Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = ( x + 4)( x + 3) 3 x +3 x x +3x +4 +4x +1 y = x + 7x + 1 b y = ( x 8)( x 9) 3 x 9 x x 9x 8 8x +7 y = x 17x + 7 c y = ( x 6)( x + ) 3 x + x x +x 6 1x 1 y = x 10x 1 d y = ( 3x)( 6x 7) 3 6x 7 30x 3 3x 18x +1x y = 18x + 1x 3 d y = 8 + 3( 6 4x) 3 6 4x 3 18 1x y = 8 + 18 1x y = 6 1x e y = 7( + 4x) 6x 3 +4x 7 14 +8x y = 14 + x f y = 6( x + 1) 1x 3 x +1 6 1x +6 y = 1x + 6 1x y = 6 e y = ( 8x + 3)( x + 4) 3 x +4 8x 8x +3x +3 3x +1 y = 8x + 9x + 1 f y = ( 4 4x)( x ) 3 x 4 4x 0 4x 4x +0x y = 4x + 4x 0 g y = ( x + 6)( 4 4x) 3 4 4x x 8x 8x +6 +4 4x y = 8x 16x + 4 h y = ( 3x + 3)( + 3x) 3 +3x 3x 1x +9x +3 1 +9x y = 9x 6x 1 V-3a f = d( d + ) c j = q( q ) of j = q( q + ) b h = a( a + 1 ) d w = 7b( 3b + 11) 4
V-4a Het product is +64 en de som is +16. product getallen som +64 +64 +64 +64 b Het product is en de som is 9. c Het product is + en de som is 3. d Het product is 0 en de som is 1. V-a De formule y = x + 4x is een kwadratische formule omdat de hoogste exponent van de variabele twee is. b y = 3 + 4 3 = 9 + 1 = c y = ( ) + 4 = 4 8 = 17 d De uitkomst voor x = 4 is y = ( 4) + 4 4 = 16 16 = 37. 1 en 64 en 3 4 en 16 k = ( a + 8)( a + 8) 8 en 8 +6 +34 +0 +16 product getallen som 1 en en 11 11 en en 1 f = ( h 11)( h + ) +1 +9 9 1 product getallen som + + 1 en 1 en q = ( p 1)( p ) +3 3 product getallen som 0 0 0 0 0 0 1 en 0 en 10 4 en en 4 10 en 0 en 1 b = ( x )( x + 4) +19 +8 +1 1 8 19 Hoofdstuk - Kwadratische functies e Het product is +0 en de som is +1. product getallen som +0 +0 +0 1 en 0 en 10 4 en v = ( d + )( d + 10) +1 +1 +9 f Het product is 6 en de som is 11. product getallen som 6 6 6 6 1 en 6 en 13 13 en 6 en 1 m = ( t 13)( t + ) + +11 11 g Het product is +36 en de som is 13. product getallen som +36 +36 +36 +36 +36 +36 +36 +36 +36 +36 1 en 36 en 18 3 en 1 4 en 9 6 en 6 1 en 36 en 18 3 en 1 4 en 9 6 en 6 u = ( g 4)( g 9) +37 +0 +1 +13 +1 37 0 1 13 1 h Het product is +8 en de som is 6. product getallen som +8 +8 +8 +8 w = ( r )( r 4) 1 en 8 en 4 1 en 8 en 4 +9 +6 9 6
Hoofdstuk - Kwadratische functies V-6a x = x = 4 x = of x = b x = 7 x = 9 x = 3 of x = 3 c x x = x = 1, 41 of x = 1, 41 d x = 3 x = 1 Dat kan niet, want een kwadraat kan niet negatief zijn. Je ziet ook dat de grafiek van f niet lager dan komt. e A x + = 1 x = 4 x = 4 x = of x = B x + = x x x C x + = 4 x = 9 x = 9 x = 3 of x = 3 D x + = 7 x = x = kan niet V-7a A g 8 = 7 g = 3 g = 7 g = 7 of g = 7 C 10 4t = 6 4t = 16 t = 4 t = of t = b E ( x 4)( x + ) x 4 of x + x = 4 of x = x = of x = c B 7b 1b D a + 8a + 16 F k k 30 d B 7b( b 3) D ( a + 4)( a + 4) F ( k 6)( k + ) e B 7b of b 3 b of b = 3 D a + 4 of a + 4 a = 4 F k 6 of k + k = 6 of k = 6
V-8a 4a + 8a e 3n = 7 4a( a + ) n = 9 4a of a + n = 3 of n = 3 a of a = b 3w = w f 4x( x) 3w w 4x of x w( 3w ) x of x = w of 3w x of x = 1 w of w = 1 3 c h + = g ( g 1) = 16 h = 10 g 1 = 4 of g 1 = 4 h = g = 16 of g = 8 kan niet d ( s 4)( 6 s) h b 9b + 14 s 4 of 6 s ( b 7)( b ) s = 4 of s = 6 b 7 of b s = of s = 6 b = 7 of b = -1 Parabolen 1a Invullen van t = geeft h = + 0 = 0 + 100 = 80. Na twee seconden is de vuurpijl 80 meter hoog. b t 0 1 3 4 6 7 8 9 10 h 0 4 80 10 10 1 10 10 80 4 0 h 130 10 110 100 90 80 70 60 0 40 30 0 10 0 0 1 3 4 6 7 8 9 10 t h = t + 0t t = c Links en rechts van t = vind je in de tabel dezelfde waarden van h. d De grootste hoogte die de pijl bereikt is 1 meter. Hoofdstuk - Kwadratische functies 7
