e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1
2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je graag een aangepase versie van di boek (een exra hoofdsk of liever een hoofdsk minder) of een CD me alle figren i di boek, dan kan je di aanvragen door een mailje e sren naar dirksarens@skyne.be 2
Inhod e45 Inhod 0 Woord vooraf 1 Wisselspanning Sooren spanningen 6 Waarden van een sinsoïdale wisselspanning 7 2 Vecoriële voorselling Vecoriële voorselling van een sinsoïdale wisselgrooheid 13 Vecoriële voorselling van meerdere sinsoïdale wisselgrooheden 14 3 Complex rekenen De operaor j 19 Vormen van complexe geallen 20 Bewerkingen me complexe geallen 22 4 Enkelvodige wisselsroomkeens Ohmse weersand aangesloen op een sinsoïdale wisselspanning 25 Ideale spoel aangesloen op een sinsoïdale wisselspanning 27 Ideale condensaor aangesloen op een sinsoïdale wisselspanning 28 Samenvaing 30 5 RLC seriekeens Serieschakeling van gelijkaardige elemenen 33 Ideale spoel en weersand in serie (RL) 35 Werkelijke spoel en weersand in serie 38 Twee of meer prakische spoelen in serie 38 Ideale condensaor en weersand in serie (RC) 40 Ideale spoel en ideale condensaor in serie (LC) 43 Weersand, spoel en condensaor in serie (RLC) 46 6 RLC parallelkeens Parallelschakeling van gelijkaardige elemenen 53 Ideale spoel en weersand parallel (RL) 56 Ideale condensaor en weersand parallel (RC) 59 Ideale spoel en ideale condensaor parallel (LC) 63 Weersand, spoel en condensaor parallel (RLC) 65 3
Inhod 7 RLC gemengde keens Voorbeeld 1: (R+L)//C 72 Voorbeeld 2: (R+L)//(R+C) 73 igewerk voorbeeld 74 8 Eerse orde filers Decibel (db) 80 RC-laagdoorlaafiler 80 LR-laagdoorlaafiler 83 CR-hoogdoorlaafiler 84 RL-hoogdoorlaafiler 86 Banddoorlaafiler 87 9 Eénfasig wisselsroomvermogen Herhaling 91 Begrippen 92 Berekenen van he vermogen 93 Vermogendriehoek 97 Arbeidsfacor 97 10 Driefasenspanning Driefasenspanning 104 Driefasensroom 105 Hoofdeigenschap van een driefasenne 107 De serschakeling 108 De driehoeksschakeling 113 Schakelen van driefasenverbrikers 118 Vermogen en arbeidsfacor in driefasenneen 120 Arbeidsfacor van een driefasene 123 11 Complexe newerken Herhaling 127 De ween van Kirchhoff 130 He heorema van Thévenin 134 De sperposiiemehode 138 He heorema van Noron 141 Ser-driehoekransformaie 146 e45 Bijlage Afleiding formle effecieve waarde van een sinsvormige spanning 147 Afleiding formle gemiddeld vermogen 149 Afleiding formle gemiddelde waarde van een sinsvormige spanning 149 Afleiding formles indcieve reacanie 150 Afleiding formles capaciieve reacanie 152 4
Woord vooraf 0 Woord vooraf Over de inhod In di boek vinden we de basis van de wisselsroomheorie. We beginnen me een herhaling van de belangrijkse waarden van een sinsvormige wisselspanning en de vecoriële en complexe voorselling daarvan. Daarna worden alle mogelijke combinaies van R, L en C aangesloen op deze wisselspanning en word he gedrag ervan besdeerd. Verder word de reeds gekende maar onvolmaake formle P=.I op pn geze, om daarna alles nog eens keer moeilijker e maken bij de driefasenspanning. We eindigen in alle eenvod me he oplossen van complexe newerken. Over de opbow Alhoewel de Homo sapiens een prachig schepsel is, drf hij in zijn rol van leerling wel eens afwijkend gedrag e veronen. Di boek is daarom een beeje aangepas aan zoveel mogelijk sbcaegorieën van de Homo leerlings. De Homo dromers blijf fysisch meesal op zijn plaas zien. Zijn gedachen