Appendix E Goniomerie Open Universiei Nederland Voorbereidingscursussen Wiskunde november 00
ii Bewerk van een oorspronkelijk manuscrip van Hans Wisbrun en behoeve van de Voorbereidingscursussen Wiskunde van de Open Universiei Nederland. Redacie van deze versie: Ber Esmeijer me eksbijdragen van Ever van de Vrie.
Inhoudsopgave * E Appendix Goniomerie E. Inleiding................................................ E. Periodieke funcies......................................... 4 E. Sinus, cosinus en eenheidscirkel................................ 5 E.. De eenheidscirkel..................................... 5 E.. Sinus en cosinus...................................... 9 E.. Gebruik rekenmachine................................. E..4 Grafieken......................................... E.4 Sinus, cosinus en hoeken.................................... 4 E.4. De 0-60-90 driehoek................................. 6 E.4. De 45-45-90 driehoek................................. 6 E.4. De (co)sinus van hoeken van 0 en 90...................... 7 E.4.4 De wee verschillende definiies van sinus en cosinus............ 8 E.5 Formules van he pe = a sin b( + c) + d........................ 9 E.5. Formules van he pe = sin + d........................ 9 E.5. Formules van he pe = a sin.......................... 0 E.5. Formules van he pe = sin b.......................... E.5.4 Formules van he pe = sin( + c)........................ E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d................... 4 E.6 Opgaven............................................... 0 E.7 Anwoorden............................................ 7 E.8 Aanwijzingen en uiwerkingen voor een aanal opgaven................ 44 E.9 Werkblad Goniomerie..................................... 49
Appendix Goniomerie E E. Inleiding Behalve eersegraads, weedegraads, worel-, exponeniële en logarimische funcies, besaan er nog veel meer sooren funcies. Belangrijke funcies, vooral in de nauurweenschappen en de echniek, maar ook in de geneeskunde, zijn de sinus-funcie en de cosinus-funcie. Elecromagneische sraling kun je daarmee beschrijven (rillingen). Als je bouwkundige consucies doorreken, kom je al gauw me de (co)sinus in aanraking. He vakonderdeel goniomerie heef zijn worels in de landmeekunde, de wereld van afsanden en hoeken. Gonio saa voor hoek, merie heef me meen e maken. In deze appendix worden de sinus- en de cosinus-funcie en onele gevoerd als funcies waarmee je periodieke verschijnselen kun beschrijven. Pas laer (E.4) word he verband me de meekunde gelegd. Voorkennis Je heb nie zo heel veel nodig: - geallenlijn Wiswijs, bladzijde 5 - funcies en grafieken Wiswijs, hoofdsuk 5 Voor E.4 is ook enige basiskennis meekunde nodig: - hoeken - driehoek - selling van Phagoras. Je kun E.4 evenueel overslaan.
4 E. Appendix Goniomerie E. Periodieke funcies Sommige grafieken van funcies hebben een vas paroon da zich seeds herhaal. Hieronder een aanal van die grafieken. Figuur E. O 6 9 x Vol Figuur E. 0 0 0 O x Figuur E. x 5 5 De funcies die hier bij horen heen periodieke funcies. Ze kunnen gebruik worden om funcies e beschrijven die een periodiek karaker hebben, zoals eb en vloed, harslag, de daglenge door he jaar heen. De lenge van he vase paroon hee periode. Omda he vaak verschijnselen zijn die periodiek in de ijd zijn, zou je ook kunnen zeggen da he de ijd is die versrijk o de eersvolgende herhaling. De waerhooge van de Weserschelde verander periodiek als gevolg van eb en vloed. In Vlissingen saa langs de Boulevard De Ruer een informaiebord me daarop een fraaie grafiek van de waerhooge als funcie van de ijd. De periode is uur en 5 minuen (zie ook de vergroe foo op bladzijde 9). opgave periodieke funcies periode
E.. Sinus, cosinus en eenheidscirkel 5 E. Sinus, cosinus en eenheidscirkel Sommige grafieken zien er ui als golven. De funcies die hierbij horen zijn de sinus en de cosinus. Di zijn periodieke funcies. Ze spelen een belangrijke rol bij he beschrijven van periodieke verschijnselen. Zo kun je bijvoorbeeld de grafiek van eb en vloed ui paragraaf E. aardig beschrijven me een sinus-formule (h =,9 sin 0,5060( 9,5)). Hoe je die formule kun maken op grond van de vorm van de grafiek kom aan de orde in paragraaf E.5. Eers word hieronder behandeld wa de sinus van een geal eigenlijk is. Misschien da je de sinus en de cosinus al in een heel ander verband ken, namelijk ui de meekunde, als verhoudingen van de zijden in driehoeken. Da is de manier waarop deze begrippen vaak geïnroduceerd worden. In deze appendix word da verband me hoeken van een driehoek pas laer gelegd, in paragraaf E.4, omda je anders zou denken da sinus en cosinus alleen maar ies me hoeken e maken hebben. Da is nie he geval, zoals je aan de formule voor eb en vloed heb kunnen zien. E.. De eenheidscirkel In hoofdsuk 5 van Wiswijs is he rechhoekig assenselsel behandeld ( Wiswijs, bladzijde 09). De schaalverdeling op de assen is in principe vrij. Zo kun je cm als eenheid kiezen, of cm, maar he zou ook een decimeer kunnen zijn,of een hele andere maa, een inch (,54 cm) bijvoorbeeld. In zo n assenselsel kun je een cirkel ekenen, me als middelpun (de plaas waar je je passerpun ze) de oorsprong van he selsel. Als sraal (de afsand ussen de wee benen van de passer) kies je de zelf gekozen eenheid. Zo n cirkel heef de eenheidscirkel. Deze gaa dus door he pun (,0). eenheidscirkel Figuur E.4 eenheidscirkel x (,0) Iedere cirkelschijf heef een omrek. Da is de lenge van een ouwje da je er srak langs span. Je kun je wel voorsellen da deze omrek evenredig is aan de sraal van de cirkel ( Wiswijs, bladzijde 0). Word de sraal bijvoorbeeld drie maal zo groo, dan word de omrek ook drie maal zo groo. He precieze verband word gegeven door de formule omrek = π sraal. Hierin is π he bekende irraionale geal, ongeveer gelijk aan,4 ( Wiswijs, bladzijde 65). De omrek van de eenheidscirkel is π, of korer π. omrek
6 E. Appendix Goniomerie Sel je nu een geallenlijn voor ( Wiswijs, bladzijde 5) me dezelfde eenheid als gebruik voor de eenheidscirkel, die je als een ouwje - egen de wijzers van de klok - langs de eenheidscirkel wind, waarbij je de 0 laa samenvallen me he pun (,0) op de cirkel. Ergens op de geallenlijn lig he geal π ( 6,8). Da zal bij srak winden weer op hezelfde pun (,0) erech komen (je ben één keer rond gegaan, dus je heb één keer de omrek van de cirkelschijf, π, afgerold). Ook de geallen 4π (wee keer rond), 6π (drie keer rond) 8π, enzovoor, komen daar erech. Di geld ook voor de geallen π (één keer rond, maar dan me de klok mee), 4π (wee keer rond me de klok mee), 6π (drie keer), 8π, enzovoor. Hezelfde geld voor alle veelvouden van π. Maar ook andere geallen krijgen zo een plaas op de cirkel. Zo kom he geal π (een half rondje) op (,0), 4 π (een kwar rondje) kom op (0,) en π op (0, ). En zo vind je 4 π nauurlijk precies ussen 0 en π, dus na 8 rondje. De plaas van de geallen 4 π, 4 π en 4π vind je op een soorgelijke manier. Ook de gewone geallen, da wil zeggen zonder π erin vinden hun plaasje ergens op de cirkel, al val he wa moeilijker aan e geven waar ze precies erech komen. De zi bijvoorbeeld ergens ussen de 4 π ( 4,4 0,79) en de π (,57) in. Alle geallen vind je zo op de cirkel. In de figuur hieronder zie je een aanal geallen saan. π π π 4 0 π 4 π π 4 Figuur E.5 π..., π, 0, π,... 6 4 π 4 4 π π 5 opgave
