Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt () = t ( t+ ) c y= x ( x + ) d p= q ( q ) e 8 gx () = 9x ( + 0x ) f K = 8p( 7p ) V-a x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = b t 8t = 0 tt ( + ) = 0 t = 0 of t + = 0 t = 0 of t = c x + x = 0 x ( + x) = 0 x = 0 of + x = 0 x = 0 of x = d v + v= 8v v + v= 0 v( v+ ) = 0 v= 0 of v+ = 0 v= 0 of v = e u = u u u = 0 u ( u 9) = 0 u = 0 of u 9 u= 0 of u = bladzijde V-a y= x + 8x + product getallen som, 7, 8 OK y= ( x+ )( x + ) b fx ()= x + 00x+ 900 product getallen som 900 0, 0 0 900 00, 9 09 900 90, 0 00 OK y= ( x+ 0)( x + 90) c Nt ()= t t+ 00 product getallen som 00, 0 OK Nt () = ( t )( t 0) 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d Qp ( )= p + p+ product getallen som, OK qp ( ) = ( p + ) e. fx ()= + x + x= x + x+ product getallen som, OK fx () = ( x +) f hp ( )= p + 0 + p= p + p+ 0 product getallen som 0, 0 OK hp ( ) = ( p+ )( p+ 0) g k = 8m+ m = m 8m + product getallen som, 8, 8 OK k = ( m )( m ) h gx ()= x x+ product getallen som OK gx () = ( x )( x ) V-a hx () = xx ( ) + x 9= x x+ x 9= x 9= ( x )( x + ) b Nt () = t + 8t 0= ( t+ 0)( t ) c W = q 0( q+ ) = q 0q 00 = ( q 0)( q + 0) d kx () = x( x) = x+ x = x x = ( x )( x+ ) V-a xx ( + ) + = 0 x + x+ = 0 ( x+ )( x+ ) = 0 x = of x = b p + = ( p+ ) p + = p+ 8 p p = 0 ( p 8)( p+ ) = 0 p= of p= 8 c xx ( + ) = ( x+ ) x + x = x+ x + x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = d t ( t ) + = 0 t t + + = 0 t t + 7= 0 ( t )( t 9) t = of t = 9. Oplossen met de rekenmachine bladzijde a Voer in je GR in Y X^ X+, = en kies de vensterinstellingen zoals aangegeven. Met toets GRAPH krijg je: 0
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b Via de toets CALC met optie zero vind je de nulpunten met coördinaten van ongeveer (, ; 0), (0,; 0) en (,; 0). c Via de toets CALC en de optie maximum vind je een maximum van ongeveer ( 0, 88;,). Via CALC en optie minimum vind je bij benadering de coördinaten van het minimum, namelijk (, 088; 0, ). a Je moet de Xmax in je vensterinstelling wat groter nemen, bijvoorbeeld gelijk aan 0, dan zie je dat er nog een derde nulpunt is. b Voer in je GR in Y= 0, X^ X X en neem als vensterinstelling bijvoorbeeld 0 X 0 en 0 Y 0, dan krijg je met de toets GRAPH c Via de toets CALC met optie zero vind je de nulpunten met coördinaten (, 79; 0), (0, 0)en(,79; 0). De x-coördinaten van het eerste en het derde nulpunt zijn afgerond. Via de toets CALC en de optie maximum vind je een maximum van ongeveer ( 0, 9;,8). Via CALC en optie minimum vind je bij benadering de coördinaten van het minimum, namelijk ( 0, 9;, 8). bladzijde 7 a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = X + X 7 en vensterinstelling 0 X, 0 Y 0. Met optie zero vind je de nulpunten x, en x, en via optie minimum vind je top (, ) b Gegeven is de functie Nt ()= 00t 0t. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 00X 0X en vensterinstelling X, 00 Y 00. Met optie zero vind je de nulpunten t = 0,, t = 0en t = 0, en via optie maximum en minimum vind je toppen ( 09, ; 9,) en ( 0, 9; 9,)