veronen echer vaak de neiging om een wandelingeje e maken. Daarom word er in de eks op heel wa plaasen gevraagd om ies aan e vllen of om een kore oefening e maken. Di kan ook en goede komen aan de Homo prsers of de Homo adeades. De Homo graffiics kler graag in zijn boek. Daarom werd er bews gekozen om in de eks heel weinig e highlighen, ds geen B, I of. Op die manier blijf deze soor acief en word ze igedaagd om i de lessen de hoodzaken e disilleren. De Homo slordigs vind vaak zijn noa s nie erg. Daarom worden aan he einde van een hoofdsk een vijfal basisoefeningen in he boek zelf gemaak. Voor hisaken en/of differeniaie werden er elkens nog een vijfal exra oefeningen aan oegevoegd. Ook de Homo nerds kan zijn lsen bovieren op deze exra oefeningen, maar hij heef ook een hele klif aan de bijlage waarin alle gebrike formles wiskndig worden bewezen. Speciaal voor de Homo dyslexs werd Verdana in- en ivllen igeschakeld. Me de Homo geninresss werd geen rekening gehoden. Aan deze soor word aangeraden om eens i e kijken naar een andere riching. 5
Wisselspanning 1 Wisselspanning Onze hishodelijke spanning van 230V is ongewijfeld de mees gebrike spanning. Deze spanning is een sinsvormig signaal da ook op die manier word opgewek in de alernaor van een elekricieiscenrale. Aangezien in di boek bijna alleen maar sinsvormige signalen aan bod komen, is he heel belangrijk da we deze sins en zijn bijhorende waarden goed begrijpen. In di hoofdsk worden alleen maar spanningen besproken, maar alles is evengoed van oepassing op sromen. Sooren spanningen Gelijkspanning Een gelijkspanning is een spanning die nie verander van polariei. Di beeken da de plspool en de minpool alijd op dezelfde plaas blijven. Op de (-)- grafiek lig ds alijd boven of alijd onder de -as. Bv.: Consane gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde nie verander in de ijd. Bv.: Periodieke gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde verander volgens een bepaald paroon da zich seeds herhaal. Bv.: 6
Wisselspanning Wisselspanning Een wisselspanning is een spanning die in de ijd verander van polariei. Bv.: Zivere wisselspanning: een wisselspanning waarvan de waarde verander volgens een bepaald paroon da zich seeds herhaal en waarvan de gemiddelde waarde (zie verder) nl is. Bv.: Sinsoïdale wisselspanning: een zivere wisselspanning waarvan de waarde verander volgens een sinsfncie. Opmerking: gelijkspanning en wisselspanning knnen worden samengevoegd. In da geval spreek men van een gesperponeerde spanning. Di is een wisselspanning die een gelijksroomcomponen heef. Bv.: DC Waarden van een sinsoïdale wisselspanning Periode T De periode van een periodieke spanning is de ijd die nodig is om alle verschillende waarden van die spanning éénmaal e doorlopen. Symbool: T Eenheid: seconde (s) Freqenie De freqenie van een wisselsroom is he aanal perioden per seconde. Symbool: f Eenheid: herz (Hz) 7
Wisselspanning Verband ssen freqenie en periode: In Eropa is de freqenie van he wisselspanningsne men Hz. Hz en in Amerika gebrik Bereken in beide gevallen de periodedr. Eropa: Amerika: Cirkelfreqenie Een sinsoïdale wisselspanning kan worden opgewek door een winding in een weepolig magneisch veld e laen ronddraaien. De cirkelfreqenie is dan de hoeksnelheid van de winding. Andere benamingen zijn plsaie of hoeksnelheid. r a Symbool: ω Eenheid: rad/s (radialen per seconde) Verband ssen freqenie en cirkelfreqenie: Amplide De amplide is de groose waarde die een wisselspanning bereik. boog ab = r 1 rad b Symbool: m Andere benamingen: maximmwaarde, amplido, opwaarde Hoeveel keer per periode bereik de wisselspanning zijn amplide? Als pp (piek-o-piekwaarde) de som is van de absole waarden van de posiieve en de negaieve amplide, sel dan de formle op die he verband aangeef ssen pp en m. Ogenblikkelijke waarde De ogenblikkelijke waarde van een wisselspanning is de waarde op een bepaald ogenblik. Symbool: Verband ssen en m : of (wan ) 8