E.. Sinus, cosinus en eenheidscirkel 7 Bij ieder geal op de geallenlijn kom op die manier een pun op de eenheidscirkel. Omgekeerd horen bij een bepaald pun op de eenheidscirkel verschillende geallen. Voorbeeld : π 4 Figuur E.6 A Als A he pun is da bij 4π hoor, dan hoor A ook bij 4 π (= 4π + π, een achse rondje en dan nog een heel rondje), 4 4 π (= 4π + 4π, een achse rondje en dan nog wee rondjes), maar ook bij 4 π (= 4 π π) of 4 π (= 4 π π) opgave Als je bij een geal een veelvoud van π opel of afrek, dan krijg je hezelfde pun op de eenheidscirkel als he geal zelf. Dus bij de geallen..., 4 π 4π, 4 π π, 4 π, 4 π + π, 4π + 4π,... hoor hezelfde pun op de eeheidscirkel. Deze hele rij geallen word vaak zo genoeerd: 4π + k π, waarbij k dan een willekeurig geheel geal voorsel ( Wiswijs, bladzijde 45). opgave 4 Hierboven zijn bij geallen op de geallenlijn punen op de eenheidscirkel geekend. De eenheidscirkel is in een assenselsel geekend. Ieder pun in zo n selsel heef wee coördinaen, e schrijven als een geallenpaar ( Wiswijs, bladzijde 9 en 0). Van sommige punen zijn de coördinaen makkelijk e bepalen, bijvoorbeeld: π 0 (,0) π (0,) π (,0) π (0, ) π 0 π
8 E. Appendix Goniomerie Van andere punen kun je de coördinaen aflezen, al is da minder precies: 4π (0,7, 0,7) 6π (0,85, 0,5) 4 π 6 π Figuur E.7 Als je wa van meekunde wee, kun je de coördinaen van deze punen en van andere mooie punen op de eenheidscirkel exac bepalen. In de volgende paragraaf saa meer daarover. Gebruik in he vervolg de waarden ui ondersaande abel: geal 0 pun (,0) (, ) ( 6 π 4 π π π, ) (, ) (0,) De waarden in deze abel komen zo vaak voor, da je ze ui je hoofd moe kennen, of gemakkelijk moe kunnen reconsrueren. In he vervolg zul je ze vaak moeen gebruiken. In deze abel liggen de punen seeds rechsboven in he assenselsel. Di deel word wel he eerse kwadran genoemd. Zo hee he deel linksboven he weede kwadran, he deel linksonder he derde kwadran en he deel rechsonder he vierde kwadran. kwadran Figuur E.8 II I III IV
E.. Sinus, cosinus en eenheidscirkel 9 De coördinaen van punen in andere kwadranen kun je vaak bepalen door gebruik e maken van de smmerie in he plaaje. Voorbeeld : De punen die horen bij 6 π en 5 6π hebben dezelfde -coördinaa, maar egengeselde x-coördinaen. Dus geld da: 5 6 π (, ) op soorgelijke manier vind je: 6 π (, ) 5 π 6 6 π 6 π opgave 5 Uieraard kun je ook bij geallen zonder π erin aflezen welke coördinaen er, bij benadering, bijhoren. Voorbeeld : (0,55, 0,85) ( 0,4, 0,9) E.. Sinus en cosinus Je heb nu gezien da er bij ieder geal op de geallenlijn een pun op de eenheidscirkel hoor en da er bij ieder pun op de eenheidscirkel een coördinaenpaar hoor. De horizonale coördinaa (x-coördinaa) word de cosinus van genoemd, de vericale coördinaa (-coördinaa) word de sinus genoemd. Zo krijg je wee funcies: sin cos (uispraak: de sinus van, of sinus ) (uispraak: de cosinus van, of cosinus ) cosinus sinus sin Figuur E.9 cos
0 E. Appendix Goniomerie Voorbeeld 4: Neem = π. In de abel op bladzijde 8 zie je da hier he pun (, ) bij hoor. Hierui volg: sin π = cos π = π π Bij = π hoor he pun (, ). Di geef: sin π = π cos π = En bij = π hoor he pun (0,). Di geef: sin π = cos π = 0 opgave 6 Bij alle waarden van hoor zo een geal sin. Voor een aanal waarden ussen 0 en π kun je he abelleje op bladzijde 8 gebruiken. Voor andere waarden vind je de sinus weer door gebruik e maken van smmerie-eigenschappen, bijvoorbeeld sin( a) = sin a, sin(π a) = sin a of sin(a + π) = sin a. In ondersaande figuren zie je een illusraie van deze eigenschappen, alsmede van de vergelijkbare eigenschappen voor de cosinus. Figuur E.0 sin a a sin( a) cos a cos( a) a sin( a) = sin a cos( a) = cos a Figuur E. π a sin a sin(π a) a cos(π a) cos a sin(π a) = sin a cos(π a) = cos a
E.. Sinus, cosinus en eenheidscirkel a Figuur E. a + π sin(a + π) = sin a cos(a + π) = cos a Afspraak Bij combinaies van bewerkingen heef sin dezelfde prioriei als he -smbool ( Wiswijs, onderaan bladzijde 54). Da beeken da er bij sin π geen haakjes hoeven om π en da we de sinus van a meesal schrijven als sin a. Me sin a bedoelen we dus sin( a) en nie (sin ) a. Bij sin(a + π) horen wel haakjes als we de sinus van de som a + π bedoelen. Als er sin a + π saa, zou eers de sinus van a genomen moeen worden en bij he resulaa zou dan π opgeeld moeen worden. En ook als er verwarring kan onsaan, is he versandig om haakjes e gebruiken. E.. Gebruik rekenmachine Op de meese rekenmachines zi een knop voor de sinus (en ook voor he geal π). Voorbeeld 5: Bereken sin Wil je sin op je rekenmachine berekenen, dan moe je zorgen da deze in de modus RAD of RA- DIAN saa. Kijk in de handleiding van je rekenmachine hoe je di doe. RAD of RADIAN saa voor radiaal, een maa voor hoeken. He verband ussen hoeken (in radialen of in graden) en de (co)sinus word besproken in paragraaf E.4. Toes nu in: sin(), me als resulaa 0,90997468. Voorbeeld 6: Bereken sin 4 π Toes in: sin(π/4), me als resulaa 0,7070678. Opmerking : Sommige nieuwe modellen geven als anwoord, de uikoms die je had kunnen vinden me de abel op bladzijde 8. Deze machines hebben ook een funcie om de uikoms weer e geven als decimale breuk. He resulaa is dan uieraard hezelfde als hierboven. Opmerking : Als je sin 4π op een rekenmachine wil berekenen, is he gebruik van haakjes zoals hierboven essenieel. Nieuwe modellen en grafische rekenmachines geven he eerse haakje zelf, op oudere modellen zou je ook kunnen invoeren: sin π/4, me als resulaa: 0. Ga zelf na wa de rekenmachine dan bereken. opgave 7
E. Appendix Goniomerie E..4 Grafieken Omda je nu bij ieder reëel geal de waarde van sin kun vinden, kun je ook de grafiek van de funcie f : sin ekenen. Da doe je door op de horizonale as ui e zeen en op de vericale sin. Zo krijg je de volgende grafiek: Figuur E. π π 6 π π π π π π π Je zie da he een periodieke funcie is, me π als periode. Da had je nauurlijk al kunnen voorspellen, omda bij alle geallen a + k π (k is een geheel geal) hezelfde pun op de eenheidscirkel hoor. He domein en he bereik ( Wiswijs, bladzijde 09) van de funcie f : sin vind je door e bedenken da je nu voor alle reële geallen wee hoe je sin moe bepalen en vervolgens e kijken naar de kleinse en groose waarde die sin kan hebben. opgave 8 In de grafiek zie je ook weer allerlei smmerie-eigenschappen. Figuur E.4 sin a a a π a a + π sin a In de grafiek zie je da de punen me = a en me = π a dezelfde -waarde hebben, namelijk sin a. Anders gezegd: sin(π a) = sin a. Andere smmerie-eigenschappen kun je ui de grafiek afleiden door op e merken da zowel voor = a als voor = a + π de -waarde gelijk is aan sin a. opgave 9 /m
E.. Sinus, cosinus en eenheidscirkel De grafiek van de cosinus maak je op dezelfde manier als de grafiek van de sinus. Ook voor de cosinus zi een knop op je rekenmachine. opgave De periode van de cosinus is ook π. De grafiek lijk op die van de sinus. He is de sinusgrafiek, maar dan horizonaal verschoven. Figuur E.5 = sin = cos In deze paragraaf heb je grafieken geekend van de sinus en de cosinus van geallen die nies voorselden, behave zichzelf. In veel leerboeken worden de sinus en de cosinus in verband gebrach me hoeken in (rechhoekige) driehoeken. Deze definiie slui aan bij de onze. Als je ooi ies aan meekunde gedaan heb, dan is he ineressan om de volgende paragraaf e besuderen. Zo nie, dan kun je hem overslaan. Alleen moe je dan maar geloven da de volgende abel klop, of moe je de geallen narekenen me je rekenmachine. Vergelijk me de abel op bladzijde 8. geal 0 6 π pun (,0) (, ) ( sinus 0 cosinus 4 π π π, ) (, ) (0,) 0 Deze abel vind je ook op he Werkblad Goniomerie op bladzijde 49. Zorg ervoor da je di werkblad alijd bij de hand heb en da je hem egen de ijd da je de oes maak ui je hoofd ken.