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c Gegeven is de functie hq ( ) = 000,. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 000 *, ^ X en vensterinstelling 0 X 0, 00 Y 00. q Met optie zero vind je het nulpunt q,. De functie heeft geen enkele top. d Gegeven is de functie Ap ( ) = 8 8, p+ p. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 8 ( 8, X+X ) en vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 0. Met optie zero vind je de nulpunten p, 7 en p 0, 0 en via optie maximum vind je top (, ;,). a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = * 08, ^ XenY = en vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 0. Met optie intersect vind je de x-coördinaat van het snijpunt: x 80, b Verander Y = in Y = en de Ymax van je vensterinstelling in 0. Met optie intersect vind je de x-coördinaat van het snijpunt: x 9,. a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = ( X- )^eny = X+ 0 en vensterinstelling X, 0 Y 0. Met optie intersect vind je x,.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b Voer in Y = / XenY = X + en kies bijvoorbeeld vensterinstelling X, Y 0. Met optie intersect vind je x 0,. c Invoer: Y = XenY = 0, X+ en kies bijvoorbeeld vensterinstelling X, 0 Y 0. Met optie intersect vind je x 0, en x 87,. d Voer in Y = X^- X + X en kies bijvoorbeeld vensterinstelling 0 X 0, 00 Y 00. Via de toets GRAPH krijg je dan: Met optie zero vind je x, ; x 0, 09; x, en x, 7. De verticale asymptoot van f is x = en niet x = 0 (de y-as). Leon heeft bij het intoetsen in zijn GR de haakjes om X vergeten.. Oplossen met algebra bladzijde 8 7a x+ 0 = x+ 7x = x = = 7 7 b x 0 = x+ x 0 = x+ 7x = x = = 8a x+ ( x ) = ( x+ ) x+ x = x 7x = x 8x = x = b x = ( x+ ) x = x+ 8 ( x ) = 8 ( x+ ) x = 8 7 8x+ x = 7 x = x = c x + = x = 7x x = x = of x = d 7 p= 8 ( p) 7 p= 8 0+ p 7 p= + p 9 p= 9 p= = 7 8 7 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine 9 fx () = gx () x+ 7= x+ = 7x x =. De y-coördinaat vind 7 je door de gevonden waarde van x in een van de functievoorschriften, dus f( ) = + 7 = 7 7. Het snijpunt is dus ( ; ) 7 7 7 0a p + 8p+ 7= 0 ( p+ )( p+ 7) = 0 p+ = 0 of p+ 7= 0 p = of p = 7 b y 9y+ = 0 ( y )( y 7) = 0 y = 0 of y 7 = 0 y= of y= 7 c x 0x+ = 0 ( x )( x 7) = 0 x = 0 of x 7= 0 x = of x = 7 d m 0m = 0 ( m+ )( m ) = 0 m+ = 0 of m = 0 m= of m= a Omdat de discriminant D= b ac = 0 = 8 niet het kwadraat van een geheel of gebroken getal is, is de ontbinding niet simpel. b a=, b= 0, c = c x = b + D of x b D x a = a = 0 + 8 of x = 0 8 x= + 8 of x= 8 bladzijde 9 a x + x 8x = 0 x( x + x 8) = 0 xx ( )( x+ ) x = 0 of x = of x = b x x = x x = 0 ; ontbinden lukt niet dus gebruik van de abc-formule met a =, b=, c = D= ( ) = 0 x = + 0 x = 0 x = + of 0 of x = 0 c 9 9 0 7 7 0 7 0 7 x + x+ = ( x+ )( x+ ) = x+ = x = = ; als het jou hier niet lukt om te ontbinden, dan kun je altijd nog de abc-formule gebruiken d x = x x + x = 0; ontbinden lukt niet dus gebruik van de abc-formule met a=, b=, c= D= = 