Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) 115414 6 april 2010, 13.45 17.15 uur - BIJGEWERKT AANWIJZINGEN Geef duidelijke toelichtingen bij de stappen die je neemt en noem eventuele aannames. Bekritiseer je uitkomsten als ze ongeloofwaardig lijken. Het kan voorkomen, dat in een deelvraag uitkomsten van een vorige deelvraag nodig zijn. Heb je deze uitkomsten niet, kies dan aannemelijke waarden om mee verder te gaan. Formules, tabellen, grafieken en figuren zijn als bijlagen bij dit tentamen gevoegd. Let op: de gegevens staan niet allemaal op volgorde van de vragen. Rekenfouten worden minder zwaar aangerekend dan fouten in de aanpak of in eenheden. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan. OPGAVE 1 (a: 10, b: 10 totaal: 20 punten) Beschouw een stenen muur met daarin een raam van dubbel glas (figuur 1, bijlage 2). Aan de ene kant is de temperatuur T 1 en aan de andere kant T 2. De warmteoverdrachtscoëfficiënten aan deze zijden zijn respectievelijk h 1 en h 2 en zijn gelijk voor muur en raam. a) Teken het warmteweerstandsnetwerk dat hoort bij deze situatie. Geef per weerstand aan wat deze voorstelt (bv.: geleidingsweerstand van de stenen muur ) en hoe je deze uit kunt rekenen (dus in formulevorm, zonder getallen). Veronderstel in je beschouwing dat de lucht tussen de beide glasplaten stilstaat. b) Veronderstel dat het raam bestaat uit twee lagen glas met elk een dikte van 5 mm en een warmtegeleidingscoëfficiënt k glas van 1.2 W m -1 K -1. De luchtlaag ertussen is 1 cm dik en heeft een warmtegeleidingscoëfficiënt k lucht van 0.022 W m -1 K -1. Schets het temperatuurverloop van T 1 tot T 2 door het raam als functie van x zonder daarbij verder waarden te geven of berekenen. Verklaar het geschetste verloop. OPGAVE 2 (a: 5, b: 3, c: 3, d: 5, e: 4, f: 4, g: 3, h: 3 totaal: 30 punten) De bewoners van een studentenhuis in Enschede willen een tuinfeest organiseren. Omdat de buitentemperatuur s nachts slechts 278 K is, ontwerpen zij een terrasverwarming. Het is een bol met een straal r 1 van 0.30 m en emissiviteit ε 1 = 0.80. Door in deze bol oude dictaten op te stoken, wordt de bol warm en straalt warmte naar het terras. Het cirkelvormige terras heeft een straal r 2 = 2.5 m en een emissiviteit ε 2 = 0.92. De bol wordt met zijn middelpunt op een hoogte h = 3 m midden boven het terras gehangen (zie figuur 2, bijlage 2). a) De studenten willen het terrasoppervlak op 298 K houden. Wat is in die toestand het warmteverlies door natuurlijke convectie naar de omgeving? Ga uit van windstil weer. b) Het warmteverlies van het terras moet geheel door straling van de bol worden gecompenseerd. De bol is géén ideale straler (blackbody). Noem vier eigenschappen van een zwarte straler en geef aan of de bol deze wel/niet heeft. c) De view factor van de bol naar het terras kan worden berekend met: 0.5 2 r 2 F 1 2 = 0.5 1 1+ h Bereken de view factor F 2 1 van het terras naar de bol. 1-8
d) Bereken de oppervlaktetemperatuur die de bol moet hebben om voldoende warmte naar het terras te stralen. e) Bij welke golflengte is het door de bol uitgezonden vermogen maximaal? Wat voor soort straling heb je bij deze golflengte? Raadpleeg daarvoor figuur 3 in bijlage 2. f) Verwacht je dat de bol ook zichtbaar gloeit? Ondersteun je verwachting met een berekening. Zichtbaar licht heeft golflengtes tussen 0.40 en 0.76 μm. g) De bol zal, net als het terrasoppervlak, door natuurlijke convectie warmte verliezen aan de omgeving. Bereken hoe groot deze convectieve warmtestroom is. h) Bij het verbranden van een kilogram papier komt 13.5 MJ aan warmte vrij. Hoeveel kg dictaten moet er per uur in de bol worden verstookt om de hierboven beschreven situatie in stand te houden? OPGAVE 3 (a: 5, b: 5, c: 7, d: 7 totaal: 24 punten) De impulsbehoudswet in integraalvorm luidt: r ρu r r r r r dv = ( ρuu) dv + ρg dv + σ n da t V V a) Wat is de eenheid van deze vergelijking? b) Leg van elke term uit waar deze voor staat. V A De differentiaalvorm van de energiebehoudswet voor een medium dat geleidt volgens de wet van Fourier luidt: ρe r r r r r r r r = ( ρeu ) + e& gen + ρu g + ( σ u) + ( k T ) t Deze wet zal hier worden toegepast op een flatscreen in de gang van de Horst (zie figuur 4, bijlage 2). Het scherm heeft een breedte B = 0.80 m en hoogte H = 0.45 m. De dikte L bedraagt 0.040 m. Dit gehele volume van vast materiaal kan worden beschouwd als één grote, uniforme, volumetrische warmtebron met een constante warmtegeleidingscoëfficiënt k = 20 W m -1 K -1. Het totale afgegeven vermogen is 86 W. Neem aan dat zich een evenwicht heeft ingesteld en dat de warmtestroom