Goniometrie Complexe Getallen. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde

Goniometrie Complexe Getallen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde

Hoofdstuk 1 Goniometrie 1.1 Herhaling 1.1.1 Georiënteerde hoeken We herhalen het begrip van georiënteerde hoek maar we geven nu een meer wiskundige definitie. Een isometrie in het vlak is de samenstelling van een eindig aantal spiegelingen. Is het aantal spiegelingen even dan spreken we van een verplaatsing in het vlak. Een verschuiving is de samenstelling van twee spiegelingen om parallelle rechten. Een rotatie is de samenstelling van twee spiegelingen om snijdende rechten. Men kan aantonen dat een verplaatsing in het vlak de samenstelling is van een verschuiving en een rotatie. Een isometrie is een afstand-bewarende en hoek-bewarende transformatie van het vlak. Figuren die in elkaar overgaan door een verplaatsing worden rechtstreeks congruente figuren genoemd. Een tweebeen is een koppel halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. De eerste halfrechte noemen we het beginbeen en de tweede het eindbeen. Een georiënteerde hoek is een equivalentieklasse van rechtstreeks congruente tweebenen, zoals een richting van rechten een equivalentieklasse is van evenwijdige rechten. Een georiënteerde hoek wordt gerepresenteerd door een tweebeen, zoals een richting gerepresenteerd wordt door een rechte. 3

4 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1.1. De goniometrische cirkel We beschouwen een eenheidscirkel met x als een vaste halfrechte die we beschouwen het als beginbeen van elke georiënteerde hoek. We bepalen het snijpunt A van het eindbeen l met de eenheidscirkel. Zo komt met het eindbeen van een georiënteerde hoek α een punt A op de eenheidscirkel overeen en omgekeerd komt met elk punt A op de eenheidscirkel het eindbeen van een georiënteerde hoek α overeen. Daarom noemen we deze eenheidscirkel de goniometrische cirkel. We spreken af om het maatgetal van α aan te duiden bij het eindbeen van deze georiënteerde hoek dus bij het corresponderend punt A op de goniometrische cirkel. Elke georiënteerde hoek correspondeert met een georiënteerde rechte bepaald door de eenheidsvector e α, die de plaatsvector is van het punt op de goniometrische cirkel dat overeenkom met α. 1.1.3 Het meten van georiënteerde hoeken 1.1.3.1 De zestigdelige graden Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 360 gelijke boogjes dan is de middelpuntshoek die overeenstemt met zo één boogje de hoekeenheid van 1 o. Alle maatgetallen in zestigdelige graden van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal plus een geheel veelvoud van 360. x o + k.360 o : k Z 1.1.3. De radialen Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in π 6, 8 gelijke delen dan is de middelpuntshoek die overeenstemt met zo één deeltje de hoekeenheid van 1 radiaal. Alle maatgetallen in radialen van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal plus een geheel veelvoud van π. x rad + kπ rad : k Z Met deze hoekeenheid kunnen we gemakkelijk een verband leggen tussen de lengte van een cirkelboog en het maatgetal van de corresponderende middelpuntshoek. Aangezien de omtrek van een cirkel met straal R gelijk is aan πr, is de lengte van de boog van 1 radiaal gelijk aan de straal R. De lengte van een boog van x radialen (0 x < π) is dan gelijk aan xr. In een eenheidscirkel is de lengte van een boog van x radialen gelijk aan x.

1.1. HERHALING 5 Figuur 1.1: boog van 1 o boog van 1 radiaal STELLING 1.1 In een cirkel met straal R staat een middelpuntshoek van x radialen (0 x < π) op een boog waarvan de lengte gelijk is aan xr. In het bijzonder staat bij een eenheidscirkel een middelpuntshoek van x radialen op een boog waarvan de lengte gelijk is aan x. Figuur 1.: lengte van een boog

6 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1.1.3.3 Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd Met de regel van drie kunnen heel gemakkelijk overgaan van de zestigdelige graad naar de radiaal en omgekeerd. 360 o = π rad 1 o = π 180 x o = o 180 rad 1 rad = π π 180 x rad x rad = 180 π xo Op de meeste rekenmachines is een toets voorzien voor deze omzetting. Voorbeeld: 7, 5143 o = 7 o 30 51,4=1,656 rad.,5 rad = 143 o, 3394488 = 143 o 14. 0,75 rad = 4 o, 97183463 = 4 o 58 18,6. 1 rad = 57 o 9577951 = 57 o 17 44,8 60 o = 1, 047197551 rad. De bijzondere hoeken zoals 30 o, 45 o, 60 o enz. worden bij voorkeur in radialen geschreven als resp. π, π, π, enz. i.p.v. als decimaal getal. 6 4 3 OPGAVEN 1 Teken op een apart blad de goniometrische cirkel (ijk 7 cm) en duid alle speciale hoeken aan zowel in graden als in radialen. Voor de hoeken van het derde en vierde kwadrant geef je zowel een positief en negatief maatgetal. 1.1.4 De n verschillende n-de delen van een georiënteerde hoek STELLING 1. Elke georiënteerde hoek heeft n verschillende n-de delen, die op de goniometrische cirkel een regelmatige veelhoek n-hoek vormen als n >. De twee verschillende helften van een georiënteerde hoek (n = ) zijn antisupplementair (diametraal tegenovergesteld). Bewijs: We beschouwen een georiënteerde hoek α, met zijn maatgetallen uitgedrukt in zestigdelige graden: α = (x + k.360) o.

1.1. HERHALING 7 We delen α door n: ( ) o x + k.360 ( x ) ( ) o o 360 = + k. n n n Het maatgetal x correspondeert met een bepaald punt van de goniometrische cirkel, di. n dan één n-de deel van α. De andere n-de delen van α bekomen we door bij de boog van x een geheel veelvoud van het n-de deel van een volledige cirkelomtrek op te tellen. We n verkrijgen alle n-de delen van α door aan k de opeenvolgende waarden tussen 0 en n 1 te geven. k = 0 = ( x n )o ; k = 1 = ( x n + 360 n )o ; k =. =. ( x + 360 n n )o ;. k = n 1 = ( x 360 + (n 1) n n )o. Voor k = n verkrijgen we weer een maatgetal van het eerste n-de deel, voor k = n + 1 een maatgetal van het tweede n-de deel enz... We verkrijgen dus n n-de delen. Voorbeelden: Bepaal de twee helften van 30 o. De twee helften van 30 o zijn 15 o en 15 o + 180 o = 195 o ; Bepaal de drie derde delen van 75 o. De drie derde delen van 75 o zijn 5 o, 5 o + 10 o = 145 o, 5 o + 40 o = 65 o. Bepaal de vijf vijfde delen van de nulhoek 0 o. De vijf vijfde delen van 0 o zijn 0 o, 7 o, 144 o, 16 o, 88 o. Voorstelling van de n-hoek Met de computer kunnen we gemakkelijk eender welke regelmatige veelhoek tekenen. Voorbeeld: Stel de 7 7-de delen van de georiënteerde hoek 7π (in radialen) voor op de 5 goniometrische cirkel. oplossing: We voeren de volgende vector in: Vector([cos( π 5 + kπ 7 ), sin(π 5 + kπ )], k, 0, 7) 7 In het grafisch venster stellen we de optie connect in bij points. De computer plot de gesymplifiëerde uitdrukking als een regelmatige 7-hoek.

