Sneller dan het licht?

Transcriptie

1 Sneller dan he lich? Hoe is he mogelijk da muonen de Aarde bereiken? Een profielwerksuk in he kader van HiSPARC K. Koudsaal, V6B K. Yahya, V6C D. Zoeewei, V6B Profiel: Nauur en Techniek Vak: Nauurkunde School: Dalon Lyceum Barendrech, e Zichwei 1 Begeleider: Dhr. Prins Daum:

2 Inhoudsopgave Voorwoord 3 1. Wa is kosmische sraling? Overzich elemenaire deeljes 7 1. Kosmische sraling en kosmische air showers Bronnen van kosmische sraling 17. Wa houd de speciale relaivieisheorie in? 19.1 Einseins voorgangers 19. Alber Einsein 0.3 Relaiviei 1.4 De wee posulaen van de speciale relaivieisheorie.5 Voorspellingen van de speciale relaivieisheorie 3.6 Verschil speciale relaivieisheorie en algemene relaivieisheorie 31 3 De snelheid van muonen Inleiding 3 3. Berekening minimale snelheid Maerialen Werkwijze Resulaen Conclusie Wa is de gemiddelde vervalijd van muonen? Inleiding Theorie Maerialen Werkwijze Resulaen Conclusie 57 Conclusie (beanwoording hoofdvraag) 58 Discussie 60 Nawoord 6 Bronnen 63 Bijlagen 66

3 Voorwoord In eerse insanie zouden wij ons profielwerksuk doen over olivijn, een sof die misschien he broeikaseffec egen kan gaan. Di zou dan voor he vak scheikunde zijn. Na een paar weken waren wij zelf nog seeds nie verder gekomen me he onderzoek over olivijn, simpelweg omda we er nauwelijks ies over konden vinden. Ook bleek he minder ineressan e zijn dan we voorheen dachen. Toen meneer Prins over HiSPARC begon, waren wij gelijk enhousias, en hadden we al snel besloen da we, ondanks da he laa was, och nog wilden oversappen naar nauurkundig profielwerksuk. HiSPARC is een projec waarbij meerdere deecoren op verschillende scholen over heel Nederland zijn verspreid. Hiermee meen ze de kosmische sraling die binnenval vanui de amosfeer. Wel gaan wij he ies anders aanpakken, wij gaan meer aan de slag me hoe muonen op aarde aan kunnen komen ondanks hun kore levensduur. We zijn nu nog seeds erg blij me onze keus, omda di dicher bij onze ineresses lig dan olivijn en he broeikaseffec. Ook hebben wij besloen om in plaas van de deecoren op he dak van Dalon Lyceum, gebruik e maken van de deecoren in Leiden. We kunnen namelijk daarmee wa gevarieerder onderzoek doen. We verwachen da di zeker geen makkelijk profielwerksuk zou worden. We zijn namelijk aan de slag gegaan me kosmische deeljes en me de relaivieisheorie van Alber Einsein! He is algemeen bekend da de relaivieisheorie een erg absrace heorie is, die moeilijk is om door e krijgen en veel wiskunde beva. Gelukkig hebben wij op de universiei Leiden wel hulp van een derdejaars suden nauurkunde gehad. Verder zijn we erg blij da he allemaal duidelijk is geworden. We wisen wa we gingen doen, hoe we he gingen doen, wa een rusgevend gevoel gaf. Di was waarschijnlijk ook de reden da we erg veel zin hadden om aan de slag e gaan! Ondanks da we dus verwachen da he moeilijk zou gaan worden, hoopen we me de hulp van Oliver (de suden in Leiden) en he commenaar van meneer Prins erui e komen. 3

4 Inleiding HiSPARC In he kader van HiSPARC is di profielwerksuk onsaan. HiSPARC saa voor High School Projec on Asrophysics Research wih Cosmics. He is dus een projec da zich bezighoud me nauurkundige onderzoeken die verband houden me kosmische sraling. Da he projec een Engelse naam heef, geef al aan da he om een inernaionaal projec gaa. In Nederland loop he projec vanaf 003. Scholen die zich hebben aangesloen bij he onderzoek, hebben een deecor op he dak van de school geplaas. De deecor mee kosmische sraling. Er zijn inmiddels verschillende newerken van deecoren gecreëerd. Hiermee word een groe hoeveelheid informaie verkregen, waardoor men seeds meer en seeds nauwkeurigere uispraken kan doen over kosmische sraling. Aan he eind van deze inleiding is een uileg gegeven van de werking van de deecor. Hoofdvraag en Deelvragen Bij di profielwerksuk hebben wij nies me de al eerder verkregen daa gedaan. Wij hebben ons bezig gehouden me de vraag hoe he mogelijk is da muonen, deeljes ui kosmische sraling, de Aarde kunnen bereiken. Nu denk je misschien: Waarom zou da nie kunnen? Zonder enige voorkennis zouden wij da waarschijnlijk ook hebben gedach. He is echer zo da muonen een zeer kore vervalijd hebben, wa beeken da ze erg kor besaan. Inussen leggen ze hele groe afsanden af. Als we deze afsanden delen door hun vervalijd, komen we ui op snelheden die groer zijn dan de lichsnelheid! In de weenschap is aangenomen da nies sneller is dan he lich. Hoe is he mogelijk da muonen, erwijl ze zo n kore vervalijd hebben, zulke groe afsanden kunnen afleggen? Om op deze hoofdvraag een duidelijk anwoord e kunnen geven, hebben we de volgende vier deelvragen geformuleerd: 1. Wa is kosmische sraling?. Wa houd de speciale relaivieisheorie in? 3. Wa is de gemiddelde vervalijd van muonen? 4. Wa is de gemiddelde snelheid van muonen? De eerse wee deelvragen, die de benodigde achergrondinformaie bevaen om de uieindelijke conclusie e bevaen, zijn geschreven aan de hand van lierauuronderzoek. Om de laase wee deelvragen e kunnen beanwoorden, zijn wee experimenen gedaan. De laase wee hoofdsukken bevaen echer ook wiskundige heorie die bij de experimenen pas, zoda de onderzoeken beer e begrijpen zullen zijn. 4

5 Overeenkomsen me lessof Lessof die overeenkom me informaie ui hoofdsuk 1 ui di profielwerksuk, is e vinden in hoofdsuk vier en vijf van he kernboek ui vwo 6 van sysemaische nauurkunde. Hoofdsuk 1 was echer al af oen wij deze sof klassikaal gingen behandelen. Verder zijn er geen noemenswaardige overeenkomsen. Hoe werk de deecor? Om de muonen e deeceren word een deecor gebruik die alle posiieve of negaieve deeljes van kosmische sraling kan deeceren. In deze paragraaf word op chronologische volgorde besproken wa er gebeur vanaf he momen da een geladen deelje de deecor aanraak. He eerse onderdeel van de deecor waarmee een muon in aanraking kom, is de scinillaor. Deze plaa is meesal groendeels van perspex gemaak en beva ook een kleine hoeveelheid van een organische sof. De aomen in de scinillaor worden aangeslagen door de geladen deeljes die de scinillaor passeren. Wanneer de elekronen van de aomen weer erugvallen, kom de opgeslagen energie vrij in de vorm van lich. De foonen van he lich worden weerkaas in de scinillaor, oda ze de doorgang naar de fooverserkerbuis hebben gevonden. Om e voorkomen da er lich onsnap, is de scinillaor verpak me speciaal maeriaal. He zijoppervlak van de fooverserkerbuis is veel kleiner dan he zijoppervlak van de scinillaor. Om er voor e zorgen da er zo veel mogelijk foonen ui de scinillaor in de fooverserkerbuis komen, heef men een lichgeleider ussen de wee onderdelen geplaas. De lichgeleider verbind de zijkanen van de scinillaor en de fooverserkerbuis me elkaar. Op deze manier worden er meer lichsralen opgevangen, dan wanneer de scinillaor en de fooverserkerbuis direc me elkaar verbonden zouden zijn. Er moe voor worden gezorgd da de invalshoek van he lich naar de lichgeleider kleiner is dan de grenshoek, omda he lich anders weer erug de scinillaor in word gekaas. Ondanks al deze maaregelen, zullen nie alle foonen de fooverserkerbuis bereiken. Afb. 1: foo van lichgeleider De fooverserkerbuis is een apparaa da een kleine hoeveelheid lich kan omzeen in elekrische sroom. In he begin van de fooverserkerbuis zi een kahode. Als de foonen hierop vallen, komen er elekronen los van de aomen in de kahode. Deze werking word he foo-elekrisch effec genoemd. De losgekomen elekronen worden foo-elekronen genoemd. In de fooverserkerbuis zien een aanal dynodes; een soor plaajes waarover seeds een hogere spanning saa. Er saa dus een lagere spanning over een dynode aan de kan van de kahode dan over een dynode aan de kan van de anode. De foo-elekronen bewegen via de krachen van de elekrische velden ussen de dynodes riching de anode. Bij he aanraken van een dynode, 5

6 komen meer elekronen los. De elekronen worden versneld door de oplopende spanning ussen de dynodes, waardoor uieindelijk een meebare sroom zal onsaan. Hoe meer dynodes, hoe serker de sroom. De fooverserkerbuis genereer een sroom, nada er een muon op de scinillaor is gevallen. Afb. : fooverserkerbuis; door oplopende spanningen komen seeds meer elekronen vrij Een aanal weenswaardigheden: - He is van belang da er wee scinillaoren, wee lichgeleiders en wee fooverserkerbuizen zijn aangesloen. Bepaalde insellingen zorgen ervoor da als op beide plaen egelijk een deelje erech kom, een signaal word opgeslagen. Overige impulsen worden genegeerd. Zo worden alleen deeljes ui dezelfde lawine geregisreerd. - He sroompje word gesignaleerd door een compuer, een ellerkasje of een oscilloscoop (een oscilloscoop is he nauwkeurigs). Bij de onderzoeken die voor di PWS zijn gedaan, is een compuer gebruik. - Er komen gemiddeld foonen vrij bij een bosing van een muon op de scinillaor. - Bij een bepaalde deecor onsaa in een periode van 10-7 s een sroom van 4,7 x 10-6 A (om een indruk e krijgen van de orde van grooe). - Hoeveel procen van he aanal muonen uieindelijk zal leiden o impulsen, is afhankelijk van de nauwkeurigheid van de apparauur. De balken die door ons worden gebruik, hebben een oppervlake van 600 cm. Er kom ongeveer één muon per vierkane cenimeer per seconde op de Aarde aan. Onze apparauur regisreerde één puls per 30 seconden, wa dus ongeveer 0,006% is van he oale aanal passerende muonen. 1 3 Afb. 3: 1 scinillaor, lichgeleider, 3 fooverserkerbuis 6

7 1. Wa is kosmische sraling? De kosmische deeljes die we gaan deeceren, zijn subaomaire deeljes. Om goed e begrijpen wa kosmische deeljes zijn, geven we eers een overzich van de indeling van subaomaire deeljes in he sandaardmodel van de deeljesfysica. Twee hoofdgroepen zijn fermionen en bosonen. Fermionen zijn krachvoelende deeljes en bosonen zijn krachdragende deeljes. 1.1 Overzich elemenaire deeljes Fermionen Een fermion bezi een halfallige spin (s=1/, s=3/, s=5/, enz.). De spin is de draaibeweging van een deelje. Een deelje kan om zijn eigen as draaien. Als je kijk naar een deelje da zich in een elekromagneisch veld bevind, zie je da he deelje alijd slechs in bepaalde richingen georiëneerd kan zijn en opziche van he elekromagneisch veld. Je kan he spinhoekmomen vergelijken me een kompasnaaldje. Afb. 4: eenvoudige weergave van de spin van een deelje (me spin=1/) Fermionen zijn op e delen in wee groepen, namelijk leponen en quarks. Leponen Lepon beeken in he Grieks klein of fijn. Er zijn drie generaies leponen. Deze moe je beschouwen als drie generaies binnen een familie me precies hezelfde genoype (erfelijke eigenschappen), alleen een andere leefijd. Als je leefijd naar gewich veraald, krijg je drie families me eigenschappen die alleen verschillen, doorda leponen van de eerse generaie veel licher zijn dan die van de weede generaie en nog veel licher zijn dan leponen van de derde generaie. De leponen hebben ieder een anideelje. Serker nog, alle deeljes hebben een corresponderend anideelje, me een gelijke massa maar een egengeselde lading. Ook deeljes zonder lading hebben een anideelje. Di is verklaarbaar door he fei da deeljes een bepaalde ladingsrucuur (posiief in he midden en aan de randen, negaief erussen) en een dipoolmomen hebben. 7