8 x = + 8 x = 8 x = + of 8 of x = 8 e 0 xx ( ) = x x = ( x x ) = 0 x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = f ( x+ )( x ) = 0 x+ = 0 of x = 0 x = of x = g ( x+ )( x ) = 7 x 7x = 7 x 7x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = of x = h 8x x = 0 x ( x ) = 0 x ( + x)( x) = 0 x = 0 of + x = 0 of x = 0 x = 0 of x = of x = a Gegeven de functie fx ()= x + x 8. Exacte nulpunten vind je door te stellen fx ()= 0. Dus x + x 8 = 0 ( x+ )( x ) = 0 x = of x = b x + x 8 = x + x = 0; ontbinden lukt hier niet dus gebruik van de abcformule met a =, b=, c = D= = x = + x = of x = + of x =
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine a q = + 80 =, uitgedrukt in duizendtallen; totale opbrengst is dan pq = = in duizenden euro s b De totale opbrengst is euro s is gelijk aan 000q p= 000 ( p+ 80) p= 000( p + 80p). Dus de totale opbrengst in duizenden euro s TO = p + 80p c p + 80p= 700 p 80p + 700 = 0 ontbinden lukt hier niet zo gemakkelijk dus gebruik je de abc-formule met a=, b= 80, c= 700 D= 80 700 = 0000 p= 80 + 00 of p= 80 00 p= of p= 0. Er zijn dus oplossingen. d TK = q + 000 en q= p+ 80. Substitutie geeft TK = ( p+ 80) + 000 = 9p+ 0 + 000 = 9p + 70 e TO = TK p + 80p= 9p+ 70 p + 9p 70 = 0 p 9p+ 70 = 0 ontbinden lukt hier niet dus gebruik van de abcformule met a=, b= 9, c= 70 D= ( 9) 70 = p= 9 + of p= 9 p = 8 + of p = 8 ( p 8, of p 88, ). Bereken of bereken exact bladzijde 0 Uitbreiding van dezelfde tabel naar de negatieve kant geeft: x, is dus een andere oplossing Voer in je GR in Y = 0, X^ + X en Y = X. Als je als venster X en Y 0 kiest, krijg je de twee snijpunten in beeld. 7a x 0x = x 0x = 0 ( x+ )( x ) = 0 x = of x = b ( x+ )( x ) = 8 x = 8 x = x = of x = c x( x ) = x + x x = x + x x = 0 ( x )( x+) = 0 x = 0 of x+ = 0 x = of x = d y( y ) = ( y+ )( y ) y y= y y y + = 0 ;omdat de discriminant D= b ac = = < 0, er is dus geen oplossing 8a x x 9 x x 7x 9 x 7x x 9 = + = ( )( + ) = = 0 ; ontbinden lukt hier niet dus gebruik je de abc-formule met a=, b= 7, c= D= 7 7= x= 7 + x= 7 x = + of of x =
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b tt ( ) = t t = 0 ( t )( t + ) = 0 t = of t = c Hier ben je gedwongen om je rekenmachine te gebruiken. Voer in je GR in: Y = X^ 9X^ XenY= 8X en kies bijvoorbeeld als venster X, 0 Y 0 dan krijg je: Met intersect krijg je de oplossingen x, 9 of x 0, of x, 9 Steven zou het tussenresultaat x= + of x= moeten uitwerken naar x = + of. Dat is het exacte antwoord. De benaderingen die hij geeft horen niet bij een exacte oplossing. bladzijde 0a Als je naar een zijde van het grote vierkant kijkt zie je dat de 0 cm is opgedeeld in x cm en de breedte van een arm van het kruis. Voor die breedte blijft dus 0 x cm over. b K = x( 0 x) = 0x 8x, dit is het aantal armen () maal de oppervlakte van één van de armen ( x( 0 x) ) c Het gele gedeelte bestaat uit vierkanten aan de hoekpunten van het grote vierkant, elk ter grootte x x= x en een vierkant in het midden ter grootte ( 0 x) ( 0 x) = 0 x ). In totaal is dat dus W = x + ( 0 x). d K+ W = ( 0x 8x + ( ) x + ( 0 x) )=( 0x 8x ) + ( x + 00 0x + x ) = ( 0x 8x ) + ( 8x + 00 0x) = 00 e K = W 0x 8x = x + ( 0 x) 0x 8x = 8x 0x+ 00 x 80x+ 00 = 0 ( x 0x+ ) = 0 x 0x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = 0 x = f W = K 8x 0x+ 00 = ( 0x 8x ) 8x 0x+ 00 = 0x x. Deze vergelijking los je op via de GR. Voer in Y = 8X 0X+ 00 en Y = 0X X en neem als vensterinstelling 0 X, 0 Y 00 dan verschijnt via de toets GRAPH: Met intersect vind je de x-waarden van ongeveer 0, en, a Toyota: K = 00 + 09, a Renault: K = 00 + 0, a Vergeet dus niet de vaste weekbedragen met te vermenigvuldigen.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 00 + 09, X eny= 00 + 0, X en vensterinstelling 0 X 000, 0 Y 00. Met optie intersect vind je de gezochte waarde van a, die je vervolgens afrondt op tientallen:, 0 (km). c 00 + 09, = 00 + 0, a 0, 0a = 00 a = 0000 a = d Waarschijnlijk zullen Els en Willeke op hele km worden afgerekend. Het exacte antwoord bij onderdeel c heeft daarom weinig betekenis. Op basis van het geschatte aantal te rijden km willen Els en Willeke een huurauto kiezen. Die schatting is natuurlijk globaal en het antwoord bij onderdeel b is daarom zinniger. Overigens kun je dat antwoord natuurlijk ook krijgen door het resultaat van de berekening bij c op geschikte manier af te ronden. a A(, 0), B(, 0 + ) = B( 0, ) en K(, ) ; de oppervlakte van rechthoek OAKB is = 0 b A(, 0), B(, 0 + ) = B( 0, ) de oppervlakte is = c Ax (, 0) B( 0, y) = B(, 0 x+ ) en Ox ( ) = x ( x+ ) = x + x d Domein van O is [ 00, ]; verdedigbaar is overigens dat 0 en 0 niet meedoen omdat er anders geen rechthoek overblijft; in dat geval is het domein 00, e De grafiek van O is een (gedeelte van een) bergparabool, immers a = < 0. Het maximum ligt bij x = b = =, een waarde die in het domein ligt. a De oppervlakte is dan O( ) =.. Ongelijkheden bladzijde a Quickvoice: K = 0 + 0, 07a Teletalk: K =, 8 + 0, a b Voer in je GR in Y = 0 + 0, 07XenY=, 8 + 0, X. Met een vensterinstelling 0 X 00, 0 Y 0 krijg je via toets GRAPH het linkerplaatje Met de toets TRACE en het verplaatsen van de cursor naar het snijpunt krijg je het rechterplaatje en zie je dat bij a 9 belminuten de bedrijven even duur zijn. 7
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c Voor meer dan 00 belminuten is Teletalk zeker het duurst. Je ziet dat door de cursor naar rechts ten opzicht van het snijpunt te bewegen. De header geeft aan over welke grafiek je je beweegt (op het rechterplaatje is dat de lijn van Quickvoice: Y = 0 + 0, 07X ). a fx () = gx () x + x = 7x+ x x = 0 ( x x x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = ) = 0 b De grafiek van f is een dalparabool, voor grote en voor kleine waarden zal de grafiek van f boven die van g uitkomen (grafiek van g is een lijn). Bijbehorende intervallen zijn dus, en, c x + x > 7x + bladzijde a ; 0, 7, b ; ] [, 0 7; c, ; 07, 0, 7;, a Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = X + 8X en Y = X + X en vensterinstelling X, 0 Y 0 : b x + 8x = x + x x + x = 0 x( x ) = 0 x = 0 of x = c De bergparabool hoort bij f, dus is de oplossing 0, 7a b Eerst moet je de vergelijking met gelijkteken oplossen. x + = x = x = of x = De vorm x + hoort bij een bergparabool, dus,, Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = ( X )( X+ ) en Y= X + X + en vensterinstelling X, 0 Y 0 : Exact oplossen van de gelijkheid geeft: ( x )( x+ ) = x + x+ x = x + x+ x x = 0 x= + 9 = x= 9 = of Via de cursor in de plot zie je dat de oplossing van de ongelijkheid, ] [, is. 8
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c x x+ 8 = x+ x x+ ( x x+ ) = 0 ( x )(x ) = 0 x= of x= ; omdat bij x x+ 8 een dalparabool hoort en bij x + een lijn, is de oplossing, 8a Het totale aantal is 000 A. De totale opbrengst in euro s is dan 000A P = 000( P+ 0, ) P = 000( P + 0, P) en de totale opbrengst in duizenden euro s is dan TO = P + 0, P b Voor welke P is TO = P + 0, P > 00. Je lost eerst P + 0, P = 00 op: P + 0, P = 00 P + 0, P 00 = 0 ; je gebruikt nu de abc-formule met a= ; b= 0, ; c = 00. D = 0, 00 =, 0 c P = 0, +, 0 P = 0, 990, 0, of 0, 0 P + 0, P heeft als grafiek een bergparabool, dus is de oplossing: tussen e 9,90 en e 0,0. De tweede decimaal komt overeen met een cent.. Wortelvergelijkingen oplossen bladzijde 9a stap : er is links en rechts door gedeeld; stap : er is links en rechts gekwadrateerd ; stap : er is links en rechts opgeteld b De kromme in de figuur hieronder is de grafiek van f. de grafiek van f komt nergens op niveau ; er is dus geen snijpunt c Na stap heb je x = ; zodra een wortel kan worden getrokken is de uitkomst altijd positief. Je kunt aan deze vergelijking zien dat er geen oplossing is. 0a b c x = x+ x x x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = of x = d Alleen x = is oplossing van de vergelijking x = x. 9
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine bladzijde a x + = x = x = x =, controle OK b + x+ = 0 x+ = x + =, geen oplossing, het heeft geen zin om verder te gaan c + x + = 7 + x = + x = + x = x =, controle OK d x 9 = 0 x 9 = x 9 = x = x = 8, controle OK a x= x x= ( x ) x= x x+ 0= x x+ = 0 ( x )(x ) = 0 x= of x= ; controle: alleen x = is een oplossing; x = valt af b x = x x = x x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = controle: beide oplossingen OK c 9 x x = x x x = ( x ) x x = x x+ 7x x + = ; 0 d abc-formule met D = ( ) 7 = 9 geeft x= + 9 = x= 9 = = of 8 ; 7 bij controle blijkt dat als oplossing afvalt, dus alleen x = voldoet. 7 = = x 9= x x =, controle OK x a [, ] b [, c fx () = gx () x + x+ = x+ x + x+ = x+ x + x+ = 0 x x = 0 ; abc-formule met D = ( ) = geeft x = + = + of = ; de plot laat oplossingen zien, we hoeven niet verder te controleren; oplossing ongelijkheid fx () > gx () is, + d gx () fx () op gebied [, ] [ +, ] a r = 0 + 9, 99, dus ca.,99 cm π b,= O O O + 9 (, ) = + 9 = (, ) 9 O = π (, 9 9 π π π ( ) ),, dus ongeveer 9, cm. c Neen,,, en dus is die straal maar ca. % groter. 99,. Gemengde opdrachten bladzijde a x x = x+ x 7x = 0 ; ontbinden lukt niet, dus je gebruikt de abc-formule met D = ( 7).. = : x = 7 + x = 7 = + of = invullen van deze x-waarden in de lijn y= x+ geeft y = + en y = 0