8 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1. De goniometrische getallen 1..1 De cosinus De cosinus is gedefiniëerd als scalair product van twee eenheidsvectoren, gerepresenteerd vanuit eenzelfde punt. cos α = e 0. e α waarbij α de hoek is ingesloten door de eenheidsvectoren. Dit scalair product is gelijk aan de absis van de projectie van de tweede eenheidsvector op de drager van de eerste eenheidsvector. We representeren deze eenheidsvectoren vanuit de oorsprong en leggen e 0 langs de x-as. De eenheidsvector e α bepaalt de hoek α op de goniometrische cirkel. Figuur 1.3: de cosinus cos A = b c b = c. cos A De cosinus van de hoek α is de absis (1ste coördinaatgetal) van de vector e α. De cosinus wordt dus afgelezen op de x-as. De cosinus is positief in het eerste en vierde kwadrant (scherpe hoeken in I en IV) en negatief in het tweede en derde kwadrant (stompe hoeken in II en III). We kunnen al eenvoudige goniometrische vergelijkingen oplossen: cos(x rad ) = 0 x = π + kπ met k Z cos(x rad ) = 1 x = kπ met k Z

1.. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 9 cos(x rad ) = 1 x = π + kπ met k Z cos(x rad ) = 1 x = ±π 3 + kπ met k Z In een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde steeds de loodrechte projectie van de schuine zijde. De lengte van de rechthoekszijde is gelijk aan het product van de lengte van de schuine zijde met de cosinus van de hoek ingesloten door deze rechthoekszijde en de schuine zijde. (zie tekening) 1.. De sinus De sinus van de hoek α is de ordinaat (de coördinaatgetal) van de vector e α. De sinus wordt dus afgelezen op de y-as. Figuur 1.4: de sinus sin A = a c a = c. sin A De sinus is positief in I en II en negatief in III en IV. Eenvoudige goniometrische vergelijkingen zijn: sin(x rad ) = 0 x = kπ met k Z sin(x rad ) = 1 x = π + kπ met k Z

10 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE sin(x rad ) = 1 x = π + kπ met k Z sin(x rad ) = 3 x = π 3 + kπ x = π 3 + kπ met k Z 1..3 De tangens De tangens van de hoek α is de richtingscoëfficiënt van de vectorrechte met richtingsvector e α. Beschouwen we de raaklijn aan de eenheidscirkel met vergelijking x = 1 dan lezen we de tangens af als ordinaat (de coördinaatgetal) van het snijpunt van de vectorrechte met de raaklijn. Figuur 1.5: de tangens tan A = a b a = b. tan A De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV. Eenvoudige goniometrische vergelijkingen: tan(x rad ) = 0 x = kπ met k Z tan(x rad ) = 1 x = π 4 + kπ met k Z Er geldt: tan α = sin α cos α

1.. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 11 1..4 De cotangens De cotangens van de hoek α is het omgekeerde van de tangens. Beschouwen we de raaklijn aan de eenheidscirkel met vergelijking y = 1 dan lezen we de cotangens af als absis van het snijpunt van de vectorrechte met die raaklijn. Figuur 1.6: de cotangens cot A = b a b = a. cot A De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV. Eenvoudige goniometrische vergelijkingen: cot(x rad ) = 0 x = π + kπ met k Z cot(x rad ) = 3 x = 5π 6 + kπ met k Z Er geldt: cot α = cos α sin α = 1 tan α 1..5 De secans en de cosecans sec α = 1 cos α csc α = 1 sin α

1 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE Figuur 1.7: de secans de cosecans De secans van een hoek α is het maatgetal van het punt P op de georiënteerde rechte, bepaald door de hoek α, waarbij P het snijpunt is van die rechte met de tangensas. De cosecans van een hoek α is het maatgetal van het punt Q op de georiënteerde rechte, bepaald door de hoek α, waarbij Q het snijpunt is van die rechte met de cotangensas. We herhalen nog eens de grondformules van de goniometrie. sin α + cos α = 1 1 + tan α = 1 cos α = sec α 1 + cot α = 1 sin α = csc α OPGAVEN Bewijs deze gondformules op de figuur 1.7.

1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 13 1.3 De som- en verschilformules 1.3.1 De verschilformules voor sinus en cosinus We beschouwen op de goniometrische cirkel de punten A(cos θ 1, sin θ 1 ) en B(cos θ, sin θ ). De hoek θ 1 θ is de hoek ingesloten door de vectoren OA en OB (zie figuur 1.8). Figuur 1.8: AB op verschillende manieren We kunnen de afstand AB op twee verschillende manieren berekenen 1. met de cosinusregel in de driehoek OAB: AB = OA + OB OA OB cos(θ 1 θ ) OA = OB =1 AB = 1 + 1 cos(θ 1 θ ) = cos(θ 1 θ ) (1.1). met de stelling van Pythagoras in de driehoek ABC met (de afstandsformule): AB = (cos θ 1 cos θ ) + (sin θ 1 sin θ ) = cos θ 1 cos θ 1 cos θ + cos θ + sin θ 1 sin θ 1 sin θ + sin θ AB = (cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ ) (1.) Uit 1.1 en 1. volgt: cos(θ 1 θ ) = (cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ ) cos(θ 1 θ ) = cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ (1.3)

14 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE De verschilformule voor de sinus leiden we af uit de verschilformule voor de cosinus 1.3. sin(θ 1 θ ) = cos(90 o (θ 1 θ )) = cos((90 o θ 1 ) ( θ )) = cos(90 o θ 1 ) cos( θ ) + sin(90 o θ 1 ) sin( θ ) = sin θ 1 cos θ cos θ 1 sin θ. De verschilformules voor cosinus en sinus zijn: cos(θ 1 θ ) = cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ sin(θ 1 θ ) = sin θ 1 cos θ sin θ cos θ 1 (1.4) 1.3. De verschilformule voor de tangens Uit de formules 1.4 volgt de verschilformule voor de tangens. Als θ 1 θ 90 o + k180 o kunnen we beide vergelijkingen lid aan lid door elkaar delen. tan(θ 1 θ ) = sin(θ 1 θ ) cos(θ 1 θ ) = sin θ 1 cos θ sin θ cos θ 1 cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ Zijn θ 1 90 o + k180 o en θ 90 o + k180 o dan kunnen we teller en noemer delen door cos θ 1. cos θ. tan(θ 1 θ ) = = De verschilformule voor de tangens is = = sin θ 1 cos θ sin θ cos θ 1 cos θ 1 cos θ cos θ 1 cos θ +sin θ 1 sin θ cos θ 1 cos θ sin θ 1 cos θ cos θ 1 cos θ sin θ cos θ 1 cos θ 1 cos θ cos θ 1 cos θ cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ cos θ 1 cos θ sin θ 1 cos θ 1 sin θ cos θ 1 + sin θ 1 cos θ 1 sin θ cos θ = tan θ 1 tan θ 1 + tan θ 1 tan θ tan(θ 1 θ ) = tan θ 1 tan θ 1+tan θ 1. tan θ (1.5)