8 Er zijn waalf leponen (zes leponen en zes anileponen): Eerse generaie: Elekron: een zeer klein negaief deelje die gebonden of los kan voorkomen. He word weergegeven als e -. Als een elekron gebonden is, zi he in de elekronenschil van een aoom. Een elekron heef een lading van -1e (1e= 1,60x10-9 C) en een rusmassa van 0,511 MeV. Posiron: he anideelje van een elekron. He posiron word weergegeven als e +. De rusmassa is hezelfde als da van een elekron en de lading is +1e. Elekron-neurino: de neurinovorm van een elekron. He word weergegeven als Ve. Een neurino is een ongeladen deelje. De rusmassa is nie bekend, maar we ween wel da he kleiner is dan,5 ev. Elekron-anineurino: he anideelje van een elekron-neurino. Een elekronanineurino word weergegeven als Ve. De rusmassa is nie bekend, maar we ween wel da he kleiner is dan,5 ev. Tweede generaie: Muon: een deelje me een negaieve lading, da word weergegeven als -. Een muon heef een rusmassa van 105,6 MeV en een lading van -1e. Een muon heef een snelheid van 0,998c (c=lichsnelheid). Daarbij nader de snelheid van een muon de lichsnelheid. Tijdsdilaaie gaa dan een rol spelen (zie relaivieisheorie). He muon is he deelje da we gaan deeceren in de proeven. Animuon: he anideelje van een muon. He word weergegeven als +. Een animuon heef een rusmassa van 105,6 MeV en een lading van +1e. Muon-neurino: he neurinodeelje van een muon, da word weergegeven als V. He is nie zeker of een muon-neurino een rusmassa bezi, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 170 ev. Muon-anineurino: he anineurinodeelje van een muon. He muonanineurino word weergegeven als V. He is nie zeker of een muon-neurino een rusmassa bezi, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 170 ev. Derde generaie: Tau: een deelje me een negaieve lading, da word weergegeven als τ -. Tau heef een rusmassa van 1,777 GeV en een lading van -1e. Door de groe massa is he au-deelje erg insabiel. Aniau: he anideelje van au. Aniau word weergegeven als τ +. De rusmassa is 1,777 GeV en de lading is +1e. Tau-neurino: he neurinodeelje van au. Tau-neurino word weergegeven als Vτ. He is nie zeker of Vτ een rusmassa heef, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 18 MeV. Tau-anineurino: he anineurinodeelje van au. Tau-anineurino word weergegeven als Vτ. He is nie zeker of Vτ een rusmassa heef, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 18 MeV. 8

9 Afb. 5: Leponen me hun eigenschappen Quarks Quarks zijn er in verschillende smaken. Je kan de generaies quarks weer he bese zien als generaies binnen een familie. De deeljes ui de eerse generaie zijn dezelfde als die ui de derde generaie, behalve da de quarks ui de derde generaie veel zwaarder zijn. Quarks zijn onder e verdelen in waalf deeljes (zes quarks en zes ani-quarks): Eerse generaie Up quark: een deelje da word weergegeven als u. Een up quark heef een lading van + e en een rusmassa ussen 1,7 MeV en 3,3 MeV. De up quark is sabiel en veel alledaagse maerie is opgebouwd ui up quarks. Ani-up quark: he anideelje van een up quark. De ani-up quark word weergegeven als u. Een ani-up quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 1,7 MeV en 3,3 MeV. He is erg insabiel. Down quark: een deelje da word weergegeven als d. Een down quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 4,1 MeV en 5,8 MeV. De down quark is sabiel en veel alledaagse maerie is opgebouwd ui down quarks. Ani-down quark: he anideelje van een down quark. De ani-down quark word weergegeven als d. Een ani-down quark heef een lading van + e en een rusmassa ussen 4,1 MeV en 5,8 MeV. He is erg insabiel. Tweede generaie Srange quark: een deelje da word weergegeven als s. Een srange quark heef een lading van - e en een rusmassa van 101 MeV. Een srange quark zi ook in deeljes in kosmische sraling. Ani-srange quark: he anideelje van een srange quark. Een ani-srange quark word weergegeven als s. He heef een lading van + e en een rusmassa van 101 MeV. He is erg insabiel. Charm quark: een deelje da word weergegeven als c. Een charm quark heef een lading van + e en een rusmassa van 170 MeV. Een charm quark zi ook in deeljes in kosmische sraling. Ani-charm quark: he anideelje van een charm quark. De ani-charm quark word weergegeven als c. He heef een lading van MeV. He is erg insabiel. e en een rusmassa van 9

10 Derde generaie Top quark: een deelje da word weergegeven als. Een op quark heef een lading van + e en een rusmassa van 17 GeV. Di is heel zwaar, waardoor he heel insabiel is en snel verval. Een opquark kom alleen voor in deeljesversnellers en he kwam waarschijnlijk voor bij de oerknal. Ani-op quark: he anideelje van een op quark. Een ani-op quark word weergegeven als. He heef een lading van - e en een rusmassa van 17 GeV. He is erg insabiel. Boom quark: een deelje da word weergegeven als b. Een boom quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 4,19 GeV en 4,67 GeV. He is heel insabiel en verval snel. Een boom-quark kom alleen voor in deeljesversnellers en he kwam waarschijnlijk voor bij de oerknal. Ani-boom quark: he anideelje van een boom quark. Een ani-boom quark word weergegeven als b. He heef een lading van + e en een rusmassa ussen 4,19 GeV en 4,67 GeV. He is zeer insabiel. Le op: we hebben he seeds over rusmassa. Massa is namelijk snelheidsafhankelijk (zie deelvraag ). Afb. 6: Quarks me hun eigenschappen Hadronen Hadronen zijn subaomaire deeljes die ui quarks besaan. Er zijn wee sooren hadronen, namelijk baryonen en mesonen. Baryon: een hadron da besaa ui drie quarks. De nucleonen (deeljes in een aoomkern, dus neuronen en proonen) zijn baryonen. Baryonen hebben een halfallige spin en zijn dus fermionen. Meson: een hadron da besaa ui een quark en een aniquark. Een meson heef een heelallige spin (he is dus een samengeselde boson). Hieronder zie je een overzich van de mees voorkomende mesonen, de quarks waarui ze besaan en 10

11 hun ladingen. Een meson da veel voorkom in kosmische sraling is he pion, - ( ud) of + ( du). Afb. 7: Mesonen me hun eigenschappen Bosonen Een boson bezi een heelallige spin (s=0, s=1, s=, enz.). Verschillende bosonen kunnen zich op hezelfde momen in dezelfde quanumoesand bevinden (ze kunnen dezelfde oriënaie aannemen). Bosonen zijn deeljes die krachen overbrengen ussen fermionen. Ze dragen een van de vier fundamenele nauurkrachen. Deze zijn: 1. Elekromagneisme: Elekromagneisme word overgebrach door foonen (lichdeeljes). Lich is dus elekromagneische sraling da door onze ogen waargenomen kan worden. Een foon word weergegeven als. Een heef geen rusmassa en beweeg zich in vacuüm me de snelheid van he lich. Een foon is heel sabiel, wan he ken geen ijd (zie deelvraag ). Elekromagneisme is de aanduiding voor de ineracie ussen he elekrische veld en he magneische veld. De wee componenen saan alijd loodrech op elkaar.. Serke kernkrach: De serke kernkrach is de krach die quarks samenbind en op groere schaal ook neuronen en proonen bij elkaar houd in een aoomkern. Serke kernkrach word veroorzaak door gluonen. Gluonen (glue=lijm) zijn de krachdragende deeljes die onderling worden uigewisseld door quarks. Ze worden weergegeven als g. Quarks hebben een kleurlading. Deze kleuren zijn rood, groen en blauw (en voor aniquarks zijn di ani-rood, ani-groen en ani-blauw). Deze kleuren hebben nies e maken me kleuren zoals wij ze kennen. Een rode quark is dus nie ech rood. De drie kleuren bij elkaar (of de drie anikleuren bij elkaar) geven een neurale kleurlading. Een meson beva een quark me een kleurlading en een ani-quark me en anikleurlading, dus di geef bij elkaar ook een neurale kleurlading. Hadronen zijn alijd kleur-neuraal. Een gluon hef een kleurlading en een ani-kleurlading. Bij ineracie ussen gluonen en quarks wisselen quarks gluonen ui en daarbij veranderen ze seeds van kleur. Bijvoorbeeld: er is een neuron, da besaa ui wee down-quarks en een upquark. Alle drie de quarks bevaen een verschillende kleur, wan een hadron is 11

12 alijd kleur-neuraal. Er is dus een rode, groene en blauwe quark. De blauwe quark zend een blauw-anigroen gluon ui naar de groene quark. De groene quark word dan blauw (he krijg een blauwe kleurlading en een ani-groene kleurlading) en de blauwe quark word dan groen (he verlies zijn blauwe kleurlading en zijn anigroene kleurlading). De neuron blijf kleur-neuraal. Quarks zouden onderling afgesoen worden doorda ze eenzelfde elekrische lading hebben, als ze nie bij elkaar worden gehouden door overdrach van gluonen. Zie ook afbeelding 8. Afb Zwakke kernkrach: De zwakke kernkrach is de krach die ervoor veranwoordelijk is da zware quarks en leponen vervallen in lichere quarks en leponen. Door he verval in lichere deeljes is al he gewone maerie op aarde opgebouwd ui de lichse quarks (up en down) en de lichse lepon (he elekron). De krachvoerende deeljes van de zwakke kernkrach zijn W +, W - en Z 0. De rusmassa van een W ± -deelje is 80,4 GeV en Z 0 heef een rusmassa van 90, GeV. Er zijn drie basisypen van wisselwerking voor de zwakke kernkrach, namelijk: Een geladen lepon kan een W-boson uizenden of absorberen en omzeen in een corresponderend neurino. Een down ype quark kan een W-boson absorberen of uizenden en overgaan in een superype van een up quark. Zo kan ook een up ype quark een W-boson absorberen of uizenden en overgaan in een superype van he down quark. Een lepon of een quark kan een Z-boson uizenden of absorberen. De eerse wee ypen zijn geladen-sroom-wisselwerkingen. Samen zijn ze veranwoordelijk voor bèa-verval. Hieronder saa muonverval eenvoudig weergegeven: - e - + V + Ve In werkelijkheid gaa he zo: - V + W- W - e - + Ve Je zie da een muon eers verval in een muon-neurino en W - boson, die vervolgens verval in een elekron en een elekron-neurino. 4. Zwaarekrach: Van de vier fundamenele krachen is de zwaarekrach de zwakse, maar wel de bekendse. Zwaarekrach is de aanrekkende krach die wee massa s op elkaar uioefenen. Onderzoekers denken da er een drager is voor de zwaarekrach, 1

13 namelijk he gravion. He gravion zou een sabiele boson zijn, zonder rusmassa en me spin=. De zwaarekrach die op een deelje word uigeoefend, is afhankelijk van de massa en de graviaieconsane. Een deelje krijg zijn massa door he higgs-boson. He higgs-boson is de drager van he higgsveld, da in he hele universum aanwezig is. He higgsveld is een energieveld da de massa van elemenaire deeljes veroorzaak. He higgsveld beïnvloed verschillende deeljes op een verschillende manier. Di hang af van de mae waarin higgs-bosonen aan een deelje blijven plakken. Hoe meer higgs-deeljes er blijven plakken, hoe zwaarder de quark of lepon. Wa bepaal of de higgs-deeljes blijven plakken, is nog onbekend. He werkelijke besaan van he higgs-deelje is echer nog nie bewezen. 13