a Hoofdstuk - Kwadratische functies y 16 g(x) = x x 8 14 1 h(x) = x 10 + x + 8 8 6 4 4 3 1 O 1 3 4 x 4 6 8 10 b De coördinaten van het laagste punt van de grafiek zijn (1, 9). c Zie de tekening hierboven. d Nee, deze grafiek heeft geen laagste punt, maar een hoogste punt. 3a b c d x 4 3 1 0 1 3 4 y 16 7 0 8 9 8 0 Het getal voor de x is positief, dus de grafiek is een dalparabool. Het getal voor de x is negatief, dus de grafiek is een bergparabool. Het getal voor de x is negatief, dus de grafiek is een bergparabool. Het getal voor de x is positief, dus de grafiek is een dalparabool. 4a Parabool 1 is een bergparabool en parabool is een dalparabool. b De symmetrieas van parabool 1 is de lijn x = 3. De symmetrieas van parabool is de lijn x =. c De coördinaten van de top van parabool 1 zijn ( 3, 4). De coördinaten van de top van parabool zijn (, ). d De snijpunten van parabool 1 met de x-as zijn (, 0) en ( 1, 0). De snijpunten van parabool met de x-as zijn (0, 0) en (4, 0). e Het bereik van de functie die bij grafiek 1 hoort is y 4. Het bereik van de functie die bij grafiek hoort is y. f Bij parabool 1 hoort de functie f ( x) = x 6x, want de grafiek is een bergparabool en in de functie f ( x) = x 6x staat een negatief getal voor de x. Bij parabool hoort de functie g( x), x x, want de grafiek is een dalparabool en in de functie g( x), x x staat een positief getal voor de x. a Wegwerken van de haakjes geeft y = x x en in deze formule is de hoogste exponent van de variabele twee, dus de formule hoort bij een kwadratisch verband. b De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = x x staat een negatief getal voor de x. 8
6a y = ( x + 4)( x ) 3 x x x +x +4 +4x 0 y = x + 9x 0 b Een bergparabool, want in y = x + 9x 0 staat een negatief getal voor de x. c Je kunt ( x + 4)( x ) schrijven als x + 9x 0, dus kun je y = 3( x + 4)( x ) schrijven als y = 3( x + 9x 0). d y = 3( x + 9x 0) 3 x +9x 0 3 3x 7x +60 y = 3x 7x + 60 e De grafiek bij y = 3( x + 4)( x ) is een dalparabool, want in de formule y = 3x 7x + 60 staat een positief getal voor de x. 7a y = ( x + )( 1 x) 3 1 x x x x + + x y = ( x x + ) 3 x x + x x +4 y = x x + 4 De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = x x + 4 staat een negatief getal voor de x. b y = ( 4 x)( 3 x) 3 3 x 4 1 4x x 3x +x y = ( x 7x + 1) 3 x 7x +1 x +3x 60 y = x + 3x 60 De grafiek is een bergparabool, want in de formule y = x + 3x 60 staat een negatief getal voor de x. c y = 3( x + 7)( x ) x 3 x x x x +7 +7x 3 y = 3( x + x 3) x 3 x +x 3 3 3x +6x 10 y = 3x + 6x 10 x y = x + 6x 10 De grafiek is een dalparabool, want in de formule y = x + 6x 10 staat een positief getal voor de x. Hoofdstuk - Kwadratische functies 9
Hoofdstuk - Kwadratische functies d y = ( x + )( 7 x) x 3 7 x x 7x x + +14 x y = ( x + x + 14) x 3 x +x +14 1 x x 14 y = x x 14 x y = x 10x 14 De grafiek is een dalparabool, want in de formule y = x 10x 14 staat een positief getal voor de x. 8a f ( x) = ( x 4)( x 4) 3 x 4 x x 4x 4 4x +16 f ( x) = ( x 8x + 16) 3 x 8x +16 x +16x 3 f ( x) = x + 16x 3 De grafiek van f is een bergparabool, want in het functievoorschrift f ( x) = x + 16x 3 staat een negatief getal voor de x. b g( x) = 10 ( x )( x ) 3 x x x x x +4 g( x) = 10 ( x 4x + 4) 3 x 4x +4 1 x +4x 4 g( x) = 10 x + 4x 4 g( x) = x + 4x + 6 De grafiek van g is een bergparabool, want in het functievoorschrift g( x) = x + 4x + 6 staat een negatief getal voor de x. c h( x) = 1 ( 4 x)( 4 x) 3 4 x 4 16 4x x 4x +x h( x) = 1 ( x 8x + 16) 3 x 8x +16 1 x +8x 16 h( x) = 1 x + 8x 16 h( x) = x + 8x 1 De grafiek van h is een bergparabool, want in het functievoorschrift h( x) = x + 8x 1 staat een negatief getal voor de x. 30
