a Hoofdstuk - Rekenen met kansen. Kansen erekenen ladzijde vaas A R W vaas B R W R W + P( één rode en één witte) = = =, P( RW) + P( WR) = + = + = =,. Het klopt dus. a Aantal mogelijkheden is =. Elk van de mogelijkheden heeft kans ongeveer, =,. ladzijde ( ) ( ),, dus de gevraagde kans is a P( ) = P( ) P(,,,, ) = 9 9, 9 9 P( ) = P( één enveloppe met, verder lege enveloppen) = ; 9, 9 9 P( ) = P( lege enveloppe) =, 9 P(hoogstens e ) = P(e ) + P(e ) + P(e ),9 +, +, +,999 d P(meer dan e ) = P(hoogstens e ),999 =, a P( meer danfouten) = P( hoogstens fouten) = ( P( fout) + P( fout) + P( fout)) = (( ) + ( ) ( ) + 9 =, 9 P( hoogstensfout) = P( fout) = ( ), P( of fouten) = P() + P( ) ( ) ( ) + ( ) ( ), ( ) ( ) ) a P( hoogstens ) = P( of ) = ( P( ) + P( )) ; kan op manieren: (, ) en (, ), kan op één manier: (, ) ; en samen kan op manieren die elk een kans ( ) = ; de gevraagde kans is dus =. P( minder dan ) = P( ) ; manieren om te krijgen: + ; manieren om te krijgen: + en + ; manieren om te krijgen: +, +, + ; samen dus manieren om minder dan te krijgen; de gevraagde kans is dus ( ) =. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9
Hoofdstuk - Rekenen met kansen Per doelsteen is de kans op een even aantal ogen gelijk aan. Hetzelfde geldt voor de kans op oneven. Je krijgt alleen maar een even som als eide doelstenen een even aantal ogen geven of als ze eide een oneven resultaat geven. Dus = = + =( ) + ( ) =, en het antwoord op P( even som) P( EE of OO) P( EE) P( OO) de vraag is ja. De winkelier kan alle klanten wel voorzien van een shaar als het aantal linkshandige klanten of is. De kans daarop is P( ) + P() = (, ) + (, ) (, ), 9. De kans dat hij niet alle klanten kan edienen is dus ongeveer, 9 =,.. Het vaasmodel ladzijde a Je kiest immers vershillende getallen. Deze kans is = 9 Je het dan preies één getal goed. Van de door de notaris getrokken getallen is er dus goed en fout. De gevraagde kans is P( GF ) + P( FG) = + =. 9 9 d De rode allen zouden dus de winnende getallen moeten voorstellen. Er zijn maar twee winnende getallen, dus zou elk winnend getal gepresenteerd moeten worden door rode allen. Je zou in zo n situatie dus twee keer hetzelfde winnende getal kunnen trekken. Het geruik van een model met rode allen is dus hier niet juist. a P( een rode en een witte) ( ) ( 9 9 ) = 9 P( een rode en een witte) = P( RW) + P( WR) = + = 9 9 of ook: P( een rode en een witte) P( ) RW = = 9 Dat komt op hetzelfde neer als trekken zonder teruglegging, dus is de kans weer gelijk aan d P( RWW ) = = 9 vaas B is veel kleiner ladzijde en P( WRW ) = = 9 ; de kans op rood ij trekken uit 9a Deze kans is = 9 Deze kans is = P( WW endaarna keer N) = 9, 999 999 a Een vaas met allen waarvan rood (kwaliteit A) en wit (niet kwaliteit A). Je neemt dan een steekproef van stuks zonder terugleggen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