14 Fermionen (krachvoelende deeljes) Leponen Quarks Eerse generaie Tweede generaie Derde generaie Eerse generaie Tweede generaie Derde generaie deelje symbool Lading rusmassa spin anideelje Elekron e ,511 MeV 1/ posiron Elekronneurino Muon ,6 MeV 1/ Animuon deelje symbool lading rusmassa spin fundamenele nauurkrach Bosonen (krachdragende deeljes) Foon Elekromagneisme Hadronen Ve -1 <,5 ev 1/ Elekronanineurino Muonneurino V -1 <0,17 MeV 1/ Muon-anineurino Tau τ ,777 GeV 1/ Aniau Tauneurino Vτ -1 <18 MeV 1/ Tau-anineurino Up u +/3 1,7 MeV - 1/ Ani-up 3,3 MeV Down d -1/3 4,1 MeV - 1/ Ani-down 5,8 MeV Srange s -1/3 101 MeV 1/ Ani-srange Charm c +/3 170 MeV 1/ Ani-charm Top +/3 17 GeV 1/ Ani-op Boom b -1/3 4,19 GeV - 1/ Ani-Boom 4,67 GeV Gluon g Serke kernkrach W-boson W + /W - +1/-1 80,4 GeV 1 Zwakke kernkrach Z-boson Z , GeV 1 Zwakke kernkrach Gravion Zwaarekrach Higgsboson H + /H - +1/ 0/ 15,3 GeV 0 Zwaarekrach /H 0-1 deelje symbool lading rusmassa spin quarks Mesonen (bosonen) Pion ,6 MeV 0 ud Pion ,6 MeV 0 du Kaon K + /K - +1/ 0/ 494 MeV 1 su/ sd/ ds/ us /K 0-1 Baryonen (fermionen) Proon p ,3 MeV 1/ uud Neuron n 0 939,6 MeV 1/ udd Afb. 9: overzich indeling deeljes (alleen de bekendse hadronen zijn vermeld, wan di zijn er heel veel) 14

15 1. Kosmische sraling en kosmische air showers Nu we een overzich hebben van kosmische deeljes, kunnen we dieper ingaan op he fenomeen kosmische sraling. Kosmische sraling is de verzamelnaam voor allerlei geladen en ongeladen deeljes me veel energie die op de aardamosfeer bosen. Kosmisch beeken: van he heelal afkomsig en sraling is he uizenden van energie in de vorm van elekromagneische golven of subaomaire deeljes. Wanneer een deelje de dampkring binnenkom, bos he egen aomen en onsaa er een air-shower, een lawine van secundaire deeljes. He deelje verval dan in andere deeljes. De invloed van de zwakke kernkrach op he verval van deeljes hebben we al eerder besproken. De lawine van kosmische deeljes die onsaa door verval van een deelje da egen de aardamosfeer bos, noemen we een kosmische air shower. Afb. 10: Kosmische air shower (in de legenda is gegeven da e + = elekron en da e - = posiron, maar di moe andersom zijn) 15

16 Op de bovensaande afbeelding kan je zien da een proon, een posiief geladen deelje (p + ), verval in drie verschillende pionen. - is een negaief geladen pion, + is een posiief geladen pion en v is een neuraal geladen pion. Een ongeladen pion verval bijna alijd in foonen en heel soms in een elekron, e -, een posiron, e +, en een foon. Foonen zijn sabiel en vervallen dus nie. Als een foon me veel energie op maerie bos, kan he veranderen in elekrisch geladen deeljes me massa, een e - en e +. Di word creaie genoemd (omda er maerie onsaa). Een posiief geladen pion val uieen in een +, een animuon, en in een V, een muon-neurino. Een negaief geladen pion val uieen in een -, een muon, en in een V. Een muon is negaief geladen en bij een animuon is di precies he egenovergeselde, dus deze is posiief geladen. Een muon verval in een negaieve e -, een V en een Ve, een elekron-anineurino. Di is he anideelje van he elekron-neurino, een ongeladen elekron. Een animuon verval in een e +, een V en een Ve, een elekron-neurino. Hieronder geven we de reacievergelijkingen van he verval van een proon en de reacies daarop weer. eerse generaie weede generaie derde generaie P v V V v (of in uizondering: v e - + e + + ) - e - + V + Ve + e + + V + Ve e - + e + 16

17 1.3 Bronnen van kosmische sraling Als je gaa opzoeken wa he woord kosmisch beekend, zal je vinden da he heel he heelal beref. He is nie zo da kosmische sraling afkomsig is ui de gehele kosmos. De sraling val nie in onder willekeurige hoeken, maar is afkomsig van bepaalde bronnen in he heelal. Nog lang nie alle bronnen zijn bekend. Afb. 11: Inval van kosmische sraling Ten eerse is de Zon een zeer belangrijke bron van kosmische sraling. Voornamelijk foonen en neurino s zijn afkomsig van de Zon. Ze komen vrij bij fusiereacies, reacies waarbij de kernen van wee verschillende deeljes samengaan. Neurino s zijn eerder in di hoofdsuk al uigebreid besproken. De laagenergeische deeljes die afkomsig zijn ui de zonnewind, een sroom van geladen deeljes die afkomsig is van de Zon, zijn waar e nemen op de polen als he poollich. Door de aardamosfeer worden de deeljes afgebogen naar de polen. Naas he fei da de Zon een bron van kosmische sraling is, besaa er ook een heorie die zeg da de Zon kan zorgen voor een vermindering van kosmische sraling die de Aarde bereik. Aan de hand van de grafieken hieronder is duidelijk e zien da er een verband besaa ussen de hoeveelheid kosmische sraling die de aarde bereik en de zonneaciviei, een verzamelnaam voor alle energierijke verschijnselen die kunnen plaasvinden op de Zon. De rode lijn is een grafiek van de hoeveelheid kosmische sraling en de blauwe lijn is een grafiek van de hoeveelheid zonnevlekken. Je kun zien da de hoeveelheid kosmische sraling afneem, naar mae de zonneaciviei oeneem. Di kom doorda een verhoogde zonneaciviei zorg voor een verserk magneisch veld, afkomsig van de Zon. He verserke magneische veld zorg ervoor da de kosmische sraling de Aarde nie kan bereiken. Abeelding 1b is hier een vereenvoudigde weergave van. zwak magneisch veld Kosmische sraling serk magneisch veld Kosmische sraling Afb. 1a: De rode grafiek geef de hoeveelheid kosmische sraling die de Aarde bereik weer. De blauwe grafiek geef de hoeveelheid zonnevlekken weer. Afb. 1b: De invloed van de magneische velden van de Zon op de kosmische sraling. 17

18 Kosmische sraling is ook afkomsig van supernova s, exploderende serren. Voorda een ser explodeer, sor de kern van de ser als he ware ineen. Hierbij word een massa die gelijk is aan een iende massa van de Zon omgeze in anineurino-paren. Deze paren hebben een energie van een paar MeV. Een groo deel van de neurino s verlaa de ser ongehinderd, waarbij zij een groo deel van de energie me zich meenemen. Deze kosmische deeljes bevaen dan ook veel meer energie dan de deeljes die afkomsig zijn van de Zon. Daarnaas is kosmische sraling ook nog afkomsig van zware gaen, een gebied me een oneindig groe dichheid, waardoor ze een groe aanrekkingskrach hebben. Deeljes die afkomsig zijn ui zware gaen, bevaen enorm veel energie. Waarschijnlijk zorgen zware gaen voor he onsaan van quasars. Quasars lijken op serren, maar he zijn eigenlijk acieve zware gaen. He blijk da ze hoogenergeische deeljes uizenden, omda er onzeend veel lich van deze bronnen afkom. Er zijn nog veel meer bronnen van kosmische sraling, binnen en buien ons Melkwegselsel, maar die worden hier nie genoemd. 18

19 . Wa houd de speciale relaivieisheorie in? Wa er zo bijzonder is aan een muon, is da he heel snel verval en in deze ijd een afsand kan overbruggen da nie realisisch is. Di word ook wel de muon paradox genoemd. He muon zou hiervoor me een snelheid moeen reizen da vele malen groer is dan de lichsnelheid. En da erwijl weenschappers alijd zeggen da nies sneller kan gaan dan he lich! Di is e verklaren me de speciale relaivieisheorie..1 Einseins voorgangers Voorda Einsein geboren was, waren er al veel nauurkundige ween opgeseld. Zonder deze ween had Einsein nooi zijn relaivieisheorieën op kunnen sellen. Galileo Galilei was een van de eerse nauur- en serrenkundigen. Hij kwam eracher da de aarde nie he middelpun van he heelal is. Ook ondeke hij door e experimeneren da voorwerpen zich verzeen egen verandering van beweging. De volgende weenschapper die een belangrijke nauurkundige basis legde was Isaac Newon. Hij heef drie ween opgeseld: 1. Op een voorwerp da me een consane snelheid rechdoor blijf bewegen, werk geen resulerende krach;. ; 3. Acie = -reacie, ofewel Daarbij heef Newon de we van graviaie (massa rek elkaar aan) bedach en zei hij al da je nie kan bepalen of je beweeg of silsaa, mis je eenparig beweeg en afgesloen ben van de wereld (bijvoorbeeld als je in een ruime ben zonder ramen). Di is een van de grondbeginselen van de speciale relaivieisheorie. Hendrik Anoon Lorenz deed vooral veel onderzoek naar elekromagneisme. Ook kwam hij o de veronderselling da massa en lenge worden beïnvloed door snelheid. James Clerk Maxwell is een heel bekende nauurkundige. De Maxwellvergelijkingen zijn heel moeilijk om e begrijpen, maar deze zijn ook nie van belang voor de relaivieisheorie. Wa wel belangrijk is, is zijn conclusie da lich een elekromagneische golf is, da zich voorplan me de snelheid van he lich. 19

20 . Alber Einsein De man die de algemene relaivieisheorie en de speciale relaivieisheorie heef verzonnen, is Alber Einsein. Over zichzelf zeg hij: Ik wee heel zeker da ik geen speciaal alen heb; ik heb mijn ideeën e danken aan mijn nieuwsgierigheid, obsessie en volharding, gecombineerd me zelfkriiek. Hij werd op 14 maar 1879 geboren in Ulm, Duisland. Toen Alber opgroeide, vond hij wiskunde vooral erg leuk. He was een periode waarin veel voorgang werd geboek op he gebied van weenschap. Na de middelbare school ging Einsein naar de Federale Polyechnische School in Zürich, om opgeleid e worden als leraar nauurkunde en wiskunde. He kose hem echer veel moeie om een vase baan als leraar e vinden, dus ging hij aan de slag bij de Zwiserse Ocrooiraad. Ondanks da di een zeer drukke ijd was voor Alber Einsein en hij ijdens zijn werk nie me nauurkunde bezig was, bleef hij nadenken over nauurkunde. Hij was erg onderzoekend en nam nooi ies als de waarheid aan zonder harde bewijzen. In 1905 publiceerde Einsein zijn arikel over de speciale relaivieisheorie. Afb. 13: Alber Einsein 0

21 .3 Relaiviei Wanneer je me een leuk meisje ben, lijk een uur een seconde. Wanneer je op een roodgloeiende sinel zi, lijk een seconde een uur. Da is relaiviei. Alber Einsein. Ies is relaief wanneer he berekkelijk is en alleen en opziche van ies anders besaa. Absoluu is daarenegen ies da los gezien word en kan worden van ies anders. He is in elk opzich hezelfde. Als je zeg da een dier 1 meer hoog is, dan is da absoluu. Maar als je zeg da he dier klein is, dan is da relaief. Ten opziche van wa is he dier klein? Ten opziche van een olifan is he dier klein, maar en opziche van een cavia zal he dier groo zijn. Je kan dus pas zeggen da ies groo of klein is als je he vergelijk me ies anders. Zo is snelheid ook relaief. Sel je voor: je zi in een auo die me 10 km/uur over de snelweg rijd. Dan merk je nie eens da je beweeg. Serker nog, als je ui he raam kijk lijk he alsof de omgeving de andere kan op beweeg. Afb. 14a Afb. 14b Afb. 14c Afb. 14: Een auo rijd me 10 km/uur naar rechs. In 14a zie je da de auo en opziche van de boom aan de linkerkan rijd. In 14b is de auo de boom voorbij gereden. In 14c bekijk je he vanui de auo en nie vanui de omgeving. He lijk alsof de boom naar links is geschoven en de auo nie is verplaas. In afbeelding 14a moe je de boom zien als symbool voor de omgeving. Je zie de auo die over de snelweg rijden me een snelheid van 10 km/uur. Een sukje verder (zie afbeelding 14b) zie je da de auo zich naar rechs heef verplaas en opziche van de omgeving. Maar als je he bekijk en opziche van de auo (zie afbeelding 14c), lijk he alsof de boom zich naar links heef verplaas me een snelheid van 10 km/uur en da de auo sil sond. Snelheid is hier verschillend per waarnemer en dus relaief. 1