1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 15 1.3.3 De somformules De somformules voor sinus, cosinus en tangens bekomen we door in de verschilformules θ te vervangen door θ en rekening te houden met het feit dat de cosinussen van tegengestelde hoeken gelijk zijn en de sinussen en tangensen van tegengestelde hoeken, tegengesteld zijn. De somformules zijn: Toepassing: cos(θ 1 + θ ) = cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ sin(θ 1 + θ ) = sin θ 1 cos θ + sin θ cos θ 1 tan(θ 1 + θ ) = tan θ (1.6) 1 + tan θ 1 tan θ 1. tan θ θ π 4 + kπ θ π + kπ : tan(45 o + α) = 1 + tan α 1 tan α (1.7) OPGAVEN 3 Bereken de sinus en de cosinus van 75 o en 15 o. 4 Bereken de hoek tussen de rechten 3x y = 5 en x + y 1 = 0. 5 Bereken a. cos(45 o + α); b. sin(60 o α); c. cot(α 330 o ); d. sin(85 o + α); 6 Bereken zonder rekentoestel sin(α + β) en tan(α + β) als sin α = 1 5, cot β = 3 en als α en β allebei tot het eerste kwadrant behoren. 7 Bereken zonder rekentoestel cos(α β) als sin α = 3, cos β = 1 en als α behoort tot het tweede kwadrant en β tot het vierde kwadrant behoort. 8 Bewijs dat (i) sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ sin α sin β sin γ; (iii) cot(θ 1 + θ ) = cot θ1. cot θ 1 cot θ 1+cot θ (iv) sin A. sin(b C) + sin B. sin(c A) + sin C. sin(a B) = 0. 9 Bereken zonder rekentoestel α + β als tan α = 3 en tan β = 1 3. 10 Bereken cos(α β) als sin α + sin β = a en cos α + cos β = b.

16 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 11 Bewijs dat cos α sin β cos α sin(α + β) + sin (α + β) = cos β. 1 * Bereken sin (α + β) + p. sin(α + β). cos(α + β) + q. cos (α + β) als tan α en tan β oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking x + px + q = 0. 13 * Bewijs dat in een rechthoekige driehoek ABC, met a, b en c de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en C, geldt: als a = 90 o dan sin(b C) = b c a en cos(b C) = b.c a ; 14 * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en C. Bewijs: (i) a(cos B. cos C + cos A) = b(cos C. cos A + cos B) = c(cos A. cos B + cos C); (ii) sin A + sin B = sin C + sin A. sin B. cos C; (iii) sin A + sin B + sin C = + cos A. cos B. cos C; (iv) cot A + cot B + cot C = cot A. cot B. cot C ; (v) sin A + sin B + sin C = 1 sin A. sin B. sin C ; (vi) a b c = sin(a B) sin(a+b) ; (vii) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C. GON-CO HUISTAAK 1 1. Bereken zonder rekentoestel de tangens en de cotangens van 105 o en 165 o. Is er een verband tussen de 4 resultaten onderling. Duid het waarom van dit verband aan.. Bereken a. tan(10 o α) b. cos(195 o α) 3. Gegeven 0 o < α < 90 o en 90 o < β < 180 o ; sin α = 0, 8 en sin β = 1 13. Bereken zonder rekentoestel: cos(α + β), csc(α β) en cot(α + β). In welk kwadrant ligt (α + β) en waarom? (zonder rekentoestel) 4. Bewijs dat cos α + cos β + cos (α + β) = 1 + cos α. cos β. cos(α + β). Schrijf deze identiteit op een andere manier als α en β hoeken zijn van een driehoek. 5. Bewijs dat tan α tan β tan α+tan β = sin(α β) sin(α+β). 6. * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en C. Tip: vervang C door een uitdrukking met A en B. Bewijs: tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1; Oplossingen: 3) sin 75 o = cos 15 o = 4 (1 + 3), cos 75 o = sin 15 o = 4 ( 3 1); 4) θ = 81, 87 o ; 5) a. (cos α sin α), b. 1 ( 3 cos α sin α), c. 3 tan α 3 tan α+1, d. 4 (( 3 1) sin α ( 3 + 1) cos α). 6) sin(α + β) = 1 α + β = 45 o, tan α = 1; 7) 4 (( 3 + 1) = cos 165 o α β = 165 o ; 9) 90 o of 90 o ; 10) a +b 1; 1) Tip: werk met S en P van de wortels van x + px + q, res.=q;

1.4. DE EERSTE FORMULES VAN SIMPSON (1710-1761) 17 1.4 De eerste formules van Simpson (1710-1761) We bekomen de formules van Simpson door in elk van de volgende stelsels de twee formules opeenvolgend eens lid aan lid op te tellen en eens lid aan lid van elkaar af te trekken. { sin(θ1 + θ ) = sin θ 1 cos θ + sin θ cos θ 1 sin(θ 1 θ ) = sin θ 1 cos θ sin θ cos θ 1 en { cos(θ1 + θ ) = cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ De eerste formules van Simpson zijn cos(θ 1 θ ) = cos θ 1 cos θ + sin θ 1 sin θ sin θ 1. cos θ = 1(sin(θ 1 + θ ) + sin(θ 1 θ )); sin θ. cos θ 1 = 1(sin(θ 1 + θ ) sin(θ 1 θ )); cos θ 1. cos θ = 1(cos(θ 1 + θ ) + cos(θ 1 θ )); sin θ 1. sin θ = 1(cos(θ 1 + θ ) cos(θ 1 θ )). (1.8) De eerste formules van Simpson zetten het product van een sinus en een cosinus om in de som van twee sinussen, het product van twee cosinussen om in de som van twee cosinussen en tenslotte het product van twee sinussen om in het verschil van twee cosinussen. OPGAVEN 15 Bewijs dat: (i) sin(30 o + x) + sin(30 o x) = cos x; (ii) cos x + cos(10 o + x) + cos(10 o x) = 0; (iii) sin(x + y). cos y sin(x + z). cos z = sin(y z). cos(x + y + z); (iv) sin x. sin y + sin z. sin(x + y + z) = sin(x + z). sin(y + z). (v) sin(α + β). sin(α β) = sin α sin β; (vi) cos(α + β) sin(α β) = sin α. cos α sin β. cos β.

18 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1.5 De tweede formules van Simpson We verkrijgen de tweede formules van Simpson door in de eerste formules van Simpson de volgende substitutie door te voeren: { θ1 + θ = α De tweede formules van Simpson zijn: θ 1 θ = β { θ1 = α+β θ = α β sin α + sin β = sin α+β α β. cos ; sin α sin β = sin α β α+β. cos ; cos α + cos β = cos α+β α β. cos. cos α cos β = sin α+β α β. sin (1.9) De tweede formules van Simpson zetten een som of een verschil van twee sinussen om in het product van een sinus en een cosinus, een som van twee cosinussen in het product van twee cosinussen en een verschil van twee cosinussen in het product van twee sinussen. Opmerking: De eerste en tweede formules zijn nuttig om bvb. vergelijkingen op te lossen (ontbinden in factoren) en om integralen te berekenen (product schrijven als een som zie later). OPGAVEN 16 Bewijs dat: (i) sin 0 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o = 3 16 (ii) (iii) sin p+sin q sin p sin q p+q tan = ; tan p q sin p±sin q p±q cos p+cos q = tan ; (iv) tan α + tan β = sin(α+β) cos(α+β)+cos(α β) ; (v) (sin x sin y) + (cos x cos y) = 4 sin x y ; (vii) sin(x + y) = cos(x y) (cos x sin x)(cos y sin y).