d k( x) = x ( x + )( x + ) 3 x + x x +x + +x + k( x) = x ( x + 10x + ) 3 x +10x + 1 x 10x k( x) = x x 10x k( x) = 10x De grafiek van h is geen parabool, maar een rechte lijn. - Symmetrie en top 9a Bij punt A en bij punt B geldt h. Eén van de oplossingen is 0 en hoort bij punt A. De andere oplossing is de afstand van punt A tot punt B. b a( 1 0, 01a) a of 1 0, 01a a of a = 100 De afstand van punt A tot punt B is 100 meter. c De boog is in het midden, dus bij 0 meter, het hoogst. d De maximale hoogte van de boog is 0 0, 01 0 = 0 = meter. e a 0 10 30 0 70 90 100 h 0 9 1 1 9 0 f 30 h 0 10 0 0 10 0 30 40 0 60 70 80 90 100 a 10a Voor x en voor x = geldt y = 9. b x 1 0 1 3 4 6 y 1 9 3 3 9 1 c Voor de symmetrieas van de parabool geldt x =,. d Het laagste punt van de parabool ligt bij x =,. In de tabel kun je zien dat de bijbehorende waarde van y zeker groter dan 1 is en dat laagste punt ligt boven de x-as. Nee, de parabool heeft geen snijpunten met de x-as. Hoofdstuk - Kwadratische functies 31
Hoofdstuk - Kwadratische functies 11a x 3 1 0 1 y 143 10 99 80 63 48 b De y-waarden in de tabel dalen steeds, maar ze dalen wel steeds minder. Isa zal de tabel nog verder naar rechts moeten uitbreiden, want de top is nog niet af te lezen. c ( x 10)( x 8) x 10 of x 8 x = 10 of x = 8 d Amanda kan nu de coördinaten van de top met de symmetrieas berekenen. De top ligt midden tussen x = 10 en x = 8 in, dus de top ligt bij x = 9. e Invullen van x = 9 geeft f ( 9) = 9 18 9 + 80 = 81 16 + 80 = 1. De coördinaten van de top zijn (9, 1). 1a ( x 10)( x + 6) x 10 of x + 6 x = 10 of x = 6 De coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn (10, 0) en ( 6, 0). b De x-waarde van de symmetrieas zit midden tussen 10 en 6 in en is x =. c Invullen van x = geeft g( ) = ( 10)( + 6) = 8 8 = 64. De coördinaten van de top zijn (, 64). d x + x x( x + ) x of x + x of x = De x-waarde van de symmetrieas is x =,. Invullen van x =, geeft h(, ) = (, ) +, = 6, 1, = 6,. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (,; 6,). 13a Het product van de twee gezochte getallen moet +4 zijn. product getallen som +4 +4 +4 +4 1 en 4 en 1 en 4 en Geen van de mogelijke gehele getallen heeft als som. b f ( 0) 0 + 4 0 + 4 = 4 c x x x( x ) x of x x of x = d Bij de symmetrieas hoort x = 1. e Invullen van x = 1 geeft f ( 1) = 1 1 + 4 = 1 + 4 = 3. De coördinaten van de top zijn (1, 3). + +4 4 3
14a Het functievoorschrift kan niet ontbonden worden. Invullen van x geeft f ( 0) 7 0 + 3 0 + 3 = 3. Oplossen van x 7x + 3 = 3 geeft x 7x x( x 7) x of x = 7 De x-waarde van de symmetrieas is x = 3,. Invullen van x = 3, geeft f ( 3, ) = 3, 7 3, + 3 = 1, 4, + 3 = 9,. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (3,; 9,). b Oplossen van x + 4x geeft ( x 1)( x + ) x 1 of x + x = 1 of x = De x-waarde van de symmetrieas is x =. Invullen van x = geeft h( ) = ( ) + 4 = 4 8 = 9. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (, 9). c Het functievoorschrift kan niet ontbonden worden. Invullen van x geeft k( 0), 0 + 8 0 + 0 =. Oplossen van 0, x + 8x = geeft 0, x + 8x 0, x( x + 16) 0, x of x + 16 x of x = 16 De x-waarde van de symmetrieas is x = 8. Invullen van x = 8 geeft k( 8), ( 8) + 8 8 = 3 64 = 34. De coördinaten van de top van de grafiek zijn ( 8, 34). 