22 .4 De wee posulaen van de speciale relaivieisheorie Aan de hand van he begrip relaiviei gaan we kijken naar de speciale relaivieisheorie. Einsein ging ui van wee aannames (posulaen) oen hij deze heorie opselde. De eerse aanname houd in da absolue rus nie besaa. Beweging of rus is alijd relaief en opziche van andere objecen. Ondanks da jij silsaa (en opziche van de aarde), beweeg je en opziche van de zon. In elk ineriaalselsel moeen dan ook dezelfde nauurween gelden. Een ineriaalselsel is een selsel da eenparig beweeg. De andere aanname houd in da de lichsnelheid voor elke waarnemer hezelfde is, ongeach deze persoon in beweging is of nie. Er is nog nooi een deelje gevonden da sneller ging dan he lich. He is goed e onderbouwen da lich in vacuüm consan is. Daarvoor moeen we lich zien als een golf. In deelvraag 1 hebben we al vereld da elekromagneisme de aanduiding is voor de ineracie ussen he elekrische veld en he magneische veld, waarbij de wee componenen alijd loodrech op elkaar saan. Een elekrisch veld heef een bepaalde krach da afhankelijk is van de krach van de elekrische lading. Om een magneisch veld op e wekken moe de elekrische lading bewegen (er moe sroom zijn). Hoe sneller de lading beweeg, hoe serker he magneische veld is. Bij een magneisch veld da precies even serk is als he elekrische veld, beweeg de lading me de lichsnelheid. Hiermee kan je beredeneren da de lichsnelheid consan is! Wan als de snelheid van de elekrische lading lager zou zijn dan de lichsnelheid, dan zou er een magneisch veld onsaan da zwakker is dan he elekrische veld. De golf verlies dan bij elke omzeing energie en doof heel snel ui. Als de snelheid van de elekrische lading hoger zou zijn dan de lichsnelheid, dan zou er een magneisch veld onsaan da serker is dan he elekrische veld. Di is nie mogelijk, omda er dan energie in de vorm van magneisme onsaa zonder oevoeging van exra elekrische energie en energie kan nie ui he nies onsaan. We ween nu dus da lich consan is. Da beeken da je snelheden nie in elk geval mag opellen. Di kan verduidelijk worden me een voorbeeld. Een auo rijd 100 km/h en aan de voorkan van de auo is een kanon bevesigd die schoen afvuur me een snelheid van 100 km/h. De schoen zullen me 00 km/h gaan aangezien x 100 = 00 km/h. Echer, wanneer de auo me de lichsnelheid rijd en de kanonnen ook me de lichsnelheid worden afgevuurd, gaan de schoen gewoon me de lichsnelheid, wan deze is consan. He blijk dus da je bij (relaief) lage snelheden geld:. Bij hoge snelheden geld echer: Als je voor en voor allebei de lichsnelheid invul, dan geld. De formule is dan ook afgeleid van de lichsnelheid en he gegeven.

23 .5 Voorspellingen van de speciale relaivieisheorie Me behulp van de aannames da absolue rus nie besaa en da de lichsnelheid consan is kon Alber Einsein de speciale relaivieisheorie opsellen. De speciale relaivieisheorie beschrijf da lenge, massa en ijdservaringen afhankelijk zijn van de waarnemers. Daarmee deed Einsein een aanal voorspellingen. Lorenzransformaies Lorenzransformaies zijn een vervolg op de Galilei ransformaies. Deze zijn geen voorspelling van Alber Einsein, maar van Hendrik Anoon Lorenz en Einsein heef ze gebruik. Bij de Galilei ransformaies word er uigegaan van wee refereniekaders. Een refereniekader is in de nauurkunde een ruimelijk coördinaenselsel om waarnemingen e beschrijven. Twee refereniekaders zijn dus de waarnemingen van wee verschillende waarnemers. S v S y y x x x O x Afb. 15: Twee refereniekaders In afbeelding 15 zie je die wee refereniekaders, refereniekader S en refereniekader S. S beweeg in de riching van de bal en S saa sil en opziche van S. Galilei bedach hier de volgende formules bij:, en. Galilei nam aan da je vanui S en S y en op dezelfde manier zou waarnemen, maar da de afsand o de bal anders zou zijn. Di zijn correce formules, indien. Di is he geval als klein is, maar we ween dankzij de speciale relaivieisheorie da wanneer de lichsnelheid nader, ijd nie meer als ies absoluus gezien kan worden en nie opgaa. Lorenz ging er al vanui da ijd nie absoluu is. Hij begreep nog nie helemaal waar hij mee bezig was. Einsein begreep di laer wel. Hij kwam op de volgende formules:, en. is de Lorenzfacor. De Lorenzfacor kan ook gedefinieerd worden als:. 3

24 In deze formule geld: - = de Lorenzfacor; - v = de snelheid van he voorwerp; - = de lichsnelheid. Bij Tijddilaaie word de formule van ijddilaaie afgeleid en uigelegd. De afleiding van de Lorenzfacor gaa op dezelfde manier. He begrip voorwerp kan heel breed worden genomen. Meesal gaa he om een bewegend voorwerp en een silsaand persoon als waarnemer. Massaoename Een andere voorspelling is da massa van een lichaam oeneem wanneer zijn snelheid oeneem. Deze neem ne als lenge oe me de Lorenzfacor. Di geef de formule: = In deze formule geld: - = de massa wanneer he voorwerp beweeg; - = de massa van he voorwerp in rus; - = de Lorenzfacor. E=mc Een van de bekendse formules van Einsein is. Eigenlijk is de formule:. De formule waarbij geen rekening word gehouden me de Lorenzfacor slaa dan ook op een voorwerp in rus. In deze formule geld: - = de energie; - = de Lorenz facor; - = de massa; - = de lichsnelheid zeg hier da energie en massa een andere vorm van elkaar zijn (energie en massa zijn equivalen). De massa van een lichaam is dus gelijkwaardig me zijn energie. Een duidelijk voorbeeld hiervan is een auomoor, als men daarin benzine verbrand onsaa er energie. Sel je nu voor da iemand in een ruimeschip de rakemooren aanze om zo o een groere snelheid e bereiken. De massa van de brandsof word omgeze in energie (ne als bij de auomoor en benzine). Maar aangezien energie zelf ook een massa heef, neem de massa van de rake oe. Voor een waarnemer buien de rake word in feie maar heel weinig van de exra energie gebruik om de snelheid e verhogen. Als de rake ook maar in de buur van de lichsnelheid kom word zijn massa zo groo, da he bijna onmogelijk is om door middel van exra energie de snelheid e verhogen. Volgens Einsein heef een 4

25 lichaam wanneer he nie beweeg een hoeveelheid energie da afhankelijk is van de massa. Massa kan worden omgeze in energie en andersom. Als je naar de formule kijk en je wee da c ongeveer m/s is, zie je da er maar een hele kleine hoeveelheid massa nodig is om erg veel energie vrij e maken, wan je moe de massa vermenigvuldigen me de lichsnelheid in he kwadraa om de hoeveelheid energie e berekenen. Lengeconracie Bewegende lichamen worden korer in de bewegingsriching. Di is een voorspelling die Lorenz al eerder had voorspeld. Hij kwam op de juise formules ui, hoewel hij he nog nie zo goed begreep als Einsein laer deed. Op afbeelding 13 kan je zien da Einseins gezich in de bewegingsriching korer word als je he heel snel opzij beweeg. Afb. 16: Bewegende foo van Alber Einsein. Lorenzconracie (ofwel lengeconracie) is he korer worden van bewegingslichamen in de bewegingsriching en di is e berekenen me de Lorenzfacor. Di volg ui de formule:. In deze formule geld: - = de lenge van he bewegende voorwerp; - = de lenge van he voorwerp in rus - = de snelheid van he voorwerp - = de lichsnelheid Tijddilaaie Einsein voorspelde da bewegende klokken rager lopen dan silsaande klokken. Di verschijnsel word ijddilaaie genoemd. Dilaaie beekend uirekking, dus ijddilaaie is de uirekking van de ijd. Zo verloop de ijd van zeer snel bewegende deeljes langzamer dan deze van minder snelle deeljes. Di is ook een verklaring voor de muon paradox. He muon kan in een zeer kore ijd (die wij op aarde meen) een groe afsand afleggen, doorda zijn ijd en opziche van die van ons langzaam verloop. 5

26 Afleiding formule ijddilaaie Afb. 17a en 17b: lichsralen weerkaas ussen wee evenwijdige spiegels In afbeelding 17a zijn wee evenwijdige spiegels e zien, waarussen een lichsraal word weerkaas. De ijd die de lichsraal daarvoor nodig heef, kan worden h berekend me de formule. c In afbeelding 17b zijn weer wee evenwijdige spiegels e zien, maar in di geval word de onderse spiegel over een reche lijn naar rechs verplaas. De ijd die de lichsraal in di geval nodig heef om heen en weer e gaan, kan worde berekend D me de formule. Me behulp van de selling van Pyhagoras kan de zijde D c van de rechhoekige driehoek worden berekend. Hiervoor hebben we de helf van de afgelegde afsand nodig. De gehele afsand die de spiegel afleg, is e berekenen me de formule s v. Hierui volg da 1 1 v. Nu kunnen we zeggen da D D gelijk is aan h ( 1 v ). Door D in e vullen bij de formule, onsaa c de formule word afgeleid. h ( 1 c v ) s. Hieronder is e zien hoe deze formule verder h ( 1 c v ) 1 4( h ( v ) ) c 1 4h 4( v ) c kwadraeren haakjes wegwerken 1 4h 4( 4 v ) c 6

27 c c 4 h v c 4h v v 4h ( c v ) 4h v c ( c (1 )) 4h 4h v c (1 c c 1 h v c h 1 c v 1 c 1 c v ) breuk wegwerken c naar één kan halen buien haakjes halen buien haakjes halen vrijmaken worel rekken splisen h c h vervangen door (immers geld: ) c Deze laase formule word gebruik om de ijddilaaie ui e rekenen op een direce manier. In deze formule geld: - = de ijd die een voorwerp heef doorlopen - v = de snelheid van da voorwerp - c = de lichsnelheid - = de ijddilaaie, dus de ijd die he voorwerp heef doorlopen en opziche van een silsaand voorwerp De indirece manier om de ijddilaaie ui e rekenen, is door eers de Lorenzfacor e berekenen. De formule om me de Lorenzfacor de ijddilaaie e berekenen, is:. In deze formule geld: - = de ijd die een voorwerp heef doorlopen; 7

28 - = de ijddilaaie, dus de ijd die he voorwerp heef doorlopen en opziche van een silsaand voorwerp; - = de Lorenzfacor. Voor ijddilaaie geld dus:. v 1 c Toepassing formule ijddilaaie Voorbeeld 1 Een fieser rijd me 18 km/h over een reche weg. Een man zi op een bankje en volg de fieser me zijn ogen. Me behulp van de formule van ijddilaaie kunnen we de facor berekenen waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens De snelheid van de fieser is 18 km/h. Voor de lichsnelheid gebruiken we de eenheid m/s, dus voor de snelheid van de fieser moe ook deze eenheid worden gebruik. 18 v = = 5,0 m/s 3,6 c = 3, m/s (ongeveer) Berekening Om de facor e bepalen waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd, hoeven we alleen maar naar de noemer e kijken. Hieronder saa de berekening van de noemer. 1 5 (3, ) = 1 (nagenoeg) Conclusie De facor waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd, is nagenoeg gelijk aan 1. Er is dus geen ijddilaaie waar e nemen. Voorbeeld Een rake gaa me 1300 m/s. Vanaf de aarde kijk iemand oe hoe de rake de luch in word geschoen. Me behulp van de formule van ijddilaaie kunnen we de 8

29 facor berekenen waarmee de ijd van de rake en opziche van de persoon is verraagd. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens v = 1300 m/s c = 3, m/s (ongeveer) Berekening (3, ) = 1 (nagenoeg) Conclusie Rakeen ondergaan geen ijddilaaie. Vaak worden rakeen in voorbeelden bij ijddilaaie genoemd, maar di is in werkelijkheid onjuis. Voorbeeld 3 Een elekron word versneld in de deeljesversneller in Geneve. He deelje word op een snelheid van, m/s gebrach. Me nauwkeurige meeapparauur word he deelje,00 seconden gevolgd. Aan de hand van de formule voor ijddilaaie kan de eigenijd van he deelje worden berekend. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens = s v =, m/s c = 3, m/s Berekening,00 8 (,70 10 ) 1 8 (3,00 10 ) = 4,59 s 9