1.5. DE TWEEDE FORMULES VAN SIMPSON 19 17 Herleid tot een product: (i) sin 78 o + sin 4 o ; (ii) sin x + sin x + sin 3x; (iii) sin x + cos x; GON-CO HUISTAAK 1. Bewijs dat sin 7π 7π 5π sin sin = + 3. 1 4 4 8. Bewijs dat cos(x + 4y). sin y + cos(x + y). sin y = cos(x + 3y). sin 3y. 3. Bewijs dat tan α ± tan β = sin(α±β) cos α. cos β. 4. sin(α+β)+sin(α β) sin(α+β) sin(α β) = tan α tan β. 5. Herleid tot een product: cos 70 o + cos 470 o

0 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1.6 De verdubbelingsformules Stellen we in de somformules 1.6 op pagina 15 θ 1 = θ dan verkrijgen we de verdubbelingsformules: cos θ = cos θ sin θ (1.10) sin θ = sin θ cos θ θ π + kπ : tan θ = tan θ 1 tan θ (1.11) In de tweede formule van 1.10 kunnen we de cosinus ook uitdrukken in alleen een sinus of alleen een cosinus. We gebruiken daarvoor de grondformule sin θ + cos θ. cos θ = cos θ 1 cos θ = 1 sin θ We kunnen de formules 1.10 omvormen door in de tweede leden te delen door sin θ + cos θ = 1: cos θ = cos θ sin θ sin θ = cos θ+sin θ sin θ cos θ cos θ+sin θ We delen in de tweede leden van beide identiteiten teller en noemer door cos θ. θ π cos θ = 1 tan θ + kπ : 1 + tan θ sin θ = tan θ 1 + tan θ (1.1) (1.13) Al deze formules kunnen we gebruiken als we willen overgaan van een hoek naar de halve hoek. Merk op dat we hierbij overgaan van een eerste graad naar een tweede graad. Dus overgaan naar een halve hoek betekent de graad verhogen. Het is ook nuttig deze formules zo om te vormen zodat we gemakkelijk kunnen overgaan van de hoek naar de dubbele hoek en zodoende de graad te verlagen. In de formules 1.1 lossen we de identiteiten op naar resp. cos θ en sin θ. cos cos θ + 1 θ = sin 1 cos θ θ = Delen we de twee identiteiten lid aan lid door elkaar dan krijgen we: θ π + kπ : tan θ = 1 cos θ 1 + cos θ (1.14) (1.15)

1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 1 We kunnen de formules 1.13 ook nog als volgt schrijven: θ π + kπ : cos θ = 1 tan θ 1 + tan θ sin θ = tan θ 1 + tan θ (1.16) Stellen we tan θ = t dan verkrijgen we de zogenaamde t-formules: cos θ = 1 t 1 + t sin θ = t (1.17) 1 + t OPGAVEN 18 Bereken zonder rekentoestel sin α, cos α en tan α in elk van de volgende gevallen: a. sin α = 4 5 b. cos α = 5 13 en α ligt in het eerste kwadrant; en α ligt in het tweede kwadrant; c. tan α = 3 en α ligt in het derde kwadrant; 19 Herleid tot een product: a) sin 1 o + sin 48 o + sin 81 o sin 9 o b) + 3 sin α + cos α.. 0 Op een voetstuk van m hoog staat een beeld van 3m hoog. Op welke afstand moet men gaan staan om het voetstuk en het beeld onder eenzelfde hoek te zien. 1 Bewijs de volgende identiteiten: a. cos α + cos α + cos 3α = 4 cos α cos α b. tan x+y + tan x y = sin x cos x+cos y ; c. tan α = sin α 1+cos α. cos α 1+cos α ; d. 1 tan α cos α = sec α; e. cos 3 α + sin 3 α = (cos α + sin α)(1 1 sin α); f. cos (α + β) + cos (α β) cos α. cos β = 1; g. sin α+cos α sin α cos α = cos α sin α 1 ; h. cos 4 α sin 4 α = cos α; i. 4(cos 6 α + sin 6 α) = 1 + 3 cos α;

HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE Bewijs de volgende identiteiten: a. sin α sin α = sin 3α. sin α; b. tan α cot α = cot α; c. cos α = cot α 1 cot α+1 = 1 1+tan α. tan α ; d. sin α = tan α. tan α tan α tan α = cos (45 o α) sin (45 o α); e. tan(45 o + α) cot(45 o + α) = tan α; f. cos 4α + 4 cos α + 3 = 8 cos 4 α; g. 1+sin α cos α = tan(45o + α); h. sin α + sin β + sin γ sin(α + β + γ) = 4 sin α+β β+γ γ+α. sin. sin ; 3 Bereken zonder rekentoestel sin (α + β) als α en β in het eerste kwadrant liggen en als sin α = 1 en sin β = 1 3. 4 Bereken zonder rekenmachine de goniometrische getallen van o 30 en 7 o 30. 5 Bereken zonder rekentoestel tan α als tan α = 3. 6 Bereken zonder rekentoestel sin α, cos α en tan α als a. cos α = 7 5 ; b. sin α = 1 3 ; c. cos α = 5 1 4. 7 Als α + β + γ = π, bewijs dan dat: tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1. 8 Als α + β + γ = 0, bewijs dan dat: tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ. 9 Bereken tan α in functie van tan β als cos α = cos β r 1 r cos β. 30 Bewijs dat als α = π 17. cos 13α. cos α cos 3α + cos 5α = 1

1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 3 31 Als in een driehoek ABC geldt dat sin A + sin B = sin C, dan is tan A. tan B = 1 3. 3 * Zijn A, B en C de hoeken van een driehoek, en a, b en c de resp. de overstaande zijden bewijs dan de volgende identiteiten: (i) sin A + sin B + sin C = 4 cos A. cos B. cos C ; (ii) (iii) (iv) a b+c = sin A ; cos B C cos A sin B. sin C + tan A+tan B sin C cos B sin C. sin A + = tan B+tan C sin A cos C sin A. sin B = ; = tan C+tan A sin B ; 33 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan 1 + cos 6A + cos 6B + cos 6C = 0. Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Indien een driehoek gelijkbenig is met tophoek A, en indien de hoeken van de driehoek voldoen aan de bovenstaande betrekking, wat weet je dan over de hoeken van de driehoek. 34 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan sin A + sin B + sin C =. Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Als bovendien de hoeken een rekenkundige rij vormen (met A < B < C) wordt gevraagd hoe de zijden zich verhouden. 35 * De maatgetallen van de zijden a, b en c van een driehoek zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij. De grootste hoek en de kleinste hoek zijn resp. A en C. Bewijs dat : 4(1 cos A).(1 cos C) = cos A + cos C. 36 * Bewijs: 16 cos θ. sin 3 θ = sin θ + sin 3θ sin 5θ; 37 * Indien A, B en C de hoeken voorstellen van een driehoek ABC dan geldt: sin A + sin B sin C = 4 sin A. sin B sin A. sin B; 38 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken. a. Toon aan dat uit volgt dat de driehoek rechthoekig is; tan C = sin A sin B cos A + cos B b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig. 39 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.