d Omdat de verhouding tussen rood en wit onderweg niet veel verandert als je slehts allen trekt. Dit heeft ermee te maken dat het aantal rode allen en het aantal witte allen eide veel groter zijn dan de steekproefgrootte. Je mag hier dus enaderen met trekken met terugleggen. Dit komt overeen met likken van kwaliteit A. De kans is 9 (, ) (, ) =,, Minstens twee likken niet van kwaliteit A komt overeen met hoogstens likken van kwaliteit A. Deze kans is gelijk aan ( P( A) + P( A )); P( A ), (zie opdraht ) en P( A ) = (, 9), 9. De gevraagde kans is dus (, +, 9) =,.. Kansverdelingen ladzijde a aantal munt a kans P( ) = P( KKKK ) =( ) = ; P() P( ) ( ) MKKK = = ; P( ) P( ) ( ) MMKK = = ; P() P( ) ( ) MMMK = = ; P( ) = P( MMMM) =( ) = Meer dan keer kop komt overeen met minder dan keer munt. De kans daarop is dus P( ) + P() = + + + + + + + + = = leeftijd aantal perentage 9 totaal Bijvooreeld: het perentage ehorend ij leeftijd is gelijk aan % = 9%. P( ) = % = = 9 P( hoogstensjaar) = P( ) + P() + P( ) = + + = 9 d P( tussen en jaar) = ( P( ) + P( )) = ( + ) = 9 a + + + + + = = P( ) =, 9, 9 Hoofdstuk - Rekenen met kansen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
Hoofdstuk - Rekenen met kansen aantal harten kans,,9,, 9 P( harten) = P( NNN ) =, ; P( harten) P( ) 9 HNN =, 9; P( harten) P( ) 9 HHN =, ; P( ) vind je door de som van de kansen gelijk aan te maken. ladzijde a (, ) (, ) = (, ) (, ), P( ) = P( NNNN ) = (, ), 9 ; P() P( ) (, ) (, ) BNNN =, ; zie voor P( ) opdraht a: P() P( ) (, ) (, ) BBBN =, ; nu lijft er voor P( ) nog, over. De kansverdeling is: romfietsongelukken kans,9,,,, a Deze kans is 99, 9 9 9 Deze kans is, + 9+ 9+ d Aantal inraken na e inraak kans, 9, 9,, De kans op nog één inraak is per woning, (zie oven). De kans dat in eide woningen nog preies één inraak zal worden gepleegd is (,...),. De kleuren van de lootjes spelen hier geen rol. Het gaat erom of op een lootje het nummer staat of iets anders. Het geshikte vaasmodel heeft dus allen, waarvan rood (de enen). Het aantal getrokken enen kan, of zijn. P( enen) = P( WWWW ) = = ; 9 P( een) P( ) 9 RWWW = = ; P( enen) P( ) RRWW = =. 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
a aantal orden kans,,,,,, 9a De kans dat de klant één ord koopt vind je door aanvulling van de kansen tot. koopt wel,,9 koopt niet,,,,,, ord orden orden orden orden orden De kansen van de verdeling vind je uit de kansoom. Bijvooreeld: de kans dat een willekeurige klant preies één ord koopt is,, =, 9, enz. orden aantal orden kans,9,9,,,,,. Verwahtingswaarde ladzijde P( kkk) = (, +, +, ) =, ominatie verwahte aantal verwahte uitkering, = = aaa, = kkk - totaal Je verwaht dus =, dus euroent per keer. De tael komt er nu als volgt uit te zien: ominatie verwahte aantal verwahte uitkering aaa kkk - totaal Ook hier verwaht je uiteraard, per keer. d, per keer, dus, = e, +, +, +, =, Hoofdstuk - Rekenen met kansen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
Hoofdstuk - Rekenen met kansen ladzijde 9 a P( ) = = ; P() P( ) 9 9 BNN = = ; P( ) P( ) 9 BBN = = ; P() P( ) = BBB = = 9 In totaal mag je, = lauwe knikkers verwahten. a 9 9 9 9 Elke ominatie heeft kans ( ) = som aantallen ogen 9 kans De verwahtingswaarde van de som is dan + + + + + + + 9 + + + = = a winst in kans,,,, a De winst is hier georrigeerd voor de inleg. De kansen ereken je naar aanleiding van de mate waarin een winst voorkomt. De verwahting van de winst is, +, +, + ( ), =, (euro). De negatieve verwahting etekent dus dat er van eerlijk spel geen sprake is. Cylesafe zal voor een fiets met leeftijd jaar naar verwahting aan euro s moeten uitkeren:, + 9, = ; voor van die fietsen etekent dat dus naar verwahting 9; op vergelijkare manier kun je de verwahte edragen voor de andere leeftijdsklassen uitrekenen. leeftijd aantal fietsen uitkering per fiets kans op stelen verwahting uit te keren edrag, 9,,,, Cylesafe moet naar verwahting in totaal.9,- uitkeren. Er zijn verzekeringnemers, dus Cylesafe zal 9 =, 9 euro aan premie moeten rekenen om quitte te spelen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
