DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat 0 < 0, omdat 0 <. Je unt oo snel na 0 < 0, ( = 0, ). Misschien un je zo oo nagaan dat 0 < 0,. Met enig doorzettingsvermogen un je zo een benadering vinden voor 0. Er zijn oo slimmere methoden om zonder de reenmachine de wortel uit een getal te vinden. In de eerste opdracht zullen we 0 benaderen met behulp van een lineaire benadering.. De lineaire benadering Hierboven is de grafie geteend van y = x. De grafie is een halve parabool en begint in (0,0). Bovendien is de grafie van de raalijn in (00,0) geteend. De vergelijing van deze raalijn is: y = x +. a. Ga na dat die vergelijing goed is. 0 In de buurt van het punt (00,0) zie je vrijwel geen verschil meer tussen de raalijn en de grafie van y = x. De conclusie ligt voor de hand: 0 un je benaderen door naar de raalijn te ijen en x = 0 in de raalijnvergelijing in te vullen. Je vindt dan 0 x0 + 0, 0 b. Kij goed naar de ligging van de raalijn en beredeneer of de benaderde waarde groter of leiner is dan de exacte waarde van 0. c. Controleer je antwoord van de vorige vraag met je reenmachine en ij hoeveel procent de benaderde waarde afwijt van wat je reenmachine als antwoord geeft. De formule van Maclaurin /6
3. Tweedegraads en n-degraads benaderingen Het benaderen van grafieen in een punt met behulp van de raalijn noemen we lineaire benadering of eerstegraads benadering. Je unt een grafie in een punt natuurlij oo met een tweedegraads benadering benaderen. Dan ga je op zoe naar een parabool die in dat punt erg veel op de grafie lijt. De formule van Maclaurin geeft een n-degraads benadering, waarbij n oneindig groot wordt. Maar eerst ga je leren wat een rees is. 4. Eindige en oneindige reesen. Een voorbeeld van een eindige rees is: + 4 + 9 + 6 +. Deze rees schrijven we als volgt op: a. Opdracht: bereen: = 0 = Een voorbeeld van een oneindige rees is: + 4 + 9 + 6 + + Met die drie puntjes bedoelen we enzovoorts. We noteren. = b. Opdracht: leg uit dat deze rees oneindig groot wordt, dus = = Er zijn oo voorbeelden van oneindige reesen die niet oneindig groot worden. = + + + + +... = 3 3 9 7 8 43 = Zo is ( ) Dat uit die rees omt is niet zomaar in te zien. In de opdracht hieronder ga je zelf de uitomst bereenen die hoort bij: ( ) 4 8 6 3 = = + + + + +... c. Opdracht: teen een vierant van dm bij dm. Kleur de helft van het vierant. Als je daarmee laar bent, leur je de helft van het overgebleven stu. Daarna weer de helft van het overgebleven stu, enz, enz. Leg uit wat dit inleuren te maen heeft met ( ) 4 8 6 3 = = + + + + +... Je dent misschien dat het getal nooit bereit wordt. Dat lopt. Maar omdat je net zo dicht bij dat getal an omen als je wilt, zeggen we toch =. dat ( ) = Dat wordt je allemaal duidelij gemaat als je later in dit cursusjaar ennis maat met het begrip limiet. De formule van Maclaurin /6
. Reesen met veeltermen Je unt oo reesen maen met veeltermen. Zo n rees noemen we een machtrees (de rees bestaat uit machten van x). Een voorbeeld van een eindige rees met veeltermen: = 0 3 4 x = + x + x + x + x + x Afhanelij van de euze van x rijgt de rees een andere waarde. De rees is dus een functie van x. Duidelij is dat deze rees voor ele waarde van x begrensd is. Met begrensd bedoelen we dat we de som van de rees echt uit unnen reenen. De som van de rees wordt niet oneindig groot (of min oneindig). a. Opdracht: hoe groot is x voor = 0 x =? Een voorbeeld van een oneindige rees met veeltermen: In een vorige opdracht heb je gezien, dat als x = dan is Als x of als x < dan is de rees niet begrensd. b. Opdracht: wat gebeurt er als x =? Wat is = 0 = 0 = 0 3 x = + x + x + x +... x = + = ( ) = + +...? 6. De rees = 0 3 x = + x + x + x +... a. Opdracht: schrijf zonder haajes en zo ort mogelij: En schrijf oo zonder haajes en zo ort mogelij: 3 ( + x + x + x )( x) 3 4 ( + x + x + x + x + x )( x) b. Opdracht: wat den je dat er ontstaat als je Aangetoond an worden dat c. Opdracht: waarom geldt 3 ( + x + x + x +...)( x) uitwert? 3 = + x + x + x +... = x x (mits < x < ) 3 = + + + +... = x = 0 x x x x = 0 niet als x? d. Opdracht: met x = 0 is er oo iets ges aan de hand. Leg uit, wat precies? 7. Algemene machtrees Als een functie geschreven an worden als een oneindige machtrees dan geldt: 3 4 = 0 + + + 3 + 4 + = = 0 f( x) α α x α x α x α x... α x De formule van Maclaurin 3/6