4 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE a. Toon aan dat uit tan A = volgt dat de driehoek gelijkbenig is; sin(b C) sin(b + C) cos(b C) + cos(b + C) b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig. 40 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken. a. Toon aan dat uit (cos A C + sin B ).(cos B tan C. sin B ) = cos B + sin A C volgt dat de driehoek gelijkbenig is; b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig. 41 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken. a. Toon aan dat uit sin(b 4A) sin 6B + sin(b 4C) sin B = 0 volgt dat de driehoek rechthoekig is; b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig; c. Omschrijf zo eenvoudig mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor (a) geldt. 4 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken. a. Toon aan dat 4 cos (B C) + cos 4A + 4 cos A = 0 geldt in elke gelijkzijdige driehoek; b. Als de betrekking geldt volgt daar dan uit dat de driehoek gelijkzijdig is? c. Beschrijf zo eenvoudig en concreet mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor de betrekking geldt. 43 * Geef een ontbinding in factoren van de volgende determinanten a. 1 sin A sin A 1 sin B sin B 1 sin C sin C b. cos A cos A sin A cos B cos B sin B cos C cos C sin C

1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 5 Oplossingen: 18) a. sin(α) = 4 5, cos(α) = 7 5, tan(α) = 4 7, b. sin(α) = 10 169 119 10, cos(α) = 169, tan(α) = 119, c. sin(α) = 1, cos(α) = 3, tan(α) = 3 3 ; 19) cos 18o (1 + sin 18 o ); 0) 0 = 4, 47; 3) 1 18 (7 3 + 4 ) = 0, 99; 4) sin, 5 o = 1 = 0, 38, cos, 5 o = 1 + = 0, 9, tan, 5 o = 1 = 0, 41. sin 7, 5 o = 1 + 3 = 0, 131, cos 7, 5 o = 1 + + q 3 = 0, 99, tan 7, 5 = ( 3 1)( + 3) = 0, 13. 5) tan α = (± 3 1)( + 3); 6) sin α = ± 3 5, cos α = ± 4 5, tan α = ± 3 4, sin α = cos α = ± ±1 6, tan α = 1 +1 = 0, 17 of tan α = +1 1 = 5, 83, sin α = ± 10 5 4 = 0, 588, cos α = ± 1+ 5 4 = 0, 809, tan α = ± 5 5 = ±0, 77 9) tan α = 1+r 1 r tan β q + + 3 + 3 = GON-CO HUISTAAK 3 1. Bewijs dat ( sin α + sin α). tan α = sin α.. Bewijs dat sin ( π 8 + α ) sin ( π 8 α ) = sin α. 3. Bewijs dat sin α+4 sin α 4 sin α 4 sin α = cot4 α; 4. Bewijs dat 1 + cos α + cos α = cos α.( cos α + 1). 5. Bewijs dat sin 3α. sin α = sin α sin α 6. Bereken sin α, cos α en tan α als tan α = 1 en α behoort tot het tweede kwadrant 5 II. Stel α, α, en de goniometrische getallen daarvan voor op de goniometrische cirkel. GON-CO HUISTAAK 4 en C van de hoeken aan 1. * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B sin A = Wat is er bijzonder aan deze driehoek? sin B + sin C cos B + cos C.. * Bereken tan(α + β) als gegeven is dat sin α + sin β = m en cos α + cos β = n. 3. * Van de maatgetallen A, B en C van de hoeken in een driehoek weet men dat tan A, tan B en tan C drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Toon aan dat dit dan ook het geval is voor cos A, cos B en cos C.

6 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE 1.7 De formules voor 3θ GON-CG I groepswerk 1 Bewijs de volgende formules cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ (1.18) tan 3θ = 3 tan θ tan3 θ 1 3 tan θ (1.19) OPGAVEN 44 Bewijs de volgende identiteiten (i) 3 sin α sin 3α = sin α.(1 cos α); (ii) sin 3α sin α cos 3α cos α = ; (iii) cos 3α = 4 cos α. cos(60 o + α). cos(60 o α); (iv) 3 sin α 4 sin α 1+cot α = sin 6α. 45 Herleid tot een product: a. cos α + cos α + cos 3α; b. 4 sin α. cos 3α + 4 cos α. sin 3α. 46 * Als in een driehoek ABC de hoek A het dubbele is van de hoek B, dan is a = b.(b + c). Bewijs dat. 47 * Als A, B en C de hoeken zijn van een driehoek en als geldt dat sin(a + B ) = n sin B toon dan aan dat tan A tan C = n 1 n + 1. 1.8 Wiskunde-Cultuur SIMPSON Thomas was een Engels wiskundige van 1710 tot 1761. Hij leefde als wever in behoeftige omstandigheden, studeerde autodidactisch wiskunde en publiceerde in 1737 A new treatise of fluxions. In 1743 verkreeg hij erkenning door zijn benoeming tot hoogleraar aan de militaire academie te Woolwich. Hij schreef over kansrekening, levensverzekering, algebra, meetkunde en trigonometrie.

Hoofdstuk Complexe getallen.1 Het veld van de reële getallen In de verzameling van de reële getallen hebben we twee bewerkingen gedefinieerd, nl. de optelling en de vermenigvuldiging. Voor deze bewerkingen voldoet de verzameling van de reële getallen aan een reeks eigenschappen. De eigenschappen vatten we samen door te zeggen dat de structuren R, + en R,. commutatieve groepen zijn. Voor de twee bewerkingen samen geldt de distributieve eigenschap. Dit alles wordt nog eens korter geformuleerd door te zeggen dat R 0, +,. een veld is. R, + is een commutatieve groep R 0,. is een commutatieve groep De optelling is distributief t.o.v. het product R, +,. is een veld Deze eigenschappen maken het mogelijk om vlot te rekenen, eerstegraadsvergelijkingen op te lossen, enz.. Dit rekenen komt voort uit werkelijke problemen, doch R is slechts een HULPMIDDEL bestaande uit denkbeeldige getallen. Bijvoorbeeld het getal π kan niemand ooit exact voorstellen. Het is ook niet nodig. Als een ingenieur met π werkt, dan is het zelfs belachelijk met meer dan twee cijfers na de komma te werken. Want op het eind wordt alles nog eens met een veiligheidsfactor of 3 vermenigvuldigd en dan doet een cijfertje op de derde rang na de komma er niet toe. Dus zou je zeggen, we hebben genoeg met de rationale getallen. Ook dit is alleen in ons verbeelding mogelijk. We kunnen ze immers nooit allemaal opschrijven. Maar zoals gezegd, het veld van de reële getallen is een handig hulpmiddel om berekeningen uit te voeren. Er bestaan echter problemen die gemakkelijker met andere velden op 7

8 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN te lossen zijn. Bijvoorbeeld het veld {0, 1} met de bewerkingen gedefinieerd als volgt: 0 + 0 = 0 0.0 = 0 0 + 1 = 1 0.1 = 0 1 + 0 = 1 1.0 = 0 1 + 1 = 0 1.1 = 1 Dit veld wordt veel gebruikt in de informatica en computerwetenschappen of in de logica. Als 1 staat voor oneven en 0 voor even dan is voldaan aan de bovenstaande rekenregels voor een veld. Ga dat na. We kunnen de + ook beschouwen als de exclusieve of en. als en. Voor andere problemen hebben we nog andere velden nodig, of zou het gemakkelijker zijn een ander veld te kennen. Net zoals het voor sommige problemen interessant is om over oneindig doorlopende nietrepeterende decimale vormen te beschikken, is het voor andere problemen handig een vierkantswortel uit 1 te hebben. Bijvoorbeeld om aan de uitdrukking x + 1 = 0 een zinnige betekenis te geven. Deze uitdrukking is syntactisch goed gevormd in de standaardtaal van de algebra, maar er voldoet klaarblijkelijk geen enkel standaardgetal aan. Wij hebben dus een ding nodig, dat vermenigvuldigd met zichzelf, 1 oplevert. We hebben gezien dat we de verzameling van de reële getallen op een georiënteerde rechte met oorsprong O kunnen afbeelden. Elk reëel getal correspondeert met een vector gerepresenteerd door het puntenkoppel met O als eerste punt en het beeld van het reëel getal als tweede punt. Vermenigvuldigen met 1 kan nu worden voorgesteld door een rotatie om O over 180 o van het genoemde puntenkoppel. Dit brengt ons op het idee een denkbeeldige eenheid i in te voeren, gedefinieerd door i = 1, en vermenigvuldiging met i als een rotatie over 90 o te interpreteren (daar immers tweemaal vermenigvuldigen met i een rotatie over 180 o moet opleveren). Op die manier komen wij aan een lijn van denkbeeldige getallen (iy), producten van reële getallen y met i, die door O gaan en loodrecht op de rechte van de reële getallen staat. Zo kunnen we de punten van een vlak voorstellen door een denkbeeldige getallen van de vorm x+iy. In dit model kunnen wij ons er gemakkelijk van overtuigen dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van deze denkbeeldige getallen, die we complexe getallen zullen noemen, overeenstemt met het uitvoeren van welbekende operaties met vectoren en met lineaire afbeeldingen (rotaties). In volgende paragraaf zullen we op zoek gaan naar een goede wiskundige definitie om te komen tot een veld, dat bovendien het veld van de reële getallen omvat.