4 E. Appendix Goniomerie E.4 Sinus, cosinus en hoeken Je kun de grooe van een hoek uidrukken in graden ( ). Zo is een haakse of reche hoek een hoek van 90 ; de helf daarvan is een hoek van 45. Maar ook de sinus (of cosinus) van een hoek geef informaie over de grooe van die hoek. Als je een hoek heb in een rechhoekige driehoek - da wil zeggen da één van de drie hoeken rech is - dan kun je de grooe van die hoek geven door de verhouding van (de lenges van) wee zijden. In een ekening saa een hoek vaak aangegeven me α (alfa) en de reche hoek me een klein vierkanje. Voor de zijden van de driehoek worden de benamingen oversaande rechhoekszijde, aanliggende rechhoekszijde en schuine zijde (of hpoenusa) gebruik. Als de oversaande rechhoekszijde bijvoorbeeld klein is en opziche van de schuine zijde, dan is α nauurlijk nie zo groo. Maar als de oversaande zijde groo is en opziche van de schuine zijde, dan is α juis groo. Als de aanliggende rechhoekszijde klein is en opziche van de schuine zijde, dan is α ook groo. De wee hier beschreven verhoudingen worden de sinus en de cosinus van een hoek genoemd. graden oversaande rechhoekszijde aanliggende rechhoekszijde schuine zijde sinus cosinus Figuur E.6 schuine zijde oversaande zijde α aanliggende zijde sin α = cos α = Opmerking : oversaande rechhoekszijde schuine zijde aanliggende rechhoekszijde schuine zijde Een derde verhouding is de angens (afkoring: an) an α = oversaande rechhoekszijde aanliggende rechhoekszijde Da is in zekere zin een oude bekende: de helling van een lijn (hier de schuine zijde van de driehoek) is de angens van de hoek ussen die lijn en de horizonale as (hier de aanliggende rechhoekszijde) ( Wiswijs, paragraaf 6.). angens Opmerking 4: De sinus en de cosinus zijn in de vorige paragraaf op een heel andere manier gedefinieerd. Aan he eind van deze paragraaf zul je zien wa he verband is ussen deze verschillende definiies. Pas op Wa de oversaande rechhoekszijde en wa de aanliggende rechhoekszijde is, hang af van de hoek waarvandaan je kijk. Bovendien kan de schuine zijde zoals je hiernaas zie op papier bes horizonaal lopen. oversaande zijde schuine zijde aanliggende zijde α
E.4. Sinus, cosinus en hoeken 5 Als je van een rechhoekige driehoek de lenge van de zijden wee, kun je nu de sinus en de cosinus van de wee nie reche hoeken bepalen. Voorbeeld 7: β sin β = 6 = 6 Figuur E.7 7 5 6 cos β = 5 6 5 α sin α = 5 7 cos α = 8 7 8 In bovensaand voorbeeld zijn de lenges van alle drie de zijden gegeven. Je heb eigenlijk voldoende aan wee van die lenges, omda in een rechhoekige driehoek de selling van Phagoras geld, waarmee je de lenge van de derde zijde kun uirekenen. selling van Phagoras Eigenschap In een rechhoekige driehoek geld: (oversaande rechhoekszijde) + (aanliggende rechhoekszijde) = (schuine zijde) Opmerking 5: De oversaande rechhoekszijde van hoek α word vaak aangeduid me a, de aanliggende rechhoekszijde me b en de schuine zijde me c. In deze noaie luid de selling van Phagoras: a + b = c. Voorbeeld 8: C Figuur E.8 4 C A 7 AB + AC = BC BC = 6 + 49 = 65 BC = 65 B A 5 4 B AB + BC = AC BC = 5 6 = 9 BC = 9 = opgave
6 E. Appendix Goniomerie Voor een aanal hoeken is he mogelijk om de sinus en de cosinus e bepalen door gebruik e maken van de eigenschappen van rechhoekige driehoeken waar die hoeken in zien. In de volgende wee subparagrafen worden zo de sinus en de cosinus van 0, 45 en 60 bepaald. In de derde subparagraaf worden de sinus en de cosinus van 0 en van 90 behandeld. To slo kom er zoals gezegd nog een subparagraaf die de relaie leg ussen de meekundige definiie van sinus en cosinus in deze paragraaf en de definiie me behulp van de eenheidscirkel ui E.. E.4. De 0-60-90 driehoek opgave 4 Hiernaas zie je een driehoek me hoeken α = 0 en β = 60. De derde hoek is dus een reche hoek van 90. De verhoudingen ussen de zijden in zo n driehoek heb je berekend in opgave 4. Als bijvoorbeeld de oversaande zijde gelijk is aan a = 5, dan is de aanliggende zijde gelijk aan a = 5 en is de schuine zijde gelijk aan a = 0. α a a β a Nu volg: sin 0 = a a = sin 60 = a a = cos 0 = a a = cos 60 = a a = E.4. De 45-45-90 driehoek opgave 5 De driehoek hiernaas heef wee hoeken van 45, α en β. De derde hoek is dus een reche hoek van 90. De verhoudingen ussen de zijden in zo n driehoek heb je berekend in opgave 5. Hierui volg: sin 45 = a a = = cos 45 = a a = = α a a a β ( Wiswijs, bladzijde 7, opgave 9a)
E.4. Sinus, cosinus en hoeken 7 E.4. De (co)sinus van hoeken van 0 en 90 Wa is de (co)sinus van een hoek van 0 of 90? In beide gevallen is er een probleem me de definiie. Als een hoek in een driehoek ech 0 zou zijn, dan zouden wee zijden samenvallen. Toch kun je je wel voorsellen wa de (co)sinus van 0 is, als je in gedachen een hoek van bijna 0 seeds kleiner maak. sin 0 = cos 0 = oversaande rechhoekszijde schuine zijde aanliggende rechhoekszijde schuine zijde = 0 = α α seeds kleiner Een hoek van 90 pas nie in een driehoek waar al een reche hoek in zi. Ook hier kun je je wel voorsellen wa er gebeur als je een hoek van bijna 90 seeds dicher naar 90 laa naderen. sin 90 = cos 90 = oversaande rechhoekszijde schuine zijde aanliggende rechhoekszijde schuine zijde = = 0 α α seeds dicher bij 90 graden In de abel hieronder saan de resulaen o nu oe samengeva. hoek 0 0 45 60 90 sinus 0 cosinus 0
8 E. Appendix Goniomerie E.4.4 De wee verschillende definiies van sinus en cosinus Hoe hang de meekundige definiie ui deze paragraaf nu samen me de definiie van sinus en cosinus, zoals we die ui paragraaf E. kennen? Daar wonden we een geallenlijn om de eenheidscirkel (cirkel me sraal ). Op die manier krijg je de sinus en de cosinus als coördinaen van een pun. In de eenheidscirkel hiernaas hoor pun P bij he geal π. Als je vanui O(0,0) een sraal naar pun P rek, dan maak die een hoek α me de horizonale as. Aangezien bij π, een half rondje, een hoek van 80 hoor, is de hoek die bij π hoor gelijk aan 80 = 60. Dus geld: α = 60. Op deze manier hoor bij ieder geal een hoek α die aangeef hoe ver je moe draaien bij he opwinden van de eenheidscirkel. Als deze hoek ussen 0 en 90 lig, kun je de (co)sinus nu op wee manieren bepalen: Teken he geal op de eenheidscirkel, zoals hierboven gedaan is voor = π. Dan geld volgens de definiie op bladzijde 9: sin = P en cos = x P. O α x P P ( π) Teken de hoek α als hoek van een rechhoekige driehoek me schuine zijde, zoals hierboven gedaan is voor α = 60. Volgens de definiie op bladzijde 4 geld dan: sin α = P = P en cos α = x P = x P Op beide manieren krijg je dus precies dezelfde uikoms! Voor α = 60, ofwel = π heb je in subparagraaf E.4. gezien: sin 60 = en cos 60 = Hiermee volg, zoals op bladzijde 8 al was verkondigd, sin π = en cos π =. P opgave 6 Opmerking 6: Bij een hoek van 60 hoor dus he geal π, en zo hoor bij iedere hoek een geal. Da geal word ook gebruik om de grooe van de hoek aan e geven. De eenheid waarin de hoek dan word uigedruk hee radiaal, afgekor rad. Zo is 60 hezelfde als π rad en is 80 hezelfde als π rad. Daarom moes in paragraaf E. (zie bladzijde ) de rekenmachine op RAD saan. radiaal rad