30 Conclusie Terwijl de meeapparauur,00 seconden heef gemeen, heef he elekron zelf een ijd van 4,59 seconden ondergaan. Door de hoge snelheid van he deelje is er dus sprake van ijddilaaie. 30

31 .6 Verschil speciale relaivieisheorie en algemene relaivieisheorie In 1915 schreef Alber Einsein nog een arikel, De algemene relaivieisheorie is een verdieping op de speciale relaivieisheorie, waarbij rekening word gehouden me de zwaarekrach. De speciale relaivieisheorie hee zo, omda je he alleen kan gebruiken in speciale gevallen. He kan gebruik worden zolang je geen rekening hoef e houden me de zwaarekrach (of me versnellende deeljes). Als je wel e maken heb me een versnelling, gaan de formules van de speciale relaivieisheorie nie meer op en moe je de formules van de algemene relaivieisheorie gebruiken. 31

32 3 De snelheid van muonen 3.1 Inleiding In he weede hoofdsuk is de speciale relaivieisheorie van Einsein behandeld. Bij deze heorie hoor de formule van ijddilaaie. Me behulp van voorbeelden is duidelijk geworden da ijddilaaie alleen waarneembaar is bij zeer hoge snelheden. Een goede verklaring voor he fei da muonen op aarde worden gedeeceerd, erwijl ze zo n groe afsand afleggen, is da ze ijddilaaie ondergaan. Hiervoor zou hun snelheid in de orde van grooe van lichsnelheid moeen liggen. Wa is de snelheid van muonen? Wij vermoeden da de gemiddelde snelheid van muonen inderdaad in de orde van grooe van de lichsnelheid lig, omda er geen andere logische verklaring is voor he fei da muonen de aarde bereiken. Om de snelheid e kunnen berekenen, is een afsand en een ijd nodig. Bij di experimen worden wee gelijke deecoren op een bepaalde afsand precies boven elkaar geplaas. Een deel van de muonen, die van ongeveer 10 km hooge komen (volgens meerdere nauurkundesudenen van de universiei van Leiden), verval in de bovense deecor, maar een groer deel gaa door de bovense deecor heen en bereik ook de onderse deecor. Deze muonen zorgen dus in beide deecoren voor he onsaan van foonen. In deelvraag 3 is uigelegd hoe di werk. Beide deecoren zijn me een snoer aangesloen op een meekasje. Deze snoeren moeen even lang zijn, omda we he ijdsverschil ussen he neerkomen van een muon op de bovense deecor en he neerkomen op de onderse deecor gaan meen. In een langer snoer is een signaal namelijk langer onderweg dan in een kor snoer. Als we één langer snoer zouden gebruiken, zou de waarde van de ijd die bij da snoer gemeen word, e hoog zijn. De afsand ussen de wee deecoren word handmaig gemeen me een liniaal. Hierdoor kunnen we op de millimeer nauwkeurig de afsand ussen de wee deecoren bepalen. Als we er één millimeer naas zien, krijgen we een afwijking in de snelheid die in de orde is van een miljoen meer per seconde. Di lijk erg veel, maar die miljoen meer per seconde is slechs 1% van de werkelijke snelheid. He meen me een liniaal is dus nauwkeurig genoeg. Me behulp van zeer nauwkeurige meeapparauur, waarvan een afbeelding bij maerialen saa, kunnen we he ijdsverschil in nanoseconden meen. Als een muon de bovense deecor en de onderse deecor bereik, zal he meekasje dus wee ijdsippen waarnemen. He verschil ussen de wee ijdsippen word door de compuer uigerekend. We kunnen aannemen da de wee pulsen worden veroorzaak door één muon, omda de kans da wee muonen (nagenoeg) gelijk neerkomen, onzeend klein is. 3

33 µ - µ - Nu is he nauurlijk zo da muonen van allerlei verschillende kanen komen. Sommige muonen vallen loodrech op de scinillaor in, andere muonen vallen schuin in. Door de variaie in invalshoeken leggen verschillende muonen verschillende afsanden af ussen de wee deecoren. Deze afsanden kunnen we me de beschikbare apparauur nie onderscheiden, maar da is in principe ook nie noodzakelijk voor onze meing. De muonen gaan immers me zo n hoge snelheid, da he over zo n kleine afsand nie veel uimaak of ze nou 0 cm of 4 cm afleggen. Bij deze afsanden zal de ijd in dezelfde orde van grooe blijven liggen. µ - Afb. 18: De afgelegde afsand ussen de deecoren verschil per muon. Naas he fei da de afgelegde afsand per muon kan verschillen, zijn er ook nog een aanal andere meeonnauwkeurigheden. Andere onnauwkeurigheden onsaan doorda de afsanden ussen de plaen handmaig zijn gemeen me een liniaal, of doorda he meesyseem misschien nie helemaal perfec werk. He kan bijvoorbeeld zo zijn da wij de afsand ussen de wee scinillaorplaen nie op de millimeer nauwkeurig meen, of da we de plaen nie precies evenwijdig boven elkaar plaasen. Wij zouden door di soor meefouen veranwoordelijk zijn voor he onsaan van foue resulaen. Daarnaas besaa er ook een kans da onderdelen van de meeapparauur nie helemaal gaaf zijn. Er besaa bijvoorbeeld een mogelijkheid da één van de snoeren beschadigd is, waardoor he signaal door di snoer word verraagd. Indien di snoer word aangesloen op de bovense scinillaor, zal een groere worden gemeen, waardoor een lagere snelheid zal worden berekend. He signaal ui de bovense scinillaor kom immers laer aan dan zou moeen, erwijl he signaal ui de onderse scinillaor nie is verraagd. Bij he aansluien van he beschadigde snoer op de onderse scinillaor zal juis een langere worden gemeen, waardoor een hogere snelheid zal worden berekend. In de alinea hierboven zijn een aanal voorbeelden gegeven van meeonnauwkeurigheden. Er zijn nauurlijk nog veel meer oorzaken waardoor een experimen kan mislukken. Aangezien wij nie beschikken over de ervaring en de middelen om di experimen professioneel ui e voeren, zullen onze resulaen sowieso afwijken van de waarde voor de gemiddelde snelheid die in de lierauur is gegeven. Onderzoekers hebben al eerder een waarde van ongeveer, m/s gevonden voor de gemiddelde snelheid van muonen. Di is 97% van de lichsnelheid (, m/s). He is belangrijk om e beseffen da we een gemiddelde snelheid gaan meen, omda de snelheid van muonen verschil. 33

34 3. Berekening minimale snelheid In deze paragraaf berekenen we de minimale snelheid waarmee een bepaald percenage van de muonen de Aarde zal bereiken. Di percenage word in he volgende hoofdsuk verklaard. De berekening van de snelheid die bij di percenage hoor, word in deze paragraaf in sappen uigelegd. Formules (1) N( ) N 0 e Hierin is: - N de hoeveelheid deeljes die overblijf na de vervalijd - N 0 de hoeveelheid deeljes op ijdsip 0 - he ijdsip waarop je N wil bepalen - de gemiddelde vervalijd van he deelje in rusoesand Als je voor N invul, is N e zien als percenage overgebleven deeljes. () 1 v c Hierin is: - de verlengde vervalijd van he deelje - de gemiddelde vervalijd van he deelje in rusoesand - v de snelheid van he deelje - c de lichsnelheid Di is nauurlijk de formule voor ijddilaaie (zie hoofdsuk ), maar dan me een vervalijd in plaas van een gewone ijd. (3) v s Hierin is: - v de snelheid van he deelje - s de afsand die he deelje afleg - de ijd die he deelje erover doe om die afsand af e leggen Waarden (1) N 0 ( ) N e, N is, (word in de volgende deelvraag verklaard) - N 0 is 100 (dus N is een percenage) e - is onbekend, maar deze variabele kan worden weggehaald me de derde formule 34

35 - is onbekend, maar deze variabele kan worden weggehaald me de weede formule () 1 v c, 1 10 v c 6 - is onbekend - is, 10-6 s (lierauurwaarde voor de vervalijd) - v is onbekend - c is, m/s (vullen we voor he gemak nog nie in) 4 s 1,0 10 (3) v v - v is onbekend - s is 1, m (we gaan ervan ui dan de muonen op 10 km hooge onsaan) - is onbekend Combinaie van formules Eers vullen we de weede formule in bij de eerse formule. In de noemer van de exponen kom dan een breuk e saan. De noemer van deze breuk kan helemaal naar boven worden gehaald. Hiermee onsaan de ondersaande formule., e 1 v c 6, 10 Nu saan er nog wee variabelen in de vergelijking, namelijk en v. De lichsnelheid is immers geen variabele. De kunnen we wegwerken door de derde formule in e vullen., e 4 1, v, 10 v c 6 Herleiding van formule, e 4 1, v, 10 v c 6 noemer verschuiven, e 1 v 4 c 1,0 10 v 6, 10 v in worel verwerken 35

36 ,06, e e 1 v 4 c 1,0 10 v 6, ,0 10 v c 6, , v c,06 10 e ln(, ) 4, ln (,06 10 ), ( ) v c ln ,066 10, (,06 10 ) 9, ln (,06 10 ) v, v 630 v,066 v, v 30 19, v 1,8 10 m / s v 30 c c breuk onder woreleken herleiden breuk in exponen wegwerken exponen wegwerken door nauurlijk logarime e gebruiken woreleken wegwerken door e kwadraeren haakjes wegwerken breuk wegwerken door lichsnelheid in e vullen logarime opschrijven als gealwaarde naar één kan halen v vrijmaken worel rekken en uirekenen Conclusie De snelheid die bij een percenage van, hoor, is ongeveer 1, m/s. Di is dus de minimale grenswaarde van de snelheid van di percenage muonen. De maximale grenswaarde van de snelheid is nauurlijk de lichsnelheid. 36

37 3.3 Maerialen Hieronder saan de benodigdheden voor he onderzoek. In de inleiding is een uigebreide uileg van de opbouw van een deecor e vinden. - deecoren - verselbare onderseuningen - 4 snoeren (waarvan me gelijke lenge) - meekasje - compuer - he programma MuonLab II Afb. 19: De deecoren (zilver) boven elkaar geplaas 37

38 3.4 Werkwijze In de inleiding van di hoofdsuk is al besproken da we e maken hebben me verschillende meeonnauwkeurigheden. Om he aanal onnauwkeurigheden van de apparauur e verkleinen, voeren we de proef driemaal ui. Verderop word uigelegd hoe we de fouen erui kunnen halen door de proef meerdere malen ui e voeren. Eers word hieronder de werkwijze van een enkele proef beschreven: 1. Leg deecor 1 op een horizonaal vlak.. Plaas deecor me behulp van de wee onderseuningen evenwijdig en rech boven deecor Mee de afsand ussen de wee deecoren me een liniaal. 4. Slui beide deecoren me de wee gelijke snoeren aan op he meekasje. 5. Slui he meekasje me de overige snoeren aan op de compuer. 6. Open he programma MuonLab II en zorg voor de juise insellingen. 7. Wach o de grafiek op he compuerbeeldscherm nie meer verander. Di is na ongeveer een half uur. 8. Sop de meing. 9. Noeer de mees waargenomen snelheid. 10. Voer deze proef nog weemaal ui, maar seeds me een groere afsand ussen de wee deecoren. Di was de werkwijze van de proef. Nu volg de werkwijze van de berekeningen. Deze word verduidelijk aan de hand van afbeeldingen. De afbeeldingen impliceren de deecoren bij de eerse, de weede en de derde keer uivoeren van de proef. s 1 He programma mee bij deze siuaie gem1. Afb. 0a: siuaie 1 s He programma mee bij deze siuaie gem. Afb. 0b: Siuaie s 3 He programma mee bij deze siuaie gem3. Afb. 0c: Siuaie 3 38