Wisselspanning Effecieve waarde De effecieve waarde van een wisselspanning is gelijk aan de waarde van een consane gelijkspanning, die in een gelijke weersand en gedrende eenzelfde ijd, eenzelfde joleeffec onwikkel als de beschowde wisselspanning. Symbool: of RMS Opmerking: wanneer men de waarde van een wisselspanning aangeef, dan word seeds de effecieve waarde bedoeld. Di is ook de waarde die normaal door de meeoesellen word weergegeven. Men kan wiskndig aanonen (zie bijlage) da Bereken pp voor de spanningen van 230V en 400V. Gemiddelde waarde De gemiddelde waarde van een wisselsroom is de waarde van een consane gelijksroom, die in eenzelfde ijd, eenzelfde hoeveelheid lading verplaas als de beschowde wisselsroom. Bij deze gemiddelde sroomwaarde hoor dan een gemiddelde spanning. Symbool: Opmerking: in een - grafiek is de oppervlake onder de crve (ssen 2 ijdsippen) een maa voor de hoeveelheid verplaase lading. Bij een zivere wisselspanning (bv. een sinsoïdale wisselspanning) is de oppervlake boven en onder de crve gelijk. De ladingsverplaasing in de ene zin is even groo als in de andere zin. De gemiddelde waarde van een sinsoïdale spanning is ds nl. Men kan wiskndig aanonen (zie bijlage) da bij dbbelzijdige gelijkriching bij enkelzijdige gelijkriching 9
Wisselspanning Oefeningen 1) De plsaie van een wisselspanning is 314,16 rad/s. Bereken de periode. Gegeven: Gevraagd: Oplossing: 2) Een sinsoïdale wisselsroom heef een freqenie 50 Hz. 1/300s na de nldoorgang is de momenele waarde 5 A. Bereken de amplide. Gegeven: (ekening) Gevraagd: Oplossing: 3) Gegeven: = 141,4.sin(754) Gevraagd: Bereken de amplide, plsaie, freqenie, effecieve waarde en periode van deze wisselspanning. Teken he verloop van deze spanning in de ijd en did alle berekende waarden aan op de ekening (indien mogelijk) Oplossing: 10
Wisselspanning 4) Me een gelijkspanningsvolmeer meen we een enkelzijdig gelijkgeriche spanning. De volmeer geef een waarde aan van 63,6V. Wa is de maximmwaarde van deze spanning? Gegeven: (ekening van de golfvorm) Gevraagd: Oplossing: 11
Wisselspanning 5) Bereken de ijd ssen de nldoorgang en he bereiken van de amplide bij een sinsvormige spanning me een freqenie van 1kHz. Gegeven: (ekening) Gevraagd: Oplossing: Exra oefeningen 6) Toon aan da de volgende formle jis is: 7) Hoe groo is de hoeksnelheid als in 0,18s wee perioden doorlopen worden? 8) Een wisselsroom heef een cirkelfreqenie van 377 rad/s. Bereken de freqenie en de periode. 9) Teken in eenzelfde assenselsel wee wisselsromen a. me kleine amplide en groe freqenie. b. me weemaal groere amplide en viermaal kleinere freqenie. 10) Na een ijd van 1/8 periode is de momenele waarde van een spanning 230V. Bereken de effecieve waarde van de sinsvormige wisselspanning. 12