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d 9 E.5 Formules van he pe = a sin b( + c) + d De mees eenvoudige formule voor een sinus-funcie is gewoon = sin. Wil je periodieke verschijnselen als eb en vloed me een sinus beschrijven, dan heb je meesal ingewikkelder formules nodig, bijvoorbeeld h =,4 sin 0,5. In deze paragraaf bekijken we formules van de vorm = a sin b( + c) + d. Me di bouwschema kunnen alle grafieken worden beschreven die de vorm hebben van de gewone sinus-grafiek, maar dan verschoven en/of opgerek of ingekrompen. Zo n grafiek word een sinusoïde genoemd. Hieronder word bekeken wa de invloed is van de waarden van a, b, c en d op de grafiek die bij zo n formule hoor. Wa gebeur er als je op de plaas van deze leers geallen gaa invullen? We bekijken eers de invloed van alle leers afzonderlijk, e beginnen me d (dan is dus a =, b = en c = 0). sinusoïde E.5. Formules van he pe = sin + d opgave 7 Als je wee funcies bij elkaar opel, dan krijg je de grafiek van de somfuncie door de grafieken op elkaar e sapelen. Als een van beide funcies een consane funcie is, dan beeken he da de grafiek van de andere funcie vericaal word verschoven. Dus de grafiek die hoor bij de funcie = sin +d is de gewone sinusgrafiek, maar dan vericaal verschoven. Of da naar boven of naar beneden is hang af van de waarde van d. De sinusgrafiek slinger nie langer rond de -as, maar rond een horizonale lijn me de formule = d. Anders gezegd, de evenwichswaarde is nu nie = 0, maar = d. evenwichswaarde Voorbeeld 9: = sin + Figuur E.9 De grafiek van = sin + = sin π π Eigenschap De grafiek die hoor bij = sin + d krijg je door die van = sin vericaal e verschuiven. Als d > 0, dan is de verschuiving omhoog, is d < 0, dan is de verschuiving omlaag. De grafiek slinger rond de lijn me vergelijking = d. Opmerking 7: De formule = + sin geef dezelfde funcie als = sin +, vanwege de wisseleigenschap van de opelling. opgave 8
0 E. Appendix Goniomerie E.5. Formules van he pe = a sin Wa is de grafiek die hoor bij de formule = sin (di beeken sin )? De -waarden die horen bij sin zijn maal groer dan die van sin. Had sin bijvoorbeeld als maximum de waarde, bij sin is da. De waarden 0 blijven echer 0, omda 0 nu eenmaal ook 0 is. Di heef o gevolg da de grafiek van = sin een vericaal opgereke sin -grafiek is. = sin = sin π 4π Figuur E.0 De grafiek van = sin opgave 9 Eigenschap De grafiek die hoor bij = a sin krijg je door die van = sin vericaal op e rekken (a > ), dan wel in e krimpen (a < ). Hierboven is silzwijgend aangenomen da a posiief was. Is a echer negaief, dan gebeur er nog ies exra s. opgave 0 Als a negaief is, dan is er behalve van een vericale oprekking of inkrimping ook sprake van een vericale spiegeling. Wa boven de -as za kom eronder en wa eronder za kom erboven. De waarde van a, de absolue waarde van a ( Wiswijs, bladzijde 08, opgave 7), word ampliude genoemd. He is de maximale uiwijking vanui de evenwichswaarde. ampliude
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d E.5. Formules van he pe = sin b Om een idee e krijgen van de grafiek die hoor bij = sin, kun je een abel maken van sin voor een aanal waarden van. Om he verband me de grafiek van = sin e leggen, kun je de waarden van sin ook in deze abel zeen. Pas op sin is ies anders als sin. Bij sin bereken je eers de sinus van een geal en vermenigvuldig je de uikoms me. Bij sin vermenigvuldig je eers me en bereken je van de uikoms de sinus. opgave 0 sin 0 0 sin 0 6 π 4 π π π π 4 π 5 π π 6 π π 4 π π 4 π π 0 0 π π π π π π π π π 4π 0 0 0 0 Ui de abel blijk da sin dezelfde waarden aanneem als sin, alleen voor andere waarden van. Da is nie zo verwonderlijk, wan om acher he sinus-smbool bijvoorbeeld de waarde π e krijgen - en daarmee de waarde voor de formule - moeen we in sin gewoon π invullen. Maar in sin moe dan π : = 4 π zijn ( 4 π = π). En als je sin π = als uikoms wil hebben, dan moe je in sin invullen = 6 π. Als je de variabele zie als de ijd - en in veel oepassingen gaa he ech om de ijd (de waersand als funcie van he ijdsip op de dag) -, dan zou je kunnen zeggen da sin weemaal zo snel op en neer gaa als sin. Da heef consequenies voor de grafiek: de grafiek van sin slinger weemaal zo snel rond de evenwichswaarde en heef dus een weemaal zo kleine periode als sin. De periode van sin is dus gelijk aan π. = sin Figuur E. De grafiek van = sin π π = sin opgave
E. Appendix Goniomerie De grafiek van = sin loop driemaal zo hard als de grafiek van = sin. In één periode van sin slinger de grafiek van sin dus drie keer rond de evenwichswaarde. De periode van sin is dus π = π. De grafiek van = sin loop daarenegen driemaal zo langzaam als die van = sin. De periode is π (of: π ) = 6π. Deze grafiek is juis (horizonaal) uigerek. Eigenschap In he algemeen is de periode van de funcie me formule = sin b gelijk aan π b. Hiervoor had je een formule en daarbij ekende je de grafiek. Omgekeerd kun je ook bij di soor sinusoïden een bijbehorende formule opsellen. Voorbeeld 0: Figuur E. π π π π De grafiek is een (horizonaal) ingedruke sinusgrafiek. Er gaa anderhalve slinger in een sukje van π, dus de periode is deel van π, ofwel π. Ui de formule periode = π b volg nu π b = π. Hieraan voldoe b =. De formule is dan = sin opgave
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d E.5.4 Formules van he pe = sin( + c) Om een idee e krijgen van de grafiek die hoor bij = sin( + π), kun je weer een abel maken van sin( + π) voor een aanal waarden van. Om he verband me de grafiek van = sin e leggen, kun je de waarden van sin ook in deze abel zeen. opgave 4 π 6 π 0 sin 0 + π 0 sin( + π) 0 6 π π π π 5 6 π π π π 5 6 π π 6 π 0 6 π π 6 π π π 0 Je zie da sin( + π) dezelfde waarden als sin doorloop, alleen voor andere waarden van. sin( + π) is bijvoorbeeld gelijk aan voor = 6 π, erwijl sin = voor = π. Evenzo geld sin( + π) = voor = 6 π, erwijl sin = voor = 6 π. Als je de grafieken van = sin en = sin( + π) in één figuur eken, zie je da je de grafiek van = sin(+ π) krijg door de grafiek van = sin over een afsand van π naar links e verschuiven. = sin( + π) = sin π π π Figuur E. De grafiek van = sin( + π) opgave 5 Eigenschap De grafiek die hoor bij = sin( + c) krijg je door de grafiek van = sin horizonaal e verschuiven. Als c < 0, dan is de verschuiving naar rechs. Is c > 0, dan is de verschuiving naar links. Pas op Omda je posiieve waarden meesal associeer me rechs (op de geallenlijn), word hier vaak de fou gemaak da als c > 0 de verschuiving naar rechs is. He is juis he egenovergeselde.
4 E. Appendix Goniomerie Ook bij di soor sinusoïden kun je weer een bijbehorende formule opsellen. Voorbeeld : Figuur E.4 π π π π π Hier hoor de formule = sin( + π) bij, omda he een gewone sinus-grafiek is die π naar links is verschoven. Maar = sin(x π) mag ook en = cos is hier nauurlijk ook goed. opgave 6 E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d He soor sinus-formules da in deze paragraaf behandeld word heef als sandaardvorm = a sin b( + c) + d. Voorbeeld : h =,4 sin 0,5 a =,4, b = 0,5, c = 0, d = 0. Voorbeeld : = sin(x + π) Eers ombouwen o de sandaardvorm, dus de buien haakjes halen! sin(x + π) = sin (x + π) a =, b =, c = π, d = 0. Pas op Bij he bepalen van de waarde van c kun je in de fou gaan. Je moe, zoals in he bovensaande voorbeeld saa aangegeven, de b eers buien haakjes halen (sandaardvorm). Pas dan kun je de waarde van c aflezen. opgave 7
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d 5 Eerder in deze paragraaf bekeken we de invloed van a, b, c en d afzonderlijk. Elk had een bepaalde invloed op de grafiek van de bijbehorende funcie in vergelijking o de gewone sinus-grafiek: horizonale (c) of vericale (d) verschuiving, horizonale (b) of vericale (a) oprekking dan wel inkrimping. Nu gaa he om combinaies van a, b, c en d en dus gecombineerde invloeden. Ook al laa je he ekenen van nee grafieken egenwoordig vaak aan een compuer over, he is wel nuig om een grafiek van zulke periodieke funcies e kunnen schesen. Voorbeeld 4: Hoe eken je de grafiek die hoor bij = sin 4( + π)? Vergelijk me de gewone sinus-grafiek ( = sin ). Hiervan loop een sandaardslinger van 0 o π. Voor één sandaardslinger van = sin 4( + π) moe wa hier acher sin saa van 0 o π lopen: 4( + π) = 0 geef = π 4( + π) = π geef + π = π = π + π (= 6 π) De sandaardslinger begin dus bij = π en is dus.o.v. = sin over een afsand π naar links verschoven. Bij = π + π eindig hij. De lenge van de sandaardslinger, de periode, is dus π. Di is in overeensemming me de eigenschap op bladzijde : periode = π b = π 4 Omda a = en d = 0 blijf de grafiek, ne als de gewone sinus-grafiek, rond de -as slingeren ussen de waarden en. In de figuur hiernaas zie je de grafieken van = sin en = sin 4( + π) me als domein he inerval [ π,π]. De grafiek van = sin 4( + π) is vegedruk voor de slinger ussen 6 π en π. π π π π
6 E. Appendix Goniomerie Voorbeeld 5: Hoe sches je de grafiek die hoor bij = sin ( π) + 6? Begin sandaardslinger: ( π) = 0 = π Eind sandaardslinger: ( π) = π π = π = π + π (= π) De periode is dus π en de grafiek is.o.v. de gewone sinus-grafiek me π naar rechs verschoven. De grafiek slinger ussen a + d en a + d, dus ussen de en de 9. De evenwichswaarde is = 6. Omda a < 0, is de grafiek in vericale riching gespiegeld om de evenwichswaarde en gaa deze na he beginpun ( π,6 dus eers naar beneden. 9 Figuur E.5 = sin ( π) + 6 8 7 6 ampliude evenwichswaarde = 6 5 4 π π π π opgave 8
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d 7 Omgekeerd kun je bij een bepaalde sinusoïde door analse een formule bedenken. Voorbeeld 6: Figuur E.6 4 S π π 4 π π π Lees ui de figuur he verschil ussen maximum en minimum af. De ampliude a is de helf hiervan: a = 4 = De evenwichswaarde is = (he gemiddelde van maximum en minimum), dus d =. De periode word bepaald door de horizonale afsand ussen wee soorgelijke punen op de grafiek, bijvoorbeeld de wee opeenvolgende minima voor = π en = π. De periode is dus π. Di beeken da π b = π b = : = = 4. He pun waar de sinuoïde voor he eers door de evenwichswaarde omhoog gaa (S ) lig halverwege he minimum voor = π en he maximum voor = 4π en heef dus als - coördinaa 7 8 π. Da beeken da de grafiek 7 8π naar rechs is verschoven.o.v. de gewone sinus-grafiek: c = 7 8 π. Conclusie: de formule bij de bovensaande grafiek is = sin 4 ( 7 8 π) +. Opmerking 8: De formule die hierboven saa is nie de enige die bij de grafiek pas. Er zijn er wel meer. Zo kun je bij c rusig de periode ( π), of een veelvoud daarvan, opellen of afrekken. En je kun ook wel me a = (dus inclusief een vericale spiegeling) ui de voeen, maar da lever weer een andere waarde voor c op. He is ook mogelijk de grafiek me een cosinus-formule e beschrijven (zie verder hieronder). opgave 9 en 0
8 E. Appendix Goniomerie To nu oe hebben we ons seeds beperk o sinus-formules. Maar in formules kom ook wel eens een cosinus voor. Hoe sches je in zo n geval de bijbehorende grafiek? Voorbeeld 7: Sches de grafiek die hoor bij = cos ( ). De sandaardslinger van een gewone cosinus-grafiek ( = cos ) lijk op een kuil die begin bij = 0 en eindig bij = π ( bladzijde van deze sllabus). De kuil die hoor bij = cos ( ) begin als ( ) = 0, ofwel als =, en eindig als ( ) = π, ofwel als = + 4π. De grafiek heef dus een periode 4π ( π b = π = π = 4π) en is naar rechs verschoven en opziche van de gewone cosinus-grafiek. De ampliude blijf en er is geen vericale verschuiving. Di geef de ondersaande grafiek. Figuur E.7 = cos ( ) π π π π π opgave Je kun, omgekeerd, ook weer een cosinus-formule bedenken bij een bepaalde sinusoïde. Da is vooral makkelijk als de -coördinaen van de minima en/of maxima makkelijk zijn af e lezen. Voorbeeld 8: Figuur E.8 4 0 π π 4 Minimumwaarde: 0; maximumwaarde: 4. 4 0 4 + 0 Ampliude: a = = 7; evenwichswaarde: d = = 7. De periode is de afsand ussen de minima, da is π 4 π = 4 π. Di geef π b = 7 4 π b = : 7 4 = 4 7 = 8 7 = 7 He hoogse pun van de grafiek (= he sarpun van de cosinus-slinger) lig halverwege 4 π en π, da is bij = 8 π. De grafiek is.o.v. de gewone cosinus-grafiek me 8π naar rechs verschoven. Di geef c = 8 Een formule is = 7 cos 7 ( 8π) + 7.