1a Lijn m valt af, want bij de formule y = 4 hoort een horizontale lijn. De parabool bij de formule y = x + 3x + 4 snijdt de y-as in het punt (0, 4). Door dat punt gaat ook lijn l. Lijn l hoort bij de formule y = 4. b Vergelijking 1 hoort bij situatie D, vergelijking hoort bij situatie C, vergelijking 3 hoort bij situatie A en vergelijking 4 hoort bij situatie B. c A x + 3x + 4 = 6 C x + 3x + 4 = 4 x + 3x x + 3x x 3x + ( x 1)( x ) x 1 of x x( x 3) x of x 3 x of x = 3 x = 1 of x = B x + 3x + 4 D x + 3x + 4 = x 1 x 3x 4 ( x 4)( x + 1) x 4 of x + 1 x = 4 of x = 1 x + 4x + x 4x ( x )( x + 1) x of x + 1 x = of x = 1 d Met de vergelijkingen A, B en C vind je twee punten op dezelfde hoogte en daar midden tussen ligt de symmetrieas. Bij vergelijking D is dat niet het geval. Met vergelijking D is het niet mogelijk om de coördinaten van de top te berekenen. Hoofdstuk - Kwadratische functies 33
Hoofdstuk - Kwadratische functies e De x-waarde van de symmetrieas is x = 1,. Invullen van x = 1, geeft y = 1, + 3 1, + 4 =, + 4, + 4 = 6,. De coördinaten van de top van de parabool zijn (1,; 6,). -3 Parabolen tekenen 16a x 0,6 0,4 0, 0 0, 0,4 0,6 b c y 0,36 0,16 0,04 0 0,04 0,16 0,36 y 0,4 0,3 0, 0,1 y = x 0,6 0, 0,4 0,3 0, 0,1 O 0,1 0, 0,3 0,4 0, 0,1 y 0,1 0,6 0, 0,4 0,3 0, 0,1 O 0,1 0, 0,3 0,4 0, 0,1 0, 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 y = x 17a In zijn grafiek kun je niet goed aflezen waar de symmetrieas en de top van de parabool liggen. b De grafiek van g is een bergparabool. c Invullen van x geeft g( 0) = 0 19 0 18 = 0 0 18 = 18. Oplossen van x 19x 18 = 18 geeft x 19x x( x + 19) x of x + 19 x of x = 19 De x-waarde van de symmetrieas is x = 9,. Invullen van x = 9, geeft g( 9, ) = ( 9, ) 19 9, 18 = 90, + 180, 18 = 7,. De coördinaten van de top van de grafiek zijn ( 9,; 7,). d De coördinaten van het eerste snijpunt met de x-as zijn ( 1, 0), want g( 1) = ( 1) 19 1 18 = 1+ 19 18. Vanaf x = 1 naar x = 9, moet je 8, naar links. Voor het andere snijpunt van de grafiek met de x-as moet je vanaf x = 9, weer 8, naar links. De coördinaten van het andere snijpunt van de grafiek met de x-as zijn ( 18, 0). x 0,6 x 0,6 e x 13 1 11 10 9 8 7 6 y 60 66 70 7 7 70 66 60 34
f 18 16 14 1 10 8 6 4 O 10 y = x 19x 18 y 80 18a x 0 1 3 4 6 7 y 3 3 7 9 9 7 3 3 y 4 1 O 1 3 4 6 f(x) = x 7x + 3 4 6 8 10 70 60 0 40 30 0 10 x x 7 8 b x 6 4 3 1 0 1 y 7 0 8 9 8 0 7 7 6 h(x) = x + 4x y 8 4 3 1 O 1 x 3 6 4 4 6 8 10 c x 1 11 10 9 8 7 6 4 y 6 9, 3 33, 34 33, 3 9, 6 y 18 16 14 1 10 8 6 4 O x k(x),x + x 10 1 0 30 3 40 Hoofdstuk - Kwadratische functies 3
Hoofdstuk - Kwadratische functies 19a De grafiek van k is een bergparabool. b x + 6 of x 8 x = 6 of x = 8 c Invullen van x geeft k( 0) = ( 0 + 6)( 0 8) = 6 8 = 96. De coördinaten van het snijpunt van de parabool met de y-as zijn (0, 96). d De x-waarde van de symmetrieas is x = 1. Invullen van x = 1 geeft k( 1) = ( 1 + 6)( 1 8) = 7 7 = 98. De coördinaten van de top zijn (1, 98). e Een goede indeling is bijvoorbeeld de x-as van 10 tot 10 met een stapgrootte van en de y-as van 0 tot 100 met een stapgrootte van 10. 0a ( x + x 0) ( x + )( x 4) x + of x 4 x = of x = 4 De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as zijn (, 0) en (4, 0). b A 3( x 4x 1) 3( x + )( x 6) x + of x 6 x = of x = 6 De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van g met de x-as zijn (, 0) en (6, 0). B 10( x x 6) 10( x + 1)( x 6) x + 1 of x 6 x = 1 of x = 6 De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van h met de x-as zijn ( 1, 0) en (6, 0). C 0, ( x + 6x 7) 0, ( x + 7)( x 1) x + 7 of x 1 x = 7 of x = 1 De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van k met de x-as zijn ( 7, 0) en (1, 0). 1a x 0 1 3 4 y 7 80 7 60 3 0 h 90 80 70 60 0 40 30 0 10 h = t + 10t + 7 0 0 1 3 4 6 7 8 t 36