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 9. Het veld van de complexe getallen..1 Homothetie en reëel getal We hebben gezien dat het vermenigvuldigen van een matrix met een scalaire matrix op hetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van die matrix met een scalair. Beschouwen bvb. het product [ r 0 0 r ] [ a c e b d f ] = [ ra rc re rb rd rf ] = r [ a c e b d f In het vlak Π O kiezen we een orthonormale basis ( e 1, e ) en beschouwen we een plaatsvector van een punt met coördinaat (x, y). [ ] x We laten de scalaire matrix inwerken op de kolommatrix waarvan de kolomvector y overeenstemt met de plaatsvector (x, y). Daartoe vermenigvuldigen we de kolommatrix links met de scalaire matrix. [ ] [ ] [ ] r 0 x rx. = 0 r y ry Met de kolommatrix [ rx ry ] stemt de vector (rx, ry) overeen. De scalaire matrix zet (x, y) om in r(x, y). Merken we op dat de eerste kolomvector van de scalaire matrix overeenstemt met het beeld (r, 0) van (1, [ 0) en de] tweede kolomvector met het beeld (0, r) van (0, 1). r 0 De scalaire matrix beeldt (1, 0) af op (r, 0). Het koppel (r, 0) gelegen op de x-as 0 r is de meetkundige voorstelling van het reëel getal r uit de scalaire matrix. Op die manier laten we de scalaire matrix overeenstemmen met het reëel getal r. Omgekeerd zal het punt (r, 0) van de x-as het reëel getal r voorstellen dat met een scalaire matrix overeenkomt. We noemen de x-as de reële getallenas. We kunnen gemakkelijk aantonen dat de verzameling van de scalaire matrices voor de optelling en de vermenigvuldiging een veld vormt. Het veld van de reële getallen kan volledig geïdentificeerd worden met het veld van de scalaire matrices (isomorfe velden: elementen en bewerkingen stemmen overeen). ]

30 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN.. Rotatie over 90 o en imaginair getal ı 1. Rotatie We beschouwen de goniometrische cirkel. Als we de plaatsvector van het punt (1, 0) resp. de plaatsvector van het punt (0, 1) laten draaien over een hoek θ dan krijgen we de plaatsvector (cos θ, sin θ) resp. de plaatsvector ( sin θ, cos θ). We beschouwen de matrix [ cos θ sin θ sin θ cos θ en laten hem inwerken op de kolommatrices product [ 1 0 ] ] en [ 0 1 (.1) ]. Daartoe maken we het [ cos θ sin θ sin θ cos θ ] [ 1 0 0 1 ] [ cos θ sin θ = sin θ cos θ ]. De matrix.1 zet (1, 0) resp. (0, 1) om in (cos θ, sin θ) resp. ( sin θ, cos θ). De matrix.1 stelt een rotatie voor over de hoek θ.. Rotatie over 90 o en definitie van imaginair getal ı Als we de plaatsvector van het punt (1, 0) resp. de plaatsvector van het punt (0, 1) laten draaien over een hoek van 90 o dan krijgen we de plaatsvector (0, 1) resp. de plaatsvector ( 1, 0). De matrix [ 0 1 1 0 stelt de rotatie over 90 o voor en beeldt (1, 0) af op (0, 1). Het koppel (0, 1) is de meetkundige voorstelling van het zogenaamd imaginair getal ı. ].

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 31..3 Directe gelijkvormigheid en complex getal 1. Samenstelling van rotatie en homothetie De samenstelling van een rotatie en een homothetie noemen we een directe gelijkvormigheid. We laten op een plaatsvector (x, y) een rotatie gevolgd door een homothetie inwerken. We verkrijgen het product [ ] r 0 ( [ ] [ ] cos θ sin θ x ) ( [ ] [ ] r 0 cos θ sin θ ) [ ] x. = 0 r sin θ cos θ y 0 r sin θ cos θ y [ ] [ ] r cos θ r sin θ x = r sin θ r cos θ y De matrix [ r cos θ r sin θ r sin θ r cos θ ] [ a b = b a ] (.) stelt de samenstelling voor van een homothetie met centrum O (lineaire homothetie) en factor r en een rotatie om O (lineaire rotatie) over de hoek θ.. Definitie van een complex getal We kijken met welk punt in het vlak de matrix. overeenkomt. Daartoe laten we de matrix inwerken op (1, 0). [ ] a b b a [ 1 0 ] = We zien dat de matrix. (1, 0) omzet in (a, b) = (r cos α, r sin α). De matrix. stelt het punt (a, b) voor in het vlak. We zouden aan dat punt (a, b) een getal willen hechten. We gaan de matrices van de gedaante. schrijven als de som van twee matrices (somontbinding) als volgt [ ] a b b a = = [ a b [ ] [ ] a 0 0 b + [ 0 a ] [ b 0 ] [ ] a 0 b 0 0 1 +. 0 a 0 b 1 0 a b ı ] (.3)

3 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN We laten de matrix uit.3 overeenstemmen met het complex getal z = a + bi met a, b R in gewone schrijfwijze van het complex getal en z = r cos α + ir sin α = r(cos α + i sin α) in goniometrische schrijfwijze van het complex getal. 3. Het complex getallenvlak van Gauss In het vlak wordt een complex getal a + ıb voorgesteld door het koppel (a, b). We noemen het vlak waar de complexe getallen worden voorgesteld, het complex getallenvlak van Gauss. 4. Modulus en argument van een complex getal We noemen r de modulus van het complex getal en θ het argument van het complex getal, waarbij geldt r 0 0 o θ < 360 o. Met symbolen : en r = z θ = arg(z). Met DERIVE vinden we modulus en argument met resp. z = abs(z) en arg(z) = phase(z) De verzameling van de complexe getallen stellen we voor door C. Opmerking: Het argument θ wordt ofwel uitgedrukt in graden ofwel in radialen. Werken we met de functie y = arctan x dan moeten we de hoeken uitdrukken in radialen.