E.5. Formules van he pe = a sin b( + c) + d 9 opgave Opmerking 9: Meesal zijn de grafieken waarbij je een formule moe vinden nie zo nejes als hiervoor. He gaa bijvoorbeeld om meegegevens, zoals in he geval van de eb en vloed in de Weserschelde ui paragraaf E.. Hieronder zie je een vergroing van deze grafiek. Deze grafiek word benaderd door de ondersaande (co)sinusgrafiek. Ga zelf na da de cosinus-formule bij deze grafiek gegeven word door h =,9 cos 0,5060 en da de sinus-formule gegeven word door h =,9 sin 0,5060( 9,5). h Figuur E.9 0 6u.,5min. u.5min. 8u.7,5min. 4u.50min.
0 E. Appendix Goniomerie E.6 Opgaven Bepaal de periode van de funcies in de volgende grafieken. Vol 0 0 0 5 0 5 Vol 0 0 0 5 0 5 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 0 Teken een eenheidscirkel me als eenheid cm. Sel je een geallenlijn voor me dezelfde eenheid. a b c Teken de geallen π, π, 6 π en π als punen op de eenheidscirkel. Teken de geallen π, 4 π en π ook op de cirkel. Probeer zo precies mogelijk de plaas van de geallen,,, en op de cirkel aan e geven. Noem bij de punen E, F, G en H in de cirkel hieronder drie van de geallen die erbij horen. E M D N C L B K A P F Q G R H S 4 Geef me de k-noaie aan welke geallen bij de punen C, N, Q, D en H ui de cirkel hierboven horen. 5 Bepaal me behulp van schesjes in de eenheidscirkel de coördinaen van de punen die horen bij de volgende geallen. Gebruik daarbij de ondersaande abel. geal 0 pun (,0) (, ) ( 6 π 4 π π π, ) (, ) (0,) a π d 6 π g π j 4 π b c π π e f π 4 π h i 6 π π k 5 6 π l 76 π
E.6. Opgaven 6 Bepaal de volgende sinussen en cosinussen. Gebruik de abel ui opgave 5. a sin( π) d sin( 6 π) g sin π j cos( 4 π) b sin π e cos π h cos 6 π k sin 5 6 π c cos π f sin 4 π i cos( π) l sin 76 π 7 Bepaal me je rekenmachine a sin 4 b sin π c sin π 8 a Waarom is f : sin een funcie? b Wa is he domein van de funcie f : sin? c Wa is he bereik van de funcie f : sin? d Als he domein o [ π,π] word beperk, voor welke waarden van geld dan sin =? e Als he domein o [ π,π] word beperk, voor welke waarden van geld dan sin = 0? 9 Gegeven is de funcie f me f () = sin en domein [0,4π]. a Teken de grafiek van f. b Geef aan hoe ui de grafiek de waarden van zijn af e lezen waarvoor geld: sin =. c Geef aan hoe ui de grafiek de waarden van zijn af e lezen waarvoor geld: sin =. 0 Gegeven is de funcie f me f () = sin en domein [ π,π]. a Teken de grafiek van f. b Voor welke waarden van geld sin =? c Voor welke waarden van geld sin? Gegeven is de funcie f me f () = sin en domein [ π, π]. a Teken de grafiek van f. b Los op: sin = c Los op: sin Gegeven de funcie f me f () = cos en domein [ π,π]. a Vul de volgende abel in. π π 0 4 π π π π 4 π π π π cos b c d Teken een assenselsel. Kies de horizonale schaal zó da π overeenkom me cm. Teken de punen ui de abel en verbind ze door een vloeiende kromme. Sches de grafiek van f als he domein [π,7π] is. Geef he bereik van de cosinus-funcie.
E. Appendix Goniomerie Bepaal in de volgende rechhoekige driehoeken de sinus en de cosinus van α en β. β B B β C 4 5 4 α A C α A 4 In de figuur hieronder zie je rechhoekige driehoeken ABC en ADC me α = 0, β = 60 en een reche hoek bij C. Driehoek ADB heef drie hoeken, die alle drie 60 zijn. D β C A α α a BC = a. Leg ui waarom AB = a. b Bereken AC (uigedruk in a) me behulp van de selling van Phagoras. a β B 5 In de figuur hieronder zie je de rechhoekig driehoek ABC me α = β = 45 en een reche hoek bij C. C a α β A B a BC = a. Leg ui waarom AC = a. b Bereken AB (uigedruk in a) me behulp van de selling van Phagoras. 6 a Teken een eenheidscirkel in een assenselsel en geef he pun P aan da hoor bij he geal 6π. Teken de sraal naar P. Welke hoek maak deze sraal me de horizonale as? Wa wee je nu over sin 6 π en cos 6 π? b Doe hezelfde me de geallen 0, 4 π en π. 7 Sches de grafiek die hoor bij de formule = sin +.
E.6. Opgaven 8 a Sches de grafiek die hoor bij de formule = sin. b Sches de grafiek die hoor bij de formule = + sin. 9 Sches de grafiek die hoor bij de formule = sin. 0 Sches de grafiek die hoor bij de formule = sin. a Vul de abel in. 0 4 π π 4 π π 4 π π 4 π π 4 π sin sin b Teken de grafieken van = sin en = sin in één assenselsel. c Hoe groo is de periode van de grafiek van = sin? d Hoe kun je de grafiek van = sin ui die van = sin krijgen? Gegeven f () = sin, g() = sin en h() = sin. a b Teken de drie grafieken in één assenselsel. Bepaal van elk van de drie funcies de periode. Sel bij de volgende sinusoïden een bijbehorende formule op. a π π π π π b π π π 4π
4 E. Appendix Goniomerie 4 a Vul de abel in. π 6 π 0 6 π π π π 5 6 π π 6 π sin sin( + π) b c Teken de grafieken van = sin en = sin( + π) in één assenselsel. Over welke afsand en in welke riching moe de grafiek van = sin verschoven worden om die van = sin( + π) e krijgen? 5 Gegeven de funcies f () = sin en g() = sin( 4 π). a Bereken een aanal punen en eken de grafieken van f en g. b Over welke afsand en in welke riching moe de grafiek van f verschoven worden om die van g e krijgen? 6 Geef van de volgende grafieken bijbehorende sinus-formules. a π π π π π b π π π π π 7 Bepaal bij de sandaardvorm a sin b( + c) + d de waarden van a, b, c en d in de volgende formules. a sin ( + π) b sin( + π) d sin π( + ) e sin( + π) + c sin ( + π) f + sin π 8 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kun ekenen en sches deze grafieken. a = sin ( + π) b = sin( + π) d = sin π( + ) e = sin( + π) + c = sin ( + π) f = + sin π
E.6. Opgaven 5 9 Sel sinus-formules op die bij de volgende grafieken horen. a π π π π 4π b π π π π 4π c 4 6 8
6 E. Appendix Goniomerie 0 Sel eveneens sinus-formules bij de volgende grafieken. a 4 π π π π 4 b π π π π π 0 7 c 4 4 4 8 6 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kun ekenen en sches deze grafieken. a = cos( + π) c = cos π b = cos ( + π) d = + cos ( ) Sel cosinus-formules op die bij de grafieken van opgave 9 en 0 horen.
E.7. Anwoorden 7 E.7 Anwoorden linksboven: 5 rechsboven: 8 onder: 4 Zie de figuur bij opgave. π lig op pun L; π lig op pun E; π lig op pun P; 6 π lig op pun C; π lig op pun C; π lig op pun F; 4 π lig op pun Q; lig ussen G en Q; lig ussen H en R; lig ussen B en L; lig ussen C en M; lig ussen E en N. E: π, π, 5π,... ; π, π, 5π,... F: 4 π, 4 π, 5 4 π,... ; 4 π, 4 π, 4 4 π,... G: π, π, 5 π,... ; π, π, 4 π,... H: 4 π, 4 π, 5 4 π,... ; 4 π, 4 π, 4 4 π,... 4 C: π + k π N: 5 6 π + k π Q: π + k π of π + k π D: 4 π + k π H: 4 π + k π of 4 π + k π 5a (0, ) 5b (0, ) 5c (,0) 5d (, ) 5e (, ) 5f (, ) 5g (, ) 5h (, ) 5i (0,) 5j (, ) 5k (, ) 5l (0,) 6a 6b 6c 6d 6e 6f 6g 6h 6i 0 6j 6k 6l 7a 0,75680495 7b 7c 0,86605404 of 8a Omda er bij elke nie meer dan één waarde van sin hoor. 8b R 8c [,] Zie ook de uiwerking in paragraaf E.8. 8d π, π, π 8e π, π, 0, π, π, π π π 9 0 π π π 4π π π = =
8 E. Appendix Goniomerie 0a π π π π = 0b 4 π; 4 π; 4 π; 4 π 0c [ 4 π, 4 π] of [ 4 π, 4 π] a π π π = b = π of = π c = π a π π 0 cos 0 π π π π 4 π π π π 4 0 0 b π π π c π 4π 5π 6π 7π d [,] Zie ook de aanwijzingen in paragraaf E.8. Links: sin α = 4 0 = 5 5 cos α = 0 = 5 5 sin β = 0 = 5 5 cos β = 4 0 = 5 5 Rechs: sin α = 5 ; cos α = 4 5 sin β = 4 5 ; cos β = 5 4a Zie paragraaf E.8. 4b AC = a (zie ook paragraaf E.8.) 5a Zie paragraaf E.8. 5b AC = a (zie ook paragraaf E.8.)
E.7. Anwoorden 9 6a P is he pun (, ) in de bovense figuur op bladzijde 49. De hoek van de sraal me de horizonale as is 0 (zie ook paragraaf E.8). Hierui volg sin π = sin 6 0 = en cos π = cos 6 0 =. 6b Voor 0 is P he pun (,0) in de figuren op bladzijde 49. De hoek van de sraal me de horizonale as is 0. Hierui volg sin(0 rad) = sin 0 = 0 en cos(0 rad) = cos 0 =. Voor 4 π is P he pun (, ) in de onderse figuur op bladzijde 49. De hoek van de sraal me de horizonale as is 45 (zie ook paragraaf E.8). Hierui volg sin 4 π = sin 45 = en cos 4 π = cos 45 =. Voor π is P he pun (0,) in de figuren op bladzijde 49. De hoek van de sraal me de horizonale as is 90. Hierui volg sin π = sin 90 = en cos π = cos 90 = 0. = 7 π π π π 4π = + sin π π π π 4π = 8 = 4 = sin 9 π π π π 4π
40 E. Appendix Goniomerie 0 π π π π 4π a Voor = 4 π geld sin = en sin = (zie ook paragraaf E.8). De overige uikomsen vind je in de abel op bladzijde. b Zie figuur E. op bladzijde. c π (zie ook paragraaf E.8.) d Door die van f () = sin horizonaal in e krimpen zoda de periode gehalveerd word. a π π 4π 6π Dunne grafiek: f () = sin, Dikke grafiek: g() = sin, Gesreepe grafiek: h() = sin b π; 6π (zie ook paragraaf E.8.) 4a Zie de abel op bladzijde. a = sin (zie ook paragraaf E.8.) b = sin 4 (zie ook paragraaf E.8.) 4b Zie figuur E. op bladzijde. 4c De grafiek van = sin moe π naar links verschoven worden. f 5a π π g 5b De grafiek van f moe π naar rechs verschoven worden. 4 6a = sin( π) (zie ook paragraaf E.8.) 6 6b = sin( π) (zie ook paragraaf E.8.)
E.7. Anwoorden 4 7a a = ; b = ; c = π; d = 0 7b a = ; b = ; c = π*; d = 0 * Zie ook paragraaf E.8. 7c a = ; b = ; c = π; d = 0 7d a = ; b = π; c = ; d = 0 7e a = ; b = ; c = π; d = 7f a = ; b = π; c = 0; d = 8 Ga seeds ui van de gewone sinus-grafiek. 8a Horizonaal inkrimpen me facor en π naar links verschuiven. π π π π 4π 8b Horizonaal inkrimpen me facor en π naar links verschuiven. π π π π 4π 8c Horizonaal oprekken me facor ; π naar links verschuiven en spiegelen in de -as. π π π π 4π 8d Horizonaal inkrimpen zoda de periode 4 word en naar links verschuiven. Zie ook paragraaf E.8. Le op: De schaalverdeling langs de horizonale as is aangepas! 6 9
4 E. Appendix Goniomerie 8e π naar links verschuiven; vericaal oprekken me een facor (ampliude word ) en naar boven verschuiven. π π π π 4π 8f Horizonaal inkrimpen zoda de periode word; vericaal oprekken me facor (ampliude word ) en naar beneden verschuiven. Zie ook paragraaf E.8. Le op: De schaalverdeling langs de horizonale as is aangepas! 6 9 9 De afleiding van de formules ui opgave 9 en 0 vind je in paragraaf E.8. Bij iedere grafiek zijn meerdere formules mogelijk, de wee of drie mees voor de hand liggende zijn hieronder weergegeven. 9a = sin = sin ( + π) = sin ( π) 9b = sin ( + 4 π) = sin ( 4 π) = sin ( 4 π) 9c = sin π ( ) = sin π ( + ) 0a = sin( + 4 π) = sin( 4 π) = sin( 4 π) 0b = sin ( π) = sin ( + π) 0c = sin π ( 4) + 7 8 = sin π ( + 4) + 7 8 Ga seeds ui van de gewone cosinus-grafiek.