39 In de meing van een ijd is de onnauwkeurigheid van de apparauur meegerekend. We kunnen er vanui gaan da de fou nie ijdafhankelijk is. Di beeken da bij elke waarde van de ijd, de waarde van de fou alijd hezelfde is. Om de waarde van de fou e elimineren, moeen we de ijden van elkaar afrekken. gemeen gem1 = werkelijke gem1 + fou gemeen gem = werkelijke gem + fou Ggem 1 = ( Wgem + fou ) ( Wgem1 + fou ) = Wgem Wgem1 = Wgem 1 De afkoring gem geef aan da he om een gemiddeld ijdverschil gaa. G en W geven aan of he om een gemeen of om een werkelijk ijdverschil gaa. Bij de Wgem 1 hoor nauurlijk de afsand s s 1. Di beref de afsand ussen de onderkan van deecor en de bovenkan van deecor 1 (zie afbeelding 0). Deze afsand dien apar e worden gemeen, dus he is nie de bedoeling da s1 van word afgehaald. De afsanden worden gemeen me een liniaal, dus di is nie zo heel nauwkeurig. Als we er vanui gaan da elke gemeen afsand wel ies afwijk van elke werkelijke afsand, is he logisch da we zo min mogelijk moeen opmeen. He is he nauwkeuriger om s s1 in één keer op e meen. Voor onze berekening gebruiken we seeds de korse afsand ussen de balken. Een groo gedeele van de meefouen da door de apparauur word veroorzaak, word in ieder geval me behulp van de berekening op de vorige bladzijde vernieigd. Ui de bovensaande berekening blijk da de proef wee keer moe worden uigevoerd om o een werkelijke e komen. Er word geen snelheid berekend na he uivoeren van de proef bij siuaie 1. Pas na he uivoeren van de proef bij siuaie word een snelheid gemeen. Siuaie 1 word dus alleen maar gebruik om de apparauurfou ui de meing e halen. De snelheid word gemeen door de afsand ussen de balken bij siuaie e delen door gem 1. s Er mag alleen nog nie worden gezegd da alle apparauurfouen nu zijn geëlimineerd. He is mogelijk om een nauwkeuriger resulaa e verkrijgen. Hiervoor moeen we de proef nog een keer uivoeren. Hoe vaker we de proef uivoeren, hoe exacer ons anwoord op de onderzoeksvraag zal zijn. Wij voeren de proef drie keer ui. Hieronder is e zien hoe de resulaen van de proef bij siuaie 3 worden verwerk me de resulaen van de vorige berekening. gemeen gem1 = werkelijke gem1 + fou gemeen gem3 = werkelijke gem3 + fou Ggem3 1 = ( Wgem3 + fou ) ( Wgem1 + fou ) = Wgem3 Wgem1 = Wgem3 1 39

40 De snelheid word gemeen door de afsand ussen de balken bij siuaie 3 e delen door gem3 1. Nu zijn er dus wee snelheden bepaald en berekend. Deze zullen ies van elkaar afwijken. Van deze wee snelheden zullen we he gemiddelde nemen als he uieindelijke anwoord op de onderzoeksvraag. 40

41 3.5 Resulaen Op de volgende wee bladzijden saan drie verschillend grafieken. De eerse grafiek hoor bij siuaie 1, de weede grafiek hoor bij siuaie en de derde grafiek hoor bij siuaie 3. Op de x-as saan de waarden voor he ijdverschil ussen he neerkomen van een muon op de bovense deecor en he neerkomen van dazelfde muon op de onderse deecor. He lijk misschien vreemd da er ook negaieve geallen op deze as saan, maar die minnejes moeen we negeren. Ze hebben e maken me de insellingen, dus he is nie zo da er negaieve waarden voor he ijdsverschil zijn gevonden. Op de y-as saa he aanal his, he aanal muonen da is ingeslagen, me een bepaalde waarde voor he ijdsverschil. In elk van de drie grafieken is e zien da nie voor elk muon gelijk is. He blijk da alle grafiek de vorm van een normaalverdeling hebben. Een normale verdeling is alijd klokvormig en symmerisch. Daarnaas is in he midden van zo n grafiek alijd he gemiddelde, de waarde die he vaaks is geregisreerd. Bij di experimen is da dus he ijdverschil da he mees is waargenomen. He oppervlak onder de grafiek van een normale verdeling beva alle gegevens die zijn binnengekomen. Di beeken da alle muon-inslagen in de grafieken zijn verwerk. In alle drie de grafieken is links van,1 nanoseconden een ga e zien. Waarschijnlijk is di veroorzaak door een defec in he programma en zijn de inslagen me deze wel meegerekend. Afb. 1a: De grafiek van de proef bij siuaie 1 41

42 Afb. 1b: De grafiek van de proef bij siuaie Afb. 1c: De grafiek van de proef bij siuaie 3 Ui eerdere onderzoeken is al gebleken da er geen vase snelheid aan alle muonen val oe e kennen. De snelheid verschil per muon. Daardoor is de ijd die een muon erover doe om van de bovense scinillaor naar de onderse scinillaor e komen nie voor alle muonen hezelfde. Di verklaar de verschillen in. 4

43 Een verklaring voor de specifieke vorm van de grafieken is echer wa lasiger e bedenken. Misschien is he een vassaand gegeven in de nauur da muonen alijd dezelfde verdeling qua snelheid hebben. He kan ook zo zijn da he verschil in afgelegde weg invloed heef op de vorm van de grafiek. In de inleiding van di hoofdsuk is uigelegd hoe he kom da muonen verschillende afsanden afleggen ussen de wee deecoren. Hoe deze verschillen invloed zouden kunnen hebben op de grafiek, is voor di experimen nie van belang. Daarnaas mogen we deze heorie och nie als waarheid beschouwen, omda we er geen bewijs voor hebben. Als we de grafieken heel nauwkeurig bekijken, kunnen we zien da he gemiddelde seeds een klein sukje naar rechs is verschoven. Di kom doorda de afsand ussen de deecoren seeds werd vergroo. Hierdoor word he ijdverschil groer en verschuif he cenrum van de grafiek, he gemiddelde, naar rechs op de x-as. De resulaen die we nodig hebben voor de berekening van de snelheid saan op de volgende bladzijde in een abel geordend. De afsanden hebben we zelf opgemeen en de gemiddelde ijdverschillen zijn af e lezen ui de bovensaande afbeeldingen me de grafieken. Ze saa acher cener, rechsboven in de afbeelding. proefnummer afsand ussen deecoren in meers gemiddeld ijdverschil in seconden 1 0,00 m -1, s 7, m -1, s 3 1, m -0, s Hieronder saan de berekeningen die o de bij di experimen gemeen snelheid zal leiden. In de werkwijze is een uigebreide uileg van de berekeningen e vinden. Eers berekenen we de snelheid van de muonen aan de hand van de resulaen van proef 1 en proef. v gem s gem1 ( 1,57 7, ) 10 ( 1, ), m s Vervolgens berekenen we de snelheid van de muonen aan de hand van de resulaen proef 1 en proef 3. v gem3 s 3 gem1 ( 0,71 1, ) 10 ( 1, ) 1, m s De kans op een fou in de meing word verkleind door he gemiddelde van deze wee bovenberekende snelheden e nemen. 43

44 8 8, , v gem,0 10 m / s 3.6 Conclusie De gemiddelde snelheid die wij hebben gevonden is, m/s. Di kom overeen me de hypohese die is gevormd aan de hand van de berekening ui de weede paragraaf. In deze paragraaf is een minimale snelheid van 1, m/s berekend. De door ons gevonden snelheid is nie lager dan 1, m/s, dus de geselde hypohese blijk juis e zijn. Aan he exponen kunnen we zien, zoals in de hypohese genoemd, da de gemiddelde snelheid van muonen in de orde van de lichsnelheid lig. Hierdoor is he mogelijk da ze ijddilaaie ondergaan. He is wel zeer belangrijk e onhouden da de snelheid kan verschillen per muon. 44

45 4. Wa is de gemiddelde vervalijd van muonen? 4.1 Inleiding In deze deelvraag gaan we de gemiddelde vervalijd van muonen meen. In combinaie me de snelheid die we hebben gemeen bij deelvraag 3, bewijzen we da he onmogelijk is da een percenage van muonen de aarde haal, zonder de speciale relaivieisheorie. De speciale relaivieisheorie van Alber Einsein gaf al aan da de ijd als he ware rager gaa voor deeljes die me een enorm groe snelheid bewegen (ies wa bij de lichsnelheid in de buur kom). We gaan me behulp van 3 formules berekenen welk percenage van muonen die op ien kilomeer hooge worden gevormd op aarde aankomen. Di doen we wee keer, we beginnen me waarden die we in lierauur gevonden hebben (zoals gemiddelde vervalijd in rusoesand, snelheid), vervolgens berekenen we hezelfde percenage me de waarden die wij hebben gevonden me onze experimenen. He is belangrijk om e onhouden da wij in deze deelvraag bijna alijd van een gemiddelde spreken, en da dus zeker nie wil zeggen da wa wij zeggen voor elk muon geld. 45

46 4. Theorie Me behulp van HiSPARC-apparauur word bij di experimen de vervalijd van muonen bepaald. De daa word verzameld me apparauur die in feie willekeurige gebeurenissen el. In werkelijkheid komen er veel meer deeljes he apparauur binnen. Door bepaalde insellingen word voorkomen da deze deeljes gemeen worden door de sofware. He eerse onderdeel van de deecor waarmee een muon in aanraking kom, is de scinillaor. Deze besaa vooral ui perspex en beva ook een kleine hoeveelheid van een organische sof. Afb.: he lampje van binnenkomende deeljes blijf branden, he zijn nie allemaal muonen. De aomen in de scinillaor worden aangeslagen door de kineische energie van de muonen die op de scinillaor neerkomen. Aangeslagen wil zeggen da een elekron naar een hogere elekronenschil gaa, door oevoeging van energie aan he desbereffende elekron. Wanneer de elekronen van de aomen weer vervallen naar een lagere baan, wa vrijwel direc gebeur, kom de energie vrij in de vorm van lich. Lich kan men zien als deeljes of als sraling. De deeljes worden foonen genoemd. De foonen worden weerkaas in de scinillaor, oda ze de doorgang naar de fooverserkerbuis hebben gevonden. Om e voorkomen da er lich onsnap, is de scinillaor verpak me speciaal maeriaal. Energie ᵞ Afb. 3: door de energie gaa he elekron naar een hogere energiebaan (links) en verval vervolgens weer (rechs), waardoor een foon vrijkom 46

47 Wanneer een muon neerkom op de scinillaor, gaa er een signaal naar de compuer. Er word dan als he ware een window geopend in de sofware van de aangesloen compuer. Een window kun je zien als een soor ijdsbalk. He proces ussen he neerkomen van een muon en he openen van een window gebeur in verwaarloosbare kleine ijd. De ijdsbalk is zo gekozen da he zeer waarschijnlijk is da de weede gebeurenis binnen de window he verval is van dezelfde muon. Men moe hierbij denken aan ongeveer 0 microseconden. Binnen T verval he muon da eerder is neergeslagen volgens de formule: - e - + V + Ve. In de window is di als puls waar e nemen. De window slui hierna gelijk en er word er pas weer één geopend als er weer een foon word uigezonden. Ook is de window zo gekozen da de kans erg klein is da er binnen de window een weede muon binnenkom. De reden da we een week lang moeen meen is da he verval van een muon binnen de deecorplaa eigenlijk heel zeldzaam is. Dus we hebben erg veel meingen nodig. Aangezien he zeldzaam is da muonen binnen de deecor vervallen zal he vaak voorkomen da er een window word geopend zonder da er een weede gebeurenis plaasvind. In di geval zal he programma nies opslaan en begin he proces opnieuw. Window T is verdeel in vele kleine sukjes die we bins noemen. A B bins Afb. 4: vereenvoudigde weergave van window T, onderverdeel in N bins Op pun A slaa er een muon in op de scinillaor en op pun B verval hezelfde muon. De waarde van is 6,5 nanoseconden (1 bin is dus 6,5 s). Voor T geld: T = N x. T Sel da we meerdere ijdsbalken (zoals in afb. 3) samenvoegen in een gezamenlijke ijdsbalk. De window word geopend als er inslag van muonen op de scinillaor is, he vervallen van de muonen word aangegeven door een rode sip, dan slui de window en word er een nieuwe geopend als er een nieuwe aanslag is. Voor he gemak volgen de windows elkaar in deze ijdsbalk op. 47

48 his bins Window 1 Window Window 3 Afb.5: een ijdsbalk van meerdere windows, verdeel in 15 bins Window 4 Window 5 Als we de resulaen van he bovensaande voorbeeld in een hisogram verwerken krijgen we he volgende e zien: bins Afb. 6: hisogram van de onvangen daa. Hierop is dus e zien na hoeveel bins een aanal muonen zijn vervallen. In di geval is de muon van window 1, na 5 bins vervallen, de muon van window 4 na bins, de muon van window 5 na 1 bin, maar zowel de muon van window als window 3 zijn na 3 bins vervallen. Blijkbaar is de kans dus groer om na 3 bins e vervallen. Di is nauurlijk een serk vereenvoudigd weergave van de werkelijkheid. Omda we e maken hebben me willekeurige gebeurenissen, is he nodig om me kansberekeningen aan de slag e gaan. Er zijn wee algemene regels voor kans rekenen: Regel 1: Samengeselde kans: Als wee gebeurenissen elkaar uisluien (gooi 1 óf me een dobbelseen), is de kans op de som van de gebeurenissen de som van de kans op de afzonderlijke gebeurenissen: 48