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 33 5. Reëel gedeelte en imaginair gedeelte van een complex getal We noemen a het reëel gedeelte van het complex getal z en b het imaginair gedeelte van het complex getal z. a = Re(z) en b = Im(z). (.4) De reële en imaginaire gedeelten van een complex getal zijn ook te bepalen met DERIVE met dezelfde notaties als in.4 Bijzondere complexe getallen: * Is het imaginair gedeelte gelijk aan nul dan is het complex getal een reëel getal. x + 0i = x R De verzameling van de reële getallen is een deelverzameling van de verzameling van de complexe getallen. R C. In het complex getallenvlak van Gauss worden de reële getallen voorgesteld op de x-as. De positieve reële getallen hebben als argument 0. θ = 0 is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve halve x-as (zie verder). De negatieve reële getallen hebben als argument 180 o. θ = 180 o is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve x-as. * Is het reëel gedeelte gelijk aan nul dan noemen we het complex getal bi een zuiver imaginair getal. In het complex getallenvlak van Gauss worden zuiver imaginaire getallen voorgesteld op de y-as. De zuiver imaginaire getallen hebben een argument 90 o en 90 o. θ = 90 0 is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve y-as. θ = 90 0 is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve y-as.

34 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN 6. Overgangsformules van goniometrische naar gewone schrijfwijze van een complex getal { a = r cos θ b = r sin θ (.5) Voorbeelden: Is z = en arg(z) = 150 o dan is het complex getal 3 z = cos 150 o + sin 150 o i = ( ) + (1 i) = i 3. Is z = 3 4 en arg(z) = 10o dan is het complex getal (Vul zelf in). z = Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss. Is z = 1 en arg(z) = 45o dan is het complex getal (Vul zelf in). z = Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 35 7. Overgangsformules van gewone naar goniometrische schrijfwijze van een complex getal Uit het stelsel.5 kunnen we r berekenen in functie van a en b. Daartoe elimineren we θ. We kwadrateren in de twee vergelijkingen beide leden en tellen de bekomen vergelijkingen lid aan lid op. r cos θ + r sin θ = a + b r = a + b. Uit het stelsel.5 kunnen we θ uitdrukken in functie van a en b. Daartoe elimineren we r. We delen beide vergelijking lid aan lid door elkaar. tan θ = b a. Uit tan θ = b volgt θ = θ a 0(= arctan b ) of θ = θ a 0 + π(= arctan b + π) al naar gelang a de ligging van het punt (a, b) in het vlak. (a) θ = θ 0 (= arctan b ) als het punt (a, b) gelegen is in het eerste en vierde kwadrant a van het vlak. (b) θ = θ 0 + π(= arctan b + π) als het punt (a, b) gelegen is in het tweede en derde a kwadrant van het vlak. Voorbeelden: Voor het complex getal 1 + i geldt 1 + i = en arg(1 + i) = 45 o. De goniometrische schrijfwijze is 1 + i = (cos 45 0 + i sin 45 o ). Voor het complex getal 1 + i geldt 1 + i = en arg( 1 + i) = 135 o. De goniometrische schrijfwijze is 1 + i = (cos 135 0 + i sin 135 o ). Voor het complex getal 3 4i geldt 3 4i = en arg(3 4i) = De goniometrische schrijfwijze is 3 4i = Vul zelf in. Maak een tekening. Voor het complex getal 5 6i geldt 5 6i = en arg( 5 6i) = De goniometrische schrijfwijze is 5 6i = Vul zelf in. Maak een tekening.

36 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN Figuur.1: Voorstelling van deze complexe getallen in getallenvlak van Gauss 8. Gelijkheid van twee complexe getallen Uit de gelijkheid van matrices volgt de volgende stelling: STELLING.1 Twee complexe getallen zijn gelijk aan elkaar als de reële gedeelten gelijk zijn aan elkaar en de imaginaire gedeelten gelijk zijn aan elkaar. a + bi = c + di a = c b = d. Dit volgt uit de gelijkheid van de corresponderende matrices van die complexe getallen. Opmerking: Dit is zoals de gelijkheid van koppels. (a, b) = (c, d) a = c b = d.

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 37..4 Toegevoegd complexe getallen..4.1 Definitie Een speciale transformatie van matrices is de permutatie die een vierkante matrix afbeeldt op zijn getransponeerde. We bepalen nu de getransponeerde matrix van de matrix die het complex getal a + ib bepaalt. [ ] t [ ] a b a b = a bi b a b a Een matrix transponeren betekent voor het corresponderend complex getal het imaginair gedeelte van teken veranderen. De operator transponeren bij matrices noemen we bij de complexe getallen complex toevoegen. Het toegevoegd complex getal van a + ib is het complex getal a ib. We noteren a + bi = a bi...4. Eigenschappen 1. Het complex toegevoegde van een reëel getal is dat reëel getal zelf. Bewijs: Een reëel getal correspondeert met een scalaire matrix, die een symmetrische matrix is. De getransponeerde van een symmetrische matrix is gelijk aan de matrix zelf. z = z z R.. Het complex toegevoegde van een zuiver imaginair getal is het tegengesteld complex getal dat tevens zuiver imaginair is. 3. Toegevoegd complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Toegevoegd complexe getallen bezitten tegengestelde argumenten en hebben dezelfde modulus. OPGAVEN 48 Bepaal het complex getal waarvan het argument en de modulus hieronder gegeven staan. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide voor in het complex getallenvlak van Gauss. a. θ = 3π 4 rad, r = b. θ = 11π 6 rad, r = 3 c. θ = π 3 rad, r = 1 d. θ = 7π 6 rad, r = 3 e. θ = 7π 4 rad, r = 1 f. θ = 5π 3 rad, r = 4 g. θ = 5π 6 rad, r = 1 3 h. θ = π 6 rad, r = i. θ = π 3 rad, r = 1 49 Bepaal de goniometrische schrijfwijze van de volgende complexe getallen. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide getallen voor in het complex getallenvlak van Gauss. a. + 3i b. i c. i d. + 3i e. 1 + 3i f. 13 + 5i g. 4 + 3i h. 0.8 + 0.6i

38 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN Oplossingen: 49 a. 0, 98rad, 13; b. 5π/4rad, ; c. π/rad, ; d. π/3rad, 4; e. π/3rad, ; f. 0, 367rad, 194; g. 0, 635rad, 5; h., 40rad, 1;..5 Poolcoördinaat van een punt in het vlak Definitie Beschouwen we de goniometrische schrijfwijze van een complex getal x + iy = r(cos θ +i sin θ) dan komt met dat complex getal het koppel (r cos θ, r sin θ) overeen. De ligging van het punt P (x, y) in het complex getallenvlak wordt volledig bepaald door het argument θ en de modulus r. Het argument θ is de hoek die de vector OP (x, y) insluit met de positieve x-as (rotatiehoek). De modulus r is de norm (lengte) van de vector OP (x, y). We noemen het koppel (θ, r) een poolcoördinaat van het punt (x, y). Voor θ mogen we elk maatgetal van de georiënteerde hoek geven. Is een punt gegeven door middel van zijn poolcoördinaat dan kunnen we het punt voorstellen in het vlak als we beschikken over de oorsprong O, die we de pool noemen, en de positieve halve x-as, die we de poolas noemen. De y-as hoeft niet getekend te worden tenzij we een verband willen leggen met de cartesische coördinaat. Opmerking: Een punt heeft oneindig veel poolcoördinaten. Bij de goniometrische schrijfwijze van een complex getal hebben we voor r de beperking gemaakt dat r 0. Voor de poolcoördinaat van een punt laten we ook negatieve waarden van r toe, maar dan moeten we de hoek θ daaraan aanpassen om hetzelfde punt te behouden. Voorbeeld: De koppels ( π 3, ) (4π 3, ) (7π 3, ) ( 5π, ) ( π 3 3, ) zijn verschillende poolcoördinaten van hetzelfde punt. Voor beschrijving van krommen in poolcoördinaten is het nodig dat we voor θ alle maatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanleiding geven tot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de vergelijking van een spiraal (zie later). Enkele eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten In poolcoördinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 39 Figuur.: r = θ, r = π θ en r = 10 θ * De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R; * Een vectorrechte: θ = θ 1 (als we ook negatieve modulussen toelaten); * Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a R 0 ; * Een hyperbolische spiraal: r = a met a R θ 0.