b Op het moment dat Martijn gooit is de bal 0 + 10 0 + 7 + 0 + 7 = 7 meter boven de grond. c t + 10t + 7 = 7 t + 10t t( t ) t of t t of t = Na seconden is de bal weer op dezelfde hoogte als waar Martijn staat. d De t-waarde van de symmetrieas is t = 1. Invullen van t = 1 geeft h = 1 + 10 1 + 7 = + 10 + 7 = 80. De grootste hoogte die de bal bereik is 80 meter. e t + 10t + 7 ( t t 1) ( t + 3)( t ) t + 3 of t t = 3 of t = Na seconden komt de bal op de grond terecht. a Parabool 4 heeft één snijpunt met de lijn y =. b Bij parabool 1 hoort een kwadratische functie met alleen positieve waarden als bereik. c Parabool en parabool 3 hebben snijpunten met de x-as. d Parabool 3 hoort bij de formule y = x +. e Bij parabool 1 hoort de formule y = x + 3, bij parabool hoort de formule y = x 1 en bij parabool 4 hoort de formule y = x. -4 De vorm van de parabool 3a Aan de formule zie je direct dat het hoogste punt van de boog bij x hoort. Het hoogste punt van de tunnelboog is meter. b Invullen van x = geeft h = 0, 4 + = 1, 6 + = 3, 4. Op meter van de middenstreep is de tunnelboog 3,4 meter hoog en de vrachtwagen 3, meter. Nee, de vrachtwagen kan niet onder de tunnel door. c Invullen van x = en h = 4 geeft 4 = a + oftewel 4 = 4a +, dus 4a = 1 en a = 0,. d 0, 4x + 0, 4x = x = 1, x = 1, of x = 1, De breedte van de weg in de tunnel is 1, 7, 07 meter. 0, x + 0, x = x x of x = 0 De breedte van de weg in de nieuwe tunnel is 0 8, 94 meter. De weg in de nieuwe tunnel wordt 0 1, 1, 87 meter breder. Hoofdstuk - Kwadratische functies 37
4a Hoofdstuk - Kwadratische functies y 1 a = 3 10 8 6 4 a = 1 4 3 1 O 1 3 4 x a = 1 4 6 a = a = 8 1 a = b Bij de smalste grafiek hoort a = 3. c Bij de breedste grafiek hoort a = 1. d Zie de tekening hierboven. e Als er een positief getal voor de x staat is er sprake van een dalparabool. Als er een negatief getal voor de x staat is er sprake van een bergparabool. a Bij grafiek 1 hoort het functievoorschrift k( x) = x 4, bij grafiek hoort het functievoorschrift k( x) = x 4 en bij grafiek 3 hoort het functievoorschrift k( x) = 1 x 4. b k( x) = 3x 4 c De grafiek bij a is een horizontale rechte lijn met als functievoorschrift k( x) x 4 oftewel k( x) = 4. 6a y 10 9 8 7 6 4 3 1 4 3 1 O 1 3 4 x 1 c = 3 3 4 c = 4 c = 1 b Voor c = 4 zijn de coördinaten van de top (0, 4), voor c = 3 zijn de coördinaten van de top (0, 3) en voor c = 1 zijn de coördinaten van de top (0, 1). 1 c De coördinaten van de top van de grafiek van h( x) = x + c zijn (0, c). d De top van de grafiek ligt voor c op de x-as. e De grafiek raakt voor c = 6, aan de lijn y = 6,. 38
7a Bij de functie f hoort parabool 1. b Bij de functie g hoort parabool 3. c Bij de functie h hoort parabool. d Bij de functie j hoort parabool. e Bij de functie k hoort parabool 6. f Bij de functie l hoort parabool 4. 8a Invullen van x geeft g( 0) 6 0 0. b g( x) = x( x 6) x( x 6) x of x 6 x of x = 6 De coördinaten van het andere snijpunt met de x-as zijn (6, 0). c Bij de symmetrieas hoort de formule x = 3. d Invullen van x = 3 geeft g( 3) = 3 6 3 = 9 18 = 9. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (3, 9). 9a x 8x x( x 4) x of x 4 x of x = 4 De grafiek van de functie f ( x) = x 8x snijdt de x-as in de punten (0, 0) en (4, 0). b Invullen van x geeft f ( 0) = 0 8 0 0. De grafiek van de functie f ( x) = x 8x snijdt de y-as in het punt (0, 0). c A x 8 x = 8 x = 4 x = of x = De grafiek van de functie g( x) = x 8 snijdt de x-as in de punten (, 0) en (, 0). De grafiek van de functie g( x) = x 8 snijdt de y-as in het punt (0, 8). B De grafiek van de functie h( x) = x + 6 x snijdt de x-as in de punten (0, 0) en ( 6, 0). Invullen van x geeft h( 0) + 6 0 0. De grafiek van de functie h( x) = x + 6 x snijdt de y-as in het punt (0, 0). C 0, x + 3 0, x = 3 x = 6 De grafiek van de functie k( x), x + 3 snijdt de x-as niet. Invullen van x geeft k( 0), 0 + 3 + 3 = 3. De grafiek van de functie k( x), x + 3 snijdt de y-as in het punt (0, 3). Hoofdstuk - Kwadratische functies 39