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine ( ) De coördinaten van de snijpunten zijn dus +, + en (, ) b x x = x x 7x + = 0; je hoeft hier alleen de discriminant uit te rekenen en die te bekijken; D = ( 7) = 7 > 0 en dus zijn er twee snijpunten. a Streepjes tellen leidt tot een poging 0 X 0, 0 Y 0, die meteen raak is. b In de plot is lastig te zien of de grafieken nul, één dan wel twee gemeenschappelijke punten hebben. c 0, x = 0, x, 0, x 0, x+, ; de discriminant is D = ( 0, ) 0,, = 0, 000 > 0, dus er zijn twee gemeenschappelijke punten 7a h( 0) =, ;, cm is iets hoger dan het net b hx () = 0 0, 000x + 0, x+ 8, 0 = 0; de abc-formule met D = 0, 0, 00 80, = 0, 9 geeft 0, + 0, 0, 0, x= = 8, of x= = 00. 0, 00 0, 00 De negatieve waarde vervalt, dus het balletje raakt de tafel 00 cm vanaf de linkerkant, dat is 80 cm gerekend vanaf het net. c Er moet dan ook gelden g( 00) = 0. Omdat ( x 00 ) als factor in het functievoorschrift voorkomt is dat duidelijk. d h( 0) =, 8 ; het balletje is bij de rechterrand op,8 cm hoogte; het midden van het batje van de rechterspeler mag 0 cm hoger of lager worden gehouden, dus tussen,8 cm en,8 cm boven de tafel. bladzijde 7 8a Hieronder een plot met daarnaast de vensterinstelling b :0 uur, dus iets na :0 uur, lijkt een goede schatting. c Kies Y = 7( X 0)^ + 8( X 0)^ + 00 (dus t = X 0 substitueren) en dezelfde vensterinstelling, dan zie je dat het model aardig klopt met de meetgegevens. d Voer in je GR nu in Y = 0. Via intersect krijg je x 0, 97 en x, 80, het verschil in uren is ongeveer,8, dat komt overeen met 70 minuten.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine 9a Als de man naar B roeit, legt hij 8 + = 08. Met een gemiddelde van km per uur doet hij daar 08 0, uur over, terwijl hij maar precies uur tot zijn beschikking heeft. b De afstand van A naar C is 8 + = 7 km, daar doet hij 7 uur over. Hij loopt daarna nog 9 km naar B. Over dat stuk doet hij dus uur. In totaal is dat dus 7 +, uur, dat lukt dus ook niet. c + x is de afstand in km die hij roeiend aflegt; hij doet daar + x uren over; x km legt hij te voet af en over dat stuk doet hij x ) uren; samen is dat dus + x + ( x) uren. d 9 + x + ( x) = + x = ( x) + x = + x + x = + x + x = ( + x) + x = + 8x+ x x 8x+ 8 = 0 x 7x+ = 0; de discriminant is hier 9 D = ( 7) = ; met de abc-formule krijg je x= 7 = of x= 7 + = 0 0 AC oplossingen zijn. 8 ; uit controle blijkt dat zowel km als 8, km voor ICT Ongelijkheden bladzijde 8 I-a Firma A, het aanvangspunt (bij 0 m ) van de lijn die bij firma A hoort ligt hoger b Firma B, want de lijn die bij firma B hoort heeft een grotere helling c Bij ongeveer 09 m zijn de firma s even duur. d Bij gelijktijdig tracen naar rechts verwisselen de labels van positie vanaf 09,99. Vanaf dat volume is firma B het duurst. I-a f() > g() klopt niet omdat punt Q lager ligt dan punt P, er geldt juist f() < g() b f( ) > g( ) klopt omdat punt R hoger ligt dan punt S. c x 0 f... g > > = < < < = > > d fx () = gx () x + x = 7x+ x x = 0 ( x x x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = e ; ; ) = 0 bladzijde 9 I-a 07 ;,, b ; ] [, 0 7; c ; ; 07, 0, 7; ; I-a y O x 0
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b x + 8x = x + x x + x = 0 x( x ) = 0 x = 0 of x = c 0; I-a b Eerst moet je de vergelijking met gelijkteken oplossen. x + = x = x = of x = De vorm x + hoort bij een bergparabool, dus,, Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = ( X )( X+ ) en Y = X + X + en vensterinstelling X, 0 Y 0 : Exact oplossen van de gelijkheid geeft: ( x )( x+ ) = x + x+ x = x + x+ x x = 0 x= + 9 = x= 9 = of Via de cursor in de plot zie je dat de oplossing van de ongelijkheid, ] [, is. c x x+ 8 = x+ x x+ ( x x+ ) = 0 ( x )(x ) = 0 x = of x = ; omdat bij x x+ 8 een dalparabool hoort en bij x + een lijn, is de oplossing, I-a gx () fx () b gx ()> c hx () < px () d px () > fx () e px () 0 f fx () > hx () g Voor a = is bijbehorende ongelijkheid q() x 0 Test jezelf bladzijde T-a Voer in je GR in Y = X^ 7X^+ X + en neem bijvoorbeeld als vensterinstelling X 8, 0 Y 00. Met zero krijg je x 0, en het nulpunt is ( 0, ; 0) b Voer in Y =. Voor de vergelijking fx ()= vind je met intersect de oplossing x =. In de plot zie je dat, de oplossing van de ongelijkheid is. c In de plot is niet te zien of er twee of drie snijpunten zijn. Voer in Y = X / + ( Y = heb je niet meer nodig). Met intersect vind je drie snijpunten: (, 000;, 00), (, 087;, 8) en (, ; 7, 9). Omdat de constante termen in de functievoorschriften van fen g aan elkaar gelijk zijn kun je zien dat (, 0 ) een exacte oplossing is. Dat betekent hier ook dat je de vraag hier exact op kunt lossen.
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d Immers, x 7x + x+ = 0 x+ x 7x + x = 0 x( x 7x+ ) = 0 x= 0 of x 7x + = 0 en met behulp van de abc-formule kom je daar wel uit. Schakel de plot van Y uit door op het =-teken achter Y te enteren. Via maximum en minimum vind je de toppen. (, 00; 00, ) en (, 7;,8) T-a x + x = 0 ; het lukt niet om deze vergelijking door ontbinden op te lossen; je gebruikt de abc-formule met a=, b=, c = ; D = = 0 en x= 0 = 0 x= + 0 = + 0 of b x x+ = 0 ; hier is D = ( ) = 7< 0, er is dus geen oplossing c 7 x 7= x x = 9 7x = 7 x = 8 7 d x + x = 8x x + x + 8x = 0 xx ( + x+ 8) = 0 x( x + )(x + ) = 0 x= 0 of x= of x = e x + 9 = x x x+ 9 = 0; het lukt misschien niet om deze vergelijking door ontbinden op te lossen; je gebruikt dan de abc-formule met a=, b=, c = 9; D = ( ) 9= 0 en x = ± 0 = 8 is de enige oplossing f x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = x = 0 of x = of x = T-a K = 0000 + q b O= q c K = O 0000 + q= q 8q= 0000 q 777, 78 778 d Je kunt alleen gehele aantallen dvd s produceren. e O> K q> 0000 + q 8q> 0000 q 778 ( q = 778 doet ook mee) f W = O K = q ( 0000 + q) = 8q 0000 g W = 0 O K = 0 O= K is dus feitelijk dezelfde vraag als bij c T-a x + 7x = x x + x + = 0 ; D = = en x = x = + = of = in een eventuele plot vergelijk je een dalparabool met een lijn; de oplossing van de ongelijkheid moet dan wel zijn, ] [, b 0, x+ = 0, x+ = 0 0, x =, x = 7 bij controle achteraf zie je dat deze oplossing correct is; voer in je GR in Y = 0, X+ eny =, ; met vensterinstelling X 80, 0 Y krijg je de plot c Rekening houdend met het domein van 0, x +, namelijk [ 0, is de oplossing van de ongelijkheid [ 0, 7 ] 7 9 x+ = x+ x = x = ; omdat de lijn y= x+ 0 stijgend is en lijn y= x+ dalend, is de oplossing van de ongelijkheid, ] ; je kunt natuurlijk ook een plot maken als je dat nodig vindt
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d ( x ) = 8 ( x ) = x = of x = x = of x = ; in een eventuele plot wordt een dalparabool vergeleken met een horizontale lijn; de oplossing van de ongelijkheid is dus,, e x+ = 0 x+ = x+ = x = ; de contrôle achteraf die je bij wortelvergelijkingen moet uitvoeren blijkt deze oplossing correct; een plot met invoer Y = X + - en vensterinstelling X 0, Y zie er als volgt uit: Het domein van de functie x + is gelijk aan [,, dus is de oplossing van de gevraagde ongelijkheid [, ]. bladzijde T-a fx ()= 0 x = 0 x = x = x = ; uit controle wortelvergelijking blijkt dat deze oplossing correct is. b Het domein is [, en het bereik [,. c fx ()= x = x = x = x = 7; bij controle blijkt deze oplossing OK d fx () = x x = x x = x x = ( x) x = x 8x+ x 9x+ 8 = 0 ( x )( x ) = 0 x = of x = ; bij controle blijkt x = vervalt en x = voldoet 7 T-a x = x = x = x = x = ; na controle OK 9 9 8 b 8( x+ ) = ( x+ ) = x+ = of x+ = x= of x= + c 0, x x+ 0 = 0 0, ( x 0x+ 00) = 0 x 0x+ 00 = 0 ( x 0) = 0 x= 0 d x + 9 = x x x+ 9 = 0; je gebruikt de abc-formule met a=, b=, c = 9; D = ( ) 9= 0 dus x = ± 0 = oplossing is de enige e 8 x = 0 x = ; een wortel kan nooit negatief zijn, dus is er geen oplossing f ( x )( x 7) = 0 x = 0 of x 7= 0 x = of x = 7 x= of x= of x = 7 T-7a De lengte is 0 = m, de breedte = m en oppervlakte = 88 m. b De oppervlakte van het bloemperk is 0 88 = 7 m c O= ( 0 x)( x) ; er moet natuurlijk gelden 0 0 x 0 en 0 x dus in totaal 0 x 0 d O 00 ( 0 x)( x) 00 ; eerst moet je de gelijkheid oplossen Hieronder zie je een plot van Y = ( 0 X) ( X) en Y = 00 met vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 00
Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine e Met intersect vind je x 8,, de oplossing van de ongelijkheid is [ 0; 8, ] en het bloemperk mag hoogstens 8, m breed zijn. Natuurlijk kun je gelijkheid ook met de abc-formule oplossen. In totaal is er 000 m beschikbaar; de oppervlakte van het bloemperk kleiner dan van het grasveld betekent O > 00; definieer nu Y = 00, je krijgt dan de plot: Met intersect vindt voor de gelijkheid O = 00 de oplossing x 9, en de ongelijkheid heeft dan als oplossing [ 09. ;, Of in woorden: als de breedte van het bloemperk kleiner is dan,9 m. T-8a gx () fx () b kx () < hx () c fx ()> 0 d hx () 0 e Kies een a waarvoor geldt dat k door (; 0) gaat. Dan moet 0 = + a a = ; de ongelijkheid kx () 0 heeft nu als oplossing [,.