Vecoriële voorselling 2 Vecoriële voorselling He ekenen van een sinsvormig signaal is voor de doorsnee mens nie zo eenvodig. Ook he aflezen van waarden op een sinsoïde blijk vaak onnawkerig. He kan echer veel gemakkelijker. We zllen zien da, me een beeje verbeelding, een sinsvormige spanning perfec kan weergegeven worden door een vecor. En zo n vecor is meeen heel wa eenvodiger e ekenen. Vooral bij he voorsellen van meerdere elekrische spanningen en/of sromen zoals bv. bij een driefasenspanning (zie verder), word he n van de vecoriële voorselling pas ech didelijk. Vecoriële voorselling van een sinsoïdale wisselgrooheid Een sinsvormige wisselgrooheid kan worden voorgeseld door een vecor als : de grooe van de vecor op schaal de amplide voorsel. de vecor in egenrwijzerzin draai me een hoeksnelheid w =2. p.f Eén volledige omweneling van de vecor sem dan overeen me één periode T van de wisselsroomgrooheid. 4 3 2 5 1 6 7 11 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 9 10 De oorsprong word genomen in sand 0. De riching van de vecor in deze sand is de horizonale en de zin is naar rechs. Terwijl de vecor ronddraai, maak hij voordrend een hoek me de oorsprong. Deze hoek noem men de fasehoek a die posiief is als de vecor zich bevind boven de horizonale en negaief als de vecor zich bevind onder de horizonale. 13
Vecoriële voorselling Bepalen van de amplide De lenge van de vecor sel de amplide voor. De wisselgrooheid bereik deze amplide of maximmwaarde als de fasehoek 90 of 90 is. a m Bepalen van de ogenblikkelijke waarde De ogenblikkelijke waarde is de loodreche afsand van de pijlpn o de oorsprong. Di kom overeen me de wiskndige idrkking : Bepalen van de effecieve waarde De effecieve waarde kan afgeleid worden i de amplide Aangezien 0,707 overeensem me sin 45 vind men de effecieve waarde ds ook als de fasehoek 45 is. m a=45 Vecoriële voorselling van meerdere sinsoïdale wisselgrooheden Twee of meer wisselgrooheden me dezelfde freqenie knnen voorgeseld worden door evenveel vecoren die hezelfde aangrijpingspn hebben en die draaien me dezelfde hoeksnelheid. Hierdoor blijf de hoek ssen de vecoren onderling op elk ogenblik hezelfde. Meesal word één van de vecoren in de oorsprong geekend. Opmerking: He heef geen zin om in één assenselsel vecoren voor e sellen die nie dezelfde freqenie hebben. In fase Twee wisselgrooheden zijn in fase, als ze dezelfde freqenie hebben en op dezelfde ogenblikken de nlwaarde en hn gelijknamige amplides doorlopen. Di word voorgeseld door wee vecoren me dezelfde riching en zin. Wiskndig : i i m Im 14
Vecoriële voorselling Faseveschil of faseverschiving Tssen wee wisselgrooheden me dezelfde freqenie besaa er een faseverschil, als ze nie gelijkijdig hn gelijknamige opwaarden doorlopen. He faseverschil is he kleins mogelijke inerval (ijdsinerval of hoek) ssen de overeenkomsige waarden van wee wisselgrooheden me dezelfde freqenie. De faseverschivingshoek is de kleinse hoek ssen de wee vecoren en word voorgeseld door de griekse leer f. Wiskndig : i i m f Im Voorijlen en naijlen Een wisselgrooheid ijl voor op een andere wisselgrooheid als hij zijn amplide vroeger bereik, of als hij eerder door nl gaa dan de andere. Aangezien voorijlen en naijlen een relaief begrip is bij ronddraaiende vecoren, plaas men he bes één van de wee vecoren in de oorsprong als vergelijkingsgrooheid. In de bovensaande figr ijl de spanning voor op de sroom of ijl de sroom na op de spanning. Tegenfase Twee wisselgrooheden zijn in egenfase als er ssen beiden een faseverschil besaa van 180. Di word voorgeseld door wee vecoren me dezelfde riching maar een egengeselde zin. Wiskndig : i i m Im 15