a. Gemengde opdrahten ladzijde wel of niet oven de <, >, geen reparatie, reparatie, De kansverdeling per klant wordt: soort geen reparatie reparatie < reparatie > gemiddelde kosten,, kans,, =,,,, =, Per uitgevoerde reparatie wordt de verdeling: soort reparatie < reparatie > gemiddelde kosten,, kans,,, +,,,, +, 9 Verwahting per reparatie is dan,, +,, 9 =, dus,.,% van de klanten last de reparatie af, en,% van is 99. a aantal keren rijexamen kans,,9,,,9 Bijvooreeld P( ) =,, waarij het totaal aantal klanten is. Verwahte aantal keren dat een willekeurige klant rijexamen doet:, +, 9 +, +, + 9,,. aantal keren rijexamen kosten in euro s kans,,9,,,9 Verwahte kosten voor een willekeurige klant:, +, 9 +, +, +, 9, ; d Het aantal klanten dat de eerste keer voor het rijexamen zakte is =, 99% daarvan slaagde ij de tweede keer en, % ij de derde poging. e f aantal keren rijexamen voor klanten die eenmaal zijn gezakt kosten in euro s kans,99,,9, De verwahte kosten voor een willekeurige kandidaat na keer gezakt te zijn:, 99 +, +, 9 +,, dus,. Hoofdstuk - Rekenen met kansen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
a d Hoofdstuk - Rekenen met kansen ladzijde Een vaasmodel met allen waarvan rood en wit. 9 9 P( RRRWW ) =, 9 ; meneer van der Heide heeft 9 etaald en krijgt in dat geval volgens de tael maal zijn inzet terug. Zijn winst is dus. 9 9... P( ). 9 = = 9,, dus is P( ) ongeveer, keer zo 9 P( )... 9 groot als P( ). Er is geen uitetaling ij en ij winnende getallen. 9 P( ) = P( WWWW ) =, en P() P( ) 9 9 RWWW =, ; de kans op een uitkering is dus (, +, ) =, 9 ; dit vershilt niet veel met,. ICT - Kansen erekenen ladzijde I-a AAA, BBB, CCC, DDD dus routes Lees af ( ), Deze kans is P( BBB) + P( CCC) + P( DDD) = ( ) + ( ) + ( ), 9 d De kans dat Bas wint is dus, +, 9 =, I-a = routes Lees af P( RRMM ) =, Dezelfde fatoren worden met elkaar vermenigvuldigd, weliswaar in andere volgorde d Deze kans is dan, =, I-a d Je leest af, voor een ijehorende ominatie, waarvan er zijn;,, Je leest af, voor een ijehorende ominatie, waarvan er zijn;,, Deze kans is 9 9 (, ) (, ) = (, ) (, ), Kans op goede uizen is 9 9 (, ) (, ) = (, ) (, ), en de kans op goede uizen 9 9 (, ) (, ) = (, ) (, ), Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
ladzijde I-a stap N N N stap stap uitkomst kansen Lees af P( N ) =, De gevraagde kans is, =, 9 d Lees af P( ) =, e Tel de ijehorende kansen op, dan krijg je,99 f Hoogstens keer een is het omplement van keer een. De kans is dus ook te erekenen met, =, 99 I-a Je leest af of erekent als volgt:, +, 9 +, =, 9 Minstens één goed is het omplement van alles fout; de kans is dus, =, Hoogstens goed is het omplement van alles goed; de kans is dus, =, 999 d Dit lukt niet met VU-Stat. Minstens één goed is het omplement van alles fout, dus is de kans gelijk aan ( ), 9 I-a N N N N N N NN N NN NN NNN,,,,,,,, Het gaat hier om het omplement van minstens ogen. Bij dit omplement horen (,,,), (,,,), (,,,), (,,,) en (,,,). De gevraagde kans is ( 99 ), Bij minder dan zes horen de uitkomsten (,,,), (,,,), (,,,), (,,,) en (,,,). De kans is 9 ( ), Hoofdstuk - Rekenen met kansen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