E.7. Anwoorden 4 a Horizonaal inkrimpen me een facor en naar links verschuiven over π (zie ook paragraaf E.8). π π π π 4π b Spiegelen in de -as, horizonaal uirekken me een facor en naar links verschuiven over π. π π π π 4π c Vericaal uirekken me een facor, horizonaal inkrimpen zoda de periode gelijk word aan en naar onder verschuiven (zie ook paragraaf E.8). 6 9 4 d Vericaal inkrimpen me een facor, horizonaal inkrimpen me een facor, naar rechs verschuiven en omhoog verschuiven (zie ook paragraaf E.8). + π 6 + π We geven hier slechs één formule per grafiek, maar er zijn ne als bij de sinus-formules in 9 en 0 iedere keer meerdere formules mogelijk. Een afleiding van de formules vind je weer in paragraaf E.8. 9a: = cos ( + π) 0a: = cos( π) 4 4 9b: = cos 0b: = cos ( π 9c: = cos π ( + ) 0c: = cos π ( 8) + 7 8
44 E. Appendix Goniomerie E.8 Aanwijzingen en uiwerkingen voor een aanal opgaven Opgave 8c De maximale waarde van sin is voor = π, π ec.; de minimale waarde van sin is voor = π, π ec. Opgave Bereken eers de derde zijde me de selling van Phagoras. Links: AB = AC + BC = + 4 = 0, dus AB = 0 Rechs: BC = AB AC = 5 4 = 9, dus BC = Verder geld voor de de berekeningen bij de linker figuur: = = 0 4 5 5 = 5 5 = = 5 5 5 5 = 5 5 Opgave 4a Driehoek ADC is he spiegelbeeld van driehoek ABC, dus DC = BC = a en BD = BC + DC = a. De groe driehoek ABD heef drie gelijke hoeken, dus ook drie gelijke zijden. Di kun je bijvoorbeeld zien door een hulplijn e rekken van B naar E, he midden van AD. Dan krijg je de driehoeken ABE en DBE me een reche hoek bij E, die weer elkaars spiegelbeeld zijn. Nu volg AB = BC = a. Opgave 4b AC + BC = AB, dus AC = AB BC = (a) a = 4a a = a. Di geef AC = a = a = a. Opgave 5a sin α = BC AC ; sin β = AB AB. Omda α = β volg nu AC = BC = a. Opgave 5b AC = AB + BC = a + a = a, dus AC = a = a = a. Opgave 6a π kom overeen me een zesde deel van een halve cirkel. De hoek die erbij hoor is dus een zesde deel van 6 een hoek van 80. Opgave 6b π kom overeen me een kwar van een halve cirkel. De hoek die erbij hoor is dus een kwar van een hoek 4 van 80. Opgave a sin 4 π = sin 4 π = ; sin( 4 π) = sin 4 π = sin π = Opgave c De grafiek gaa sijgend door de horizonale as (= evenwichswaarde) op = 0 en daarna voor he eers weer op = π.
E.8. Aanwijzingen en uiwerkingen voor een aanal opgaven 45 Opgave b periode = π b me b = geef: periode = π = π. periode = π b me b = geef: periode = π : = π = 6π. Opgave a Ui de grafiek is af e lezen da de halve periode gelijk is aan π, dus de periode is 4π. Ui periode = π b volg nu: π b Opgave b = 4π b = π 4π =. Er loop een sandaardslinger ussen (0,0) en ( π,0), dus de periode is π. Ui periode = π b volg dan: π b = b = : = = 4. Opgave 6a In ( π,0) begin een sandaard sinus-slinger. 6 Opgave 6b In ( π,0) begin een sandaard sinus-slinger. Opgave 7b De sandaardvorm is sin ( + π). Opgave 8d De periode is π π = : = = 4. Opgave 8f De periode is π π = : = =. Opgave 9 In opgave 9 en 0 zoeken we elkens naar een formule van de vorm = a sin b(x + c) + d.
46 E. Appendix Goniomerie Opgave 9a Ampliude:, dus a = of a =. Evenwichswaarde: 0, dus d = 0. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is π (bijvoorbeeld van = π o = π). Ui periode = π b volg nu π b = π b =. Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op = 0, dus c = 0. a =, b =, c = 0 en d = 0 geef = sin. Me a = begin er een sandaardslinger op = π. De grafiek word dan over π naar links verschoven, dus c = π. a =, b =, c = π en d = 0 geef = sin ( + π). Me a = begin er ook een sandaardslinger op = π. De grafiek word dan over π naar rechs verschoven, dus c = π. a =, b =, c = π en d = 0 geef = sin ( π). Opgave 9b Ampliude:, dus a = of a =. Evenwichswaarde: 0, dus d = 0. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is π (bijvoorbeeld van = 4 π o = 4 π). Hierui volg ne als in 9a b =. Me a = begin er een sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar links verschoven, dus c = 4 π. a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin ( + 4 π). Me a = begin er ook een sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar rechs verschoven, dus c = 4 π. a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin ( 4 π). Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar rechs verschoven, dus c = 4 π. a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin ( 4 π). Opgave 9c Ampliude:, dus a = of a =. Evenwichswaarde: 0, dus d = 0. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is 4 (bijvoorbeeld van = o = 5). Ui periode = π b volg nu π b = 4 4b = π b = π. Me a = begin er een sandaardslinger op =. De grafiek word dan naar rechs verschoven, dus c =. a =, b = π, c = en d = 0 geef = sin π ( ). Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op =. De grafiek word dan naar links verschoven, dus c =. a =, b = π, c = en d = 0 geef = sin π ( + ).
E.8. Aanwijzingen en uiwerkingen voor een aanal opgaven 47 Opgave 0a Ampliude:, dus a = of a =. Evenwichswaarde: 0, dus d = 0. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is π (bijvoorbeeld van = π o = π). Hierui volg b =. 4 4 Me a = begin er een sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar links verschoven, dus c = 4 π. a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin( + 4 π). Me a = begin er ook een sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar rechs verschoven, dus c = 4 π a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin( 4 π). Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op = 4 π. De grafiek word dan over 4 π naar rechs verschoven, dus c = 4 π. a =, b =, c = 4 π en d = 0 geef = sin( 4 π). Opgave 0b Ampliude:, dus a = of a =. Evenwichswaarde: 0, dus d = 0. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is 4 π (bijvoorbeeld van = π o = π). Ui periode = π b volg nu π b = 4 π b = : 4 = 4 =. Me a = begin er een sandaardslinger op = π. De grafiek word dan over π naar rechs verschoven, dus c = π. a =, b =, c = π en d = 0 geef = sin ( π). Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op = π. De grafiek word dan over π naar links verschoven, dus c = π. a =, b =, c = π en d = 0 geef = sin ( + π). Opgave 0c De grafiek slinger ussen = 4 en = 0, dus de evenwichswaarde is 7 en de ampliude (de maximale afwijking van de evenwichswaarde) is. Di geef a = of a = en d = 7. De periode, ofwel de lenge van een sandaardslinger, is 6 (bijvoorbeeld van = 4 o = ). Ui periode = π b volg nu π b = 6 6b = π b = 8 π. Me a = begin er een sandaardslinger op = 4. De grafiek word dan 4 naar rechs verschoven, dus c = 4. a =, b = π, c = 4 en d = 7 geef = sin π ( 4) + 7. 8 8 Me a = begin er een (gespiegelde) sandaardslinger op = 4. De grafiek word dan 4 naar links verschoven, dus c = 4. a =, b = π, c = 4 en d = 0 geef = sin π ( + 4) + 7. 8 8