slechts in diepterichting van het scherm plaatsvindt. c) Laat zien tot welke vergelijking de differentiaalbehoudswet voor energie reduceert voor het hierboven beschreven geval. Veronderstel dat de achterzijde van het scherm perfect geïsoleerd is en dat de temperatuur aan de voorzijde 313 K bedraagt. De warmteoverdrachtscoëfficiënt h tot aan de voorzijde verdisconteert warmtetransport vanaf het scherm door straling en convectie. De temperatuur op de gang is T = 293 K. d) Welke randvoorwaarde geldt op x = 0? Welke twee randvoorwaarden gelden op x = L? OPGAVE 4 (a: 6, b: 4, c: 4, d: 5, e: 4, f: 3 totaal: 26 punten) Een blikje frisdrank (bijlage 2, figuur 5) is op een uniforme, initiële temperatuur T i = 298 K. Om de drank af te koelen, wordt het blikje buiten gezet, waar de temperatuur 268 K is en de wind met een uniforme snelheid V = 15 m s -1 tegen de zijkant van het blikje. Het blikje kan worden beschouwd als een cilinder met een hoogte L = 0.12 m en diameter D = 0.06 m (randjes en schuine kanten worden verwaarloosd). De wand wordt verondersteld zo dun en zo goed geleidend te zijn, dat deze geen invloed heeft op het afkoelgedrag van de drank in het blikje. Ook de invloed van straling wordt verwaarloosd. Tenslotte wordt verondersteld dat het vriespunt van de frisdrank niet wordt bereikt. a) Bepaal het Nusseltgetal. Wat stelt het Nusseltgetal voor? ZIE VOLGENDE BLADZIJDE VOOR VERVOLG OPGAVE 4!!! 2-8
b) Is het toepassen van lumped system analysis geoorloofd om de afkoeling van het blikje te modelleren? c) Leg uit wat het Biotgetal Bi voorstelt. Wat is het verschil met het Nusseltgetal uit vraag a? d) Bereken met de lumped system analysis wat de temperatuur van het blikje is na 30 minuten buiten in de wind te hebben gestaan. Doe dit ongeacht je uitspraak over de geldigheid van deze analyse bij vraag b. e) Bereken nu voor dezelfde situatie de temperatuur in het midden van het blikje met de one-term approximation. Beschouw hierbij het blikje als een deel van een oneindig lange cilinder. f) Verklaar het eventuele verschil tussen de antwoorden van vraag d en e. Berekening tentamencijfer: Voor dit tentamen kun je maximaal 100 punten halen. Het eindcijfer is het aantal behaalde punten gedeeld door tien, met als minimale uitkomst een 1. Hierbij wordt, indien van toepassing, 0,5 punt bonus voor ingeleverde opdrachten opgeteld. Dit resultaat wordt vervolgens afgerond tot een geheel cijfer. Opgaven 2b, 4a en 4c hebben betrekking op de speciale, grijs omkaderde leerdoelen uit de leerdoelenlijst. Als zo n opgave geheel verkeerd wordt gemaakt, dan wordt hiervoor één punt in mindering gebracht op het (onafgeronde) eindcijfer, ofwel tien punten afgetrokken op het behaalde aantal punten. Is de opgave geheel goed gemaakt, dan wordt het hierboven vermelde aantal punten toegekend. Voor gedeeltelijk goede antwoorden kan het aantal toegekende punten variëren van -10 tot het maximum aantal punten voor deze opgave. Kortom, let dus goed op de opgaven waarin de speciale leerdoelen aan bod komen! 3-8
BIJLAGE 1: FORMULEBLAD Oppervlakte cirkel met diameter D: Oppervlakte bol met diameter D: Inhoud bol met diameter D: π 2 4 D 2 π D π 3 6 D ( ) bt T t T Lumped system analysis: θ () t = = e ; Bi 0.1 Ti T has b = ρc V p ( ) 2 λ τ One-term approximation centrum cilinder: T t T θ () t = = A1e Ti T Fourier number: αt τ = 2 L c 0 1 ; τ > 0. 2 4-8
Conductieweerstand vlakke wand (dikte L): Conductieweerstand holle cilinder: Conductieweerstand holle bol: Convectieweerstand: Surface resistance (straling): Space resistance (straling): L R = ka ln D2 / D1 R = 2πkL r2 r1 R = 4πr1 r2k 1 R = ha i Ri= 1 ε Aiεi R = 1 i j A F ( ) i i j Natuurlijke convectie: Rayleighgetal: Ra = Gr Pr gβ Ts T Grashofgetal: Gr = 2 ν 1 Thermische expansiecoëfficiënt: β = T Gravitatieversnelling: g = 9.81 m s -2 ( ) Filmtemperatuur: T = 1 ( T + T ) f 2 s L 3 c 5-8
Gedwongen convectie: Straling: Wien s displacement law: (λt) max = 2897.8 μm K Constante van Stefan-Boltzmann: σ = 5.67 10-8 -4 W m -2 K Sommatieregel: F = 1 N j= 1 i j Reciprociteitsregel: A i F i j = A j F j i 4 4 σ ( T1 T2 ) Netto stralingsvermogen tussen twee niet-ideale stralers 1 en 2: & Blackbody radiation function f λ : Q 1 2 = R tot 6-8
Gegevens van lucht bij atmosferische druk Gegevens van water: 7-8
BIJLAGE 2: FIGUREN Figuur 1: schematische doorsnede van de muur met raam uit opgave 1. Figuur 2: schematische doorsnede van de terrasverwarming uit opgave 2. Figuur 4: schematische doorsnede van het beeldscherm uit opgave 3. Figuur 3: spectrum van elektromagnetische straling. Figuur 5: blikje frisdrank uit opgave 4. 8-8