8 88 4% 988 % t 988 t Conclusie b) -9 99,4 verder -9,66 terug -9,, t 9 Het fosiel is ongeveer 9 jaar oud 469 8 # Dus $ in 99 7
% % KERN 4 FUNCTIES HERKENNEN 4ab) y - - -7 % y - -9 - y -6-6 De de verandering is constant, dus een kwadratische functie - - y 8 64 6 groeifactor: maal maal maal De groeifactor is constant & ', dus een eponentiele functie - y 7 4 69 % y +4 +4 +4 ste verandering is constant, dus een lineaire functie 4 6 8 y 84 4 8 y 68 68 68 68 Het product y is constant, dus een hyperbolische functie (omgekeerd everedig) a) 6 9 ()(( 8 9 9 96 groei f actor * * 9 * 4 * * * 8 * * * Bij benadering is er een eponentiele toename met een groeifactor Alternatieve benadering: + Groei f actor per jaar 4 Intikken in je GR : 4-MATH-, Dan: jaar 98 98 98 98 984 98 (-(( Omzet 6 9 6 6 (-(( dat klopt dus aardig... b) H f l./* 6 H f l. 6) FORMULE GRAFIEK NAAM van de FUNCTIE I B KWADRATISCH II A LINEAIR III F HYPERBOLISCH IV C CONSTANT V D EXPONENTIEEL VI E HYPERBOLISCH Bij D, E en F vul je bijv. in. : y, dus F V : y 4, dus D V : y y 4, dus E 8
7a) Plaatje bij Som 7a) tijd T in seconden 4 DEFG :;<= >? @A BC 4 67 89 4 4 afstand a in meters!! H 7b) 9 79 9 74" 46 " 8 Het betekend dat de schaatser in de volle ronden gemiddeld,8 seconden per meter nodig heeft 7c) T 8 a Vul in T 9 74 en ah bijjjjjjjjjk b 74 Een formule is T 8 74 7d) T 8 74 7 74 seconden Het wijkt af: 7 74 6 48 6seconden 8a) H 4 6 7 8 9 p H 6 4 8 8 Het product p H is bij benadering steeds p H Plaatje bij Som 8b) hoogte H (cm) 8 6 4 8b) 8c) H p 8d) Volgens de formule bij H percentage p Echter inwerkeli jkheid bi j cmjjjjjjjjjjj H cm 9
GRAFISCHE REKENMACHINE G) GR: 9 4 4 TBLSET TblStart= Tbl= TABLE y y y y 4 - -,,9 7,,8 4, 4,7 4 4 6,,6 4 7, 6,,8 6 9 6 7,4 Als bv. keer zo groot wordt, dan wordt y ook keer zo groot. 6 en 9 Omgekeerd evenredig, want b) Als bv. keer zo groot wordt, dan wordt y niet keer zo groot. 6 en 8 7 4 c) 4 constant getal 7 7 en G) invoeren in GR: VARS Y-VARS function y - Dan krijg je y VARS Y-VARS function y 4 - Dan krijg je y 4 y y -,9 4,8,7 4,6 4,,8 6,4 a) y 9 9 Dus 9 Deze lijn gaat door het punt (,). y is dus recht evenredig met. y 4 4 y 4. Dus y is omgekeerd evenredig met. b) y recht evenredig met : als bv. keer zo groot, dan y ook keer zo groot. bijv 6 en 7 4 y is omgekeerd evenredig met want 4 ; 4 ; 8 4. Ga) Invoeren in GR: 8 9 7 L 4 9, 4 VARS Y-VARS function y -VARS Y-VARS functiony y y 8 8 8 8 8 8 Het verschil tussen de y-waarden van twee opeenvolgende punten is -. b) Invullen in GR: 6 VARS Y-VARS function y -VARS Y-VARS functiony 7 VARS Y-VARS function y 6 -VARS Y-VARS functiony 6 y 6 is het verschil tussen de y-waarden van opeenvolgende punten van de parabool. y 7 is het verschil van het verschil tussen de y-waarden van twee opeenvolgende punten
van de parabool. Dit moet dan een constant getal zijn. c) de groeifactor,7 d) y 4 J 4 9 4 4 9 9 9 9 9 6 G4) GR: 988 WINDOW Xmin=- Xma= Ymin= Yma= Gebruik je TRACE toets. 87 4 96 8 9 6 Een ruwe schatting is dan : C bij t 9 c) TBLSET TblStart=-9 Tbl=. y -9.6.7-9.. -9.4 99.9 TBLSET TblStart=-9. Tbl=. y -9.47. -9.46 Dus t 946 jaar d) Invullen in GR: 988 CALC Intersect keer enter, totdat je intersection ziet op je scherm Antwoord : 9 464 en. Dus na 946 jaar. Ga) h 4 6 t n 6; 4 6 6 n De formule wordt dan h 4 6 t b) h 6 t c) In GR: y 4 6 y 6 WINDOW Xmin= Xma= Dus na t 6 minuten en sec is het waterpeil gelijk. 6 6 n 4 7 6 n 4 n Ymin= Yma=4 CALC-intersect keer enter Intersection =6, en y= log 4 log6