I-a Hoofdstuk - Rekenen met kansen Let nu op even en oneven uitkomsten per doelsteen. In VU-Stat krijg je het volgende diagram. stap stap stap stap uitkomst kansen Even Oneven E O E O E O E O E O E O EEEE EEEO EEOE EEOO EOEE EOEO EOOE EOOO OEEE OEEO,,,,,,,,,, OEOE, OEOO, OOEE, OOEO, OOOE, OOOO, Een even som krijg je preies dan als er, of doelstenen zijn met een even aantal ogen. Hierij horen ahtereenvolgens, en mogelijkheden met elk een kans van,. De kans op een even som is dus, =, en het antwoord op de vraag is dus ja. Stel het regelmatige oomdiagram in VU-Stat op de juiste manier in. Je leest dan af P( GGG ) =,. Verhoog het aantal stappen naar. Je leest nu af dat de kans op minstens goede atterijen, +, 9 =, 9. Verhoog het aantal stappen naar. De kans op minstens goede atterijen wordt nu, +, +, =, 9. Kennelijk moeten we het aantal stappen nog verhogen tot. De kans op minstens goede is dan, +, +, +, =, 99. Hij moet dus atterijen (of meer) pakken om een kans op minstens goede atterijen te heen die oven 9% ligt. ICT - Het vaasmodel ladzijde I-a Je kiest immers vershillende getallen. Je leest af. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
Dit komt overeen met preies één goed. Lees af en ereken als volgt: + = d De rode allen zouden dus de winnende getallen moeten voorstellen. Er zijn maar twee winnende getallen, dus zou elk winnend getal gepresenteerd moeten worden door rode allen. Je zou in zo n situatie dus twee keer hetzelfde winnende getal kunnen trekken. Het geruik van een model met rode allen is dus hier niet juist. I-9a Met geruikmaking van het regelmatige oomdiagram lees je af en ereken je, +, =, Via het vaasmodel in VU-Stat lees je af en ereken je + =, Dat komt op hetzelfde neer als trekken zonder terugleggen. d Het antwoord van a enerzijds en die van en anderzijds liggen redelijk diht ij elkaar, maar zijn niet gelijk. Het is dus zinnig om ij steekproeftrekken ondersheid te maken tussen met en zonder teruglegging. I-a ladzijde De kansoom ziet er als volgt uit: e trekking e trekking e trekking 9 9 De kans op keer rood is =, 9 9 Hoofdstuk - Rekenen met kansen uitkomst Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel kansen 9
Hoofdstuk - Rekenen met kansen De gevraagde kans is = =, Verander de aantallen rode en groene allen in het vaasmodel en lees af: =, d Je geruikt het regelmatige kansoom van VU-Stat met de juiste instellingen. Je vind dan respetievelijk als antwoorden, 9 =, (vergelijk a),, =, (vergelijk ) en (nadat je een nieuw oomdiagram het opgezet met de kans op rood in plaats van ), =, (vergelijk ). I-a Een vaas met allen waarvan rood (kwaliteit A) en wit (niet kwaliteit A). Stel het vaasmodel Trekken zonder teruglegging op de juiste manier in. Je leest dan af dat de kans op maal rood (kwaliteit A) 9,% is. De kans is dus,9. Het regelmatige oomdiagram met de juiste instelling geeft als kans, 9. d Omdat de verhouding tussen rood (kwaliteit A) en wit (niet kwaliteit A) onderweg niet veel verandert als je slehts allen (likken) trekt. Dit heeft ermee te maken dat het aantal rode allen en het aantal witte allen eide veel groter zijn dan de steekproefgrootte. Je mag hier dus enaderen met trekken met terugleggen. e Benaderen via Steekproeftrekken met terugleggen geeft via VU-Stat en het oomdiagram als uitkomst, =,. T-a d Test jezelf ladzijde Neem ijvooreeld M voor meedoen en N voor niet meedoen. Dan is de gevraagde kans P( MMMM ) = ( ) =, 9 Er zijn routes. De gevraagde kans is 9 P( MNNN) = ( ) ( ) =, Deze kans is 9 P( MMMN) = ( ) ( ) =, Minstens meewerkenden is het omplement van of medewerkenden. De kans medewerkenden is P( NNNN ) = ( ) =,, de kans op medewerkende is ij erekend. De gevraagde kans wordt dus ( + ) =,. T-a Neem ijvooreeld B voor lauw, en W voor wit. P( BBB ) = 9 =, 9 9 Het gaat hier om het omplement van de geeurtenis ij a. De kans is dus =, P( WBB) + P( BWB) + P( BBW) = 9 + + = + + =,. 9 9 9 De kansen zijn dus niet allemaal gelijk! T-a De kans op elke mogelijk ominatie is =. Een tael van mogelijke uitkomsten voor de som. De vertiale ingang geeft de uitkomsten van de eerste tol, de horizontale die van de tweede tol. Je kunt als som maar op manieren krijgen. De kans is dus = Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
T-a Ook als som kun je maar op manieren krijgen, dus de kans daarop is = Via de tael ij a en het feit dat de kansen op ijehorende ominaties allemaal zijn kom je aan de kansverdeling van de som. som van de uitkomsten kans De tael voor het vershil is Een vershil van komt keer voor, een vershil van komt keer voor, enz. Op deze manier kom je aan de kansverdeling: vershil van de uitkomsten kans De verwahting van het vershil is + + + =, De verwahting van de som is + + + + + = T-a De kans op defet is P( A, defet) + P( B, defet) =,, +,, =, Dat is het ompliment van de geeurtenis ij a. De kans op een goede gloeilamp is, =, 9. Deze kansoom ziet er als volgt uit. Je gaat er dus van uit dat,% van de die dag geprodueerde lampen defet is. Defet Goed e trekking 9 D G e trekking e trekking D G 9 9 d P( DDD ) = (, ), 9 e Geen defete lamp etekent alle drie goed. P( GGG ) = (, 9), 9 D G D G D G D G 9 9 9 9 Hoofdstuk - Rekenen met kansen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel
Hoofdstuk - Rekenen met kansen ladzijde 9 T-a Lees op de juiste plaatsen in de tael af: 9 9 = 9 9 De kans dat hij innen een jaar sterft is, 9 Deze geeurtenis is het omplement van die uit. De kans is dus ongeveer, =, 9999 d van de 9 -jarige mannen sterven op -jarige leeftijd. De kans is dus,. 9 e Van de zijn er na jaar nog 9 over, dus zijn er gestorven. De kans om tenminste jaar te worden is,9. Er overlijden 9 9 = als ze jaar zijn. De kans om dan op je -ste te overlijden is, 9 =, 9 f Hangt van jouw leeftijd af en daarna kun je het erekenen.,,, het klopt dus 99 Het gaat hier om het omplement van de geeurtenis ij a. De kans is dus,999 T-a 99 9, S L,999, S L,999, S L,999 De sterftekansen zijn niets anders dan de sterftequotiënten uit de tael. De overlevingskansen krijg je door de sterftekansen van af te trekken. d Deze kans is, 999, 999, 999, 999 e P( LL ) = (, 999), 999 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel