Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt levert 3 onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen. De constructie kent 3 scharnieren; in elk scharnier zijn er in principe 2 onbekenden. In totaal heb je 6 onbekenden en dus ook 6 vergelijkingen. Op basis van evenwicht moet er dus een oplossing te vinden zijn. Aanpak: Bekijk eerst de constructie als geheel, los gemaakt van zijn omgeving; dus 2 onbekenden in resp. A en C. Hoewel er 4 onbekenden zijn en 3 vergelijkingen voor het geheel, kunnen de verticale componenten in A en C bepaald worden uit bijv. de momentensom tov A, resp C. Om verder te kunnen moeten de delen AB en BC losgemaakt worden in B onder invoering van scharnierkrachten in B. Er geldt Actie=Reactie!. Op voorhand is de richting van de kracht in B niet bekend, voer dan een horizontale en verticale componet in. NB. De scharnierkracht in B is een inwendige kracht in het systeem, die in het globaal evenwicht nog geen rol speelt. Deze kracht wordt pas manifest als je de delen splitst. Bekijk je nu deel AB dan zijn er nog 3 onbekenden: 2 krachtscomponenten in B en de horizontale kracht in A. Met behulp van 3 evenwichtsvergelijkingen kunnen de onbekenden bepaald worden. De horizontale component in C is dan ook te bepalen uit het globaal evenwicht. Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Opm.1 Omdat de richting van de scharnierkrachten niet a priori bekend is heeft het weinig zijn locale assenstelsels te gebruiken langs en loodrecht op de richtingen AB resp. BC Opm.2 Het moment van een kracht tov een punt wordt bepaald door de grootte van de kracht en door de afstand van het punt tot aan de werklijn van de kracht, niet tot aan het aangrijpingspunt van de kracht.
Opgave 2. Vooraf: De constructie kent 3 onbekende scharnierkrachten; die kunnen uit het evenwicht (3 onafhankelijke vergelijkingen) bepaald worden. Snedegrootheden zijn in principe : N, D en M b. Aanpak: Voer onbekenden in in D en E, stel de evenwichtsvergelijkingen op. De snedegrootheden in C kunnen bepaald worden door naar het deel BC te kijken. De enige onbekenden zijn dan de snedegrootheden in C. 3 evenwichtsvergelijkingen leveren de oplossing voor 3 onbekenden. De snedegrootheden net onder D kunnen bepaald worden door deel DE te isoleren; omdat eerder de reactiekrachten in E bepaald zijn, kent het afgesneden deel weer 3 onbekenden (de snedegrootheden onder D). Uit het evenwicht volgen de onbekenden. NB. Schrijf de antwoorden in termen van F en l NB. Bij balkachtige constructies is de lengte veel groter dan de afmetingen in de dwarsdoorsnede; met die afmetingen behoef je geen rekening te houden. Opgave 3 Vooraf: Er zijn 2 manieren van aanpak: - de formeel wiskundige manier waarbij je een deelkrachtje definieert op een plaats x en vervolgens de bijdrage van alle deelkrachtjes netjes integreert in de krachten- en momentensom. - de snelle manier, waarbij je de resultante en de plaats van de resultante weet voor een driehoekvormige verdeelde belasting. NB Als je snedegrootheden wilt bepalen, is het nodig een deel van de balk los te snijden. Op dat deel moet dan wel de originele belasting worden ingevoerd. Voor dat deel kan vervolgens wel weer de snelle manier van werken gekozen worden. NB In verband met wat ingewikkelder rekenwerk is dimensiecontrole van de antwoorden niet alleen nuttig, maar noodzakelijk
De belasting is verticaal en de ondersteuning is zodanig dat geen horizontale componenten worden geintroduceerd. De reactiekrachten zullen verticaal gericht zijn, er zal geen normaalkracht als snedegrootheid optreden. Aanpak: De functie q(x) is een lineaire functie in x, van het type: q(x) = a.x + b De onbekenden a en b volgen uit de bekende waarden van q(x) op de plaatsen x=o resp. x=6l Controleer : dimensies en waarde in de eindpunten. Als je gebruik maakt van integraal formuleringen is het noodzakelijk om met goed uitgangsmateriaal te werken. De functie q(x) moet correct zijn. Snelle werkwijze: Bij een driehoekvormige verdeelde belasting is de resultante gelijk aan het oppervlak van de driehoek, de werklijn van de resultante gaat door het zwaartepunt van de driehoek. Voor het bepalen van de steunpuntsreacties (3 onbekenden) levert de verdeelde belasting een resultante van ½.q max.6l. Die resultante grijpt aan op 2l rechts van A. De reacties zullen beide omhoog gericht zijn. Het evenwicht levert de reactiekrachten bijv. uit de momentensom tov A resp. B Snedegrootheden rond B: Het verschil in Dwarskracht links en rechts van B wordt veroorzaakt door de steunpuntsreactie in B Het buigend moment is links en rechts van B hetzelfde. Voor het bepalen van de snedegrootheden kun je twee deelstukken bekijken; het deel van A tot net aan B, met een wat ingewikkelde belasting het deel vanaf C tot net aan B. Dit laatste deel heeft mijn voorkeur: De enige onbekenden voor dit afgesneden deel zijn de snedegrootheden net rechts van B en de belasting is driehoekvormig met een maximum van ½ q max. De resultante is gelijk aan ½.(1/2q max )(3l) op een afstand l rechts van B. Voor het bepalen van de snedegrootheden net links vaan B is het verstandig het deel te bekijken vanaf C tot net voorbij B. De steunpuntsreactie in B werkt nog net op het afgesneden deel. Rechts van A; Als je net naast A snijdt hebje alleen te maken met de steunpuntsreactie in A. De verdeelde belasting heeft zich dan nog niet ontwikkeld tot een kracht. De waarde van de dwarskracht is dus gelijk aan die van de reactie in A, het buigend moment is gelijk aan nul.
Alternatief voor de snedes rond B Links van B Snijd het deel van A tot net links van B los. Voer in het snijvlak de snedegrootheden in. Als externe belasting werkt er op dit deel : de steunpuntsreactie in A de verdeelde belasting q(x), waarbij x loopt vanaf A naar rechts Bij het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen moet je de verdeelde belasting in rekening brengen door een integraal op te stellen Voor het krachtenevenwicht is dat 3l x= 0 q( x). dx en voor het momentenevenwicht tov een punt in het snedevlak: 3l x= 0 q( x).(3l x). dx Let op: in de momentensom staat de afstand vanaf het snedevlak tot aan de plaats van het deelkrachtje (dat zich op de plaats x bevindt). Controle: dimensies en tekens. Bij vrij ingewikkelde formuleringen is het nuttig om direct het resultaat te controleren. Is de eerste som inderdaad een kracht en de tweede een moment? Kun je de grootte van de kracht afschatten? Ja. Bij voorbeeld: de resultante is kleiner dan in het geval de verdeelde belasting overal gelijk was aan q max. Rechts van B Neem het voorafgaande stuk en voeg daar net het steunpunt bij B aan toe. De beschrijving van de integralen verandert niet; er komt alleen een extra externe kracht bij, nl de steunpuntsreactie in B. Of Snijd het rechter deel los tot aan B. Blijf je werken met x als variabele en q =q(x) dan geldt voor x in dit deel 3l < x < 6l en de afstand van een deelkrachtje tot het snijvlak wordt (x 3l) Wil je liever werken met een coordinaat (z bijv) die bij C begint en naar links loopt, dan moet je allereerst de verdeelde belasting schrijven als functie van die coordinaat q = q(z). De grenzen voor z zijn dan 0< z < 3l en de afstand van het snedevlak tot aan een deelkrach tje is nu (3l-z). Een mogelijke controle is: de situatie te beschrijven voor een hele kleine waarde van z; dan moet immers D=M=0 (in C).
Opgave 4 Analyse vooraf De kracht P werkt overal in buis EF en dus werkt er op het blad bij E dezelfde kracht ( blijkt na fictief losmaken). Daarna wordt de kracht verdeeld over 4 gelijke poten naar de vaste wereld. Alle staven worden alleen door een normaalkracht belast; per staaf geldt F = k.u met k = EA/L (Controle op dimensies!!). In deze formulering is F de normaalkracht in de staaf en u de verlenging van de staaf, dit is niet perse de verplaatsing van het uiteinde. Het systeem is een mengvorm van serie- en parallelschakeling. De 4 poten staan onderling parallel en dit potenstelsel staat in serie met de lange buis EF. Aanpak Beschouw 2 subsystemen: Het blad met de 4 poten belast door een (inwendige) kracht in E; daaroor zal de kracht in een poot gelijk zijn aan ¼.P en de poten verkorten. Het blad zakt een klein stukje naar beneden. De lange buis EF; overal in deze staaf heerst een trekkracht ter grootte van P, deze buis zal een stukje verlengen. Maar let op: het uiteinde bij E is (samen met het blad) zelf ook al een stukje verplaatst. De verplaatsing van punt F is de som van de verlenging van de buis plus de verkorting van een poot. Schrijf de formules in termen van P, l en A 1 resp A 2. Leidt vervolgens eerst een relatie af voor de verhouding tussen de oppervlakten en ga daarna pas over op de verhouding van de diameters. Dit scheelt in de tussenresultaten een hoop gedoe met factoren π/4 en kwadraten.
Opgave 5 Vooraf De kracht P grijpt niet aan in het oppervlaktemiddelpunt (o.m.p.) van het bot. Voor het bereken en van spanningen en verplaatsingen moet dat wel het geval zijn. De belasting moet daarom vervangen worden door een drukkracht P (aangrijpend in het o.m.p.) en een moment P.e, werkend in het vlak van tekening. Dit moment alleen zorgt dan voor trekspanning aan de bovenzijde en drukspanning aan de onderzijde van het bot. Werkt er alleen een kracht P in het o.m.p. dan is de hele doorsnede op druk belast. In de lineaire theorie is superpositie toegestaan, het effect van de kracht P en van het moment Pe mogen worden opgeteld. Aanpak Als er trek optreedt in de doorsnede is het punt met de grootste trek gelegen aan de bovenzijde van het bot (in deze opgave). Druk dan de spanning in dat punt uit in termen van P en van Pe. Houd de formule zo overzichtelijk mogelijk; maw gebruik termen als A en I, maar druk die grootheden nog niet uit in D en d. Controleer de dimensie voordat je ingewikkelder rekenwerk start. NB. Schrijf niet : π/64 D 4 - π/64 (0,8D) 4 voor het traagheidsmoment voor de buis. De kans dat je dan haakjes vergeet en het overzicht kwijt raakt in formules waarin dit een van de termen is, is erg groot. Schrijf liever: π/64 D 4 { 1 0,8 4 }, deze vorm leest veel gemakkelijker. Kun je dit niet direct, gebruik dan je kladpapier voor tussenstappen.
Antwoorden Mechanica 1.1 4Q130 25 nov 99 1. Elk scharnier levert 2 onbekenden; er zijn in totaal 6 onbekenden. Let wel:de scharnierkracht in B is een inwendige kracht. Uit het evenwicht van de constructie als geheel kunnen alleen de verticale componenten van de reacties in A en B bepaald worden. Splitsen in delen en voor elk deel afzonderlijk het evenwicht opstellen, levert alle onbekenden. Let op Actie=Reactie rond punt B. ABC: A v = 5/8 G; C v = 3/8 G; BC: B v = C v = 3/8 G; C h = 7/8 G A h = -1/8 G B h = 1/8 G 2. Het evenwicht van de constructie levert de 3 steunpuntsreacties: D H = 1,5 F E H = 1,5 F E V = F Snijd deel BC los, voer snedegrootheden in bij C en los op: Links van C: D = F M = ¾ Fl Kies of deel BCD of deel DE om de snedegrootheden te bepalen: Onder D: N = -F D = -1,5 F M = ¾ Fl 3. q(x) = q m ( 1 x/6l); de x-richting is voorgeschreven! De belasting heeft een resultante van 3.q max.l, die aangrijpt op 2l vanaf punt A R A = q m l R B = 2.q m l Snedegrootheden: Bekijk eerst het deel BC; de resulterende kracht op dat deel is ¼ van R totaal, dus 3/4q.l Rechts van B: D = ¾ q m l M = ¾ q m l 2 Net links van B kun je het deel BC nemen incl het steunpunt B: Links van B: D = -5/4 q m l M = ¾ q m l 2 Net rechts van A bekijk je alleen de omgeving van het steunpunt A: Rechts van A: D = q m l M = 0
4. De buis is in serie met 4 staven die parallel geschakeld zijn. Pl u plaat = 4EA1 u F = Pl 2 1 ( + EA 2 4EA1 ) A 1 = π/4 D 2 A 2 = π/4 (D 2 - d 2 ) Eis u F = 20 u plaat 8A 1 = 19 A 2 dan: 19 d 2 = 11 D 2 d = 0,76 D 5. Snedegrootheden: N = -P M = P.e P σ max = + A I π / 64 e < = A. R π / 4 ( D (Pe)R ; I eis σ max < 0 4 ( D 4 d ) 2 d 2 ) 1 1 = R 8 (D 2 2 + d ) = 0,205 D (als d=0,8d) D