49 Regel : Onafhankelijke kans: Als wee gebeurenissen onafhankelijk zijn (bijvoorbeeld dubbel zes), dan is de kans op deze gebeurenis he produc van de afzonderlijke kansen: In elk klein ijdsinerval Δ is er een gelijke kans da er een gebeurenis plaasvind. Een gebeurenis is in di geval he verval van een muon. Deze kans is. Hierin is r een consane, de gemiddelde rae. Aangezien een kans geen eenheid heef en de eenheid van Δ seconde is, moe de eenheid van r zijn. Omda de kans op wél een gebeurenis is, is de kans op geen gebeurenis gelijk aan. De kans op wél een gebeurenis en de kans op geen gebeurenis is namelijk bij elkaar 1, omda he geheel van alle gebeurenissen 100% is. P 1( ) P 0( ) P 0 N Deze formule is de kans da er N inervallen niks gebeur. Vervolgens maken we de inervallen ( ) kleiner door N groer e maken. Di gaa volgens formule: He saa vas da T 0 μs 3 ns). Di is zo gekozen zoda he zeer onwaarschijnlijk is da er binnen 1 window meerdere muonen worden gedeeceerd. Aangezien di een vas saand gegeven is, variëren alleen de en N. We willen voor een waarde van 6,5 ns krijgen (omda een bin 6,5 seconde is). Dus voor N moeen we dan nemen volgens: Omda N nu zo groo is geworden kunnen we spreken van een limie. Dus kunnen we ook de volgende wiskundige waarheid gebruiken: De formule N N N kunnen we ook ombouwen. N Als we di oepassen op de eerder genoemde wiskundige waarheid krijgen we he volgende: N = 49

50 is de kans da er geen gebeurenis plaasvind. Als we weer gaan kijken naar de gebeurenissen die wel in inerval voorkomen kan je nog seeds gebruik maken van de formule. He maak namelijk nie ui hoevaak je een dobbelseen gooi, de kans da je 6 gooi is nog seeds. De kans da we na T een puls waarnemen is. He is namelijk onafhankelijk van elkaar. De verdeling van de kans neem me de ijd af, dus de kans da er geen gebeurenis plaasvind word me de ijd minder. Di klink nauurlijk erg raar aangezien we ne al zeiden da de gebeurenissen eigenlijk onafhankelijk van elkaar zijn, och blijk he da hoe langer men wach hoe groer de kans op wél een gebeurenis is. Di kunnen we verduidelijken me een voorbeeld: We werpen een mun N keer in de luch, we zien kop als wél een gebeurenis, en mun als geen gebeurenis. Hierbij is alijd ussen 0 en 1, omda we spreken van een kans op ies. De grafiek die bij de bovensaande vergelijking hoor zie je hieronder Afb. 7: voorbeeld grafiek. Je zie da de kans op geen gebeurenis seeds kleiner word, da wil dus zeggen da de kans op kop seeds groer, hoe vaker je werp. Een grafiek als hierboven word een verdelingsfuncie genoemd, di word gebruik bij kansen die coninu zijn. Ons formule is nu dus. Omda we nu e maken hebben me een limie en erg klein is gekozen kunnen we van d maken. Wanneer namelijk zo klein is da he verschil ussen de wee ijdsippen eigenlijk 1 pun word, gaa men van d spreken in plaas van. Dus word = De verdelingsfuncie I 1() = verel ons hoe de gebeurenissen (de muon-verval gebeurenissen) verdeeld zijn in de ijd. Als we de kans ussen wee ijdsinervallen willen ween moeen we inegreren ussen de wee desbereffende inervallen. Als we bijvoorbeeld ussen 1 en willen inegreren: 50

51 We gebruiken voor de verdelingsfuncie de mees algemene formule. We nemen voor r, (alleen de r die in de mach saa). Ook hebben we wee consane namelijk A (de eerse r) en c (de inegraieconsane). We krijgen dan de volgende formule: = Deze formule zal ons helpen om een zo goed mogelijke schaing e maken van de daa. Als we de resulaen erug hebben moeen we m.b.v. Excel τ bereken da is namelijk ons gemiddelde vervalijd. We gaan da doen door e kijken hoeveel muonen al vervallen zijn na e aanal seconden. Da doen we me de vervalformule namelijk: als je geen beginaanal wee kan je ook me procenen werken, di doe je door voor 100 % e nemen, vervolgens kan je dan he percenage uirekenen da overblijf na een aanal seconden. = ijd = gemiddelde vervalijd Om in bovensaande formule ui e rekenen gaan we de algemene formule van snelheid gebruiken: Muonen worden in de bovense laag van de amosfeer gemaak, da is op een hooge van ongeveer 10 km, en da is dus de afsand die ze moeen afleggen om onze deecoren e kunnen bereiken. De gemiddelde snelheid is volgens lierauur ongeveer 90% van de lichsnelheid. Invullen geef: Om τ ui e rekenen gebruiken we de al eerder genoemde formule voor ijddilaaie: 1 c v Voor kunnen we ook τ nemen. Volgens lierauur is de gemiddelde vervalijd van muonen in rusoesand seconden. 51

52 6, ,0 10 s 5, 0 8 (,7 10 ) 1 8 (3,0 10 ) s Nu kunnen we de formule van vervalijd invullen, we ween geen beginaanal dus gaan we me percenages werken. Di wil dus zeggen da 0,06 % van de muonen die op 10 km hooge worden gemaak, de aarde (dus onze deecoren) zullen bereiken. Di klink misschien als een klein geal, maar er worden erg veel muonen gemaak dus er zullen ook veel aankomen. De bovensaande berekeningen gaan we nog een keer doen in de conclusie maar dan me de verkregen waarde ui de experimenen, di is namelijk ook een manier onze eigen berekeningen e kunnen conroleren. De meing van onze deecoren begin nauurlijk pas als de muonen de aarde al hebben bereik, je zou dan denken da de vervalijd korer is aangezien ze al heel de afsand hebben afgelegd en dus al even leven, maar och kunnen we me de grafiek van de muon-verval gebeurenissen de juise vervalijd meen, zonder de voorgeschiedenis van de muon mee e nemen. Di kom door de saische aard van de meing. 5

53 4. Maerialen de volgende maerialen hebben we nodig gehad voor he onderzoek: - Een deecor - Meekasje - Compuer - He programma MuonLab II - Snoeren Afb. 8: de opselling van de deecor en de compuer, op de compuer is he programma MuonLab II 53

54 4.4 Werkwijze He is bij he eerse onderzoek van belang da we he een week lang aan laen saan. Zo kunnen we zo veel mogelijk daa verzamelen waardoor de daa ook berouwbaarder word. 1. Verbind de deecor me he meekasje d.m.v. kabels. Slui he meekasje op de compuer aan d.m.v. kabels 3. Open he programma MuonLab II 4. Zorg ervoor da de daa van de juise usb-poor word gebruik (kies bij COMpoor) 5. Ga naar PMT se up en zorg ervoor da he High Volage Level overeen kom me de spanning over de balk 6. Ze de Inpu Tresh op 0, vol, zoda alleen muonen voor een puls zorgen 7. Klik op de sar/sop buon om de meing e saren 8. Laa de deecor een week lang meen om zo voldoende resulaen e krijgen 9. Sla de resulaen op Afb. 9: de insellingen van MuonLab II. 54

55 4.5 Resulaen Om de resulaen op een overzichelijke manier e kunnen ordenen hebben we gebruik gemaak van Excel 010. De formule die we gaan gebruiken is: Hierbij zijn A en C consan en is B: Nada wij zelf een schaing hebben gemaak van A, B en C, laen wij Excel de exace waarden uirekenen. De schaingen zijn bedoeld om Excel op weg e helpen. Voor de exace werkwijze van de zogenaamde daa analyse zie bijlage 1. Ui de verzamelde daa hebben we de volgende grafiek verkregen, op de y-as is he aanal his, en op de x-as he aanal nanoseconden. Aanal his in % ns Afb. 30: Grafiek van de funcie Onze schaingen van A, B en C: He makkelijkse is om e beginnen bij C, zoda we hierui A en B kunnen uirekenen. In de grafiek moe je een soor gemiddelde vinden (een opimum), C zal dan ongeveer 5 zijn, he is namelijk de asympoo van de grafiek. Waar de grafiek de y-as ongeveer snijd zal de formule A + C zijn. Di kom omda dan 0 is en e 0 = 1, 1 x A is nauurlijk gewoon A. De grafiek snijd de y-as ongeveer bij N = 80. Da wil dus zeggen da A dan 75 is. Nu we A en C hebben gescha, kunnen we B berekenen. Di doen we door de formule van de vervalijd e gebruiken, als we voor dezelfde waarde als τ (we gaan dan dus kijken naar hoeveel deeljes er nog over zijn na de gemiddelde vervalijd) kunnen we de formule ombouwen: We gaan dus A + C delen door e aanal seconden en kunnen dan τ aflezen op de grafiek. 55

56 9,4 op de y-as geef ongeveer 1800 op de x-as ns = 1,8 µs Onze B zou dus zijn. Excel geef ons de volgende waarden: A = 37,59 B = 0, C = 4,318 He verschil ussen de geschae A en de werkelijke A kom omda de snijding me de y-as blijkbaar nie bij 80 was, maar bij 4 his. Alle waarden boven 4 zijn dus eigenlijk overbodig. Da is nie duidelijk e zien op de grafiek, en is daarom voor ons erg moeilijk om nauwkeurig af e lezen. Excel kan di echer wel. 56

57 4.6 Conclusie De verkregen vervalijd is dus De vervalijd die wij hebben gemeen is dus 1,4 µs. Di is een erg kleine ijd, en als muonen inderdaad deze ijd zouden leven (ook me een groe snelheid) zouden ze de aarde nooi kunnen bereiken me hun snelheid. Er moe dus een verklaring zijn voor he fei da ze och de aarde kunnen bereiken. Door de speciale relaivieisheorie kunnen we verklaren waarom de muonen ondanks hun kore levensduur och op aarde kunnen komen. Hun levensduur word verlengd omda ze een erg groe snelheid hebben en da is de reden da ze de aarde kunnen bereiken. Onze gemeen gemiddelde vervalijd is in de orde van de door lierauur gegeven vervalijd. Maar de waarde die wij hebben gevonden wijk wel wa af van de lierauur waarde, waarom wij denken da he nie precies overeenkom bespreken we in de discussie. Wij hebben voor de snelheid 70 % van de lichsnelheid gemeen. Om ui e rekenen vullen we de volgende formule in: Om vervolgens τ ui e rekenen moeen we de formule van de ijddilaaie invullen, onze gevonden waarde voor is. Invullen geef he volgende: Nu kunnen we de formule van de vervalijd invullen, aangezien we geen beginaanal ween werken we me percenages. We kunnen door di percenage e gebruiken erug rekenen naar de snelheid om ons zelf e conroleren op rekenfouen, als he goed is zal er ongeveer hezelfde geal uikomen. 57