8. Een bijzondere machtrees: de formule van Maclaurin De formule 3 4 0 3 4 f( x) = α + α x + α x + α x + α x +... = α x moet waar zijn voor alle waarden van x, dus oo voor x = 0. a. Opdracht: laat zien dat hier uit volgt dat f(0) = α0 b. Opdracht: differentieer de formule van f( x ) en laat zien dat geldt: f '(0) = α c. Opdracht: door nogmaals te differentiëren en x = 0 in te vullen, vind je een formule voor α. Doe dat! = 0 En dat gaat zo verder, dus: α = f(0) 0 α = f '(0) α = f ''(0) α α 3 = x3 4 = x3x4 f '''(0) f ''''(0) α =! f ( ) (0) 3 f (0) Conclusie: f( x) = f(0) + f '(0) x + f ''(0) x + f '''(0) x +... = x x3! = 0 Deze formule is genoemd naar Colin Maclaurin (698-746). d. Opdracht: ij eens in een encyclopedie wat over hem beend is. Bijvoorbeeld: http://www-groups.dcs.st-and.ac.u/~history/ 9. De machtrees sin(x) a. Opdracht: vul de onderstaande tabel in f( x) = sin( x) f '( x) = cos( x) f ''( x ) =... f '''( x ) =... '''' v f ( x ) =... f ( x ) =... f (0) = f '(0) = f ''(0) = f '''(0) = f ''''(0) = v f (0) = ( ) b. Opdracht: maa voor de sinus een machtrees door de gevonden waarden uit de tabel in te vullen in de formule van Maclaurin. Als je de opdracht goed hebt uitgevoerd, rijg je onderstaand resultaat. 3 3!! sin( x) = x x + x... = + = 0 ( ) x ( + )! c. Opdracht: ij eens goed waarom er + in de bovenstaande formule staat. De formule van Maclaurin 4/6
0. Reenmachine Jouw reenmachine reent met behulp van een rees zo de waarde van bijvoorbeeld sin() uit. Volgens deze formule is sin() -8/6 + 3/0-8/ 040 0,9079 Je ziet dat na 4 termen de waarde van sin()=0,9099 al aardig bereit is. Dat omt omdat die (+)! in de noemer snel erg groot wordt en dus de volgende termen erg snel verwaarloosbaar lein worden. a. Opdracht: benader met behulp van de eerste 4 termen van de machtrees van de sinus de waarde van sin( π ). Klopt je antwoord een beetje?. De machtrees van cos(x) a. Opdracht: maa zelf een machtrees voor de cosinus. b. Opdracht: zoals je weet is de afgeleide van sin(x) de cos(x). Controleer of jouw machtrees van de cosinus goed is door de machtrees van de sinus term voor term te differentiëren.. n-de graads benaderingen Een eerstegraads benadering van desin( x) x. In de grafie zie je dat de benadering alleen een aardige benadering is voor waarden van x in de buurt van 0. Volgens deze eerstegraadsbenadering issin(0,) 0, In werelijheid is sin(0,) 0,97... Je ziet dat zo n benadering aardig overeenomt met de werelije waarde. a. Hoeveel procent wijt de eerstegraads benadering van sin( π ) af van de werelije waarde van sin( π )? 6 6 3 is een derdegraads benadering. Je ziet 3! sin( x) x x dat de derdegraads grafie een betere benadering is voor waarden van x in de buurt van 0. 3 7 + 3!! 7! sin( x) x x x x is een zevendegraads benadering. Je ziet dat de grafie al een beetje gaat lijen op een sinusoïde. b. Opdracht: plot sin(x) in dezelfde figuur als de negendegraads benadering. Lijt die grafie al meer op de sin(x)? c. Opdracht: wele tweedegraadsfunctie is voor x in de buurt van 0 een goede benadering voor cos(x)? Maa voor jezelf oo een plot om je antwoord te controleren. 3. De machtrees van e x a. Opdracht: maa zelf een machtrees voor e x. b. Opdracht: differentieer de machtrees van de e x term voor term. Leu hè? De formule van Maclaurin /6
AFRONDING Presenteer de resultaten van je opdracht op een poster. Leg hierop zo duidelij mogelij uit wat je hebt gedaan. Zet er oo een paar door jullie zelf bedachte reesontwielingen op. Beden wat je publie volgens jullie (ten minste) geleerd moet hebben als ze ennis hebben genomen van jullie product. Bereid een vraag voor die een toeschouwer moet unnen beantwoorden als hij/zij jullie product heeft bestudeerd. De formule van Maclaurin 6/6