Hoofdstuk - Kwadratische functies - Gemengde opdrachten 30a De kogel is 0, 04 18 + 0, 64 18 + 1, = 1, 96 + 11, + 1,, 06 meter hoog voor a = 18. De kogel is 0, 04 18, + 0, 64 18, + 1, = 13, 69 + 11, 48 + 1, = 0, 3 meter hoog voor a = 18,. b Na 18 meter bevindt de kogel zich nog 0,06 meter oftewel 6 cm boven de grond. Na 18, meter zou de kogel zich 0,3 meter boven de grond oftewel 3 cm onder de grond bevinden. Dit betekent dat de kogel tussen de 18 meter en de 18, meter ver komt. c Invullen van a geeft h = 0, 04 0 + 0, 64 0 + 1, + 0 + 1, = 1,. d 0, 04a + 0, 64a + 1, = 1, 0, 04a + 0, 64a 0, 04a( a 16) 0, 04a of a 16 a of a = 16 Bij een afstand van 16 meter tot de kogelstoter is de hoogte weer 1, meter. e Voor a = 8 is de hoogte maximaal. De maximale hoogte van de kogel is 0, 04 8 + 0, 64 8 + 1, =, 6 +, 1 + 1, = 4, 06 meter. 31a De grafiek bij de functie g is een dalparabool, de grafiek bij de functie h is een bergparabool en de grafiek bij de functie k is een dalparabool. b 0, x 6 0, x = 6 x = 1 x = 1 of x = 1 De coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool bij de functie g zijn ( 1, 0 ) en ( 1, 0 ). 4 x x = 4 x = x = of x = De coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool bij de functie h zijn (, 0 ) en (, 0 ). De coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool bij de functie k zijn (0, 0) en (4, 0). c De coördinaten van de top van de parabool bij de functie g zijn (0, 6). De coördinaten van de top van de parabool bij de functie h zijn (0, 4). De symmetrieas van de parabool bij de functie k ligt bij x =. Invullen van x = geeft k( ) = 4 = 4 8 = 4. De coördinaten van de top zijn (, 4). 40
d y 1 10 h 4 3 1 O 1 3 4 x 6 k g 8 6 4 4 6 8 e De drie parabolen snijden elkaar in het punt (, 4). 3a Bij a is h = 0, 0 0 + 1, 0 4 = 4. Aan het begin van de brug, dus bij punt P, ligt de boog 4 meter onder het wegdek. b Niet alleen bij punt P, maar ook bij punt Q ligt de boog 4 meter onder het wegdek. De oplossingen van de vergelijking geven de afstand van punt O tot punt P weer. Eén van de oplossingen is 0 en de andere oplossing is de afstand van punt P tot punt Q en dat is de lengte van de brug. c 0, 0a + 1, a 4 = 4 0, 0a + 1, a 0, 0a( a 4) 0, 0a of a 4 a of a = 4 d De afstand van punt P tot punt Q is 4 meter. e Het hoogste punt bevindt zich bij a = 1. Invullen van a = 1 geeft h = 0, 0 1 + 1, 1 4 = 7, + 14, 4 4 = 3,. Het hoogste punt van de boog ligt 3, meter boven het wegdek. f Zowel bij punt A als bij punt B is de hoogte van de boog boven het wegdek 0 meter. g 0, 0a + 1, a 4 a 4a + 80 ( a 4)( a 0) a 4 of a 0 a = 4 of a De afstand van punt A tot punt B is 0 4 = 16 meter. 33a Invullen van x geeft h, 01 0 0, 0 + 1, + 0 + 1, = 1,. De hoogte OA van de rand van het waterbekken is 1, meter. b 0, 01x 0, x + 1, = 1, 0, 01x 0, x 0, 01x( x 0) 0, 01x of x 0 x of x De middellijn AB van het waterbekken is 0 meter. c De straal van het waterbekken is 10 meter. Het wateroppervlak als het water tot de rand staat is π 10 314 m. d Invullen van x = 10 geeft h, 01 10 0, 10 + 1, = 1 + 1,,. In het midden is het waterbekken 1, 0, = 1 meter diep. Hoofdstuk - Kwadratische functies 41