58 Conclusie (beanwoording hoofdvraag) In di hoofdsuk word een zo concree mogelijk anwoord gegeven op de hoofdvraag. De hoofdvraag was: Hoe is he mogelijk da muonen, erwijl ze zo n kore vervalijd hebben, zulke groe afsanden kunnen afleggen? He eerse hoofdsuk ging over kosmische sraling. He doel van di hoofdsuk was uileggen wa muonen zijn, door een uigebreide uileg e geven van kosmische deeljes. Er zijn heel veel verschillende deeljes beschreven, maar de belangrijkse voor di profielwerksuk zijn muonen. Muonen onsaan doorda proonen in de amosfeer op andere deeljes bosen. Hierdoor onsaan pionen, waardoor uieindelijk ook muonen worden gevormd. Ze vallen onder de krachvoelende deeljes (fermionen) en ze hebben een lading van -1. Als muonen in rus zijn, hebben ze een lading van 105,6 MeV. Di is een kore beschrijving van he deelje waaraan we bij di profielwerksuk onderzoek hebben gedaan. He weede hoofdsuk ging over de speciale relaivieisheorie. Me behulp van deze heorie zouden we kunnen verklaren hoe he mogelijk is da muonen de aarde kunnen bereiken vanaf zo n hoge afsand. Muonen onsaan op verschillende hoogen. Om vanaf elk van deze hoogen de Aarde e kunnen bereiken, zouden ze sneller moeen gaan dan he lich, als de speciale relaivieisheorie nie besond. He moe daarom wel zo zijn da muonen ijddilaaie ondergaan, wan ze gaan onmogelijk sneller dan he lich. In he hoofdsuk is de formule voor ijddilaaie uigelegd. Hieronder saa de formule nog een keer gegeven: 1 c v He derde hoofdsuk ging over de snelheid van muonen. In di hoofdsuk hebben we me een experimen de gemiddelde snelheid van muonen bepaald. De snelheid die we hierbij hadden gevonden, berof, m/s. In de lierauur is een snelheid van, m/s gegeven. De door ons berekende snelheid lig dus wel in dezelfde orde van grooe, maar wijk och bijna een derde af van de lierauurwaarde. Toch hebben we me he experimen bewezen da muonen zo snel gaan, da he mogelijk is da ze ijddilaaie kunnen ondergaan, dus da hun eigenijd word verraag. He vierde hoofdsuk ging over de vervalijd van muonen. In di hoofdsuk hebben we me een experimen de gemiddelde vervalijd van muonen bepaald. De gemiddelde vervalijd die we hierbij hadden gevonden, berof In de lierauur is een vervalijd van, 10-6 gegeven. De door ons berekende vervalijd lig dus wel in dezelfde orde van grooe, maar is och een suk lager. Me he experimen hebben we aangeoond da muonen een zeer kore vervalijd hebben, dus da ze wel ijddilaaie moeen ondergaan om de Aarde e kunnen bereiken. 58

59 He anwoord op de hoofdvraag is dus: Muonen kunnen de Aarde bereiken, doorda ze zo n hoge snelheid hebben, en daardoor ijddilaaie kunnen ondergaan. Di beeken da hun eigenijd word uigerek, waardoor he voor hen mogelijk is de Aarde e bereiken zonder sneller e hoeven gaan dan he lich. 59

60 Discussie Deelvraag 3: De berekening aan de resulaen van he experimen me berekking o de vervalijd van een muon oon een andere vervalijd dan in de lierauur is gegeven. Wij hebben een vervalijd berekend van 1,4 microseconden, erwijl de gemiddeldevervalijd volgens de lierauur, microseconden is. Er is dus bij ons onderzoek een korere vervalijd verkregen. Onze berekeningen hebben wij gemaak me behulp van Excel. Eers dachen we da he aan di programma zou kunnen liggen, doorda he werken me di programma nie erg soepel verliep. Eers leek he namelijk zo da Excel nie de juise daa gebruike voor de berekening. Uieindelijk bleek Excel da wel e doen, maar de wijfel over de berekening van Excel bleven besaan, doorda nie de juise vervalijd was verkregen. Toch was Excel nie de boosdoener, wan me een ander programma en dezelfde daa werd precies dezelfde vervalijd verkregen. He moes dus wel aan de daa liggen. Een mogelijke oorzaak voor de fouen in de daa is de plaas van he onderzoek. In he gebouw waar we de proef hebben uigevoerd, lag namelijk nogal wa meaal opgeslagen. Heel misschien is he wel zo da muonen me een langere vervalijd door meaal een korere vervalijd krijgen. Of misschien vervallen er al veel in he gebouw door he meaal, waardoor er minder muonen de deecor bereiken en we zo onvoldoende daa hebben kunnen verzamelen om o een juise gemiddelde vervalijd e komen. Di is echer nie de mees logische oorzaak, aangezien we de deecor heel lang gegevens hebben laen verzamelen. Een andere mogelijke reden is da door he maeriaal van de deecor de aanslag van een muon verlaa deeceer, waardoor he ijdverschil ussen de eerse en de weede puls kleiner word, en een korere vervalijd word verkregen. Er zi heel vaak een sysemaische fou in he syseem. Hoe gering deze ook is, he kan alijd gevolgen hebben als je ermee gaa rekenen. De gemiddelde vervalijd die wij bepaald hebben is dan wel geen, microseconde, maar he blijf heel nauwkeurig, maar we zien wel in de orde van groe van microseconden! Waarschijnlijk is de vervalijd die in de lierauur gegeven word gemeen en bepaald in deeljesversnellers me zeer nauwkeurige apparauur. Deelvraag 4: Ui de berekeningen van onze meegegevens is een andere gemiddelde snelheid van muonen gekomen dan gegeven is in de lierauur. De lierauurwaarde voor de snelheid van muonen is namelijk, m/s, erwijl ons experimen een uikoms van, m/s. He is nie een heel groo verschil (als je bedenk da he geal in de orde van 10 8 moe zijn en da ook is), maar he is ook geen heel klein verschil. 60

61 Een verklaring daarvoor kan zijn da we gewerk hebben me wee balken die we op elkaar hebben gelegd (en daarna seeds een sukje verder van elkaar hebben verwijderd). We hebben de afsanden ussen de balken gebruik om de reaciesnelheid e berekenen. Deze hebben we bepaald me een lineaal. Nie ech nauwkeurig dus. Me een lineaal kan je hoogsends in milimeers nauwkeurig meen en de reaciesnelheid is in de mae van Bij zulke groe geallen maken kleine onnauwkeurigheden in de afsand een zeer groo verschil. Daarbij kan er, ne zoals bij de proef waarbij we de vervalijd hebben berekend, sprake zijn van een sysemaische fou. Deze hebben we er wel geprobeerd ui e halen me de berekening. 61

62 Nawoord Onze verwachingen zijn zeker uigekomen, ons profielwerksuk was zeker moeilijk, en he was ook erg veel werk. We hadden vooraf verwach da we precies op dezelfde waarden zouden uikomen, als wa lierauur beschrijf, maar we hebben in de loop van de ijd geleerd da in een experimen niks zeker is. Je moe eigenlijk al blij zijn als je in de orde van de goede waarde zi. Verder hebben we qua heorie ongelofelijk veel geleerd, we kunnen bijvoorbeeld oprech zeggen da onze wiskunde skills erop voorui zijn gegaan, omda we nu veel meer he in een conex moesen plaasen. He was nu nie meer zomaar bereken even x, of maak x even vrij. We moesen nu ech nadenken over wa we nou precies aan he doen zijn. Ook hadden we een soor voorsprong op de res van de klas omda wij al een deel van kernfysica hadden behandeld me ons profielwerksuk, we begonnen namelijk pas een maand laer in de les ook me kernfysica. We hebben erg veel plezier gehad me he maken van di profielwerksuk. He was een onderwerp wa ons ineresseerde, en daarom waren wij ook ech geïneresseerd in wa wij aan he doen waren, he was nie alleen maar omda he moe. We hebben veel nieuwe mensen onmoe in Leiden, en hebben ook gezien hoe he er daar aan oe gaa. Over he algemeen hebben we dus een goede indruk gekregen van he sudenleven bij Leiden (Nauurkunde als opleiding). He heef ons dan ook aan he denken geze, over onze opleidingen na he VWO. Wij waren wa laer begonnen me di profielwerksuk, omda we nauurlijk nog van onderwerp en vak waren verander. Di zorgde eigenlijk gelijk al voor een soor achersand, wij denken da als we die achersand nie hadden gehad, we he allemaal wa sneller af hadden kunnen hebben. De samenwerking ussen ons drieën ging erg goed, we vulden elkaar goed aan. Als een van ons er een keer nie uikwam, konden de andere wee alijd wel helpen. Verder was de communicaie erg goed, en hebben wij eigenlijk geen problemen gehad, behalve de langzame sar (maar da lag nie aan de samenwerking). Wij zijn ongelofelijk ros op he resulaa, en hopen da u he ne zo leuk vind om e lezen als wij he vonden om e maken. Als laas willen wij nog wee mensen bedanken. Allereers Oliver Osojic voor he uigebreid uiwerken en beanwoorden van al onze vragen en voor de fijne samenwerking. Daarnaas willen we dhr. Prins nog bedanken voor he sellen van kriische vragen en nauurlijk ook voor de soepele samenwerking. 6

63 Bronnen hp:// B_nlNL514&biw=180&bih=673&bm=isch&bnid=AvILWOeQlgd5PM:&imgrefurl=h p:// NUJuJC-uQ0QXj- YCwBQ&zoom=1&iac=hc&vpx=177&vpy=44&dur=1557&hovh=185&hovw=7& x=15&y=94&sig= &page=3&bnh=143&bnw=13&sar =60&ndsp=9&ved=1:49,r:61,s:0,i:34 hp:// RNDKB_nlNL514&biw=180&bih=673&bm=isch&bnid=nl0jQI97bbq0M:&imgref url=hp://hwsphysics.wordpress.com/01/08/30/100-years-of-cosmic-rays100- years-of-cosmic-rays/&docid=gkfqc4xxlkxwm&imgurl=hp://images.iop.org/objecs/phw/world/humb/5/8/3 4/wason1.jpg&w=400&h=300&ei=_eXNUIGIIcW0QX57oGwCg&zoom=1&iac=hc& vpx=410&vpy=198&dur=56&hovh=194&hovw=59&x=177&y=90&sig= &page=&bnh=147&bnw=197&sar=7&ndsp=8&ved=1:49,r: 9,s:0,i:176 hp://cosmic.lbl.gov/more/josieherman.pdf + link meneer Buisman hp:// hp:// hp://nl.wikipedia.org/wiki/supernova#neurino.7s hp:// hp:// hp://nl.wikipedia.org/wiki/tijddilaaie hp://nl.wikipedia.org/wiki/lorenzransformaie hp://kwanummechanica.doorgronden.nl/relaiviei/speciale-relaiviei.hml hps://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:ym9yb96rzoej: uanum/qm/gw/sr.pdf+&hl=nl&gl=nl&pid=bl&srcid=adgeesi0sj3bq8n5fuvgp goxaqd8va0zs3ymeq1o_-zxapae- 63

64 ohiiwidbnx_xlxgvrzfaftsms_yr3c6n8aszn_mafsfsziwnag7wjbc1umnmclsdeio 0jA6KGxjxEJu1bJm40RY&sig=AHIEbRoMA9m9TS0_Iua0al5eHqfEUb4w hp:// inuen.hm hp://nl.wikipedia.org/wiki/kosmische_sraling hp:// hp:// hp:// hp://nl.wikipedia.org/wiki/muon hp://hyperphysics.phy-asr.gsu.edu/hbase/relaiv/muon.hml hp://hyperphysics.phy-asr.gsu.edu/hbase/relaiv/relcon.hml#c1 hps://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:ofae- TvfPxoJ: WFK9oXAyCg9OHvWSNRsSQip3KEV7jBNR1sb_xsEE8vFD- udvxfbzizcgjfrzb403gqpsiqqk30ficimkrszkmjvg4q5xfj0- O03gE&sig=AHIEbTgboQs_qjUauaPROlX4w1XJx3Q hp://deeljesfysica.doorgronden.nl/ hp://nl.wikipedia.org/wiki/sandaardmodel_van_de_deeljesfysica hp://adcs.home.xs4all.nl/deeljes/lepons.hml hp://nl.wikipedia.org/wiki/lepon_(subaomair_deelje) hp://nl.wikipedia.org/wiki/boson_(deelje) hp://nl.wikipedia.org/wiki/fermion hp://adcs.home.xs4all.nl/deeljes/fermion.hml Boek: Tiel: De relaivieisheorieën van Einsein Aueur: Alan Moron ISBN: /

65 Arikel 1 Tiel: NLT-Module kosmische sraling (van Dr. H.P. Buisman) Arikel Tiel: Measuremen of Relaivisic Time Dilaion Using μ-mesons Aueur: David H. Frisch en James H. Smih Filmpje bij Arikel Tiel: Time dilaion- An experimen wih Mu-mesons (Theorie of relaiviy) Door: David H. Frisch en James H. Smih Arikel 3 Tiel: Inroducion o Elemenary Paricles Aueur: Griffihs Arikel 4 Tiel: Paricle Physics, A Very Shor Inroducion Aueur: Frank Close Filmpje Tiel: Muonlive.mov Oliver Osojic, derdejaars nauurkunde suden e universiei Leiden 65

66 Bijlagen Bijlage 1: Bijlage : logboek werkblad daa-analyse 66