40 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN..6 De som van complexe getallen..6.1 Definitie STELLING. De som van twee matrices, die elk corresponderen met een complex getal is de matrix van een complex getal. Bewijs: Inderdaad, de som [ ] [ a b c d + b a d c ] [ a + c b d = b + d a + c ] [ a + c (b + d) = b + d a + c ] levert de matrix op van het complex getal (a + c) + i(b + d). De som van twee complexe getallen is het complex getal dat we bekomen door reële gedeelten op te tellen en de imaginaire gedeelten op te tellen. Met symbolen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i..6. Eigenschappen van de som van complexe getallen 1. De som van twee complexe getallen is weer een complex getal.. De som van complexe getallen is associatief. Inderdaad, dit volgt uit het feit dat de som van matrices associatief is. 3. Het neutraal element voor de optelling van matrices is de nulmatrix, die overeenkomt met het complex getal 0. 4. De tegengestelde matrix van [ a b b a ] is de matrix [ a ( b) b a Hieruit volgt dat de complexe getallen a + bi en a bi tegengestelde complexe getallen zijn. Tegengestelde complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de oorsprong. 5. De som van matrices is commutatief voor de optelling. Daaruit volgt dat de som van complexe getallen ook commutatief is voor de som. ]

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 41 Uit deze vijf eigenschappen volgt: De structuur C, + is een commutatieve groep voor de optelling (additieve groep). Opmerking: Vanaf nu mogen we het (+) teken in de notatie van een complex getal a+bi als een somteken beschouwen. Het complex getal a + bi is de som van het reëel getal a en het zuiver imaginair getal bi...7 Verschil van twee complexe getallen Omdat elk complex getal een tegengesteld complex getal heeft kunnen we het verschil van twee complexe getallen definiëren. Het verschil van twee complexe getallen is gelijk aan de som van het eerste complex getal en het tegengestelde van het tweede complex getal. (a + bi) (c + di) = (a + bi) + ( c di) = a c + (b d)i. Opmerking: De som en het verschil van twee complexe getallen is zoals de som en het verschil van twee koppels. Ook het tegengestelde van een complex getal is zoals het tegengestelde van een koppel. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (a c, b d) (a, b) = ( a, b) Belangrijk gevolg: Omdat de som en verschil van complexe getallen overeenkomt met de som en verschil van de corresponderende koppels zijn we in de mogelijkheid de som en verschil van complexe getallen in het vlak uit te voeren zoals de som en verschil van vectoren. OPGAVEN 50 Maak de som van de complexe getallen en construeer het allemaal in het complex getallenvlak van Gauss. a. + 3i en 1 + i c. 1 + 3i en 1 3i e. i en + i b. 5i en 5 d. 1 + i en i f. 4i en i 51 Bepaal het tegengestelde complex getal van het complex getal z met arg(z) = θ en met z = r. a. θ = π 4 rad, r = ; b. θ = π rad, r = 3; c. θ = π 3 rad, r = 3. 5 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen met argumenten resp. θ 1 en θ en moduli resp. r 1 en r.

4 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN a. θ 1 = 0 rad, r 1 = 1; θ = π rad, r = 1 ; b. θ 1 = π 3 rad, r 1 = 4; θ = π 6 rad, r = ; c. θ 1 = 11π 4 rad, r 1 = ; θ = 5π 4 rad, r = 1 3 ; 53 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen controleer op een tekening. a. 1 + 3i en 3 3i; b. 4 en 1 + 3i; c. 1 3i en i. Oplossingen: 50 a. 1 + 5i; c. ; e. + i; b. 5 + 5i; d. 1 + i; f. i. 51 a. ( 1, 1); b. ( 3, 0); c. ( 3/, 3 3/); d. ( 5, 3); e. ( 3, 3); f. (0, 3/) 5 a. r = 0; b. ( 3, 1 3), (, 47; 83, 79 0 ); c. ( 1 /6, 1 /6), (1, 45; 148, 6 0 ) 53 a. ( 16 6 3, 1 o 5 ) = (, 36; 1 o 5 ); b. ( 8, 160 o 53 36 ) = (5, 9; 160, 89 o ); c. (4, 78; 51 o 1 1 )..8 Afstand tussen twee complexe getallen De afstand tussen twee complexe getallen z 1 en z is z 1 z. 1. Met de gewone schrijfwijze. Is z 1 = x 1 + iy 1 en z = x + iy dan is en daaruit volgt z 1 z = x 1 x + i(y 1 y ) z 1 z = (x 1 x ) + (y 1 y ) Dit is de uitdrukking voor de afstand tussen de punten (x 1, y 1 ) en (x, y ).. Met de goniometrische schrijfwijze. Is z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) en z = r (cos θ + i sin θ ) dan kunnen we de afstand tussen de twee beeldpunten P 1 en P van deze complexe getallen berekenen door te steunen op de cosinusregel in de driehoek OP 1 P. P 1 P = OP 1 + OP OP 1. OP. cos(θ 1 θ ) z 1 z = r 1 + r r 1 r cos(θ θ 1 ). (.6) OPGAVEN 54 Bereken de afstand tussen de complexe getallen van opgave 50.

.. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 43 GON-CO HUISTAAK 5 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = + i en z = 3i 4. (a) Stel z 1 en z voor in het complexe getallenvlak van Gauss; (b) Bepaal de modulus en het argument van beide complexe getallen; (c) Construeer z = z 1 + z en bereken z; (d) Bepaal modulus en argument van z en geef de goniometrische schrijfwijze van z; (e) Bereken de afstand tusen z 1 en z.. Los de volgende vergelijking op naar z: z + 3z = ( + i 3) z. Stel de oplossingen voor in het complex getallenvlak van Gauss.

44 HOOFDSTUK. COMPLEXE GETALLEN..9 Het product van complexe getallen..9.1 Definitie STELLING.3 Het product van twee matrices die elk corresponderen met een complex getal is de matrix van een complex getal. Bewijs: Inderdaad, het product [ ] [ ] [ a b c d ac bd ad bc. = b a d c ad + bc ac bd ] [ ac bd (ad + bc) = ad + bc ac bd ] (.7) levert terug een matrix op van een complex getal. Het product van twee complexe getallen wordt als volgt gedefiniëerd: (a + bi).(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Bijzonder geval: i = 1 We kunnen dit ook berekenen via matrices. [ ] [ ] [ 0 1 0 1 0 1 = 1 0 1 0 1 0 ] = [ 1 0 0 1 ]. Hieruit volgt dat i = 1...9. Argument en modulus van het product van twee complexe getallen Het product van twee complexe getallen in goniometrische gedaante is r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ).r (cos θ + i sin θ ) = = r 1 r [(cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ ) + i(cos θ 1 sin θ + sin θ 1 cos θ )] = r 1 r (cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ )) (.8) Uit de formule.8 volgt de stelling