Hoofdstuk - Kwadratische functies 34a Hij maakt dan 4, + 0 4, 4 = 101, + 4 = 78, 7 euro winst. b Bij een prijs van e 7,- maakt hij 7 + 0 7 4 = 4 + 30 4 = 60 euro winst. Hij maakt dan 78, 7 60 = 18, 7 euro minder winst. c Bij een prijs van e 4,- maakt hij 4 + 0 4 4 = 80 + 00 4 = 7 euro winst. Bij een prijs van e 6,- maakt hij ook 6 + 0 6 4 = 180 + 300 4 = 7 euro winst. d W in euro s 100 80 60 40 0 0 0 40 60 80 100 1 3 4 6 7 8 9 10 11 1 p in euro s W = p + 0p 4 e Bij een prijs van e,- krijgt hij de grootst mogelijke winst. Die winst is dan + 0 4 = 1 + 0 4 = 80 euro. f p + 0 p 4 = 60 p + 0 p 10 p 10 p + 1 ( p 3)( p 7) p 3 of p 7 p = 3 of p = 7 Hij moet dan een prijs voor een riem rekenen die tussen e 3,- en e 7,- in ligt. 3a Bij de functie f hoort parabool. b Bij de functie g hoort parabool 3. c Bij de functie h hoort parabool 4. d Bij de functie i hoort parabool. e Bij de functie j hoort parabool 1. fi ICT De vorm van de parabool I-1a Aan de formule zie je direct dat het hoogste punt van de boog bij x hoort. Het hoogste punt van de tunnelboog is meter. b Invullen van x = geeft h = 0, 4 + = 1, 6 + = 3, 4. Op meter van de middenstreep is de tunnelboog 3,4 meter hoog en de vrachtwagen 3, meter. Nee, de vrachtwagen kan niet onder de tunnel door. c Invullen van x = en h = 4 geeft 4 = a + oftewel 4 = 4a +, dus 4a = 1 en a = 0,. 4
d 0, 4x + 0, 4x = x = 1, x = 1, of x = 1, De breedte van de weg in de tunnel is 1, 7, 07 meter. 0, x + 0, x = x x of x = 0 De breedte van de weg in de nieuwe tunnel is 0 8, 94 meter. De weg in de nieuwe tunnel wordt 0 1, 1, 87 meter breder. I-a De waarde van de parameter voor deze parabool is. b - c Bij de smalste grafiek hoort a = 3. d Bij de breedste grafiek hoort a = 1. e - f Als er een positief getal voor de x staat is er sprake van een dalparabool. Als er een negatief getal voor de x staat is er sprake van een bergparabool. I-3a Bij parabool 1 hoort a = en de formule y = x 4, bij parabool hoort a = 1 en de formule y = x 4 en bij parabool 3 hoort a = 1 1 en de formule y = x 4. b De grafiek bij a is een horizontale rechte lijn met als formule y x 4 oftewel y = 4. c Voor a = en voor a = krijg je de smalste grafiek. d Voor a < 0 krijg je de een bergparabool. e Alle parabolen gaan door het punt (0, 4). I-4a Voor de grafiek die je ziet geldt c = 1. b De coördinaten van de toppen van de vijf grafieken zijn van onder naar boven (0, 1), (0, 0), (0, 1), (0, ) en (0, 3). c De coördinaten van de top van de grafiek van y = 1 x + c zijn (0, c). d De top van de grafiek ligt voor c op de x-as. e De grafiek raakt voor c = 6, aan de lijn y = 6,. I-a Bij de functie f hoort parabool 1. d Bij de functie j hoort parabool. b Bij de functie g hoort parabool 3. e Bij de functie k hoort parabool 6. c Bij de functie h hoort parabool. f Bij de functie l hoort parabool 4. I-6a Invullen van x geeft y 6 0 0. b y = x( x 6) x( x 6) x of x 6 x of x = 6 De coördinaten van het andere snijpunt met de x-as zijn (6, 0). c De formule wordt dan y = x 4, x. d De formule wordt dan y = x + 8 x. Hoofdstuk - Kwadratische functies 43
Hoofdstuk - Kwadratische functies I-7a Alle grafieken gaan door het punt (0, 0). b x + bx x( x + b) x of x + b x of x = b De grafiek heeft altijd twee snijpunten met de x-as, namelijk (0, 0) en ( b, 0), behalve als geldt b, want dan vallen de twee snijpunten samen en is er maar één snijpunt. c Voor b = 3 1 1 gaat de parabool door het punt ( 3, 0). d Nee, want invullen van x geeft y + b 0 oftewel y. e Voor b = 4 ligt de top van de grafiek bij (, 4). f x + bx x( x b) x of x b x of x = b De coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn (0, 0) en (b, 0). I-8 1 y = 4x y = x + 3 y = x 4 y = 0, x y = 3x 4 Test jezelf 6 y = x +, 7 y = x + 4 x 8 y = x x 9 y = x 1 10 y = x + 6x T-1a De grafiek is een dalparabool. d De grafiek is een dalparabool. b De grafiek is een bergparabool. e De grafiek is een dalparabool. c De grafiek is een dalparabool. f De grafiek is een bergparabool. T-a x 11x + 18 ( x )( x 9) x of x 9 x = of x = 9 De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (, 0) en (9, 0). b Bij de symmetrieas hoort x =,. c Invullen van x geeft g( 0) 11 0 + 18 0 + 18 = 18. De grafiek snijdt de y-as in het punt (0, 18). d x 11x + 18 = 18 x 11x x( x 11) x of x 11 x of x = 11 De symmetrieas x =, ligt in het midden. e Invullen van x =, geeft g(, ) =, 11, + 18 = 30, 60, + 18 = 1,. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (,; 1,). 44
T-3a x x + 6 x + x 6 ( x + 3)( x ) x + 3 of x x = 3 of x = De grafiek van f snijdt de x-as in de punten ( 3, 0) en (, 0) 1 x + x 6 x + 4x 1 ( x + 6)( x ) x + 6 of x x = 6 of x = De grafiek van g snijdt de x-as in de punten ( 6, 0) en (, 0). b De symmetrieas van de grafiek van f ligt bij x = 0,. Invullen van x = 0, geeft f ( 0, ) = ( 0, ) 0, + 6 = 0, + 0, + 6 = 6,. De coördinaten van de top van de grafiek van f zijn ( 0,; 6,). De symmetrieas van de grafiek van g ligt bij x =. 1 Invullen van x = geeft g( ) = ( ) + 6 = 4 6 = 8. De coördinaten van de top van de grafiek van g zijn (, 8). c x 7 6 4 3 1 O 1 3 1 g f y 7 6 4 3 1 3 4 6 7 8 9 T-4a Bij grafiek is de waarde van a positief, bij grafiek 3 is de waarde van a negatief, bij grafiek 4 is de waarde van a negatief en bij grafiek is de waarde van a positief. b Bij grafiek heeft het functievoorschrift dezelfde waarde van a. c Bij grafiek 3 is a = 1. d Bij grafiek 4 is de waarde van a kleiner dan de waarde van a bij grafiek 3. Hoofdstuk - Kwadratische functies 4
Hoofdstuk - Kwadratische functies T-a Invullen van a geeft h = ( 0 3) + 64 = 9 + 64 =. De rots is meter hoog. b ( a 3) + 64 = ( a 3) = 9 ( a 3) = 9 a 3 = 3 of a 3 = 3 a = 6 of a De symmetrieas ligt bij a = 3. Invullen van a = 3 geeft h = ( 3 3) + 64 + 64 = 64. De steen komt 64 meter hoog. c ( a 3) + 64 ( a 3) = 64 ( a 3) = 64 a 3 = 8 of a 3 = 8 a = 11 of a = (voldoet niet) De steen komt op 11 meter vanaf de voet van de rots op de grond. T-6a De coördinaten van de top van de grafiek van f zijn (0, 9). b ( x 3)( 3x + 9) x 3 of 3x + 9 x = 3 of 3x = 9 x = 3 of x = 3 De symmetrieas ligt bij x. Invullen van x geeft g( 0) = ( 0 3)( 3 0 + 9) = 3 9 = 7. De coördinaten van de top van de grafiek van g zijn (0, 7). c De coördinaten van de top van de grafiek van h zijn (0, 1). d 4x( x) 4x of x x of x = De symmetrieas ligt bij x = 1. Invullen van x = 1 geeft k( 1) = 8 1 4 1 = 8 4 = 4. De coördinaten van de top van de grafiek van k zijn (1, 4). e ( x )( x + 3) x of x + 3 x = of x = 3 De symmetrieas ligt bij x = 1. Invullen van x = 1 geeft l( 1) = 1 1 1 = 1 1 = 16. De coördinaten van de top van de grafiek van l zijn (1, 16). f x( x + 10) x of x + 10 x of x = 10 De symmetrieas ligt bij x =. Invullen van x = geeft m( ) = ( ) + 10 = 0 =. De coördinaten van de top van de grafiek van m zijn (, ). 46
T-7a Invullen van a geeft h, 01 0 1, 0 + 46 0 + 46 = 46. De hoogte van de linker toren is 46 meter. b De vergelijking levert de snijpunten van de parabool met h = 46 op. c 0, 01a 1, a 0, 01a( a 10) 0, 01a of a 10 a of a = 10 De afstand tussen de twee torens is 10 meter. d Voor a = 60 is de afstand tussen de kabel en het wegdek het kleinst. e Invullen van a = 60 geeft h, 01 60 1, 60 + 46 = 36 7 + 46 = 10. Die afstand is 10 meter. Hoofdstuk - Kwadratische functies 47